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聚英考研网:www.juyingonline.com/ 聚英编纂考研资料试读本

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聚英人坚持“专业人做专业事”，为广大考研学子奉献“专业作品”!

推荐指数：★★★★★

基本信息

【教材名称】《福州大学 611 数学分析考研专业课复习全书》(含真题与答案)

【编著】聚英教育组编

【字数】67 千字

【开本】16 开

【购买网址】http://www.jylearning.com/ziliao/zyk

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《福州大学 611 数学分析考研专业课复习全书》

【编辑推荐】

聚英教育秉持专注、责任、诚信原则，倾情推出了《福州大学考研专业课复习全书》系

列丛书，本书系统全面总结考研专业课知识，重难点分明，深度解析历年考研真题并进行命

题预测，为考生节省大量宝贵的复习时间，帮助考生在扎实基础之上迅速提高专业课成绩，

是今年考生从基础到冲刺阶段必备的考研专业课资料。

【亮点介绍】

1.专业课深度解析部分从考研各知识点历年的考察频率和变化趋势，明确重要考点和参

考书目的重要章节，从宏观试题分析、命题预测、全程规划建议、高分学长考研经验等角度

直抵专业课考研资讯最前沿，准确把握专业课的考研规律。

2.核心考点解析部分根据官方参考书目编写，对教材内容进行精简整合，所有知识点均

根据其历年考察的频率进行重要程度评估，并对真题考过的知识点进行明晰，免去考生自己

查阅、分析的烦恼，深入探讨重点考点，精准洞察知识脉络。部分难点附有重点提示和易出

考试题型说明。本部分内容对前几轮复习具有较大辅助作用，在考研后期复习阶段可脱离教

材结合核心考点解析进行理解和记忆，提高考生的复习效率和复习效果。

3.历年真题及答案解析部分给出了专业课考试历年考研真题，内含详细而精准的参考答

案。

【使用说明】

一、复习全书（主要含核心考点和历年真题）的使用建议

（一）复习第一招：按图索骥，宏观洞悉

1.复习基础阶段：初步浏览及标识复习中的疑惑点，此阶段重在对整体知识内容留有印

象，知晓重点，解决疑惑点；

2.复习深化阶段：对应核心考点具体内容，增加标识，此阶段可对照具体内容的复习情

况，把未熟练掌握内容进行标识及补充复习中发现的重要内容；

3.复习冲刺阶段：可脱离参考书及复习全书中的核心考点解析部分，单独看框架和纲要

回忆知识点并默写，以此查漏补缺，落实记忆。

（二）复习第二招：抽丝剥茧，十拿九稳（核心考点解析）

1.复习基础阶段：结合初试参考书及核心考点进行理解和背诵，根据核心考点的分析进

行初步的学习，对教材的内容有所熟悉；



2.复习强化阶段：根据核心考点的分析及重点提示，把知识点归纳为各种考试题型的题

目进行记忆；

3.复习冲刺阶段：可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和记忆，提高复习效

率和复习效果。

（三）复习第三招：真枪实战，画龙点睛（历年真题与答案解析）

1.复习基础阶段：通过专业课深度解析部分中的考试分析及命题预测，对专业课笔试真

题的出题风格和作答思路有深度把握和宏观了解，从而提高复习效率和考试命中率；

2.复习深化阶段：根据考试真实时限、时点进行模拟考试，可以反复模拟考试，然后对

照参考答案，不断完善充实答案，摸索答题方法。对于重中之重的知识点结合习题进行总结

和拓展；

3.复习冲刺阶段：直接背诵前阶段总结的参考答案，做好考试时间安排，形成自己的答

题思路和答题方法。

二、全真模拟题的使用建议

（四）复习第四招：查漏补缺，面面俱到（全真模拟题与答案解析）

考研冲刺阶段：考前一个月左右模拟考场进行实战演练，提前适应考场氛围、提升应对

考场突发状况的能力，学会合理分配考试作答时间，把握考试节奏，提升答题技巧。

【考生评价】

评价一：刚开始备考时，独自啃着那几本参考书目（厚得跟山似的），不知道重难点在

哪里，等看完了一遍后，已经是云里雾里。后面在同学的介绍下买了聚英的专业课复习全书，

全书的核心考点解析得非常透彻，在每章的开头还有一个复习提示介绍重难点。最让我惊喜

的是，全书标出了那些曾经考过的知识点的年份，还在其章节的后面附上了历年真题。非常

感谢本书的编者，因为他让我在专业课的复习道路上柳暗花明，让我离我的梦想更近一步。

评价二：买这本复习全书主要是为了复习方便，不然要花费好大的精力来研究真题和考

试大纲，这无疑会耽误我复习公共课。聚英的复习全书着实给了我一个大大的 surprise。全

书的第一部分让我初步了解专业课，第二部分让我步入了一个系统的复习阶段，用总分总的

方法打牢了专业课的基础，堪称完美！后期用历年真题和解析，让我有了一个质的提高。非

常庆幸我选择了聚英，同样也非常庆幸聚英没辜负我对它的信任！

