Click here to load reader
Upload
dis705310
View
450
Download
22
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Knjiga
Citation preview
Dr DanijelaTadic Dr Milija SuknoviC Mr Radojevic Vukica Jovanovic OpERACiONA v ISTRAZIVANJA Redaktor Prof. dr Yuksan Bulat 1Citv1..r Izdauathicentar zaIKOUSTAIJSKI plus 2005. Dr Danijela Tadic Dr Milija Suknovic Mr GordanaRadojevic Vukica Jovanovic OPERACIONA ISTRAZIVANJA Reccnzem: Prof. dr Milutin Cupic G/avni i ()(/gOI'Omirrrednik Edicije: Prof. dr Vuksan Bulat lzdavat: INDUSTRIJSKIICIM plu.r lz,lavacki centar za industrijski plus KRUSEVAC, JNA 63, tcVfaks (037)440-035, 23-792 Za iZ(/avaca: Prof. dr Branislav E>ordcvic, dekan Odobreno za izdavanje i upotrebu odlukomNaucno-nastavnog veca Fakulleta za industrijski menadimenl u br. 79 od 10.09.2004. godine Timi:1000 primeraka priprema: Kompjuterskiccntar Fakulteta za Dizajn korica: Stampa: "M-graf", Trstenik SADRZAJ uvoo........................................................................................................................................ l -' ...................................................................................... 9 V1. 1. OPIS PROOLEJ\t,\LP............................................................................................................... 10 1.2. OP$TIMOOELLP.............................................................................................................. 14 1.3. PROBLEMA ..... I6 1.4.1\1ETODA................................................................................................. ............. 24 1.4.1. 0PSTE PSTAVKE................................................................................................... 24 1.4.2. PO(';Ell\O BAZNO RE$EIOE...............................................................................26 1.4.3. PRONALAZENJE ....................................................... 29 1.4.4. (PROBLEMI OGRANICENJIMA TIPA2::, =) ........................ .38 1.4.5.PREVOOENJE OPSTEG MOOELAU JEDAN OBLIKA... 51 1.4.6. NEOGRANICENO RE$ENJE ................................................................................... 52 1.4.7.PREVOOENJE U MODEL LP ....................... 54 I ,S,DUJ' \L../'\ 1 PROBLE!\f .,,.. 1.5.1. SIMETRICNIOUALNI MODEL............................................................................. 56 1.5.2. MODEL ......................................................................... SS 1.5.3. ACIJADUALNOG PROBLEMA.......................... 63 PROBLEJ\1 .......................................................................................... 69 2.1. U\ ' 00............................................................................................................................................. 69 2.2. MODEL ........................................... 70 2.3. PO(;ETNOG RESENJA .................................................... 74 2.3.1. METODA..................................................................................... 76 2.3.2. MINIMALNIH TROSKOVA .................................................................. 77 2.3.3. DVOJNOG ....................................................................... 79 2.3.4. VOGEL-OVAMETODA ........................................................................................... 80 2.4. METODE ZA ............................................... 82 2.4. 1. STEPPINGSTONE METODA .................................................................................. 83 2.4.2. MODIFIKOVANA METODA ................................................................................... 87 2.5. U DATAK ..............- ...................... - ...- ...- ............,. ...- ....... _ 91 2.6. ZADATKA ......................................................... 95 1:.7.RASPOR.EDIVA"'JA.......................................................................................... 98 2.7 .1 . ZA TVOREN( MODEL............................................................................. ............ .... 99 2.7.2. OTVORENI MODEL....................... .............................. ................... ....................... 102 2.7.3. MAKSIMALNAVREDNOST FUNKCIJE CIUA ................................................. 106 :f.MREZNOG PLANIRA."'JA..................................................................... \09 3.1. ANA.LIZA........................................... - ................................................................ 111 3.1.1ELEME!vll MREtNOG OIJAGR.AMA .................................................................. 112 3.1.2. PR.AVILA ........................................................................ 3.1.3. FAZE ...... ........................... ......................... 119 3. 1.4.NUMERISANJE ....................... ............ ............................................................ 121 3.2. ANALJ'ZAVREMENA ....................................................................................................... 124 3.2.1 . ANALIZAVREMENA METODI ....... ..................... ............................... 124 3.2.2. ANALIZAVREMENA METOOI PERT .................................. ......................... l32 3.3. ANALIZA..............................- ..................................................40 ........................ 141 4.UPRAVLJANJE........................................................................... ............. 149 4.1POJMOVI U UPRAVUANJU ZALIHAMA 1 ................... l50 4.2 NEIOMODELI ZAUPRA VUANJE ZALrRA!\1A .................. 160 4.2. 1 OSNOVNI MOOEL .............................................. 160 4.2.2 MODEL SA DOZVOLJENIM .................................................... ... . 163 4.2.3 MODEL SA ....................................................... 165 4.2.4 VREMENSKI MULT!PERIDON! MOOEL ................. .... 168 4.3 OSNOVNIMODELI ZA UPRAVUANJE ZALIHAMA ................... I69 4.3.1 MOOEL NOVINASA KONTINUALNO RASPODELJENOM ............................................................................................................... 169 4.3.2 MODEL PRODA VCANOVINA SA RASPODEUENOM TR.AZNJOM- 171 5. REDOVI ......................................... ...................................................... 175 5.1. MODELIRANJE PROC'ESA........................................................... _,_"_,,,....... 176 5.1 MOOELIR.ANJE PROCESA OPSLU1IVANJA ............................................................. 187 5.3KENOALOVA OBELE1AV ANJA ZA REDOVE ...................................... 188 5.4 SLUCAJNI PROCESI5.4SLUCAJNI PROCESI ........................................................... 189 5.5LANCJ MARKOVA ............................................................................ 191 5.6N..STEPENE VEROVATNOCE .......................................................... 193 5.7. ANJAU .............................................................................. _,,, 197 5.8VEROV ATNOCE ACIONARNOG STANJA. Z.IIIACENJE VREJ\1ENA PRVOG PROLAZA ------ 198 5.9PROCESI RADANJA 1...................................................................................... 201 5.9.1RELACIJA EKSPONENCIJALNE R.ASPODELE U RADANJA 1 ......................................................................................... 202 5.9.2IZVODENJE STANJAZA PROCESEI .... .................... .............. ................................ 203 5.10MODELJ RE-DOVA tEKANJA ...................................................................................... 207 5. 10. 1 MOOELM/ M/ 1/ GD/ oo / oo. FORMULA CEKANJAW................... 207 5. 10.2MOOELM/ M/ 1/ GD/ c/ oo.............................................................................. 212 5. 10.2 MODELM/ M/s/GD/ oo/ oo............................................................................. 215 5.10.3MODELIM/ G/oo/ GD/ oo/ oo1Gl/ G/ oo/ GD/ oo/ oo................................. 218 5.10.4MODELM/ G/ 1/GD/ oo/ oo........................................................................... 220 5.10.5MOOELI OGRANICENOG IZVOR.A: MODEL OORZA VANJA (POPRA VKE) MASINA...................................................................................... 222 5. 10.6 U SER!JAMA: MREZE REDOVA ... ........................................................................................ 226 5. 10.7MODELM/ 0 /s/GD/ s/ co....................... ...... ......... ...................... .................. 229 5. 10.8 ANALIZA RASPODELE VR.EMENA VREMENA SERV!SIRANJA................................................................................................... 232 5. 10.9 U MODELIMA ..........................................233 6. RVO LU V ANJ............................................................................................ 239 7. TEORIJA IGA.RA ........................................ ..................................................... ....... ..... 245 7.1. uvoo...................................................................................................... ................... ........... 245 7 .2. FORM U LA 1 KLASIFIKACIJ A IGA RA ............................................................... 246 7.3.PROSTE i\1..t\ TRJCNE IGRE ............. .................................................................................. 247 7 .4. TRJCNE IG RE ...................................................................................... 251 7 .4.1.REOUKCJJA TRICE .............................. ...................... .................................... 2 52 7.4 .2. NA ............................................................................... ....... 253 7.4.3. GRA Fl ETODA... .... .......... ................................ ...... .................................... 256 7.4.4. RESAVANJE MATRICNIHIGARA LINEARN!M RA NJEM........ ......................... ................. .......................................... 262 8. ODL UCIV ANJE............................................................ 267 8.1.METODE VISEKR ANALIZE............................................................ 269 8. 1. 1. ELECTRE 1................................................ ...... .... ...... .............. ............ 269 8. 1.2. PROMETHEE.......... ..... ..... ................................................................. 284 8.3.3. PROCESA .. ...... ....................... .... 300 PREDGOVOR U okvirudelatttostiFakultcta za industrijski u pretstavlja se grupna autorska tvorcvina, koja primcrena prirodi matcrijc, scuobieajcnopodrazumcvapodOperacionimistrazivanjima.1,;korclacijisa novimtekovinamau kompjutersketchnologiJc. ukonteksrusve slounijihzbtvattja,Opcracionaistraiivanjakaoskupmetodaitehnikasa markantnimobogaci,attjem.prctettdujunaozbiljntuloguupocesu odlucivanja mcnadZera. Nczadovoljavajuce stanjc metodaitchnikaOperacionil!istrazivanja odstrancaktuclnihkorisnikauprivredi,poseban izazovzamcnadzerc.Utomsmislu,ponudaselekcijcmetodaitehnikauO\omizdattju trcba da posluti pozitivnom preok.retu u pristupu prikazanil!metodaitehnikaposledica procene mogucnostima Utomkontekstu.ostajeprilagodavanja potrebama shodno tome i u sadr!aju, do kojih moglo doci Sa svojestrane. autorisu da metode itchnikeprcdstave kojiomogucioprimcnu.Prisutniprirnerisuodgovarajucapomoe korisnicima, da sa aspekata to iU po,ratnihinfonnacijaautoriostajusprcmninadodatnenapore. kakoovajsvojevrstan "alat" uproccsumcnadZeraostvario svoju ulogu. Koristimoprilikudasczahvalimorecenzentu drMilutinuna sugestijama.Posebno ccnimo napore okoostvarenjaizdanja. Porcdtogazahvaljujcmose Skorup, telt.iinfonnatikc, tehniekoj priprcmi rukopisa. Kruscvac,god.Autori UVOD Protekle decenijetlrazvoju okarakterisanesuporastombroja u svim domenima zivljenja. lnterakcija poprima Uslovi za delanjepostajusveslofeniji prilikomosmisljavanjapoteza, poduhvatau covekovogdelovanja.Proces"usijavanja"u nekoliko poslednjih decenija ima svoju predistorij u. Covek usvakod11evnom:tivotu sakojimase Tom prilikom,kao najjednostavnijeslucajeve trebaizdvojitiregistrovanjc011oga se dogodilo iizracunavanje cene za prodaju svoj ihruku dela. Ako u prvoan slucaju masovnostdogadajabilamalaevidentiranje bilojednostavno.Dokudrugom kaotipskom,nastalo sa okolinomulikukoris11ika- kupca. Suprotstavljenostinteresaprodavaca ktapacauzrokovala novkvalitet razmiljanja.Trebalo uzetiuobzirnesamosvojusituacijuveciusloveu okrufenju,kodpotencijalnogkupcakaoimogucihdrugihponudaca. Pojednostavljeno,dokrajaogoljeno,ovakvainterpretacijaodnosaprisutna u svjm zbivanjima,kojima covek danasnjice Naindividualnom covek svojeNa grupnom,poslovnom,naprimer,poljuuigrisuprodukti,usluge,kolektivnih ostvarenjazakoje potencijalno postoje korisnici . ili ishoda zavisi odsve veceg broja faktora.U viestruke odnosno kolektivne javljaseveciilimanjirizik.Prevladavanjetogrizika permanentan izazov za svakog ponudaea kakoindividualnog,takoi kolektivnog.Pritom,treba imati vidudase kolektjvni