-
Teorija verovatnoeOsnovne formule rauna verovatnoe imaju
formu:P(S) = a
-
Teorija verovatnoeOsnovne formule rauna verovatnoe imaju
formu:P(S) = aS je iskaz. Moe imati formu npr pq, ili p(qr) itda je
brojCeo izraz P(S) = a ita se: verovatnoa iskaza S je aVelika slova
(sem P) koristimo kao iskazne konstante, a mala slova p, q, r kao
iskazne prmenljive
-
Teorija verovatnoeOsnovne formule rauna verovatnoe imaju
formu:P(S) = aS je iskaz. Moe imati formu npr pq, ili p(qr) itda je
brojCeo izraz P(S) = a ita se: verovatnoa iskaza S je aVelika slova
(sem P) koristimo kao iskazne konstante, a mala slova p, q, r kao
iskazne prmenljivePrimeri:P(novi pada s glavom gore) = P(izvlaenjem
jedne karte iz pila dobijamo srce ili kocku) = P(izvlaenjem jedne
karte iz pila dobijamo kec pik) = 1/52
-
Teorija verovatnoeOsnovne formule rauna verovatnoe imaju
formu:P(S) = aS je iskaz. Moe imati formu npr pq, ili p(qr) itda je
brojCeo izraz P(S) = a ita se: verovatnoa iskaza S je aVelika slova
(sem P) koristimo kao iskazne konstante, a mala slova p, q, r kao
iskazne prmenljivePrimeri:P(novi pada s glavom gore) = P(izvlaenjem
jedne karte iz pila dobijamo srce ili kocku) = P(izvlaenjem jedne
karte iz pila dobijamo kec pik) = 1/52
Svi navedeni iskazi izraavaju apsolutnu verovatnou
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnou
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
a
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
aNpr, kada vadimo jednu kartu iz celog pilaP(srce) = P(srce/crveno)
= Tj. apsolutna verovatnoa da emo izvui srce je , a uslovna
verovatnoa da cemo izvui srce ako izvuemo crvenu kartu je
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
aNpr, kada vadimo jednu kartu iz celog pilaP(srce) = P(srce/crveno)
= Tj. apsolutna verovatnoa da emo izvui srce je , a uslovna
verovatnoa da cemo izvui srce ako izvuemo crvenu kartu je NB:
uslovna verovatnoa nije isto to i verovatnoa kondicionalaNpr:
P(A/B) nije jednako P(BA), gde potkovica stoji za materijalnu
implikaciju
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
aNpr, kada vadimo jednu kartu iz celog pilaP(srce) = P(srce/crveno)
= Tj. apsolutna verovatnoa da emo izvui srce je , a uslovna
verovatnoa da cemo izvui srce ako izvuemo crvenu kartu je NB:
uslovna verovatnoa nije isto to i verovatnoa kondicionalaNpr:
P(A/B) nije jednako P(BA), gde potkovica stoji za materijalnu
implikaciju P(BA) = P(BA)
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
aNpr, kada vadimo jednu kartu iz celog pilaP(srce) = P(srce/crveno)
= Tj. apsolutna verovatnoa da emo izvui srce je , a uslovna
verovatnoa da cemo izvui srce ako izvuemo crvenu kartu je NB:
uslovna verovatnoa nije isto to i verovatnoa kondicionalaNpr:
P(A/B) nije jednako P(BA), gde potkovica stoji za materijalnu
implikaciju P(BA) = P(BA) P(crveno srce) = P(crveno srce) =
P(srce/crveno)
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
aNpr, kada vadimo jednu kartu iz celog pilaP(srce) = P(srce/crveno)
= Tj. apsolutna verovatnoa da emo izvui srce je , a uslovna
verovatnoa da cemo izvui srce ako izvuemo crvenu kartu je NB:
uslovna verovatnoa nije isto to i verovatnoa kondicionalaNpr:
P(A/B) nije jednako P(BA), gde potkovica stoji za materijalnu
implikaciju P(BA) = P(BA) P(crveno srce) = P(crveno srce) =
P(srce/crveno) U optem sluaju, P(S/Q) P(Q /S)
-
Teorija verovatnoePored apsolutne, uvodimo i uslovnu
verovatnouP(S/Q) = aOvaj izraz kae da je verovatnoa za S kada je
dato Q jednaka a, tj. verovatnoa iskaza S ako je istinit iskaz Q je
aNpr, kada vadimo jednu kartu iz celog pilaP(srce) = P(srce/crveno)
= Tj. apsolutna verovatnoa da emo izvui srce je , a uslovna
verovatnoa da cemo izvui srce ako izvuemo crvenu kartu je NB:
uslovna verovatnoa nije isto to i verovatnoa kondicionalaNpr:
P(A/B) nije jednako P(BA), gde potkovica stoji za materijalnu
implikaciju P(BA) = P(BA) P(crveno srce) = P(crveno srce) =
P(srce/crveno) U optem sluaju, P(S/Q) P(Q /S) P(crveno/srce) = 1
P(srce/crveno)
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)Zato verovatnoa
konjunkcije nije jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata?
