Operaciona istrazivanja

Redaktor: prof. dr Vuksan Bulat

______________________________________________

Dr Danijela Tadić Dr Milija Suknovič

Mr Cordana Radojević Vukica Jovunuvić

OpERACiONA

iSTRAŽivANjA

Redaktor P ro f. d r V u k sa n B u la t

I i d đ u a e h i c e n e r u H O K l i l l J S « M E i m D Z M E M T i i e s

Dr Danijclii Tadić Dr Milija Suknović Mr (rordiuiii Radojcvić Vukicji lovuaovjćOI'ERACIONA ISTRAŽIVANJA

Rvtcnzcni:Prc>(\ dr MiLutin Čupić

Glavni i odgo\,omi unetlmk Edidje: f’iijf. dr Vuksan Bulai

fcdmač:FAKULTET ZA INDUSTRIJSKI MENADŽMENT ICIMphts - 1/tliivačkt ccnutrza itulusirijski onenadžment ptus KRUŠEVAC:> JNA f>3h tol/faks (037)440 035, 23-792

Za izdavača:Prof. dr Briiniskiv Đorđcvić, tiek.m

Odobreno za ifedavanje i upotrcbu odiukom Nauino>:nastavnog vcćaE'Likulteta iii industrijski m cnadim cnt u Krušcvcu h r 79 od 10,09r2004r gndinc

Tuvž: 1000 primeraka

Kompffitlerska priprcmo:Kompjutcrski ccntčir Fakulteia za industrijski menad£mentn KmSevEu:

Dizajn korica:' INART'. KruSevac

Štatttpa:'M -graf, Trstcnik

SADRŽAJ

UVOD....................................... ............................ ............ ............................................................. I

l/LINEARNO PROGRAM lRANJE .......................................................................................910

i,2,o p S rr M o p f.L U * ■ ■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■ ■■■■ ■!■■■.■■■■■■ ■■■riii r ■ iiiii ■■ ■■■ ■ r ■■■;■■<■ ■■■■tbbi ■ ■■■■■ riiriid-hiiri-r■■■■-■■■■ ■■■■ ■ I 4

D . GRAFIĆK S INTERPRE 1A< IIJA PROSLEMA UNEARNOG PROGRAM1RANJA,.« Ifr1 J 'šlMPI Ft>iMVTIini ____ ___________ _,_____ tJI - E * 1 I V-rf-ll ■ Jl V 1 * 1 1 1 V P 1 / . % 4 S _ ■ ■ L ll iii .B JI .S jJ L I i iJ LBaaj I,GBJ i ■ ■■■ ■■■■41 ■.■■IIJfcBlfll ■ ■-■ ■ (■■■■ ■ ■■■•■ ■■■■■■■■!!■■■■■ ■ ■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■■■■ ■■■■■■■■- ■ “

iA.l. OPSTi: POSTAvKF. ...... ..... .. ......................................... ................................ ..24\A1 POf ETNO BAZNO RESEKJH ........................................................................... lt>1 4.3 PRONALAiENlEOFnMALNOORESENJA.................................................... 2914*4. VE4TAĆKA BAZA (PHOBl.EMI SA OGRAMĆEKJFMA TIPA > h- ) .................... 33LJ.5. PREVOĐEKIE OPSTCfl MODELA V JEDAN OD OOUKA OGRANlĆENJATrt5l1 4 * NEOGRANlCENO HI.SBN JE — ■ ■■■■ mbhJ ■ i>BaJ ■ ■ ■ ■■ I L I I J - ■■ ■■ ■ .. ■ B ■ I ■■■■■■■■■■■.■---_■■■■ .■.■■■■.■ ■■■■■-■■■■■■..- 52 14 7 PREVOĐENJE NESIMETRIČNOG U SIMETRltAN MODEL LP.....................54

1.5. DLALMfKOnLEM H * W i H a H * « H J h B H H B i m g W H W W I H H W i - H- m a t H H H H W P i l M P H i -H -I H H i W » > H I W H i | H l i H I H 55E.S.L. SlMrTEiir\] F>(IA1 N] MODEL _-.._■■■ ■■■■■■■■■■■■■_-.■■■■ ■ j s . . ■■■■■■ ;■■■■■ ■■■■■■■■■ i !■■ ■■■■■■■■■ iii ■ ■■■■■--t.5,2. NTKIMRTRfCNI DUALN! MODEL..................................................................... 58t .JJ. EKONOMSKA INTERPEKETACtJA DUALNOG PROBLEMA .................. .....&3

^J?TR A \SPO R T^l rKOBI.EM ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■■■■■■■ irHTM-r ■ ■■ r i n ■ l i T i T i T i n r i r a i i t i ■■ r i n i i i t i t i t i t i ■■ r i ■■■ b t i r i H i t i t i r i i T i n r

2.L LfV OD a+PPB<M f H W I W * 1 H >■■■ I H i i I H W H 4 W 1 « M P « ■■■**■■■■.■■■«»■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■ ■■■■■■ ■■■■ ■’■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 692.2. MATEMATIČKI MODEL TRA\SPORTNOG ZAPATKA........................................7023 , METOOE JEA NALAÊNJt POĆETNOO RESENJA.................................................74

U i DIJAGONALNA METODA .................................................................................762.3.2 METODA MINIM \L m \ TROSKOVA................................................................ 772.3. J METODA DVOJMCKi PRVENST\rA .......................................... ..........................791.3.4. VOGEL-OVA METODA........................................................................................80

1.4. METODE ZA NALAŽEEVJE OPTIMALNOC RE$ENJA............................................ H22.4,1. STEPPING STONE METOĐA............................................................................... 832A2. MODII IKOVASA METODA........................................... ............................. „.,.87

2-5. OTVORENl TRANSPOR IM ZADATAK.......... ............. ........................ ......... 91DEGeNERACUATRANSPORTNOG ZA&ATKA

1.1, PROBI J' M RASPORKDU \NJA j c i i i j ■-■■■■■■ ■ ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ ■•■■■ ■ ■ ■■■ r ■■■■ r■■■■■■■■■ ii ■■■■■■■■ ■ ■■■■ ■■!■■■■■■■■'■■■■■ ■ 98u _ / . ] . ^ I \ LN E M C f IjL . . . j i . i . i ■■ . . l .b j a . i . i i i i i . . . . , . p . . . . . l i i , i i . i i . r . i . p p . , . . r .a ■ . . 1 1 ■ . . . . i . ■ ■ . . p , ,4 ^2.7.2-OTVOKENI MODEL ............... ................... ..... ..............■<****£........ ... .................................................. ...............j j + l . ~ ..............................................E022.7.3. MAKSEMALNA VREOMOST FUNKCIJE ClUA ... ....................... .............. ... L06

■■II r ? i i - ■ --

3.TEHN1KA MREŽ>OG PLANIRANJA...................... ......................................... .......1093.1 ANALIZA STRLKTLRE ?]]

3-1-1 ELEMENTI MREŽNOG DUAGRAMA3-1-2. PRAVILA K.ONSTRUISANJA M D .......... ......... ...................3.1.3. FAZE RAZVOM ANALIZB STRUKTUR-H3.lANUMtRISANJEMD......................

3J, ANAIJZA VREMENA....3.2.1. ANALIZA VRl-MLNA f»0 METODt CPM .3.2.2. ANALIZA VRLMI-NA PO METODI PERT.....

3 3 . ANAUZA T R O SK O V A .

i n ■ i'i i i i r i i ■ i H r ■ 4 i i i H r - i T H i r i ...........................................................................

= ■ + ■94 r i i £9 i pl-i H I -■! ' !■ 9 •

r + r i i H M + H t « ' P9 ■■■ §-■- P * * ' i - T f ' i - i T r “ » i T M --99 ■« + ■■■ fS + S iT r iT » * * » i - ‘ " * “ *»»-‘ "'»S '< »“ * ' '

....112

..11*

.... U9

....121

.....124

... 124 -.,132.. 141

4 . U F R A V L J A N J E Z A I I H A M A h + a fa + + l k + B B + + I + + 9-B + B !+■-■ + + + ■ + ■■■ + ■ ■■■ + ■+■ B r + B + + E + B E + + B + + H B + B Rfl-I P + + ■ + »■ ■*■ + + +B-E + + 4 + 4 - “ M 9

4.1 PO JM O V f U UFRAV LIAN JL' ZAL1HAM A I NJIH O V O T l M A Ć E N J t: ,™ .« ------ 1504.1 NEKK DF/TERM INISTrČKI M O D £LI l \ U PRAV LJANJE /.\L IH A M A ................... 160

4 . 2 . 1 O S N O V N l K O N T I N U A L N I D I N A M l C K I MODEl........................................................1604.2.2 MODEL SA DOZVOUENIM KASNJENJEM.................... . ............... ....... ...... ....... 1634.2.3 MOĐELSA KONSTANTNOM T R A iN JO M ................................................................. 1654.2.4 VREMENSRI DISKRETAN M U LT lPfelD O N I MODEL ZALThJA......................... 163

4h3 OSNOVNl ST O H A SU Č K ] M O D E U 2A L’PR A V U A N JE Z A t l H A M A _ ................ I6>?4.3.1 MODEL PRODAVCA NOVFNA SA KONTINUALNO RASPODELJENOM

TRAŽNJOM i. - I s. I ■ j i a ■ ■ 11 ■ ■ ■ ■ ■■■ ■ ■ ■ ■■■ ■■ ■ ■■ ■■■ i. j l i i x e j ■ uj l - ■ i L i a j j ■■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■ ■ ■ ■ t u l i j ■ j. ■■■ j ■ ■ ■■■■■■■.■■■■ ■■■■■■■ j. b i j l j . _ 1694.3.3 MODEL PRODAVCA NOVINA SA DISKRETNO RASPODELJENOM

TRA^NJOM ------------------- ------------------------ ------ ------ ------------------------ ------- ,J 7 1

S + R E D O V l Č E K A M J A + + B + 9 ■ H ! PVB-P ■■.■■■■.■■ + ■■»-■ ■ ■»■-■■-■ ■■flBPB'■ ■■ ■ P»B-EB ■ E9 B + + 9 P*B-E»P M W P * M P 1 P W • * » « « * « E + B P + B-E-E + B-E 1 7 ?

5A. M O&ELIRANJE PROCFSA DO LA ZAK A.......... - ....... ..................................... ..................1765+2 M O D ELIRA N IE PROCESA OFSLUŽIVAN JA.................................. ......... .............. ..........1871 3 KLNDALOVA OBGLEŽAVANJA ZA KEDOVE Ć E K A N JA ............................................ LSS5.4 SLUČAJN! PROCES1S.4 SLUČAJNl P R O C E S l.................................................................. t&95.5 LANCI M ARKOVALANCI M A R K O V A .................................................................... ...........191s -6 n - s t e p e n e t r a n z t t i v n e \ t r o v a t n o ć e _________________________________m5,7. K L A S IH K A C JJa STANJA U LA N C IM A ............................... ....................................... „.„197s.« v e r o v a t n o ć e s t a c i o n a r n o c STANJA.

ZNAČENJE VREMENA PRVOfi 1995.9 FKOCESI RA BA NJA IU M IR A N JA «*________ _______________ ______ __________ _ .20 ]

5.9.1 RELACIIA EKSPONF.NCIJALNE RASPODELE U PROCESIMARADANJA I UMIRANJA «■■• P99*B ■ ■ = » t J i i J i i J U J.BB j-b j L t a j . . . --- . - . hfi- Ee-i Efi I Efi I PB+ ■-! •■■■■■ m ■-■■■ ■■-■ -i ~ - - --+■-- EB+ r--s t i 202

5 9.2 IZVOĐENJE VEROVATNOĆA ST'ACIONARNOG JJTANJA ZAPROCESB RADANJA I U M tRA NJA............................................................................. 203

5.10 M O DFLl REDOVA ČEKANJA ■ ■ fiiii' mi ■•■■■■■ ■■ !■■■■■■■■■■ ■■■■■■ ■■ ■■■■■■■■■■ anrai ■■ + ■■ (-■■■■ ■■■■■■■■ ■■■■■■■■ ■■■■■■ ■■■ ■■ ■ ■■ 1075.10.1 MODEL M / M / 1 , FORMULA ČEKANJA L = X W .................... 20?S.1D.2MODEL M /M /l/G D /c /« ....................... *......................................................2125.10.2 MODEL M / M / s / G D / * * / “ ................................................* ........................................................* ...........................— ................ 2155.10.3 MODELI I O I / O / - / G D / * / - ...................................... 2IS510.4 MOOEL M / G / l / G D ' » / “ ...................................................................................220£.10.5 MODELl OGRANIĆiiNOG IZV0R.A: MODEL ODR?AVANJA

(POPRAVKE)M ASlNA -- + ■ m r-i r--- i— r - H r i ^ r r r ■ra i ■■ r m ■ ■ ■■■■ rr--. r* rr-* --- --- -■-• i J J . J . a i i . * L , + i . -- ; « -- 2225.10 ć EKSPONENCIJALNA ĆEKANJA U SERIJAMA: OTVORENE MREŽE

REDOVAČEKANJA ............................................. ....................................................... 2265 . 1 0 . 7 M O D B L M / O / s / G D / * / « ....................................................................................................................................................................................................... 2 2 9

5 .10.8 ANALIZA RASPODELE VREMENA DOLAZAKA I VREMENrAS E R . V ' I S r R i ^ k t * 1! J A . ■ ■ ■'■ ■ ■■ ■ ■ 9 E J E»9 ■■ *■- • ■-• ‘■■•■* •■-- — i r r m 1 1 r riB-i-rr EE9 Er^ !■!■“ ! S9 ffc9 Efil r a i r r i rfc + r i + -9 --- + s » E = * -- -- • ■■*■ + 2 3 2

5 10 9 PRIORITET1 U MODELIMA REDOVA ČEKANJA ........................................«... 233

6. ĐRVO ODLL Č lV A N JA

7. TEORUA IGARA.......... 245

239

7X l ? V O D ................... ............................ ..................................... ................. ............... .................... 245

7 .2 . K O K M L L A C I J A I K L A S I t F T K A C fJ A I G A U A .....................................................................,„2467 3 . P R O S T £ M A T R l Ć N E I C R E ................................................................................................................... . 2477.4 r M F Š O V I T E M A T R I Č N F I C R F Hr-9iTr- -!'r»fi+! f ■i'i+lršii fcFiS* hfEPH hlHH B Bl H*PBB9-l-l>PPad HHHMH + « P«+ + 251

7A I . K H n U K G J A M A T R I C E ................................. .......... .............................................................2527 .4 2 . A N A L I T T Č K A M E T O D A ......................................................................................................2537A3. G R A R Č K A M E T O Đ A ......................-......................................................2567 4 .4 . R E S A V A N J E M C S O V T H H M A T R T Č N J H I G A R A L l N E A R N t M

P R O G R A M IR A N / E M ....... ........................ .................. .......................................................... 262

8 . V I S E K R I T E R 1J U M S K O O D L U f t V A N J E ................................................ .........................2 6 7

M . \ fE T O T > F V I S T K R I T E H I J L M S K E A N A L I Z K ........................................................................269

8 .1.1 , M E T O D A E L E t T R E 3 ........................................................ ..................... ................ ..........2 fi95.3.2, METODA PROMIiTHEEI .............................................................................. 284S .3 .j M E T O D A A N A L ] T l C i C l H H IJ E R A R J l lJ S K I i [ F R O C F S A .......................................... 3 fK>

PREDGOVOR

U okvtru izdavačke deJatnosti Fakultcta za lndustrijski mcnad?jnetit u Kruscvcu pretsravlja sc: grupna auiorska tvorcvina, koja jc priiticrena prttodi matcrijc, koja sc uobičajcRo pudram ncva pod Opcracionim istraživAnjiina. U korclaciji sa novim tekovjnama u obiasti kompjutcrskc tchnoib^ne, a u kontekstu s \c sloicnijih zbivanja, Opcraciona istraživanja kao sktip mcfoda i tchnika sa markflntmm obogačivanjcm. pmtcnduju na Ozbiljnu ulogu u proccsu odluChanja mcnadiera.

NczadovoljavajLLće stan;c korisćcnjji mctoda t tehnika Opcraciomh istraživanja od stranc aktucLnib korisnika u prtvrcdi, poscban jc izazov â školovfttie mcnadžcrc, L' lom sm islut ponuda sclckcijc me'oda i lohmka u ovom izdanju Ircha da posluži pozim nom preokrctu u phstupu odlućivanju,

Strukiura pi’ikii/anih metođa i tclmika posledica j t procenc autora o mogućnosiima primcnjivanja. U tom konickstu, ostaje otvorcno pitanje prilagođavanja sagtasrto potrcbama menađžcra. pa shodno tome i odgovamjućih promcna u sadrftaju, do kujih bi m ogkidoći na osnovu povramih informacija.

Sa svoje 5trant\ auto:i su u£inili napor da odabranc metode i tchmkc prcdstave na načm kojt bi om ogućic primcnu. Prisumi primeri s j ođgovarajuća pomoć korisnicima, da tia vi5e aspckata to i učinc.

L' očckivanju povramih informaeija autori ostaju spremni na dodatne naporc, kako bi ovaj svojcvrsian alat" 11 procesu odiučii anja mcnadzera ost\ ario svoju utogu.

Korisiimo priliku da se zahvalimo reccn?cntu prf>f, dr Milutmu Čupiću na korisnim suêstijama. Posebno ccmmo naporc izđsvaCa oko ostvarcnja i?danja. Porcd toga ^hvaLjujcmo sc Am Skorup, prof teh, i informaitkc, ua teluitCkoj priprcmi rukopisa.

Kruševac, 2004, god Autori

£ W

U \O D

Prot^klc đecenijt: u razvojn čovecansiva okaraktcrisane su porastoin broja Cinilaca u avim domcnim.i čivljenja. Interakcija poprima avojevrsnu dinam ičnost U sbvi za delanjc fmsiaju sve sločeniji posledićtio i riziCniji prilikoir, osmiSljavanja poteâ, pođuhvata u laztifiiim obtestima Covdcovog debvanja. Proccs "usijavanja11 u nckoliko poskdnjih deccnija initi svoju predistortju

Čovck jc u svakodncvnom životu rciavao problctnc sa kojinia se suoCav;io. Tom prilikom, kao najjednostavnije slučajeve trcba izdvojiti regisirovanjc onoga što se dogodilo i izra£unavanjc cenc za prodaju svojih mku dda Ako je u prv om slučaju masovnost dogadnja bila inala evidenEiranje jc biio jedtiosiavno, Dok i; dûgom sluCnju, kao ttpskom, nastalo je suciSavanje sa otolinom u liku korianika - knpca. Suprotstavljenost intercsa prodavaca i kupaca uzrokovak je nov kvalitet ra2miStjnnja. TrcbaJo je uzeti u obzir ne samo s\foju situaciiu vcć i uslove u okruženju, kod potencijalnog kupca kao i mogućih drugih ponuđafa. Pojednostavljeno, do kraja ogo|jenoT ovakva mterpretncija odnosa prisutna je suštinski, u svim zhlvanjima* u kojim ajc čovck današnjicc mvolviran,

Na individuainom p]anu čovck nud] svoje usluge potcncijalnom koiisniku, Na grjpnom , posIo^Ttom, na primer. polju u igri su prcjdukti, usluge, kokklivmh osivarenja za koje pottinctjalno postoje korisnici, Uspešnost ili neuspcSnosi ishoda zavisi od sve većcg broja faktora, U uslovimn viSestnUce lifine, odnosno koiektivne ponude. javlja sc veći ili manji rizik. Prevhdavanje tog rizika je pcrmanentan izazov za svakog ponuđača kako irtdividualnog, lako i kolekiivnog. Pri tom, treba imati u vidu da se i koiektivni ponudač svodi na pcrsonifikaciju, u vtdu ćelnog čoveka. odnosno njegovog tima, u odgovarajudoj gmpi, tj. puslovnom sisletnu,

litorija je tspunjena brojnim sluč;ijev:ma kada su potezana druga sredsfva da bi se razrešila neuskladcnost in teitsa optanata Osvajački pohodi su eklatantan primer pokušaja da se nasilnim putem razreSc problcmi, Ako je u poslovanju preduzeća rizik u krajnjc nepovoljnom slučaju bio ekonomski kolaps, onda jc u ratnom sukobu takav ekstrem bio gubitak suverenosti odgovarajuce državc. I ne samo jedne države, već gnipe država* kao sto jc lo bio slutiaj u II svetskom ratu. Za oćekivanjeje da se u tako kritičmm konfronlacijama porodi ideja o aktiviranju svih raspoloživih potencijala u smanjenju rizika od poraza Takav je sluOaj bio sa snabdcvanjem vitalnim resursima (oruđima, municijom t drugim potrcbstinama} eviopskih saveznika od stranc prekomorskog SEiveznika, SAD. Supmistavijen interes Trojnog pakta (NemaCka, ltalija i Japan) oCitovao se kroz koriSćenje podmomica radi poiapanja transportnih brodova konvoja. L' pofemoj fazi sa\ eznici su trpcli ogromne gubitke usled nedovoljne cfikasnosti protivpodmomickog

i

OPERACfOSA ISTR \?J\ I \JA

sistcma Kazresenjc jc pcirazL-no od stranc Savezikib u okîru jodnog multtdisciplinamog tima sTručnjEika Angažovani su inženjeri različitih sirtika, vojni ck&pertt* navigulori, psiholozi i drugi, Sprovedeno jc priktiptjanje podataka, podsetimo na več pomenulo rcgisuovanjc, o relevantnim fcnomenima. kiiko n pugledu sopovenih potoncijala (hr/iiiL1 aviona, vidljivost, dubina na kojoj se aktivirojia dubinskc bombe i drugoK tako i o proHvnićkim podmomicama (brziivi kreUTnja podmomica, brzina poniranj^ j sl.y N'a osnovu prikupljcnih podatak^ j odgovarajućih simulacija sukobljavanja aviona i podmomica, umskim radom jc utvrdeno da su dubinske bombe eksplodirale na neodgo\arajučoj dubitii, koja je bila konstant»a+ iako su viđLjivosi i drupe okolnosti bik promenljive. Pa jc pri odrcđcnoj brzini ponifanja podmomica dolazik) do uoćenog ncskJadći i^mcđu položaja podmornice i tačke aktiviianja dubinskc hombc. Odgovarajućim proračumma u okvtni multtdisctplinarnog tima utvrđcni su parametri: mstoj&nje aviona i podmomicc, zavisno od vidljivosii, tc b m nc aviona t poniranja podmomice, i poslL'diCno dubine aktiviranja piotivpodmomičluh mina Po i/vršcnim potrcbnim promcnama+ cfikamoM ptptivpodmomičkog dclovanja jc poboljâna. f'roccnjono je da je OVaJ prtsiup omogućio ppzitivan preokrct u El ^vetskom ratu, u koi ist Saveznika

Prema uobićajcnoj icrminologiji pnkazani poduhvat tma karaktcr vojne opcracije, a obavljeno istraživanje posiužiio je za obhkovanje sintaijme: Operaciona istraživanja.

Slićnost zbivanja u vojsci i poslovanju kompanijc. poscbno u zao&trenim konkurentskim odnosima, te odgovarajućc poirebe da se poslovni problemi reSavaju U2imajućt u obzir bmjni relcvantni uticajni faktori, uslovilo je primenu ovakvog pristupa, pn Ćemu je zadržati naîv Opcraciona istraživanja. Koiiko god jc to semantićki i teTininoloski osnovano na anglo-amerićkom jezićkom područjuT to kod nas nije shjčaj. Operacija. kao termin, kod nas ima dvojaku upotrebu:

- kao vojna operacija, u ćemu postoji shčnost sa već opisaoom praksom i u svetu,

- i u proi/vodnjt, kada sc odnosi na promenu ftzičkth i ’ili hemijskih ktirak- teristika prćdmeta rada, a s to je analogno u maicmatici. kao i u himrgiji.

Međutimt prema Vujaktiji ( \ rujaklija, M., l?70) tumačenje reči operacija jc deianje. rad, pa bi u tom kotekstu mogao biti prihvacen. tennin. naziv, Opcraciona islraživanja.

Prcma oceni autoia prikladniji bi biot i u duhu naScg jezika, izraz Istraiivanje procesah jer se najćešće i radi 0 nckim procesima. što će biti vidljivo čitaacu ove knjige.

Istćni za voJju3 oduvek su pregaoci u raznim oblastima proučavanjaT pa i u praktičnom radu, biki angažovani na traganjima za novim, boljim rešcnjima uoćenih problema, Pnroda odgovarajućc materijc bila je i ostala ogranićcnje u poglcdu postizanja dovoJjno uverljivosti nadenih rešenja. Naime, mogućnost kvatilifikacije reLcvantnih parametara i matcmatska podrika pružalaje pnednost nad

fflvod

kvaJitativnim pristupcin rešavanju piublcma. Mada tnkav stav ne može biti gcnerallzovan.

Razvoj maiematskih rnctoda, posEupaka, le odôvarajućih algoritama bio je prevashodno orijcntisan na probicmatiku prirodnih tiauka. Sa razvojcm indusirijske proiizvođtije i posložavanjem opSttb i specifičnih uslova u funkcionisanju posiovnih šubjekata ra&tao je interes za ovu problematiku, Stnhastička pnroda fehomena u p7oizvodnji> poslovanju i uopste u dnJ&tveno-ekonomskoj ^feri istiCe potre&i /.a prikladnim matematičkim metodama. U tom kontekstu, primat pripada matematskoj siatisticL ali i lincarnoj algebil leoriji skupova, posebno fa£zy- skupoviina, od kojili ovi zadnji nisu joŠ u dovoljnoj meri došli do ii'.ra/aja. Time se ne negiraju moguenosti klasičnoe matcmatsk^g arsenala zasnovanog na tltitcrminizinu, ali MZ n.u5ne rv/.crve zbog istaknutog dominirajućcg stohasLičkog karaktera uslova i zbivanja u projzvodnji i poslovanju uopšte.

Ne zanemarujuđi &in kontekst i odeovarajućc smplikađje u odnosu na misiju Operaciooih i^trazivanja u fokusu je resavanje problema. U tom sinislu ireba istaćl da su Operacsona ist3Laživai3ja orijentisana na rešavanje Ovih problema ćiji sc Utjcajm elemeuti mogu kvantificirati. Ovim se nc isključuje mogućnoKt parttcipacije u rešavanju t2vr hibriđitih probletna, čiji se pojedi ni elemcnli mogu kvantificirati, a sve u cilju nata/enja Što bo-jcg rcsetija.

Pored ostalih domcta, medu prve pokuSajc prodora matematskih po&tupaka u rešavanju problema u proizvodnji Spađft Kanlorovič (1039) u planiranjuproizvodnjeT Hitchcock (1941) i ncâvisno od njcga Koopmans (1945)transportni problcm, te Dantzig (1947) sa Simplex metodom za lincamoprogramiranje. Zćitim slede sve brojniji prilozt, tako da za pojedme obhistij naprimcr transportni probiem, postoji preko 150 postupaka za reSavanje odgovarajućih problcnna.

Motivisaiiost za iznaLažtinje novih metoda i postupaka je viSesiojna. U trži&um uslovima dominira nalažcnjc boljih, racionalnij:h rcšcnja a pogledu trošenja i angažovanja svih vidova resursa. Ova resenja oimjgučav&ju superiomiji položaj takvog posiovnog subjekta u odtiosu na konkutente, Isa globalnom jiivou nadmetanje izmcđu vodećih nacija, blokovaT radi postizanja vojne supremacije potstiče enormna ulaganja u razvoj odgovarajućih đisciplma, kako bi sc postigao primat u vasioni, lansiranje čoveka u orbitu zemEje, iskrcavanje čoveka na mesect opscrvacija Marsa i drugim sličnim spektakulamim poduhvatima, Pretakanje ostvarenih teko\'ina u Brivredni, E uopšte, društveno-ekonomski iivot propratan je proces, koji se sa vise iti manjc izraženim faznim zaostajanjem ipak ostvarujc a fito omogućava, poredostalog. jpektakularan razvoj mctoda operacionih isiraživanja.

Rcšavanje strateških, taktičkih i nitinskih problema nije samo sebi cilj, već siedi donošenje odluka od slrane nadležnog menadžera. Kvalitet odluka utiče na rezultate, opstanak i razvoj posiovnog sistema. Efikannost metoda Operacionih istrazivanja usled primcne matemaEikc, sa jeđtie strane, i pcrccpcijc menadzerskib aktivnosti u kojoj donunira odluĆivanjej potsiaklo je neke autoret iztncdu osialih Robins-a i Coultei'-a (Robins, S, Pr, CouEter, M., 1996), da Operaciona istraživanja poistovete sa Management Sciencc, Uzimajućt u obzir sveukupnost mctiadžerskih

3

OPERACIONA IStRAŽJVANJA

funkcijfi ovako pojednosiavljenje. svotlenje na odlučtvanjc, lako atraktivno, nije održivo E u zna&juoj mcri osiromasuje menadžmem.

Imajući u viđu rcčeno, pnrodno do je menadžerskn strukturU auočona sa brojnim problemima, strateške, taktičke i suStinske prirode bi!a pogodan korisnEk ovih tekovina. Misli se prevashodno na:

- Matematsko programiracje Clinearno, neltnenmo, stohasličko, dindiničkoi drugo),

- Transportni modelT- Tchoika mreinog planii'anja,- Model zaliha (detemnnisučki i siohasEički)- Model zamene}- Redovi čekanja, kao i/razito stohastička pojava,- Drvo ©dlufiVanja,- Teorija igaran- Višekriterijumsko odhičivanje_

Naveđeoo je u najveeoj meri sadržano u ovom izdanju knjige.

Kao u svakom drjgom slučaju korisecnja lekovjna nauke u primeni inetoda i tetmika Opemcionih istraživanja dolaze do izrnzaja prednosti i glabastL

U prednosit scr ubrajaju:- sislematizovanje prisiupa resavanju problema,- sticanje vinuelnog iskustva,- favori2ovanjc timskog rada,- povratni efeka[ na sredivnnje uslova u poslovnom sistemu.

L’ slabosti spadaju:- neizbeživo pojednostavljcnje promovisanjenv dctemiinističkog karaktera

fenomena, prevashodno u Matemaiskomprogramiranju,- Leškoće uklapanja rcatnih problemn u raspotožive aLgoritme za primcnu

metoda i tehnika,- nepodobuos £ za rešavalije izv. n&stmk lu i ran i h proble ma P

U resavanju problema uopšie., poscbno korišćenjcm metoda t tehnika Operacionih istraživanjaN prvi je najvažnijt korak: dcfmi&anje probiema. Ništa ne vredi dobar, još gore odličanT odgovor na pogrešno postavljeno pitanjc. To se prevashodno odnosi na dcfmisanje problema. Utrošcno vreine, zaostajanje, kaSnjenje u reagovanju, nenadoknadivi su gubici^ ukoliko nije adekvatno deJlnisan problem. Dobra, preliminama informisanost o relevanmoj probiemalici, osnovan je preduslov zn kvaliietno definisanje probJema. Prečice 1 žurbe loš su saveznik i trcba ih se kloniti. Jer, ako sn izvora poteče mutnn vodan svi oe je mutnu piLi,

Metodc i iehnike Operactomh istraživanja eksplicitno ili nnplicitno nameću:- definisanje citja,- utvrdivanje ograničenja.

Prcdstava o cilju imanentna je svakom menadžena. Shodno tomeh treba naći spregu između ctlja poslovnog sistema, odnosno njegćvog deta, koji treba ostvariti i cilja

4

i

Uvođ

koji se jgrađujc u model prilikom rešavanja problema korišćettjem ineioda i tehnika Operacioriih istraiivanja. N*i taj naćin konsiimise se konzi|tentna iikiivnost menadzera ha ostvarivanju siratcskib E taktičkih ciljeva re$avanj$Hi uoćemh prohlema.

Obavezujuće deflnisanjc ograničcnja, njthnvo pobrojavanje po vrstatna i utvrđivanje ^dgovarcjužih vcliCina prituoravaju involviranog irriehadžera da ih uzme u obzir. Ovo tim više jcr se ponekad u zanosu oko tražerija rejenja prenebregavaju ograhičenja u rcsursima i spoljnim uslovima. Na primerh u proj ekiovanj u proizvoduog programa lspusti se neki od resupsa, koji je neopiiodan, neki kapaeitet inasine.

Dntgim rečima, U7.imanjcm u obzir ograničonja koja su na puUi ostvareuja cilja, "spusta na zfemlju" polet, težnju da se dt>đe do boljeg reSenja ukol iko za to nema uslova,

Istovretncuo, mateinatski modei nameće obavezu kvancificiranja kako cilja, tako i Ogranicenjah cune se korisnik suočava sa ograničenom podobnošću primene ođgovarajuee mctode, odnosno tclmike, u rešavanju problema.

Sa variranjem kriterijuma, ci]jnih i ogranieenja u granieama reainosti kom nik dobija višc mogućih rešenja, što je nokad veoma potrebati jnancvarski prostor u izboru puteva ka ostvarenju ciljeva, tj . donoScnja odlukc.

Svako od rešenja dobjjeno primenom metoda i tehnika Opcracionih isuaživanja predstavlja stiuulacij’j moguće stvamosii. 1 to, njih viSe ukoliko - e na adekvatan naćin iskoristi mogtićnost kombittovanja ciljmh kriterija i oarantčcnja. U stvan, radi se o sintuliranju poslovnih situaeija kao varijanti mogućiti ijitioda. Tako ncšto je nemoguće u rcalnim uslovima poslovanja, jer prctsiavlja utroženo vreme, a i resurse zavisiio od prirode materije. Stoga se ovo može okarakterisali kao sticanje vinuelnog iskustva.

Adekvatno kori,šćcnje metoda i tehnika OperEicionog istraživanja pretpostavlja uCežće tima stmćnjaka Pored menadžera kao korisnika, ali i uccsnika u izbom ciljnih kriterija i ograničcnja, učesnici u timu su stručnjak za Operaciona istraživanja, tehnolog, odnosno po^navaoc reEevantnog proccsa. ckonomista, kao i psiholog t sociolog u slučaju odgovarajućih tmpJikaeijc'i na zapostcne i njihove međusobtie odnose, Struktura tima ohe/.bedujc multidiscinlinamost kako ti pristupU tako i u nalaicnju resenja problema. Jer, svaki je poslovni problem \'iše ili manje rnult id i sc tp It naran.

Struktuni ?alUeva sa podacima iz tckućeg i prošlog poslovanja preduzeća radi primene odgovarajuće metodeodnosno tchnike Operacionih istraživanja stiotava se sa:

- raspoloživošću takvjh podataka,- kvalitetom -- tačnost i pouzdano^t podatakah- prikladnostt inteiprctacija podataka,

U slučaju nedostaika po fstkvom osnovu dovodi se u pitanje primena odabrare metode, odnosno tehnike, Aliv to podstiče nadlcžnc organc da se preduzmu odgovarajuće mcrc, kako bi sc obc?bedilo registrovanje i obrada potrebnih podataka.

5

Tq je svakako pozitivno sa !%tnnovis:a iredivanja prilika u predu/eću, radi koriSćertja meioda i tehnika Operactonih istr/ivattja ti buJučnosti Ove Sire mogučnojiii auU>matskog prcuzitnanja podaraka. bar kod. na pnmer. kao i druge (ehnićko - tchnoloskc mogućnosti otvaraja povoljnu perepekiivu za Sto Siru primenu Operacionih istraživanja, a i Sire /a mformisanje u t/v rcjlnom vrcmcnu Dosadašnjc ickovinc kompjutcrske tehnoiogijc obećavaju sve ittre mogučnosli na ovom polju.

Prilikoni korišćcnja I.incamog prognuniranja* Nclincaniog progriimiranja i druîh vfirijanii Matcinatskosi prograrniranjEi, ugradene posiavkc o numerički tačnom iskazivanju trajanja opcracije, na pr.. odudara od stvamosii, £lo proračunate vrednos*i pfobkmatizuje. Slično je i sa lincamim. odnosLio nchncamim odnosom pojedirth varijabli, što takode nc odgovara stvarnosti,

Složenosl probletna i tnoguće brojne impEikacije ne mogu uvek biti ukomponovanc u maiemalski mođel. Nužno uproŠćavanje putcm eliminacije neobuhvatljivog dovodi U pitanjc kvaliiet dobćjcnih rešcnja.

Karakter straicških. pa i jcdnog dcla lakiićkihT problema, onemogućava kvantifikaciju involviranih parametara, Gvi se problemi svrstavaju u rzv. nestruktuirane problemc. IVleiode i ichnike Opcracionih isirazivanja nisu podobne /a njihovo obiikovanje u matcmaiske modek, pa sunim ttm ne mogu biti ni rcSavani

Uprkos dosađa ispoljenih potc3koćas posebno su povoljm izgledi imajuči u vidu osivarctic domcie u kompjuterskoj, konkretnijc, software - skoj podršci u širem prodiranju Operacionih istraiivanja. £to dclimično potvrđuje dosadašnji tok zbivanja.Naime. relativno skromne perfomiansc memorijskih kapaciteta i brzme obrada (ransakcija, bttc su skromne u ;>oćctnoj fa/i konSćenja Operacionih istraživanja, objcktivno posma(rano Subjektivno, nedovoijna edukovanost \ pnkrivcni olpor novim metodama, korclira sa objekLivnim teškoćama. Sve skupa rezultira u veoma usporeno prodirar.je Opcracionih tstraživanja u praksu odlučivanja menadžera. Vrcmenom. ublažavaju se postepeno i nestajuT konstatovane objektivne prepreke i subjektivni otpor. U domenu hardware-a noemorijskl kapaciteti i brzine obrade propraćene minijaturi/acijom pre sveeat centralnog proccsora - sen era zadovoljavaju moguće zahtcve, NeSto slično, /avisno od mvoa opštc kulture i odgovarajuće tnfbnnisanosti menadžera i ostalih, odigrava se i na području subjektivnog opiranja. U tom kontekstu poscbno mesto pripada veoma lx>gatoj literaluri Iz oblasti Tcorije odlućivanja. Ra&vei]javanje misaonog proctsa tokom odlučivanja oplemenjujuće delujc na usavršavanje odlučivanja

Mcđutim, izostaje u dovoljnoj meri razvoj aplikacionih programa, koji bi omogućili rešavanje brojnih viSe ili manje struktuiranih probiema /a kojc su ispunjeni o&no\ ni uslovi kao što sul

- mogućnost kvantifikacije relevaiunih parametam,- postojanjc matematskih modelat kao i odgovarajućeg algonima

OPERACJONA ISTRAtJVANJA_________________________________________ _________

Uvođ

Ono 5io još tivek nedostajeN to je:- mvo sređenosti o ip iizacioD ih uslo\ at- ađekvamo pveuzimanje podataka u realnoiu vremenu.- i ne najmanjt; vaJno, naprotiv, tirnska saTadnja menadžera t njihovih

saradnika sajedno i progtamera sa điufie strane.

Ziibcle/eni napredak u protcklom vromenu po navedenim pitanjima fiani osnovanim oickivanja da se može mfiunati sa pozitjvnim promenama u bliskoj budućno&ti.

7

Lineaniv programirttnje

l. LINEARNO FROGRAMIRANJE

Lineamo programiranje je možda najpom atija i jedna od rtajčeSće korišćcmh lchiuka nauke o upravljanjuh. To jc matemaitčka metoda alociranja deficnamih rcsursa sve u smisiu postizanja zadatog cilja, kao šlo je maskimizacija profita, i.ineanio prograinirninjc je naslo štroku primenu u poslovanju, kod većine upravljatkih problema koji zahtevaju alokaciju rcsursa. Na primer, upravljački problcmi pri ođlučivanju u oblasti uprav]jatija proi^vodnjom, plnuiranja potrebncg hudêta, alokacije pcrsonnta* reklamiranja, i planirEinja promocije su poveânt sa dostizanjem zadatog cilja (maksimizacijorn profita ili minimizacijom ccne)t svc u zavisnosti od ogranićcnih rcsursa (novca, materijala. Ijudskih rcsursa, vrcmena, itd ) I.ineamo programiranjc uključuje opis stvamih simacija pn donoSenju odlukn kro/ matematički niodeL koji se sastoji od lineame funkcije cilja i lineamih ograničenja resursa [2]

Ncke karakteristićne primene o\ e metode su opisane u sledećim slučajevima:

Proizvođač želi da usavrsi raspoređ proizvodnjc i pristup inve-ntarisanja koji bi zadovoljio zahtcve prodaje u budućim periodima. Ovaj raspored bi, u idealnom sluSaju, omogućio preduzeću da zadovolji potražnju i da u isto vreme minimi/tra ukupnu prot/vodnu cenu.

Tinansijski analitičar mora izabTari investicioni portfolio Ezmedu razlićitih altemativa skladiitenja i obavezujućih investicija. Analitićar bi želeo da uspostavi ponroLio koji maksimizira povraćaj investicije.

Marketing menadžer že]i da odredi kako da se najboljc alodra stalni rcklamni bud?.et i/medu razliCitih siLleniaiiva kao što su radio, televizija, novine i revije. Mcnadžer bi žeEeo da odredi "medija m ih" koji mahitnisira efekte reklamiranja,

Predtizeće ima skladišta na razhćitim lokacijama ftirom z.emlje. Za zadati skup potroSačkih zahteva sa njegovim proizvodimah preduzećc bi želelo da odredi koje skladi£tc bi trebaLo, koliko proizvoda i kojim potrošačima da isporući da bi ukupnt troikovi transporta bili minitniziranL

Ovo Su primeri situacija gde se lineamo prOgramiranje <LP) uspešno konsii, ali takodc ilustruju širinu primcne aplikacija LP. Dalje razniatranje ovih zahieva nameće sledeći zaključak: svi ovi primeri se ticu maksimiziranja ili minimhiranja odrcdcnc veličine, U prvom pnmeru želimo minimiziratE cenc, u dmgom žeiimo maksimizirati

Managtm*n: Sciersce - Nauka o upravLjaajti sadrfi veliki broj kvaatitattvnih metoda i togičkih meôdoiogijLi kojc se primenjujL u problcirima odiufivanja.

9

povraćaj iiwesticije, u ireccm /elim o maksimizLrati etekic rekkimirarju a u Cetvnam zahtevamo initiiiui/aciju tioSkova Lranspotia, £ svim zađacima LP predmet istraživanja je m aksim ittija Ui mmimizacija neke veiičine [3 ]

U [TiaicniLstiCkom stnislu, 0\ i zahtcvi sc opisuju ftmkcijom cilja. FunkL’ija cl!j;l su jo i na>:iva kriterijum upravljatija [11 kritcrijunioin optimalnosli. Ona predsUvlja Funkciju \i5c pronienljivih /a koju je potrebnu odrtdai ekstrcmnu vrcdoost, tj. odrcdhi njen mmimum Lli maksitnum.

Dmga osobina prohlcma LP su ogranićenja koja limitiraju stepcn mogućcg prirasta funkcije cilja. U pr\Jom primeru proizvodač jc ograničen zahtcvanom potražnjom proizvoda koju ircbEi da /adovolji kao i ograničenjima groizvodnoji knipacitcta. Problem finansijskog analiličara je odredcn ukupnom sumom raspoloiivih mvesticiomh Fondova, kao i maksimalnom sumom koja može biti investiran.'i u svaku nabnvku ili plaćaujc obaveznih invcMicija Ođluka o uboru medija koju donosi marketmg inenadzcr je ograničena fiksiranim budzeiom za reklamiranje i dosiupnošću odredcnih mcđija. U iransportnom problenm mininuilna ccna rasporeda iransporta je odredcna nabavkom raspoloiivih proi?.voda i/. svakog skladista Ova o g ra n ič e iiju vw još jedna opsia osobina svakog problema LP.

OPERACIONA iSTflAlilANJA_______ _ ________________ _____________________

1. I .O P 1S P R O B L E M A L P

Svi problomi LP imaju četiri iiajedničke osobinc:* Svi problcmi tcže maksimiztranju ili minimiziranju ncke količine (obićno

profita ili cena). Ova osobtna se npisuje funkcijom ciija problcma LP.Najvažmji cilj tipiinog predu/eča je da maksimizira Svoj profit i to udugoroinom vrcmenskom pcriodu. Ako sc radi o saobraćajnoni ilidistribucijskom sistemu, cilj moie biti miiiimizacija troškova transporta.

* Prisustvo ogranićenja, đeftnisanje ogranićavajučih faktnra, podrazumevaodrcdivanje granica do kojih možemo reahi'ovau ci]jcve Na primei; ođluifivanje koliko proiz\o<ia svakog proizvođa u proiz\ođnom programu trcba proizvesti je ograniieno raspo3oži\ itn resursima preduzcća.

* Moraju postojati moguća rešenja koja možemo izabrati. Na primer, ako prcduzečc proi/vodt tri različita proiz\ oda* mcnadžment m oie upoircbiti LP da bi odlutto kako da na njihovu proizvodnju aiocira svoje Ojiraničenc proizvodnc resurse (Ijudske, raspoložive kapacitctc maSina, itd.)r

* Funkcija cilja i ograničenja u problemima linemog programiranja moraju bili izražena pomoću linearnih jednaCina i nejednačina

Primer / , / , Problcm određivanja količina pruizvodn

Proizvodno preduzeće želi da odredi koliko od svakog od tri razlićite vrsteproizvoda bi trebalo proizôdili, za zađatc ograiiićcnc resurset svc u ci]jumaksimizacije ukupnog profita. Zahtcvi za Ijudskim rcsursima i materijalom tdoprinos profitu za svaki od tri proj/ voda dati su sa:

10

Linearno programiranje

Rtsursi

Zahlevj za rcsurs.im.1 Proi'/.vod

3 2 3 lôstupnos!lutdsk: (Č2S0V& jcdLmci) 4 3 5 3(WMaterijala (kiloArania |edimci) 6 4 2 420 kfiProfn (L'asu', ll jedimci :■ 2 6 3

Ijudski resursi su dncvno dostupni 300 časo\a zn. prmzvodnju. /a lih e matcrijala su ogra&ičene na 420 ks dnevno. Troblein odkičivanja jc da odredi koju koUčirru ^vakog proizvoda ireba proizvcsri u cilju maksimiziranja ukupnog profita. Probdcm sc tnože dcfinjsati prcko modela lincamog progratniranja.

