ÖNGÖRÜMLEME (Forecasting)

ÖNGÖRÜMLEME(Forecasting)

ÖNGÖRÜMLEME

• Tek denklemli regresyon modeli ile öngörümleme– Öngörümleme nedir?– Öngörümleme tarihi gelişimi– Öngörümleme biçimleri nelerdir?– Koşulsuz Öngörümleme– Sıra korelasyonlu hatalarla öngörümleme– Koşullu öngörümleme– Öngörümleme yöntemine bağlı hatalar– Modelin değerlendirilmesi– Yapılan öngörünün anlamlılık testi

• Çok değişkenli model ile öngörümleme• Uygulama

Öngörümleme nedir…?

• Öngörümleme; geleceğe ait olayların (veya

faaliyetlerin) olasılıkları hakkında geçmiş ve cari

bilgiye dayanan bir nicel (kantitatif) tahmin

setidir.

• Bir tahmin; şu andaki ve geçmişteki bilgilere

dayanarak gelecekteki olayların olma olasılığı

hakkında yapılan nicel bir değerlendirmedir.

…Öngörümleme nedir…?

•İstatistikte “tahmin”, “kestirim” ve “öngörü” kavramları

birbirlerine yakın anlamlar içermesine rağmen bu üç

terim birbirlerinden tamamen farklı anlamlar ifade

etmektedir.

•Tahmin bir kitlenin parametresi hakkında elde edilen

istatistiğin aldığı değerdir.

•Kestirim bir rasgele değişkenin seçtiğimiz modele

göre parametrelerinin yerine konulması ile elde edilen

(rasgele değişkenin almasını beklediğimiz) değerdir.


• Öngörü, rasgele bir değişkenin gelecekteki

değerlerinin kestirilmesidir.

• Geleceğe yönelik strateji, planlar ve hedefler yapılan

öngörülerle belirlenir. Öngörüler nicel tekniklerle

olabileceği gibi nitel tekniklerle de yapılabilmektedir.

• Nicel öngörüler; ekonometri ve öngörü bilgisi, nitel

öngörüler ise; öngörü yapacak bireyin alan üzerinde

çok bilgili ve uzman olmasını gerektirir.


•Tek denklemli regresyon modellerinin kurulmasındaki

başlıca amaç tahminleme yapmaktır.

•Bir tahmin; şu andaki ve geçmişteki bilgilere

dayanarak gelecekteki olayların olma olasılığı hakkında

yapılan nicel bir değerlendirmedir. Bu bilgi tek

denklemli, eşanlı yada zaman serisi modelleri gibi

modellerle somutlaştırılır.


•Daha önceki dönemlere ait bilgilerden yararlanarak

hesapladığımız modellerden anlamlar çıkararak,

gelecek olaylar hakkında öngörümlemede

bulunulur.

•Öngörümlemeler sıklıkla kamu düzeni ve özel

politikalar için yol gösterici olarak kullanılır.

•Bir modelin oluşturulmasında ana hatları

belirlemeleri bakımından da yararlıdır.

…Öngörümleme nedir?Ekonometrik modellere göre geleceğin tahmini bir çok

bakımdan önemlidir :

Ekonometrik modellerin parametrelerinin

hesaplanmasında isabetli bir yol izlenip izlenmediğini

belirlemek için tahminden yararlanılmaktadır. İktisat

politikasının yapımında geleceğe ait tahminler büyük rol

oynar. Geleceğin ekonometrik modeller çerçevesinde

tahmini, ekonometri disiplininin kendi kendini düzeltmesi,

modelin geliştirilebilmesi için yararlıdır, zorunludur.

Öngörümlemenin tarihi gelişimi

•Pek çok öngörümleme tekniği aslında 19. yy’ dan bu

yana sağlanan gelişmelerle elde edilmiştir.

•Bilgisayarlardaki gelişmeler, buna paralel olarak

yazılımlardaki çeşitlilik daha uygun öngörümleme

tekniklerinin geliştirilmesini sağlamış bu da

öngörümlemeye verilen önemin daha da artmasına

neden olmuştur.

Öngörümleme biçimleri nelerdir…?

