Г.М.БоЙко

СТЕРЕОМЕТРІЯ

Початкові відомості

9 клас

ББК 22.lя72

Б77

РецеюеlП1f:

доцент кафедри математики і методики викладання математики Тернопільського

національного педагогічного універснтету ім. В. Гнатюка

КозuраВ.м.

вчитель математики вищої категорії Української гімназії ім. І. Франка (м. Тернопіль)

ГаукМ.м.

Бойког.м.

Б77 Стереомегрія. Пoчan«>ві відомocri. 9 клас: Навчальний посібник.-Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2006. - 28 с.

ISBN 966-692-126-Х

у посібнику подано навчальний матеріал із теми «Початкові відомості зі

стереометрії», який відповідає чинній програмі з геометрії для 9 класу, але відсутній у підручнику (О.В. Поroрєлов. Геометрія. Підручник для 7-9 класів середньої шко­ли. Посібник містить також дидактичний матеріал для темarичноro оцінювання знань

з цієї теми.

Для учнів 9 класу, вчителів. ББК 22.lя72

Охороняється законом про авторське право.

Жодна частина даного видання не може бути використана чи відтворена

в будь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва.

© Бойко г.м., 2003 © Навчальна книга - Богдан,

ISBN 966-692-126-Х макет, художнє оформлення, 2006

3

§1. ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

1.1. Властивості прямої і площини

Геометрія складається з двох частин - nланіметрії і стереометрії. У поперед­

ніх класах ми вивчали, в основному, планіметрію (фігури на площині), тепер

перейдемо до вивчення стереометрії.

Стереометрія - це розділ геометри, в якому вивчаються фігури nросто­

ру. Це такі фігури, в яких не всі точки містяться в одній площині, наприклад, куб,

циліндр, піраміда, конус, куля (рис. І) .

С

... -.-- .... ...... ./

А •

Рис. 2

В •

Рис. 1

Основними фігурами простору є точ­

ка, пряма і площина. Відомо, що будь-які

дві точки простору визначають положен­

ня тільки однієї прямої (рис. 2), але вони _...:;.._~ .. A.::.... _______ -.F_ не визначають положення площини .

... ... ... / Через дві точки простору А і В можна ______ ...... / побудувати безліч площин (рис. 3), кожну

к / З яких зображають на рисунку у вигляді ___ • ____ J

Рис. 3

паралелограма. Позначають їх грецькими

буквами а., р, у тощо. Як і будь-яка геометрична фігура, площина є певною

множиною точок. Щоб визначити поло­

ження якоїсь однієї площини, треба крім прямої зафіксувати ще одну точку К (рис. 3). ці спостереження переконують нас у правильності наступних тверджень:

Провести площину й до того ж тільки одну можна (рис. 3):

а) через дві прямі (АВ і АС), які перетинаються;

б) через пряму і точку (АВ і К), яка не лежить на цій прямій;

в) через дві паралельні nрю.tі (АВ і МЕ);

г) через три точки (А, В і К), що не лежать на одній прямій.

Площина у стереометрії є найбільш поширеною фігурою. Поверхні багатьох пред­

метів, які нас оточують, мають форму частини площини, зокрема, підлога, стеля,

стіна, віконне скло тощо. Площина є ідеалізацією рівних поверхонь цих предметів.

4

10.

2.

З.

4.

5. 60.

7.

80.

Задачі

Чому мотоцикл з коляскою стоїть надійно, а для його закріплення без коляски

потрібна додаткова опора?

Щоб перевірити, чи розміщені кінці ніжок стола в одній площині, столяр кори­

С1)'ється двома нитками. Як він це робить? Чи достатньо такої перевірки?

Доведіть, що всі верщини трапеції лежать в одній площині, якщо продовжен­

ня його бічних сторін перетинаються.

8иготовіть (із дроту) модель Ч011lрикутника, в якого не всі вершини лежать

в одній площині.

Як за допомогою лінійки перевірити рівність поверхні стола?

Чому стіл на Ч011lрьох ніжках іноді буває нестійким?

Щоб надати стійкого положення фотоапарату або вимірювальним прила­

дам, їх закріплюють на триноги. На якому твердженні це rpунтується?

Щоб замкнути двері, достатньо закріпити ЇJt .с, од!'-:ій то'ші язичком замка.

На якому твердженні це rpунтується?

9. Скільки площин можна провести через чorиpи ТOЧ1Gй (Розmяньте всі випадки.)

1 ОО. Скільки площин можна провести через дві точки? Що можна сказати про всі ці площини?

1.2. Взаємие розміщеRRJI ПРJlМИХ у просторі

Якщо дві прямі лежать в одній площині, то вони або перетинаються, або пара­

лельні (рис. 4).

а

ь

а) б)

Рис. 4

В У стереометрії можливий і третій випа-1 С ~~-----:::oI І док. Наприклад, якщоАВСDАIВI СРІ - пря-

І І І

Ві _______ _ -,,-,-,-,

А/ D

Рис. 5

мокутний паралелепіпед (рис. 5), то прямі АВ і ССІ не перетинаються і не паралельні. Вони не лежать в одній площині.

Дві прямі, які Ilе лежать в одній пло­

щині, називаються .мимобіжними. На ри­сунку зображено декілька пар Мимобіжних

прямих:АВ і CC1,ABiDD1,BCiDCI ,BCiAA1

таінші.

§l. Прямі і площини у просторі 5

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині

і не перетинаються. На рисунку 5 зображено такі пари паралельних прямих: АВ 11 DC,AВ ІІА)В),АВ 11 D)CI'AA)IiBB) іт.д.

З планіметрії відомо, що у площині через дану точку можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій. Виникає питання, чи можна через дану точ­

ку простору провести також тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Нехай дано пряму а і точку А (рис. 6), ,..-________ -, яка не лежить на ній. Через них можна про-

А • ь

вести єдину площину а.. У цій rшощині че­

рез точку А можна провести пряму Ь, пара­

лельну прямій а, і до того ж тільки одну.

