МАТЕМАТИКА за 8. клас Издателство САНПРО, по лиценз на … · МАТЕМАТИКА за 8. клас. Издателство САНПРО,

МАТЕМАТИКА за 8. клас

Издателство САНПРО, по лиценз на Pearson

ОТГОВОРИ

Раздел 1 Начален преговор

1.1 Цели изрази

1 г) 4x(2x+1); д) 3b(b-3); ж) pr(r–1); з) ax(a+x); и) 4x3(2–x)

2 а) 16; б) 6; в) 45; г) 19

4 p = 3 или p = –3; q = –6 или q = 30; r = 9

5 х = 1, у = –15; 11

1.2 Уравнения

1 x = 5

2 31

3 Джесика 80%, Милен 60%, Зак 70%

4 15 cm

8 100 kg, 50 kg, 70 kg

9 8 дни

10 3 3/5 часа

1.3 Триъгълници

1 a) ∢1 = 80°; ∢2 = 80°; г) ∢1 = 70°; ∢2 = 110°; ∢3 = 30°

2 а) 30о, 60о, 90о

б) 36о, 90о, 54о

в) 80о, 40о, 60о

3 а) 𝑥𝑥 = 180−542

= 63°

б) y = 54 + 63 = 117° или y = 180 – 63 = 117°

4 а) ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 180 − 127 = 53°; ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 180 − 2 . 53 = 74°;

∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 90 – 74 = 16

б) ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵 = 180 – 127 – 16 = 37°

1.5 Видове успоредници

1 80о 100о

2 54о, 126о

3 64о, 116о

4 65о

5 14 cm

6 10 cm

7 72 cm

8 4 cm

9 160о, 20о

10 30о, 150о

11 108 cm2

1.6 Подготовка за входно ниво

1 a) −9𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 + 3; б) −2𝑏𝑏3; в) 9𝑎𝑎 − 18; г) 152(1 − 𝑎𝑎)

2 а) (𝑎𝑎 − 1)(2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 1)

б) 2𝑎𝑎(2 − 𝑎𝑎)(2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 4)

в) 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐)(𝑐𝑐 − 𝑏𝑏)

г) 2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦)

д)

7 а) 4

б) 22

в) 1

г) -2

д)

8 413

9 32 год.

10 30 ученици

Раздел 2 Основни комбинаторни понятия

2.1. Умножение и събиране на възможности

1 5

2 а) 75; б) 80; в) 100

3 6

4 10

5 10

6 42

7 20

8 6

2.2 Пермутации, вариации и комбинации

1 6

2 720

3 120

4 а) 24; б) 120

5 24 . 24 = 576

6 17 100 720

7 а) 504; б) 15 120; в) 181 440

8 а) 100; б) 120

10 5 245 786

11 45

2.3 Обобщение

1 20

2 18

3 4!

4 4! 2!

5

6 32

7 63

8 288

9 336

Раздел 3 Вектори

3.1 Вектор

1 𝑂𝑂𝑂𝑂��,

𝑂𝑂𝑂𝑂��,


𝑂𝑂𝑂𝑂��












4

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��,

𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,


𝐸𝐸𝐸𝐸��

в) 𝐸𝐸𝑂𝑂��,

𝑂𝑂𝐸𝐸�� ,



𝐸𝐸𝑂𝑂��

г) 𝐸𝐸𝑂𝑂��,




𝑂𝑂𝑂𝑂��;









3.2 Събиране и изваждане на вектори. Свойства

1

а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→ +

𝑐𝑐→

2

а)

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =

𝑛𝑛→ +

𝑚𝑚→

𝑂𝑂𝑂𝑂��=

𝑛𝑛→ +

𝑚𝑚→ +

𝑝𝑝→

𝐸𝐸𝑂𝑂�� =

𝑚𝑚→ +

𝑛𝑛→

3 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +

𝑂𝑂А�� =

𝑂𝑂𝑂𝑂�� =

0→

4

а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +

𝑂𝑂𝑂𝑂�� +


0→

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +(

𝑂𝑂𝑂𝑂�� −

𝑂𝑂𝑂𝑂��)=

0→

5

а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +




б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +




в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� +



𝑂𝑂𝑂𝑂��.

3.3 Умножение на вектор с число. Свойства

2 а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =

𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→.

3 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2

𝑎𝑎→

𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1

2 𝑏𝑏→.

4 𝑂𝑂𝑂𝑂�� ,

𝐸𝐸𝐸𝐸�� ,

𝐺𝐺𝐺𝐺��

5

а) 𝐸𝐸𝑂𝑂��= 2

𝑎𝑎→

б) 𝑂𝑂𝐸𝐸��=

𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→

в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=

𝑎𝑎→ +

𝑐𝑐→

г) 𝑐𝑐→=

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

д) 𝐸𝐸𝑂𝑂��= 2

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

6 𝑋𝑋𝑋𝑋��=

𝑦𝑦→ −

𝑥𝑥→ XY||AB

7

а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 1

2(𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→)

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

в) 𝑄𝑄𝑂𝑂��= 1

2(𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→)

г) точките P и Q съвпадат

д) Пресечната точка на диагоналите на успоредника ги разполовява.

8

а) KLMN - трапец

б) 𝑛𝑛→= 2

𝑚𝑚→−

𝑘𝑘→

9

а) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=

𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→ ‚

𝑂𝑂𝐸𝐸��= 1

4 𝑏𝑏→ ,

𝑂𝑂𝐸𝐸��=

𝑎𝑎→ + 1

4 𝑏𝑏→,

𝑂𝑂𝐸𝐸��= 1

4 𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→,

𝐸𝐸𝐸𝐸�� = 3

4(𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→)

б) EF||AB; Дължината на EF е ¾ от дължината на AB.

10

а) 𝑂𝑂𝐴𝐴��= 1

2(𝑚𝑚→ +

𝑛𝑛→) ,

𝑂𝑂𝑄𝑄��=3

4(𝑚𝑚→ +

𝑛𝑛→),

𝑂𝑂𝑄𝑄��=1

4(3

𝑛𝑛→ −

𝑚𝑚→)

б) 𝑂𝑂𝑀𝑀��=3

𝑛𝑛→ −

𝑚𝑚→

в) MQ||MR с обща точка M, следователно MQ и MR са части от една и съща

права 𝑂𝑂𝑀𝑀𝑂𝑂𝑄𝑄

= 4

11

а) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 2

𝑏𝑏→

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 2(2

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→)

г) S е среда на OT

12

а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 2(

𝑎𝑎→ +2

𝑐𝑐→)

13

а) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� =

𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 2

𝑎𝑎→ −1

2 𝑏𝑏→


1 𝑎𝑎→ и

𝑐𝑐→;

𝑏𝑏→ и

ℎ→;

𝑑𝑑→ и

𝑔𝑔→

2

а) АВ�� =



𝐸𝐸𝑂𝑂��;



𝐸𝐸𝐸𝐸�� =



𝑂𝑂𝐸𝐸�� =







𝐸𝐸𝐸𝐸�� =








б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� и

𝑂𝑂𝑂𝑂�� ;

𝑂𝑂𝑂𝑂�� и

𝑂𝑂𝐸𝐸��;

𝑂𝑂𝑂𝑂�� и

𝑂𝑂𝐸𝐸��

5


𝑐𝑐→ −

𝑏𝑏→

б) 𝑂𝑂𝐴𝐴�� = 1

2(𝑐𝑐→ −

𝑏𝑏→)

в) 𝑂𝑂𝐴𝐴��= 1

2(𝑐𝑐→ +

𝑏𝑏→)

6 𝑂𝑂𝑂𝑂��=

𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→


𝑏𝑏→ −3

𝑎𝑎→ CD||AB CD = 3AB

8

а) 𝑂𝑂𝐺𝐺�� = 1

3(𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→).

б) 𝑂𝑂𝐺𝐺�� = 1

3(𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→) Точките G и H съвпадат.