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)Zato verovatnoa
konjunkcije nije jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata?Zato to
istinitost ili lanost konjunkata moe biti povezana. NprP(novi pada
s glavom gore i sa pismom gore) = 0P(glava) P(pismo) = =
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)Zato verovatnoa
konjunkcije nije jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata?Zato to
istinitost ili lanost konjunkata moe biti povezana. NprP(novi pada
s glavom gore i sa pismom gore) = 0P(glava) P(pismo) = = Ali gornja
formula izbegava ovaj problem:P(glava i pismo) = 0P(glava)
P(pismo/glava) = 0 = 0
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)Zato verovatnoa
konjunkcije nije jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata?Zato to
istinitost ili lanost konjunkata moe biti povezana. NprP(novi pada
s glavom gore i sa pismom gore) = 0P(glava) P(pismo) = = Ali gornja
formula izbegava ovaj problem:P(glava i pismo) = 0P(glava)
P(pismo/glava) = 0 = 0Pimer: Koja je verovatnoa da se dva puta
uzastopce izvue kec iz punog pila ako se posle vaenja izvuena karta
ne vraa u pil?
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)Zato verovatnoa
konjunkcije nije jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata?Zato to
istinitost ili lanost konjunkata moe biti povezana. NprP(novi pada
s glavom gore i sa pismom gore) = 0P(glava) P(pismo) = = Ali gornja
formula izbegava ovaj problem:P(glava i pismo) = 0P(glava)
P(pismo/glava) = 0 = 0Pimer: Koja je verovatnoa da se dva puta
uzastopce izvue kec iz punog pila ako se posle vaenja izvuena karta
ne vraa u pil?P(kec u 1. i kec u 2. izvlaenju) = P(kec u 1.
izvlaenju) P(kec u 2. izvlaenju / kec u 1. izvlaenju) = 4/52 3/51
0,00452
-
Teorija verovatnoeJedan od najvanijih zakona koji povezuju
apsolutnu i uslovnu verovatnou:P(p q) = P(p) P(q/p)Zato verovatnoa
konjunkcije nije jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata?Zato to
istinitost ili lanost konjunkata moe biti povezana. NprP(novi pada
s glavom gore i sa pismom gore) = 0P(glava) P(pismo) = = Ali gornja
formula izbegava ovaj problem:P(glava i pismo) = 0P(glava)
P(pismo/glava) = 0 = 0Pimer: Koja je verovatnoa da se dva puta
uzastopce izvue kec iz punog pila ako se posle vaenja izvuena karta
ne vraa u pil?P(kec u 1. i kec u 2. izvlaenju) = P(kec u 1.
izvlaenju) P(kec u 2. izvlaenju / kec u 1. izvlaenju) = 4/52 3/51
0,00452Ukoliko se izvuena karta vraa u pil pre narednog izvlaenja,
onda drugo izvlaenje ne zavisi od prvog i verovatnoa konjunkcije je
jednaka proizvodu verovatnoa konjunkata, jer je uslovna verovatnoa
drugog konjukta jednaka njegovoj apsolutnoj verovatnoi
-
Teorija verovatnoeDefinicija 1: p je nezavisno od q akko P(p) =
P(p/q)
-
Teorija verovatnoeDefinicija 1: p je nezavisno od q akko P(p) =
P(p/q)Definicija 2: p i q su uzajamno iskljuivi akko ne mogu oba
biti istiniti
-
Teorija verovatnoeDefinicija 1: p je nezavisno od q akko P(p) =
P(p/q)Definicija 2: p i q su uzajamno iskljuivi akko ne mogu oba
biti istinitiAko su p i q uzajamno iskljuivi, onda:
-
Teorija verovatnoeDefinicija 1: p je nezavisno od q akko P(p) =
P(p/q)Definicija 2: p i q su uzajamno iskljuivi akko ne mogu oba
biti istinitiAko su p i q uzajamno iskljuivi, onda:- ako je jedan
taan, drugi nije- P(p/q) = P(q/p) = 0- p i q nisu nezavisni, sem
ako P(p) = P(q) = 0
-
Teorija verovatnoeDefinicija 1: p je nezavisno od q akko P(p) =
P(p/q)Definicija 2: p i q su uzajamno iskljuivi akko ne mogu oba
biti istinitiAko su p i q uzajamno iskljuivi, onda:- ako je jedan
taan, drugi nije- P(p/q) = P(q/p) = 0- p i q nisu nezavisni, sem
ako P(p) = P(q) = 0
Ne postoji verovatnoa da logiki nemogui iskazi budu istiniti.
