СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯblog.zabedu.ru/matem/wp-content/uploads/sites/10/2014/07... · Web view2.1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1) Запишите решение

Глава 2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

2.1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1) Запишите решение задачи в виде выражения:

На кондитерской фабрике пирожные раскладывают в пакеты по 10

штук в каждом, а затем в коробки по 10 пакетов в каждую коробку. К

школьному празднику в буфет привезли 2 полные коробки, 4 пакета и

еще 3 пирожных. Сколько всего пирожных привезли в буфет?

2) Проверьте себя: 2 10 4 10 32 .

3) Запишите в виде выражения решение следующей задачи:

На кондитерской фабрике пирожные раскладывают в пакеты по 5

штук в каждом, а затем в коробки по 5 пакетов в каждую коробку. К

школьному празднику в буфет привезли 2 полные коробки, 4 пакета и

еще 3 пирожных. Сколько всего пирожных привезли в буфет?

4) Сравните выражения 2 10 4 10 32 и 2 5 4 5 32 , которые

соответствуют задачам. Что в них общего, чем они отличаются?

Значения первого выражения можно записать 24310, значение второго

2435.

24310 - это запись числа в десятичной системе счисления;

2435 - это запись числа в пятеричной системе счисления.

Если число записывают в десятичной системе счисления, то индекс 10

обычно не пишут, а подразумевают; если же число записано в

недесятичной системе счисления, то индекс обязательно пишут.

5) Что, по-вашему, означает запись 2436? Как можно в данном случае

представить упаковку пирожных по пакетам и коробкам?

Запишите число 2436 в десятичной системе счисления.

6) Сколько пирожных привезли в школу, если их количество можно

записать так: а) 2437? б) 2438? в) 2439?

Правильно читайте и записывайте название систем счисления:

двоичная, троичная, четверичная, пятеричная, шестеричная,

семеричная, восьмеричная, девятеричная и так далее.

2.2. ПЕРЕСЧЕТ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

1) Пусть у вас столько счетных палочек, сколько их изображено на

рисунке 17:

Сделайте рисунок, который покажет, сколько здесь десятков и сколько

отдельных палочек. Запишите количество палочек в десятичной системе

счисления.

2) Как считали палочки сейчас (рис. 18)?

Запишите количество палочек в той системе счисления, к которой

подходит рисунок 18.

3) Сделайте рисунки с палочками, которые соответствовали бы

записям 537 и 429. Сколько всего палочек в этих случаях?

4) Посчитайте 38 палочек в пятеричной системе счисления.

Как следует поступить, если получено 5 пучков по 5 палочек?

5) 38 палочек считали так, как показано на рисунке 19:

Рис. 17

Рис. 18

В какой системе счисления их считали? Запишите количество палочек в

этой системе счисления.

6) Запишите какое-нибудь двузначное число и нарисуйте такое же

количество палочек (кругов, звездочек). Пересчитайте их и запишите

полученные числа в различных системах счисления.

2.3. ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1) В каких системах счисления записаны числа? (Иначе говорят: «Чему

равно основание системы счисления, в которой записано число?»):

4245; 1257; 859; 3324; 2056; 2768?

Запишите данные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

2) Проверьте свои записи: 859=89+5; 2768=282+78+6.

Используя запись чисел в виде суммы разрядных слагаемых, запишите

числа из пункта «1» по убыванию.

3) Переведите в десятичную систему счисления:

а) 2103; б) 10012; в) 10013; г) 111112; д) 22224; е) 123214; ж) 1235;

з) 10235; и) 3216; к) 3217; л) 11118; м) 1067; н) 10056; о) 1289.

4) Найдите основание систем счисления, в которых верны равенства:

а) 212m=38; б) 72m=58; в) 555m=215; г) 444m=228; д) 10101m=21;

е) 1011m=31; ж) 11011m=27; з) 237m=196; и) 732m=474; к) 3003m=1878.

5) Составьте несколько равенств с числами в различных системах

счисления и предложите друзьям отгадать их основание.

Рис. 19

2.4. КОЛИЧЕСТВО ЦИФР

1) Ученик записал несколько чисел в различных системах счисления:

2123; 2266; 12304; 5557; 7775.