в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1

2 𝑏𝑏→

9 в) k=1/3 m=1/3 𝑂𝑂𝑋𝑋��= 4

3 𝑎𝑎→ + 1

3 𝑏𝑏→

11 PQRS е успоредник

12


𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→

б) 𝑂𝑂𝐸𝐸�� = −

𝑏𝑏→

в) 𝑂𝑂𝐸𝐸�� = −

𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→

г) векторите с начало т. O и край всеки от средите на страните на ABCDEF: 12

(𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→) 1

2(2

𝑎𝑎→ −

𝑏𝑏→) 1

2(𝑎𝑎→ − 2

𝑏𝑏→) −1

2(𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→) 1

2(𝑏𝑏→ − 2

𝑎𝑎→) 1

2(2

𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→)

15


𝑎𝑎→ +

𝑏𝑏→

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = −

𝑏𝑏→

в) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� =

𝑎𝑎→ −

𝑏𝑏→

19


𝑏𝑏→ −

𝑎𝑎→

б) 𝑂𝑂𝑂𝑂�� = 1

2 𝑏𝑏→:

в) 𝑂𝑂𝑂𝑂��=

𝑐𝑐→ −

𝑎𝑎→

г) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1

2(𝑐𝑐→ −

𝑎𝑎→)

д) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1

2(𝑎𝑎→ +

𝑐𝑐→)

е) 𝑂𝑂𝑂𝑂��= 1

2�𝑎𝑎→ +

𝑐𝑐→� − 1

2 𝑏𝑏→

Раздел 4 Триъгълник и трапец

4.1 Делене на отсечка в дадено отношение

1 a) 3/5; b) 5/12

2 12 cm, 21 cm, 27 cm

3 a) ¾; б) ½; в) 3/2; г) 2/5

4.2 Средна отсечка в триъгълник

2 RS, ST, и TR са средни отсечки на DEF.

Съгласно Теорема 2 , RS ǁ DF, ST ǁ ED, и TR ǁ FE.

3 AB ǁ EF; BC ǁ DE; CA ǁ FD; EF е ½AB; DE e ½BC; FD e ½CA

4 DC = 16; AC = 32; DF = 8.5; DE = 18

5 FH ǁ LJ; HK ǁ GL; KF ǁ JG; L J e ½FH; GL e ½HK; JG e ½KF; GJ = 7; GL = 6; LJ = 5

6 a) 25° b) 65°

7 a) 75° б) 75°в) 45°г) 60°

8 1320 m

9 a) 234 m b) 468 m

10 30 cm

11 40°

4.3 Медицентър на триъгълник

3 H

4 18

5 a) TY = 18; TW = 27;

7 а) 16; в) 32; д) 10; ж) 80;

4.4 Трапец. Равнобедрен трапец

1 ∢𝑃𝑃 = ∢𝑄𝑄 = 74°; ∢𝑆𝑆 = 106°

2 а) ∢1 = 77°; ∢2 = 103°; ∢3 = 103° ; в) ∢1 = 49°; ∢2 = 131°; ∢3 = 131°; г) x

= 12

11 а) равнобедрен трапец

4.5 Средна отсечка (основа) на трапец

1 x = 6, MN = 23

2 а) 10; в) AD = 4, EF = 9, BC = 14


1 а) FH ǁ EF; BC ǁ DE; CA ǁ FD; EF е 1/2AB; DE e 1/2BC

2 а) VY = 22, YX = 11

7 а) 52; в) 24;

8 б) ∢1 = 115°; ∢2 = 115°; ∢3 = 65°

Раздел 5 Квадратен корен

5.1 Ирационални числа. Квадратен корен

1 а) 𝑥𝑥 ≥ 2 ; б) 𝑥𝑥 ≤ 0; в) 𝑥𝑥 ≤ 0; г) всяко число

2 а) 11; 12; 20; 80; б) 0,5; 1,3; 0,09; 1,8; в) 23

; 56

; 74

; 165.

4 б)

5 а) 2; б) −16

; в) 2

5.2 Свойства на квадратните корени

1 а) 0,9; 0,63; 13,2; 0,6; б) 6; 10; 0,8; 4.

2 а) 1113

; б) 518

; в) 2524

; г) 145

; д) 1522

; е) 0,07; ж) 0,02; з) 0,008; и) 2; й) 4

3 а) 75; б) 3

7; в) 16

9; г) 108

11

4 а) 13; б) 2; в) 49.

5 а) 65; б) 44; в) 89; г) 66; д) 588; е) 5; ж) 14; з) 28.

6 а) 11; б) 1; в) 5; г) 8; д) 12,1; е) 8.

5.3 Действия с квадратни корени

1 а) 2; б) 3; в) 5; г)4.

2 а) 10√2; б) 4√2; в) 2√5; г) 2√7; д) 100√2; е) 5√5; ж) 150√15; з) 12549 √5; и) 3√3

8√2

3 а) √12; б) √2; в) √2; г) −√75; д) −√0,4; е) −�2

3

4 2𝑎𝑎2√5; б) 2𝑎𝑎𝑏𝑏�10𝑏𝑏; в)−2𝑎𝑎𝑏𝑏�10𝑏𝑏; д)−7𝑎𝑎2𝑏𝑏√2 ; е) 3|𝑎𝑎||𝑏𝑏|√10

5 а) √2𝑎𝑎2;б) √𝑎𝑎4𝑏𝑏; в) −√𝑎𝑎3𝑏𝑏2; г) √𝑎𝑎4𝑏𝑏2; д) �8

3𝑏𝑏3; е) √8𝑑𝑑2𝑐𝑐4

6 а) 𝑎𝑎 − 5; б) 𝑎𝑎 − 5; в) 2𝑎𝑎 − 6; г) 6 − 2𝑎𝑎; д) 𝑎𝑎 − 3; е) 2𝑎𝑎 + 10

7 а) |𝑎𝑎−𝑏𝑏|√𝑏𝑏

2; б) 5√2𝑐𝑐|𝑎𝑎+𝑏𝑏| в) |𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏|√𝑎𝑎𝑏𝑏 г) (𝑎𝑎−𝑏𝑏)3𝑦𝑦2

5 � 𝑦𝑦10

8 в)

9 г)

5.4 Сравняване на ирационални числа, записани с квадратни корени

1 а) 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐; б) 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏; в) 𝑎𝑎 < 𝑑𝑑 < 𝑏𝑏 < 𝑐𝑐; г) 𝑏𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑐𝑐

3 б)

4 в)

5 в)

6 б)

7 𝑎𝑎 > 𝑐𝑐

8 а) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏; б) 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏; в) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏; г) 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏

10 а)

5.5 Преобразуване на изрази, съдържащи квадратни корени

1 а) −2√2; б) −2√3 ; в) 29√2 ; г) 5𝑏𝑏√𝑏𝑏 д) 31√215

; е) 11√36

; ж) −1,5√3; з) −6√3;

и) 9√3 − 35√2; й) 6𝑥𝑥3√𝑥𝑥 ; к) 2𝑎𝑎3𝑏𝑏√𝑎𝑎𝑏𝑏

2 а) 6√5 − 5; б) 2 + 2𝑥𝑥√3 ; в)𝑦𝑦√5 + 5 ; г) 6𝑥𝑥 − 13√𝑥𝑥 − 5; д)−√35 − 16;

е) 10 − 22√3; ж) 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2; з) 3𝑥𝑥 − 4; и) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥√3 + 3; й) 3;

к) 2𝑥𝑥 + 6 − 2√2𝑥𝑥 + 5

3 а) 8 + √10 − 4√3 ; б) 11 + √6 − 2√2; в) 49 + 8√3; г) 2

4 а) �11+3√3

2; б) 2,5; в) 50 + 8√6

5 а) 1; б) 1

6 а) -8; б) 6√3

7 а) √7 − 4; б) 7 в) 17

8 а) √3√7

; б) √52

; в) √7√5

5.6 Рационализиране на изрази, съдържащи квадратни корени

1 а)5√33

; б) 15√𝑥𝑥2𝑥𝑥

2 а) √147

; б) √62

; в) √55

; г) 3√2𝑥𝑥4𝑥𝑥

; д) 5√3𝑎𝑎9𝑎𝑎

; е) 6𝑥𝑥10

; ж) �55𝑦𝑦15

; з) √3𝑧𝑧6𝑧𝑧

; и) √2𝑥𝑥8𝑥𝑥

3 а) 5�3√5−241

; б) �√2+5��√3+√5�−2

; в) 6𝑥𝑥−3√𝑥𝑥𝑦𝑦4𝑥𝑥−𝑦𝑦

4 а) √105

5 а) −2�2 + √7�; б) √7+4−3

; в) 7�√𝑥𝑥+3�9−𝑥𝑥

; г) 8(√𝑦𝑦−4)16−𝑦𝑦

; д) 2√6 − 5 ;

е) −�√3 + √4��√2 + √3�; ж) 8�√10−1�9

; з) −3�√6+2�2

; и) 5+3√27

; й) 7+√103

6 а) 5√15

; б) 3√6

; в) −76�2+√11�

; г) 7√5−1

; д) 1√2�√5−2�

; е) 13+2√2

; ж) 57+3√6

7 а) √7 + 1; б) 3√3 − 5 ; в) 5√3 − √2 ; г) 10 − 2√3

8 а) √3√7

; б) √52

; в) √7√5

9 б) 2 + √6 + √2 ; в) √3 + √15 − 3


1 в)

