ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ...users.sch.gr/halatzian/autosch/joomla15/images/docs/...2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 Σελίδα 1

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

• Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο

ευθύγραμμο τμήμα , δηλαδή ένα

ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα

θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο

άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο τέλος

ή αλλιώς πέρας. Το διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και πέρας το σημείο Β

συμβολίζεται ΑΒ��

.

• Όταν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν (ταυτίζονται)

τότε το διάνυσμα λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται 0�

.

• Μέτρο ή μήκος του διανύσματος ΑΒ��

λέγεται η απόσταση των άκρων

του, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Το μέτρο του

διανύσματος ΑΒ��

συμβολίζεται ΑΒ��

.

Ειδικά όταν είναι 1ΑΒ =��

τότε το ΑΒ��

λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα.

• Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος λέγεται η ευθεία πάνω στην

οποία βρίσκεται το διάνυσμα. ( για ένα μηδενικό διάνυσμα ΑΑ��

ως φορέα

μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το Α)

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα ,ΑΒ Γ∆��

λέγονται παράλληλά ή αλλιώς

συγγραμμικά όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση.

Συμβολίζονται / /ΑΒ Γ∆��

•



•

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα όταν έχουν την ίδια

κατεύθυνση (φορά και διεύθυνση) και ίσα μέτρα.

Δηλαδή και

ΑΒ↑↑ Γ∆ΑΒ = Γ∆⇔

ΑΒ = Γ∆

��

��

��

Ειδικά όταν ΑΒ = Γ∆��

και τα

διανύσματα βρίσκονται σε

παράλληλους φορείς , τότε το

τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι

παραλληλόγραμμο!

• Αν είναι Μ το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τότε ΑΜ =ΜΒ��

• Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται

αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση

και ίσα μέτρα.

Αν τα διανύσματα ,ΑΒ Γ∆��

είναι αντίθετα

τότε γράφουμε ήΑΒ = − Γ∆ Γ∆= − ΑΒ��

• ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ



Όταν είναι �( ), 0 ,α β και θ α β≠ =

�� τότε ισχύουν τα παρακάτω:

� 0α β θ↑↑ ⇔ =��

� (180 )οα β θ π↑↓ ⇔ =��

� (90 )2

οπα β θ⊥ ⇔ =��

, τότε τα διανύσματα λέγονται ορθογώνια

� Γενικά η γωνία θ δύο διανυσμάτων μπορεί να πάρει τιμές 0 θ π≤ ≤

• ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

� Με τον κανόνα των διαδοχικών διανυσμάτων:

� Με τον κανόνα του παραλληλογράμμου:



• ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Η διαφορά του διανύσματοςβ��

από το διάνυσμα α��

ορίζεται ως το άθροισμα

των διανυσμάτων α��

και β−��

. Δηλαδή είναι ( )α β α β− = + −��

• Διάνυσμα θέσης ή διανυσματική ακτίνα

Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη

διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη

διανυσματική ακτίνα της αρχής.

Έστω Ο σημείο αναφοράς , τότε για ένα διάνυσμα ΑΒ��

ισχύει : ΑΒ =ΟΒ−ΟΑ��

• Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων

Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα ,α β��

ισχύει:

α β α β α β− ≤ + ≤ +��

(τριγωνική ανισότητα)

Ειδικές περιπτώσεις:

� 0 0ή ήα β α β α β α β+ = + ⇔ ↑↑ = =��

� 0 0ή ήα β α β α β α β+ = − ⇔ ↑↓ = =��



• Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.

• Ιδιότητες πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα

1. ( )λ α β λ α λ β⋅ + = ⋅ + ⋅��

2. ( )λ µ α λ α µ β+ ⋅ = ⋅ + ⋅��

3. ( ) ( )λ µ α λ µ α⋅ ⋅ = ⋅ ⋅��

Ισχύει η ισοδυναμία: 0 0 0ήλ α λ α⋅ = ⇔ = =��

� Αν λ α λ β⋅ = ⋅��

τότε

� Αν λ α µ α⋅ = ⋅��

τότε

• Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων.

