Ondˇrej Lengállengal/idm/idm-logika.pdfMatematická logika Ondˇrej Lengál Fakulta informaˇcních technologií Vysoké uˇcení technické v Brn eˇ IDM’19 [pˇreloženo 27

Matematická logika

Ondrej Lengál

Fakulta informacních technologiíVysoké ucení technické v Brne

IDM’20[preloženo 23. listopadu 2020]

Logika

(Matematická) logika: oblast matematiky zabývající se univerzálnímiprincipy usuzování v ruzných formálních systémech

usuzování: základní pravdy, odvozovací pravidla, dukazformální systém (príklady: logika, algebra, programovací jazyk)

ale takéjazykI jaké skutecnosti jsou vyjádritelné v daném jazyceI expresivita

FIT VUT Matematická logika IDM’20 2 / 65

Strucná historie logiky

Aristoteles (4. stol. pred n.l.): základy logiky, sylogismyLeibniz (17. stol.): myšlenka mechanizace usuzováníBoole (19. stol.): logika jako algebraprelom 19. a 20. století:I krize v základech matematiky (logika a teorie množin)

Russell: Russelluv paradox (paradox v naivní teorii množin)

20. století:I David Hilbert: cíl vystavení matematiky na formálních základech

• axiomatické systémy (Zermelo-Fraenkelova teorie množin,Peanovy axiomy pro aritmetiku prirozených císel, . . . )

I Kurt Gödel (narozen v Brne): limity formálních systému (nelzedokázat jejich bezespornost, pokud jsou dostatecne silné)

I Alan Turing („otec informatiky“):• usuzování nelze mechanizovat• základy umelé inteligence (založené na logice)

K. Gödel

A. Turing


Logika a informatikaSoucasnost:

Logika je základní pilír informatiky:I hardware: výroková (Booleova) logikaI databáze: predikátová logika 1. rádu (SQL)I programovací jazyky: teorie typu (logika vyššího rádu)I verifikace: predchozí + temporální logiky (LTL/CTL), . . .I umelá inteligence: predikátová logika 1. rádu, modální logiky, . . .I syntéza: predikátová logika 1./2. ráduI kryptografie: interaktivní/pravdepodobnostní dukazové systémy,

zero-knowledge dukazy (kryptomeny)I rízení: fuzzy logikaI . . .

Pocítace pomáhají v matematice:I Vycerpávající enumerace konecných domén, napr.

• Problém 4 barev (1976, 1936 prípadu, specializovaný SW),• Problém Booleovských Pythagorejských trojic (2016, 200 TiB dukaz)

I Automatická dedukce vet, napr. Robbinsova domnenka (1996)I Formalizace a mechanické overování matematických dukazu:

• Problém 4 barev (2005, dukaz pomocí theorem proveru)• Keplerova domnenka (2014, formalizace kontroverz. dukazu z 2003)


Logika v informatice — Specifikace https://rise4fun.com/Vcc/

unsigned lsearch(int elt, int* ar, unsigned sz)_(requires \thread_local_array(ar, sz))_(ensures \result != UINT_MAX ==> ar[\result] == elt)_(ensures \forall unsigned i; i < sz && i < \result ==> ar[i] != elt)_(decreases 0)

{unsigned i;for (i = 0; i < sz; i++)_(invariant \forall unsigned j; j < i ==> ar[j] != elt)

{if (ar[i] == elt) return i;

}return UINT_MAX;

}


https://rise4fun.com/Vcc/

Logika a informatikaFormalizace

Potreba umet precizne formulovat myšlenky a chápat dusledky.

PríkladLidstvo zkonstruuje umelou superinteligenci s neomezenou mocí. Co má být jejím cílem?

Maximalizovat individuální blaho lidstva?

∀x ∈ People : is_maximal(happiness(x))

Maximalizovat celkové blaho lidstva?

is_maximal( ∑

x∈Peoplehappiness(x)

)Maximalizovat prumerné blaho lidstva?

is_maximal

(∑x∈People happiness(x)

|People|

)FIT VUT Matematická logika IDM’20 6 / 65

Výroková (Booleova) logika


Výroková logikaVýroková logika:

usuzování o výrocíchvýrok:

prvotní (atomický, jednoduchý): základní tvrzení, u nehož dává smysl uvažovat, zdaje ci není pravdivé; príklady:I “Sníh je bílý.”I “Cena rohlíku je 8 Kc.”I “1 + 1 = 2”I každé dva prvotní výroky jsou nezávislé

složený: sestrojený z jiných výroku pomocí výrokových spojekI Neplatí “sníh je bílý.”I “Sníh je bílý” a “cena rohlíku je 8 Kc.”I “Sníh je bílý” nebo “cena rohlíku je 8 Kc.”I Pokud “sníh je bílý,” pak “cena rohlíku je 8 Kc.”I “Sníh je bílý” práve, když “cena rohlíku je 8 Kc.”

je pravdivý nebo nepravdivý: urcíme na základe pravdivosti prvotních výroku asémantiky výrokových spojek


Výroková formule

Výroková promenná:nahrazuje konkrétní prvotní výrokybereme ze (spocetné) množiny X = {X,Y, . . .}

Výroková formulevznikne z výrokových promenných použitím výrokových (logických, pravdivostních,Booleovských) spojekmá pravdivostní hodnotu danou ohodnocením výrokových promenných


Výroková logika

Logika je jazyk, má tedy syntaxi (pravidla, která urcují, jak se vytvorí fráze jazyka)a sémantiku (prirazení významu frázím).