2 г)

3 в)

4 г)

5 а)

6 б)

7 г)

8 б)

9 в)

10 б)

Раздел 6 Квадратни уравнения

6.1 Квадратно уравнение. Непълни квадратни уравнения

1 а) 𝑥𝑥1,2 = ±6 б) 𝑥𝑥1,2 = ±7 в) 𝑥𝑥1,2 = ±8 д) 𝑥𝑥1,2 = ± 53 е) 𝑥𝑥1,2 = ± 11

4

2 а) 𝑥𝑥1,2 = ±4√2 б) 𝑥𝑥1,2 = ±√7 в) 𝑥𝑥1,2 = ±√10 г) 𝑥𝑥1,2 = ±0,7 д) 𝑥𝑥1,2 = ±0,9

е) 𝑥𝑥1,2 = ±2√3

3 а) 𝑥𝑥1,2 = −3 ± 2√5 б) 𝑥𝑥1 = −8; 𝑥𝑥2 = −2

4 а) 𝑥𝑥1,2 = 0 б) 𝑥𝑥1,2 = ±6√2 в) а) 𝑥𝑥1,2 = ±3 г) 𝑥𝑥1,2 = ±�5

3

5 а) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −3 б) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 12 в) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −6 г) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 5

д) 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −2

6 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 12

7 𝑥𝑥 = 3 𝑚𝑚

8 ≈ 10𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐



6.2 Формула за корените на квадратното уравнение

1 а) 𝑥𝑥1 = 5; 𝑥𝑥2 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 12 в) 𝑥𝑥1 = 2

3; 𝑥𝑥2 = −1

3 а) 𝑥𝑥1 = −5; 𝑥𝑥2 = −3; 𝑦𝑦1 = −4;𝑦𝑦2 = −2; 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −5

б) 𝑥𝑥1,2 = −3 ± √7; 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √3; 𝑥𝑥1,2 = −1±√52

в) няма решение; няма решение; 𝑦𝑦1,2 = −3 ± √17

4 а) 𝑥𝑥1 = −7; 𝑥𝑥2 = 6 б) 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = −1 в) 𝑥𝑥1 = −9; 𝑥𝑥2 = 1 г) няма решение;

д) 𝑥𝑥1,2 = 2 ± √6

5 а) 𝑥𝑥1,2 = −√2 ± 2; б) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −√33

в) 𝑥𝑥1,2 = √5±1√2

г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = √3

6 ≈ 2,4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐

7 а) ≈ 9 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 б) ≈ 6,5 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐

8 а) 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐 б) ≈ 0,97 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐

6.3 Съкратена формула за корените на квадратното уравнение

1 а) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 35 б) 𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = −12 в) 𝑥𝑥1 = 30; 𝑥𝑥2 = −10

г) 𝑥𝑥1 = 19; 𝑥𝑥2 = 1 д) 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = −23 е) 𝑥𝑥1 = 26; 𝑥𝑥2 = −2

2 а) 𝑥𝑥1 = 2,6; 𝑥𝑥2 = −5 б) 𝑥𝑥1 = 4; 𝑥𝑥2 = 1,6 в) 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = −10 г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 57

д) 𝑥𝑥1,2 = −5 ± 2√17е) 𝑥𝑥1 = 53

; 𝑥𝑥2 = −3 ж) 𝑥𝑥1,2 = 8±5√22

3 а) 𝑘𝑘 > 18 б) 𝑘𝑘 > 25

12 в) 𝑘𝑘 > 13

8 г) няма такава стойност

4 а) 𝑘𝑘 < 2512

б) 𝑘𝑘 < 14 в) 𝑘𝑘 < 3 г) 𝑘𝑘 ≠ −1

5 а) 𝑘𝑘1,2 = ±8 б) 𝑘𝑘1 = 0; 𝑘𝑘2 = −45 в) 𝑘𝑘1 = 6; 𝑘𝑘2 = −2 г) 𝑘𝑘 = −1

6 а) 𝑥𝑥1 = 𝑘𝑘; 𝑥𝑥2 = −3𝑘𝑘

б) при к ∈ (−∞; 0)⋃�0; 14� 𝑥𝑥1,2 = −1±√1−4к

2к при 𝑘𝑘 > 1

4 няма реални корени

6.4 Разлагане на квадратния тричлен на множители

1 а) (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 4); (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3); (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 1)

б) (𝑥𝑥 − 1)(3𝑥𝑥 − 2); (𝑥𝑥 + 1)(2𝑥𝑥 − 5); (1 − 𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 + 1)

в) �𝑥𝑥 − 5+√212

� �𝑥𝑥 − 5−√212

�; (𝑥𝑥 − 2)(2𝑥𝑥 + 1) �𝑥𝑥 − √6+√102

� �𝑥𝑥 − √6−√102

�

2 а) 2−𝑥𝑥𝑥𝑥−1

б) 𝑥𝑥−2𝑥𝑥−3

в) 2𝑥𝑥−12(𝑥𝑥+1) г) 𝑥𝑥−2

5−𝑥𝑥 д) √2𝑥𝑥+1

√2𝑥𝑥 е) 𝑥𝑥+√6

𝑥𝑥−√6

3 а) 2(𝑥𝑥 + 2)2(𝑥𝑥 − 1) б) 3𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 3) в) 2 (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2)

г) −(𝑥𝑥 − 7)(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 4)

6.5 Биквадратно уравнение

1 а) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = ±1 б) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = ±3 в) 𝑥𝑥1,2 = ± √32

; 𝑥𝑥3,4 = ± √22

г) 𝑥𝑥1,2 = ±3, 𝑥𝑥3,4 = ± √22

д) 𝑦𝑦1,2 = 0; 𝑥𝑥𝑦𝑦3,4 = ±0,9 е) няма реални корени;

ж) 𝑥𝑥1,2 = ±2; 𝑥𝑥3,4 = 0 з) ) 𝑥𝑥1,2 = ±√5

2 а) ±√3 б) ±√3 в) ±2 г) ±√6; ± √102

6.6 Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до квадратни

1 а) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −5; 𝑥𝑥3,4 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 32

; 𝑥𝑥2 = −13

; 𝑥𝑥3 = 1; 𝑥𝑥4 = 16

в) 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √5; 𝑥𝑥3,4 = 1 г) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −12

д) 𝑥𝑥1,2 = 1±√33

; 𝑥𝑥3 = 23

; 𝑥𝑥4 = 0

е) 𝑥𝑥1,2 = 3±√132

𝑥𝑥3 = 4; 𝑥𝑥4 = −1

2 𝑥𝑥1,2 = −6 ± √5; 𝑥𝑥3,4 = −6

3 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥3,4 = 1 ± √5

4 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −3; 𝑥𝑥3,4 = −1 ± √3

5 а) 𝑥𝑥1 = −3; 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥3,4 = −1 б) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥3,4 = 1

в) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥3,4 = 1 ± √5 г) а) 𝑥𝑥1 = 7; 𝑥𝑥2 = −4; 𝑥𝑥3 = −2; 𝑥𝑥4 = 5

д) няма реални корени; е) 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 0; 𝑥𝑥3,4 = −1

6.7 Зависимости между корените и коефициентите на квадратното уравнение.

Формули на Виет

1 б) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −13

, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = −78 в) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 11

3, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = 2 г) 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2

3, 𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 =

−13

2 г)

3 а) 𝑥𝑥2 = −12 б) 𝑥𝑥2 = −1

3 в) 𝑥𝑥2 = √2 г) 𝑥𝑥2 = √3

4 а) −23

;−53

; б) -2; в) 7; г) 25 д) 10

9 е) 3 7

9 ж) -3

5 а) 𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 + 55 = 0 б) 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 24 = 0 в) 6𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 1 = 0

г) 𝑥𝑥2 − 1,1𝑥𝑥 + 0,28 = 0 д) 15𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 4 = 0 е) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 4√5 − 8 = 0

6.8 Приложение на формулите на Виет

1 а) -4 и -1; б) 7 и 2; в) 4 и -2; г) 13 и 1

4; д) −1

5 и −1

4; е) 5 и -2; ж) 1

3 и −1

5; з) -4 и 3.

