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11장
다변 함 의극 극소
11장
다변 함 의극 극소
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u다변 함 의 극 극소u다변 함 의 극 극소
è개요(introduction)
- 지 까지 택변 가 1개인 목 함 에 한 최 화
를 다루었음.
- 본 장에 는 2개 이상의 택변 를 가질 때 함 의
극값을 다룸.
- 경 학에 다 품 업(multi-product firm)이 이 을
극 화하 해 는 여러 품의 최 산출량과
여러 생산요소의 최 결합을 택해야 함.
- 다변 함 의경우에도주로상 극값 를다룸.
è개요(introduction)
- 지 까지 택변 가 1개인 목 함 에 한 최 화
를 다루었음.
- 본 장에 는 2개 이상의 택변 를 가질 때 함 의
극값을 다룸.
- 경 학에 다 품 업(multi-product firm)이 이 을
극 화하 해 는 여러 품의 최 산출량과
여러 생산요소의 최 결합을 택해야 함.
- 다변 함 의경우에도주로상 극값 를다룸.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 1계조건(first-order condition)
- 함 z=f(x)가 주어졌을 때 미분 다음과 같이 나타낼
있음.
dz=f¢(x)dx
- 여 dz는 x가 x0에 x0+⊿x로 변화함 로써
z의실 변화 ⊿z의근사값 로 사용할 있음.
- 만약 f¢(x)>0이면 dz dx는 로 같 부 를 가 야
함. 즉, [그림 11.1]에 A .
è 1계조건(first-order condition)
- 함 z=f(x)가 주어졌을 때 미분 다음과 같이 나타낼
있음.
dz=f¢(x)dx
- 여 dz는 x가 x0에 x0+⊿x로 변화함 로써
z의실 변화 ⊿z의근사값 로 사용할 있음.
- 만약 f¢(x)>0이면 dz dx는 로 같 부 를 가 야
함. 즉, [그림 11.1]에 A .
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 1계조건(first-order condition)
- 그리고만약 f¢(x)<0이면 dz dx는 로다른부 를
가 야 함. 즉, [그림 11.1]에 A¢ .
- [그림 11.1]에 A A¢ 지 이 없 므로
z가극값( 지값)이 한필요조건 dz=0이어야함.
- 더 확히 이 조건 “임의의 0이 아닌 dx값에 해
dz=0”임.
- 왜냐하면 dx=0 x가 변화하지 않는 경우를
의미하 때 에 이는 미분의 개념과 계없음.
è 1계조건(first-order condition)
- 그리고만약 f¢(x)<0이면 dz dx는 로다른부 를
가 야 함. 즉, [그림 11.1]에 A¢ .
- [그림 11.1]에 A A¢ 지 이 없 므로
z가극값( 지값)이 한필요조건 dz=0이어야함.
- 더 확히 이 조건 “임의의 0이 아닌 dx값에 해
dz=0”임.
- 왜냐하면 dx=0 x가 변화하지 않는 경우를
의미하 때 에 이는 미분의 개념과 계없음.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 1계조건(first-order condition)
- [그림 11.1]에 z의 극소값 B 에 z의 극 값
B¢ 에 생함.
- 두 경우 모두 B 과 B¢ 에 평이 고, 즉
f¢(x)=0이 .
- dz( 의 빗변을 이루는 삼각 의 직변)는 실 로
0이 (dz=0).
- 라 1계도함 조건 f¢(x)=0 1계미분조건 “임의의
0이 아닌 dx값에 해 dz=0” 로 꿀 있음.
è 1계조건(first-order condition)
- [그림 11.1]에 z의 극소값 B 에 z의 극 값
B¢ 에 생함.
- 두 경우 모두 B 과 B¢ 에 평이 고, 즉
f¢(x)=0이 .
- dz( 의 빗변을 이루는 삼각 의 직변)는 실 로
0이 (dz=0).
