1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Физика

Механика. Молекулярная физика и термодинамика.

Электростатика

Методические указания и задания к контрольной работе № 1

по трех- и четырехсеместровому курсам физики

для студентов технических специальностей заочной формы обучения

Екатеринбург

УрФУ

2010

2

УДК 530(075.8)

Составитель Н. А. Звездина

Научный редактор доц., канд. физ.-мат. наук А. Г. Андреева

ФИЗИКА. Механика. Молекулярная физика и термодинамика.

Электростатика : метод. указания и задания к контрольной работе № 1 / сост. Н.

А. Звездина. Екатеринбург : УрФУ, 2010. 66 с.

Приведены методические указания к решению задач, примеры решения

типичных задач, задания и таблица вариантов контрольной работы № 1.

Задания составлены в соответствии с действующей рабочей программой

по физике для студентов технических специальностей заочной формы обучения

(трех- и четырехсеместровый курс). Они могут быть использованы также

студентами очной формы обучения в качестве домашних заданий.

Библиогр.: 10 назв.

Подготовлено кафедрой физики.

© УрФУ, 2010

3

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящих методических указаний является оказание помощи

студентам-заочникам инженерно-технических специальностей высших

учебных заведений в изучении курса физики.

Учебный материал программы курса разделен на четыре раздела.

Каждому разделу соответствует определенная контрольная работа.

По каждой теме заданий контрольной работы приведены основные

формулы и законы, необходимые для решения задач, а также подробные

решения типичных задач и примеры их оформления.

Даны таблицы вариантов и тексты задач контрольных работ.

Кроме того, здесь же приведены общие методические указания, которые

необходимо учитывать при выполнении и оформлении контрольных заданий.

Обязательно внимательно прочитайте указания, приведенные ниже, и

учтите все рекомендации по оформлению и срокам выполнения работ!

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная

работа над учебным материалом. Для облегчения этой работы в периоды

экзаменационных сессий читаются лекции и проводятся лабораторные работы.

Процесс изучения физики состоит из следующих этапов:

I. Самостоятельная работа над учебниками и учебными пособиями

[1 – 10]. О правилах самостоятельной работы студентов над учебными

пособиями подробно говорится на установочных лекциях, которые обычно

читаются в УрФУ перед началом изучения каждой части курса физики;

4

сроки этих лекций сообщаются студентам-заочникам деканатом заочного

факультета.

II. Выполнение контрольных работ.

III. Прохождение лабораторного практикума.

IV. Сдача зачетов и экзаменов.

Самостоятельная работа

При самостоятельной работе над учебным материалом необходимо:

1. Изучать курс физики систематически в течение всего семестра. Изуче-

ние материала курса только лишь перед экзаменом не позволит получить

глубокие и прочные знания.

2. В качестве основного учебного пособия использовать один из рекомен-

дованных учебников, чтобы не утрачивалась логическая связь между

отдельными вопросами. В конце методического пособия приведен список

литературы для самостоятельной работы над материалом курса.

3. Составлять конспект при работе над учебным материалом, в котором

записывать законы и формулы, выражающие эти законы, определения

основных физических величин и сущность физических явлений и методов

исследования.

4. Решить контрольные работы. Контрольные работы призваны закрепить

теоретический материал и позволить более глубоко разобраться в материале

при решении конкретных задач.

5. Прослушать курс обзорных лекций по физике для студентов-заочников,

организуемый в начале каждой сессии. Пользоваться очными консультациями

преподавателей.

Выполнение контрольных работ

При выполнении контрольных работ студенту необходимо

руководствоваться следующим:

5

1. Номер варианта контрольной работы определяется последней цифрой

его шифра. Шифр – номер зачетной книжки. Номера задач каждого варианта

определяются таблицей вариантов, приведенной в указаниях.

2. Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетради, на

лицевой стороне которой (на обложке) приводятся сведения по следующему

образцу:

Студент заочного факультета УрФУ

специальность

Андреев И. В.

Шифр 253720

Адрес: 620460, г. Верхняя Салда,

ул. Восточная, д. 16, кв. 54

Контрольная работа № 1 по физике

3. Условия задач в контрольной работе переписываются полностью без

сокращений. На страницах тетради оставляются поля для замечаний

преподавателя и после каждой решенной задачи необходимо оставлять место

для замечаний преподавателя и для ответа на эти замечания. Каждая

следующая задача должна начинаться с новой страницы.

4. В конце контрольной работы указывается, каким основным учебником

или учебным пособием пользовался студент при изучении курса физики

(название, автор, год издания).

5. На рецензию следует высылать одновременно не более одной работы

во избежание одних и тех же ошибок. Очередную работу нужно высылать

только после получения рецензии на предыдущую работу.

6. Если контрольная работа при первой проверке не зачтена, то студент

обязан представить ее на повторную проверку не позднее чем за две недели до

начала сессии, включив в нее те задачи, решение которых оказалось неверным.

Зачтенные задачи заново переписывать не надо. Если работа для повторной

6

проверки переписана заново, то ее надо представлять вместе с уже проверенной

работой.

7. Защита выполненных, но незачтенных работ производится во время

экзаменационной сессии в форме собеседования с преподавателем (дни и часы

защиты работ указываются в расписании).

8. В том случае, когда работа зачтена, студенту отсылается только

обложка работы с отметкой преподавателя и его росписью.

Обложка зачтенной контрольной работы предъявляется экзаменатору

перед началом экзамена.

Указания к решению и оформлению задач

1. Записать условие задачи полностью.

2. Выписать численные данные и перевести их в Международную систему

измерения физических величин (СИ).

3. Выполнить чертеж или рисунок, поясняющий содержание задачи, показав

на нем соответствующие обозначения физических величин, используемых при

решении именно этой задачи.

4. Проанализировать условия задачи и указать основные законы, которые

нужно применить для решения, указать, почему их можно применить и

записать их аналитическую форму. Пояснить буквенные обозначения

физических величин, входящих в эти формулы. Если величины векторные, то

на рисунке показать их направления и пояснить, как определяются эти

направления.

Если при решении задач применяется частная формула, не выражающая

какой-нибудь закон или не являющаяся определением какой-либо физической

величины, то ее следует вывести.

5. Необходимо сопровождать весь ход решения задачи краткими, но исчер-

пывающими пояснениями. Результатом анализа и решения задачи является

составление системы уравнений, которая включает в себя все искомые

величины.

7

6. Получить решение задачи в аналитическом виде, т. е. выразить искомые

величины через заданные величины в буквенном виде и стандартные

физические постоянные.

7. Подставить в полученную формулу численные значения всех величин,

выраженных в системе СИ. Произвести вычисления и получить искомый

результат. Записать ответ, указав единицы измерения искомой величины.

Проанализировать полученный результат.

Чтобы разобраться в предложенных задачах и выполнить контрольную

работу правильно, следует после изучения теории очередного раздела учебника

внимательно разобрать помещенные в настоящих указаниях примеры решения

типовых задач, близких по уровню сложности к задачам контрольной работы.

Выполнение лабораторных работ

Лабораторные работы выполняются студентами-заочниками в

лабораториях кафедры физики УрФУ в периоды экзаменационных сессий, часы

и даты этих занятий указываются в сессионном расписании.

Сдача зачетов и экзаменов

После выполнения всех видов работ, предусмотренных учебным планом,

студенты сдают экзамен или зачет. Расписание контрольных мероприятий

составляется деканатом заочного факультета.

На экзамен или зачет студент должен явиться, имея при себе зачетную

книжку, в которой должна быть запись преподавателя о том, что лабораторные

работы студент выполнил. Кроме этого, на руках у него должна быть корочка

зачтенной контрольной работы (одной или двух, согласно учебному плану).

Расписание пересдач в межсессионный период вывешивается около

деканата заочного факультета и на доске объявлений на кафедре физики.

8

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

(для специальностей, учебным планом которых предусмотрены 4 контрольные

работы в течение трех семестров)

Основные формулы и примеры решения задач

1. Механика

1.1. Кинематика и динамика материальной точки

Для освоения материала этой темы и решения задач по теме «Кинематика

и динамика материальной точки» необходимо ознакомиться со следующими

понятиями и законами:

Материальная точка, абсолютно твердое тело, система отсчета,

перемещение, путь, траектория движения.

Скорость и ускорение материальной точки определяются

формулами

;dt

rdV

dt

Vda

.

Перемещение в случае прямолинейного равнопеременного

движения по оси ОХ

2

2

0

tatVs x

xx .

В случае движения материальной точки по криволинейной

траектории полное ускорение складывается из двух составляющих:

нормального ускорения и тангенциального.

Модуль полного ускорения равен

22

naaa ,

где a – модуль тангенциального ускорения и na – модуль нормального

ускорения, причем

9

dt

dVa ,

R

Van

2

,

где V – модуль скорости движения точки, R – радиус кривизны траектории в

данной точке, в заданный момент времени.

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Инерция.

Масса. Сила. Силы в механике.

Основной закон динамики поступательного движения (второй

закон Ньютона).

2-й закон Ньютона может быть записан следующим образом :

)( VmddtF

.

Если масса m постоянна, то

amdt

pd

dt

VdmF

,

где a

– ускорение, которое приобретает тело массой т под действием

результирующей силы, p

– импульс тела или системы тел.

Третий закон Ньютона. 2112 FF

.

1.2. Кинематика и динамика вращательного движения

Угловая скорость и угловое ускорение , их связь с

линейными характеристиками.

При вращательном движении вокруг неподвижной оси угловая

скорость и угловое ускорение определяются формулами

d

dt

,

d

dt

.

Модуль угловой скорости вращательного движения связан с частотой

вращения следующим образом:

2

2 nt T

,

10

где Т – период вращения, п – линейная частота вращения, т. е. число оборотов в

единицу времени.

Модуль угловой скорости связан с модулем V линейной скорости

точки соотношением

RV ,

где R – расстояние от точки до оси вращения. Тангенциальное и нормальное

ускорения могут быть выражены в виде

2

na R, a R .

Момент силы и момент импульса. Момент инерции тела

относительно закрепленной оси вращения.

Момент силы относительно оси вращения определяется как FrM

,

или модуль момента силы sinM rF , где α – угол между радиус-вектором,

проведенным от оси вращения к точке приложения силы, и вектором силы.

Момент импульса относительно оси вращения для материальной точки

определяется как prL

, а для абсолютно твердого тела – L J .

Момент инерции материальной точки определяется следующим образом:

2J mr , где m – масса движущейся точки, r – кратчайшее расстояние от точки

до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси,

проходящей через центр масс:

а) тонкого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и

проходящей через его середину, –

2

12

1mlJ ;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси, перпендику-

лярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра), –

2mRJ ;

в) диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и

проходящей через его центр, –

11

2

2mRJ ;

г) шара радиуса R относительно оси, проходящей через центр шара, –

2

5

2mRJ .

Теорема Штейнера

2

0 maJJ ,

где J0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр

тяжести тела; а – величина параллельного смещения оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения:

M J , или dL Jd

Mdt dt

.

1.3. Работа и мощность. Законы сохранения в механике

Работа переменной силы F определяется формулой

2

1

r

r

rdFA

,

где rd

– элементарное перемещение. В случае постоянной силы, действующей

под углом к перемещению, имеем

А = FΔr cos ,

где α – угол между силой и перемещением.