2 б) 𝑘𝑘 = 14, 𝑥𝑥2 = −72 в) 𝑘𝑘 = 10

7, 𝑥𝑥2 = 7

5

3 𝑘𝑘1 = 2,𝑘𝑘2 =12

4 а) с различни знаци; б) положителни; в) отрицателни; г) положителни; д) с

различни знаци; е) отрицателни.

5 а) 𝑘𝑘 ≥ 4; б) 𝑘𝑘 < 2 в) 𝑘𝑘 > 4

6 а) 𝑦𝑦2 − 8𝑦𝑦 − 20 = 0 б) 6𝑦𝑦2 + 65𝑦𝑦 + 169 = 0 в) 3𝑦𝑦2 − 7𝑦𝑦 + 2 = 0

г) 275𝑦𝑦2 + 40𝑦𝑦 − 3 = 0

6.9 Моделиране с квадратни уравнения

1 4 или -6

2 12 или -4

3 Баща 48 год., син – 12 г.

4 8 m

5 4 и 5 или -5 и -4

6 10 сm

7 32 m или 28 m

8 ≈ 3,9сm

9 ≈ 21 m

10 ≈ 23 m


1 б)

2 в)

3 в)

4 а)

5 б)

6 а)

7 б)

8 а)

9 а)

10 ±√10

11 1±√52

12 √5; 3

13 11

Раздел 7 Окръжност

7.1 Окръжност. Взаимни положения на точка и окръжност

1 ∢𝐵𝐵 = 30° и ∢𝐵𝐵 = 60°

2 ∢𝐵𝐵 = 120° и ∢𝐵𝐵 = 60°

3 ∢𝐵𝐵 = 60° , ∢𝐵𝐵 = 30° и ∢𝐷𝐷 = 90°.

4 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 120°

5 ∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 15° и ∢𝐷𝐷 = 135°.

6 Б

7 а) не; б) не; в )да

8 А

9 А

10 а) принадлежи на окръжността; б) вътрешна за окръжността; в)външна за

окръжността.

11 Точките 𝐵𝐵,𝐷𝐷,𝐵𝐵 са външни, а точка 𝑂𝑂 е вътрешна.

12 Точките 𝐵𝐵 и 𝐵𝐵 са външни, а точка 𝑂𝑂 и 𝐵𝐵 принадлежи на оръжността.

7.2 Взаимни положения на права и окръжност

1 външна

2 две общи точки

4 а) една обща точка - допирателна; б) две общи точки - секуща; в) няма

общи точки - външна

5 𝐵𝐵𝐷𝐷 е секуща за окръжността.

6 𝐵𝐵𝐵𝐵 е допирателна за окръжността.

7 𝐷𝐷𝐵𝐵 е външна за окръжността.

7.3 Допирателни към окръжност

1 ∢𝐵𝐵 = 75°, ∢𝐵𝐵 = 15° и ∢𝐷𝐷 = 90°

2 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 10 cm

3 1,5 cm

4 𝑟𝑟 = 2 cm

5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 cm

6 3 см

7 а) ∢𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵 = 60°; б) 𝑂𝑂𝑃𝑃 = 2𝑟𝑟

8 а) ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°; б) ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝛼𝛼2.

9 в) равностранен

11 квадрат

7.4 Централни ъгли, дъги и хорди

1 𝐸𝐸𝐸𝐸� = 65°;𝐵𝐵𝐵𝐵� = 120°; 𝐵𝐵𝐸𝐸𝐵𝐵� = 180°; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� = 180°; 𝐵𝐵𝐸𝐸� = 48°; 𝐵𝐵𝐸𝐸� = 82°;

𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷� = 270°;𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸� = 307°; 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸� = 233°; 𝐸𝐸𝐵𝐵𝐵𝐵� = 307°.

2 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 60° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120°

3 а) 36°; б) 𝐵𝐵1𝐵𝐵2𝐵𝐵3 = 72°� , 𝐵𝐵1𝐵𝐵10𝐵𝐵8� = 108° и 𝐵𝐵1𝐵𝐵4𝐵𝐵6� = 180°

4 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐴𝐴 = 60° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐴𝐴 = 90°

5 а)∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 90°, ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120°, ∢𝐷𝐷𝑂𝑂𝐵𝐵 = 150°

б) 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷� = 210° и 𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵� = 240°

6 а) 60°; б) 120°; в) 270°

7.5 Диаметър, перпендикулярен на хорда

1 𝐴𝐴𝑂𝑂 = 10 cm, 𝑂𝑂𝑃𝑃 = 5 cm

2 8 cm

3 а) 2,5 cm, 3 cm; б) 8 cm, 6 cm

4 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 3 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 4 cm

5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 20 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 26 cm

6 1 cm

7 3 cm, 0 cm

7.6 Вписан ъгъл

1 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 90° и 𝑧𝑧 = 54°

2 𝑎𝑎 = 101°, 𝑏𝑏 = 67°, 𝑐𝑐 = 84° и 𝑑𝑑 = 80°

3 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 40°,𝐷𝐷𝐸𝐸� = 50°,

∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐸𝐸 = 65° и 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐸𝐸� = 130°

4 ∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐵𝐵 = 55°,∢𝐷𝐷 = 50°

5 ∢𝐵𝐵 = 70°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 50°

6 ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 60°

9 1 cm

7.7 Периферен ъгъл

1 а) ∢1 = 65°, 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 130° ; б) ∢3 = 116°,∢4 = 64°,𝑇𝑇𝑇𝑇𝑆𝑆� = 232°

2 50° или 130°

3 𝑥𝑥 = 35°; 𝑦𝑦 = 55°

4 а) 𝑎𝑎° = 22°, 𝑏𝑏° = 78°, 𝑐𝑐° = 156°; б) 𝑎𝑎° = 26°, 𝑏𝑏° = 64°, 𝑐𝑐° = 42°;

5 а) 80°, 60°, 40°

6 а) 40°, 40°, 100°

7.8 Ъгъл, чийто връх е вътрешна точка за окръжност

1 а) 𝑥𝑥 = 40° ; б) 𝑥𝑥 = 22°,𝑦𝑦 = 108°, 𝑤𝑤 = 104°

2 54°

3 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 75°

4 70° или 140°

5 72° или 108°

6 75° или 105°

7 а) 54° или 126°; б) 30° или 150°

8 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷 = 69°

7.9 Ъгъл, чийто връх е външна точка за окръжност

1 а) 𝑤𝑤 = 250°;

б) 𝑦𝑦 = 40°,

в) 𝑥𝑥 = 60°,𝑦𝑦 = 70°;

2 а) 160° ; б) Сондата е по-близо; когато наблюдател се отдалечава от Земята, то

ъгълът на наблюдение намалява и мярката на дъгата на Земята, която може да

се разглежда, става все по-голяма и доближава 180 °.

3 ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°,∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 10°;

4 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 60°,

∢𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 30°;

5 ∢𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷 = 75°

7.10 Взаимно положение на две окръжности

1 а)вътрешно допирателни; б) 𝑘𝑘2 е вътрешна за 𝑘𝑘1; в) външни

г) пресекателни; д)външно допирателни.

2 а)𝑟𝑟 ∈ (0; 5); б)𝑟𝑟 ∈ (5; 19) ; в) 𝑟𝑟 = 19 cm; г) 𝑟𝑟 = 5 cm; д) 𝑟𝑟 ∈ (19; +∞).

3 30𝜋𝜋 и 12𝜋𝜋

4 10 cm.