svodinapersonjfikacjju,uvidu coveka, odnosno njegovog tima, u odgovarajucojgrupi, tj . poslovnom sistemu. Jstorija ispunjena brojnim su potezaa1adrugasredstvadabi se neuskladenostinteresaoptanata. pohodisueklatantanprimer dase nasilnimputemrazre5e Ako u poslovanjupreduzeea rizikukrajnjenepovoljnom bioekonomskikolaps,onda uratnom takavekstrembio suverenostiodgovarajucednave.1 nesamo jedne vecgrupeddava,kaosto to slucaju svetskotnratu.Za oeekivanje da se u takokonfrontacijama porodi ideja aktiviranju svih raspoloiivihpotencijalausmanjenjurizikaodporaza.Takav sa vitalnimresursima(orudima,municijomidrugimpotrebltinama) evropskihsaveznikaodstraneprekomorskogsavezt1ika,SAD.Suprotstavljen interesTrojnogpakta ItalijaiJapan)o6tovaosekrozkoriseenje podmomica radi potapanja transportnih brodova konvoja. U pocetnojfazisaveznici sutrpeliogromne uslednedovoljneefikasnostiprotivpodmomickog 1 OPERACIOXA/STRAtii 'A.vJA sjslcma.Razre$enJC polrazenoodstraneSaveznjkauok,jrujcdnog mulljdjscjpJjnamog 1jma strucnjaka. Artgazovanj stt jnzenjeri struka. vojnj navjgalotj,psillolozj dt1.1gj,Sprovedeno prikttpljanjepodalaka, podsetjmonavecpomcouloregjslt'ovanje, renomertjma,kakou pogledu potencjjala(brzj rtc vjdljj,rosl,dubjnanakojoj akljvjraju drugo), tako podmomjcama kretanjapodmornjca,brzjnaponjranja sl.). osnovuprjkupljenjhpodatakaodgo,rarajucjhsjmulacjjaavjorta podmomjca,tjmskimradon1 dasu eksplodiralenaneodgovarajucoj koja bj lakonstantna,jakosuvjd]j jvosl druge promenlj jve. prj odredenojbrzjni dolazjlodo neskladajzmedu polozajapodmomjce tackeaktjviranja proracunjmauokvirumultidisciplinamogtjma suparametri:raslojanje aviona podmomjce,zavjsnoodvjdlj jvosli .tebrzjneavjona ponjranja poslcdicno aktjvjranjaproljvpodmomjckihmina. potrebnjr\1 efikasnost dc\ovanja da ovajomog11cjo preokrettrsvetskom ratu, u korjsl Prema lermjnologjjjpoduhvat ima karaklcr vojne operacije, obav!jenoistrazjvanjepos!uijlo za sintagme:Operaciona istrazivanja. S!jcnosl uvojsciiposlovartjukompanije,posebnou konkureotskjm teodgovarajucepotrebeda poslovni uzimajuciuobzjr uljcajnifaktori,uslovi !o primcnu ova!""Vog prjstupa, pri eemu zadrZan r1azivistrazivanja. Koliko godtosemantickiitermjrtoloki osnovanorta jezickom podrucju, 10 kod nas nije s\ueaj. Operacjja, kao 1ermin, kod nas ima dvojaku upotrebu: kao vojrta operacija, u postoji slicnost sa vec praksomi u svetu, u proizvodrtji, kada se fizickjl1iJj lj karak-teristika predmela rada, ana!ogno u ma1ema1jci, kao i uhjrurgjji. Medutjm,premaVujaklijj(Vujak!ij a, 1970)tumaccnjcrecjoperacjja de!anje,rad, utom kolekstumogao prihvacentermin,nazjv,Operacjona jstrazjvanja. Prerna au1oraprikladnjjiiudu!tu jezjka,izrazIstrazivanje procesa, jer se radi procesima, vidlji vocitaocuove knjigc. lstinizavolju,oduveksupregaociura:znim proueavanja, u prakticnomradu,anga:lovanjnatraganjimazanovjm,boljimPrirodaodgovarajucematerije osta\aogranieenjeu pogledupostizanjaUllerJjjvostinadenihNajme,mogucnosl kvanlifikacjje relevantnih parametarai prednost nad z Uvod pristupomresavanju Madatakavstavnemozebiti gencralizovan. Razvojmatematskihmetoda, teodgovaraj ucil1algoritamabio prevashodno orije11tisanna prirod11il111aUka.Sa proizvod11je i i specificnih uslova poslovnih subjekatarastao zaovu Stol1asticka fenomenau iuopsteu sferiisticepotrebuza prik.Jadnimmatematickim Utomkontekstu, pripada matematskojstatistici,aliialgebri,teorijiskt1pova.posebnofazzy- od kojil1ovi jos u meri doslidoizrazaja. Timese klasicnogmatematskogarsenala na aliuz rezervezbog stohastickog karaktera i zblvar1ja i Ne siriiodgovarajueeimplikacije Operacionihistrazivanja resavanjeUtom trebaistaci da istrazivanjanaresavanjeovih cijise elementimogu Ovimsene mogucnost participacije tzv. cij iseelementimogu sve u cilju sto boljeg Poredostalihdometa,meduprve prodoramatematskihpostupakatr resavanj u 11proizvodnjispada( 1939)uplaniranju proizvodnje, ( 1941)inezavisnoodnjegaKoopmans( 1945)za transportni te (1947)saSimplexmetodomzalineamo Zatimsledesvebrojnijiprilozi,takodazapojedine na primertransportni postojipreko150postupakazaresavanje odgovarajucih Motivisanostza metodaipostupaka U uslovimadominiranalazenjeboljih,racionalnijihresenjau trosenjai angazovanja vidovaresursa.Ovaresenjaomogucavajusuperiomijipolozaj takvogposlovnog na Naglobalnom nadmetanjeizmedu nacija, radipostizanjavojnesupremacije potsticeenormnaulaganjaurazvoj disciplina,kakosepostigao primat uvasioni,lansiranje coveka uorbl!Uzemlje,iskrcavanje covekanamesec, opservacijaMarsaidrugimslicnimspektakulamimpoduhvatima.Pretakanje ostvarenihtekO\' ina iuopste,drustveno-ekonomskizivotpropratan proces,koji se sa vise ili mar1jeizraze11imfaznimzaostajanjem ipak ostvaruje sto omogucava, pored ostalog, spektakularan razvojmetoda operacionih istrazivanja. Resavanjestrateskih,taktickihi nijesamoseblcilj,vecsledi donosenjeodlukaodstranenadleznogmenadZera.Kvalitet uticena rezultate, irazvoj sistema.Efikasnostmetodaistrazivanjausledprimene matematike,sa strane,ipercepcije menadzerskih aktivnostiukojojdominir-aodlucivanje,potstaklo nekeautore, ostalih i Coulter-a S. Coulter, 1996), da Operaciona istrazivanja poistovetesaManagementScience. obzirsveukupnost menadzerskih 3 OPERACIONA ovakopojednostavljenje,svo15
>14
Resavanjem ovog modela za prome11ljive odlucivanja
i
nutricionista moze dobitinajmanjumogucuukupnucenu vrednostF(X)),svedokuisto vreme ima u vidu potrebe za i13 OPERAC/ONA 1.2.MODEL LP Iz dvaprimeraprimeneLP seprimetitijasanobrazacza formulaciju programiranja.U svakorn su promenlj iveodlucivanja,funkcijaciljaiogranicavajtrcifaktori,kojisuzajedno fonniralimatematicki model stvamc sutuacije pri odluke. Promenljive U svakomsu definisanepromenljive odlucivanja, koje11 ivo aktivnostiiliproizvedenukolicinu.Uopstemmodelu,ovepromenljivesu definisane kao cilja Funkcijacilja osnovniuslov svakogupravljackogzadatka.Bez definisane funkcije cilja nemoguce ostvariti konkretno upravljanje.Funkcija cilja predstavljaukupanzbirsvihdoprinosafunkcijiciljasvakeodpromenljivih odlul!ivanja.Umatematickomsmislufunkcijaciljapredstavljafunkciju pron1enljivihzakoju potrebi!Oodreditiekstremnuvrednost,tj.odreditinjen mini1numili maksimum. prikazano kao: n Max(Min)F(X) =
+
+ ...
+ ... + =2:Cixi ,.: gde - F{X) - ukupna vrednost funkcije cilja - doprinos jedinici aktivnosti; jedinicna (ilijedinicnij =1,2 .... ,n Deji11isanje OgranicavajucifaktorimodelaLPprikazujuogranil!enuraspolo-zivostresursau Vrednost svakog od raspolozivih resursa definisana kao(za i==l,2, ... ,m).Definisacemo sa aq vrednost resursa i jedinici aktivnostij (j=l , 2, ... ,n). Dakle,jednacine kojima defmisemo ograniC!enja su:
.. . +a,ix1+ ... S b1 Oz1X1 + .. . + ... + S....................................................... OmiXt+ ... +
... + Xl)..., 0 14 Lincama prag1amiranje Oveosnonerelacijeprikazujusva saDodavanje nejednakosti :;:usvakom ogranicenjuregio11kojiuistovren1e zadovoljava svc zadate od110Se u S/ikn/.6. i llep,illvarlji\!ilr rese11ja Ovajregion, osencena pom ABCDEnaslici1.6.se kao prihvat-Uivih esenjaz. Bilokojipar izvan ovogregionanepredstavlja prihvatljivo jer naru- iliograni-cenja. Npr. na slici1.6.tacka R (koja unutarprihvatljivih i S (na granici prihvatljivih resenja)sudvaprimera tackei Q su primeri neprihvatlj ivill reScnja. Udatoj prihvatlj ivillresenjaABCDEmoraseodredititacka
koja zadovoljavafunkcijucilja (uovom to maksimizacija profita). Dabise11aslo nagrafikuseprikazatiiF(X). F(X)nijejednacinakojasemozepredstavitisamojednomlinijom, sa paralelnih linija koje zavisc od koju ima F(X).[2) Na slici1.7. semogu primctitinekoliko osobina koje imafunkcijacilja. prvo, svepravekojepredstavlj ajuF(X)1 suparalclne. zato svi11ivoifunkcije 2 prihvatljivih ogranicenanaprvikvadrantzatojer promenljive
'
moraju bit i nenegativne- da '"
18 Linet1rno programiranje ciljaU=I.2..... n), razlici tirn imajuistiResavanjem
u na F(X)i dobija se sledeca jednacina: F(X)4f'(X)2
= 66 3 2 k=-- 3 k1- cilja za svaku v1ednost F(X).
projit Slika7. funkcije cilja Slika1.7. prikazuje F(X) oacrtaouzaviserazl i- reseoja. 12: predsta-vljenasa r. Daljimpovecavanjem vrednostiF(X)do20, dobija se jos jedna linija kojaprikazujeF{X)2, zati1n F(X)3, F(X),. drugo, dapostojibeskonacnoveJjkibrojmogucihfunkcijacilja koje s11prikazane paralelojmlioijama. Posto F(X) > > F(X)1 > F(X)1 j asno da F{X)1 nij enajbolja vrednost funkcUecilja, jer ona moze imativece vrednostj. Takode jasno danj nije optimalno resenje ne sadrzi njje40 (minimalna dnevna potreba za vitaminom
48(minimalna dnevna potreba za vitaminom D) Xr,X2>0 Grafickiprikazovog seodredujenasliean kaoiupredhodnom primeru1.3. prihvatljivih uovom predstavljena regionom, Vec defi-nisanoda se optimalnoresenje mozenaci na granici oveu tackama. Medutim, u max F(X) optimalna vrednost F(X) bila uonojtacki gdeonaimalanajvecuvrednost. rninF(X)podrazumevaobmutproces, iznala:1enje tacke u kojojF(X)tezi sto manjojvrednosti (slika .9.). Naslici1.10. prikazanoviseparalelnihlinijakojepredstavUajuF(X). VrednostiF(X}susvenizeinizekakoselinije koordinantnom pocetk\r.LinijakojapredstavljaF(X) josuvekimatackukojapripada dopustivih u ovom F(X)J. Ovalir1ijaodgovaratacki kojaprcdstavljaoptirnalno sistema kojesuprcdstavljenesadvelinijekojesesekuu optimalno re5enje. 20 Lineamo progmmiranje 6 /_, 5 4 ' 3 2 1 Slika/ . 9. p1ikaz
= 1(mi11imalna dnevna potreba :zavitaminom
=4(minimalna d11evna potieba :zavitaminom D) Optimalno rese11je
= 4i F(X)=2(4)+3(3)=17. S/ika 1.10. Tacka koja p1edstavlja optimalno re.fenje 21 OPERACIONA - --- - - --- -- - - --- --Specijalni sl116ajevi opsteg modela LP izuzetakakodopstegmodelaLPkoji prisu-tstvovise optimalnihresenja,nere!ive ili Oviizuzecise takode mogu ilustrovati grafilki: 1.5. Visestmkooprimalno ,e.fenje Visestrukaoptimalnaresenjapostojeu LPkadaF(X)padauviseod jedne optimalnetacke.Posto granica mogucihresenjaserijapovczanih pravolinijskihsegmenata, jedjno kada se mou pojavitiovakvasituacija kada F(X)i odlio1ijakoja predstavlja ogranicenja isti.Rezultat ovoga da F(X)prolazi kroz dve susedne tackc. [2] F(X)=2
2
23 OPE!UC/ONA 1.4. 1.4.1. POST Simpleks metoduzadatakaLP 1947.postavioDzordz Oancig.Vecina LPsadrzioddveprome11ljivcinemoguseresitimetodom.programizasnovani ovojmetodimogurutinski LP sa nekoliko hiljada promenljivih i nekoliko hiljadaSimpleksmetoda utabelarnoj drugodoserija matematickihkoraka,kaotosuneki primetili,matematickaaparatura. Vrednostiiz modela LP seunose simpleks aparaturu,i skupunapred definisanih matematickih operacija seprimenjuje takose ide od jednog do drugog sve dok se ne dostigne optimalno Priovom postupku, u svakomkoraku,vrednostfur1kcijeciljaF(X} usvakojiteracijisve ili seobavljaduzjedr1eivicekonveksnogmnogougla dopustivih DodpoeetnogdooptimaJnogUsvakojekstremnoj konveksnog mnogougla,sirnpleks metoda dali 10tackaoptimalnog ako nijekoju ekstremnu ici. PrvoseodkoeficijenataF(X)i postupku,fonnira simplekstabelakojapredstavlja resenje,kojeseodredenim iterativnimpostupkomdoksenedobijeoptimalnoSvako odpoeetnogdooptimalnogseiskazujeposebnomsin1pleks modelaLP zadatanejednakostima. se LP ovommetodom,potrebr10 pocetnimodeldefinisansistemom nejednacinapretvoritiusistemlinemihjednacina.Dodavanjempromenljivihpostojece nejednacine, one jednacine. Primer / . 7. Dodavanje dopunskill (izjednacujucih promenljivill) pomocusimpleks predstavice senaprvomprimeru, koji upretl1odnompoglavlju vecresengrafickommetodom(primer1.3.,slika 1.7.). Model LP zadat F(X): F(X)= 4
r 6 Xr + 2Poeetna simp1eks tabc1a 11 Xz Xs 5111 Xs 111 -1/3 1 1[_Q_1 1 -1 -11 F; l -1-1 ll 1 16 Pocetno resenje
= 5,
= 3,
= Xz ;F(X)=- PostotraZimo vrednost funkcijecilja, naredno bazicno resenje u1azi prome1jiva
jer se u ko1oni Xz drugog dela reda
nalazi negativan koeficijent Xz:-3Uvodenj emdopunskihproa11enlj ivih
i
uprvoitrecepromenljivc
u trecematematjcki modelpostaje F(X)=32 xs + + =8 2 ++ = 20 -xs+x6=2 X2t X.s,0 49 OPERACIONA Primecujemodadrugom nijc nivestacka promcnljiva, jernjemupostojirealna6 promenljiva sa (+ 1), ostalimogranicenjimanjenikoeficijentistr (nepojavljujese ostalim ogranicenjima).Koeficijentiuz promenljive
i
str jedinicnii mogtrformirati pocctnu bazu, kojoj odgo\ara jedinicna rnatrica. Pocctna simpleks tabela: 21 812 1 1 20211 12IO1 1IOIO1-11 1 2 -11 Fi - ci I20-1- 1 -2 - 1 1' \) Pocetno resenje cine 8, = 20,= 2. deoreda i njemtl
", zavisno od potreba. ogranicenje dato t tvidumozemo izraziti pomocu dva ogranicenja u vidunejednacina. Na primer, neka datoi -to ogranicenje aux1 +
+ . .. + koje se moze predstaviti preko dva a,, x,+allx1+... ++ ...+ > bt kojimasenavedenoogranicenje Onase, sa( -1)mogu prevestina jednostrana tipa "$"ili"> ". Naprimcr,poslemnozenja drugog ogranicenja sa ( -1 ), bice ++ .. .+ < .. ... . .... a in XI'I:S..1.4.6. NEOGRANICENO RESENJE Pronaci vrednostipromenljivih i koje dafunkcijaci1ja postigne maksirna1nu vrednost F(X)=
-2 +< 2 - Dodavanjem dopunskih promenljivih, matematicki model postaje MaxF(X) =+ .
