МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР «МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ»

УКРАЇНСЬКИЙ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ЛІЦЕЙКИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Л. М. Засєдка, Г. С. Манжара, І. А. Петрусь,І. Л. Рубцова, Г. І. Салівон, Н. О. Щетиніна

ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА У ФІЗИЧНИХ ЗАДАЧАХ

Навчально-методичний посібник

Київ2017

Редакц ійна колег ія :

О. В. Лісовий, Л. М. Засєдка, Г. С. Манжара, І. А. Петрусь, І. Л. Рубцова, Г. І. Салівон,

Н. О. Щетиніна, Т. В. Пещеріна, Є. Д. Омельченко

Рекомендовано науково-методичною радоюНаціонального центру «Мала академія наук України»

(протокол № 4 від 29.11.2016)

Засєдка Л. М.Елементарна математика у фізичних задачах : навч.-метод. посіб. /Л. М. Засєдка, Г. С. Манжара, І. А. Петрусь, І. Л. Рубцова, Г. І. Салівон, Н. О. Щетиніна ; за ред. О. В. Лісового. — К., 2017. — 24 с.

Збірник підготовлений відповідно до навчальної програми Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи.

Видання містить:• контрольні завдання;• методичні рекомендації та розв’язання різних типів задач із фізики;• приклади авторських задач дослідницького характеру.

Збірник адресований учасникам Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи, а також іншим учням для підготовки до контрольних робіт із фізики у Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів – членів Малої академії наук України.

© Міністерство освіти і науки України, 2017© Національний центр «Мала академія наук України», 2017© Український фізико-математичний ліцейКиївського національного університетуімені Тараса Шевченка, 2017

3

Шановні учні!

Мала академія наук України (МАН України), яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості, компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті, створила освітній проект «Наукові школи МАН». Завдякизалученню до навчально-виховного процесу обдарованої молоді, а також досвідчених висококваліфікованих педагогів – викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв, у наукових школах створено особливе освітнє середовище, в якому цінуються інтелектуальний потенціал, ерудованість, прагнення до самовдосконалення, взаємодопомога, співпраця. На заняттях учні 8–11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України – слухачі наукових шкіл –ознайомлюються з проблематикою науки, поглиблюють базові знання, опановують принципи, методи дослідницької діяльності, набувають навичок самостійної наукової роботи. Система організації навчання у школах поєднує колективні та індивідуальні заняття і припускає розв’язання наукової проблеми, яка передбачає, з одного боку, використання різноманітних методів, засобів навчання, а з іншого –інтегрування знань, умінь із різних галузей науки, техніки, технологій.

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові: основи дослідницької роботи, профільний навчальний курс – теоретичний огляд та практикуми, індивідуальна дослідницька діяльність – здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії – настановну (осінню), експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну). Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму.

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття, навчально-тематичні екскурсії, особливе значення надається лабораторним і практичним роботам, у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням, оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання.

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи, слухачі беруть участь у вебінарах, форумах, отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань, що виникають на різних етапах наукового пошуку.

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників. Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали, збірники контрольних завдань, деталізують плани практичних та семінарських занять. Зокрема, колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю, розроблено навчальні посібники і методичні вказівки, необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму.

Пещеріна Тетяна Вікторівна,заступник директора НЦ «Мала академія наук України»

4

Як працювати з посібником

В основній частині цього посібника ми пригадаємо базові математичні співвідношення, відомі вам із курсу середньої школи (довжина, площа, об’єм та інші). Згадаємо перетворення фізичних величин, співвідношення між різними одиницями та системою СІ. Важливо уважно прочитати запропонований навчальний матеріал, розібрати приклади розв’язування задач, виконати вправи.

Ми не ставили за мету розглядати складні задачі олімпіадного рівня, їх ви можете знайти в Інтернеті. Наше завдання – показати різноманітні методи математики, які допомагають знайти прості шляхи розв’язання фізичних задач. Без математичного апарату фізики не можуть записати законів природи, знайти співвідношення між фізичними величинами, проаналізувати отримані результати.

Уміння будувати й аналізувати графіки також допоможе вам під час розв’язування фізичних задач. Часто це значно простіше, ніж розв’язувати систему рівнянь із кількома невідомими. Іноді це єдиний метод оцінити наближене значення фізичних величин.

Ми не вимагаємо від вас досконалого володіння термінологією та вміння швидко і без перешкод робити математичні перетворення й обчислення. Ми продемонструємо застосування елементарних методів і сподіваємося, що ви здатні до простих математичних перетворень. Для отримання навичок розв’язування фізичних задач, перш за все, треба не боятися дочитати задачу до кінця, а потімподумати над її умовою, спробувати схематично або графічно уявити процес, про який ідеться.

Не можна прочитати методичний посібник за одним разом! Його треба читати поступово, якщо не щоденно, то принаймні кілька разів на тиждень повертатися до нього і знаходити там щось нове для себе. Недостатньо просто прочитати. Читати треба з ручкою, виконавши всі математичні перетворення на аркушах паперу самостійно. Тільки після цього можна досягти потрібного засвоєння й уникнути великої кількості технічних помилок у подальших розрахунках!

Якщо ж і після цього у вас виникають проблеми із виконанням вправ або контрольної роботи, радимо вам повернутися до прочитаного. Пам’ятайте – у вас є вчителі, до яких ви завжди можете звернутися за порадою.

Бажаємо успіхів!

5

Елементарна математика у фізичних задачах

Явища природи, процеси, події, спостереження описують за допомогоюфізичних величин. Іноді назви фізичних і математичних величин збігаються.Наприклад, довжину, площу, об’єм використовують математики, фізики, хіміки й інші дослідники. Для описування фізичних процесів застосовується весь математичний апарат, який ви вивчаєте у школі і будете вивчати в університетах (а можливо, і створювати самі). Фізичні величини можна вимірювати (експериментальна фізика), обчислювати (теоретична фізика, розрахункові задачі), оцінювати (наближені розрахунки).