Правильно ли он их записал?

Укажите те записи, которые, по-вашему, ошибочны. В чем их ошибка?

2) Если вы не смогли найти ошибки, подумайте, сколько цифр

используют в десятичной системе счисления и почему их столько.

3) Сколько цифр должно быть в системе счисления с основанием m?

Приведите список всех цифр для случаев m 8 , m5 , m2 .

4) Исправьте неверные записи пункта «1» изменив некоторые цифры.

А теперь исправьте те же записи, оставив цифры прежними, но

изменив основание системы счисления.

5) Выберите основание системы счисления, а затем переведите в

десятичную систему счисления числа:

а) 270m; б) 98m; в) 3111m; г) 1101m; д) 10401m; е) 181m; ж) 1357m.

2.5. РЯД НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

1) В каких системах счисления записано начало ряда натуральных

чисел:

а) 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12,...? б) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11,... ?

в) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11,... ? г) 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100,..?

Как вы нашли основание системы счисления в каждом случае?

2) Запишите начало ряда натуральных чисел в тех системах счисления,

которые не использованы в пункте «1».

Есть ли в ваших записях трехзначные числа? А четырехзначные?

Если да, то в каких системах счисления вы их записали? Каким было по

счету первое трехзначное и первое четырехзначное число?

3) Каким по счету будет первое трехзначное число в шестеричной

системе счисления? А в девятеричной?

Каким по счету будет первое четырехзначное число в четверичной

системе счисления? А в восьмеричной?

4) В натуральном ряду, записанном в системе счисления с основанием

m , первое пятизначное число стоит на 625-м месте. Чему равно m?

Ответьте на аналогичный вопрос, если первое шестизначное число

стоит на 1024-м месте.

Чему равно m , если первое восьмизначное число стоит на 128-м

месте?

5) Отрезки натурального ряда записаны в различных системах

счисления:

а) .., 254, 255, 300, 301,...; б) ..,1101, 1110, 1111, 10000,...;

в) ..,105, 106, 110,...; г) ..,764, 765, 766, 767,...

Определите, в каких системах счисления сделаны записи. Для всех ли

случаев можно найти основание системы счисления? Почему?

Продолжите данные отрезки натурального ряда в обе стороны. Если

нужно, выберите основание системы счисления.

6) Запишите отрезок натурального ряда в тех системах счисления,

которых нет в пункте «5». Выбирайте в каждом случае такие числа, чтобы

из записей было ясно, в каких системах счисления они сделаны.

2.6. КОЛИЧЕСТВО ЗНАКОВ, НЕОБХОДИМОЕ ДЛЯ ЗАПИСИ ЧИСЛА

1) Пересчитайте круги

на рисунке 20:

В каких системах счисления количество кругов записывается

двузначным числом? В каких системах счисления - трехзначным?

Существуют ли системы счисления, в которых количество кругов

записывается четырехзначным числом? А пятизначным?

Если такие системы счисления существуют - сделайте запись, если не

существуют - объясните почему.

2) Натуральное число n в десятичной системе счисления

удовлетворяет двойному неравенству 35 216 n . Сколькими цифрами оно

записывается в шестеричной системе счисления?

3) О натуральном числе k известно, что 25 40 k . В каких системах

счисления k - трехзначное число?

4) Укажите число, которое в одной системе счисления записывается

двумя знаками, в другой - четырьмя.

А существуют ли числа, которые в одной системе счисления являются

двузначными, а в другой - семизначнми?

Если таких чисел несколько, запишите ответ в виде двойного

неравенства.

5) Придумайте задание, связанное с количеством знаков, которое

требуется для записи числа в недесятичных системах счисления.

2.7. РАЗРЯДНЫЕ ЕДИНИЦЫ


1) Как называют числа 1, 10, 100, 1000, 10000 и так далее?

Разрядные единицы можно записать и в других системах счисления.

Рис. 20

Например,

1, 102, 1002, 10002 - разрядные единицы в двоичной системе счисления;

1, 103, 1003, 10003 - разрядные единицы в троичной системе счисления.

Переведите эти числа в десятичную систему счисления. В чем их

особенность?