Syntaxe: je dánaI abecedou: množina symbolu: X ] {1, 0,¬,∧,∨,→,↔, (, )}

1 . . . pravda (true, T , tt , >)0 . . . nepravda (false, F , ff , ⊥)¬ . . . negace (ne, not)∧ . . . konjunkce (a, and)∨ . . . disjunkce (nebo, or)→ . . . (materiální) implikace (když . . . , pak . . . )↔ . . . (materiální) bikondicionál (ekvivalence, iff, . . . práve když . . . )

I gramatikou: pravidla, jak ze symbolu vytváret fráze


Výroková logika — gramatikaVýroková formule: (znacíme písmeny recké abecedy)

ϕ ::= 0 | 1 | X | (¬ϕ1) |(ϕ1 ∧ ϕ2) | (ϕ1 ∨ ϕ2) |(ϕ1→ϕ2) | (ϕ1↔ϕ2)

kde X je promenná z množiny promenných X

Príklad((X ∧ (¬Y ))→Z) je formuleX(Y ∨ Z) není formuleX ∧ Y ∨ Z není formuleY je formule

ϕ(X1, . . . , Xn) znací, že promenné vyskytující se ve ϕtvorí podmnožinu {X1, . . . , Xn}


Výroková logika — sémantika

Sémantika urcuje co vytvorené fráze znamenajíOhodnocení promenných

funkce I : X→ {0, 1}príklad: I = {X 7→ 1, Y 7→ 0, . . .}

Sémantika výrokové formule:definována induktivne dle pravdivostní tabulky (ph(ϕ): pravd. hodnota formule ϕ):

ph(ϕ) ph(ψ) ph(¬ϕ) ph(ϕ ∧ ψ) ph(ϕ ∨ ψ) ph(ϕ→ψ) ph(ϕ↔ψ)

0 0 1 0 0 1 10 1 1 0 1 1 01 0 0 0 1 0 01 1 0 1 1 1 1

Formálneji: Necht’ V je množina všech ohodnocení promenných, tj. V = (X→ {0, 1}).Potom sémantika výrokové formule je funkce J·K : V→ {0, 1}, napr. JϕK, definovánainduktivne pomocí pravdivostní tabulky.



Príklad

ϕ = ((X ∧ (¬Y ))→X)

X Y ¬Y X ∧ (¬Y ) ϕ

0 00 11 01 1

Kolik existuje výrokových formulí nad promennými {X,Y }?Kolik existuje výrokových formulí nad promennými X?Kolik existuje výrokových formulí nad promennými {X,Y } s ruznou sémantikou?Tedy, kolik existuje ruzných logických binárních spojek?



Príklad

ψ = ((X↔Y )→Z)

X Y Z X↔Y ψ

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

Kolik existuje výrokových formulí nad promennými {X,Y, Z} s ruznou sémantikou?


Výroková logika — syntaxe (závorky)

Závorkyslouží k lineárnímu zápisu syntaktického stromu formule

((X∧(¬Y ))→X) je zápis stromu

→

∧

X ¬

Y

X

casto je vynecháváme:I u korene stromu

• tj. místo (X ∧ Y ) píšeme X ∧ YI u asociativních spojek (∧, ∨,↔)

• tj. místo ((X ∧ (Y ∧W )) ∧ Z) ∨ U píšeme (X ∧ Y ∧W ∧ Z) ∨ UI je-li dána precedencí (používat strídme)

• {¬} > {∧,∨} > {→,↔}


Výroková logika — pojmy

model formule ϕ:je ohodnocení promenných I, které splnuje ϕI tj. ϕ má pri I hodnotu 1 (true)

znacíme I |= ϕ

opak (I nesplnuje ϕ) znacíme I 6|= ϕ

splnitelnost (satisfiability):formule ϕ je splnitelná, pokud má modeltj. existuje ohodnocení promenných I takové, že I |= ϕ

množina formulí F je splnitelná, pokud je splnitelnákonjunkce F , tj. následující formule:∧

ϕi∈Fϕi


Výroková logika — pojmyplatnost (validity):

formule ϕ je platná (tautologie) pokud I |= ϕ pro všechnaohodnocení Iznacíme |= ϕ

opaku (formule není platná) ríkáme neplatnostI (znacíme 6|= ϕ)

kontradikce (nesplnitelnost, unsatisfiability):formule ϕ je kontradikce pokud nemá modeltj. neexistuje ohodnocení promenných I takové, že I |= ϕ

pozor: |= ¬ϕ není ekvivalentní 6|= ϕ

Platí následující dualita:formule ϕ je platná práve když formule ¬ϕ je nesplnitelnáformule ϕ je splnitelná práve když formule ¬ϕ je neplatná


Výroková logika

Urcování zda je formule platná/splnitelná/. . . :ad hoc algebraické metodypravdivostní tabulka (muže být velká)dukaz ve formálním systémuI formální systém Hilbertova typu (prednáška L. Holíka)I sémantický argument (tableau; Smullyan)I prirozená dedukce (Gentzen)I rezoluce


Výroková logika — pojmy

PríkladUrcete, zda je následující formule a) platná, b) nesplnitelná, c) neplatná, ale splnitelná.

ψ = ((X↔Y )→Z)

X Y Z X↔Y ψ

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1


Výroková logika — pojmylogická ekvivalence:

formule ϕ a ψ jsou ekvivalentní pokud je formule ϕ↔ψ tautologieznacíme ϕ⇔ ψ

ϕ⇔ ψ když pro každé ohodnocení I platí, že I |= ϕ práve tehdy když I |= ψ

logický dusledek:formule ψ je logickým dusledkem formule ϕ pokud je formule ϕ→ψ tautologieznacíme ϕ⇒ ψ

ϕ⇒ ψ když pro každé ohodnocení I platí, že pokud I |= ϕ, pak i I |= ψ

pro množinu formulí F definujeme F ⇒ ψ tehdy, když(∧

ϕi∈F ϕi

)⇒ ψ

Jaký je rozdíl mezi ϕ↔ψ a ϕ⇔ ψ?ϕ↔ψ je formule výrokové logikyϕ⇔ ψ je tvrzení o formulích ϕ a ψ v metajazyce. Není to formule.

Podobne pro ϕ→ψ a ϕ⇒ ψ.


