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國中
數學精進教材
【教師手冊】
單元 1 整數與數線
【推廣教材，請勿擅自影印複製】
國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心 發行
中華民國 101 年 9 月
I
數學精進教材 目錄
單元 1 整數與數線
壹、主題與子題 .....................................................................................1-i
貳、必備與次要能力 .......................................................................... 1-ii
主題一 正負數與絕對值 .................................................................... 1
B1-1-1-1：負數的意義 .......................................................................... 1
B1-1-1-2：數線上的坐標 ...................................................................... 2
B1-1-1-3：數的大小 .............................................................................. 4
B1-1-1-4：相反數 .................................................................................. 5
B1-1-1-5：絕對值 .................................................................................. 6
B1-1-1-6：絕對值的應用 ...................................................................... 7
綜合練習 ................................................................................................. 8
主題二 整數的加、減運算 .............................................................. 11
B1-1-2-1：同號數相加 ........................................................................ 11
B1-1-2-2：異號數相加 ........................................................................ 12
加法綜合練習一 ................................................................................... 15
加法綜合練習二 ................................................................................... 17
B1-1-2-3：加法交換律與結合律 ........................................................ 19
加法綜合練習三 ................................................................................... 20
B1-1-2-4：減法-----減去負數 ............................................................. 21
B1-1-2-5：減法-----減去正數 ............................................................. 22
減法綜合練習一 ................................................................................... 23
B1-1-2-6：整數的加減混合運算 ........................................................ 24
B1-1-2-7：數線上兩點間的距離 ........................................................ 25
B1-1-2-8：加減法的應用問題 ............................................................ 27
綜合練習 ............................................................................................... 28
II
主題三 整數的乘除 ............................................................................ 30
B1-1-3-1：整數的乘法 ........................................................................ 30
B1-1-3-2：整數的乘法交換律與結合律 ............................................ 32
B1-1-3-3：整數的除法 ........................................................................ 33
B1-1-3-4：整數的四則運算 ................................................................ 34
B1-1-3-5：利用分配律解題 ( 先復習分配律 ) ................................ 35
綜合練習 ............................................................................................... 36
主題四 指數律 ..................................................................................... 38
B1-1-4-1：指數的意義 ( 說明指數的記法與規範 ) ........................ 38
B1-1-4-2：指數律 ................................................................................ 40
B1-1-4-3：指數律的運算 .................................................................... 44
B1-1-4-4：負指數的意義 .................................................................... 45
綜合練習 ............................................................................................... 46
主題五 科學記號 ................................................................................ 48
B1-1-5-1：科學記號的意義 ................................................................ 48
B1-1-5-2：科學記號的計算 ................................................................ 51
