Для человеческого ума непонятна абсолютна непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения.

Л. Н. Толстой

Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно-малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.

Только допустив бесконечно-малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать сумы этих бесконечно-малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.

«Война и мир» Л.Н Толстой

Л. Н. Толстой

Історія математичного аналізуІсторія математичного аналізу

ПланПлан 1. Історія розвитку поняття функції.1. Історія розвитку поняття функції.2. Зародження інтегрального та диференціального 2. Зародження інтегрального та диференціального

числення.числення.3. Створення аналізу нескінченно малих.3. Створення аналізу нескінченно малих.4. Вдосконалення диференціального та інтегрального 4. Вдосконалення диференціального та інтегрального

числення у числення у XVIII XVIII і і XIX XIX ст.ст.

Рекомендована літератураРекомендована література1. Дмитриев И.С. Неизвестньш Ньютон: силу1. Дмитриев И.С. Неизвестньш Ньютон: силуээт на фоне т на фоне ээпохи. - похи. -

Санкт-Петербург: Алетейя, 1999. - 784 с.Санкт-Петербург: Алетейя, 1999. - 784 с.2. Добровольский В. А. Очерки развития аналитической теории 2. Добровольский В. А. Очерки развития аналитической теории

дифференциальндифференциальныых уравнений. - К.: Вища школа, 1974. - 456 с. х уравнений. - К.: Вища школа, 1974. - 456 с. 3. Конфорович А.Г. У пошуках інтеграла. - К.: Радянська школа, 3. Конфорович А.Г. У пошуках інтеграла. - К.: Радянська школа,

1990. -С.195-196.1990. -С.195-196.4. Маркушевич А.Й. Основн4. Маркушевич А.Й. Основныые понятия математического анализа и е понятия математического анализа и

теории функций в трудах теории функций в трудах ЭЭйлера //Лйлера //Лееонард онард ЭЭйлер. - М.: Изд-во йлер. - М.: Изд-во АН СССР, 1958. -С.98-132.АН СССР, 1958. -С.98-132.

5. Математика 5. Математика XIX XIX века. Чебвека. Чебыышевское направление в теории шевское направление в теории функций. Обфункций. Обыыкновеннкновенныые дифференциальне дифференциальныые уравнения. е уравнения. Вариационное нечисленне. Теория конечнВариационное нечисленне. Теория конечныых разностей. - М.: х разностей. - М.: Наука, 1987. -318с. Наука, 1987. -318с.

6. Фреймам Л.С. Творц6. Фреймам Л.С. Творцыы в выысшей математики. - М.: Наука, 1968. -сшей математики. - М.: Наука, 1968. -216с. 216с.

7. Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического 7. Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического анализа. -М.:3нание, 1985.-48с.анализа. -М.:3нание, 1985.-48с.

Поняття функції має давню історію. Перші кроки на довгому шляху творення загального поняття функції зробили математики Стародавнього Вавилону.

Математики Стародавньої Греції розв'язали деякі задачі на найбільше та найменше значення, відкрили співвідношення між довжинами хорд і діаметрів.

Згодом математики дослід-жували і багато інших функ-ціональних залежностей, хоча самого поняття функції не вводили. Навіть у працях Р. Декарта, П. Ферма, І. Ньютона і Г. Лейбніца поняття функції пов'язу-валося або з геометричними, або з механічними уявле-ннями. І. Ньютон П. Ферма

Р. Декарт

Наприкінці XVII сто-ліття Г. Лейбніц та його учні почали застосовувати термін "функція". (від латин-ського "функтус" - виконувати)

Лише в 1718 p. Й. Бернуллі сформулював означення функції, вільне від геометричної мови: "Функцією змінної вели-чини називається кіль-кість, утворена яким завгодно способом з цієї змінної величини і сталих.”

Й. Бернуллі

Л. Ейлер у своєму "Диференціальному численні" (1755) уточнив і узагальнив означення Й. Бернуллі: "Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони підлягають зміні, то перші називаються функціями других".

Л. Ейлер

М. Лобачевський, розвиваючи М. Лобачевський, розвиваючи ейлерове означення функції, у ейлерове означення функції, у роботі "Про зникання тригоно-роботі "Про зникання тригоно-метричних рядів" (1834) писав: метричних рядів" (1834) писав: "Загальне означення вимагає, щоб "Загальне означення вимагає, щоб функцією від х називати число, яке функцією від х називати число, яке дається для кожного х і разом з х дається для кожного х і разом з х поступово змінюється. Значення поступово змінюється. Значення функції може бути задане або функції може бути задане або аналітичним виразом, або умовою, аналітичним виразом, або умовою, яка дає засіб випробовувати всі яка дає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них; або, числа і вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ...''.і залишатися невідомою ...''.