Мгновенная мощность определяется формулой

dt

dAN .

В случае постоянной мощности

t

AN ,

где А – работа, совершаемая за время t.

Мощность зависит от скорости движения тела следующим образом:

N= VF

= FVcos ,

12

т. е. равна скалярному произведению силы на скорость перемещения тела.

При вращательном движении работа момента сил равна

2

1

A M d

,

при постоянном моменте сил A M .

Кинетическая энергия тела массы т, движущегося поступательно со

скоростью V

, равна

2

2mVEк .

Кинетическая энергия вращающегося тела равна

2

2к

JE

.

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости

от характера действующих сил.

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на

высоту h (потенциальная энергия тела, находящегося на поверхности Земли,

принимается равной нулю) равна

Еп = mgh.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

2

2kxEп ,

где k – коэффициент упругости, x – абсолютная деформация тела. Две мате-

риальные точки с массами т1 и т2 притягиваются друг к другу с силой

1 2гр 2

m mF G

r ,

где 11106720,6 G Н∙м

2/кг – гравитационная постоянная; т1 и т2 – масса

взаимодействующих материальных точек; r – расстояние между ними. Этот

закон справедлив и для однородных шаров; при этом r – расстояние между их

центрами.

13

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия матери-

альных точек либо тел сферической формы равна

1 2 p

m mE G

r ,

при r = потенциальная энергия обращается в нуль.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел импульс входящих в

нее тел остается постоянным, т. е.

nnVmVmVm

...2211 = const.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе тел момент

импульса тел, входящих в систему, остается постоянным, т. е.

1 1 2 2 n nJ J ... J const.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой и

консервативной системы тел остается величиной постоянной, т. е.

нач конE E .

Теорема о потенциальной энергии: работа консервативных сил равна убыли

потенциальной энергии системы тел.

конс пA W .

Теорема о кинетической энергии: работа внешних сил, действующих на

систему тел, равна изменению кинетической энергии этой системы:

внеш кA W .

Если система тел либо незамкнутая, либо неконсервативная, то изменение

механической энергии равняется:

неконс мехA W – в случае неконсервативной системы тел;

внеш мехA W – в случае незамкнутой системы тел.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.1. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно по оси ОХ,

причем зависимость координаты х от времени задается уравнением

х = 5 – 3t + t2. Определите:

14

а) расстояние l, которое пройдет тело за время t = 3 с;

б) силу, действующую на тело в тот момент времени, когда тело

остановится.

Дано:

т = 0,5 кг

х = 5–3t+t2, м

Анализ:

Нам задана зависимость координаты движущегося тела

от времени х = f(t). По определению ускорение является первой

производной от скорости по времени или второй производной

от координаты по времени. Скорость равна первой

производной от координаты по времени.

Найти:

1) остF = ?

2) l = ?

Таким образом, можно найти зависимости скорости и ускорения от

времени и найти численные значения этих величин в любой момент времени.

При описании динамики движения тела нужно воспользоваться вторым законом

Ньютона, записанным в проекции на ось Ох:

Fx = тах.

Решение:

1. Найдем первую производную от заданной функции:

Vx=dt

dx= –3+2t.

Получили зависимость скорости тела от времени.

Найдем зависимость ускорения от времени, для этого найдем производную

от скорости: 2,0 м/сxx

dVa

dt .

Видим, что ускорение не зависит от времени, отсюда следует, что и сила

является величиной постоянной.

Определим время остановки. Скорость тела в момент остановки

обращается в ноль. Получим уравнение, приравняв скорость к нулю:

0 = – 3 +2 t, или 2 t = 3 .

Корнем этого уравнения является t = 1,5 с.

Путь, пройденный телом, равен сумме модулей перемещений на

отдельных участках движения. В нашем случае до момента остановки

15

движение происходило в одном направлении равнозамедленно, а после

остановки тело двигалось в обратном направлении равноускоренно. Поэтому

путь будет равен 1 2x xl S S , где перемещение тела до остановки 1 ост 0xS x x ;

хост – координата точки в момент времени tост, а х0 – начальная координата тела.

Перемещение точки после остановки 2 кон остxS x x , где xкон – координата

тела в момент времени t = 3 с.

Вычислим координату тела в момент остановки:

хост = 5 – 3∙1,5 + (1,5)2 = 2,75 м,

l1= | xост – x0| = |2,75 – 5 | = 2,25 м.

Следующим действием определим координату точки в конечный момент

времени t = 3 с:

хкон = 5 –3∙3,0 + (3,0)2 = 5 м.

Весь путь, пройденный за время t = 3 с, равен

1 2 2 75 5 5 2 75 2 25 2 25 4 5 м.x xl S S , , , , ,

Эту часть задачи можно решать другим, более быстрым методом –

графическим: получив выражение для зависимости

скорости движения точки от времени, построить график

этой функции. В нашей задаче Vx = – 3 + 3 t. Построим

график этой функции в координатах Vx – t . Площадь на

графике, ограниченная графиком, осью координат и ординатами начального и

конечного моментов времени, численно равняется перемещению. На рисунке

заштрихованные площади и есть перемещения, совершаемые точкой до и

после остановки. По формулам площади треугольника вычисляем искомые

перемещения и складываем их модули. Ответы при решении разными

способами получаются одинаковыми.

2. Мы определили, что тело остановится в момент времени tост = 1,5 с

после начала движения и ускорение точки постоянное и равно 2,0 м/сxa . В

этот момент времени сила будет равна Fx = тах =0,5 ∙ 2,0 = 1,0 Н.

Ответ: 1) Fx = 1,0 Н. 2) l = 4,5 м.

16

Пример 1.2. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от

времени дается уравнением l = 2 – 2t + t2,м. Найдите: тангенциальное

ускорение, полное ускорение и угол между нормальным ускорением и полным

ускорением в момент времени t1 = 3 с, если нормальное ускорение в момент

времени t2= 2 с равно аn = 0,5 м/с2. Чему равен радиус кривизны траектории?

Дано:

l = 2 – 2t + t2, м

t1 = 3 с

t2= 2 с

аn = 0,5 м/с2

Анализ:

Выполним рисунок, на котором покажем направления

всех искомых величин и угол между

нормальным и полным ускорением точки в

некоторый момент времени. Тангенциальное

ускорение характеризует быстроту изменения модуля

скорости с течением времени, и оно равно второй

производной от пути по времени или первой производной

по времени от модуля линейной скорости движения точки.

Найти:

1) R = ?

2) аn=? аτ=? а=?

3) α = ?

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления

скорости с течением времени, его величина равна R

Va

n

2

, и направлено оно

по радиусу к центру кривизны траектории. Полное ускорение равно векторной

сумме нормального и тангенциального ускорений.

Решение:

1. В этой задаче задана зависимость пройденного пути от времени,

поэтому можно найти зависимость модуля линейной скорости от времени как

производную от заданной функции по времени и вычислить численное

значение скорости в любой момент времени:

tdt

dlV 22 .

Для момента времени t2 = 2 с можно вычислить по полученной формуле

величину скорости 2

м2 2 2 2

сV , и в этот же момент времени задана

величина нормального ускорения 2

20 5 м/сna , .

17

Радиус кривизны траектории входит в формулу для вычисления

нормального ускорения R

Van

2

, отсюда 2

2 2

2 28 м

0 5n

VR

a , .

2. Вторая производная от l позволяет получить выражение для величины

тангенциального ускорения, в нашем случае

2

1 2 2

м2

c

d l dVa

dt dt , танген-

циальное ускорение не зависит от времени.

Нормальное ускорение в момент времени t1 = 3 с равно 1

2

2

4 м2

8 сna ,

так как 1

м2 2 2 2 3 4

сV t .

Величину полного ускорения можно найти, используя теорему

Пифагора:

2 2 2 2

2

м2 2 8 2 83

cna a a , .

3. Из рисунка видно, что отношение величины тангенциального

ускорения к величине нормального ускорения равняется тангенсу угла между

векторами полного и нормального ускорений.

2

tg 12n

a

a

, отсюда arctg 1 45 .

Ответ: 1) R = 8 м. 2) τ1 2

м2 ,

ca 2

м2 83

ca , . 3) arctg1 45 .

Пример 1.3. Автомобиль массой т = 2 т движется равномерно в гору.

Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Известно, что путь L = 3 км был

пройден за t = 4 мин и коэффициент трения = 0,08. Определите:

а) силу тяги мотора и мощность двигателя;

б) количество теплоты, выделяемое при движении на этом пути.

18

Анализ:

Сделаем чертеж, иллюстрирующий данное

движение.

На рисунке показаны силы, действующие на автомобиль. Всего четыре

силы: сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила трения скольжения трF и

сила тяги мотора FT. Покажем выбор системы отсчета. Ось ОХ направим вдоль

горы по направлению движения машины, ось ОУ – перпендикулярно

поверхности горы. Начало отсчета свяжем с подножием наклонной плоскости.

Данные задачи позволяют определить синус угла наклона поверхности горы к

горизонту: sin = l

h; sin = 0,04.

По условию задачи тело движется равномерно, следовательно, ускорение

автомобиля равно нулю. При решении задач по динамике получают уравнения,

включающие искомые величины, применяя второй закон Ньютона. Векторную

форму этого закона проецируют на оси координат и получают два уравнения.

Кроме того, система тел – автомобиль и горка (земля) – является системой

замкнутой, но неконсервативной, поэтому работа сил трения приводит к

изменению механической энергии системы.

Решение:

1. Путь и время движения нам заданы в условии задачи. Определим

величину скорости движения тела:

33 1012 5 м/с

4 60

lV ;V , .

t

Дано:

m = 2т = 3102 кг

L = 3 км = 3103 м

t1 = 4 мин

= 0,08

h = 4 м

l =100 м

Найти: 1) Fт = ? Nт = ?

2) Q = ?

19

Определим силу тяги. Воспользуемся вторым законом Ньютона. На

тело действуют четыре силы. Ускорения нет, так как движение равномерное,

поэтому равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

тр т 0F N mg F .

В проекциях на оси координат ОХ и ОУ получим

х: Fт – Fтp – mg sin = 0.

у: N – mg cos = 0.

Силу трения скольжения определим по формуле NF тр , тогда получим

систему уравнений

sin 0

cos

TF N mg

N mg .

Отсюда можно найти силу тяги

T cos sin cos sin ;F mg mg mg

3

Т 2 10 10 0 08 0 999 0 040 2 4 кНF , , , , .

Теперь можно вычислить мощность мотора. Мощность постоянной силы

связана со скоростью движения следующим образом:

Т Т Tcos ( )N F V F V

Угол между силой тяги мотора и направлением движения автомобиля равен 00.

Скорость движения и силу тяги мы уже определили.

Получаем

3 3

T cos0 2,4 10 12,5 30 10 Вт 30 кВтN F V .

2. При движении автомобиля действует сила трения. Эта сила

неконсервативная, и ее работа приводит к тому, что часть механической

энергии переходит во внутреннюю энергию тела. Убыль механической

энергии равняется количеству теплоты, выделяющейся за счет работы силы

трения.

тр меxΔA W , меx ΔW Q , тогда – Q = – Aтр.