綜合練習 ............................................................................................... 56
單元 1 整數與數線
重點速記
1-i
壹、主題與子題
主題 子題 範例
正負數與絕對值
(B1-1-1) 負數的意義(B1-1-1-1) 1
數線上的坐標(B1-1-1-2) 1
數的大小(B1-1-1-3) 1
相反數(B1-1-1-4) 1
絕對值(B1-1-1-5) 1
絕對值的應用(B1-1-1-6) 1
整數的加、減運算
(B1-1-2) 同號數相加(B1-1-2-1) 1
異號數相加(B1-1-2-2) 1~6
加法交換律與結合律(B1-1-2-3) 1
減法(減去負數)(B1-1-2-4) 1
減法(減去正數) (B1-1-2-5) 1
整數的加減混合運算(B1-1-2-6) 1
數線上兩點間的距離(B1-1-2-7) 1~2
加減法的應用題(B1-1-2-8) 1
整數的乘除
(B1-1-3) 整數的乘法(B1-1-3-1) 1~2
整數的乘法交換律與結合律(B1-1-3-2) 1
整數的除法(B1-1-3-3) 1
整數的四則運算(B1-1-3-4) 1
利用分配律解題(B1-1-3-5) 1
指數律
(B1-1-4) 指數的意義(B1-1-4-1) 1~3
指數律(B1-1-4-2) 1~2
指數律的運算(B1-1-4-3) 1~2
負指數的意義(B1-1-4-4) 1
科學記號
(B1-1-5) 科學記號的意義(B1-1-5-1) 1~2
科學記號的計算(B1-1-5-2) 1~5
1-ii
貳、必備與次要能力
一、 進行主題教學前，須檢驗學生對正整數加、減、乘、除及混合四
則運算的能力。
二、 在準備度測驗中：
1. 第一題測驗學生對簡單加、減、乘、除的運算能力。
2. 第二題測驗正整數四則混合運算中，學生對運算先後順序的了
解。
3. 第三題測驗學生解簡單應用題的能力。
三、 本章在整數的加減運算上並沒有標示利用數線模式或平衡模式
(如：以太極圖為教具的教學，如「核心教材．模組一」，教師可
以選擇使用。)
整數與數線
必備能力
正整數或 0 的加、減、
乘、除運算
正整數或 0 的四則運算
次要能力
正數在數線上的位置
簡易文字題的讀題能力
1-iii
筆 記 欄
1
練習
範例 1
單元 1 整數與數線
主題一 正負數與絕對值
B1-1-1-1：負數的意義
1. 明明以學校門口為基準點，若向東走 3 公里用＋3 公里表示，則向
西走 2 公里用 －2 公里表示。
2. 以海平面為基準，若海平面下 3 公尺以－3 公尺表示，則海平面上
1200 公尺以 ＋1200 公尺表示 。
3. 小雅自我要求數學段考以 75 分為目標,若成績 81 分以＋6 分表
示，則成績 68 分以 － 7 分表示，成績 75 分記為 0 分，
成績 65 分以－10 分表示。
1. 若賺 200 元以＋200 元表示，則賠 95 元以 －95 元表示。
2. 若身高以 160 公分為標準，甲身高為 157 公分，記為－3 公分，則：
(1) 乙身高 160 公分，記為 0 公分。
(2) 丙身高 166 公分，記為 ＋6 公分。
(3) 丁身高 154 公分，記為－6 公分。
1-t
★ 教學提示
一、 教學目的：了解負數的意義。
二、 教學注意事項：
【範例 1 第 1 題】、【範例 1 第 2 題】：確定基準點之後，以有號數
記錄相對位置。
【範例 1 第 3 題】及【練習第 2 題】：說明基準量的意義(基準量記
為 0)，找出相對數量，並以有號數記錄。
【練習第 1 題】：賺、賠問題中以不賺不賠(即 0)為基準量。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 2 題】
一、 錯誤類型：乙身高 166 公分，記為+166 公分。
二、 指導策略：說明基準數量的意義。
如：以 160 公分為標準，161 公分比 160 公分多 1 公分記為+1 公
分，表示它的基準量是 160 公分，而單位是以 1 公分為單位。由
於 159 公分比 160 公分少 1 公分故記為－1 公分。
2
範例 1
B1-1-1-2：數線上的坐標
1. 在數線上標示 A（2.5）、B（－12
1）、C（2）、D（－3）四點：
Ans：如上圖所示。
2. 寫出下面數線上 A、B、C、D、E、F 六點的坐標：
A 點坐標：
33
4
，B 點坐標：
22
3
，C 點坐標：
11
2
。
D 點坐標：
2
5
，E 點坐標：
51
6 ，F 點坐標：
72
10 。
D C B A
2-t
★ 教學提示
一、 教學目的：了解直線上坐標的意義，即：
1. 在數線上標示有號數的位置。
2. 能寫出數線上點的坐標。
二、 教學注意事項：
1. 說明數線三要素，原點、單位、正向。
2. 在小學曾學過簡單的數線(0 及正整數的位置)。
3. 教學時應詳細說明正分數與小數的位置，再以相對位置說明，負
分數與負小數在數線上的點。
▲ 錯誤類型與指導策略：【範例 1 第 2 題】
一、 錯誤類型：
負分數 如：4
33 標在
4
13 的位置上。
2
11 標在
2
1 的位置上。
5
2 標示在–5.2 的位置上。
二、 指導策略：如「教學注意事項 3」。
3
練習
1. 在數線上標示 A（－0.5）、B（－21
3）、C（1
2
1）、D（2.3）四點：
Ans：如上圖所示。
2. 寫出下面數線上 A、B、C、D 的坐標。
A( 1
22
) ；B( 1
13
)；C( 3
34
)；D( 1
2 )
B C A D
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
D B A C
3-t
★ 教學提示
同【範例 1】。
4
練習
B1-1-1-3：數的大小
在數線上標出下列各數的坐標，並將各數由小至大排列。
4、2
3 、–3、
7
2、–2.3
Ans：如上圖所示；－3 < －2.3 < 2
3 <
7
2< 4。
在數線上標出下列各數的坐標，並將各數由小到大排列。
–2、–3、0、–2.7、2.2、1
Ans：如上圖所示；－3 <－2.7 < －2 < 0 < 1< 2.2
範例 1
–3
–2.7
2.2 –2 0 1
–3 –
3
2
–2.3
4 2
7
4-t
★ 教學提示
一、 教學目的：觀察愈右邊的點其坐標點上所代表的數愈大。
二、 教學注意事項：
1. 先從數線上整數的大小觀察。
2. 說明遞移律：
a>b，b>c，則 a>b>c 。
a<b，b<c，則 a<b<c。
3. 注意學生在數線上標示坐標點的位置是否正確，例如－2.3。
4. 比較大小的時候：
(1) 大略說明「負整數 < 0 < 正整數」。
(2) 數線上愈右邊（正向）的點代表的數愈大。
▲ 錯誤類型與指導策略：
一、 錯誤類型：學生常將 a>b>c>d>e…，寫成 a<b<c<d<e…。
二、 指導策略：
不等號的使用說明(>或<)：開口的一方為大，例 7>－2，5<9。
5
範例 1
練習
B1-1-1-4：相反數
1. 若甲數是 6，則甲數的相反數為 －6 。
若 b 是－3，則 b 的相反數為 3 。
2. 若乙數的相反數是－2.7，則乙數為 2.7 。
3. a 的相反數為－2，則 a 是 2 ，又－a 的相反數是 2 。
在下列各題中填入適當的數：
1. 7 的相反數為 －7 ；0 的相反數為 0 ；
2. －1.2 的相反數為 1.2 ；1
3的相反數為
1
3
。
5-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用數線說明相反數的意義。
二、 教學注意事項：
1. 說明數線上位於原點兩側且與原點脫離的相等的兩點，所表示的
數互為相反數；0 的相反數為 0。
2. 從【範例 1 第 2 題】的經驗中希望學生能完成【範例 1 第 3 題】。
3. 【範例 1 第 3 題】附帶說明當 a 為負數時，其相反數－a 是正數。
這題的抽象性較高，教師可反覆多舉實例說明。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 1 題】
一、 錯誤類型：0 的相反數為－0。
二、 指導策略：說明 0 的相反數規定為 0。
6
範例 1
練習
B1-1-1-5： 絕對值
在下列各題中填入適當的數：
1. ｜5｜＝ 5 ；｜－5｜＝ 5 ；(互為相反數的兩數，其絕對值相等)
｜－2.4｜＝ 2.4 ；｜7
5｜＝
5
7 。
2. 在數線上標出絕對值等於 3 的所有整數點。
Ans：如上圖所示。
3. 若｜a｜＝9，則 a＝ 9 或 －9 。
4. 若 5＋｜b｜＝7，則 b＝ 2 或 －2 。
5. 在數線上標出絕對值小於 4 的所有整數點。
Ans：如上圖所示。
1. 在下列各題中填入適當的數：
(1) ｜－2｜＝ 2 ；｜－7｜＝ 7 ；