Orже, через будь-яку точку простору, .....:;a...L.. _________ ...L.. ___ яка не лежить на даній прямій, можна

Рис. 6 провести пряму, паралельну да"ій, і до

того ж тільки одну.

Звідси випливає, що дві паралельні прямі належать одній площині.

Дві прямі, які при перетині утворюють прямий кут, називаються nерnендику­

ляр"uми. На рисунку 5 зображено такі пари перпендикулярних прямих: АВ і АА І' АВ іВВI'АВ і ВСтаінші.

Задачі

11 О. Зі світу навколо нас назвіть кілька прикладів: а) паралельних прямих;

б) мимобіжних прямих;

в) перпендикулярних прямих.

120. Чи правильне твердження: якщо дві прямі у просторі не перетинаються, то вони паралельні?

13. Чи може пряма бути паралельною: а) тільки одному ребру куба;

б) тільки двом ребрам куба;

в) тільки трьом ребрам куба?

140. Чи може пряма бути перпендикулярною: а) тільки до одного ребра прямокутно­

го паралелепіпеда;

б) тільки до двох ребер прямокутного

паралелепіпеда? ~t'--_--t--_D...:)t' 150. На рисунку 7 зображено прямокутний

паралелепіпед. Запишіть:

а) прямі, паралельні між собою; .... б) три прямі, попарно мимобіжні; А

в) перпендикулярні прямі.

............

І ВІ ----....

Рис. 7

6 §1. Прямі і площини у просторі

16. Прямі АВ, АС і AD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка CD, якщо:

а)АВ=6см;ВС= 14см;Ап=3см;

б) BD = 4,5 см; ВС = 8 см; AD = 2,5 см; B)AB=a;BC=b;AD=d; r)BD=b;BC=c;AD=d.

17. Скільки взаємно перпендикулярних прямих можна провести через одну точ­

ку у просторі? Покажіть ці прямі у кімнаті.

18. Чи справедливе твердження: дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні? Продемонструйте це на моделі.

19. Чи можна стверджувати, що всі прямі, які не перетинаються, паралельні?

Покажіть ці прямі у кімнаті.

20. Скільки перпендикулярів можна провести до даної прямої з точки, яка не на­

лежить цій прямій?

21. Скільки прямих, перпендикулярних до даної прямої, можна провести через

дану точку у просторі?

1.3. Взаємне розміщення прямої і площинн Пряма з площиною може перетинатися (рис. 8) або не перетинатися (рис. 9). Якщо пряма і площина не мають спільних точок, то вони паралельч; (рис. 9).

Рис. 8

м

а

а

ь А В • •

о.

Рис. 9

Якщо дві точки прямої належать площині,

то й уся пряма належить цій ШlOщині (рис. 9). Якщо пряма, яка перетинає площиflУ,

перпендикулярна до будь-якої прямоі~ ЩО ле­

;-----iI---------"7 жить у nлощиflі, й проходить через точку

Рис. 10

перети1/У даної прямої з nлощиllОЮ, то така

пряма uазивається перпендиКУЛЯРIlОЮ до цієї

nЛOlциflи (рис. 1 О). Якщо а 1. Ь, а 1. с, а 1. d, ... то а 1. 0..

Довжину перпендикуляра, опущеного

з точки М на площину а (рис. 1 О), називають відстаккю точки М від площи"u а..

§1. ЛР1lМі і площини у просторі 7

Задачі

110. Зобразm. на рисунку прямокугиий паралелепіпедАВСDА.В. Ср •. Запишіть: а) прямі, паралельні площині (АА ,В);

б) прямі, перпендикулярні до площини (AВD);

в) прямі, що перетинають площину (ВСС,).

230. Чи можна стверджувати, що два перпендикуляри, проведені до площини, лежать в одній площині?

24. Пряма перпендикулярна до однієї прямої площини. Чи буде вона перпенди­

кулярною до самої площини? Покажіть ці прямі на моделі.

25. Чи можна стверджувати, що пряма буде перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до двох паралельних прямих цієї площини?

260. Чи можна стверджувати, що пряма а буде перпендикулярною до шющини а, якщо вона перпендикулярна до двох прямих Ь і с цієї IUющини, які перетина­

ються в точці перетину прямої а з площиною а?

27. Чи можна стверджувати, що пряма, паралельна даній площині, паралельна і кожній прямій цієї площини?

28. Чи можна стверджувати, що пряма, паралельна даній площині, паралельна

нескінченній кількості прямих цієї площини?

29. Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 9 см і 15 см. Знайдіть відстань від площини до середини відрізка

1.4. Взаємне розміщеllJШ ПJJОЩИИ

Дві площини можуть перетинатися (рис. 11) або не перетинатися (рис. 12). Дві площини, як; не перетинаються, називають nаралелЬНllJNи.

Паралельними nлощинами є стеля і підлога кімнати, обкладинки книжки тощо.

Рис. 11 Рис. 12

8 §2ЛlнDZОZРаннuкu

Паралельність площин важлива на практиці. Якщо підлога і стеля кімнати

не паралельні між собою, то не можна будувати наступний поверх. Непаралель­

ність протилежних стін кімнати робить ії незручною, зменшує корисний об'єм.

Для зручності розміщенНJI вантажів протилежні стіни вагонів, стінки ящиків, контейнерів і т. ін. робmrrь, зазвичай, паралельнимн.

Задачі

300. Прима однієї площини паралельна прямій іншої площини. чи правильно, що такі площини завжди паралельні? Скористайтеся моделлю.

31. Дві паралельні прямі а і Ь площини а паралельні двом паралельним пря­

мим сі d площини р. чи правильно, що ПЛОІЦИНИ а. і р завжди паралельні? Продемонструйте це на моделі.

32. Чи правильне тверджеННJI: <<Дві ПЛОЩИНИ паралельні між собою, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї ПЛОЩИНИ відповідно паралельні двом пря­

мим друroї ПЛОЩИНЮ)? Розl"ЛJlньте моделі.