• Ekonomik tahmin iki biçimde sınıflandırılabilir :

1. Nedensel Öngörü/ Ekonometrik Modeller

2. Zaman Serisi Modelleri

…Öngörümleme biçimleri nelerdir…? Nedensel Öngörü / Ekonometrik Modeller

Ekonometrik modele ait parametre tahminlerinin elde

edilmesi ile birlikte model, bağımsız değişkenlerin verilen

değerlerine bağlı olarak bağımlı değişken hakkında

öngörülerde bulunmak için kullanılabilir. Zaman Serisi Modelleri

Zaman serileri zaman trendi, mevsimlik etken, devresel

hareket ve hata teriminden oluşmuştur.

Zaman serilerini bu elemanlarına ayırmada ve böylece serinin

davranışını öngörmede kullanılabilecek çok sayıda yöntem

bulunmaktadır. Bu yöntemler temel olarak geçmişin geleceğe

rehber olacağını varsaymaktadır. En bilinen yöntem Box-

Jenkins analizidir.

…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?

• Geleceğin tahmini çoğunlukla zaman serilerine yapılan tahminler olarak kabul edilir ve öyle anlaşılır.

• Ancak kesit verilerine dayalı modellerle de tahmin yapılabileceği unutulmamalıdır. Buna göre tahmin kavramının tanımını verecek olursak:


•Tahmin, diğer değişkenlerin değerleri, değişme

biçimleri ve değişme biçimleri hakkındaki bilgilere

dayanarak bazı değişkenlerin değerleri hakkında

sayısal bilgi bulabilmektir.


Ex-ante ve Ex-post Öngörümleme:

• Ex-post öngörümleme

İçsel değişkenlerle dışsal açıklayıcı değişkenlerin

her ikisine ait gözlemler, öngörümleme süresince

kesinlik gösterir. Ex-post öngörümleme mevcut

verilerle kontrol edilebilir ve öngörümleme

modelinin değerlendirilmesi için bize yol

gösterir.

Ex-ante öngörümleme

Tahminleme sürecinin dışında bağımlı

değişkene ait değerler kesin olarak bilinen ya da

bilinmeyen açıklayıcı değişkenler kullanılarak

tahmini hesaplanır.



…Öngörümleme biçimleri nelerdir?

• Nokta ve Aralık Öngörümlemesi

Nokta öngörümlemesi

Her bir tahmin dönemi için tek bir sayı şeklinde

hesaplanırken

Aralık öngörümlemesi bir aralık gösterir ve

verilerin aralık boyunca uzanacağı düşünülür.

…Öngörümleme biçimleri nelerdir…?Koşullu ve Koşulsuz Öngörümleme

• Koşulsuz öngörümleme

Öngörümleme yapılan eşitlikteki tüm açıklayıcı

değişkenlerin değerleri kesin olarak

bilinmektedir.

• Koşullu öngörümleme

Öngörümleme yapılan eşitlikteki bir yada daha

fazla açıklayıcı değişkenin değeri

bilinmemektedir.

Her hangi bir ex-post (gerçekleşen) öngörümleme

her zaman koşulsuz bir öngörümlemedir.

Fakat aynı zamanda ex-ante (tasarlanan)

öngörümleme de koşulsuz öngörümleme

olabilmektedir.

…Öngörümleme biçimleri nelerdir?

Koşulsuz Öngörümleme…

• Bir regresyon modeline göre koşulsuz

öngörümleme yapabilmek için; öngörümleme

dönemindeki (expost) açıklayıcı değişkenlerin

kesin ve tam bir şekilde biliniyor olması

gerekmektedir.

• Bu amaçla zaman gecikmeleri ile ortaya çıkan

açıklayıcı değişkenler kullanılabilir. Böylece

bağımlı değişken için koşulsuz öngörümleme

oluşturulur.

• Öncelikle iki değişkenli basit regresyon modelini dikkate alarak koşulsuz öngörümlemeyi açıklarsak;

…Koşulsuz Öngörümleme…

2(0, )t N

t t tY X 1,2,...t T (1)

(2)

1TX değişkenin değeri bilinmektedir.

T+1 döneminde Y için en iyi öngörümleme nedir?

1 1T TY X

(3)

Varsayım: ve katsayıları bilinmektedir.

1TY ile ilgili uygun öngörümleme için;

1 1 1T T Te Y Y

(4)

Öngörümleme hatası

1TY öngörümlemesi sapmasızdır1.