++ = 2 ++ =3 Formiramo pocetnu simpleks tabelu: 11 121-2111 2-2 1 -11F1
-1-152 111 Lineamo prog,amiranje cine dopunske promen1jivei vrednost funkcije ci1ja
Kako redu
kolonama ", zavisno od potrcba. Znaci, dato u vidu jednacine mo.lcmo iaa..:itipornocu d,a u \idu Naprimcr, neka dato i -to
+ + .. .+ DmX"= kojc se moic prcdstaviti prcko dva a i/ XJ ++ .. . 'iOmXn anXJ + + ...f 2:: kojimasc11avedeno zat11enj11jc. sc,sa(- 1)tnog11 prevcstinajednostranaogranicenjatipa" ". Naprimer,posledntgog sa ( -1 ) , bice ... +S -auxt ... ... - :$ -
1.5.DUALNI PROBLEM JcdnoodvaznijjhotkrjcauranomrazvojuLP jcstckonceptdu3ljteta njegovih veoma Ovo otkricc pokazalo da sesvaki LP vezujc za jedan LP dualnim Rclacjjeizmedudualnog (primamog) pokaule su se Svakom odgovarajedan obmuto.Prjmena dualnog modela se korjstjza matematickog modela, u cjJju brieg prekobrojaracunskihoperacija. modcla smanjenjc kojeseogleda usmanjcnjudopunskih vestackihprotnenljjvih.Kadgod moguce promenljjve, treba primeniti dualni model . Tako primer, kada dat opsti primami zadat3k,kod kogasu sva ogranicenja sa znakom" ",morajuseu oduzimatidopunskeidodav3tipromenljive.Akobit3k3vzadat3kpreveli op3tiZ3d3tak,prisva znaku":::",t3dadod3valisamodopunskepromenljive. prekodunlnog preporucljjvo skoro,u kada u primarnomzadatku postojivecjbrojogranicenja odbroja Nataj reda111svodjsena matricc tcda11,tj . sistemod11jednacit13sa 111nepoznatihn Za rcsavanjedualnih tnoze se korjstjtikoji algorjtam sitnpleksmetode. namgovorjda nema nikakve razlike uprimarnog modela. Izmcdu primamog i dualnog modela postojj u pogledu zahteva: Ako sc uprimamommodelu!rUj maksimum(minimum)funkcijeciljaF{X), onda se u dualnom trazi minimum (maksimum)funkcije cilj3 G{Y}, 55 OPERAC/ONAIS'i'RAZIVANJA Dualnimodelimaonolikopromenjivih
i= 1,2, ... ,kolikoprimamimodel ima ogranicenja, Dualnimodelima onoliko ogranicenja, koliko primamimodel ima promenjivi l1 2 ,... , 11, Slobodniu primamogmodela,postajukoeficijcntiuz promcnjivc ufunkciji cilja G{Y)modela, Koeficijenti uzpromenjivcufunkcijiciUaprimamogmodela,postaju slobodni clanovi u ogranicenjimamodela, Smer u dualnogmodela smen.t nejednacina kod primamog modela. U zavisnostiod tipai smera pojedinihogranicenjaprimara, dvevrste modela: 1. i 2.nesimeticni dualnimodel.[l] 1.5.1. SJMETRJCNJ DUALNI MODEL Ako su sva ogranicenja, u primamom modclu, istog tipa ismera, kazemo da se radi simeoicnom modelu. Opsti matematicki primamog modela7 glasi: ----- +
+ ...+ + auxz + ...+ ,, - -... Koeficijenti za funkcijll cilja (maksimizirati) Prikaz ove tabele prikazacemo na konkretoom primeru: P,ima Transformacija primarnog 11dualni Primarni Dual11i
Min G(Y) =9 + 25 Yz + 3 + 2 < 9+5 Yz > 4 +5xz0. Xz>0. DUALNA PRIMARNIDesna tabelaLP Koeficiient strana z [ 255 (minimizirati) Q. [ strana 1 >6 Koeficij enti za funkciju (maksimizirati) 57 OPERACIONA 1.5.2. DUALNI MODEL Kada su ogra11icenja u primamom modelu razlicitog tip;1i smera, kazcmo da se radi nesimell'icnom (nesimetricni modelmo'-eseuvek svcsti simetric11imodel). Akosuogranicenja,u modelu,razlicitogtipaismeracijuci lja F(X)minjmjziramo tada sedualnommodelutrazjtjm.'lksjmum (mir1jmum) funkcjje cilja G(Y),S\ra jstog smera tipa.[ 1Teoreme Navescemo teoremekoje daju vczujzmeduprjmamog dualnog rnodela, bez ihovog Teonmra1: Dual duala primar. Teorema2:Akojedanodzadataka(primami dualnj)jmakon.1c110optjmalrJO resenje,ondaidrugizadatakimaoptjmalnoprjcemu mjnirnum (maksimum) funkcjjecilja F(X) primara, jednak rnaksimumu(minjmumu) funkcije cilja G(Y) dua\a gdeje F,.,,.(X) = G-(Y) Fmax= Gmin ( .. ,, ... ,Teorema3:Akoprimar(dua\)imaneogranjcenooptjmalnoresenje,tadadua\ (primar) nema dopustivo, moguceTeorema4:Zasvakodopustivo primaraisvakodopustivo duala, sve dok se nepronade optimalno vrednostfunkcijeciljaG(Y) duala, kojojse odredujemjnimum (maksimum), veca manja)odvrednostifunkcjje cilja F(X)primara, kojoj se odreduje maksjmum (mirJjm\rm) funkcije cilja, tj. G.,1 F....,ili G'"'" G., .. i\jF.,..G,., .. , Teorema5:Dopunskojpromenjjvoj ,iz prirnara,kojasenalazjuoptimalnom odgovararealna promenljiva
jz dualai obmuto, rea\nojprornen\jjvoj
izprimara, u optjmalnomresenju, odgovara dopunskapromenljiva 1 iz dua\asa nultom tj. gdeje PRIMAR;:"')DUAL , . Yr(i 1.2 . .... 58 PRIMAR:::>DUAL
... 1= 0 1.2, ... , n) (1.1.5.) Lmearno fi'Ogramiranje l'retposta\imoda optimalno dualnogzadatka,maksimum tra.limo,primenom simpleks TomprilikomureduG,-b" u kolonamaonih promenljivihduala,kojeneulazeurcsenje,svi koeficijentisupozitiv11i,tj .zadovoljavajuuslovTadaoptimalnorescnje p1imamogzadatka,minimumtrazimo,predstavljajukoeficijentiizredaG;-b; 011il1dualnihpromenljivih, kojc ulaze11 (p1ipadajukolonamaslobodnih Drugimrecima.tikoeficijentipostajuslobod11i kolone
uprimamoj $implekstabe!i.Tomprilikomoptimalnoresenje.ukoloni primamesimpleks tabe!e,40 +8xz>48
Dua/ni model za zadatak funkcije cilja ima iznalaze11je G{Y) 4048 4 Yf u dnevnc potrebe za vitaminima i D 64 Lineamo programiranje Takodetrebaprimetitidaova vazitisamo:zarelativnomalu Akosecilj aizmenila:zavecu bazno (kojetrebalodasenalaziupresecimadvepravekoje ogranicenja)rnoglopostatineresivo, takvo izvan dopustivih Tacnijc,buducidatrenutnooptimalnoresenjc(prikazano tackomV)kojeserazmatra)napresckupravakojepredstavljaju gr11nice dopustivihi to: 4 +840 i 6 + 848, zadatakpostaoneresivakosekojeodograr1icenja
'"'40ili 48 smanjilo :za vise od 8. Ovainterpretacijadualnih veoma priprimeniLP upraksi . zbog toga sto u stvanlOSti postoji urasporedivanjuudela svakog resursa, uprkostomesto seformulacijaopstegmodelaLPzasnivanapredpostavcidasuogranicenja
Uovim vrednosti
koriscenepri modela LPusrvaripredstavljaju predpostavljenrtvrcdnost odredenogresursa. Nakon optimalnog datog modela, koristese (u ovom se cesto cene u9)za odredivanje da li potrebna rasporedaresursa. usenciresursaipredstavlja(rninimalnu) kojase moraplatitidasesmanjioudcodatogresursa.Ako prateca manjaod stvame vrednosti jedinice resursa,tadase udeo resursa treba sve dok prestaje da vazi odgovarajuca tJ odredivar1ja jelovnika,bolnickinutricionistaispitujedali potrebne dnevne koli;)= min(l60,50)=50 Ovomkolicinomrobcpotpuno z.adovoljenaproda\njca
U
prcostalo
= 110jc. ifjednaka nuli , to znaci dapostoji jcdnooptimalnoDakle,mozcseizvrsitiprcraspodela prcvozenja naOSilOVUtog polja(i, SCdobltiIIOVOrcsenjc kojc imati istu vrednost cilja. 2.4.2MODIFIKOVANA METODA Ovametodasenaziva iMODImetodailimetodapotencijala.Postupak primenemetodeblceprikazan resenjudobljcnompomocumctode minimalnih i 2131 1 7200 15050 Az 5523 1 150 150 2 1 1 1 26280 11170 311391120 4080 30017050230 Tabela 2.12. Cena transporta prikazanog ovom f(X) = 2030 Potrebno pronacikoeficijentea,,i =\,... ,nzasvakuvrstuikoeficijente
=\,... zasvakukolonu.Ovikocficijentiscpronalazetakodazasvc promenljivc cij fJJi= l , ... ,n;j = l,... , m Kako promenljivihtj . brojjednacinau n - t , broj koeficijenata /31 nto da se jedan od koeficijenataproizvoljno, npr. ncka
Ostali koeficijenti sc na osnovu( 1). U nasem primcru kocficijenti su: ..2 "0+ 2 -+ 1= -+= 1 -+ 2 2-+ + 2-+ = 1 +-+ 1 = -+= 1 -+ 9 "'1-+ = 8 +8-+-5 87 OPERACIONAISTRAl!VANJA U sledeeem koraku, za svepromenljivc. sc velitinc: i =l,.. , n;j= l,...,m Ako susved nencgatjvnetada rcscnje.Akonckaod vcljcinad IJ tadase sprovodjpostupakpreraspodelc transporta na istj nacjn kao uStepping stone metode. Uprimeru se sledecj rezul tatj: d,, /31)= 3- (0+ 1) = 2 d,. ... d" /31)= 5- (-5+2) = 8 d11 /31)= 5-(- 5+ 1) = 9 d>J= /31)= 2- (- 5 6 d,,
+ /31)= 2 -1)= 1 d,. 6 - (0+8) = -2 d,1 = 1- (1+ 1)= - 1 d., =
/33).. 3 - (1 + 1) = 1 Kako ima negativnih vrednosti zad IJ10znati da konacno nijc pro11adeno, sepostupakpreraspodele robenastavljanais1jnacinkaokod Stepping stonemetode.Dakle,negativnuvrednostd" = - 2 sledeci postupak natom polju: 21 . 6+ 110 - 1 9 1 . 4080 Izvrjcemopreraspodelurobekojase prevozjuovjmpoljimai10takotocemo upoljima sa+ smanjitiprcvozenjeupoljima oznacenim sa . Kako robeu polj ima sa - iznose 110 i 80 to manju od tc dve cene tj.80. Daklenova prevozcnja u ova tetjri polja . 1 -2 1 1 ' 6 1 . 80 19 120 Ostala polja se samo prepjsu. koja predstavlja ovo izgleda: 88 Transporllli Bz 2 1 1 7200 15050 Az 5523 1150 150 211 1 261280 3017080
11 9120.) 120 300170501230 Tabela Ccna plana transporta predstav1jenog ovim resenjem 2 *150+ 1* 50+ 3 * 150+ 2 * 130+ 1*170+ 6 *80+ 3* 120 =1870 tj .: 2030-2 *80 = 1870 Sada se opet prona1aze koeficijenti fJi, d;;:
=0 =
+ /31 2/31 /31 = 2 =
+ /33 1 = 0+ /33 /33 =1 31 =
+ /31 2 =
+ 2
= +/31 =1 + 1= =1
+ /34 6 = 0+ /34 /34 =6
"' az +/3.