33. Дві ПЛОЩИНИ а. і р перетинаються третьою площя"'{)ю у. Чи можуть лінії перетину цих площии бути:

а) паралельними;

б) не паралельними;

В) мимобіжними? Покажіть це на моделі.

34. На скільки частин дimrrь простір дві площини, що перетинаються? 35. Під час уюІaдaннJI блока завдовжки 5,16 м ВИJlВилось, що він лежить не roри­

зонтально, а з нахилом 12 мм на 3 м. На скільки треба піднити блок, щоб він лежав roризонтально?

36. Точка К належить ребру АА. кубаАВСDА.В.СР. так, що А.К: КА = 2: 3. Знайдіть відстань відточкиКдо площинАВСD,А.В.СР., ВВ.С.С, DCCp.,

якщо СЦ = БJi см. 37. У примохутному паралелепіпеді AВCDA.B. СР. АВ= 2АА. = ИD. ТочкаР­

середина відрізка АВ. Знайдіть відстань від точки р до площин ADD.A.,

DССР .. А.в.ср.,JlКЩО АС =4.JS см.

§2.АІногогранники 9

§2. МНОГОГРАННИКИ

2.1. Елементи та види многогранників

АІногогранником називається тіло, обмежене скіllченною кількістю nло­

щин.

Оскільки Шlощини перетинаються по прямих лініях, то частини Шlощин, що об­

межують геометричне тіло, є многокутниками. Ці многокутники називають граня­

ми, їх сторони -ребрами многогранника, а вершини многокутників -вершина­

ми многогранника.

АІllогограНllик, в якого дві грані, що називаються ОСllовами, лежать у nара­

лелыІx nлощи1tах, а всі ребра, які lІе lІалежать цим граня.'Н, nерnе1tдикулярuі

до nлощи1tи ОСllови, lІазивається nРR.'Ною призмою.

З означення призми випливає, що грані ABCDE і АІВІСРІЕІ (рис. 13) лежать у паралельних Шlощинах, а відрізки АА І' ВВІ' ССІ , DD, і ЕЕІ перпендикулярні до Шlо­щини основи, а отже, вони паралельні і рівні між собою. Ці відрізки називають

біч1tими ребрами призми. Висотою прямої призми є бічне ребро.

С

І І І

ID ,~-----

Рис. 13

-- Е

~----------~~~ ~ D, "t.('---,r----:.r

А

І

І І І І

ВІ г---

;;;;;

Рис. 14

Усі бічні грані прямої призми - прямокутники. Пряма призма, ОС1tовою якої

є паралелограм, 1tазивається nаралелеnіnедом (рис. 14). Якщо ос"ова nара­лелепіпеда - nрямокут1tик, то паралелепіпед називається nРЯJl10кутllим.

Усі грані прямокутноro паралелепіпеда є прямокутниками. Прямокутний паралеле­

піпед - досить поширена фігура. Наприклад, будівельні блоки, цеглини, ящики,

кузови вантажних автомобілів мають форму прямокутного паралелепіпеда.

Пірамідою називають многогранник, в якого одна грань - довіль1tий много­

кут"ик (вона називається основою піраміди), а інші грані - трикутllики, що

мають спільну вершину.

10 §2. МногограНІІики

8

A----;~--~

Рис. 15

Усі грані, крім основи, називаються біЧllu.мu граllЯJНи nірtlAlіди. Залежно від виду многокутника, що лежить в основі піраміди, розрізняють трикутllі, чотирu­

кутІІ;, n 'лmикутllі тощо піраміди (рис. 15). Спільну вершину трикутних граней піраміди називають веРШUІІОЮ піраміди.

Висотою піраміди називають перпендикуляр, опущений з вершини піраміди

до площини гі основи. Піраміда називається правильною, якщо гі основа -правильний многокутник і висота проходить через центр основи. Усі біч,'і ребра

правильної піраміди рівні, усі бічні грані - рівні рівнобедрені трикутниІ<И. Висота

бічної грані піраміди, проведена з гі вершини, називається апофемою. Наприклад,

відрізок 80 - висота піраміди, а відрізки 8К і 8М - апофеми.

Задачі

380. На рисунку 16 зображено пряму чотирикутну призму (ABCD - трапеція).

2 шишіть: а) прямі, паралельні між собою;·

6) три прямі, попарно мимобіжні;

в) перпендикулярні прямі;

г) прямі, паралельні площині (АВВІ ); r) прямі, які перетинають площину (АВВ І);

д) прямі, перпендикулярні до площини (АВС);

е) паралельні площини.

390. На рисунку 17 зображено чотирикутну піраміду (ABCD -трапеція). Запи­llll'IЬ:

а) прямі, паралельні між собою;

б) прямі, попарно мимобіжні;

в) прямі, які перетинаються;

г) перетин прямої АВ з nлощинами граней піраміди.

40. Скільки вершин, граней і ребер має незаструганий шестигранний олівець?

§2. МllогограllllUКU

А

с

Рис. 16

м

А

Рис. 17

41 *. Скільки вершин, граней і ребер має пряма n-кутн? призма?

11

Рис. 18

42. Встановіть залежність між числом бічних граней прямої призми і числом

сторін й основи.

430. Яке найменше число граней може мати пряма призма? 44. Яке найменше число граней може мати піраміда?

45. Чи існує призма, число ребер якої дорівнює: а) 9; б) 10; в) 15; г) 16; () 80; д)90?

460. Накресліть розгортку трикутної призми. 47. Чи існує піраміда, що має:

а) 12ребер; б) 15 ребер; в) 99 ребер? 48. Якої форми повинна бути розгортка трикутної прямої призми (рис. 18), щоб

довжина швів була найменшою?

490. Скільки вершин, граней і ребер має: а) трикутна піраміда;

б) 'ютирикутна піраміда?

50. Скільки вершин, граней і ребер має n-кутна піраміда?

510. Накресліть розгортку трикутної піраміди, всі грані якої є рівносторонніми трикутниками.