М. ЛобачевськийМ. Лобачевський

У 1837 р. німецький математик П. Діріхле У 1837 р. німецький математик П. Діріхле сформулював таке означення функції: "у сформулював таке означення функції: "у є функцією змінної х на відрізку (а, b), є функцією змінної х на відрізку (а, b), якщо кожному значенню х з цього відрізку якщо кожному значенню х з цього відрізку відповідає певне значення у, причому не відповідає певне значення у, причому не має значення, яким чином встановлена ця має значення, яким чином встановлена ця відповідність - аналітичною формулою, відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто графіком, таблицею або навіть просто словами".словами".

П. ДіріхлеП. Діріхле

Розглянемо функцію Діріхле : вона рівна 1, якщо аргумент x є раціональне число, та 0, якщо x   ірраціональне число. Цю функцію можна записати :

.\,0

,,1)(

QRIxQx

xD

Отже, в середині XIX ст. після довготривалої полеміки поняття функції звільнилося від форми встановлення відповідності, зокрема математичної формули. Головний наголос у новому загальному означенні функції робився на самій відповідності. У другій половині XIX ст. після створення теорії множин в означення функції, крім ідеї відповідності, включено ще й ідею множини: "Якщо кожному елементу х множини А поставлено у відповідність деякий певний елемент у множини В, то кажуть, що на множині А задана функція , або що множина А відображається на множину В". Таке означення функції можна застосовувати не лише до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів, наприклад до геометричних фігур.

y f x

Щоб уникнути нескінченності в обчисленні мір давньогрецький вчений Евдокс запропонував метод вичерпування. Цей метод плідно розвивали і застосовували Евклід, Архімед та інші математики. Він полягав у побудові двох фігур U і V, між якими одночасно знаходилися фігури А і S, такі що: площа однієї з них відома (S), а іншої - невідома (А). Фігури U і V підбиралися так, щоб різниця U - V їх площ була як завгодно малою. Тоді методом від супротивного доводилось, що площа А дорівнює площі S. Для знаходження площ і об'ємів геометричних фігур Архімед викорис-товував методи, які схожі до обчислень геометричних сум.

Евдокс

Архімед

Німецький астроном і математикНімецький астроном і математик

Йохан Кеплер

Принцип Принцип Кавальери Кавальери

КАВАЛЬЕРИ Бонавентура (Cavalieri 1598-1647)

Плоскі фігури (і тіла) співвідносяться між собою так, як всі їх неподільні разом узяті; якщо неподільні перебувають в одному і тому ж відношенні між собою, то відношення площ відповідних фігур (чи об'ємів тіл) дорівнює цьому відношенню.

Уже антична математика містила елементи визначеного інтегрування, зокрема, побудову верхніх і нижніх інтегральних сум, аналогічних певною мірою сумам Дарбу. Метод інтегральних сум давніх греків спирався на інтуїтивне, строго не визначене поняття площі та нескінченної суми, а тому застосовувався індивідуально для кожної конкретної задачі без виділення теоретичних основ.

Дарбу Жан Гастон

Тільки в XVII ст. виявили, що всі ці задачі можна розв'язувати єдиним методом, використовуючи нескінченно малі величини. Цей метод отримав розвиток у працях Р. Декарта, П. Ферма, Д. Валліса, І. Барроу та інших. Розвиток цього методу призвів до створення диференціального числення.

Останнє відкриття, яке передувало створенню математичного аналізу зробив І. Барроу. В роботі "Оптичні й геометричні лекції" (1669-1670) він встановив зв'язок між двома важливими задачами: обчисленням площі і проведенням дотичної. Застосовуючи сучасні позначення, доведене ним твердження можна записати у такому вигляді :

І. Барроу

.yydx

Для остаточного створення інтегрального і диференціаль-ного числення було необхідно об'єднати існуючі загальні прийоми, які застосовувалися для розв'язування різних задач, в єдиний метод на базі поняття нескінченно малої величини і виробити алгоритм для обчислення похідних і інтегралів. Саме це вдалось зробити геніальним вченим І. Ньютону та Г. Лейбніцу.І. Ньютон Г. Лейбніц

