Uvod

Seminarski rad: Matematiki model igre- igre sa istom strategijom

UvodU procesu odluivanja, kako u poslovnom tako i u svakodnevnom ivotu, okruenje se najee ne identifikuje kao potupno amorfna masa na koju nemamo nikakav uticaj, ve su uglavnom poznati uesnici, pojedinci ili grupe ije su aktivnosti relevantne i koje utiu na nae odluivanje. Istovremeno, nae aktivnosti imaju uticaj na odluke tih istih uesnika, tako da konani rezultati koje postiu uesnici pojedinacno jesu rezultat brojnih odluka i medjusobnih interakcija svih uesnika. Ovi uticaji su ponekad zasnovani na saglasnim interesima uesnika, dobroj volji i elji da se pomogne drugima, a u veem broju sluajeva u pitanju su sukobljeni interesi, animozitet pa i neprijateljski odnosi. U tom smislu, neophodno je iznai strategiju kojom emo nastupati u interakciji sa drugim uesnicima u datim situacijama. Iz ovog razloga, pri istraivanju konfliktnih situacija koje nastaju iz suprotnih interesa uesnika u igri, koristimo naunu disciplinu koja se naziva teoija igara. Zato se za teoriju igara kae da je to primenjena grana matematike koja je postavila osnove i okvire analitike interpretacije problema odluivanja i konfliktnim situacijama. Ima mnogo primera u razliitim oblastima ivota koji se mogu posmatrati i izuavati kao konfliktne situacije. Veliki broj ekonomskih problema iz oblasti trinih-konkurentskih odnosa u sebi sadre sukobe razliith interesa, pa se mogu analizirati i reavati pomou teorije igara. Temelje teorije igara postavili su Don fon Nojman i Oskar Morgentern 1944. god. u knjizi Teorija igara i ekonomsko ponaanje (Theory of Games and Economic Behavior). Tada su konano date matematike osnove teorije, definisani osnovni ojmovi strategije i vrednosti igre, formulisani osnovni pojmovi, kao to su strageija i vrednosti igre, formulisane metode za iznalaenje optimalnih strategija i ukazano na mogunost primene ove teorije u ekonomskim istraivanjima. Don fon Nojman je jo 1928. godine definisao i upotrebio neke pojmove iz teorije igara. Teorija igara je ostvarila takav stepen primene u ekonomskoj nauci, da su navedeni analitiari dobili Nobelovu nagradu za doprinos koji su dali razvoju teorije igara i njenoj primeni u modeliranju ekonomskih situacija. U teoriji ove naune discipline, definisani su pojmovi kao to su strategija, igrai i igra. U ovom radu bie rei o istim strategijama kao i sedlastoj taki, odnosno taki ravnotee.1. Igra, igra i strategijaU teoriji igara se obradjuje nain na koji se dva igraa u igri odluuju za strategiju koju e prmeniti u samoj igri. Igra je aktivnost u kojoj uestvuju ne manje od dva igraa iji su interesi suprotstavljeni. Dakle, to je situacija u kojoj igrai (uesnici) donose strateke odluke odluke kod kojih se uzimaju u obzir medjusobne akcije kao i reakcije igaraa. Najbolji primer za objanjenje pojma igra su preduzea, koja se ponaaju konkurentski odredjivanjem cene, zatim odredjivanje grupe potroaa i sl. Glavni cilj teorije igara jeste odredjivanje optimalne strategije koju e primenjivati svaki pojedinac u igri. Odatle, moemo rei da je strategija plan ili akcija za igranje igre. Ona u potpunosti odredjuje igraevo ponaanje. Igraeva strategija odredjuje potez koji e igra da odigra u svakom stadijumu igre, za svaku moguu istoriju igre do tog konkretnog trenutka. Optimalna strategija je strategija koja svakom igrau maksimizira njegov oekivani rezultat odnosno ishod igre. U igrama mogu uestvovati dva ili vie igraa odnosno stratega. Ako to prenesemo na ekonomsku teoriju i praksu, govorimo o oligopolu, duopolu ili o preduzeu u monopolistikoj konkurenciji. Pojam strategije se ponekad pogreno povezuje sa pojmom poteza. Potez je akcija koju igra sprovodi u nekom trenutku tokom igre (npr. Pomeranje figure pijuna za jedno polje u ahovskoj igri). Sa druge strane, pod strategijom podrazumevamo potpuni algoritam za igranje igre, koji implicitno izlistava sve poteze i kontra-poteze za svaku moguu situaciju tokom igre. Broj poteza u partiji igre iks-oks jeste 4 ili 5, u zavisnosti da li igra igra prvi ili drugi, i ako nijedan igra ne moe da preskoi potez. Medjutim, broj strategija predstavlja daleko vei broj.2. Klasifikacija teorije igara