Για δύο διανύσματα , 0α β µε β ≠��

ισχύει η ισοδυναμία

/ / ,α β α λ β λ⇔ = ⋅ ∈��

ℝ

� , 0α β α λ β λ↑↑ ⇔ = ⋅ ≥��

� , 0α β α λ β λ↑↓ ⇔ = ⋅ ≤��



• Διανυσματική ακτίνα του μέσου.

Αν είναι Μ το μέσον του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς τότε

( )1

2ΟΜ = ⋅ ΟΑ+ΟΒ��

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ 1Η Πως αποδεικνύουμε μια διανυσματική ισότητα.

Για να δείξουμε μια διανυσματική ισότητα συνήθως θεωρούμε ένα σημείο

ως σημείο αναφοράς και εκφράζουμε όλα τα διανύσματα της ισότητας με αρχή

το σημείο αυτό . Εφαρμόζουμε δηλαδή την πρόταση: κάθε διάνυσμα στο χώρο

ισούται με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική

ακτίνα της αρχής. ( ΑΒ =ΟΒ−ΟΑ��

)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Για οποιαδήποτε σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε να αποδειχθεί ότι ΑΒ−Γ∆ = ΕΒ −Ε∆ + ΑΓ��

ΜΕΘΟΔΟΣ 2Η Πως δείχνουμε ότι δύο σημεία ταυτίζονται

Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α , Β ταυτίζονται ( Α≡Β ) αρκεί να

δείξουμε ότι σχηματίζουν μηδενικό διάνυσμα. Δηλαδή 0ΑΒ =��




Αν ισχύει ∆Ε + ΓΚ = ΓΕ − Α∆ + ΒΚ��

, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α και Β

ταυτίζονται.

ΜΕΘΟΔΟΣ 3Η Πως δείχνουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο.

Για να δείξουμε ότι τέσσερα σημεία μη

συνευθειακά ανά τρία , σχηματίζουν

παραλληλόγραμμο αρκεί να δείξουμε ότι έχει

δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.

Άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει

ΑΒ = Γ∆� ή ισοδύναμα ΑΒ=∆Γ��


Έστω Α,Β,Γ,Δ σημεία μη συνευθειακά ανά τρία για τα οποία ισχύει

ΑΕ − ∆Ζ = ΖΒ−ΕΒ− ΓΒ��

, όπου Ε,Ζ δύο τυχαία σημεία του επιπέδου. Να

αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.



ΜΕΘΟΔΟΣ 4Η Πως προσδιορίζουμε τη θέση ενός σημείου.

Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου πχ Μ που ικανοποιεί μια

διανυσματική ισότητα , τότε με κατάλληλους μετασχηματισμούς προσπαθούμε

να φτάσουμε σε μια νέα σχέση από την οποία να προσδιορίζεται η θέση του Μ.

Αν φτάσουμε στη σχέση 0 ότ τεΑΜ = Μ ≡ Α��

Αν φτάσουμε στη σχέση ότ τεΑΜ = ΑΒ Μ ≡ Β��

Αν φτάσουμε στη σχέση .ό έτ τε µ σον τουΑΜ =ΜΒ Μ ΑΒ��

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Αν ισχύει ΑΒ = ΜΒ+ΜΓ −ΒΓ��

να

προσδιοριστεί η θέση του σημείου Μ.

ΜΕΘΟΔΟΣ 5Η Πως δείχνουμε ότι δύο διανύσματα είναι ομόρροπα ή αντίρροπα.

Κριτήριο για ομόρροπα: α β α β α β↑↑ ⇔ + = +��

Κριτήριο για αντίρροπα: α β α β α β↑↓ ⇔ + = −��


Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα , ,α β γ��

για τα οποία ισχύουν:

07 4 3

α β γα β γ και+ + = = =

��

. Να αποδειχθεί ότι ,α β γ β↑↓ ↑↑��



ΜΕΘΟΔΟΣ 6Η Πως δείχνουμε ότι ένα διάνυσμα είναι ΣΤΑΘΕΡΟ.

