Контрольнi роботи з математичного аналiзу (другий семестр)schoolsite.org.ua/4/media/editors/tinymce/upload-files/MetodKRMA2.pdf ·

Мiнiстерство освiти i науки України

Чернiвецький нацiональний унiверситет

iменi Юрiя Федьковича

Контрольнi роботи зматематичного аналiзу

(другий семестр)

пiдлягає поверненню на кафедру

Чернiвцi2007

ББК 22.161.0

К 915

УДК 517.1

Друкується за ухвалою редакцiйно-видавничої ради

Чернiвецького нацiонального унiверситету

iменi Юрiя Федьковича

К 915Контрольнi роботи з математичного аналiзу (другий се-местр)/Укл.: Карлова О.О., Маслюченко О.В. – Чернiвцi:Рута, 2007. – с.32.

До цього посiбника увiйшли типовi варiанти модульних контроль-них робiт з математичного аналiзу за другий семестр, розробленi узв’язку iз впровадженням кредитно-модульної системи у рамках Бо-лонського процесу.

ББК 22.161.0УДК 517.1

c©“Рута”, 2007c© Маслюченко О.В.,2007c© Карлова О.О., 2007

3

Змiст

Модуль VI. Диференцiальне числення функцiї однiєїзмiнної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Модуль VII. Невизначений iнтеграл . . . . . . . . . . . . . 13Модуль VIII. Визначений iнтеграл . . . . . . . . . . . . . . 18Модуль IX. Функцiї двох i трьох змiнних . . . . . . . . . . 23Модуль Х. Пiдсумкова контрольна робота . . . . . . . . . 28

4

Модуль VI. Диференцiальне численняфункцiї однiєї змiнної

Студент повинен засвоїти такi теми:

X Означення похiдної та її фiзичний i геометричний змiст.

X Технiка диференцiювання.

X Диференцiал.

X Похiднi i диференцiали вищих порядкiв.

X Основнi теореми диференцiального числення.

X Формула Тейлора.

X Застосування формули Тейлора до знаходження границь i

наближених обчислень.

X Монотоннiсть i доведення нерiвностей.

X Локальнi екстремуми.

X Побудова графiкiв.

X Задачi на знаходження найбiльших i найменших значень.

5

Самостiйна робота

Варiант 1

Знайти похiднi таких функцiй:

1. y = x2 − 3√x+

1x4

;

2. y = lnx · sinx;

3. y =arccosx

2x;

4. y = tg(e3x2);

5. y = ln(x+√x2 + 1);

6. y =sinx− x cosxcosx+ x sinx

;

7. y =√x− arctg

√x;

8. y = arcsin1− x2

1 + x2;

9. y = lnx+ 1√x2 + 1

+ arctgx;

10. y = x+ xx + xxx;

6

Варiант 2


1. y = x3 + 4√x− 1

x2;

2. y = cosx · 5x;

3. y =arctgxlnx

;

4. y = ln(sin√x);

5. y = ln(ex +√

1 + e2x);

6. y =ln 3 · sinx+ cosx

3x;

7. y = arctg1 + x

1− x;

8. y = ln(arccos1√x

);

9. y = arctg(

sinx+ cosxsinx− cosx

);

10. y = (sinx)cosx + (cosx)sinx;

7

Варiант 3


1. y = 5√x− 1

x3+ x7;

2. y = ex · arcctgx;

3. y =sinx

1 + 2x;

4. y = ecos(x3);

5. y =14

lnx2 − 1x2 + 1

;

6. y =cosx

2 sin2 x;

7. y = arccos√

1− x2;

8. y = arctg(x+√

1 + x2);

9. y = x ln(x+√

1 + x2)−√

1 + x2;

10. y = (lnx)x + xlnx;

8

Варiант 4


1. y =1x6

+ x6 + 6√x;

2. y = arctgx · arcsinx;

3. y =x+ cosx

4x;

4. y = ln(tgx2);

5. y = ln

√1− sinx1 + sinx

;

6. y = 3

√1 + x3

1− x3;

7. y = arcsin(sinx− cosx);

8. y = arctg√x2 − 1− lnx√

x2 − 1;

9. y = ln5 + 4 cosx+ 3 sinx

4 + 3 cosx;

10. y = (sinx)lnx + (lnx)cosx;

9

Контрольна робота

Варiант 1

1. Написати рiвняння дотичної до функцiї y = x3 − 2x + 3 в

точцi xo = 1.

2. Замiнюючи прирiст функцiї диференцiалом наближено об-

числити√

101.

3. Знайти y(10), якщо y = x2 cosx.