｜2.1｜＝ 2.1 ；｜－3
5｜＝
5
3 。
(2) 若｜a｜＝15，則 a＝ 15 或 －15 。
(3) 若 1＋｜b｜＝1，則 b＝ 0 。
2. 在數線上標出與原點距離為 2.5 的點。
Ans：如上圖所示。
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
6-t
★ 教學提示
一、 教學目的：了解絕對值的意義。
二、 教學注意事項：
1. 以數線上的距離說明絕對值的幾何意義。並說明絕對值符號。
2. 說明互為相反數的兩數其絕對值相等，而 0 的絕對值為 0。
3. 【範例 1 第 5 題】中〝絕對值小於 4〞可以轉換另一說法，與〝原
點距離小於 4〞。說明小於 4 並不包含 4。
▲ 錯誤類型與指導策略：【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型：絕對值與相反數的意義混淆。
例：│5│=－5，│2.1│= －2.1。
二、 指導策略：說明絕對值的意義並說明：
│－5│=│5│= 5，
│2.1│= │－2.1│= 2.1。
7
範例 1
練習
B1-1-1-6：絕對值的應用
1. (1) –97、–9、–25、–365、–105.1 這些數中，在數線上哪一個數
離原點最近？哪一個數離原點最遠？
(2) 比較下列各數的大小關係並由大至小排列：
–97、–9、–25、–365、–105.1
Ans：(1) – 9 最 近 、 – 365 最遠
(2) – 9 ＞ – 25 ＞ – 97 ＞ – 105.1 ＞ – 365
2. 比較下列各數的大小關係並由大至小排列：
219、–123、–932、–250、–933、0
Ans：219 ＞ 0 ＞ －123 ＞ －250 ＞ －932 ＞ －933
比較下列各數的大小關係並由大至小排列：
1. –20、–4 7、25、0、–95.9
Ans：25 ＞ 0 ＞ –20 ＞ – 4 7 ＞ –95.9
2. –｜–65｜、–70、–（–23）、38、0、–37
Ans：38 ＞ –（–23）＞ 0 ＞ –37 ＞ –｜–65｜＞ –70
7-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用坐標點與原點的距離（即絕對值）判別數的大小。
二、 教學注意事項：
1. 觀察負數在數線上的點。並歸納出距離原點愈遠的負數其值愈小。
2. 說明 「負數＜0＜正數」。
3. 數線上愈右邊（正向）的點代表的數愈大。
4. 利用絕對值判別數的大小。
5. 【練習第 2 題】中：
(1) –｜– 65｜應將其值先化成– 65，再比較與其它數的大小。寫
答時記回 –｜– 65｜的樣子。
(2) 而– (–23)可說明成–23 的相反數為 23，即– (–23) = 23。
8
綜合練習
1. （ A ） 賺錢以「＋」表示，賠錢以「－」表示，先賺了 100 元，
後賠了 230 元，其結果記為下列何者？
(A) －130 元 (B) －330 元
(C) ＋130 元 (D) ＋330 元
2. （ B ）下列哪一個數到原點的距離最近？
(A) 21
2 (B) －1.6 (C) 3
1
4 (D) －2.1
3. 若以 60 分為標準，甲 57 分，記為 –3 分，則：
(1) 乙 60 分，記為 0 分。
(2) 丙 75 分，記為＋15 分。
(3) 甲、乙、丙三人的平均分數 64 分，可記為 ＋4 分。
4. 在下面的數線上標出 A（2
11 ）、B（－3.4）、C（－
1
4）、D（2.7）四點。
( 說明：小數與分數的互換－3.4 可換成－2
35標示 )
Ans：如上圖所示。
B A C D
– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
8-t
筆 記 欄
9
5. 寫出下面數線上各點的坐標：
A 點坐標：A( 3
14
) ， B 點坐標：B( 4 )，
C 點坐標：C( 2
23
) ， D 點坐標：D( －2.5 )。
6. 若甲數的相反數為－5，則甲數是 5 。
7. 求下列各式的值：
(1) ｜－23｜＝ 23 。 (2) －｜－78｜＝ －78 。
(3) ｜－1.9｜＝ 1.9 。 (4) ｜－11
2｜＝ 1
1
2 。
8. 將下列各數由大到小排列：
－｜－8｜、71
2、－6、0、｜－5｜
Ans：71
2＞｜－5｜＞0＞－6＞－｜－8｜
10
筆 記 欄
11
範例 1
練習
主題二 整數的加、減運算
B1-1-2-1：同號數相加
計算下列各式的值：
1. （－1）＋（－2）＝ －3 。
2. （－25）＋（－10）＝ －35 。
計算下列各式的值
1.（－2）＋（－6）＝ －8 2. （－10）＋（－2）＝ －12
3.（－31）＋（－100）＝ －131 4. （－42）＋（－23）＝ －65
（a＞0，b＞0；（－a）＋（－b）＝－（a＋b））
11-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能求兩負數的和。
二、 教學注意事項：
1. 無論利用數線或平衡模式做有號數的加減，學生應確實瞭解操作
過程。利用題中較小的數目操作，得到運算規則，再以兩位數運
算脫離操作的情境。
2. 學生容易誤用〝負負得正〞的運算規則，因此像(－2)＋(－3)就應
唸出負二加負三，將性質符號與運算符號清楚的區隔。
▲ 錯誤類型與指導策略：
一、 錯誤類型：〝負負得正〞口訣的誤用。
例：(－42)＋(－23)＝65
二、 指導策略：如「注意事項 2」。
12
練習
範例 1
B1-1-2-2：異號數相加
兩相反數相加。 (說明：兩相反數的和為 0)
計算下列各式的值：
1. （－2）＋ 2 ＝ 0
2. （－37）＋ 37 ＝ 0
3. 5＋（－5） ＝ 0
4. 32＋（－32）＝ 0
計算下列各式的值：
1. （－21）＋ 21 ＝ 0 2. （－72）＋ 72 ＝ 0
3. 24＋（－24）＝ 0 4. 35＋（－35） ＝ 0
12-t
★ 教學提示
教學目的：知道兩相反數的和為 0。
在異號數的加法時，以此說明抵銷的觀念。
13
範例 2
練習
負數＋正數；和為正數。(a＞0，b＞0 且 a＜b；（－a）＋b＝－（b－a）
可利用數線操作或兩儀圖操作，強化抵銷的概念)
1. （－2）＋ 4 ＝ 2 。
2. （－5）＋70 ＝ 65 。
計算下列各式的值：
1. （－2）＋ 6 ＝ 4 2. （－10）＋ 12 ＝ 2
3. （－6）＋ 88 ＝ 82 4. （－51）＋ 101 ＝ 50
13-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能計算當│負數│<│正數│時，負數+正數的和。
二、 教學注意事項：
1. 強化〝抵銷〞的概念。
2. 從操作建立規則，而非利用規則做運算。
3. 建立學生圖像解題的能力，學生若解題錯誤，應了解是如何誤用
規則並適時導正。
▲ 錯誤類型與指導策略：
錯誤類型：不會抵銷的想法，誤用規則。
例：(－5)＋75＝－80
14
範例 3
練習
和為負數。 (a＞0，b＞0 且 a＞b；（－a）＋b＝－（a－b）
1. （－4）＋ 2 ＝ －2
2. （－53）＋ 23 ＝ －30
計算下列各式的值：
1. （－32）＋ 12 ＝ －20 2. （－23）＋ 10 ＝ －13
3. （－36）＋ 11 ＝ －25 4. （－120）＋ 30 ＝ －90
14-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能計算當│負數│>│正數│時，負數+正數的和。
二、 教學注意事項：
1. 如【範例 3 第 1 題】：強調〝抵銷〞的概念。
2. 例如：（－4）＋ 2 應唸負四加正二。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 1 題】
一、 錯誤類型：（－32）＋12 ＝ －44。
二、 指導策略：從操作（－5）＋ 3 中強調抵銷的概念。
15
加法綜合練習一：
計算下列各式的值：
1.（－52）＋ 47 ＝ －5 2.（－56）＋ 21 ＝ －35
3.（－20）＋ 30 ＝ 10 4.（－3）＋ 11 ＝ 8
5.（－100）＋ 45 ＝ －55 6.（－12）＋ 29 ＝ 17
7.（－42）＋ 42 ＝ 0 8.（－85）＋ 186 ＝ 101
15-t
★ 教學提示
一、 教學目的：完成並強調負數＋正數的計算。
二、 教學提示：
讓學生分辨並熟練當│負數│與│正數│大小不同組合中，求兩數的
和。
16
範例 4
練習
正數＋負數和為正數。 (a＞0，b＞0 且 a＞b；a＋(－b)＝a－b）
計算下列各式的值：
1. 3 ＋（－1）＝ 2
2. 65＋（－30）＝ 35
計算下列各式的值：