Promenljive odtučrvanja

’l’ri promenljive o<llučivanja su potrebne dntvne koliiine proizvođa [, 2 i 3. Ove kolifine sc jnogU simbolitno predstavit] kao;

.V: - kolićina proizvoda l jfi u količina proizvoda 2 .V] “ kcličina proizvoda 3

Cilj problema odredivanja potrebnih koliČina pToizvoda je maksiraizacija ukupnog profita, TrebaEo bi primeiiti da je ukupan profit suma prorit?. dobijcnih od svakog pojedinainog proim>da, Profit od proi/voda 1 je određcn proizvodom jediniinog profita, 2 dinara, i broja proizvcdenih jedinica, x\. Profiti za proizvode 2 E 3 su odrcdeni na isti način. Dakle, ukupm profu F(X) može biti izittžen kao

Max F(X) - 2 ^ i +6 x2 +3

gdcjc 2 X\ - profit od proizvoda l6 xj “ profi; od proizvoda 23 Aj = profit od proizvoda 3

Dt [ftniscmje ograritčo\rajučih jaktomL' ovom probEemu ograničenja su limititane kuličine Ijudskih resursa i materijala koji su raspolo/.ivi za proizvodnju+ Proizvodnja svakog od tjri proizvoda zahtava obojt;, i Ijudstvo i materijal, Za ptoizvod 1, potrebno vreme angažovanja Ijudskih resursa potrebnih za proi/vodnju s\rakc jedinice proiz\-oda I je 4 saia, Dakle potrebe za Ijudskim resursima su 4x. sati. Slićno lomc, proizvod 2 zahtcva a proizvod 3zahtcva sali. Ukupnt broj raspoloiivih radnih sati jc 300. Dakle, Ograničenje IjiKiskih resursajc:

4 + 3 x : + 5 x 3 < 300Dgraničcnjc potn;ba zz materijaJom se formuliše na sličan naCin. Proi/vod 1 (a:() zahteva 6 kiiograma po svakoj proizvedenoj ieđini-cj, proizvod 2 {.^) zahtcva 4 kilogratna po jedinici, a proizvod 3 (x3) zahleva 2 ktlogram;i po jedinici. PoSto je nkupno raspoloživo 420 kiloiirama sirovog malerijaia, ogrameetije se izr;izava kao

i l

6 x 1 + 4 X2 + 2 -v3 < 420

Takode svaka promertljiva ođlučivanja obavezno :nora imrni ncnegativnu vrtćnosi, jer bi bilo nelogično, ako bi preduzcće proizvodilo regativne količine proizvoda, Ovo pravilo [prirodan itslov) se zove nenegatvnost ogratučenja \ m;ilematički se izražava kao:

Ti>0,.v2> 0 , Xi>0

Većina problema LP ima tienogaitvna ograničenja. Ipak. jiroccdnra meiode LP je u stanju da nade rešenje i problema sa negativnim vrednostima promenljivih ako ih, iz neko^ razloga, deflnisanje problema zahieva i uz uslov da je model pravitno definisan, Megativne vrednosti se često pojave kada promenljiva odlućtvanja defini3e Slopu kao Što je na primer prirašmj siopc inflacije, koja može da se smanji ili da naraste, is'jeno smaryenje bi trebalo Lskazati negativnom vrednosii

Znak ncjeđnakosti sc konsti pre nego znak jednakosti zato £to bi - znaćila potpuno koriSčenjii proizvodnug kapaciteia* a < dozvolja-va da je korišćenje pnnog kapaeiteia ostvareno lck onda kada jc dostignuto optimalno resenje. f2J

Da bi sc završilo formiranje mođela LP. vršimo njcgovo matematićko postavljanje:

\fax F(X) — 2 X[ +6 j i +3 x$

p.o. (pri ograniCenjima):4 x t + 3 x 2 + 5 x ^ 3 0 0 6 jtl + 4jc^ + 2 xy < 420Xl > 0 , X2> 0hXj> 0

ReSavanje ovog modcla podrazumeva ttaienje optimzlmh vrednosti promenljis ih odJučivanja x t t .t5 i v? u cilju maksimizacije ukupnog profita F(X).

PHmer 1.2 . Problem ođređivanja optimalnog jelo vn ika

Botnički nutrictonista mora da odredi koji će se doručak pripremati svr.ko jutro za pacijente. Deo njcgove odgovornosii je da sigumo ohezbedi minimum dnevnih poireba za vitaminom A i B. U isto vremeT jelovnici moTaju imati najmanju moguću cenu sve u tilju izbtgavanj:i gubitka. Glavni izvori vitamina A i B su jaja. slanina t žitaricc. Potrebe za vilaminima l sadrzaj svakug od ovih vitamina po svakoj od ovih namimica su prikazani u sledećoj tabeli:

OPERACiOSA tSTHAŽIVANJA________________________________ __________________

Sadržaj vitamitia

Vitamin mg/jedRom mg,- Sistv MLnimalne dnevnciaittu slanmc žitarica potrebe (ma)

A 3 6 2 15B 4 3 1 14

Cena jednog jajeta j t 6 dinarah cena jedno^ lista sianine je 4 dinara, a Solje žitarica košta 3 dinani, Nutrieionista 2eli da zna koju kolićinu svake od ovih namemica trcba da unese u jciovnik sve u cilju ponlizanja [ninimalnih dnevnih potreba za ovim vitamimmaT a vodeći raćuna o minimizaciji ukupne cene.

!2

frfmwwp pi vgf titn irtin \je

Pfi§ftienljive odtućivanja

Problcm odieŠivanjti optimalnog jelovnika sadrži tri promenijive odluCivaaja koje opis»]_in koliko je jedinica svake vrste namirnića sadr/ano u jelovniku;

,v- — biw;serviranih jaja x i = broj servirtinih tistova šlanme

- broj šcrviranih Solja ûarioa

Fiuikcija ciijei

C.’ilj ovog problema je iftininnizacija ukupne cecte svakog dorućka. U ovom slučaju ukupna een:L predstavlja suriiu po jedničnim eenama svakog serviranog jajeta, slanine ili žitarice. tz toga sledi da se fnnkcija cilja može opisati kao:

Mift F(X) G .v; + 4 x% + 3 xj gde j e : 6 A] - cen a (ti d Enarima) j ednog ser\r i mnog j aj e i a,

4 Xz — cena (u dinariina) jednog serviranog lista slanine,3 i-j ~ cena (u dinarima) jedne servirane solje 2:iLarica.

Đefiru'sanje ogran iča mjućih faktora

U problemu odrcđivanja opiimalnog jelovnika, ograničćnja koja sadnče podatke o miiumalnim dnevnim potrebama organi/ma za vitaminima daje nLiirieioiusta, Svaka vrsta hrane koja se servira za dorućak ima količinu vitamina le miligramima pojedm iei koja je data u prethodnoj tabeli, Ogranieenja m vitamin A su:

3 x } + 6 jh + 2 a j > 15E de je:

3 X\ = količina vitamina u jajima (u mt;) po serviranju,6 .V1 - kolieina vitamina u slanini (u mg) pc serviranju,2 r\j = kolićina vitamina u iitarieam a (u mg) po serviranju.

Za mv.lšku od primera l . l . ti ovoin sluiaju korisiimo > nejednakosu odredujući minimalnu vrednost potrebnih vitainina, Drugim rccima^ najmanje 15 miligrania vitamina A mora biii dostJgnuto, U najjednostavnijoj i najgeneralnijoj formi LPT makgimizacija problema podrazumeva postojanje < nejednakosti, a minimizacija problenia > nejednakosli. lpak> ovo nije apsoUiltio pravilo poSto većina slbženih problenia veoma ćesto ima i Eiejednakosli, & takođe i jednakosti.

Ogranicenja 2a vitamin B se odreduju nlično:4 Xi + 3 2 x i> 14

Kompletan problem LP se sada mo?e sumirati.Mm FfX) = 6 xi + 4 rTi + 3 xi

p.o.:3 *i + 6 v2+ 2 > 154,V| + 3 ,v: + 2 x5 > 14*!>0> X2> % X }> 0

Rešavanjcm ovog modela za promcnljive odlučivanja x u i *i, nutriciomsta m o ie dobiti najmanju moguću ukupnu cenu (minimum vrednost F(X)), sve dok u isto vreme ima u vidu najm arje potrebe za vitam im ma A i B.

13

OPEfLA CIOSA fSTRAŽlVA \ JA

1.2. 0 rŠTI MODEL Li>

lz prikazana dva primera prltncne LP možc sc pdmctitt jasan obrazac za opfilu forrnulaciju probkma lineamog prograniiranja. U svakom problemu su definisani; pronicnljive odiučivanja, fiinkcija cilja i Dgfanićavajućt faktoil koji $u âjetino formirali matematićki model stvamc suUiacijc pri donoscnju odluke.

Promenijive odiućivanja

U svakom problemu su dermisane promenljive ođlućivanja, koje obelezavaju nivo aklivnosii ili proizvedcnu koiifinu. U opšteni modelu^ ove promenljivc su dcfimsanc kao

Funkcija cilja

Tunkcija cilja je osnovni uslov postojanja svakog upravljačkoa zadatlta, licz definiftane ftjnkcijccjlja jc nemoguee ostvariti konkrcrno upravijanje. Funkcijacilja prcdstavljja ukupan zbir svih ćuprinosft funkciji cilja svake od promenljivih ođluCivanja, U matemaLićkoni smislu funkcija cilja predstavlja mnkciju vjže promenljivih za koju je potrcbno odrcditi eksiremnu vrcdno&t, tj. odrediti njen minimum ili maksimum, T ojc prikaâno kao:

oM ax{M in)F(X) — C%Xy + c ,x 2 +... + c rx, + ^ + cHX„ - ^ c ,x t

>■ igde jc;

- F(.X) - ukupna vrcdnost funkcijc cilja- Cj - dopnnos po jeđinici akiivnosti: jedinićna dobil

(ili jedinični iroiak) j - !,2M...tn

Defhma nje ogran iča vaj u čih fak lora

O^raničavajući faktori modcla LP prikazuju ograniCcnu raspoto-živost rcsursa u problemu. Vrednost svakog od m nispoloživih resursa ćc bili dcfinisana kao bt (zai -L2 .....m). Dcfinisaćemo sa aif vrcdnost resursa i utroScnog po jedinici aktivnosti j{j-I.2.>.„ri). Đ akk, jednačinc kojima deflnisemo ograničcnja su:

attXf+auXi+ ... ... Xj ... i Xff 0

14

L iiu'arnu prftgm tn iranfe

Ovc osnovnc relacijo prikazuju sva ograniOcnja sa < fctjednakostima Funkcijski, osraničenja mogu takođc btti prikazana kao;

Qtl -tj + f/r: yXf+ — hOpšti oblik modcla LP može biti konačno prikazan kao:

a

MaxCMin)f'{Ar) = C]X, + c ; -T, + ... + ty v ; + » . + c - Xm = Y*c rxjj=i

p.o+:

cj^ Jtj + 1j/ j.\ . 1 + . . . + + . . . + (< ,= t > )

flj/jfy + + a ;;.y,+ ... + (i:„ vfl (<T“ > ^)

t/ 1- + ... + + câffl (<.^, >) bi

amjx f+ a*.'X/+ ... + ... + a*nx„ (<,- , >)*h X_V~» > 0

Primena opStc notacijc ćc biti prikazana na priineru l .L Fonnulacija tog problema j t data sa:

Max F(X)=CiXf + fcjjc2 +

+ đjjJCj < bt

+ a HJfj + t e *3 < b;+ + tfijjrr < bi

JCj* Jc_>> > 0gde parametn m odda imaju sledcce vrednosii:

cs — 2. cj rt 6. Cj — 3 G/j = 4* o / :“ 3. *tjj - 5H = 300a2i w 6 r 4 P ti_v = 2t h j« 420

Konaćno, opšti model LP sc moift izraztti kao:ji

M ax(M m }F(A ‘) = ^ c v/-i

■

p,o.: = ,£)& ,; za svako r(i = l 52 , r..*m) i svako x . £ 0>■1

Prikazano ovom noracijom, problem iz primera ] J , jc dat sa:

M a x F ( ^ J = 2 ’ c ,x ;J-l

3p.o,; 1 za J “ U2 ; % > 0 , zay= 1,2.3.

M/5

OPF.RACiONA ISTRAZiVANJA

Pardmctn prnbkm^ !r"Oynn'Si programimnjii su vrcdnosh c)y uir i bt i podra/umevći se da su poznate konsiatile [2],

1 J.G R A F IČ K A rSTER PRET.4CI.lA PR O B LEM a LINEa RN O C PROGRAVI TR.A.NJA

Osnovtti zahtev LP je da fiiiikctja cilja i /a nju vescana ograniienja moraju brii iinearni. Ograntčcnja sadiic dvc pronrcnljive odlučivanjii kojc formtraju pravu liniju ;iko se nala/c u dvodiinenzionaluom prostoru. Geoinurijski m odd sa irs ograničcnja bi obrazovao ra’van, a u op^tem slučajn. n ograničcnja br fonmirtilo hipciravati {ravan geortietrijskj oblik) u u*dimenzioiu>m prostoru Zbog osobine lineamnsti, problomi t.P se mogu ilustrovati i tjrafički re&avati saino ako imame> dvc pmmenljpvc odlućivanja.[]]

Ltko se dvodfmenzionalni problcinii rciko sreću u svakodnevnoj prak-si, ^raftčki prikaz LP je vcoma koristan jcr omogućava prika/ moddovanja i i?nalaženja optimalnog reênja. Opraničenja zadaia u vidu jednačina su prcdstavljcna pravama, a ogrpni-čenja /adata u vidu nejednaCina predsiavljena sli poluravnima (domc-nima) it prvom kvadrantii koordi-nantnog sistcma.

Sltku /. / Oblasi pt 'ip(idnosti a t xi > 0

Kako je L kvadrant oblasi > 0 i x: > 0T onda svaka iatk:i koja mu pripada zadovoljava ustov ncnegaiivnosti. Oblast dopustivih rclcnja/5 mora bih u prvom kvadrantu kooidinatnog sistema

X2‘, / / /

D/ . - ,/, / / / , s, * * • •

4 ‘

Tačkc koje sc nalaze na pravoj zsdovoljavaju ograničenja data u vidu jcdnacina, a lačkc kojc sc nalaze u jcdnoj od poluravm, zadavoljavaju ograničcnja data u vidu nejednaćina Skup svih taCaka čtje koordinatc ndovoljavaju nejednačinu Cine jednu ravan - domen.

* iShka 1,2 Obfast pripođnosti za v* > 0

16

Litjeanio progrgmirttnjć

-----►x i

Stiku !.3. Potozajpravu u tavni (slučaj ntin F(X))

*1Silha 1.4. Polozaj prave n ravui (slučaj

niax F(X}))

Primer 1.3 Slučaj max F(X)Preduzeče proizvodi dva proiavoda, A i B Svaki proizvod inia sledcćc

zahieve za resuistma i jcdinični ptinos proftta:

RcsursL Proizvod Proizvod B Ukispna raspoloživost resursa

Marerijal (kg/jed) \ 2 9 kitogamaLjudski (č/jed) 5 5 25 časovn[Jrofit (din/jed) 4 6

Maksimalno će biti proizvedcno 3 jedinica pm m m la A je r tako poka/uju prcdvutanja o budućoj potrainji.

Ovaj probJem je foimulisan kao:Max F(X)~ 4 Xl + 6 Xa (profit)

p,o,: x\ + 2 x2 S 9 (maierijal)5 xi + ^ 25 (Ijudski rcsursi)

X[ < 3 (ograničcnjeprolzvoda A)x t,x 2 > 0

Formulacija modela je grafički predsiavljena slikom 1.5, U cilju gmričkog prika/ivanja iri konsianme nejednakosti+ neophodno je prvo svaku od njih iretirati kao jednakost i graficki ih prjjkazatL

Grafik se konstruiSe Uko 5to se nalaze po dve tačkc 2a svaku od ovih jednačma. Ovc taćke se zatim nanose na svaku od osa i povezuju 3inijom (slika 1.5).

17

O P £R A ao \\t ISTRA/n iA JA

Sltka f 5. Gtvfićki ptikaz odrtđivanjđ opriniahih količina proizvodtt

Dodavanjc nejt'dnakosti < u svatom ograniicnju dcfiniSc region koji u isto vreme ladpvoljava svc /adate oduose u ograniicnjima.

Ovaj region, osenčena površ ABCDE na slici LG. se definije kao oblasi pnhvat- Ijjvih lešenja'.Bilo koji par X\^z i?.van ovot: rcgiona nc predsiavjja pnhvatljivo rešenjc jer naru- 5ava jedno ili viSfi ograniicnja.

Sitkii 1.6 Prikazptihvatljivih i neprihvadjivih reh'nja

Najlakšt nacin da sc nac:ta sv ;ika od ovih linija je da sc jedna od promcnljivih u jednačini i?jodnaci sa nulom, psh da sc n;iđc vrcdnosl za ostalc promonljive.Npr, u prvom ogratii- (J0[1|U za r\ i ; :0 :->.Vn *■ 9, a akojc.i::- 0 = > A| ~-K5.

Npr. na slici ] .6. tačka R (koja jc unuiar oblasti prihvatljivih reScr.ja) i 5 (na grflnici oblasti prihvadjivih leienja) su dva primera prihvatljivih rešenja, a tačke P l Q sli primeri ncprihvatljivili rešenja.

U datoj obbsti prihvatljivih reênja ABCDE mora se odrediti taćka {x[f t ,) koja najbolje zadovoljava funkciju cilja (u ovom problcmu lo jc maksiinizacija profiia). Da bi sc »asjo oplirn;ilno reSenjc na fjrafiku se tnoixi pfikazati i F{X) Mcđutirn, FfX) nEjc jednnčina koja sc mo/.c prcdstavili iamo jcdfiom linijom, već sa vUc paralelnih limja koje /avisc od vtednoati koju ima F(X)\2]

Na slici ! 7. sc mogu primctiti nekoliko osobina koje ima funkci ja citja. Kao prvo, svc prave kojc predstavljaju F(JQj 9U para]clne, To jc zato £*o svi nivoi funkcije

n Oblast pfihvatlji'rih rcSenjji jc ogiamćcna na prvi kvadrmnt /aio jer promcrt]jive aj i mnriiju hiii n«ncgativne- nslo^ da su ,vln .r; > 0.

1$

Linearno programiran\je

cilja (|i™/,2 v;K uprkos razliĆUim vrednošfrma F(X), imaju isti nagib. ReS$yanjemx2 u odnosu iki 1 -'fjj dobija sc slcđeća jednaCitia:

=F { X ) 4 _ F { X ) 2

- X i =6 6 1 ć 3 H

kj ' ttagib ftmkcije cilja za svaku vrednost F(X).

Spka i.7. prika/.uje F{X) nacrtanu za više razti- čitih rešenja.F(XJP \2\ 4.r:+ fo-,-l2T *1=3, *2=4 je predstavljena aa F(X)%Daljim poveiavanjem vrednosti F(X) do 20, dobija se još jcdtia limja koja prikazuje F(X)2, zarim i F(Xh, i F(X) 4,

Stika 1.7. Nugih funkdje citja

Kao diTigo, očigledno je da postoji beskonačtm ve]iki broj mogućih tunkcija cilja koje su prika/ane pandcimm linijama. Posto je F(X)j > F(X)3 > F(X)2 > F(X) 1 jasno jc da nije najbolja vrednost funkcijc ci]ja, jer ona može imati veče vrednoiiti. Takode je jasno da ni F(X)4 nijer optimalno rešenje jer ne sadrzi tnjcdnu taČku (.t|, Xt) koja zadovoljava postavljena ograničenja (nijcdna tačka na ovoj liniji se ne nalazi unutar oblasti prihvatljivih reênja ABCDE). F(X)i sarirži tačku B (gde je x-=l i =4) koja sc nalazt jnutar oblasti pri hvatij ivih rešenja i ima vecii vrednost Dd svih osialih F(X) koje sadrže bar jeđnu tatku uimtar oblasti prihvatljivth rešenja. 2bog toga, inaksimalnu vredtiost F(X) lociramo u laćku B , Pošlo jc optimalno rešenjc pronađeno u tački dobi jenoj presekom dve prave koje definiSu ogratiičenja, vredtiosti .vi i x 2 se mogu dobiti rešavanjem ovth jednačina koje definišu ta dva ograničenja (materija] 1 Ijudske resurse) kroz sistom jcdnačina:

*1 + 2 ^ = 9 (materijal)5 x-_ + 5 x2 - 25 (Ijudski resursi)

.r j +Z 2 *= 9 X] +■ x2 - 5

X\+2x^=9 x1 5- jjfj

5-xi+2*i = 9 X\ — 5- xi

x2 — 9-5=4 X] = 5-

Zainenom x ( = 2 i .yt - 4 u F(X) dobija se njena optiinalna (maksi-malna) vrednost:’ F(X)*4 4 1 1 ) + 6 (4> -Z$

Na osnovu ovog primcra može se zaključiti da se optimaino reŠenjfi uvek nalazi na granici oblasti prihvatljivih rešenja [2]

19

OPERACIONA ISTRAtlVANJA

Oblasi inogjcift rešenjn rormirii konveksar p*r tačaka, Graoica ovog regiona jc fonnirana ođ grupa pravih iinija kojc u svojiin prcsecima stvaraju prcscćnu [.acku u tcirienii usila (kt>jc icstoticfm išu kao ekstrcftlne laćkc).

Za bilo koji problem LP„ svaka ekstrcmna tačka oblasti prihvatljjvih rcšenja se nalazi u preseku n jednaĆina ograniOenja (w bruj piumenfjivih}, Bito koja prescćna tftfcka sc možc naći rciavanjem sistema oti ij linem ih jcdnaćina.

Izuzetak od jp\'Og pravila jc viScstruko optimalno rcšenjc koje se pojavljujc kada je linija F(X) paralelna sa linijom koja prcdsiavlja jcdno od ograničcnja (kad dve funkcijc imaju isti nagib),

Prlhter 1,4, Slučaj min F(X)

niinF(lV j- 2 x ^ 3 (ccna)

p.o.: 4î+ 8*2 > 40 (mtEiimalna dnevoa potrcba za vitaminom C)6 i|+ > 4S (mimmaJna dncvna potreba za vitaminom Đ)

Xu*2 > 0

Cirafički prikaz ovog problema se ođrcdujc na slićan naćin kao i u predhodnom primem 1.3. Qb]ast prihvatljtvib re£enja u ovom problemu je predstavljena oscnfenim regionom, ABC. Već je dcfi-nisano da se oplimalno reSenjc može naći na grantci ovc oblasti, u presečnim tačkama.

Mcdutim. u problcmu max F(X) optimalna vrcdnosE F(X) je bila u onoj taćki gde je ona imala najveću vrcdnost, Problcm min F(X) podrazumcva obmui proccs, iznalaženjc presečne tatke u kojoj F(X) tczi što manjoj vrcdnosti (&]ika J /9r).

Na s)ici 1.10. ie biti pnkazano više paralelnih linija koje predstavljaju F(X). \>cdnosti F(X) su sve niže i niže kako se linije približavaju koordinantnom početku. Linija koja prcdstavija F(X) a još uvek imn tačku koja pripada oblasii dopustivik rcšenja je, u ovom slučaju. F(X)f,

Ova Jmija odôvara Uitki B koja piedstav]ja optimalno rescttje. Rcgavanjem sistema jcdnačina koje su prcdstavljcnc sa dve ]inije koje se sekn u tatki B dobijamo optimalno re&enje.

20

Stifai t.H. Kojiveksan par

Linevrnv progrumranje

Slika 1.9. Grajičkiprikazprobfema minimizacijc

4xi+ 8a'2 “ 10 (minimalna đnevna potieba za vitaminom C) 6xj+ W = 4 (rtiintEtiahu dnevna potrcba za vitaminomD')

Optimalno rcšenje je: xi - 3, ^ = 4 i F ^ - 2 f 4 )+ 3 (3 ) - l7 .

Siika I 10. Tctčka koja predstaVlja oprimalnu rešćnje

21

OPEH4 C IO \ A ISTIL4 21VA \M

Specijafoi sttičajevi opštcg fttodela LPPostojt viSc izuzetaka kocl opšteg modcla koji siidržc; prisu-istvo višeoptimaEnih rcšei)ja, ncresnc probleme ili bezgra-niine probleme, Ovi i/u /eci setakođe mogy ilustrovati gTaft£ki:

Pnmet' L$* ViJestfuko optitnoino rešettjeVišestruka uptimalna resenja postoje u problemu LP kađa F(X) pada u više ođ êdne optimalne tatke. Posto je grauica oblasii mogučih reienja serija povczanih pravolinijslcih segmenata, jedmo kada se mof.c pojavili ovakva situadja jc kada je iiajib F(X) i jedne od linip koja predatavlja ogranitcnja isii. Rcsiiihat ovoga je da F(X) prola/i kro/ dve susednc presečne ta£ke. [2]

Max F(X)=2 Xf+ 2 x?

p ro.: .X|+ 2 < 95* ,+ 5 * : ž 25

*> < 3> 0 x u x7 “

Tunkcija ciljaT prikazana na slici 1.11.. dodiaije tačkc A i B u isto vreme i dosli/e svoju maksimalnu ^Tednost na granici oblasd prihvrat1j ivih rcknja (za F(X)s).

Svc tačke na ovoj liniji koje se naiaze i/među tačaka A i B predstavljaju opttma!ne vrcđnosti.

Siika 1.11. Višestruko optintaino rešenja

U nekim sluiajevima, postojanje višcsttukth optimainih rcSenja možc pomoći donosiocu odluke jer biranje izmedu viSestrukih reSenja dozvoljava donosiocu odiuke veću fleksibi!nost u odlučivanju

22

LiiMiarnt} jn-iigramiranje

Primer L6. Nerešivi prohlem

U nekim slucajevinm LP ne po-stoji nijedna tačka koja zado-voljavfi sva ograničenjti posta-vljenog problema ($]jka L I2 .).

Max F(X)= 3 jci + 2 x 2

p.o,: 4 jfj+ 3 x2 < 12

*l > 4X2 > 6

Xh?%2 > 0

SUka J.J2. Prikaz problarna hez prihvatljivih rešenja

Linije koje predstavEjaju ova tri ograničenja sc ne presecaju:* ii e postoji obla&t prihvatljivih reSenja,* F(X) ne prolazi ni kroz jednu tačku koja u isto vreme zadovoljava sva tri

ograničenja,ne postoje oprimalne vrednosti promenljivih ocilučivanja.

Primer 1 6. Bezgranični problemU nekim problemima LP oblast prihvatijivih rešenja dobijena linijama koje predstavljaju ogra-mčcnja nije definisana zatvorenom granicom (slika1.13,),

Max F(X)= X[ + X2

p,o,: ^ 3jt]+ a 2 < 2- Xl~*r - 2 ^ 3

x ltx2 > 0

Slika LŽS. Prikaz hezgramčnog prohlema

23

OPERACfOS’A fSTRAtiVASJA

1.4. SIAAPLEKS METODA

1.4.1. OPSTE p o s t a v k e

Simpleks metodu rcSavanja zadtttaka LP je !c>47. postavio D iord i Dancig. Većiita probteina LF s:itirzi viže otl dve promcnljive i ne Tnogu st: rešiti grafi£kom metodom. RaCunarekt programi zasnovani na ovoj metddi mogii rutmski rošavati probleme L.P sa nekoliko hiljada promenljivih i nekoliko hiljadii ogrartiOeirjii

Simplcks inctoda {uradena u labetarnoj formi) je ništa drago dn scrija matemaiičkili koraka. kao što su ncki autori primctili, matematička aparatura, Vrcdnosti iz modela LP sc tmose u simptcks aparaiurj, i skup unapred dcfinisamh matomadCkih opcracija se u^pcino primcnjuje tako žlo $e idc od jednog do drjgog dopustivog reStnja sve dok sc ne dostignc oplimalno resenje. Pri ovom posiupku, u svakom koraku, vređnofit funkcijc cilja F ( \j jc u svakoj iteraciji svc bliza optimalnoj vrednosii (minimumu ili maksinmmu>,[2]

Kretanje sc obavlja duž jedne ivice konvcksnog mnogougta oblasti dopustivih resenja D od poieinog do optimalnoii rcienja. U svakoj ekstremnoj tački, konveksnog mnogougla, simpleks meioda obavefitava da II je to tačka optimalnog rcScnja, a ako nije u koju sledeču ckstremnu taiku treba ići.

Prvo se od kocficij^nata F(X) i ograničenja, po odrcdcnom postupku, fomtira početna snnpkks tabela koja predstavlja počctno rcšcnjc, koje se odredenim iterativTiim postupkom poboljSava dok sc ne dobije optimalno reSenje, Svako re£enjeT od poćetnog do optimatnog reScnja, sc iskazuje posebnom simpicks tabelom. Ojjraničenja modcla LP su najče£će /adata nejcdnakostima Da bi se prablem LP rešio ovom metodom, potrebno je početm model deflnisan sistcmoni nejednačina pretvoriti u sistcm lincmih jcdnačina. Dodavarjem dopunskih (izjednačujućih) promenljivih u postojcćc aejednačine, one postaju jednaOinc.

Primer 1,7, Dodavanje tfapunskik (izjeđnačufiiiih prvmenlJMk)Rešavanjc problema pomoću siinpleks mctode predstaviće se na pr\hom primeru, koji je u prethodnom po^lavlju već rešen grafičkom metodom (primer 1,3,, slika 1,7.).Modet LP je zadat F(X)l

Max F(X) = A X\ * 6x^

p,o.: X| 2 jc; < 95 X\ + 5 .ti < 25

* < 3*t>xt > 0

Potrebno je odrcditi počemo rcšenjc kojc če, postepeoint poboljsanjem, dovcsti do optimainog rešcnja. Primena simpleks metode je moguća samo ako se modcl

24

Lineanio progrumiranje

prcthodno priEagodi u oblik pogod<?n za rćŠavanje simEeks tabdom , h opsieg oblrka možc sc prcći na osnovni obiik, tj. u oblik jcc3načina, dodavanjem đopii-nslrih* (ii'jetlnaCujučih) promenljivih svakoj od nejednaćii’in:

X\ + 2 X2 + E 95 X\ + 5 +Xa. - 2 5

x\ +.v5- 3*2^3 , X*, Xs> 0

Kunkciju cilja zatim proširjjem o dopunikim promenljivima kojc u njoj u£cstvuju sa koeficijcntima jednakim jiuli, što obezbeđuje da nc utiču na vrcdnost F(X):

Max F(X)= 4 xi + 6 + 0 X) + 0 xt + 0Rroj procnonljmh se povcćao od dve na pet proinenljivih (pei ncpo-inatih), Svc promeiiljive možemo pođcliti u dve grupe, i to;

a) Rsalne promenljive

To su promenljive * | i x2 koje potiču iz pocemog (op^teg) problema i čiju optimalnu vrednost uiažimo. To su:* ičina pioizvoda A koja se proizvodi u posmairanom penodu, tj. ulazi u

optimalui program proizvodnje,■ rr ;-fcoličina proizvoda B koja se proizvodi u posmatranom periodu* tj. uiazi u

optimalni program proizvodnje,

b) Izjednačujvče (đopunske) promenljive.

To su promenljive: x x 4 i koje imaju za cilj prevođcnje opsteg obHka zadatka LP u oblik pogodau za rešavanje algoritmom simpleks tabete, tj. u osnovni oblik. Ovo se postize đodavanjem dopimskih promenljivih, svakoj od nejednaeina, koje imaju za citj da dopuue nejednačiuu za onu vrcdnost, za koju leva strana ođstupa od desne, Porcd algebarskog imifila, dopunske promenljive imaju i svoje ekonomsko /naienje, koje zavisi od prirode ograničavajućih resursa, 11a koji se promcnljiva odnosi, Kako se ograničctiia ugla-vnom odnose na resurse, to dopunskc promenijive predstavljaju neiskorišćene re&urse. U našcm primeru dopunskc promenljive imaju sledeće znaćenje:* ,v3 “ promc ri Sj i va koja defiHiše utrosen i mater ij a i,* *4 - promen lj iva koj a dcfin 15e tsko ri5ćenj c 3j ud s k i h resursa,* x$ - razlika izmedu proizvedenc količine proizvoda A i ograničenja kojc

odrcduje koliko je potrebno proizvesti proizvoda^.

3 Roefitijcr.ti uz dopunske promeailjivc su jcdinićrii i mogu formirafi počctno (bazno) rt:5enje kome odgovara jedinična rnatrita. Pretpoaiavka o izboru počcme bazc jcste nenegaiivnost Eitobodnih Cianova u ograničeniifna.

25

OPE&4ClOSA ISTRAŽIt ASJA

1.4.2. POČETNO BA ZN O RHŠENJH

Simplcks mirttHia je prccedura koja se sasiojj t/ Tn osnovna koraka:] . Dc fi n isanje početnog baznog rešetjja,

2 , Tra/tnjc boljeg resctijn. ako otio uopSlc posiojiJ. K^dii sc ono pronade, gimplcks procedura ;jiitt>matski climiniSe sva prcOiodna, ]ošija rcsenja;

3. Ovaj proces se pOnavlj& SVC do trcnuika kada sc vi5e nc može pronaći bolje resenjc. Simplek$ procedura sc /austavlja kada sc pojavi optimalnore^cnjcTl]

Jcdna od osobina stniplcks tabct^ je da se zahvaljujući njenom uproStenom računu ostvamjc veća lakoća razumevanja standardiiog inodcla LP koji se prikazujc u vidu tabcic. Počcma simpleks rabcla Tf) prcdstavlja početno (baino) relenjc, formirano od dopunskih promenljiv ili Za počctno rcScnjc sc biia ono retenjc kome odgovara jcdinicna mattica, U počeinoj tabeli realnc promenljive spadaju u gnipu sfobodmb? promcnljivih, £io znači da stt njihove vrednosti u počctnoj simpleks Tabeli jednakc mili (X| = 0 i x t — 0). Parametri modela LP se razmcstaju u tabdu po poljima na slcdeći načm;

Počema simpleks tabela Tq

c B Xq c ! . , .

č , Cn c .o ' 0 . . . C a + a t ~ ~ 0

x l *3 ■ 4 4 £ff Jj.+/ t e . . .

c ^ r O Jf.-, h &I2 mmm &!* 10 -

0c ^ = 0 X„2 _ £ .n f l ,T :

■i +■»■ aiK 0 1 . . . 0■ X X * ■ P 1 " V ■ a.in

Cn+m=0 b* ttm 1 a*2 . . . Qam 0 0 . . . L

Fr cj 0 *c,

: flj* +!

. . . 0 0 0

Poćetno reScnje glasi: CVj,*/ - btl AVfj = b:i Xr - frw). Ostvarena dobit izborom ovakvog proizvodnog pro^rama gde su količinc proizvcđemh proizvoda X| ~ 0 i x 2- 0) je jcdnaka nu!i: F(X)-0.

Osnovna pravila za rađ kođ popunjavanja simpleks tahele:

Tabcla koja je popunjcna pammcErima \z matemailčkog modela koji opisuje ?adati prublem odlucivanjni. predstavlja počcinu simpleka tabelu. Ona s£ sastoji od kolona t redova.

4 npr. ako sc mdi o slučaju maksimizacije gdc funkcija ciljj prcdstavlja proftt, traži se sledečc rt&enjc koje omogućiiva vcćt profit ij. veću vrednost F(X7s Promenljivc koje tie ulajc u baziSno rcsenjc inaju vrednost nula (x\ = 0 i x2 » 0). Čcsio, ko3onc koje pokazuju reatne i dopunskc proinenljive nazivnino kolonama slobodnih promenijivjli.

26

Lineanto programiranjš

Razhkujemo:1, stalne i2. 'promenljive kolone.

/, Stahie kolonei t \ B i Xq imaju sledeće znaienje:

• C - oznaćava koeficijenie koji stoje u F(X)y uz onc promcnljivc koje saeinjavajti potetno reSenje. (Za max F(X)= Axi + 6xj, koefldjem i imaju sledeće vrednosti: C/- 4 i c j= 6 ).

• B - oznaćava promenljive koje predstavljaju bazično rešcnje u svakoj iteraciji.Određuju se na sledeći način: ako se u preseku posmatvane kolone3 sa svimredovimaT naiđe na koeficijent 1) samo u jcdfiom redur a u svitn ostalim redovima te kolone koeficijenti su nule, onđa sc promcnljiva iz tc kolor:e upiše u kolonu 5, i to u isti rcd u komc se nalazi koeficijent ( + 1). U poćetnoj simpieks tabeli, koIo.nu B sačinjavaju dopunskc promenljive, jer jcdino one formiraju jediničnn mjitricu baze, i.; nažem primeru to kl3 promenljive: Xj, x4 i Xs

• Xq - označava vrednosti baznih promenljivih, iz kolone B t u datoj itcraciji(kolona za npis vrednosti stobodnih članova, u ovom primeru to su 9, 25 i3u n

2. Promenljive kolone: X., j - i ,2 , . ^n i Xn+tt (i-1 ,2 .....

Zavise od broja promenljivih (nepoznatih) u modelu. L] njih se upisuju koeficijenti koji stoje uz promenljfve u ograničenjima. Iznad ovib kolona upisuju sc koeficijenti uz promenljive u F(X) (u Ovom primeru to su cj= 4, c; =6 , c jjr j = 0), Simpleks tabela sndrži, porcd zaglavlja, onoliko redova koliko ima ogranieenja (jednačina) u modelu, uvečanih jedan red OZnačen sa FfC .

Pr\i red nastajc unoScnjem kocficijenata prve jcdnačinc:xt + 2 jci> + a j - 9.

Pri tomCj slobodan Član prvc jednačine (9) unositno u kolonu Xt}, koeficijente uz promenljive u kolone od Xj do ( 1J 0 kol01111 î, 2 u kolonu *3 i ( l) u kolonu ,v3l u ostala polja (0); p rom cnijive^ i x$ ne ulazc u prvu jednaČinu). Ovo pravilo važi i za sve preostale jcdnačinc kod formEranja počctnc simplcks tabck.

Red FfCj nam omogućuje da vidimo da li je dobijetio reSenje optimalno ili ne, kao i koja promenJjiva ulazi u naredno reSenjc. Takode, red Frc^ nam pokazuje i promcnu F(X) koja jc postignuta poboljšavanjem početnog režcnja (ako se razmatra problem maksimizacije, F(x)}<F{\)?<...<F(x).jpiima{/t0y obrnuto za problem minimizarije F(x){ >F(\)j > . . . .

L’ prescku koloneAfl i reda Fj-Cj prikazuje se vrednost funkcije cilja u toj iteraciji, a u preseku osialih (slobodnihj kolona i reda Fr c{ prikazuju se promene koeficijenata funkcije ciija,Svi redovi, počctne simpleks tabele T0i popunjavaju se prenošenjem vrednosti koeficijenata iz sistcma jednačina, Za razliku od ovih rcdova, čiji broj zavisi od

27

OPERACIONA istr a žjv a n ja

broja jednaćma. siahii red Fj-Cj se za poćemu, j svaku narcdnu labelu. pcpunjava koeficijejMima koji se dobtjaju izračunavanjem, i to:* Koeficijent u preseku rcda F-c; i kolone Xit (a Lo jc vrcdnosi F(Xj) dobija se

tiinoženjern koeflcijenata kotone C sa koefLcijcniima, i/ tsiog redaN kolonc Xtt nakon eega se sabirajj proi/votlt, Kako su, u poCctnoj (abe[in svi kocficijciui, u koloni C jednaki nuli, onda uvek u poćetnaj iabetiT u preseku reda Fr c} i kolone imamo da jc vrcdnosi funkcšje cilja jednoka nuli: F{X)~ 0 jts+ 0 x 4 ■+0 Xf -~ 0,

* Koeficijenl u preseku reda Fr cs i kolona Xj i XM-t dobijaju se množenjcin kocficijenata kolonc C sa koeflcijentima, 'iz Utog retia, koLona Xj i XH*it nakon čega se sabimju njihovi proizvodi. Od tiobijeno^ zbira treba ođuzdi otiaj koeficijent, iz zaglavlja tabele, kojt stoji uz odgovarajuću protnenljivu u funkcijt cilja, Kako su u početnoj tabeli svi koeficijerui u koloni C jednaki nuli lađa če. u preseku reda Fr cf i koiona xJf srajati kocficijenti uz promcnljive, iz tunkcije cilja, ali sa promenjcnim znakom ( u ovom pritneru za prvu koloou koja predstavlja promenLjivu xj vrednost koeflctjenta /a kolonu biče: Ft-ct = 0*1 + 0 5 + 0 t - 4 ^ - 4 Ui -cf).

Postavlja se pitanje: Kadn /lj dobijeno rešenje optimuluo? OptirnaSno reienje sc dobija kada su zadovoljeni potrebni uslovi. a svc u zavisno&li od toga da 1i sc traiimaxF(X) ili mir\F(X). Ti uslovi gla5e;

а) Slučaj maxF(X): sve dok u redu F r * postoje negarivni koeHcijenii optimalno rešenje nije pronadeno, tj. kada jc ispunjen uslov da su svi koeficijcnti u redii FrCj>0t pronađcno re5enjc je Opttmalno PoStojitnje t jednog negativnot; koeficijenta u redu Fr q ukazuje na mogućnost diiljeg povećanja vrednosti funkcije cilja* To znaii da probiem nije reSen i da rešavanje treba nastaviti.

б) Slučaj minF(X); Sve dok u rcdu Fr cp postoje pozitivni koeflci jen ti optimalno reSenje nije pronađenOt tj kada je ispunjen usJov dd $u $vi koeficijenti u reda Fr c ,ž 0 , pronađeno rcSenje je oplimalno. Postojanje i jednog pozitivnog koeficijenta u redu Fr cs ukazuje na mogućnosi daljeg smanjenja vrednosti funkcije eilja, 5to znači da problem treba dalje rciavati

Na osnovu prethodno izložcttih pravila, za popunjavanjc redova i kolona počeitic simpleks tabele, fomiirano je počctno reSenje dato u tabcli T1,?:

T a ________________________________________________________________________________ __________

c B X0 4 6 0 0 0X*

0 4.5 0,5 1 1 0,5 1 09 1 A-2 1 0 0

0 x4 25 5 5 0 1 00 Xs 3 1 0 0 0 ;. . . f e 0 -4 -6 0 0 0

o

28

Početna snnpleks rabela, za poćemo rešenje (sa jediniŽndm matri-com). uzima ie£enje kod koga su sve roalnc promonljive jednake nuli:

a dopunske pronienljive (iEi veitaoke kada se uvedu), koje defi-nišu bazu, imaju vrcdnosti slobodnili članova iz skupa ograničcnja

9>*4- 25t x? — 3

Po svom tkonom skom znćičcnju dopunske promenljive nam govore da se laspoloživi materijal i ]judski resursi neće uopšie kcristiti. Dakie, polazi se ođ pretpcistavke da se ne obavsja nikakva proizvodnja proizvoda A {xi - 0> i proizvođa B (X: ~ 0), Otudii se ne može o$tvariti nikcikva dobit, pa funkcija cilja ifrta vrednost nuia» F(X) = 0 .

1.4.3. PRONALAČENJF. o p t im a l n o g r e š e n j a

Postupak za ijjnalaieiije optimalciog rescnja se reali/uje po odredenim kriterijumima - pravilima w reSavanje problema, Ti kritenjumi &u sledeći:* kriterijum za ii:bor piomcnljive koja, u narednoj tabeli, treba da bude

zastupljena u rešenju;* kriterijum za izbor promenljive koja, u narednoj mbeli, treba da izade iz resenja;* pravilo za utvrdivanje vrednosti pnjmenljivih., koje cine bazno rešenjC) u

narednoj tabeli;* pravilo za utvrdivanje \'rednostt svih koeficijenata u kolo-nama, slobodnih

promenljivih, narcđnc tabclc.* KftrafeeristiĆHa (o^rtačena) kolona (k.k.) - označava kotonu slobodnc

promenljive, u tckućoj tabeli, koja ulazi u naredno bazno rešenjc.* Kamkteristični (označeni) red (kj\) - označava rcd bazne prometiijive iz

kolone B, tekuće tabele, koja izlazi iz baznog re5enja.* KatM&kteri$Učni koeficijent - koeficijent koji se nalazi u preseku k.k. i k.r.

nazivamo karakteristitnim koefECijenlom, KarakteristiĆni koeficijent označavamo sa k .

Daljim rešavanjem počinjt? proccs postcpcnog poboijsanja rcšenja, koje će za date tislove biti I optimalno. U svakoj narcdnoj simplcks tabcli vrcdnosl funkcijc cilja će biti veća nego što je bila u prethodnoj. Kako, prema kriterijumu maksimuma, nije zadovoljen uslov da su svi koeficijcnti u rcdu Fr Cj> 0 t (F)-cj--4 i F*-cy--6), prclazimo na formiranjc narcdnc simplcks tabete. Pn.i korak je izbor promcnljive koja trcba da uđc u rešcnje.

Kriterijum za izbor promentjive koja tdazi u naređno rešenje

a) Shtčaj mavF(X): U bazicno moguće resenje, u narednoj tabeli, ulazi ona slobodna promenljiva kod koje se u prethodnoj tabeli javlja negativna vrednost U redu Fr c; izuzirnajući kolomi Xq, Od svil^ negativnih vrednosti treba izabrati onu koja ima najveću apsoiutnu vrednost, odnosno treba izabrati najmanji negativni koeficijent, jer ona obezbeđuje najbrzi porast funkcije cilja.

_________________________________ _____________________ Unearnu programiranjc

29

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

Negativne vr-ednosti pokazuju za kolika se poveĆava vrednost F(X) po jedimci promenljive koja ulazi u bazno dopustivo re&enje.

b) Slučaj minF(X); U bazično moguće reSenje, □ narednoj tabeli, ući će ona slobođna promenljiva kod koje se u prtidhodnoj tabeH javlja najveća pozitivna vrednost uredu Fr c *7u7rimajuči kolonn Xn

Pozitivue vrednostj poka/uju kotiko se smanjujc vrednost F(X) po jedinici promenljivc koja ulazi u narcdno bazno dopustivo reSenje,

Za posmatrani prtmer je u počemoj simpleks labeli od svih pet promenljivih> bazno dopustivo rešenje sačinjavajn promenljive; xA E x$, Van ovog rešenja nalaze se prpmeiijjive x\ i x*. Iz tabele Ttt treba da izađc jedna od: x^, ili x5 promenljivih, a da jedna od slobodnih promenljivih x : ili Xi ude u naređno rešenje.

U potetnoj tabeli, u redu Frc}, a u kolonama slobodnih promenlji-vih, postoje đve negativne vrednosti, i to;

a. Ft-ct = - 4, za kolonu X;, što nam gbvori da, ukoliko se proizvodi proizvod A, onda će se vrednost F(X) tj. dobit iz prethodnog rešenja povećati za 4 dinara po svakoj jcdinici proizvoda A, tj, svakoj jedinid promcnljivc ako se odluii da ona ude u naredno resenje.

b. F^c; = -ćT za kolonu X $ što nam govori da, ukotiko sc proizvođt proizvod V, onda ćc se vrcdnost F(X) tj. dobit iz prethodnog rešenja povećati za 6 dinara po ^vakoj jedinid proizvođa V, tj. svakoj jedinici promenijive xi, ako se odluči da ona ude u naredno resenje.

Proizilazi da trcba birati proizvodnju onog proizvoda (A ili V) koji omogućuje ostvarenje veće dobiti u poslovanju preduzeća.

Kako je cilj da se što pre pronađe optimalno rešenje, u kome F(X) postiže svoju maksimalnu vrcdr.ost, proizilazi da od svih slobodnih promcn]jivih ircba izabrati onu promenljivu, za ulazak u naredno rcSenjc, koja omogućuje najveći prirast F(X). Prcnna kriterijumu, za izbor promenljive koja ulazi u narcdno rešenje, a za slućaj kada sc trazi maksimum funkoije cilja, ući će ona promenljiva kojoj odgovara najveći (po apstitutnoj vrednoćti) negativni koeficijenr u redu Fj-Cj, U slučaju posmatranog primcra to je promenijiva x koja u svojoj koloni ima manjuapsolutnu vrednost: |jF] ™ C, j — |— 4. - 4 i F: - C2 — - ć - 6 .