Έστω διάνυσμα v�

το οποίο είναι γραμμένο ως γραμμικός συνδυασμός

άλλων διανυσμάτων των οποίων ένα ή περισσότερα άκρα τους είναι μεταβλητά

σημεία . Για να δείξουμε ότι το διάνυσμα v�

είναι σταθερό αρκεί με

κατάλληλους μετασχηματισμούς να γράψουμε το v�

ως πράξη διανυσμάτων με

άκρα σταθερά σημεία . (συνήθως θεωρούμε σημείο αναφοράς κάποιο από τα

σταθερά σημεία)


Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Για οποιοδήποτε σημείο Μ να αποδειχθεί ότι το

διάνυσμα 4 7 3u = ⋅ΜΑ− ⋅ΜΒ− ⋅ΓΜ� ��

είναι σταθερό.

ΜΕΘΟΔΟΣ 7Η Πως δείχνουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά.

Για να δείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε

ότι δύο από τα διανύσματα , ,ΑΒ ΑΓ ΒΓ��

είναι παράλληλα μέσω της συθήκης

παραλληλίας διανυσμάτων. (παράλληλα με κοινό σημείο άρα οι φορείς

ταυτίζονται άρα τα σημεία είναι συνευθειακά)


Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ,Κ,Λ για τα οποία ισχύει

5 9 4 3 4ΑΚ − ΒΚ −ΓΛ = ΛΒ+ ΑΛ− ΓΚ��

Να δειχθεί ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά. ΑΠΟΔΕΙΞΗ



ΜΕΘΟΔΟΣ 8Η Πως δείχνουμε διανυσματικές ισότητες που περιέχουν ένα

ή περισσότερα μέσα τμημάτων.

Κάνουμε χρήση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου.

Αν είναι Μ το μέσον του τμήματος ΒΓ τότε:

( )1

2ΑΜ = ΑΒ+ΑΓ��

ή αλλιώς

2 ⋅ΑΜ = ΑΒ+ΑΓ��


Αν είναι Κ,Λ,Μ,Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ,ΓΔ ΔΑ τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, και

Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου , να δειχθεί ότι :

ΡΚ +ΡΛ+ΡΜ+ΡΝ = ΡΑ+ΡΒ+ΡΓ+Ρ∆��

ΑΠΟΔΕΙΞΗ



ΜΕΘΟΔΟΣ 9Η Επίλυση εξίσωσης

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν τα σημεία Α , Β είναι διαφορετικά να βρεθεί ο

πραγματικός αριθμός x για τον οποίο ισχύει 3 3x x⋅Α∆− ⋅ΑΓ = ⋅Β∆− ⋅ΒΓ��

ΜΕΘΟΔΟΣ 10Η Γραμμικός συνδυασμός


Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ τέτοιο ώστε 3 0ΒΜ+ ⋅ΓΜ =��

Α) Να γραφεί το διάνυσμα ΑΜ��

ως γραμμικός συνδυασμός των

διανυσμάτων ,ΑΒ ΑΓ��

Β) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε:

8 6 α β⋅ΑΜ − ⋅ΑΒ = ⋅ΒΓ − ⋅ΑΓ��

ΛΥΣΗ



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1Η

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Ε το μέσο της ΑΓ. Θεωρούμε επίσης τα σημεία Δ και Ζ

τέτοια ώστε: 2∆Β = Α∆ ΓΖ = ΒΓ��

και

Α) Να δειχθεί ότι 1

3Α∆ = ΑΒ��

Β) Να γραφεί το διάνυσμα ∆Ε��

ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων

ΑΒ και ΑΓ��

Γ) Να δειχθεί ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά.

ΑΣΚΗΣΗ 2Η

Έστω α , β , γ� � �

τα διανύσματα θέσης των σημείων Α , Β , Γ αντίστοιχα ως προς

ένα σημείο Ο. Έστω επίσης τα σημεία Κ , Λ , Μ για τα οποία ισχύουν

5 83 , ,

2 3ΑΒ = ΒΚ ΛΓ = ΛΒ ΑΜ = ΑΓ��

Α) Να γραφούν τα διανύσματα , ,ΟΚ ΟΛ ΟΜ��

ως γραμμικός συνδυασμός των

διανυσμάτων α , β , γ� � �

.

Β) Να δειχθεί ότι τα σημεία Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά.

ΑΣΚΗΣΗ 3Η

Στο διπλανό σχήμα είναι Ο∆=α , ΟΓ=β��

και ΟΑ= Ο∆3��

. Αν είναι Γ το μέσον της ΟΒ

τότε: Α) Να γραφούν τα διανύσματα

, ,∆Β ΑΓ ∆Γ��

ως γραμμικός συνδυασμός

των διανυσμάτων α , β� �

.