Створення аналізу нескінченно малих

До основних понять і до алгоритму До основних понять і до алгоритму числення нескінченно малих І. Ньютон числення нескінченно малих І. Ньютон прийшов у середині 60-х років XVII ст. прийшов у середині 60-х років XVII ст. Перший виклад свого нового Перший виклад свого нового аналітичного методу Ньютон аналітичного методу Ньютон записав восени 1666р. у чорновому записав восени 1666р. у чорновому нарисі, який мав назву "Наступні нарисі, який мав назву "Наступні пропозиції достатні для розв'язання пропозиції достатні для розв'язання задач за допомогою рухів". У цей же задач за допомогою рухів". У цей же час він пише мемуари "Міркування про час він пише мемуари "Міркування про квадратуру кривих", який опублікував квадратуру кривих", який опублікував тільки в 1704 році. Численню тільки в 1704 році. Численню нескінченно малих Ньютон присвятив нескінченно малих Ньютон присвятив ще кілька робіт: "Аналіз за допомогою ще кілька робіт: "Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченною кількістю рівнянь з нескінченною кількістю членів" (написаний у 1665 p., а ви членів" (написаний у 1665 p., а ви даний у 1711), "Метод флюксій і даний у 1711), "Метод флюксій і нескінченних рядів" (напи саний у 1670-нескінченних рядів" (напи саний у 1670-1671 pp., виданий після смерті 1671 pp., виданий після смерті автора, у 1763). Вони були автора, у 1763). Вони були надруковані тільки на початку XVIII надруковані тільки на початку XVIII ст., а до пу блікації мали обмежене ст., а до пу блікації мали обмежене поширення.(портрет Ньютона)поширення.(портрет Ньютона) Ісаак Ньютон

04.01.1643 – 31.03.1727 р.р.

Ньютон увів поняття флюент і флюксій в наступних виразах: "Я буду називати флюентами, або поточними величинами, величини, які розглядаю як поступово і невизна-чено зростаючі; позначатиму я їх останніми літерами алфавіту v, x, у, z... Швидкості, з якими зростають внаслідок породжуючого їх руху окремі флюенти (і які я називаю флюксіями або просто швидкостями), я буду позначати тими ж літерами, але з пунктиром, наприклад v', x', y', z'." (“Міркування про квадратуру кривих” , 1690р.)У теорії флюксій І. Ньютон розв'язував дві основні задачі: 1. Визначення швидкості руху в даний момент часу за заданим шляхом (визначення співвідношення між флюксіями за заданим співвідношенням між флюентами.) В сучасних позначеннях: . 2. За заданою швидкістю руху визначити пройдений за даний час шлях (визначення співвідношення між флюентами за заданим співвідношенням між флюксіями).

І. Ньютон

tVtS

Зазвичай Г. Лейбніц помічав датою свої чорнові записи, а тому в загальних рисах можна встановити послідовність і часові межі створення ним нового числення. 1. Знаходження сум рядів і застосування для цього скінченних різниць (з 1673). 2. Розв'язування задач на дотичні, узагальнення характеристичного трикутника Паскаля, поступовий перенос співвідношень між скінченими елементами на нескінченно малі. 3. Обернені задачі на дотичні, знаходження сум нескінченно малих різниць, відкриття взаємнооберненості диференціальних і інтегральних задач (до 1676).

Іншими шляхами прийшов до створення числення нескінченно малих Г. Лейбніц.

Г. Лейбніц.

Основне значення розробленого Г. Лейбніцом апарата полягало в тому, що завдяки чіткості формулювання і зручності символіки він став основою нового числення, за допомогою якого виникла можливість виконувати різноманітні дослідження таким самим способом, як дослідження аналізу скінченних величин за допомогою буквеного числення. В той же час проблема обґрунтування аналізу нескінченно малих виявилася не під силу Г. Лейбніцу, так само як І. Ньютону.

Г. Лейбніц

У 90-ті роки ХVIII ст. до розробки математичного аналізу приєдналися видатні швейцарські математики - брати Яков і Йоганн Бернуллі.

Я. Бернуллі

Й. Бернуллі.

У 1696 р. з'явився перший підручник з математичного аналізу. Його написав маркіз Г. Лопіталь під назвою "Аналіз нескінченно малих для позначення кривих ліній" (Analyse des infiniment petits). Книга складається з передмови та 10 глав ("Принципи числення диференціалів", "Про дотичні", "Про максимуми і мінімуми", "Про точки перегину і повернення", "Про розкриття невизначених виразів" та ін.). У передмові подавався короткий історичний огляд розвитку нового числення.