4. Використовуючи формулу Лаґранжа, довести нерiвнiсть

|arctga− arctgb| ≤ |a− b| для довiльних a, b ∈ R.

5. З допомогою правила Лопiталя знайти

а) limx→∞

lnxx2

; б) limx→0

tg2x− 2xx− sinx

; в) limx→0

ln(cos 2x)ln(cos 4x)

.

6. З допомогою формули Тейлора записати розклад функцiї

y = ex2−4x по степенях x до члена x3.

7. Використовуючи розклади елементарних функцiй за форму-

лою Тейлора, знайти границi

а) limx→0

cos 2x− e−2x2

x4; б) lim

x→0

ex + e−x − 2x2

.

8. Довести нерiвнiсть ln√

1 + 2x > x− x2 при x > 0.

9. Знайти локальнi екстремуми функцiї y = x2 +1x2

.

10. Побудувати графiк функцiї y = 4x− x3.

11. Знайти найбiльше та найменше значення функцiї y =x

3+

3x

на вiдрiзку [−5,−1].

10

Варiант 2


точцi xo = 1.


числити sin 31o.

3. Знайти y(20), якщо y = x3 sinx.

4. Використовуючи формулу Лаґранжа, довести нерiвнiсть

| sin a− sin b| ≤ |a− b| для довiльних a, b ∈ R.


а) limx→∞

x3

e7x; б) lim

x→0

sinx− ln(1 + x)x2

; в) limx→0

ln(sin 2x)ln(sin 4x)

.


y = sin(x− x2) по степенях x до члена x4.



а) limx→0

e2x + sinx− 2xx2

; б) limx→0

ln(1 + 2x2)− cos 2x+ 1x4

.

8. Довести нерiвнiсть 3 sin 2x > 6x− 4x3 при x > 0.

9. Знайти локальнi екстремуми функцiї y = x3 + 3x2− 6x+ 17.

10. Побудувати графiк функцiї y = 3 + x2 − x4

2.

11. Знайти найбiльше та найменше значення функцiї y =x

2+

8x

на вiдрiзку [−6,−1].

11

Варiант 3


точцi xo = 2.


числити tg46o.

3. Знайти y(10), якщо y = x2 · lnx.

4. Використовуючи формулу Лаґранжа, довести, що pyp−1(x−y) ≤ xp − yp ≤ pxp−1(x− y), при 0 < y < x i p > 1.


а) limx→0

e2x−1sin(3x) ; б) lim

x→0

cos(3x)−cosxx2 ; в) lim

x→∞x4+x2+1e3x+4

.


y = ln(cos 2x) по степенях x до члена x3.



а) limx→0

e−2x2−1+2x2

x4 ; б) limx→0

√1+2x+e−x−2

x3 .

8. Довести нерiвнiсть tgx > x+x3

3.

9. Скiльки точок екстремуму, якi лежать на промiжку (0, 2π),

має функцiя y = 2 sinx+ cos 2x?

10. Побудувати графiк функцiї y = (x− 3)√x.

11. Знайти найбiльше та найменше значення функцiї y = 3x4 +

4x3 + 1 на вiдрiзку [−2, 1].

12

Варiант 4

1. Написати рiвняння дотичної до функцiї y = x3 + 2x2 − 3 в

точцi xo = −1.


числити lg101.

3. Знайти y(20), якщо y = x3 · e2x.

4. Використовуючи формулу Лаґранжа, довести нерiвнiстьa− ba

< lna

b<a− bb

, якщо 0 < b < a.


а) limx→0

ex−e−x

x−sinx ; б) limx→0

cos 3x−x−1tg16x+sinx2 ; в) lim

x→∞ln(1+4x)+100ln(1+2x)+200 .


y = arctgx по степенях x до члена x4.



а) limx→0

2 sin 3x−6x+9x3

x5 ; б) limx→0

12

ln(1+2x)+e−x

x3x2 sinx.

8. Довести нерiвнiсть13tg3x > x+ 3x3.

9. Скiльки точок екстремуму, якi лежать на промiжку (0, π),

має функцiя y = 2x+ ctgx?

10. Побудувати графiк функцiї y = (3x+ 1)(3x− 2)2.

11. Знайти найбiльше та найменше значення функцiї y = x3 −3x2 + 3x+ 2 на вiдрiзку [−2, 2].

13

Модуль VII. Невизначений iнтегралСтудент повинен засвоїти такi теми:

X Первiсна i таблиця iнтегралiв.

X Замiна змiнної у невизначеному iнтегралi.

X Iнтегрування частинами у невизначеному iнтегралi.

X Iнтегрування рацiональних функцiй.

X Метод Остроградського.