Β) Αν ,∆Μ = ⋅∆Β ΓΜ = ⋅ΓΑ��

µ λ , να

βρεθούν οι αριθμοί μ και λ.

ΑΣΚΗΣΗ 4Η

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Κ , Λ τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα.

Α) Να δειχθεί ότι ( )1

2ΚΛ = ⋅ Α∆ +ΒΓ��

Β) Να δειχθεί ότι 0ΛΑ+ΛΒ+ΚΓ+Κ∆ =��



ΑΣΚΗΣΗ 5Η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε

2 4, ,

3 5Α∆ = ΑΒ ΑΖ = ΑΓ ΓΕ = ΒΓ��

Α) Να γραφούν τα διανύσματα και∆Ε ∆Ζ��

ως γραμμικός συνδυασμός

των διανυσμάτων καιΑΒ ΑΓ��

Β) Να δειχθεί ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ

Α/Α ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1 Αν ισχύει όλ α λ β τ τε α β⋅ = ⋅ =

��

2 Ισχύει : ΚΛ = ΟΚ −ΟΛ��

3 Αν ισχύει όλ α µ α τ τε λ µ⋅ = ⋅ =��

4 Ισχύει ότι ΑΒ = ΟΑ+ΒΟ��

5 Τα αντίρροπα διανύσματα έχουν αντίθετη διεύθυνση.

6 Όταν δύο διανύσματα είναι αντίθετα έχουν ίσα

μέτρα.

7 Αν είναι :

7 , 5 , 12 όα β α β τ τε α β+ = = = ↑↓��

τότε τα διανύσματα α και β��

είναι αντίρροπα.

8 Αν ισχύει

2

3ΑΒ = ΒΓ��

τότε τα σημείο Α βρίσκεται

μεταξύ των σημείων Β και Γ.

9 Ισχύει ότι: α β α β α β+ = + ⇔ ↑↑��

10 Αν είναι 0ΑΒ =��

τότε τα σημεία Α και Β

αναγκαστικά συμπίπτουν.

11 Το διάνυσμα

1α

α⋅��

�� είναι μοναδιαίο. ( )0α ≠��

12 Ο φορέας του διανύσματος

1 1γ α β

α β= ⋅ + ⋅� ��

διχοτομεί τη γωνία των φορέων των

διανυσμάτων α και β��

. ( )0 0α και β≠ ≠��

13 Αν για τα διανύσματα α και β��

ισχύει α α β= ⋅��

τότε αναγκαστικά είναι 0α =��

.

14 Ο φορέας του διανύσματος γ β α α β= ⋅ + ⋅� ��

διχοτομεί τη γωνία των φορέων των

διανυσμάτων α και β��

.



ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ – ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

• ( ),u x i y j x y= ⋅ + ⋅ =� � �

• 2 2u x y= +�

• , 0u

yx

xλ = ≠�

• Συντεταγμένες διανύσματος με

γνωστά άκρα:

2 1 2 1( , )AB x x y y= − −��

• Συντελεστής διεύθυνσης

διανύσματος – ευθύγραμμου

τμήματος 2 11 2

2 1

,y y

x xx x

λΑΒ

−= ≠

−��

Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για διανύσματα παράλληλα στον

άξονα y΄y.

Αν / / 0x΄x όα

α τ τε λ =��

• Μέτρο διανύσματος - μήκος ευθύγραμμου τμήματος

( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1AB AB x x y y= = − + −��

• Συντεταγμένες μέσου τμήματος με

γνωστά άκρα

1 2 1 2,2 2

x x y yx y

+ += =

ΑΠΟΔΕΙΞΗ



• Παραλληλία διανυσμάτων ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x yα β= =��

( )/ / det , 0α β α β⇔ =��

ΠΡΟΤΑΣΗ Αν ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x yα β= =��

δύο διανύσματα με συντελεστές

διεύθυνσης 1 2,λ λ τότε ισχύει : 1 2/ /α β λ λ⇔ =��

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

( ) 1 11 2 1 2

2 2

/ / det , 0 0 0x y

x y y xx y

α β α β⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ − ⋅ =��

1 2 01

1 2 1 2

x x xx y y x

÷ ⋅ ≠

⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ 2

1

y

x

⋅ 1 2

2

y x

x

⋅=

⋅ 1 2x x⋅ 1 2λ λ⇔ =

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1Η




Αν ( ) ( ) ( )2,1 , 1, 4 , 6, 7Α − Β Γ − τρεις κορυφές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ να

βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ.