1. 60 ＋（－10）＝ 50 2. 72 ＋（－12）＝ 60
3. 130 ＋（－55）＝ 75 4. 61 ＋（－23）＝ 38
16-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能計算正數＋負數。
二、 教學注意事項：
1. 完整念出性質符號與運算符號。
例：3＋（－1）念成正三加負一
2. 強調圖像中〝抵銷〞的想法。
▲ 錯誤類型與指導策略：
一、 錯誤類型：錯誤使用計算口訣。
例：3＋（－1）＝ －2。
二、 指導策略：強調〝抵銷〞的想法。
17
範例 5
練習
和為負數 (a＞0，b＞0 且 a＜b；a＋(－b)＝－(b－a) )
計算下列各式的值：
1. 3 ＋（－5）＝ －2
2. 69 ＋（－89）＝ －20
計算下列各式的值：
1. 10 ＋（－20）＝ －10 2. 31 ＋（－61）＝ －30
3. 25 ＋（－73）＝ －48 4. 36 ＋（－81）＝ －45
加法綜合練習二：
計算下列各式的值：
1. 37＋（－23）＝ 14 2. 72＋（－56）＝ 16
3. 25＋（－42）＝ －17 4. 137＋（－37）＝ 100
17-t
★ 教學提示：【範例 5】及【練習】
一、 教學目的：能計算當│正數│<│負數│時，求正數＋負數的和。
二、 教學注意事項：
1. 強調〝抵銷〞的想法。
2. 正確唸出性質符號與運算符號。
★ 教學提示：【加法綜合練習二】
教學目的：熟練正數＋負數的運算。
18
範例 6
練習
計算下列各式的值：
1. （－2）＋（－5）＋（－11）
Ans：－18
2. （－11）＋5＋（－7）
Ans：－13
3. 6＋（－2）＋（－9）
Ans：－5
計算下列各式的值：
1. （－7）＋（－3）＋（－12）
Ans：－22
2. （－4）＋13＋5
Ans：14
3. 5＋（－3）＋6
Ans：8
18-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 知道三數連加的運算規則。
2. 熟練有號數的加法運算。
二、 教學注意事項：
1. 說明三數連加時的計算是由左至右先合併前兩數的和，再以第三
個數合併。
2. 要求學生寫出計算過程，並觀察是否正確。
19
範例 1
練習
B1-1-2-3：加法交換律與結合律
計算下列各式的值：
1. 25＋（－14）＋114
Ans：125
2. 15＋（－37）＋（－15）
Ans：－37
3. （－135）＋34＋35
Ans：－66
計算下列各式的值：
1. 122＋（－47）＋47
Ans：122
2. （－129）＋11＋229
Ans：111
3. 118＋37＋（－18 ）
Ans：137
19-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用交換律與結合律簡化計算。
二、 教學注意事項：
1. 說明加法結合律的意義。
如：【範例 1 第 1 題】 25＋（－14）＋114
可先算（－14）＋114 = 100
即 25＋（－14）＋114
＝25+100
＝125
由此說明連加時可先算後兩項再與第一項相加。
2. 【範例 1 第 2 題、第 3 題】說明交換律的意義。
3. 交換律與結合律常伴隨著使用，在使用時應先觀察那些項交換後
能簡化計算。
20
加法綜合練習三：
計算下列各式的值：
1. （－5）＋ 30 ＝ 25 2. 25 ＋（－7）＝ 18
3. （－21）＋ 36 ＝ 15 4. （－9）＋ 42 ＝ 33
5. 31 ＋（－5）＝ 26 6. （－7）＋（－8）＝ －15
7. 120 ＋（－120）＝ 0 8. －71＋ 41 ＝ －30
9. 25 ＋（－17）＋ 117
Ans：125
10. 26＋202 ＋（－26）
Ans：202
20-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 進一步熟練加法的計算。
2. 知道利用運算規則簡化計算。
二、 教學注意事項：
1. 此處將加法計算的所有情況放在一起練習。學生容易誤用一些運
算法則。教師應提示學生異號合併時重點在於：
(1) 和的性質符號。
(2) 應用〝抵銷〞的想法做異號數的加法運算。
2. 連加時，先觀察是否有較方便的計算方法，應用交換律、結合律
簡化計算。
21
範例 1
練習
B1-1-2-4：減法-----減去負數(減去一個數就是加上這個數的相反數)
計算下列各式的值
1. （－2）－（－3） 2. 6－（－4）
Ans：1 Ans：10
﹙先將減去這個數改為加上這個數的相反數，
例：(31)－(35)＝(31)＋35；
再利用加法進行運算；多舉一些實例直到學生能接受這個想法。﹚
計算下列各式的值：
1. （－20）－（－46） 2. （－11）－（－42）
＝（－20）＋ 46 ＝（－11）＋ 42
＝ 26 ＝ 31
3. （－45）－（－25） 4. （－39）－（－36）
＝（－45）＋（ 25 ） ＝ －3
＝ －20
5. 23－（－24） 6. 45－（－33）
＝ 47 ＝ 78
21-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用小數量說明〝減去負數〞就等於是〝加上正數〞。
二、 教學注意事項：
1. 利用數線模式教學或平衡模式教學，最後都可得到減去一個負數
就是等於等於〝加上一個正數〞的結論，並用來實際運算。
2. 利用平衡模式教學，請參考兩儀圖的教學。
3. 課本中都以數線模式為主，其它可參考〝林保平教授網站〞。
4. 教學時可將性質符號一併唸出。
例：（－2）－（－3）讀：負二減負三
2－（－8）讀：正二減負八
再引導學生：
（－2）－（－3）等於 （－2）＋_____ ＝ _____
▲ 錯誤類型與指導策略：【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型：
例：（－2）－（－3）＝ －1
2－（－8）＝ －6
二、 指導策略：將（－2）－（－3）先改成（－2）＋ 3＝ 1，
2－（－8）＝ 2＋8 ＝ 10
22
範例 1
練習
B1-1-2-5：減法-----減去正數(減去一個數就是加上這個數的相反數)
計算下列各式的值：
1. 5－10 2. －5－4
Ans：－5 Ans：－9
3. （－31）－ 29
Ans：－60
計算下列各式的值：
1. 36 －56 2. 31－49
＝ －20 ＝ －18
3. （－12）－26 4. （－120）－37
＝（－12）＋（－26） ＝（－120）＋（－37）
＝ －38 ＝ －157
5. －48－23 6. （－15）－36
＝ －71 ＝ －51
22-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用小數量說明〝減去正數〞就等於是〝加上這個負
數〞。
二、 教學注意事項：
1. 經實驗教學，將減法轉換成加法，對於低成就學生學習最有利。
2. 計算【範例 1 第 3 題】(－31)－9 時，可讀成負三十一減九等於負
三十一加負九即(－31)－9＝(－31)＋(－9)＝－40
23
減法綜合練習一：
計算下列各式的值：
1. 35 －（－125） 2. （－31）－（－42）
Ans：160 Ans：11
3. （－21）－ 36 4. －31 － 42
Ans：－57 Ans：－73
5. （－36）－（－31） 6. （－21）－（－41）
Ans：－5 Ans：20
23-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 熟練兩數的減法。
2. 歸納成〝減去一個數〞就是〝加上這個數的相反數〞。
二、 教學注意事項：
1. 將兩數的減法轉換成〝減去一個數〞就是〝加上這個數的相反數〞
再進行加法運算。
2. 此不進行三個數的連減：連減可看成是 B1-1-2-6 的特例。
24
範例 1
練習
B1-1-2-6：整數的加減混合運算
計算下列各式的值：
1. （－3）－ 2 ＋（－9）
Ans：－14
2. 15 －（－6）＋ 29
Ans：50
3. （－12）－（－3） － 30
Ans：－39
計算下列各式的值：
1. （－5）－ 9 ＋（－16） 2. 37 －（－13）＋ 45
Ans：－30 Ans：95
3. （－8）＋ 20 － 18 4. （－5）－（－10） － 18
Ans：－6 Ans：－13
24-t
★ 教學提示
一、教學目的：
熟練整數的加減混合運算
二、教學注意事項：
先將減法轉換成〝減去一個數〞就是〝加上這個數的相反數再進
行加法運算。
25
範例 1
練習
B1-1-2-7：數線上兩點間的距離 (減法與絕對值的應用)
計算下列各式的值：
1. ｜（－4）－ 12｜ 2. ｜12－（－8）｜
