Часть IIIIII.. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ Р ЦЦЕЕННЫХ Н …www.селищев.su/documents/tcb18.pdf · Ковариация Вероятная (стохастическая)

Лекции по курсу laquoТеория ценных бумагraquo Селищева АС wwwselishchevcom

Последнее обновление 22022012 г

===================================================================================================

1

ЧЧаассттьь IIIIII УУППРРААВВЛЛЕЕННИИЕЕ ППООРРТТФФЕЕЛЛЕЕММ ЦЦЕЕННННЫЫХХ ББУУММААГГ

ССооддеерржжааннииее

ЛЛееккцциияя 1188 ООжжииддааееммааяя ддооххооддннооссттьь ии рриисскк ппооррттффеелляя

ЛЛееккцциияя 1199 ВВыыббоорр ррииссккооввааннннооггоо ппооррттффеелляя

ЛЛееккцциияя 2200 ММооддееллии ооццееннккии ддооххооддннооссттии ааккттииввоовв

ЛЛееккцциияя 2211 ССттррааттееггииии вв ууппррааввллееннииии ппооррттффееллеемм

ЛЛееккцциияя 2222 ООццееннккаа ээффффееккттииввннооссттии ууппррааввллеенниияя ппооррттффееллеемм



===================================================================================================

2

ЛЛееккцциияя 1188 ООжжииддааееммааяя ддооххооддннооссттьь ии рриисскк ппооррттффеелляя Ключевые понятия Портфель

Ожидаемая доходность портфеля

Ожидаемый риск портфеля

Линейная зависимость

Ковариация

Вероятная (стохастическая) зависимость

Коэффициент корреляции

Риск портфеля из двух активов

Корреляция доходностей +1

Корреляция доходностей -1

Активы с некоррелируемыми доходностями

Теория портфеля Г Марковица

Риск портфеля из нескольких активов

Доминирующий портфель

Содержание 181 Ожидаемая доходность портфеля helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3 182 Ожидаемый риск портфеля helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

Практикум

Приложения управление портфелем риски helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip А

В предыдущих лекциях (темы 10-14) уже рассматривались вопросы связанные с оцен-

кой ожидаемой доходности и риска отдельных активов (краткосрочных инструментов

облигаций и акций) Теперь необходимо рассмотреть ожидаемую доходность и ожидае-

мый риск портфеля активов

Портфель ndash это набор финансовых активов которыми располагает инвестор

В портфель могут входить как инструменты одного вида например только акции так и

разные активы ценные бумаги деривативы недвижимость Цель формирования портфеля

состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более

низком уровне ожидаемого риска Она достигается

за счет диверсификации портфеля по составу активов за счёт тщательного подбора финансовых инструментов

В статье Гарри Марковица 1952 года laquoВыбор портфеляraquo была впервые предложена математи-ческая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг

1 Главной заслугой этой ра-

боты явилась предложенная теоретико-вероятностная формализация понятия риска и доходно-сти что позволило выбор оптимальной инвестиционной стратегии сформулировать как оптимиза-ционную задачу

2

В 1963 году ученик Марковица Уильям Шарп предложил так называемую однофакторную модель или модель с одним индексом (the single-index model) рынка капиталов в которой впо-следствии появились ставшие знаменитыми коэффициенты laquoАльфаraquo и laquoБетаraquo как характеристики акций На основе этой модели Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфе-ля что позволило применять методы портфельной оптимизации на практике

Сегодня модель Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестиционного капитала по различным типам активов акциям облигациям недвижимости и тд Модель Шарпа используется на втором этапе когда

1 Markowitz HM Portfolio Selection Journal of Finance 1952 7(1) March P 77-91

2 См Ширяев ВИ С 6-9

tzade



===================================================================================================

3

капитал инвестируемый в определённый сегмент рынка активов распределяется между отдель-ными конкретными активами составляющими выбранный сегмент (те по конкретным акциям об-лигациям и тп)

Гарри Марковиц (р1922) Уильям Шарп (р1934) Джеймс Тобин (1918-2002) Мертон Миллер (1923-2000)

Влияние laquoпортфельной теорииraquo Марковица значительно усилилось после появления в конце 1950-х годов работ Джеймса Тобина Следует отметить некоторые различия между подходами Марковица и Тобина Подход Марковица базируется на микроэкономическом анализе так как ак-центирует внимание на поведении отдельного инвестора формирующего оптимальный с его точ-ки зрения портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбираемых активов К тому же первоначально модель Марковица касалась в основном портфеля акций Тобин предло-жил включить в анализ безрисковые активы например облигации Его подход является по суще-ству макроэкономическим поскольку основным объектом изучения является распределение сово-купного капитала в экономике в виде денег и ценных бумаг Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей составляющих исходные данные в теории Марковица

Ф Модильяни (1918-2003) Майрон Шоулз (р 1941) Фишер Блэк (1938-1995) Марк Э Рубинштейн