X Iнтегрування iррацiональних функцiй.

X Iнтегрування тригонометричних функцiй.

14


Варiант 1

Обчислити iнтеграли:

1.∫x+√x+ 3√x

x4dx.

2.∫

dx

9 + 16x2.

3.∫xex

2dx.

4.∫

arctg2x

1 + x2dx.

5.∫

2x+ 1(x+ 1)(x− 3)

dx.

6.∫x cosxdx.

7.∫e2x sin 3xdx.

8.∫

x2

√x− 1

dx.

9.∫

1x(√x− 2 3

√x+ 1)

dx.

10.∫

dx√4x2 − x+ 1

.

11.∫ √

4− x2dx.

12.∫

sin5 xdx.

15

Варiант 2


1.∫x+ 2 3

√x+ 4√x5

√x

dx.

2.∫

dx

25 + 4x2.

3.∫x2 cosx3dx.

4.∫

1√1− x2 arcsin3x

dx.

5.∫

x

(x− 2)(x+ 3)dx.

6.∫x lnxdx.

7.∫e3x cos 2xdx.

8.∫

x+ 1√x+ 2

dx.

9.∫ √

x− 1

( 3√x− 1) 6

√x5dx.

10.∫

dx√1− 2x− x2

.

11.∫ √

4 + x2dx.

12.∫

cos5 xdx.

16

Варiант 3


1.∫ 3√x2 − x+ 1

4√x3

dx.

2.∫

dx

5− 3x2.

3.∫

ln3 x+ 1x

dx.

4.∫

x3

sin2 x4dx.

5.∫

exdx

e2x + 4.

6.∫

x− 1(x+ 4)(x− 2)

dx.

7.∫x2arccosxdx.

8.∫e4x sinxdx.

9.∫

x3

√x+ 1

dx.

10.∫

dx√x2 + 4x− 1

.

11.∫ √

9− x2dx.

12.∫

dx

cosx+ tgx.

17

Варiант 4


1.∫

5√x+ x2 − 1

3√x

dx.

2.∫

dx

16 + 9x2.

3.∫

sinxcos5 x

dx.

4.∫

x3dx√1− x8

.

5.∫

cosx− 2 sin 2x4√

sinx+ cos 2x.

6.∫

x

(x− 3)(x− 5)dx.

7.∫

ln(x+√

1 + x2)dx.

8.∫e3x cosxdx.

9.∫

x− 3√x+ 4

dx.

10.∫

dx√3− 4x− x2

.

11.∫ √

9 + x2dx.

12.∫

dx

sinx√

1 + cosx.

18

Модуль VIII. Визначений iнтегралСтудент повинен засвоїти такi теми:

X Визначений iнтеграл, як границя iнтегральних сум.

X Формула Ньютона-Лейбнiца.

X Замiнi змiнної та iнтегрування частинами у визначеному iн-

тегралi.

X Обчислення площ.

X Обчислення об’ємiв.

X Довжина кривої.

X Площа поверхнi обертання i фiзичнi застосування.

19


Варiант 1

1. За означенням визначеного iнтеграла обчислити1∫0

(2x+1)dx.

2. Знайти границю limn→∞

√1 + 1

n +√

1 + 2n + · · ·+

√1 + n

n

n.

3. Обчислити

а)

π/4∫0

sin2 xdx; б)

π/3∫0

tgxdx;

в)4∫

0

√4− x2dx; г)

1∫0

arctgx1 + x2

dx;

ґ)e∫

1

x2 lnxdx; д)π∫

0

x2 sinxdx

4. Обчислити площу фiгури обмеженої кривими y = x + 1,

y = x2 − 1.

5. Знайти об’єм тiла обмеженого поверхнями z = x2+y2, z = 4.

6. Знайти довжину кривої y = e2x, 0 ≤ x ≤ 1.

7. Знайти площу поверхнi утворену обертанням кривої

y = x√x, 0 ≤ x ≤ 4 навколо осi Ox.

20

Варiант 2


(3x−2)dx.


3

√1 + 1

n + 3

√1 + 2

n + · · ·+ 3√

1 + nn

n.


а)

π/4∫0

cos2x

2dx; б)

π/2∫π/3

ctg xdx;

в)9∫

0

(9− x2)3/2dx; г)

1/√

2∫0

arcsinx√1− x2

dx;

ґ)e∫

1

x3ex2dx; д)

π/2∫0

x2 cos 2xdx

4. Обчислити площу фiгури обмеженої кривими y = 2 − x,

y = x2.

5. Знайти об’єм тiла обмеженого поверхнями z =√x2 + y2,

z = 2.