Polovinom XX veka, tanije 1951. godine pokazana je veza izmedju linearnog programiranja i teorije igara, poelo je da raste interesovanje za razvoj i primenu teorije igara. Postalo je oigledno da logika struktura teorije igara krije u sebi mnogo mogunosti u pogledu donoenja odluka u privredi. Igre se mogu podeliti prema razliitim kriterijumima.

Prema broju igraa igre se mogu podeliti na igre sa jednim igraem, igre sa dva igraa i igre s proizvoljnim brojem igraa. Ovde pojam igraa treba shvatiti veoma uopteno kao i sam pojam igre. To je broj suprotnih strana u igri (pojedinaca, grupa, kolektiva i sl.)

Prema broju alternativa koje igra ima na raspolaganju, igre se dele na konane i beskonane. Svaki igra pri odluivanju ima odredjeni broj mogunosti, odnosno alternativa kojima bira jednu za koju misli da je najbolja.Igre se taodje mogu podeliti prema ceni igre, odnosno prema rezultatu igre. Svaka igra se zavrava odredjenim ishodom, koji se izraava dobicima ili nekim ocenama. Posle svakog odigravanja izbora po jedne strategije od strane svakog igraa, vri se obraun i plaanje. Igra koji gubi plaa igrau koji dobija iznos koji je odredjen pravilima igre. U svakom ovakvom obraunu zbir dobitaka jednog igraa jednak je zbiru plaanja drugog igraa. Ovakve igre nazivamo igre sa rezultatom nula (igre sa nultim zbirom), ili antagonistike igre. Pored ovih postoje i igre sa nenultim zbirom.

Igre se mogu podeliti i na kooperativne kada akteri saradjuju kako bi ostvarili zajediniki interes i na nekooperativne ili oponentske kako akteri pokuavaju da nadigraju jedni druge i zanemaruju ukupnu dobit igre.Takodje, igre se mogu podeliti i na sledei nain: na statike, kada se sve odluke donose istovremeno i na dinamike ili sekvencijalne, kada se odluke donose tokom vremena.

3. Tipovi strategija ista strategija prua kompletnu definiciju naina na koji igra igra partiju, ona za svaki mogui potez definie odluku koji igra donosi. Igraev prostor strategija je skup istih strategija dostupnih datom igrau.

Meovita strategija podrazumeva sluajan izbor iz skupa raspoloivih poteza prema nekoj raspodeli verovatnoe. Umesto da koristi jednu odredjenu istu strategiju, igra sluajnim izborom koristi neku od istih strategija koje su definisati meovitom strategijom. Naravno, svaka ista strategija se moe smatrati meovitom strategijom kod koje je ta ista strategija izabrana sa verovatnoom 1 a svaka druga sa verovatnoom 0.

Totalno meovita strategija kod koje je svakoj istoj strategiji dodeljena skoro pozitivna verovatnoa.

4. Bitni pojmovi matrinih igaraNajpre moramo rei neto o pojmu beskoalicione igre, kao osnovnog matematikog modela strateke igre. Beskoaliciona igra jeste sistem:

Gde konaan skup ije elemente nazivamo igraima, a , familija skupova ije leemente nazivamo strategijama odgovarajuih igraa. Izbor strategije svakog igraa , tj elemenete dekartovog proizvoda

Nazivamo situacijama u igri G. Svakom igrau odgovara ograniena funkcija

Koju nazivamo funkcijom dobitka tog igraa, a njega vrednost u posebnoj situaciji jeste dobitak igraa u toj situaciji.