2) Какие из чисел

32, 625, 500, 243, 256, 1001, 343, 216, 729, 1024, 1111, 3125

являются разрядными единицами в некоторых системах счисления? В

каких именно системах счисления каждое из этих чисел является

разрядной единицей?

Запишите в десятичной системе счисления несколько чисел, которые

являются разрядными единицами в других системах счисления. Как вы

выбирали эти числа?

3) Число n - разрядная единица в системе счисления с основанием m ,

причем 100 150 n . Чему может равняться m? Чему при этом равно n?

Ответьте на аналогичный вопрос, если:

а) 250 350 n ; б) 450 550 n ; в) 500 800 n .

4) Придумайте, а затем выполните задание, связанное с разрядными

единицами, записанными в недесятичных системах счисления.

2.8. ПЕРЕВОД ЧИСЛА В НЕДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

1) Пусть требуется перевести число 69 в пятеричную систему

счисления. Разделим с остатком 69 на 5: 69:5=13(ост. 4).

Этому действию

можно соответствует

схема на рисунке 21:

Объясните, почему равенству 69:5=13(ост. 4) соответствует рисунок 21.

Поскольку на рисунке 21 имеется 13 групп палочек (по 5 в каждой), то

на следующем этапе делим с остатком 13 на 5: 13:5=2(ост. 3).

Этому делению

соответствует схема на

рисунке 22:

Сейчас у нас две «большие» группы палочек (состоящие, в свою

очередь, из групп по 5 палочек в каждой). Поэтому теперь делим с

остатком 2 на 5: 2:5=0(ост. 2).

В процессе деления у нас получались остатки 4, 3, 2. Поэтому 69=2345.

Покажите, что это равенство является верным.

2) Учитель дал задание перевести число n в m -ичную систему

счисления.

Ученик начал выполнять задание так (рис. 23):

Первый этап:

Рис. 21

Рис. 22

Второй этап:

Чему равны n и m?

3) С помощью аналогичных схем переведите:

а) 22 в троичную, а затем в двоичную систему счисления;

б) 100 в шестеричную, а затем в девятеричную систему счисления;

в) другие числа в другие системы счисления по своему выбору.

2.9. АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА ЧИСЛА

В НЕДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

1) Переведите число 127 в шестеричную, а затем в троичную систему

счисления.

2) Процедуру перевода числа 127 в различные системы счисления

можно представить в виде схем, изображенных на рисунках 24:

Объясните, как построены эти схемы.

Прочитайте числа по стрелкам, а затем проверьте, что: 127=3316;

127=112013.

3) С помощью аналогичных схем переведите:

Рис. 23

127 127

21 1 42 1

3 3 14 0

а) б) 4 2

1 1

Рис. 24

а) 37 в двоичную систему счисления;

б) 250 в пятеричную и в шестеричную системы счисления;

в) 90, 121, 358, 1000 и любые другие числа в другие системы

счисления по своему выбору.

2.10. ПЕРЕВОД ЧИСЛА В НЕДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

1) Определите, в какие системы счисления переводятся числа в

каждом случае (рис. 25):

2) Запишите другие многозначные числа и переведите их в те системы

счисления, которых нет в задании пункта «1».

3) Поставьте вместо звездочек нужные числа и завершите построение

схем (рис. 26). Для каждого случая найдите основание системы счисления:

72 100 81 162

14 2 14 2 20 1 18 0

2 4 2 0 5 0 2 0

а) б) в) г) 1 1

Рис. 25

47 112 144 243

* 0 * 1 16 0 * 0 * 0

11 1 2 2 * 0

* 0 а) б) в) г) * 0

Рис. 26

2.11. ДВЕНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

1) Сколько цифр должно быть в двенадцатеричной системе счисления?

В качестве знаков в двенадцатеричной системе счисления обычно

используют арабские цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и еще две буквы,

например, A (десять) и B (одиннадцать).

Переведите в десятичную систему счисления:

а)1012; б) 2612; в) 2A12; г) 5B12; д) 9112; е) A012; ж) 16912; з) 1AB12.