Zato se njihova verovatnoa numeriki izraava nulom
-
Teorija verovatnoeDefinicija 1: p je nezavisno od q akko P(p) =
P(p/q)Definicija 2: p i q su uzajamno iskljuivi akko ne mogu oba
biti istinitiAko su p i q uzajamno iskljuivi, onda:- ako je jedan
taan, drugi nije- P(p/q) = P(q/p) = 0- p i q nisu nezavisni, sem
ako P(p) = P(q) = 0
Ne postoji verovatnoa da logiki nemogui iskazi budu istiniti.
Zato se njihova verovatnoa numeriki izraava nulomIzvesni iskazi
imaju verovatnou 1Iskazi koji nisu nemogui ni izvesni imaju
verovatnou izmeu 0 i 1Ovo je iskazano prvim dvema aksiomama rauna
verovatnoe
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QED
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QEDTeorema 2Ako su
p i q ekvivalentni, onda je P(p) = P(q)
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QEDTeorema 2Ako su
p i q ekvivalentni, onda je P(p) = P(q)Dokaz:Pretpostavimo da su p
i q ekvivalentni. Onda je jedan od njih istinit samo u sluaju da je
i drugi istinit
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QEDTeorema 2Ako su
p i q ekvivalentni, onda je P(p) = P(q)Dokaz:Pretpostavimo da su p
i q ekvivalentni. Onda je jedan od njih istinit samo u sluaju da je
i drugi istinit. Onda:1) p q je izvesno2)q i p su uzajamno
iskljuivi
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QEDTeorema 2Ako su
p i q ekvivalentni, onda je P(p) = P(q)Dokaz:Pretpostavimo da su p
i q ekvivalentni. Onda je jedan od njih istinit samo u sluaju da je
i drugi istinit. Onda:1) p q je izvesno2)q i p su uzajamno
iskljuivi3)P(p q) = 1iz 1 i ax2
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QEDTeorema 2Ako su
p i q ekvivalentni, onda je P(p) = P(q)Dokaz:Pretpostavimo da su p
i q ekvivalentni. Onda je jedan od njih istinit samo u sluaju da je
i drugi istinit. Onda:1) p q je izvesno2)q i p su uzajamno
iskljuivi3)P(p q) = 1iz 1 i ax24) P(p q) = P(p) + P(q) iz 2 i
ax3
-
Teorija verovatnoeAksioma 1 a)0 P(p) 1b)0 P(p/q) 1Aksioma 2Ako
je p izvesno, onda P(p) = 1Aksioma 3Ako su p i q uzajmno iskljuivi,
ondaP(p q) = P(p) + P(q)Teorema 1P(p) + P(p) = 1Dokaz: p i ne-p su
uzajamno iskljuivi i njihova disjunkcija je izvesna. Tako po
aksiomama 2 i 3 imamo:1 = P(p p) = P(p) + P(p). QEDTeorema 2Ako su
p i q ekvivalentni, onda je P(p) = P(q)Dokaz:Pretpostavimo da su p
i q ekvivalentni. Onda je jedan od njih istinit samo u sluaju da je
i drugi istinit. Onda:1) p q je izvesno2)q i p su uzajamno
iskljuivi3)P(p q) = 1iz 1 i ax24) P(p q) = P(p) + P(q) iz 2 i
ax3spojite 3) i 4) i primenite teoremu 1 i QED
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz: 1)
(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2) (pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2) (pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 2
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 4
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 4
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 1
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 18) P(pq) =
P(p) + P (pq)6, 7
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 18) P(pq) =
P(p) + P (pq)6, 79) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (pq) + P(pq) 8
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 18) P(pq) =
P(p) + P (pq)6, 79) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (pq) + P(pq) 810) (pq)