Beskoaliciona igra definisana kao naziva se konanom ako su skupovi svih strategija igraa iz I konani. Konana beskoaliciona igra naziva se bimatrina igra ako je dvoelementni skup odnosno sadri dva igraa.

Ukoliko sastavimo dve matrice u kojima kretanje po vrsti odgovara strategiji prvog igraa, a kretanje po koloni odgovara strategiji drugog igraa, tada te matrice odgovaraju situacijama igre. Polja prve matrice popunimo vrednostima funkcije dobitka igraa 1. a polja druge matrice vrednostima funkcije dobitka igraa 2. dobijamo dve matrice koje opisuju sve situacije i dobitke igre G. Te matrice nazivamo matrice igre (matrice plaanja).Beskoaliciona igra G oblika naziva se igrom sa konstantnom sumom, ,ako za svaku situaciju vai

Ukoliko je je konstanta tada igru G nazivamo igra sa sumom nula. Beskoaliciona igra u kojoj uestvuje samo dva igraa naziva se antagonistikom igrom.5. Igre sa istom strategijom uslovi ravnotee i sedlasta taka

U anatagonistikim igrama moe se ponekad jednoznano odrediti situacija koja je uslovno reeno povoljna za oba igraa. Posmatrajmo sledei primer: igru igraju dva igraa, A i B. Igra A ima na raspolaganju m alternatvima dok igra B ima n alternativa. Ako igra A odabere i-tu alternativu a igra B j-tu alternativu, onda igra zavrava tako to igra B plaa igrau A iznos , broj kao cena igre, moe biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Ako je taj broj pozitivan, igra A dobija odredjeni iznos od igraa B, ako je taj broj negativan, onda igra B dobija od igraa A odredjeni iznos i ukoliko je taj broj jednak 0, onda nema plaanja, tj. Svaki igra ostaje na svome. Kako igra A ima na raspolaganju m, a igra n alternativa, to igra ima ukupno mn moguih ishoda i odgovarajuih plaanja.

Tabela 1.: ematski prikaz moguih dobitaka igraa A od igraa B, u zavisnoti od izbaranih alternativa

Alternative igraa AAlternative igraa B

12...j...n

1

2

............

i

...

m

Za ovu igru esto vae sledea pravila:

1. U svakom trenutku igrai se racionalno ponaaju odnosno oni sebi biraju napovoljnije reeje. Pod takvim okolnostima reenje igre reprezentuje reprezentuje najcelishodnije stavove igraa;2. Pri izboru svoje alternatvive nijedan igra nema informaciju o tome koju je alternativu odabrao protivnik.

Na ovnosu navedenog, postavlja se fundamentalno pitanje koje se odnosi na problem iznalaenja optimalnih strategija oba igraa i koje e obezbediti ispunjavanje tzv. Ravnotenih uslova u igri. To ustvari znai znai da prvi igra, izborom svoje optimalne strategije obezbedjuje odredjeni zagarantovani dobitak pri ma kakvom izboru strategija svog protivnika. Dakle, za bilo koju strategiju drugog igraa , vaie

Na slian nain, drugi igra, pod pretpostavkom iz uslova ravnotee o racinalnom ponaanju, bira optimalnu strategiju ijim izborom osigurava maksimalnu vrednost gubitka . Za svaku strategiju prvog igraa vaie

Poslednje dve jednakosti moemo napisati pomou jedne:

Za sve i . Vrednost funkcije f koja se dobija izborom optimalnih strategija , prestavlja optimalnu vrednost igre G u oznaci

Situacija u kojoj u igri za koju je ispunjen uslov ravnotee jeste situacija ravnotee, odnosno sedlasta taka funkcije dobitka f, odnosno igre G.