2) Рассмотрите рисунки 27 и поясните алгоритм перевода числа из

десятичной системы счисления в двенадцатеричную:

3) Переведите в двенадцатеричную систему счисления:

а) 55; б) 277; в) 654; г) 781; д) 1000; е) 1296; ж) 1730; з) 12000.

4) Придумайте задание, связанное с двенадцатеричной системой

счисления и выполните его.

2.12. ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

1) В шестнадцатеричной системе счисления в качестве цифр мы будем

использовать десять арабских цифр, а также буквы A, B, C, D, E, F (какое

количество единиц обозначает каждая из них?).

134 800 11 2 66 8 134=B212; 5 6

800=56812.

Рис. 27

Переведите в десятичную систему счисления:

а) 2816; б) 5B16; в) 8D16; г) A016; д) C716; е) 7E16, ж) BC16; з) FE16.

и) 13816; к) 50916; л) A1216; м) 13E16; н) 2B916; о) CAD16; п) 10F016.

2) Переведите в шестнадцатеричную систему счисления:

а) 85; б) 119; в) 251; г) 300; д) 625; е) 1000; ж) 5000; з) 9999.

3) Сколько раз нужно взять по 12 предметов, чтобы полученное число в

шестнадцатеричной системе счисления имело на конце: а) один нуль? б)

два нуля?

Сколько раз нужно взять по 16 предметов, чтобы полученное число в

двенадцатеричной системе счисления оканчивалось тремя нулями?

4) Число n - разрядная единица в шестнадцатеричной системе

счисления. В каких еще системах счисления это число будет разрядной

единицей?

5) Число m - разрядная единица в двоичной системе счисления. Может

ли это число быть разрядной единицей:

а) в шестнадцатеричной системе счисления?

б) в двенадцатеричной системе счисления?

Поясните свои ответы и приведите примеры.

6) Придумайте задание, связанное с двенадцатеричной и с

шестнадцатеричной системами счисления и выполните его.

2.13. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

1) Опишите алгоритм сравнения натуральных чисел, записанных в

десятичной системе счисления. Приведите примеры.

Как вы считаете, можно ли с помощью аналогичного алгоритма

сравнивать числа, записанные в недесятичных системах счисления?

Проиллюстрируйте свой ответ, сравнив числа:

а) 100012 и 11012; б) 24315 и 24135; в) 3602m, 3026m и 3206m.

2) Не переводя в десятичную систему счисления, сравните числа:

а) 3256, 3257; б) 101013, 101012; в) 777, 7778, 7779.

Поясните свое решение.

3) Не переводя чисел в другие системы счисления, докажите

неравенства:

а) 748<769; б) 34016>30445; в) 11112<101013<110004.

4) Запишите по убыванию числа, записав их, если нужно, в десятичной

системе счисления:

1257; 889; 3245; 3334; 7212; 2056; 7D16; 1358.

2.14. ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ


1) Какие таблицы начали строить?

В чем отличие между таблицами? Можно ли определить, в какой

системе счисления выполнены действия в левой таблице? А в правой?

Почему?

2) Перечертите левую таблицу и дополните ее так, чтобы это была

таблица сложения в недесятичной системе счисления. В какой системе

счисления вы ее составили?

Перечертите правую таблицу, заполнив в ней пустые клетки.

0 1 2 3 40 21 423 54 8

0 1 2 3 40 21 423 104 13

3) Составьте таблицу сложения:

а) в троичной системе счисления;

б) в той системе счисления, в которой 1+1=10;

в) в той системе счисления, в которой 3+2=11.

4) Выполните действия:

а) в пятеричной системе счисления: 4+1+2; 3+3+2+1;

б) в четверичной системе счисления: 2+1+2; 3+3+2+1;

в) в двоичной системе счисления: 1+1+1+1; 1+10+1; 1+1+11+1+1;

г) в той системе счисления, в которой 3+5=11: 4+5+4; 10+5+3;

д) в той системе счисления, в которой 7+7=12: 9+8+1; 6+6+6+6.

5) Выполните действия в различных недесятичных системах счисления,

основание которых выберите сами:

а) 5+6+4; б) 2+3+3+2; в) 7+8+9; г) A+B; д) C+1+C; е) B+11+9.