Výroková logika

substituce:pokud |= ϕ(X1, . . . , Xn), pak platí |= ϕ(ψ1, . . . , ψn)

ϕ(ψ1, . . . , ψn) vznikla dosazením formulí ψ1 za X1, . . . , ψn za Xn

modus ponens (pravidlo odloucení):pokud |= ϕ a |= ϕ→ψ, pak platí |= ψ

„Jestliže prší, je mokro. Prší, tedy je mokro.“

modus tollens (pravidlo poprení):pokud |= ¬Y a |= X→Y , pak platí |= ¬X„Jestliže prší, je mokro. Není mokro, tedy neprší.“


Výroková logika — pojmyPlatnost a splnitelnost jsou velmi duležité pojmy.

Tautologieduležité v logickém usuzování (zajímají nás platné formule)jsou formule ϕ takové, že ϕ⇔ 1

urcují strukturu platných formulí (použití i v predikátové logice)z hlediska napr. návrhu HW nezajímavé

Splnitelnostduležité pri hledání rešenímnoho problému lze prevést na formuli výrokové logiky tak, že daný problém p márešení práve když formule ϕp je splnitelnákonecný stavový prostorz modelu ϕp pak lze získat rešení pSAT solvery (MiniSat, Glucose, Treengeling, . . . )


Výroková logika — další spojkydalší binární logické spojky:⊕: exkluzivní disjunkce (exkluzivní or, xor, nonekvivalence):I ϕ⊕ψ def⇔ ¬(ϕ↔ψ)I použití v HW (parita: detekce chyb), kryptografii, . . .

↓: Peircova šipka (nor):I ϕ ↓ψ def⇔ ¬(ϕ ∨ ψ)

↑: Shefferuv operátor (nand):I ϕ ↑ψ def⇔ ¬(ϕ ∧ ψ)I casto používaný v HW (jednoduchá impl. v technologii CMOS)

úplný systém logických spojek:množina spojek S taková, že pro každou formuli ϕ existujeformule ϕS využívající pouze spojky z množiny S a ϕ⇔ ϕS

I príklady: {¬,∨}, {¬,∧}, {¬,→}, {↑}, {↓}I pr. neúplného systému log. spojek: {∧,∨,→,↔}

(a kterákoliv podmnožina)

NAND v CMOSA ↑B


Výroková logika — Booleova algebra({0, 1},∧,∨,¬, 0, 1) tvorí Booleovu algebru.

rovnost ϕ = ψ je definována jako logická ekvivalence ϕ⇔ ψnapr. (X ∧ Y ) ∨X = X

X ∧ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∧ Y ) ∧ Z (asociativita)X ∨ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y ) ∨ Z (asociativita)X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y ) ∨ (X ∧ Z) (distributivita)X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y ) ∧ (X ∨ Z) (distributivita)¬(X ∧ Y ) ⇔ ¬X ∨ ¬Y (De Morganuv zákon)¬(X ∨ Y ) ⇔ ¬X ∧ ¬Y (De Morganuv zákon)

F ⇔ ¬¬F (dvojitá negace)

X ∨X ⇔ X X ∧X ⇔ X (idempotence)X ∨ 0 ⇔ X X ∧ 1 ⇔ X (neutralita)X ∨ 1 ⇔ 1 X ∧ 0 ⇔ 0 (anihilace)

X ∧ ¬X ⇔ 0 X ∨ ¬X ⇔ 1 (komplementarita)


Výroková logika — další ekvivalence

X→Y ⇔ ¬X ∨ Y (implikace)X→Y ⇔ ¬(X ∧ ¬Y ) (implikace)X↔Y ⇔ (X→Y ) ∧ (Y →X) (bikondicionál)

Ekvivalence lze použít pro algebraické úpravy formulí.

PríkladPreved’te formuli (X ∧ ¬Y ) ∨ ¬Z do tvaru, ve kterém se vyskytují pouze spojky ¬ a→.

(X ∧ ¬Y ) ∨ ¬Z ⇔ ¬¬(X ∧ ¬Y ) ∨ ¬Z (dvojitá negace)⇔ ¬(X→Y ) ∨ ¬Z (implikace)⇔ (X→Y )→¬Z (implikace)


Výroková logika — Normální formy — NNF

Negacní normální forma (NNF)obsahuje pouze spojky ∧, ∨ a ¬¬ se vyskytuje pouze pred promennými

PríkladNecht’

ϕ : ¬(X→¬(X ∧ Y )).

Formuleψ : X ∧ Y

je ekvivalentní formuli ϕ a je v NNF.


Výroková logika — Normální formy — NNFPrevod do NNF:

1 postupná eliminace všech výskytu spojky↔ pomocí ekvivalence

ϕ↔ψ ⇔ (ϕ→ψ) ∧ (ψ→ϕ)

2 postupná eliminace všech výskytu spojky→ pomocí ekvivalence

ϕ→ψ ⇔ ¬ϕ ∨ ψ

3 propagování negací k promenným pomocí De Morganových zákonu:

¬(ϕ ∧ ψ) ⇔ ¬ϕ ∨ ¬ψ¬(ϕ ∨ ψ) ⇔ ¬ϕ ∧ ¬ψ

Pritom, kdykoliv to jde, zjednodušovat.

PríkladPreved’te formuli ¬(X→¬(X ∧ Y )) do NNF.

¬(X→¬(X ∧ Y ))(implikace)⇔ ¬(¬X ∨ ¬(X ∧ Y ))

(De Morgan)⇔ X ∧ (X ∧ Y )(asoc. & idem.)⇔ X ∧ Y


Výroková logika — Normální formy — DNF

Disjunktivní normální forma (DNF, nekdy též sum of products):je disjunkce konjunkcí literálu: ∨

i

∧j

`i,j

literál je promenná (X) nebo její negace (¬X)

PríkladNecht’

ϕ : (X ∧ ¬¬Y ) ∨ (Z→W ).

Formuleψ : (X ∧ Y ) ∨ ¬Z ∨W

je ekvivalentní formuli ϕ a je v DNF.