С 1964 года появляются работы открывшие следующий этап в инвестиционной теории

связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов или CAPM (Capital Asset Price Model) Основным результатом САРМ явилось установление соотношения между доходно-стью и риском актива на равновесном рынке При этом важным является тот факт что при выборе оптимального портфеля инвестора инвестор должен учитывать не весь риск связанный с активом (риск по Марковицу) а только часть его называемую систематическим риском Эта часть риска тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представляется коэффициентом Бета ведённым Шарпом Остальная часть ndash несистематический риск ndash устраняется выбором со-ответствующего оптимального портфеля Характер связи между доходностью и риском имеет вид линейной зависимости и тем самым обычное практическое правило laquoбольшая доходность ndash больший рискraquo получает точное аналитическое представление В целом к 1980-м годам инвести-ционная теория синтезирующую портфельную теорию Марковица-Тобина и САРМ получает ши-рокое применение

Развитие указанных теорий шло параллельно с развитием других разделов финансовой нау-ки В 1950-1960-х-х годах появились работы Франко Модильяни и Мертона Миллера по финан-сам корпораций и финансовому менеджменту Анализ структуры капитала фирмы проблемы пла-



===================================================================================================

4

нирования капитальных расходов оценка стоимости фирмы ndash основные темы этих работ которые стали ныне классическими В 1973 г Марк Рубинштейн попытался пересмотреть традиционную теорию финансов корпораций с учетом идей портфельного анализа

В 1973 году Майроном Шоулзом и Фишером Блеком была предложена модель опционов получившая наименование модели Блека-Шоулза

Портфельная теория Марковица-Тобина-Шарпа использовала элементарные теоретико-вероятностные и оптимизационные методы Современные же теории потребовали весьма тонких и сложных модельных инструментов

118811 ООжжииддааееммааяя ддооххооддннооссттьь ппооррттффеелляя

Ожидаемая доходность портфеля определяется как средневзвешенная ожидаемая до-

ходность входящих в него бумаг то есть

)()()()( 2211 nnp rErErErE (181)

где )( prE - ожидаемая доходность (ex ante return) портфеля за определенный период1

)()()( 21 nrErErE - ожидаемая доходность соответственно первой второй и n-й бумаги

она рассчитывается как средняя арифметическая доходности бумаги за предыдущие пе-

риоды времени

n 21 удельный вес в портфеле первой второй и n-й бумаги

Компактно формула (181) записывается следующим образом

)()(1

n

i

iip rErE (181а)

Удельный вес актива в портфеле определяется как отношение её стоимости к стоимости

всего портфеля

P

i

iP

P

где θi ndash удельный вес i-го актива

Pi ndash стоимость i-го актива

PP ndash стоимость портфеля

При этом сумма всех удельных весов входящих в портфель активов равна единице

Пример 181 Инвестор желает приобрести акции компании laquoАльфаraquo распределение вероятно-стей доходности которых (за определенный период) приведено в таблице 181

Таблица 181 Распределение вероятностей доходности акций компании laquoАльфаraquo n (исторические примеры значений доходно-

сти акции в прошлом)

Доходность (в ) Вероятность реализации доходно-

сти

1 15 050

2 10 030

3 5 013

4 0 005

5 -5 002

Полная 100

1 Символ Е в теории вероятностей обычно используется для обозначения оператора математиче-

ского ожидания Если X ndash некоторая случайная величина то Е(Х) обозначает ее математическое

ожидание или как еще говорят ожидаемое среднее случайной величины



===================================================================================================

5

Определим ожидаемую (среднюю) доходность акций компании laquoАльфаraquo

11)5(020)0(050)5(130)10(300)15(500)( AlfarE

118822 ООжжииддааееммыыйй рриисскк ппооррттффеелляя

Слово риск означает laquoподверженность опасности убыткам потерям и тпraquo По отноше-

нию к инвестированию это определение претерпело изменения Принятое в инвестицион-

ном менеджменте уточнение понятие риска было сформулировано Марковицем Он оп-

ределил риск при помощи хорошо известной статистической величины ndash вариации как

меры возможных отклонений от ожидаемого (среднего) значения

1 Использование вариации для измерения риска Вариация или дисперсия случайной величины служит мерой разброса её значений вокруг

среднего значения Для доходности (как случайной величины) вариация оценивающая

laquoстепень отклоненияraquo возможных конкретных значений от средней или ожидаемой до-

ходности служит мерой риска связанного с данной доходностью Формула для определе-

ния вариации доходности i-го актива записывается следующим образом

)()()()var(22

22

2

11

2 rErprErprErpr nn (182)

или

var(r) =σ2 =

n

i

ii rErp1

2)( (182a)

Используя распределение вероятностей доходности для акций компании XYZ можно вы-

числить вариацию доходности rXYZ

24)115(020

)110(050)115(130)1110(300)1115(500)var(

2

22222

XYZr

Таким образом вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений

доходности от среднего но и вероятность такого отклонения В этом смысле дисперсия

указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора который оценивает будущую

доходность как среднюю по всем возможным значениям

Стандартное отклонение Поскольку вариация имеет размерность квадрата измеряе-

мой величины ее принято преобразовывать в стандартное отклонение те извлекать

квадратный корень Тогда риск (σ) получает ту же размерность что и доходность

)var()( rr

Тогда для акции компании XYZ стандартное отклонение равно

9424)( XYZr

Риск тем больше чем больше вариация (var) или стандартное отклонение (σ)