Ans：16 Ans：20
計算下列各式的值：
1. ｜(－3)－7｜ 2. ｜（－25）－（－5）｜
Ans：10 Ans：20
25-t
★ 教學提示
一、 教學目的：為數線上兩點間的距離計算做準備。
二、 教學注意事項：
1. 復習絕對值的意義。
2. 絕對值符號也具有括號的作用。
26
範例 2
練習
1. 若數線上有 A（5）、B（－2）、C（－6）、D（20）四點，求：
AB、 AD、BC、CD。
( 數線上兩點間的距離：數線上有 A（a）、B（b）兩點，其距離
AB＝｜a－b｜或｜b－a｜ )
Ans： 7 15 4 26 AB AD BC CD ， ， ，
2. 數線上有 A（a）、B（3）兩點，若 AB＝2，則a＝？
Ans： 5 or 1a
計算下列各式的值：
1. 若數線上有 A（－7）、B（5）、C（3）、D（－12）四點，求：
AB、 AD、BC、CD。
Ans： AB＝12， AD＝5，BC＝2，CD＝15
2. 數線上有 A（a）、B（9）兩點，若 AB＝11，則a＝？
Ans： 20 or 2a
26-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能求出數線上兩點間的距離。
二、 教學注意事項：
1. 以數線上的坐標計算兩點間的距離，線上 A(a)、B(b)兩點其距離為
線段 AB＝│a－b│或線段 AB＝│b－a│
2. 在【範例 1 第 2 題】及【練習第 2 題】中利用距離公式並以畫圖
輔助解題。
27
範例 1
練習
B1-1-2-8：加減法的應用問題
某人作生意，第一年賠了 5 萬元，第二年賺了 13 萬元，第三年賠 3 萬
元，請問這三年共賺或賠多少元？
Ans： 賺 5 萬元。
七年丙班某次段考數學成績平均 82 分；
班上七位學生「實際分數－平均分數」結果如下，問七位學生數學平
均多少分？
學生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
實際分數－平均分數 －5 ＋9 ＋3 －4 －8 ＋6 ＋6
Ans： 83 分
27-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用有號數解生活問題練習。
二、 教學注意事項：
1. 可先算出【練習題】七位學生的實際分數後，再算平均數。
2. 求【練習題】表中正數與負數和；平均後加 82 分(這本來是教學的
目的，但以補救教學則較難達成)。
28
綜合練習
1. 計算下列各式的值：
(1) （－5）＋（－9）＝ －14 (2) （－3）＋（－6）＝ －9 。
(3) （－4）＋（－5）＋（－6）＝ －15 。
(4) （－3）＋4＝ 1 (5) 3＋（－11）＝ －8
(6) （－18）＋30＋（－12）＝ 0 。
(7) 15－21＝ －6 (8) 23－（－23）＝ 46
(9) －18－8＝ －26 (10) （－35）－（－25）＝ 10
2. 計算下列各式的值：
(1) （－7）－（－8）＋（－9）＝ －8
(2) （－3）＋（－4）－（－5）＝ －2
3. 已知數線上四點 A（－5）、B（4）、C（1）、D（－5），求 AB、BC、
CD。
Ans： 9 3 6 AB BC CD ， ，
4. 某地早上六點時測得氣溫為－2 度，到了中午氣溫上升了 5 度，到
了傍晚六點，氣溫又較中午時的氣溫下降了 7 度，則傍晚六點的氣
溫為多少度？
Ans： －4 度
29
筆 記 欄
30
範例 1
練習
主題三 整數的乘除
B1-1-3-1：整數的乘法
( 兩數相乘的運算規則：
a×(－b)＝－(a×b)；(－a)×b＝－(a×b)；(－a)×(－b)＝a×b) )
求下列各式的值：
1. （－8）× 6 ＝ －48 2. 42 ×（－5）＝ －210
3. （－13）×（－3）＝ 39 4. （－41）× 0 ＝ 0
求下列各式的值：
1. （－9）× 5 ＝ －45 2. 33 ×（－7）＝ －231
3. （－6）×（－21）＝ 126 4. 0×（－59） ＝ 0
30-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能利用兩數相乘的運算規則計算它們的積。
二、 教學注意事項：
1. 說明兩數相乘的符號規則，應讀作：
(1) 正數乘以正數得正數。
(2) 正數乘以負數得負數。
(3) 負數乘以正數得負數。
(4) 負數乘以負數得正數。
※ 千萬不要讀成負負得正等的簡略說法。
2. 此處的教學重點在使學生知道乘積的運算規則。
若乘式中有一數為 0，則積為 0。
31
範例 2
練習
求下列各式的值：(說明連乘積的符號規則，說明乘式中有 0 其積為 0)
1. 12 ×（－5）× 8 2. （－4）×（－2）× 9
Ans：－480 Ans：72
3. （－7）×（－2）×（－3） 4. （－26）×（－8）× 0 ×（－7）
Ans：－42 Ans：0
求下列各式的值：
1. 25 ×（－4）× 7 ＝ －700 2. （－3）×（－6）× 2 ＝ 36
3. （－4）×（－5）×（－6）＝ －120
4. （－152）×（－17）× 0 ×（－22）＝ 0
31-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由【範例 2】中先由兩數相乘的規則說明連乘積的符號
規則。
二、 教學注意事項：
1. 說明在連乘的式子中，只要有一個數為 0 則其積為 0。
2. 練習題可利用運算規則計算。
32
範例 1
練習
B1-1-3-2：整數的乘法交換律與結合律
( 利用交換律與結合律簡化計算，先說明 4×25、125×8、---能讓乘法簡
化的原由，並要學生進行觀察 )
1. 17 × 8 ×125 2. （－4）×（－21）× 25
Ans：17000 Ans：2100
求下列各式的值：
1. （－19）× 20 ×50 ＝ －19000
2. （－37） ×（－8）× 125 ＝ 37000
32-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能利用交換律與結合律簡化計算。
二、 教學注意事項：
1. 說明兩數相乘時如果其積為 10、20、100、500、1000--這些數的
末幾位為 0，有利簡化計算。
如： 2×5=10
4×25=100
8×125=1000
或 4×5=20
4×125=500
2. 解題之前必須教會學生先觀察乘式，想好如何計算之後再動筆。
3. 【範例 1 第 1 題】及【練習第 1 題】是結合律的應用。
【範例 1 第 2 題】及【練習第 2 題】是交換律與結合律的應用。
33
範例 1
練習
B1-1-3-3：整數的除法
( 兩數相除的運算規則： (－a)÷b＝－(a÷b)； a÷(－b)＝－(a÷b)；
(－a)÷(－b)＝a÷b，0÷b＝0，b 0)，並說明 0 除以一個不為 0 的數其商
為 0 )
求下列各式的值：
1. （－18）÷ 6 ＝ －3 2. 42 ÷（－7）＝ －6
3. （－39）÷（－3）＝ 13 4. 0 ÷ 8 ＝ 0
求下列各式的值：
1. （－35）÷ 7 ＝ －5 2. 45 ÷（－5）＝ －9
3. （－24）÷（－4）＝ 6 4. 0 ÷（－21） ＝ 0
33-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能做整數的除法。
二、 教學注意事項：
1. 說明兩數相除、相乘的符號規則一樣：
例：－18÷6＝－(18÷6)＝－3。
2. 符號定了之後計算的方法用正整數的方法計算。
3. 題目都是可整除的數，不要利用倒數觀念計算。
4. 說明 0 不可當除數，而 0 除以任何一個不為 0 的數其商為 0。
34
範例 1
練習
B1-1-3-4：整數的四則運算
( 由左而右先算乘(除)，後算加(減)。有括號或絕對值時則最優先算，
優先順序教師宜加以說明如【範例 1 第 2 題】、【範例 1 第 4 題】 )
求下列各式的值：
1. （－7）＋（－5）×（－3） 2. （－8）×（9 － 3）
( 說明：（9 － 3）要先算 )
Ans：8 Ans：－48
3. （－28）÷（－7）－ 4 4. 45－5 ×｜26 ÷（－13）｜
( 說明：｜26 ÷（－13）｜要先算 )
Ans：0 Ans：35
求下列各式的值：
1. （－3）× 5 － 2 2. （－2）＋（－8） ×（－5）
Ans：－17 Ans：38
3. （－12）÷（－6）－ 4 4. （－9）× 7 －｜－5｜× 20
Ans：－2 Ans：－163
34-t
★ 教學提示
一、 教學目的：熟練整數的四則運算
二、 教學注意事項：
1. 複習正數四則運算的規則
2. 在【範例 1 第 2 題】中說明(9−3)要先算；【範例 1 第 4 題】中