评价三：聚英的这本复习全书在专业课的复习上帮了我很多忙，让我终于不再“盲人摸

象”，而是了如指掌。有些同学说买复习全书是浪费钱，但我不这么认为，因为那是人家花

了精力花了时间充满智慧的结晶。我们“剽窃了人家的结晶”难道不应该付给人家应有的报



酬？买书的时候是四五月份的时候，今年的真题还没有出来，后面聚英的工作人员还专门打

电话过来询问地址，给我寄了今年的真题与解析。这让我非常感动，太有责任心了！手工点

100 个赞！O(∩_∩)O



目录

前言

第一部分专业课深度解析

一、历年真题考点分布及试卷结构

二、历年试题综合分析

三、命题预测

四、专业课全程规划

第二部分核心考点解析

第一章集合与映射

第二章极限与连续

第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

第四章导数与微分

第五章微分中值基本定理及导数的应用

第六章不定积分

第七章定积分

第八章定积分的应用和近似计算

第九章数项级数

第十章反常积分

第十一章函数项级数、幂级数

第十二章傅里叶级数与傅里叶变换

第十三章多元函数的极限与连续

第十四章偏导数和全微分



第十五章极值和条件极值

第十六章隐函数存在定理、函数相关

第十七章含参变量的积分

第十八章含参变量的反常积分

第十九章积分的性质

第二十章重积分的计算与应用

第二十一章曲线积分和曲面积分的计算

第二十二章各种积分间的联系和场论初步

第三部分历年真题与答案解析

福州大学 2005 年招收硕士研究生入学考试试卷






第二部分核心考点解析

第一章集合与映射

一、本章复习提示本章内容比较简单，且纵观历届考题，本章没有考过的大题。故建议考生只对本章内容

了解即可，但一些重要的知识点一定要掌握，今后做题可能会频繁用到。

二、本章考点与解析（一）初等函数★★

1．有理数Q的表示

}p,{ ZqNpqxxQ 并且其中 .

２．整数集 Z 是可列集。

３．可列个可列集之并也是可列集。

４．有理数集Q是可列集。

５．基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。

6．初等函数的基本性质

由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而获得的函数称为初等函数。

双曲函数是一类重要的初等函数，常见的双曲初等函数有：双曲正弦、双曲余弦、双曲

正切和双曲余切等，定义如下：

sinh2

x xe ex

，

cosh2

x xe ex

，

sinhtanhcosh

x x

x x

x e exx e e

，coth

x x

x x

e exe e

７．初等函数的基本特征：有界性、单调性、奇偶性、周期性

（1）有界性

定义若存在两个常数m和M ，使函数 )(xfy ， Dx 满足

Mxfm )( ， Dx ，

则称函数 f 在D有界。其中m是它的下界，M 是它的上界。



（2）单调性

定义对函数 )(xfy ， Dx ，若对任意 1x ， 2x D ，当 21 xx 时成立

)()( 21 xfxf ))()(( 21 xfxf 或，则称函数 f 在D单调增加（或严格单调增加），通常

记作 f （或 f 严格）；若对任意 1x ， Dx 2 ，当 21 xx 时成立

)()( 21 xfxf ))()(( 21 xfxf 或，则称函数 f 在D单调减少（或严格单调减少），通常记

作 f （或 f 严格）。

（3）奇偶性

定义设函数 f 的定义域D关于原点对称，即 Dx Dx 。若对一切 Dx ，成

立 )()( xfxf ，则称函数 f 是偶函数；若对一切 Dx ，成立 )()( xfxf ，则称函

数 f 是奇函数。

（4）周期性

定义若存在常数 0T ，使得对一切 Dx ，成立 )()( xfTxf ，则称函数 f 是周

期函数，T 称为它的周期。若存在满足上述的最小的T ，则称它为 f 的最小周期。

８．重要的非初等函数

（1）符号函数sgnx；

1 >0sgn( ) 0 =0

1 <0

xx x

x

，当时

，当时

，当时

（2）Dirichlet 函数

1=

0, x

D xx

，当为有理数（）

当为无理数

（3）取整函数[ ]x 和尾数函数 ( )x ：

[ ]x 为 x最大整数部分， ( )x 为 x非负小数部分，其中 [ ] ( )x x x ，显然

1x x x ，0 ( ) 1x

（4）Riemann 函数



1 = ( ,=

0, =0,1,

p px p qq q qR x

x

，当为正整数，为既约分数）（）

当无理数

９．反函数

设 ( )y f x 与1( )y f x 互为反函数，则

（1） ( )y f x 与1( )y f x 图形关于直线 y x 对称；

（2） ( )y f x 增加（减少），当且仅当1( )y f x 严格单调增加（减少）.