- 라 1계도함 조건 f¢(x)=0 1계미분조건 “임의의
0이 아닌 dx값에 해 dz=0” 로 꿀 있음.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 1계조건(first-order condition)
- dz=f¢(x)dx ® =f¢(x), dx¹0이므로 dz=0 ® f¢(x)=0
è 1계조건(first-order condition)
- dz=f¢(x)dx ® =f¢(x), dx¹0이므로 dz=0 ® f¢(x)=0dz
dx
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 2계조건(second-order condition)
- z의 극값에 한 2계충분조건 도함 로 나타내면
지 에 f″(x)<0(극 값의 경우) 그리고 f″(x)>0
(극소값의 경우)이 .
- 이조건들을동치인미분 로 꾸 해 는미분의
미분, 즉 d(dz)로 의 고, d2z로 표시 는 2계미분의
개념이 필요함.
- 즉, 주어진 dz=f′(x)dx에 dz를 한번 더 미분하면
d2z를 구할 있음.
è 2계조건(second-order condition)
- z의 극값에 한 2계충분조건 도함 로 나타내면
지 에 f″(x)<0(극 값의 경우) 그리고 f″(x)>0
(극소값의 경우)이 .
- 이조건들을동치인미분 로 꾸 해 는미분의
미분, 즉 d(dz)로 의 고, d2z로 표시 는 2계미분의
개념이 필요함.
- 즉, 주어진 dz=f′(x)dx에 dz를 한번 더 미분하면
d2z를 구할 있음.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 2계조건(second-order condition)
- 의해야 할 여 dx는 상 로 취 함.
- 라 dz는 직 f′(x) 함께 변할 있는데 f′(x)가
x의 함 이므로 결국 dz는 x의 변화에 라 변할
있을 뿐임.
- 이를 식 로 나타내면 다음과 같음.
d2zºd(dz)=d[f′(x)dx]
=[df′(x)]dx [여 dx는 상 ]
=[f″(x)dx]dx=f″(x)dx2
è 2계조건(second-order condition)
- 의해야 할 여 dx는 상 로 취 함.
- 라 dz는 직 f′(x) 함께 변할 있는데 f′(x)가
x의 함 이므로 결국 dz는 x의 변화에 라 변할
있을 뿐임.
- 이를 식 로 나타내면 다음과 같음.
d2zºd(dz)=d[f′(x)dx]
=[df′(x)]dx [여 dx는 상 ]
=[f″(x)dx]dx=f″(x)dx2
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 2계조건(second-order condition)
- 앞의 식에 지 2는 다른 두 가지 의미를 가짐.
- 우 좌변의 d2z에 지 2는 z의 2계미분을
의미하는 면, dx2º(dx)2에 지 2는 1계미분 dx의
곱을 의미함.
d2z=f″(x)dx2=f″(x)dx×dx
- 라 식 d2z f″(x)간에 직 인 계가
있음을 보여 .
è 2계조건(second-order condition)
- 앞의 식에 지 2는 다른 두 가지 의미를 가짐.
- 우 좌변의 d2z에 지 2는 z의 2계미분을
의미하는 면, dx2º(dx)2에 지 2는 1계미분 dx의
곱을 의미함.
d2z=f″(x)dx2=f″(x)dx×dx
- 라 식 d2z f″(x)간에 직 인 계가
있음을 보여 .
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è 2계조건(second-order condition)
- 여 는 직 0이 아닌 dx만 고 하 때 에 항상
dx2항 양(+)이 .
- 그러므로 d2z=f″(x)dx2(여 dx>0 ® dx2>0)에
d2z f″(x)의 부 는 일치하게 .
- 라 다음의 계가 립함.
극 값의 경우 : d2z<0 « f″(x)<0
극소값의 경우 : d2z>0 « f″(x)>0
è 2계조건(second-order condition)
- 여 는 직 0이 아닌 dx만 고 하 때 에 항상
dx2항 양(+)이 .
- 그러므로 d2z=f″(x)dx2(여 dx>0 ® dx2>0)에
d2z f″(x)의 부 는 일치하게 .
- 라 다음의 계가 립함.
극 값의 경우 : d2z<0 « f″(x)<0
극소값의 경우 : d2z>0 « f″(x)>0
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u미분을 이용한 최 화조건의 명u미분을 이용한 최 화조건의 명
è미분조건 도함 조건
- 미분조건 1개 택변 (단일변 )에 다 의
택변 (다변 )로 일 화 시킬 있음.