│26÷(−13)│要先算，也就是說絕對值符號｜｜，也具有括號的功
能。
▲ 錯誤類型與指導策略：(錯誤類型多集中在優先順序的誤用)
【範例 1 第 4 題】
一、 錯誤類型：45−5×│26÷(−13)│
先算 45−5，再與│26÷(−13)│相乘
二、 指導策略：以此例說明先乘以 (除以)。
【練習第 2 題】
一、 錯誤類型：優先順序的錯誤。
(−2)＋(−8)×(−5) ＝ (−10)×(−5) ＝ 50
二、 指導策略：如【範例 1 第 4 題】。
35
範例 1
練習
B1-1-3-5：利用分配律解題 ( 先復習分配律 )
求下列各式的值：
1. （－37）× 999 2. （－27）× 8＋（－27）× 92
Ans：－36963 Ans：－2700
求下列各式的值：
1. 25 ×（－402） 2. 36 ×（－29）＋ 64 ×（－29）
Ans：－10050 Ans：－2900
35-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 利用分配律簡化計算。
2. 建立分配律的運作形式，做為代數運算的基礎。
二、 教學注意事項：
1. 分配律有 a(b+c) = a×b+a×c 或 a×b+a×c = a(b+c)兩種用法。
2. 分配律在數的運算使用上要先分辨何種情形之下使用有利計算。
3. 使用 a(b+c) = a×b+a×c 時，兩數相乘時要能夠拆解其中一數成為
兩數之和或兩數之差，而如何拆解是教學重點。
【範例 1 第 1 題】 (−37)×999，將 999 拆成 1000−1 對解題最有利，
而其他情況也應讓同學討論。
4. 使用 a×b+a×c = a(b+c)時，應先觀察到 a：
【範例 1 第 2 題】 (−27)×8+(−27)×92，−27 是共同具有的數。此
時重點在教學觀察並說明分配律的形式。
36
綜合練習
1. 求下列各式的值：
(1) 8 ÷（－4）＝ －2
(2) 〔（－36）＋（－24）〕÷（－6）＝ 10
(3) （－3）×（－5）× 0 ×（－8）＝ 0
2. 計算下列各式的值：
(1) 25 × 2 － 50 ÷（－2）
Ans：75
(2) 37× 36 ＋ 37× 64
Ans：3700
(3) 36－〔（－21）÷（－7）＋8〕
Ans：25
(4) （－2）×5 － 3 × （6－11）
Ans：5
(5) ｜－39｜÷ 1 3 ＋4 ×〔35 ÷（－7） 〕
Ans：－17
(6) －8 ＋（－24）÷（－6）＋（－3）× 2
Ans：－10
37
筆 記 欄
38
範例 1
練習
範例 2
練習
主題四 指數律
B1-1-4-1：指數的意義 ( 說明指數的記法與規範 )
請以指數記法簡記下列各式：
1. 5 × 5 × 5 × 5 ＝ 45
2. （－1.7）×（－1.7）×（－1.7）＝_____________
3. －7×7×7×7×7＝ －75
請以指數記法簡記下列各式：
1. （2
5）×（
2
5） ＝
22( )5
2. （－3）×（－3）×（－3）×（－3）×（－3）＝___________
3. －（－5）×（－5）×（－5）×（－5）＝ －(－5)4
計算下列各式的值：
1. 24 ＝ 16 2. （－3）2 ＝ 9
3. －52 ＝ －25 4. 2
0 ＝ 1
5. （－9）0 ＝ 1
1. （－1）8 ＝ 1 2. 53 ＝ 125
3. 09 ＝ 0 4. （－4）3＝ －64
5. （－7）2＝ 49 6. －72 ＝ －49
(－1.7)3
(－3)5
38-t
★ 教學提示
【範例 1】及【練習】
一、 教學目的：能使用指數簡記同一數連乘。
二、 教學注意事項：
1. 說明指數的記法及相關的名詞。
2. 【範例 1 第 1 題、第 2 題】是指數的的記法，
【範例 1 第 3 題】及【練習第 3 題】是指數記法的推廣。
其意義如下：
−7×7×7×7×7 ＝− (7×7×7×7×7)
＝ − (75) = −7
5
−(−5)× (−5)×(−5)×(−5) ＝ −﹝(−5)× (−5)×(−5)×(−5)﹞
＝ −﹝(−5) 4﹞
＝ − (−5) 4
【範例 2】及【練習】
一、 教學目的：將指數恢復成連乘並求他們的積。
二、 教學注意事項：
1. 指數的運作對學生而言是全新的學習，需要一些時間認識符號的
意義及在數學上的規定。
2. 對於指數所表示的意義，教師可利用下列三題比較其異同。
(1) (−7)3 ＝ (−7) ×(−7)×(−7)
(2) (−73) ＝ (−7×7×7)
(3) −73 ＝ −7×7×7
3. 任何一個不為 0 的 0 次方規定它的值為 1。例 (−5)0 ＝ 1
▲ 錯誤類型與指導策略：
一、 錯誤類型：−52 ＝ 25
(−1)8＝− 8
09 ＝ 1
−72 ＝ 49
二、 指導策略：用指數的意義說明如下：
−52＝−5×5＝− 25
(−1)8＝(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)＝1
09＝0×0×0×0×0×0×0×0×0＝0
−72＝−7×7＝− 49
39
範例 3
練習
計算下列各式的值：(此題目的在熟練指數的意義)
1. 23＋3
3 2. 2
4－（－52）
Ans：35 Ans：41
3. （－2）3 × 5
4 4. 6
3 ÷ 3
2
Ans：－5000 Ans：24
計算下列各式的值：
1. （－23）＋3
3－13
2. 43－6
2
Ans：18 Ans：28
3. 23＋2
3 4. 4
3 ×（－5）2
Ans：16 Ans：1600
39-t
★ 教學提示
一、 教學目的：熟練指數律的意義
二、 教學注意事項：
1. 用不同底數的數作四則運算，在過程中需將每一個指數的值先求
出，再做合併。
2. 為了防止學生濫用指數律，因此學習指數律之前，應從求指數的
求值中，奠定指數學習的基礎。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 3 題】
一、 錯誤類型：錯用指數律。
23＋2
3 ＝ 2
6 ＝ 64
二、 指導策略：先求 23 的值。
23 ＝ 2×2×2 ＝ 8
23＋2
3 ＝ 8＋8 ＝ 16
40
範例 1
B1-1-4-2：指數律
填充：
1. 23×2
4＝2×2×2 × 2×2×2×2＝2□＋□
＝2□
Ans：2 3 + 4 ＝ 2
7
2. (－3)2×(－3)
3＝(－3)×(－3) × (－3)×(－3)×(－3)＝(－3) □
Ans：(－3) 5
3. 57×5
12＝5□
4. (－8) ×(－8)10＝(－8)
□
Ans：5 19
Ans：(－8) 11
5. a4×a
4＝ a×a×a×a × a×a×a×a＝a□
Ans：a 8
6.
xm‧ x
n＝x□
Ans：x m+n
7. 85÷8
3＝888
88888
＝8
□－□＝8
□
Ans：8 5 3 ＝ 8
2
8. (－5)6÷(－5)
3＝(－5)□
9. 127÷12
5＝12□
Ans：(－5) 3 Ans：12
2
10. a 5÷a
3＝a
a
3
5
＝aaa
aaaaa
＝a
□ (a≠0)
Ans：a 2
11. xm÷ x
n＝x□
(x≠0)
Ans：x m-n
23×2
4共有幾個 2
乘在一起？
85÷8
3可以約分，剩下
幾個 8 乘在一起？
40-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能了解 am × a
n = a
m+n
am÷a
n = a
m-n
二、 教學注意事項：
1. 由觀察同底數的兩指數相乘得 am× a
n = a
m+n
2. 由觀察同底數的兩指數相除得 am÷a
n = a
m-n
3. 此題的教學重點在從觀察中得到指數律
am × a
n = a
m+n ，a
m÷a
n = a
m-n (a≠0)，應重視過程的學習。
41
練習
填充：
1. 67×6
5＝6×6×6×6×6×6×6 × 6×6×6×6×6＝6□
Ans：6 12
2. (－10)4×(－10)
2＝(－10)□
Ans：(－10) 6
3. 73×7
7×7
2＝7□
Ans：7 12
4. 93×9
3×9
3×9
3＝9□
Ans：9 12
5. (－4)4×(－4)
5×(－4) ×(－4)
2＝(－4)□
Ans：(－4) 12
6. 1011
÷107＝10
□
Ans：10 4
7. (－5)10
÷(－5)＝(－5)□
Ans：(－5) 9
8. a100
÷a 70＝a
□ (a≠0)
Ans：a 30
9. 53×5
7÷5
10＝5□＝________
Ans：5 0 ＝ 1
41-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能了解並應用 am × a