Výroková logika — Normální formy — DNF

Prevod do DNF:algebraické úpravy

1 prevod do NNF2 použití distributivních zákonu

z pravdivostní tabulky1 Najdeme množinu ohodnocení R které mají hodnotu 1.2 Pro každé ohodnocení I ∈ R vytvoríme formuli

kI =

( ∧x∈X

I(x)=0

¬x

)∧

( ∧x∈X

I(x)=1

x

).

3 Výsledná formule vznikne disjunkcí formulí kI :

ϕ =∨I∈R

kI .

PríkladX Y Z ϕ

0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

ϕ = (¬X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨(X ∧ ¬Y ∧ Z) ∨(X ∧ Y ∧ Z)


Výroková logika — Normální formy — CNF

Konjunktivní normální forma (CNF, nekdy též product of sums):je konjunkce disjunkcí literálu ∧

i

∨j

`i,j

PríkladNecht’

ϕ : (X ∧ ¬¬Y ) ∨ (Z→W ).

Formule

ψ : (X ∨ ¬Z ∨W ) ∧ (Y ∨ ¬Z ∨W )

je ekvivalentní formuli ϕ a je v CNF.


Výroková logika — Normální formy — CNF

Prevod do CNF:algebraické úpravy

1 prevod do NNF2 použití distributivních zákonu

z pravdivostní tabulky1 Najdeme množinu ohodnocení R které mají hodnotu 0.2 Pro každé ohodnocení I ∈ R vytvoríme formuli

kI =

( ∨x∈X

I(x)=0

x

)∨

( ∨x∈X

I(x)=1

¬x

).

3 Výsledná formule vznikne konjunkcí formulí kI :

ϕ =∧I∈R

kI .

PríkladX Y Z ϕ

0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0

ϕ = (X ∨ ¬Y ∨ ¬Z) ∧(¬X ∨ Y ∨ ¬Z) ∧(¬X ∨ ¬Y ∨ ¬Z)


Predikátová logika 1. rádu


Predikátová logika

Predikátová logika 1. rádu (First-Order Logic, FOL)zabývá se tvrzeními o entitách, jejich vlastnostech a vztazíchstaví na výrokové logiceinterpretuje („dívá se dovnitr“) výrokuuvažuje entity z univerza—tyto jsou oznaceny termyzkonstruovanými z promenných a funkcí, napr.I x, 5, f(x, 2), 40 + 2, fatherOf (motherOf (x)), head("abc"), sin(y)

výroky jsou nahrazeny predikáty nad termy, napr.I x = y, even(x), p(x, y, z), isFatherOf (x, y)

zavádí kvantifikátory pro vyjádrení vlastností entit z univerza:I ∀x — univerzální kvantifikátor (všechny entity x splnují vlastnost)I ∃x — existencní kvantifikátor (nejaká entita x splnuje vlastnost)

(v logice 2. a vyššího rádu se dá kvantifikovat pres relace; zdese tímto zabývat nebudeme)


Predikátová logikaPríklad

Všichni muži jsou smrtelní. Sokrates je muž. Tedy Socrates je smrtelný.(∀x(man(x)→mortal(x)) ∧man(Socrates)

)→mortal(Socrates)

Existuje nekonecne mnoho prvocísel.

∀x∃y(y > x ∧ ∀z

((z 6= 1 ∧ z 6= y)→∀w(wz 6= y)

))Relace R je tranzitivní. ∀x∀y∀z( (R(x, y) ∧R(y, z))→R(x, z) )

Uvažujme tabulky R[jmeno, id] a S[id, vek] v SQL databáziselect R.jmeno from R join S on R.id = S.id where S.vek = 42

∃z(R(x, z) ∧ S(z, 42))

Velká Fermatova veta

∀n∀x∀y(n > 2 → ∀z(xn + yn 6= zn)


Predikátová logika — syntaxeSyntaxe:

Abeceda:I logické spojky: ¬,∧,∨,→,↔, (· · · ) (z výrokové logiky)I promenné: x, y, . . . , x1, x2, . . .I kvantifikátory: ∀,∃I závorky: (, )

I F : funkcní symboly (s /aritou ): f/2, +/2, sin/1, fatherOf/1, π/0• nulární funkce (arita 0): konstanty• použití: f(a, 3), +(40, 2), sin(x), fatherOf (Luke), π()• casto však píšeme: 40 + 2 [pro +(40, 2)], π [pro π()], . . .

I P: predikátové symboly (s /aritou ): p/3, isJedi/1, </2

• použití: p(a, x, 9), isJedi(Anakin), < (x, π)• casto však píšeme: x < π [pro <(x, π)], . . .

I predikátový symbol rovnosti =/2

Signatura 〈F ,P〉 = funkcní + predikátové symbolyI muže být chápána jako parametr

Jazyk: je jednoznacne dán signaturou


Predikátová logika — syntaxePríklad

jazyk teorie usporádání: 〈F = ∅,P = {</2}〉I žádný funkcní symbolI jeden binární predikátový symbol <

jazyk teorie grup: 〈F = {·/2, e/0},P = ∅〉I binární funkcní symbol · (grupová operace násobení)I nulární funkcní symbol e pro neutrální prvek

jazyk teorie množin: 〈F = ∅,P = {∈/2}〉jazyk teorie polí: 〈F = {·[·]r/2, ·[·]

w/3},P = ∅〉

I binární funkcní symbol ctení z pole ·[·]r, napr., A[i]rI ternární funkcní symbol zápisu do pole ·[·, ·]w, napr., A[i, y]w (zápis y na index i v poli A)

jazyk teorie seznamu: 〈F = {cons/2, car/1, cdr/1},P = {atom/1}〉jazyk elementární (tzv. Peanovy) aritmetiky: 〈F = {zero/0, S/1,+/2, ·/2},P = ∅〉