20

Сила трения является в этом случае постоянной, поэтому ее работу

можно вычислить:

тр тр cos 180 cos cos 180A F l mg l .

180° – угол между направлением движения и направлением действия силы

трения, следовательно, сos 180 = – 1 .

Вычислим Q = – Атр = lmg cos ∙сos 180;

3 3 6 0,08 2 10 9,8 0,999 3 10 1 4,699 10 Дж 4,7 МДжQ .

Ответ: 1) Fт = 2,4 кН; NТ = 30 кВт;

2) Q = 4,7 МДж.

Пример 1.4. Тело цилиндрической формы закреплено на горизонтальной

оси и из состояния покоя приводится во вращение с помощью падающего груза,

соединенного со шнуром, предварительно намотанным на цилиндр. Шнур

невесом и нерастяжим. Оцените момент инерции тела, если груз массой

т = 2,0 кг в течение t = 1,2 с опускается на расстояние h = 1,0 м. Радиус

цилиндра r = 8,0 мм. Силой трения пренебречь.

Анализ:

Движущаяся система состоит из двух тел:

одно вращается, а другое (груз на шнуре) движется

поступательно по вертикальному направлению.

Выполним рисунок в плоскости, перпендикуляр-

ной оси вращения тела. На груз действуют две

силы: сила тяжести mg и сила натяжения шнура Т2.

Обе силы направлены вдоль вертикальной оси.

Шнур нерастяжим, поэтому его натяжение по всей длине одинаково и все точки

шнура и сам груз движутся с одинаковым линейным ускорением а.

Вращение тела (вала) происходит под действием силы натяжения шнура

Т1, равной по модулю силе T2, но противоположно направленной TTT 21

.

Вектор момента этой силы относительно оси, совпадающей с осью тела,

Дано:

т = 2,0 кг

t = 1,20 с

h = 1,0 м

r = 8,0 мм = 8,0∙10-3

м

Найти:

J = ?

21

направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Тело

будет вращаться по часовой стрелке. Угловое ускорение тела

совпадает по направлению с вектором момента силы и

направлено от нас.

Выберем систему отсчета: ось ОУ направим вертикально

вниз, и начало отсчета по этой оси удобно выбрать в той точке, в

которой находился груз в начальный момент времени t = 0. Ось

ОZ направим перпендикулярно плоскости рисунка от нас за

рисунок.

Для решения задачи необходимо применить второй закон Ньютона и

основное уравнение динамики вращательного движения, а также уравнения

кинематики.

Решение:

Запишем векторную форму уравнений движения вала и груза:

TM J – основной закон динамики вращательного движения,

amgmT

2 – второй закон Ньютона.

Первое уравнение спроецируем на ось ОZ, а второе на ось ОУ:

M J ; mg T ma .

Момент силы по определению TxrM

, модуль векторного произведения

равен sinM rT . Из рисунка видно, что угол между вектором силы

натяжения нити и радиус- вектором равен α = 90, поэтому TrM .

Тангенциальное ускорение точек оси равно линейному ускорению

движения груза, а связь между угловым и линейным ускорением имеет вид

,a xr или sin a r , т. к. α = 90, то .a r

Учитывая все эти соотношения, получаем систему двух уравнений

;

.

aT r J

r

mg T ma

22

Решая систему уравнений, получаем

2

.mg ma r

Ja

Для того чтобы вычислить момент инерции тела по полученной формуле,

необходимо знать величину линейного ускорения. Воспользуемся уравнениями

кинематики.

Координата точки, движущейся прямолинейно и равномерно, зависит от

времени следующим образом:

2

0 0 .2

y

y

a ty y V t

В нашем случае 00 y , 00 yV , поэтому 2

2tay

. По условию задачи груз

за время t = 1,2 с опускается на расстояние h = 1,0 м, при этом y = h, и тогда

2

2

t

ha .

Получаем окончательную расчетную формулу

1

2

22

h

gtmrJ .

Найдем численное значение искомой величины

2

23 2 210 1,2

2 3 10 1 3,72 10 кг м .2 1

J

Ответ: момент инерции тела равен 2 23,72 10 кг мJ .

Пример 1.5. Два тела массами m1 = 1 кг и т2 = 3 кг движутся навстречу

друг другу вдоль горизонтального направления и перед столкновением имеют

скорости V1=2 м/с и V2 = 1 м/с. Считая удар центральным и неупругим,

найдите:

1. Какая часть механической энергии перешла в другие виды энергии при

ударе?

2. Какое время будут двигаться тела после удара до остановки, если

коэффициент трения тел о поверхность равен μ = 0,2?

23

Анализ:

При центральном и неупругом ударе движение тел

происходит только вдоль линии, проходящей через центры

масс тел, и тела после удара будут двигаться как единое целое

со скоростью U.

1. Сделаем рисунок к этой части задачи:

Достаточно выбрать одну ось координат ОХ. Будем считать, что после

удара тела будут двигаться в положительном направлении оси ОХ. При ударе

тела взаимодействуют только между собой, поэтому система тел является

замкнутой. В случае неупругого удара внутри системы действуют силы

деформации, которые являются неконсервативными силами. Таким образом,

система тел является замкнутой, но неконсервативной. Для такой системы тел

применим только закон сохранения импульса. Механическая энергия

системы не сохраняется, часть ее расходуется на деформацию и нагревание

тел при ударе, поэтому

нкс мехA W .

Решение:

Все движения происходят вдоль горизонтальной оси, следовательно,

потенциальная энергия тел не изменяется. Можно выбрать нулевой

потенциальный уровень в том месте, где движутся тела, и величина

потенциальной энергии тел будет равна нулю относительно такой системы

отсчета. До взаимодействия энергия системы складывается из кинетической

энергии тел: 22

222

211

1

VmVmW .

Дано:

m1 = 1 кг

т2 = 3 кг

V1=2 м/с

V2 = 1 м/с

Найти:

1) ?1

W

Q

2) t = ?

24

После удара их кинетическая энергия стала равна:

2

1 22

( )

2

m m uW

.

Для определения скорости тел после удара можно применить закон

сохранения импульса, так как система тел является замкнутой:

коннач PP

.

В проекции на ось ОХ получим

1 1 2 2 1 2 xmV m V m m u ,

где иx – проекция скорости движения тел после столкновения. Отсюда выразим

проекцию скорости иx

1 1 2 2

1 2

x

mV m Vu

m m

;

1 2 3 1 м 0,25

4 сxu

.

Поскольку получили u < 0, это значит, что направление выбрано неверно

и тела движутся в другую сторону со скоростью u = 0,25 м/с.

Тела имеют отрицательную проекцию скорости на ось ОХ после удара,

т. е. будут двигаться в ту же сторону, что и второе тело до удара. Найдем, какая

часть механической энергии перешла в тепло и энергию деформации при ударе.

Убыль механической энергии равна количеству теплоты, которое

выделилось при ударе:

2 2 2

1 2 1 1 2 2мех кон нач

( ) .

2 2 2

m m u mV m VQ W W W

Подставим значение скорости и и приведем к общему знаменателю:

22)(2

)( 2

22

2

11

2

21

2

221121 VmVm

mm

VmVmmmQ

,

или

2

1 2 1 2

1 22( )

m m V VQ

m m

.

25

Доля потерянной механической энергии от начального значения энергии

тел составляет

2

22

2

1121

2

2121

21 )( VmVmmm

VVmm

WW

Q

;

96,0

74

33

1321)13(

)21(3 2

22

2

21

WW

Q.

Ответ: мы получили, что 96 % механической энергии при неупругом

ударе в этом случае переходит в другие виды энергии.

2. Найдем ответ на второй вопрос задачи. Время движения тел после

удара до остановки можно определить,

используя второй закон Ньютона в

импульсной форме.

Система тел после удара является

незамкнутой, так как на тела во время движения действует сила трения –

внешняя сила. Она изменяет импульс системы:

трF t P .

Сила трения скольжения тр μ ,F N 1 2где ( ) ,N m m g ее проекция на ось ОХ

отрицательная. Изменение импульса тел при движении до остановки в

проекции на ось ОХ равно

1 2 1 20 ( ) ( ) .xp m m u m m u

Из закона Ньютона, записанного в проекции на ось ОХ, можно получить

выражение для вычисления времени движения тел до остановки:

0,25

0,5086 0,51 c.μ 0,05 9,81

ut

g

Ответ: 1) 1

96 %Q

W . 2) 0,51 ct .

26

Пример 1.6. Однородный тонкий стержень массой m1 = 0,20 кг и длиной

l = 1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей

через точку А, которая отстоит на треть длины от верхнего конца. В точку C на

стержень попадает пластилиновый шарик массой m2 = 10 г, летящий горизон-

тально, и прилипает к стержню. Скорость шарика V = 10 м/с.

1. Определите угловую скорость стержня сразу после неупругого

взаимодействия с шариком.

2. Найдите, на какой максимальный угол отклонится стержень с

шариком после удара.

Дано:

m1 = 0,20 кг

m2 = 10 г

V = 10 м/с

l1 =1/3 l

l = 1,0 м

Сделаем рисунок:

Найти:

1) ω = ?

2) α = ?

Анализ:

В данной задаче система тел состоит из стержня и пластилинового

шарика. До удара со скоростью V движется шарик, который можно считать

материальной точкой. Затем происходит неупругое взаимодействие шарика и

стержня. Стержень закреплен на неподвижной оси вращения и может только

вращаться вокруг этой оси. После удара стержень с прилипшим шариком

начинает вращаться с некоторой угловой скоростью и движется до остановки,

отклонившись при этом на угол α от первоначального положения.

При решении задачи сначала надо рассмотреть неупругое столкновение

шарика со стержнем. Система тел – замкнутая, но неконсервативная, поскольку

тела при ударе взаимодействуют только между собой, но силы деформации –

27

неконсервативные силы. Для решения задачи при наличии вращательного

движения можно применить закон сохранения момента импульса.

После удара система «стержень с шариком» начинает двигаться. Система

тел при этом является замкнутой и консервативной, т. к. силы сопротивления

при движении с достаточно малой скоростью пренебрежимо малы, поэтому в

этом случае можно применить закон сохранения механической энергии.

Решение:

1. Запишем уравнение для закона сохранения момента импульса. До

удара шарик двигался со скоростью V, и модуль его момента импульса

относительно оси, проходящей через точку А, равен sin90L mVl mVl .

Момент импульса стержня до удара равен нулю, так как он покоился. После

удара стержень с прилипшим шариком начинает двигаться с угловой

скоростью ω вокруг оси, проходящей через точку А. Получаем уравнение

2

2 2

2

3m Vl m l J

,

где J – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку А.

Применим теорему Штейнера

2

2 2 2

0 1 1 1 1

1 1 1

12 6 9J J m a m l m l m l

и подставим полученное выражение в закон сохранения момента импульса:

2 2

2 2 1

2 4 1.

3 9 9m V l m l m l

Из полученного уравнения находим угловую скорость системы сразу после

удара: с

рад5,2

)2,001,04(1

1001,06

)4(

6

12

2

mml

Vm.