n = a
m+n
am÷a
n = a
m-n
二、 教學注意事項：
應用 am × a
n = a
m+n ，a
m÷a
n = a
m-n (a≠0)，解連乘除問題時，應注
意由左而右的順序原則。
42
範例 2
填充：
1. (23)
4＝23×2
3×2
3×2
3＝2 □ × □
＝2 □
Ans：2 3 × 4 ＝2
12
2. 〔(－3)2〕3＝(－3)
2 × (－3)
2 × (－3)
2＝(－3) □
Ans：(－3) 6
3. (92)
5＝9□
Ans：9 10
4. ( a4)
5＝a4×a
4×a
4×a
4×a
4＝a □ × □
＝a □
Ans：a 4 × 5
＝a 20
5. 83×3
3＝8×8×8×3×3×3＝(8×3)×(8×3)×(8×3)＝24×24×24 ＝( )3
Ans：( )＝24
6. (－5)5×2
5＝ (－5)×(－5)×(－5)×(－5)×(－5)×2×2×2×2×2＝ ( ) □
Ans：( )＝－10、 □＝5
7. a4‧b
4＝a‧a‧a‧a‧b‧b‧b‧b＝ ( ) □
Ans：( )＝ab、 □＝4
(23)
4共有幾個2乘在
一起？
42-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 由 am × a
n ＝ a
m+n擴展成(am )
k ＝ a
mk。
2. 由交換律擴展 am × b
m ＝ (a× b)
m。
二、 教學注意事項：
1. 先由數的觀察，並利用【範例 1】所得的方式 am × a
n ＝ a
m+n，做
為基礎逐漸推廣成(am )
k ＝ a
mk
2. 由交換律推得 am × b
m ＝ (a× b)
m，教學開始以數量的運算得在規
律，再進一步以符號說明。
3. 此題的教學不宜冒然從代數符號進行說明( a m
) k ＝ a
mk，
a m
× b m ＝ (a×b)
m。
43
練習
填充：
1. (65)
4＝65×6
5×6
5×6
5＝6□
Ans：□＝20
2. ( x3)
5＝x3‧x
3‧x3‧x
3‧x3＝x
□
Ans：□＝15
3. (73)
6＝7□
Ans：□＝18
4. 〔(－10)5〕7＝(－10)
□
Ans：□＝35
5. 74×5
4＝7×7×7×7×5×5×5×5＝( ) □
Ans：( )＝35、 □＝4
6. 89×10
9＝( ) □
Ans：( )＝80、 □＝9
7. 34×2
6×5
6＝34 ×( )
□＝
Ans：( )＝10、 □＝6、 81000000
43-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 由數的運算知道 (am )
k ＝ a
mk是由 am × a
n ＝ a
m+n 擴展而成。
2. 由數的運算知道 am × b
m ＝(a× b)
m是由交換律運算而得。
二、 教學注意事項：
應用公式時，應先觀察指數與底數的特徵，再決定使用的指數
律。
44
練習
範例 2
練習
範例 1
B1-1-4-3：指數律的運算
1. (1) 4＝2□；□＝ 2 (2) 8＝2
□；□＝ 3
(3) 16＝2□；□＝ 4
2. (1) 43＝2
□；□＝ 6 (2) 82＝2
□；□＝ 6
3. (1) 2×43＝2
a， a＝ 7 (2) 82÷16＝2
b，b＝ 2
1. (1) 9＝3□；□＝ 2 (2) 81＝3
□；□＝ 4
2. (1) 92＝3
□；□＝ 4 (2) 812＝3
□；□＝ 8
3. (1) 3×92＝3
a， a＝ 5 (2) 812÷27＝3
b，b＝ 5
計算下列各式：
1. 9－52＋（－4
2） 2. （－5）2×4－3
Ans：－32 Ans：97
計算下列各式：
1. （－32）÷9－6 2. 9
2÷27＋（－1）0
Ans：－7 Ans：4
44-t
★ 教學提示
【範例 1】及【練習】
一、 教學目的：透過數的計算瞭解指數律的運用。
二、 教學注意事項：
1. 題目難度較高，但對指數律的瞭解很有幫助。
2. 在例題中已將題目分成小題以降低難度。
3. 底數交換：
例：教學上，先算：(1) 8 是 2 的幾次方？
(2)再進一步求 82 = (2
3)
2 = 2
6 。
【範例 2】及【練習】
一、 教學目的：整數的四則運算中加入指數。
二、 教學注意事項：
1. 在指數中，如【練習第 1 題】：（－32）÷9－6 中，指數(−3
2)常讓學
生誤以為是(−3) 2。
2. −32如果不在式子中一般是不會加上括號的，若在式子中加入括號
就容易造成錯誤。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 1 題】
一、 錯誤類型 I：都集中在將(−32)看成(−3)
2。
指導策略：說明(−3) 2 = (−3)×(−3) = 9
−32 = −3×3 = −9
(−32)= (−3×3)= (−9)
二、 錯誤類型 II：（－32）÷ 9－6，先作（－3
2）÷ 9。
指導策略：說明四則運算的順序及指數的意義，其中指數最優先
處理。
45
範例 1
練習
B1-1-4-4：負指數的意義
填充：
1. 2＝
22
1＝ 0.25 2. 3
＝3
1＝ 0.33
3. 10＝
103
1＝ 0.001 4. 10
-5＝10
5
1 ＝ 0.00001
5. 0.1＝10
1＝10
□；□＝ －1 6. 0.01＝10
2
1＝10
□；□＝－2
7. 0.001＝10 □ ； □＝ －3 8. 0.0001＝10
□； □＝ －4
填充：
1. 3＝_____ 2. 4
＝_____
Ans：43
1 Ans：
4
1
3. 10＝_____ 4. 10
＝_____
Ans：210
1 Ans：
410
1
5. 2－2
＝_____
Ans：4
1
6. 1.2×10＝1.2×________＝________
Ans：310
1、0.0012
7. 0.00001＝10 □ ；□＝
Ans：□＝－5
8. 0.000001＝10 □ ；□＝
Ans：□＝－6
2是 2
2的倒數。
45-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用正指數的倒數說明負指數。
二、 教學注意事項：
1. 此處教學重點在以 10 為底的負指數，為後一節的〝科學記號〞做
準備。
2. 當 0.0001 寫成10
14時，即可記為 10
。
46
綜合練習
1.（ C ）下列哪一個選項的數值最小？
(A)（－10）7 (B)（－10）8
(C)（－10）9 (D)（－10）10
2.（ D ）計算（－2）4－（－4）2之值與下列哪一個選項相等？
(A) 22 (B)（－2）2
(C) －32 (D) 0
3.（ B ）下列選項中的算式，何者錯誤？
(A)（－2）3＝（－23） (B)（－2）4＝（－2
4）
(C)（－2）0＝（－3）0 (D)（－10）7
×（－10） ＝1
4. 計算下列各式的值：
(1) 23＋5
2＝ 33 (2) 32 × 2
4＝ 144
(3) 72＝ 49 。 (4) （－4）＝
1
16 。
5. 在下列空格中填入適當的數：
(1) 56
× 52＝5
□，□＝ 8 (2) 38
÷ 33＝3
□，□＝ 5
(3) （25）2
× 23＝2
□，□＝ 13 (4) 26
× 56＝□6，□＝ 10
6. 計算下列各式的值：
(1) 〔（－23）×5＋（－3）2〕× 2
Ans：－62
(2) 64 ÷〔（－2）3－（－24）〕 × 3
Ans：24
47
筆 記 欄
48
範例 1
主題五 科學記號
B1-1-5-1：科學記號的意義
請以科學記號記錄下列各數：
1. 37=3.7 × 10=3.7 × 10□，□＝ 1
3700=3.7 × 1000=3.7 × 10□，□＝ 3
3700000=3.7 × 1000000=3.7 × 10□，□＝ 6
2. 21600000
Ans： 72.16 10
3. 0.6 =6 × 0.1= 6 × 10□，□＝ －1
0.006 =6 × 0.001= 6 × 10□，□＝ －3
0.000006 =6 × = 6 × 10□， = ，□＝ －6
4. 0.00000047
Ans： 74.7 10
5. 215＝ × 102
Ans：2.15
0.000001
48-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能以科學記號表示很大或很小的正數。
二、 教學注意事項：
1. 科學記號的記法：將一個正數記為 a×10 n 的形式；
其中 1 a＜10，n 為整數，稱為科學記號。
2. (0.1)n ＝
1
10n＝ 10
–n ；n 為正整數。
3.