6. Знайти довжину кривої x = cos t2, y = sin t2, 0 ≤ x ≤√π.

7. Знайти площу поверхнi утворену обертанням кривої y = tgx,

0 < x < π/4 навколо осi Ox.

21

Варiант 3


(2−3x)dx.


ln(1 + 1n) + ln(1 + 2

n) + · · ·+ ln(1 + nn)

n.


а)

π/4∫0

sin2 x

2dx; б)

√3∫

1

xdx√x2 + 1

;

в)

2/3∫0

x2√

4− 9x2; г)

π/3∫π/4

tgxln cosx

dx;

ґ)e2∫

1

x3 lnxdx; д)1∫

0

x3e−2xdx

4. Обчислити площу фiгури обмеженої кривими y = lnx, x = e,

y = 0.

5. Знайти об’єм тiла обмеженого поверхнями x2 + y2 + z2 = 4,

z ≥ 2.

6. Знайти довжину кривої % = 2 + cos 2ϕ.


y = cosx, −π/2 ≤ x ≤ π/2 навколо осi Ox.

22

Варiант 4


(4−x)dx.


sin πn + sin 2π

n + · · ·+ sin nπn

n.


а)

π/4∫0

cos2 xdx; б)

π/2∫π/3

ctg xdx;

в)4∫−4

x2dx√4− x2

; г)π2∫

π2/4

sin√xdx

2√x

;

ґ)1∫

0

xarctgxdx; д)π∫

0

ex sinxdx.

4. Обчислити площу фiгури обмеженої кривими y = ex, y = e,

x = 0.

5. Знайти об’єм тiла обмеженого поверхнями z4 = x2+y2, z = 1,

z = 4.

6. Знайти довжину кривої % = 4 sinϕ.


y = sinx, 0 ≤ x ≤ π навколо осi Ox.

23

Модуль IX. Функцiї двох i трьох змiннихСтудент повинен засвоїти такi теми:

X Функцiї двох i трьох змiнних. Лiнiї та поверхнi рiвня.

X Границi i повторнi границi функцiї двох змiнних.

X Неперервнiсть, нарiзна неперервнiсть, рiвномiрна неперерв-

нiсть.

X Частиннi похiднi та диференцiйовнiсть функцiй двох змiн-

них.

X Ланцюгове правило.

24


Варiант 1

1. Зобразити область визначення функцiї z =√

4− x2 +√y2 − 9.

2. Зобразити лiнiї рiвня функцiї z =1

4x2 + 9y2.

3. Знайти повторнi i подвiйну границi функцiї f(x, y) =x4 + y4

(x2 + y2)3при x, y →∞.

4. Знайти похiднi першого порядку:

а) u = x3 + 2x2y − 3xy3 +12y2;

б) u =3xy − y2

x+ 2y;

в) u = ln√x+ y + z

x− y − z;

г) u = ex+y sin(x− y);

ґ) u = f(xy + z);

д) u = f(x+ 2y + 3z, x3 + y3 + z3).

5. Знайти диференцiали першого i другого порядкiв:

а) u = sin(x2 + y2);

б) u = f(x+ y, x− y).

6. Перевiрити, чи задовольняє функцiя u = x2f(yx,z

x

)рiвня-

ння xu′x + yu′y + zu′z = 2u.

25

Варiант 2

1. Зобразити область визначення функцiї

z =√

(x2 + y2 − 4)(16− x2 − y2).

2. Зобразити лiнiї рiвня наступної функцiї z = (2x+ 3y)2.

3. Знайти повторну i подвiйну границi функцiї f(x, y) =x2 + y2

x4 + y4при x, y →∞.


а) u = x2 − 4xy2 − 3x7y3 − 6y3;

б) u =3x2 − y2

x+ y2;

в) u =√

xyz

x+ y + z;

г) u = e2x−3y cos(x+ y);

ґ) u = f(x+ yz);

д) u = f(2x− y + z, x2 + y2 + z2).


а) u = cos(x2 − y2);

б) u = f(x− 3y, 2x+ y).

6. Перевiрити, чи задовольняє функцiя u = x2f(yx

)+

1xg(yx

)рiвняння x2u′′xx + 2xyu′′xy + y2u′′yy = 2u.

26

Варiант 3

1. Зобразити область визначення функцiї

z = 4

√(x− 1)2 + y2 − 4(x+ 1)2 + y2 − 4

.

2. Зобразити лiнiї рiвня наступної функцiї z = 4x2 − 9y2.

3. Знайти повторну i подвiйну границi функцiї f(x, y) = (x2 +

y2) ln(1 +1

x4 + y4) при x, y →∞.