2. Система тел «стержень и шарик» будет двигаться до тех пор, пока вся

ее кинетическая энергия не перейдет в потенциальную. Сразу после удара

кинетическая энергия есть и у шарика, и у стержня:

2 22 2

к ш cт 2 1

2.

3 9

lW J J m l m

28

В момент остановки у системы имеется только потенциальная энергия.

Нулевой потенциальный уровень удобно связать с положением центра тяжести

стержня в его вертикальном положении. Изменение потенциальной энергии тел

при отклонении стержня на угол α равно

ст

п 1

11 cos

6W m g l и шар

п 2

21 cos

3W m g l .

Подставив полученные выражения в закон сохранения механической энергии,

получаем уравнение, из которого можем определить максимальный угол

отклонения системы:

22cos 1 ,

3

l

g

или

22 1 2,5cos 1 0,68.

3 10

Ответ: 1) ω = 2,5 рад/с. 2) α = arccos 0,68 = 47 .

2. Молекулярная физика и термодинамика

Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Менделеева –

Клапейрона

,m

pV RTM

где p – давление газа; V– его объем; Т – термодинамическая температура; m –

масса газа; М – молярная масса газа; R = 8,31441 Дж/(моль∙К) – универсальная

газовая постоянная; отношение = m/М определяет число молей вещества.

По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме их

парциальных давлений, т. е. тех давлений, которые имел бы каждый из газов в

отдельности, если бы он при данной температуре один заполнял весь объем.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории для давления

идеальных газов имеет вид

2

0 кв0

2 2

3 3 2

m Vp nW n ,

где п – концентрация молекул, т. е. число молекул в единице объема; W0 –

кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, движущейся

29

со средней скоростью; m0 – масса одной молекулы, Vкв – среднеквадратичная

скорость молекул газа. Эти величины определяются следующими

формулами:

Число молекул в единице объема

V

Nn .

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной

молекулы

W0=3

2kT.

Средняя квадратичная скорость молекул

Vкв=0

33

m

kT

M

RT ,

где m0 = М/NA – масса одной молекулы; k = R/NA = 1,38∙10–23

Дж/К – постоянная

Больцмана; NA = 6,02∙1023

моль–1

– постоянная Авогадро.

Энергия теплового движения всех молекул газа – внутренняя энергия

идеального газа RTM

miU

2 .

Изменение внутренней энергии газа dU = 2

i mRdT

M,

где i – число степеней свободы молекул; dT – изменение температуры газа.

Количество теплоты, полученное или отданное при процессах, равно

Q C T , или Q cm T .

Связь между молярной С и удельной с теплоемкостями следует из их

определения:

McC .

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

СV = Ri

2;

молярная теплоемкость при постоянном давлении

30

2

2p V

iC C R R

.

Первое начало термодинамики может быть записано в виде

δQ = dU+δA,

где δQ – количество теплоты, полученное газом; dU – изменение внутренней

энергии газа; δA = pdV – элементарная работа, совершаемая газом. Полная

работа газа равна

А=

2

1

V

V

pdV.

Работа, совершаемая при различных изопроцессах, получается

применением этого интеграла к каждой конкретной задаче. Работу при

адиабатическом процессе проще всего и удобнее находить, применяя для этого

процесса первое начало термодинамики, т. е. ∆A = – ∆U.

Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

constpV , т. е. 1 1 2 2pV p V ,

где показатель адиабаты γ = сp /сV. Уравнение Пуассона через другие параметры

системы может быть записано еще в таком виде:

1 constTV , т. е.

1

1 2

2 1

,T V

T V

или

1 γγ

pT

= const, т. е.

1 / 1 /

1 2 1

2 1 2

.T p p

T p p

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины

1

21

Q

QQ ,

где Q1 – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя;

Q2 – количество теплоты, отданное холодильнику. Для идеального цикла Карно

1 2

1

,T T

T

31

где Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

Изменение энтропии ΔS = SB – SA при переходе системы из состояния А

в состояние В определяется формулой

.

B

B A

A

dQS S

T

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 2.1. В сосуде находится m = 10 г углекислого газа при темпе-

ратуре t = 27 °С и давлении Р = 150 кПа.

1. Чему равна плотность газа при этих условиях?

2. Какова средняя квадратичная скорость молекул газа в этом случае?

3. Какая энергия приходится на вращательное движение всех молекул

этого газа, а какая энергия – на поступательное движение?

Решение:

1. При описании поведения идеального газа

удобно использовать уравнение Менделеева –

Клапейрона, которое связывает между собой

термодинамические параметры состояния

газовой системы. Оно имеет вид

RTM

mpV .

По определению плотность V

m .

Подставив в определение плотности отношение V

m

из уравнения Менделеева – Клапейрона, получим

.PM

RT

Все величины нам известны по условию задачи. Вычислим плотность

газа при заданных условиях:

Дано:

m = 10 г = 10–2

кг

T = 300 К

P =150 кПа = 1,5105 Па

2

3

co

кг44 10

мольM

Найти:1) – ?

2) квV – ?

3)Wвр – ?

4)Wпост – ?

32

3

35

м

кг65,2

331,8

445,1

30031,8

1044105,1

.

2. Далее вычислим среднюю квадратичную скорость молекул.

кв

3RTV

M , или

кв 3

3 8,31 300 м412 .

44 10 сV

3. Внутренняя энергия идеального газа вычисляется по формуле

U= RTM

mi

2,

где i – число степеней свободы молекулы газа.

В нашем случае газ трехатомный, для него i = 6. Из этих шести степеней

свободы три степени приходятся на поступательное движение, а три степени

– на вращательное движение: i = iпост + iвр = 3 + 3. Учитывая это, можем

написать, что энергия вращательного движения всех молекул газа равняется

вр вр

вр ,2 2

i i mW RT RT

M

врW RT2

3 и Wвр = Wпост.

Вычислим эту энергию:

Дж 850Дж1085,030031,82

3

1044

10 3

3

2

вр

W .

Ответ: 1) 32,65 кг/м .

2) кв 412 м/сV .

3) врW 850 Дж .

4) Wвр= Wпост .

Пример 2.2. Двухатомный газ в количестве ν = 0,20 моля при давлении

Р1 = 105

Па занимает объем V1 = 10 л. Сначала газ сжимают изобарически до

объема V2 = 4,0 л,. после этого изотермически расширяют до первоначального

объема V1.

1. Постройте график заданного процесса в координатах Р – V.

33

2. Определите работу А, совершенную газом, количество теплоты,

полученное системой, и изменение внутренней энергии при этом процессе.

3. Чему равно изменение энтропии системы ΔS при данном процессе?

Анализ:

По условию задачи с газовой системой

проводится последовательно два процесса.

Первый процесс – изобарическое сжатие, при

котором температура системы понижается, объем –

уменьшается, поэтому работа газа и изменение

внутренней энергии отрицательны. Согласно первому

началу термодинамики, при этом процессе тепло от

системы отводится, так как Q dU A .

Второй участок графика соответствует изотермическому расширению,

при котором работа положительная, а внутренняя энергия не изменяется, так

как температура остается постоянной. Первое начало термодинамики для

изотермического процесса имеет вид

.Q A

Решение:

1. Построим график заданного процесса. Работа газа на графике процесса

в координатах Р – V равна площади,

ограниченной графиком функции, осью

абсцисс и ординатами начального и

конечного объема. Полная работа равна

алгебраической сумме работ:

А = А12 + А23.

Работа при изобарическом процессе равна А12 = Р1 (V2 – V1). На графике

эта площадь заштрихована косыми линиями, наклоненными вправо. При

изотермическом процессе работа газа равна площади криволинейной фигуры,

Дано:

ν = 0,20 моля

Р1= 1∙105 Па

V1= 10 л

V2= 4,0 л

i = 5

Найти:

2) А = ? Q = ? ΔU = ?

3) ΔS = ?

34

поэтому работа при таком процессе равна интегралу от элементарной работы в

пределах от V2 до V3:

2

3

2

3

2

2

3

2

3

2

2

12ln

V

VRT

V

dVRTdV

V

RTPdVA

V

V

V

V

V

V

.

Если учесть, что по условию задачи 13 VV и из уравнения Менделеева

– Клапейрона для второго состояния 212 VPRT , получаем

2

12112 ln

V

VVPA .

На графике эта работа соответствует площади, заштрихованной косыми

линиями, наклоненными в другую сторону.

Таким образом, полная работа газа равна

2

121121 ln

V

VVPVVPA .

Изменение внутренней энергии во всем процессе равно 2312 UUU .

При изобарическом процессе 12122

TTRi

U , внутренняя энергия уменьшает-

ся, так как при изобарическом сжатии газ охлаждается.

При втором процессе 023 U , так как процесс протекает при

постоянной температуре. Полное изменение внутренней энергии равно

12122

TTRi

UU .

Используя уравнение Менделеева – Клапейрона для второго состояния

2 1 2RT PV и для первого состояния 1 1 1RT PV , получаем

1212

VVPi

U .

Получим численные значения искомых величин:

5 3 5 3 1010 4 10 10 10 4 10 ln 600 400 0,92 232 Дж

4A ,

5 3510 10 4 10 1500 Дж 1,5 кДж

2U .

35

Согласно первому закону термодинамики, количество тепла, полученного

системой, равно сумме изменения внутренней энергии системы и работы газа:

AUQ , или 1500 232 1268 ДжQ .

2. Определим изменение энтропии системы при заданных процессах.

Вычислим интеграл приведенных теплот для каждого процесса.

Для изобарического процесса имеем 1

22

1

2

1

12ln

T

TC

T

dTC

T

QS

p

T

T

p

и, учитывая, что 13 VV и 2

2

1

1

T

V

T

V , получаем

2 212

1 1

ln lnp p

T VS C C

T V .

При изотермическом процессе изменения внутренней энергии не происходит,

поэтому 2323

AQ , изменение энтропии равно

2

1

2

33

2

3

223

lnlnV

VR

V

VR

V

RdV

T

PdVS

V

V

.

Окончательно для всего процесса получаем

2 1 1 1

1 2 2 2

ln ln ln 1 1 ln2 2

p

V V V Vi iS C R R R

V V V V

,

так как 2

p

iC R R , а 2 1

1 2

ln ln .V V

V V

Получим численный ответ 5 10 Дж

0,20 8,31 ln 3,82 4 К

S .

Ответ: 1) ρ = 2,65 кг/м3.

2) А = –232 Дж, ∆U = 1,5 кДж, Q = 1268 Дж.

3) ΔS = – 3,8 Дж/К.

Пример 2.3. Найти изменение энтропии S при превращении льда массой

m = 10 г, взятого при температуре t1 = 0С, в пар при температуре t2 = 100С.

Удельная теплоемкость воды c = 4,2103 Дж/(кгК); удельная теплота плавления

36

льда = 3,3105 Дж/кг; удельная теплота парообразования воды

r = 2,3106 Дж/кг.

Анализ:

В данной задаче рассматриваются тепловые процессы, при которых

подведение тепла к системе приводит к изменению агрегатного состояния

вещества и изменению температуры. Весь процесс можно разбить на три этапа:

первый – лед, получая тепло, расплавится; второй – при дальнейшем подводе

тепла натаявшая вода будет нагреваться от t1 = 0С до температуры кипения

t2 = 100С; третий – при кипении вода переходит в пар. При решении задачи

надо определить изменение энтропии при каждом процессе, а затем найти

полное изменение как сумму найденных значений.