1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0T T T T T T TE e E Y Y E X X E

(5)


1 1 1T T TY X olur ve aşağıdaki iki önemli özelliğe sahiptir:

t t tY X 1 :TX değişkenin değeri bilinmektedir.

2(0, )t N

Öngörümleme hata varyansı :2.

2 2 2 21 1( ) ( )f T TE e E

(6)

olası tüm öngörümlemeler arasında minimum varyanslıdır.

(0,1)N

Öngörümleme hatası normal dağılım gösterir :

Normalleştirilmiş hatanın hesaplanması yoluyla Y’nin

öngörümlenmiş değeri için anlamlılık testleri oluşturulur.

Bunun için:

Normalleştirilmiş hata :

1 1T TY Y

(7)

21 (0, )T fe N


1 10.05 0.05Prob 0.95T TY Y

Buna göre öngörümlemeye ilişkin %95 güven aralığı

(8)

1 0.05 1 1 0.05T T TY Y Y

(9)

0.05 normal dağılım tablosundan bulunur.



Şekil 2 : Model Parametrelerinin Bilindiği Durumda Öngörümleme

İki değişkenli bir regresyon modeli için %95 güven aralığı aşağıdadır:

…Koşulsuz Öngörümleme

• Güven aralıkları yoluyla regresyon modelinin güvenilirliği ile ilgili basit bir test yapılır.

’in gerçek değeri bilinirse, öncelikle

öngörümlenmiş değeri ile karşılaştırılabilir.

’in gerçek değeri %95 güven aralığının içinde

yer alıyorsa model tatmin edicidir.

Fakat aralığın dışına düşerse model iyi

oluşturulmamıştır.

1TY

1TY


•Model güvenilirliğinin ölçümünde sadece t,F ve R2

istatistiklerine bakılmaz.

•Tek denklemli bir regresyon modeli anlamlı t

istatistikleri ve yüksek bir R2 değerine sahip olabilir.

Buna karşılık çok zayıf bir öngörümlemeye de sahip

olabilir.

•Bu durum modelde açıklanamayan, öngörümleme

döneminde gerçekleşen yapısal bir değişimin sonucu

olabilir.


•Regresyon modelleri düşük belirlilik katsayısına

ve bir ya da daha fazla anlamsız regresyon

katsayısına sahip olsa bile öngörümlemeler iyi

olabilir. Bu durum genellikle bağımlı değişkende az

bir değişkenlik olduğunda meydana gelir.

…Koşulsuz Öngörümleme…•Genellikle regresyon modelinin parametreleri tahmin edilmiş değerlerdir. Aynı

zamanda hata varyansı değeri bilinmez ve tahmin edilir.

Şimdi bu durumu inceleyelim:

2

için iyi bir öngörümleme, basit iki aşamalı bir

yöntemle belirlenir :

1TY

1- Basit En Küçük Kareler Yöntemi kullanılarak

t t tY X ( 1,2,..., )t T (10)

modeli tahmin edilir.

1TX değeri yerine konduğunda


1 1T TY X

2 - bulunur.

1 1 1T T TY X

• Öngörümleme hatası (11-12)

1 1 1 1 1( ) ( )T T T T Te Y Y X

(13)

(11)

(12)

t t tY X iken (10)


Bu eşitlikte iki tane hata kaynağı söz konusudur:(1)Eklenen hata teriminin varlığı

(2)Tahminlenen regresyon parametrelerinin rassal

yapısıdır.

1( )T

Bunlardan birincisi Y değişkenindeki varyanstan

kaynaklanmakta, ikincisi ise tahminleme yöntemi

ve serbestlik derecesinin duyarlılığından

kaynaklanmaktadır.

1 1 1 1 1( ) ( )T T T T Te Y Y X

(13)

…Koşulsuz Öngörümleme…• Öngörümleme hatasının dağılımı :

Öngörümleme hatası normal dağılım gösterir. Çünkü (13) denkleminde de görüldüğü üzere

1ˆˆ , Tve

1 1 1 1 1( ) ( )T T T T Te Y Y X

(13)

Öngörümleme hatasının ortalaması 0 dır.Çünkü

1 1 1

0 0 0

ˆˆˆ ( ) ( ) ( ) 0t T TE e E E X E (14)

’in doğrusal bir fonksiyonudur

1t̂E e

22 2 22 21 1 1

1

ˆˆˆ

ˆˆ 2

f T T T

T

E e E E X E

E X

(15)

Ya da

2 2 21 1

ˆ ˆˆ ˆ( ) 2 ( , ) ( )f T TVar X Cov X Var (16)

sapmasız tahminci,

ˆˆ ve 1TX


1T̂e

bilinmektedir.