1. Довжина, площа, об’єм

Довжина (𝒍𝒍) – це відстань між точками (для прямої лінії) або сума відрізків, що покривають лінію, якщо вона ламана або іншої форми. Площа (𝑺𝑺) визначає розмір поверхні фігури. Об’єм (𝑽𝑽) – частина простору, що обмежена замкненими поверхнями (однією або кількома). Варто пам’ятати відомі формули з геометрії, що наведені у таблиці:

Геометрична фігура Параметри ФормулиПрямокутник

𝑎𝑎, 𝑏𝑏 – довжини сторін 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

Трикутник

𝑝𝑝 – периметр𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 – довжини сторінℎ – висота

𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

𝑆𝑆 =𝑎𝑎ℎ2

Коло

𝑙𝑙 – довжина кола𝑅𝑅 – радіус кола𝜋𝜋 = 3,14

𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2

Сфера

𝑅𝑅 – радіус сфери 𝑆𝑆 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅2

𝑉𝑉 =43𝜋𝜋𝑅𝑅

3

Куб

𝑎𝑎 – ребро 𝑉𝑉 = 𝑎𝑎3

Задача 1. Біг-Бен – назва найбільшого із шести дзвонів башти Єлизавети у Лондоні. Ця башта є частиною архітектурного ансамблю Вестмінстерського палацу, де розташований британський парламент. Часто цю назву пов’язують із

6

годинником на башті. Стрілки годинника мають довжину 2,7 та 4,2 метра. Обчислітьдовжину кола, яке описує хвилинна стрілка цього годинника.

Розв’язання. Хвилинна стрілка годинника довша за годинну стрілку, отже,вона описує коло радіусом 4,2 метра. Довжину кола знаходимо за формулою:

𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅 = 2 · 3,14 · 4,2 = 26,376 м.

Відповідь: довжина кола, яке описує хвилинна стрілка годинника Біг-Бен,дорівнює 26,4 м.

Якщо в задачі не сказано, в яких одиницях представити відповідь і з якою точністю, то це питання ви вирішуєте на свій розсуд. Відповідь цієї задачі записана з точністю до десятих, тому що в умові задачі довжина стрілок годинника теж дана до десятих метра.

Задача 2. Радіус Землі 6400 км. Суходіл займає 30% поверхні Землі.Визначте загальну площу суходолу.

Розв’язання. Площу поверхні сфери знайдемо за формулою:

𝑆𝑆 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅2 = 4 · 3,14 · 64002 = 514 457 600 км2.

Суходіл займає 30% від усієї поверхні. Площа суходолу:

𝑆𝑆1 = 0,3𝑆𝑆 = 154 337 280 км2.

Відповідь: площа суходолу – 150 млн км2.

Задача 3. Відстань від Землі до Сонця 150 млн км. Який шлях долає Земля за одну добу?

Розв’язання. За рік Земля робить один оберт навколо Сонця і проходить шлях, що дорівнює довжині кола:

𝑙𝑙 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅 = 6,28 · 150 · 106 км.

Поділивши на 365,25, знайдемо шлях за одну добу:

𝑙𝑙1 = 2,579 · 106 км.

Відповідь: за добу Земля долає 2,6 млн км.

Задача 4. На який кут повертається Земля навколо своєї осі за 20 хвилин?Розв’язання. За добу (24 години) Земля повертається на кут 𝛼𝛼 = 360о. За одну

годину вона повертається на кут 𝛼𝛼1 = 𝛼𝛼/24 = 15о. За 20 хвилин кут повороту буде ще втричі меншим і дорівнюватиме 5о.

Відповідь: 5о.

Задача 5. Дерев’яний куб із ребром 10 см пофарбували у синій колір, витративши 40 г фарби. Далі з великого куба зробили 8 менших із ребром 5 см і нові

7

грані, що утворилися, пофарбували у жовтий колір. Скільки жовтої фарби витратили?

Розв’язання. Куб має 6 граней, площа однієї: 𝑆𝑆1 = 𝑎𝑎2. Площа поверхні великого куба: 𝑆𝑆11 = 6𝑎𝑎2. Площа однієї грані маленького куба з ребром

𝑎𝑎2

дорівнює

𝑆𝑆2 = 𝑎𝑎2

4. Площа поверхні одного маленького куба: 𝑆𝑆22 = 6𝑎𝑎2

4= 1,5𝑎𝑎2. Загальна площа

поверхні всіх маленьких кубиків (8 штук) дорівнює 𝑆𝑆222 = 12𝑎𝑎2. Із цієї площі 6𝑎𝑎2вже пофарбована. Залишається пофарбувати у жовтий колір площу 𝑆𝑆3 = 12𝑎𝑎2 − − 6𝑎𝑎2 = 6𝑎𝑎2. Як бачимо, 𝑆𝑆3 = 𝑆𝑆11.

Відповідь: жовтої фарби витратили 40 г.

2. Основні одиниці СІ

У Міжнародній системі одиниць (СІ) визначено сім основних фізичних величин, що представлені у таблиці:

Назва Позначення Фізична величинаметр м довжинакілограм кг масасекунда с часампер А сила струмукельвін К температурамоль моль кількість речовиникандела кд сила світла

Один кілограм дорівнює масі міжнародного прототипу кілограма (еталон виготовлено у 1879 році зі сплаву платини (90%) та іридію (10%), має форму циліндра висотою 39 мм і діаметром 39 мм). Він зберігається в Міжнародному бюро мір та ваг у Франції, місто Севр. Визначення інших шести основних одиниць СІ можна знайти в довідниках або Інтернеті, але воно не є простим і потребує для розуміння більше знань із фізики, тому ці питання ми залишимо на майбутнє.