즉, 모든 택변 가 0의값을갖지않는다는조건 로
1계조건과 2계조건이 다변 에 도 용이 가능함.
è미분조건 도함 조건
- 미분조건 1개 택변 (단일변 )에 다 의
택변 (다변 )로 일 화 시킬 있음.
즉, 모든 택변 가 0의값을갖지않는다는조건 로
1계조건과 2계조건이 다변 에 도 용이 가능함.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 론(introduction)
- 1변 함 y=f(x)의 극값 2차원 평면에 우리의
(peak of a hill) 는 골짜 의 닥(bottom of
a valley) 로 표시 .
- 그러나 2변 함 z=f(x, y)는 3차원 공간에 곡면
(surface)이 고, 극값 여 히 우리의
는 골짜 의 닥에 해당하는데, 이는 이 각각
둥근 지붕(domes)의 사 모양(bowls)의
닥이 .
è 론(introduction)
- 1변 함 y=f(x)의 극값 2차원 평면에 우리의
(peak of a hill) 는 골짜 의 닥(bottom of
a valley) 로 표시 .
- 그러나 2변 함 z=f(x, y)는 3차원 공간에 곡면
(surface)이 고, 극값 여 히 우리의
는 골짜 의 닥에 해당하는데, 이는 이 각각
둥근 지붕(domes)의 사 모양(bowls)의
닥이 .
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 론(introduction)è 론(introduction)
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 론(introduction)
- [그림 11.2] (a)의 A 둥근 지붕의 로 극 를
나타냄. 왜냐하면 이 에 의 함 값인 z의 값 A
근 에 어떤 다른 에 의 z값보다 더 크 때 임.
- 면 [그림 11] (b)에 의 B 사 모양의 닥 로
극소를 나타냄. 왜냐하면 B 근 의 모든 에
함 값인 z값이 B 에 의 값보다 더 크 때 임.
è 론(introduction)
- [그림 11.2] (a)의 A 둥근 지붕의 로 극 를
나타냄. 왜냐하면 이 에 의 함 값인 z의 값 A
근 에 어떤 다른 에 의 z값보다 더 크 때 임.
- 면 [그림 11] (b)에 의 B 사 모양의 닥 로
극소를 나타냄. 왜냐하면 B 근 의 모든 에
함 값인 z값이 B 에 의 값보다 더 크 때 임.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 1계조건(first-order condition)
- 함 z=f(x, y)의 극값(극 값 는 극소값)이
한 1계필요조건 dz=0임.
- 그러나 의 함 는 두 개의 독립변 를 갖고 있
때 에 dz는 이 미분(total differential)을 해야 함.
dz=fxdx+fydy
- 라 1계필요조건 다음과 같이 나타낼 있음.
dz=fxdx+fydy=0, 여 dx¹0, dy¹0임.
® fx=fy=0 [∂z/∂x=∂z/∂y=0]
è 1계조건(first-order condition)
- 함 z=f(x, y)의 극값(극 값 는 극소값)이
한 1계필요조건 dz=0임.
- 그러나 의 함 는 두 개의 독립변 를 갖고 있
때 에 dz는 이 미분(total differential)을 해야 함.
dz=fxdx+fydy
- 라 1계필요조건 다음과 같이 나타낼 있음.
dz=fxdx+fydy=0, 여 dx¹0, dy¹0임.
® fx=fy=0 [∂z/∂x=∂z/∂y=0]
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 1계조건(first-order condition)
- 그러나 이 1계조건 함 의 극값이 한 필요조건
이지만 충분조건 아님.
- [그림 11.3] (a)의 C 에 보는 같이 Tx Ty의
울 는 모두 0이지만 이 C 극값이 아님.
왜냐하면 yz평면을 경 로 보면 극소 이지만
xz평면을 경 로 보면 극 이 때 임.
- 이 같이 2 인 특 을 갖는 을 안 (saddle
point)이라 함.
è 1계조건(first-order condition)
- 그러나 이 1계조건 함 의 극값이 한 필요조건
이지만 충분조건 아님.
- [그림 11.3] (a)의 C 에 보는 같이 Tx Ty의
울 는 모두 0이지만 이 C 극값이 아님.