ΛΥΣΗ


Αν είναι ( ) ( ) ( )3, 1 , 5, 3 , 0, 2∆ − Ε − Ζ − τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ και ΒΓ

αντίστοιχα , τριγώνου ΑΒΓ , να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α ,Β,Γ.

ΛΥΣΗ

• Δ μέσο του ΑΒ άρα 2

2

x xx

y yy

Α Β∆

Α Β∆

+ = ⇔

+ = ⇔

• Ε μέσο του ΑΓ άρα 2

2

x xx

y yy

Α ΓΕ

Α ΓΕ

+ = ⇔

+ = ⇔

• Ζ μέσο του ΒΓ άρα 2

2

x xx

y yy

Β ΓΖ

Β ΓΖ

+ = ⇔

+ = ⇔




Να γραφεί το διάνυσμα ( )3,2α =��

ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων

( ) ( )1,4 3, 5β και γ= − = −��

ΛΥΣΗ

Αρκεί να βρεθούν κατάλληλοι αριθμοί κ και λ τέτοιοι ώστε : α κ β λ γ= ⋅ + ⋅��


Δίνονται τα σημεία ( ) ( ) ( )0, 1 , 2,3 , 1, 4 7 ,k k kΑ − Β Γ − − ∈ℝ

Να βρεθεί για ποια τιμή του k τα σημεία είναι συνευθειακά.

ΛΥΣΗ

( ),B A B Ax x y yΑΒ = − − =��

( ),A Ax x y yΓ ΓΑΓ = − − =��

Αφού θέλουμε Α,Β,Γ συνευθειακά αρκεί




Δίνονται τα σημεία ( ) ( )7,5 , 1, 3Α − Β − − .

Α) Να βρεθούν τα σημεία του άξονα x΄x που απέχουν απόσταση 5 μονάδων

από το Β .

Β) Να βρεθεί το σημείο του άξονα x΄x που ισαπέχει από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

Α) Έστω ( ),0xΜ το ζητούμενο σημείο.

Πρέπει ( ) ( ) ( )2 25 5x x y yΜ Β Μ ΒΒΜ = ⇔ − + − =



ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ:

ΠΡΟΣΟΧΗ: Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι:

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ

• α β β α⋅ = ⋅��

(αντιμεταθετική ιδιότητα)

• 0α β α β⊥ ⇔ ⋅ =��

• ( ) ( ), ........ , .......α β α β συν α β α β↑↑ ⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ =��

ɵ ɵ

• ( ) ( ), ........ , .......α β α β συν α β α β↑↓ ⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ =��

ɵ ɵ

• 2

2α α=��

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Αν είναι ( ) ( )1 1 2 2, y , , yx xα β= =��

τότε : 1 2 1 2y yx xα β⋅ = ⋅ + ⋅��

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

• ( ) ( ) ( ) ,α λ β λ α β λ α β λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∈��

ℝ

• ( )α β γ α β α γ⋅ + = ⋅ + ⋅��

(επιμεριστική ιδιότητα)

• 1 , , / /a aα β

β λ λ β⊥ ⇔ ⋅ = −��

� �� y΄y

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ 3ΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

1) α β α β⋅ ≤ ⋅��

(πότε ισχύει η ισότητα;)

2) ( )2 2 2α β α β⋅ ≤ ⋅��


3) ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅��




ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Έστω δύο διανύσματα , 0α β ≠��

τότε από τη σχέση ( ),α β α β συν α β⋅ = ⋅ ⋅��

ɵ

προκύπτει ( ),α β

συν α βα β

⋅=

⋅

�� ɵ ��

Αν είναι ( ) ( )1 1 2 2, y , , yx xα β= =��

τότε : ( ) 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

y y,

y y

x x

x xσυν α β

⋅ + ⋅=

+ ⋅ +

�� ɵ

ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

, vα = ΟΑ = ΟΜ��

1 vα

προβΟΜ = ��

��

Αποδεικνύεται ότι:

v vα

α α προβ⋅ = ⋅ ��

��

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )3,2 , 2,10α β= =��

Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος α��

πάνω στο διάνυσμα β��

(β

προβ α��

)