===================================================================================================

6

Критика вариации как меры риска Существует два довода против использования ва-

риации в качестве меры риска

Первый довод ndash вариация учитывает отклонение в обе стороны по отношению к

среднему значению Действительно реализованная доходность может быть как выше так

и ниже среднего значения при этом первый случай также вносит вклад в величину вариа-

ции и следовательно риска Инвестор же не расценивает превышение реальной доходно-

сти над ожидаемой как неприятный результат Напротив он приветствует такой исход де-

ла Поэтому многие исследователи считают что при измерении риска не должны рассмат-

риваться случаи когда возможная доходность выше ожидаемой

Марковиц понимал этот недостаток вариации и предлагал меру риска которая учи-

тывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению Эту меру

называют полувариацией (semi-variance) Полувариация рассчитывается как обычная ва-

риация кроме тех случаев когда доходность выше ожидаемой доходности Однако слож-

ности вычисления связанные с использованием полувариации привели к тому что в сво-

их работах Марковиц был вынужден ограничиться обычной вариацией

Второй довод относящийся к недостаткам вариации как меры риска состоит в том

что она нечувствительна к асимметричности распределения отклонений от среднего зна-

чения В случае несимметричных распределений приходится пользоваться другими харак-

теристиками типа коэффициента асимметрии и тп Марковиц не рассматривал подобные

характеристики в своей теории Использование вариации можно оправдать основываясь

на эмпирических исследованиях подтверждающих относительную симметричность ста-

тистических распределений доходностей акции Поскольку считается что для принятия

решения инвестор рассматривает только ожидаемую доходность и вариацию теория

портфеля в формулировке Марковица получила название двухпараметрической модели

(two-parameter model)

2 Теснота связи между доходностями активов В отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средне-

взвешенной величиной стандартных отклонений доходностей активов так как разные ак-

тивы могут реагировать неоднозначно на изменение рыночной конъюнктуры В связи с

этим стандартные отклонения доходности различных активов могут взаимно погашаться

что соответственно снижает портфельный риск Портфельный риск зависит от направле-

ний изменения доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка

и от интенсивностей этих изменений В связи с этим портфельному инвестору важно знать

как будет изменяться доходность одного актива при изменении доходности другого акти-

ва

Между доходностями активов может существовать функциональная зависимость

Самый простой случай ndash линейная зависимость

XY brar (183)

где rY ndash доходность бумаги Y

rX ndash доходность бумаги Х

а и b ndash константы

В случае линейной зависимости одному значению доходности актива Х соответствует од-

но определённое значение доходности актива Y Равенство 183 представляет положитель-

ную зависимость между X и Y о чём свидетельствует знак laquoплюсraquo перед величиной b

(см рис 181)

На рис 181 изображено что при росте доходности бумаги Х доходность бумаги Y

также возрастает а при падении ndash соответственно снижается Величина а представляет



===================================================================================================

7

собой расстояние на котором линия зависимости пересекает ось ординат а величина b

демонстрирует угол наклона линии зависимости к оси абсцисс и равна тангенсу этого угла

Зависимости может быть и отрицательной величиной как это изображено на рис

182

XY brar (184)

Вместе с тем зависимость между доходностями активов обычно бывает не функциональ-

ной одному значению доходности одной бумаги могут соответствовать разные значения

другой бумаги Такую зависимость называют вероятностной или стохастической В та-

ком случае при изменении доходности одной бумаги можно судить лишь о том с какой

вероятностью какие значения может принять доходность другой бумаги

Ковариация и корреляция При формировании портфеля степень взаимосвязи между

доходностями двух ценных бумаг можно определить с помощью таких показателей как

ковариация и коэффициент корреляции

Ковариация демонстрирует степень зависимости двух случайных величин

Ковариация может принимать положительные отрицательные значения и равняться нулю

При положительной ковариации доходностей двух активов с ростом доходности

одного актива доходность другого также будет возрастать При падении доходности пер-

вого актива доходность второго будет снижаться Например мы можем утверждать что

как правило высокие люди весят больше чем люди маленького роста то есть рост и вес

имеют позитивную ковариацию

При отрицательной ковариации переменные имеют тенденцию изменяться в про-

тивоположных направлениях При этом рост доходности первого актива будет сопровож-

даться снижением доходности второго актива и наоборот Чем больше величина ковариа-

ции тем сильнее зависимость между переменными Например если рыночные процент-

ные ставки неожиданно возрастают индекс фондового рынке имеет тенденцию к пониже-

нию

При нулевой ковариации никакой зависимости между переменными не существу-

ет Например при подкидывании двух монет результат подбрасывания одной монеты ни-

как не влияет на результат подбрасывания другой монеты Следовательно эти два резуль-

тата независимы друг от друга

Допустим имеются статистические данные по доходности активов Х и Y за n лет

Доходность актива Х за первый год равна rX1 второй ndash rX2 n-й ndash rXn Соответственно до-

