Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 1

1. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

0 −1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0

.

3. Определить тип линии 4x2 − 4xy + y2 − 3x + 4y − 7 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2

2 + 4x23 − 4x3x4 + x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 2

1. Определить тип линии 4x2 + 4xy + y2 + 16x+ 8y + 15 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 15 12 0

12 9 −120 −12 3

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2

2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 3

1. Доказать, что кривая с уравнением 4x2 + 6xy − 4y2 − 6x− 10y − 3 = 0является гиперболой и найти уравнения ее асимптот.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 2 −2 0

−2 1 −20 −2 0

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).

4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2

2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 4

1. Определить тип линии x2 − 5xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 1 −2 0

−2 2 −20 −2 3

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).

4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2

2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +

2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену

переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 5

1. Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 3 2 0

2 4 −20 −2 5

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2

2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 6

1. Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 5 −2 −2

−2 6 0−2 0 4

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).

4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2

2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 7

1. Определить тип линии 5x2 − 2xy+ 5y2 − 4x+ 20y+ 20 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

19

−1 −4 8−4 −7 −48 −4 −1

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0,−1, 3), a3 = (0,−2,−3, 1).

4. Привести квадратичную форму 2x21 + x2

2 + 3x23 + 4x1x2 − 6x2x3 к кано-

ническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 8

1. Определить тип линии 8x2 + 4xy+ 5y2 + 16x+ 4y− 28 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 10

10 −11 1010 10 −11

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 1, 3, 4), a3 = (−1,−3,−5,−10).

4. Привести квадратичную форму x21 + x2

2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 9

1. Определить тип линии 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. разабольше расстояния между директрисами.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

12

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (−2, 0, 2, 8) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (2, 1, 3,−4), a2 = (5, 3, 5,−8).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма2x2

1 + 5x22 + 5x2

3 − 4x1x2 − tx1x3 − 8x2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 10

1. Найти вид и расположение квадрики 12xy + 5y2 − 12x − 22y − 19 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 −2

10 −14 −8−2 −8 −20

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (3, 1, 1,−2) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (4, 3, 1, 2).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма5x2

1 + 6x22 + 4x2

3 − 4x1x2 − tx1x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 11

1. Найти вид и расположение квадрики 4x2 − 4xy + y2 − 3x+ 4y − 7 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

19

1 4 44 1 44 4 1

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (2, 1, 0, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 1,−1, 3), a2 = (−1,−1, 4,−6).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма7x2

1 + 5x22 + 3x2

3 − 8x1x2 + tx2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 12

1. Найти вид и расположение квадрики 9x2− 4xy+6y2+16x− 8y− 2 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 9 6 −6

6 12 0−6 0 6

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (6, 2, 1, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (0, 2, 1, 0), a2 = (1, 1,−2, 1).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма3x2

1 + 4x22 + 5x2

3 + 4x1x2 + tx2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 13

1. Найти вид и расположение квадрики x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 3y − 7 = 0.Сделать чертеж.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 5x2 +8y2 +5z2 − 4xy + 8xz + 4yz − 6x+ 6y + 6z + 10 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).

4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2

2 + 4x23 − 4x3x4 + x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 14

1. Доказать, что квадрика 2x2 − xy − y2 + 3y − 2 = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 2xy+2xz+2yz + 2x+ 2y + 2z + 1 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2

2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 15

1. Доказать, что квадрика 2x2 + 3xy − 2y2 − 5x + 5y − 3 = 0 являетсяпарой пересекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системекоординат.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 3x2 +3y2 +3z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).

4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2

2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 16

1. Доказать, что квадрика 2x2−xy− 3y2− 2x+3y = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

0 −1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).

4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2

2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +

2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену

переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 17

1. Определить тип линии 4x2 − 4xy + y2 − 3x + 4y − 7 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 15 12 0

12 9 −120 −12 3

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2

2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 18

1. Определить тип линии 4x2 + 4xy + y2 + 16x+ 8y + 15 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 2 −2 0

−2 1 −20 −2 0

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).

4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2

2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 19

1. Доказать, что кривая с уравнением 4x2 + 6xy − 4y2 − 6x− 10y − 3 = 0является гиперболой и найти уравнения ее асимптот.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 1 −2 0

−2 2 −20 −2 3

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0,−1, 3), a3 = (0,−2,−3, 1).