Teorema 1.: Antagonistika igra ima sedlastu taku ako vai sledea nejednakost:

Ovaj uslov naziva se uslov minimax-a i on dobija veoma pojednostavljen oblik u sluaju matrinih igara kako emo videti kasnije.6. Igre sa istom strategijom- matrine igre Matrine igre su strateke igre u kojima dva igraa imaju suprotne interese. Igra se zavrava odreenim rezultatom odnosno ishodom, koji se predstavlja dobicima ili nekim ocenama. Nakon svakog odigravanja - odabira po jedne strategije od strane svakog igraa, vri se obraun i plaanje, na osnovu matrice plaanja. Igra koji gubi plaa igrau koji dobija iznos koji je odreen pravilima igre. Pojam ista strategija kae da igra iz raspoloivog skupa strategija bira jednu jedinstvenu koja predstavlja reenje igre i dovodi do optimalne vrednosti igre u smislu da jedan igra osigurava maksimalni od svojih minimalnih dobitaka, a drugi minimalni od svojih maksimalnih gubitaka.

Osnovno pitanje u zadacima koji se formuliu kao matrine igre je: postoji li i kako se mogu odrediti optimalne strategije za svakog igraa. Osnovni princip i matrinim igrama kao i u ma kojoj antagonistikoj igri jeste princip koji se sastoji u realizacij situacije ravnotee , u igri G, tj. U odredjivanju sedlaste take funkcije dobitka igre f. Taj princip zahteva da se u igri G(A) sa matricom igre izabere takva vrsta i kolona matrice igre A tako da za svako i vai

U sluaju matrinih igara koje su u potpunosti opisane matricom igre A, odredjivanje sedlaste take je dosta pojednostavljeno. Pre svega, uslov minimax-a dobija tada vrlo jednostavan oblik. Ipak, radi metodologije i praktine primene teoretskih rezultata u reavanju razliitih problema i zadataka, u daljem tekstu opisaemo detaljnije primenu minimax principa u matrinim igrama.

Posmatrajmo najpre igraa 1. i njegove mogunosti izbora optimalne strategije. Prema matrici igre A, njemu je na raspolaganju tano m strategija koje smo oznaili elementima skupa . Izborom strategije on dobija jedan od sledeih iznosa

koji predstavlja i-tu vrstu matrice igre A. Sama vrednost dobitka prvog igraa zavisi osada od izbora odredjene strategije njegovog protivnika. U najnepovoljnijiem sluaju, prvi igra dobija najmanji od gore navedenih iznosa koji moemo oznaiti

Sada za igraa 1. najpovoljnija bie ona strategija kojoj odgovara najvei dobitak:

Vrednost predstavlja minimalni (zagarantovani) dobitak prvog igraa, bez obzira na to koju e od svojih strategija prmeniti drugi igra. S druge strane, dobitak e biti vei od ukoliko drugi igra ne odabere najoptimalniju strategiju. Vrednost emo nazivati donja granica igre. Slinim postupkom kao i do sada moemo odrediti optimalan izbor strategije igraa 2. s obzirom da smo se do sada bavili optimalnom strategijom prvog igraa.

Re je o elementima j-te kolone matrice A. Sada, najnepovoljnija mogunost za igraa 2. jeste da njegov protivnik izabere strategiju za koju e vrednost funkcije dobitka f biti najvea od svih gore navedenih vrednosti, tj.

Za igraa 2. tada je najpovoljnije da odabere onu strategiju kojom e on imati najmanji mogui gubitak opisan napred navedenim izrazom. Na taj nain, odredjuje se gornja granica igre

koja predstavlja najvei mogui gubitak drugog igraa, bez obzira na izbor srategije njegovog protivnika.

Teorema 1.: Za donju i gornju granicu igre G(A) vai sledea nejednakost:

Ukoliko se desi da vai onda kaemo da igra ima sedlastu taku, odnosno da postoje optimalne strategije i za koje vai sledee:

Dokaz: za proizvoljni element matrice A vai:

Polazei od ove nejednakosti dobijamo:

Odnosno

Ovim je nejedankost pokazana, dok jednakost oigledno vai u sluaju jednakosti

Uslov jednakosti gornje i donje granice igre omoguava nam jednostavan postupak nalaenja sedlaste take, odnosno optimalni strategija oba igraa u ma kojoj matrinoj igri. Za ovakve igre tada kaemo da poseduju iste (optimalne) strategije i . Njima oddgovara optimalna vrednost igre

Koja istovremeno predstavlja zagarantovani najamnji iznos dobitka igraa 1. al ii najvei mogui iznost gubitka igraa 2. Optimalnu vrednost igre nalazimo kao zajedniki element vrste i kolone matrice A koje odgovaraju optimalni strategijama i Na taj nain, matrina igra je u potpunosti reena.