Під час розраховування фізичних величин трапляються дуже великі числа,наприклад астрономи, які спостерігають рух планет Сонячної системи, вимірюють відстань в астрономічних одиницях (а. о.) – це відстань від Землі до Сонця (149,6 млн км). Світло, швидкість поширення якого 300 000 км/с (більш точно 299 792 458 м/с), долає цю відстань за 8,3 хвилини. Положення Сонця на небі ми бачимо таким, яким воно було 8,3 хвилини тому. Інша позасистемна одиниця відстані – світловий рік – відстань, яку проходить світло у вакуумі за один юліанський рік (365,25 діб).

Задача 6. Запишіть у метрах відстань, що дорівнює одному світловому року. Розв’язання. Відстань, яку проходить світло за час, що дорівнює

𝑡𝑡 = 365,25 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60 с, знаходимо за формулою:

𝒍𝒍 = 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 9,46 ∙ 1015 м.

8

Цікаво знати.Із найбільшими відстанями мають справу астрономи. Найближча до Сонця

зірка Проксіма Центавра розташована на відстані 4,3 світлового року. Діаметрнашої Галактики – близько 100 000 світлових років. Відстань між галактикамивимірюється десятками мільйонів світлових років. Розміри Всесвіту порядку 13,7 ± 0,12 млрд світлових років.

Найменші об’єкти дослідження у біологів. У світловий мікроскоп можна спостерігати бактерії, лінійний розмір яких становить приблизно 5 ∙ 10−7 м.Розміри клітин досягають 0,0001 м. В електронний мікроскоп можна спостерігати біологічні об’єкти до 2 ∙ 10−9 м.

Як визначили радіус Землі? У 240 році до нашої ери Ератосфен (директор Олександрійської бібліотеки у Єгипті) виміряв висоту сонця над горизонтом у двох містах – Сієні та Олександрії – 22 червня. У цей день у Сієні сонце у полудень було в зеніті. Полудень – це не 12 година дня, а час, коли висота сонця над горизонтом найвища. Зеніт –перпендикуляр до поверхні Землі. У цей момент кут сонячних променів із горизонтом був 90о,іншими словами, тіла не відкидали тіні. У деяких книжках це описано так: «Сонце освітлювало дно найглибшого колодязя». У той самий час у місті Олександрія тіла відкидають тінь. Сонячні промені утворювали кут α = 7,2о із зенітом (див. рисунок). Міста Сієна та Олександрія розташовані на одній паралелі, відстань між ними була відома – 5000 стадій (довжина дуги кола). Яка довжина всього кола Землі, якщо довжина дуги відома? 𝐿𝐿 = 5000 ∙ 360

7,2стадій. Довжина кола

пов’язана з радіусом формулою 𝐿𝐿 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅. Таким чином, радіус Землі було знайдено. Яким є найбільше число у світі? Для математиків найбільшого числа не існує,

бо вони завжди додають одиницю і отримують ще більше число (математика – це точна наука). Фізики більше практики, ніж теоретики. Давайте рахувати всі об’єкти, що реально існують у природі, і перерахуємо не тільки всі зорі, планети, галактики, а навіть найменші частинки – атоми й електрони, що входять до складу атомів. Кількість електронів у Всесвіті 1087. Якщо до цього числа ми додамо кількість протонів і нейтронів, що входять до складу ядер атомів, і всі елементарні частинки, то кількість усіх реально існуючих об’єктів не перевищить 10100. Це число має назву «гугол». Найвідоміша пошукова система Google названа на честь числа,записаного як одиниця зі ста нулями.

Для скороченого написання великих і маленьких чисел Міжнародна система одиниць рекомендує використовувати десяткові префікси для утворення кратних та часткових одиниць.

Кратність Префікс Позначення Приклад103 кіло к 1 кг = 1000 г

1 км = 1000 м1012 тера Т 1 Тбайт = 1 000 000 000 000 байт

9

109 гіга Г 1 Гбайт = 1 000 000 000 байт106 мега М 1 Мбайт = 1 000 000 байт10 дека дал 1 дал = 10 літрів10−1 деци д 1 дм = 0,1 м10−2 санти с 1 см = 0,01 м10−3 мілі м 1 мл (мілілітр) = 0,001 л10−6 мікро мк 1 мкм (мікрометр) = 10−6 м10−9 нано н 1 нм (нанометр) = 10−9 м

Нещодавно з’явилося повідомлення, що створено носії інформації на 1 терабайт.

Префікси деци і санти використовують тільки з однією фізичноювеличиною – метром, а дека – тільки з літром.

Не допускається застосовувати з префіксами одиниці часу (хвилина, година, доба). Забороняється вживати поспіль кілька префіксів («мілікілограм» – уживати неправильно). Кілограм – це єдина одиниця, що з історичних причин вже має у своїй назві префікс кіло, який був доданий до одиниці грам.

У повсякденному житті, крім основних одиниць та одиниць із префіксами,прижилися й інші одиниці. Одиниці, відмінні від СІ, застосовуються в деяких видах діяльності, наприклад моряки й досі використовують для вимірювання відстанейморські милі, а для швидкостей – вузли. В ювелірній справі для вимірювання мас дорогоцінних каменів і перлин використовують карат (carato – плід рижкового дерева). Найбільший алмаз (85 каратів) був проданий навесні 2016 року на аукціоні за 63 млн доларів. У таблиці наведено більш уживані нині традиційні одиниці:

Англо-американська система мір В одиницях СІМіри довжини

1 дюйм 2,54 см1 фут 30,48 см1 миля морська (міжнародна) 1,852 км

Міри об’єму рідин1 унція рідка (США) 29,5729 мл1 пінта (США) 473,17 мл1 пінта (Великобританія) 568,24 мл1 галон (США) 3,785 л1 барель винний (США) 119,24 л1 барель нафтовий (США) 159 л

Міри маси (загальні)1 фунт 453,592 г1 карат 0,2 г

Тренувальна вправа 1.Користуючись правилом переводу одиниць із десятковими степенями,

представити у заданому форматі такі фізичні величини:

10

1) 0,1 дм = … см2) 13 м = … мм3) 180 см = … м4) 200 нм = … мм5) 0,5 мкм = … см6) 0,15 см = … мкм

3. Дії над фізичними величинами

Усі фізичні величини можна множити чи ділити на іншу фізичну величину або число. Наприклад, швидкість 5 м/с збільшилась у 2 рази. Якою стала швидкість? Зрозуміло, що 𝑣𝑣2 = 2𝑣𝑣1 = 10 м/с.