Predikátová logika — syntaxe

Gramatika: formule jsou tvoreny z termuterm (bude nabývat hodnoty z univerza):

t ::= x | f(t1, . . . , tn)

kde x ∈ X a f je funkcní symbol s aritou n.(speciálne, konstanta c je též term)príklady termu:I x, 5, f(x, 2), 40 + 2, car(cons(x, y)), head("abc"), sin y


Predikátová logika — syntaxeGramatika (pokr.):

atomická formule:ϕatom ::= p(t1, . . . , tn)

pro predikátový symbol p/n a termy t1, . . . , tn(platí i když p je symbol rovnosti =)formule:

ϕ ::= ϕatom | (¬ϕ1) |(ϕ1 ∧ ϕ2) | (ϕ1 ∨ ϕ2) |(ϕ1→ϕ2) | (ϕ1↔ϕ2) |(∀xϕ1) | (∃xϕ1)

I kde x je promenná z množiny promenných XI (závorky opet casto vynecháváme)

príklady formulí:I ∃x(40 + x = 42 ∧ 40x = 80),I ∀x(tan(x) = sin(x)

cos(x) ),I atom(car(cons(x, y))),I ∀x(∃y(x = y · y ∨ x = −y · y))


Predikátová logika — syntaxevýskyty promenných ve formuli:

vázaný: výskyt v rozsahu platnosti kvantifikátoruI napr. BOUND( ∃x(x = 4 ∧ ¬(y = 5)) ) = {x}

volný: výskyt, který není vázaný žádným kvantifikátoremI napr. FREE( x = 4 ∧ (∃y(y = 5)) ) = {x}

FREE(. . .) a BOUND(. . .) jsou symboly metajazykapromenná muže mít ve formuli jak vázaný, tak i volný výskyt

Príklad

∀x( p(f(x), y)→∀y(p(f(x), y)) )I x se vyskytuje jen vázané

I y se vyskytuje volné (antecedent) i vázané (konsekvent)

casto píšeme ϕ(x1, . . . , xn) když FREE(ϕ) ⊆ {x1, . . . , xn}I x1, . . . , xn slouží jako „rozhraní“ k ϕ

ϕ je uzavrená (také výrok) když FREE(ϕ) = ∅FIT VUT Matematická logika IDM’20 39 / 65

Predikátová logika — sémantikaSémantika predikátové logiky:

symboly jazyka dosud nemely žádný významsložitejší než pro výrokovou logiku

Realizace (interpretace): I = (DI , αI):

dává symbolum jazyka významI formule muže v nekteré realizaci platit, a v jiné ne

doména (univerzum diskurzu) DI : neprázdná množinaI napr., N, {0, 1, 2, 3, 4}, R3, People, List [N], . . .

ohodnocení αI obsahující:I pro každý funkcní symbol f/n funkci fI :

n︷︸︸︷DI × . . .×DI → DI

• napr., αI(+) = {(0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 1, (1, 0) 7→ 1, (1, 1) 7→ 2, . . .}• pro konstanty tedy jednu hodnotu, napr., αI(π) = {() 7→ 3.14}

I pro každý predikátový symbol p/n relaci pI ⊆n︷︸︸︷

DI × . . .×DI

• napr., αI(</2) = {(0, 1), (0, 2), (1, 2), . . .}• napr., αI(even/1) = {0, 2, 4, . . .}• napr., αI(edge/2) = {(v1, v2), (v2, v3), . . .}

I ohodnocení promenných z X na hodnotu z DI , napr., x 7→ 42


Predikátová logika — realizace

PríkladPríklady realizací jazyka se signaturou 〈F = {+/2},P = ∅〉:

Scítání v N: I = (N, αI) kdeI αI(+) = (+N) (scítání prirozených císel)

Scítání v R3: I = (R3, αI) kdeI αI(+) = {((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) 7→ (x1 +R x2, y1 +R y2, z1 +R z2) | . . .}

Spojení v Booleove algebre: I = ({0, 1}, αI) kdeI αI(+) = {(0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 1, (1, 0) 7→ 1, (1, 1) 7→ 1}

Modulární scítání v {0, 1, 2}: I = ({0, 1, 2}, αI) kdeI αI(+) = {(x, y) 7→ (x+ y mod 3) | x, y ∈ {0, 1, 2}}


Predikátová logika — realizace

PríkladPríklady realizací jazyka se signaturou 〈F = {+/2, ·/2,−/1},P = {E/1}〉:

Scítání, násobení a opacné císlo v Z: I = (Z, αI) kdeI αI(+) = (+Z) (scítání celých císel)I αI(·) = (·Z) (násobení celých císel)I αI(−) = {x 7→ (0−Z x) | x ∈ Z}I αI(E) = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .}

Disjunkce, konjunkce a negace v Booleove algebre: I = ({0, 1}, αI) kdeI αI(+) = {(0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 1, (1, 0) 7→ 1, (1, 1) 7→ 1}I αI(·) = {(0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 0, (1, 0) 7→ 0, (1, 1) 7→ 1}I αI(−) = {0 7→ 1, 1 7→ 0}I αI(E) = {0}


Predikátová logika — sémantika

Sémantika formule predikátové logikyzáleží na realizaci I = (DI , αI)

obecne nelze vyjádrit pravdivostní tabulkouI DI muže být nekonecná (spocetná, ale i nespocetná)

zjistíme pravdivost atomických predikátu,potom propagujeme nahoruhodnota termu t v realizaci I:I definována induktivne následujícím rozšírením αI [t]

pro f/n kde fI = αI(f):

αI [f(t1, . . . , tn)]def= fI(αI [t1], . . . , αI [tn])

(αI [x] pro x ∈ X a αI [c] pro konstantu c/0 jsou jiždefinovány v realizaci I)


Predikátová logika — sémantikasémantika formule ϕ predikátové logiky:

urcuje, zda v dané realizaci I formule platí (I |= ϕ), nebo ne (I 6|= ϕ)definována induktivne:

1 pro predikátový symbol p/n a termy t1, . . . , tn platí

I |= p(t1, . . . , tn) práve když (αI [t1], . . . , αI [tn]) ∈ pI kde pI = αI [p]

(pro rovnost: I |= (t1 = t2) práve když αI [t1] a αI [t2] znací stejný prvek z DI )2 pro výrokové spojky:

I |= ¬ψ práve když I 6|= ψI |= ψ1 ∧ ψ2 práve když I |= ψ1 a zároven I |= ψ2

I |= ψ1 ∨ ψ2 práve když I |= ψ1 nebo I |= ψ2

I |= ψ1→ψ2 práve když pokud I |= ψ1 pak I |= ψ2

I |= ψ1↔ψ2 práve když I |= ψ1 a zároven I |= ψ2, nebo I 6|= ψ1 a zároven I 6|= ψ2

3 pro kvantifikátory:• variant I / {x 7→ v} realizace I je realizace získaná z I nahrazením x 7→ ? za x 7→ v v αI

• I |= ∀xϕ práve když pro všechny prvky v ∈ DI platí I / {x 7→ v} |= ϕI |= ∃xϕ práve když existuje prvek v ∈ DI takový, že I / {x 7→ v} |= ϕ


Predikátová logika — sémantikaPríkladUvažujme jazyk L predikátové logiky prvního rádu se signaturou〈F = {+/2,−/1},P = {Z/1}〉 a jeho realizaci IL = ({a, b, c}, αIL) kde

αIL(+) =

(a, a) 7→ a (a, b) 7→ b (a, c) 7→ c(b, a) 7→ b (b, b) 7→ c (b, c) 7→ a(c, a) 7→ c (c, b) 7→ a (c, c) 7→ b

αIL(−) = {a 7→ a, b 7→ c, c 7→ b}αIL(Z) = {a}

Urcete, zda následující formule platí v realizaci IL: ∀x∀y(Z(x)→x+ y = y)


Predikátová logika — pojmy

model formule ϕ:je realizace I taková, že I |= ϕ

splnitelnost (satisfiability):formule ϕ je splnitelná pokud má modeltj. existuje realizace I s doménou DI a ohodnocenímfunkcních, predikátových symbolu a promenných αI

takové, že I |= ϕ



logická platnost:formule ϕ je logicky platná pokud platí ve všech realizacích daného jazyka, tj. provšechny domény a ohodnocení funkcních, predikátových symbolu a promennýchznacíme |= ϕ

(ekvivalentní pojmu tautologie ve výrokové logice)

PríkladJe následující formule logicky platná?

ϕ : 1 + 1 = 2

proc?



logická ekvivalence:formule ϕ a ψ jsou logicky ekvivalentní pokud je formuleϕ↔ψ logicky platná(nebo: jestliže pro libovolnou realizaci I daného jazyka platíI |= ϕ práve když I |= ψ)znacíme ϕ⇔ ψ

logický dusledek:formule ψ je logickým dusledkem formule ϕ pokud je formuleϕ→ψ logicky platná(nebo: jestliže pro libovolnou realizaci I daného jazyka platí:pokud I |= ϕ, pak I |= ψ)znacíme ϕ⇒ ψ


Predikátová logika — ekvivalence

ekvivalence z výrokové logiky plus následující:

∀xϕ ⇔ ¬∃x(¬ϕ) ∃xϕ ⇔ ¬∀x(¬ϕ)∀xϕ ⇔ ϕ ∃xϕ ⇔ ϕ pokud x /∈ FREE(ϕ)

∀x(ϕ ∨ ψ) ⇔ (∀xϕ) ∨ ψ ∃x(ϕ ∧ ψ) ⇔ (∃xϕ) ∧ ψ pokud x /∈ FREE(ψ)

∀x(ϕ→ψ) ⇔ (∃xϕ)→ψ ∃x(ϕ→ψ) ⇔ (∀xϕ)→ψ pokud x /∈ FREE(ψ)

∀x(ϕ→ψ) ⇔ ϕ→(∀xψ) ∃x(ϕ→ψ) ⇔ ϕ→(∃xψ) pokud x /∈ FREE(ϕ)

(∀x(ϕ(x))) ∧ (∀y(ψ(y))) ⇔ ∀x(ϕ(x) ∧ ψ(x)) pokud x /∈ FREE(ψ)

(∃x(ϕ(x))) ∨ (∃y(ψ(y))) ⇔ ∃x(ϕ(x) ∨ ψ(x)) pokud x /∈ FREE(ψ)


Predikátová logika — ekvivalence

PríkladPreved’te následující formuli do tvaru, ve kterém jsou kvantifikátory co nejhloubeji:

¬∀x∃y(¬((p(x) ∧ r(x))→ r(y)

))⇔

⇔ ¬∀x(¬∀y

((p(x) ∧ r(x))→ r(y)

))⇔ ¬¬∃x∀y

((p(x) ∧ r(x))→ r(y)

)⇔ ∃x∀y

((p(x) ∧ r(x))→ r(y)

)⇔ ∃x

((p(x) ∧ r(x))→∀y(r(y))

)⇔(∀x(p(x) ∧ r(x))

)→∀y(r(y))

⇔((∀x(p(x))

)∧(∀x(r(x))

))→∀y(r(y))


Predikátová logika — Substituce

Substituce termu t za promennou x ve formuli ϕ:formule ϕ[x/t] vzniklá z ϕ výmenou všech volných výskytu x za t

Príklad (x = y ∧ ∀x(y ≤ x)

)[y/z + 42] x = z + 42 ∧ ∀x(z + 42 ≤ x)

Prejmenování promenných: speciální prípad substituce

Príklad (x = y ∧ ∀x(y ≤ x)

)[x/z] z = y ∧ ∀x(y ≤ x)(

∀x∀y(x = y→¬(y < x)))[x/z] z = ∀x∀y(x = y→¬(y < x)(

x = y ∧ ∀x(y ≤ x))[y/x] x = x ∧ ∀x(x ≤ x)


Predikátová logika — Substituce

Substituovatelnost: term t je substituovatelný za x do formule ϕ pokud platí, že:žádný volný výskyt promenné x ve ϕ neleží v oboru platnosti kvantifikátoru ∃y nebo∀y kde y je promenná obsažená v termu t

PríkladJe term z2 substituovatelný za promennou y ve formuli ∃x(x = y)?