왜냐하면 yz평면을 경 로 보면 극소 이지만
xz평면을 경 로 보면 극 이 때 임.
- 이 같이 2 인 특 을 갖는 을 안 (saddle
point)이라 함.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 1계조건(first-order condition)
- 마찬가지로 [그림 11.3] (b)의 D 에 Tx Ty는 평
이지만 극값 아님. 왜냐하면 비틀린 곡면 에
치한 D yz평면 는 xz평면에 보면 변곡
(inflection point)이 때 임.
- 라 1계조건 필요조건이지 충분조건이 아님.
- 그러므로 충분조건을 개하 해 2계편도함
계가 있는 2계 미분을 검토해야 함.
è 1계조건(first-order condition)
- 마찬가지로 [그림 11.3] (b)의 D 에 Tx Ty는 평
이지만 극값 아님. 왜냐하면 비틀린 곡면 에
치한 D yz평면 는 xz평면에 보면 변곡
(inflection point)이 때 임.
- 라 1계조건 필요조건이지 충분조건이 아님.
- 그러므로 충분조건을 개하 해 2계편도함
계가 있는 2계 미분을 검토해야 함.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 1계조건(first-order condition)è 1계조건(first-order condition)
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
- 함 z=f(x, y)에 다음과 같이 2개의 1계편도함 를
구할 있음.
fxº fyº
- 식에 fx는 그 자체가 x y의 함 이므로 fx를 x에
해 한번 더 미분한 값 y값이 고 어 있다는
로 한 x값의 변화에 른 fx의 변화량이라 할
있음.
- 식에 fy도 그 자체가 x y의 함 이므로 동일함.
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
- 함 z=f(x, y)에 다음과 같이 2개의 1계편도함 를
구할 있음.
fxº fyº
- 식에 fx는 그 자체가 x y의 함 이므로 fx를 x에
해 한번 더 미분한 값 y값이 고 어 있다는
로 한 x값의 변화에 른 fx의 변화량이라 할
있음.
- 식에 fy도 그 자체가 x y의 함 이므로 동일함.
∂z
∂x
∂z
∂y
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
- 라 특 한 2계편도함 는 다음과 같이 나타낼
있음.
fxxº (fx)= ( )=
fyyº (fy)= ( )=
- 한편, fx는 y의 함 도 고, 그리고 fy는 x의 함 도
때 에추가로다음과같 2개의 2계편도함 도
고 할 있음.
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
- 라 특 한 2계편도함 는 다음과 같이 나타낼
있음.
fxxº (fx)= ( )=
fyyº (fy)= ( )=
- 한편, fx는 y의 함 도 고, 그리고 fy는 x의 함 도
때 에추가로다음과같 2개의 2계편도함 도
고 할 있음.
∂
∂x
∂
∂x
∂z
∂x
∂2z
∂x2
∂
∂y
∂
∂y
∂z
∂y
∂2z
∂y2
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
- 어떤 1계편도함 의 ‘타’변 에 한 변화 교차
( 는 합)편도함 (cross or mixed partial derivatives)
라고 함.
- 이에 한 2계편도함 는 다음과 같이 나타냄.
fxyº ( )=
fyxº ( )=
- 의 리(Young’s theorem)에 의해 fxy=fyx임.
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
- 어떤 1계편도함 의 ‘타’변 에 한 변화 교차
( 는 합)편도함 (cross or mixed partial derivatives)
라고 함.
- 이에 한 2계편도함 는 다음과 같이 나타냄.
fxyº ( )=
fyxº ( )=
- 의 리(Young’s theorem)에 의해 fxy=fyx임.
∂
∂x
∂z
∂y
∂2z
∂x∂y∂
∂y
∂z
∂x
∂2z
∂y∂x
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
: 함 z=x3+5xy-y2에 한 4개의 2계편도함 는?
이 함 의 1계편도함 는 다음과 같음.
fx=3x2+5y fy=5x-2y
- 의 1계도함 로부 다음과 같이 4개의 특 한
2계편도함 는 다음과 같이 구할 있음.
fxx=6x, fyy=-2, fxy=5, fyx=5
- 에 의 리에 의해 fxy=fyx는 일치함.