4. Привести квадратичную форму 2x21 + x2

2 + 3x23 + 4x1x2 − 6x2x3 к кано-

ническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 20

1. Определить тип линии x2 − 5xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 3 2 0

2 4 −20 −2 5

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 1, 3, 4), a3 = (−1,−3,−5,−10).

4. Привести квадратичную форму x21 + x2

2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 21

1. Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 5 −2 −2

−2 6 0−2 0 4

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (−2, 0, 2, 8) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (2, 1, 3,−4), a2 = (5, 3, 5,−8).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма2x2

1 + 5x22 + 5x2

3 − 4x1x2 − tx1x3 − 8x2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 22

1. Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

19

−1 −4 8−4 −7 −48 −4 −1

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (3, 1, 1,−2) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (4, 3, 1, 2).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма5x2

1 + 6x22 + 4x2

3 − 4x1x2 − tx1x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 23

1. Определить тип линии 5x2 − 2xy+ 5y2 − 4x+ 20y+ 20 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 10

10 −11 1010 10 −11

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (2, 1, 0, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 1,−1, 3), a2 = (−1,−1, 4,−6).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма7x2

1 + 5x22 + 3x2

3 − 8x1x2 + tx2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 24

1. Определить тип линии 8x2 + 4xy+ 5y2 + 16x+ 4y− 28 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

12

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (6, 2, 1, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (0, 2, 1, 0), a2 = (1, 1,−2, 1).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма3x2

1 + 4x22 + 5x2

3 + 4x1x2 + tx2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 25

1. Определить тип линии 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. разабольше расстояния между директрисами.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 −2

10 −14 −8−2 −8 −20

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).

4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2

2 + 4x23 − 4x3x4 + x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 26

1. Найти вид и расположение квадрики 12xy + 5y2 − 12x − 22y − 19 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

19

1 4 44 1 44 4 1

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2

2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 27

1. Найти вид и расположение квадрики 4x2 − 4xy + y2 − 3x+ 4y − 7 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 9 6 −6

6 12 0−6 0 6

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).

4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2

2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 28

1. Найти вид и расположение квадрики 9x2− 4xy+6y2+16x− 8y− 2 = 0.Сделать чертеж.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 5x2 +8y2 +5z2 − 4xy + 8xz + 4yz − 6x+ 6y + 6z + 10 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).

4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2

2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +

2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену

переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 29

1. Найти вид и расположение квадрики x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 3y − 7 = 0.Сделать чертеж.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 2xy+2xz+2yz + 2x+ 2y + 2z + 1 = 0.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2

2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 30

1. Доказать, что квадрика 2x2 − xy − y2 + 3y − 2 = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 3x2 +3y2 +3z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).

4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2

2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 31

1. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

0 −1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0

.

3. Определить тип линии 4x2 − 4xy + y2 − 3x + 4y − 7 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2

2 + 4x23 − 4x3x4 + x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 32

1. Определить тип линии 4x2 + 4xy + y2 + 16x+ 8y + 15 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 15 12 0

12 9 −120 −12 3

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2

2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 33

1. Доказать, что кривая с уравнением 4x2 + 6xy − 4y2 − 6x− 10y − 3 = 0является гиперболой и найти уравнения ее асимптот.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 2 −2 0

−2 1 −20 −2 0

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).

4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2

2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 34

1. Определить тип линии x2 − 5xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 1 −2 0

−2 2 −20 −2 3

.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (2,−1, 0, 1), a2 = (4, 0, 1, 4), a1 = (−3, 6,−3, 0).

4. Привести квадратичную форму x21 − 2x1x2 + x2

2 + x23 + 2x1x3 − 2x1x4 +

2x2x3 − 4x2x4 − 2x24 к каноническому виду и найти соответствующую замену

переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 35

1. Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 3 2 0

2 4 −20 −2 5

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 2,−1, 0), a2 = (2, 4, 1,−1), a3 = (4, 8,−1,−1).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x2

2 + x23 + 2x1x2 − 4x1x3 − 3x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 36

1. Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 5 −2 −2

−2 6 0−2 0 4

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (1,−1, 1, 3), a3 = (3, 1, 5, 3).