=-3 L"= 30 =:>t"= 29 =:>t.= 22 put:l -4-5-7- 8=:>t"=19 gde t. ukupno vreme trajanja ovih puteva. - kritican pul VidimodasuvremenskerezerveR1,R_.,R5R6 iR8 jednakenuli,stoznacida k.riticniput pocinje od dogadaja prcko dogadaja"3","5",do "8" koji su, takode, kriticni. Natom putu nalaze se aktivnosti G isto znacida su i ove aktivnosti k.riticne. Ukupnovremelrajanjakriticnogputa, limeicelogprojekla,iznosi30 vremenskih jedinica. 2 55 4 29 Slika 3.32. MD sa kriticnim putem i najranijim i najkasnijim odigavanja dogatlaja 131 OPERACIONA !STRAiiVANJA Primer 3.2. Na slici 3.33. dat jcdan primer mre:inog dijagrama zadatog tabclom 3.4. 3.4. BrojNazlvPrcthod.Pr ethod.NaredttlAktivno.Vreme aktivno.aktlvno.aktlvno.dogadajdoga/Jaj(i-j)trajanja lt ;tt lit 1234567 1-121-22 2 2-39 242-44 4D 6 5 5 585-89 6F 4s4-S1 7G 474-710 8 D.E898-98 91G797-92 Naslici3.33.,dat jedan opstiprimer mrefnogdijagramanakomc prikazan kriticni put i na tom putu kriticneaktivnostii kriticnidogadaji.Prcma MDkriticni putobubvatadogadaje1-2-3-S-8-9.NatomputunalazeseaktivnostiS1 (fiktivnaaktivnost), iznacida sui ove aktivnostikriticnc.Ukupno vreme trajanja kriticnog puta, time i celog projekta, iznosi 29 vremenskih jedinica. D.S F..9 Slika sa kriticnim putem (aktivnosrima i dogatlajima) 3.2.2. ANALIZA PERT Uovompoglavlju serazmatrati planiranjeprojektavezanogza istraiivanje i razvoj novog proizvoda.Veeina aktivnosti koje ovaj projekt saddi su potpunonove.Projektmenad:ierzelidautvrdiprocenuneizvesnostiidaodredi vremena trajanja svih aktivnosti. 132 Teltnika mreinog planiranja Primenuovemetodecemoprikazatinaprimeru jednogpostojeceg proizvoda. Kompanijakojasebaviproizvodnjomindustrijskihsistcmaza razmatrauvodenjeodredenihpobolj5anjauvecpostojeCiproizvodni program.Jedanclanrazvoj11ogtima izlozio predloguvodenjanovog proizvoda kojjsesadriao potpunonov,prenosivsjstemnapajanja.Naime,tajnovisjstcm napaj anja sc sastojaoiz prenosjvebaterijekoja mogucnost ponovne dopune. Ovakompanijazelidanapraviprobojna kucnihaparatasanovjm projzvodom.Menadimenttjmovc kompanije senadadasenoviprojzvodmoze projzvcstirazurnnu cenu da njegovaprenosivostuz odsustvo jzuzctnoatraktivnazabuducekupce.Medutjm,prencgo seupustju projzvodnju,menadimenttimmoradanapravistudjjujzvodljivostiprcnosjvog vakumsjstema.Rezultatstudijejzvodljivosti uformiizvestajakojj kojesveakcjjetrebapreduzetidase projzveonoviprojzvod.U ciljukompletjranjasvihpodatakakojezahtevastudijaizvodljivosti,ucelom istrazivanjumorajuukljucenjsledeCiodseci:odsek zarazvoji jstrafjvanje,odsekzaduzenzatestiranje kontroluprojzvoda,odsekza projzvodnju,odsekzaduzenzaodrcdjvanje kao marketjngtimovjkojj se bave jstraZivanjem trblta. Prednas se postavljaju sledeca pjtanja:Ko\jko ukupno trajanje ist:raZivanjakoja obuhvatasamastudijaizvodljivosti? trebareejodsekuzadu'lenomza testiranjeproizvodada vremensko planiranje svogvremena koje zarad na ovomproizvodu? sl. za sada nemamo dovoljno podataka da odgovori\jna ovapjtanja.Unarednomrazmatanjuovcmetodecemokakodajznademoodgovorenaovapitanja, takodekakoda kompletanrasporedizvodenjaaktjvnostikaoikako dakontroblemoinformacije vezane za ovaj projekat, [3). Prvj korak u procesu vremenskog planiranja projekta predstav\ja analiza strukture, ti. odredivanje svihaktivnostiod kojihse ovajprojekatsastojj, takodeiutvrdivanje njihovog redosleda. Za ovaj projekat lista aktivnosti prikazana 3.5.: Tabeln 3.5. LisraBrojNazivPret.Opts aktivn.aktiYn.aktlv.aktlvnosd 1234 1. Razrada marketinl! olana 2. Dizain nroizvoda 3 lzrada dokumentactieoroizvodu 4D lstrazivanieanketa 5 lzrada prototipa 6F Razrada tehnolol!iie 7GDPredvidanja, odredivaiJ.ie ccnenroizvoda 8 Testiranie proizvoda 9 FOdredivanie proizvodnie 10 Kompletiranie izvestaia 133 OPERACIONA MD kojipredstavlja studij\1izvodljivosti ovog primera dat slici 3.35. i.ftraiivanje triJ'Ita rauada markcting tllzajll proizvoda izrada prototipa f' D proizvaila Slika3.35. A11ali=a str11krure pNJd)'illcmja 1 odredivanje proi'[YOtla kompletiranje izyeJtaja Posleanalize strukturctrebaizmitianalizuvremena.Informacijedobijcne uovoj fazisluzezaodredivanjeukupnogvremenatrajanjap1ojektakaoiodrcdivanja vremena trajanja svake pojedinacne aktivnosti. Za projekte koji su veeizvodeni ranije, kaosu npr.konstrukcioni projektiiliprojektiodrZavanja,menadZeri vec posedujuodredeneinforrnacije vezane za trajanjaodredenih aktivnosti, takodei iskustvopotrebnozanjihovoodredivanje.Medutim,kodjedinstvc11il1projekata, odredivanje vremena svake aktivnostii ukupnog projekta tezciz razloga stonepostojepodaci ranijim,slicnimaktivnostimaiprojektima.Tacnije govoreci, metodiPERT,svakaposmatranaaktivnostse opisujenesa jednim, vec satrirazilicitavremenatrajanja aktiv110stikoje na1nsluze za vremena trajanja aktivnosti, [3). Analiza vremena metodi PERT odvija se u sledecim etapama, [5]: Procena vremena m9, Jzracunavanje ocekivanog vren1ena (t,)9 varijanse v)Odredivanjenajranijeg inajkasnjjeg vremena dogadaja., g)Odredivanje kritjcnih subkriticnih puteva, ______..;;.d)Odredivanje verovatnoee nasn1panja dogadaja. Procena vremeua Posto suaktivnostikodprojekatastohastickogkaraktera,to senjihovavremena trajanjanemogunormirati, sezbogtogaprocenjuju(zasvakuaktivnost)tri razlicite vrednosti vremena za izvodenje svakc aktivnostii to: vreme- a;i najkraccmogucevremezakojese aktivnostmoglaobavitipodidealnim(posebnopovoljnim)uslovima, odnosnounajranijemroku, znaavljanjl! =afiilama Jntegralnikriterijumoptimalnosti definisankaosuma svihtroskova jcdinici vremena: t, + t , L- co+hJu(t)dt+pJu(t)dt t1 +t2 (4.1) Promet!azalihauvremenu(raspodelatraznje)motedascpredstavilincamom funkcijom,kaosto ilustrovanonaslici4.3.SaS oznaccnostanjezaliha neposrednoposleisporukcQ.Vrcdnost sigumosnihzaliha. Ova vrcdnost se dobija kao QS. nivo zaliha (kom.) s .. . ..... ... .. ... ... .. .. Tvremc (\IJ.) Sfika 4.3 Raspodefa 11remen11 iliizrazom u(t)=
- t3) 1 < t , t1 'orehou.resmanagement: classification cmd example.r, ;rt10-th ISIR. Budapest [2]( 1999),Opetaciona izalnana poglavljn,Fakultet organizacionih nauka, Beograd. [3]Chickan,( 1996),MatlrematicalModels lmentOI')' Managenrent, ISJR Budapest. [4]Galovic,D.(2001),Up!avljanjep!'Oizvoc/no sistemima, operacionihJugoslavijc (DOPIS),Beograd. [5]Petrovic, R., and .. (1986): Control Systems, Elsevier, Amsterdam. [6]Hadely, G., and Whitin, (1963), Analysis ()(fnlentory Systems, Prentice-Hall, Jnc. Englewood cl iffs,N.J. (7]Petrovic,R.,iObradovic,D.(\ 986):"Jedanno1iadaptilnialgo,itamsa neizvesnimulazom",Simpozijuminteligenmihsistema'86(d.Ceeez-Kecmanovic, ed.), Sarajevo. 174 -Redoi 5. REDOVI Daopisaliredove neophodno dabuduspecificiraniprocesiulaza (dolazakakJijenata)i procesiizlaza(procesiservisiranjailiprocesiopsi\!Zivanja). Neki primeri ovih proccsa sudati u 5. 1. Tahela 5.1 P,imer-i pracesa re(/ovima cekanja -1 Sit11aciiaProce.1i 11/azap,.ocesi i;laza P11zanje usluge klijentima od BankaDolazak klijenata 11banku strane Restoran Primanje zahteva za seorukomPruZanie usluga 1 Brodovj koji su povucenj sa Brodovi su remontO\fani i BrodogradiliS!e poslatjsu na remont u vraccnj na more
Opslu1jvanJe pomocu Projzvodna halaTransportJIC jedjn kojeurcdaja za opsluzjvanje poslc opsl11zivanjczavri!etka opsl11zjvanja. sjstcm Ulazniprocesiiliprocesidolazaka.Postojedve situacijeukojima procesidolazakamogudazaviseodbrojaklijenata.Prvasituacija, kadase zakljucci procesimadolazakadonosenaosnovuuzorkakoji izvuceniz tnale populacijc.Naprimer,pretpostavimodapostojesamocetiribrodau brodogradilistu. Ako su sva cetiribrodana tada senijedan brod ne mote u bliskojbuducnosti.Sa druge strane, ako su sva cetiri broda uplovnom stanju,tadapostojivelikavcrovatnocada onimocidase ubliskoj Modeliukojimasuprocesidolazakaa11al jzi ra11i osnovumale populacijesunazvanimodelimakonacnog Drttgasituacija, procesadolazaka kadaintenzitetprijaveklijenataopadanaprepunommestu opslutivanja(servisiranja).Naprimer,ako parkingbankeprepun,klijentise vracaju i u banku nekog drugog dana. Ako klijent nije mogao da bude usluzen, tada kazemo da klijent bio spreeen. Akoprocesdolaskanijeuslov\jenbrojemklijenata,tadatajprocesopisujemo odgovarajuce raspodele verovatnoce vremena izmedu dva dolaska. Procesiizla7..aili procesiopsluzivanja izlaznihprocesa suprocesi redovapodrazumevaodredivanje raspodele vrerncnaservisiratrjakojimseopisujevreme klijenata.Utnnogim sepretpostavljadavreme opsluzivanja velicina koja nezavisna od broja klijenata. na primer implicira da serviser ne moie da radibrze kada vise klijenata ccka. 175 OPERACIONAISTRAZIVANJA Postoj edvauobicajna (2) reti no. paralel110akopostoje' ' jse serviserakojiobavljajusamo tip i koj jservjsermozedapruzi Tjpica11pl'jme1 za ovaj p1ocesstt pn.Zanje usJugeklijentjma ubankamaod strane ser-vjsj1-a11j a akokljje11t111orada pi'Odekroznekoljkose1-vjsera Ljnij amontaze primel sistema cekat1ja. Disciplinar eda.reda rnetodkojisckoristida se odredired 11kojem seklijentiopslttzuju.lzredacekanjaklijentinamesta prelaze nekoj od sledecil1disciplinaFIFO klijent koji dode, Pl''i se opsluzuj c, LIFO poslednj ikoji dode,se opsluzt1je, SIRO redos led se odreduje na slucaj an nacinizmedusvih izbora jednakaza sve prisutne klijente, PRIdisciplinapremaprioritetudabudeod1edenaprema najkracemilinajduzem opsltl2.i vanja,tipuklijenata,itd;kod pojave sa visim prioritetom mogu da dva slucaja: ptoduiavaseveczapocetiprocesopsluzjvanjai zavrsetku bjra sesa prioritetom, prekidasezapocetiprocessamesta opsluziva.njase vraca ured pr'ihvata seprjOJ'jtetnjkljjent. Kod sjstemasavjseredova cekanjaizbor discipljne usvakom redu cekanj aistj kao kod jednorednil1sjstema alisemogupojaviti druge mogucnosti.Prvo,klijentimoguda seklasjfikujupremamestima opsluzivanjai dn1go,ukolikopostojivjse zaopsluzivanj eklijentjmogudase prikljuce tamo gde najktaciredovicekanja.Ovajproces mozedabude slucajat1 ili da se pona5a prema usvojenoj rcda cekanja. Jsti autorj [ 1]isticu da dva mogu da budu prjsutna usistemima redova cekanja: 1.klijentseneprikljucujeredukojj vecuodnekeunapred zadate 2.klijent napusta red, posto se priklj uCioi red. 5.1. MODELIRANJE PROCESA smo ranije napomenuli,pretpostavljamodaviseod jednog dolaskamoze da se javiuunapred zadatomvremenskomintervalu.Nekasat; vreme kojem i-ti da dode. ilustrovano slici 5.t,=S -t3=15 Slika 5.Definic(ia vn:mcnskill intervala 176 Zai 2:1, = ti +l - r, .Ovovremepredstavljavremeizrnedudva dolaskaklijenta.Premaslici5. 1,sledida
= 8- 5i
= 15 -8 = 7.U rnodeliranjuprocesadolazaka,mipretpostavljamodasumedusobno nezavisni,ineiz,esni.)';jihovevrednostisuopisane velicinama. Neka neprekidno slucajna u daljem tckstu kao Pretpostavka njihovoj prir11cr,znaCidavrednost
nema trticajana
ili ncktr vrednost Pretpostavka da kontintralna vclici na dobra aproksimacija realnosti. Ova pretpostavka implicira davrcmc dolazaka klijcnta izrazcno u danima ili nedeljama. Ovo pretpostavka stacionarnosti vremenadolazaka. Ovapretpostavka 6csto r1crealna,alimimoramo daapmksi miramorealnosttakosto diskretizaeijudananascgmcnte.Usvakomscgmentudanavrcmeizmed\rdva dolaska stacionamo. sevrcmeizmedudvadolaskaurcdo,irnaeckanja,opisujcvelicinomkoja eksponcncijalnoraspodcljena.Nadaljc dctaljnodabttde prikazana ovaraspodela. Za funkcijagustinc raspodele: {, 1f(X) =12: t > t t) t) Zamenjujuci (5.1 6)u (5.17) -}. t cimc dokaz180 (5.15) (5.16) (5.17) (5.1 8) -- --- - -----'R"-e =doi cekanja Moz.edasc poka2e danijedna druga gt1sti11el"aSpodclc nc zadovolja uslov (5.1 5) [4).Ociglcdno da biozado\oljcll uslov (5.15), eksponcncijalne raspodcle raspodclabczpamcenja.Prelpost:t\' lmodaupro1cklihtsatinijcnijeda.ndolazak(ovo ckvi\alcnlnokaodas1110rekl i :2:1 ),mozemodase pitamokolika ,crovata1ocada1111ared11il1'tsalincbt1denijedar1dolazak (ekvivalentnot Tada izi az (5. 15) pok t)}= S/ika 5.1Veroatnoca da sratl}eje uttemnkut + l!.t 203 OPERACIONA Naistirazmisljamo kada izvodimo izraze (III) i (I V). Tada: Pi(t + 6.t) "' (1) (111) + ( IV) Posle pregrupisavanja terrni11a u ovoj se: (t)+ t P;,J-I( t) + 1! j+l Pi. j+l(t)-
(t)I1J - 1'1J(t) /,j) + o(t>. t)-{P;,J-I (t)+ Pi.j+ 1 (t)+ 1- 2
(t)) (5.58) Poslednji ujednaeini(5.58)moJ!edabudexamenjenkaoo(6t),tada jednaeinu (5.58) mozemo da P;j(t+6t) - P;j (t)= -P;j(t)-),j)+o(6t) Podelimo jednalinu sa6ti pustimo da6.1tada mozemo da pokaiemo da svako i i zaj;:: 1 : .. (t + 6t) - (t) IJ1' llm J(t) = At-+06! 1 1 (t) +" 1 1 (t)- (t) " (t).rJ+I.J+IJ IJOtuda zaj-Q,Pi ,j-1 (t) i11 se: (t) =J.ll
(t) - 0(t) Ovo sistemdiferencijalnih jednacinakojiimabeskonacnomnogo Ove jednacinemoguda budu Pi,j(l) .Rea1no, ovajsistemdifereJcijalnih jednacina ekstremno resiti.Za verovatnoeastacionarnogstanja, 1tj,mozedasekoristi stosmoranijeizveli,zalanacMarkova, verovatnoca stacionamog 1tjse dobija: Lim (t)
Za veliko ti za stanje i,se menjatipunoi moze da se smatra da ima konstantnu vrednost.U stacionamom stanju (t veliko),.. (t) Takode, ustacionamomstanju,P;,j-l(t)=nj-1, Pi.j+l(t)= 1tj+liP;,j(t) = n j . Zamenjujuci ove relacije u mi za 1: n j+l 1tj+l- 1tj 1-lj +!!j+1'1tj+l"'1tj (J.Lj 1,2, ...) 204 Redoi cekanja Za dobija se: Jl1n, J.lo prcdstavljajusistemlincamihjed11ac i11akojcmogt1lakodase nego!itopokazemopostupak sistema dajemointuitivnorazmatranje ovogsistema sledeci nalin: nekom tremllkut 11kojem proces 1'ada11jai umira11ja,10 dabudeistinada s1ako stanje kolikoula:imous1a11je da bude ra:zlucirod 11apusta11ja [4]. Zaveliko ti ... (i za neke mo1a tvrdenja: odlazaka iz stanja broju dolaz.1ka u stanjej(5.59) Koristeci jednacinu (5.59), mozemo da odredimo verovatnoce stacionamog stanja. 1t Za2: 1, sistem lako da napusti stanjepolazeci od stanjailitako da za 2: , se: broj odlazaka J.t (5.60) Za 2:1, sistem lako moze da doee dood stanjaili1): ulazaka uj/jedinica vremena=n + 1t j+l J.t J+l(5.61) (5.60) i (5.6 1)u (5.59) se: =1tJ (j=l,2, ... ) (5.62) Zaj=O, mi znamo daJ.to = 1t_1 takode imamo: Jednacine(5.62)i cestose ravnotezezaproccs ra6anjaiumira nj a.Intenzitet prelazaLlstanjeimoradabude stanja i,zasvako stanje.Ako us lovnijeispunjen, tadakatemo da stacionamo stanje postoji . Za svako stanje(5.62)iu mogu da se sledeci1 ... ...... ... + IA1) n, = + J.t 2 n2 1t1+1!3 1t3 ................ ... ......... ................ 205 (5.63) OPER.ACIONAJSTRAZIVANJA Koristecisistemjednacina(5.63)mogudaseodrede stacionamog stanja za proces rada11ja i umiranja. Za (prva jeclnaCi11aiz sistema (5.63)) sledi: = ll t ovajrczultat 11 jednacinu za koj u 1,sc sledeca jednacina: '(}, , . +2 . 7t 2= -'-''--'-'-'---"--"-llt iz koje se izracunava1t2, tako da: lt2 = -"----''---.!. llt. ll2 doblj a se: n0 1 l! t J..L2 ...