5 18 cm

6 15 cm и 10 cm

7 12 cm и 9 cm

7.11 Общи допирателни на две окръжности

1 60° или 120°

2 𝑅𝑅 = 6 cm

7 а) 30°; б) 30°


1 а) принадлежи на окръжността; б) външна за окръжността;

в) външна за окръжността; г) вътрешна за окръжността;

д) принадлежи на окръжността; е) вътрешна за окръжността;

2 а) пресекателна; б) външна; в) допирателна;

3 а) две; б) една; в) нямат общи точки;

4 36°, 144°, 72°, 108°

5 а) ∢1 = 75°, ∢2 = 105° 𝑄𝑄𝑅𝑅𝑃𝑃� = 130° ; б) ∢2 = 65° 𝐾𝐾𝐾𝐾� = 140°

в) 𝑎𝑎° = 30°, 𝑏𝑏° = 60°, 𝑐𝑐° = 62°,𝑑𝑑° = 124°, 𝑠𝑠° = 60°;

г) 𝑎𝑎° = 140°, 𝑏𝑏° = 70°, 𝑐𝑐° = 47,5° д) 𝑥𝑥° = 115°,𝑦𝑦° = 74°;

е) 𝑥𝑥° = 135°, 𝑦𝑦° = 80°; ж) 𝑥𝑥° = 71°,𝑦𝑦° = 65°

6 5 cm

7 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐷𝐷𝐵𝐵 = 11 𝑐𝑐𝑚𝑚;

8 ∢𝐵𝐵1 = 55°,∢𝐵𝐵1 = 65°,∢𝐷𝐷1 = 60°

9 25 cm

11 ∢𝐵𝐵𝑃𝑃𝐵𝐵 = 40° , 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 60°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 140°

12 ∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 78°, ∢𝑇𝑇 = 72° или

∢𝐵𝐵 = 30°, ∢𝐵𝐵 = 42°, ∢𝑇𝑇 = 108°

Раздел 8 Рационални изрази

8.1 Рационални дроби. Дефиниционно множество

1 а) цял; б) дробен; в) цял; г) дробен; д)дробен;

2 а) 8 45; б) 1; в) не е определен за 𝑥𝑥 = −3;

г) не е определен за 𝑥𝑥 = −3

3 а) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ; б) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ; в) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ ; г) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; д) ∀ 𝑥𝑥 ≠ − 12; е) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 2

5;

ж) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 2; з) ∀𝑥𝑥 ≠ −2; 𝑥𝑥 ≠ 13; и) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −5

4; й) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 3±√17

2;

к) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 2; 𝑥𝑥 ≠ 3; л) ∀ 𝑥𝑥 ∈ ℝ ;

м) ∀ 𝑥𝑥 ≠ −𝑎𝑎 при 𝑎𝑎 ≠ 0;

н) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎3

при 𝑎𝑎 ≠ −2;

о) ∀ 𝑥𝑥 ≠ −1; п) ∀ 𝑥𝑥 ≠ 1 при 𝑎𝑎 ≠ 0.

4 а) 𝑥𝑥 = −2; б) 𝑥𝑥 = 5; в) 𝑥𝑥 = −2;𝑦𝑦 = ± 13 ;

г) 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦4

; 𝑥𝑥 = ±3𝑦𝑦; д) 𝑥𝑥 = −1;𝑦𝑦 = −1;

е) 𝑥𝑥 = − 1𝑎𝑎

при 𝑎𝑎 ≠ 0 и при 𝑎𝑎 ≠ 12; ж) 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎;𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎; з) 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎;

5 а) допустими стойности за 𝑥𝑥 са: −2; −1; 1; 1,5; 52; недопутими стойности за

𝑥𝑥 са: 0 и 2;

б) допустими стойности за 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 са: −2; −1; 1; 1,5; 2; 52; недопутими

стойности за 𝑥𝑥 и 𝑦𝑦 са: 0 ;

в) допустими стойности за 𝑥𝑥 са: −1; 1; 1,5; 2; 52; недопутими стойности за 𝑥𝑥

са: 0 и − 2; допустими стойности за 𝑧𝑧 са: −2; 0; 1,5; 2; 52; недопутими

стойности за 𝑧𝑧 са: −1 и 1;

г) ако 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 допустими стойности са −2; −1; 0; 1; 1,5; 2; 52; ако 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦

недопустими стойности са −2; −1; 0; 1; 1,5; 2; 52; допустими стойности за 𝑎𝑎

са: −2; −1; 1,5; 2; 52 ; недопустими стойности за 𝑎𝑎 са: 0 и 1.

8.2 Основно свойство на рационалните дроби. Съкращаване и разширяване на

рационални дроби

1 а) 1𝑥𝑥2

; б)5𝑥𝑥2; в) 5𝑥𝑥2; г) 1𝑦𝑦; д) 𝑦𝑦

4𝑥𝑥; е)−𝑥𝑥2𝑦𝑦3

6; ж) 1

3; з) 1

𝑥𝑥−7; и) 𝑥𝑥+2

𝑥𝑥−5; к) 𝑥𝑥−3

𝑥𝑥; л) 𝑥𝑥

𝑥𝑥−1

2 а) 19; б) 𝑥𝑥 + 8; в) 3𝑥𝑥; г) 5

2𝑥𝑥; д) 3

4.

3 а) 𝑥𝑥−5𝑥𝑥+5

; б) 2 𝑥𝑥+5

; в) 𝑥𝑥−35

; г)−𝑥𝑥+4𝑥𝑥

; д) 𝑥𝑥+7𝑥𝑥−7

; е) 𝑥𝑥−62(𝑥𝑥+6); ж) 5𝑥𝑥−1

5𝑥𝑥+1

з) 𝑥𝑥+3𝑥𝑥−3

; и)𝑥𝑥−5𝑥𝑥+7

; к) 𝑥𝑥+42𝑥𝑥−3

л) 2𝑥𝑥2𝑥𝑥−3

; м) 2𝑥𝑥−33𝑥𝑥−2

; н) 5𝑥𝑥−16𝑥𝑥+5

; о)− 𝑥𝑥+3(𝑥𝑥−3)2; п) 𝑥𝑥+3

𝑥𝑥2−3𝑥𝑥+9.

4 а) 𝑥𝑥𝑦𝑦; б) 𝑥𝑥+2

𝑥𝑥; в) −1

𝑎𝑎+1; г) 𝑎𝑎+𝑏𝑏

𝑎𝑎−𝑏𝑏; д) 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2; е) 1

𝑥𝑥−𝑦𝑦.

5 а) 6𝑥𝑥2 𝑦𝑦3𝑧𝑧

24𝑥𝑥5𝑦𝑦𝑧𝑧; б) 4𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥+1)

8𝑥𝑥2(𝑥𝑥−2) ; в) 𝑦𝑦(5𝑥𝑥+1)(𝑦𝑦−1)𝑦𝑦(25𝑥𝑥2−1) ; г) 𝑥𝑥2−4

𝑥𝑥2−5𝑥𝑥+6; д)�𝑎𝑎

2−𝑏𝑏2��𝑎𝑎2−1�𝑎𝑎4−1

;

е)5𝑥𝑥2𝑦𝑦2(𝑥𝑥+𝑦𝑦)�𝑥𝑥2+𝑦𝑦2�

𝑥𝑥4−𝑦𝑦4

8.3 Привеждане на рационални дроби към общ знаменател

1 а) 5𝑥𝑥2

12𝑥𝑥 и 22

12𝑥𝑥; б) 38𝑥𝑥

2

4𝑥𝑥3 и 5

4𝑥𝑥3; в) 34𝑥𝑥

8𝑦𝑦2 и 2𝑦𝑦

8𝑦𝑦2;

г) 35𝑦𝑦2−5𝑥𝑥𝑦𝑦2

10𝑥𝑥2𝑦𝑦3 и 4𝑥𝑥

10𝑥𝑥2𝑦𝑦3; д) 14−4𝑥𝑥

18𝑥𝑥2𝑦𝑦3 и 6𝑥𝑥

18𝑥𝑥2𝑦𝑦3;

2 а) 𝑥𝑥 𝑥𝑥−2

и − 1 𝑥𝑥−2

; б) 𝑥𝑥−3 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥

и 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2−4𝑥𝑥; в) 3𝑥𝑥2+9𝑥𝑥

(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) и 𝑥𝑥+1(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3); г) 1

𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) и 𝑥𝑥2

𝑥𝑥(𝑥𝑥−1) ;

д) 9𝑥𝑥3−18𝑥𝑥

7(𝑥𝑥−2)2 и 42𝑥𝑥

7(𝑥𝑥−2)2;

е) 2𝑦𝑦+6 12𝑦𝑦2+36𝑦𝑦

и 9𝑥𝑥𝑦𝑦12𝑦𝑦2+36𝑦𝑦

; ж) 2𝑥𝑥−4(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2)

и 5𝑥𝑥+15(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−2); з) −6𝑥𝑥−30

(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+5) и 4𝑥𝑥−4

(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+5);

и) 3𝑥𝑥 3𝑥𝑥+18

и 103𝑥𝑥+18

; й) 48 4𝑥𝑥+20

и 𝑥𝑥4𝑥𝑥+20

.