Фізичні величини можна множити і ділити на інші фізичні величини. Наприклад, визначити об’єм бруска з лінійними розмірами 15 см, 0,2 м та 15 мм. Брусок – прямий паралелепіпед. Його об’єм 𝑉𝑉 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐. Аби виконати операцію множення довжин, представимо їх в одних одиницях, наприклад у сантиметрах: 15 см, 20 см та 1,5 см. Тепер визначаємо об’єм: 𝑉𝑉 = 15 см ∙ 20 см ∙ 1,5 см = 450 см3.Одиниці фізичних величин (см) множаться, як і числа (см ∙ см ∙ см = см3).

Задача 7. На яку площу розіллється 1 см3 нафти, якщо товщина плівки становить 1/40 000 мм?

Розв’язання. Нафтова плівка висотою ℎ і площею 𝑆𝑆 займає об’єм 𝑉𝑉 = 𝑆𝑆ℎ(проста формула для визначення об’єму куба, паралелепіпеда, циліндра). Знаходимо площу за формулою:

𝑆𝑆 = 𝑉𝑉ℎ.

Об’єм 1 см3 = 1000 мм3.

𝑆𝑆 = 1000 мм3 ∶ 140 000

мм = 1000 мм3 ∙ 40 000 1м

= 4 ∙ 107 мм2 = 40 м2.

Відповідь: площа нафтової плівки 40 м2.

Перетворення фізичних одиницьДля лінійних одиниць довжини справедливі такі співвідношення:1 мм = 0,1 см = 0,01 дм = 0,001 м1 см = 10 мм = 0,1 дм = 0,01 м1 дм = 100 мм = 10 см = 0,1 м1 м = 1000 мм = 100 см = 10 дмЦі співвідношення зручно представити у таблиці:

мм см дм ммм 1 0,1 0,01 0,001см 10 1 0,1 0,01дм 100 10 1 0,1м 1000 100 10 1

11

Для перетворення квадратичних одиниць (площі) дотримуємося таких правил: квадратичні одиниці записуємо через лінійні (повторюємо множником двічі) і далі перетворюємо лінійні одиниці. Розглянемо приклади.

Приклад 1. 150 см2 записати в м2.

150 см2 = 150 см ∙ см = 150 ∙ 0,01 м ∙ 0,01 м = 0,015 м2або так:

150 см2 = 150 см ∙ см = 150 ∙ 10−2 м ∙ 10−2 м = 150 ∙ 10−4 м2.

мм2 см2 дм2 м2

мм2 1 10-2 10-4 10-6

см2 102 1 10-2 10-4

дм2 104 102 1 10-2

м2 106 104 102 1

Приклад 2. 2,5 см3 записати в м3.

2,5 см3 = 2,5 см ∙ см ∙ см = 2,5 ∙ 10−2 м ∙ 10−2 м ∙ 10−2 м = 2,5 ∙ 10−6 м3.Зауважимо, що 1 літр = 1 дм3.

Тренувальна вправа 2.Користуючись правилом переводу одиниць, представити у потрібному

форматі:

1) 0,1 дм2 = … см2

2) 180 мм3 = … см3

3) 0,3 л = … м3

4) 200 дм3 = … м3

5) 0,5 мм2 = … см2

6) 15 см2 = … м2

Для одиниць часу виконуються такі співвідношення:

1 година = 60 хвилин = 3600 с

1 хвилина = 60 с =1

60 години

1 с =1

60 хвилини =1

3600 години

З основних одиниць СІ утворені інші (похідні) фізичні величини, що характеризують фізичні процеси та явища. Наприклад, швидкість, густина, сила та багато інших. Ці фізичні величини вводяться на підставі законів або означень. За означенням, швидкість тіла дорівнює відношенню пройденого шляху до часу,

12

протягом якого тіло рухалось. Формулою це записується таким чином: 𝒗𝒗 = 𝒍𝒍𝒗𝒗.

Одиниця швидкості в СІ визначається як �мс�, власної назви не має. У повсякденному

житті, говорячи про швидкість руху транспорту, ми вживаємо одиницю � кмгод�, тому

що кілометр і година для нас більш зручні і відповідають нашому темпу життя, принаймні свідомому.

Більша частина фізико-хімічних процесів, що відбуваються у нашому організмі, свідомістю не контролюється (наприклад, живлення та регенерація клітин). Характерний час таких процесів – секунда.

Задача 8. Автомобіль рухається зі швидкістю 10 м/с. Який шлях пройде автомобіль за 2 години?

Розв’язання. Перший крок – узгодити одиниці фізичних величин. Переведемо швидкість �м

с� у � км

год�.

10 мс = 10

0,001 км1

3600 год= 10

0,001 ∙ 3600 км1 год = 36

кмгод .

Тепер усе стає простим. За формулою 𝒍𝒍 = 𝒗𝒗𝒗𝒗 знаходимо шлях: 𝒍𝒍 = 72 км. Часто вимагають перевіряти розмірність. Для нашої задачі це виглядає так:

[𝒍𝒍] = � кмгод

год� = [км].

Одиниця шуканої величини – кілометр. Якби ми залишили швидкість у �мс�,

то, перемноживши швидкість на час для довжини шляху, отримали б:

[𝒍𝒍] = �мс ∙ год� = ?

Дивна одиниця, а як на вашу думку? Не завжди одиниці СІ є зручними для розв’язування задач. Якщо це зробити

простіше в інших одиницях, будь ласка, робіть, як вам краще, але дотримуйтесь обраного формату.

