КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

Дніпро

2017 рік

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

Розробник: Буряк Геннадій Іванович,

викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

Розглянуто і ухвалено на засіданні

предметної (циклової) комісії

математики та інформатики

Протокол № 7 від 10.02.2017 року

Голова ПЦК О.М. Малик

підпис ініціали та прізвище

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

2 ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

2.1 Загальні поняття

Комбінаторика — розділ математики, присвячений розв'язанню

задач вибору та розташуванню елементів деякої, зазвичай, скінченної

множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає

спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що

зветься комбінаторною конфігурацією.

Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження

комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, оптимізація таких

алгоритмів, а також розв'язання задач переліку.

Термін «комбінаторика» ввів Лейбніц, який

у 1666 році опублікував свою працю «Міркування

про комбінаторне мистецтво».

Найпростішими прикладами

комбінаторних конфігурацій є перестановки,

розміщення, комбінація та розбиття

Ґотфрід Вільгельм Лейбніц

1646-1716

2.2 Поняття сполуки. Правило суми та добутку

Вибрані (або вибрані і розміщені) групи елементів називають

сполуками. Якщо всі елементи сполуки різні, то одержуємо сполуки без

повторень, а якщо елементи можуть повторюватися, то одержуємо

сполуки з повтореннями.

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

2.2.1 Правило суми

Якщо елемент A можна вибрати m способами, а елемент B — n способами,

то А або В можна вибрати (m + n) способами.

2.2.2 Правило добутку

Якщо елемент A можна вибрати m способами, а після цього

елемент B — n способами, то А і В можна вибрати (m n) способами.

Висновок

кількості способів вибору кожного елементу додають, якщо

доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д.

елемент;

кількості способів вибору кожного елементу перемножують,

якщо доводиться вибирати набір, у який входить і перший, і другий, і

третій, і т. д. елементи.

ННааппррииккллаадд Якщо в кіоску продають ручки 5-ти видів і зошити 4-

х видів, то вибрати набір з ручки і зошита (тобто пару —

ручка і зошит) можна 54 = 20 способами (оскільки до

кожної з 5 ручок можна взяти будь-який із 4 зошитів).

ННааппррииккллаадд Якщо на тарілці лежить 5

груш і 4 яблука, то вибрати один фрукт

(тобто грушу або яблуко) можна 9 способами

5 + 4 = 9

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

2.3 Впорядковані множини

Для впорядкованих множин суттєвим є порядок слідування їх елементів,

тобто те, який елемент записано на першому місці, який на другому тощо.

Зокрема, якщо одні й ті самі елементи записати в різному порядку, то отримаємо

різні упорядковані множини. Щоб відрізнити запис впорядкованої множини від

невпорядкованої, елементи впорядкованої множини часто записують у круглих

дужках, наприклад (1; 2; 3) ≠ (1; 3; 2).

Розглядаючи впорядковані множини, слід враховувати, що

впорядкованість не є властивістю самої невпорядкованої множини (з якої ми

одержали впорядковану), оскільки одну й ту саму множину можна по-різному

впорядкувати.

Наприклад

Множину з трьох чисел {–5; 1; 3} можна впорядкувати:

за зростанням: (–5; 1; 3);

за спаданням: (3; 1; – 5);

за зростанням абсолютної величини числа: (1; 3; –5)

2.4 Основні формули комбінаторики

2.4.1 Перестановки

Перестановкою з n елементів називається будь-яка впорядкована множина

з n елементів.

Інакше кажучи, це така множина, для якої указано, який елемент

знаходиться на першому місці, який — на другому, ..., який — на n-му).

Кількість перестановок без повторень з n елементів позначається Pn (P —

перша літера французького слова permutation — перестановка).

де n! = 123 ... n (читається:«Ен факторіал»)

Прийнято вважати, що

0! = 1

Pn = n!

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

Розв’язання

Кількість способів дорівнює числу перестановок з 8 елементів.

Тобто P8 = 8! = 12345678 = 40 320

Відповідь. P8 = 40 320.

Розв’язання

Сполуки, що утворюють з п'яти різних цифр п'ятизначні числа, можуть

відрізнятися лише порядком цифр, тому такі сполуки будуть переставленням з 5

елементів

P5 = 5! = 12345= 120

Відповідь. Отже кількість різних п'ятизначних чисел P4 = 120.

Розв’язання

З чотирьох цифр 0, 3, 7, 9 можна одержати P4 перестановок.

P4 = 4! = 1234 = 24

Але ті перестановки, які починаються з 0, не будуть записом

чотирицифрового числа. Кількість таких перестановок P3 = 123 = 6

Відповідь. Отже кількість різних чотирицифрових чисел P4 – P3 = 24 – 6 = 18.

ППррииккллаадд 22..33 Знайдіть кількість різних чотирицифрових чисел, які

можна скласти з цифр 0, 3, 7, 9 (цифри в числі не

повторюються).

ППррииккллаадд 22..22 Скільки п'ятизначних чисел можна записати,

використовуючи п'ять різних цифр (крім нуля)?