Решение:

1. Общее изменение энтропии равно сумме изменения энтропии при каж-

дом отдельном процессе:

S = S1 + S2 + S3.

2. Первый процесс – плавление льда. Температура при процессе плавле-

ния остается постоянной (Т1 = const). Изменение энтропии при плавлении льда

равно:

2 2

пл1

1 1 1 11 1 0

mQ dm m

S dmT T T T

.

3. Изменение энтропии при нагреве воды, полученной изо льда:

2

1

2

22

11

ln .

T

T

TQ dTS mc mc

T T T

4. Изменение энтропии при превращении воды в пар. Т2 = const:

2 2

123

2 2 21 1

1.

QQ r mS Q

T T T T

5. 2

1 1 2

ln .T r

S m cT T T

6. Числовое значение

37

5 62 33,3 10 373 2,3 10

10 4,2 10 ln 36,9 Дж/К.273 273 373

S

Ответ: S = 36,9 Дж/К.

3. Электростатика

Закон Кулона позволяет вычислить силу электростатического

взаимодействия между двумя точечными зарядами:

1 2

2

0

1,

4k

q qF

r

где q1 и q2 – величины электрических зарядов; r – расстояние между ними;

ε – диэлектрическая проницаемость среды; k =0

4

1

= 9∙10

9 Ф

м,

где ε0 = 8,85 10–12

Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума (электрическая

постоянная).

Силовая характеристика электростатического поля E

– напряженность

поля. Она определяется как

FE

q .

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным или сферическим

зарядом радиусом Rсф, на расстоянии r от этого точечного заряда или центра

сферического заряда (при r ≥ Rсф): 2

qE k

r

.

Модуль напряженности поля, создаваемого бесконечной длинной заря-

женной нитью: 0

1

2E

a

,

где dq

dl – линейная плотность заряда, равная заряду, приходящемуся на

единицу длины проводника; а – кратчайшее расстояние от точки, в которой

вычисляем напряженность поля, до заряженной нити.

38

02

E – напряженность поля, создаваемого бесконечно протяженной

заряженной плоскостью с поверхностной плотностью , где dq

ds – заряд,

приходящийся на единицу поверхности проводника.

Напряженность поля, создаваемого несколькими зарядами, определяется

по принципу суперпозиции:

...221

EEEE

Энергетическая характеристика электрического поля – потенциал.

Потенциал равен энергии единичного положительного точечного заряда,

помещенного в данную точку поля: элW

q .

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле

1 q

kr

.

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом:

d

Edr

. В случае однородного поля:

d

UE .

Работа электрических сил по перемещению заряда из точки с

потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 равна: 1 2 2 1 A q .

Электроемкость уединенного проводника

q

C .

Электроемкость системы проводников q

CU

, где U – падение напряжения

на обкладках конденсатора.

d

SC 0

– емкость плоского конденсатора, где S – площадь одной

пластины конденсатора.

Емкость уединенной сферы 04C R , где R – радиус сферы.

Энергия уединенного заряженного проводника

39

222

22

эл

qUCU

C

qW .

Объемная плотность энергии электростатического поля

2

0

2

Ew

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 3.1. Две длинные, одноименно заряженные нити располо-

жены на расстоянии r1 = 10 см друг от друга. Линейные плотности зарядов

одинаковы и равны: 1 = 2 =10 мкКл/м.

1. Найти модуль и направление напряженности результирующего поля в

точке А, удаленной от каждой нити на расстояние а =10 см.

2. Какую работу А на единицу длины нити надо совершить, чтобы

раздвинуть нити до расстояния 2r = 20 см?

Анализ:

Электростатические поля, создаваемые различ-

ными распределениями зарядов, по принципу

суперпозиции складываются в каждой точке пространства. Учитывая симмет-

рию задачи, сделаем рисунок, расположив нити перпендикулярно плоскости

чертежа. Точка А удалена от обеих нитей на расстояние а = r1. Получили

равносторонний треугольник. Для того чтобы найти направление вектора

напряженности поля, создаваемого в точке А зарядом каждой нити, поместим в

эту точку пробный заряд «+1» и определим, как поля нитей действуют на этот

заряд. Поскольку нити заряжены положительно, они будут отталкивать

Дано:

r =10 см

r2 = 20 см

1 = 2 = τ = 10 мкКл/м

a =10 см

Найти:

1) E–?

2) A–?

40

пробный заряд, и вектора 1E

и 2E

будут направлены так, как показано на

рисунке. Вектор напряженности суммарного поля, согласно принципу

суперпозиции, находится по правилу параллелограмма.

Сила взаимодействия этих заряженных нитей зависит от расстояния

между ними, поэтому работу сил электростатического поля при раздвижении

нитей надо вычислять через интеграл.

Решение:

1. Из рисунка видно, что E

направлен вправо, и модуль его можно

найти как

2 cos30E E ,

так как 21 EE

, и 1

0

12

2E k

a a

, где k=

9

0

1 м9 10

4 Ф

.

Окончательно получаем

0

12 cos 30 4 cos 30

2E k

a a

;

9 554 9 10 10 3 В

31 100,1 2 м

E

.

2. Сила взаимодействия заряженных нитей зависит от расстояния между

ними. Каждая нить создает поле, и это поле действует на заряд другой нити.

11

0

1

2E

r

– напряженность поля первой нити.

l

F – сила, действующая на единицу длины второй нити, равна

1 2

F rE

l

1 2

0

1

2 r

.

Работу этой силы можно вычислить как

2 2

1 1

1 2

0

1

2

r r

r r

F rAdr dr

l l r

.

41

Возьмем интеграл от этой функции. Все постоянные величины выносим

за знак интеграла и получаем табличный интеграл, который равняется

натуральному логарифму аргумента

22

2 1

1 2 1 2

0 0

ln2 2

rr

r r

drA r

r

.

Подставляем пределы интегрирования и окончательно получаем:

1 2 2

0 1

ln2

rA

r

.

Используя данные задачи, получим численный ответ:

10

12

10 20 100ln ln 2 1,25 Дж.

2 3,14 8,85 10 10 6,28 8,85A

Ответ: 1) 5 В31 10

мE

. 2) 1,25 ДжA .

Пример 3.2. Имеется плоскопараллельная пластина толщиной d = 3 см,

равномерно заряженная по объему с плотностью = 210-8

Кл/м3.

Диэлектрическая проницаемость материала пластины = 2.

1. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность электрического

поля внутри пластины и вне ее как функцию расстояния от центра пластины.

2. Постройте график зависимости Е = f (r).

Дано:

d = 3 см

= 210-8

Кл/м3;

r1 = 1 см;

r2 = 3см;

Найти:

Е = f (r) = ?

Анализ:

Задачи о вычислении напряженности поля, создаваемого симметричным

распределением заряда, решаются с использованием теоремы Гаусса.

Формулировка теоремы: поток вектора напряженности электрического поля

42

через замкнутую поверхность равняется алгебраической сумме зарядов,

охватываемых этой поверхностью, деленной на электрические постоянные.

0

E

q

N

, где

ssE

EdssdEN .cos

Угол α – это угол между вектором E и вектором нормали к поверхности

интегрирования n .

При применении теоремы Гаусса для расчета напряженности поля

некоторого заряженного тела удобно действовать по определенному алгоритму.

1. Необходимо нарисовать картину силовых линий заданного

распределения зарядов.

В нашей задаче пластину считаем бесконечно протяженной, и поэтому в

каждой точке пространства напряженность поля будет направлена

перпендикулярно пластине. Силовые линии будут представлять собой

параллельные прямые, перпендикулярные пластине. Начало оси координат

выбираем в средней точке пластины, а саму ось направляем вдоль силовых

линий.

2. Выбрать поверхность интегрирования, учитывая симметрию

задачи таким образом, чтобы силовые линии поля либо скользили по

поверхности, либо были ей перпендикулярны.

Учитывая симметрию задачи, выбираем замкнутую поверхность в виде

цилиндра радиуса R и высотой H (можно было бы и в виде прямоугольного

параллелепипеда). Рисунок выполнен в сечении, перпендикулярном самой

заряженной пластине. Сечение выбранной поверхности изображено пунктиром.

Нарисовано два цилиндра, оси которых совпадают с силовыми линиями

электростатического поля, для двух случаев определения напряженности поля –

внутри и вне пластины. Основания цилиндров симметричны относительно

середины пластины. Точка, в которой мы хотим вычислить величину вектора Е,

должна находиться на основании цилиндра.

43

3. Вычислим поток вектора E

через выбранную поверхность.

Полный поток можно сосчитать как сумму потоков через два основания

цилиндра и через его боковую поверхность:

осн бок

1 22 cos cosS S S

EdS EdS EdS .

Как видно из рисунка, 1 = 0º, а 2 = 90º, следовательно, поток отличен от

нуля только для двух оснований.

С учетом этого получим

осн

осн2 1 0 2S S

EdS EdS ES .

Перед первым интегралом стоит множитель «2», так как имеются два

основания, симметрично расположенные относительно центра пластины, и

модуль вектора Е на равных расстояниях от центра пластины будет одинаков

для всех точек, поэтому его можно вынести за знак интеграла.

4. Запишем выражение для заряда, охватываемого этой поверх-

ностью: q V .

Если искомая точка лежит внутри пластины, например точка 1 (c. 41,

рис. а), то V = Sосн2r, где r – расстояние до точки 1 от центра пластины. Вся

поверхность интегрирования расположена внутри пластины, поэтому

охватываемый ею заряд равен осн 2q S r . Тонированием выделена область, в

которой находится этот заряд.

Если искомая точка лежит вне пластины, например точка 2 (с. 41, рис. б),

высота поверхности интегрирования Н больше толщины пластины d. Заряд

находится не во всей области интегрирования, а только внутри пластины,

поэтому оснq S d , т. к. V = Sосн d. Тонированием выделена область, в

которой находится заряд, охватываемый поверхностью интегрирования в этом

случае.

44

5. Воспользуемся теоремой Гаусса

Подставим выражения, полученные в пунктах 3 и 4, в левую и правую

части теоремы. Из полученного уравнения выразим Е. Получим

осн

0

2q

ES

и построим график зависимости проекции вектора Е на

ось r.

осн1 осн 1

1 0 1 0

22

S r rE S E

– напряженность поля

внутри пластины на расстоянии r от ее середины.

осн2 осн 2

2 0 2 0

22

S d dE S E

– напряженность

поля вне пластины.

Нарисуем график зависимости Е от r. Внутри пластины напряженность

поля линейно возрастает с увеличением r. Вне пластины поле однородное.

Скачок значения напряженности при r = d/2 происходит из-за измене-

ния диэлектрической проницаемости среды. Внутри пластины она равна 1 = 2,

а вне ее 2 = 1, поэтому при выходе из пластины напряженность поля скачком

увеличивается в два раза.

Пример 3.3. Пластины плоского воздушного конденсатора,

расположенного горизонтально, заряжены одинаковым по модулю

разноименным зарядом и отсоединены от источника напряжения. Между

пластинами находится в равновесии маленькая капелька, имеющая точечный

заряд q0 = 10–8

Кл и массу m = 0,010 кг.