Про густину. За означенням, одиниця густини �𝝆𝝆 = 𝒎𝒎𝑽𝑽� в СІ не має власної

назви і має розмінність [𝝆𝝆] = �кгм3�, але іноді зручно записати густину речовини

в � гсм3�. Густини рідин і твердих тіл наведено у довідниках. Зауважимо, що густину

газів ви навряд чи знайдете в довідниках, тому що гази легко стискаються і змінити їх густину легко. Рідини і тверді тіла стиснути майже неможливо. Скільки б разів ви не перетворювали воду на лід і навпаки, щоразу ви будете отримувати той самий об’єм води з незмінної маси. Об’єм льоду теж буде однаковий, але більшим за об’єм води. Не завжди об’єм тіла під час кристалізації (так називається процес переходу речовини з рідкого стану у твердий) збільшується, але для води це саме так.

13

Зрозуміло, що, кристалізуючись і плавлячись (переходи речовини з твердого стану в рідкий), маса речовини не змінюється, а тому для води робимо глобальний висновок: густина льоду менша за густину води! Довідникові дані це підтверджують:

Речовина Густина, кг/м3 Густина, г/см3

Вода 1000 1Лід 900 0,9

Приклад 3. Записати в СІ густину ртуті 13,6 г/см3.

𝜌𝜌 = 13,6 гсм3

= 13,6 10−3 кг

10−6 м3= 13 600 кг

м3.

Тренувальна вправа 3.Користуючись правилом переводу одиниць, представити у потрібному

форматі:

1) 0,8 г/см3 = … кг/м3

2) 15 м/с = … км/год3) 2700 кг/м3 = … г/см3

4) 72 км/год = … м/с5) 8900 кг/м3 = … г/см3

6) 90 км/год = … м/с

4. Графіки фізичних величинФізичні величини можуть змінюватись, наприклад, із часом. Коли автомобіль

їде дорогою, то його шлях збільшується за законом:

𝒍𝒍 = 𝒗𝒗𝒗𝒗 (1)Наприклад, за швидкості 60 км/год маємо: 𝒍𝒍 = 60𝒗𝒗. Шлях, пройдений за

3 години, дорівнює: 𝒍𝒍 = 60 ∙ 3 = 180 км. Шлях, пройдений автомобілем за 20 хвилин, дорівнює: 𝒍𝒍 = 60 ∙ 1

3= 20 км.

Побудуємо графік залежності пройденого шляху від часу. Складемо таблицю.В умові задачі не сказано, як змінюється час. Ми взяли час від 0 до 6 годин руху –це наш вибір.

𝒗𝒗, год 1 2 3 4 5 6

𝒍𝒍, км 60 120 180 240 300 360

14

Графік, що відповідає формулі (1), представлений на рис. 1.У математиці залежності виду

𝒚𝒚 = 𝒌𝒌𝒌𝒌 або 𝒚𝒚 = 𝒌𝒌𝒌𝒌 + 𝒃𝒃 (2)добре відомі і називаються лінійними залежностями. Графіки лінійної залежностіпредставлені на рис. 2. Запишемо залежність 𝒚𝒚 від 𝒌𝒌 для наведених графіків:

𝑦𝑦1 = 0,5𝑥𝑥, 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦3 = 2 + 𝑥𝑥, 𝑦𝑦4 = 5 − 𝑥𝑥.У чому полягає суттєва відмінність графіків? Чим графіки фізичних величин

відрізняються від графіків математичних функцій?У математиці величини 𝒌𝒌 та 𝒚𝒚 завжди безрозмірні, просто числа, тому

масштаб за осями має бути однаковим. Фізичні величини мають розмірність, тожмасштаб обирається зручний для аналізу графіків. Масштаб за осями можна позначити один раз, як це зроблено на осі l, або вказати кілька позначок, як на осі t.

Задача 9. На ставку в сильні морози товщина криги зростає на 1 см за добу. Побудуйте графік залежності товщини криги від часу і за графіком визначте її товщину через 5 діб. Початкова товщина криги 1,5 см. Через який час по кризі можна буде ходити, якщо для дорослої людини безпечна товщина 8 см?

Розв’язання. Побудуємо таблицю залежності товщини криги від часу:

𝑡𝑡, доба 0 1 2 3 4 5 6 7𝑑𝑑, см 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5

Будуємо графік, за графіком знаходимо невідомі величини (рис. 3).

Відповідь: через 5 діб товщина льоду буде 6,5 см, через 6,5 діб по кризі можна буде ходити.

Існує аналітичний спосіб розв’язання цієї задачі.Запишемо залежність товщини криги від часу:

𝑑𝑑 = 1,5 + 𝑡𝑡 (см). (3)

15

Ми точно знаємо, що у формулі (3) час будемо підставляти у добах і отримаємо товщину льоду в сантиметрах. Через 5 діб 𝑑𝑑5 = 6,5 см. Виникає логічне запитання: як ми змогли додати 1,5 см і 5 діб? Фізичні величини, що мають різні одиниці, додати неможливо. Ніхто не може знайти суму 5 кг і 3 годин. Множити фізичні величини різних одиниць можна, додавати – ні! У формулі (3) ми упустили важливий коефіцієнт перед змінною 𝑡𝑡 – швидкість наростання льоду 𝑎𝑎 = 1 см/добу. Правильно записати так:

𝑑𝑑 = 1,5 + 𝑎𝑎𝑡𝑡 (см). (4)

Тепер із розмірністю в нас все добре. Така колізія виникла у нас завдяки коефіцієнту 1 см/добу. Якби він відрізнявся від одиниці, наприклад був би 2 см/добу, то ми одразу записали б правильно 𝑑𝑑 = 1,5 + 2𝑡𝑡 і точно пам’ятали, що коефіцієнти у фізиці можуть мати розмірність!

Повернемося до формули (3) і знайдемо, через який час товщина льоду буде 8 см. Розв’язуючи рівняння 8 = 1,5 + 𝑡𝑡, знаходимо, що 𝑡𝑡 = 6,5 діб. Аналітичний спосіб є більш точним, ніж графічний, але графічний – значно простіше.