(pq) qir
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 18) P(pq) =
P(p) + P (pq)6, 79) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (pq) + P(pq) 810) (pq)
(pq) qir11) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (q) t2, 10, 9
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 18) P(pq) =
P(p) + P (pq)6, 79) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (pq) + P(pq) 810) (pq)
(pq) qir11) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (q) t2, 10, 912) P(pq) = P(p)
+ P(q) P(pq)11QED
-
Teorija verovatnoeTeorema 3:P(pq) = P(p) + P(q) P(pq)Dokaz:
1)(pq) ( (pq) (pq) (pq) )ir2)(pq) (pq) i pq su uzajamno
iskljuivi3)P( (pq) (pq) (pq) ) = P((pq) (pq) ) + P (pq)ax3, 24)(
(pq) (pq) ) pir5)P( (pq) (pq) ) = P(p)t2, 46) P( (pq) (pq) (pq) ) =
P(p) + P (pq)3, 47) P( (pq) (pq) (pq) ) = P(p q)t2, 18) P(pq) =
P(p) + P (pq)6, 79) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (pq) + P(pq) 810) (pq)
(pq) qir11) P(pq) + P(pq) = P(p) + P (q) t2, 10, 912) P(pq) = P(p)
+ P(q) P(pq)11QEDPrimetite da je ax3 poseban sluaj teoreme 3
-
Teorija verovatnoePrimeriKoja je verovatnoa da tano dva puta
padne glava kada se novi baca tri puta?Koja je verovatnoa da se
izvue srce ili kec u bar jednom od dva izvlaenja karte iz punog
pila, ako se izvuena karta vraa u pil posle prvog izvlaenja?
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p)
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p) esto se u literaturi teorema 4
koristi kao definicija uslovne verovatnoe
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p) esto se u literaturi teorema 4
koristi kao definicija uslovne verovatnoePo Definiciji 1, ako je q
nezavisno od p, onda je P(q) = P(q/p). Onda po ax4 imamo:Teorema
5Ako je q nezavisno od p, onda P(pq) = P(p) P(q)Teorema 5 i Aksioma
4 nam omoguavaju da raunamo verovatnoe konjunkcija pomou verovatnoa
konjunkata
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p) esto se u literaturi teorema 4
koristi kao definicija uslovne verovatnoePo Definiciji 1, ako je q
nezavisno od p, onda je P(q) = P(q/p). Onda po ax4 imamo:Teorema
5Ako je q nezavisno od p, onda P(pq) = P(p) P(q)Teorema 5 i Aksioma
4 nam omoguavaju da raunamo verovatnoe konjunkcija pomou verovatnoa
konjunkataPrimerKoja je verovatnoa da se 20 puta dobije glava pri
20 bacanja novia?
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p) esto se u literaturi teorema 4
koristi kao definicija uslovne verovatnoePo Definiciji 1, ako je q
nezavisno od p, onda je P(q) = P(q/p). Onda po ax4 imamo:Teorema
5Ako je q nezavisno od p, onda P(pq) = P(p) P(q)Teorema 5 i Aksioma
4 nam omoguavaju da raunamo verovatnoe konjunkcija pomou verovatnoa
konjunkataPrimerKoja je verovatnoa da se 20 puta dobije glava pri
20 bacanja novia?Teorema 6Ako su P(p) i P(q) razliiti od nule,
onda:p je nezavisno od q akko je q nezavisno od p
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p) esto se u literaturi teorema 4
koristi kao definicija uslovne verovatnoePo Definiciji 1, ako je q
nezavisno od p, onda je P(q) = P(q/p). Onda po ax4 imamo:Teorema
5Ako je q nezavisno od p, onda P(pq) = P(p) P(q)Teorema 5 i Aksioma
4 nam omoguavaju da raunamo verovatnoe konjunkcija pomou verovatnoa
konjunkataPrimerKoja je verovatnoa da se 20 puta dobije glava pri