52*. Чи можна побудувати шестикутну піраміду, в якої всі ребра рівні? Обrpунтуйте відповідь.

53 *. Покажіть, що довільний трикутник може бути розгорт­кою триt-.')'ТНої піраміди.

54 *. Чи може довільний прямокутник бути розгорткою чоти­рикутної піраміди?

55. Чи можна розрізати,трикутну призму (рис. 19) на дві ча­стини так, щоб кожна з них була пірамідою? Відповідь

продемонструйте. Рис. 19

12 §2А1ногогранники

а) б) В)

г) ()

Рис. 20

56. Чи можна з кожної зображеної (рис. 20) розгортки виготовити чотирикугну піраміду? Виберіть найвигіднішу розгортку щодо економії матеріалу.

2.2. Площа поверхні призми та ії об'єм

Площа бічної поверхні n-куm.чої nРЯАшї призми дорівнює сумі площ nрЯАшкуm­

ників, які є бічними гранями. Якщо сторони основи прямої призми позначити че­

рез а l , а2 , аз, ... , аn, а бічне ребро через h (рис. 21), то ruюща бічної поверхні прямої призми дорівнює:

SбіЧIІ. =olh + 0lh + oзh + ... + 0nh =h(ol + ОІ +0з + ... + o)=h' Р OCJI. (І)

Отже, площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку nершtетра

основll призми "о ії висоту.

Площо nов"ої поверхні прямої призми дорівнює сумі площі бічної поверхні

та nодвоєно; площі основи:

SII.II. = SБJЧIІ. + 2So<u. (2)

§2А1ногограннuки 13

а) h б) h

Рис. 21

Об 'ЄМ прямокутного nаРШlєлеnіnеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

V=a' Ь· h, (3) де а, Ь і h - відповідно довжина, ширина і висота паралелепіпеда.

Формулу (3) можна записати і у такому вишяді: V=S·~ ~

де S - площа основи.

ця формула правильна для будь-якої призми.

Задачі

570. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 90 см і 21 см. Висота призми дорівнює 15 см. Обчисліть площу поверхні і об'єм призми.

58. Основою прямої призми є ромб з діагоналями 12 см і 16 см, висота призми дорівнює 15 см. Обчисліть площі бічної і повної поверхонь та об'єм призми.

59*. Площа поверхні призми, основою якої є квадрат, дорівнює 352 см2, а бічної

поверхні 224 см2• Знайдіть висоту призми. Обчисліть об' єм призми.

60. Три грані призми - квадрати зі стороною 24 см, а дві інші - трикутники.

Накресліть цю призму і її розгортку. Обчисліть площу повної nOJJepxHi та об'єм цієї призми.

61. Знайдіть об'єм і площу повної поверхні прямої призми, в основі якої лежить

трикутник зі сторонами 9 см, 10 см і 17 см, якщо висота призми дорів­нює 8 см.

62. Практична робота. Зробіть розгортку прямої призми, основою якої є пря­

мокутний трикутник З катетами 8 см і 15 см і висотою І О см. Зігніть і склейте П так, щоб утворилась модель призми. Обчисліть площу бічної поверхні та об'єм призми.

63. Практична робота. Візьміть модель трикутної призми. Виконайте потрібні вимірювання і обчисліть площу поверхні та об' єм призми.

14 §2.Лfногограннuкu

64. На рисунку 22 зображено будівлю з двосхилим дахом, довжина якого

12 м. Інші виміри показано на рис. 22. Обчисліть:

а) площу даху будівлі;

б) місткість горища;

в) місткість усієї будівлі. 3 м 65. У прямій трикутній призмі всі ребра

рівні. Площа ії бічної поверхні дорів­

нює 48 дм2 • Знайдіть об'єм призми. Рис. 22

2.3. Площа поверхні піраміди та її об'єм

Площа бічної поверхні n-куmної піраміди обчислюється за формулою:

Sбічн. = SI + S2 + SЗ + ... + Sn' де SI' S2' Sз, ... Sn - площі бічних граней.

Площа бічної поверхні правильної n-куmНQїпіраміди дорівнює:

111 '2~IЧН. ~ а а .•• а) 2' ~Іч'" ~ n) '2р 4.lч •. ,

де Р - периметр основи піраміди, hб. - апофема піраміди. (ЧИ.

Отже, Sбlчв. 1 -р " 2 "&і.в.

Площа повної поверхні піраміди (рис. 23) обчислюється за формулою:

S П.П. = S бlчн. + S осн.

к

D

а а

в

а

Рис. 23

(5)

§2.А1ногограннuкu 15

Об'єм піраміди дорівнює третині добутку мощі основи на висоту:

1 V =-S ·h. 3 ОСІІ. (б)

Виявляється, об'єм піраміди втричі менший від об'єму призми з відповідно рів­

ними основами і висотами. Переконатися у цьому самостійно можна, пересипаю­

чи пісок чи переливаючи рідину (воду) з порожнинної піраміди у призму з такою

самою основою і висотою.

Задачі

660. Сторона основи правильної чотирикутної піР'1мL'\и дорівнює 24 см, а апофе­ма - 35 см. Обчисліть мощу бічної і повної поверхонь піраміди та її об' см.

67. Накресліть розгортку і обчисліть площу бічної поверхні правильної чоти­

рикутної піраміди та її об'єм, у якої сторона основи дорівнюс lб см, а бічне

г-~бро - 17 см.

68. Сторона основи і бічне ребро правильної шестикутної піраміди віДПUБ}ДНО

дорівнюють 14 см і 25 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди та її об' єм. 69*. Які виміри треба зробити, щоб визначити висоту правильної піраміди? Які

обчислення необхідно виконати?

70*. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 9 см, 21 см і 24 см. Кожне бічне ребро дорівнює 2б см. Знайдіть висоту піраміди. Обчисліть об'єм і площу

її повної поверхні.

71. Практична робота. Візьміть модель піраміди. Виконайте потрібні вимірю­

вання, обчисліть мощу повної поверхні піраміди та]І об' єм.