1. Определите поверхностную плотность заряда пластин конденсатора σ.

2. Чему равна работа электростатических сил А при раздвижении пластин

друг от друга с расстояния d1 = 3 см до d2 = 5 см? Площадь одной

пластины S = 200 см2.

45

Решение:

Заряд находится в

равновесии в поле конден-

сатора, следовательно, си-

ла действия электричес-

кого поля равна силе тя-

жести капельки и противоположно направлена. Отсюда

следует, что верхняя пластинка заряжена отрицательно, а

нижняя – положительно. Выполним рисунок.

Запишем условие равновесия капельки в векторном

виде

эл 0.F mg

В проекции на вертикальную ось OУ получим

эл 0;F mg

0 0.q E mg

Отсюда можем выразить E:

0q

mgE .

Напряженность поля плоского конденсатора 0

E

,

но, учитывая предыдущую формулу, получим, что поверхностная плотность

заряда пластины конденсатора

0

0

mg

q

,

где 1 , так как конденсатор воздушный.

Вычислим искомую величину:

12 58

8

8,85 10 10 108,85 10

10

Кл.

Дано:

q0 = 10–8

Кл

d1 = 3 см

d2 = 5 см

m = 10 мг = 10–5

г

S = 200 см2

Найти:

1) –?

2) A–?

46

Поле конденсатора однородное, т. е. вектор E

одинаков во всех точках

пространства. Будем считать, что одна пластина создает поле и оно действует

на заряд другой пластины. Напряженность поля одной пластины находится

следующим образом:

1

02E

, но = 1, так как между пластинами конденсатора – воздух.

Сила, с которой электрическое поле первой пластины действует на заряд второй

пластины, равна

эл 1 2F E q ,

где 2q S – заряд другой пластины по модулю. Поскольку поле однородное,

тo элF = const, и работу можно вычислить следующим образом:

эл cos180A F d .

Угол между силой и перемещением равен 180, так как пластины

заряжены разноименными зарядами.

2 1

0

( 1) 2

A qE d S d d

;

2 2 2

0 1 202 1

0 0 0

24

2

m g S d dmg SA d d

q q

;

12 10 14 3

8

16

2 8,85 10 10 100 200 10 3 5 1035,4 10

10A

Дж.

Ответ: 1) 8107,17 Кл.

2) 8 35,4 10A Дж.

47

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

по техническим специальностям для 3- и 4-семестрового курсов физики,

учебными планами которых предусмотрены четыре контрольные работы

Вариант Номера задач

1 101 111 121 131 141 151 161 171

2 102 112 122 132 142 152 162 172

3 103 113 123 133 143 153 163 173

4 104 114 124 134 144 154 164 174

5 105 115 125 135 145 155 165 175

6 106 116 126 136 146 156 166 176

7 107 117 127 137 147 157 167 177

8 108 118 128 138 148 158 168 178

9 109 119 129 139 149 159 169 179

10 110 120 130 140 150 160 170 180

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

101. Две материальные точки движутся вдоль оси ОХ согласно уравнениям

x1 = 10 +4 t – 0,5 t2, м

и x2 = 3 – 2t + t

2, м.

1. В какой момент времени t1 скорости этих точек будут одинаковы?

2. Какой путь прошла вторая точка за это время?

102. Зависимость пути, пройденного точкой по окружности радиуса R = 2,0 м,

от времени выражено уравнением l = t + 3 t2

, м.

1. Найдите полное ускорение точки через t = 1,0 с после начала движения.

2. Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в этот

момент времени? Решение поясните рисунком.

103. Наклонная плоскость, образующая угол α = 30º с горизонтом, имеет длину

l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с вершины

плоскости к ее основанию за время t = 2 с.

48

1. Определите коэффициент трения тела о плоскость.

2. Какую скорость будет иметь тело у основания плоскости?

104. Зависимость координаты от времени тела массой m = 5 кг при торможении

выражена уравнением x = 12 t – 1,6 t2.

1. Найдите путь, пройденный телом до полной остановки.

2. Как зависит сила, действующая при этом на тело, от времени? Чему

равна эта сила через t = 2 с после начала торможения?

105. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол

α = 45º. Зависимость пройденного телом пути от времени задана уравне-

нием l = ct2, где c = 1,73 м/с

2.

1. Найдите коэффициент трения μ тела о плоскость.

2. Чему будет равна скорость тела к моменту времени, когда оно пройдет

расстояние l = 10 м?

106. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 40 м. Зависи-

мость пути от времени движения точки определяется уравнением

l = 8 – t + 4 t2 +1 t

3 .

1. Чему равна величина линейной скорости точки в момент времени t = 4 с

после начала движения?

2. Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в момент

времени t = 4 с после начала движения? Решение поясните рисунком.

107. Точка начинает двигаться по окружности радиуса R = 16,0 м с танген-

циальным ускорением аτ = 10 м/с2.

1. Чему равно полное ускорение точки через три секунды t = 2 с после

начала движения? Решение поясните рисунком.

2. Чему равна величина угловой скорости и углового ускорения при этом

движении в этот момент времени?

108. Тело, имеющее постоянную массу, начинает тормозить. Путь при тормо-

жении изменяется с течением времени согласно уравнению l = 196 t – t3.

В момент остановки сила торможения достигла значения Fост = 48 Н.

1. Определите, какой путь l прошло тело от начала торможения до полной

остановки.

2. Чему равна сила торможения через t = 3 мин после начала торможения?

49

109. Точка движется по окружности радиуса R = 8 м. В некоторый момент

времени нормальное ускорение точки равно аn = 4 м/с2 и образует с

вектором полного ускорения угол α = 60º.

1. Чему равна скорость точки в этот момент времени?

2. Найдите величину тангенциального ускорения в этот момент времени.

Решение поясните рисунком.

110. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость

координаты х от времени дается уравнением х = А – Bt + Ct2 , где

C = 5 м/с2 и B = 10 м/с

2.

1. Определите результирующую силу, действующую на тело во время дви-

жения.

2. В какой момент времени тело остановится, и какой путь оно пройдет до

остановки?

111. Каток в виде однородного цилиндра массой m = 2,0 кг катится по

горизонтальной поверхности под действием силы F = 10 Н, приложенной к

его оси. Сила направлена перпендикулярно оси катка и составляет с

горизонтом угол α = 30º.

1. Определите ускорение, с которым перемещается ось катка.

2. Чему равен момент этой действующей силы относительно оси,

проходящей через точки касания катка дороги в некоторый момент

времени? Покажите на рисунке направление этого момента силы.

112. Две гири разной массы соединены нерастяжимой, невесомой нитью,

перекинутой через блок радиуса R = 20 см, момент инерции которого равен

J = 50 кг∙м2. Момент силы трения, действующей на блок, равен

Мтр = 98,1 Н∙м.

1. Определите разность сил натяжения нити по обе стороны блока (Т1– Т2),

если угловое ускорение блока постоянно и равно ε = 2,36 рад/с2.

2. На какое расстояние l переместится каждая гиря за время t = 1,0 с?

113. Тонкий стержень длиной l = 0,5 м и массой m = 400 г начинает вращаться

вокруг оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его

длине, с угловым ускорением ε = 3 рад/с2.

50

1. Определите момент силы, действующей на тело. На рисунке покажите

направление этого момента.

2. Сколько оборотов сделает стержень за первые три секунды вращения?

114. Диск, момент инерции которого J = 40 кг∙м2, начинает вращаться равно-

ускоренно под действием момента силы М = 20 Н∙м.

1. Какой момент импульса будет иметь тело через t = 10 с вращения? На

рисунке покажите направление этого момента импульса.

2. Сколько полных оборотов сделает диск за этот промежуток времени?

115. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило частоту вращения от

n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин за время t = 1 мин. Момент инерции

колеса J = 2 кг∙м2.

1. Определите угловое ускорение колеса и покажите на рисунке, как оно

направлено.

2. Как направлен момент сил торможения, и чему он равен?

116. Шар массой m = 2,0 кг и радиусом R = 5 см вращается вокруг оси,

проходящей через центр масс шара, согласно уравнению φ = 3 t2+ t.

1. Сколько оборотов сделает шар за время t = 10 с?

2. Определите момент импульса шара через две минуты после начала

движения и покажите на рисунке направления векторов момента импульса

и углового ускорения.

117. На барабан радиусом R = 25 см, момент инерции которого J = 1 кг∙м2,

намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала

движения высота груза над полом была равна h = 1,0 м.

1. Определите момент импульса L барабана в момент удара груза о пол. На

рисунке покажите направление этого момента импульса.

2. Определите силу натяжения нити Т при движении груза.

118. Тонкостенный цилиндр, масса которого m = 12 кг, а диаметр D = 30 см,

вращается согласно уравнению φ = 4+2 t – 0,2 t3.

1. Определите угловое ускорение диска в момент времени t = 2,0 с.

Покажите на рисунке, как оно направлено.

2. Чему равен момент сил, действующий на тело, в момент времени

t = 3,0 с? На рисунке покажите направление этого момента.

51

119. На обод маховика диаметром D = 30 см намотан шнур, к концу которого

привязан груз массой m = 2,0 кг.

1. Определите момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускорен-

но за время t = 3,0 с, приобрел угловую скорость ω = 9 рад/с.

2. На какую высоту h при этом опустился груз?

120. Блок, массу m = 2,0 кг которого считать равномерно распределенной по

ободу, вращается с частотой n = 12 об/с. Диаметр блока D = 30 см.

1. Определите, какой момент сил надо приложить к блоку, чтобы он,

двигаясь равнозамедленно, остановился в течение Δ t = 8,0 с. На рисунке

покажите направление этого момента сил.

2. Сколько оборотов он сделает до остановки?

121. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой

М = 300 кг, ударяет молот массой m = 8,0 кг.

1. Определите КПД удара, если удар неупругий. Полезной считать

энергию, затраченную на деформацию.

2. Какую энергию будет иметь боек перед ударом, если при размахе он был

поднят на высоту h1 = 2 м?

122. Боек массой M = 0,5 т падает на сваю массой m = 120 кг с высоты h1 = 5 м.

1. Определите КПД неупругого удара. Полезной считать энергию,

затраченную на вбивание сваи.

2. Найдите среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного

удара свая входит в грунт на глубину h2 = 4,0 см.

123. Сплошной цилиндр массой m = 8,0 кг скатывается без трения с наклонной

плоскости высотой h = 0,5 м, составляющей угол α = 30º с горизонтом.

Начальная скорость цилиндра равна нулю.

1. Определите скорость поступательного движения цилиндра у основания

плоскости.

2. За какое время цилиндр скатится с наклонной плоскости?

124. По горизонтальной, плоской поверхности движется шар массой m = 1,0 кг

со скоростью v1 = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m = 2,0 кг, который

движется навстречу ему со скоростью v2 = 3 м/с.

52

1. Найдите скорости u1 и u2 шаров после удара. Удар считать центральным,

абсолютно упругим.

2. Определите коэффициент сопротивления, если второй шар, предостав-

ленный сам себе после удара, остановится, пройдя путь l = 1,8 м.

125. Стальной шарик массой m = 10 г упал с высоты h1 = 1 м на стальную

плиту и подскочил после удара на высоту h2 = 0,8 м.