3 а) 2𝑥𝑥2+𝑥𝑥5(2𝑥𝑥−1)3(2𝑥𝑥+1)

и 5(2𝑥𝑥−1)2

5(2𝑥𝑥−1)3(2𝑥𝑥+1); б) −𝑥𝑥2+7𝑥𝑥−12

2𝑥𝑥(𝑥𝑥−4)2 и 4𝑥𝑥

2𝑥𝑥(𝑥𝑥−4)2; в) 𝑥𝑥2(𝑥𝑥+3)(3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+3)2

и

𝑥𝑥2(3−𝑥𝑥)(3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+3)2

; г) 40𝑥𝑥2(𝑥𝑥−6)5𝑥𝑥(1−6𝑥𝑥)(𝑥𝑥−6)

и 13𝑥𝑥2(1−6𝑥𝑥)5𝑥𝑥(1−6𝑥𝑥)(𝑥𝑥−6); д) 9𝑥𝑥2(𝑥𝑥−4)

7(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−4) и 42𝑥𝑥(𝑥𝑥−2)

7(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−4) ; е) 2𝑥𝑥+26(𝑥𝑥+1)2

и

246(𝑥𝑥+1)2; ж) (19𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥−3)

4(𝑥𝑥−3)2 и 6

4(𝑥𝑥−3)2.

4 а) 𝑥𝑥2−1(3𝑥𝑥+1)2(𝑥𝑥−1)

и −3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+1(3𝑥𝑥+1)2(𝑥𝑥−1)

; б) 𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−14𝑥𝑥−24

2𝑥𝑥(𝑥𝑥2−16)(𝑥𝑥+3) и 2𝑥𝑥3+8𝑥𝑥2

2𝑥𝑥(𝑥𝑥2−16)(𝑥𝑥+3);

в) 𝑥𝑥−4 (𝑥𝑥2−4)(𝑥𝑥−4) и 4𝑥𝑥+8

(𝑥𝑥2−4)(𝑥𝑥−4); г) 5𝑥𝑥2+16𝑥𝑥+3(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+3)

и 3𝑥𝑥2+12𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+3);

д) 4𝑥𝑥+28(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+7)(𝑥𝑥+3)

и 4𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+7)(𝑥𝑥+3) ; е) 4𝑥𝑥3−2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥

(𝑥𝑥2−1)(6𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1) и 21𝑥𝑥2+28𝑥𝑥+7

(𝑥𝑥2−1)(6𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+1);

ж) 9𝑥𝑥3−6𝑥𝑥2−3𝑥𝑥(𝑥𝑥2−1)(12𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+1)

и 20𝑥𝑥2+25𝑥𝑥+5(𝑥𝑥2−1)(12𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+1).

5 а) 2𝑥𝑥2+4𝑥𝑥

2𝑥𝑥3+16 ; 3𝑥𝑥

2−6𝑥𝑥+122𝑥𝑥3+16

и 22𝑥𝑥3+16

; б) −5𝑥𝑥2−15𝑥𝑥−4527𝑥𝑥−𝑥𝑥4

; 3𝑥𝑥2−𝑥𝑥3

27𝑥𝑥−𝑥𝑥4 и 𝑥𝑥

27𝑥𝑥−𝑥𝑥4 ;

в) 𝑥𝑥4−5𝑥𝑥3+25𝑥𝑥2

(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125) ; 𝑥𝑥

3+10𝑥𝑥2+25𝑥𝑥(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125)

и 𝑥𝑥+5(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥3+125)

.

6 в

7 г

8 б

8.4 Събиране и изваждане на рационални дроби

1 а)𝑥𝑥; б) 2𝑥𝑥 ; в) 710𝑥𝑥

, 𝑥𝑥 ≠ 0; г) 4𝑥𝑥9

; д) 𝑥𝑥5; е) 4

3𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0

2 а) 4,𝑚𝑚 ≠ −6 ; б) 8, 𝑦𝑦 ≠ −2; в) 5𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≠ 1; г) 4𝑎𝑎+5

, 𝑎𝑎 ≠ −5,𝑎𝑎 ≠ 3;

д) 3𝑦𝑦+5

,𝑦𝑦 ≠ −5,𝑦𝑦 ≠ 2; е) 1𝑥𝑥−1

, 𝑥𝑥 ≠ −6, 𝑥𝑥 ≠ 1;

3 а) 12+𝑥𝑥2

4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥

3; в) 3𝑥𝑥

8; г) 5𝑥𝑥

6; д) 5

6𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0; е) 1

4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0 ; ж) 5𝑥𝑥+2

6; з) 9𝑥𝑥−7

20;

и) 𝑥𝑥9; й) 2𝑥𝑥+5

(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ −2 ; к) 𝑥𝑥−2(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −2 ;

л) 4(2𝑥𝑥+3)(2𝑥𝑥−1) , 𝑥𝑥 ≠ −3

2, 𝑥𝑥 ≠ 1

2

4 а) 23(𝑥𝑥+1) , 𝑥𝑥 ≠ −1; б) 𝑥𝑥

(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −2;

в) 3𝑥𝑥+5𝑥𝑥2−4

, 𝑥𝑥 ≠ ±2; г) 1𝑥𝑥−1

, 𝑥𝑥 ≠ 12

, 𝑥𝑥 ≠ 1;

д) 𝑥𝑥−12(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −3; е) 2𝑥𝑥

2+7𝑥𝑥+48𝑥𝑥(𝑥𝑥+1) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 0; ж) 3𝑥𝑥

9−𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 ≠ ±3;

з) 3𝑥𝑥+20(𝑥𝑥+4)(𝑥𝑥+5)(𝑥𝑥+6) , 𝑥𝑥 ≠ −4, 𝑥𝑥 ≠ −5, 𝑥𝑥 ≠ −6;

и) 2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−46(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥−5)(𝑥𝑥−6) , 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 5, 𝑥𝑥 ≠ 6;

й) 14−𝑥𝑥2

, 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ −10; к) 𝑛𝑛+44𝑛𝑛(𝑛𝑛−2)(𝑛𝑛−1) ,𝑛𝑛 ≠ 0,𝑛𝑛 ≠ 2,𝑛𝑛 ≠ 1;

л) 7𝑦𝑦+1510𝑦𝑦(𝑦𝑦−3)(𝑦𝑦−2) ,𝑦𝑦 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 3,𝑦𝑦 ≠ 2.

5 𝐵𝐵 = 4

8.5 Умножение, деление и степенуване на рационални дроби

1 а) 12𝑎𝑎5𝑏𝑏2

, 𝑏𝑏 ≠ 0; б)−2𝑞𝑞3

, 𝑞𝑞 ≠ 0, 𝑝𝑝 ≠ 0; в) 214𝑦𝑦

, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0;

г) 12𝑥𝑥

, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0 ; д) 𝑥𝑥4, 𝑥𝑥 ≠ 0; е)14

, 𝑥𝑥 ≠ 0 ; ж) 𝑏𝑏2

6, 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 ≠ 0 ;

з)− 𝑥𝑥2

2𝑦𝑦6, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0.

2 а) 3𝑥𝑥+1

, 𝑥𝑥 ≠ ±1, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥2

10, 𝑥𝑥 ≠ 7; в) 1

𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 6, 𝑥𝑥 ≠ 0;

г) 13

, 𝑥𝑥 ≠ −1; д) 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ −1; е) 𝑚𝑚+𝑛𝑛𝑚𝑚−𝑛𝑛

,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0; ж) 𝑚𝑚−𝑛𝑛𝑚𝑚+𝑛𝑛

,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0.

3 а) 5−3𝑥𝑥2𝑥𝑥(𝑥𝑥+2) , 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) 𝑥𝑥+5

𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ 5; в) 𝑎𝑎+3

𝑎𝑎+2,𝑎𝑎 ≠ ±2;

г) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥2−16

, 𝑥𝑥 ≠ ±4, 𝑥𝑥 ≠ −5; д) 𝑥𝑥2−3𝑥𝑥−28

𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−77, 𝑥𝑥 ≠ 11, 𝑥𝑥 ≠ −7, 𝑥𝑥 ≠ −5, 𝑥𝑥 ≠ 4.

4 а) 𝑏𝑏2

8𝑎𝑎2,𝑎𝑎 ≠ 0; б) 2𝑥𝑥

4

3, 𝑥𝑥 ≠ 0; в) 9𝑦𝑦

2,𝑦𝑦 ≠ 0; г) 12

𝑦𝑦6, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0; д) 14

9𝑏𝑏2,𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 ≠ 0.

5 а) 3𝑥𝑥−154

, 𝑥𝑥 ≠ 5; б) 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −6; в) 𝑥𝑥 + 3, 𝑥𝑥 ≠ −3;

г) 3𝑥𝑥3(𝑥𝑥−1) , 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±1; д)− 𝑥𝑥

3

𝑎𝑎+𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ≠ ±𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ≠ 0;

е) 𝑚𝑚2 − 𝑛𝑛2,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0; ж) 𝑚𝑚−𝑛𝑛𝑚𝑚+𝑛𝑛

,𝑚𝑚 ≠ ±𝑛𝑛,𝑚𝑚 ≠ 0.