72. Обчисліть площу поверхні та об'єм правильної

а) трикутної; б) чотирикутної; в) шестикутної

піраміди, сторони основи якої дорівнюють а, а бічне ребро - Ь, а висота - h. 73. Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, апофема

якої дорівнює 6 дм, а бічне ребро 1 м. 74. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 1,5 м, а площа біч­

ної поверхні 2,16 дм2• Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

75. Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює 1,2 м, а бічне ребро І м. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

16

І І І І І І І

І І І

.,.,._-:-_ ... D ." : ", ... ,

Ае'

§3. КРУГЛІ ТІЛА

3.1. Циліндр

§3. Круглі тіла

Циліндром називається геОМе1ричне тіло, угворене обер­

танням прямокутника навколо його сторони. (рис. 24). Сторону CD, щО описує у просторі бічну поверхню циліндра, називають твірною. Сторони AD і ВС описують круги

радіусамиAD і ВС (основи ЦWlіндра). Сторону АВназивають

висотою або віссю цюllндра. Основами циліндра є два рівних

між собою круги. Бічна поверхня - крива поверхня - нази­

вається циліндричною . Циліндричну форму мають численні деталі машин і меха­

нізмів, наприклад, барабани лебідок, ІІШіфувальні круги, саль-

Рис. 24 ники і т. ін. На практиці широко використовується дріт з кру-

говим перерізом, чавунні колоди, труби. Просвердлені отвори також мають

циліндричну форму. Циліндрична форма надає деталям необхідну міцність.

Якщо бічну поверхню циліндра розгорнуги, то одержимо прямокутник, довжи­

на основи якого дорівнює довжині кола основи, а висота - висоті циліндра (рис. 25).

h 21tr h

.. --~

а) б)

Рис. 25

Площа бічної поверхні циліндра (рис. 25, а) дорівнює площі прямокутника (рис. 25, 6), основа якого 211:1', а висота h, тобто площа бічної поверхні циліндра дорівнює 211:1'h:

(1)

§3. Круглі тіла 17

Щоб одержати площу повної поверхні циліндра, треба до площі бічної поверхні

додати площі обох основ:

S" •••. = SБIЧIІ. + 2S .. u. = 21U'h + 2nr, (2) абоSооlН_ = 2тtr(h + r).

Об'єм циліндра обчислюється аналогічно до обчислення об'єму призми за

формулою:

V=SOCII.· h, (3') де S - площа основи (круга), h - висота циліндра:

V=nrh. (3) Доведення цієї формули подається у старших класах.

Задачі

760. Обчисліть площу поверхні та об' єм циліндра за такими даними:

а) r = 12 см, h = 25 см; б) d = 30 см, h = 42 см; B)d=h=20CM; r)r=h= 18 см.

77. Скільки жерсті потрібно на виготовлення погонного метра труби діаметром

12 см, якщо на шви витрачається 8% матеріалу? 78. Навколо якої сторони (а = 30 см, Ь = 20 см) треба обертати прямокутник,

щоб утворився циліндр з більшою:

а) бічною поверхнею; б) повною поверхнею?

79. Аркуш паперу прямокутної форми (а = 628 мм, Ь = 314 мм) можна згорнуги двома способами так, що утвориться поверхня циліндра. Чому дорівнює

радіус кожного із цих циліндрів? Обчисліть мощу повної поверхні та об'єм

кожного циліндра.

80. Радіус основи циліндра збільшено у 3 рази. як збільшаться об' єм циліндра і площа бічної поверхні?

81. Радіус основи циліндра збільшено на 20%. На скільки відсотків збільшаться об'єм і площа бічної поверхні циліндра?

82; Обчисліть об' єм резервуара циліндричної форми, якщо його висота дорів­

нює 5 м, а довжина кола основи 3 1,4 м.

83. Залізобетонна панель має розміри 600х 120Х22 см. По всій її довжині розмі­

щено 6 наскрізних циліндричних отворів діаметром І 4 см. Знайдіть масу па­нелі, якщо густина залізобетону 2,5 т/м3 •

3.2. Конус Конусом називається тіло, утворене обертанням nрп,окутного трикут­

ІІика навколо його катета.

Якщо прямокутний трикутникАОВ обертати навколо катета ОВ, його гіпотену­

заАВ опише бічну поверхню, а катет ОА - круг - ОСllову конуса (рис. 26). ВідрізокАВ називається твірною. Радіус ОА круга називають радіусом конуса,

точку В - верulUНОЮ конуса, а відрізок (катет) ОН - висотою або віссю конуса.

18 §3. Круглі тіла

Предмети з конічною поверхнею досить поширені у природі і в техніці. Сипучі

матеріали (пісок, щебінь) при зсипанні набувають конічної форми; liDнічну форму

мають головки шліфувальних та інших інструментів, лійки тощо.

о

в А

РИС. 26 Рис. 27

Усі точки кола основи конуса віддалені від вершини на довжину його твірної,

тому при розгортанні бічної поверхні liDнyca точки його основи лежать на дузі,

радіусом якої є твірна. Таким чином, розгортка конуса має форму кругового секто­

ра радіусом І (рис. 27). Довжина дугиАВ цього ce�-.'ТОра дорівнює довжин.і кола основи, тобто 2nr. Оскїль-

{ лR R . ~ ки довжина ДУГП кола = -' а, де - радІУС ДУГИ, а а - центральнии кут, для

ню

. .. 2 1tR ~ ЯliDГО має МІсце РІВНІСТЬ ЛГ = - а, то центральнии кут сектора визначається так:

180

а = 2пг: 7tR = 36Оп:г = 360г . 180 1tR R

1tR2

Площа бі чної поверхні конуса (рис. 27) дорівнює площі сектора, тобто 360 а.

. 1tR2 1tR2 360г ЗВІДси S6· = -- . а = -- . --= 1tRr.