1. Определите изменение импульса p

шарика при ударе. На рисунке

покажите направление вектора p

.

2. Какое количество теплоты выделилось при ударе?

126. Цилиндр массой m = 1,0 кг движется без проскальзывания по горизон-

тальной дороге со скоростью v = 14 м/с.

1. Через какое время цилиндр остановится, если на него действует сила

трения F = 50 Н?

2. Какую работу совершит при этом сила трения?

127. Стержень длиной l = 1м и массой М = 7,0 кг может свободно вращаться в

вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его

верхний конец. В другой его конец попадает пуля массой m = 0,01кг,

летящая со скоростью v = 500 м/с перпендикулярно оси и стержню, и

застревает в нем.

1. Чему равна угловая скорость движения стержня с пулей сразу после

застревания в нем пули?

2. На какой максимальный угол отклонится стержень с пулей после удара?

128. Горизонтально летящая пуля массой m = 10 г со скоростью v1 = 400 м/с

попадает в деревянный куб массой М = 0,50 кг, лежащий на

горизонтальной поверхности, и пробивает его. Скорость пули при вылете

из куба равна v2= 100 м/с.

1. Найдите, какая часть энергии пули перешла в тепло, если траектория

движения пули проходит через центр куба.

2. Чему равен коэффициент трения между кубом и поверхностью, если

после удара куб пройдет до остановки l = 0,5 м?

53

129. Шар массой m = 1,0 кг и радиусом R = 3 см катится по горизонтальной

поверхности без проскальзывания, ударяется о стенку и отскакивает от нее

со скоростью v = 8 см/с. Скорость шара до удара равна v = 10 см/с.

1. Найдите импульс силы, действующей на стенку во время удара, по

модулю и направлению.

2. Какое количество теплоты выделилось при ударе?

130. Маховик вращается с частотой n = 10 об/с, при этом его кинетическая

энергия равна Wk = 7,85 кДж.

1. За какое время вращающий момент М = 50 Н∙м, действующий на

маховик, увеличит его скорость в два раза?

2. Какую работу должны совершить силы торможения, чтобы остановить

диск, вращающийся с частотой n?

131. Какую температуру T имеет масса т = 2 г азота, занимающего объем

V = 820 см3, при давлении Р = 0,2 МПа?

1. Сколько молекул азота находится в сосуде?

2. Какую среднюю квадратичную скорость имеют молекулы этого газа?

3. Чему равна молярная теплоемкость этого газа при изохорическом

процессе?

132. Какой объем V занимает кислород массой т = 10 г при давлении

Р = 100 кПа и температуре t = 20°C?

1. Сколько молей газа находится в сосуде?

2. Сравните энергию поступательного и вращательного движения одной

молекулы этого газа.

3. Какова средняя арифметическая скорость движения молекул газа?

133. Баллон объемом V = 12 л наполнен азотом при давлении Р = 8,1 МПа и

температуре t = 17°C.

1. Какая масса т азота находится в баллоне?

2. Сколько молей азота помещено в сосуд? Какова плотность газа в этом

сосуде?

3. Чему равна энергия поступательного движения всех молекул?

134. В баллоне объемом V находится газ под давлением P1 = 10 МПа.

1. Какое количество газа надо взять из баллона, если давление стало

54

равным P2 = 2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной и равной

t = 27°С.

2. Какое число молекул газа забрали из сосуда?

3. Как изменилась средняя квадратичная скорость движения молекул?

4. Чему равна энергия поступательного движения одной молекулы этого

газа?

135. В баллоне объемом V = 10 м3 при давлении Р = 96 кПа и температуре

t = 17°С находится газ.

1. Какое количество газа v находится в баллоне?

2. Чему равна энергия поступательного и вращательного движения всех

молекул этого газа, если газ является трехатомным?

3. Какое значение имеет коэффициент Пуассона для этого газа?

136. Некоторый газ при температуре t = 10°C и давлении P = 200 кПа имеет

плотность = 0,34 кг/м3.

1. Найдите молярную массу М газа.

2. Какова концентрация газа при этих условиях?

3. С какой средней арифметической скоростью движутся молекулы газа?

137. В сосуде объемом V = 4 л находится масса т = 1 г водорода.

1. Какое число молекул п содержит единица объема сосуда?

2. Каково давление газа в сосуде, если температура системы T = 273 К?

3. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул?

138. В сосуде объемом V = 2 л находится масса т = 10 г кислорода при

давлении Р = 90,6 кПа.

1. Найдите среднюю квадратичную скорость <vкв> молекул газа.

2. Какое число молекул N газа находится в сосуде?

3. Чему равна плотность газа при этих условиях?

139. Плотность некоторого газа равна = 0,06 кг/м3, а средняя квадратичная

скорость его молекул <vкв> = 500 м/с.

1. Найдите давление Р, которое газ оказывает на стенки сосуда.

2. Определите концентрацию газа n.

3. Чему равна энергия теплового движения молекул, находящихся в едини-

це объема сосуда, если газ является 2-атомным?

55

140. Двухатомный газ находится в сосуде объемом V = 10 см3

при давлении

Р = 5,3 кПа и температуре t = 27°С.

1. Какое число молекул N находится в этом сосуде?

2. Какой энергией теплового движения U обладают эти молекулы?

3. Чему равна молярная теплоемкость этого газа при изобарическом

процессе?

141. Два моля двухатомного идеального газа сжимаются один раз изотермичес-

ки, а второй раз адиабатически. Начальные параметры газа в обоих

случаях одинаковы. Постройте графики этих процессов в координатах

Р – V. Покажите работы при этих процессах на графике.

1. Найдите отношение работы сжатия при адиабатном процессе к работе

сжатия при изотермическом процессе, если в обоих случаях объем

уменьшается в три раза.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

142. При изобарном нагревании газа на ΔT1 = 100 К требуется Q12 = 4,2 кДж

теплоты, а при изохорном охлаждении газ отдает Q23 = 5,04 кДж теплоты

при уменьшении давления в два раза. Начальная температура газа при

изохорном охлаждении Т2 = 400 К. Постройте графики этих процессов в

координатах Р – V.

1. Определите коэффициент Пуассона для этого газа.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

143. При изотермическом расширении ν = 0,4 моля водорода было подведено

Q = 800 Дж теплоты. Температура водорода Т = 300 К. После изотерми-

ческого расширения газ изобарически сжали до первоначального объема.

Постройте график этого процесса в координатах Р – V.

1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в

конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

56

144. Двуокись углерода массой m = 4,4 кг при давлении Р1 = 2∙105

Па адиабати-

чески сжали до некоторого давления Р2, при этом его внутренняя энергия

изменилась на ΔU = 108 Дж. После сжатия газ изобарически расширился

до начального объема. Постройте график этого процесса в координатах

Р – V.

1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в

конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

145. При изохорном нагревании на ΔT = 10 К газа массой m = 20 г требуется

Q1 = 630 Дж теплоты, а при изобарном Q2 = 1050 Дж.

1. Определите молярную массу газа.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом, если начальная температура Т1 = 300 К.

146. Десять молей двуокиси углерода (СО2), находящейся при температуре

T = 300 К и давлении P1 = 2,0∙105

Па, были адиабатически сжаты до

некоторого давления Р2, при этом объем уменьшился в два раза. После

сжатия газ расширился изобарически до первоначального объема.

1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в

конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

147. Один моль двухатомного газа адиабатически расширяется так, что его

давление уменьшается в 5 раз, а затем изотермически сжимается до

первоначального давления. Начальная температура газа T = 600 К.

Постройте график процесса в координатах Р – V.

1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в

конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

148. Десять молей двуокиси углерода (СО2), находящейся при температуре

T = 300 К и давлении P1 = 2,0∙105

Па, были адиабатически сжаты до

57

некоторого давления Р2, при этом объем уменьшился в два раза. После

сжатия газ изохорически охладился до первоначального давления.

1. Определите суммарную работу газа при переходе из начального в

конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

149. Двухатомный идеальный газ в количестве v = 20 молей, имеющий

давление Р1 = 105

Па и занимающий объем V1 = 1 м3, сжали изобарически

до объема в пять раз меньше первоначального, а затем изотермически газ

расширился до первоначального объема.

1. Определите суммарное количество теплоты, полученное и отданное

газом при переходе из начального в конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

150. При изотермическом расширении 2 кг водорода, взятых при давлении

Р = 6∙105 Па и объеме V1 = 8,31 м

3 , была совершена работа А = 5,47∙ 10

6Дж.

После изотермического расширения газ был адиабатически сжат, причем

была совершена такая же по величине работа, что и при расширении.

1. Найдите изменение внутренней энергии газа при переходе из начального

в конечное состояние.

2. Найдите изменение энтропии ΔS газа для каждого из изопроцессов и для

всего процесса в целом.

151. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

бесконечно протяженной заряженной нитью, как функцию расстояния r от

нити. Линейная плотность заряда нити равна τ = 5,0 нКл/м. Постройте

график зависимости E = f ( r ).

152. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

тонкостенным, бесконечно протяженным, металлическим цилиндром

радиуса R = 5,0 см, как функцию расстояния r от оси цилиндра.

Поверхностная плотность заряда цилиндра равна σ = 10 нКл/м2. Постройте

график зависимости E = f ( r ).

58

153. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

сплошным стеклянным, бесконечно протяженным цилиндром радиуса

R = 1,0 см, как функцию расстояния r от оси цилиндра. Объемная

плотность заряда цилиндра равна ρ = 20 нКл/м3. Постройте график

зависимости E = f ( r ). Диэлектрическая проницаемость стекла ε = 6.

154. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

сплошным металлическим, бесконечно протяженным цилиндром радиуса

R = 10 см, как функцию расстояния r от оси цилиндра. Заряд,

приходящийся на один метр длины цилиндра, равен q/l = 10 нКл/м.

Постройте график зависимости E = f (r).

155. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

металлической сферической поверхностью радиуса R = 10 см, как

функцию расстояния r от центра сферы. Заряд сферы равен q = 30 нКл.

Постройте график зависимости E = f ( r ).

156. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

сплошным металлическим шаром радиуса R = 10 см, как функцию

расстояния r от центра шара. Заряд шара равен q = 33 нКл. Постройте

график зависимости E = f ( r ).

157. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

сплошным эбонитовым шаром радиуса R = 10 см, как функцию расстояния

r от центра шара. Объемная плотность заряда шара равна ρ = 10 нКл/м3.

Постройте график зависимости E = f ( r ). Диэлектрическая проницаемость

эбонита ε = 2,6.

158. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

заряженной, бесконечно протяженной металлической плоскостью, как

функцию расстояния r от плоскости. Поверхностная плотность заряда

плоскости равна σ = 10 нКл/м2. Постройте график зависимости E = f ( r ).

159. Используя теорему Гаусса, найдите напряженность поля, создаваемого

стеклянной бесконечно протяженной пластиной толщиной h = 10 см, как

функцию расстояния r от центра пластины. Объемная плотность заряда

пластины равна ρ = 20 нКл/м3. Постройте график зависимости E = f ( r ).

Диэлектрическая проницаемость стекла ε = 6.