ходность актива Y за первый год составила rY1 второй ndash rY2 n-й ndash rYn

Ковариация доходностей активов X и Y определяется по формуле

Рис 181 Положительная линейная зависимость

Доходность Х

Y=a+bX

Доходность Y

a

Рис 182 Отрицательная линейная зависимость


Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)

где covXY ndash ковариация доходности активов Х и Y

Пример 182 Портфель состоит из двух активов Х и Y Доходность актива Х за пять лет составляла соответственно 18 26 21 24 23 Доходность актива Y 19 27 20 25 28 Определить ковариацию доходностей активов

РЕШЕНИЕ Определяем среднюю доходность активов

4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr

В соответствии с формулой 185 определяем ковариацию доходностей активов

covxy = [(18 ndash 224)(19 ndash 238) + (26 ndash 224)(27 ndash 238) + (21 ndash 224)(20 ndash 238) +

+ (24 ndash 224) (25 ndash 238) + (23 ndash 224)(28 ndash 238)]5= 848

При определении ковариации производится выборка из совокупностей доходности акти-

вов так как невозможно учесть все их значения Поэтому на основании формулы 185 по-

лучают выборочную ковариацию Как и при расчете дисперсии оценка ковариации имеет

отрицательное смещение так как отклонения считаются не от истинного среднего значе-

ния переменных а от выборочных средних Выборочные средние находятся в центре вы-

борки и поэтому отклонения от них в среднем меньше чем от действительных средних

значений переменных Оценка ковариации будет несмещенной если в делителе формулы

185 величину n заменить на величину (n ndash 1)

1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)

В нашем примере несмещенная оценка ковариации составляет

60104

442cov xy

Впрочем для больших выборок эта корректировка не имеет существенного значения

Два основных недостатка ковариации которые делают неудобным её использование для получения сопоставительной тесноты взаимосвязи между переменными Во-первых значение ковариации зависит от единиц их измерения случайных величин Если в при-мере 182 измерить доходности не в процентах а в десятичных значениях то значение ковариации равнялось бы не 848 а 000848

Во-вторых как следует из формул 185 и 186 ковариация характеризует не толь-ко зависимость переменных но и их рассеяние вокруг средних значений Поэтому на-пример если одна из переменных мало отклоняется от своего среднего значения то ве-личина ковариации будет небольшой какой бы тесной не была зависимость переменных



===================================================================================================

9

от X и Y Эти две проблемы делают сравнение различного рода ковариаций затрудни-тельным

Для преодоления недостатков ковариации используют корреляцию статистическую меру весьма близкую к ковариации

Связь между ковариацией и корреляцией Итак проблема сравнения связи между

различными парами случайных переменных может быть решена через оригинальный спо-

соб распределения ковариации между двумя случайными переменными посредством ре-

зультата их стандартного отклонения В результате подобной операции над ковариацией

итоговый результат всегда будет находиться между ndash 1 и +1 Это число называется коэф-

фициентом корреляции (correlation coefficient) между двумя случайными переменными

и определяется по следующей формуле

cov

yx

xy

xycorr

(187)

где corrxy ndash коэффициент корреляции переменных X и Y

σx ndash стандартное отклонение переменной Х

σy ndash стандартное отклонение переменной Y

Существенного различия между терминами laquoкорреляцияraquo и laquoковариацияraquo не существует Деление ковариации на результат стандартного отклонения лишь нормирует ковариацию превращая её в безразмерный показатель ndash коэффициент

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости пере-

менных и является величиной безразмерной Тенденция к линейной зависимости двух пе-

ременных может иметь более или менее выраженный характер В связи с этим значения

коэффициента корреляции изменяются в диапазоне от минус единицы (-1) до плюс

единицы (+1) При этом значение равное +1 отражает полное совпадение направления

движения а ndash 1 означает полное несовпадение

В случае когда коэффициент равен +1 между доходностями двух активов сущест-

вует положительная линейная функциональная зависимость соответствующая формуле

(183) как это изображено на рис 181 Здесь одному значению доходности актива Х со-

ответствует определённое значение доходности актива Y Таким образом все возможные

значения доходностей активов Х и Y располагаются на прямой линии с положительным

наклоном доходности изменяются в одном направлении (либо растут либо падают)

Если коэффициент корреляции положительный но меньше +1 зависимость ме-

жду доходностями двух активов менее тесная На рис 183 изображена положительная

корреляция доходностей активов Х и Y меньшая +1 Значения доходностей активов изо-

бражены здесь в виде рассеянных точек Несмотря на отсутствие строгой зависимости

Рис 183 Положительная корреляция меньше +1

Y

X

Рис 184 Отрицательная корреляция больше -1

Y

X



===================================================================================================

10

между переменными видно что большему значению Х соответствует большее значение Y

Поскольку корреляция меньше чем + 1 то в отдельных случаях при росте доходности бу-

маги Х доходность Y может как падать так и расти То есть положительная корреляция

означает что при возрастании одной переменной другая имеет тенденцию возрастать

Если коэффициент корреляции равен -1 между доходностями активов существует

отрицательная линейная функциональная зависимость соответствующая формуле 184

как это изображено на рис 182 при росте доходности актива Х доходность актива Y па-