Primer 1. U igri G uestvuju dva igraa 1. i 2. Svaki od igraa bira jedan od brojeva skupa , posle ega 1. igra dobije od 2. igraa sumu izabranih brojeva. Oiglevno da je G(A) - matrina igra sa matricom dobitka

Primenjujui navedeni postupak donju i gornju granicu matrice igre nalazimo na sledei nain:

Vrednosti dobijene su primenom formule odnosno, one predstavljaju minimalne elemente vrsta matrice A. Na osnovu dobija se donja granica

Slino ovome, vrednosti kao maksimalni element kolona matrice dobitka daju gornju granicu

Dakle, donja i gornja granica igre su jednake i daju optimalnu vrednost igre, odnosno sedlastu taku

EMBED Equation.DSMT4

Sedlasta taka dobija se izborom tree strategije prvog igraa, dok drugi igra kao optimalnu bira prvu strategiju. Na taj nain, obojica imaju zagarantovan iznos dobitka odnosno gubitka u iznosu od 0 jedinica.Primer 2. U igri uestvuju dva igraa A i B. I jedan i drugi igra imaju na raspolaganju po tri alternative. Alternativne igraa A date sup o redovima, a alternative igraa B date su po kolonama. Elementi iz matrice plaanja oznaavaju iznose koje igra B plaa igrau A nakon odigravanja pojedinih alternative. Neka je igra data sledeom matricom plaanja

Problem reavamo tako to proveravamo da li matrica ima sedlastu taku. Zato, u koloni pored matrice plaanja odredjujemo najamanje elemente za svaki red. To su: -4 za prvi red, 2 za drugi red i -2 za trei red. Najvei od ovih elemenata je urpavo 2 tj.

Zatim, u redu ispod matrice plaanja odredjujemo najvee elemente za svaku kolonu. To su: 8 za prvu kolonu, 4 za drugu kolonu i 2 za treu kolonu. Najmanje od svih ovih elemenata je 2, odnosno:

Opisani postupak moe se prikazati i na sledei nain:

8 4 2

Kako vai

To onda znai da matrica plaanja ima sedlastu taku, odnosno optimalnu vrednost.

To je element . To dalje znai da igra ima istru strategiju: za igraa A najbolje je da uvek bira drugu strategiju jer njome osigurava dobitak od najmanje dve novane jedinice. Analogno, za igraa B najpovoljnija je trea strategija jer se time oseigurava da nee ni u kom sluaju plaati vie od dve novane jedinice. Vrednost igre jednaka je vrednosti elemenata koji predstavljaju sedlastu taku, tj. .

Zakljuak

U procesu odluivanja, kako u poslovnom tako i u svakodnevnom ivotu, okruenje se najee ne identifikuje kao potupno amorfna masa na koju nemamo nikakav uticaj, ve se uglavnom poznaju uesnici, pojedinci ili grupe ije su aktivnosti relevantne i koje utiu na nae odluivanje. Prilkom odluivanja, ono to je jako bitno jeste strategija kojom emo nastojati da maksimiziramo sopstvene rezultate ili zbirne, odnosno rezultate svih uesnika. Upravo teoriju igara primenjujemo prilikom istraivanja konfliktnih situacija koje nastaju iz suprotnih interesa uesnika u igri. Teorija igara je nastala u XX veku i moemo je okarakterisati kao primenjenu granu matematike koja je postvila osnove i okvire analitike inteprpretacije problema odluivanja u konfliktnim situacijama. Konfliktne situcije proistiu iz toga to se u veini sluajeva ustvari radi o sukobljenim interesima i ejom obe strane da dobiju to vie. S obzirom da smo napomenuli da je najbitnije izabrati najpovoljniju strategiju kako bismo ostvarili eljeni cilj, moemo zakljuiti da je odabir strategije svakako jedan od bitnih trenutaka u svakoj igri. Igre mogu biti razliite (kooperativne, nekooperativne, sa potpunim i nepotpunim informacijama i dr.) tako i strategije mogu biti razliiti. Matrine igre su strateke igre u kojima dva igraa imaju suprotne interese. Igra se zavrava odreenim rezultatom odnosno ishodom, koji se predstavlja dobicima ili nekim ocenama. Pojam ista strategija kae da igra iz raspoloivog skupa strategija bira jednu jedinstvenu koja predstavlja reenje igre i dovodi do optimalne vrednosti igre u smislu da jedan igra osigurava maksimalni od svojih minimalnih dobitaka, a drugi minimalni od svojih maksimalnih gubitaka. U ovom radu pored teorijskog objanjenja igara sa istom strategijom, prikazala sam na praktinim primerima kao funkcionie odluivanje po ovom principu. Todorovi O., Operaciona istraivanja, Pelikan print, Ni, 2004. god. Str. 225.