Akooznacimo =- . verovatnoce zaproces lltll2 1lj i umiranja se prema izrazu: =
(5.64) Akou datomvremenu sistemmorada senadeunekomstanju,sumastacionarnog stanja iznosi - = 1 (5.65) (5.64) u (5.65) n0 (1+ f, = 1 Jn ) (5.66) .. Akosuma imakonacnuvred1ost,mozemodakoristimo(5.66)da izrawnamo vrednost vcrova111oCe 1to, tako da: 1 no=----1+ Z: cj (5.67) Uovomjednacina(5.64)mozcdasekoristidaodredi li stacionamog n1, n2, n3 , . ..AkosumaL ima besnonacnuvrednost,tada stacionamog stanja ne egzistiraju. 106 Redovi cekanja Nadalje koriscenateorijaprocesa i claseodredile verovatnoce raz!iciti\1 sistema Uredovirna verovatnocc stanjasekori stedaseodredile dr11ge koje su zapr-oucavar1jeredova cckanja. 5.10MODELI REDOVACEKANJA Uovompoglavljucletaljnosuprikazaninekimodeliredovacekanjakoji1maJu veliku primenjivost. 5. 10.1MODELM/ M/1 / GD/ oo/ oo. L W Pretposta,,kekoje se uvodeu ovaj model 1.Vremenadolazakasu raspode\jena(vremedolaska j edinici vremena j e2.Ima mestoopsi11Zivanja.Jedinicnovreme (vreme opsluzivanja jednog klijenta) sa eksponencijalnom raspodelomsa parametrom Ranije pokazano da ovajred rnoze dase modelira kao proces radanjai umiranja sa sledecim 0,1,2 ....) f.lo J.l= J.l = 1,2.3, .. ) (5.68) Nadalje dabudeizlozenpostupak verovatnocastacionamog stanja za model cekanja.Model graficki prikazan na slici 5. 1 {5.68) u (5.64) (5.69) Definisimo sada odnos koji stepen kapaciteta ili mesta usluge.Podimo odjednacine (5.65) koju pisemo uraz,,ijenom no +n1+n2 + ... = 1 (5.69) u (5.65) se: no+no 1il i 207 OPERAC!ONAISTRA21VANJA sa S opadajuccg rcda, tako da: 23 S = l+p + p + ...(5.71) za rcda pozr1ata,takoda11 s = _!_(5.72) ilikada dobija se: S=>1 (5.72) 11(5.70)dobija se: n0 (Ospsi) (5.73)(5.68) dobija se: nj (Ospsi) (573) (5.74) Ako 1,Vrednost Ssepovecava brzinom.Primeraradi,za 1,vrednostove (1 + 1+ 1+ ... + 1+.... . ).Mozedasekazedaza1 stacionamo senejavlja.Takodamozemodakazernokada 2:11 stacionamostanje sisterna postoji.Ovajse ja\lj a ondakada dolaskajednakilibaremmaloveciod Ako 1 lako moze da se zasto da egzistira stanje. Nasa dalja analiza samo kada egzistira stanje. l zvodenje za L Pretpostavimo da i koristirnoizraz (5.74) da izveli velicine koje interesantnezaovajmodel.Pretpostavimoda stacionarno stanje, odredimo sada srednji broj klijenata 11redu eekanja, oznacen sa L. Ako zamenimo (5.74) (5.75) se: L= :Ijpj
Nekaje s' =L jpj
+ ... 208 (5.75) (5.76) (5.77) L _ _ ___R:..::e::.:: dovi Sada zamenimo (5.77) u (5. 76). tako da se dobija:
+ .. .) Ako (5.76) sa
+ .. .) Odtzimanjemjednacine (5.78) oddobija se: L-p L =
+ ...
+
+ ... ) da1jom jednostavnom algebarskom transfonnacijom doblja se:
+ ...) De1jenjem jednacine (5.79) sa(1dobija se: + ...) (5. 78) 1 (5. 79) Desnastranaj ednacine(5. predstav1jasumubeskonacnogreda.takoda konacniizrazzasrednjibrojklijentaureducekanjaurazmatranommodeluse odreduje prema fonnuli: L iliakozamenimosrednj i brojklijenatatlreducekanja daseizracuna prema fonnuli: L = lzvodenje for mule zaLq U nekim situacijama,zainteresovani smo da odredimo brojklijenata koji cekajuna liniji(nau1azu).ovajbrojsaLq.Ako 1i11 ij i11emaklije1tatailise jedank1ijent,tadanepostojicekanj e.Medt1ti makoseureduoalaziklije1tata 1),tada nalinijicekanja - 1)klijenata.Odredimosada vrednostLqpod uslovom da dostignuto stacionamo stanje. -L, = L:v - 1)111 (5.80) ,.. Primenjujuci osnovne aritmetice operacije imamo: 109 OPERAC!ONA ISTRAZJVANJA " Prvo,razmatrajmoizrazLn;. t lovaJmaz(5.74)sprovedimo osnovne aritmeticke operacije, tako da: f:nj = f:rj
+ ....} (5.81) j=lj=l Dn1gi cinilac izraza (5.81) p1cdstavlja sumu reda koja u ovomslucaju iznosiL . Ako se sada vJ-atimo u (5.81) i prime11imo ovaj 1ezultat sledi: Prviclan Ljnj = Lj 1tj predstavljasrednjibrojklijenatau j=lredu cekanja, L, dat izrazomSada jednacinumozemoda pisemo: Lq= ili ako zamenimobrojklijenata na liniji cekanja je: l zvodenje formule zaL5 Veomacesto od daseodredi brojk1ijenatanamestu opsluzivanja.Zarazmatranimodelcekanja,vrednostovevelicineseodreduj e pomoeu jednacine: L5 =01to +1-(n1 +n2 + ... ) = 1-no (5.81) Otuda,svaki klije11tkoji senalazibilo linijiilina opsluzivanja, smatrase da se nalazi u cekanja. Tako da srednji brojklije11atau redu se racuna: FORMULA CEKANJ ALW Vrlocesto od velikog da se odredi vtemena kojuklijenti potroseureducekanja.Neka sa\VoZ11aceno vremekojeklijenti potroseuredu (vremenaliniji cekanjaplus vreme opsluzivanja). Neka sa 210 Redo,i ceka11jo Wqoeeki,ranovremekojcklijentipotrose ti ,,ij i ceka11ja. ove vtcdnostisu unutarpretpostavkcdase ustacionamom $1anju.Kori steciLitlovu cckanja,vrednostiWiW qmogulakodase odrcdekori steciLiLq.Prvozared (ili deloveredacekanja) slcdece promenljive: srednji broj dolazaka u sistcm jedinici casa, - L srednji broj kl ijcnatau redu cckanja, Lqsredt1jibroj koji nali11ij i, - \Vsrednja vrcdnost vremena kl ijenti potrose u cdu Wqsrednja vremenakojcklijentinaliniji W ssrednja vrednost vremena koje klijenti potro5e na opsluzivanja. U ovimsvcvrednostiseodnose samoza slucajda se sistem nalazi u stanjtt. Za tn110gercdove cekanja, Litlovaformula mo:1e dabude sa1eta u Teoremi 2. Teorema 2.Za nekircdcekanja kojise nalaziustanju, vazcsledece relacije: W Wq LW, lzrazimo iz (5.82) W i zamcnimo\V = L=- '-:- (5.82) (5.83) (5.84) Prema (5.83)moguce daizracunamosrednjuvrednost koju klijentipotrosenalinijicekanj a,W q.Zamenimotljednacinu(5.83)jed11acinu tako da se dobija: \V= Lq=q lstinacinrazmislja1jakoistimo z.a W5: W= L,=..!_ J.l. P,imer 5.5 Pretpostavimo da deset automobilautoku jednog satadolazi salter koja imaautosalter.Takode,pretpostavimoda vreme 4i dasu raspodeljena.Potrebno odgovoriti sledeca pita11ja: :!1 1 OPERACIONA 1) verovatnoea da salteru da budc 2)Koji broj koj ise11redu (autokoji pocetku opsluZivanja smatra se da ccka)? 3) vremekojeklijent naparkingu ivreme 4)Koliko klijenta utokujednog sata opsluzeno jednog blagajnika? Resenje: Premapretpostavcidatiproblem motedase M/ M/1/ GD/ oo/ oo modelomukojem = 1autaleasu,i =15autalcasu( 15=60:4 ). znamo d .'."d. 102 vrenosll 1 j.tmo.R,tada se j -R nalazitiu jednomredu dokncbudeslobodanjedanrai f, = _" ;=",_1--n gde ivrednost posmatrane velicine u i-toj opservaciji f;empirijska frekfencija n n ukupan brojopesvacija, tako dan "' 2); 1 Korak Teorijske verovatnoce,Pi , se racunaju premaformuli: Teorijskefrekfencije,f;se racunaju premaformuli: (= n p. '' Korak 4.Uzoracka vrednost
testa se racuna prema izrazu: f (r;-rJ =..!;",.1_-;---r: ' 232 Redovi K01ak5.lz tabclcdateup1iJogu tcorijsku' 'rednost
testazabroj stepeni slobodcv==r- 2i nivo v 6. Ako v >
onda sepril1vatanulta hipotc?.a da s\ucajna promenlj iva imaPuasonuraspode\u.Ull ipotcza sc odbacuje, odnosnotada se smatra da ima raspodelu. 5. 10.9U MODELIMA REDOVA CEKANJA Ranije smo govorili disciplinireda cekanjakojomse opluzivanja klijenata.Stavimodasu WsrROiWLIFOs\tlcajnepromenljivekojima seopisujevremecekanjaklijenatauredtJeekanja disciplineredaFIFO, SIROiLIFO.Mozelakodascpokazedasumatematickaocekivanjaovih slucajnih velicina jednaka, odnosno: M(Wr,ro) =M(WsJRo) =Srednjevreme(ustacionarnomstanju)ne kojitipdisciplinereda zastupljen.Takodesemozepokazatidapostojisledeearelacijaizmeduvarijansi slucajnih promcnlji vih
Ws1Roi
(WFIFO)
(WSIRO)
(WLIFO) Velika vrednostvarijanse povezanasa velicinom koja opisuje velikovremecekanjauredu gde zastupljcnaLIFOdisciplinareda, imasanse da zastuplj enaFIFO Ovo razumljivo,zato sto LIFO disciplinireda,klijentkadadodemozeimatisrectldabudeopsluzenodmahkada stigne,a\itakodemozedabudepomerensakrajadugogredaUFIFO klije11tne dabudepomerensakrajadugogredacekanja,al idugo cekanje relativno neverovatno. U mnogim rcd ukojem klijenti cekaju da budu opsluieni zavisi od tipaklijenata.Naprimer,uhitnoj primajtrsanapregled ugrentnislucajeviprencgoslucajevikojinisuModeliukojimatip klijenataodredujeredukojemklijentisepodvrgavajuopluzivanjtlsunazvani modeli prioriteta Pretpostavimo dauredu sc nalazin tipovaklijenata(oznaccnihkao tip tip2, ... ,tipn).Vremedolaskai-togklijenta eksponeJlcijalnoraspodcljenosa intenzitetom. Pretpostavljasc dasudolaskarazlicitihtipovaklijenata medt1sobnonezavisna.Vremeopsluzivanja(serYisiranja)i-togklijenta opisano slucajnom velicinom koja eksponencijalnuraspodeltJ,S; . Pretpostavljamo da tipklijenta kojiima brojoznake prioriteta. 233 Modeli nepreventivnog prioriteta Umodelimanepreventivnogprioritela,opslttzivanjcklijenlanemo:l:edabude prckidano.Poslesvakogkompletiranjascrvisa,slc07jva/casu,2 =20 pozivatcasu. ,., 7.5pozivatcasu, 10+2010.10 +20. = 0.8,
=0,
= -=0.267r
-=0.8.Prematabc1r 5.3 57.537.537.5 5" 5 i 8s1edi da 1.UKE Slika 6. 1 sa ve,ovatnocama i 240 Dr."O odlucivanja Korak Odredimo prvo verovatnoeu da bude povo1jnoi1inepovo1jno: Zatim odredimo verovatnoee zasvaki cvor sanse. Ove verovatnoce seizracunavajtt prema Baj asovoj teoremi.