дает и наоборот

Случай отрицательной корреляции но меньше (по абсолютной величине) чем - 1

изображён на рис 184Здесь в целом между переменными наблюдается закономерность

большему значению Х соответствует меньшее значение Y и наоборот Однако зависи-

мость не строгая Поэтому при отрицательной корреляции в случае возрастания доходно-

сти одного актива доходность другого имеет тенденцию в среднем убывать

При коэффициенте корреляции равном нулю никакой зависимости между пере-

менными не существует Данная ситуация изображена на рис 185

Обратимся к примеру 182 и рассчитаем для активов Х и Y коэффициент корреляции

Ковариация равнялась 106 Поэтому стандартные отклонения доходностей активов Х и Y

равны соответственно

70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x

Коэффициент корреляции равен

066507016559

6010

xycorr

3 Риск портфеля из двух активов Риск портфеля подобно любому активу рассчитывается через дисперсию и стандартные

отклонения Если у нас уже есть ожидаемый доход и расхождение каждого портфеля ак-

тивов Х и Y также как и ковариация между ними и весом каждой акции в портфеле тогда

уравнение 182а может быть трансформировано в следующее выражение риска портфеля

(вариации или дисперсии σ2

P)

Рис 185 Нулевая корреляция Рис 186 Корреляция доходностей +1

Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)

По формуле 188 получаем риск портфеля измеренный дисперсией

Так как cov

YX

XYXYcorr

формулу 188 можно переписать и так

222222

XYYXYYXXp corr (189)

Риск портфеля измеренный стандартным отклонением доходности (σР) равен

2PP

Пример 183 Чему равен риск портфеля с активами Х и Y если θХ = 04 θY = 06 σx =

15 σY = 25 covXY = 055 Решение Дисперсия портфеля равна

326245506040225601540 22222 p

Риск портфеля составляет

261632624 p

Риск портфеля двух активов с корреляцией доходностей +1 При данной кор-

реляции переменные линейно функционально зависимы что уже было изображено на рис

181 При corrXY = 1 формула 189 преобразуется в

222222 )(2 YYXXXYYXYYXXp corr (1810) при этом

YYXXp (1810а)

Объединение таких активов в один портфель не снижает риск так как при изменении

конъюнктуры доходности активов будут изменяться в прямой зависимости в одном и том

же направлении (рис 186) В этом случае диверсификация не сокращает риска а лишь

усредняет его В данном случае риск можно уменьшить лишь сокращая доходность

Сочетая в портфеле активы Х и Y в различных пропорциях инвестор может с точки зре-

ния риска и доходности сформировать любой портфель лежащий на прямой XY (рис

σ

E(r)

Рис 187 Варианты портфелей из двух активов

с корреляцией доходностей

X

Y

время

Доходность

Рис 188 Корреляция доходностей -1

Y

Х



===================================================================================================

12

187) где по оси ординат откладывается ожидаемая доходность а по оси абсцисс ndash риск в

виде стандартного отклонения доходности

Риск портфеля двух активов с корреляцией доходностей -1 здесь переменные

находятся в отрицательной линейной функциональной зависимости (рис 182) Здесь

формула 189 превращается в формулу квадрата разности

222222 )(2 YYXXXYYXYYXXp corr (1811)

и

|| YYXXp (1811а)

В данной формуле 1811а правая часть взята по модулю стандартное отклонение ndash вели-

чина положительная

Портфель активов с корреляцией доходностей -1 сокращает портфельный риск по

сравнению с риском каждого отдельного актива поскольку (см рис 188) разнонаправ-

ленные движения доходностей активов Х и Y взаимно поглощаются При этом ожидаемая

доходность портфеля останется неизменной и зависит от ожидаемой доходности каждого

актива и его удельного веса в портфеле

Комбинируя активы Х и Y с разными удельными весами можно с точки зрения

риска и доходности сформировать любой портфель который будет находиться на прямых

ZX и ZY (см рис 189) При этом точке Z портфель инвестора не имеет риска Чтобы

сформировать такой портфель необходимо найти соответствующие удельные веса Х и Y

Для этого приравняем уравнение 1811а к нулю и найдём θX и θY

0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)

Рис 189 Варианты портфелей состоящих из двух активов с

корреляцией доходностей -1

Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX

Пример 184 Корреляция доходностей активов равна -1 Из них сформирована портфель без

риска на сумму 500 тыс руб Риск актива Х равен 25 Y = 35 Сколько средств следует вложить в каждый актив Решение Определим долю активов в портфеле

41703525

25

Y

583041701 X

Актив Y должен стоить

500 тыс 0417 = 2085 тыс руб актив Х должен стоить

500 тыс 0583 = 2915 тыс руб

Риск портфеля двух активов с некоррелируемыми доходностями В случае

отсутствия корреляции между доходностями активов формула 189 принимает вид

22222YYXX (1812)

Отсюда очевидно что портфель активов с некоррелируемыми доходностями способен

снизить риск

Пример 185 Чему равен риск портфеля из активов Х и Y если θХ = 04 θY = 06 σx = 15 σY =