6) Составьте несколько сумм в тех системах счисления, в которых

верны равенства:

а) 15+22=41; б) 10+20=100; в) 25+43=101; г) 15+27=40.

Найдите значения этих сумм.

2.15. СЛОЖЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

1) Выпишите отдельно суммы, значения которых - однозначные числа и

суммы, значения которых - многозначные числа:

35+45; 38+48; 39+59; 512+612; 416+C16; 13+13; 12+12;

37+27+17; 36+26+16; 516+516+516; 412+512+312; 48+38+38.


2) Для каждого случая укажите такое основание системы счисления,

чтобы значения выражений

4m+6m, 1m+1m+1m+1m, Bm+2m, 1m+3m+5m, 5m+2m+3m, 1m+2m+3m+4m+5m:

а) были однозначными числами; б) были многозначными числами.


3) Составьте несколько сумм с однозначными числами в различных

системах счисления с таким расчетом, чтобы среди их значений были

однозначные, двузначные и трехзначные числа.

2.16. АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ


1) Опишите алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной

системе счисления и проиллюстрируйте его примерами.

2) Как вы считаете, можно ли аналогичным способом складывать

многозначные числа в других системах счисления?

Попробуйте, сделав записи в столбик, найти суммы:

а) 346+156; б) 2113+1123; в) 56479+3379; г) 101112+1110112.

3) Проверьте начало своих записей:


а) 2114+1024; б) 5348+558; в) 32415+3235; г) 1357+64467;

д) 6412+4912; е) 67A12+3B12; ж) 9C16+D216; з) AEC16+BF16;

и) 3337+4447+2; к) 549+6759+359; л) 213+223+1223; м) 425+245+3335.

5) В выражениях **26+5*6, 401*5+*33*5, 277*8+4**78, 9*12+*A12

поставьте вместо звездочек такие цифры, чтобы при сложении:

а) не было перехода через разряд; б) был перехода через разряд.

1 1 1 1

56479 101112

3379 1110112

...859 ...0102

6) Выберите основание системы счисления так, чтобы при сложении

31m+2222m, 724m+144m, 351m+44m, 673m+59m был переход через разряд.

Выполните действия в выбранной вами системе счисления.

2.17. СЛОЖЕНИЕ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

1) При сложении многозначных чисел в двоичной системе счисления

можно пользоваться упрощенным алгоритмом.

Поясните этот алгоритм на следующих

примерах:

2) Выполните действия в двоичной системе счисления:

а) 1011+1101+111; б) 111011+1111+101; в) 111+1111+11111;

г) 101010101+11011011011; д) 1011011101111+111111+1110111.

3) Пересчитайте палочки, круги, звездочки, крестики на рисунке 28 и

запишите их число в двоичной системе счисления:

Найдите сумму этих чисел в двоичной системе счисления.

2.18. ВЫЧИТАНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10101 101111 1101 11101 1011 11010 101101 111111 10100101

½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½½ ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Рис. 28

1) Опишите алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной

системе счисления и проиллюстрируйте его примерами.

2) Попробуйте найти разности 2123-213, 23015-4245, сделав записи в

столбик.

3) Проверьте себя:

4) Вычислите:

а) 5216-1426; б) 63117-5627; в) 73348-1778; г) 312314-3334;

д) 4039-789; е) 20013-1123; ж) 101102-1012; з) 2030105-412345;

и) 3512-2812; к) 12316-9816; л) A0312-4B12; м) 50016-7D16.

5) Выберите основание системы счисления и выполните действия:

а) 2111m-212m; б) 8736m-544m; в) 6543m-355m; г) 101001m-11011m;

д) 4040m-333m; е) 10000m-1111m; ж) AAm-9Bm; з) 101m-B2m.

2.19. УМНОЖЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

1) Что это за таблицы? В каких системах счисления их начали строить?

Перечертите данные таблицы и достройте их.

2) Определите, в какой системе счисления верно каждое из равенств:

а) 22=11; б) 32=11; в) 44=20; г) 55=21; д) 63=12;

. . . 4 2123 23015

213 4245

1213 13225

0 1 2 30123 0 12

0 1 20 012 2 10

0 10 01 1

е) 222=22; ж) 1111=1001; з) 1234=33; и) AA=64; к)

BB=A1.