20 bacanja novia?Teorema 6Ako su P(p) i P(q) razliiti od nule,
onda:p je nezavisno od q akko je q nezavisno od pTeorema 7Ako su p
i q uzajamno iskljuivi i P(p) i P(q) razliiti od nule, onda p i q
nisu nezavisni
-
Teorija verovatnoeJo uvek nemamo metod za raunanje verovatnoa
konjunkcija.Aksioma 4P(pq) = P(p) P(q/p)Ako je P(p) 0, moemo njime
podeliti obe strane aksiome 4, i tako dobijamo teoremuTeorema 4Ako
P(p) 0, onda P(q/p) = P(pq) / P(p) esto se u literaturi teorema 4
koristi kao definicija uslovne verovatnoePo Definiciji 1, ako je q
nezavisno od p, onda je P(q) = P(q/p). Onda po ax4 imamo:Teorema
5Ako je q nezavisno od p, onda P(pq) = P(p) P(q)Teorema 5 i Aksioma
4 nam omoguavaju da raunamo verovatnoe konjunkcija pomou verovatnoa
konjunkataPrimerKoja je verovatnoa da se 20 puta dobije glava pri
20 bacanja novia?Teorema 6Ako su P(p) i P(q) razliiti od nule,
onda:p je nezavisno od q akko je q nezavisno od pTeorema 7Ako su p
i q uzajamno iskljuivi i P(p) i P(q) razliiti od nule, onda p i q
nisu nezavisniPrimetite da obrnuto ne mora da vai: Nezavisni iskazi
ne moraju da budu uzajamno iskljuivi. Dajte primer koji to
pokazuje
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju nauke
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) / P(q)
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p)
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QED
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QEDTeorema 9 (Bajesova) Ako je P(q) 0, onda: P(p/q) = ( P(p) P(q/p)
) / ( ( P(p) P(q/p) ) + ( P(p) P(q/p) )
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QEDTeorema 9 (Bajesova) Ako je P(q) 0, onda: P(p/q) = ( P(p) P(q/p)
) / ( ( P(p) P(q/p) ) + ( P(p) P(q/p) ) Dokaz:Po t8 imamo 1)P(p/q)
= ( P(p) P(q/p) ) / P(q).
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QEDTeorema 9 (Bajesova) Ako je P(q) 0, onda: P(p/q) = ( P(p) P(q/p)
) / ( ( P(p) P(q/p) ) + ( P(p) P(q/p) ) Dokaz:Po t8 imamo 1)P(p/q)
= ( P(p) P(q/p) ) / P(q).2)q ( (pq) (pq) )
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QEDTeorema 9 (Bajesova) Ako je P(q) 0, onda: P(p/q) = ( P(p) P(q/p)
) / ( ( P(p) P(q/p) ) + ( P(p) P(q/p) ) Dokaz:Po t8 imamo 1)P(p/q)
= ( P(p) P(q/p) ) / P(q).2)q ( (pq) (pq) )3)Po ax 3 i 4, verovatnoa
disjunkcije iz 2) je jednaka verovatnoidesne strane teoreme 9
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QEDTeorema 9 (Bajesova) Ako je P(q) 0, onda: P(p/q) = ( P(p) P(q/p)
) / ( ( P(p) P(q/p) ) + ( P(p) P(q/p) ) Dokaz:Po t8 imamo 1)P(p/q)
= ( P(p) P(q/p) ) / P(q).2)q ( (pq) (pq) )3)Po ax 3 i 4, verovatnoa
disjunkcije iz 2) je jednaka verovatnoidesne strane teoreme 94)t9
sledi iz 1) i t2QED
-
Teorija verovatnoeSledee dve teoreme su vrlo vane za teoriju
odluivanja, statistiku i filozofiju naukeTeorema 8 (zakon inverzne
verovatnoe) Ako je P(q) 0, onda:P(p/q) = ( P(p) P(q/p) ) /
P(q)Dokaz:Poto je konjunkcija komutativna, po t2 i ax4 imamo:P(q)
P(p/q) = P(p) P(q/p) T8 sledi kad obe strane podelimo sa P(q).
QEDTeorema 9 (Bajesova) Ako je P(q) 0, onda: P(p/q) = ( P(p) P(q/p)
) / ( ( P(p) P(q/p) ) + ( P(p) P(q/p) ) Dokaz:Po t8 imamo 1)P(p/q)
= ( P(p) P(q/p) ) / P(q).2)q ( (pq) (pq) )3)Po ax 3 i 4, verovatnoa
disjunkcije iz 2) je jednaka verovatnoidesne strane teoreme 94)t9
sledi iz 1) i t2QED