4. Привести квадратичную форму x21 + 4x2

2 + x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 37

1. Определить тип линии 5x2 − 2xy+ 5y2 − 4x+ 20y+ 20 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

19

−1 −4 8−4 −7 −48 −4 −1

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (2, 0,−1, 3), a3 = (0,−2,−3, 1).

4. Привести квадратичную форму 2x21 + x2

2 + 3x23 + 4x1x2 − 6x2x3 к кано-

ническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 38

1. Определить тип линии 8x2 + 4xy+ 5y2 + 16x+ 4y− 28 = 0, написать ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 10

10 −11 1010 10 −11

.

3. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожден-ному системой векторов a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 1, 3, 4), a3 = (−1,−3,−5,−10).

4. Привести квадратичную форму x21 + x2

2 + 4x23 − 2x1x2 + 4x1x3 − x2x3 к

каноническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 39

1. Определить тип линии 7x2 + 6xy − y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написатьее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат. разабольше расстояния между директрисами.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

12

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (−2, 0, 2, 8) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (2, 1, 3,−4), a2 = (5, 3, 5,−8).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма2x2

1 + 5x22 + 5x2

3 − 4x1x2 − tx1x3 − 8x2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 40

1. Найти вид и расположение квадрики 12xy + 5y2 − 12x − 22y − 19 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей −11 10 −2

10 −14 −8−2 −8 −20

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (3, 1, 1,−2) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (4, 3, 1, 2).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма5x2

1 + 6x22 + 4x2

3 − 4x1x2 − tx1x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 41

1. Найти вид и расположение квадрики 4x2 − 4xy + y2 − 3x+ 4y − 7 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей

19

1 4 44 1 44 4 1

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (2, 1, 0, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (1, 1,−1, 3), a2 = (−1,−1, 4,−6).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма7x2

1 + 5x22 + 3x2

3 − 8x1x2 + tx2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 42

1. Найти вид и расположение квадрики 9x2− 4xy+6y2+16x− 8y− 2 = 0.Сделать чертеж.

2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов самосопря-женного линейного оператора, заданного матрицей 9 6 −6

6 12 0−6 0 6

.

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую век-тора b = (6, 2, 1, 1) относительно подпространства, порожденного системойвекторов a1 = (0, 2, 1, 0), a2 = (1, 1,−2, 1).

4. Найти все значения параметра t, при которых квадратичная форма3x2

1 + 4x22 + 5x2

3 + 4x1x2 + tx2x3 положительно определена.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 43

1. Найти вид и расположение квадрики x2 − 4xy + 4y2 + 4x− 3y − 7 = 0.Сделать чертеж.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 5x2 +8y2 +5z2 − 4xy + 8xz + 4yz − 6x+ 6y + 6z + 10 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1,−1, 1, 0), a2 = (4,−2, 0, 3), a1 = (5, 3,−2, 1).

4. Привести квадратичную форму 3x21 + 8x1x2 − 3x2

2 + 4x23 − 4x3x4 + x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 44

1. Доказать, что квадрика 2x2 − xy − y2 + 3y − 2 = 0 является парой пе-ресекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системе координат.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 2xy+2xz+2yz + 2x+ 2y + 2z + 1 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 2,−3, 0), a2 = (4, 7,−8, 1), a1 = (4, 5, 0,−5).

4. Привести квадратичную форму x21 + 2x1x2 − x2

2 − 2x23 − 4x3x4 − 2x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебреСеместр III, мат-мех факультет, заочное отделение

Вариант № 45

1. Доказать, что квадрика 2x2 + 3xy − 2y2 − 5x + 5y − 3 = 0 являетсяпарой пересекающихся прямых и найти их уравнения в исходной системекоординат.

2. Определить вид и найти каноническое уравнение квадрики 3x2 +3y2 +3z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.

3. Построить ортогональный базис подпространства, порожденного дан-ной системой векторов a1 = (1, 1, 2, 0), a2 = (4, 2, 3, 1), a1 = (−4, 0, 5, 1).

4. Привести квадратичную форму 9x21 + 5x2

2 + 8x23 − 4x2x4 + 4x3x4 + 8x2

4 кканоническому виду и найти соответствующую замену переменных.