'·ІІІК. 360 360 R

Оскільки радіус R сектора є твірною lliDнyca, то R = І, а

S 6lчн.1<. = 1tI'1. (4)

§3. Круглі тіла 19

Щоб одержати площу повної поверхні конуса, треба до площі бічної поверхні

додати ruющу основи.

S.ОВИ. = Sбічи. + SOCH. = 1tr/ + пr, або

S •• 811. = 1tI'(1 + r). (5)

Об'єм конуса обчислюється аналогічно до обчислення об'єму піраміди:

1 V =-s ·h

З oat. '

де Socн. - площа основи (круга), h - висота конуса:

~. = .!.w1h. 3

(6)

Рис. 28

Доведення цієї формули подається у старших класах.

Формула об' єму конуса має такий самий вигляд, як

і формула об'єму піраміди. Адже конус схожий на піра­

міду, основа якої має вигляд правильного многокутника

з досить великою кількістю сторін (рис. 28).

Задачі

84 О. Обчисліть площу повної поверхні конуса, якщо: а) r = 12 см, / = 20 см; б) d = 24 см, / = 20 см; в) d=l= 24 см; г) d= 16 см,l= 18 см.

85. Обчисліть об'єм конуса, якщо:

а) r= 12 cM,h =25 см; в) d = h = 20 см;

б) d= ЗО CM,h = 42 см; г) r = h = 15 см;

860. Скільки жерсті потрібно для виготовлення лійки, твірна якої дорівнює 21 см, а діаметр - 12 см (на шви витрачається 6% матеріалу)?

87. Скільки квадратних метрів тканини потрібно, щоб пошити конусоподібну

палатку висотою 3 м і діаметром 4,5 м? 88*. Із сектора з радіусом R і дугою n треба виготовити конус. Обчисліть його

площу та об' єм, якщо:

а) R = 12 см; n = 1200; б) R = 18 см; n = 900. 89. Прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 15 см і 20 см, обертається

навколо одного з катетів. Обчисліть об'єм і площу поверхні конуса, утворе­

ного в результаті обертання навколо:

а) більшого катета; б) меншого катета.

90. Візьміть модель конуса. Виконайте потрібні вимірювання і обчисліть об' єм

і площу повної поверхні конуса. Схематично накресліть сектор, з якого виго­

товлено конус. Визначте градусну міру відповідного центрального кута.

20 §3. Круглі тіла

3.3. Куля

Форму кулі має глобус, м'яч, різні плоди (вишня, смо­

родина, яблуко та ін.). Кулю можна одержши при обертанні

півкруга навколо його діаметра (рис. 29). Відрізок, що спо­лучає дві точки кулі і проходlПЬ через її центр, називається

діаметром кулі.

у перерізі кулі будь-якою площиною утворюється круг.

Якщо січна площина проходить через центр кулі, то в пе­

рерізі утворюється круг, радіус якого дорівнює радіусу кулі.

Такий круг називається великим кругом. Колами великих

Рис. 29 кругів на глобусі, наприклад, є екватор і меридіани. Бічні поверхні циліндра і конуса - криві поверхні. Але, «розгинаючю>, Їх мож­

на перетворити у плоскі (тобто покласти на площину, розгорнyrи). Поверхню кулі

ніяким «розгинанням» не можна зробити плоскою, тому формулу для обчислення

площі поверхні кулі неможливо знайти, користуючись розгорткою.

Певними міркуваннями у старших класах доводять, що площа поверхні кулі об­

числюється за формулою:

(7)

де R - радіус кулі.

Отже, площа поверхні кулі у 4 рази більша від площі великого круга кулі. Доведено, що об'єм кулі дорівнює третині добутку площі поверхні кулі на

радіус:

Оскільки S = 41tR2, то

1 V=-S ·R. 3 п .•.

4 3 V =-пR .

3 (8)

Слід відмітити, що різниця об' ємів циліндра і конуса, висоти яких дорівнюють

радіусу кулі, дорівнює половині об' єму кулі (рис. 30).

§3. Круzлі тіла 21

Задачі

910. Обчисліть площу поверхні і об'єм кулі радіусом: а) 0,15 м; б) 0,4 м; в) 2,5 дм.

91. Робітник виготовив з одного матеріалу дві кулі діаметрами 4 см і 12 см. У скіль­ки разів маса другої кулі більша від маси першої?

93. Обчисліть площу поверхні і об' єм кулі, якщо довжина кола П велиКDГО кру­

га дорівнює 62,8 см. 94. На фарбування круга радіусом 1 м витратили 80 r

фарби. Скільки такої фарби піде на фарбування

кулі діаметром 1 м? 95. Якого діаметра повинна бути куля, щоб площа її

поверхні дорівнювала 144п дм2?

96. Знайдіть об'єм кулі, площа поверхні якої дорів­

нює 3бп см1.

97. Практuч1Ш робота. Обчисліть об' єм і площу по­

верхні моделі, що має форму кулі, зробивши спо­

чатку потрібні вимірювання.

98. Визначте об'єм кулі, якщо довжина кола її велико­

го круга дорівнює 12,56 дм. 99*. Деталь, зображена на рисунку ЗІ, має форму пів­

кулі, з приставленим у центральній частині вели­

кого круга циліндром, і закінчена конусом. Знай­

діть об' єм і площу поверхні зображеної деталі за

розмірами, зазначеними на рисунку в міліметрах.

12 so

,---,

12

Рис. ЗІ

100*. Цистерна складається з циліндра і двох півкуль. Діаметр цистерни 1,2 м, довжина циліндричної частини 3,5 м. Скільки листової сталі потрібно для виготовлення цистерни? Обчисліть місткість цистерни.

101.ЗнаЙдіть відношення об'єму кулі радіусом а до об'єму правильної

шестикутної призми, кожне ребро якої дорівнює а.

22 Письмоtl; роботи для cUlOnepetl;pKU

ПИСЬМОВІ РОБОТИ дЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

ВАРІАНТі

Рівень І - 11

1. Розглянувши рисунки, назвіть:

а) зображені фігури;

б) паралельні і перпендикулярні прямі у зображених фігурах;

в) прямі, паралельні площині (АА ІВ);

г)паралельніплоnцини.