ZakljuĆujemo da je slobodna promenljiva koja ulazi u narcdno rcšerjc xZl šlo simbolično oznacavamo

jt7 *2U početnoj tabeti T0 kolona, koja pripada promenljivoj x2} prcdsta-vlja karakteristiSnu koloriu. Kako je ukupan broj promenljivih kojc se mogu naći u rešenju jednak triT zbog ulaska promenljive taj broj se povećava na čctiri, U tom slučaju potrebno jc da jedna promenljiva^ \z poćetnog rešenja izađe, tj. treba izbadti jednu od promenljivih: xA i 4

30

Lineamčt pragramiranje

Kriterijtim zu izjbor promenljive koja iziati iz rššenja:

Kriterijum za odrcđivanje promentjive koja izlazi iz prethodnog resenja vrSi se po slcdcćetn posmpku:

c, Označi se karakterislična kotona, slobodne promenljive* koja rreba da uđe u oarcdno bazno reSenje, U počctnoj tabcli to je kolona Aj promenljive xi. U o/načcnoj (karakierUtićnoj) koloni uzimaju se u ob?.ir samo pozitivni koeftcijemi (neganvni ncn je r dcljenje sa njima nema smisla).

d. Podcle se svi koefidjenti iz kolone X$ sa pozitivmm koeficijentima karakleristitne kolone i utvrdi najmanji količnik:

(j=L2 tui + I ti+rn)- > 0

f J ( i=IJ .....m)

IVMVh b

r — mmA i I | a ,3

min 9 25} 2 1 5

- m in ^S jć} = 4,5

lz prethodnog, pocctnog rešenja, trcba da izadc ona promenljiva kojoj odgovara najmanji pozitivni kolićnik. U počctnoj tabeli T& najmanji pozitivan koh£mk odgovara promenljivoj x$. R^ri kome pripada ova promenljiva naziva se korakterisfični red. U ovom slućaju, promenljiva -rs trcba da izade iz poćetnog rcšenja, a umeslo njc, u naredno reScnje ulazi promenljiva x2> Ova zamcna sc simbolično oznaćava kao

*3 x tU prcscknt karaktcrističnog rcda X 3 i kaiakteristtčnc kolonc Xj nalazi sc karaktcristtčm koeficijcnt A . Tako dobijem količmci se zatim upisuju u gom je đcsne uglovc polja, ključnog rcda, ogradenc kvadratićcin (tabcla To). Prema količniku, koji sc nala/.t n gomjem desnom ugtu polja (u prcseku kolonc A"u i k.r. X ) , vidimo da će sc pror/vod B prokvoditi u količmi od 4,5 jedinica odnosno vrednosi promenljivc v> u tabeli T. i/nosi 4,5.

U narcdmi tabeiu (7>)h u isti red, prepiSu se kocficijenti (koiičnici) iz gomjih desnih uglova polja, kljućnog rcda, ogradeni kvadratićcm iztabele TJj, Pri tomc sc u koloni

narcdne tabcLc* na mcsto promcnljivc rj koja izlazi iz rcsenja, upisuje promcnljiva x2 koja ilazi u rcšcnje, U koloni C upisuju koeficijcnti uz promenljive (definisane u koloni B) u ftuikciji cilja

Utvrđivanje vrednosti prottienljivih koje čitte huzno resvnje

Vrednosti za kolonu A'o.'

Vrednosti bpzniK promcnljivih u narcdnoj tabeh izraćunavaju se tako sto sc njihove vrcdnosn, tz prctbodnc tabele Crcšcnja), odu/im a proizvod izmedu vrednosti promcnljivc koja ula?i u naicdno rcšcnje (promenljiva ,r? 4.5) i odgovarajućih kocficijenata u kljuCnoj koloni

31

OPERACIOSA ISTRAŽfVASJA

Ma OSnOvu kritcrtjuma za i/bor promenljEVt koja ulazt 11 regc&jc, odlučujcmo se za pioizvodnjt] proizvoda B, Proizvodnja jetlne jcdinicc proizvođa zahteva upolrcbn I jcdinice matcrijala. Pošlo sc proizvodi 4.5 jcdinica proi/voda B

to čc tikupan uirošak materijala, za proizvođnju cdokupno količinc proizvoda B, iznositi 4,5 jcdinaca matcnjala

Ku~ 4,5- ] * 4 t5 jcdinica matcnjala.

Kako raspoloživa {Kr) količina matcnjaki i^nosi 4n5jedinicah i/. raz[ikc rdspoložive (A'k) i angažovanc kotičinc matcrijala, za proizvodnju cciokupnc količinc proizvoda 8, dobijamo nctskori-sćenu kohćmu v; matcrijaLa, a za o\akas program proizvodnjc ta kolidina iznosi:

rod Xy. Xj m Kr - KaXy " 9 * 4,5 — 4,5 jCtEinica matcrija]a,

U narcdnoj labcli promcnljiva .i)( koja piedstavlja nciskonSćcnu količinu matcrijala potrcbrojj /a proizvodnju proizvoda A. ima vrcdnost 4,5. Na sličan način se saznaje i noiskorisćcnost raspoEoživih Ijudgfcth rcsursa.

K«™ 4,5 ■ 5 - 22*5 časova,

pri Cemu jc

n đ JE f x * - K , ' K a“ 25 - 22a5 2,5 fasova.

Pošto sc u počctnom baznom rcšcnju ncćc proizvoditl proizvod A* pa će sav raspoloživi (AO) kapacitot za proLzvodnju togproizvoda ostati nciskorišćcn:

ted Jfc ** = * ; = 3, ( £ , - 0 )

t vrfiffddff koeficijenata u kolonama slohodnih promenljivih

SEično pravilo važi i za utvrđivanjc kocficijcnata svih kolona, kojc predstavljaju slobodne promenljive, zz narcdnu (novu) simpicks tabehi, a kojc glasi: kocficijcnt za Mi rcd i/-tu kolonu (U njiho-vom prc^cku), u naredno] simpleks tabdi, utvrduje se kada sc od koeficijcnta u prcseku r-tog rcda i /-tc kolone, prcthodne tabelc, oduzme proizvod izmcdii koeficijenata u Mom redu karakteristicne kolonc i j-roj koloni karaktcristicnog rcda, prcthodno pođcljen karaktcrisličnim kocftcijcntom A , kojt sc nala/c u gornjim desnim uglovima polja (ključnog reda) ograđcni kvadratićcm.

Pri lomc sc prtpisuju svi kocficijenti iz prethodnc tabcleN i tO* po kolonaina, ako sc u karaktcristjčaom redu tc koionc nalazi nula,* po rcdovimah aieo sc u karaktcrističnoj kolont tog rcda nalazi nula.[ 1 ]

Kao rczuliai zamene .rj <=i x : dobijsmo novu simplcks mbelu (T j, kao ■ novc kocficijcntc u poljima tabclc.

32

Kohna Xj u fabeii Ts;

Kocficijcnt /a polje ( 2 J k koje sc nalazt ■; prcscku tlrueog rcda X* i prve kolone X d<^bijan’io kada *c od koeficijcnta, istog polja tabele r r;, odu/m c pvoi/vod iznicđu koliCmka (i/ gomjcg dcsrio& ugla polja, kljti^nog rcda ogrudcn kvadratidem u tabcli Tq) kolonc X j i kocHtijcnU iz dmgog rcda ključnc kolone A',

drugi red X , : 5 ~ (0,S ■ 5) = 5 - 2,5 = 2,5.

Na sliuan naćtn sedobijaju osiah koeficijcrti za polja kolonc X§i

treći red Xy, 3 — (4,5 ■ 0) = 3 F ~ c , : F. - c , = - 4 - [ 0 , 5 ( - 6 )] = - 4 + 3 = - 1.

Kako kolonc: i Xs u karaktcrističnom icdu ,Vj imaju vrednost nula, to u ovimkotonama, u narednoj tabeli, ncćc doći do promcne kocficijcnatii, pa ih takve prcpisujcmo \z prethodnc (poćctne) u narctlnu tabclu. Slično sc odnosj kada se u rcdu karakTcristićnc kotonc pojavi nula. Tada kocfjcijentc \i rcda u komc sc u karakterističnoj kaloni natazi nuJa, prepisujenio u narcdnu tabelu. U početnoj tabcli to jc slučaj sa rcđom X ^ karaktensiićne kolonc X:<

Kofona X> u tabeli Tf:

Kako promcnljive, kojc ćinc b&zno rcficnjc, formiraju jcdinićnu matricu (što je slućaj sa promcnljivom x 2\ to ćc svi kocticijenti iz karakierisiicnc kolonc X? u narednoj simptcks tabelu a u istoj kolom, bui jednak nu\u izuzcv polja u kome se nalazi karakierističm koeficijent, koji jc uvck jednak jeditiici. Drugitn rečima, prctpostevjmo da kaTaklenstitna kolona X: nijc oznaćcna, pa je od njcnih kocficijenaia. iz rcdova, sada oznsćene (karafcieristićnc) kolonc X2

prviređA fr 2 - ( l - 2 ) = 0

d r u g ir e d ^ : 5 - (l - 5) = 0

treći red Xf i 0 - { j ’ 0 ) = 0

Fj - C j '. F2 - c , = - 6 - [l ■ ( - 6 )] = 0 .

KoionaX} utabeli Tj:

drugi red X4\ 0 - (0,5 * 5) = -2,5

F j - c / . — 0 —[0*5■ (— 6 )]=^3,

Kohna A j u tabeli Tj; FA - c 4 - 0 — [0 ■ 0 ] = 0.

Kohna u labefi T{; F ^ - c ^ - 0 - [0 ■ O] - 0.

Vtvdnost futtkcije ciija

Kocficijcnt u preseku rcda Fr c\. i kolonc XCt dobija .sc mnozcnjem kocficijenaiakolone C sa koeflcijenttma, iz istog rcda, kolonc Xu nakon Čega sc sabirajuproizvodi ?.a svc rcdovc, ij.

Linearno programirgttje

33

Lineamo programircinjš

Kako je najmanji pozirivan kolićnik u đnigom rcdu, kar&ktentiti£ne kolone, i odgovara protncnljivoj x4> odredujcmo da iz rešenja treba da izađe promenljiva ,ix:

X v X/

kojEi ujcdno deHniše i karaktcristicnt red. Promenljiv^ x f, n narednotn reacnju, dobijši vrednost 2r U preseku karakterističnog reda i k]jučne kolone dobijamo kamktcrtstični koeficijent A — 2,5 T (tabela Tj),

Kolonu B, u naređnoj rabeti, čine promenljive: i X;, a kolonu C odgovarajućikoeficijcnti, uz ove protnenljive u funkcijt cilja, Sve kocficijente karaktcristićnog ecda delimo sn kakraktenstičnim koeficijentoin X = 3 , i količnike upisujemo u u gom jt desnc uglove polja, kamktcristicno" rcdaT ograđenc kvadratićem (tabda Tj).

Tt _____________________________________________________________________

c B X »4 6 0 0 0

Xj *46 x i 4,5 0,5 1 0,5 0 0

0 A',1 l ] o -1 0,4 0

2,5 A = 2 f5. . £ . .

-2,5 J 00 3 1 0 f) 0 I

-----FrCi 2", 71 0 3 0 0

T "

bOve koJičnike prepisujemo u isti red naredne simpteks labete, Sve ostale koeficijente izračunavamo, s tim stO koeficijente iz kolona X* i X$ prepisujcrnoT jcr se u karakteristićnom rcdu Eih kolona (u preseku) nalaze rtuie. Dobijamo simplcks tabeluh _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c B Xo4 5 0 0 0x s Xt *} Xj

6 X i 4 0 1 3 0,2 04 x f 1 1 | 0 -3 0A r °0 JT; 2 0 0 1 -0A i

FC2 - J 2S 0 0 2 0,4 0

Kako je promenljiva x4 i/asla iz resenja, a na njenn mesto usla promenljivare&enjc problema u koloni B čine promenljive: x.\ x t i x& rešenje, postignmo u tabeli T& glasi:

£ / = 1, x: = 4, X} = 2.PromenJjive koje ne uiaze u bazično rešenjc unaju vrednost nula

X j ~ X i " 0 .Iz tabele 71\ primećujemo da sc program proizvodnje proširuje i na proi^vodnju proizvada A (xj= 1) i to U količini od 1 jcdinicc.

IskoriSćcnje matcrijala i Ijudskih resursa jc:* xj - 0 , raspoloživi materijal se konsti u potpunosti ( 100%),* x4 = 0 , Ijudski resursi se koristc u potpunosti ( 100%),

35

OPERACtOSA ISTRA?.IVAXJA

F(X) - £ C, ■ X a , i = 2,4,5

p n i rcd Xf: c 2 h = 6 ’ 4,5 = 27

drugi rod = 0 ■ 2,5 = 0

trećircd.V}: cf d} - 0 - 3 - 0

Vrcdnost funkcije citja jc:F [ X ) = 27h

Vrednost funkcijc cilja moŽC st: dobfti na isili način kao i kocfi-cijcnti kolona slobodnih promenijivih* i

F ( X ) = 0 — [4,5 - {— 6)] = 27.

Rešunjc probletna, u tabeli Tx, glasi:* jc2 ■* 4.5, Xi *■ 2T5t xs = 3.

Piromenlji vc koje nc ulaze u bazično rcšcnje imaju vrcdnost nula:Xi = xj = 0r

Prema ovom reSctiju, prcduzeOc proizvodi 4,5 jedimca proizvoda ft (*; =4,5), i pritom će ostati 2,5 neiskorišeenih jedinica rada Ijudskih rcsursa (Jt* - 2f5), sav raspotoiivi kapacitci za proizvod-nju proi/voda ćc OSUti neiskori£ćen (\o poivrdujc i Raspoloživi materijal ncćc biti iskoiiSćcn (jrLn” 0)- Ovakavprogram proizvodnjc obezbeduje dubit preduzeću od 27 dinaia:

F(X) * 25h

Po&tavlja sc pitanjc: Da iijedvhijeno rešenje. u rabeli Tt* cpti-malno ili ne? Prema poslavljcnom pravilu optimalno rcSenje je postignuto onda kada, u rcdu Fr ch nc postoji ni jedna negadvna razlika, tj. kadajc ispunjcn uslov Fr c}> 0 .

Posmatritjudt, tabdu Ttt pnmcćujemo da je u ređti F-Cj, a u koloni X{>] <0 postoji negatjvna vrednost 5to 2nači da u ovoj itcraciji nije pronadcno optimalno rcšcnje. Da bi « pronaslo optimaino rcšcnje potrcbno jc ponoviti cclokupan postupak popunjavanja simpleks tabele, i to: od utvrđivanja promcnljivc koja ulazi u rcšenjc, izboru promenijive koja izlazi iz icicnja, pa do i/računavanja svih kocficijcaata za kolomi .Vrt i kolona. slobodnih promenljivih, X t doX±

Kako jc u rcdu F;-c;, a u koloni X}\-1 <0 jetimi ncgati\T.i koeficijent, odtučujemo da u naredno rcšcnjc udc promenljiva r*

Jt ? Xj

Kolonu, u kojoj sc promenljiva x t nalazi, proglaŠavamo karakterističnom kolonom, Promcnljiv'u, koja izlazi iz rešcnja, odrcdujcmo tako Sto dchmo kocdcjjcnte iz kolonc Xp koeficijcntima izkarakienstičns kotonc X t\

4*5 2,5 3 {0,5 ’ 2 ,5 ' 1 '

min

34

OPER.iC!OSA !STRAllVAbUA

* Xj =2, proizvixli sc svcga 50% proizvoda A (u ogniničt'nju je njegova tcoJiCiiu Oprarićcna kroz Xi< 3 }.

Optimalno rcienje. postignuto u iabcli ghisi:

X ‘ *■ (* ,\ x ], j f*, , x l ) “ (l A 0*0,2)

VrerfnostfunkcijeciLjaje: £*'{x }= 2 S .

Dobit koja će se postići u poslovanju pnjduzcća t/.nosi 28 dinara. i to ako sc proizvodi proizvođ A {X* = 1 J u koliOiru otl I jcdinkc, a proizvod B ( JC* = 4 ) u kolicim od 4 jcdmice

Postupak nc5avanja probJcirtii LP iilgoritmom simplcks mctode jc, u porcdcnju sa grafičkoitj mctodom, ktctiinjc kojc počinje u tački počctnog stanja obbsti D, a zatitn 5c prati duŽ jcdnc ivicc konvtksnog mnogougla dopustivih rcšcnjaf kako bi sc stiglo do optimalnog rcšcnja. U svakoj ckstremnoj taCki konveksnog mnogouijlci (ih simpleks tabcli) simpleks mcioda dajc odgovor da h jc to taćka optimatnog rcšcnja, a ako nijeT u koju sledcču ekstremnu tačku tr^ba iei GrafiČko reserje ovog probiema dato je na slici 1.17, Uporcdujuči sa grafićkom meiodom. koordinaiama svakc tačkc oblasti D .O —* A - * B —>C D odgovara po jedna simplcks labela, odnosno svakoj s>mplcks tabeli odgovaraju koordinate jednc ckslrcmnc tafkc, konvcksnog mnogouglaT što znači da sc do rcScnja dotazi prcko jcdnog tiiza ckstremnih taCaka.* O-Tv. RcSonje problcma, u počctnoj simpJeks tabeli, odgovara koordinatama

tačkc O (0,0) što znači da sc nc obavtja nikakva proizvodnja proizvoda A i B, pa sc time ne ostvaruje nikakva dobit.

xr = x: = F(X) “■ 0 .* A-Tj Rcscnje problema u simplcks tabelt 7'.. odgovara koordi-natama Tačke

^(0,4,5).Xt “ 0T = 4 t5j F(X) « 27.

* B=T.\ Rešenjc problcma u simp3cks tabcli 7>, odgovara koordi-natama taćkc /?(1,4), koja prcdstavlja i optimalno resenje:

Primer L8. Jzbor katttkteristične kolone (slučajjednakih Fj-cj)Napomcna: Postavlja sc pitanje:Koju promeljivtt oJrediit da ttđe u rešenjc, u shtćajU kada se u redu FfCt pojavc dve ili višc promenijivih sa ist&m negativrtom fa najmanjom) Vrednočćti? Postoje dvc mogućnosti:Ncće se uimiti (»rcska, ako sc proizvotjno izabcrc bjlo koja od njih za ula/^k u rcScnje Obično sc tcži sc do optitrtalnog rcSenja dodc što prc, tj. uz Sto manji broj tabcla. U totn ciljti treba birati onu promcntjivu koja ćc, u narcdnoj tabeli, obczbcditi vcći porasi F(X}% a to jc promentjiva koja ima najveću vrednost.

36

S.itnvrno pTtgratfiiranje

Npr:

%c B * 2 j. 2 i ° i 0

Xi X, «• *40 X, 3 1 1 ! 3/4 1/4 0

12 A = 4 3 1 00 X 10 M ! 5 0 1

F-c ____ LlLl____ 0 -2 -t 0 0

£Iz reda F^Cj saznajemo tia će se vrednost funkcijc cilja povećati za jcdan po svakoj jcdinici promenljive odnosno proincnljive Opredeljujcmo sc 2a onu prumtinljivii ili jcj-) koja ima vcću vrcdnost jcr ćc tada funkcija citja imati najvcći porast. Ncka se odlučiino da u naredno rcscnjc udc promenljiva.v;

X> £= '3$

f 1 2 1 K-tada prema; m i n - i ^ = min^ ™ 3

iz rek n ja izlazi promcnljiva XjXj S= Xj

Vidimo da ćc promenljivfi;*^ koja ulači u naredno rešenje, imaii vrcdnost 6 (tabcla Tqi% Kako sc za svaku jcdinicu promcnljive x, vrednost flinkcijc cilja povcćava za jcdan, to ćc ukupno povcćanjc fiankcijc cilja za F(X} ~ 0 - [3 (-2 )] = 6 .To2

c B X i2 2 0 0

a:?0 % 12 4 3 0

0 x ,2 -2/5 1 i 0 1/5

10 -2 II o L

Fj-C' 0 “2 -I2 0 0

0U suprotnom, ako sc odlućimo da u reSenjc uđc promenljiva x* (7n?)

Xp ônda iz reSenja, prcma

mm

izlazi promcnljivax4 ^ x2.

Promenljiva dobija vrednoiiL 2y a ukupno povećanje fimkcijc ciija jc F(X ) = (i »[2 J-2)] — 4 '

Odlućujcmo se za promenljivFu r\ / jcrona obczbeđmje veći porast fUnkcijc cilja,37

OPERACIONA fSTRAŽ!VANJA

\ .4.4. VEŠTAČKA RAZA (PROBLEMI SA OGRANIČHNJIMA TIPA > T= )

U prcihodrLim ta^matraiijima vezfinina za piimcnu simplcks tabdc, opisana je njena primcma samo kod jednog tipa modela LP i to kod problema maksimizacije! samo sa ograničcnjima tipa i = .

Postujc problcmi u kojitna dodavanjc dopungkih promenljivih ne dovodi tnodel u oblik pogodan za primenu algoriima simpleks Tabelc, Drngiir rcčima, td su svi sluCajcvi kada u opštcm tnodclu, ili inoddu nakon uvođcnja đopunskiit protncnljivih nijc 7,adovcjljcTt uftlov negativnosti slobodnih članova, odnosno ne pontoji mogućnost fbmiiranja počctnog (baznog) rcšenja kome odgovara jedinitna matrica.

Da bi probktn mogao da se reši potrebno je najpre naći počctno dopustivo rcSenjc koje će nas odvesti do opttmalnog rcšenja. Za nalažcnjc počctnog rešenja u inodc! sc ttvodc, nove, ncrtegattvne promenljive koje naîvamo veštaćldm promenljivima. Kocflcijenti uz veštaSke promenljive su jcdiniini (+1) i mogu formirati počemu bazit kojoj odgovara jcdintcna matrica, što im je i namena, Tako su modclu pojavljuju tri vrstc promcnljivih, i to:■ rcalne,* dopunske (ili izravnavajuće) i* veš tačke promen Ij i ve,

Veštačke promenljive nemajti nikakvo ekonomsko značcnje. Ve^taćke promenljive ne smeju biti zastnpljcnc u optimalnom rcšcnju, odnosno moraju nestati \z realnog pioblcma, U slučaju da veštaćkc promenljive ostanu u resetiju* to nam govori da probiem nema optimalnog rcšcnja.

Uvodetijem vestačkih protnenlji\ ih formira se početno bazno rešenje, tj. jedinična matrića vcštačke bazc. Veštačka baza moze btii:* Potpurtcf - kada sc svakoj jcdnafcini (ograničenju) u modetu doda jcdna vcštačka

promenljiva,.9 Nepotpuna - kada se svakom ogramčcnjti nc dodaje vcštačka promenljiva, tj.

ako ih ima manjc od broja svih jednačina i ('ili) nejednačina u modclu.[ ] ]

A) Potpuna veštačka baza

Kada je početno rcšcnje sačinjcno samo od veštačkih promenljivih, tj. kada se svakom ograničenju doda po jedna veStačka promenljiva, kađemo da posloji poipuna veštačka baza, odnosno potpuna vcštačka jedinična matrica baze [2],

Primer L9. Slučaj I

Min F(X)= 2*] + 3** 4 j | + 8 jc> > 4 0

6 a'3 + Rr; > 4 8

> A38

Ltneamo prvgrg miranje

!)a bi smo fcmiLrati poietno rcšenje, opšu motlel transfo-rmiscrno uosnovni oblik, oduzimanjem pomenljivih r.t i u sa jcdm ićnini koeficijcntitna. Svc ncjcdnačine pretvaramo ti jcdnačine

4x, - 4 0 bx: +&xz -vj ~ 4S

Opšti oblik modcLa prcla/i u osnovni nbkk i:adatka LP:Min F(X)- 2xi + 3.Vn + O.Vj < p.o.

4j:r + 8*1 -JCj * 4 0 ( 1-1+)S.Vj + Sas - = 4S

1 ^ 1 J ^ 7 ^ 1 ^ ■

Ako probamO da ispitaino pr>u jcdnukost, uzećemo tla jo x i—5, j = 0 a zatim zameniti ove vrcdnosii u jednaCinu (1 .1 ):

4 jc, + S *2 * - 404(5) + 4(0) - Jtj = 40 20 = 40

- jc3 = 20

Ako preipostavimo nema ni aktivnosti A ni Kt tj. da su i 2 , zamenom ovih vrednosti u jcdnaćmu (1 . L) vrednost dopunskc promenljivc ćc biti:

4(0) f 8(0) - x t = 40 .tj = -40

Ncgativna vrednost prom crljive nije u skladu sa zahtevom o nenegativnosti promenljivih koje ulazc u model LP (koeficijernt promenljive v3 je (-1)). Prvobitno rcšcnje se nalazi izvan oblasti dopustivih reScnja.PoStO dopunske promcnljivu imajti koeficijente ( - 1), to sc nc mogu uzcti za poćcmo dopustivo reicnje NaimeT u modelu so ne ruilazi nijedna po/itivna promcnijiva, sa koeficijentom {+ l)t koja ćc foitnirad jediničnu matricu bazc,

Da bi formirali početno dopustivo reSenje, odnosno došli do jediniCnc matrice* dodajc se svakom ograničcnju po jedna vcitaćka promenljiva sa koefiCijcnt (+ 1X tzv, potpuna vcštačka ba*a. Ovc promcnljivc oiinaiene su sa ** i j:*.

Uvođcnjem vcltaddh promcnljivih matematički model ograničenja dobijfi oblilc4 jf j+ 8 x :- jc j +Jtj = 4 0 O ^ )6xi + Sjt 3 *X4 + ^ * 48

Xu Xit Xit X^XhX6> 0

Ako jc *1-5, jtj-0 i ako jc vrcdnost veštačkc promcntjtvc JtsÔ, zam cnom ovih vrednosM u jcdnačinu (1.2,) vrednost doptmske promenljive vj čc biti: 4(5) + 8(0) - *3+ 1(0 ) = 4 0 ^ * 3 = 20 .

Ako $u jCl^Ô, i ako jc vrcdnost dopunske promcnljive x j -0 zamenom ovih vrcdnosu u jednacinu (1 2 ,) vrednost vcžtaćkc promenljivc ,vj ćc biti: 4(0) f 8(0) + l(0) + jt5* 40=>jei=40.

Sađa sve promenJjive zadovoljavaju uslov neiiegativnosti.

Funkciju ciija je. ićikode potrebno prosiriii dopunskim i veStačkim pt'omenljivima. Pi'omcnljivc, u F(X), sc unoic sa odrcdcni kocficijcmom;* ii 7. realne promenlji.ve .T| i rv5 nalase sc kocHcijcmi koji imaju realno značenjc

(c t=2T cy-3),* uz đoptirtskg p r p m e n t j tv e i x^ F(X). uvek &e unosi kocficijcnl nula.* uz vešiačke promenljive r i x6 sc unosi jcdati koefidjent koji jc poziiivan i vrlo

vcliki (vcći od svih oitalih u funkciji cilja) i oznafiava se sa M.

Kod uvorfenja veStačkth promenljivih, u runkciji cilja, raslikujcmo đva slučaja:* Ako sc traži triinF(X), onda sc uvođi veštačka promcnljiva sa znakom (+M):

m iii/ ( . \ ) — + M xn+2 + ■*■ + ’

* Ako se traži rmxF(X)i onda se nvodi veštučka promenijiva sa znakom (-M)\fi

inax r(-V) = £ 1cr xj ~ Mx«*\ “ M x»+t- - - Mx**- ■}* 1

Uvođenjem vešfačkih promenljivih. F(X) dobija sJcdeći izglcd:

Min F(X)~ 2 x +3 x2 + 0 x^ + 0 xA + Mzs + Afx* .

U cilju prcgkdnosti i praktičnih razLojja red Fj-Cj je pcdeljen na đva reda. Podela na dva dela nam omngučava da sa?rnamo da h su vcšraćkc promcnljive ispale iz rcšcnja ili nisu, pri čemn se:* u p n ri ( I ) dco reda Fr c} unose koeficijcnii ui kojc sc ne javlja \ f t* u drugi (11) dco rcda Fr Cj unosc koeficsjenti uz koje ^toji M.

Početna simpkks taht’la 7’f;glasi:T a ______________________________________________

PPEMCIONAISTRAŽIV A N J A ______________________________ __________

c B x$2 3 0 0 M m■V/ x2 90 X4 .V, x&

M Xs5 1/2 1 "1/8 0 n 0

40 4 -1 0 i 0M X,, 48 8 0 -1 0 1

F - c1 1 SIII

0 -2 -3 0 0 0 0 !SK 10 16 -1 -1 0 0

Počctno rešenje cinc dve veštatke promenljive ijM O i ^ -4 8 . Vređnost funkcije oilja je: Fa-c$ * M* M = Q

F(X)= 8 8 jtf+ 0 ,

Promenljivc, van rcšcnja, imaju vrednost nula

x\=xi = x} = = 0 ,

Lmea rno programitanje

Za rcđ Fj-cp izittimajući k o l o n a u t v r d e m su sledcći kocflcijenti koji stojc uz M:

Kocficijent

F,-Ct = 10M - 2 10

Fr c, = 16 A/ * 3 16

Ft -ct = *1

FrCt = - M ~ 0 - * M -1

1& M ~ M * 0 0

oH5

0

L+ ciliu razjašrsjcnja navedenib razlika, objasnićcmo razlilcu F.-c.. Kocficijcni razlikc Ft-Cj "10 M - 2 je dobijcn množcnjem ItocftcjjeoaU M* kolone 0* sa kocfictjcniima koEonc AV Proizvodi su sabrani i od njih je oduzet kocficijent \z /aglavlja. Drugim rcčima, od zbira proizvoda kocficijenta M 7 oduzeu kocficijcnt iz zagbvija:

(4 M + l Q M } * 2 - ] 0 A / - 2 .

Kako je M pozitivan broj, i veći od svih oslalih, to ćc uvek drugi deo reda Fj-c^ sve dok ve£ta£ke promcnljive ne nestanu iz rcšenja, određivati promenljiMi koja ulazi u naredno rcSenje.

PoSto se traži min/'VJA u naredno reSenje ulazi ona promenljiva za koju jc razlika FfCfi u drugi dtio redan pozitivna i vc6a od svih ostahh. U počemoni reSenju to jc pmitienljiva x2. U nEirtdno reSe-nju ulazi promenljiva x2 ■

Xy < = X y .

Prcma najmanjcm i pozili\ nom količmku

mm< — L- “ min^40 4S"

IT r ; - | - m { 5 , 6 ) = 5

i/. rcšcnja izlazi ptomcnljiva x ;

Xs *=■ Xi ♦

U počctnoj simplcki tabeli, u prcseku kamktcristjčnc kolonc i karakterističnog reda, dobijamo kamktcnstiOni kocficijent A = 8 . Na osnovu tako pnpremJjcne simplcks tabele T0 dobijamo simpleks tabelu Tf:Tf

c B Xo 2 3 0 0 Mv- *4 Xt

3 5 1/2 l -1/8 0 0

M x t [ i_£ ! 1 i 0 1 1/2 -1/2 r 1/2

A -2 0 1 -J i

F ~ c , 1 ) i [f15 -1/2 0 -3/8 0 08 2 0 1 -1 0

<5*

l41

PPERAClOtiA ISTRAltVANJA

Dobijeno rešenje čini jeđm rcalna 1 jedna vestatk:i promenljiva jr; " 5h x(} = 8t dok promcnljive van reSenja imaju vrednDst nula, Vrednost funkcjje cilja jo: F(X}- L5 M + |,

Optmudnti rcscnjc nije pronadeno jer, u koloni B. postoji veštačka promenljiva x^ ti u drugom đelu reda Fj-Cj u kolonama ^ : 2>0 i AV I>G posiojc požitivni koeficijenti. I) naredno rešenje ulazi promtiid iiva x ■

Xf x}.

je r je koefKijem u koloni Xj, diTLgogdela reda F',~cf. pozitivan i veći od svih ostaiih. Prema količniku

■ f J T .lm im —-\ *5 J► - min = min{l0.4} = 4

najmanji poîtivan koiičnik pripada r e d u ^ tj. \z reršenja izt&zi promenljivai*

x6 <= Xj,U preseku ključnog reda i klučne koionc odrcdujcmo karaktcrisućni kocficijent

2 .

Sastavljamo simpleks labelu r>, Prcpisujemo količnikc iz gomjcg dcsnog ugk polja, ograđcnc kvadratićcm, ključnog rcda (dobijcni kada sc koeficijcnti kljućnog rcda, tabcle 77* podele sa karakterističnim koeficijentom — 2 } u isti red naredne simpleks tabele . Koeficijente za ostala polja kračunavamo po vec utvrđciiiin pravilttna i dobijamo simpleks tabeJu T2:

T2

c B 2 3 | 0 0 M MXI x.i x< xs X,

33 0 1 “3/4 -1/4 0 *1

2 4 1 0 1 -i l 0

F ~~ c / 17 0 0 j -1/8 -3/16 0 0r ) // 0 0 0 ; 0

0 -t -1Kada se u dmgom delu reda F}-c; pojavi:* nula u koEoni X0,* f i u I c u s v j m k o i o n a m a koje p r ip a đ a ju i c a l n i m i d o p u n s k i m p r o m c n l j i v a m a ,

* jcdinicc sa znakom minus (-) za tninimum, i sa znakom ptus (+) za maksimum, u kolonama koje pripadaju vesiačkim pn>menljivama.

a

kažemo da su veSta^ke promenljivc ispalc iz rešcnja. Tada sc prclazi na prvi dco rcda FfC} i nastavljamo sa reSavanjem problema, osini za slućaj da, u prvom delu reda FfCj, dobijeno re&enje nije ujcdno i optimalno.

Onog trenutka kada su svc vestačke promenljive ispale iz reSenja, možemo zanemariEi kolonc u kojima sc one nalaze, kao i drugi deo reda FfCj. Posmatranjcm prvog dela rcda F.-c^ (tabda 7\)t konsta-tujemo da nc postoje pozilivne vrednosti (razlikc) FfCj, pa je postignuio rešcnjc ujcdno i optmiaino. Optimalfio rcScnjc je:

42

Lmeartio programiranje

X ‘ - j : ' ) = (4,3,0,0,0,0}

Ojnini.i^J vređnost ftinkcije cilja je: / '[A '* )= 17.

Posm se radi o modctu sa dve promcnijivc problcm jc moguče rcsiti i grafićkotn metodom, slika 1.14 Opiimalno rcšcrjc jc prikit/ano fvnkcijom cilja i taćkom A (4 J l

’

Slika l.U. Graftckiprikuz shičaja f

Pritner 1.10. Slučaj / /

Naći ncncîitivtic vrednosti promenljivih x { i x: kojc će obezhcditi da funkeija ciljii postignc svoju maksimalnu vrednnst,

Max F(X)— 2 x\ + xi

p.o.; jcj+ xi - 6-4xt + 4x> ~ 8

x l t *2 > 0

Kako su ograničenja u viđu jcdnačina, mjc potrebno dodavati dopurske promcnljivc. Prvt komk se sastoji u formiranju počctnog rcšenja kome odgovara jediniina matrica. U ovom primcru nisu potrcbnc dopunskc promen^jivc^ ali ne postojc i rcalnc promentjive Čiji bi koefJcijenti formirali jediničnu matricu. Da bi sc doSlo do jediničnc m atnce dodaje svakom ogranićcnju po jedna vcStačka promcnljiva^ t/v, potpuna veSiaćka baza. Ove promcnljive obeležimo sa x j i x4. Matematićki modcl ogranićenja je:

t i + x2 + *3 = 6■4*1 + + XX - S

x u xit X1,X4>0

43

OPZRACIONA1tTRAŽIVANJA

Veštačke prtitoenljivc kk uvodc i u F(X) sa koef'lcijcntoirt -M,MeucF(JQ " 4 JC] + -Mxy- Mx*.

Od ovako fonniranog počclnog (vesta£kyg) r^Senja, lterativnim postupkom, dolazimo do stvamog poćetnog rešenja koje može biti optimalno, ili nas ocivcsti do oplimainog rcšcnja,Početna sijnplcks tabcla 7 :n

c B X,2 1 - A/ - M

.TCi

- M 6 1 I 1 0

- M x t2 L i ' 1 0 1/4

S 4

I--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

--

. || o 1

J7 _ * i 0 -2 -1 0 0

J J 11 -14 3 -5 0 0

Početno rešenje je; = 6, “ 8 Xt ~ x2 = 0, F(X) ™ -14 M t %Posmatrdjoti dnjgl dco reda FrCj i n njoj kolonu J£f;-5<Q, li naredno rešenjc ulazi prameljjva jc*

Jf? ^ ,

prema: minÂTv

[> - - = mm{6?2 } = 2

tz rcšonja izlazi pramenljiva x4:<j=

Na oanovu rako izvrScnc ttansformacijc, slobodne (nebazne) i baznc promenljive, dobijamo tabdu T>\

<C7-

c B x ti2 1 -M*/ JCi *

2 J 0 | V2 - 1/84 X - 2 0 1 *1/4

1 x 2 2 ? 1 \ 0 1/4

F J ~ CJ 1 112 -3 0 0 1/4

r * -2 0 0 1/4

5Rcsenje problenia jc: 4, x2 = 2 , Xi — x = 0, F(X) = * 4 M+; 2,Dobijcno rešenje nijo optimalno jer se u prvcm rcdu na]as:i veštačka promenljiva (jl-3 = 1), a u dnjgom detu rcda Fr Cj postoji negatjvan koeficijem za kolonu X,-2<0.Sastavljamo simpleks tabeiu u čije reênje ulazi promcttljiva X\

X? <=

44

U})L}nrno p* ogrnsmi onje

i7 rcšcnja izlaz: promenljiva .v*

Xj <rn x fmTi

c B X02 1 -M -MXi gt Xj

2 Xt 2 1 0 1/2 -1/8\ * 4 0 1 1/2 1/S

Fr c} 1 J / /

8 0 0 3/2 1/80 0 0 1 1 1

LT koloiii B, ncma viSe vcštačkih promenljivih, Takođe, ptimedu-jifcmo da su u drugom dclu icda Fj -Cj ispod svih kolora Xfh X- i X: nule, osim ispod kokina, vcStačkih promenljivth, A ji X4, gdc su jedtmcc sa znakom plus. V daljcm rcšavanju drugi deo reda Fr c: zimemarujemo i posmatiamo saiuo prvi deo reda F r Cj.

Posmatranjem prvog Uda reda F r Cj vidimo da ne postoje nega-tivmkocficijenti, pa je postignuto rescnjc ujcdno i optimalno,Gptimalno reSenjc giaui:

x'y = 2; x" - 4 .

Makstmalna viednostfunkcijc cilja jc:

f ( jc '} = 3 .Gmfička intcrpretacija jc prikazana na slici 1.15.

Slika 1.15. O hlast dopusfiv ih rćên ja

B) Nepotpuna veštačkct baza *

Pnmct l J L SiuČaj I .

Naći vrednosti nencgativnih promenljivih i x 2 koje 6e omogućiri da flinkcijacilja postignc maksimalnu vrednost

Max F(X)= x\ + X2

45

P-0 .; X| + X; < 5- ,¥] + 3 3 > 3

t]t x7 > 0

Uvođertjem ctopunskili pTOinetiljivih \ u sifitcin ograniienja* kna i lunkcijtcilja, tnatemattčki modcl dobija obltk

M&\F{X) = T| t ,\i + 0 Jfj + Oth, .

p.O-:J[ + X2 + “ 5

- jci + jje3 + x4 - 3Jf;, JC2< *3* ^ 0

UvođcnjeiD dopunskih protnenljivih nijc mogućc fornitrali jcdinicnu matricu bazc. U drugo ograničenje jc uvcdcna dopunska promcnljiva x4 sa koeficijentom (-]>. Njcn tzbor za ulazak u počctno rcflerje ne dovodi do bajte kojoj odgovarn jeđitnčna matrica. Drugim rcčima, u drugoj jcdnačini ne postoji ntjcdna promcnljiva sa kocficijcniom (+ 1) a da sc pritom ne javlja u ostalim jcdnačinama (jcdiniCna promenljiva).

ZalO uvodtmo promcnljivu t Jt sa kocficijcntom ( H )t u dni£0 ograničenje Funkciju ciljat takodc, proštrujcmo jcdtiom veštaćkom promenljivom sa kocficijcntom {-AY>.

Matcmatički oblik dobtja oblik:

M axF(X) = x\ + x2 + 0 Aj \ Oxa ‘M -rj

p,Q.: X |+ X2 + xi ” 5- X| + 3xz - ju + .t ; - 3

Xj,X4tXi> 0

Poćetna simpleks labcla jc:

T0 __________________________________________ . ___________ ___________

OPERACiOiVA ISTRAllVASJA________________________________ __________________

c B 1 1 0 0 - M

*/ x40 X , s L 1 J 0 0

- Mf i - 1/3 1 0 - 1/3 1 1/3

3 -l /l = 30

1

F r c > 1 1 f ii

0 -] 0 0 ~ ~ 1 0

-3 I -8 ' 1 0 1 0

Fočetno rešenje je:jfj = 5, x$ =■ 3 t X] = jcj = jc4 ■ 0, - - 3A/ + 0

PoSto tražimo makstirtalnu vrcdnost fimkcije cilja, ti tiaredno bazično re&cnjc ubzi promeljiva x*i, jer sc u kolom JCj drugog dela reda Fr cr nalazi negativan koeficijcnt

46

L ttietimo pragrgm tran /e

Jfi .

\? rcšenja, prema najmanjem po/m vnom kolićniku

Xmiri' - min< j = m in { 5 J J - I

i/la /i vcstačkii pronjenljjva ,v5

TtxJ <*= x* -

C *

c B Xo J 1 0 0 -MXi Xi X) x* x$

0 X, 3 Lj_ \ L 3/4 1/4 1-1/44 A = 4/3 0 i 1/3 -1/3

X> ! -1 3 1 0 -1/3 1/3

F - c f 1 II

1 -4/3 0 0 -1/3 1/30 0 0 0 0 l

fc

U tabcli Ti, vcitačka piotncntiiva sc gubi «/ rešcnja, Ito sc vidi tz dmgog dc]a rcda F.-C; u komc su sve vrcdnosti ispod kolom : Xq,X;, Xz, X3 j .Vyjednakc nuli, a ispod kolonc Xs (vcStačke prome-nljive) jedimca sa znakotn plus.

U ilaljcm rcšavanju drugi dco rcda Fr ch kao i kolonu vcštačkc promenljivc, zanemarujemo i posmatramo sam o prv i deo rcda Fr cr Posmatranjcm pn 'og dc!a reda F,-c}h a u kolonama:

,Vy:*4/3<0 i AV:-l/3<0, postojc ncgalivni kocfieijcnti, pa sc može zaključiti da ovo rcšenjc rije opitmalno.

Sasiavljamo simplek?5 tabelu u čije rešenje uiazi promenljiva \j

iz rcsenja, prema: min- xb \— - > = mim - 11* J 4 /3 J

iz rcSenja izlazi promcnljiva .rT

<i= X f .

T , ___________________ ____________ . . . _

€ B 1 X, l I 0 0*1 ■Vj **

1 -V,3

\° \

3/4 1/4I X: 2 0 1 1/4 -1/4

- ci 5 0 0 J l 0

47

OPERACIOSA iSTRAZft'ASJA______ __ ________ ____ _________ _______

Posmatranjcm rcda F c. nc postojc ncgativne \Tcdnost:, čimc jc zadovoljtn uslov F.-Cj>0. Postigrniio rcscnje jc ujccno i optimalriO. Ophmatno rcšcnjc jc:

x " - ( * > ; , * ; , * ; } = (3,2 ,0 ,0 ).

M«ksi»alna vrednost funkcije Ciljaje: F \X ) ~ 5.

Deiava se da vrcdnost kocficijenta neke nebazičnc (slobodue) promcnljive u rcdu / kod po^ttzarja oplinmlnpg resenja. bude nula l t^heli T*y a u prcseku kolorc \ t i rcda Fr c nalazi sc vrcdnost nula, To nam ô \on cia možcmo odrcciu novo ;drugo> opiimalno rescnjc, koje će imati istu vnrdnost fiinkcije cilja, Uvodcnjcm u rešcnje promenljivc x< umCSto promcnljive x »

Xi <= x t .

dobijamo drugo opiimaino rcfenje kojc jc pre<Jstavljeno labelom 77 :

T i ___________________________________

c B x0 I i— L 1 0 0Xt .1-,

0 X, \ 12 A 1 0 3 l11 -- -i

4 4/3 0 1 A = m_\] x2 } -1/3 1 0 - 1/3

% --Cj 1 -4/3 0 0 -1/3

C-----------

B Xi t f- 1 I 0 0

1 X, 12 0 3 -11 Xi 5 1 0 1 0

5 0 0 1 0

Dnigo optimaino reSenje je:

r * (0 .5,0 ,12^

V oba slućaja vrcdnosi J\mkcije cilja je ista: F[X ) = 5. Kako sc radi o m oddu sa dve promcnljive, problcmjc moguće resiti 1 grafićkom mctodom, slika 1.16.U oplimainom rešenju (tabcla Tj) nalazc sc rcalne promcnljive X; i x* [jfj « X4 - 0}. U ta b d i 7% nala?i se jedna realna promcnljiva x? i jedua dopunska promcnljiva x4l koja nam govon o nokoj nciskoi iSčenosii ik nepodmirenosii ograničenja.

48

Ltneantu programiranje

X [

Slika LI6. Obtast dejhthanosti reSenjaSvaka simpleks tabela ođgovara jednom od tcmena, konvcksnog mnogougla, obiasti D> kOtfrdinauii počotak O (0t0) ođgovara tabcli T ! :itka A (0hl ) odfiovara tabeli Tt< Taćka B (3,2), na duži CB, ođgovara tabd i a laćka C (0,5), odgovara tabeli T i

Optimalno rc&cnjc prcdstavljaji: ckstretnnc taćkt:

C (0,5) i B (3t2) oblasii D, odnosno konveksna kombtnacija ovih dveju ia£aka. Dnigim reCima, optimalno rcscnje predsiavlja svaka taćka duži CB.

Rrimer L12. SluČaj III.: (£ ,= ,>v..)h

Naci nencgativnc vrcdnosti promcnljivih x\, xi i xy kojc ćc obczbc-diti da funkcija alja postignc svoju maksimalnu vređnosi,

Max F ( X 3 X| + 2 X2 + xy

p,o,: X| + 2x: < fi2 Ji + X2 + = 20

> 2x\,xt,xi > o

U'.'ođer.jcm đopunskili promenljivih a -4 i v<.. u pn'o i trcčc ograrjčenje, i vcStaEke pTOmenljivc x± u ircće ogranićcnjc, materaatički modci postaje

M a\ F(X) - 3 X| + 2 0 + 0 -M

p.o.:X; + 2x 2 + x4 - 8

2xi + .v2 + x3 = 20Xi - x$ + x* = 2

X i , X Xt* -rj, j:&> 0

49

OPERACIOSA ISTRAZtVAKJA

PrinitićiLjeino da drugoih ogFflničenju nijc dodavana ni dopuithka ni vestačka promcnljjva. jc f u njemu posioj: realna0 promenljiva rv sa kocficijcmom (-H), a u ostalim ograničenjima njcrii kocficijcnii su nule (ne. pojavljuje se u ostahm ograniênjima), Koeffcijenti uz promenljive x^ Xi i xt, sujcdiniCni i mogu formirati počctnu ba zu, kojoj odgovara jcdinicna matrica.