30 коэффициент корреляции доходностей бумаг равен нулю Решение Дисперсия портфеля составляет

36030601540 22222 P

Риск портфеля представленный квадратным отклонением равен

9718360 P

Как известно можно получит портфель с минимальным риском при отсутствии корреля-

ции доходностей двух активов Для этого следует продифференцировать уравнение 1812

по θХ и приравнять его к нулю при том что XY 1

YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1

Итак мы рассмотрели риск портфеля из двух активов для случаев корреляции доходно-

стей активов +1 -1 и 0 Мы уяснили что риск портфеля уменьшается при уменьшении

корреляция доходностей входящих в него активов Это должен иметь в виду инвестор со-

ставляя портфель с активами с наименьшей корреляцией В этом случае он может снизить ожидаемый риск портфеля не ожидая его ожидаемой доходности Поясним это на приме-

ре

Выводы для портфеля из двух активов если портфель состоит из активов с корреляцией +1 то возможно лишь усреднить но не уменьшить совокупный риск если портфель состоит из активов с корреляцией меньше +1 его риск уменьшается по мере уменьшения корреляции доходностей активов при этом сохраняется неизменный уровня ожидаемой доходности портфеля если портфель состоит из активов с корреляцией -1 можно сформировать портфель без риска при формировании портфеля следует подбирать активы с минимально возможной кор-реляцией

Вместе с тем следует иметь в виду что данные выводы имеют значения только в условиях

более или менее нормальной экономической конъюнктуры При возникновении мощных

финансовых потрясений большинство активов начинают вести себя так как- будто они

имеют корреляцию близкую к +1 В условиях кризиса инвесторы начинают искать (часто

безуспешно) активы ценность которых не снижалась бы и во время экономического кол-

лапса золото другие благородные металлы произведения искусства дорогие вина и т п1

4 Риск портфеля из нескольких активов Теперь выясним как определяется риск

портфеля состоящего из нескольких активов Он рассчитывается по формуле

n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2

Р ndash риск портфеля

θi ndash удельный вес i-го актива в портфеле

θj ndash удельный вес j-го актива в портфеле

covij ndash ковариация доходностей i-го и j-го активов

1 С конкретными проявлениями подобных событий можно ознакомиться в приложениях данного

курса (laquoТеория ценных бумагraquo) к лекции 18 в приложениях к лекции 6 (laquo6-Бraquo) а также (о

золоте и других благородных металлах) в приложении к лекции 1 (laquo1-Аraquo) нашего курса

laquoДеньги Кредит Банкиraquo



===================================================================================================

15

Знак двойной суммы

n

i

n

j1 1

означает что раскрывая формулу 1813 сначала следу-

ет взять значение i=1 и умножить на него все значения j от 1 до n Затем повторить дан-

ную операцию но уже для i=2 и тд В итоге получим n2 слагаемых

n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2

1 cov2cov2cov hellip + nn 11 cov2

1 актив

2332

2

22

2

2 cov2cov hellip + nn 22 cov2

для 2 активов

2

33

2

3 cov hellip + nn 33 cov2


hellip 22 covnnn

для n активов

Как уже упоминалось для портфеля состоящего из двух активов с корреляцией доходно-

стей +1 риск представляет собой совершенный риск входящих в него активов Поэтому

для такого случая не наблюдается уменьшение риска а происходит лишь его усреднение

Это правило верно и для портфеля с тремя и более активами

Если портфель состоит из активов с корреляцией равной нулю его риск рассчитыва-

ется по формуле

n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)

В случае если активы имеют одинаковую дисперсию и удельный вес формулы 1814 и

1815 принимают соответственно следующий вид

2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)

То есть риск портфеля убывает по мере увеличения количества входящих в него активов

Формулу 1813 можно представить так



===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)

Если портфель состоит из активов с равными удельными весами формула 1819 будет

иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n

1 - удельный вес бумаги в портфеле

При увеличении количества активов в портфеле значение первого слагаемого в формуле

1819 уменьшается а при большом значении n оно приближается к нулю Поэтому для

большого значения n формулу 1819 можно записать следующим образом

n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)

Умножим и разделим правую часть формулы 1820 на (n-1)

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)

В формуле (1821) для большого значения n выражение n

n 1 стремится к единице а вы-

ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(

cov ndash к средней ковариации доходностей активов входящих в порт-

фель так как в числителе данного выражения стоит сумма ковариаций а в знаменателе ndash

их число То есть при включении в портфель большого количества активов и при условии

что их удельные веса приблизительно одинаковы риск портфеля по своей величине будет

близок к значению средней ковариации доходностей входящих в него активов Доминирующий портфель В лекции 14 (параграф 2) мы рассматривали принцип до-

минирования при выборе активов Это полностью применимо и при выборе оптимального

портфеля

Портфель (актив) имеющий более высокий уровень доходности при том же уровне риска или более низкий риск при той же ожидаемой доходности чем остальные портфели (ак-тивы) называется доминирующим

Другими словами на рис 142 шесть активов (М В С А Е Т) можно рассматривать и

как шесть портфелей и рассуждать аналогично Рациональный инвестор неизменно сде-

лает выбор в пользу доминирующего портфеля поскольку доминирующий портфель ndash это