1 1
2 2
3 3
110 10 0.1 10
10
1100 10 0.01 10
100
11000 10 0.0001 10
1000
4. 利用科學記號表示數，比如 1234567893579 在科學上，它只要精
確到前面兩位，這時我們就可以用科學記號來表示，即
1234567893579 相近於 1200000000000＝1.2×1012。
49
練習
請以科學記號記錄下列各數：
1. 1360000 2. 1000000
Ans： 61.36 10 Ans：106
3. 1200800000 4. 0.0007
Ans： 91.2008 10 Ans：7×10
5. 0.00002029 6. 126.38
Ans： 52.029 10 Ans：1.2638×102
49-t
★ 教學提示
如【範例 1】。
50
範例 2
練習
請將下列科學記號表示的數，改寫成整數或小數：
1. 1.2×103 2. 7.42×10
5
Ans：1200 Ans：742000
3. 1.235×102
4. 5.6×10
Ans：123.5 Ans：0.0056
5. 2.3041×10
Ans：0.000023041
請將下列科學記號表示的數，改寫成整數或小數：
1. 9×105 2. 5.321×10
7
Ans：900000 Ans：53210000
3. 3×10
4. 7.1021×10
Ans：0.00003 Ans：0.00071021
50-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能將科學記號改為整數或小數。
二、 教學注意事項：
讓學生了解科學記號所表示的數的大小。
51
範例 1
練習
B1-1-5-2：科學記號的計算
在下列空格中填入適當的數：
1. 109=10
8×10，□＝ 2. 10
11=10
12×10，□＝
Ans：□＝1 Ans：□＝－1
3. 10
=10
×10，□＝ 4. 10
=10
×10，□＝
Ans：□＝1 Ans：□＝－1
5. 105×10
=10，□＝
Ans：□＝－2
在下列空格中填入適當的數：
1. 107=10
6×10，□＝ 2. 10
5=10
6×10，□＝
Ans：□＝1 Ans：□＝－1
3. 10
=10
×10，□＝ 4. 10
=10
×10，□＝
Ans：□＝－1 Ans：□＝1
5. 10
×10=10，□＝
Ans：□＝－7
51-t
★ 教學提示
一、 教學目的：指數的轉換。
此題是為【範例 2】準備。
二、 教學注意事項：
利用指數律：am × a
n = a
m+n ，a
m÷a
n = a
m – n (a≠0)，是底數為 10 的
指數運算。
52
範例 2
練習
在下列空格中填入適當的數：
1. 5×1012
= ×1011
2. 12.8×10
= ×10
Ans：50 Ans：128
3. 7.2×108=72×10，□＝ 4. 39×10
=3.9×10，□＝
Ans：7 Ans：－8
在下列空格中填入適當的數：
1. 75×1018
= ×1019
2. 3.6×10
= ×10
Ans：7.5 Ans：0.36
3. 35×1011
=3.5×10，□＝ 4. 2.1×10
=21×10□，□＝
Ans：12 Ans：－9
52-t
★ 教學提示
一、 教學目的：
1. 一個數能做不同的指數表示。
2. 此題是為科學記號的計算做準備。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 2 第 1 題】：
5×1012＝_____×10
11
教學時先將 1012改成 10×10
11
故 5×1011
＝ 5×10×1011
＝ 50×1011
2. 【範例 2 第 3 題】：
7.2 ×108 ＝ 72×10
7.2 ×10 ＝ 72
故 7.2×108 ＝ (7.2×10)÷10×10
8 ＝ 72 ×10
7
53
範例 3
練習
計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。
1. （2×107）×12 2. （8×10
10）÷（2×106）
Ans：2.4×108 Ans： 44 10
3. （4.5×108）×（2×10
4） 4. （8.1×1012）÷（9×10
3）
Ans： 129 10 Ans： 89 10
計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。
1. （6×105）×35 2. （6×10
15）÷（3×105）
Ans：2.1×107 Ans： 102 10
3. （2.5×106）×（4×10
5） 4. （2.7×1018）÷（3×10
12）
Ans： 121 10 Ans： 59 10
53-t
★ 教學提示
一、 教學目的：含科學記號的數的乘除。
二、 教學注意事項：
1. 科學記號的四則會牽涉到有效數字的範疇，因此我們只從數的運
算觀點，為學生在國二的理化計算做準備。
2. 做乘法計算時利用交換律與結合律將指數括在一起相乘。
【範例 3 第 3 題】：
(4.5×108)×(2×10
4) =4.5×10
8×2×10
4
=(4.5×2)×(108×10
4)
=9×1012
3. 做除法時，如【範例 3 第 4 題】：
作法一：
(8.1×1012
)÷(9×103) =(8.1×10×10
11)÷(9×10
3)
=(81×1011
)÷(9×103)
=3
11
109
1081
=3
11
10
10
9
81
=9×108
作法二：
(8.1×1012
)÷(9×103) =(8.1×10
12)÷(9×10
3)
=3
9
10
10
9
1.8
=0.9×109
=0.9×10×108
=9×108
54
範例 4
練習
計算下列各式，將結果以科學記號表示：
1. 5×103＋6×10
3 2. 4.5×10
3－6×102
Ans： 41.1 10 Ans： 33.9 10
3. 7.1×10＋1.3×10
4. 2.7×10
4－8×103
Ans： 68.4 10 Ans： 41.9 10
計算下列各式，將結果以科學記號表示：
1. 5×103＋3×10
3 2. 4.5×10
3－6×102
Ans： 38 10 Ans： 33.9 10
3. 6.9×10＋2.5×10
4. 6.8×10
4－9.6×103
Ans： 59.4 10 Ans： 45.84 10
54-t
★ 教學提示
一、 教學目的：含科學記號的數的運算。
二、 教學注意事項：加減的方法有兩種，如【範例 4 第 2 題】：
方法一：
4.5×103−6×10
2
＝45×102−6×10
2
＝(45−6)×102
＝39×10×102
＝3.9×103
方法二：
4.5×103−0.6×10×10
2
＝4.5×103−0.6×10
3
＝(4.5−0.6)×103
＝3.9×103
55
範例 5
練習
比較下列各組數的大小：
1. 7×105，8.5×10
5，2×106 2. 3×10
，2×10，7×10
Ans： Ans：
6 5 52 10 8.5 10 7 10 9 10 102 10 7 10 3 10
比較下列各組數的大小：
1. 2×104，3×10
5，4×103
2. 2×10，2×10
，2.1×10
Ans： Ans：
5 4 33 10 2 10 4 10
5 5 62.1 10 2 10 2 10
55-t
★ 教學提示
一、 教學目的：能比較科學記號所表示的數的大小。
二、 教學注意事項：
1. 科學記號比較大小的步驟。
(1) a×10n (1 a＜10，n 為整數)，
先比較 n 的大小，n 大的數比較為大。
(2) 若 n 相等時則比較 a 的大小，a 大者為大。
2. 例如：3×10，2×10
，7×10中，
(1) 比較 n 的大小，因為−9＞−10，所以 2×10
最大。
(2) 3×10與 7×10
中比較 a 的大小，因為 7＞3，所以
7×10＞3×10
，故 2×10＞7×10
＞3×10。
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綜合練習
（ C）1. 臺灣的人口數至 98 年 11 月約為 2302 萬人，以科學記號可
記為 a×10n人，則 n＝？
(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 8
（ B）2. 將 6.235×10化成小數，則此數從小數點後第幾位開始出現
不是 0 的數字？
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
（ D）3. 下列各選項中，哪一個數最大？
(A) 2.3×10
(B) 2.3×10
(C) 8.1×10
(D) 8.1×10
4. 請以科學記號記錄下列各數：
(1) 3570000 (2) 0.000800123
Ans： 63.57 10 Ans： 48.00123 10
5. 請將下列科學記號表示的數，改寫成整數或小數：
(1) 1.7×104
(2) 5.0065×10
Ans：17000 Ans：0.00050065
6. 計算下列各式，將結果以科學記號表示：
(1) 6×102＋4×10
2 (2) 8×10
3－3.4×102
Ans： 310 Ans： 37.66 10
(3) （7×105）×（6×10
4） (4) （9×1015）÷（3×10
5）
Ans： 104.2 10 Ans： 103 10
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筆 記 欄
版權所有˙翻印必究
晨曦學苑數學精進課程 數學科教師手冊 【單元 1】
◆主持人
甄曉蘭：國立臺灣師範大學教育學系教授
◆主編
吳昭容：國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系教授
曹博盛：國立臺灣師範大學數學系副教授
◆研發人員 (按姓氏筆畫順序)
王淑真：臺北市立啟明學校退休教師
李信仲：臺北市立蘭雅國中退休教師
章念慈：臺北市立蘭雅國中退休教師
黃若玲：臺北市立明湖國小退休教師
黃淑華：國立中和高中退休教師
陳財盛：高雄市立中正高中退休教師
◆編輯 (按姓氏筆畫順序)
呂能凱：國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心研究助理
鄭鈐華：國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心研究助理 (修訂)
◆封面設計
沈余愷
發行人：許添明
發行單位：國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心
行政聯繫：李珮瑜 (02)7734-3675 E-mail：[email protected]
教材聯繫：鄭鈐華 (02)7734-3678 E-mail：[email protected]
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