è 2계편도함 (second-order partial derivatives)
: 함 z=x3+5xy-y2에 한 4개의 2계편도함 는?
이 함 의 1계편도함 는 다음과 같음.
fx=3x2+5y fy=5x-2y
- 의 1계도함 로부 다음과 같이 4개의 특 한
2계편도함 는 다음과 같이 구할 있음.
fxx=6x, fyy=-2, fxy=5, fyx=5
- 에 의 리에 의해 fxy=fyx는 일치함.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계 미분(second-order total differential)
- 이 dz=fxdx+fydy에 dz를 한번 더 미분함 로써
2계 미분 d2z를 구할 있음.
- 여 의할 dz=fxdx+fydy에 있는 dx
dy는 변 x, y의 주어진 변화 는 임의의 변화를
표시하 때 에 미분과 에 상 로 취 함.
- 결과 로 dz는 직 fx fy에만 의존하며, fx fy 그
자체는 x y의 함 이므로 dz도 x y의 함 임.
è 2계 미분(second-order total differential)
- 이 dz=fxdx+fydy에 dz를 한번 더 미분함 로써
2계 미분 d2z를 구할 있음.
- 여 의할 dz=fxdx+fydy에 있는 dx
dy는 변 x, y의 주어진 변화 는 임의의 변화를
표시하 때 에 미분과 에 상 로 취 함.
- 결과 로 dz는 직 fx fy에만 의존하며, fx fy 그
자체는 x y의 함 이므로 dz도 x y의 함 임.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계 미분(second-order total differential)
- 이 dz=fxdx+fydy에 d2z를 구하면 다음과 같음.
d2zºd(dz)= dx+ dy
= (fxdx+fydy)dx+ (fxdx+fydy)dy
=(fxxdx+fxydy)dx+(fyxdx+fyydy)dy
=fxxdx2+fxydydx+fyxdxdy+fyydy2
=fxxdx2+2fxydydx+fyydy2
[ 의 리 : fxy=fyx]
è 2계 미분(second-order total differential)
- 이 dz=fxdx+fydy에 d2z를 구하면 다음과 같음.
d2zºd(dz)= dx+ dy
= (fxdx+fydy)dx+ (fxdx+fydy)dy
=(fxxdx+fxydy)dx+(fyxdx+fyydy)dy
=fxxdx2+fxydydx+fyxdxdy+fyydy2
=fxxdx2+2fxydydx+fyydy2
[ 의 리 : fxy=fyx]
∂(dz)
∂x
∂(dz)
∂y∂
∂x
∂
∂x
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계 미분(second-order total differential)
: 주어진 함 z=x3+5xy-y2에 dz d2z를 구하라.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy
d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2
- 여 dz d2z는 모두 x y의 함 이므로
를 들어 x=1과 y=2이면 다음과 같음.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy=13dx+dy
d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2=6dx2+10dxdy-2dy2
è 2계 미분(second-order total differential)
: 주어진 함 z=x3+5xy-y2에 dz d2z를 구하라.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy
d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2
- 여 dz d2z는 모두 x y의 함 이므로
를 들어 x=1과 y=2이면 다음과 같음.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy=13dx+dy
d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2=6dx2+10dxdy-2dy2
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- 1변 의 경우에 지 에 d2z<0이면 그 2차원
공간에 우리의 가 .
- 2변 의 경우도 마찬가지로 d2z<0이면 그 이 3차원
공간에 둥근 지붕의 가 .
- 한편, 1변 의 경우에 지 에 d2z>0이면 그
2차원 공간에 골짜 의 닥이 .
- 2변 의 경우도 마찬가지로 d2z>0이면 그 이 3차원
공간에 사 의 닥이 .
è 2계조건(second-order condition)
- 1변 의 경우에 지 에 d2z<0이면 그 2차원
공간에 우리의 가 .
- 2변 의 경우도 마찬가지로 d2z<0이면 그 이 3차원
공간에 둥근 지붕의 가 .
- 한편, 1변 의 경우에 지 에 d2z>0이면 그
2차원 공간에 골짜 의 닥이 .
- 2변 의 경우도 마찬가지로 d2z>0이면 그 이 3차원
공간에 사 의 닥이 .