Potctna sim pleks rabela:

Ta

O 3

c B X, 3 2 I 0 0 - Mx> Xl Xj x A

0 x4 s 1 2 0 1 0 01

-------- i% 20 2 i ' 1 0 0 0

- M X, 22 '

[ 0 0 ’

IA=1

— o

o— o -]1-----

-1

1

1

Fj -C j 1 1!

20 -1 -1 0 0 0 0-2 0 -I 0 0 1 0

Poćetno re5enje čine promcnljive: x* = 8, x$ - 20. x^~ 2,

Posmatrajući drugj dco rcda Fr cP i u njemu kolotm dobijcno rcšcnjc nycoptimalno, U nansđno resenje ulazi promenljiva xi

a 12 resenja, premit: mim X,X t <F= X }.

f s 20 2l . Xy — mm-j » T r “ miT1 <4,20^2 j = 2

x

I !

izlazi ve^taćka promenljiva Xa-

Nakon Jransformacijc dobijamo iabelu Tt. U labeli 7/ nema vestatkih promcnljivih $c gubi iz rešenja, 5to se vtdi iz drugog dela rcda Fj-c, u komc su sve vrednosti ispod kofona; X&, X^ Xj, X_t, Xj i Xs jcdnake nulij a u koloni, veStaeka promenljiva Xd jediniea sa znakoin plus.

U daljem radu drugi deo rcda Fr Cj, kao i kolonu X* možcmo isključtti iz daljeg rnzmatrartja. i posmatramo samo prvi deo rcda F r c}. Primećujemo da u prvom delu reda Fr Cj postoje negativni koencijcnli i ro u kolonama Xj:-1<0 i pakažemo da optimalno resenje nije pronadeno.

6 \z opsteg modela LP kod koga su ograničenja oblika 11 može se formiraci pocetno (bazno) reienje sano ako posroje realne promenljive sa jediničntm kceficijentom, kome odgovarajeđiničita matrica.

50

Utiearna program fcanje

"c n Xo

3 2 t 0 0 -M 1Xt ** tj

0 x< L ±4

[ iA=[ 0

L i'0

li

L- _i 2

_2-2

1 X» 18 20

1 0 1 -12 X? 2 \ 0 1 0 0 -i 1

F “ c !1 J II

22 -1 0 0 0 -i 10 0 0 0 0 0 l

b

Sasiavljamo simpleks tabelu T? u čije rcscnjc ulazi promenljiva .n,

li 17 rcscnja prema: m in{X 0/ X v\ = m in {4 1.18. 2}= m jn{4 ,9} = 4

prDmcnljiva x4, što simtx>lićno označavamo^ x t .

27 _____________________________________________________________________________

C 5 X*3 2 1 0 0

x: Xj x43 X, 4 1 0 1 0 \ 2i x3 10 0 0 1 -2 -3 12 X: 2 0 1 0 G

F - c 26 0 0 0 1 1

Posmatranjem rcda F,-cs. ne postoje ncgativtii kocficijcmi, pa jc posiiEnuto rešenje ujedno i optimalno. Optimalno TeSenje je:

X ' = (aT|, .t], .t j , A'j, ) = (4,2,10,0,0),

Optimalna vrednost fi.nkcijc c ilja jc: f [x ' ) = 26.

1.4.5- PR EV O Đ EN Jr OPŽTEG M ODliLA U JEDAN OD OBLIK.A OGRAM ĆENJA

K eio opSti m odd lincarnog programiranjii navcli stno slučaj kada ograničcnja mogu biti sa znakom i Ncka se u opštem modclu nalazc ograničenja iipancjcdnačina sa razIiCitim smerovima, tzv. ncsimctrični tnodel Tada se ncka od ogranićcnja, množcnjem sa (-1), mogi: prcvcsti na ograničcnja istog smcra "<* ili

čimc sc dolazi do simctričnog modela, tj. jcdnostranih ogranićenja. Ograničenja tipa "<*' ili **>'" prevodc sc, kako je već objaSnjeno, u oblik jcđnaćina dodavanjem dopunskth promcnljivih

Xn +}f I= 1 ,2 ,...,^ .,

5/

Ako se u opšiorn modclu porcd rccjcdnačma, pojavo i ograničenja data jednaćmama. postoji tnogućnoftl da se fonniraju dva ograničcnja oblika '■**<* i ll>*\ koja sc zm m množenjcm sa (-1) mogu preve$ii na "<“ tli ">% zavi^no od potreba. Znači, Ograntfiertje dato \i vidu jodnačine moSemo izraziti pornoču dva ograničenja u vidu ncjodnačina, Na priincrh neka jc dato i -to ograniienjc oblika

+. a i2xj + umXrr 3 bi

koje se inoj£e predstaviii prcko dva ograničcnja&i)Xj +.at?x? + <6,rtjj JC; + + „ .+ .V* >

kojima se navedeno ograničenje 2amenjnje. Ona seN množenjem &a (-1) moguprevcsti na jcdnostrana ograničcnja tipa L'<<1 iH "> *\ Na primcr, posle mnoênja drugog ograniOcnja sa (-1 )h bi.ee

£ ri Xi + Ui2X2 + . . .+ < $j-fl,/ JC / ~ X2 - ,., - 0f„ < - frjL

1 *4:6- NEOGRANIČENO REŽENJE

Pronaći vrcdnosti promenljivih jcj i kojc ćc obczbcdiii da fnnkcija cilja postignc inaksimalnu vrcdnost

Max F(X)= % + Xi

p.o,; - 2 ^ + x2 < 2- JCi + X i < 3

* it*t >

Dodavanjem dopunskih promenljivil], matematički model postaje ÂMF(X) = + 0 + Oatj *

p.o.-Zvi + jr? + jt j “ 2- Jf| + *2 + = 3

Formiramo poeetnu simpieks tabelu:

OPERACIOSA ISTRATJVAKIA____________________________ __________

c B X.1 1 0 0

Ju

0 X .i2 -2 1 1 G

2 -2 d U i i 00 3 -I i 0 l

0 -I -i 0 0

b

52

Požctno rcscnjc činc dopunske promcnljivc Xi=2 i rYj=3T a vrednost funkci jo cilja je:

F(X)= 0.

Kcko u redu FfCj, a u ko[onama A'/i-KO. i X f - 1<0, od!uCujcmt> se da u narcdno rcšcojo uđejtj (u redovtma X$ i j f , vrcdnosii Qn t itnaju ncgativne vj'ednosti)

____ _ ___________ ___________ _______________________ Linearno piogrgnjjranje

ii \z icsenja, prema: m inj - ^ - j = m in j -p y | = m in{2,3} = 2

\7\'<\n. pronicnlj iva x :

<£= .

TriUiSformacijom piomcntjivih dobljamo tabdu Tf :n

.V ' s= X2 .

2 3f

<7*

c B %i 0 0

■x4

1 X 2 2 -2 1 0

0 X ,] L 0 -1— . 1 1 i

L A = 1 0 -1 1

% “ c ) 4 -3 0 2 0

6vPočctno rejenje je:

X 2 = 2 7 X i ~ l T x r jcj — 0, F ( X ) = 2.

Kako u rcdu FjCfc a u koloni -Y^:-3<0 postoji negativni kocficijem, to u naredno rcšcnjc ulazi promcljiva

X> Xt

a iz rešenja, prcma: in in{X i) / X x }= m in

izlazi veštačka promenljiva jiV

Xj <= .Vj

NTakon čcga dobijamo tabelu T>:Ti

c B 1 I 0 0

Xf x^ iI $2 4 0 1 -1 21 X , I 1 0 -1 L

- c; 5 0 0 -L 3

53

OPERACJOSA ISTRA2IV#NJA

Posmatrajući red FrC} (tabcta T?) Optimalno rcSenje mje posti-gmttO je r sc u koloni X$-1<0 nalajii ncgiUivna vrednost, L' narcdno rescnje ulazi promcnljiva xj

x? X}Prema kritcrijumu za izbor prromenljive koja izlazi \Z resenja đolazimo do zakljueka: U koloni X5 ncma mjcdnoe pozitivnog (a,j>0: a& m -I i = -1) koeficijcriia pomoći: koga možcmo odrediti p02:iti.vnu i najmanju vrednost koliCmka. To zttači da se ne roože odrcditi koj;i će promenljiva {*7 ili x$ izaći iz rcšenja, da bi na mesto nje nšla slobodna pramenljiva acj. Ovo jc dokaz da nc postojt kcmačno, lj. da ne postoji ncograniccno (beskonačno rešenjc),

Zakijučak je da simploks tabda ukazuje na postojanje neograniccuog lešenji, V rcalnim problemima lineamog prograiniianja Ete očekuje so postojanjc neograniienog resenja. Mcdutitri, greške pri fomiulaciji problctna tnogu dovesti do neograničenog rešenja. GrafiCko rešenje ovog modela datojc na slici 1.1.17.

Oblast Jopustivih rcšenja D je neograniecna. Prava F(X), funkcije cilja, može se neograniceno pomerati, paralelno samoj scbi, u stnem porasta vrednosti funkctje ciljaj a da uvek tma zajedničkih tacaka sa oblasti dopustivih rešcnja. Funkcija ciEja može uzcti proizvoljno veliku vrednost, tj. problcm nema konaenog resenja, Dakleh problem ima beskonačno rcšcnjc, i pri tome obe promcnljive imaju proizvoljno vcJikc promen1jive.[ I ]

1.4.7. PREV O Đ EN JE N ESIM ETRIC N O G U SIM ETRIČAN M O D EL LP

Kao opžti modcl LP naveli smo slučaj kada ograniecnja mogK bui sa znakom j f=LfH ]\Teka se u opštem modelu nalazc ogranitenja iipa nejcdnačina sa

razlićiiim smcrovima, tzv, nesimeirični model. Tada sc neka od ograničenja , ninoženjem sa (-1), mogu prcvcsti na ograntčcnja istog smcTa '*<* ili £ime se dotazi do simctričnog modcla, tj. jednostranih ograničenja, Ogranitenja tipa lL<^ ili L4 tA prcvodc se, kako je već objaSnjcno, u oblik jednačina dodavanjcm doptmskib promcnljivih

Xn-iJ= 1,2 m. [1]

54

Linearno pmgramiranje

Ako sc u opitcm modelu portd ncjednaîna. pojaMC i ogranićcnja data jcdnaCmajna. posioji mogućnosi da st: formimju dva ogr&ničcnja oblika Ty<" i *'>**, koja ?:e zatim mnočenjem sa (-1 ) mogu prc>-csti n:i *V* ili u>*\ zavisno od poircba. Zna£i+ ogmniCcnjc dato u vidu jcdnačinc vrtožcmo izraztti pomoću dva ogmnićenja u vidu ncjcdnaCina. Na primcr, ncka jc daio / -to ogramčenje oblika

aifx } + a,*X2 + ■ ■ > amxm = fri

koje sc iroŽc prcdslavitt prcko dva ograniOcnja

Oifx f + atjx i + ti a'j,t > bt

kojima sc navedcno ograničeujc zamenjujc. Ona sct množcnjem sa (-!) mogu prevcsti na jedirastrana ogranićenja tipa *"<** ili lL> lL Kll primcr, poslc množenja dm gog ograničcnja sa (~tK biće

a d Xi + a^x> 4 a„xv , < * fc.

1*5* D I ALMI P R O B L tM

Jcctno qd vainijjh otkrića u ranom razvoju LP jcstc konccpt dualitcta i njcgovih vcoma vaŽnih grananja. Ovo otkrtćc jc poka/Eilo da se svaki problcm LP vezuje za joS jedan problcm LP nazvan dualnim problemom, Relacijs između dualnog problema i origunalnog (primarnog) problcma pokazatc su se izuzetno korisnim ,[4]

Svakom primamom modelu odgovara jedan dnntni problem i obmuto, Priniena dualnog mođela se koristi za pojednostavljenji1 matcmatičkog modela, u eilju hržeg pronalaženja optimalnog rešenja, prcko manjeg broja računskih opcraeija, l proSćenje modela je usmercno na smanjcnjc dimenzija problcma. koje se ogleda n smanjcnju dopunskih i vestačkih promcnijivih. Kad god jc moguće i?.bcći vesiačkc promcnljivc, trcba primemti dualm mođel.

Tako na primcrt kada jc đat opsti primtimi cidatak, kođ koga su sva ograničertja sa znakom lL > moraju sc u naćdu, oduzimati dopunske i dodavati vcStaCke promenljivc, Ako bt takav zadatak prevcli na opSti dualni zadatak, pn čcmu sva ogranitenja menjaju znak u “ < ll, tada bi dodavali samo dopunske promenljive. RcScnjc prijnarnog probicma prcko duatnog problema preporučljivo je, skoro, u svim sluCajcvidcia kada u prim am om zadatku poslojt vcći broj ograrnčenja od broja ncpoznatih. Na taj način rcšavanje matricc fcda m avodi sc na rešavanjc matricc rcda n, tj. na sistcm od n jednačina sa m ncpoznalih n ■ m Za rcšavanjc dualnih problcma mo?e sc koristm biio koji algoritam simplcks mctode. To nam govori da nema nikakve razlikc u rcšavanju pnmarnog i đuditOg modcla,

Izmcdu pnm am og i dualnog modcla postoji ir.vcrzija u pogledu zahteva:* Ako sc u primamom modelu trazi maksimum (rninimum) funkcije cilja F(X)t

onda sc u dualnom m ondu traži mmimum (maksimum) furJccijc ciija G(Y)>

JJ

OPERACiOM ISnilZlVASJA

■ Dualni modet ima onoliko promenjivih yT> /“ ! , 2 , m, koiiko prim&rni model im^ ogrtiEiiconja,

* Dualni model imđonoliko ograničenja, koltko primarnj tnodel ima protncnjivihXjt J 2 hh.ii,

■ Slobodni članovi, u ogranićenjimii primamog modcla, postaju koeilcijcnti uz promcnjivt: u ftjnkciji ciija G(Y) dualnog irtodclis.

* Kcjcficijenti c, u/. promcnjivc n funkciji cilja priinamog nmdclit, postaju slobodni ćlanovi u ograničcnjima dualnog modcla,

* Smer nejednačina u ograničenjimj dtialnog modela jc suprotar. smcm ncjednačina kod ograniČenja pdmamog modcta.

U zavisnosti od tipa 3 smftra pojedšnih ogranitcnja primara, razlikujemo dve vrate dualnih modela:

1. simeirični i2. nesimetičm duair.i mode[.[lJ

1.5,1, STMBTRrČNI DUALNI MODEL

Ako su sva ograničenja, u primamom modclu, istog tipa i smera, kažemo đa se radto simetričnojti modelu. OpšLi matcmaiički oblik pritnamog naodela g]asi;Max F(X) ■* ct xi + cj x> +...+ c„ xu ' p j f T QifXr

/i r ■ n r ■ ■ r ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1 1 1 n 1 1 i t r n r r i r r r » i i i i i r r i r r !>■>»

Umi Xt + $*2X1 + — +

Xj> 0 ,7=1,2.....rf (11-3)ili n skraćenom obiiku:

m a\ F{X) —

n ■

< b. , za / = \,2T,r.,toM ^

Xj> 0, } '= L2,.hhtMDuaini model, koji odgovaia primamom modeiu (1.1.3.) dobija oblik (1.1,4.) prt čemu je, za cazliku od primamog modela gde se traži maksimum, ovde potrebno odrediti ininimum funkcijecilja G(Y).

M rnO O O ^ b j yt + b:y: + + hmy* ,' p-o.: aIft >v + Q:i + vMt ym > Cj

~ tiih>7 + a>2y> + ,.. + a*2 yni > c;

y} + a y 3 + . , . + am„ ym > cflP 1

Parametri modeia kao 1 stobodni tlanovi mogu imati poztdvne tli negativnc vncdjiosti.

5d

Lineurno programiranjđ

y,>(h i = 1,2..... m ( I .IA )

i S t u sk račenDin obl i ku: miJI G (Y) bt v,ja]

Mtp,o,: - c < *7a

i=-1y , > 0, i = 1,2,,.,, m

Primama - đuahia tahela LP prikazujc svc parametnc LP (avi b; i c}} i kako se oni koristc za konstrukciju dva problcma.[4]

PRIMARNA - DUALNA cabela LP

I>RIMARNI problem Koeficijent Desna

stranaM ■V*

2 E-i £ c ^ D S Q 5.

---------------

cuVu*

:

tiit■ a i2 at„

Vl

y* . .Koeftcijenti

funkciju cilja (minimizimtt)... ■ ■¥ P “■+ ■

■ iH

Dcsna stranat------------------------------------ 1 > ct — ------------------------Koeficijenti za funk.cijtL

cilja (maksimizirati)

Prikaz ove tabcle prikazačemo na konkretnom prim enr

Prim ei' L 13. TitiHsform acija p rim a rn o g proh lem a u đuahn

Pti&arni prohiem:Max jF(3? - 4 % + 6

------- i

Min G(%> = 9 v/ + 25 y * + 3p,o.: Xj + 2 X_> < 9 p.o.: js + 5 ^ +>,{ > 4

5xt + 5xj <25 +5 ^ > 6x:j < 3 t

Jjjjr, JCj > 0,

PRJMARNA- PUALNA (abeh LP

PR]MARNTI problem Koeftciient

Desnasirsrta

.^ S j 8 <č —i £

sQ P-

1 §

1 2 < 9 Koeficijenti 2a funkciju

(miniinif.irati)5 5 < 2 51 0 < 3

Desna strana > 4 > 6

. ______________________________ .

Koeltctjenti za furikciju (maksimtziratt)

5?

r

OPERACIONA ISTRAŽIVASJA

L5.2. NESlMETRrCNI DUAL.N1 MODEL

Kada su agraničonja u pfimamom modelu riizličiiit£ tipa i smera, kažcrno da sc mdi n cifaa/m;;*) (desimetrićni primami cnodet moJ;e sg uveksvcsii na Fiimetrični model).

Ako au ograrLtčcnjaf u prirriarnym moddu. različilog npsi i smera ćiju funkciju cilja F(X) minimiziraimi (niksimiziramo), tzda če se dualnom mcdelu tražitt mak.vimum (miniimim) funkcije cilja G(Y)> i sva ograničcnja ČO btti istog snrera t tipa.[ 3 ]

Teoreme duafn osti

NaveSćemo osi’iovnc teoreme kojc daju vczu ttm eđu primainog i dualnog modeta, bc?, njihovog dokazivanja:

Teorenai 1: Dual duala je primar.Teorema 2\ Ako jedan od zadataka (prtmami iii dualni) ima kouačno optimalno rcšcnjc, onđa i drugi zadaiak ima optimalno rcSenjet pri čemu je mimmuTn {maksimum) funkcijc cilja F(X) prtmara, jeilnak maksimumu (minimumu) funkcijc cilja G(Y) duaJa

A * (X) = (Y)

Fni(ix (X) = Gmih (Y)gdc je

X » ( X* x:, T+.* x $ %Y = {y h y:. *.*t y*y

Terrrema 3\ Ako pnm ar (dual) ima neogranićcno oplimatno rešenjtf, tad;j dua! (primar} ncma dopusiivo, moguće reSenje.

Teortma 4\ Za svako dopustivo reženje X primara i svako đopuMivo reienjc Y dualaT sve dok se ne pronade optimalno re5enjc> vrednost funkcije cilja G(Y) duala, kojoj se određuje mmimuni (maksimum], je veća Oc tnanja) od vrcdnosti funkcijc cilja F(X) primara, kojoj se određuje makstmum (mirimum) funkđje cilja, !|

G ^ O O tF ^ P O ili Fftm

Gmax (Y)<FmJX ) ili Frfijn <x) > o ^ m

Te&rtma 5: Dopunskoj promcnjivoj x ^ s ii primara, koja se nalazi u optimalnorn rešenju, c»igovara realna promcnljiva yf iz duala i obmtiLo, rcalnoj promtnljivoj x \? primara, u optimalnoiu resenjti, odgovara dopunska promenljiva iz duala sa nultom vrednošću, ij,

PRIMAR ~> DUAL PRIMAR DUAL

gdeje ().1.5.)-‘„ .r .v , = 0 x t - y „ t = 0

( i » !t2, m) (j * 1,2, ,+<tn)

$8

Prdpo$tavimd da je dobijent> optimalno resenjc dualnoi: /adaika, čiji maksimum tmîmo, primenom algonuna simpleks tabele. Tom pnlikom u redu CrbH a u kolonama oriih slobodtiiLi promcntjivih duala, koje nc nkze u reSenjc, svi koellcijenti su pozilivni, tj. žadovofjavaju usltiv G rb ^0- Tada optimalno re&enje primamog zadatka, čiji minimum tražimo, pređstavIjaju koeficijenti iz reda G rh onih duahiih promcnljivih, kojo ne Lila/e u rešetije (pripadaju kolonama slobodnih pvomenljivi h),

Drugim icćima. ti koeflcij&nti postaju slobodnt članovi kolone X Q u phm anioj simpleks tabeli. Tom prilikom optimalno refeenje, u koloni B primarr.e simpleks iabeJc> iin e one baznc promenljive određene prema (J ! 5 1 što se u konatSnojtabclt prtkazuje strelicom { ft ).

S dmjjc stranc koficijeiui i/ kolone Y,7, dualne simpleks tabcle, uzimaju se sa obnuitim m akom (rninus), i predstavljaju koeficijcnic u poslcdiijcm redu Fj-Cjt a u kolonama otjtib slobodnih pmmenljivih primam, koje tie ulaze u rešetije, primamc simpieks tabelečije reSenjc tražimo. []]

Pritner 1.14.E)at j c priinam i zadatalc Mtn F(X) - 2.r, + 3x*

p.o.; 4 jtv > 4 06 x j > 4 8

xh

Du&ini nif>del za zadat^k funkcije cilja ima iznalažcnjc maksimuma:

Max G(Y} = 40 v; + 48 jn

p.o,: 4 yf + 6 » < 2H yj + 8 yz < 3

y i,y : > 0

S!cdi uvodenjc doputiskih promcnijivih u matematički motlel :

max G(Y) — 40 uj + 4S uj + 0 uj + 0 uj

p.o. 4Ui +6 U2 + Uf “ 28ii * + 8 >s + u4 = 3

u ir u2r Uit u4 > 0

Litiearno p ragrt] m tranje

59

Počđna simpkks uibeLi duala jc:

OPERACIONAISTRAŽIVANJA ___

c f t

4 0 4 8 0 0

yt■ - |

yj > v

0 r .

1 / 3

2 J

! 2 / 3.i—

4

Il.--------- -- j

> 4 = 6

1 16]

0

0

0 3 1 K 8 0 1

0 - 4 0 l - 4 80

0

bU kolonama K,>40<0 i ^:-4S<0, posToje negaitvni koefkijenti. Prema krhcrijumu za izbor promenljive koja uhiA u naredno lešenjc odluČujcmo se za promcnljivu

V- <=Prcma najmanjem pozitivnom koliCniku kolorsa Yt} i Yt iz rešenja izlazi proinen- Ijiva vj.

y , < = V)Dobijamo tabelu Tjj:

c ra n 40 48 0 0. Vt yj B Yj

48 >:> 1/3 2/3 l 1/6 L 0 '

o i, 1/8

1/3I

A = mI i 0

; -1/2 -4/3 1

a - 16 -s 8 o^ ----- L

bKako je u kolom 30:-8<0 to postigiiuto rcšenje nije optimalno, U naredno rcienje ulazi promenljtva v/

p ? * = y t .. ......................................

a iz reScnja prema najmanjem pozitivnom koliiniku kolona Ya i Y: iz reSenja izlazi promcnljiva>jj.

Vj *= V/

Dobijamo taoelu T-j:

Tu

c---------- v 40 48 0 0

_ 1 _ _J?±_ _43 ] /4 0 1 Ifi -140 1/8 1 0 *1/2 0

ft !7 0 0 4 3ft x] ft x[ fl x* ft x*2

60

Ltncarna progra m iranje

Kako li i cdu Ctrhfr a u kolonaina slobodnih fnomtriljivih nema negaiivnih koefictjenata, to je postlgnmo resenje duahi ujedna i optim aho, Optimalno reSenje dufila glasi!

y[ - 1 8,JP; 3 l i 4 . j 'j = J 'i = 0 ; ^ ( V ) = 17.

Kada sc pronađe optimalno rešenje dualnog zadatka veoma Eako, prema (1.1.5 ), možemo proCitati i opiimulno neScnje primamog zadatka. Tabela T^, dualnog Aidalka, sndrzi i optimalno rešenjc prim am og /adttika. OpiiiriEilno reSenje primamog â<iatka natazi se u rcđu Grbit a u kolonama slobodnih promenljivah duala )‘t i hoje ne ulazc u rešenjc, 1j.

y, =* = 4

y* — = 3 .

Dopunskoj dualnoj promenljivoj \ r, koja je vao reSenja, odgovara pnm arn j (realna) pTomenljiva v,. koja ulazi u resenje prim am og zaciatka, n dopunskoj promenljivoj y 4 duaJa odjôvitra primarna promenljiva x? (Ubela

S duae strane, prema (L l .5 ), koeficijenti i z duaJneprom enljivejT; i y: iz kolone koje ćine hazno rešenjc. dualne simpleks tabelc uzimaju se sa obmtitim znakom iminus) i predstavljjn koeficijcme U poslednjcm rcdu F a u kolonama onih .nlobodnili promenljivih primara {.Vj i X 4)t koje ne ulaze u rešenjc prim am e jimpieks tabcle, čiji mtnimum tražim o (tabela T*r),

Može se rcći da će svi koefieijenti u redu C -bit a i u kolonama onib slobodnih promenjivih duala kojc nc ulazc u resenje, predstavljati vrednosii za prim am e bazne promenjive koje nkize u optimalno rešcnje, tj. ti koeficijcmi postajn slobodni Članovi k o io n e Z Fprim am e simpleky tabele.[l |

Isti primer je rešcn kao pnm am i zadaiak u primeru 1J .4. 1/nalaženje optim alnog reênja ovot: probicma zahteva pored uvođenja dopunskih i veStacke promenljive, Matematički model (1.1 ć.) dobija ohiik:Mir. F (X )~ 2v, + 3x2 + 0.¥j + M x $ + M X t

p,o.4jci + S x j-jc3 4-jt5 ** 40 (1.2.)6xy t 8a; - x* + Xf, - 48

X^X2,Xh X4,X5,X&> 0

\a k o n rtrsiivanja prim am og zadaika po defmisanom algoriimu sim plcks tabele, konaćno rcšcnje je dato u tabeli T ^

_______

c---------

B Xo2 3 0 0 M MXf Xi Xi Xa

3 _ | X ; 3 0 I -3/4 -1/4 0 " *1T Xt 4 } 0 i -1 1 0

F- 1- f J n

17 0 0 -1/8 *■1/4 0--------jo 0 0 0 0 i - i - i

ft .v.; f r * tr >>; fr y;fi!

OFERACIONA ISTRAŽžVANJA

Knu sio jc vidi u tabeli T:.} primara, dn bi odrcdiii optimalno rcšcnjc duala, pomoću limpleks tabclc, dovoljno jc dodati dvc dopunskc proincnljive ( ;v i yjX dok je kod primara poirebrio odu/eti dve doputiske pfomenljive (rYj i .Vj)t a zatini radi fonuiranja poćetne hazc sa jedmičnom niatricom, doflati i dvc veštaćkc promcn]jive {xs i Tako sc kod primara dobija inatcmatiiki modc! sa n = 6 promcnljivih i m = 2 ograniĆenja, a kod dualnog modela sa m - 4 promcnljivih i n-2 ograničcnja.

Prctna tomc, koeltcijeiui /-tbs rcda aitnplcks [abclc đualnog zadatka odgovaraju kocficijentiina sa promenljivim znakorm H e kolone simpleks tabele primaroog zadatka.

SliCno pravjlo va# i /a slučaj nalaženja mmimalne \-nednostL dualnog zađatka, primenoja algoritma simpleks tabclc, Tom prilikom sn n red i Grb; a u kolor.ama onih slobodnih promenljivih duala, koje nc ulare u re.senje, svi kneficijenti negativni, tj. zadovoljavajuuslov Grbt<W Tada rešenje primamog zadatka, čiji maksimum u-ažimo, prcdstavljaju dudnc promenljivo sn istim kocHcEjcrstima, kao u rtidu C7r ffJt ali uzcii sa supEottiim znakom fplus), ij. kocflcijcnti postaju slobodni članovi kolonc Xo primamc simpteks tabele. Torn prilikom optimiLino resenje, u kotoni B primame simpleks tabeEen ćine onc bazttc promcnljivc odrcđenc prema ( 1.1.5.)-

Grafičko reSenje datog prtmera datoje na siikama 1,18. i 1,19,

S druge stranch koeficijcnti iz kolonc Y0 dualnc simplcks tabcic, predstavljaju vrednosti u poslednjcm rcdu F-Cj, a u koionama onih slobodnih promenljiviti^ kojc ne ulaze u reScnje, primarne simpleks tabcle sa istim znakom.' 1]

* 4

Siika 1.18. Prikazprim arn^g zatlaiku

62

Lineanif> progrnmirtittje

Oprimalno reScnje priniam og nalaî se u tacfei B s;i knordinatama: x ‘ = 4 i

a\ — 3 Minimalna vrednost funkcijeciljaje : F mjt] ( A") = 17.

Optimalno reženje duainog zadatka nalazi se ti tački B sa koordinatama; y \ — l 8

[ vl - 1 /4 . Maksimalna vrednost funkctjc ciljaje:

f ? „ ( y ' ) = i 7 .

Shka 1,19. Prika- duahun* âtiuika

DUAL

/■fv)^4a\y ^vr

9- * y i

L5-3. HKONOMSKA INTERPHRETACIJA DUALNOG PROBLEMA

Ekonomsko objašnjcnje dualnog problema sc dircktno zasniva iiii nimačenju primamog problema {problemu I.P u svom opiicm ob lik ji prikazanog u poglaviju 1,2, Primami problcma će biti predsiavljen sledećom tabeLom:

InterpreiacijaXi Nivti akijvnosiu' C/-/.2.J, ■ .'0

Ccna po jedinid aktivnosti/. m __ Ukupna cena svih aktivno$ti

K Kciličina raspoloživoii rLsursd t ( / - f,2,3.....m)Količinu upotrebljeribg rtsursa svake jedinice aktivnotti;

Da bi sc dobila krajnja interpretaeija dualnog problema, krenuće se od duainih promenljivili>*/Ty>........ > v Ako je

yo~ b ty t + bi¥i + + b™ ¥*1 afco je vhp ircnutna vrcdnost F(X) u bijo kojoj itenict ji simpleks metode. Preina tome,za date v rednosti r/. y;.......... y m date u redu trenutne iteracije pnkazane usimpieks tabeh, v, je trcnutm jediniini dopnnos ukupnoj ceni resu rsaf(/“ / t2 ,i ..... n ).

61

Dakle, li poskclnjoj sinipkks tabcli primera \ 14., koja prcdstavljjboptinmlno režfenje, vrednosti V; - \ 8 t y 2 = l / 4 t govorcr koliki je jediniCni đopa'inos svakog pojediriiitinogroaarsa ukupnoj ceni i lo:• y \ ~ 1 /8 - pojeđinajčni doprinos svakc jcdiritcc viumina Cukupnoj ccni jc 1/8,

* —1 /4 - pojedinaični doprinos svake jedinice vitamina D ukupnoj ceni je 1/4.

Stoga, vrednost funkcije cilja duainog problenli ćc biti:G(Y) - 40 y) + 4S y> =* 40 (1/8) 4 48 (1/4) « 40/8 + 48/4« 5 + 1 2 - 17,

RaKpoređiv&nj« udela svakog od o\'ih rešutej u ukupnoj ccni ijtoždia može na prv'i pogled izgledati da jc odrcdon priliino protzvoljno, poiplovu u stuiaju kida bi se pojavila opnmaJna vrednost y f koja bi iista jednnka nuli (očigledno je da svako ogrflnićenjs koje opisuje raspoloživost resursa itekako utiie na ukupnu vrednost fuokcijc cilja). Tpak, ovdc ;ie u stvari radi o zaisia prcci^noj racionahzaciji učcšća kojc svaki itcsuis ima u ukupnoj ccni,[4j

Tačnije, yt predstavtja gramčmt vrednost resuisa i, koja u stvari predstavljaVTCdnost pusiti koje funkcija cilja moŽC daljc rasti ako bi se povećavalo uzvažećc postojećc rctactjc kojc sc koristc za dcdnisanjc primamog rcšcnja,

Da bi sc ova interpretacga primcnila na konkrctuom primeru, ispitačc sc šta sc desava kada se svako pojed'mačno ograničenje resursa (/?..) smanji za. I (sli.ka 1.9.). Treba primetiti kako se taćka V ( x 4, .v_> ~ 3} koja predstavlja oplimalno rešenje1"' u kojoj jc vrcdnost funkcijc ciija F(Xj- ! 7, pomcra u tri slučaja (/= 1,2,3) i tci>

>\ = 1 /8 i

1) X; “ 15/4, JCJ - 25/8 za F(X)~l§[5/& ( A F (X ) / g = y/ \ )

2) xi -■= 7/2, X? = 13/4 za F(X)= 67/4 ( A F ( X ) = i / 4 = v J )X-yf

OFERACiOÂ f&TRAŽlVASJA___________________________ _______________________

5/tAa đp/i/ndmA reêjy'ii

fi Opiimabo resenjc: jc debijcno presekom dve prdve koje predstavljaju ograničcnja koja dcftniliu dnevnc poirebe za vilaminima C \ D

64

Unearno prog rc m irtntfe

Ova imcrprctacija đualnih promcnljivih veoma konsna pri primeni LP na koiikretnim problcmitna u praksi. To je zbog loga što u stvamosti postoji odrcđena fleksibilnost u raspoređivanju udela svako^ pojcdinačnog resursa. uprkos lotno š;o se fom iubcija opšteg modela LP zasniva nn predposlavci da su ograničenja b\ ncpromenljiva. U ovim slučaje\ ima? vrednosii bt■, koriščene pri formiranju modela LP ustvari predstavlj'aju predposUsvijen u vrednost ograničenja ođređenog resursa, Nakon posUzanja optimalnog reênja datog modela, koriste sc dualne promenljive (u ovom kontekstu se često nazivaju cene u sencig) za odredivEmje da Ei je potrebnai/mctia rasporeda resursa Cena u senci y t resursa ; prcdslavlja (miniinalmi)

jediničnu cenu koja se mora platiti da bi sc smanjio udco datog resuriia Ako je prateća cena manja od stvarne vrednosti jedimce određenog resursa, tada se udeo rcsursa treba smonjiti sve dok prestaje da vafci odgovarajuća jcdnacina,[4]

U problemu odrtđivanja optimalnog jelovnika, bolnifki nutricionista ispituje da li je moguće smanjcnje potrebne clne\ ne kolieine vitamina C i D Međutim. potiebne dnevne kolifine viiamina kojfc se naJaze u ove dve namimice b- - 40 i b j^ 4$ bi se mogle đalje smanjivati sve dok posioje presečne taćke prava koje defimšu ograničenja poirebnih dnevnih količina vttamina.

lnterpretacija opšteg dualnog problcma bi bila:

Ako direkmo primenimo počemo rumačenje dualnih promenljivih*

n * ) ,irt

jc trenuini doprinos ukupnoj ceni resursa koji bi se mogli koristiti po jednoj jcdinici akti\nosti j ( j - l t2 , ... * n).

I)akteT poSto je s} dato kao vrednost koja predstavlja jedinićnu cenu akiivnosti / nejedr.ačina koja optsuje ograničenja:

m

X ' V ’. S c /t*4

1 shadpwprices - cene u senci [4, st.&3)65

OPERACIOm ISTRAZiVANJA

kađa bi r#ursi hili kortsčeni za vrSenje Ove aklfvnosti SltCnn tomc, žkhtev nenegativnosti:

£0kazuje da svaki pojeđinačni doprinips resursa i (i- t, 2, m) mora biti neuegativan, U suproinum, bilo bi holje uop3t| nc koristili takav resurs. Funkcija cilja:

palsc m dje osmatrati kao miniini/iranjc ukupnog Uticaja vrednosti utrošenih resui^sa korisćenib u obavljanju aktivnosti.

ne-baztie promeflJjive pri forrnn]atiji primarnos problema, Ako osnčvne promenljivc {samo nene<zalivne promentjive) uvek kocfieijenL nula u redu Fr cr Pnetna toin&, za svako bazno prihvatljivp resenje (JC|. % ......v ^ J ,

Ekonomska intcrpereracija sc bavi samo aklivnostinia j kojc imaju Jiamo pozitivne vrednosti (r\j>0), i tada graničnc Viednosti utrošenih resursa moraju biti jednaki ceni ove aktivnosti,

Granicna vrcdnost utrošenog resursa i je nula (y, --0 } kada kod nije jds uvek iserp]jena mogjićnost snabdevanja datim resursom korišćenjem resursa za aktivnosti (jtn+1. > 0). U ekonomskoj terminologiji, ovakav resurs se naziva

Eoari robom mora pasti na vrednost nula po zakonu ponudc i nabavke, Ovim se Kadovoljava interpretacija futtkcije ci]ja duainog prOblema kao minimiziranje vrcdnosti okupnog učešća utroSenih resursa, prc nego \Tcdnosti ukupnog učeSća raspoređeniti reaursa.[4]

Inteipretacija đualnog problema takođe ontogućava ekonomsku interpretaciju koju obavlja simpleks metoda fonniranjem primamog problema, Cilj simpleks meiode je da iinađe nacin upotrebe mspolo/ivih resnrsa na najprofitabilniji l aftjisplaUviji načiti. Ovo iahteva dosti/auje počctnog prihvatljivpg rcScnja koje zadovoljava sve zahteve isplativog korEšćenja resursa (ograntčenja dualno^ problema) koja se sastoji iz uslova optimaJnosti ovog postupka. Za bilo koje dato početno i'ešenje, zaiitevi (dualna o^ramćenja) povezajii sa osnovrdm promenljivima, su automatski ispunjcni (aa jednakošću). Ipak, oni koji su poveâni sa neba/jćnim promenjjivama mogu ili ne moraju bit zadovoljena. Naime, ako je prvobitna promenljiva Xj nebaziCna, tako ca aklivnost j nije korištenar tada trenutni doprinos cenama rcsursa od kojega se tra/i da preuzme svaku jedinicu aktivnosti.

0 Vii interpretacija bt se moglti još poboljšati ako bi se ra/.iikovale osfiovfiđ (hazne) i

v, - 0T ako jc > 0 (i=L2 .m).

fteego$d - -filohodna roba [4, st.84]66

f u i ..... &)*■*' -■ 1 1 Jm

niogii bni ili manje {<) ili veće ( £ ) cid jediniirne cene J koja se mo2e dobiti vrsenjtm aktivnostt, Ako jc 011 lnanji, tako da {F < y 0 u rcdu F-c sim pkks labelc, Uida se ovi resursi mogu koristiti m isplativiji način ako bi se počela vršiti ovn aktivnost, Ako je ot\ veti, tada su ovi rcsursi već negde dudcljeni m isplativiji iMtin. pa oni ne b: trebnli biti dodetjeni a td v n o sli}. Slicno ovome. ako se /anem ari tia je promcnljiva ,i„ , nehazićna, tako da tikupna je izvrsena potpuna alokacija bf resnrK* t\ tada je v, trenutni đoprinos ovog rcsursa ukupnoj oent u grantčnim uslovima. Dakle, ako je yj < 0, ukupna cena se može povećati smanjivanjem iskoriSćavanja odrcdeno^ resursa (npr. poveeavanjem x#*,)■ Ako je y t > 0 , nije ispiam o potptmo koriSćenje daiog r^sursa.

DakIeT ono 5to $impleks metoda prijnenjujc da bi pronašla isplativije rcSenje od postojećeg je ispitivanjc koliko bi prirastaj svake od Hčbazičnih proinenljivih koje se na la /e u početnom rešenju u tiie na prirastaj ukupne cene Ako nijedna od njih ne obezbeduje porasi Likupiie cene, ij. ako nema potenctjalih tzmena lli porasu prDntenljivih koje b i ro/ultirale dobijanjem baEjeg rešenja, trenutno reSenje mora biti optimalnć. A kojedna ili vise prom enljivihs svojoiii medusobnom iitmcnom ili promenom vrcdnosti obezbeduju bo3jc rešenje od onog koje sc nenutno razmatra, bira se ona promenljiva koja ako bt se povećala /a i T obe?beduje najveći priraštaj ukupnoj funkciji cilja Povećavanjem ove promcnljivc (ulaskom u počemo rešcnje) za onotiko koliko se neće promeniti granične vrednosti datog resursa, Ova promena rezuHira dobijanjem novog osnovnog rcšenjn sa novim redom Fr v} (dnalno rcsenje), i ceo proces se iznova ponavlja svc do posiizanja optnnalnog re5cnja.[4]

_ _ _ _______ ___ _ LttHi'amo programiranje

LTTERATURA

[1] Lckovič M., Teorijcj t metode adhičiranja> kvantitaiivna anaiiza, 1-konomski fakultet, Pristina, 1998.

[2] Lee S.. Moore L., Tay]oi B., Munagenu'nt Science, Allyn and Bacon, SAD, 1990.

[3] Anderson D , Sweeny D . Wi]liams T.y At\ htirođuction to Managemem Scienc€f Quantitaiive Approachcs to Đcctsion Making, West Publishing Company, SAD* M inesotap

[4] Hillicr F,: Lieberman, Opcratinns Resea?cht Holden - Day, Inc., SADt San Francisko, 1974

67

Tran$p6rti\i pivblem

2, TRANSPORTNI PROBLEM

2.1 i VOD

rranspoitni problcmi Zđiu/imaju značajnu utogu i* ukupnoj ekonomtji svakog Uruitva postbno ako se ima n vidu vaSnost tr/išta u savrcmcnoj privredi. BuJuči da transport prcdstavlja vcm između proizvođnjc i poiroSnje 10 transportni iroSkovi predstavtjaju značajni deo eenc proizvoda zbos; razdatjhie između izvora sirovina sa jednc sirane i proizvotlačn gotovih praizvbđa tj, potroSaOa sa druge strano. Koncepi transportnog problema obuhvata različite vrsie probtema kojt se javljftju u procesu iransporta robeh sirovina, maierijala i Ijuđi*

7 a rcSavanje ovakvih iransportnih problema, koriste <te metode pnm erjene matcmatike poznatc pod nazivom tmnsponne mctrniv Prvi put o \e meiode pređstavili su u svojim radovima L V. Kantorovič' i F. Hitchcock2. Od domačih autora radovc na ovu temu objavili su J. Pctrič, M. Tourki, M. Backović, M. ] ekovie i drugi brojni anlori L ovt>j knjizi prlkaz iransporlnih metoda jc baziran na re/Liltatima prika/anim u radovtma navedeaih autora,

Transportne metođe se primenjuju na mnogo sire obiasti a ne samo na klasične pToblemc transporta. Mnogi problemi koji nisu Iransporlni u užem smislu te reči, mogu se fomiulisau i rc£iti na isti ntičin kao i transponni problemi. Ovc mctode se motia koristiti i za pronalažcnje optimalnog razmeitaja mašina u okviru po(»ona, uptimainog razinestaja slu?bi u okviru preduzcća, opttmahtog izbora radnika za obavljanje određenog posla i slicno

Ako postoji lineama zavisnost izmedu troškova transpona t količina kojc se transportuju, tada se govofi o lineamim transpprtnim jsadacima. Transportne mctodfi kojima se reSavaju ovakvi zadaci predstavljaju specijalni slućaj metodc ]incamog programiranja Zbog toga ie razvoj mctoda lineamog programiranja uticao i na razvoj transponnih metoda. Takotle, razvoj ineloda nclincamog, m reinog i dinamičkog programiranja omogućiio jc usavršavanje različitih ncltneamih transportmh metoda. U ovoj knjizi bićc refii o tineamim iransponnim mctodama.

.'[.H.Kan ropoEtHH: 'M;itcm;lih'icckh£ mctoai: oprammumi H itnaKKpoaaHHja npoH^Bon- ciua’, 19392 l'rank ]l. Hitehcock, Tlic Distribution o f a Produt t from Severfcl Sources to Numerous Locaiilics’. 1941

Specifičnost transportnt mctodc sastoji sc u ođrcđenom pojednostavljtvanju sistcnia ogranićenjt,

69

OPER A CiO V ) /STS, iZl I : i,V./.4

2.2 MATEMAHČKI MODELTRANSPORTNOG ZARATKA

Transponni /atiaiak se moze defioisati kao probkm odrcđivanja optimalnog plm i transporta ii tn polazmh tačaka (otpremnih stanica) a , J - I t2.... m du n krajnjihtačaka (prijemnih stanica) B tij = \j2„.*tn . PoJazne tačkc mogu biti određeni

proizvodni cuniri. skbdista iz kojih Sc transportiije mha i sliCno, dok kižijnje [aćke mogu bitj sklađi&ta u koja se transppfluje robii. poirosućki tztrncri i stičoo V ovoj KJijizi biće kori£tt;ni tcmiini polazne i krajnje taike, t ’ilj je pronaći p!an tranapOfta koji jc optiFna]an u smislu fcoji definise funkcija cilja. Kritenjuir! opiim ainosii defttusaJi funkcijom cilja najčesćc jc mmimizacija cenc tmnsporta,

Prilikorn formiranja matcmatičkog rnodcla transportnou zadaika poznah sii sledcci podaci:■ broj polaznih lačaka m i kolićine robc raspoložive u svakoj pola/noj taCki

.'i ,; = 1,2..... m koje se obeležavaju sa a , i = .

* brcij krajnjib tačaka n \ kolićine robc potrebnc svakoj krajnjoj tačkiB J = \.2,— n koje sc obcležavaju sa btJ = 1,2........ n.

* aoškovi prevoza pt> jcdinici ro^c iz poln/nc tatkc A - l,2 ,*vn do kiajrje tačkeB, >j = lt2.....n kojc se obclcžavaju sa t if , / - l ^ . ^ m J

Po svojoj pi irodi, ove vcličine ne m ogu biti negativnc tj, važi uslov;

<j' > 0 tbj >tcti >0 , f = j = L2.....n

Usvajii sc pretpOStavka da se rađi o transpoitii jcdnt; vrstc rubc ij. sve raspo!oži\Tc i sve potrebm: količjre robe sc odnose najcdlUi ištu VrStU robc.