Öngörümleme varyansı aşağıdaki gibi belirlenir:

2 2 21 1


6 nolu bağlantıdan

1 1 1

0 0 0

ˆˆˆ ( ) ( ) ( ) 0t T TE e E E X E


22

2

2

2

2

2

ˆ( )

ˆ( )

ˆˆ( , )

t

t

t

t

XVar

T X X

VarX X

XCov

X X

değerlerinin varyanslarına bakılırsa :̂ ̂ve

(17)

Burada toplamlar 1’den T’ye kadar olan gözlemler içindir .

: ilk T gözlem için X’in örnek ortalamasıdır. X

Öngörümleme hatasının dağılımı (…Devam)


Bu varyans ve kovaryans eşitlikleri (16) eşitliğinde yerine

konulur ve terimler sadeleştirilirse :

Öngörümleme hatasının dağılımı (…Devam)

2 2 2

2 2 2 21 12 2 2

2tf T T

t t t

X XX X

T X X X X X X

(18)

2 2 21 1


2 2

2 2 1 12 2 22 1t T T

f

t t t

X XX X

T X X X X X X

bulunur. (19) nolu eşitlikte parantez içindeki ilk terim aşağıdaki

gibi gösterilebilir:

(19)

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

1

t t

t t

t

t

t

X X X T TX TX

T X X T X X

X X TX

T X X

X

T X X

(20)

(20) nolu ifade (19) nolu ifadede yerine konduğunda

sadeleştirildiğinde

22

2 2 1 12 2

211 T T

f

t t

XX XX

T X X X X

2 2

2 2 1 12

211 T T

f

t

X XX X

T X X

(21)

_2 2 2

1 1 12 ( )T T TX XX X X X (22)

2 2

2 2 1 12 2 22 1t T T

f

t t t

X XX X

T X X X X X X

(19)

idi.

Böylece öngörümleme hatasının varyansı;

_2

2 2 1_

2

( )11

( )

Tf

t

X X

T X X


(22)

Diğer değerler sabitken; örneklem hacmi ne kadar büyük ve

X ’in varyansı da ne kadar büyük olursa öngörümleme

hatasının varyansı o kadar küçük olur.

,X’in örneklem ortalamasına eşit olarak gerçekleşirse;

(22) eşitliğindeki son terim sıfır olacağından öngörümleme

hatasının en küçük değeri bulunmuş olur.

1TX

Normalleştirilmiş hata :

1 1ˆ

(0,1)T T

f

Y YN

(23)

2

2 21( )

2 t ts Y YT

(24)

değeri genellikle bilinmez.

2

2 ,s 2

Ancak değeri genellikle bilinmediği için pratikte

değerinin tutarlı ve sapmasız bir tahmincisi olarak kullanılır:


Bu eşitlik t dağılımının kullanılmasıyla güven

aralıklarının hesaplanmasına olanak

sağlamaktadır. Tahmin edilmiş öngörümleme

hatası varyansı ise aşağıdaki şekilde

hesaplanacaktır :

2

12 22

11 T

f

t

X Xs s

T X X

(25)



• Normalleştirilmiş hatanın ise;

1 1T̂ T

f

Y Y

s

olduğu bilinmektedir. Bu eşitlik, T-2 serbestlik derecesine

sahip t dağılımı gösterecektir.

’in %95 güven aralığı şu şekilde bulunur:1T̂Y

1 .05 1 1 .05ˆ ˆT f T T fY t s Y Y t s (26)


%95 güven aralığı örneği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir

%95 güven sınırları

Tahmin aralığı

XT+1

Xt

X

Şekil 3: Öngörümleme Güven Aralıkları

Yt


• Bu özellikler çoklu regresyon modelinde de

uygulanır.

• Güven aralıkları yine aynı şekilde hesaplanır.