1 )p(poz.rez./ poz. rez.= p(poz.rcz./ PT)p(PT)+ p(poz.rcz. / NT)p(NT) -- 0.70.5=0.78 7. 0.5 + 0.2. 0.5 (NT 1 ) _p(poz. rez. / NT) p(NT) poz. rez.- p(poz.rcz./ NT) p(NT)+ p(poz. rez./ - 0.2 . 0.5=0.22 0.2 . 0.5 + 0.7. 0.5
1 )p(ncg. rez./ neg.rez.=p(neg.rez. / p(NT) -=0.3. 0.5= 0.27 0.30.5+0.80.5 (NT l)p(neg. rcz. / NT) p(NT ncg.rez.= p(neg.rez./ NT) p(NT)+ p(ncg.rcz. / =0.80.5=0.73 . 0.5 + 0.3. 0.5 Verovatnoeada rezu1tatidabudupozitivni,odnosnonegativ11i racunaj tt se prema izrazu za p(poz. rez.) = p(poz. rez./ + p(NT) p(poz. rez./ NT) = 0.5 0.7 + 0.5 0.2 =0.45 p(neg. =.) = p(neg. rez./ p(neg. rez. / NT) =0.5 0.3 + 0.5 0.8 =0.55 verovatnoeamoradabudc1,tj.Aksioma1moradabudezadovo1jena., provenmo. p(po:z.rez.)+p(neg.rez.) +0.45+0.55 =1 Kol'ak 4.U ovom koraku vrednost za svaki cvor udrvetu od1ucivanja. Kako suistrazivanjatrzitaIOSsledidaukupna koja seostvarujcu ve1ikojfabrciiznosi200$-1 OS"' 190$ uma1ojfabrici1OOS-10$=90$.Ukupni 241 ) OPERACIONAISTRAZIVANJA:.:......:..:.;....:..:.;:...__ ___ _ uvelikojfabricisekao-ISOS-1 OS- -190S.Umalojfabrici ukupni su -20S-10S=-30S. Prvoocekivanumonetamuvrednost.OMV.zapoziti11erezultate istrafivanja. 2)=0MV {velikafabrikalpozitivnirezultati) OMV=O. 106.4S OMV (1\vor 3)= OMV (mala fnbrikalpozitivr1irezultati) OMV=O. 78 *90+0.22 *( -30)=63 .6$ Ako odluka da sene gradifabrikatada tj. jednakatrzista. Na osnovuizracunatihOMV sledidaakosurezultatipozitivnitadatrebagraditi velikufabriku.Altemativedasegradimalafabrikaialtemativadasenegradi fabrikau daljern procesu odlucivanjasenerazrnatraju. drvctu ovo oznal!enoprecnanimlinijama.OMVucvoruodlukekadasurezultati istrafivanja pozitivniiznosi 06.4S. Jzracunajmo sada za svaki cvor sansi kada su rezultatiistrazivanja negativni. OMV (cvor 4}=0MV (velika fabrikalnegativnirezultati) 190+0. 73*( -190)=-87.4$ OMV (1\vor 5)= OMV (rnala fabrikalnegati vnirezultati) 73 *( Ako odluka da sene gradi tada 0$,tj.jednakaistrazivanja Na osnovuizracunatihOMV s\edidaakosurezultatipozitivnitadatrebagraditi malufabriku.Altemativedasegradivelikafarikaidasenegradifabrikase nadalje ne razmatraju. Takode i ove altemative su na slici2.6 oznacene precnanim linijama. za cvor odluke kada su rezultatinegativni iznosi 2.4$. Izracunajmosada zacvor oznacensa1.Ovavrednostpredstavlja OMV za slucaj kada se mi trblta. OMV (cvor 1 se istraziva11je trzista) OMVe0.45*1 Ako sene sprovodi tada se OMV zasansi OMV(cvor fabrika) -180)= fabrika) OMV=0.5*1 00+0.5*( -20)=40S OMV kada se ne gradi fabrika OS Na osnovu ovih rezultata sledi daodluka treba da bude da se gradi ma1afabrika. OMV za cvor od1uke kada se neistra1ivanje triista 40$. U2 D-vo odlucialja Akouporedimo kadase ikadaseistrazivanje nesledi da OMV uprvom veea. Ova vrednostpredstavlja i vrednost za odluke,tj.to maksimalnavrednostprofita.Trebanapomenutidaako su rezultatiistrazivanja pozitivnitadatrebagraditi fabriku akosu negativi tadatreba graditima\u Na slici 6.3 su oceki va11e u drvei\Jodlucivanja. Precrtanelinije udrvetu odlucivanja dasete a\temativene uobzir pridaljcm razrnarranju.Ovo zatosto nj ihovaocekivanavrednostnizaodnajbolje altemative. ODI.UK" O,i = 1,2, ... , m q> = 1,2, .. .. 11 Uslucaju strategije odrede11aaltcmati vaili jestcilinijeizabrana kaooptimala11a.Uslucajumesovi testrategijesvaka sa 251 OPERACIONA
. odredenomDakle.Cistastratcgija specijalni mcsovite strategije
, . ... , == (0, , ... ,0.1,0, ... ,0). Uslucajumesoviteigrefunkcija kojaodrcduje igre data sledecjm jzrazom: "'n C(P,Q) = :L2::C,I p,ql f lJl Ako postoje strategjjeza 1,i Q za 11 tako da \' Q1,)tada q 11 tj.
matrjcecena se mo:ie jzbacitjiz razmatranja. 25} TI!OI'ija igora Primcr 7.3. q,(/ z Cf ; q,q. -2 -232
- 1 -1143-1 ' 4-2653 71 -2 Ps 455-1 Kakoje: C(P, , Q) < C(P2,Q), '\:IQC(P, , Q') < C(P2.Q') C(P2,Q) < C(P_,,Q), 'v'QC(P2,Q") C(P,Q6), 'v'Q , Q6) q2 Matrica se svodi q,qJq,q. 3-253
7 -3Ps 45-1 C(P,Q,) > C(P,Q6), VQ,Q,),Q6)=>q, se igra svodi na: qJ q,q. -25 -3Ps 45- 1 -7.4.2. METODA Uteksta koristicemo sledece i =1, ...,111strategijukodkoje = 1 sviostalielementisu nula tj. , ... ,Pi> ... , . ,,(0,0, ... ,0,1,0, ... ,0,0) Q = 1, ... , noznacava strategiju kod koje q = 1 sviostali elementisu nula tj . 253 OPERACIONAISTRA2111ANJA Q, = (q,,q2, .
.... q._,,q. ) = (0,0, ... ,0.1.0..... 0,0) Optjmalnestrategjjejgraca Q"kao vrcdt10SIjgrevsernogunacjjz sledecih
"' C(P,Q) = "f. cvp = vl, ... , n ,_, r. C(P,,Q)'"' "f_c9q1 = 11i =1.... ,111 ;.....-1 '"r. "f_ p,=i, "f_qJ =1 11Uslucajujgre rnatrjca djmenzije22dobjj ase>ledecjsjstern
= v c,:Pt + CnPz= v Pz= 1 c11q,+ c,2q:= v Czlq\+CzzQz= v q, + Qz= 1 ovog sjstemadobjjajuseoptjmal t1estrategjjejgracaQ'kaovrednost igrev. Prjkazacemo primenu ove mctodc sledeeem prjmeru: PJ-imer 7.4. Na osnovu date matrjcc odtedjtj optimalne strategijejgraca. l Kakoje 4 5 2 min cv= 2- donja vrednost matricne igre 'min max cii=4- gomja vrednost matrjcneigre ' l toda se radimesovitoj igri sa2 < v < 4. 2 M.Tourkj,'Marema11ckimodelii mcrodi u 1995 254 Formiraju se sledeci s istemi jed11aci t1a: = v 5p1+2p2=v =1 q1 +5q2 = v 4q, + 2ct2 = v q,+ q2= 1 Temija iga,.a ovihsistemaseoptimal11estrategiJe= (.!.3.)i ( l1 ).._= 2 , 2 kao 1 tgtev = .) . Na istomprimeru prikazacemo jos jedan cija matrica cenadimenzije2 2 3. Primcr 7.5. Funkcija cena se moze zapisati u C(P,Q) = p,q, +5p,q2 +4p1q, +2p2q2= (\- P2)(1-qJ+5(1- P2)q2+4p2(1-q2)+2p2q2 = +4q2-6p2q2 Izjednacavanjemparcijalnihizvodasanulom seoptimal11estrategija igraca: = 0 3-6q2 = 0 1 q2=2 = 0 =0 2 =-3 i metode od!ucivanja'.1998 255 OPERACIONAISTRA21VANJA Dakle optimalne scrategije su: Q' zamenom ovihvrednosti izraz za se ige1 = 3 . 7.4.3.METODA Grafi v, za svakustrategijuQtovazii,Q) l .. ... n .Ozr1acimooptimalnu strategiju sa=
, Sistemr1ejednacina Q) > v,= 1, ... , 11se moze zapisati u Crr Pr+ C2rP2 + ... > V + + ... + ...> v gde vafi: Pr +Deljenjem savi i uvodenjem srner1e= ,i = !, ... se: v
+
+ ... + > 1 c,2xr+ c2lx2+ ... + > 262 1
+
+ ... = -v Teo1ijaigara Kakoigrac/1 zelidamaksimizirav, to seoptirnalna strategijal ,i ishod igre dobitisledeceg zadatka lineamog programiranja:
+
+ ... +
> \
+
+ ... +
> 1 minF(X)=x1 + ...Naanalogannacinformirasemodelzaigraca12Kakoznamodavazi C(P,Q.) < v ,zasvakustrategiju tovazii,Q) s;v,i = l, ...,m. OznacimooptimalnustrategijusaQ.= (q" ... , q.).Sistemnejednacina C(P,,Q. ) < v,i =\, ... se moze zapisati uc11q1 + c,2q2 + ... + c,. q. < v c2,ql + c22 q2 + ... + c2nqn< v gde vaii: q, +q2 + ... +q.=l Deljenjem savi i uvode11jemsmene =qi !, ... ,ndobija se: V
+ ... < 1 C2rYr++ + c2.Yn < 1
+ ...< 1 1 ... v igrac/2 Zelidaminimizirav ,to seoptimalna strategijaigraca/2 i ishod igre dobiti sledeceg zadatka lineamog programiranja: 263 OPERACIONA JSTRAZIVANJA C11Yt ++ +$1 CztYt++ ... + cz.Y.$ 1
+ ...$ 1
:2:1, ... ,n max F(Y) =
+ ... Zadaci1ineamogprogramiranjazajgraca/1 /2 sudualni. znacida dovoljnoreitjjedanodovihzadataka, zatirn drugognaosnovu prvog Primer 7.8. Na osnovu date rnatrice odreditj optjmalne strategije igraca jshodjgre. L 2 8 3 4 3 4 9 1 1 6 3 6 Optimalanastrategijaigraca/1 dohjcesesledecegzadatkalineamog programiranj a:
> 1
1
+
+
+> 1 min f(X) =
+
+
> 0 optimalnastrategijaigraca/2 sledecegzadatka1ineamog
< 1
+912
< 1
max f(Y) Yz Kakosuova dva:zadatkadualna,dovo1jno resiti primer zadatakkoji odgovaraigracu/1.Zatiln se reenje zadatka kojj odgovara igracu/1 se na osnovu prvog reenog zadatka. 264 Na tajnacin se sledeea
=(0;0.143;0.047;0) = (0;0.071;0.1 19) minf(X) = max/(Y) = 0.190 Kako vazi: =vi= \,2,3,4 q1=y1v} = 1,2,3 11 v=--- - - - to suoptimalne strategije i ishodigre: = (0;0.753;0.247;0) Q'= (0;0.374;0.626) v = 5.263 Teorija lgara Cupic, Rao Tummala, Savremenoodlucivanje- metode ip1imena, Beograd,1991. [2]Drecher Gamesof St1ategy:Tl!eory anditsapp/ication,McGrawHill , New York,1963. (3]Friedman, Savage, Tlte utility analysis ofclloices invoM11g risk, Joumal ofpolitical economy,1948. Germejer, B.,lgre sa inte1esima,Moskva,1976. lsaacs, R., games, John Wiley and Sons, Ne'v York,1965. Karlin,S.,MatiJematical andtiJemJingames,PergamonPress, London,\959. Kuhn,H.W.,Tucker,A.W.,Conll'ibutionstotltetlleory ofgames,Princeton, 1950. Lekovic, M.,Teorija i metode odluCivanja,1998. McKinsey, ro tlle tlleory ofgames, Ne\v York,1952. Neumann,Morgenstem, 0 ., Theory ofgames and economic bellavior, New York,1944. ( 11Petric,Operaciona isuaiivanja I. Il, Beograd, 979. Omeng G.,TIJeory o,(game.v,1971. [1 Owen, G., games, Moskva,1971. (14 Schelling, Tlle stategy ofconjlicl,Hatvard University Press, 1960. [ 15]Stoller,S.D.,research:P,oces.1andstraregy,Universityof Califomia Press, Los Ange1es,1964. Tourki,Osnovi procesa i teorije igara, Beograd, 1980. 265 OPERACIONAISTRAZJVANJA (17]Tourlci,Backovic, Matematicki modeliimetodi ekonomiji, Beograd, 1995. [ 18] Tucker, W., Soz,,ingmall'ix game linear pmgramming, IBM,1960. (19] Wald, Statistical New York,1950. (20] Zecevic, Opemciona isnazivanja, Beograd,1974. 266 8. ODLUCIVANJE UO\Omdeluknj ige slediopisi objasnjenje jedne klasc metodavi5ekriterijumskog interesovanjasu: od\ucivanje,Viscciljno kao i metode Vi5ekriterijumskog rangiranja a\tcmativa. Zarazlikuodjednokriterijun1skihmodela,tj.mode\asajednomfunkcijomcilja definisanomnadskupom (videtiu[3],ili(8]),visekriterijumski operisusadveilivi se ci\ja,zakoje potrebnopronaci optimalne vrednosti, skupom Stvamepotrebezaresavanjem ukoj ima Lllvrdenopostojanjevise funkcijakriterijuma,otvaranovopoglavljematematickogprogramiranjapod nazivomvisekriterijumskoprogramiranje.Cestopostav\janjevisekriterijuma dovodido takvih nesag\asnosti, da potpuno postizanje jednog cilja moze negativno dauti\'5e preostale ciljeve.Poscbna kod visekriterij umskog su konceptiPareto optimuma detaljno prikazaniu(8). Donosi\ac odluke u ovakvim situacijamanenastojidamaksimizirazadateciljevevecdaih dostignedosto rnoguceveceg stepena.Naravnoovajzahtevnijenirnalo jednostavanopostici, jer kaoposledicu ima izmedu ciljeva. da optimizacija jednom cilju se negativno odrazava preosta\e ciljeve u modelu. Opstamatematickaformulacijadobrostrukturiranogmodelasaviseciljeva (kriterijuma)najcesce se daje matematickimmodelom sledecegprema [2]: max [f! f2(x) .... ,fp(x)], 2. pri ogranicenjimagde gj(X)i=l, m . -n - broj promcnljivih; - brojfunkcijakriterijuma; m - broj - n-d.imenzioni vektor promcnljivih, n; fk- funkcije (cilja) kriterijuma, k:l,p; gj(x) - skup i= 1, m. naglasitidasemaksimizacijavektorafunkcijeci\ja prizadati.m postosekritcrijumiminimizacijemoguprevestiukriterijume maksimizcije, i to: maxmin [ r 267 OPERACIONA ISTRAZIYANJA gorenavedenogdobijaseskupdopustivi hvektorkojipripada skupu brojeva Rll, zakoji vazi: 1 g; i= 1, 1, 11 ] . Ovako dobijenomskupu odgovaraskup odnosnovektorf{x),takodascskupdopttstivi/1 mozepreslikatiu skup S: f(x)= f2(x), ... ,fp(x)j S= [f(x) 1 ). Akosufunkcij aciljaiskup zadate (sto ovderazmatrano),radise linearnog programtranJa. Vec istaknutodaosnovnakarakteristikasvakogvisekriterijumskog jestepostojanjevisekriterijumazaodlucivanjeivisealtemativazaizbor najprihvatljivije akcije. Na ovoj izvrsena podela modela u sledece grupe: Modeli (V zakojcsukriterijumizadat i Postojikonacanbrojunapredzadatihaltemativazaizbor,pri ne postoj e eksplicitno definisana ogranicenja,vec su onauModeliviseciljnogodlucivanja(VCO),saeksplicitno analitickim svakogkriterijumaNaravnoradiseoptjmjzaciji, suiogranjcer1ja sasvojom formom.Sledeopstimatematickimodeli pomenutil1 modela. odlucivanje Viseatrjbutivnoodlucivanje,kaojednaodoblastivisekriterijumskogodlucivanja karakterisese potrebomizboranajprihvatljivije altemative iz skupa altemativa predstavljenjhnaosnovudefinisanihkriterijwna.Opsti viseatributivnog odlucivanja glasi: max [fJ(x),fz(x), ... ,f11(x)] , n> 2, ... ,amJ gde 11- broj krjterijuma; brojaltemativa (akcjja za jzbor); poznatj konacan skup altematjva. mera dostizanja svakog definjsanojaltemativj javljasc Samimtim,svakjzavjsjod iodalternative,odnosno dvodimenzionalnog karaktera, predstavljen sa to: i=l, m;j =l,n . Izrelacjjesevidida svakavrednostzavisjod j -tog odi-te altemative.Ustaljenjnacinprikazjvanjamodelaviscatrjbutjvnogodlocivanja 268 - - - ----- ---- - _ _ _ _ _ ___