а) 2452; б) 12343; в) 7584; г) 210232; д) 58122; е) AC163;

ж) 1435125; з) 4357327; и) 859249; к) A7122112; л) F0E161216.


а) 10012112; б) 111121012; в) 1101121102; г) 10101210112.

5) Придумайте задание, связанное с умножением в недесятичных

системе счисления и выполните его.

2.20. ДЕЛЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ


а) 2124:2; б) 3346:2; в) 1108:4; г) 10100002:1002; д) A1012:1012;

е) 1213:2; ж) 2335:2; з) 1437:4; и) 1259:4; к) 10013:113; л) BB16:1116.

Проверьте, правильно ли вы выполнили деление. Как бы вы предпочли

это сделать?

2) Определите, в какой системе счисления верно каждое равенство:

а) 132m:2=44m; б) 103m:2=46m; в) 242m:3=44m; г) 1210m:11m=110m.

3) Выберите делитель так, чтобы деление выполнялось нацело, а

затем выполните деление:

а) 2324:a ; б) 1147:b ; в) 22103: c ; г) 13012:d ; д) 10010002:e .

2.21. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОКУС

(УГАДЫВАНИЕ ЗАДУМАННОГО ЧИСЛА)

1) Предложите кому-нибудь из друзей задумать натуральное число от 1

до 31. Попросите сказать, в каких строках таблицы записано задуманное

число (Например, число 25 записано в первой, второй и пятой строках,

число 8 - только во второй, число 15 - со второй строки по пятую). Этой

информации достаточно, чтобы угадать задуманное число.

I 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31II 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31III 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31IV 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31V 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

2) Алгоритм отгадывания числа таков. Пусть вам сказали, что

задуманное число записано в строках I, II и V. Вы пишете 11001, а затем

переводите это число из двоичной системы счисления в десятичную.

Если же вам сказали, что число записано только в строке II, то вы

пишете 01000 (или 1000), а затем угадываете задуманное число.

3) Составьте таблицы, по которым можно угадывать задуманные числа:

а) от 1 до 63; б) от 1 до 127.


(УГАДЫВАНИЕ ИМЕН ДЕВОЧЕК)

У вас в руках находится пронумерованный список 31 имени девочек.

1. Маша 17. Надя

2. Аня 18. Женя3. Катя 19. Вера4. Лена 20. Люба5. Наташа 21. Ксения6. Оля 22. Лиза7. Таня 23. Валя8. Марина 24. Полина9. Даша 25. Алла10. Настя 26. Галя11. Юля 27. Лера12. Лариса 28. Аля13. Ира 29. Саша 14. Люда 30. Варя15. Света 31. Соня16. Нина

I II III IV VАлла Алла Аля Аня АллаАля Аля Валя Валя Валя

Валя Варя Варя Варя ВераВаря Галя Ира Вера ДашаВера Даша Ксеня Галя ИраГаля Ира Лариса Женя КатяЖеня Лариса Лена Катя КсенияКсеня Лера Лиза Лера ЛераЛера Люда Люба Лиза МашаЛиза Марина Люда Люда НадяЛюба Настя Наташа Настя НаташаНадя Полина Оля Оля СашаНина Саша Саша Света Света

Полина Света Света Соня СоняСаша Соня Соня Таня Таня

арифметСоня Юля Таня Юля Юля

Вы просите девочку (имени которой вы не знаете) сказать, в каких

столбцах записано ее имя. Не глядя в таблицу вы по списку отгадываете

ее имя.

Алгоритм отгадывания аналогичен алгоритму, описанному в 2.21.


(УГАДЫВАНИЕ ЗАДУМАННОГО ЧИСЛА)

1) Попросите кого-либо задумать натуральное число. Пусть вам скажут,

четное оно или нечетное. Если число четное, попросите разделить его на

2, а если нечетное, то сначала отнять единицу, а затем разделить на 2.

Эту процедуру следует повторить несколько раз, пока не получится

единица. В ходе деления вам сообщают только: четное или нечетное

число получалось на каждом шаге. По этой информации вы можете

угадать задуманное число.