καθώς και η προβολή του διανύσματος β��

πάνω στο διάνυσμα α��

(α

προβ β��

)

ΛΥΣΗ



ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ


Δίνονται τα διανύσματα ,α β��

για τα οποία ( )4 , 3 , , 60οα β α β= = =��

ɵ

Α) να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο α β⋅��

Β) να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 2γ α β= −� ��

ΛΥΣΗ


Για δύο οποιαδήποτε διανύσματα ,α β��

να αποδειχθεί ότι ισχύει:

2 2 2 22 2α β α β α β+ + − = +

��

ΑΠΟΔΕΙΞΗ





για τα οποία ( ) 22 , 3 , ,

3α β συν α β= = =��

ɵ

Να βρεθεί η τιμή του k ώστε ( ) ( )8 4kα β α β⋅ − ⋅ ⊥ − ⋅��

Να βρεθεί το μέτρο του 4γ α β= − ⋅� ��

ΛΥΣΗ


Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )1, , 3, 4 ,k k kα β= − = − + ∈��

ℝ

Να βρεθεί η τιμή του k ώστε ( ) ( )13 3α β α β+ ⊥ ⋅ + ⋅��

ΛΥΣΗ

• α β+ =��

• 13 3α β⋅ + ⋅ =��

• ( ) ( )13 3α β α β+ ⊥ ⋅ + ⋅ ⇔��




Δίνονται τα διανύσματα , ,α β γ��

για τα οποία 2 , 3 , 5α β γ= = =��

και

2 0α β γ⋅ + − =� ��

. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο α β⋅��

.

ΛΥΣΗ

2 0 2α β γ γ α β⋅ + − = ⇔ = ⋅ +� ��



για τα οποία ( )3 , 2 , , 60οα β α β= = =��

ɵ

Α) να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο α β⋅��

Β) να βρεθεί το εσωτερικό γινόμενο α γ⋅��

Γ) να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος 2 3γ α β= − ⋅� ��

Δ) να βρεθεί η γωνία ( ),α γ�� ɵ

ΛΥΣΗ

Α) α β⋅��

=

Β) ( )2 3α γ α α β⋅ = ⋅ − ⋅ =��

Γ)

Δ) ( ),α γ

συν α γα γ

⋅= =

⋅

�� ɵ ��

Άρα ( ),α γ�� ɵ =




Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )3,1 , 2, 1α β= = −��

.Να βρεθεί η γωνία ( ),α β�� ɵ

ΛΥΣΗ

• 1 2 1 2x x y yα β⋅ = ⋅ + ⋅ =��

• 2 21 1x yα = + =

��

• 2 22 2x yβ = + =

��

• ( ),α β

συν α βα β

⋅= =

⋅

�� ɵ ��

Άρα ( ),α β�� ɵ =


Δίνονται τα διανύσματα ( ) ( )3,4 , 4,7α β= =��

Να αναλυθεί το διάνυσμα β��

σε δύο κάθετες συνιστώσες , μια από τις οποίες να

είναι παράλληλη στο διάνυσμα α��

.

ΛΥΣΗ

Έστω 1 2 1 2, / /β β β µε β α και β α= + ⊥��

Αφού είναι 1 / /β α��

άρα:

Αφού είναι 2β α⊥��

άρα:



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ (ΑΠΟ ΤΡΑΠΕΖΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ)

ΑΣΚΗΣΗ 1Η

ΑΣΚΗΣΗ 2Η

ΑΣΚΗΣΗ 3Η



ΑΣΚΗΣΗ 4Η

ΑΣΚΗΣΗ 5Η

ΑΣΚΗΣΗ 6Η



ΑΣΚΗΣΗ 7Η

ΑΣΚΗΣΗ 8Η

ΑΣΚΗΣΗ 9Η



ΑΣΚΗΣΗ 10Η

ΑΣΚΗΣΗ 11Η

ΑΣΚΗΣΗ 12Η



ΑΣΚΗΣΗ 13Η

ΑΣΚΗΣΗ 14Η

Documents

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ...users.sch.gr/halatzian/autosch/joomla15/images/docs/...2ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