I'ransportni problcm sc možc formulisati na stcdeći naiiti: Potrebno jc odrcditi koJidinc robc j r J = lh2 t. . ^mt j - l,2*+.fln kojt trcba prevcsti \t polaznih tafaka

At,i do krajnjih tačaka B . , j - tako da raspotožive koliCine

robc afJ = lt2y„.%/n bndn iransportovanc iz potaznih tačaka i đa pri tom potrcbnc kolitiiie robc b , j = \y2y.„tn budu iransportovanc do krajnjih tačaka. Pri lomc

nkupni troškovi transporUi Ireba dft budu minimalni

Scmatski prikaz transpormog problcma je dat na slici 2.L

Ukupni troškovi prcvoza predstavljaju, daklc, funkctju cilja i ona se moic izrazili kao:

M /=]

70

Transptirtni prohtem

Sistem oaraničenja so mofr: prcdstaviti na sledcci naćin:I Ukupna koltćtna robe koja sc prcvozi \z jeînc poln/nc uićke A .i = 1,2.....m

do svih krajnjsJ: učaka mora tla bude jednakEi raspoloživoj količini robc u loj pola;:noj tački a J - 1,2.....m.

2. Ukupna količina robc koja zc ispomći u jednu krajnju tačku B t j = U2.....n iz

svih polaznih tačaka mora da boda jedr_aka koljfiini robc koja ta krajnja Učka poiražuje b}fj = 1 2 , . . ^ .

m^ j 3 L2»-..|W■T-»t

3. Kotičinc lobc koje se tranaportuju moraju biti ncncgalivjfle:X„ * o, l lt2,,Tr, J

0. a i

4 1 4 ■K— ------

C X fllFi » '«« * " <r>n

Siikn 2. /. Sentd tranšportnog problcma

])aklch maleinatički modcl trknsportrtOg /ždatka glasi:

Kati-J tainf(_X) - min ' /

oi'EtiAciona istra t i \ \ i \J a

pn ograničcnjimat

X > „ = « .j-t

=*bt J j = l*2.....n

- — x > 0, / i - 1,2.....rn, j - [,2......;ic ^

UpoiMujuii nktipan obiiti ponude « svitii po!a/nini tafkama A ,i = 1.2.....m i ukupanohim poiražnjc u svim krajnjiirP tačkoim B. , j = L2.... /r pojavljuju se dva siuuga:

a+ Ako je tikupna ponuda jednak;i ukupnoj poiražnji tj. ako- važi:

i Hdi o zatvormom transportnom mođetu* Zatvorem u aJisportni model sejoS naziva i standardfti iii izbalansimiii mođcl.

b, A kose ukupna ponuđa i ukupna poiražnja m/likuiii tj ako va2i iti ■ ^

I > . * ' L b) f>l j-i

rađrse o otvprenoitt rransporrtiom modeiu koji St naziva jos i :?cst&rđardni ili neizbaiansirani mođel.

Ccnc prevoza po jcdiniei robe se obii-no zadaju matricom ccna koja se naziva jo£ i strondardiia transportna matrica:

'ii

2t

12 Ji?

C2n

Skraćeno matrica cena sc obeležava sa:

t.■! i;

r/OPromerJjive x r/ koje formiraju rešenje mogu se i .kodo pvedstaviti jobliku matrice:

Transporttii prpblem

Skraćcno ova matrica se obftJežavs sa:

* l > -

f'odaci koji figuiiSu u modelu transportr:og zadatka mogu se prcdsiaviti ti tabelamom obliku:

*> & ...

4 3t C)2 ■ ■■ c u

*11 A l2 x uJL-fc C,; C2l

...£ i«

^2j *72 X 2n

*j _ ■ h ■ ■■«■ ■ ■■ li> l!h

A ~C «l C«t2

...^Mri

Yjnn

hE + + K

Tabela 2A.

Posmatrajrap sada Kistem ograničenja koji sc može zapisati u analitičkom obliku;

x,, + * - + . „ + * , - a t

■ - T - B ■ 1 B P - I B B 1 B B 1 B B 1 9 B E 1 ■ ■ 1 ■ U I ■ I I

* „ I+ -V > + ■-+*„„ = « „

-r l1 + 4- r j- + vI L JT- ^ || I

* 1 2 i i h l k l H h H i i H F i i p t r \ 'i”11 •+ Xml

= A

= *,

h š. ■ -r ■■ ii ■■■. ■■■■ ■

r lfj * x 2n + .

! P " f M l f i » t l £ + !

,+ * =/?f n n

Sistem ograničenja čine jednačine kojc su međusobno liucaruo zaviaie. Poslednja jcdnačinEi sitema može se dobiti tako Sto se od sume prvih m jedm čina ?.a polazne lačke oduzme suma n — 1 jednačina za krajnjc taćke. Dakle, poslednja jednačina sistema sc može zanemartti tako da se sistem svodi na sistem m + n — I iineamo nezavisnth jednaCina,

Rang matrice koja se sastoji od koeficijenata sistema ogranicenja jednak je hm n -\+ Sto se može i pokazati4,

L M.Tonrki, M.Backović. 'Mactrr.atičk[ modeU i iiictocli u ekariomijiM99573

Posmatrnjmo mairtcj sistcma ogramfcnja i cbttežimo jc sa \ f fColonL1 ove matrice obcležimo sa ,Vf;i#_V/l2 . Kolona \ f t &ađrJi dvfcjcdinice

koje sc nalaze na / -ioin i #n + /-o m mcsiu dok su *vi ostaii clcmenti nulc. fosmoinijmo* zaiim kvadrainu matricu rcda jh+ zi-1 koja se sastoji od M ona M irtM , Atf.p A/ tv„. . , jW. w . Svak;i od ovili kolona ima m + f i - lclemenau. tj. poslcnji h- -it dem eni se ne u/im a u obzir Ovakva matrica se sastoji ođ jedinica po dijagonati t jedinica u prvorn rcdu u kolonama m + lt m + 2,..,,;« + n - l . Diiklc, u prvoj koioni detcrmirtente ove mairice se nala/ina prvom mestu jedinica a svi ostali elcmcnti su nula, pa sc ova detcnninanta mo/.e predstaviti kao dcterminanTa kojoj su izbrisanc prva vrsta i prva kolona. Tako dobijcna dctcnninanta jc jediniEna tjH njcna vrednost jc U IDakle, iz ovoga se vidi da rang matrice sistcma nije nianji od tu + n - L Kako smo mnijc /aključili da je poslcdnja jcdnaCina .‘iisicma lincamo zavisna to jc rang niHtlrice sistcma manji od m + n . Konaoni /akljuCak jc da jc rang matnce sistcma tačnO m + n - l .

Svako moguće rcSenje transporinog probtcma ima mn komponennt& Jt# ,i - \,2* ...,m J - lk2,__it Rešcnje se naziva nedegenertsđnim ako je brojpozitivmh komponenata x jcdnak r;i + / r - l . Ako je broj pozitivnih komponcnti

x 4 manji od m + rr -1 tada sc reSenje na/iva đegenerisanim,

Podact daii u transportnom zadatku predstavljaju se tabclamo. Posiupak rc£avaxya tadaka vrii sc pomoću ni/a tabela. Svaka tabela piedstavlj;! jeiino r^šenje zadatka. Svaka sledsča tabcla predstavlja novo, poboljSano reicnjc Postupak se prekida kada &e dode do labcle koja prcdstavlja najboije tj. optimafno rešenjc

U narednim poglavljima iiajpre će biti prikazano rešavanje /atvorcnih ncdegencrisanib tmnsponnih zadataka. Nakon toga bice prcdstavtjcnn reSavanje otvoreoih, a zatiiu i degenerisanih zadataka.

Metode za nalaženje početnog rcšenja transportnog zadatka se razlikiyu ixl metoda za nalaženjc konacrog tj, optintalnog reSenja. Lh poglavlju 23 btćc prika/ane mctcMle za naJaženje početnoj: resenja a u poglai- lju 2 .4 metode /a nalažcnje konacikog reicrja.

OPERACiONA tSTtLtfjVANJA __ _________________________________ _____________

2.3 M ETOOE ZA N A LAŽENJE PO ČETN O G REŠENJA

Postoji v iie metoda koje se mogu priineniti /a nalaženjer počctnosj rcsenja transportnog /adaika U /avisnosti od toga koja mctoda sc primenjujc, poćetno rc£enjc cc boljc ili loStje aproksimirati konačno rtScnje. Drugim rcf tma, na poćctna rešenja dobijena prirnenom raziičitih metoda, hjče potrcbiio primemti neku od nietoda za naiaženjc konačnog rešenja, koje ćc do log konačtiog reicnja dovesii uz veći ili manji broj itcracija.

V ovoj knjizi bićc prikazanc sledečc metodc /a naiaJenje poćetnog rt;šcrija; dijagonalna metoda. metoda minimalnih troSkova, metoda dvojnog p n enslva i l 'agel-Ova mctoda.

7 4

Tfjmspnrim 'ohleJH

/ a poticbc objašnjavanja metođa za nalaženje počeiruig rL-iertja kao i mocoda /a nala/enje opiimalnog resetij;(, bičc korišćcn sledcći primer:

P rim cr 2 ,1Naći optimalan p]an transpprta robc \? skadiSta A } t A , , A z t A± do prodavnica

B ^ B ^ B ^ B ,

SkladiSla rjspolaiu sledctiim knlićinama robc:.1. raspola/c sa 200jcdinica robc,A raspolaže sa 150 jcdinica robc,I, taspolačc sa 280 jedinica robet

A4 raspotaže sa I20je<linica robet

Frodavnicama su potrebtiL" slcdcče koitcine robe:B potražuje 300 jedinicii robe,/? , poiraiuje 170 jedinica robch B } potra/uje 50 jcdimca rtibc,

B. potražujc 23Qjeditiica robeh

Trjnsportni troSkovi po jcdinici robc. tzražcni u novča»tm jcdinicama, dati su slcdcćom matricom:

PO - 523

3S1I

l223

73ć9

Kriterijum optimalnosti su minimalni ufcupiti troskovi prevo/a,

N;ipomena: Radt uopStenja /adatka, biče k.oriićem izrazi jedinica robe i novfana jcdinica, Jcdimca robc m oie biti kilogram, tona, komad i slično <iok novtana jcdinica rrtoie biti dinar, ; 000 dinara* ncka strana valuia i sliino,

PodaCi dati ti postavci zndatka sc zapisuju u vidu rabelc:

B ,

4 2 3 J 7 200

A> 5 5 2 3 150

2 i i 2 £ 2S0

4 3 3 9 120

300 170 50 230

Tahela 2.2

75

OPERAUONA tSTBA?JVANJA

2,3. L DIJAGONALNA METODA

Dijagonalna inetoda se nazivajoS i motoda sttverozapadnog uglfl ili ] i SL.ioda gomjcg levog utila, Ovo je jednofitavfitia metoda, ali ne vndi računa o tenamii trunS(>oria,

Ko.rak 1Lf dijagoriaboj trietodi ptitazl se od polja u gomjem levcm ij severoa:apadnom ujjlu labelc, tj, od polja na poziciji (]J ) . Za ovo poljc poredi se kapaciici prvc poJa/ne

taćke i kapacitet prve krajnje taćke b: , KoJitina robe koja se tran'sportuje x tl biće odreJena na sledcći način;

* 5k =? tnin{ff, t&,) - m tn(200,300} = 200

Ovim prevo3enjem potpuno je ispražnjeno skladiSte , Prodavnici potrcbnoje joS b ™ .ir 100 jedinica robe i ta količina unosi u prvo slcdcčc poljc u koloni

tj. u polje (2,1).

Korak 2Prelazimo nzi razmatranje sledHićcg polja na dijagonali tj, polja na po/ictji (2,2),

Sada se poredc preostalc količinc u skladiSm Ait označimo ib sa a 2. Sto iznosi

1 5 0 -1 0 0 = 5 0 i nezadovoljene potrcbc prodavnice oznafimo ih sa b2, 5to izno&j 170 jedinica robt:.

Napomenai Prcostale kohčine robc u skladiStu A^ dobijaju se tako slo se odUkupne kolitinc robc u tom $kladi£tu (U naScm primem 150) ođuzmu kolitinc robc koje su vei: ispomčcnc iz tog skladišta (u naScm primeru 100). Nczadovuljcnc potrcbc proiLivnice dobijaju sc takn £io sc od ukupnc kolitfine robe kojcpotražujc ta prodavnica (u nascm pnmeru 170) oduzmu kotičinc robc kojc su vcć doprcmJjcne u tu prodav-nicu (u nalem slučaju 0).

Satia sc postupak svodi na upoređcnjc a ; i b2. kao i u prvovn koraku;

-m m {50J70) = :50

Ovom kolićinom robc potpuno jc ispražnjcno skladi&lc Az . Prodavmci B2 potrcbno je joS b2 - J20 jcdmica robe i tu koliiinu unosimo u pr%o slcdcćc

poljc u koloni B2 tj, u polje (3,2).

Korak 3Slcdećc poljc na dijagonali jc poljc na poziciji (3,3) pa sc sada porcdc prcostaL'

količine u skEadištu Alt označimo ih sa cr,, Sto iznosi 280*120 = 160 i

nezadovoljcnc potrebc prodavnice H.. označimo ih sa > što ijinosi 50 jcdinica

robc. Koiičina robe iznos::

76

Trgnspgrtni probjem

Xy3 = minfa3 ) = min(160.50) = 50

Ovotn kolifinoin robc potpuno je zadovoljcna prodavntca U skladi£tu A ■ prcosralo je jo i - - vu 10 jedinicii robc i tu količtmi unosimo u prvoslcdcće poljeu redu rj u poljc (M )-

Korak 4/ad n jc poljc na dijagonalt je poljc na poziciji (4,4) ?orcdc se prcostale koliCinc u

skladiStu ,4^ označimo ih sa ft Sro i2nosi 120 i nc/adovoljcnt poircbc

piodavnice 5 4, označimo ih sa h . , što iznosi 230 -1 tO - )20 jcdir.ica rohe.

Knko su ove dvc veEičinc jcdnake to zaključujcmo da je jtw = 120 . OvomkoliCinotn je ispra£njeno skladištc A4 i zadovoljenu potrcbc prodavnicc Čimc je zavrSen postupak nalaženja počctnog reSenja.

Primclimo da je broj baziinih promenljivih (popunjcnih polja) jednak m + w - 1 1j. u na&cm primeru 7.

Nakon primene dijagonalnc mclodc dobija sc počctro rescnjc kojc se možc prcdstavtli sledcćom tabclom;

n š r B-,

4 2 3 1 7 r 200200

4 5 1 5 [ 2 3 150100 50

2 ■ -¥------■—11 . 2 6 ! 2S0

120 50 110

4 3 l 3 9 120920

300 170 50 230

Tabefa 2.3.

iToSkovi prcvoza pn ovakvom poCctnom re id iju su:

/ " ( ~ 2 * 200 + 5 * 100 + 5 * 50 + 1 * J 20 + 2 * 50 + 6 * 110 + 9 * 120 ~ 3 110Mctoda se zove đijagonalna zaio što su sva polja na dijagonali popunjcna, Hobra sirana ovc mctode je jednostavnosi, Loša stranajc to Sto, budući da ne vodi računao jedmiCnim cenamaT dajc poćctno reScnje kojc je prilićr.o udaljeno od konačnog rcficnja pa jc potrebno uraditi veći broj iteracija da bi sc stiglo do kT^ja z;tdaika

*

2,3.2 METODA MINIMALNIH TROŠJCOVA

Ova mctoda se naziva jns i mctoda jcdiničnih koeficijcnata tj. metoda najmanje cctic Mctoda vodi računa o jcdiciičnim ccnama rransporta.

77

OPERACIONA tSTRAftVANJA

iVisinpak sprovođcnja ovc mclode je sledcći: L' matnci ccna C pronalazi sc najmanji dcm em ct. i r.a tom mcstu sc bira prevođcnjc .xtJ koje jc jcdn-iko

J. Ako postoji viSe minimftlnih jediničnih ccsna tada sc bira ona ccna po

kojoj se možc prevosti najvtća količina robc, Ako, pafc, poswji višc takvih minimalnih ccna sa najvećim prcvožcnjcm oftda sc prevoženjc bira pmi/.voljno.

Lr našem primeru minimalna c c n ijc 1 i ona se pojavljujc u iri polja: (1tJ>,(W)i{4v2J. Pronalazimo mm(aE,l?J = min(200,50) = 50 min(*i rrJn(2£0nl 70) - 170 i

= m in(l20 .170)- 120. Daklc. hiramo poljc (3h2> jer na taj nafiin po najmanjoj cem možc prcvosti najvcća količina robc. Na o\^j način potpuno jc âdovoljena predavnica B2 pa se zato dmga kolona izbacijc iz da3jeg ra/matranja.

Roba u skladiSm jc smanjcna na \ lOjedimca robe.

B , B*

4 2 3 1 7 200

5 5 2 3

o

A:t 2 1170

2 6 2S0 —> J 3 0

4* 3 I 3 9 120

300 170 50 230

Tabefa 2 4

Postupak se nasiavlja na opisam način, Treba voditi raCuna da sc polja koja 'iu ispala tz daljeg razmatmnja nc uztmaju u obzir. Takodeh trcbn vodili raćuna da se količinc robc u skladištima otinosno polrcbc za robom u prodavnicam smanjuju; Tako <la npr. poslc p nog koraka roba u skladišm A } je smanjcny na 110 jcdinica robc,

Poslc primcne ovc mctode dobija se počcmo rcšcnjc kojc se možc predsiaviti tabclom 2.5.

TroSkovi prevoza pri ovakvom počctnom re^cnju su:

f { X ) = 2 * 1 5 0 + 1 * 5 0 + 3 * 1 5 0 + 2 * 1 1 0 + 1 * 1 7 0 + 3* 40+ 9 * 8 0 ^ 2030

Dobra strana ove mctodc jc to Mo vodi ra£una o cenama pa jc dobijeno poćcmo rcicnjc obično bliže optimalnom u odnosu na rcSenjc dohijcno dijagonalnom mctodom.

78

TrtinsporTtij prpjbhtn

B, b , **

47 1 1

150

3ifi

A1 5

, ]

2 i ! 150150

3 j ■! 2 6 2S0110 170

4 , 3 \ 1 " ] 2040 yo

3U0 170 50 230

TiibeUi 2.5

2.3-3 MRTODA DVOJNOG PRVENSTVA

Ova metcda predstavlja naćin za poboijsanjo tnctode minimalnih troškova. Metoda se sprovodi tako Sto sc u svakom rcdu pronalazi poljc sa najmanjom ccnom i to poljo sc označi sa +.

* . i B i B, B ,

4 2 3 1 * 1 200

h5 5 2 * 3 150

2 1 * 2 6 2S0

A* 3 I * 3 9 120

300 170 50 23 D

T abek i 2.6.

Zatim se u tabeli 2.6. pronađu najmanjc ccnc u svini kolonama i ta poljLi £e takode označc sa *. Na taj način dohija se tabcla 2.7r

Najprc se raspoređuju prevoženja u poljima sa dve zvezdice, Ako pos.tqji vise takvih polja {u nnScm primcrn posioje iri takva polja) onda sc bira potjc sa najmanjom jcdiničnom cenom. Ako postoji viSe najmanjih ccna (u naSem prim erj n sva tri polja sc nalazi 1) onda sc bira polje sa najvcćim mogtićim prcvotenjem. U našem sEučaju to je polje (3 ,2 ) ukom e je prevožcnje 170jcdinica.

Zatim sc prclazi na polja sa jednom zvezdicom i ponovi sc isti posmpak kao sa poljima sa dve zvezdiee.

Na kraju sc polja bez zvezdica popune konSecnjcm metodc minitnalnih troSkova.

ReSenje dobijeno metodom dvojnog prvenstva je u ovom primfiru isin k;io i rcšcnjc dobijeno metodom minimalnth troškova.

79

OPERACJOSA ISTRAtlVANJA

X, " ,2 • *

1 *+ 1 1 200

A, 5 5' 2 ' ‘ 13 * 150

A 2 * I ** 2 6

3 1 **, 3 | Q 120

300 170 50 230

Taheh 2. ?.

Kao £to jc već tcćcno ova metoda predstav]ja poboljSanjt iv.ctodc nnnimalnih troskov^ ahn kao š:o jc s!ućaj u ovozn primcru. mogu sc tiobiit i :sti rcioilian kao kod mctodc minimalmEi sroikova,

23 ,4 VOGEL-OVA METODA

Ova mcioda sc oaziva jo i i mctodn najvoćih razlika iEi Vogei-o\z aproksimatLvna nKtoda.

U ovoj mctodi potrcbno jc ođrediti razliku dva riajTnanja clcmcma u svakom redu i svakoj koloni* i tu raîiku upisaii u novn kolonu tj. red. Dd s\ ih ovih razlika bira se najveća pa se onda n tom rcdu ili koloni pronađe najmanj? ccna \ n tom |x>lju sc ođrcdi kolićiaa robc za prevoicnjc. Količina robc sc odrcduje na isti način kao i kod prcdhodno opisanih metoda tj. kao mmimum od raspoloživih količina u polaznoj lački \ nežadovoljcnih potroba krajMje laćkc. Takođc. iiito kao i kođ prcdhodnitt mcToda, ako postoji viSc minimalnih ccn;i. tada sc bira polje sa mmiinalnom ccnom u kome se možc izvrSiti maksimalno prevoienje.

U naieiu pi imcru mcioda sc sprovodi na slcdcći način

Korak 1Najprc sc nalazc razlikc i/mcđu najmanjift ccna u redovinia i kolonama i tc ni/.hke sc upisoju ii dodatnu kolonu I tj. dodami rt\l 1 . Najvcća ra/.lika jc 3. Kako sc ona pojavljujcu čct\Ttoj koloni to /.itaiii da ćc sc prcvožcnjc i/vrsiti po najmanjoj ccni u toj koloni. !>ak)c, transportovaćc sc 150jcd:nica robc po ccni od ? novčanejcdinicc. Ovim sc izbacujc đruga \TSta iz ra74UatranjaT a koitCma robc u čclvrtoj koloni se smarjujc na 80.

Korak 2IzračunavEiju st: razlikc izmcđu uajmanjih ccua u preostalim rcdovima i ko]onama i tc m dikc sc upisuju u dodabm koionu II tj. dodatni red II Najvcća razlika jc 2. Kako sc ona poiavljujc u ictvrtoj vrsii to znači da ćc se prcvožcnjc izvriiti po najmanjoj ccri u toj vrtti Dakle, prcveSćc sc 120 jcdinica robe po ceni od 1 novčanet jcdinice* Ovim sc i/bacujc Ćetvrta vrsta iz raztnatranja, a koliiina robe u drugoj kotoni se smanjuje na 50.

80

Tranjporittj probiem

Koiak 3

Razlike iztneđu najitianjih ccna u prcostalim rcdovima i kolonama sc upisuju u dodatnu kotonu !i[ tj, dodattn red ni , Najveća razlika je 2 Kuko t;corta ppjavlju- je u cmgoj koioni io znaći da če se prevoženjc izvrsiti po tiiijir.anjoj coni ii toj koloni. Dakle, prcvcšćc sc 50 jcdtnica robe po cuni od I novčanc jcdinicc.Ovim sc izba™ cujc dniga koiona \z razmatranja, a kolićina robc u trcćoj vrsti sc smanjuje ua 230.

Korak 4

Razlike izmcdu uajmanjili ccna u prcostalim rcdovbna i kolonama sc upisuju u dodatnu kolonu I V tj. dodatni red t v . Najvcća razlika je 1 i ona sc javlja tri puta; u ircćoj i Četvrtoj koloni i u prvoj v r s i Bira sc najmanja ccna u tim poljima a to je1 i nalazi se u polju ( I t3). DakJc, preveSćc sc 50 jedinica robe po ccui od 1 novčanc jcdinicc. Ovim sc t/bacujc trcću kolonu i/. razmairanja a količinu robc u prvoj vrsti sc smanjuje na 150.

K orak 5 H

Nalazc sc razlike između najmanjih cctia u preostalim redovitna i kolonama i tc razlike sc upisuju u dodatnu kolonu V tj, dođatnj ređ V < Najvcća raztika je 5, Kako se ona pojavljujc u prvoj vrsti to znači da ćc sc prc\ožcnjc izvršiti po najmanjoj ccni u toj vrsti, Daklc, prcvcSčc sc 150 jcdinica robc po ceni od 2 novcane jedinice. Ovim se lzbacuje prva vrsta tz razmacranja a kolićina robc u prvoj koloni sc smanjujc na 150.

Na kraju su ostala samo polja (3,1) i {3*4) pa sc i ona poptinjavaju - najpre polje (3,1) sa 150 jcdinica robc po ccnt od 2 novčanc jcdinicc i na kraju pofje (3,4) sa 80 jedinica robc po 6 novčanih jedmica.

Opisani postupak i početno resenje dobijcno ovom mctodom mogu se predstaviti slcdcćom tabeiom:

4 *4 / // /// \v V

A 2 j ' 150

3t J

j50

7 200 1.

t ' 1 i .

1 5

'h 5 2 L

L/l o

150 1

A'X I JL U 2 6 i 280 ; ! 1 0 4

—150 50 so4, 3 !

1203 9 120 2 2

__300 : 7(1 50 230

;uiii\vv

0 Q 1 3G o 1 1

|i

G l & '1 1

0 1 10 1

Tabelu 2.S.

81

OPERACIOSA iSntAZtl ASJA

TrcSkovi prevoza pri ovakvom poCctnorn rcscnju su;

f ( X ) = 2* 150 +1*50+ 3*150 + 2*150 + 1 * 5 0 + 6 *H0 + t *320 = 1750

Ova tnctoda podrazumcva neslo komphkm nnijc izraćur,avanjL\ aii <lot>ra strana jc to sto jc početoo rešenjc dobijcno o\ i:u inetodom obtćno najbtižc opiimalnom.

Napomena:U slućaju kada ic pojavi višc istih niaksimalnih ra/1ik;j (u našem primeru to jc siutJjj kod koraka cctin) ttida sc primcnjujc slcdcći po^ttipak;

U lim rtdovima tjr koionama izračunavaju sc tzv. dmge ra/likc k:io ra/Eikt između minimalnih ccna slcdeć^ po vcliCtni. Bira sc najvcćii druga razlika i postupak sc nastavlja na vcč opisan način.

Moze kc desita da sc pojavi vi$e istih najvećih đruîh ra/hka. Tada sc prcvožeiije nnosi u polje sa mjnimalnom ocnom i maksimatnim prcv[j?rcnjcm u/imajuči u obzir polja u rcdovima tj. kdonam a sa najvcćom drugom ra/iikom- M oic sct uJcodc, dcsiti da drugc razlikc ne posEojc (kao sto jc slućaj u nasem pnmcnj). Tada sc prevožcnjc unosi u polje sa minimalnom cenom i maksimalnfm prcvoicnjem uzimajući u ob/irpolja u redovima tj. kolonama sa najvcćom prvom ra/likom

Uporcdićcmo rcz'jltatc dobijcnc primenom razl]£itih mctoda za pronaiažcnjc poietroE rcscnja:

METODE fPO

Dijagonalna mctoda 3 n n

Mctoda mjnimalnih tnoskova 2030

Mctoda dvojnog prvcnstva 2030

Voget-ovft metoda ,J 750 Jj

Ovi rczultati pokazuju ono sto jc vcć rcćcno na poCctku poglavlja tj. da primena različidh mctoda do\odi do poCctnot; a 'icn ja kojc boljc ;li loSije aproksimira početno rescnjc. Kao ito sc vidi iz iabck\ komplikovamje metode daju pv>četno rcScnjc bli/c konačnom rcScnju.

2.4 M ETO D E ZA N A LA ŽEN JE O PTIM A LN O G REŠENJA

Kada jc poictno reScnjc pronadcno tada se mOŽC pnstupiti pronalaiienju optiroatnog reSenjft. Postoji yi5c ra/liCitih mctoda 2a pronalažcnjc optimalnog rcjenja U ovoj knjizi ćc biti prcdstavljcnc sledeče mctodc:* Siepping Stone mcloda• Modifikovanamciodii

Pomcnuie tnctodc bićc objasnjcnc na vcć prikazanom pi imcrn prctposuvljajući da je pOČetnO icScnje pronadeno metodoni minimstlnih iroškova.

82

Tra tjsporfn i problertl

2.4.1 STEPPING STONH MHTODA

Ova mctođa naziva sc još i m e$da skakanja sa kamcna na kamen, mctodrt raspodele, metoda distribucijc.

i*o ovoj metodi optirtialno rcScnjc sc pronala2i pomoću novog razmcšiEija bazičmh promenljivih. U tu svrlrj potrebno je pronaći veličinu AJ; za svaku ncbazičnu

promenljivu, Za ncba/ičnu promcnljivu jt , i &c proniila/.i sc tako SCO sc pođc od

ćy pa sc toj ccni naizmcnično ifduzimaju i dodaju ccnc bii/ičmh prometiljivih.

Bazičoc promenljivc sc biraju tako dii polje ( / , / ) i polja tih bazičnih pronienljivih formiraju poligon fianać, prstcn>r.,)r Slikovito rcćcno polazi sc oci ncbazične promenljive x if i âtim ac; 'skaio' se sa bazične promenliive na bazičnu

promcr.ljivu, dok sc opct nc tioćc do ncbazičnc promenljive x tJ.

Od svih negativnih clcmcnata i . bira sc najmanji. Promehljiva v. se jutVodi u

bazu, Postupak sc ponavlja svc dok ima ncgativnih A .,. Kada a\i svi A,,.

ncnegattvni tada sc stiglo do kraja zadatka.

Pnkazaćtm o primenu metoda na nasem primeru. Podimo od poćetnog resenja prottadcnog pomoču mctode minimalnih iroškova:

s , 4 5 i .4 2 3 i . j 7 200

150 50

J i ; 5 2 3--------150

150

A 2 1 1 1 6 ?.SQ110 170

4 . LJ J I 3 9 12040 80ocm

n o 50 230

Ttihehi 2 9.

I rošk&vi prcvoza, tj. vrednost ftjnkcije cilja pri ovakvom rcšenjt] jc:

f ( X ) = 2030

Najprc pronalazimo veličine A rr za nebaîćne promenJjive;

12 =Ci2 -C x+ C y j - c t3 - 3 - 1 + 2 - 2 - 2

+c4i ~"cu = 7^9 + 3 — 2 — — ]At| = t i | ”"tj4 ^ 4-1 = 5 'r3 + 9 " J | - SA2J - t'jj - - cAl + Cj, - - 5 - 3 + 9 - 3 + 2 ■*■ I - 9

A-jj = c23 - cw + cAA - cA | + q | + cu = 2 - 3 + 9 - 3 + 2 - 1 - 6

83

i

- 2 - a + a - i - i" CJ- +C*I - 6 - $ + 3 - 2 ^ -2

A« ==<?« -'c*\ + c*> ~ cv “ 1 -3 + 2 - 1 - - 14,j = - * 4 1 + f ti ■*(?,> ™3 - 3 + 2 - 1 n|

Kako postojc ncgafivne vrcdnosu za A , to znaći da nrsmo s:ig!i do kraja zadatka.

Bimmo najinanjij negaiivnu vrednosri A,j = -2 i i/vrsićemo sledcći posmpak na lom polju:

OPERA aO SA ISTRAŽIVAN J A _________________________________________

[zvrfićemo prcraspodclu robc kcja sc prevozi u ovim poljima i to tako što čcmo povećati prcvoženje u potjima o/naCcnim aa ♦ l\ smanjiti prevožcnje u poljima označcnim sa Kako količinc robc u poljima sa - i /j io s c 110 i 80 lo biramo manju od te dvc cenc tjH S0. Dakle, nova prcvožcnja u ova čctiri polja bićc:

1 l30

120

SO

Osiala polja sc prepi£u nepronw$jena, Tabela koja piedstavtja ovo rcStnjc izgledn:

B44 2 t ' 3 J _ j 7 200

g o 505 5 2 ?, r

150150

2 J 1 1 2 J t J 2X030 170 m

A* _3 |120

"l 3 9 120

300 170 50 230

ToheiaZlO

Ccna plana transporta prcdstavljcnog ovim rcicnjcm jc:

f ( X ) * 2 + 150 + 1*50 + 3*150 + 2* 130 + 1*170 + 6*80 + 3 *120 = 1^70

Drugi način za dobijanjc ccne jcstc da sc od cene u prcdhodnoj iicraciji odu/m c proi2vod negativnog clcmcnta pomnoJcnog sa količinom robc koja sc

prcraspoređujc:

/ f A " ) - 2 0 3 0 -2 *80 = 1870

84

Tr&iisportni prvbfem

NapoTiiena: Ako sc desi da posioji višc ACgativnih vt]li£in*i A, nije gre^ka ako sc

prcraspodcla robe koja sc prcvozi izvrsi oa osnovu proi/voljno izabnme ncgativnc vcličinc A r . Mcđutim, mosnčc jc izvršiti stcdcčj analizu koja će pomoći da se

izabcrc ona cličma koja će bržc Ij. jz manje itcracija dovcsti do kraja ?adaika.

Citj jc da sc ccna prcvoženja kod novc iicraujc 5to višc smanji. Kako ćc ceim iraniipona biti smimjcna za ptmizvod vcličinc A i količinc iobc koja sc

]>rerasporcđujch to je cilj da taj proizvod budc Sio veći po iipsolumoj vrcdnostL Npr. u prcdhocinom primeru moguće su siedcće varij:m(fi:* Ako sc prcraspodela robc izvrši na osnovu polja A H (adii će se cena tran$pofta

smanjiti za I * 80.* Ako sc prcraspodela robc izvrSi na osnovu poija A J4 [ada će se cena transporta

smanjin za 2 * S0.* Ako sc prcraspodcla robe izvrši na osno% u polja A J: lada če se cena transporta

smanjiii za J * 40.

Dakle, najboljc jc prCJBSpodelu robe izvr&itj na osnovu polja Sto smo mi i

učinili*

Sada opet odrcdujcmo vclitm e A y da bismo provcrfli oprimalnosi pronadtimg

reScnja.

“ c ,i = 3 - 1 + 2 - 2 = 2

* c H - C j, + Csi - c , ; = 7 - 6 + 2 - 2 = 1

An mcn ~ cu +c!* ~ e» s> S -3 + 6 -a = «A;. - c ^ - c s* + cu - c , ; - 5 - 3 + 6 - I ~ 7A*- = t"jt ■ ^ + c,| -t'jj = 2 3 + 6 2 -1 = 4Ah = t j j + c ]t - e,, = 2 — 2 + 2 - 1 = 1

Aa : ; - c4l + c„ — - 1 -3 + 2 -1 " — IA Ai = c4j - c4t + c, | - cN = 3 - 3 + 2 - 1 1

Ajj = - Cj| + cr,j “ cH — 9 - 3 + 2 — 6 = 2

Kakc> postoji negativna vrednosi za lo iinači dii nismo sti^li do kraja zadalka.

Jedina negatlvna vrcdnosii jc A ^ ~ —I . Izvr£idemo slcdcći poslupak na tom polju:

2 I +30 170

3 - 1 +120

85

[zvriićeftN preraspodclu robc koja se prcvw: u ovim poljima Lj. povoćaćcmo pTcvo/cnjc u poljima označcnim sa • a smanjici prevpicnjc u polfima označcnim s;s

KoJičmc robc u poljima sa - su 120 i 170 pa biramo manju od tc dvc cenc lj.120. Đaklc nosj;i prevožcnja u ova čctid po ja bićc:

OFERA a O S A tSTfU Zt VA SJA__________________________________________________

1“ . 1] 50 5 o J

J ’ 1

i

p

r-/ °__

__1

Ostala p-plj.iL sc samo prcpisu. Tabcla ko p prcdstavlja ovo rcStnje izglcda:

% *4

4 '2 T ' 3 ' ‘

, .. 1

1 1 1 200150

S 5 i f * U _ j:50,

150

2 | ■' 1 2 2HU150 50 EO

3. . .

— l120

3 9 120

L300 170 51) 230 J

Tabeta 2. 1 l

Ccna ptann transpoita prcdsiavljcnoi; ovim rešenjcm jcr

f ( X ) «2*150 +1 *50 + 3*150 + 2* 150+ 1*50 + Ć*80 + J* 120 = 1750

f ( X ) “ IR70-1* 120- 1750

Sada opct određujcmo vcličinc A đa bismo pro\crtli optimaluosi pronadcnog

rcšenja.

A|2 i: cxl -i-'u + - c ti = 3 — 1 + 2 — 2 = 2

m *tM ~ cn +?n -C:t = 7 “ 6+ 2 - 2 - !A„ = cZl ~CU +CU - c tj = 5 - 3 + 6 - 2 = 6 Ajj - c21 = 5 - 3 + 6 -1 - 7

Au **<?»-«** + *!* - c Ji + t u " 2 - 3 + 6 - 2 + 2 - 1 = 4 Asi = 2 - 2 + 2 - | ~ l

*<î = 3 - 2 + ! - ( *e I Ajj m - cn + ~ c3, + <j\ - f ,3 - 3 - 1 + 1 - 2 + 2 - 1 - 2A« + c u - c j4 ^ 9 - I + J- 6 = 3

Kako nsma ncgattvnih clcmenata to zakijučujemo da smo siigli do kraja zadatka.

H6

Trafuportni prohlnm

Ako sc na kraju /adatka pojavi sinjacija da jc rtcka od vcliCiiw A,r jcdnaka nuli+10

iinači da postoji joS jcdno optimalno rclcnje> Dakle, možc sc izvršiti prcraspodcla prcvožcnja na osnovu to£ polja ( t \ j ) čimc ćc se dobin novo rćScrtje kojc ću imati istu vrcdnost fimkcijc cilja,

2.4,2 MODIFIKOVANA MKTODA

Ova metoda sc naziva joS i \ fO D f mctoda \\\ metoda potcncijata. Postupak primene metodc bićc prikiân na pofletnom reSenju dobijcnom pom otn mctodc minimalnih troSkova:

S, *7 £3

A, 2150

1__ j50

! 7200

Ai 55 i n

150150

A 2 1 r 6 2£0r 110 170

4 . 3- — --------] 3 9 120

40 SO300 170 so 230

Tahda 2.12.

Cena transporta pnkazanog <wom tabclom je: f { X ) = 2030

Potrebno jc pronaći koeficijcnte w j = l .....n za svaku vrsm i kocflcijcntc

0 . , j = za svaku kolonu. Ovj kocficijemi sc pronataze tako da m sve

bii/icne promenlj ivc vaii:

č g = a 4 + flj i=>lt,..%n : j = ( i )

Kako je broj b&tičmh promcnijivih fj broj jcdnaćina u sistemu (1) m* n - 1, a broj Uicficijcnata C£i t0 , jc m + n to znači da sc jcdan od kocficijcnata bira proistvoljno,

npr. nekaje = 0- Oslah koeficijcnti se i/računavaju na osnovujednačina(l),

U našcm primcm kocficijcnti su:

a t - 0cu 2 0 + 0. -» 0 { - 2

” <*, + A - n * 0 + A -* A =* 1c T; - a 3 + 0 —» 2 — -crs + 2 —> - 0

Cjj « a4 + /?, 3 ~ + 2 OTj » IC j; - + 0^ —> I = 0 + /?j "> = I

f ^ = tr4 + A -> 9' * I + A A = 8 = đ j + A -♦ 3 * tfj + 8 —* = -S

87

OPERACtOSA SSTRAŽIVANJA_____________________________________________ _______

U slcdeccni k'rr.ik;!, za sve ntbazićntf promenl’i\tf. i?iaćun,ivaju sc veliiine:

di: = cts - {& t + f i j ) / = U'+H'J - I....m

Ako su sve veiičiuc d nencgativnt tadn jc pronađt;no optimalno rcsfiije. Ako je

ncka od vcličtna d i; acgaitvra taJft se sprovodi postupak prcraspodelc tnnsporta

rcbe iili način kao i u slučaju Siepping stonc me;ođe.

U n;iSem pnmeru dobijaju se slcdeći rezuhati:

rfl l = <r11- ( a , + A ) ^ 3 - ( 0 + 1 ) -2 đu + A ) = 7 ~ ( 0 + s ) = - i

^11 * Ć?I - (# j + J?|) fc5 -*(-5 + 2) = 8 rf; j - c I2- ( ^ + /?: ) - 5 ‘ ( - 5 + t} = 9< ^ Z J - < * ; ) - C « 1 + A ) = 2 - ( - 5 + J ) » 6

rfM = cu *(or, + A ) = 2- (0 + l ) - i “ K + A ) = 6 - ( 0 + S) = -2

^ - ^ - < ^ + A) = i - ( i + i ) - “t r f 4 i = c < ^ K + A ) = 3 - ( l + l ) = i

Kako ima ncgaiivnib vtednosti za io ztiaii tla konaCno reScnjc siijc pronatlcno,

pa se postupak preraspoddt transpćrta robe nastdvlja na isti način kao kod Stepping stone mctode. Daklet biramo negativnu vrcdnost du - -2 i izvržićemoslcdeći postupak na lom polju:

I ! ■1 11

6 +110

j _ r - i 1 9 I -40 Sfl

IzvrSićemo prcr.iHpodetu robe kojii se prevozi u ovim poljima l to tako Sto čemo povećati prevo^cnje u poljima 0i2rt4čentm sa + a smanjiti prcvožcnjc u potjima oznaienim ssi ■. Kako količire robe u poEjima sa - i/nose 110 t S0 to bit^mo manju od te dve cenc tj SO. [Jakle nova prevoženja u ova ćettri polja biče:

a i :< j

30s o

-2 — 1l \2 0 |

9

OstaJa polja se siimo prepišu,

Tabela koja predsiavlja ovo ic&erijc izgleda:

88

Transportm probietn

«i B , ]2“ . 3 1 . 7 200

150 505 5 2

___ ._J I

!50150

-4, 2 ! 1 1 2 6 1 2803t> 170 80

J120

1 3 9 120

300 170 .50 230

Tabehi 2. i 3,

Ccna plaria transporta predstavljcnog ovim reženjem je:

A * ) ~ 2*150 + 1*50 + 3* 150 + 2 * 1 3 0 + 1*170 + 6 * 8 0 + 3 * 1 2 0 - 1 8 7 0

= 2 0 3 0 - 2 * 8 0 = 1870

Sada sc opct pronalozc koeflcijemi Q{, /7. :

car, = 0

Cj | — + /?j —> 2 = 0 + /?L —► /?t ~ 2

cw + A - * i = o + A + A “ iCj, = o * + # ^ 2 * = t f j + 2 - f r « j - o

c4, = or4 + # -> 3 = a x + 2 -+ a 4 - L

Cj = ff j + —? I — 0 + /?: —> /?j “ I

<?j4 = (X j + p A “ > 6 = 0 + fiA —► /?4 = 6

Cj* “ đfa + A - >3 - + 6 - + - ^ 3

^12 “ 12 “ C»| 1 2 ) = 3 “ (0 + 1) — 2^ = ^ - ( f f 1+ A ) = 7 - ( 0 + 6) = l

rfjj -= C;2 - ( # 2 + /?z) = 5 - ( - 3 + 1) = 7

r f a = i f c ~ ( ^ i + A ) = 2 —f—3 + 1 )= 4

</w = % - ( ^ + /%3 = 2 - ( 0 + l) = l

+/?2) - i - ( i + i) = - i < * « = c « -{ * 4 + f t ) = 3 - ( l + l> = r

+ & ) * * - ( ! + 6) = 2

<?9

OPERACIOSA fSTRAŽn ASJA

Kako posiojt jedna uegalivna vrcđiiost za d Lo ziiači da konačno rostnjp nijt?

jjosiignuio. Dak!cT uzimamo jedjnu regaiivrtu vrednost ti, . - - 1 i iATSavamti sL'deti posiupak na tom pt)lju:

[ i J + ■ i

30 170t ~ r " 1 +

120 1 iIžvr&femo preraspodilu robe koja se prevo/.i u ovim poljima i io l^ko filo ćcmo povećati prevožcnjc u poljima oznacentm sa + a smisnjrn prcvožetije u potjima oznatenim sa -. Kako količine rolic u poljima sa - i^nose 120 i 170 to bnamo maniu od te 6ve cene ij 120 Dnkte nova prevoienja u ova Čctiri polja bičtr:

T .T150

J

u;& |

J120 1

Ostala polja s t samo prcpišo. Tabela kojrt predsiavlja ovo rešenje izgk(ia;

k------

5 ,

4 2 1 13 I J 7 200150 50

-

A, 55

2 3 | 1503! 50

l 1 ± J 2 2803150 50 80

4 , 3 'i "1120

3 P9 120

m i70 50 t 230

Tctbala 2J4.

Cena plana transporta predstavljenog ovim reSenjem je:

/ ( . r ) = 2*J50T l*50 + 3*l50 + 2*t50-H *50 + 6*80 + l- i2 0 = 1750

'j _

/ ( A ') « 1870 - 1* 120

Sada se opei pronala?:c koeficijenti ~d :a, - 0c(. H ff, + 0J -* 1 - 0 + —► /?y = 2*■> = -*i = o + £ - > A = i

-» 2 = ar, + 2 -» ff, - 0c)3 = «! + A 1 * 0 + f t = I

r :i * <x, + -> 3 - + 6 ff j = -3

9«

Jransporini prohlem

d n ^ C u - iO t - 3 - ( 0 + 1) - 2

rfu = cVi ” ((7, + A ) - 7 - ( 0 + 6) = !

tfa, — (or; + / ? . ) - 5 - (-3 + 2) = 6

rfa = c K - ( f f 2 + f t ) = 5 - ( - 3 + 0 = 7

rf3J -(flf; + A ) = 2 - ( - 3 + 1) = 4

^ ^ - t o + A i ^ H o + i ) * «J A, = cA]-(or4 + y?3) = 3-(0 + 2 )- l rfJ5 = «4, - ( a 4 + £ ) * 3 - ( 0 + l ) a 2

- c* - (tf4 + A ) = 9 - (0 + 6) = 3

Kako ncma necativnih elcm cnata 10 zaključujcmo da smo sliglt do kraja zadatka.

Važi isia tiapomena kao 1 kod Stepping sianc metode. Al?o se na kraju zadatka pojavi situacija da je ncka od vcličina đ t- jednaka nuli, to zn&či da pofitoji jo š

jedno opiimalno resenjc, odnosno <Ja je rešcnje viSestmko opiimalno. Može sc iz^TŠiti prcraspodela prcvožcnja na osnovu tog polja ( i . j ) iim e će sc dobiti novorcšcnje koje će imati is(u vredncjFit funkcije ciija.

Trarisponna metoda sc može pTimcniti i na ?adake u kojima se traži maksimum funkcijc cilja. Taj sluCaj se pojavljujc kada dati podaci ne predstavljaju cene tmnsporta negot na primcr, profit fcoji se osivaruje i sUčnc veiičirtc eijem sc maksimiziranju teži

Zadaci u kojima se tra/i maksimum l'unkcije ci!jaH reSavaju sc pomoću vcč opisanih meioda uz oćređene izmene.* Dijagonalna metoda se primcnjujc ucizmenjcna.* Metoda mimmalnih irošleova se pnrnenjujc tako Sio se umesto m inimalnog

pronalazi maksimaltii clement,* Metoda dvojnog pr\'enstva takođc se bazira 11a maksimahiom eiementu.* Vogel-ov* metoda bazira se na najvećoj razlici izmedu dva najveća koeficijenta

(a ne najmanja koeficijenta).* Opltmalno reScnjc se postiže ako su svi koeficijent d r < 0 .