Тренувальна вправа 4.Побудуйте графіки залежності вказаних функцій:

1. 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 4;2. 𝑉𝑉 = 2𝑡𝑡;3. 𝑦𝑦 = 0,5𝑡𝑡 + 2;4. 𝑥𝑥 = 2 + 2𝑡𝑡.

Задача 10. Два коники-стрибунці (батько та син) стрибають наввипередки. Перший стрибок вони виконують одночасно. Юний коник робить один стрибок щосекунди на 5 см, а досвідчений батько – стрибок на 20 см кожні 3 секунди, але після кожного третього стрибка потребує відпочинку ще 6 с. Через який мінімальний час маленький стрибунець завжди буде попереду свого батька?

Розв’язання. Застосуємо для розв’язання цієї задачі графічний метод. Основне правило: графік має бути великим (не менше, ніж на третину сторінки у зошиті). Спробуйте самостійно побудувати графік руху коників-стрибунців і за цим графіком знайти відповідь (рис. 4).

Є дві точки, які претендують на відповідь (24-та і 40-ва секунди). Якщо на початку 41-ї с стрибає батько, а син буде стрибати наприкінці 41-ї с, то батько наздоганяє сина в цю мить, але потім син випереджає батька назавжди. Якщо вони стрибають одночасно, наприклад на початку секунди, то відповідь буде такою: на початку 24-ї с. На 41-й секунді батько сина не доганяє, стрибок батька відбувається одночасно зі стрибком сина.

16

Задача 11. Здоровий глузд. Поверхню кухонної стіни розміром 2 x 1 м2

(довжина 2 метри, висота 1 метр) необхідно обкласти кахельною плиткою. Скільки плиток необхідно придбати в магазині? Майстер, що виконує цю роботу,досвідчений. Розмір плитки 20 см на 30 см.

Розв’язання. Знайти площу однієї плитки (𝑆𝑆1), а потім площу стіни (𝑆𝑆) поділити на площу однієї плитки, отримаємо 33,3 штуки.Такий тривіальний розв’язок для цієї задачі є неправильним. (Чому? Запитайте у мами, чи схоче вона дивитися на стіну, біля якої проводить кілька годин на день, і бачити шматочки кахлю?) Тому намалюємо кахельну плитку на стіні, як це роблять у сучасних будівельних супермаркетах (рис. 5). Існують спеціальні комп’ютерні програми, які показують, як плитка певного розміру вкладається на кухонній стіні, у ванні чи на підлозі і яка мінімальна кількістьплитки потрібна. Ви скажете, що це дуже просто? Зовсім ні! У вас у ванній кімнаті на стіні плитка лежить симетрично? Якщо так, то у вас працювали професіонали.

Зробимо рисунок. Лінія АВ показує край стіни. Кількість плиток – 40. Оптимізація (можливість зменшення кількості): якщо верх і низ плитки значення не мають (відсутній малюнок на плитці), то на нижній ряд піде вдвічі менше плиток –5 штук. Загальна кількість дорівнює 35.

Задача 12. 20 дерев посаджені в один ряд (рис. 6). Відстань між деревами –5 метрів. Який шлях пройде хлопчик, поливаючи всі дерева, якщо криниця розташована на відстані 5 метрів від першого дерева, а на одне дерево потрібно піввідра води? Дозволяється нести тільки одне відро.

Розв’язання. Не знаєш із чого починати? Порада перша! Зроби рисунок.

17

Перші два дерева хлопчик поливає, пройшовши шлях 𝑆𝑆1−2 = 20 м. Далі, для поливу дерев 3 і 4 він проходить шлях 𝑆𝑆3−4 = 40 м, потім 𝑆𝑆5−6 = 60 м і, нарешті, 𝑆𝑆19−20 = 200 м. Як додати числа 20, 40, 60, …, 200? Спочатку додаємо перше число і останнє, потім друге і передостаннє і так далі. Помічаємо, що отримані суми рівні, і множимо на кількість пар, що додаються. Для нашої задачі𝑆𝑆 = 20 + 200

2 ∙ 10 = 1100 м.

Задача 13. Принцип невизначеності. Коли годинник водія показував час12:40, автомобіль, що рухався з пункту А до пункту В, був десь між 25-м і 50-м кілометровими стовпчиками. Повз позначку 75 км автомобіль проїхав між 13:50 та14:20, але точно відомо, що рівно о 15:10 він перебував на трасі між позначками 125 км та 150 км. О котрій годині слід чекати прибуття автомобіля до пункту В, якщо він їде з постійною швидкістю і біля в’їзду стоїть позначка 175 км?

Розв’язання. Є правильний (ну дуже правильний), але і дуже довгий шлях складання трьох нерівностей (15 хвилин) і розв’язання цієї системи (30 хвилин і 5 листків списаного зошита). Хочеш швидше? Скористайся порадою!

Простий шлях отримання правильного, але не дуже точного розв’язку –це графічний метод. Будуємо графік залежності 𝐿𝐿 – координати автомобіля від 𝑡𝑡 –часу на годиннику (рис. 7). Ця функція неоднозначна, тому залежність координати від часу – не точка на графіку, а певні відрізки. Сам графік є прямою лінією, яка проходить через усі відрізки. Якщо лінія не проходить хоча б через один із відрізків, то задача розв’язку не має. У нашому випадку можна провести 2 лінії з найбільшим і найменшим нахилом, і їх перетин із позначкою, що відповідає 175 км, дає інтервал часу від 16:08 до 16:27. Точність інтервалу часу залежить від масштабу графіка. Більший масштаб дає більшу точність. Зауваж, що відлік часу починається не з нуля годин, а з 12:40, тому на цій осі є розрив, позначений двома скісними рисками.

18

5. Теорема Піфагора та інше

Серед усіх фізичних і математичних величин є такі, що характеризуються числом, наприклад площа, довжина та багато інших, окрему групу становлять величини, для характеристики яких важливо вказати напрямок.

Задача 14. Сонячним ранком ви вийшли з будинку, пройшли 120 метрів, зустріли друга і пройшли ще 50 метрів разом із ним. На якій відстані ви будете від свого будинку?