наилучший выбор с точки зрения доходности и риска для всех возможных альтернатив-

ных вариантов



===================================================================================================

17

Литература

1 Аскинадзи ВМ Максимова ВФ Петров ВС Инвестиционное дело М 2010

2 Боди З Кейн А Маркус АДж Принципы инвестиций М СПб 2002

3 Бригхэм Ю Эрхардт МС Финансовый менеджмент СПб 2007

4 Буренин АН Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов 3-

е изд М 2009

5 Буренин АН Управление портфелем ценных бумаг ndash М Научно-техническое

общество имени академика СИ Вавилова 2005 - 454 с

6 Винс Р Математика управления капиталом методы анализа и риска для трейде-

ров и портфельных менеджеров 3-е изд Пер с англ ndash М Альпина Бизнес Букс

2008 ndash 400 с

7 Гитман ЛДж Джонк МДж Основы инвестирования М 1999

8 Касимов ЮФ Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг ndash М Фи-

линъ 1998 ndash 146 с

9 Кравченко ПП Курс лекций для портфельного инвестора ndash М Дело и Сервис

2010 ndash 304 с

10 Криничанский КВ Рынок ценных бумаг 2-е изд ndash М Дело и Сервис 2010 ndash

608 с

11 Никонова ИА Ценные бумаги для бизнеса М 2006

12 Тьюлз РД и др Фондовый рынок М 2000

13 Фабоцци Ф Дж Управление инвестициями М 2000

14 Хейл Т Разумное инвестирование Пер с англ ndash М Волтерс Клувер 2009 ndash 448

с

15 Шведов АС Теория эффективных портфелей ценных бумаг ndash М ГУ ВШЭ 1999

ndash 144 с

16 Ширяев ВИ Оптимальные портфели управление финансами и рисками 2-е изд

ndash М Книжный дом laquoЛИБРОКОМraquo 2009 ndash 216 с



===================================================================================================

2

ЛЛееккцциияя 1188 ООжжииддааееммааяя ддооххооддннооссттьь ии рриисскк ппооррттффеелляя Ключевые понятия Портфель

Ожидаемая доходность портфеля

Ожидаемый риск портфеля

Линейная зависимость

Ковариация

Вероятная (стохастическая) зависимость

Коэффициент корреляции

Риск портфеля из двух активов

Корреляция доходностей +1

Корреляция доходностей -1

Активы с некоррелируемыми доходностями

Теория портфеля Г Марковица

Риск портфеля из нескольких активов

Доминирующий портфель

Содержание 181 Ожидаемая доходность портфеля helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3 182 Ожидаемый риск портфеля helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

Практикум

Приложения управление портфелем риски helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip А

В предыдущих лекциях (темы 10-14) уже рассматривались вопросы связанные с оцен-

кой ожидаемой доходности и риска отдельных активов (краткосрочных инструментов

облигаций и акций) Теперь необходимо рассмотреть ожидаемую доходность и ожидае-

мый риск портфеля активов

Портфель ndash это набор финансовых активов которыми располагает инвестор

В портфель могут входить как инструменты одного вида например только акции так и

разные активы ценные бумаги деривативы недвижимость Цель формирования портфеля

состоит в стремлении получить требуемый уровень ожидаемой доходности при более

низком уровне ожидаемого риска Она достигается

за счет диверсификации портфеля по составу активов за счёт тщательного подбора финансовых инструментов

В статье Гарри Марковица 1952 года laquoВыбор портфеляraquo была впервые предложена математи-ческая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг

1 Главной заслугой этой ра-

боты явилась предложенная теоретико-вероятностная формализация понятия риска и доходно-сти что позволило выбор оптимальной инвестиционной стратегии сформулировать как оптимиза-ционную задачу

2

В 1963 году ученик Марковица Уильям Шарп предложил так называемую однофакторную модель или модель с одним индексом (the single-index model) рынка капиталов в которой впо-следствии появились ставшие знаменитыми коэффициенты laquoАльфаraquo и laquoБетаraquo как характеристики акций На основе этой модели Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфе-ля что позволило применять методы портфельной оптимизации на практике

Сегодня модель Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестиционного капитала по различным типам активов акциям облигациям недвижимости и тд Модель Шарпа используется на втором этапе когда

1 Markowitz HM Portfolio Selection Journal of Finance 1952 7(1) March P 77-91

2 См Ширяев ВИ С 6-9

tzade



===================================================================================================

3










===================================================================================================

4







)()()()( 2211 nnp rErErErE (181)







)()(1

n

i

iip rErE (181а)



P

i

iP

P









сти

1 15 050

2 10 030

3 5 013

4 0 005

5 -5 002

Полная 100






===================================================================================================

5


11)5(020)0(050)5(130)10(300)15(500)( AlfarE












)()()()var(22

22

2

11


или

var(r) =σ2 =

n

i

ii rErp1

2)( (182a)



24)115(020

)110(050)115(130)1110(300)1115(500)var(

2

22222

XYZr








)var()( rr


9424)( XYZr




===================================================================================================