59

160. Электрическое поле создается тонкостенным, бесконечно протяженным

металлическим цилиндром радиуса R = 5,0 см и бесконечно протяженной

заряженной нитью, расположенной вдоль оси цилиндра. Используя

теорему Гаусса, найдите напряженность поля, как функцию расстояния r

от оси цилиндра. Поверхностная плотность заряда цилиндра равна

σ = 10 нКл/м2, а линейная плотность заряда нити равна τ = 5,0 нКл/м.

Постройте график зависимости E = f ( r ).

161. Расстояние между двумя точечными зарядами q1 = 2 нКл и q2 = 4 нКл равно

a = 60 см.

1. Определите положение точки, в которую нужно поместить третий заряд

q3 так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Какой знак должен

иметь этот заряд?

2. Какую энергию имеет эта система зарядов, если величина заряда q3

равна q3 = 2 нКл?

162. Длинная, прямая тонкая проволока заряжена с линейной плотностью

τ. На расстоянии a = 0,5 м от проволоки напряженность поля равна

E = 2 В/см.

1. Определите линейную плотность заряда проволоки τ.

2. Какую работу надо совершить, чтобы точечный заряд q = 2 нКл перемес-

тить с расстояния r1 = 4 см на расстояние r2 = 2 см от проволоки?

163. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены в вершинах

равностороннего треугольника со стороной a = 20 см.

1. Какой заряд q0 надо поместить в центре треугольника, чтобы указанная

система зарядов находилась в равновесии?

2. С какой силой два заряда, находящиеся в двух соседних вершинах

треугольника, действуют на заряд, расположенный в третьей вершине

треугольника?

164. Два одинаковых положительных заряда q1 = q2 = 1 нКл находятся в воздухе

на расстоянии r1 = 8 см друг от друга.

1. Определите напряженность поля в точке, расположенной на расстоянии

a = 5 см от каждого заряда.

60

2. Определите потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии

a = 5 см от каждого заряда.

165. На двух одинаковых капельках масла находится по 100 лишних электро-

нов. Сила электрического отталкивания уравновешивается силой гравита-

ционного тяготения.

1. Найдите объем каждой капельки, если плотность масла ρ = 900 кг/м3.

2. Чему будет равен потенциал большой капельки, которая получится

после слияния двух данных капелек?

166. Равномерно заряженная, бесконечно протяженная плоскость с поверхност-

ной плотностью заряда σ = 4∙10–5

Кл/м2 и точечный заряд q = 10

–8 Кл нахо-

дятся на расстоянии r1 = 0,05 м.

1. Найдите суммарную напряженность поля E этих зарядов в точке,

расположенной на середине перпендикуляра к плоскости, опущенного из

точки, где находится заряд.

2. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния

r2 = 0,02 м?

167. Две бесконечно длинные, равномерно заряженные нити с линейной плот-

ностью τ1 = τ2 = 6∙10–5

Кл/м расположены на расстоянии r1 = 0,2 м друг от

друга.

1. Найдите напряженность электрического поля нитей в точке, удаленной

на a = 0,2 м от каждой нити.

2. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния

r2 = 0,1 м?

168. Три равных точечных заряда q1 = q2 = q3 = 2 нКл

расположены вдоль прямой на расстоянии a = 0,02 м

друг от друга (см.

1. Определите напряженность поля этих зарядов в

точке А.

2. Чему равна энергия этой системы зарядов?

169. На расстоянии r1 = 40 см от бесконечно длинной, заряженной нити нахо-

дится точечный заряд q = 7∙10–10

Кл. Под действием поля нити заряд

61

перемещается до расстояния r2 = 20 см, при этом силами поля совершается

работа А = 5 ∙10–6

Дж.

1. Найдите линейную плотность заряда нити τ.

2. Найдите напряженность поля заряда и нити в точке,

расположенной в плоскости, перпендикулярной нити, проходящей через

заряд и удаленной от нити и заряда на расстояние r2 = 0,2 м (см. рисунок).

170. Три точечных заряда qА = 3∙10–6

Кл, qВ = 5∙10–6

Кл и qC = – 6∙10–6

Кл

находятся в вершинах треугольника АВС со сторонами АВ = 30 см,

ВС = 40 см и СА = 50 см.

1. Чему равна напряженность поля, создаваемого зарядами qА и qВ в

вершине С?

2. Определите работу, необходимую для разведения зарядов на такое рас-

стояние, при котором силы их взаимодействия можно было бы считать

равными нулю. Заряды находятся в керосине (ε = 2,0).

171. Конденсатор с парафиновым диэлектриком (ε = 2,0) емкостью С = 44,2 пФ

заряжен до разности потенциалов U = 150 В и отключен от источника.

Напряженность поля внутри конденсатора Е = 600 В/м.

1. Определите поверхностную плотность заряда пластин конденсатора.

2. Как изменится энергия конденсатора при увеличении расстояния между

пластинами в два раза: d2 = 2 d1?

172. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора, отсоеди-

ненного от источника, равна U = 6 кВ, расстояние между пластинами d =

0,02 м, а площадь каждой из них равна S = 100 см2.

1. Определите силу взаимодействия между пластинами.

2. Как изменится объемная плотность энергии поля конденсатора, если

расстояние между пластинами уменьшить в два раза?

173. Конденсатор емкостью C1 = 3 мкФ зарядили до разности потенциалов

U = 300 В, а конденсатор емкостью C2 = 2мкФ – до 200 В. После зарядки

и отсоединения от источника питания конденсаторы соединили

параллельно.

1. Найти разность потенциалов на обкладках конденсаторов после

соединения.

62

2. Как изменится энергия этой системы конденсаторов после их

соединения?

174. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно d = 8 мм, а

площадь пластин S = 62,8 см2; пластины конденсатора присоединены к

источнику напряжения U = 600 В.

1. Чему равна напряженность поля конденсатора?

2. Какую работу нужно затратить, чтобы вдвинуть между пластинами

конденсатора пластину из стекла (ε = 7) той же площади и толщиной

d = 6 мм?

175. Два металлических шарика радиусами R1 = 5 см и R2 = 10 см имеют заряды

q1 = 40 нКл и q2 = 40 нКл соответственно.

1. Найдите потенциалы этих шаров.

2. Найдите энергию, которая выделится при разряде, если шары соединить

проводником, емкость которого пренебрежимо мала.

176. Конденсатор емкостью С1 = 667 пФ зарядили до разности потенциалов

U = 1,5 кВ и отключили от источника напряжения. Затем к нему парал-

лельно присоединили незаряженный конденсатор емкостью С2 = 444 пФ.

1. Определите величину заряда второго конденсатора после соединения.

2. Определите энергию, израсходованную на образование искры, проско-

чившей при соединении конденсаторов.

177. К батарее с ЭДС Е = 300 В подключены два плоских конденсатора емкос-

тями С1 = 2 пФ и С2 = 3 пФ.

1. Определите заряд Q и U на пластинах конденсаторов при их последо-

вательном соединении.

2. Определите заряд Q и U на пластинах конденсаторов при их параллель-

ном соединении.

178. Плоский воздушный конденсатор зарядили до разности потенциалов

U = 90 В. Площадь каждой пластины S = 60 см2, заряд q = 20 нКл.

1. Найдите расстояние между пластинами.

2. Как изменится энергия поля конденсатора при уменьшении расстояния

между пластинами в два раза?

63

179. Плоский конденсатор, заполненный диэлектриком, заряжен до некоторой

разности потенциалов. Его энергия при этом W = 20 мкДж. После того как

конденсатор отключили от источника, диэлектрик вынули из

конденсатора, при этом была совершена работа, равная А = 70 мкДж.

Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика ε.

180. Два металлических шарика радиусами R1 = 5 см и R2 = 10 см имеют заряды

q1 = 40 нКл и q2 = 40 нКл соответственно.

1. Определите величину заряда, прошедшего по проводнику, соединяюще-

му шарики, при установлении равновесия системы. Емкость соединитель-

ного проводника пренебрежимо мала.

2. Найдите изменение энергии первого шарика, если шары соединить про-

водником, емкость которого пренебрежимо мала.

64

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валишев М. Г. Курс общей физики : учеб. пособие / М. Г. Валишев,

А. А. Повзнер. СПб. : Лань, 2009. 576 с.

2. Валишев М. Г. Курс общей физики. Часть 1. Механика : учеб. пособие /

М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. Екатеринбург : УГТУ–УПИ, 2007. 74 с.

3. Валишев М. Г. Курс общей физики. Часть 8. Молекулярная физика и

термодинамика : учеб. пособие / М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. Екатеринбург :

УГТУ–УПИ, 2007. 73 с.

4. Валишев М. Г. Курс общей физики. Часть 2. Электростатика. Постоянный

ток : учеб. пособие / М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. Екатеринбург : УГТУ–УПИ,

2007. 58 с.

5. Валишев М. Г. Курс общей физики. Часть 3. Электромагнетизм : учеб.

пособие / М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. Екатеринбург: УГТУ–УПИ, 2007. 57 с.

6. Детлаф А. А. Курс физики : учеб. пособие для студентов втузов / А. А. Детлаф,

Б. М. Яворский. Изд. 6-е, стер. М. : Академия, 2007. 720 с.

7. Трофимова Т. И. Курс физики : учеб. пособие для инж.-техн. специальностей

вузов / Т. И. Трофимова. Изд. 14-е, стер. М. : Академия, 2007. 560 с.

8. Чертов А. Г. Задачник по физике : учеб. пособие для втузов / А. Г. Чертов,

А. А. Воробьев. Изд. 7-е, перераб. и доп. М. : Физматлит, 2003. 640 с.

9. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики с решениями /

Т. И. Трофимова, З. Г. Павлова. М. : Высшая школа, 2001. 591 с.

10. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики : для студентов

техн. вузов / В. С. Волькенштейн. Изд. 3-е, испр. и доп. СПб : Книжный мир,

2008. 328 с.

65

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................................................... 3

Общие методические указания................................................................................ 3

Контрольная работа №1 ........................................................................................... 8

Основные формулы и примеры решения задач .................................................. 8

1. Механика .......................................................................................................... 8

1. 1. Кинематика и динамика материальной точки .......................................... 8

1.2. Кинематика и динамика вращательного движения ................................... 9

1.3. Работа и мощность. Законы сохранения в механике ............................... 11

Примеры решения задач .................................................................................... 13

2. Молекулярная физика и термодинамика ...................................................... 28

Примеры решения задач .................................................................................... 31

3. Электростатика ............................................................................................... 37

Примеры решения задач .................................................................................... 39

Таблица вариантов к контрольной работе № 1 .................................................... 47

Задачи для контрольной работы № 1 .................................................................... 47

Библиографический список ................................................................................... 64

66

Учебное издание

Физика

Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электростатика

Составитель Звездина Наталья Александровна

Редактор В. И. Новикова

Компьютерный набор Н. Н. Анохиной

Подписано в печать 22.10.2010. Формат 60 84 1/16.

Бумага писчая. Плоская печать. Усл. печ. л. 3,66.

Уч.- изд. л. 3,2. Тираж 100 экз. Заказ

Редакционно-издательский отдел УрФУ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

rio@mail.ustu.ru

Ризография НИЧ УрФУ

620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19