Розв’язання. Якщо весь час ви йшли вздовж однієї прямої, то віддалилися на відстань 170 м від будинку, якщо ж повертали (на будь-який кут), то точно визначити відстань неможливо.

Відповідь може бути такою: ви будете на відстані не більше 170 м від будинку.Розглянемо кілька варіантів можливого розвитку подій:

1. Якщо рухатися в одному напрямку, то відрізки АВ і ВС відповідно 120 та 50 метрів, тому відстань від будинку:

𝑙𝑙 = 𝑙𝑙1 + 𝑙𝑙2 = 170 м.

2. Якщо 50 м ви пройшли назад, то:

𝑙𝑙 = 𝑙𝑙1 − 𝑙𝑙2 = 70 м.

3. Якщо кут між відрізками АВ та ВС дорівнює 90°, то відстань АС знаходимо за теоремою Піфагора:

𝑙𝑙 = �𝑙𝑙12 + 𝑙𝑙22 = 130 м.

4. Якщо кут між АВ та ВС довільний від 0° до 180°, то нам не зможе допомогти навіть теорема косинусів, бо будемо вивчати її тільки у 9-му класі! Залишається тільки графічний метод. На рис. 8 показано кілька можливих варіантів. Якщо відрізки переміщення АВ і ВС відкладати дотримуючись певного масштабу, то,вимірявши відрізок АС, визначимо відстань до будинку. Довжина відрізка АСзавжди буде більша за 70 м, але менша за 170 м.

19

6. Векторні величини

Існують фізичні величини, для характеристики яких недостатньо вказати числове значення, важливим є і напрямок. Ви знайомі з деякими з них: швидкість, сила. Математики дали їм загальну назву – вектори. Вектором називається спрямованийвідрізок прямої. Позначається �⃗�𝑎 або АВ�����⃗ , має початок (точка А) і кінець (точка В).Довжина вектора |�⃗�𝑎| дорівнює довжині відрізка АВ. Вектори можна додавати (віднімати), множити на число, множити вектор на вектор.

На рис. 9 показано додавання векторів за правилом трикутника.

Не визначена операція ділення вектора на вектор. Не будемо розкривати всі означення і теореми векторної алгебри (у вас це буде попереду). Покажемо можливості математики на фізичних задачах.

Задача 15. Хлопчик перепливає річку, тримаючи курс (напрямок швидкості) перпендикулярно до берега (рис. 10). Швидкість хлопчика 2 м/с, річки – 1 м/с.Із якою швидкістю хлопчик рухається відносно берега?

Розв’язання. Швидкість – величина векторна. Швидкість хлопчика перпендикулярна до берега,швидкість течії ріки напрямлена вздовж берега. Сума двох векторів – величина векторна: 𝑉𝑉�⃗ = 𝑉𝑉1���⃗ + 𝑉𝑉2���⃗ . Модуль вектора 𝑉𝑉 знайдемо за теоремою Піфагора:

𝑉𝑉 = �𝑉𝑉12 + 𝑉𝑉22 = √5 = 2,24 м/с.

Задача 16. На тіло діють чотири сили 1, 2, 3, 4 Н, що розташовані у горизонтальній площині. Кут між двома сусідніми – 90°. Знайдіть суму цих сил.

Розв’язання. Графічно зобразимо сили на координатній площині, дотримуючись масштабу. На рис. 11 видно, як простіше їх додати. Спочатку додаємо сили, що діють вздовж однієї прямої, а потім за теоремою Піфагора.

Відповідь: 𝐹𝐹 = 2√2 Н.

20

Трапляються задачі, у яких не всі кути по 90°, тому дуже важливо вміти точно зображати вектори і навчитися їх паралельно переносити з однієї точки просторув іншу.

Задача 17. На тіло діють шість горизонтальних сил 1, 2, 3, 4, 5 та 6 Н. Кут між кожними двома сусідніми силами – 60°. Знайдіть суму цих сил.

Розв’язання. Графічно зобразимо сили на координатній площині, дотримуючись масштабу і позначивши їх просто числами від 1 до 6(рис. 12). Як простіше за все додати ці сили?

Допоможе нам графічний метод. Будемо паралельно переносити вектори сили таким чином, аби початок другого вектора збігавсяз кінцем першого, третій вектор починався в кінці другого і т. д. (рис. 13).

Вектор ОА�����⃗ , який з’єднує початок першого вектора і кінець останнього, і є сумою всіх векторів. Якщо задача допускає наближену відповідь, то зробивши рисунок, виміряйте довжину ОА�����⃗ . Точність відповіді залежить від точності побудови.

Тренувальна вправа 5. Дії над векторними величинами.1. На тіло діють дві сили 3 та 4 Н. Знайдіть максимальне і мінімальне значення суми цих сил.2. Три сили по 10 Н кожна діють на тіло і лежать в одній площині. Кут між двома сусідніми силами дорівнює 120о. Чому дорівнює сума цих сил?3. Довжина палиці, що стирчить з-під землі під кутом 60о до горизонту, 2 метри.Яку тінь вона відкидає на горизонтальну дорогу, якщо сонце розташоване під кутом 30о до горизонту. Розв’яжіть задачу графічно.

7. Метод дзеркального відображення

Чи давно ви дивились у дзеркало? На якій відстані ви бачите своє зображення?Відомо, що відстань від дзеркала до зображення дорівнює відстані від предмета до дзеркала. Як це допоможе розв’язувати задачі?

Задача 18. У точці В спалахнув вогонь. Хлопчик, який перебуває у точці А (рис. 14), за найменший час має добігти до річки, набрати відро води і загасити полум’я. Який шлях буде найкоротшим? Сторона клітинки – 10 метрів.

21

Розв’язання. Найкоротший шлях – по прямій! Це розумна ідея. Проведіть пряму правильно: починаючи з точки А, дійдіть до берега, потім ідіть до точки В і загасіть вогонь. Не виходить? Намалюйте кілька можливих варіантів. Лінійкою виміряйте довжину отриманих траєкторій і визначте експериментальним шляхом найкоротший шлях. Чим більшим буде рисунок, тим точніше буде відповідь.