10．常用不等式

（1）三角不等式

对于任意实数a和b，都有

bababa .

（2）平均值不等式

对任意n个正数 ,,,, 21 naaa 有

)111(21

2121

n

nn

n

aaa

naaan

aaa

,

等号当且仅当 ,,,, 21 naaa 全部相等时成立。

（3）对数不等式

xxxx

)1ln(1

)1( 时当 x ，

等号当且仅当 0x 时成立。

注：当令n

x 1 时，可得到重要的不等式

nnn1)11ln(

11

),2,1( i .

（4） xxx sin2

)2

0( 时当

x 。

三、本章习题精选



本章练习

１．证明上述 6 个常用不等式。

２．证明由n个元素组成的集合 },,,{ 21 naaaT 有 n2 个子集。

３．任意无限集必包含一个可列集。

４．设 f 为 R上的奇函数， ),2()()2(,)1( fxfxfaf Rx 。

1）试用a表达 )2(f 和 )5(f ；

2）a为何值时， )(xf 是以 2 为周期的周期函数。

参考答案

１．（1）证：因为对于任意实数a和b，都有

baabba ,

所以

222222 222 bbaabababbaa ,

开方后就得到上述不等式。

（2）证：先证明左边的不等式

nn

n aaan

aaa

21

21 .

当 2,1n 时，不等式显然成立。

当 )(2 Nkn k 时，不等式是 abba

2

的直接推论。

当 kn 2 时，取 Nl ，使 ll n 22 1 。记

aaaann 21 ,

在 naaa ,, ,21 后面加上 )2( nl 个 a ，将其扩充成 l2 个正数。对这 l2 个正数应用不等

式，得到

aaaaaanaaa ll nn

lnl 2

12

2121 )(])2([21

,

整理后即有



nn

n aaan

aaa

21

21 .

对naaa

1,,1,1

21

使用上面的结论，便得到右边的不等式。

【具体的内容，详见《福州大学 611 数学分析考研专业课复习全书》】



第三部分历年真题与答案解析


招生学院数学计算机科学学院招生专业应用数学、基础数学

考试科目数学分析科目编号 611

本卷共十题，每题 15 分

一、设 lim nnx a

，证明 1 2 ...lim n

n

x x x an

.

证明： 0 ， 1N ，当 1n N 时，2nx a

，

当 1n N 时

1 2 1 2... ...n nx x x x a x a x aan n

1 11 1 1... ...

2 2N N nx a x a x a x a n NM M

n n n n n

其中11 ... NM x a x a

对上述 0 ， 22MN

，当 2n N 时，2

Mn

，

0 ， 1 2max{ , }N N N ，当 n N 1 2 ... nx x x an

二、设 0 0( ) 0, ( ) 0f x f x ，证明必存在 0x 的一个去心邻域，使得在此去心邻域内

0( ) ( )f x f x .



证明：0

00

0

( ) ( )( ) lim 0x x

f x f xf xx x

，故存在 1 0 ，当 0 0 1( , )x x x 时，

0

0

( ) ( ) 0f x f xx x

，即 0( ) ( )f x f x ；

0

00

0

( ) ( )( ) lim 0x x

f x f xf xx x

，故存在 2 0 ，当 0 2 0( , )x x x 时，

0

0

( ) ( ) 0f x f xx x

，

即 0( ) ( )f x f x ；

总之，取 1 2min{ , } ，当 0 0 0 0( , ) ( , )x x x x x 时， 0( ) ( )f x f x ；

三、计算下列各题

（1）2

1

0

sinlim( ) xx

xx

（2） ln ,x xdx R

解：（1）原式

20

20

0

1 sinlim ln( )

cos sinlim2 sin

sinlim4sin 2 cos

16

x

x

x

xxx

x x xx x

xx x x

e

e

e

e

（2） 11ln ln

1x xdx x xd x

1

1

1

11

2

1 1ln1 1

1 ln1 1

1 ln1 ( 1)

xx x dxx

xx x dx

xx x C



四、设 (0) 0, (0)f f 存在，定义数列 2 2 2

1 2( ) ( ) ... ( )nnx f f f

n n n

证明1lim (0)2nn

x f

证明： ( )f x 在 0x 点泰勒展开

2 2

( ) (0) ( )

(0)

f x f x xi i if fn n n

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2(0) (0) ... (0)nn nx f f f

n n n n n n

2

2 2 2

1 2 1(0) ...2n nfn n n n

所以1lim (0)2nn

x f

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