Ancak iki veya daha fazla değişkenin var

olmasından dolayı öngörümleme hatası

dağılımının ve güven aralıklarının cebirsel

türevleri daha karmaşık olacaktır.

Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…

Zaman serisi modellerinde hatalar arasında

otokorelasyon olduğunda; en iyi öngörümlemenin

ve dağılımının belirlenmesi oldukça zorlaşır.

Hatalar birinci dereceden otokorelasyonlu olsun:

1

2

1

(0, )

1, ,

t t t

t t t

t v

Y X

N

t T

(27)

Hatalar ‘0’ ortalamalı ve zaman boyunca birbirinden bağımsızdır.

Otokorelasyonlu durumda T+1 dönemindeki hata

tahmini önceki öngörümleme döneminden etkilenerek

değişikliğe uğrayacaktır.

Bu sorunu daha iyi tahmin etmek için regresyon

parametreleri olan , ve değerlerinin bilindiğini

varsayalım:

1TY tahmini değeri şu şekilde hesaplanacaktır :


1 1 1ˆ ˆT T TY X (28)

…Hataların otokorelasyonlu olduğu durumda öngörümleme…

Koşulsuz öngörümlemede olduğu gibi 1ˆ 0T alınmaz.

1T̂ bir önceki hata teriminden hesaplanır. Çünkü;

1T T t

1ˆ ˆT T

2(0, )t vN

E(vt=0)

Çünkü 0 ortalamalıdır ve zaman boyunca ilişkisidir.

ve bilindiğinden dolayı da hiçbir tahminleme

yapılmaz.

(28) eşitliği şu şekilde yazılır:

1 1ˆ ˆT T TY X (30)

1ˆ ˆT T


1 1 1ˆ ˆT T TY X

(28)

ise

Model, Genelleştirilmiş fark denklemi biçimde yazılır.

* *

2

(1 )

(0, )

t t t

t

Y X

N

değerinin tahmini benzer şekilde elde edilir:

(32)

* *1 1t t t t t tY Y Y ve X X X

Öngörümleme aşağıdaki şekilde bulunur:

1TY

* *1 1(1 )T TY X


* *1 1 1 1

ˆT T T T T TY Y Y ve X X X (35)

1T̂Y

*1 1

*1

1

1

ˆ

(1 )

(1 )

(1 )

T T T

T T

T T T

T T T

Y Y Y

X Y

X X Y

X Y X

(36)

(35) nolu ilk ifade de i çekersek

* *1 1(1 )T TY X idi.


Aşağıdaki ifadede yerine eşitini, daha sonra da yerine eşitini koyalım.

1

*

TY

1

*

TX

1 1

1

1

1

1

ˆ (1 )

36 nolu denklemdeki yerine eşiti yazıldığında

(1 )

(1 ) ( )

)

T T T T

T

T T T T

T T

T T

T T

Y X Y X

Y

X X X

açıldığında

X

X

X

(37)


(36)

Bu eşitlik ise (30)’da ki eşitliğin aynısıdır.

ve değerleri biliniyorsa; öngörümleme hatası şu şekilde bulunur:

1 1 1 1 1 1

1

ˆT̂ T T T T T T

T T

e Y Y X X

(38)

Öngörümleme hatası 0 ortalamalı normal dağılım gösterir.


1T T t idi.

Varyansı ise :

22 2 2 21 1 1

2 2 2 21

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

1 2

2 1

(1 )

f T T T T T T

T T T

E E E E

E E E

(39)


2 2 21T T

burada

E E

otokorelasyonu dikkate almadan bu durum oluşturulursa,

değerinin etkisinden ötürü öngörümleme hatası

daha küçük olur.

2(1 )

Uygulamada ve değerleri genellikle bilinmemektedir.

Ancak herhangi bir tahminleme yöntemi kullanılarak

hesaplanabilmektedir.


Öngörümlemeyi göstermek için sadece genelleştirilmiş fark denklemi kullanılır.

1T̂Y şu şekilde hesaplanır:

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1T T T TY Y X X (40)

Örneklem hacmi arttığında öngörümleme hatası da sıfıra yaklaşır.


ve ile değerleri hesaplanmış olduğunda,

öngörümleme hatasının varyansını açık bir ifade ile

belirlemek zordur.


Documents

ÖNGÖRÜMLEME (Forecasting)