odl11cianje prekomatrice,koja seovojtermi11ologiji matricom sledeceg izgleda: 3 2 .. r,.. .. ... ..fn ........ ... .. .. ..... odlucivanj c Za razlikuodkodvjsecjljnog odlucjvanjadiskretno sefu11kcjjacjlja (dvc vjse)naddefinjsanimskupornogranicenja. modcl zadatog i111a fonnu: max [f1 f2(x),..., fp(x)], 2, 1, rn . j'-' l ,n. gde n-dimenzionj vektor promenljivihj=l,n; f'k- fu11kcijckriterijuma (cilja), k=l,p; g;(x) - skup i= 1, m. 8.1.METODE ANALIZE Uovompoglavlju prcdstavljenrcprezet1tativnjskupmctodavisckriterijurn-skog rangiranja altemativa,10: - mctoda ELECTRE, - metodaPROMETHEE,i - metoda hijcrarhijskih procesa Zasvaku odpomenut.ihmctoda, na nekoljko konkrctnih primera, predstavljeni koracji tumacenjc rcenja.Prva mctoda jeste metoda 8.1.1. ELECTRE 1 koji se namecu praksj, odnosesenanemogucnost odredivanja stroge dominacjje jedneakcjjenaddrugom,jmajupotrebuuvodenjatzv. veza reda,odnosno,definjsanjckrjterijumaza dodeljivanje ranga.lz tihrazlogauvedena metodaELECTRE kojasepokazalauspclnomresavanju ovih 269 OPEIUCIONAISTIUZIVANJA Usvojojprimenjdo;(jvcla jzvesnemodifikacjje takodado danasnjh dana,osnovnavcrzjjatnetode evaluira utri i10ELECTR.E!l, 111 l\1Odrcdcnbroj korakazasvemctode jstovetan, jzvesnerazljkc odtrCt1Utkaizdvajanjanajpril1vatljivijc alternative. Zbog svojc ovde satno osttOVttaverzija mctodc. Postupakprimenemctodc iterati van sastojiseodprocedurekonacnogbroja koraka(9koraka)koji detaljno prikazar1iiobjasnjeniupl"\om primcru,potom slede ilustrativniprimeriobjasnjenja. Primer1. rukovodi lacjednesaobracajneslu;(bctrebada izborkupovine jednog motociklazapotrcbc svojcsluzbe.Ponudezakupovjnu(ukupno ih ima5), prispelesuod izborasusledcci(uzagradi kraju navede11tip kriterijuma): f1 - broj cilindara f2- zapremina motora vreme dostjzanja brzine od 100 kmlh r. -maksimalna brzina - fs- speci snaga masi - f6 - cena motocikla r, -garantni rok Altemative su: - -
GPZ-750 -
Ducatj 750FI - - Suzuki GS-1150 - as - Yamaha RZV 500 R matrica imamaxmaxmtnmaxmaxmtnmax r,fz f4f5f6f, 498712.41 visoka9600 az 265012.981 prosecna630020
274812.881prosecna870012 4118213.34 vr. visoka730020 as21100 1 2niska4500 Preduslovradametodcj este kvalitativnih gore navedene matrice,tzv. skale, definisane u Poglavlju br. 8.1.1. 270 ViseA,ifetijumsko odluCivanje Kvantifiko,,ana matrica od1ucivanja ima izg1ed: maxmaxn1111maxmaxrrunmax 498712.411227960018 265012.981 135630020 01 =
274812.881 185870012 4118213.341139730020 as 211001302112'.)450014 Korak 1:Jzracunavanjenormali zovane matrice odlucivanja (N). Prvo potrebnozasvakikriterijumizkvantifikovanematriceodlucivanja, izracunatinjego,,unormu,(ovdese izracuna,,akao zbira kvadrata elemenata posmatranog vektora), to sledecom formulom:
norm'l ="L::X: ,., Norma prvog kriterijumaf] , iznosi: norma1 = -}(4' + 2 '+ 2'+ 4'+ 2' ) "'6.6332 itako redom za sve preostale la1iterijume. Potom seracunajunorma1 jzovanjelementimatrice takosto se svakj element vektora kriterijuma podeli sa normom tog kJiritcrjjuma (vcktora), odnosno: n = gdeje: - vrednost akcije =1, uodnosu nak1iterijum = 1, n ; Za posmatrani primermatricag1asi: 0.60300.46200.42920.47170.50920.5726 0.3015030430.44900.43690.36370.3758 N=0.30150.35020.44550.45620.36370.5189 0.60300.55330.46140.43690.65470.4354 0.30150.51490.45030.43300.21820.2684 0.4704 0.5227 0.3136 0.5227 0.3659 Korak 2:Izracunavanje tezinskimatrice (TN) (8.1) Uovomkoraku,donosilac uproccduriresavanja iodreduje tezine kriterjjuma, posle cega se tzv. tezinskimatrica odlucivanja. 171 OPERACIONA ISTRAZIVANJA Matrica izabranih glasi: 0.10.00.00.00.00.00.0 0.00.10.00.00.00.00.0 0.00.00. 10.00.00.00.0 0.00.00.00.20.00.00.0 0.00.00.00.00.20.00.0 0.00.00.00.00.00.20.0 0.00.00.00.00.00.00.1 ili vektorskomnotacijom =[0. 1 0.20.20.20. 1],priccmu zbir elemenata ovoga vektora jedinici . Naosnovumatrice elemenata inormalizovanematriceodlucivanja (N),tezinska (TN) izracunavasemnozenjem pomenute dve, odnosno 0.06030.04620.04290.0943 18 1450.0470 0.03020.03040.04490.08740.07270.07520.0523 0.03020.03500.04460.09120.07270.10380.03 4 0.06030.0553 0.08740.13090.0870.0523 0.03020.0550.04500.08660.04360.05370.0366 Korak 3: Odredivanje skupova saglasnostii nesaglasnosti (S) i(NS) U ovom uporedjuju se paroviakcija.Obelezimo ihsai r r = 1, mir). Prvo se formiratzv. skup Spr za akcije ikoji se sastoji od svih kriterijuma 1 1,.. ,n), za koje akcija pozeJjnija od akcije odnosno: (8.2) Ukoliko se radi kJiterijumutipa minimizacije, znak suprotan (). ovaj skup skupu saglasnosti, NSpr = - Spr Naprimer, zaakcije iaz,pokazacen10postupan izracunavanjaovadva skupa. 272 odluciva,Ye ,.2, j ; l ;SJ2;(J,2) 13: S = (1 , 2,3, 4, 5) 16 < : NS 12=(6)- krjtcrijum tjpa min 7 > ; NS 12= (6, 7) Konacniizgled skupova saglasnost jnesaglasnostjza akcije i glasi: S12 =(1, 2, 3, 4,5) i NS12 =(6, 7). Na slican nacin se odreduju: S13 = (1, 2, 4, 5,7) S14(1, 4) S15 = (1, 4, 5,7) s21 = (6, 7)
=( 1, 5.7) s24 4, 6.7) s25 = (1,4, 5, 7)
(6) s32 = ( 1, 2, 4, 5)
4,)
4, 5) $41 ( 1, 2, 5, 6. 7) $42 = ( 1, 2, 4, 5, 7)
( 1,2,5, 6, 7) $45 = ( 1, 2, 4, 5, 7) s51 '"' (2, 6) s52 = ( 1, 2, 6) s53 = ( 1. 2. 6, 7) s54 6) Korak 4:Odredivanje matrice saglasoosti (MS) NS13 =(6) NS14(2, 5,6, 7) NS15 = (2,6) NS2 1 = (1,2,3,4,5) NS23 = (2, 4) NS24 = ( 1,2,5) NS25 = (2,6)
= ( 1, 2, 4, 5, 7) NS32 =(6,7) NS34 = (1,2,5, 6,7) Ns35 = (2,6,7) NS414) NS42 6)
(3, 4) NS45 = (3, 6) 7) NS52 =(3,,4 5,7)
= (3, 4, 5) NS54 = (\ , 2.4, 5, 7) Matrica saglasnostiseodredujc osnovuskupa saglasnosti umodelu, elemente matricesaglasnostitzv.iodeksisaglasnosti.Njihovavrednostseracunakao sumapreferencija(tezinskihkoeficijenata),kojeodgovarajupripadajucim elementima skupova saglasnosti. Tako se indeks saglasnostiSpr za akcije i ar>definise: =L: t(8.4) 273 OPERACIONAISTRAZIVANJA primer uzmimo clementMS24 cijas24 4, 7) MS24t3 + r4 + t6 + t7 0. 1 + 0.2 + 0.2 + 0. 10.6 Ocigledno daSpruzimaiz :5Spr:51idavecavrcdnostzaSpr ukazujenavecupozeljt1ostakcije naakcijuar (premasaglasnosti).Ovakoopisaniindcksisaglasnostiformirajutzv.matricukoja dimenzijam 111,gde 111rar1ije brojakcija.saele111enrunana glavnoj IJUii , se nevrsi akcije same sa0.000.700.800.400.70 0.300.000.600.600. 70 0.200. 700.000.300.60 0700.70700.000.70 0.300.400.500.300.00 Korak 5: Odredivanje matrice 11csaglasnosti (MNS) Uovomkorakuizracuna vasetzv.indeksnesaglasnostiipopunjavamatrica nesaglasnosti. Relacija za indeksa nesaglasnosti glasi: max Jtn - tn .NS MNSpr = f!."(8.5) n;xJtnpj- 111ry J primer, navodi se izracunavanje indeksa ncsaglasnosti zaakcije az i NS24 =(1,2,5) ma40.fu01 0.0249 = 0.02490.00 120.00000.05820.01 19
= 0.0582 = 1.0000 0.0582 Na slicannacin,lako odreditii ostalevrednostiindeksanesaglasnosti, potom formiratii celu mat1icu nesaglasnosti: 0.00001.0000035561.00001.0000 0.76590.00000. 16081.00000.7388 1.0000 00000.00001.00001.0000 0.23710.02060.06530.00000.1798 95721.00000.58081.00000.0000 274 Visekrirerij11msko odllltll'tmje Korak 6: Odredivanje matricc saglasnc dominacijc (MSD) Ova matricasc popunjava tzv.pragaindcksakoji se mozc dcfinisatikao proset11ii11dcks izracunat s ledccoj rclacij i: 1"'m PIS =(8.6) m(m-l) p lr=l PIS = 0.5450 Matrica saglasnc dominacije izracunava sc osnovu kritcrijuma: MSDpr = 1zaMSprPIS MSDpr = zaMSpr < PIS Odnosno, poslc matrica glasi: ro 11' 1 1 11 MSD= 1 1 111 1 ; () ' - -Korak 7: Odrcdivanje matricc nesaglasne do1ninacije (MNSD) Ova matricaseanalognoMSD.od110S110,11ajprcscizracu11a indeks ncsaglasnosti, sledcco1n relacijom: 1mPINS = (8.7) m(m- 1)rnl odnosnokonkrcktno,PINS7031 onda se OS110vukriterijuma: 1za za potom se formira: MNSpr :SPINS > Pll\S i Korak 8: agregatnc dominacijc (MAD) Proizvodelemenatamatriccsaglasnei11esaglasnedominacije, receno, pozicija elemenata pomenutihmatrica (neradisc klasicnomrnatricnomracunu), prcdstavlja nacin izracunavanja clcmenata MAD i to slede6om rclacijom: MADpr =MSDpr *
(8.8) 175 ' OPERACIONAISTRAZIVANJA matrica MADima sJedece vrednosti: .2 14 lo Korak 9: EJeminisanjc tnanje pozeJjnih akcija 1 1 -7 dominira nad 3 2 - 2 -7 dominira nad 3 MAD=a30 a3-7 nedominira -
5 -7 nc dominira lzanaJizesevididaaJtcrtJativaudominiranadpreostaJim aJternativama i najprihvatJj ivija, . OST ALIPRIMERI Primer 2. KoristecioriginaJnuvcrzijumetodeELECTREizborjedneod aJtemative na osnovu datih kriterijuma. PooetnamatricagJasi: f1(min)f2 (mox)f 3 f4 f5 tmnxJ 220Visoka1600480013Niska 250Vrlovisoka1200820014Visoka 230VisokaISSO70009Vr!ovisoka 190Niska170045007Prose k(b) = ako k(a) $k(b) odnosno: za situaciju: k(a) >k(b) pozeljnije od odnosno: k(a) =k(b) 1 sa 284 (8.1-v. k(b; =1jaka k(a) k(b); =1stroga preferencjja, k(a) > k(b), posle cega se zakljucuju da postoje sledecefunkcije preferencije: 2. :#Graficki predstavljeno to jzgleda: 1 Slika 8.1. Vrednosrifunk,ije preferencije > Drugi nacin prikazivanja funkcije preferencjje uvodenje promenljive to: k(a)- k(b) = :50 285 (8.11) ' OPERACIONAISTRA21VAN.IA Odnosno graficki: 1 Slika 8. 2.Frmkcija Osnovni preduslov rada metode PROMETHEE,je definisati opstitip za svakipojedinacnikriterijumk(a).Postojiukupno6tipovaopstegkriterijuma. Prilikomkreiranja modelazasvakitipopstcgkriterijumapotrebno odrediti U deludajese.pojedinacnoizgledsvakogopsteg kriterijuma sa granicama za odgovarajuce parametrc. Tabela 8.1.opsteg krirerij11ma TI POVI KRITERIJUMA -"'q - P .-.. 1 fi.P 1: kt Jeriwm .,.