а) u = 2y3 + 4x5y2 − 3x3y8 + x2y6;

б) u =2x2 + 3y2

xy − 2y2;

в) u =√

xy − 2zx+ 2y + 3z

;

г) u = ln(x+ y)tg(xy − y2);

ґ) u = f(x+ y2 + z3);

д) u = f(x2 + y − 2z2, x+ y − z2).


а) u = ln(x3 − y2);

б) u = f(2x+ 5y, x− y).

6. Перевiрити, чи задовольняє функцiя u =xy

zlnx+xf

(yx,z

x

)рiвняння xu′x + yu′y + zu′z = u+ xy

z .

27

Варiант 4

1. Зобразити область визначення функцiї z = ln(1− x2 − y2) +√(x− 1)2 + (y − 1)2 − 1.

2. Зобразити лiнiї рiвня наступної функцiї z =√xy.

3. Знайти повторну i подвiйну границi функцiї f(x, y) =3√x2 + y2

x2 + xy + y2при x, y →∞.


а) u = 2xy − 3x2y2 + 4x3y3 − 5x4y5;

б) u =xy

x2 − 4y2;

в) u =√

x− 2yz + 4xy3

;

г) u = sinx+ 3y2arctg(xy);

ґ) u = f(xy − 3z);

д) u = f(x− y2 − z, xy + z).


а) u = arcsin(x−√y);

б) u = f(3x− 7y, y − x).

6. Перевiрити, чи задовольняє функцiя u = xf(xy, xz) рiвнян-

ня x2u′x − yu′y − zu′z = xu.

28

Модуль Х. Пiдсумкова контрольна роботаВарiант 1


а) y =√x− x5 − 1

x3;

б) y = 5x · arcsinx+ctgxlnx

;

в) y = sin(e3x2).

2. Обчислити iнтеграли:

а)∫

3√x− 4√x3

√x

dx;

б)∫

3√

cos2x sinxdx;

в)∫

xdx

(x+ 1)(x+ 2);

г)1∫

0

x2exdx;

д)1∫

0

xdx√x2 + 1

.

3. Знайти площу фiгури, обмеженої лiнiями y = 2x2+1, y = 3x.

4. Знайти частиннi похiднi та диференцiали першого i другого

порядкiв функцiї

а) u = xy2 + yz2 + zx2;

б) u = ex+y2sin√xy;

в) u =ln(x− y)arcsin

√y.

29

Варiант 2


а) y = 4√x− x3 +

1x2

;

б) y = 2x · arccosx− lnxtgx

;

в) y = sin(e4x7).


а)∫

4 4√x− 3√x2

√x

dx;

б)∫

4√

sin3 x · cosxdx;

в)∫

2x+ 1(x− 1)(x+ 2)

dx;

г)1∫

0

x2 sinxdx;

д)

3√π∫0

x2 sinx3dx.

3. Знайти площу фiгури, обмеженої лiнiями y = 3 − x, y =

x2 + 1.



а) u = y3 − 5xyz + z2 − 42; б) u = ln(2x− y2) cosx+ 3y;

в) u =ex+y

2

arctg√x

.

30

Варiант 3


а) y =1x5− x4 +

√x;

б) y = lnx · cosx+arcsinx

3x;

в) y = tg(e2x3).


а)∫ 5√x2 −

√x

3√x

dx;

б)∫

sinxcos3 x

dx;

в)∫

x− 2(x+ 1)(x+ 3)

dx;

г)1∫

0

xarctgxdx;

д)1∫

0

x3

ex4 dx.

3. Знайти площу фiгури, обмеженої лiнiями y = 1 − 2x, y =

2x2 − 3.



а) u = x+ xy + xyz; б) u = tg(x2 − y) ln(3xy);

в) u =sin(x− y)

arccos√x+ y

.

31

Варiант 4


а) y = x5 +1x3− 9√x;

б) y = ctg x · ex +arctgxcosx

;

в) y = ln(sin(2x5)).


а)∫ 4√x3 − 5

√x

3√x

dx;

б)∫

cos3 xdx;

в)∫

2− x(x+ 2)(x+ 3)

dx;

г)1∫

0

x5 lnxdx;

д)4∫

1

e√x

√xdx.

3. Знайти площу фiгури, обмеженої лiнiями y = x2 − 2, y = x.



а) u = z3 − y2z2 + xyz; б) u = 2x2−y√2x+ 3y;

в) u =ln(1 + x2 + y2)arctg

√x+ y

.

Documents

Контрольнi роботи з математичного аналiзу (другий семестр)schoolsite.org.ua/4/media/editors/tinymce/upload-files/MetodKRMA2.pdf ·