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- 편의를 하여 2계미분조건을 2계도함 조건 로
환함. 즉, 이는 2계편도함 fxx, fxy fyy의 부 에
약을 가하는 것을 의미함.
- 이 같 환 2차 식(quadratic form)에 한
지식을 필요로 하지만 여 는 그 결과만 다루 로
함(이를 이해하 해 는 교재 11.3 이차 식 : 보론
을 참조하 람).
è 2계조건(second-order condition)
- 편의를 하여 2계미분조건을 2계도함 조건 로
환함. 즉, 이는 2계편도함 fxx, fxy fyy의 부 에
약을 가하는 것을 의미함.
- 이 같 환 2차 식(quadratic form)에 한
지식을 필요로 하지만 여 는 그 결과만 다루 로
함(이를 이해하 해 는 교재 11.3 이차 식 : 보론
을 참조하 람).
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- 2계충분조건 둘 다 0이 아닌 임의의 dx dy에 해
다음이 립함.
d2z<0 « fxx<0, fyy<0 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에 fxx<0, fyy<0 fxxfyy-(fxy)2>0이면
f(x*, y*)는 극 값임.
d2z>0 « fxx>0, fyy>0 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에 fxx>0, fyy>0 fxxfyy-(fxy)2>0이면
f(x*, y*)는 극소값임.
è 2계조건(second-order condition)
- 2계충분조건 둘 다 0이 아닌 임의의 dx dy에 해
다음이 립함.
d2z<0 « fxx<0, fyy<0 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에 fxx<0, fyy<0 fxxfyy-(fxy)2>0이면
f(x*, y*)는 극 값임.
d2z>0 « fxx>0, fyy>0 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에 fxx>0, fyy>0 fxxfyy-(fxy)2>0이면
f(x*, y*)는 극소값임.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- 앞의 2계충분조건에 다음과 같 경우를 고 해 볼
있음.
첫째, fxxfyy<(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)
2<0이라면 f(x*, y*)는
극값이 없음.
둘째, fxxfyy=(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)
2=0이면 극값 여부를
할 없음.
- 라 d2z의 부 는 fxx fyy에 의해 결 뿐만
아니라 교차편도함 fxy에 의해 도 결 .
è 2계조건(second-order condition)
- 앞의 2계충분조건에 다음과 같 경우를 고 해 볼
있음.
첫째, fxxfyy<(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)
2<0이라면 f(x*, y*)는
극값이 없음.
둘째, fxxfyy=(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)
2=0이면 극값 여부를
할 없음.
- 라 d2z의 부 는 fxx fyy에 의해 결 뿐만
아니라 교차편도함 fxy에 의해 도 결 .
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
상 극값의 조건 : z=f(x, y)
* 1계필요조건이 만족 후에만 용할 있음.
è 2계조건(second-order condition)
상 극값의 조건 : z=f(x, y)
* 1계필요조건이 만족 후에만 용할 있음.
조건 극 극소
1계필요조건 fx=fy=0 fx=fy=0
2계충분조건* fxx, fyy<0 fxxfyy>(fxy)2 fxx, fyy>0 fxxfyy>(fxy)
2
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
1 : 함 z=f(x, y)=8x3+2xy-3x2+y2+1의 극값 ?
- 우 , 1계편도함 2계편도함 는 다음과 같음.
fx=24x2+2y-6x, fy=2x+2y
fxx=48x-6, fyy=2, fxy=2
- 1계조건 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
24x2+2y-6x=0
2y+2x=0 (® y=-x)
è 2계조건(second-order condition)
1 : 함 z=f(x, y)=8x3+2xy-3x2+y2+1의 극값 ?
- 우 , 1계편도함 2계편도함 는 다음과 같음.
fx=24x2+2y-6x, fy=2x+2y
fxx=48x-6, fyy=2, fxy=2
- 1계조건 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
24x2+2y-6x=0
2y+2x=0 (® y=-x)
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- y=-x를 첫 번째 식에 입하면 24x2-8x=0이므로
8x(3x-1)=0임.