ППррииккллаадд 22..11 Знайдіть, скількома способами

можна вісім студентів вишикувати в колону

по одному.

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

2.4.2 Розміщення

Розміщенням з n елементів по k називається будь-яка впорядкована

множина з k елементів (k < n), складена з елементів n-елементної множини, що

відрізняються як порядком, так і елементами.

Кількість розміщень з n елементів по k позначається k

nA (читається: «А з n

по k», A — перша літера французького слова arrangement — розміщення).

Розв’язання

Усі можливі розклади занять на один день — це сполуки з 10 елементів по

4, які можуть відрізнятися дисциплінами або їх порядком, тобто ці сполуки —

розміщення. Тобто 504078910)!410(

!104

10

A

Відповідь. 5040 — число способів, якими можна скласти розклад занять на один

день.

ППррииккллаадд 22..44 Студенти другого курсу

згідно учбового плану вивчають 10

дисциплін.

На один день можна планувати заняття з 4

дисциплін. Скількома способами можна

скласти розклад занять на один день?

)!(

!

kn

nAk

n

)1)...(1()1( knnnnAk

n

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

Розв’язання

Оскільки порядок слідування елементів у сполуці враховується, а до

одержаної сполуки входять 4 із заданих 5, то відповідна сполука — розміщення з

5 елементів по 4 (без повторень), тобто

21054321!5)!45(

!54

5

A

Але з них слід вилучити елементи, що починаються з нуля, оскільки вони

не є чотирицифровими числами. Ці елементи утворюють сполуку

244321!44

4 A

Відповідь. Отже кількість різних чотирицифрових чисел 96241204

4

4

5 AA .

ОДЗ: x 1, x N

Нехай x + 1 = n ;302 nA

Тоді рівносильне йому:

30)1( nn

Тоді

;30)11)(1( xx

;30)2)(1( xx

;30232 xx

;02832 xx

корінь; сторонній 41 x

.x 72

Відповідь. 7

ОДЗ: x 5, x N

;4313

5

x

x

A

A

Тоді рівносильне йому:

;42)2)(1(

)4)(3)(2)(1(

xxx

xxxxx

.x

x

xx

xxx

xx

10

корінь;сторонній7

;0307

;0421234

;42)4)(3(

2

1

2

2

Відповідь. 10

ППррииккллаадд 22..55 Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр

0, 2, 4, 6, 8, якщо цифри в числі не повторюються?

ППррииккллаадд 22..66 Розв’язати рівняння:

302

1 xA 43

3

35

x

xx

A

AA

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

2.4.3 Комбінації (сполучення)

Сполученням з n елементів по k називають комбінації, що складаються з m

елементів, взятих з даних n елементів та які відрізняються хоч би одним

елементом.

Кількість комбінацій без повторень з n елементів по k

позначається символом k

nC (читається: «Число комбінацій із n по k» або

«це із n по k», С — перша літера французького слова combinaison —

комбінація).

Властивості числа комбінацій без повторень

1) kn

n

k

n CC

2) nn

nnnnn C...CCCC 23210

3) 1

1

1

k

n

k

n

k

n CCC

4) 10 n

n

n CC

5) nCn 1

Між кількістю переставлень, розміщень та сполучень

існує простий зв’язок:

При малих значеннях k зручно використовувати формулу:

k множників

k...

1knnn1nn

k

1knnn1nnC k

n

21

)()2)((

!

)()2)((

k множників

Наприклад

При обчисленні числа комбінацій 2

25C

задіяні два множники:

2 множники

300122521

24252

25

C

k

k

nk

nP

AC

)!(!

!

knk

nCk

n

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

Розв’язання

Серед 16 юнаків 4 можна вибрати 4

16C способами, а

серед 12 дівчат 3 можна вибрати 3

12C способами.

Кількість способів, якими можна вибрати чотирьох юнаків та трьох дівчат:

400400321

101112

4321

131415163

12

4

16

CC

Відповідь. 400 400 — число способів, якими можна вибрати студентів для участі у

змаганнях.

ОДЗ: x 3, x N

Позбавимося від знаменника в лівій частині рівняння: 34

2 5 xx CC

Нехай x + 2 = n тоді 34 5 xn CC

Тоді: )!3(!3

!5

)!4(!4

!

x

x

n

n або

!3

)2)(1(5

!4

)3)(2)(1(

xxxnnnn

Повернемось до змінної x у лівій частині рівняння

!3

)2)(1(5

!4

3)2(2)2(1)2()2(

xxxxxxx

)1(

!4

!3

)2()1(5

!4

)2)(1)(1(

xx

xxxxxxx

!3

)2(!45

)1(

)2)(1)(1(

x

xx

xxxx

14,3;04217

;402023

21

2

2

xxxx

xxx

Відповідь. 3; 14

ППррииккллаадд 22..88 Розв’язати рівняння: 53

4

2

x

x

C

C

ППррииккллаадд 22..77 У групі навчаються 16 юнаків та 12 дівчат.