Г. Лопіталь

В основу своєї книги Г. Лопіталь поклав лекції Й. Бернуллі і те, що він здобув із праць і листів Й. Бернуллі і Г. Лейбніца (зокрема, відоме “правило Лопіталя” слід було б назвати “правилом Бернуллі”). Самостійними у книзі Г. Лопіталя є лише окремі приклади і деяка частина книги, що стосується дослідження особливих точок кривих. Але з точки зору впорядкування і розміщення матеріалу, доступності та систематичності викладення, книга Г. Лопіталя досить оригінальна і цінувалася вище, ніж курс Й. Бернуллі.

На кінець XVII ст. аналіз нескінченно малих вийшов із стадії формування і постав перед математиками в образі нової математичної науки. Числення нескінченно малих розширювалось за рахунок застосувань, однак основні його поняття все ще не були визначені.

Найбільший внесок у розвиток і популяризацію диференціального й інтегрального числення у XVIII ст. зробив Леонард Ейлер. Він написав повний курс математичного аналізу, який складається з кількох книг ( 3 томи, 1768-1769). Вони містять як результати робіт попередників і сучасників, так і багато його власних досліджень в галузі аналізу. Більша частина тому “Диференціальне числення” присвячена теорії рядів і диференціальним рівнянням. У цій праці він увів позначення, які і досі застосовуються (е, і, х, , sin, cos, tg та ін.). Для того щоб відрізняти частинні похідні від звичайних, Ейлер брав звичайні символи у дужки: і

dxdP

dydQ

Л. Ейлер

На відміну від Г. Лейбніца у Л. Ейлера, як і у І. Ньютона, вихідним було поняття первісної, тобто невизначеного інтегралу.

Визначений інтеграл був для Л. Ейлера частинним випадком невизначеного, однією з первісних. В "Інтегральному численні" Ейлер дає різні прийоми обчислення не тільки невизначених, але і визначених інтегралів, застосовуючи і розвиваючи такі нові методи, як, наприклад, інтегрування за параметром, використання різних підстановок і ін. Він відкрив ряд нових найважливіших інтегралів, розробив метод наближеного обчислення визначених інтегралів.

Л. Ейлер

Значних результатів у галузі математичного аналізу досяг видатний математик XVIII ст. Ж. Лагранж. Важливим внеском в загальну теорію стало його узагальнення на функції багатьох змінних ряду Тейлора, яке було подано в роботі “Про новий рід числення” (1772 p.).

Ж. Лагранж

О. Коші виступив як новатор в аналізі і, переглянувши основи диференціального і інтегрального числення, побудував свій курс аналізу на більш строгих логічних засадах. Його роботи з математичного аналізу ґрунтуються на систематичному використанні поняття границі, похідної, неперервної функції та їх основних властивостей.

У своїх лекціях математичного аналізу, що були прочитані в Паризькій Політехнічній школі, а потім викладені у книгах “Курс аналізу” (1821), “Резюме лекцій із числення нескінченно малих” (1823), “Лекції із застосувань аналізу до геометрії” (1826-1828), О. Коші побудував увесь математичний аналіз на основі поняття границі.

Сучасне означення границі сформулював К. Вейєрштрасс. Він повністю арифметизував означення границі і неперервності. Міра близькості аргументів і значень функції у нього виражалася нерівностями, що містили спеціальну символіку " - б".

У галузі математичного аналізу слід відзначити ще й такі результати вченого: систематичне використання верхньої і нижньої меж числових множин, учення про граничні точки; строге обґрунтування властивостей неперервних функцій; побудова прикладу неперервної функції, яка ніде не має похідної; доведення теореми про можливість розкладання будь-якої неперервної на відрізку функції у рівномірно збіжний ряд многочленів тощо.

М. Остроградському належать найваж-ливіші результати в галузі інтеграль-ного числення функції багатьох змінних: формула, що зводить обчисленя потрій-ного (і взагалі n-кратного) інтегралу до обчислення подвійного ((n-1)-кратного) інтегралу, загальний прийом інтегруван-ня раціональних функцій, формула перетворення змінних в багатомірних інтегралах та ін.

uu

uzyxfuzyxf

,,,,

RdydxQdzdxPdydzvzR

yQ

xP

sv

правило Остроградського

формула Остроградського

М. Остроградський