2,5 OTVORENl TR A N SPO R TM ZADATAK

i ; svim dosadašnjim primerima v ažio je uslov jednakosti ukupne ponude i ukupne potražnjc:

/■i y»i

Ako to nije sJućaj onđa se radi 0 lakozvanom otvorenom transpomom zađatku. Moguća su dva slućaja.

a) Ako važi:

1 - , > i » ,

10 znaOi d^ je ukupna ponudtS veća od ulcupnt; potrainjc, Ovnkav ;?adaiEik sc rešavri tako šio se dodajc jedna nova^ ve5:ačka kolona ij nov;i vejtačka krajnja tačka čijc će potrcbne kolićm c robc biti jednake

■71 wi

* . . . = - y * ,|ll i “I

Na ovaj način ponuda i potražnja bićc izjednačcnc tj, ukupnc raspoložive količinc robc u svim polaztum tačkama biće jednakc ukupnim potrebs:im količinama robc u $v\m krajnjim tačknma. Ovako, dodat« vcštačka kolona imaće sve jediniiuc cenc jednake nuli i njeno znćiCenjc nijti nikakva nova krajnja ia£kah vcć sc oua dodajc samo u cilju re&avanja zadatka tjr svođcrja otvorcnog na /at\orcna model Roba koja sc bude pojavila u ovoj koloni predstavljaće netraitsponovanu robu tj. robu koja je ostala □ polaznoj tački.

P rim er 2,2*Naći optinialan plan li-ansporta robi: iz $kadi3ta A r A . , A 3 do prodavnica

*&n »^4 ■

Skladišia taspolažu slcdcćim kohčmama robe:* A. raspolaže sa 100 jedinica robe,

* A 2 raspolaže sa 200 jedinica robe,

* Aj raspolaže sa 150 jedinica robc,

Prodavnicama su poirebne slcdećć kolićine robe:* Bt polražiije 150 jcdinica robc,

* B potraiuje 30jedinica robe.

* B % potTaiuje 50 jedinica robe,

* B4 potra/uje 70 jedinica robe,

Transportnt [rošfcovi po jedinici robt\ izraieni u novčanim jedinicama, dati su sledećom malricovn:

OPERAOONA 1$TRAŽIVANJA_________

O2 4 J 710 3 8 2

6 1 1 4

Kiiierijum optimalnosEi su minimalni ukupni troškovi prcvoza.

Kako jc ukupna ponuda 450 jcdinica robe a ukupna potražnja 300 jcdmica robe to se radi o otvorcnom transportnom zadatku. Dodaje se vcstačka proda\nica lj. kolona.

92

Transportni probhm

Z j pronalažeoje počemog re^cnja korisiiće se rne'oda minimalntb :roškova. Dolnja sc s]edeće rešenjs:

S: B}4 1 ' 4 1 7 0 100

50 50

4 »ID 3 8 2 ; P° J 200

70 1 130

4 6 1 r r 1 4 0 150100 30 20

150 30 _ 50 70 150

Tafreh 2.15

f { X) « 920

Konaćoc reSenje pronćtćićemo Stepping stone metodom. Pronalaze se vrednosti A . . Kako posioji jedna negativna vrednost i to A 33 = -4 to se sprovodi

preraspodela prevoženja u odnosu na ovo polje čime se dohija siedeća tabela:

B Z *> s*

4 2100

4 17

0 100

I ^2 10 31----------------S 2 0 1 200

70 J30

6 1 1 4 0 J 15050 30 50 2€

150 30 50 70 150

Tahtla 2.16.

,/(A*)b 7Z0

Ponovnlm izrftCucavanjem koeficijenata vidi se da nenia ncgaCtvnih vrednosti

Sto govori da smo stigh do krajii zadatka.

Ji konačnog rešenja zadaika vidi se da će U skladiStu ostati 130 jedinica rolw

neraspoređcnoa u skladištu A y 20 jedinica robe nerasporedeno.

b) Ako važi:

<ž bi f-[ jm\

to inaći da je ukupna ponuda manja od ukupne potrainje, Gvakav zadatak se rcšava tako Što se dodaje jedan novi, veštački red tj, nova veStačka polazna taCka Cije će raspo]ožive koJičine robe biti jcdnake;

j-t i-t

93

Na ovaj naiin jioniitla i poim2nja btće izjednaćene lj, ukupne raspoio/tvc kolitiiic robe u svirn polazmm tafkama bićc jednaku ukupntm pourebnim količinama robe u svim krnjnjitn tačk:nTia Ovako dodati veStaiki rcd itnače svc jcdinične ccne jcdiiake tiuli i njegovo /načcnjt;, kao i u pretlhodrtom sJuCaju! nijc n o \a polazna tačka već se ona doJaje u ctlju iršavanja /adatka. Roba koja sc bude pt>|av ila u ovom rcdu pretistavijaće robu ko;a nije isporuiena nekoj krajnjoj taiki ij. robu koja ncdostajc nekoj krajnjoj tački.

P n m cr 2.3,Naćt optimalan plan transporta robc \t skadiSfa A„ A^SA, do prođavnica

Skladista raspola/u sledećim kolićinamji mbe:+ A { raspolažc sa 500 jcdinica robc,

* A, raspolaie sa 100 jcdinica robe5

* A y raspobJ.tr sa 300 jcdinica robe,

Prodavnicama su poirebitc stcdcće kolttinc robe;* potražuje 200 jedinicarobe,

* B2 potraiaijc 100 jcdinica robc,

* i?3 potražuje 400jeđinica robe,* BA potražuje 100 jedinica robe,

* £ s potraztije 200 jedinica robc,

Transportm troškovi po jedinici robeh tzražem u novtanim jedmicama, dati su skdećom mairicom:

r 9 4 10 2 l ~ iO | 1 2 5 2 2

| _ 2 3 4 4 7 _ j

Kiiterijum optimalnosti su minimaioi ukupni troskovi prevo/a

Kako je ukupna ponuđa 900 jcdinica robe a ukupna potražnja 1000 jedinica robc to se radi o otvončnom iransportnom ZadatJcu. Dodaje sc veStačko skladište tj. i'cd.

I£a pronalaicnje pofemog rcScnja koristiće sc Vogel-av& metoda, Na taj način dobija se rcicnjc prikazano labelom 2,17.

Konaćno rejenjc pronaćićcmo modiftkovanom mctodom Pronalazc se vrednoslt d i}, iCako su svi ovi kocficijcitti nenegattvni io zaključujemo da smo siigli do kraja

zadatka.

Iz reicnja sc vidi da će prodavtiicA ostati nezadovoljena za 100 iedinica robe.

_______________________________________________________________________

94

Tran.vparrni prpblem

B, B,

PB3

ST100

T!100

ioo

7100

B *mioo

TT200

T

200L

4 1 4200

o T T o 100

0

HM)I 2

1 C2I

i 4 00 100 1 .2 0 0

j - i , — T l —

500

Too

300

100

m I? i_nIV : _ Utnz/I;

i m &

Tabeh 2. t ?

f ( X } ~ 2900

Na&omcna: t, zagiađama su daic đuige ra?iike,

l tt m tv tv

I

l l (2)

J

l * !

’ ! 1

2,6 DEGENERACIJA t r a n s p o r t n o g z a d a t k a

Degeticracija iransportnog problcma nasiaje kada jc broj baziČmh promentjivih manji od m + n - I t Takva situacija sc desava kada se jtfdnim prevoženjcm istovretncno isprazni skladi&tc i napuni prodavnica. To ztiači da se jednim prevoženjcm eliminišc istovremeno i red i kolona

Bilo koje reienje fpočetno ili d tko u reSenja do kojih doinzimo priblizavajućt se opttmalnom) može bili degenerisano.

Dcgenerisani transportni /adatak se rešava tako šio sc svodi na ncdcgenerisani âdatak i to uvođenjem dovoljno malog pozitivnog broja £ . Taj broj se dođajejednoj od raspoloživih količma robc at i jednoj od potiebnih količina robe h ( :

a, =at +£

bj -■■■ bj +£Broj £ se bira tako dLi bude dovoljno mali da se može zancmariu u konaćnom re&enju.

P r im c r 2A ,Naći oprimalan plan transporta robe i/. skadiSta At , A 2tA} do prodavnica

95

-i

Skladišt;! raspolaiu slcdećim količinama robe:* A t raspolače sa 200 jedinica robeN

* .-f, raspotaê sa 100jedinic* robe,* rcispolaže sa200 jedinica robe,

Prodavnicatna su poutNl>ne sledeće ko]idnc robc:* #, je potrebno 50je4mka robe,* By je pottebno 100 jedittica robe,* By je potrebno 50 jedinica robet

* B. jc potrebno 300 jedinica robc,

Trar.sporini troikovi po jedtnici robe. irraženi u novčsnim jedinicanrm, dait su slt;dećom matricom:

I" ' 8 10 5 2 1C= [ 7 5 3 1 i

3 (> 8 5 __ .

KriierijLiin optimalnos)! $u [ninimalni ukupni troikovi prcvo/a.

Kćiko je ukupna ponuda jednaka uknpnoj poirainji to se rad: o zatvorenofn modclu Za pronalaženje počelnog reScnja koristiće se moioda minimalnih iroSkova. Dobija se sJedcće reSenje:

OPBRACtOSA 1STRA?JVASJA __________ ______ _________ _________________

B, 1 Bi *1 M.

4 S 10 5200

200

7 5 i :100

100

A J j50

6 I ■IOO

8 I50

5 200

50 100 50 300

Tabefo 2. /S.

/ ( J 0 = 1*50Ovo reSenjc ima 5 bazićnth promcnljivim Sto je manje od m + tj, od 6,Konačno reSenje pronaćiĆemo Modifikovanom metodom. Međutim ako podemo od f/r - 0 možcmo da iTračunamo jo i samo a, - - l i /?, = 2. a ostale kocfieijemc ne možemo da izračnnamo zbog nedustatka hnzičnih promenljMh.

Sada ćfmo jednu od ne bazifnih pitnnenljivih proglasiti za ba/iim i, upisati prevo/enje 6 i tako doći do nedegenerisanog resenja. Kriterijum za izbor te nebazične promcnljive je slededi:

Uzimamo u ob/ir samo one nebazične promettljivc za koje je izraCunat jedan od koeficijcnaia a ili / / . Dakte ne uzimamo one nebazićnc promcnljive za koje su tmtČunati oba ili nije izračunat ni jedan od koeficijenata.

96

Trfaisportni prohlem

V tiašem primeru u obzir dohi/c sve nebaziČnc pfbmenljive ij:

l T %12 j j t f 2i ' i31

Oc tih promenijivih biramo onu čija je cena najmanja.

TJ našem primcru ro jc;m m f^3 = 81tr13 = ! 0? = $.c2l = 1, = 5, = 3,c}Jl =5) = c1}

Ako ima viSe najmanjih cena bira se poljs koje obezbeđuje miiksimalno prevoJ:cnje, Međuum. neee se pogreSiii i ako se jecino ođ polja sa minimatnorn cenom izaberc proizvoljno.

{j tako odabrant) polje se upiŠe prevožcnje u iznosu od S jedinica i takvo polje se dalje posmaira kao bazično. Na taj način je postignujo nedegenerisanu tešenjc i mogu se ođrediti osiali koeflcijenti a i /? .

B'. I B2 [ h *4

4 s 10 5 2 i 200200

A ,Jp-

7 5 3 1 1 100£ 100

A 6 5 20050 100 50

50 100 50 300

Tabefo 2 M

Ostah koeficijcnti su: a ^ A ^ p , = 2 , # = 4

Zatim se iKračunaju kocficijcnti d i}. Dobija se jcdan ncsativan koeficijent i to

■■ - \ > Dakle posmatra se siedcči poligonr— — |-------- p---------- 1---------3 . > i ! -

£ [ 100s - 5 +

50

Vr£i se preraspodeta 50 jeđinica robc čime se postiže sledede rcsenjc:

h5 i 1

A 8 \0 X . J200

200

7 5 3 E !50

30D50

3 1 6 K 5 20050 100 50

50 100 300

Tabefa 2.20.

97

Ovo rcsenjo ie BedcgencrifiarKi Pronalasse sl1 koellcijenti u i j l i na kraju koefitijenij

d . . Knlcosu svi kocficijciiti d r nenegaiivni toznači dfljeposiignuto konatno reiciije

\apphiena: K akoje £ rnali broj, to u poltgonu njcga rnoia da stoji z:i+ik + 5to nekada nijc mog]UĆC postići. Razvijcm su računatski proyramt kojima sn ove i ostale vrstc tranSpOftnih zadataka brzt> 5 efikasno reša^Miu. Jcdan t>d lakvih prourama je Aficro Manager. Sang M.Lcc. Jung P.Shim, 19*>0*

2.7 FROBLEM RA SPO REĐ IV AN JA

Problcm rasporedivartja prcdstavlja spccijalm jlucaj transporrm>£ zadatka. Poirebno jc rasporeditt n ratlnika na tt pos)0\ a pri Ocmu svaki rađnik mo/c da radi svaki posaoT aii samo jcdan posao u jcdnom trcnutlai, Zadaiak rasporcđivanja se m oic odnositi ne samo na rasporeJivanje radmka na poslove ncgo i na rasporcđivanje mastna na poskne i slićoo.

Uvodc se sicdeče oznake: n - ukupan broj radnika,

- ertkasnost rada t-iog radnika naj-tom radnom mestu,L ako i - ti radnik radi j* ti posao

0T inace

Malematićki modcl zadalka rasporcdtvanja g]asi:

Odroditi minimum funkcije ciija:H -

min f (X ) =J-1 /-i

pri ojjramčcnjima:

Z * y -1,2,,.^^

H

X X - 1 1*1*2 n

Prvi skup ouranićenja /naCi đa jedan posao i/vršava jcdan radnik. Drugi skup ograrnccnja Zn ači tki jcdan radnik u jodnom trcnutku m o /e da radi sainojedan posao.

Daklc. kako podaci C prcdstavtjaju cflkasnost ili vrcme izvrsenja posLi, to se traži

minimum funkcije cilja,

Ako pak podaci ct, predstavljaju profit kojš sc ostvanije prilikom izvrSenja posla

ili neku sličnu velicinu, onda sc naži maksimum funkcije cilja,

Ako je broj kotona i broj redovajcdnak onda se radt o latvorenom modclu, Ako su broj koJona i broj redova razliiiti o^fia se radi o Gn otenom modclu.

OPEEACiOSA ISTRA7JV A N J A __________ _______________ __________ ___ _

Trgitspc rint probhm

2.7,1 ZATVORENI MODI-L

Zatvorcn model transportne mctode biće prikazan tia sledećcm pnmeru;

P rim er 2.S*Pet radntka R^R^R^R.^R^ trcba da izvrše pei razligilih ptwlova

Sâki radink je osposobljen /a izvi savanje svih poslo \nh ali istovremcno m o/e da rađi saino jedan posao u jednom trcmitku. Vremena potrcbna svakom radniku /a obavljatije jednog posla su dara slcdećom tabelom

Poslo\ 1Radmri fl P2 p> p* P*r , 12 3 ■l <> 13

s 2 2- , « s

*34 1 8 10 1

3 7 3 12 7

^6 4 3 4

TabeUj 2 .2 /.

Potrebno je i^vršiti raspodelu radnika na poslove lako &a iikupno vreme tzvršenja poslovn hude najkraće

Korak 1: U svakoj koloni pronalaz: se najmanji ekm cnat i oduzima sc od svili elemenata te kolone.Korak 2: U svakom redu u komc se ne nalazi ni jedna nula oduzima se najmanji elemenat. Redovi koji imaju barjednu nulu se prepisuju neizmerjem.Posle prituere pn-a dva koraka, dobija se siedeća tabela:

RadniciPosk>vi

* Py 1 PS, | A

8 1 0 1 11

5 1 ,0 0 4

1 0 6 6 0

*4 0 6 I 8 b

2 2 0 3 2

Tabela 2.22.

Korak 3 : Ovaj korak se naziva razvrstavanje nuta, Sve nule u tabeli se tnoraju proglasiti tj. razvrstati na nezavisne i zavisne. N e/avisne nule se obeležavju sa 0 , a

99

zovisre sa 0* Razvrstavamo ih na sleded način. Najpre poUzima od itdova koje imaju po jednu neobcležcnu tuilu. Tu nuUi obefežjmo neza\ i^nu. u s\ z osi;i!c u toj koloni obclciimo kao 7<i\isne- Zatim u redovitna koji imajii vise oct jcdnc ncobcležcne nulc jednu proizvoJjno IzabercTno i obclciimo ka^ pe/avisnu, a svc ostak u lom rcdu 1 toj koloni obelezimo kao zavisne.

Posle raz'. nstavanja nyla dobij;» se sledeca tahela:

OPERAOONA ISTR.4ZIVAS J A ______________________ ____ _________________ _ __

REnlnici

Poslun

5 . | * , '

Ri s nJ [ t , 1

r t i

Ri 5 ■ ■ 1 j O' 4

l 1 0 \ 6 6

.

K 0.

6 ! I 8 6 1

■ 2 r 0 - ; 3 2

Tabeln 2.23

Ptnrcbno jc prcveriii da li je Jobijcno rcienje konačno Ako 11 sviikom redu i svakoj koloni postoji po jeclna nezavisna nula. tada je dobijeno reSenje opiimalno tj. konačno. Kako u ovom primenj to nije slučaj Lo prdazim o na sledeći korak

KoraV 4 : Sascojt se od nekoliko tačaka:

a) Oznafili strelicom { 4*} sve redovc koji ncinaju nezavisnu mi]u. U našem promeru to je peti red

b) Precm ii (psenčiti) sve koionc koje miaju /avisnc nule u o/naćcnim redovima. U Dijem promeni to je ireća kolona.

c) Oznaćiti strelicom redove koji im ajj ne/avjsnu nulu u preertanimkolomma. U nasem primoru ti> je prv i r«d

Ponavljati korake b) i c) dok god jc to moguće. U našcin promeru već koiak b) nije moguće sprovesti lako da je korak A zavrien

KorakJ^: Precrtati (osenćiti) sve neoznačcne rcdove, U nascm printem to su dm gih treći i četvrti red

Posle koraka4 i 5 dobija se iabela 2.24.

—*

Foslo^ i

Radnici,13 . . | A

Pa *

z n ■0

1 11

5 1 , O- 04

*1 ] 0 6 6 0'

0 6 1 S- .

>”6

! _ -2

2[2

Tabeb 2.24.

100

Tratisporfni probUtn

K orak (v. Od svih neprecrtanih clemenaTa odrcđiti najmanji. Taj element dodati svim dva puta precrtamm clcmentima (eLcmcinimj koji sc nalazc u prcscku jirccrt^nih rcdova i kolona> a odu^cti od rteprecrtamh ciemcr:ata Jednom prccrtant elcmenli sc samo prcpiû ncpromcnjcui.Posle kt)r;ika 6 dobija se sledeča tabela:

PosluviRydrLLCi 1\ p . fli P1 A pri

*; 1 0 0 0 10

R .*■ 5 I ' J 0 4

*3 L----------- 1 7

------------- 16

.0

R, 0 6 2 % 6

R, 1 1 0 2 L

Tabefa 2.25.

Zatim sc ponavlja poslupak počcvši od koraka 3 tj. od ra/vrstavanja nula.I nnftcm primeru, posJe razm tav an ja nula dobija se tabela:

RadniciPoslovi

> 2 p, p<7 0 O' o* 10

Ri 5 1 1 0 4

l1 <r 7 0

j n 0 6 2 S 6

11

-o

T 1Tvbeiu 2.26s

Kako sc u svakom rcdn i svakoj koloni nala2i po jedna nezavisna nula to dolazimo do îikljuekrt <ia amo stiyli do kraja zadatka. RtiSenjo se tumači tako &to polo/»j ne/avisnih nula precria u počemu labelu tj:

Radn:c:Poslovi

* P. 132 3 3 6 13

S 2 2 j 4 5

A J S 10 1

3 7 J 12 7

* S 6 4 | 3 : x 4

Tabela 2 .27. JOl

Dakl^, optimalan raspoicd radnika na poslove je slcdcći:* Raćmk R se rasporcđujc t\n posao P kojj ĆC LzviSiti za 3 vrcmcnske jcdinicc*

* Ratinik sc rasporcJuje na posao PA koji će iz\[5iti zu 4 vremoEiskc jedinice

* Rađnik R3 &e rasporeduje na posao P-, koj i će izvršm za 1 vremensfcu jcdinku.

* Radnik R^ se rasporcđujc na posao R kojt če izvršiti /a 3 vremenske jcdinitic.

+ Radnik R< se rasporcduje na posao koji če izvršiii za 3 vrcmcnske jedinice.

Dakle ukupno vrcmc irajanja;e !4 vremenskill jedinica.

2 J 2 OTVORHNI MODELOtvgreui m odd se rešava tako sio sc svodt na iajvoreni dodavajyem nedostajućib kolona tj. retlova. Veftafki dodate kolone ij. rcdovi predstovljftju fiktivnog radmka tj. posao. JcdtniCne cenc u tim veSračkiin redovima ili koionama su nute,

Napomena Kod odabira nezavpsrth nula treba izbcgavali' vestački red tj. kolonu. To inači da se u veštaCkom rcdu tj. koloni nezavisnc nule upisuju tek na kraju zadatka kada su o^tafc nulc već raz\Tstane.

P rlm er 2.6.

Pet radmka t» b a đa izvrie četiri, raziiiita posla P ^ R . P^, Px ,Svaki radnik jc osposobljen za jzvršavanje svih poslova, ali istovicmeno tnože da radt samo jedan posao, Vremena poircbna svakom radniku za obavljanje jednog posla su daia u skdcćoj inbeli,

OrERAC!Q\A iSTFAŽn'ASJA______ ___________________ _________________ ______

RadniciPoslovi

* P2 1 A 1 -

7 i \2

R t 6 | 12 1*3 4

B , 4 fi. ' i '

IK 2 n3 J 1

h

Tabeia 2 ,2 8 .

Potrebno je izvržiti raspodelu radnika na pDsJove tako da ukupno vreme i?:vrtenja poslova bude najkrače.

Olvoreni modei se svodi na jiiaivoreni tako Sto se dodaje vešiačka kolona Ps i

zatim se problem rešava na već opisan rtaCin. Dodavanjeni vestaiike kolonc dobija se labela 2,29.

tQ2

Transportoi probltttt

Sa;K*mgna: Dodavanjem kolone sa nulama prakiiftio sc dobija situacija da u svakom rcdu imamu barjcdm i nuJu pa se fcorak đva preskače.

PosloviRadmci

P'P: ! A 5

% 7 3 2 0

*2 6 L2 1 A 0

3 4 1 A 0

Rt 4 s 3 2 0

* 5 2 3 5 2 0

Tabefo 2.29.

Foslc promcne prva iri koraka dobija se tabda:

Pojloviftadnict

*

i-™—

A3 + £

R, 5 -0 l 5

- —f——o '

. . . .

r 2 4o K . j 0*

1 i o' i 2 0a 5

!

ot

0*

r> °' « |o*

Tabeia 2 30.

Ovim jc postignuto konačno reicnjc koje glasi:

KadniciPoslovi------

P, P* 4

R, 7 3 2 7 0

6 12 t 4 0

* J 3 4 L 4 0

*♦ ” 1 4 8 3 2 0

*5 2 3 5 2 0

Tuhela 2.3!

* Radnik /?, se rasporeduje na posao Pt koji će i^vrSiti za 3 vremcoske jedmice*

* Radnik sc lasporejuje na posao koji 6 t izvriili za 1 vremensku jcdinicu.

103

* Riidnik se laspoređuje na posau P; . Kako je taj posao fikfrvan to znati dače ovaj radnik osiati nerasporcđcn.

* Radmk R se rasporodujc na posao P4 kojj će izvrSiii za 2 vt emenske jedinice.

* Radnik R.. se rasi>OTeđxije na posao P, kt>ji če izvrjiiti za 2 vremcnske jedinice.

DakJe ukupno vreme trajanja jc fi viemenskih jcdinica,

P rim e t 2.7.

Cetiri radnika R ^ R l t R ^ R 4 treba da iz\r5e pei različilih poslova ^Svaki radnik je osposobljen za izvrr3avanje svib poslova, ali btovremeno može da radi samo jedLin posao. Vremetia poircbna svakom radniku za obavljanjo jednog posla sa data slcdećom labelom.

OPERACiONA ISTRAllVANJA___________________________ _______________________

Radntciposbvi

i p i h

A,5 2 1 2

R , 6 57 1 1

! 2 6

* >2 r io r r 3 3

9.. .

2------

.n H -------

12 T4i— ___ L — —

Tabrfo 2.32.

Potrobno je izvrSiti raspodelu radmka na poslovc tako da ukupno vTeme iz^TŠcnja poslova bude n^jkraće.

Kako je broj radnika manji od broja posiova 10 zn&čl da se radi o ohorenom modelu. Potrebnoje dodati veštafkog radmka tj. red R$ i zaiim sc problem reâva

na već opisan naćin.

RadniciPoslovt

J p, p. Pi1*1 n

s 2 3 1 2

6 J i £ J n7 2

16

2 101 _ ..1 Ts

- - -3

92 11 1 12

4n—

0___________ I

i »

0i=

Tabrb J 31

Napomena Dodavanjem rcda sa nubm a prnktiino se dobija sifuacija da u svakoj koloni imamo bar jcdnu nutu p-i s t korak je<i;in preskače.

104

Transporini prohfcm

Posle primene prva iri korakn dobija se tabela 2,34.

Poslovi

RadmciP'

f t9* Aj

*>4 1 2 0 i

**4 3 o' 4

1 90

7 2

* 47

— “ 0

9 2

0 0*7 Z J

0-

Tabeki 2 54

Kako oviim nije postignuto konaCno resenjo to nastavljamo sa postupkom. Posle primcne koraka 4 i 5 dobija se tabela:

->

Posle primene koraka 6 i razvrstavanja nuia dobija se tabela:

RadnkiPoslovi

A fl, p,

H3 0* 3 o1 03 2 4 0 3

1 9 0 s 2

7®

9 11 2

*» 0 0* op1 »•

Tabehi 2 36.

105

RadnicjPoslovj

V 4*> 4 1 2 0 i

4 5 0 4

I 9 0 7 2

7 0 9 10 2

0 0 0 0 0

Tabela 235.

Ovim jc ptisiigjiuio konačno reficnje kojc glasi:

OPERACIOSA tSTRAZlVASJA________________

RjdntC]Pos ovi

P- 1n T j* *

* 52 ,

3 1 11 1 21-|

Pi

Cj 6 7 2

~*

R, i 10 | i . _ —i“3 "

9 "2 ______ | 11

0: !

to___________________________

0 iI0

Tabeto 2.3 ?.

* Radnik Rt sc rasporcduje na posao I \ kuji će izvršiti za 2 vremenskejedinice.* Radmk R2 sc ras|>oretUije na posao PA koji će L?.vršiii za 2 vremenske jcdimc«.

■ Riidnik R 2 sc rasporeduje na posao P koji će izvržilt/a I vnemettdcujedinicu.

* Radnik R. se rasporedujc na posn'io P2 koji će izvrsiti za2 vremenskejedmice.

* Radnik sc rasporcduje na posao R . Kako je ovaj radnik fiktivan Lo znači da posao nećo biii izvršen,

EJaklc ukupno vrcmc trajanja jc 7 vrcmenskih jedmica.

2 ,7 3 M A K SIM A L N A V R E D N O S T FUN'KCUH CILJA

Ako u fomiulaciji iransnortnog zadalka podaci cri predsiavljaju profit koji se

osivaruje pnltkom izvrScnja posla ili neku sliCnu vdjčinu čijem se maksimiziranju teži, tada jo potrebno naćt maksimum funkcije cilja.

Zadat;ik rasporcdtvanjj u kome se traži maksimum funkcije ciija sic rešava i.^ko Slo sc primenjuiu ncito i/menjcni koraci 1 j 2:

Korak _ 1; L’ronalazi se najveći ekmen! u svakoj kolont i uduzima se ođ svih clcmtnata tc kolonc.

Korak 2: IJ redovima gde nema nu]a pronalazi se najveći demeni i oduzima se od svih demcnaia log reda. Ostali rcdovi sc samo prepisuju nei/mcnjcni

Kako £a funJficiju cilja važi;

min F (X ) = ~ m a x F (-^ Y )

K> je poirebno fjve dcmcntc tabelc koja se dobija nakon primcne fcoraka I i 2 pomnožiti sa -1 t nastaviti sa reJavanjcm zadatka kao u $lučaju pronalazenja minimuma funkcijc cilja.

106

Ttiatsportni pt'abU'm

P rim cr 2.8.

Cctin radnika R ,,R 2, fl}> R4 treba da izvrae čvuri ra^lićita posla

Svaki radnik je osppsobljen /n i7\T,šavanje svih p o sb v a t ati istovremeno ino£e da radi sarno jedan posao. Profit koji svaki radnik ostvaruje prilikorn obavljanja jednog posla dat je slccfcćom tabeiom*

RadniciPosiovi

P, P,

R <6 2 4 n

& 3 LO 2 5

4 1 1 3

1 2 \ 6

Tabela 2J&

Potrcbno je irvTsiti raspodelu radnika na postovc tako da ukupan profit tuidc najveći,

Posle primene prva dva koraka dobija se tabela:

RadniciPostovš

p*0 0 0

-3 0 -2 -7

-1 -1 -7

r 4 -2 -50

Tabeta 2 39.

Poslc innožcnja elemenata sa - 1 i razvrstavanja nula dobija se tabela 2 40,

RadniciPbslovi

: *

0* 8 O' 6

*2 3 0 2 7

0 l 1 7

*4 2 5 0 3

Tabefo 2.40.

107

Ovini jc postignuio konačno resenjc koje &lasi:

OPERACtObtA tSTRAŽIVANJA_____________

RadniciP05t0\t

| i p** * n 2 4 \ i i

Ri3 n io [2 f 5

i *. * 7 1 1 3 '

K, ! 2 . 1 [ 6

Tah*h2,4l

* Radmk /?, sc rasporeduje na posdD P4 koji će izvr&iti sa profitoiti od 12 novtamh jedinica.

* Rsdmk R 2 sc rasporeduji; ra posao ,P: koji će Izvršili 5a pmfitom od 10 novčanih jeditiica.

* Radr.tk R^ se rasporeduje na posao Pf koji Će izvršiti sa profiiom od 4 novćanih

jedimca,* Radnik R+ sc rasponcđuje na posao i\ koji će izvršiti sa profitom od ) novčane

jedintcc,

Uknpan profit koji se osivaruje ovim reSenjemjc 27 novčanift jcdinica.

LITERATURA

1} ChiangT A , FuntfaHienlal mzthads o f maihemaiical economics, McGraw I f i l l„ London, j97S.

[2j Cupič, M* Rao Tummala. V. Savremeno odiučivanje - rncfode i primetui, Beograd, I9 9 l .

[3] Klem> E.h Mathematical mcthads in theortticat ecottotnics, Acadennc pressh New York, )973,

[4] Lancaster, K.> Mathćmatical economics, Macmiltan, Kc\v YorkH 1974.[5] Leković, M-,Teorija i metnde odiučivanja, Priština. 199S[6] Petrićh J.p Operaciona istraživanja 1. / /T Beogiad, 1979.[7] Shamblin. J., Stevens, G., Operations research, McGrau HilL Tokj'o, !974.[8j Stojanović4 D.f Ekonotnsko-matemcjiički metodi i tnodeii, Heograd* 1990.|9] Tourki, M.T Mođeliranjeekonomskihprpcesđ^ Bôgrad, 199 ][10] Tourki, M,, Stohastički procesi i modeh programir&ftja it ekonnmiji, tteogratl,

I9S6[1 \ ] Tourki, M, Backović, M,s Matematički modeli i metodi u ekonomiji, Beograd,

1995,[12] Vukadinović, S, Transportni zadatak Itneamogprogramiranja, Beograd, 1979.[13] Zcćević, T.yMatemalićko i statistićkn modćliranje, Beotîad, 1974[14] Zećević, T , Operaciona istraiivanja, Beograd, 1974.[15] Ži7rićt M.j [.(ivrić, M.t Pavličić, D., Metodi stafističke anatize, Bcograd, 1992.

~ ■■ 4

108

Te’hnika nuv-nng plauiranja

3. T F .H M K A M R E Ž N O G P L A M R A N J A

U mnogim realniin situacijama, mćnadžeii preuzimaju odgovomost za plamranje, mspoređivanje i kontrolisanie pi'ojckata koji se sastoje od velikog broja nezavisnih akdvnošli koje izvode razHĆili delovi preduzcća, razlitjti ii:vršioci itd. Ovi projekti su često veliki i komplekaai da menadžer nije n nogućuosti da pam£i sve detalje vezane sa plan, raspored i reahzaciju projekta, U ovakVim siluacijama su se im ietno korianim pokazale tehnike mrežnog planiranja kao pomoć menatižerima da iznesu sve odgovornosti koje tm nameču zahtevi upravljanja određenim projektom,[3].

Tehmka mreaiog planiranja (TMP) je zajednički naziv za veći broj postupaka ptaniranja i upravljanja projektima, čija je zajeđnička karakteristika gratički model toka procesa, takozvani mrežni dijagram, [5],

Mrežni modeli imaju veoma veliku važnost pri izuCavanju nauke o upravljanjuf najviSe zbog toga što se modeli realnih sistcma relativno lako razumevaju i prikazuju u formi mre£e i 3to se preko tako prikazanih problema obavlja jasnija vizuelna prezentacija samog realnog problema koji se razmatra [21.

Već sada je poznato oko 30 raznih modifikovanih metoda Eehnike mrežnog planiranja, koje su izvedene 12 dve osnovne metode: CPM (metod kritičnog puta) i PERT (metod oeene i revizije programa), kako je to prikazano na slici 3,1.

Slikii 3J. Osnovne metođe fefotike tnrežtipgpfaniranja

Opšta kaki'akteristika TMP, u odnosu na dnige m e tn d e , je njeiiEi siroka \ masovna primenljivost, TMP svoju primenu jma kod planiranja:

1 r naučno - i straživafik ih i razvoj n i h proj ekata s2. razvoja novih proizvoda i procesa,3. projektovanja investicionih objekata ( fabrika, saobraćajnica i s l) ,4. odrzavanja velikih i komplikovanih sistcma.5. projcktovanja i proizvođnje novih inđustrijskih sistema, [3].

109

Pnmena TMP zahteva timski rad. Pn'tir /bog loga Slo se ;raa:nc vrsie potrebnih informacija od strane razliCitih simčjijaka, i drugo Sto je :o metod koji u pLamtanju nckoc; zadatka anyti/ujy sve učesnike odredenc z:a n je g o v o i/vrSenje [!]■

Projckt m^nadier mora raspoređnati i koordinim!i razlifite izvrSioce posiova i akiivnosti, sve u cilju blago\renienopL i^vršcnja projekta. Taktor koji otežava tzvriavajije ovog zadatkaje medusobna zavisnost aktivnosti' ireba imati u vidu da blagovremcno obavljanjc pojedinih poslova oslovljava poćetak i ohavljanjc nartdnih. Ncki projekii ftađržć iak i po flekoliko stotina specifičnih aktivnosti, i razumijivo je zafto projekt mcnadžeri primenjuju procedure koje im pomažu da pronađu odgovorc na sledeća pLtanja:

I Koje je ukupno vreme potrebno za zavrSetak pmjekta?2. Kada jeT po rasporedu, poćetak, 3 kada kraj svake posebne akti^Tiosti?3. Koje aktivnosti iu "kiititinc'1 i moraju se zavrSiti tačno pO rasporedu u cilju

za\ r5avarja projekia na \ reme?4. Koliko dugo se poćetak "nffkriličnth11 aktivnostL mo£e odlaâti prc nego Sto

io odlaganjc bude imalo tuicajn na odlagacje /avršcika celog projekta? [3]

CP.M metađa jc ]irvi puL primcnjera 1957. godine U konci.imu hemijske inđustrije Du Pont de Nemorus and Co {za potrcbc phmiranja gencralnog remOnta i odrvavanja) gde jc onKpgUĆeno da se prosečno vrem^ prekida U radu smanjj od 126 na 93 časa (kasmj;j istra/ivanja su pokazafa da sc to vreme možc sttianjiti i na 7S časova), CPM, kao detenninistićka mcioda. sc koristi u planiranju pmjekata kod kojih se potrebno vreme za tzvršcnjc pojedinih aktivnosti mo7c da normira i unapred preciino odredi. Kod analize vrcincna i rokova jzvrfenja pojedinih posIovaCPM mi:toda operiše samo jcdnim vremenom. Sto nije sluiaj sa PHRT-om kao stohastičkim mctodomN [1).

PERT metoda [ma poseban značaj 2a planiranje istraiivačkih projckata, iiii radova gde se vremc liiijanja aktivnosti ne mozc prCCiZnO odrediti. vcć ima karaktcr slućajnog - stohastičkoc. PI RT metoda. kao savršenijn i sveoliuhvainija. pojavila se ncsto kasnijc od CPM metodc i prcdstavLja njenu nadgradnju, PFRT mftoda jc ram jena 1958. godine U počctku je PF-ftT mctoda bila uveliko primenjivana na vojnim projektima (Polaris projekat lansiranja projektila). Ova mcioda je razvijena da bi sc razmatrale akiivnosti koje sc ranijc ntsu izvršavale i čtja vrerncna ntsu btla unapied poznata, Kako je primcnom ovc metode postignut vtliki uspeh na vojnim projektima, otuda jc počeh njena primena na velikom broju civiinih poslova. Kod ovih projekata nijc moguće dovoJjno precizno odrcdin trajanje pojedinih aktivnosti, pa se pomoću statističkih metoda odrcđujc njihovo očekivano vrcme trajanja aktivnosti (tr)y. Otuda PKRT metoda omogueujc da se računa i plamra sa odredcnim elcmemima verovatnoćc, odnosno sa određenim elementima slučajnosti, [3].

Prednosti T \fP stt; dcialjna razrada svakog pcjcdinaćnog projekta, tj. zadatka; prethodno upoznavanje svih izvriiiaca sa zadatkoin i njihovC aktivno ukljućivanje na realizaciji projekta; odrcdivanje međusobnc zavisnosti pojedinih aktjvnosti u jednom poslu, Sto omogućava raciondtizaoiju vremena i sredsuva; cfikasno otklanjanje poteSkoća U izvođenju projekta; pravovrcmeno saglcđavanje negativnih (ometajućih) faktora koji mogu uticati na planirant iok izvršenja datog posla; ut vrđtvanje realnih rokova za izvrSenjc planiranih zadataka.

OPERACIONA iSTRAliVA N J A ______________________ _____________ ____________

UO

Tchnika mrežnogplaniranja

Primenom TMP ostvaruju se sledeoi eitjevi:• skraćivanje rokova izvTŠenja projekta,■ |nižavanje croškova projekta,« bolje iskoriščcnje kapacitetan i slično, [!].

TMP se ostvaruje kroz cetin faze:/ 'l. AmUza strukture* U ovoj fazi se vrsi posmatranje f uspostavljanje logičkeO zavisnosti pojedinih delova projekta (aktivnostt) i sastavljfinje mrežnog

dijagrama, Ova faza se izvodi na Lsti natin za CPM i PERT metodu,/ /2. Aftafiza vremena. Ova fćiKa se izvodi poslc analize sLiukture i obuhvata ^ procenu vremena trajtinjLi Eiktivnosti i projekta, određivanje kriličnog puta

j vrcmcnskih rezervi aktivnosti. Razlika i^mcđu CPM t PERT mctode je u postupku aaialize vremena..Anaiiza troškovti. U ovoj fazi govorimo o analizi troSkava, tačnije o Iroškovima aktivnosti i projekta, kao t o odnosu troškovi-vreme za aktivnosti projekta. AiiEiliza troškova, kao Ineća fazan ne moie $e vrSiti nazavisno od analize struklure, analize vremena i aaialize raaporeda reaursa, Faza analize troSkova obuhvata postupke odrcdivanja zavisnosti i/međ'u vremenEL trajdinja aktivnosti i. troskova potrebnih za njeim rtalizatijLi. Anafiza i raspored resursa. Četvrtu fazu pnmene TMP čini analiza l raspored resursa. Ovo je jcdna od složenijih i najtežth faza u TMP, Analiza resursa ntvrduje odnos vreme-sredslva {troškovi. kapaciteti). Ova faza je usmerena na iznalaženje načina i mogućnosti za smanjenje troškova, odnosno optimizaciju angažovanja resursa, [l].

o -L

3-1. ANALIZA STRUKTURE

Prva faza TMPt hez obzira da Ei se radi o CPM jli PERT metodi, obuhvata analizu strukture i ona je jedin&tvena za obe metođe, Analiza strukture u inrežnom planiranju podrazumeva oaredivanje rcdosleda i uzajamnih zflvisnosti svih aktivnosti. Polazeći od tehnoloških i organizacionih uslova, sve aktivnosti se povezuju u jedan grafički model - Mrežnt Dijagram (u daljcin tekstu MD). Miežni model je rezultata analize stnikture.

Mrežni dijagram jc:* tnstrument graflčkog prikazivartja organizacionih, tehničkih i drugih

uslova ia ostvarenje jednog projekta (posb). Njegova uloga u praksi ogieda se u tome što se na vizueian način (boEje. lakSe i eflkasnije) pianira, ostvarjje i prati odredem posao.

* matematički mode!. koji se može detaljno i tačno analizirati, na kome možemo eksperimentisati t objasniti do kakvih nas rezultata dovodi bilo koja konkretna zamisao realizadje nekog projekta.

* logička grafička predstava redosleda aktivnosti utvrdenog tehnologijom izvodenja određenog projckta. RcdosEed aktivnosti i njihovi međusobni odnosi Cme struktum projekta, koja u zavisnosti od složenosti projekta* daje manje ili viê razgranatu mrežuT [1].

OP&RACIGNA ISTI142IV.4XJA

3.M. ELEMENT1 MREŽKOG DIJAGRAMA

Osnovfii clcincnii mrežnotr d ijayrama su:

• prOjekath• aktivnosi e

• đogađaj.

Sfika 3.2. Ofntnmi eleinenti mreirtCg dijagrama

Ptojt'kar

Pnojekat predstavlja skup aklivnosti (tehničkitt organizacior.ih, ekonomskih itd.) kojc nas [iovode đo realizovanja odrtMcnog cilja. Projekat tnoni sadii'ali podatke i zahteve koji sc odiiosc m tehnička, tehnoloSka, orsani/aciona e finansijska podrućja da bi cilj bio sto jaanije dcfuiisan, Da bi se |el[cni cilj mogao nealizovmi mora &c raspolagati sa projektom ili nekiin prograniom nda. U /^visnosii od veiičinc i obima radova koje projeknit ili program rada obuhvata mo/e se Einaii nckoliko stotina lti hiljada međusobno povezanih poslova u kojima učestvuje veliki broj ra/nili organizaciomli jedimca ili radnih organizacija [6],

Primonom TMP' svaki projckat mo/.t1 se predslavili u obliku MD koji se sastoji i/. međnsobno povezanih duži ortjentisariih strelicama,

Pod pojmom projekat u TMP podraziimevamo:* naučno istraživačke i razvojne projeku (novi proizvodi, obrada novih

Eema. izdavanje nove knjige itd );* privređni projekn (veliki sistemi+ energeiski objekit, planovi rcali/acije

investicija, plauov i montaze, l2gradnja ^gradn, ulics, mostova, M ) ;■ planiranje kadrova (na ntvou pfcđuzećan instctucijc, obuka kadrova za

nos'u fahriku, itd.};■ dru$f\*rte i kuHurne aktivnosti (organizacija stručnog savetovanja,

kongresa, snimanja filmova, itd.>,

Aktivnost

Aktivnost je drugi osnovni elemcnt mrežnog dijagrama i predstavlja jednu ctapu radnog procesa (operaciju), odnosno ona je jcdait delić u reaJizaciji željenog cilja kojt je dcfinisan ptoiektom.

U zavisnosti od uti'Oška vrcmena i sredstava može imati sledeča znacenja li MD:* odrcdenu etapu radno^ procesa koja zahteva utrosak \ remena i sređslava

(oruda za rad, sirovinc, radnu snagu i slično), Na primer, sklapanje automobtla, zidanje ohjekta* armlranje objekta, ud.;

trtčetak zavriatakptvjtkta projekta

112

* čekanjc (proces koji rr;i/iH a ne i s r t^ ta v a ) , NTa primer, vretne su&enja boje, stezanje botona, itd,

* zavisnosi koja ne trosi vreme ni sredsiava {ftktivna aknvnast),

Drugitn rciima, aktivnost je rad koji sc odvija i/tneđu početnog i zavrSnog događaja (kruiića) u siekom poslu, iii poka/uje uslovljenesi doiova, o d ro sn o aktivnosti u mrc^nom dijagramLi. Aktivnosti po svotn obimu najOežće obuhvaiaju poslovc: pisanjn jzveStaja, prikupljanja ponuda, upoređivanje ponuda, donošenje odlukc, isporukc gotove robe, nnbavkc r^zervoib delova i slično. Za projektc: izgradnja hidroelekirane, osvajanje novog tip<j rnotora sa umKrašnjim sagorcvanjemn organtiovanje sti'učnog savetovanja, obuka kadrova za novu fabriku. izdavanje nove knjige aktivnostt bi bi]e:

* izrada idejnog projekia, i/rada glavnog projekta, finansijska konsirukcija, ugovaranje i anyažovanjc izvodaia radova ildt

* konstrukcija novog tipa motora. i/rada modela, t/rada delova, izrada protoiipa, ispitivanje prototipa. i/cada tchnološke dokumentacije itđ,

* odabiranje temc za savetovanje, angažovanje rofercnata* priprema materjjala za savetovar.je, reldama, organizovanje smeStaja učestnka itd„

* saćinjavanje projirama /a obuk j kadrova, odabiranje kandidata za obukuT anga/ovanje predavača, sačmjavanje rasporeda obuke itd,

* priprcma rukopisa. receuzija, korektura teksta, priprema fttampanja, stampanje knjige. slaganje, pove/ivanje. distribucija.

Svaki pojedim /adatak (aktivnost) može se joS detaljnije raščlaniti u zavisnosii od toga / a koga je namenjen mrežni dijagram.

Tako na primer konsunkcija novog lipa motora mo/e se raSčlanit: na: konstrukciju motomog mehanizma, konstrukciju sistema za podmazivanjeT konstrukcjju sistema za hladenje, konstmkciju elektro insialacije, itcL Ovu sada predstavlja čitav splct medusobno povczanih aktivnosti koje se miose u inrežni dijagram da bi sc pratilo njihovo izvr5cnjcT [5].