Ovo tvrdjenje proizilati iz ravnotenih uslova navedenih u poglavlju 5.

Boinovi M, Operaciona istraivanja, Ekonomski fakultet Kosovka Mitrovica, Kosovska Mitrovica, 2012. god. str. 241.

Todorovi O., Operaciona istraivanja, Pelikan print, Ni, 2004. god. str. 228.

_1489661344.unknown

_1489664003.unknown

_1489667187.unknown

_1489668286.unknown

_1489669024.unknown

_1489669376.unknown

_1489669649.unknown

_1489671338.unknown

_1489671376.unknown

_1489671470.unknown

_1489671284.unknown

_1489671298.unknown

_1489671325.unknown

_1489671235.unknown

_1489669492.unknown

_1489669635.unknown

_1489669459.unknown

_1489669284.unknown

_1489669336.unknown

_1489669350.unknown

_1489669296.unknown

_1489669080.unknown

_1489669146.unknown

_1489669044.unknown

_1489668802.unknown

_1489668883.unknown

_1489668903.unknown

_1489668826.unknown

_1489668707.unknown

_1489668299.unknown

_1489668686.unknown

_1489668182.unknown

_1489668229.unknown

_1489668262.unknown

_1489668270.unknown

_1489668247.unknown

_1489668204.unknown

_1489668212.unknown

_1489668221.unknown

_1489668198.unknown

_1489668068.unknown

_1489668166.unknown

_1489668173.unknown

_1489668139.unknown

_1489668148.unknown

_1489667654.unknown

_1489667675.unknown

_1489667256.unknown

_1489664887.unknown

_1489665557.unknown

_1489666419.unknown

_1489666564.unknown

_1489666865.unknown

_1489667160.unknown

_1489666644.unknown

_1489666518.unknown

_1489666533.unknown

_1489666481.unknown

_1489666450.unknown

_1489665772.unknown

_1489666006.unknown

_1489666323.unknown

_1489665899.unknown

_1489665623.unknown

_1489665277.unknown

_1489665366.unknown

_1489665062.unknown

_1489664418.unknown

_1489664767.unknown

_1489664252.unknown

_1489664307.unknown

_1489664398.unknown

_1489664129.unknown

_1489662059.unknown

_1489662395.unknown

_1489662935.unknown

_1489663425.unknown

_1489663466.unknown

_1489663360.unknown

_1489662892.unknown

_1489662913.unknown

_1489662491.unknown

_1489662615.unknown

_1489662370.unknown

_1489662090.unknown

_1489662278.unknown

_1489661672.unknown

_1489661983.unknown

_1489662023.unknown

_1489661827.unknown

_1489661516.unknown

_1489661530.unknown

_1489661366.unknown

_1489659917.unknown

_1489660560.unknown

_1489660905.unknown

_1489661217.unknown

_1489660706.unknown

_1489660486.unknown

_1489660532.unknown

_1489660045.unknown

_1489659810.unknown

_1489659864.unknown

_1489659898.unknown

_1489659828.unknown

_1489659710.unknown

_1489659750.unknown

_1489659600.unknown