Інший метод – відобразіть точку А (або В) симетрично відносно берега річки і з’єднайте прямою(рис. 15). Бігти треба за траєкторією АС–СВ.За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу АВ1:

𝐴𝐴𝐵𝐵1 = √702 + 602 ≈ 92 м.

Відповідь: найкоротший шлях становить 92 метри. Важливо навчитися симетрично відображати точки або лінії (як у дзеркалі).

Задача 19. На рис. 16 показано дзеркало і точка А. Побудуйте зображення точки А у дзеркалі.

Розв’язання. Алгоритм (послідовність дій, які необхідно виконати, аби отримати відповідь):

1. Із точки А на дзеркало опускаємо перпендикуляр. 2. Знаходимо точку перетину перпендикуляра і дзеркала (А1). Розміри

дзеркала дозволяється збільшувати в різні сторони без обмежень.3. Вимірюємо відрізок АА1.

22

4. На подовженні перпендикуляра за дзеркалом відкладаємо точку А2, таку, що АА1 = А1А2. Точка А2 і є зображенням точки А.

Якщо дотримуватись алгоритму, то побудова буде такою, як на рис. 17.

Задача 20. На більярдному столі катають кулі (рис. 18). Під яким кутом до борта необхідно послати кулю з точки А, щоб вона після кількох відбивань потрапила в точку L? Яким буде шлях, пройдений кулею? Розміри столу 𝑎𝑎 та 𝑏𝑏.Під час зіткнення з бортом столу кут падіння дорівнює куту відбивання.

Розв’язання. Умова дуже схожа на задачу 18. Найкоротший шлях – за прямою!Чи можна траєкторію кулі з ламаної лінії замінити на пряму? Так, і зробити це просто. Нехай ABCD – більярдний стіл. Якщо стіл стандартний, то його сторони відносяться як 1:2. Для розв’язання задачі це не принципово. К – початкове положення кулі – візьмемо на середині більшої сторони (і це теж не принципово)столу. L – кінцеве положення кулі. Точка L розділила більшу сторону столуу відношенні 1:3 (не принципово, де розташована ця точка). К1 – точка зіткненнякулі зі стороною CD.

Якщо стіл дзеркально відобразити відносно лінії CD (рис. 19) і з’єднати точки К та L, то траєкторією кулі буде пряма лінія (це основна ідея розв’язання задачі!).Невідомий кут знаходимо з трикутника KLM. Кут можна виміряти, побудувавши трикутник із катетами 2 та 5 (не має значення яких одиниць). Довжину траєкторії знаходимо за теоремою Піфагора:

𝐾𝐾𝐿𝐿 = �52 + 22 ≈ 5,385.

Ускладнимо задачу і перенесемо точку L на середину сторони AB (рис. 20).Куля зазнає зіткнення зі стороною CD та BC. Дзеркальне відображення столаробимо двічі: відносно сторони CD та CB1. Пряма KL2 є траєкторією кулі. Кут α є одним із кутів прямокутного трикутника, побудованого на катетах 3 та 6 одиниць. Довжину лінії KL2 знаходимо за теоремою Піфагора:

𝐾𝐾𝐿𝐿2 = √62 + 32 ≈ 6,71.

23

Контрольна робота

1. Стадій – стародавня одиниця, визначався як відстань, яку проходить людина спокійною ходою протягом часу, поки сходить сонце (приблизно 2 хвилини). Який радіус Землі отримав Ератосфен, якщо грецький стадій становив178 м, а єгипетський – 230,4 м.2. Дерев’яний куб із ребром 10 см пофарбували у синій колір, витративши 40 г фарби. Далі з великого куба зробили 27 однакових менших кубиків і нові грані, що утворилися, пофарбували у жовтий колір. Скільки жовтої фарби пішло на фарбування?3. За який час світловий промінь пройде нашу галактику по діаметру? Відповідь напишіть у роках. 4. Залежність швидкості автомобіля від часу представлена графіком. Побудуйте графік залежності пройденого шляху від часу. Визначтесередню швидкість руху автомобіля.5. Хлопчик піднімається з першого поверху на п’ятий пішки. Відстань між поверхами однакова,і шлях по сходинках дорівнює 10 м. Із першого на другий поверх хлопчик піднявся за 10 с, час підйому на кожний наступний поверх збільшується на 50% порівняно з попереднім. За який час хлопчик підніметься на п’ятий поверх? Побудуйте графік залежності швидкості та пройденого шляху від часу.6. Допитливий хлопчик спостерігає за мурашкою, що здійснює прогулянку кухнею.Перші 10 с мурашка повзла зі швидкістю 1 см/с на північ, потім, повернувши на захід, проповзла 50 см за 5 с, відпочила 5 с і продовжила подорож у напрямку на південний схід зі швидкістю 2 см/с. Через 20 см вона зникла з поля зору юного натураліста. Зробіть звіт про подорож мурашки за планом: 1) траєкторія руху; 2) графік залежності швидкості мурашки від часу; 3) графік залежності пройденого шляху від часу.7. Скільки разів на добу хвилинна стрілка наздоганяє годинну?8. На більярдному столі, сторони якого 2 та 4 м, катають кулі. З середини меншої сторони у напрямку до більшої сторони пускають кулю так, що після зіткнення з трьома сторонами вона потрапляє у початкову точку, пройшовши найкоротший із можливих шляхів. Знайдіть цей шлях. 9. Мурашка наближається до дзеркала зі швидкістю 5 см/с. З якою швидкістю наближається до мурашки її зображення?10. На горизонтальному столі лежить дзеркалоABNM (див. рисунок). На вертикальному аркуші паперу АKLB зображено олівець. Намалюйте відображення олівця у дзеркалі.

Формат 60х84/16. Друк цифровий.Папір офсетний 80 г/м2.