111 n=O 111 J)f'Oferenc:l,lom : xfn01x > n n286
n= O q = l
, odlucivanje TIP IVNlvo l:rter'i).ltfl 11
xS m ::1
nTip V . Krl erijum lneane preferencije sa pnc1t'uejernW\d!1eren::nost 1 - s m. q =1 n-m mn 1 x> n 1 Korak 2:grafa viseg Posledefinisanjatipa odreditivrednostfunkcije akcije una svakom i izracunatitzv.indeks preferencije akcije odnosu na u obzir svaki par akcija iz l ndeks preferencije se iz1acunava sledecom relacijom: A: IP(a, b) == 1, Ukolikose desi da svi kriterijumi istu da 1/n tada 1n IP(a,b) =-n indeksa preferencije su sledeee: 1. :5IP(a,b) :51 ; IP(a,a)2.IPslaba preferenca odnosu na za svc kriterijume; stroga preferenca na za sve kriterijume; 3. (8.12) (8.13) Procenjenigraf visegranga graf,cijasu jezgra dopustive akcije,izasvakipar akcija i odgovarajuciluk imavrednostnjihovogindeksapreferencije IP(a, b), videti u [3]. 287 r OPERACIONAISTRAZJJIANJA IP(a,b) IP{b2) S/ika8.3. Pmcenjcni gPafiseg Korak 3: Koriscenje re1acije ranga kao pomoe u od1ucivanju Potom se zasvaku akciju i negativni(u1azni) tok. Pozitivni tok (iz1azni tok) se 1 -1) ukupan broj a1temativa mode1u Negativnitok (u1azni tok) se 1 L IP(x,a) Ovako defi nisanetokove treba tumaciti na s1edecinacin: (8.14) (8.15) sto veciiz1aznitokzaakcijutoonavisedominiranadosta1imakcijama, odnosno, sto manj i tok. to manji broj osta1ih akcija koje dominiraju nad akcijomGraficka prezentacija pomenutih tokova izgleda: 7 Slika 8.4. Ulazna-izlazni takavi 288 Definjsanjem dva pOtpunaporetka (predefinisanosrj ako samo ako ako ako ako samo ako akosamo ako (8. 16) razmatranjempresekaovadvapOretkarnoguce metodjPROMETHEEdefinjsati PARCJJALNIPOREDAK (Pl, Jl,R) kao: ako ako akosamo ako i Ru osta\jm (8.17) Na ovaj koriscenjen1metode PROMETHEE 1 definisanarelacija (relacjja poredaka),kojadonosiocuodl1rkedajegrafukome akcijernoguceuporedivatj , nekene.Daseelimir1isaljnedostacipristupa relacija, verzijametodc,PROMETHEEJlkojataj nazadovoljavajucinacin, cimesedajcsvojevrstan doprinosteorijj odlucjvanja, (3]. PROMETHEE rangiranje akcija u POTPUNOMPORETKU Naosnovuizrazazatokovc rangamozesedefinisarjcistitok(ilibalatts toka): = (8.18) koji se moze jednostavno upotrebltiu rangiranju akcija: pllako i samo ako ako i samo ako (8. 19) Primenommetode I1dobijasepOtpunarelacijakodkojesusve akcije iz potpuno rangirane, jer se pri razmatranju svakog akcija, zajedno za te!inamadodeljenimkorisnickirnkriterijumima,motedesitisamojednaoddve gorenavedene mogucnosti , [3]. 289 OPERACIONAISTRAZIVANJA PRIMERI Primer Zadefinisanumatricuodlucivao1j asa4i6 izvrsitiizbor altemative metodu PROMETHEE. k,k,k)k,k, maxmaxmaxminmax 1.51.01.56.075 1.81.51. 19.097 1.61.21.47.559 1.40.91.65.0' 5 Korak 1: Odrediti za svaki parametre i tezine. Zapostojecekriterijume,donosilacodluke izabraosledecetipove(saodgova-rajucim parametrima i = 1VIV 0.200.20 0.500.30 0.100.200.10 IV11 1.003.00 2.502.00 0.300.200. 1 Korak 2:Odrediti vrednostifunkcije
i, s=1, 4;j=1.6; Ovde sudati rezultati samo za parove
za s=1 .4 i sve k1tipl:
x=k1(a1)-k1(a5)
s = 21.5 .1.8 - -0.3s = 31.5 - \ .6 = -0. 1s = 4 1 k2- tipV:m=0.2; n=0.5; (a1,as)x=k2(a 1)-k2(a5) l as) s = 21 .1.5 = -0.5 1 - 1.2 = -0.2s=41 .0.9 = 0.1290 l'i.ielmterijumsko k3- tip IV: m=0.2: n; 0.3;
1 )-k3(a5)1, as) 2 .5- 1. 1 "' 0.4s ;3 5 - .4 - 0.1 1.5- 1.6-0.1tip as) 1 as) s"' 2 6 - 9; -31 s "' 3 6-7.5 ;-1.50.6 s = 46 - 5 = 1k5 - tip lV: m=l;(a1,as)
1 )-k5(a5) 1
s s27- 9--2 7-5 = 21 s = 4 7-3k6.11- ltp: m:::;
1)-k6(a5) 1' as) s = 25 - 7 = -2s = 35 -9 = -4s=45-5 "' 0Sa ovim postupkom nastavitii za sve preostaleparovc akcija
i, s = 2,3,4. Korak 3: Odrediti indeksprefercncije
i, s=l ,2,3,4;i '# s. 66 =(Lli= 1) /1 ,., IP(a 1, 0.1 0*0+0.20*0+ 0.1 0.30*1+ 0.20*0+ 0.1 0.400 33 al 0.0000.4000.3800.3000.3600.087 0.5000.0000.3670.5000.4560.112 0.2000.2300.0000.4670.299-0.067 0.1200.4000.3500.0000.290-0.132 0.2730.3430.3660.422 291 f OPERACIONAISTRA21VANJA Korak 4: Odrediti ulazne i izlaznc tokove S\ake akcije ulaznog toka np.za 1: l. :L)r(a, x) = 11(4-l )*(0.400+ 0.380+ 0.300) = 0.36 1 = 1/(4-l )*(0.500+0.200+0.120) =0.273 Itako redom za preostale alternative. Na osnovu toko,a,poredakzaprve d\eal temative glasi: 1 akoi ako 1) > => ako i samo ako 1) DA ako i samo ako 1) = => se nalaze i rezultatj za ostale parove akcija. Korak 5: Odrediti poretke za sve akcije (P',I', R) Za akcije1 i az parcijalni poredak sena sledeci nacin: a,r a, , ne DA
a ,l "az. nc ne a, l 'a,a,r a,, nc DA r-
1ne 111-
R
u ostalim DA Za ostale akcjje rezultatj su utabeli: al -IICDA ne-DA nene- neneDA Korak 6:Odredivanje matrice rangova Matricu visih elementi kojizadovoljavaju sledeci 1, ako ima vjsi rangod
292 DA DA DA -- Tako dobijamo 111atricur311gova: 32 31- 11 1 32 - 1
33 - 1 -Korak 7: Konstrukcija grafa viscg red3 i rangiranje akcija u poretku Grafdominacije (grafviseg ranga), zapostavlje11iprimer glasi: S/ika 8. .5. Grafviseg rangu meuxlt PROMETHEE 1 = 1)- 1) = 0.36 - 0.273 ,., 0.086. Cisti toksvake akcije glasi: Cist tok 0.086667 320.112222 -0.066667
-0.132222 Kor ak8: Rangiranje akcija prema veblini cistog toka RANG al 0.0866672 0. 1122221 -0.0666673
-0,1322224 da akcija
dominira nad svim ostalim akcijama. 293 r -----------------------------Primer2. Naosnovuinformacije traznjiodredeniiJvrsta robeprivatno lice otvara firmu"FONEXPORT"zaprodaju aparata. t110gucnostnabavke jcdneocl vrste aparata(JVC, Toshiha) i tonaosnov1r 5 kriterijJrma: 1 troskovi odriavanja brzina rada cena pouzdanost kvalitet obradc matrica 1Krit2 Akciia1150.00012.000 Akciia 2180.00015.000 Akciia 3160.00010.000 Akciia 4140.0009.000 Parametri mode1aglase: 3Krit 45 1900.000r rosekVisoka 1600.000VrsokaVisoka 1800.000VisokaProsek 1450.000ProsekVisoka .. .. MAXIMUMMAXIMUMmrnrmum Tez. vek.0.1000.2500.2500.2000.200 Ops. kr.54123 m param.0. 1000.3002.600 n param.0.4000.6002.700 gde su: Kvantifikovana matrica odlutivanja 150.00012.0001900.0005.0007.000 180.00015.0001600.0007.0007.000 160.00010.0001800.0007.0005.000 140.0009.0001450.0005.0007.000 Vrednosti funkcije prefcrencija: Tabela 8.2.Vrednosti preferense Pt 1.000000 1 1.000000 1 134)=0.000000 1.000000 1.000000
4(l a2)=0.000000 1 la4)=0.000000 Ps(a 740741Ps(a 1
194 odlucivanje 1 1)=0.000000 1(az,a4)=0.000000 1)= 1.000000 1.000000 1 1)=1.000000 1.000000 4(32,3 1)=0.000000 Ps(a2,a I)=O.Oooooo 740741Ps(a2,a4)=0.000000
1 1.000000 1 000000 1)=0.000000
1.000000 1)=1.000000
1)=0.000000 Ps(33,a4)=0.oooooo 1 1)= 1.000000 (a4,a2)=I.OOOOOO
(34,33)=1.000000 1)=0.000000 2)=0. 000000 1)=1.000000 1.000000 1.000000 )=0.000000 Ps(a4,a 1)=0.000000
parov3potpunill pored3ka Tabela 8.3.Tabela potpunog p01etka -- -- -- -- nene neDADAne nene ne DADA ne-- -- -- --DADAneneDADA ne nenenenenenenene-- -- -- -- nenenene DADAneneneneneneDADAnene-- -- -- --Tabela8.4.Tabela patcijallQg poNtka -- NeDADA DA-- DADA neNe-- Ne DA DA --M3trica visih rangov3 -- 11-- 11 -- 1 1--295 ' OPERACIONAISTRA2TVANJA Slika8.6.GJYI(''iseg 1111!/0ijumsko odlucivanje Preradena tezina u parovima u od11osuna 2 'Alt1A1t 2A1t 3A1t 4 ' A1t11.000006.00000 . 4.000000.33333 -... - - -A1t 2 0.166671.000000.250000.11 111 ' ' A1t 3 0.250004.000001.000000.14286 -Alt 413.0000019.000007.000001.00000 1 -I 4.41667120.0000012.250001.58730 Sopstveni vektor odgovarajuci11 u odnosu naKRITERIJUM 2 A1t1Alt 2Alt 3Alt 4 1 ---A1t10.2264210.300000.326530.2 10001.0629510.26574 '- A1t2 0.0377410.05000 ' 0.02041 070000.178 1410.04454 --A1t 3 0. 10706 Alt 4 1 0.05660t 0.2000010.08 163 09000 0.679250.4500010.5714310.630002.33067 0.58267 Graficki prikaz poretka a1ternativa u odnosuna kriterijum 2 0,4 0,2 A1t 1Alt 2A1t Alt 4 Slika. 8.2.Redosletl aincsrialtemafiva pt>d!ugomktiteJijumu Preradena tab