Для участі у змаганнях треба виділити чотирьох юнаків та

трьох дівчат. Скількома способами це можна зробити?

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

2.5 Схема розв’язування комбінаторних задач

Розв’язання

Позначимо подію A = {серед m відібраних деталей рівно k стандартних}

Загальна кількість рівноможливих елементарних наслідків випробування

дорівнює числу способів, якими можна вибрати m деталей з N наявних.

Тобто m

NC — число сполучень з N елементів по m

З n стандартних рівно k стандартних можна відібрати k

nC способами.

При цьому деталей з деталей можна відібрати

km

nNC

способами

Отже, шукана ймовірність:

Відповідь. Отже, шукана ймовірність: m

N

km

nN

k

n

C

CCAP

)(

ППррииккллаадд 22..99 В партії з N деталей

є n стандартних. Навмання відібрано

m деталей. Знайти ймовірність того,

що серед відібраних деталей рівно k

стандартних.

кількість нестандартних

деталей серед відібраних

m – k

загальна кількість

нестандартних деталей

N – n

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

Задачі для самостійного виконання

1 На змагання з легкої атлетики приїхала команда з 12 спортсменок.

Скількома способами тренер може визначити, хто з них побіжить в естафеті 4 ×

100 м на першому, другому, третьому і четвертому етапах?

2 Скільки чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 3, 5, 7, 9,

якщо цифри в числі не повторюються?

3 Скільки існує семицифрових телефонних номерів, у яких усі цифри

різні і перша цифра відмінна від нуля?

4 Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри в числі не повторюються.

5 Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 1, 2,

3, 4, 5, 6, 0, якщо цифри в числі не повторюються.

6 У коробці знаходиться 10 білих і 6 чорних куль.

а) Скількома способами з коробки можна витягти одну кулю будь-якого

кольору?

б) Скількома способами з коробки можна витягти дві різнокольорові кулі?

7 Студенту потрібно скласти 4 екзамени протягом 8 днів. Скількома

способами може бути складений розклад його екзаменів?

8 Із 30 учасників зборів треба вибрати голову та секретаря. Скількома

способами це можна зробити?

9 На полиці стоїть 12 книг: англо-український словник і 11 підручників.

Скількома способами студент може вибрати 3 книги, якщо: 1) словник потрібний

йому обов’язково; 2) словник йому не потрібний

10 Пристрій складається з 10 елементів, з яких два зношені. Під час

вмикання пристрою активуються випадковим чином 6 елементів. Знайти

ймовірність того, що 4 елементи виявляться незношеного елементи.

11 Серед 12 наявних комп’ютерів 25% потребують профілактичних

заходів. Знайти ймовірність того, що серед 6 навмання відібраних комп’ютерів

лише 4 потребують профілактики.

12 В наявності 4 маршрутизатори зі швидкістю Wi-Fi 300 Мбіт/с та 5 зі

швидкістю Wi-Fi 150 Мбіт/с. Навмання беруть 2 пристрої. Знайти імовірність

того, що взяті пристрої мають різні характеристики швидкості.

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

13 Розв’яжіть рівняння

42A2

x 20A2

x x56A3

x 30A2

1x

72A

A1

x

3

x 110A

A2

x

4

x 62

4

x

x

A

A 43

A

AA3

x

3

x

5

x

57A

AA2

x

2

x

4

x

305A

AA5

x

5

x

7

x

183A

AA4

x

4

x

6

x

209A

AA4

x

4

x

6

x

4

2x

3

x CC5 21C2

2x

4

)3x(x5C3

x

x

6

x

5

x

4 C

1

C

1

C

1

)1x(15CC 2

x

3

x 162CC12 2

4x

1

x

4

AA15C

5

x

2

x4

x

8

A3C

3

x5

1x

42P

PA

2x

4x

4

x

90P

PA

1x

nx

1n

1x

132PA

P

nx

n

x

2x

110P

PA

x

nx

2n

2x

Контрольні питання

1. Сформулюйте і поясніть на прикладах правило суми і правило добутку

для розв’язування комбінаторних задач.

2. Що називається розміщенням з n елементів по k без повторень,

навести приклади використання.

3. Обґрунтуйте формулу для обчислення числа розміщень з n елементів

по k без повторень.

4. Поясніть, що називається перестановкою з n елементів (без

повторень). Наведіть приклади.

5. Обґрунтуйте формулу для обчислення числа перестановок з n

елементів без повторень.

6. Поясніть, що називається комбінаціями з n елементів по k без

повторень. Наведіть приклади.

7. Запишіть формулу для обчислення числа комбінацій з n елементів по k

без повторень. Наведіть приклади її використання.

8. Обґрунтуйте формулу для обчислення числа комбінацій з n елементів

по k без повторень.

9. Поясніть, як можна послідовно обчислювати значення за допомогою

спеціальної таблиці — трикутника Паскаля.

10. Поясніть на прикладах, як можна вибирати відповідну формулу при

розв’язуванні найпростіших комбінаторних задач.