Пример: задумано 49. Преобразования этого числа можно записать так:

49®24®12®6®3®1. Вам сообщили: нечет, чет, чет, чет, нечет.

2) Разгадайте секрет фокуса.

3) Фокус можно видоизменить: вам не говорят, какое число (четное или

нет) появилось на каждом этапе а кладут на

стол спички, например, так, как показано на

рисунке 29:

Предположим, что вы увидели расположение спичек, показанное на

рисунках 30:

Число четное

Число нечетное

Рис. 29

Тогда в случае «а» задумано число 103 (как это можно узнать?).

Какие числа были задуманы в случаях «б» и «в»?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. 1) Запишите свой возраст в той системе счисления, в которой он:

а) двузначное число; б) трехзначное число;

в) четырехзначное число; г) однозначное число.

2) Через сколько лет ваш возраст можно будет записать в какой-либо

системе счисления пятизначным числом?

2. Запишите свой рост в сантиметрах в какой-нибудь недесятичной

системе счисления и предложите друзьям отгадать его.

3. Пятиклассник Сережа рассказал о своей семье так:

Моему папе 124 года, маме 114 лет. У меня есть старший брат - ему

30 лет и он учится в 14-м классе. Моя младшая сестра еще в школу не

ходит - ей только 10 лет. Мне, как и многим моим одноклассникам,

недавно исполнился 21 год. Через 11 лет я кончу школу и стану

математиком.

Разгадайте «секрет» рассказа Сережи. Запишите возраст всех героев

рассказа в десятичной системе счисления.

4. Переведите числа 53, 77, 111 в ту систему счисления, в которой

существуют шесть двузначных чисел.

а) б) Начало в) Начало Начало Рис. 30


число 500 записывается тремя знаками, а число 520 - четырьмя.


число 100 записывается двумя знаками.

7. Переведите числа 133, 466, 714 в систему счисления с основанием m ,

в которой верно равенство 530m-525m=1.


сумма 1+2+...+14+15 записывается двузначным числом, а сумма 1+2+...

+16+17 - трехзначным числом.

9*. Переведите числа 96, 217, 441 в систему счисления с основанием m ,

в которой сумма 755m+566m является трехзначным числом.

10. Переведите числа 76, 511, 1025 в систему счисления с основанием m

, в которой верно равенство 1000m+1000m+1000m+1000m=100000m.

11*. Переведите числа 99, 250, 343 в одну из систем счисления, в

которой число 1333m четное.

12*. Переведите числа 255, 729, 945 в одну из систем счисления, в

которой число 5222m нечетное.

13. Определите, в какой системе счисления выполнены действия:

а) 22011=10120; б) 25411=3014; в) 131111=20041; г) 2A11=30A;

д) 425101=43025; е) 30121=12321; ж) 6412=1131; з)

B0A101=B150A.

14*. Существуют ли системы счисления, в которых верны равенства:

а) 2+2+2+2+2=11; б) 3+3+3+3+3=20; в) 4+4+4+4+4=40; г)

1+3+5+3+1=42;

д) 5+5+5+5+5=34; е) 7+7+7+7=31; ж) 1+2+3+4+3+2+1-20; з) 8+8+8+8=24?

15. 1) В каких системах счисления, кроме десятичной, справедливо

равенство: 112=121?

2) Найдите значения выражений 113, 114 в десятичной системе

счисления и укажите другие системы счисления, в которых полученные

равенства также будут верными.

16. Сколько существует трехзначных чисел, записанных:

а) в троичной системе счисления?

б) в восьмеричной системе счисления?

в) в двенадцатеричной системе счисления?

17. 1) В какой системе счисления существуют:

а) 294 трехзначных числа? б) 192 четырехзначных числа?

18. 1) Запишите числа 13, 24, 41, 83 в виде суммы, взяв в качестве

слагаемых некоторые из чисел 1, 2, 22, 23, 24, 25, 26 по одному разу.

2) Какое наибольшее число можно записать в виде такой суммы?

19*. Имеется по одной гире массой 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 граммов. Как с

помощью такого набора гирь можно уравновесить на чашечных весах

любой груз, масса которого равна 1, 2, 3,...,126, 127 г (гири можно класть

только на одну чашку весов)?