6)

2. Обчисліть:

а) площу поверхні зображеної фігури (розміри дано в сантиметрах);

б) об'єм зображеної фігури (розміри дано в сантиметрах).

3. Обчисліть:

а) площу поверхні кулі, якщо R = 20 см; б) об'єм кулі,якщоR= 3 см.

Рівень ІІІ - IV

1. Чи належить точка К площині паралелограма

r----=-:r'----іС ABCD, якщо точкаМ належить відрізку AD, а то­чка N - відрізку ВС?

AI--_~ __ --J,

м

2. Купа піску має форму конуса, довжина обводу основи якого дорівнює 6,28 м, а твірна - 1,25 м. Визначте масу піску, якщо 1 мз його має масу 1,6 т.

3. Скільки квадратних метрів листового заліза треба для виготовлення цистерни циліндричної форми, довжина якої становить 12 м, а діаметр - 3,2 м, якщо на шви припадає 2,5% від усієї поверхні цистерни?

Пись.иові роботи для самоперевірки

ВАРІАНТ 2

Рівень І - 11

1. Розглянувши рисунки, назвіть:

а) зображені фігури; б) паралельні і перпендикулярні прямі у зображених фігурах; в) прямі, перпендикулярні до площини (АВС);

г) паралельні площини.

а) в)

2. Обчисліть:

а) площу поверхні зображеної фігури (розміри дано 8 сантиметрах);

б) об'єм зображеної фігури (розміри дано в дециметрах).

3. Обчисліть площу поверхні і об'єм циліндра, якщо r = 3 дм, h = 5 дм.

Рівень ІІІ - IV

23

1. S

\\

чи належить точка М площині SAB? Чи перети· наються площини SAB і ABCD? Якщо так, то по

В;.····· / ..

А ..... ----~"--

якій прямій?

2. Дах альтанки, що має форму конуса, довжина обводу основи якuго дорів· нює 13 м, а висота - 1,9 м, покрито оцинкованою бляхою. Скільки бляхи пішло на покритrя даху? (На шви припадає 3% від загальної кількості викори­станої бляхи.)

3. ВоДонапірна башта має форму правильної шестигранної призми, сторона

основи якої дорівнює 3,4 м, а висота башти 3,5 м. Скільки води може вмісти­тибашта?

24 Письмові роботи для самоперевірки

BAPIAHT3

Рівень І - 11

1. Назвіть фігури та їх елементи. Визначте взаємне розміщення прямих і пло­

щин, зображених на рис. в):

ОАВ і СС.;

а) б)

2)АВВЛ iDD •.

в)

А

г ____ ~c.

5 С

2. Обчисліть:

а) площу поверхні фігур, зображених на рисунках а) - в) (розміри дано в сан­

тиметрах);

б) об'єм фігур, зображених на рисунках а) - в) (розміри дано в дециметрах).

3. Обчислітьплощуповноїповерхнітаоб'ємконуса,якщоr=6 дм,Н= 8 дм.

Рівеиь ІІІ - IV 1.

І

:2,4 м І

8 І І

1, М: 5 м : 1}));)lil}};'}I;}')}I}j};~},}),

Визначте відстань між центрами

шківів пасової передачі, зображеної

на рисунку.

2. Скільки квадратних дециметрів оцинкованого заліза потрібно для виготов­

лення циліндричного бака з кришкою, діаметр якого становить 6 дм, а висо­та - 50 см? (На шви припадає 2,5% від усієї поверхні бака). Обчисліть міст­кість бака.

3. Скільки квадратних метрів парусини потрібно для виготовлення трьох наме­

тів, що мають форму правильної чотиригранної піраміди, якщо сторона ії

основи дорівнює 5,5 м, а апофема - 7,8 м? (На шви та обрізку витрачено 8% від загальної кількості парусини.)

25

ВАРІАНТ 4

Рівень 1- 11 1. Назвіть фігури та іх елементи. Визначте взаємне розміщення прямих і пло­

ЩИН, зображених на рис. 6):

1) АС і ВВІ; 2)(АВС) і ВІСІ'

а) б) СІ в)

А,

~ І І І 20

8' CJ 12 ...... ,5 ... ,

А 13 В

2. Обчисліть:

3.

а) площу поверхні фігур, зображених на рисунках а) - в) (розміри дано в сан­

тиметрах);

б) об'єм фігур, зображених на рисунках а) - в) (розміри дано в дециметрах).

h

Ь а

ь

Ь а

Користуючись розгорткою, знайдіть площу пов­

ноі поверхні та об'єм призми, якщо а = 0,8 дм, Ь = 0,8 дм,h = 0,6 дм.

Рівень ІІІ - IV

1. Визначте, скільки метрів дроту потрібно для того, щоб провести його від

стовпа заввишки 12 м до вікна, розташованого на висоті 8 м, якщо відстань між будинком і стовпом становить 40 м.

2. Паровий котел, діаметр якого становить 1,2 м, а довжина - 4,5 м, має цилін­дричну форму. Обчисліть площу повної поверхні та об'єм котла.

3. Поперечний переріз дерев' яної рейки має форму рівностороннього трикут­

ника зі стороною 5,2 см. Довжина рейки -4,8 м. Визначте масу рейки, якщо І см) дерева має масу 0,79 г.

26

ВАРІАНТ 5

Рівень І - 11

1. Назвіть фігури та їх елементи. Визначте взаємне розміщення прямих і пло­

щин, зображених на рис. в):

1) DD, і ВВ,;

а)

2. Обчисліть:

б)

2) (ABCD) і DD,.

в)

А 12

6 С

а) площу поверхні фігур, зображених на рисунках а) - в) (розміри дано в сан­

rnметрах);

б) об' єм фігур, зображених на рисунках а) - в) (розміри дано в дециметрах).