Je term x+ 42 substituovatelný za promennou y ve formuli ∃x(x = y)?

Pokud je ϕ formule, x promenná a t term substituovatelný za x do ϕ, pak platí následujícídusledky:

∀xϕ ⇒ ϕ[x/t]

ϕ[x/t] ⇒ ∃xϕ


Predikátová logika — Normální formy — PNFPrenexní normální forma (PNF):

formule je ve forme

ϕ = Q1x1 . . . . Qnxn︸︷︷︸prefix

(ψ(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)︸︷︷︸

matice

)kde Qi ∈ {∀, ∃} a ψ neobsahuje kvantifikátory; {y1, . . . , ym} = FREE(ϕ)

PríkladNecht’

ϕ : ∀n(n > 2 → ¬∃x∃y∃z(xn + yn = zn)

).

Pak

ψ : ∀n∀x∀y∀z(n > 2 → ¬(xn + yn = zn)

)je formule v PNF ekvivalentní s ϕ.


Predikátová logika — Normální formy — PNFPrevod do PNF:

1 eliminace zbytecných kvantifikátoru: Qxϕ ϕ pro Q ∈ {∃,∀} pokud x /∈ FREE(ϕ)

2 postupná eliminace všech výskytu spojky↔: ϕ↔ψ (ϕ→ψ) ∧ (ψ→ϕ)

3 prejmenování promenných:I dokud existuje x ∈ X které

• je v pruniku FREE(ϕ) a BOUND(ϕ) nebo• je kvantifikováno více než jednou

pak nahrad’ ve ϕ podformuli Qxψ (pro Q ∈ {∃,∀}) za formuli Qy(ψ[x/y])• kde y je nová promenná, která nemá ve ϕ výskyt

4 presun negace dovnitr:¬∃xϕ ∀x(¬ϕ) ¬(ϕ ∧ ψ) ¬ϕ ∨ ¬ψ ¬(ϕ→ψ) ϕ ∧ ¬ψ¬∀xϕ ∃x(¬ϕ) ¬(ϕ ∨ ψ) ¬ϕ ∧ ¬ψ ¬¬ϕ ϕ

5 presun kvantifikátoru doleva:

Qx(ϕ) ∧ ψ Qx(ϕ ∧ ψ) Qx(ϕ)→ψ Qx(ϕ→ψ)

Qx(ϕ) ∨ ψ Qx(ϕ ∨ ψ) ϕ→Qx(ψ) Qx(ϕ→ψ)

pro Q ∈ {∃,∀}, kde Q je kvantifikátor „opacný“ ke Q (∃ 7→ ∀ a ∀ 7→ ∃).FIT VUT Matematická logika IDM’20 54 / 65

Predikátová logika — Normální formy — PNF

PríkladPreved’te následující formuli do PNF.

∀n(n > 2 → ¬∃x∃y∃z(xn + yn = zn)

)⇔

⇔ ∀n(n > 2 → ∀x¬∃y∃z(xn + yn = zn)

)⇔ ∀n

(n > 2 → ∀x∀y¬∃z(xn + yn = zn)

)⇔ ∀n

(n > 2 → ∀x∀y∀z(¬(xn + yn = zn))

)⇔ ∀n∀x

(n > 2 → ∀y∀z(¬(xn + yn = zn))

)⇔ ∀n∀x∀y

(n > 2 → ∀z(¬(xn + yn = zn))

)⇔ ∀n∀x∀y∀z

(n > 2 → ¬(xn + yn = zn)


Predikátová logika — Normální formy — PNFPríkladPreved’te následující formuli do PNF.∀y(∃x(P (x, y))→Q(y, z)

)∧ ¬∃z

(∀x(R(x, y) ∨Q(x, y)

))⇔

⇔ ∀y(∃x(P (x, y))→Q(y, z)

)∧ ¬∀x

(R(x, y) ∨Q(x, y)

)⇔ ∀y

(∃x(P (x, y))→Q(y, z)

)∧ ¬∀u

(R(u, y) ∨Q(u, y)

)⇔ ∀y

(∃x(P (x, y))→Q(y, z)

)∧ ∃u

(¬(R(u, y) ∨Q(u, y)

))⇔ ∀y

((∃x(P (x, y))→Q(y, z)

)∧ ∃u

(¬(R(u, y) ∨Q(u, y))

))⇔ ∀y∃u

((∃x(P (x, y))→Q(y, z)

)∧ ¬(R(u, y) ∨Q(u, y)

))⇔ ∀y∃u

(∀x(P (x, y)→Q(y, z)

)∧ ¬(R(u, y) ∨Q(u, y)

))⇔ ∀y∃u∀x

((P (x, y)→Q(y, z)

)∧ ¬(R(u, y) ∨Q(u, y)

))FIT VUT Matematická logika IDM’20 56 / 65

Predikátová logika 1. rádu — Teorie



logická platnost formule ( |= ϕ ) mluví o pravdivosti ve všechrealizacíchcasto nás zajímá platnost jen v urcitých realizacíchI napr. platí 1 + 1 = 2 ve standardním modelu PA (N,+N)?

teorie slouží pro formalizaci matematických struktur pomocíjazyka logiky

Teorie T je definována prostrednictvím:

axiomu AT : množina uzavrených σT -formulí

I ne nutne konecná schéma axiomuI axiomy omezují realizace, o kterých chceme mluvit