- 라 다음과 같 한 의 해를 구할 있음.
x1*=0 [ 라 y1*=-x1*=0]
x2*=1/3 [ 라 y2*=-1/3]
- 우 x1*=y1*=0일 때 fxx=-6, fyy=2이므로 fxxfyy<0임.
여 fxxfyy-(fxy)2<0이므로 2계조건을 충족하지
않 므로 극값 존재하지 않음(® 안장 ).
è 2계조건(second-order condition)
- y=-x를 첫 번째 식에 입하면 24x2-8x=0이므로
8x(3x-1)=0임.
- 라 다음과 같 한 의 해를 구할 있음.
x1*=0 [ 라 y1*=-x1*=0]
x2*=1/3 [ 라 y2*=-1/3]
- 우 x1*=y1*=0일 때 fxx=-6, fyy=2이므로 fxxfyy<0임.
여 fxxfyy-(fxy)2<0이므로 2계조건을 충족하지
않 므로 극값 존재하지 않음(® 안장 ).
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- 다음 로 x2*=1/3, y2*=-1/3일 때 fxx=10, fyy=2 그리고
fxy=2임.
- 여 fxx=10(>0), fyy=2(>0) 그리고 fxxfyy-(fxy)2이
(10×20)-(2)2>0이므로 극소값을가질 2계조건이충족 .
- 그러므로 주어진 함 z=8x3+2xy-3x2+y2+1에 x=1/3,
y=-1/3을 입하면 z의 극소값 z*=23/27임.
- 이 에 는 직 하나의 상 극소값이 존재하고
이것 3 인 (x*, y*, z*)=(1/3, -1/3, 23/27)임.
è 2계조건(second-order condition)
- 다음 로 x2*=1/3, y2*=-1/3일 때 fxx=10, fyy=2 그리고
fxy=2임.
- 여 fxx=10(>0), fyy=2(>0) 그리고 fxxfyy-(fxy)2이
(10×20)-(2)2>0이므로 극소값을가질 2계조건이충족 .
- 그러므로 주어진 함 z=8x3+2xy-3x2+y2+1에 x=1/3,
y=-1/3을 입하면 z의 극소값 z*=23/27임.
- 이 에 는 직 하나의 상 극소값이 존재하고
이것 3 인 (x*, y*, z*)=(1/3, -1/3, 23/27)임.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
2 : 함 z=f(x, y)=x2+xy+y2-3x-3y의 극값 ?
- 우 , 1계편도함 2계편도함 는 다음과 같음.
fx=2x+y-3, fy=x+2y-3
fxx=2, fyy=2, fxy(=fyx)=1
- 1계조건 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
2x+y-3=0
x+2y-3=0
- 의 식을 풀면 x*=1, y*=1임.
è 2계조건(second-order condition)
2 : 함 z=f(x, y)=x2+xy+y2-3x-3y의 극값 ?
- 우 , 1계편도함 2계편도함 는 다음과 같음.
fx=2x+y-3, fy=x+2y-3
fxx=2, fyy=2, fxy(=fyx)=1
- 1계조건 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
2x+y-3=0
x+2y-3=0
- 의 식을 풀면 x*=1, y*=1임.
l 다변 함 의 극 극소l 다변 함 의 극 극소
u 2변 함 의 극값u 2변 함 의 극값
è 2계조건(second-order condition)
- x1*=y1*=1일 때 fxx=2(>0), fyy=2(>0)이므로 fxxfyy>0임.
그리고 (fxy)2=12이고 fxxfyy-(fxy)
2=(2×2)-(1) 2>0이므로
2계조건을 충족함.
- 라 (x*=1, y*=1)일 때 함 값 f(1, 1)=-3이 .
여 함 값 -3 상 극소값이 .
(x*, y*, z*)=(1, 1, -3)
è 2계조건(second-order condition)
- x1*=y1*=1일 때 fxx=2(>0), fyy=2(>0)이므로 fxxfyy>0임.
그리고 (fxy)2=12이고 fxxfyy-(fxy)
2=(2×2)-(1) 2>0이므로
2계조건을 충족함.
- 라 (x*=1, y*=1)일 때 함 값 f(1, 1)=-3이 .
여 함 값 -3 상 극소값이 .
(x*, y*, z*)=(1, 1, -3)