6 а)1, 𝑥𝑥 ≠ 4, 𝑥𝑥 ≠ −13; б)𝑥𝑥+2

3−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ 7; в)− 𝑥𝑥+4

𝑥𝑥+6, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −6;

г) 𝑥𝑥+2𝑥𝑥−3

, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑥𝑥 ≠ −5; д) 120𝑥𝑥+100

, 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −32

, 𝑥𝑥 ≠ −5.

7 а) 𝑥𝑥2

, 𝑥𝑥2 ≠ 𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≠ 0; б) (3−𝑥𝑥)(𝑥𝑥+1)(2𝑥𝑥+3)2 , 𝑥𝑥 ≠ ±1, 𝑥𝑥 ≠ −3, 𝑥𝑥 ≠ − 3

2;

в) 5𝑎𝑎(2𝑎𝑎+𝑏𝑏)(3𝑎𝑎−2𝑏𝑏)𝑏𝑏2(𝑎𝑎+2𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑏𝑏) ,𝑎𝑎 ≠ ±2𝑏𝑏,𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 ≠ 0; г) 𝑥𝑥

2𝑦𝑦2−𝑥𝑥𝑦𝑦12

, 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦.

8 а) 49𝑢𝑢2

25𝑣𝑣2𝑡𝑡2, 𝑣𝑣 ≠ 0, 𝑡𝑡 ≠ 0; б) 2

𝑥𝑥+1, 𝑥𝑥 ≠ ±1;

в) 9𝑥𝑥2(𝑥𝑥+3)3(𝑥𝑥−3)

𝑧𝑧, 𝑥𝑥 ≠ 3, 𝑧𝑧 ≠ 0; г) (𝑧𝑧+2)4

𝑧𝑧6(2−𝑧𝑧)2 , 𝑧𝑧 ≠ 2, 𝑧𝑧 ≠ 0.

8.6 Преобразуване на рационални изрази

1 а) 92𝑥𝑥−3

, 𝑥𝑥 ≠ ± 32 ; б) 1

𝑥𝑥−𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≠ ±𝑦𝑦 ; в) 2𝑎𝑎

𝑏𝑏+3, 𝑏𝑏 ≠ ±3,𝑎𝑎 ≠ −2, 𝑎𝑎 ≠ 0;

г) 22−𝑥𝑥

, 𝑥𝑥 ≠ 2, 𝑥𝑥 ≠ ±5 ; д) 23𝑥𝑥−5

, 𝑥𝑥 ≠ ± 53

, 𝑥𝑥 ≠ −2, 𝑥𝑥 ≠ −1;

е) 𝑥𝑥+2𝑦𝑦𝑥𝑥−2𝑦𝑦

,𝑦𝑦 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2𝑦𝑦; ж) 2𝑥𝑥3𝑥𝑥−12

, 𝑥𝑥 ≠ 4, 𝑥𝑥 ≠ ±2;

з) 𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑎𝑎

,𝑎𝑎 ≠ 0,𝑎𝑎 ≠ ±𝑏𝑏; и)−14

,𝑎𝑎 ≠ ±3; й) 2𝑥𝑥+1𝑥𝑥

, 𝑥𝑥 ≠ − 12

, 𝑥𝑥 ≠ 0.

3 а)−1, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2𝑦𝑦 ; б) 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ ±2, 𝑥𝑥 ≠ 3

4 а) −14; б) √3−√2

18

8.7 Дробни уравнения

1 а)𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥1 = 0 и 𝑥𝑥2 = 35 ; б) 𝑥𝑥 = −7; няма решение; 𝑥𝑥 = 3;

в) 𝑎𝑎 = 1; 𝑥𝑥 = 2;

г) 𝑎𝑎1 = −4 и 𝑎𝑎2 = 3; 𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 10; 𝑡𝑡1 = −2 и 𝑡𝑡2 = 8; 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = 16

2 а)𝑦𝑦 = 5; 𝑎𝑎 = −1; няма решение; няма решение;

б) 𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥1 = −4 и 𝑥𝑥2 = 6; 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = 12;

в) 𝑟𝑟 = 3; 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥1 = −11 и 𝑥𝑥2 = 1; 𝑡𝑡1 = −12 и 𝑡𝑡2 = −6;

3 а)𝑥𝑥1,2 = ±1 ; б) 𝑥𝑥1 = 12 и 𝑥𝑥2 = 2;

в)𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 3 ; г) 𝑥𝑥1 = 0 и 𝑥𝑥2 = 1.

8.8 Моделиране с дробни уравнения

1 Синди – 10 часа, Мери – 15 часа

2 9 часа; 11часа и 15 мин

3 зидар - 10 дни, чирак – 14 дни

4 10мин; 15 мин

5 Автобус – 45 km/h, кола – 60 km/h;

6 6 km/h;

7 10 km/h

8 30 km/h;

9 2 часа и 3 часа

10 15 km/h

11 1,8 t и 1,2 t

12 𝐵𝐵 = 38.

13. 𝐵𝐵 = 46

14 16 cm

15 5 cm


1 а) 1𝑎𝑎+𝑏𝑏

, 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏,𝑎𝑎 ≠ 43𝑦𝑦; б) −𝑥𝑥

2, 𝑥𝑥 ≠ 5

3 ; в) 1−5𝑥𝑥

𝑥𝑥2−3𝑥𝑥+9, 𝑥𝑥 ≠ −3;

г) 𝑥𝑥 + 4, 𝑥𝑥 ≠ −4

2 а) 11𝑎𝑎+𝑥𝑥6𝑎𝑎−6𝑥𝑥

, 𝑎𝑎 ≠ 𝑥𝑥,𝑎𝑎 ≠ 2; б) 2−6𝑦𝑦(1+3𝑦𝑦)2 , 𝑦𝑦 ≠ ± 1

3, 𝑥𝑥 ≠ 0; в) (𝑥𝑥−3𝑦𝑦)(2𝑥𝑥+3𝑦𝑦)

9𝑥𝑥𝑦𝑦2, 𝑥𝑥 ≠

±3𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ≠ 0,𝑦𝑦 ≠ 0;

г) 𝑥𝑥−104𝑥𝑥(𝑥𝑥−4) , 𝑥𝑥 ≠ ±4, 𝑥𝑥 ≠ 0

3 а)−1 1935

; б) 𝑎𝑎 = 1, а изразът не е дефиниран за тази стойност ; в) 2√2; г) 0;

5 а) 1; б) 0; в) 1; г) 3

6 а)няма реални корени; б) 𝑥𝑥 = −1,6; в) 𝑦𝑦1 = −3 и 𝑦𝑦2 = −1;

г) 𝑥𝑥 = −6; д) няма решение; е) 𝑥𝑥 = 19; ж) няма реални корени;

з) 𝑥𝑥1,2 = −4 ± 2√2

7 а) 𝑥𝑥1 = 1 и 𝑥𝑥2 = 10

3; б)𝑥𝑥1,2 = ±�3+√13

2 и 𝑥𝑥3,4 = ±�−1+√5

2 ;

в) 𝑥𝑥1,2 = −3±√172

и 𝑥𝑥3,4 = −3±√52

; г) 𝑥𝑥1,2 = ± 12 и 𝑥𝑥3,4 = ± 7

2.