• T -realizace: realizace jazyka se signaturou σT splnující AT

(nekdy se uvádí i signatura σT = 〈FT ,PT 〉:I množina funkcních a predikátových symbolu teorie TI σT -formule: formule nad signaturou σT )



T -realizace: realizace I jazyka se signaturou σT taková, že

I |= ϕA pro všechny formule ϕA ∈ AT

T -platnost: formule ϕ je T -platná pokud platí ve všechT -realizacíchI znacíme T |= ϕ

T -splnitelnost: formule ϕ je T -splnitelná pokud platív nejaké T -realizaci


Predikátová logika 1. rádu — Teorie — Príklady

Teorie cástecného usporádáníSignatura: σ≤ = 〈F = ∅,P = {≤/2}〉Axiomy:

1 ∀x(x ≤ x) (reflexivita)2 ∀x∀y

((x ≤ y ∧ y ≤ x) → x = y

)(antisymetrie)

3 ∀x∀y∀z((x ≤ y ∧ y ≤ z) → x ≤ z

)(transitivita)

Teorie ostrého usporádáníSignatura: σ< = 〈F = ∅,P = {</2}〉Axiomy:

1 ∀x∀y(x < y → ¬(y < x)

)(asymetrie)

2 ∀x∀y∀z((x < y ∧ y < z) → x < z

)(transitivita)

3 lineární ostré usporádání:∀x∀y(x < y ∨ x = y ∨ y < x) (linearita)

4 husté lineární ostré usporádání:∀x∀y

(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y)

)(hustota)



Teorie grupSignatura: σG = 〈F = {·/2, e/0},P = ∅〉Axiomy:

1 ∀x∀y∀z(x · (y · z) = (x · y) · z

)(asociativita)

2 ∀x(x · e = x ∧ e · x = x) (neutrální prvek)

3 ∀x∃y(x · y = e ∧ y · x = e) (inverzní prvek)

4 komutativní grupy

∀x∀y(x · y = y · x) (komutativita)



Peanova aritmetika (prvorádová teorie prirozených císel):Signatura: σPA = 〈F = {0, S,+, ·},P = ∅〉I 0/0 je konstantaI S/1 je unární funkcní symbol (nazývaný následník)I +/2 a ·/2 jsou binární funkcní symboly

Axiomy:1 ∀x

(¬(S(x) = 0)

)(nula)

2 ∀x∀y(S(x) = S(y) → x = y

)(následník)

3 (schéma axiomu) pro každou σPA-formuli ϕ s práve jednou volnou promennou:(ϕ(0) ∧ ∀x

(ϕ(x)→ϕ(S(x))

))→ ∀x(ϕ(x)) (indukce)

4 ∀x(x+ 0 = x) (plus nula)5 ∀x∀y(x+ S(y) = S(x+ y)) (následník plus)6 ∀x(x · 0 = 0) (krát nula)7 ∀x∀y(x · S(y) = x · y + x) (následník krát)


Predikátová logika 1. rádu — Teorie — PríkladyTeorie množin (Zermelova-Fraenkelova teorie množin s axiomem výberu — ZFC):

Signatura: σZFC = 〈F = ∅,P = {∈/2}〉Axiomy:

1 ∀x∀y(x = y ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)

)(extenzionalita)

2 ∀x(∃a(a ∈ x) → ∃y

(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ y ∧ z ∈ x)

))(fundovanost)

3 (schéma axiomu) pro každou σZFC -formuli ϕ s práve jednou volnou promennou:

∀a∃b∀x(x ∈ b ↔ (x ∈ a ∧ ϕ(x))

)(vydelení)

4 ∀x∀y∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z) (dvojice)5 ∀a∃b∀x

(x ∈ b ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ a)

)(sjednocení)

6 (schéma axiomu) pro každou σZFC -formuli ϕ: (nahrazení)

∀~y∀w(∀x((x ∈ w → ∃!zϕ(x, z, ~y)

)→ ∃s

(∀x(x ∈ w → ∃z(z ∈ s ∧ ϕ(x, z, ~y)))

))kde ∃!zψ(z, ~u) je zkrácený zápis ∃z

(ψ(z, ~u) ∧ ∀z′(ψ(z′, ~u) → z = z′))

)7 ∃a

(∅ ∈ a ∧ ∀x(x ∈ a → x ∪ {x} ∈ a)

)(nekonecno)

8 ∀x∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y) (potencní množina)kde ∅ ∈ a, x ∪ {x} ∈ a a z ⊆ x jsou standardní zkrácené zápisy

9 ∀x(¬(∅ ∈ x) → ∃f

((f : x→

⋃x) ∧ ∀a(a ∈ x → f(a) ∈ a)

))(výber)



FOL teorie v informatice: napr.celocíselná lineární algebra (PA bez ·/2)teorie políteorie bitových vektorureálná aritmetika

Nástroje:SMT solvery: existencne kvantifikované formule — hledání rešeníI Z3, CVC4, Yices, STP, MathSAT, . . .

automatizované theorem provery: automatické dokazování matematických vetI Vampire, E, Prover9, Satallax. . .

interaktivní theorem provery: interaktivní dokazování matematických vetI Coq, HOL/Isabelle, Lean, . . .


Literatura

[ A.R. Bradley and Z. Manna. The Calculus of Computation. ][ H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, and W. Thomas. Mathematical Logic. ][ A. Doxiadis and C. Papadimitriou. Logicomix. ]https://wiki.lesswrong.com/wiki/Highly_Advanced_Epistemology_101_for_Beginners

[ E. Yudkowsky. Rationality: From AI to Zombies. ]


https://wiki.lesswrong.com/wiki/Highly_Advanced_Epistemology_101_for_Beginners

https://wiki.lesswrong.com/wiki/Highly_Advanced_Epistemology_101_for_Beginners

Documents

Ondˇrej Lengállengal/idm/idm-logika.pdfMatematická logika Ondˇrej Lengál Fakulta informaˇcních technologií Vysoké uˇcení technické v Brn eˇ IDM’19 [pˇreloženo 27