Đ o g đ d a f

Dogadaj je sledeči dem ent mrc>ntig dijagrama 1 predstavlja trenutak poćetka ili zavrSetka jedne ili više aktivnosti. Događaj ic stanjc u komc neraa aktivnosti, alE je istovrcmeno i cilj pojedimh aktivnosii i uslov da druge aktivnosti mugu da počnu, Dogadaj ne tra/i trošenjc sredstava t vremena, PoOetni (prvi, 1) dogadaj projekta nema prcthodnu aktivnost, a završni (poslcdnji, n-ti) nerma narednu akiivnost. Za primcre aktivnosti koje su napred navcdene dati su đogađaji koji \z njib proističu:

* idejni projekai napravljen. glavni projckat zavrsen, fmansijska konstrukcija zatvorena itd,

* nov lip moiora konstnnsan, modcli napravljeni, delovi proizvedeni, prototip napravljen, prototip ispitan, ttd,

* tema za savetovanje odabrana, refeienti angažovani, materijal priprenv lien, rcklamiranje sprovcdcno, smeStaj učcsnicima obczbeđen. itd,

___ ___ Tehmka mreinog planiranja

U3

* program za obuku kadrova napravljeru odabira^jc kandidata /avrscno, prediivaći Eingažovani, rasporcd napravljen itd,

* mkopis pripremljen, recefizija izvrSena+ tekst korigovan, materijal pripru- mijen za štampu, tld, [5].

Mrežni dijagfam nijc niSta drugo do konaćan graf orijeniisan strelicama. Grafovj se prcdstavljoju u obbkn tać,ika povezanih dužima orijentisaniTn strciicama, Taćkc mogn da predstavljaju proizvoljne skupove: geografskc ptinktove, stanice+ čvorove i!i događaje,

Shkti 3 3 Kanačtti g ra f onjentisan duzima

Đu3i. orijcntisane sirclicama, odražavaju uzajamnu povezanost tih c]emenataskupova i!i redosled /bivanja pojeđinih događaja. Konticar, graf, sa dužimaorijontisanim strelicaTna* na/Jva se mrežom. [ l ]

Postoje dva oblika grafičkog prikazivai\ja tnreže:■ MD orijentisan aktivnosttma i* MDorijentisaji dogadajima. [5]*

Sve više je u upotrebi mre?ni dijagram orijentisan akiivnostima Naime, kod ovog načina prikazivanja aktivnosti se pnkazuju pomoču duži orijentisanih strciicom u pravcu vremenskog odvijanja posla (s leva na đesno). Pri tome dtiJina strelice mjc monlo za vremensko trajanje aktivnosii koju predstavtja D o^daji se i;rafi£ki predstavljaju u obliku kmga.

Poćttiii do-gađaj PosmatrGna ZavršnfđogactajaktivnostiA akiivnosr aktiMiosti A

© --------<D tF »Q-------->0Pretkodna Vheme trajatifa Narsdnaaktivnost akttvnosti akftvnosi

Slika 3,-4. Osnovni eU'menii MD otijenfisttn akrivnosuma (i-j)

Na slici 3,4,+ prikazan je osnovni elemcnat MD koji se sastoji od:* početnog "f'" i završnog "f' dogadaj tekuće aktivnoBti A,* od prethodne i naređne aktivnosti u odnosu prema ickućoj akdvnosti i* vremena trajanja ^ aktivnosti Au m [1]

N a slici 3.5, prikazan je primer mrcžnog đijagrama, koji se sastoji od tri aktivnosti i tn dogadaja.

OPERACIONA ISTRAZtVAKJA________ ___________________________________________

114

Tebiika mreinog pianiranja

Slikn 3.5. Primcr MD sa iri akiivtiosti i iri đcgttđctjtir

Događaji su označeni celim pozitEvnim brojcvjmn (0, 1 i 2). Opisi aktivnostt zamenjeni su pojedinim velikim slovima (A, B i C), Duž ortjentisana od događaja 0-2 pred&t&vJja aktivno&t A, od 0-i aktivnflst B i od 1-2 aktivnost C.

PH grafičkom pred&tavljanju kmg, koji pređstavlja događaj. se možc podeliti u tri i!i Cetiri po!ja, zavisno od broja i \r«ttc proračuna vretnenskih parametara. U narednom izlaganju zadrzaćemo se na događajima u obliku kružića sa tri polja, slifca 3.6.

f \ \ h> r o w |r \V J ' M i h j

Siika 3.6. OhUk đagađajti sa tri polja

Uobičajeno je da se počemi i završni događaj bilo koje aktivnosti obckžavaju celiin pozitivnim brojevima, pri čemu treba ispuniti uslov da je \<j. Za bilo koju aktivnost početm događaj se osnaCava sa /, a završni događaj sa j t dok sama aktivnost nosi o^naku (i-j).

S/ika 3.7. Pr'ikaz MD saJiktivnom tfkfivnošću

Na slici 3.7. aktivnost A prikazana je punom linijom (orEjcntisanom strclicom), što je nobitiajeno /a grafi£ko predstavljanje aktivnosti koje imaju trajanje,

Aktivnoji E je prikazana isprekidanom linijom šeo je uobičajeno za grafičko predstavljanje aktivnosti kojc ncmaju trajanjcj a uvodc se da bi se pređstavila međusobna uslovljenost aktivnosti (fikttvne aktivnosti), [i].

OPEfUCtONA ist r a ž iv a n ja

3 J , 2 , P R A V I L A K O N S T R U I S A N J A M D

U ciljj postizaiiia vcrodostojnosti prikazu nekog projekm utvrdens su izvesna pravila kojih sc ireba pridr2avati prilikom konstrukcijc MD orjjcnHsanog aktivnosii ma,

L AktivEiosti se prik;i£uju stielicatna čiji jc smt;i s leva ra desiio, Događaji se prikazuju krugovima. Svako aktivnost otpočinje i završava sc (iogada)cm (slika3.S), [5].

2. Svaka nktivnost mora po6eti jednim doftiđajem i zavrsiti se jednim dogattajejn, slika 3.9.^b, Na slici 3.9.a prika/ana je pravtina ^rafićka prcdstava aktivnostj AtB i C. Dok je na slici 3$ .b prilcazana nepravilna prcdstava aktivnosti A ^bcz poćetnog dogadaja) i aktivnosti B (bcz završnog <iog,ndaja).

6)

A

o - ^ oSHka 3 8 Pnkuz jeituc

aktivnosti

SUka 3.9. Prika* previtriog i tteprai ifaog ptedstavfjanja aktivnasii

3, Ako ra/matrara {ickuča) aktivnosi ne možc početi pre ncgo sto buđe završena aktivTKist kojajoj predfiodi. drugim rcčima nko se nckn akuvnost zavrSava pre tiego sto naredna može otpočeii, onda se tc dve aktivrosti moraju prikazaii kao redosicdni niz aktivnosti. Daklc. poslavijaju se u rcd na taj način, Sto zavrsni događaj prethodne aktivnosti postaje zajednicki jideniičaro sa poćcmim dogadajem razmatrane (tckuće) aktivnosti, slika 3 .! 0.

SHka 3. fO. Prikaz redasleda aktivttosti

Da bi aktivnost B mogla da otpočne potrebno je da budf zavrSeiia aktivnost odnosno Cmože početi posle ziivršctka aktivnosti B.

4, Ako dvc ili više akttvnostt morajn biti zavrSene da bi sledeća aktivnost mogla otpočett, onda se sve one moraju zavr£iti u početnoni događaju slcdećc aktivnostL Kada se aktivnosti A i B zavrSe, postiže se stanje (fiogadaj :} koje omogućuje počctak aktivnosti S (slika 3,11).

116

Tghmka. mrež?\Ć/g plđrtitanja

AktivnOst S može početi lek posle znvršetka alvtivncsti A i B. Akrivisosti A t B usiovljavoju početak aktivnositi S> pri čemu je zavi'štii dogadaj i aktivnosti A i B zajednički sa potcmim događajem aktivriosti 5,

Slika 3.1 1. Pravilo 4

5. Ako vi5e aktivnosti može otpočeti posle zavrietka prethođne aktiviiosti, onda sve tc aktivnosii /.apo£injLi u zavrSnom događaju prethodne nktivnosti (slika 3,12). (I]

Siika 3.12. Pmvilo 5

6. Ako dve ili vise aklivnosli imaju zajcdnički počcini e zavrsni. događaj. tada je [ijihova identifikacija ncodieđena. Iznieđu dva dogadaja može sc nala/iti samo jedna aktivnost. Na slici 3.13. data je nepravilna kor.srrjkcija mrežnog dijagrama. [5]

B

Stika 3.13. Nepravihta koftstriikcija mrežnGg đijagraitiv

U ovom prhneru aklivnosti m sledeće: A - ulazak voza u stanicu, V~ prclaz putnikaT $ - pretovar službenih kola i D - polazak voza iz stanicc, Mora se osigurati jednoznačno označavanje uvođenjem tzv. Jiktivne akrivnosti na počcmom (sJika 3.14.) ili završnom događaju (slfka 3.15.). [5]

SUhr 3.15. Priktiz uVOđenjtijtfkiivne jaktivtiojifi na "avršnotn dogndaju

117

OPERACIONA [STRAtfVANJA

Nft &lict 3 13. akiivnosii B i C iiTiaju zajednički po0cci:i t i zavrini ; dotâđaj. sio je nedopu&tivo. Ispravno rešenje prikaznno je na slikama 3,14, i 3.15, gde se uvodenjcm fiktrvne aktivnosti {S \ Čtje je \ren ic izvršettjfl ravno n u Jo m o g u ćav a jedno/načno označavanje aktivnosti. [S}r

7 . Ako se u jednom događaju završavaju i poCinju vtSe akuvôsti kojc nšsu međusobno zavistie, onda se prave Eavisnosti moraju prikazati pom oću fikrivnih aJaivnosti, Na slici 3<16., prikazane su Četiri ataivnosiil A, B ,C iD , [1]

Pretpostavtnui da aktivnosi O moze početi poste zav rk'ika akii\ nosti B, nezavisflO od zavr£ctka akii\no.sti A, i đa aktivnost C moče početi tek kada se zavrSe aktivnosti A i /?, onda dati prikaz ne odgovara stvampj zavisnosti,

Na slici 3 A 7, dat je jedan pnvilan naCin prika2ivanja med;isobne zavisnosti prethodni3i aktivnosti (sa navedomm pretpostavkama) pontoću vežtaCke aktiviuisii, v%

Ako tmamo sliičaj da je jedna od tri naredne aktivnosti zavisna od prethodnc dve, na primer: aktivtiost D zavisna od A i B, a da su naredrte dve C i E zavisne od jcdnc prethodne (C zavisna od A i E zavisna od B)t tada bi graflćki prikaz, takvog mka izvođenja, bio kao na sfici 3.!S. [\]

8 t l nekom projektu, zavisno od tehnologije od\ijanja radova, u niz ređno povezanih aktivnosti (A% B i C) moie se ukljućiii proizvoljan broj fiktivnih akuvnostt (Sf i Sm\ a da se pri tome ne namše prineipi konstrukćijc MD, slika 3.19.(1]

Slikn j 18. Prikaz priittentf pravila 7

Shka S /ri Primerpogre&iflg M&

Slika 3 J 9. Prikaz ptimene prttvi ta &

Tehnika nirežnog pltininmja

9. Ako neka aktivnost može pocett posle dclimiOnog zitvrêtka prethodne aktivnosti,, onda se ta prethodna akrivnosi mora ptideliti na potrcban brojj dclimičnih aktivnostL Na siici 3,20.3, aktivnost B može početi pre ncgo što jezavršena komplema aktivnost A

Aktivnost A je morala da se Jjodali na dva đela» tj. Na dve dehm ične aktivnoSfli Aj i Ak Ta podela je potrtbna da bi se nskladio poćetak akLivnosii V. Medutim ako je potrcbno podeEiti akttvnofit V da bi jedan njen deo otpopeo nakon zavrsetka aktivnosti A>, MD će izgiedati kiio dijagram prikazan na sEici 3,2G.b.

Slika 3.20. Prikazprimene provila 9

Ovako pređstavljene aktivnosti u M D nazivaju se preklapajuće akcivnosti.

10. Jedna aktivnost se može samo jcdtiom (vremenski) odigrati,Stvaranje petljj (zatvoreni cikiusi) u MD nije dozvoljeno. To znači da nijcdan put u MD nc sme dva pnta da prolazi kroz tstt događaj. Na slici 3 .2L, primećujemo da put (M -2-3-1 dva puta prolazi kroz događaj (1), što je nedopustivo, [5].

SUka 3.2/ Nedozôljenapeitja

3 .1 3 . FAZE RAZVOJA ANALIZE STRUKTURE

Analiza stiukture ti TMP obnhvata četiri osnovne faze:1. Sastavljanje liste aktivnosti (lista aktivnosti sadrži &ve radovc i postupke

koje treha izvesti u toku trajanja projekia).2. Utvrđivćtnjš matrice MBčhizCLvisnOSti aktivnosu,3. Cricmje (konstruisanje) mrežnog dijagram a.4. Kontrolu da h MD projGkta ispu?\java osnovna p ra v ila .

Lista aktivtiosti

Program ili projckt raSčlanjujemo na aktivnosti Lista akiivnosti prcdstavlja spisak svih radova, tjr aktivnosti u jeduom poslu. Sastav!janjem liste neophodnili aktivnosti za realizaciju po stavJjenog cilja, istovTeinejio se utvrđuje i njihov logićan redosled. Da bi se sačinila lista aktiviiosti mora sc dobro pozna\paii problematika projckta, a često na tom puslu rade i konsultuju se grupe simcnjaka kako bi redosled aktivnosti bio što bliži optimalnom.

} }9

Spisfik atttvnosti predstavlja polaziiu osnovu za konstruisanje rnrežnog dij:iyrama, Gd njegove obuhvatnosli i kvaliteta zavisi koliko će mre/.ni dija^ram feaino prcdstaviti projekat.

Do spiska aklivnosti m oie sc doći, kada sc radi o poznatim projektima, preuzitnanjcm infbmiacija od stičnih projckaiii Međtnim, kod novih prqjckamT u kojima ncma informacij;3 o realizaciji slićnih projekala, do spiska aktivnosti moče sc doči samo sisicmatskom analizom projekta (njegovom podelom na ddove). Nakon sastavljanja liste aktivnosti sleđi utvtdivanje mcdusobne 2avisnosti pojediniii aktivnosti. Za utvrđivanje medusobnc zavisnosd pojedinih aktivnosti koristi se inatrica merfuzavisnosti aktivnostin koja j t prikazana tabclom 3 1

Mtttrfca međuz/itvisnosti aMtivnasti

operacio h a istraživanja ________________________________________________ ____ ________________

POSM ATRAM A K T I1 NOSTA n c D E F G\ ** / j K

A " L+

g B +

% <L +D +

'»7- £ + + +\ !{■ ± + +(} +

£?"i1 i./ +K

Tabt'Ia i. /. Osnovno m atrica

PoČetni podac^ u zadatku mrc/nog plnniranjii se zadaju u vidu tabele. Pre nego ilo sc piedc nakonstrukciju MD, međusobni odnosi aktivnoHti mogu scpredstaviu tabclanm pomoću osnovne manice. Matrica jekvadratna i ima onoiiko redova i kolona koliko i aktivnosti u datom projektu. U tabcli mednâvisnoSti, po kolonama, su obuhvaćene posmatranc akiivnosit, a po redovima prethodne aktivnosti,

Tabela zavisnosti i/među aktivnosti o/naćava se unoScnjem ođgovarajućeg /naka *) u polje koje se nalazi u prescku rcda i kolonc mtidusobno zavisnih aktivnosti.

Prilikom âsfavljanjfl matrice tj. unošenja znaka (+, *) u odgovarajutc polje* dajc se odgovor na pitanje: koja aktivnost prethodi posmatran&j aktlvnosti. Odgovor na ovo pitanje unosi sc hj matricu odgovarajućim znakorn u odgovarajući red, Za slučaj đa su znaci (krstići) u mairici pOSlavljeni u kolom (vcrtikalnoj liniji) kižemo da puimalrana aklšvnost /avisi, od odredenog broja prethodnih aktivnosli.

U ovoj matriei aktivnosti A, B i C $u nczavistte j ne prethodi im mjedna aktivnost, Aktivnost D može otpoieti tek nakon što je zavrSena aktivnost A. Akfivnost E možc otpočeti nakon završetka aktivnosti B„ aktivnost F može otpoćeii nakon završctka aktivnosti C aktivnosti Gt I i J nakon zavrSenih akti™oiti E i F, aklivnost H nakon zavrSotka aktivnosti D i (J, a aktivnost K nakon zavrseno /. Trcba naglasiti da sc kod analiz? sirukturc joS uvck ne rcgulisu vrcmcna irajanja, nego se samo razmatra međusobna tislovijenojit, redosled i odnos aktivnosti.

120

Tehnika mrežnogplaniranjg

Na osnovtt pođataka. o medusobnom odr.osu aktivnosii, kuji. su prikazani tabelom.3 .L f veoma b k o se konstiniše odgovarajući mrežni dijagram, Ctenačena mesta po kolonama ham govore kojc sve prcthodne aktivnasri moraju biti zavrsene pre početka posmatvane aktivnosti.

Tcihaia 3.2. hfatrica aktišrhosti

Naiivaktivnosti

(posmatrana)

Fretliotln«akfivnosti

Prctliodnidogađaj

Mj"irtfogađaj

y .

Aktivnustd-j)

Vremetrajanja

tjjt 2 3 4 5 6A : 2 1-2 3B - [ 3" 1-3 5C - t 4 1-4 2D A 2 6 2-6 8E B 3 5 3-5 16F C 4 5 4-5 12G E,F 5 6 5-6 5H D.G 6 8 6-8 4I E,F 5 8 5-8 8J £ rF 5 7 5-7 3K J 7 8 7-8 2

Treba imati n vidu da će potetni događaj posmatranc aktivnosti istovremeno biti završni događaj svih aktivnosti koje, u poljima te kolone. imaju odgovarajući znak. Posmatranjem oznaćenih mesta (poljti) po redovima dobijamo odgovore koje sve aktivnosti mogLi početi posle zavrselka aktivnosti \z tog reda, Završni dogadaj aktivnosti i/a tog rcda predstavljaće poćetni događaj svih aktrvnoffi koje u tom redu imaju odgovarajući znak. Matrica međusobnih odnosa aktivnosti postaje nepraktična, zbog svojc glomaznosti za projekte koji imaju vetiki broj aktivnosli, Moguće je uprosćenje primera sa tabde 3,1. u vidu tabelc 3,2, s kod koje se nrieđuzavisnost aktivnosti iskazuje kroz dve kolone (1 i 2), U prvpj koloni je dat spisak svih aktivnosti posmatranog projekta. U drugoj koloni navode se one aktivnosti koje moraju biti završene da bi započele aktivnosti iz prve kolone, Medusobni odnos itktivnosti, prema tabeli 3 .1. i 3.2., grafieki je prikazan MD na sEiei 332.

3.1.4. NUMERISANJE MD

Kada je konstntkdja MD zavrsena, svi događaji se numerišu. Postoje dva načina. numerisanja događaja MD:

1. proizvoljno i2. rastuće numerisanje.

Kod proizv&ljnog jnumerisattja svakom događaju dodeljuje se jcdan celi broj, pri čemu ne mora biti ESpunjen uslov i<j, ali se mora voditi računa da svaki događaj ima različitu numeraciju. Proizvoljno numcrisanje iina dosta ncdostataka (tcškoće u idcntifikaciji pojedinih aktivnosti i česte greške u redosledu pisanja brojeva, teško

m

sc oikrivaju zatvorene petljc koje je ncophodno ukloniti iz MD, dr>la/t do ponavIjanja hrojeva i sličnoi. I)a bi sc ovi nedostaci L/.be^l], m edeno jc rastuče numerisanje dosadaja prnjeki-i. Svakom dacadjiju doildjuje se jcdan cco broj iz intervala | lî), koji se unosi u odgovara/ući krti/ić, pri čemu sc pofeini dogatlij MD obeležava sa I. a 7y\ršni sa n. Kod ovc vrst^ numeracije Ircba Upo£tovati Uslov i<j, gde }e sa T označen potetTtiH a sa V za\TSni đogadaj bilo koje aktivnosti MD.

Lfpotroba svakog broja LBtervak nam govori o rastučem sukcestvnomnumerisanju Meduiim, rastućc numcrisanje ne inorii da budc i sukcL'sivnOn ito znači da tiiHu upctrebljeni svi ceti brojevi i/. inten.ala ( I ,»), vcć postoji prcskakatije* 1 lo tako što se koristc saino panii ili samo nepartî brojcvi

Rastućc numtrisanje možc se jednoznačno sprovesti u MD projektfl primenom Fulkersnnovog pravila, kojc sc sasioji u sledcćem: Pr\o se poćetni događaj projekta obctcži sa 0 ili L a sve akiivnosii (strelice) koje počinju, fj. izlazc izovog događaja se precrtajti^ slika

Slika 3.22. Fulkemonovopravifo (vprijanra I) i

OPERACIOKA tSTR A Ž IV A N J A ___________ _____ ______ _________________________

U s lc d e ć e m ktiraku treba mntic- risati narcdnim cclim brojtrvima dogadajfr MD, pobreči odozgo na dole, kojima prethode (u kome se zavrsavaju) samo precrtanc aktivnosii {sirclice)t kao n;s slici J.23,

122

Dalji $c postupak ponavlja na isti nacin. U našem s!uC"iju sada bi irebalo precnati svc akiivnosti kojc izlaze \z dopađaja 2h 3 i 4. Stanjc nuincracije đoaatlaja postaje kao na slici 3 r24. i tako rcdmn do fonniranja konainc slika 3.25,

___________________ _____________ l _____________ ______________ Tjthnika mrežnog phmira nja

Slika 3.25. Fulkersonovopraviiv fvanjama 4}

U rastućem numerisEinji.! postoji i numerisanje dogadaja primenom pamih bfojeva, ^likj 3.26. Nepartii celi brojevi stoje kao rezerva i slu£e za Jđopunske aklivnosli koji; treba eventualno uvrstiti u tok aprovođenja projekta- Oni se upotrebljavaju, na primerh ako je neka aktivnost ispuštena 11 i ako se još ncka aktivnost dodaje, [i].

Siika 126. Parna (rastuče) mimerisuttje

F’jlkersonovo praviJo se moSe primeriii na svakom mrežnom đijagramu, bez obzira na n je g o ^ velifmu. Kođ velikih mrežmh dijagrama česio doiazi do pojave zatvorenog ciklusa. Doslcdnom primenom Fulkersonovog pravila numerisanja dogadaja zatvorenc peilje se lako pronaiaze i odstranjuju.

Primer 3. L

Đate su aktivnosti A,BtC,D i E.

D —> A ,B

E ^ B , C

N'acrtati mrežni dijagram i numerisati događaje.

A B C Đ E

A +

B i~r +

C +

D

E

Tuhehi 3 3 i latrica aktivnosti

OPERAOOMA iSTRAŽfVANJA

ReSonje MD za primcr 3,3. dato jc na slici 3.27, Aktivnosti A i V poćinju u istom dogadaju (0), a svojLm za\Tsct- kom ustovljavaju počeitik aktivnosti D Ove dve aktivnosti se moraju âvrSiii u isto vreme, ij. u istom događaju.

Siika 3 2? fttfcnjcprimcra 3.1

Poito se izmeđn dva događaja ne smeju nabziti dvt aktivnoati, uvodc se đvc fiktivne aktivnosti, St i S >.

3*2. ANALIZ A VREMENA

Analiza vrcmcna obuhvata odredi\ anje vremetui trajanja svih akiivttosti koje su predstavljene na MD. Odrcđivanjem vremenskih parametara inožc sc kontrolisati vremensko odvijanje projekta, utiče se na održavaiijL' rokova, Upravljanje, rukovodcnje projektom, ij donoSenje najprihvailjivijih (opiitnalnih) odluka.Posle završetka analize sirukture poiinje primena ana!izc \ rt-mena kao drupa faza u primeni TMP. Analizom vremena utvrduje se:

* vreinc traj a nj a aktivnos11 (pIan irano vrcinc za izvrScrye je dnc aktivnosti),* proračun vremena u MD , unapred i unazad,* kritifni put i kritične aktivnosti na tom putu,* vrcmenskc rezerve aktivnosti,* rokovi početkah oduosno zavrSetka aktivnostj,

Odvajanje atmlize stnikture, od analize vremenaT je jedna od pfcdliosti TMP uodnosu na dosađašnje metode planiranja posfovaKod analize vrcmena piimenjuju se uglavnom dva postupka {inetode) i to:

* metoda knlićnog puta (CPM - metodal kod koje je vrcme trajanja aktivnosti normirano i mofre se sa velikom tačno£ću utvrditi, i

* metođa ocene i revizije programa (PKR.T metodaj gde vreme trajanjaaktivnosti ima stotiastički kamktcr i ne mofe se normirati. Kod osvajanjanovih proizvoda i istraživačkih nđova nemogućc je normirati vremcna trajanja aktivnosti i zato ona imaju karakter slučajne veliime,

3,2.1. ANALIZA VREMENA PO METODI CPM

Analiza vremcna izvodi se potpuno odvojeno od analize sinkture. bilo da se \ rSi po metodi PERT ili CPM.

Analiâ vremcna po CPM metodi zahteva samo jednu proccnu vremcna trajanja za bilo koju aktivnost, To procenjeno ili normirano vrsme trajanja aktivnOSti (i-jj) obelezava se sa Trajanje svake aktivnosti izražavai se u vremenskim jedinicama

124

_________________ ____ ___________________ Tehtnku. ntreintt^planirunjgkojc mogu da budu: časovi, dani. sedmict;. mesect, a upisuje $e tspod svakeaktivnofiti u mrcinom dijagramu.

Od početrog do z&vtŽfocg dogftđaja projekta u mrcznom dijagramu mo/c postojati više puteva. Ako su poznata vrcmena trajattja svih aktivnosti> onda zbir trajanja svih aklivnosti, koje težc najednom pmuT piodstav]ja vremensko trajanjc lo^ puia.

Određivanje vremena trajanja aktivnosti uslovljeno je tačnim opi&om predviđcnih postupaka za obavljanjti nekog posla. Pri tome trcba uzeti u abzir broj radnika, mašina, pomoćnih sredstava, ild.

U načeiu, radi postizanja potrebnog stepena ta£nostl 2a rešenjc probiema u jcdnom phmcni fprojcktu) mora da bude jedna vrsta vremenske jedinice, a ne viie vtsU vTemenskih jedinica.

Nekaje, na prsmer, odabrana jedinica dan. U tom slučaju potrcbno je:* tačno i preci/no da se ka/e da li je 10 kalcndarski dan iii radni tlan, Ratlni

dan sc racuna 8 sati. Prema kaJendarskom krtierijumu (lan izrosi 24 časa.* polrcbno jc đa sc kaže u koliko smcna će se raditi.

(f rcme ttujatija^L

aktivnosri I™' '

_ _ J « _ J 1

fPočetni događaj

r»irZuvršni tittgađuitrttt

. . . . . ! J r { . . k J

Najra rtiji pofetak aklivnosti

t i

Ntijk&sniji poietak tiktivno'sii

ttlj

Kajraitiji zsvrjtftak aJaivnatti

(V

ftajkasniji zavrielak aktiinosti*r

SUka 3.23- R aspodeta vrem ena trajanja akrivnosU

Ako raspoiazemo tacno um đenim vrtmenima trajanja svih akiivnosti tv tada se ta vremena trajanja upisuju iznad (ili ispod) odgovarajućih akEivnosti datoi; mrežnog đijagrama U narednom koraku određuje se vreme /bivanja pojedinih dogadaja, Sto je adekvatno vremetiu najranijeg i najkasnijeg početka, odnosno zavrsetka pojedinih aktivnosti, slika 3,28,Neka. prema sltci 3 .2S o^nacim o sa:

* t, - tienmak (vreme) nastupanja početnog dogadaja aktivnosii (i-j)* t) - trenutak (vremo) nastupanja zavrSnog dogadaja aktivnosti (\-j)y

tada za sve aktivnosti močemo dati grafički prikaz (slika 3.29.V

Slika 3 29. I rcmt'.na trajanja aktivnosti (i-j)

125

gđe je t9 polaznt podatak o vremenu traj;tnja afctiviiosti (i-j). Pr: tomc se f. određuje i/.jtdnaktjsti

Treba imati u vidu đ a jc svaki podaLik o zavrSetku neke ahtivnosti istovremcno i podatak za poociak iiaredne aktivnosti. [1]

Određivtmje najram jeg pvčetkg i n a jran ijtg zavrsetka aktivttosti

tj) Najnmiji počefak (nastupanje) aktivnnsti fi-jjoznac.ava sc sa ftr<v. Najraniji ptičeiak aktivnosti defini£e kao itajriinije Vfcme kađa možc otpoćuli jcdna aktivrtost, NTeka akiivnost može otpočetj tek onda ako su /aviiene sve akcivnosti koje njoj neposredno prethodc

O PEft4aQ NA ISTRAŽ!VAKIA____ ______ ___ _____ ____ ____ ____ ________

Slika 3.3CL Međumviiftostpočetka i završefl&pojedninifc&ktivtiosti

ZavTŠm dogaJaj prethodnc, odnosno prcihodmh aktivmsti (B. D. i E) jednak jc poćctnom događaju naredne aktivnosti (F)* siika 3,30.

Određivanje t f f> se odvija u smeru rasiučc numcracije dogadaja. Pri tome sc polazi od 'M", kao počcmim događajem, a završ.iva sa "n" kao zavrSitim dogadajem projekta. \z mrcSnog dijagrama na slici 3.30., vidi se da aktivnost (4*5) nc inože po£eti orc nego sto budu završene sve prethodne aktivnosli, tj. dok se ne ostvari događaj V ,

lz tojja proizilazi da je najraniji početak određenc aktivnosti (i-j) jednak sumi Ubinj} vremcna svih aktivnosti koje ovoj prethode, Meduiim, ako nckom događaju neposredno prcthodi viSc aktivnostt (ako je neki dogadaj zavrSni događaj za visc aktivnoslt - đoâdaj V * slika 3.30,), onda se kao poeetak narediie aktivnosti uvek uztma vreme trajanja najduzeg puta koji ulazi u njcn poćeini dogadajw i " Dmîm rećima, nktivnosl (4-5} možc otpoćeti samo posEc odigravanja događaja "4'\ odnosno ako dogadaju " i 11 nepcsredno prethodi vt&e aktivnosti, tj, ako u događaj 11 r " ufazi VLŠe puteva, onda se taj dogadaj mozc odigrati (nastupiti) samo posle isteka, odnosno zavr£edut aktivnosti sa najdužtm vrcmcrtom trajanja. [I].

b) fvojranijilavršetak aktivnosti (i-j) oznaiava se sa Definiše se kao najranije vreme kada se doricna aktivnosl (i-j) mo?e završiti Dobija se sabiranjem viemena trajanja te aktivnosti sa vremcnom najmnijcg poćctka aktivuosti Ukoliko je 11

j M zavrini dogadaj za samo jednu aktivnost tada je:

( 3 i )

m

Tehnika mrefrtogplcmtnmja

Ako do dogadaja "j " vodi dise puteva, odnosno aktivnosii fstućaj da je "j " âvrsni dogadaj za više akiivnosti), m ože se napis-ati da je najranii i završetak bilo kojc aktivnosti koja ima " j ” kao početni dogadaj

^ = m a x { C + f J r - 0 , (3.2.)

gde je i<j, j - 2t3&rint i = l ^ ^ ' - t ; /- počctni događaj aktivnosii, j - âvršni dogadaj aktivn<mi, Z a sve aktivnosti koje polaze od počctnog (prvog) dogadaja usvaju se da je vreme najranijeg poeccka t~'n=0, je r tom događaju ne prethodi ni jodna aktivnost.

Izraz (3 .2 . ) se koiisti za odredivanje najraoijeg završctka bilo kojc aktivnosti. Oba ova najranija vi'emcna V({i> i tjm aktivnosti (i-j) izračunavaju se postepeno, polazeći od poOetnog događaja projekta idući ka ?avr5noin događaju,

/ a jedan piojekat kažeino da će biti završcn u planiranom vromcnskom rokit Tpt

ako i sarnti ako je, nakrm proračuna najranijth vremcna, zadovoljena i'elacija:

t m < T

li suprotnom ako je t ® * > 7 J kažemo da projekai m može biti završen u planiranom rokih To povlači sa sobom izmenu u M D skraćivanjem Erajanja aktivnosti na kritičnom putu sve dok se ne postigne:

tp. [i]

O dredivanje najkasn ijeg početka i zavrsetka aktivnosti

a) Najkiisniji poćetak uktivnosti (i- j) obeležava se sa a njen najkasniji zavrsetak sa t j . Polazi se od zavrsnog (poslednjeg) dogadaja projekta i ide ka poćetnom (prvom) događaju,

Ovo vreme se određuje tako što se vreme trajanja aktivnosti oduzme od najkasnijeg vremena dogadaja, odnosno od najkas4dijcg (đozvoljenog) vremena završetka aktivnosti tfK Najkasniji početak bilo koje aktivnosti za slučaj da " i11 prcdstavlja potetni dogadaj za jednu aktivnost, odreduje se pomoću izraza.

# = ( ? % * » «

Drugim rečima, Iiđjkasnije tuistupanje događaja odieđuje se pi“eko t;h - najkasnijeg poOctka aktivnostt na osnovu njenog najkasnijcg završetka tj% usvajajući da je najkasniji završetak projckta jcdnak njcgovotn tiajranijem zavrsetku

m 'rfojv ~ J J

Za slućaj d a " r 11 predstavlja početni dogadaj za vise aktivnosti imamo da je

tj13 “ m in{t^ \ = n “ l,n - 2,,„,1; j «. nTi i " I , .„ 1i + l ( ^ ^ 0

gdcjc/<y, i~n- l nrt-2T...h2, L

b) Najkasmji završetific nckc aktivnosti t f ' dofiniSc sc kao najkasnijc vrcmc u kojem se može završiti dotična aktivnost, a da sc timc nc utiče na krajfij i rok celog

127

OPERACIONA ISTRAHVAMA

projckta. Viđtjivc je da se izvršcnje bilo koê akiivnosti [i-j\ moze pomeraii samo u raitmaku umcđu câjranijcg počeika fsfit} i najkasn:jeg zavrStrtka / Taj se razinak nazjva maksimaino đozvotjeno trajanje aktivnosii (i-j) ili ^rcmenski pcriod koji stoji t;a raspolaganju za izvrSenjc akiivnosii, i ono je jcdnako raztici Ovovrcmc nam govori do kojih se pritnica može produžili |mzvu£i) trajanje jcdnc aklivnosti, a da planirani rok završetka projekta nc budc ugrožcr.

Dakic, vrcmûske kompoticntc jednog MD su:* najraniji (mogući) početak aktivmati t f f! (najrnnijc vrcrnc kada jcdtia

aktivnost možc poćeti, odnnsnO najranije vrtimc odigravLinja njenog poćctnog dogadaja),

* tmjraniji (moguči) završetak aktivnosti r . ''' (najranijc vremc kada se jcdna akiivnost može završiti),

* najkasniji (đozvolftm) početak akrivnosti t,0i (ttajkasniji počctak kada jcdna aktjvnost mota zapoCcti),

* inajkasmji fdozvoljeni) završetak aktimošti tjif ij. (najk;i?snijc vrcme kada $e jedna [lktivnost mora zavrSiii da nc bi došlo do poremećaja celokupnog projckla, odnosno najkasnije vremc odigravanja njcnog zavrfinog đogadaja).

Slika 3.31. Prikaz vremenskihparametcra akrivnosti i*jzametodu CPM

Na osnovu i/netih vrcmcnskih parametara mogućc je dati grafEČki prikaz aktivnosti, kao na. slici 3.31. Prema slici 3.31., najraniji j>očccih odnosno zavrscci aktivnosti upisuju sc u donji levi dco kruâ (događaja), a najkasniji počcci, odnosno zavricci u donji đesni deo kruga (dogatiaja}T [ 1 ].

Kritični put i kritične aktivno&ti

L' okviru mrcinog dijagrama odrcdenog projckta postoji viSe putcva koji vodc od poictnog do zav rSnog dogadaja. Obično jcdan put poka/ujc višc kriučnosti nego bilo koji dmgi.

Kritičniput sc dcfintSc kac put koji polazi od događaja "1" do događaja "n'\ a ima najdužc vrcmc trajanja, odnosno n\i mcdusohno povc/anih aktivnosti koje sc protcžu oć počctnog do završnog događaja u MĐ. a zbimo imaju najdužc vrttne trajnnja. Aktivnosti kojc st; nalazc na kntićnom putu nazivaju se kritične aktivnosti. Na kriiičnom putu nema nikakvih vrcnicnskih rci:ei‘v,i. U mte^nom dija^ramu možc postojati jcdan i)i viic kritičnih pulcva. Kriličuom putu mojiu pripadatl i fiktivne (vesitacke) aktivnosti

Zn i/nalažcnjc kritićnog puta služi nam mrcžm tiijagrain. Polazi sc od zavrScnog dogadaja unazad i vrši međusobno povezivanje svih dogadaja kod kojih jc najranijc \ najkasmje vreme poiclka, odnosno završetka aktivnosti tsto.

}2&

Tehnika mrežnog planiranja

Kritični put, odnosno kritične aktivnosti u mrežnom dijagramu ucrtavaju se punom dvostrukom linijom. Time je olakšana upotreba mrežnog đijagrama, a naročito za donosioce odluka jer njih posebno interesuje kritični put i na tom putu kritičnc aktivnosti.

Svaka promcna trajanja aktivnosti na kritičnom putu dircktno utiče na završni rok cclog projckta. Ova konstatacija posebno je važna u slučaju cvcntualne potrebe skraćivanja vrcmcnskog trajanja projekta, jer se ono vrši upravo skraćenjem vremena aktivnosti na kritičr.om putu.

Poznavanje kritičnog puta, takođe, je značajno i zbog vršenja kor.trole projekta. To nam govori kojim aktivnostima treba pokloniti posebnu pažnju u pogledu njihovog vremenskog trajanja prilikom realizacije datog projckta.

Najvažnija osobina kritičnih aktivnosti jc u tomc da svako prekoračenjc njihovog trajanja dovodi do prekoračcnja (produženja) krajnjcg roka završetka celog projekta. Zato, kritičnc aktivnosti imaju odlučujuću ulogu jer ukazuju na potencijalne teškoće u toku realizacije projekta.

Kritični put, dakle obuhvata kritične događaje i kritičnc aktivnosti. Vreme trajanja /,, bilo kojc aktivnosti (i-j) mora da bude u granicama maksimalnog dozvoljenog vrcmena trajanja te aktivnosti.

Kritična aktivnost je ona aktivnost (i-j) gdc jc tij=tj!)-t,!0) (vreme trajanja tih aktivnosti jednako jc njihovom maksimalno dozvoljenom trajanju). Za kritičnu aktivnost (i-j) važi sledeći izraz:

Za kritične događaje kažcmo da imaju jednaka najranija i najkasnija vremenaodigravanja, tj. imamo da je:

,(0) _ ,0)~ l i

/ (0) = / (,)

Vidimo da jc kod kritičnih događaja najraniji počctak t,1"'' jednak najkasnijem početku tt(!> odnosno da jc najraniji završetak / / tf; jednak najkasnijem završetku t/° .

Aktivnosti kod kojih je:

t ? - P - t 9 > 0

/ ( l) - / (0)> / .

maksimalno dozvoljeno vreme trajanja aktivnosti veće od njihovog vremena trajanja aktivnosti t9> kažemo da dotična aktivnost nijc kritična i da takva aktivnost ima vremensku rezervu. Ovu razliku nazivamo vremenskom rezervom aktivnosti (i- j). Vrcmenska rezerva kod kritičnih aktivnosti je jednaka nuli. Ostalc aktivnosti, koje nisu na kritičnom putu, imaju vremensku rezcrvu veću od nule. Kritični put ukazuje na potencijalne teškoće i ukazuje na one aktivnosti kojima treba obratiti posebnu pažnju.

129

OPERACtONA ISTRAŽIVASJA

U okvini MD magu postojaii i i/v. subkritični putevi. To su putevi &<j veoma malom vremenskom rczervom t koji lako mogu postati kiiiični. [1]

Koristcći pritrtcc matricc mcđusobnih otlnosa aktivnosti (tabcU 3 I i 3 .2J konstruisan je MD kao na. sJici 3.32. U skfadu sa navedcnim pravilima. kod aoalue vremona, primetiom CPM anetodc izvršićcmo nnaLiû vremena daiog primera.

Prtma izrazu (5./.) i (3 2.) odrcđujcmo najmnijizavršeiak a k t i v n c s t i *

*

t f = l |0)+'% = 0 + 3 = 3 tW) , t'"1 + 1„ = 0 + 5 ^ 5

= C + ti« =0 + 2 = 2j i» = t (j"] + t j 5 *=5 + 16 = 21

Kako sc u dogadaju 6 zavr£avaju dve aktivnosti: i (5-6), imamo da je:

tJ*1 “ max[(i' f 1 + t ,b) (t ;Ch + 1 ] )- n m [(3 + (21 + 5}] - max[(l 126)] = 26

4 * = C + % * 21 + 3 ^ 2 4

Kako sc u dogadaju 8 završavaju ln akttvnosti: 15-S)s i (7-8), imEimo da jc:

C = J ? ’ + t „ K C + t MJ (‘f

= max[(21 + 4 ( 2 6 +4), (24 + 2 ) ] - max[(29,30,26)) = 30S.6J

?rema izraai (3 .J.> i [3 . 4 . ) odrcdujiino r.ajkasniji počmfc aktivnosti t l . " ’).

1 ® = t f " = 3 &

t '11 = t^" - t , g = 3 0 - 2 = 28

t s ’ = 3 0 - 4 = 26

tV * tnm((t-" - t w}(t?» - ti7)(«r - t 3()]= min[(26-5)t(28-3)(30-8)]=B . r J ft. 'iP-

= miti[(2I;25;22)] = 21«.7,S

ti” =t?*-t*j = 21-12= 9 -1 ^ = 21-16=5

tf = l ^ - t , 7 =2 6 - 8 = 18 t f = - t u ) ( tS ' * t „ l -

= min[(9 - 2)t (5 - 5) (l 8 - 3)]= min[(?;0;l 5)]= 0?h),4 2.3^

Iz razlike najkasnijcg i rajranijcg vremcna odigravanja događaja dobijamo vrcmcnsku rezen u za svaki događaj:

R a = 3 0 - 3 0 = 0

H0

Tcftttika n&efnggpbniranja

R t ~ *7* “

= t? } -

R s - t<1> -

R« - 1"1 -R 3 = t l l» -

R , = t<'> -

p. = 2 8 -2 4 = 4 $“> = 2 6 -2 6 = 0 jj® = 2 1 - 2 1 = 0

<°> = 9 - 2 = 7

™ = 5 - 5 = 0

= 1S - 3 = 15

R, = t | l , - t { l>1 ^ 0 - 0 = 0

Iz mrežr.og đijagrama sc viđe mogući putevi koji povezuju pcčetni i zavrSni događaji a to su:

put 1 2 6-8 4 = 15

pu£ 1.3-5-6- S = 30

put 1 - 3 5 8 =>h = 29

put U4-5-S K = 22

put: 1-4-5-7- 8 => h -19

gdc jc 4 ^kupno vrcme trajanja ovih putćva.

Vidimo da su vremenske rezerve Rft Rs, R$. R6 i 2?* jednake nuli, šro znači da kritični JŠit počinje od đogadaja 111" pa prcko događdja ll5"s "6ri do ,cSdr koji su, takođc, kritični. Na tom putu nalaze sc aktivtiosii B , G i M šta znači da su i ovc aktivnosti kritične.

tJkppno vreme trajanja kritičnog puta, a time S cclog projckta, Eznost 30 vremenskih jeđinicn.

Slika %i$2. MD sa kritičnim putetn i najrttnijitn i najkasnijim vremenotn cdigravanjađagađaja

131

OPERACiONA IŠTRAllVANJA ____ ____ _____ ________ ___

Primer JL 2.

Na slici 3,33. je dat jcdan primer mre&nog dijagrama zadaiog tabelom 3.4.

Tabeb S.J.

Brujaktivno.

NazJvaktivno.

FrtthoiLakfivno.

Prethod.duâđaj

hl l*

Narednidogadaj

flj'H

Abtivno.m

Vremetrajanjn

I 2 3 4 5 6 7] A - I 2 1-2 32 B A : 3 2- j 93 C 1 2 4 2-4 44 D ii 3 6 3-6 55 E B 5 S 5-8 96 F C 4 5 4-5 17 G c 4 7 4*7 103 H D.E 5 9 89 1 G 1------7 _ 7-9 2

Na slici 3.33., đat jc jedan opsti pnmcr mrc^nog dija^rama na kome jc pnkazan kritični put i na tam pum kntiCne aktivoosti i kritlCni događ&jl Prcma MD kril&ni put obuhvata dogadajc I-2-3-5-8-9. Na tom puiu nalazc sc aktivnosti A t B, S; (fiktivna akhvnost), E i / / , ito znad da su i ovc iiktivnosti kriticnc. Ukupno vrcme trajanja kritićnogputa, a time i cclog projekta, i/nosi 29 viemenskih jcdinica.

Siika 3.31 MD$q kriričnim putem (aktivnosrima i doguđn/itna}

3.2,2, ANALIZA VRBMENA PO MKTODl PHttT

U ovom poglavlju će se razniatrati vrcmcnsko planiranjc projekla vc7-.inog za istraživanje i razvoj novog proi/voda. Većina aktivnosti kojc o\ aj pmjckt sadrfi su potpuno novc, Projckt menactier Scli da utvrđi proccnu neizvesnosti i da ođredi vremena trajanja svih aktivnosti.

132

Tfkmktt mreHnog pidftltanja

Prinienu ove metode čcmo prikazati na primeru poboljšanja jednog postoječcg pcoizvođa. Kompamja koja Se bavi protzvodnjom industnjskih vakum sisioma za čiSćenje razmatra uvodenje određenih poboljšonja u već postojeći proizvodni program. icdan član razvojnog tima je iiložto prcdlog uvođcnja novog proi^voda koji bi se sadrSao potpuno nov, prenosiv sistcm napajartja. Naime, taj novi sistem napajanja bi sc sa^tojao i /. prenostve batenjc koja ima mogućnost ponovne dopune, Ova kompanijfi žcii da napravi proboj na tržiStc kućnih aparata sa novim proizvodom. Menadžment tim ove kompanije se nada dti sc novi proizvod možn: proizvt;=>ti uz razumnu cenu i da će njegova prenosivoM uz odsustvo kablova, bin izuêino atmktivna za b\iduće kupce. Medutim. pre ncgo 5to se uopstc upusit u proi/vodnju, menad£menl tim mora da napravi studiju i/sodljivosti prcnosivog vakum sistema. Rezultat siudije izvodjjivosti če bui u form: izve.štaja kojt če prcporuCivati koje sve akcije treba preduzcti da bi se proizvoo novi proi/vodv U cilju kompictiranja svih podataka koje zahleva sludija izvodEjivostt, u eclom istraiivanju moraju biti nkijnćcni sledeći odseci: oii'iek /aduien za razvoj t iNiraJivanjc, odsek zadužcn /a testiranje i kontrotu proizvoda, odsek proizvodnju, odsek zadužcn za određivanje troSkova, kao i markcting timovi koji se bave istra2ivanjem tr/ista.