6


































ва



XY brar (183)







(см рис 181)





===================================================================================================

7




182

XY brar (184)





















нию











Y=a+bX


a



Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

3










===================================================================================================

4







)()()()( 2211 nnp rErErErE (181)







)()(1

n

i

iip rErE (181а)



P

i

iP

P









сти

1 15 050

2 10 030

3 5 013

4 0 005

5 -5 002

Полная 100






===================================================================================================

5


11)5(020)0(050)5(130)10(300)15(500)( AlfarE












)()()()var(22

22

2

11


или

var(r) =σ2 =

n

i

ii rErp1

2)( (182a)



24)115(020

)110(050)115(130)1110(300)1115(500)var(

2

22222

XYZr








)var()( rr


9424)( XYZr




===================================================================================================

6


































ва



XY brar (183)







(см рис 181)





===================================================================================================

7




182

XY brar (184)





















нию











Y=a+bX


a



Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

4







)()()()( 2211 nnp rErErErE (181)







)()(1

n

i

iip rErE (181а)



P

i

iP

P









сти

1 15 050

2 10 030

3 5 013

4 0 005

5 -5 002

Полная 100






===================================================================================================

5


11)5(020)0(050)5(130)10(300)15(500)( AlfarE












)()()()var(22

22

2

11


или

var(r) =σ2 =

n

i

ii rErp1

2)( (182a)



24)115(020

)110(050)115(130)1110(300)1115(500)var(

2

22222

XYZr








)var()( rr


9424)( XYZr




===================================================================================================

6


































ва



XY brar (183)







(см рис 181)





===================================================================================================

7




182

XY brar (184)





















нию











Y=a+bX


a



Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

5


11)5(020)0(050)5(130)10(300)15(500)( AlfarE












)()()()var(22

22

2

11


или

var(r) =σ2 =

n

i

ii rErp1

2)( (182a)



24)115(020

)110(050)115(130)1110(300)1115(500)var(

2

22222

XYZr








)var()( rr


9424)( XYZr




===================================================================================================

6


































ва



XY brar (183)







(см рис 181)





===================================================================================================

7




182

XY brar (184)





















нию











Y=a+bX


a



Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

6


































ва



XY brar (183)







(см рис 181)





===================================================================================================

7




182

XY brar (184)





















нию











Y=a+bX


a



Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

7




182

XY brar (184)





















нию











Y=a+bX


a



Y=a - bX


a



===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

8

))((

covn

rrrr YYXX

xy

ii

(185)




4225

2324212618

Xr

8235

2825202719

Yr












1

))((

cov

n

rrrr yyixxi

xy (186)


60104

442cov xy






===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

9










cov

yx

xy

xycorr

(187)






















Y

X


Y

X



===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

10



















70164

)82328()82325()82320()82327()82319(

5594

)42223()42224()42221()42226()42218(

22222

22222

y

x


066507016559

6010

xycorr






P)


Y

X

время

Y

X



===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

11

cov222222

XYYXYYXXp (188)


Так как cov

YX

XYXYcorr


222222



2PP



326245506040225601540 22222 p


261632624 p





YYXXp (1810а)







σ

E(r)



X

Y

время



Y

Х



===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

12







и

|| YYXXp (1811а)













0 YYXXp

Так как

1 YX

то

0)1( YYXY

Поэтому

YX

XY

и

σ

E(r)



Z

Y

X



===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

13

1YX

Y

YX

XX



41703525

25

Y

583041701 X



500 тыс 0583 = 2915 тыс руб



22222YYXX (1812)





36030601540 22222 P


9718360 P




YXXX

X

P

d

d 2222 )1(

то есть

2 222222YXYXYXX

X

P

d

d

или

0222 222 YXYXX

X

P

d

d

Тогда



===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

14

YYXX

222 или

YX

Y

X 22

2

и

YX

X

Y 22

2

1





ре










n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813)

где σ2











===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

15


n

i

n

j1 1




n

i

n

j

ijjiP

1 1

2 cov (1813а)

13311221

2

11

2


1 актив

2332

2

22

2



2

33

2



hellip 22 covnnn








n

i

iiP

1

222 (1814)

и

1

22

n

i

iiP (1815)



2

22

nP

(1816)

и

n

P

(1817)





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

16

n

i

n

i

n

jij

ijjiiiP

1 1 1

22222 cov (1818)


иметь вид

n

i

n

i

n

jij

ijiP

nnn1 1 1

2

2

2 cov111

(1819)

где n





n

i

n

jij

ijP

nn1 1

2 cov11

(1820)


n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2

)1(

cov1

или

n

i

n

jij

ijP

nnn

n

1 1

2 )1(

cov1 (1821)



ражение

n

i

n

jij

ij

nn1 1 )1(







портфеля









===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с





===================================================================================================

17






е изд М 2009





2008 ndash 400 с





2010 ndash 304 с


608 с





с


ndash 144 с



Documents

Часть IIIIII.. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ Р ЦЦЕЕННЫХ Н …www.селищев.su/documents/tcb18.pdf · Ковариация Вероятная (стохастическая)