20*. Докажите, что вычеркнув из суммы 1+21+22+23+24+25+26+27+29+210

некоторые из слагаемых, можно получить любое число от 1 до n . Чему при

этом равно n?

21*. Какое число, большее 2000, но меньшее 2100, записанное в виде

суммы чисел 1, 21, 22, 23,..., 210, имеет наибольшее число слагаемых?

22*. Имеются по две гири массой 1, 3, 9, 27, 81 граммов каждая. Как с

помощью такого набора гирь можно уравновесить на чашечных весах

любой груз, масса которого равна 1, 2, 3,...,241, 242 г? (Гири можно класть

только на одну чашку весов).

23. Сколько нужно цифр, чтобы записать все натуральные числа в

указанной системе счисления:

а) от 1 до 445? б) от 1 до 4445? в) от 1 до 778? г) от 1 до 7778?

д) от 1 до 111112? е) от 1 до 1111112? ж) от 1 до BB12? з) от 1 до FFF16?

24. Как изменится величина числа, записанного в двоичной системе

счисления, если у числа:

а) зачеркнуть справа цифру 0?

б) зачеркнуть справа несколько нулей?

в) зачеркнуть справа цифру 1?

25. Как изменится величина числа, записанного в троичной системе

счисления, если к нему:

а) приписать справа один или несколько нулей?

б) приписать справа цифру 1?

в) приписать справа цифру 2?

26. 1) Как изменится величина двузначного числа, записанного в системе

счисления с основанием m , если к нему слева приписать цифру 1.

Поясните свой ответ примерами для различных m .

2) Выполните задание пункта «1» для трехзначных чисел.

27. Выполните действия в указанной системе счисления:

а) 3425+345; б) 5768+44558; в) 121213+2223; г) 85869+7539;

д) 2324+114+334; е) 537+62647+57; ж) 3546+22336+516+44556.


а) A312+3B12; б) C3B16+9916; в) FE416+DD16; г) A12+B12+78912;

29. Выполните действия:

а) 11012+1112; б) 101110112+11101112; в) 11112+110112+11101112;

г) 1011111012+111110112+1101112; д) 11112+111112+1111112+11111112;


а) 10013-123; б) 6119-759; в) 302014-1234; г) 73338-64478;

д) 40015-335; е) 543006-454546; ж) D02116-E7816; з) A0B112-55512.

31. Выполните действия:

а) 10012-1112; б) 101002-11012; в) 101012-11112; г) 1000012-110112.

32. Выполните действия в той системе счисления, в которой записан

отрезок натурального ряда ...,364m, 365m, 366m, 400m, 401m,...:

а) 364m+463m; б) 100m-25m; в) 422m-66m; г) 10101m-2233m.

33. Выполните действия в той системе счисления, в которой число 140

записывается двумя знаками, а число 150 тремя:

а) BBm+AA6m; б) 300m-99m; в) 1000m-A2Am; г) 3030m-777m.


а) 245115; б) 1010121012; в) 6471007; г) 211311013; д) A4121112;

е) 63749100019; ж) 11011211112; з) DF1611116; и) 3021410214.

35. Найдите выражения, в которых деление выполняется нацело, а затем

выполните деление:

а) 1013:2; б) 1014:2; в) 100102:1002; г) 1110002:1002; д) 3335:2;

е) 33335:2; ж) AB12:2; з) BA12:2; и) BA12:4; к) 1114:134; л) 11113:113.

36. Решите уравнения, записав ответ в той же системе счисления:

а) x 35 2446 6 ; б) y 122 10013 3 ; в) A B81 712 12 z ; г) E05 9716 16 v .

37. Решите уравнения, записав ответ в той же системе счисления:

а) 10101 11112 2 x ; б) y 111011 110112 2 ; в) z 11100111 1000100012 2 .

38. Выберите основание системы счисления, а затем решите уравнения:

а) 4351 165m mx ; б) 9119m my ABBA ; в) z m m 12345 7887 .

Documents

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯblog.zabedu.ru/matem/wp-content/uploads/sites/10/2014/07... · Web view2.1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1) Запишите решение