Рівень ІІІ - IV

КОРИС1)'ЮЧись розгорткою, знайдіть пло­

щу поверхні та об'єм призми, якщо

а= I,2ДМ,h= І дм,Н=О,8дм.

1. Радіощоrny підтримують три троси, прикріплені на висоті 8,5 м. Протилежні кінці тросів закріплені на землі на відстані 8 м від основи щог.ли. Визначте довжину тросів (на закріплення іде 3%) і відстань між кінцями, закріпленими на землі (відстані між кінцями тросів рівні).

2. Визначте кількість матеріалу, необхідного для виготовлення повітряної кулі

діаметром 1 О м, якщо на шви припадає 2% від поверхні кулі.

3. Для захисту від повені треба збудувати дамбу завдовжки 174 м і заввишки 4 м; її поперечний переріз повинен мати форму рівнобічної трапеції з осно­вами, що мають довжину 22 м і 16 м. Скільки потрібно самоскидів, аби пере­везrn землю для будівництва дамби, якщо на один самоскид вантажитимуть

по 9 мз rpYHTY?

27

Використана література

1. Гусєв В.О., Маслова Г.Г. та інші. Геометрія у УІІІ класі. - К: Рад. школа, 1975.

2. Колмогоров А.М., Семенович О.Ф., Черкасов Р.С. Геометрія. 6-8. - К: Рад. шко­

ла, 1980. 3. Лоповок Л.М., Тесленко Л.М. Геометрія. Навчальний посібник для ІХ-ХІ класів

вечірньої школи. - К: Рад. школа, 1968.

Додаткова література

1. Г.М. Возняк, О.Г. Возняк. Геометрія. Різнорівневі тематичні контрольні роботи.

9 клас. - Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2003.

2. Г. Возняк, О. Возняк. Довідник-конспект учня 9 класу. - Тернопіль: Навчальна

книга - Богдан, 1998.

Зміст

§ 1. Прямі і площини у просторі .......................................................................... 3

1.1. Властивості прямої і площини ................................................................. 3

12.Взаємне розміщення прямих у просторі ................................................ 4

1.3. Взаємне розміщення прямої і площини ................................................. 6

1.4. Взаємне розміщення площин .................................................................. 7

§2. Многогранники .............................................................................................. 9

2.1. Елементи та види многогранників ............ ...... ...... ................................... 9

2.2. ПЛоща поверхні призмн та ії об' єм ........................................... оо ........... 12

2.3. ПЛоща поверхні піраміди та ії об'єм ...................................................... 14

§3. Крyrлi тіла ...................................................................................................... 16

3.1.Циліндр ..................................................................................................... 16

3.2. Конус ........................................................................................................ 17

3.3. Куля ........................................................................................................... 20

Письмові роботи для самоперевірки ................................................................. 22

Література ........................................................................................................... 2J

~ ·КНИГА ПОШТОЮ·

ID"T_~~-w 11'(0352)287489 __ bo_h_d..;. .. _-........ Ь..;.,оо.;".k..;. .... =;,;;;.;;;;;II.;;.;ru;;,J ._-

Навчальне видання

Бойко Григорій МихаіілОВIf1l

СТЕРЕОМЕТРІЯ

ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ

9 КЛАС

ГоловннА реД8IrlOр Б. Є. Будн"й

Ред8IrlOр О. О. Мазур

Художник В.А. Басалuга

Комп'ютерна верстка В./. Рак;вський

Підписано до друху 23.05.2006. Формат 6ОХ84/16. Папір друкарсыtи •. Гарнітура Таймс. Умовн. друк. арк. 1,63. Умовн. фарбо-відб. 1,63. [В. 6]

Видавництво «Навчальна кннга - Богдан))

СвіДОЦТ90 про внесенн. до Державного реєстру видавців

ДК N!370 від 21.03.2001 р.

Навчальна книга - Богдан, аІс 529, м.Тернопіль, 46008 тел.lфакс (0352) 52-06-07; 52-05-48; 52-19-66

publishing@budny.te.ua www.bohdan-books.com

прямі і ПЛОЩІІІІІІ У просторі • многограННIІЮI • "руглі тіла

_ Математика. ДовіАНИК учн". 5-6 КП. _ Математичні диктанти. 5, 6, 7 кп. _ Математика. Тематична ат_стоцІ •. S, 6 кп. _ Математика. КОНТРОllьні та самостійні роботи. S, 6 кп. _ Математика. WкіnllНИЙ тnумачний c.nовник-довідник.

_ Математика. На.чоnItН"Й посібник. 5 кп. _ Математика. Навчаn~ний посібник. 6 кп. _ Математика. Тематичне пnануванн". 5-9, 10-11 кп. _ Математика. РО3В'8ЗКИ задач. 5 кп. _ Математика. РО3В'IІЗКИ задач. 6 кп. _ Математика. Тести. 6-7, 7-8, 8-9, 9-10, 11 кп. _ Уроки математики. 5, 6 кп. _ Математика. Киwен~ковий АовlАНИК дп" учні. 9-11 кп. та аБІтурієнтів. _ Anrебра. ДовіАНИК учн •• 7-9 КП. _ Anrебра. ПіАРУЧНИК. 7, 8, 9 кп. _ Anrебра. 3разки розв' .. зуванн. заАач. 7 кп. _ Anrебра. Тематична атестацІ ... 7, 8, 9 кп. _ Anrебра. КОНТРО'nllні та самостійні роботи. Тематичний контроnь знан ... 7, 8, 9, 10, 11 кп. _ Довідник-конспект 3 reOMeTpii. 7, 8, 9 кп. _ Геометрі •• KaHTpOn~Hi та самостІйні робати. Тематичний KOHTpon~ знан ... 7, 8, 9, 10, 11 кп. _ reoMeтpill. Тематична атестаці •. 7 кп. _ Anre6pa, reoMeTpill. Відповіді на екзаменаційні бі.nети. Випускникам, абітуріЕнтам.

ISBN 966-692-126-Х

Додаткова інформація:

~~ ~ т/Ф(03521251809 ~ т.430046,253753,252841