8 100 km/h

9 15 km/h

10 12 дни

11 15 часа и 18 часа

12 7 cm;

13 85

14 12

15 54

Раздел 9 Вписани и описани многоъгълници

9.1 Окръжност, описана около триъгълник

2 а) вътешна за триъгълника; б) средата на хипотенузата; в) външна за

триъгълника

3 𝑅𝑅 = 6 cm

4 𝑅𝑅 = 4,5 cm

5 а) 𝑅𝑅 = 6 cm б) 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 4 cm

6 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 4 cm

7 12 cm

8 г

9 в

11 30°, 60° и 90°

12 67,5°, 22,5°, 90°

9.2 Окръжност, вписана в триъгълник

1 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑅𝑅 = 3,5 cm, 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑄𝑄 = 2,5 cm, 𝐷𝐷𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 4,5 cm

2 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 8 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm

4 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 8 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 10 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm;

5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 2,5 cm;

7 𝑄𝑄𝑅𝑅 = |𝑏𝑏−𝑐𝑐|2

8 |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|

9 2𝑅𝑅 + 2𝑟𝑟

10 25 cm

11 30 cm

12 30°, 60°

9.3 Външно вписани окръжности

1 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑅𝑅 = 21 cm, 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑄𝑄 = 9 cm, 𝐷𝐷𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝑅𝑅 = 5 cm;

2 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 8 cm и 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 6 cm;


4 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 2,5 cm;

5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = |𝑎𝑎−𝑏𝑏|2

6 а) |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|; б) равнобедрен

8 5 cm

9 𝑟𝑟 = 2 cm, 𝑆𝑆 = 30 cm2

10 𝑆𝑆 = 𝑟𝑟. 𝑟𝑟𝑐𝑐

9.4 Ортоцентър на триъгълник. Забележителни точки в триъгълника

1 а) вътрешна; б) съвпада с върха на правия ъгъл; в) външна

8 ℎ = 3𝑟𝑟

13 ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐵𝐵 = 108°;

9.5 Четириъгълник, вписан в окръжност

1 а) не; б)да; в) не; г) не; д)не

2 а)∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐷𝐷 = 110°,∢𝐵𝐵 = 90°;

б)∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 105°

в) ∢𝐵𝐵 = 30°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 150°,∢𝐵𝐵 = 120°;

3 ∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 120°;

4 90°, 150°, 90°

5 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 6 cm;

6 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 60°, ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 120°

7 𝑅𝑅 = 10 cm;

9 ∢𝐵𝐵 = 55°,∢𝐴𝐴 = 55°,∢𝑂𝑂 = 70°;

12 а) отговор:180° − 2𝛼𝛼, 180° − 2𝛽𝛽, 180° − 2𝛾𝛾

9.6 Четириъгълник, описан около окръжност

1 а) да; б) не; в) да; г) да; д) да

2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 32 𝑐𝑐𝑚𝑚, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 24 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐷𝐷𝐵𝐵 = 40 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 48 𝑐𝑐𝑚𝑚;

3 63 cm2

5 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 21 𝑐𝑐𝑚𝑚,𝐵𝐵𝐵𝐵 = 19 𝑐𝑐𝑚𝑚;

6 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 𝑐𝑐𝑚𝑚 ;

7 18 cm2

9 𝑟𝑟 = 3 𝑐𝑐𝑚𝑚

10 Средна основа = 5 cm и 𝑆𝑆 = 20 cm2


1 𝑅𝑅 = 6 cm

2 12 cm

3 в


5 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 1 cm

7 24 cm

8 30°, 60°


10 𝑄𝑄𝑅𝑅 = 0,5 cm

11 а)не; б)не; в)да

12 а) ∢𝐵𝐵 = 90°,∢𝐵𝐵 = 110°,∢𝐷𝐷 = 90°,∢𝐵𝐵 = 70°

б) ∢𝐵𝐵 = 120°,∢𝐵𝐵 = 80°,∢𝐷𝐷 = 60°,∢𝐵𝐵 = 100°

13 90°, 30°, 90°

14 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 75°, ∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 105°

15 а) 𝑆𝑆 = 100 cm2 ; б) 𝑃𝑃 = 25,4 cm

16 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 7 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 1 cm

Раздел 10 Еднаквости в равнината

10.1 Еднаквости в равнината

1 а) да; б) да; г) не, фигурите не са с еднакви размери

2 а) транслация, отражение, ротация; б) транслация, ротация, отражение;

в) отражение, транслация, ротация

3 а) т. U, т. P; б) NI ≅ SU

4 а) ∆LKJ б) ∆CAB в) ∆DFE

5 a = 10m; b = 42; c = 11; d = 4m; x = 20

10.3 Ротация

5 т. A

6 а) т. R б) SE в) т. Q г) т. Q

8 а) 270° б) 15427

9 а) 280°


1 а) да б) да в) не

2 а) Q →Q’ б) QR ≅ Q’R’; RS ≅ R’S’; SP ≅ S’P’; PQ ≅ P’Q’

3 а) ротация; б) отражение; в) транслация

5 y = 10; z = 3; q = 5

6 1 блок на запад и 7 блока на север

13 а) H б) EH в) EH г) H

14 32 cm2

16 а) 11,25° б) 15 в) 168,75°

18 x1 = x, y1 = -y; x2 = -x, y2 = y

19 Да, ъгълът на ротация на композиция от две ротации е сумата на ъглите от двете

ротации.

20 ρ (O, ±90o), ρ (O, ±180o)

22 а), б), в) пресечната точка на диагоналите

Раздел 11 Годишен преговор

11.3 Триъгълник и трапец

12 60о, 120о

11.4 Квадратен корен

1 б

2 г

3 г

4 б

5 в

6 а) -1; б) -3,1; в) −15√3; г) −10√2; д) 11−2√2 + √6; е) 12−4√3 + √10

7 а) √3 + √2; б) 7−3√21 + 4√2

8 а) 2𝑥𝑥; б) 2𝑦𝑦 + 2�𝑥𝑥2−𝑦𝑦2

9 а) √3 − 1; б) √5 − √3; в) √10 − √5; г) √3 − √2 + 1

11.5 Квадратно уравнение

1 а) 0;4 б) 2; −13; в) �5;− 3; г) няма реални корени

2 а) ±√6 ; ±2 б) 1; -3; -1±√3

3 𝑘𝑘 > − 116

4 а) 3; −43 б) 2; −21

4; в) -8;2

5 а) −32

;−7 б) -3; в) 32; г) 67

6 а) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 15 б) 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 10 в) 8𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 1

11.6 Окръжност

1 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 13 cm, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 15 cm

2 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 10 cm , 𝐷𝐷𝐵𝐵 = 14 cm

3 а) 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 100°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 120°, 𝐷𝐷𝐵𝐵� = 140°;

б) ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 100°, ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐷𝐷 = 120° и ∢𝐷𝐷𝑂𝑂𝐵𝐵 = 140°

в)∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝐵𝐵 = 70°,∢𝐷𝐷 = 50° ;

г) ∢𝐴𝐴 = 80°,∢𝑂𝑂 = 40°,∢𝑃𝑃 = 60°

4 а) 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 120°, 𝐵𝐵𝐷𝐷� = 90°, 𝐷𝐷𝐵𝐵� = 60°, 𝐵𝐵𝐵𝐵� = 90°;

б)∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 75°,∢𝐷𝐷 = ∢𝐵𝐵 = 105° равнобедрен трапец;

в)∢𝐴𝐴 = 60°,∢𝑂𝑂 = ∢𝑄𝑄 = 90°,∢𝑃𝑃 = 120° и може да се впише в окръжност.

6 10°, 70°, 60°

11.7 Рационални изрази

1 а) 𝑥𝑥+62𝑥𝑥+3

, 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −32; б) 5−𝑥𝑥

𝑥𝑥−3, 𝑥𝑥 ≠ ±3

2 а) 𝑥𝑥+7𝑥𝑥+1

, 𝑥𝑥 ≠ −8, 𝑥𝑥 ≠ 1; б) 𝑥𝑥𝑥𝑥−7

, 𝑥𝑥 ≠ ±7

4 а) 4; б)−56

6 а) 𝑥𝑥 = 2; б) 𝑥𝑥 = −2; в) 𝑥𝑥 = 4,2; г) 𝑥𝑥 = 2

7 а) 𝑥𝑥1 = −1 и 𝑥𝑥2 = −14; б) 𝑥𝑥1,2 = −3±3√5

2 и 𝑥𝑥3,4 = −3±√21

2

8 а) 1700 m; б) 7:10

9 а) по 6 здачи; б) 18 задачи

11.8 Вписани и описани многоъгълници

1 ∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵 = 60°,∢𝑃𝑃 = ∢𝑄𝑄 = 120° , ∢𝑂𝑂𝐵𝐵𝐷𝐷 = 50° и ∢𝐵𝐵𝑂𝑂𝐵𝐵 = 160°

2 30°

3 2 cm

4 а) |𝑎𝑎 − 𝑐𝑐|; б) равностранен

5 24

6 а) 55°, 55°; б)110°, 35°, 35°; в)30°, 30°, 120°

7 а) 180° − 2𝛼𝛼, 180° − 2𝛽𝛽, 180° − 2𝛾𝛾

8 36°, 36°, 108°

9 30°, 60°, 90°

10 67,5°, 22,5°, 90°

11.9 Едноквости в равнината

3 а) H; в) BC; д) LM; ж) I

4 D

W

канал

P

W’

Образът на т. W спрямо оста (канала) е т. W’. Начертайте DW’. Кметствата трябва да

построят станцията в т. Р, където DW’ пресича оста (канала).

Documents

МАТЕМАТИКА за 8. клас Издателство САНПРО, по лиценз на … · МАТЕМАТИКА за 8. клас. Издателство САНПРО,