Pred nas se postavljaju sicdeća pitanja: Koliko je ^kupnc trajanje istraživanja koja obuhvata sama smdija i/vodljivosii? Kada trcba rcči odstrku zaduzenom za tcstiranje proizvoda da izvršc vremensko planiranje svog vremena koje 6e utroSiti za rad na ovom proizvodu? i sL Oiigledno za sada ncmarno dovoljno podaiaka da bi odgovoriH na ova pitanja, U narednom razmatranju ovc mctode ćcmo naučiti kako da iznadcmo odgovore na ova pitanja, a takodc kako da obczbcdimo kompletan raspored izvodcnja aktivnosti kao t kako đa kontroliSeino informacije vezanc za ovaj projekat [3J,

Pn"i korak u procesu vTtmcnskog planiranja projckta predstavlja anaiiza stnjkturc, tj. odrcdivanjc svih aklivnosti od kojih sc ovaj projekat sastoji. a takođe i Utvrdivanje njihovog Tcdoslcda. Za ovaj projekat lista aktivnosti ćcbiti prikazana rabelom 3.5.:

Tabeta 3.5. Liara ektivnostt

UruJsiktivn.

iNazivaktivn.

Pret.aktlv.

Opisaktfvttosti

1 2 3 41 A K ii/nda marketing plar.a2 B - Dizain proizvoda} C B izrada daknmentaciie o proizvodu4 D A,C Utraživanje tržtita. vrštn^c ankcta5 E B lzrada prototipaG F B Raziada tehnolopi je7 G D Predviđantî odt'edivatijc; ccnc proizvoda8 H t: TcsTiiranje proizvoda9 ! F Određivanje troSkova proizvodnje10 J G JU Kompletttanie izvcstaja

133

OPERACtONA ISTRAŽIVANJA

MD koji ptedstavCja studsju izvodljivosti ovog primeraje dat na s iic i335 .istraiivanjc

* triiitarazm da / ■ “ ' ^ v / - * f

/J lp i a m i f r \ orfnđfrmk

K

Slika 3.35. Anaitia strukture

Poslc ^naiize stRtkmrc trcba izvriitt :mati/ij vremcM Infonrtacije dobijcne u ovoj fazi služc za odrcđivanje ukupnog vremcna IrajaDja projekta kao i odredivanja vrcmcna trajanja svakt1 pojcdinatnc aktivnosti. Za pTt>jcktc koji su več bili izvodcni ramje, kao što su npr, konstrukcioni projckti ili projckn održavanja, menadžed vcć poscdnju odrcdcnc infonnacijc vezanc za trajiinja odredenih aktivno&ti, a takođo i iskusEvo potrcbno za ojihovo određivanjc. Međniim, kod jk’đinsivcmh projekma, određtvanje vremcna svakc aklivnosti i uknpnog |iraj:nija projekta je tcžc iz razloga što nc postojc podaci o tanijim, sličmm akiivnosmna i projektima. Tačnijc govoreći* po mctodi PERTt svafca posmatmna aktivnosi se opisujs ne sa jednim, već sa iri razilitita vremena irajajija aklivnosti koje nEim ^lui« za procenu vrcinena trajanja aktivnosti, [3)h

Analiza vremcoa no metodi PERT odvija sc li sledećim cti\patnah [5]:a) Procena vrcmcna (flr.r> btf%b] Izraćunavanje oCeki\ anog vremena (fj,. i \ arijansc ( &' )t

v) Određivanjc nnjrEinijeg (7 » t najkasnijcg { TL\ vrcmena nastupanja događaja,

g) Određivanje kritiinih i subkritiCnih putcvn, č) Ođređivanje verovatnoče nasmpanja dogadaja.

a) Proceno vremena

Pošto su aktivnosti kod projekata stohasliČkog karakier.L to sc njihova vrcmena trajanja ne mogu nortnirati, pa sc zbog toga proccnjuju (za svaku aktivnost) iri ra/ličitc vrednosti vrcmena za izvodenje svakc aktivnosti i to:

, Optimistićko vrcmv - a(J jc najkraćc moguće vremc za koje bi se aktivnost mogla obavui pod idealnim {posebno povotjnim) uslovima, odnosno u najramjem roku, 3to znatli da ova proccna pfedstavlja minLmalno potrobno vreme za trajanjc aktivnosli.

m

Teknika mrežnog planiranjg

• Sajveroiatnije vrcme - m, predstavLja potrcbno vrcmc za iz\rođcnjc aktivnosti poti fUjmialntm uslovima.

+ Pesimističko vreme - by jc maksimalno poircbno vreme za t/vr$enjc aktivnosii u krajnje ncpovoljnim usbvtm a, koii mogu nastati u lzvodonju aktivnosti (izu/ev, ra/ume se, pojava katastrofa).

Iz iznctih dcfinicija sledi đa za svaku aktivnosi mora biti zadovoijen uslov: ai} < m# < bvProcenu vrcmcr.a toptimii'iiitkog, pcsimističkog t najvcrova-tnijeg), vršc stručnjaci koji Siu radili na sliinim aktiviôstima, iti kojima čc biii povcrcno izvrsavanje tiatih aktivnosti. {5]

U tabcli 3.6. su data optinusttčka, najvetovatnija t pesimistička vTemcna svih akuvnosti Npr. ako posmatramo pođatke ve/anc za aktivnost A, možcrno primetiti iiii mcnadŽment smatra da čc /a ovu aktivnosi biti potschtin od 2 nedetje (5to pređfltavlja Cpti-mističru proccnu) do 10 ncdctja (pcsitnistička pmccna), ali najverovatiuje je da ćc za aktivnost A biti potrcbnu ukupno 3 nedelje.

b) fzračtinavanje očekivunttg vrernena ( t j i; i varijatise (ćT )

Kaku za izvTênje svakc akttvnosti raspolaic sa tn vrcmcna (n^ , \ h,s ) to jcpotrebno ođrcditi vreme m kojc se predpoitavlja da « sc zavrSiij čktivnost, Kod metodc PERT ovo vncine sc na/iva očefcivano vrcme ( ^ ) i prcdstavlja proscčno utroscno vremc ia izvođenje ackc aktivTiosti pri njcno:n viscstnjkom ponavtja^ju [5j.

Tabda 3 6 Opumšstička, nqjver0wittiija i peximi$tička vt emenQ

lirojiktimt.

Nazfraktivn. aH r»if h

i

1 2 3 4 5 6 7i A 2 3 10 4 1,782 8

S10 24 12 7,11

3 c 4 6 K 6 0,444 D 5 7 15 % 2,7a5 E 6 s 22 to 7.116 F 4 6 8 6 0.447 C 3 4 5 4 0J1s H 3 6 9 6 J.OO9 1 3 A 5 4 0,1110 J 2 4 6 4 0.44

Ukup!no vreme trajanja pro;cktit. 64

U tom sltičaju sc izračimavanjc vrSt po sledećim obrascima;Očekivano vreme [UtJ: Varijansa o ] :

OPERACIOSA iSTRAŽtVAKJA

Nq ulazcći u maicnrumčtaL intcrpiciaci;u 1 dokaze, pretpostavljcno jc da sc

+ trajanjc svih aktivnogtiU$ ponaSa po Hhfl" raspođeli, a

ircnutak njihovag zavtsetka, odnosno ocligravanje po- jcdhuh dcnsiđaja po zakonu normalnc raspodek.Varijur.s;) prtdslavlja HKtu ncsigumosli u proceni vrc-

^ mcufi /a izvrfienje aktiv-tjj nostt. [51

Na sliri 3.36, su pribftzana tri primcra "p" raspodelet koji prikazuju rclativnc lokacijc T jhj i &J:, [2]

1.56. "fi'raspodelazii \renwna akrivnastiiNa slici 3 37 je dai prikaz ”P" raspodek za aktivnost čijc j e oćckivano vrcmc trajanja siktivnosii 12 dana.

OČ'i'kivtitiO

optim tstičkoit - t V

p c \ tm i\ fičk o

Vrem* trajanja aktlvnosti (u nedetjama)

Slika 3.3?. "fi’ raspodehi za vremcne aktivnosti B

v) Ođrcdhanje najranijeg (T£) i najkasnijeg {J,) vremena nastupattja događaja

Izračunatc vTcdnostr za Tz i TL unosc sc u sam crtcž kao jc pokazano na slici 3,38.

136

Ti'hmka mrežnog pianiranja

SOka 3.38. Označavanje najranijeg i najkasnijeg vremena nastupanja događaja korfFICRT tnetođe

Vrcmc nashipanja dogadaja prcdstavtja količinu vrcmting (kolicina vremcna nio5e bitE pređstavlj^na ćasoviiria, daninia, mesecinjću) koja pro&ekne od početka projekta do nastupanja ođređenog tkjgađaja.

Najranijc vremc (TE) prcditavlja najraniji rok kada sc možc ođigrati posmatrani događaj, odnosno završiti aktivnosti koje mu prcthodc, Ovo vrcme sc računa unapred usvajajući da je za poeetni događaj: Te - 0, pošto puTom {logađaju ne prethotli nikakva akti-vnost koja zahteva vreituft za njeôvo izvržcnje. Za o&tale dogadajc J £ sc računa kao i ti CPM metodi s tim sto se utresto uvrstava izračunata vrednost za (7V pa je obrazac:

Potrebno je poznavali najmmje vreme nastupanja prcthodnog dogadaja (Ty): , da bi se moglo računati (Tf.: \ narednogdogadaja.T “ 0 i ft —

= 0 + 12 = 12

TEj = max[(Th| + t ,3.J:(TEŽ + t 23}]~ max[(0 + 4 ) (l2 + 6)]” m ax[4 ;I^ ] ' 181,2 1SI 1,2

+ *34 =18 + 8 = 26

Te5 = Ttz + 125 = 12 + 10 ^ 22

— ^£2 + 2# = 12 + 6 = 18

Pet + t 47 + + “4,5.0

= m ax[(26+ 4 ); (22 + ć)t (l 8 + 4)] = m ax[30;23;22] = 304.3,6

~ T e i + f TB = 3 0 + 4 = 34

N ajkasrije vreme t i predstavjja najkasniji rok kada se mora odigrati posmatranidogađaj, odnosno zavrsiti aktivnosti koje mu jprethode ako se želi održati dati rokzavršetka projekta. Ovo vremc se raćuna u nazadusvajajući da je:

( ® » = (T^)ngde je V zavižni dogiiđaj ako rok projekta nije tinaprccl odreden, Za ostale događaje Ti sc računa po obrazcu;

(T, x iPotrebno je poznavati najkasnije vrcmc nastupanja narcdnog dogadaja {TČi\ # se moglo računati {TL ); prethodnoe dogadaja.

Ukupno vreme trajanja projekta jc, u ovom slućaju, tu = 34 nedeljc,

137

OffEFACfOr\ . i tSTRAŽIVANJA

Stika 3 39 Atttrliza vrentena - PERT metoda

T n ~ ls ” * ?s — 34 ~~ ^ =30-4-26

- TL7 — t = 30 — 6 — 24

=t l- ->« =30 — 4-26 » 2 6 * 8 = 1 8

TL2 "" 5 ¥ jK ^ L 3 “■ * ;j )»(T L5 — 1 35 )* (T LS — 1 24 )] ”J.5-,0= min[(l R - 6\{24 - ] 0\(26 - 6)}* minfl2,14.2o] ~ 12

).S.« JA*Tu = min[(Tt2 - t ,,) ;(T Li - t , s) ] - m in[(l2 - 12}; (.10 - 4)] = njin[0:l4j= 0

g) 0 ^ r^ iw i/ £ A rM TJuA

POStavljeni mrežni dijitgr;im piuia preglcdrtu i jasim sliku sinrija glavnih [kljucnćh) dogadaja i prcdstavlja solidnu osnoMJ Jfr dalju analizn studije i/vodljivosti prajekla,

Da bi sc ]noglo upravljatf reaEizacijoin ptt»jekta, potrehno jc odrcdtn kriiićtii put Da bi se io mogio uraditi, poirebno je prcibodno odrediti vrcmensbi ra tem i (/azor) (S)i* U jednom mrcžnom dijagramti možc posrojaii višc kritiČnih putcva, [5].

Vremcnika rczerv'a odrcđenog dofiađaj.i, prcdstavlja vrcmensku razliku izmedu najkAsnijcg zavišetka svih aktivnosti koje mu ncpoarcdrto prcthodc i najTanijcg poćcrka narednih aklivnosti kojc ncposrcdno sEedc Računa se kao:

i i-ttZ... ">im ožc biii: (5)r< 0 ili (S)p > 0

fr) {^)j ■ 0 - Pozirivna vremenska rezerva, ukazuje n& postojanjc rczervi vrcmcna, kapacitcia i ostalih resursa

b) (S)i - 0 - Nulta vrcmcneka rczerva ukEizujc da nema nrkalcvih rc;tervi vrcmena, kapacitcta i ostalih resursa,

v) {5)j < 0 - Negativtia vrcmeđska rezerva tikazujc na ncinogućnosl rcalizacijc projekta hcz inten/iviranja aktivnost).

13S

Tukmkam t efnog phntirg nja

Izračunavanje vrcmcnskih rezt;r\ri događaja koje sc nalaze u projckUi sc vrši no. sledeći naČittt

Sx ” T # - Tes = 3 4 - 3 4 — 0S7 - TL7 - TK7 - 30 - 30 = 0St*= TL6 - T & -2& - 18 = S £jf --= 7V.5 - r© = 2 4 - 2 2 - 2

* Tu - Te4 *■ 26 - 26 = 0S3 - Tu -■ f Ei - 18 - I S - 0$2=% ž - Te j” 1 2 - 1 2 - 0A '= 0 - 0 - 0

Nulta vremcnska rezervra pokazujc koji se događaji nala/c na krkiCnom pum, U ovom piojektu to su: $$, Šj i S s. Kiiiični put ntože pređstavljendogađajiTna 1 -2-3-4-S ili aktivnostima

d) Određivanje verovainoće nastupnnja đ&gađaja

U ranijim proraćunima su se, da bi sc pronaiao kritični put, aktivnosti posmatralc kao da traju tacno onoliko kolike su Eijihovc occkivatic vrcdnosti (t^ fJr Međutim, sada sc vcć tnožc uzcti u ra2matranjc i ncizvcsnost vremcna trajanja aktivnosti, a takođe i kako ta ncizvesnost uticc na vrcmc z^vršetka projekta.

PoSto kiitični pu t određuje ukupno vrome trajanja projekta, svaka promcna u trajanju aktivnosti kojc ga činc sc odražava na datum žavr£etka projckta, Promcnc u vrcmcntma trajanja ostalih aktivnosti, kpjc nc ulazc u kriticni put, obično nc utiču11 a ukupno vrcme tra}anja projekta zato što postojc odrcđene vremenske rezerve vezane za ove aktivnosti, Ako se bito koja od oVih nekritičnih aktivnosti produži za vrcmc kojc jc duže od njcnc vremenskc rczcrvc, pojaviće se joS jcdan kritiCni put na komc ćc sc nalaziti ova aktivnost, i &va dalja odlaganja završetka ovc aktivnOStit rezuitovaće produžetkom ukupnog vremena trajanja projckta, Sa dSčuge stranes svnka promena na kritičnom u vidu skraćenja neke od kritičiiih aktivnosti ćc dovesti do smanjenja ukupnog trajanja projckta, pod usSovom da se ne poveća prcko dozvoEjene rezcrvc rifeka druga, nekritična aktivnost. Da bi odredi!.i varijansu datuma završctka projekta, prvo je potrebno da odrcdimo varijanse svih aktivnosti kojc sc nalazc na kritlfinom putur

Ako sa tu označimo ukupno vrcme trajaoja projekta, tada ćc ono biti odrcđeno sumom trajanja svih aktivnosti kuje se nalaze na kriticnom putu:

Tu ~ ts + tc + fo + te + & “ i 2 + 6 + 8 + 4 + 4 = 34 neddje.

Slićno tome, varijansa ukupnog trajanja projekta ćc sc izracunati kao zbir varijanski svih jktivnosti kojc se nalaze na kritičnom putu:

c>l = + Oc + C p + + c ; = 7 ,1 1 + 0,44 + 2,78 + 0 ,1 1 + 0,44 = 10,88

Ova formula sc zasniva na prctpostavci da su sva vremena trajahja razllČttih aktivnosti međusobno nezavisna. Ako su dve Iii više aktivnosti rnedusobno zavisne, formula samo obczbcđujc približnu vrcdnost vrcmcna završetka projckta.

139

OPERACiOMA ISTRAŽfVANJA

Pošu> j t poznato da je vrcdnost siand;sidnot; odstupanja kvadratni koren \z varijarso. rEiožcmo ižraču*nati vrednosl standardnog

n = Vcr’ = J iO M - 3,29

34 \Tfmć{u nedetjamajf jj

Slika 3 40. NormoJHa raspodela vremcna ztmfietka projekra

Poslcdnja predpostavka vezatiii za odrtđivanje odstnpanja vrcmena m rš e tk a projckta jc da ćc se njeeovo odsmpanje dogadati u sktadu sa normalnom raspudeiom. Sa ovim odsiupanjem sc može i2riičunati koja jc vero\atnoča da če sie projekai /a\TŠiii određenog dana, Kpr. akn predpostavhno da je menadžment odredio 40 neddja za iz^rsavanjc ovog pmjckla. Koj.i je verovatnoća da ć t se ovaj pmjekat zavrjiti ny vreme?

vrcmc (u Redrfjamtt)

Slika 3.41. Verovatnoća JOVtSetka projekta navtćmc

40 — 34Vrednost ; normalne raspodetc 2a L — 40 je data sa: z = ----------= ]hft2

3.29

Koiisteći z = 1T82 i tablice za nonnalnu raspodctu, dobićemo da je verovatnoća da će prgjekat biti zavrScna za 40 nedelja: 0,4656+0,5(XKM),%56 lako, promena trajanja aktivoosti možc reznltovaii pmdužctkom ukupnog tmjanja aktivno&u, posloje velike sanse da se projekat završi prc mka koji iznosi 40 neđelja SliČna izračunavanja verovatnoće se mogu izvrsiti za ostale potencijalne rokove. [3].

Korisicći normaJnu raspo-delnprikazanu na sKci 3.40. T Lrpžimo verovatnoću dogadaja da jc ^<40 što jc prskazano grafički na slici3.41,

f40

1f 't -/j n ! k ( i f i rr e ž 11 f ? £ f 1 l a n i J y ; n j t i

3-3, ANALIZA TROŠKOV A

Podaci dobljeni anatizom vramena metodama CPM i PERT sc koriste za određivanje redosleda aktivnosti, a (EikoJc i za kontrolu svjike aktivnosti poschno, sve u cilju zavrSetka projekta na vrcmc. lako su sva prvobitna razmairanja vezana /a upravljanje ovim projcktom bila vezana samo zn ukupno vrcme trajanja projekta i njcgov zavrietak, potrchtio je obradiii pažnju na to da posioje situacijc kod kojih je cena i/vođenja aktivnosti i projokfa oć istc važnosfi kao t samo vreme tzvodenja.

Svc mciode analize troškova poznate su pod jcdinm imenom P tR T C’OST tli PKRT.TROŠKOV] Metoda PERT/COST sc uspcšno primenjuje za analizu troSkova koj;i služj da obc/be<ii informacije potrebnc za planiranje, odrcJivanjc redosleda aktiVnosti i kontrolu ukupne cene projekta,

Prt>ce5i određivanja ukupuog budžeta potrebnog za izvodenje jednog projekta obično podrazumeva indcntifikaciju s\rih troSkova koji se javljaju n toku izvođenja projckta. Nakon određivanja tro&kova, vrši se predviđanje kada će ae koji troškovi poja\4jivati kako projekat bude tckao. Zatim sc nakoti /avršetka određenih faza projckla. stvami troškovi poredc sa predvidenim. Ako >e isposlavi da su slvami troSkovi premašib predviđene, postoji mogućnost phinene korektivnih akcija koje sc prime^juju dabi se ostaEo u okviru planiranog budžeta. [3]

TmoSkbvi se dele na;* promenljive i* stalne,

Promcnljivi iii varijabilni traškavi su oni troškovi koji ra.stu i opadaju pora,stomn <xinosno opadanjerrL ukupnc proi/vodnje, fnpr. troiktm /u sirovinc i ljudsker resurse) Ov i troikovi se još na/ivaju i direktni (neposredni)T pogonski, tekući i operativni-

Stajni iii fiftsni troskovi su oni troskovi koji se ne povećavaju, odnosno smanjuju, sa porastom, odnosno padom ukupne proizvodnje. Takođe se nazivaju irdirektni {posredni)f opSTi, zajedročki, dopunski. Ovi troSkovi (zavisno od obima proi/vodnje) po jedinici proizvoda inogu biti: opadajući t rastući. Opadajući troškovi su oni koji opadaju po jedinici proizvođa ukoEiko raste ukupna pruiiivodnja fnpr, troSkovi odri?avanja}. Rastući tro£ko\ i sti oni Eroškovi koji rastu po jedinici proizvoda ukolrko raste ukupna proiy:vodnja (tipr. zakonske obaveze koje sc podmiruju iz dobitiV

Pnmenom PERT/COST metode razmatramo mogućnost skraćivanja trajarja akti\ nosti paralclno sa ulaganjemdodatnih sredstava^ ali uzminimalnopovećanje troskova. []]

Lr cilju skraćivanja vremcna irajanja aktivnosti razlikujemo sledcćc tnofiućnosti:* povećanje broja radnika od strane istog izvodača,* angažovanje još jednog izvodača radova,* uvođenje više smena,* prekgvTeitiem rad.

14!

koja će se od ov ih vanjanti odabrati zavisi ođ raspoložive tadnL' snagc* kao i od toga kolikt će biti troškovi.

S obzirom na to đa metoda P}:’RTTRO ŠK O \ I uspostavlja vczu rzmcdu nroskova i vremetia traj&pja odredcnog piojekta, potrt:brt> jc izvrSiti proccnti iroškova sv<ike aklivnosti u fur.kciji victticna njcnoi; trajanja. ili troškove ^nme srodltih aktivnosti NajCeSće sc konmti grupistinjo itkttvnosLi koje l/votii jcdan izvođać radova,

PUniranje i analiza troskova sastojt se izsledećih etapa:■ odrcJivanje troškova svakc aktivnosei fvrsi sc nakon zavrsene anjtli/e

vremcna)t* proračun tro&kova projekta.* određivanjt: odnosa vreme'trožkos i pojedinih aklivnosti, i■ proračun ukupnih Iroškova projckta i njcôvog opthnunia (nakon

utvrđivanja odgovarajućih iroSkoâ za sve iikiivnosii vi-ši sc 'iabiranje troškova Svih aktivnosti C\ i na taj naćin se dolazi do troSkova prtijekta Cp, tj. imamo da je:

C , = I c ,

U većini ilučajeva elenienti troskovr vreme stoje jctlno prema drusom u takvom odnosu da ako se jedno smanj[n drago se poveća, i obmuto. Procenjeuom nomnalnom \ remenu t,, prtpadaju iroSkovi 7 aćka gde se oni seku u dijagramu nft slici 3.42., zove se nonnalna taćka (T:) Ona odgovaia onom normalno, ekonomski najpovoljnijcm izvršenju ove pojedinačne aktivnosti. [I]

Žavisnost odnosa vreme’iroskovi za jednu aktivnost <e dobija tako Sto se vretne aktivnosti smatrn za najkraće. Ako 5e vremc trajanja aktivnosti smanjuje, obiino nastaju većt troSkovi koji .se penju do tnaksimalnih za izvršenje jedne aktivnosli u najkraćem mogućem vremenu.

OPERACIONA ISTRA2IVANJA____ ______ _____ ______ ________ ____ ___________

iedna od usobina akiivnosti MD jcste mogućnost smanjenja njenog vremena trajanja do mogućeg imnimuma. Po$ti/anje log minimuma vrSi se ulagenjem dođatnih sredstava, To minimalno Erajarje aklivnosti nazivamo usiljeno trajanje akrivnosri (ijij, a troSkove nastale pri lakvorn vremenskom trajanju aktivnosti usiijeni (maksimafoi) troškovi (C jij. Dakle, pri usiljenom trnjanju aktivnosti troškovi su maksimalni. ali jc trajanje aktivnosti m mimalna Vreme ( t j i} jc smnica ispod koje nc može ići skraćcnjc vremena trajanja aktivnosti. Usiljeno trajanje aktivno$ti se odredujc samo jednim vremcnom, a to jc uslvari najkraćc vreme za koje se mo/e izvršiti jedna aktivnosl f l]

Troškovi(£me\ uhj

^mtnhi ' Uthj ^Shka 3-4?. Zav:snoit troškoM - vreme

142

Tehuika tnrežhog planiranja

Pored ovog vnsmerut r;izlikujcino i mogućno$t nckog srednjeg vremena irajanja aktivnosti nazvatio tzv, n&rmabio trajđnje Gktivnosti (Q& a troskove nastalc pri takvom trajanju narmalni (>minimulni) troškovi (Cn){r Pri normalnom trajahju aktivnosti troškovt su minimalni, aji je trajanje afctivnosti maksimalno.

Ngrmalno trajanje aktivnosti se određuje na osnovu jcdnoy iii tri vremena^ u zavisnosti da li se primcnjuje CM P ili PERT metođa. Normalno tiajanje aktivnosti obuhvata takvu zavisnost iraskovi-vretn e posle koje nikakvo danje uVećanje vremena trajanja aktivnosti ncčc dovostt do smanjenja Lmskova vezanih za daiu (tjt tckućn razmatranu} aktivnosl.

U ciiju formiranja lincarnog modela potrcbno je izvrSiti anaUzu troškova aktiv.nosti za slučaju normalnog i usiljenog trajanja aktivnosti, Zavisnost (odrjos vremcna trajanja akti^Tiosii i jroSkov|) koja se ogleda u smanjivanju vrcmena irajanja aktivnosti sa povećanjem Lroskova može se pređstavtti kdvorn, slika 3.42.

Na siici 3.42,3 prikazana je mcdusobna zavisnost vremena trajanja aktivnosti i. troškova u slucaju normalnog i usiijenog trajanja aktivnosti, odnosno kombinacije vremena i troškova izmedu ova dva gratiična stanja.

Lineama aproksimactja troškovi- vreme je pnkazana na sliei 3.43. Jsprekidana kriva linija, u tačkama T( i T?, predstavlia zavisnost troskova i vremcoa trajanja posmatrane aktivnostn.

troSkpvfC

tinearna tcproksinuicija

Stika 3.43. Aproksimacija teoškovi- weme

Ovu zavisnost možemo aproksimirati pravom linijom koja prolazi kroz taćku (T |j nonnalnog i tačku (T t) usiljeno^ trajanja iiklivnustE ('tj#. Ovomaproksimacijom možemo dobiti veći broj mogućnosti (kombinacija) u pogledu /avisnosti iroškova - vremena trajanja aktivnostt u odnosu na njihovo skraćenje. Otuda možemo odrcditi i prirasL troskova po jeđinici vremena za svaku aktivnost. Prirast troskova nam ukazuje za koliko će se povećati troskovi izvršenja aktivnosti (i-j) ako se trajanje akiivnosti skrati za jednn vremensku jedinicu. [1]

f A r i

( 0 , - ( 0 ,gde su:

* (CJtj - usiljeni troškovi,* (CJv - nonnalni troškovi,* ( t j v - usiijeno vreme trajanja aktivnosti (i-j),* OJtj - normalno vreme trajanja aktivnosti (i-j)r

'laj prirast troškova nazivamo p ro seč n i p rira st troškova ( A C ) , Prosečni prirasttroškova predstavlja jasan podatak o potrebama dodatuih sredstava, sa ciljem da se trajanje pojedirtih aktivnosti skrati zajednu jedinicu vrcmcna.

143

OPERACtOSA ISTRAttVANJA

Kud primene mcEodt: P["RT.TROSFCO\ i ircba ic pndr?;n ati pnuctpa defimsanili preko sledećih algoritamskih koraka:KORAK 1: VrSinfto skmćivanje vremena irajanja onih akiivnostt koie se nala/c na kritičnom putu, do tronutka pojave još rteko^ (jcdnog ili viie) kritično^ puta> što predstavlja tzv, prenoienje kritiCnosti. Trajanje celog projekta nntženio skratiti Samo ako skratinio vremc Lmjanja jednc ili viSc akuvnoili koje se naiazc na kritičnom putu.KORAK 2: \z skupa mogućih kritičnih aktivnosti na kriliCnom putu, čija se \rcmena trajarja mogu skratm, \rsim o skraćivanje vremena Irajania prvo kod najjeftinijih kritiimh aktivnosti, tj. onih aklivnosti kojt: imaju najmanji ptost'tan prirast troškova (ACJ^ aćije vceme traj:mja nije postalo jcdimko njenom usiljenoiri trajanju, Drugim rečim;i. p n o ireba skratui vreme Irajanja one kritične aknvnosti kod kojeje prosečni prirast troSknva najinynji {A t - m in ).

KORAK 3: Sa pojavom većeg broja fdva ili višel kritičnih puteva vrsi se istovremeno skiaćivanje vremena trajanja svakog krttičnog puia t to za is;s broj vremenskihjedinica uz poStovanjc prioritcin \?. prethoćnog koraka (korak 2}.KORAK 4; Ovaj algorilamski kornk predstavlja kjaj skraćivanja trajartja aktn jiosti, a time i celog pmjekta, 1 to postiiH.luijem jednog od dva navcdena stanja:

• sve do postizanjit planiratiog završclka projekta, iti* sve dn postizanja trsiljûog trajania svih aktivnosti koje se nalaze (Leže),

bar, na jednom kriličnom putu,

Primer 3.3,

Navedene algontamske korake primene metođe PERT TROŠKOV] objasnićemo na jednostavnom primeru čiji su polaziii podaei dati u tabcli 3,7, Analiza vremcua izvršenaje po metodi CMP. Mrc?ni dijagram^ preina pola/.nim podacima, prikazan je na slici 3.44.

Tabt'h 3 7, Polazni pođaci primera J .i

N aslv A kl,

Trajanje aktivnoiti n n e d e lja m a

I ro Jk o v l ti t i i l j a d a n i d ln a ra AC

aktiv. "i"J <H) Nonulito lltiljn o > o rm a ln i

(C jt}l^ iJ jc n i

(Ci)yd /jc d .v r

A 1 2 U2 1 G 12 100 120 5000B I 3 \ 1-3 8 4 140 168 7000C 1 4 1-4 14 8 200 2 ( 3 3000

1 D2 1 5 2-5 1K 14 220 2 2 S 2000

E 3 5 3-5 10 6 160 172 3000

F 3 6 3*6 5 3 S0 B8 4000G 5 6 5-6 3 6 100 120 30000

H 4 6 4-6 9 7 220 228 4000

U K U PN G : 42 32 1220 1342

144

Tehniku m rerrtag pkiti ira tift t

Pretposledttja koloiia u tabdi 3*7, nam govori. da ukoliko bi se svc akljvDOSU reaJizovalc prema njihovom usiljenom vremenu trajanja, vreme realizacije eeiog projekta se skraćuje za 10 nedelja (42-32), Lj. ceo piojckal će se izvršili za 32 nedelja, a odgovarajuči Lroškovi (usiljeni)će lznositi U 4 2 .0 0 0 dmara.

Slika 3.44 Mrežm dijagratn prlmera J 3

Kritični pui 1-2-5-6 obuhvata aktivnosti ^(1-2). Đ{2S \ i f7(5-6>, sa trajarcjem od 42 tlrt+lK-!-S) nedelje, Sto podra?umeva i trajanje celoi; projekia U cilju skraćcnja kritifnog puta* a time i roka zaviSetka projekta, uz micimalno povećanjc iroškovn. polasmo od primene definisanih idgoritamskih koraka,

Lr prvoj iteraciji) po&tujući navedene algoritamske principe \z korajoa J i koraka 2, a proma izrazu

A Ctf - m in (A C r ) , za ACif > 0

dobijamo đa je

ACJ6 ~m in(A C l2>AC2JtACw ) = min(5000,2000JOOOO) = 2000 i i

što nam govori da polazimo od skraćivanja vremćna Lrajanja kritične aktivnosti D(2*5l

Moguće je smanjenjc vrcmena trajanja aktivnosti D, i to sa IK na 14 nedetjii (tj. skraćeno za (f„)35 - ( / J i5= 18 - E4 = 4 nedelje), Sto dozvo|java trajaflje i nekritičkih putcva, Kako je aktivnost D skračena od njenog usiljenoj* trajanja Lo je, u nastavku optimizacije roka trajanja projekta, iskijučujemo iz daEjeg razmatranja. Dobijamo novi mrcžni dijagram, slika 3.45,

Prfima, slici 3.45., kritićni put sc, i dalje. nala?.i na relaciji događaja 1-2-5-6 na kojima leze aktivnosti At D i G. Konstatujemo da skraćenjem vremena irajanja aktivnosti D za 4 nedelje dolazi istovremeno, u istoj razmcri, i do skraćenja vremena trajanjn kritičnog puta, Sto ujedno dovodi i do skraćenja i/vršcnja (Lrajanja) celog projekta. To skraćenje je svedeno sa 42 na 3S nedelja (42>4t tj, prcmii sliei 3.45, 16+14+S). Dakle, ukupno vremc trajauja piojekta smanjuje sc na

145

OPERACIONA tSTRAZfVANJA

j5K ncdolja. Pivsečni prirast* UvSkova po jođinici vremcna za aktivnust D (2 -5 ) iznost i C = 2 0 0 0 din.'ned, sto pnedstavlja đodamc mvcčane) iroSkove. pri skraćtvanju vremcrLa trajanja dme aktivnosu. 23 jcđnu nedclju 5 občirom da so vreme irajanja akEivnosti D skmćuje za četiri nedcijc, Lo će dodatni troskovt projckia biLi uVećani za 8000 dmara (4 ned, \ 2000 din.), Konstatujcmo da su ukupni troikovi projekta, pri norm alnom irajanju aktivnosii, od 3.220.000 din. narasli na J.22S.OOO dinara.

$hka 3.45. Mtvžni dijegram - pna iteraciju

U dritgvj ttenciji, po$tujuči navedcne alcoi tlatnske principc \z karaka 1 i koraka 2+ a prtima izraiLi, dobijamo da jc

AC \ , - m in(ACr , AC56) - m in(5000,1000®) = 5000ij i)

što nam govori da polazimo od skmćivanja \Teiiiena najanja krflifioe atlivnosti A{\-7).

Siika 3.46 Mrcčni dijagr&n - druga iteratfja

1 PreriUL tabel: 3.7.. aktivnost D sc niože pod nornulnim LraiarijcL'n obavitt IK ttcclelja \\± troškove od 220.000 dinara. Moguđe je, meduiim, i skračeno Lrnjanje date uktivnosti za 14 r.edeija. a!i jz uoskovc od 228,000 dinara. Tada ;e (AQ-22fi - 2213 rS-14-2rtC0 dir. ned.,što utž.Q da je pT]ra&T troškova po jedimid vremcna 20(K) dmara, pad prctposTavkom Jinearnog povećanja iroškova.

146

?\-h nikatnrežnog g!a nira nja

Vrcmc tiajanja aklivnosii A smanjujemo sa 16 na 12 nedelja f[j skraćeno 7a (v)i: - ( t j i 2 “ 16 - 12 “ 4 neđelje, đo njenog usiljenog trajanja)+ što ne ugrožava irajanje nekriličnib akiivnosti. Dobijarno novi mrežni dijagram, slika 3.46. Skraćcnjem vretnena tiajnnja ;iktivnosii r-f m 4 nedelje doJazi i do sknuunja trajanja cdog projiikla To skraćenjc jc svudeno sa 3& na 34 iiiedelja (3^4 , ij. prema .ilici 3-46h 12+14+8)* Prosećni prirasf truškova po icdinici vremena {za jednu ncddju) za aktivnost A (1-2) iznosi M " = 5000dir).,nec. S obzirom da se vrcmc trajanja aktivnosti A skrnćtije za ćctiri ttedelje, to Oe .se dodalni troSkovj uvcćaLi /.n 20.000 dinara (4 ned. \ 5000 din)- Sada su tikupni tro&kovi projekta, jiri noT:nalnom traianju aktivnosti, od J.22S.D00 din. narasli na 1.2-18.0 0 0 dinata.

U trečoj iui-itciji, poStujuĆi mivedenc algoritam$ke principe i / koraka ! i koraka 2y a prcma i/razu, dobijarnO da je

AC* ^ min(AC<J = min(lOOOO) = 10000II ' 9

sto nam govori da polazimo od skraćivanja vremena trajatija kriticnc LLkcivnosti 6^5-6). Vreme irajanja aktivnosii G smanjujemo sa 8 na 6 nedelja [ij. skraćenc za (En}» - (tu)»~ 3 - -6 - 2 nedclje, do njeitog usiljenog trajanja), Sto ne ugrožava trajanje htikriiičnih aktiMtOSti. Dobijamo novi mrežnL dijagrain, stika 3.47

Skračcnjem vremcna trajanja aktivnosii C za 2 nedeljc dola/i i do skraćenja trajanja celog projckia. To skraćenje je svedeDO sa 34 na 32 nedcEja (34-2t tj. prema slici 3.47h 12+14^-6). Prosećni prirast troškova po jcdinici vremena (/a jedmi nedelju) za aktivtiost G(5-6) iznosi AC = lOOOOdni. ned, S ohzirom da se vreme trajanja aktivnosti C7 skraćuje / a đve ncdelje, to će se dodatni tro£kovi uvećati za 10.000 dinara (2 ned, x 10000 dm). Sada su ukupni troSkovi projekta, pri uormalnom traj[iii|ti aktivnosit, od 1,248,000 <3in tuirasli na 1.259,000 dinara.

Daiji pmces optimizacije \rremena trajarja projekta sc prekida iz razloga Sto su ^ve tri aktivnosti A, D i G, kojt- se nala/e na kritičnom putu (1-2-5-6) mrežnog dijagratna, posti^lc usiljeno vrcine trajanja. Skraćivanjcm trajanja prpjekea s:i 42 na 32 ncdclja je postignuta uštcda od 1.342,000-1.25S,000-84,000 dinara* u odnosu na troSkovti usiljenog trajan;a svih aktivnosti, sio predstavlja mmimalnc troSkove uz tnaksimatno akraćenje vremena trajanja aktivnosti* odnosno prqjekta.

J47

OPERACfONA ISTRAtiVANJA

Ll ! ERATLTRA

[1] l.ckov'ić M*, Teorija i metode {Hflitćivanja, ki'antitativnp analiza* Ekonomski fakijltet, Priština, 1998.

[2] I.ec S., M ooit t . rT Tavlor H., Mafiagčfttent Scienct\ \JJyn and Bacon* SAD, 1990.

V) Anderson Dr, Sweeny DM Wil]ianis T., Afi Introduction to :\fauagernenr Science, Qjiintiiative Approacbes to Dccision Making* West Piiblisliing Companv, SAD. Minesota, 198S.

[4] Hillier Fh, l.iebcnnan, Operations Research, Holrich - Da>\ Inc., SAD, San Frandsko, 1974.

[5J Vultmović V., Stanivuković D,, Kambcrović B.t Radakavić N., Maksimović R., Radlovaćki ŠiJobad M., Sistetn kvafiteta - Metode i tdmike u/uipređenja kvaliteta* Tom 3: Mcnadžcrskcf FTN. Novi Sad, 199S.

[6] Vulanovič V.T Stanivukovii D,, Kamberović B,, Dtidak Lj,, Malctić J,T Radlovački V.h Sistem kvaliteta- Upruvljanje projektom, FTN, Institut za industrijske sistcnic, IIS- Utraživački i itihnološki ccntar, Novi Sadh 1995.

148

I 'pravtjanjc salihame

-L UPRAVLJANJE 2A1JHAMA

Zalilie su roba koja se sklidišii u skladiSiima slo/enap s i s t e m Zatibc čtne značajan dco ukupne iinovine razmatranog s'Slctna U opSiem ftlučaju ra/]ikuju se dva osnovnEi tipa sklaciista u slo/enom šisteiuu [1 ]:

■ DistribuUvni cenlri,* Proi/vodna &ladišta<

Distribtoiivni centar je skladišie u kojcm sc sklaćiStc proizvodi od različitih dobavljača i namenjsni ?u brojrim kupcima Sk5adiš*e goiovih proizvoda u proizvodnom sisttmu tTttira s t kao distnbutivni ccniar. U proizvod/HJ skiadišta se skladisii roba koja se koiisii za .sopstvcnti proiz\odty\i.

Prema IzloJenoj klasififikacija skiadišta razlikuju se dvc osnovne vrsic zaliba [2j:* Triiine zalihe u kojc sc ubrajaju finalni proizvodj i rczervni delovi i one

su nuhcnjene krajnjim potrošaćmia* Proi/vtidne zalihe se koriste za sopsivcnu proi/.vodnju l njili čine

reprcmiaterijaL sirovinu, poluproi/vodt, energenti i dr.

U literattirj postoje podeljenja mišljenja o /tiačaju i potrirhi postojanja iratiba. Zalihe imaju izvesne prednosii One omogučavaiu vlšt nivo opsluživanja kupaca smanjivanjeni vrcmena isponike, povećava se organizacioua fleksibi’nosi u smislu da jc omogućcna br2a i lnka proinena proi?vodnog asottiimana l dr. Takode važnost zaliha jc velika kada posioji iî/lika izmedu ula/a i i/Ui/a, npr. kadti je obim proizvodnjc vcći od obima prodajc. L slućaju pronlenljive tražnje poslojanje: ( l ) protzvodnih zaliha jc va/no jer one omogućavaju kominuiiet proccsa proizvodnjc i (2) ;r2isnih zaliha je neophodno jer one omogućavaju da isporulca kupcima bude taćno na vrcme I u zafatevanim kolićinama. Sa drus»c strane, zalihe angažuju kapital i pmctor, /astarevaju ) opi^da i(D k\ratiici i i/ TiVi razloga ih (rcba smanjiti.

Termin upravljanje zalihama označava upnvljanje zalihama rcprotnatefijaIat poluproizvoda, fmaJnih poizvoda i rezervnih dclova u viientvovskom sistcmu u zadatom vremcnskoni pcriodu. U literaturi može da sc nađe \e1iki broj nenurnenćkih tnctoda i matcrnatičkih modela J3] kao i ekspCTtnih sislema Ocoji se jednun imenom zovu sisteini m upntvljanje /alihama) pomoću kojth se naEazi Optimalna potitika vpravijanja zcilihama Pod optimalnom poliEikom upravljanja zalihama sc podrazumeva nalaženje optimalne knličtne r a ru ih tn je (iti optimainog nivoa zaliha) i nivoa na kome se vrsi naručivanje.

149

U literamri može da ;se nadc vdiki broj modela za upravtj&nje zaiibama. Oetaljniji literatumi preglcd prikii/.an je U [4]. U OVOJ glavi dnta je k:atka retiospekcijft dve klasc matetmiićkih inoclcla m upravljvijc zalihami, Prika/ahi su modeli koji žsij ćesto citirani u titeraturi fP ], [5]), Trebo napomcnuti ć:\ razvioj nckiii oblasti inatcnićJtikc. kao na priuiLT teoiijc t’a/i skupova, ic orntigućio da s:c vrednosti pfromer.ljivih kujc eazistiraju u matematičkim modclima opisujn pomoću fazi skupova. U iom ^lucaju govorimo o trecoj klasi modela za upmvljaTijc za]ibamat tj. govorimo o fazi modelima. Noki ad fa/i modela /.[i upravtjanje zalihama dctaljoo su prikazam u |4),

OPERACIONA ISTRAŽIVA S J A ___ ____ __ ____________ _______ ___ __

4J POJMOVI i U PR A V U A N JU ZAUH AM A I NJJHOVO Tl'M AČENJE

L' ovom odeljku piikazane su najva^njje veličine koje utiču na odeđivanje optima][:c po'iiikc zahha trajnja. vremc ispomke. naCin praćenjEi nivoa zaliha, troškovni parantctri e ABC klasifikacija,

Thzžnja

Trainja za gotovim proizvodtma sc javtja i distribuiivntm ccntrima i generiSe se od Ktrane krajnjih polroSaĆa, Na obim tražnje utiču brojni i razUćiti faktori koji pottću iz okručenja u kojem razmatnuii posJovni sistem fuitkcioriie. Kajveći utic^j ima porast konkurencijc. Porasi znanja, brz i neprekiđan razvoj novih tehnologija. pre svcga informacionih čija je inlplcinentadja jedrtOStavna i nijc skupa uslovile su porast konkurcncije po pilanju kvaliteta i cena. Prclpostavlja sc da jcdinična cena gotovog proizvoda ima najviše uticaja na obim tražnjc razmatranog finalnog proizvoda. Drugim nečima, smatra sc da sc može tražnja izraziti u funkclji jcdiničnc cene,

U daljcm tazmatranju uvodi se pretposlavka da se trctira samo}edna vrsta flralnog proizvoda j e r obim tiažnjc za razlitite vrsie proizvoda je po pravilu ra/lićit.

Mnogc tržišno orjcntisanc kompanije smatraju da prcdvidarje obima i trcnda tražnje najvišc uticc na uspeSnosi postovanja kompar.ije, iedan od najviše koriSćenih modcla za analizu i predviđanje obiina tražnje je eiastičnoii tražnje pumoću kojeg se ođređuje / a koliko procenata se povećava obim LraZnje ako se vrednosl jediničnc ccnc smanji u odrcdenom proCeniu i obrnuto U eksircmnim uslovima fni/ak nivo doholka) Ircnd promene obima tra/nje i jcdmićnc cene je istosmeran, tk/. tiifcnov paradoks.

U kvaniitativnom pristupu, vrednost tražoje mo/e da budc deterministička i!i se opisuje neizvesnim brojem. U stohastičkom smlstu nct/vestan broj jc slućajno protnenEjiva (kontiniialna ili diskretna) sei odteđenim tipom [aspoddc verovatnoće, L'običajno jc da sc koriste standardne raspodele: normalna, binomna, Puasonova i dr, Provera saglasnosti empirijskih podataka za obitn tražnjc i izabrane raspodele najčešće se vrSi pomoći hi*kvadrat testa.

150

Vpravijanjv zahhama

Vreme isporuht

Vreme isptjmkc sc đefmiSc kao vneme kojc prolekne oJ trenucka kad;i sc javi iražnja na skladiStu do Trcnutka kada jc dobavljaC spreman da i/vrsi iaponiku.

\ rcdnosl vremena isporuke može da budc determinlslićka Upecijalan slutaj jc kada je jednaka niiii} ili neizvesna. Ako jc vreme ispomke jednako nuti* tada kažemo da je isportika trcnutna U probkmimn određivarye opriinaine politikc ?aliha u sloŽenom prosJcvno-proizvodnom sistemu rcalno je pietpo£taviti d a je ova vrednost ncizvcsna. L1 velikom broju radova iz ove ohjasti [JJ. ova vredno$t se opisuje slučajnom pmmenljivom knya itna normalnu, gama ili Puasono\-u raspodelu,

Sistemi pračenju i popunjavanja zoHha

Nivo zaliha u skladištu može neprekiđno i periodičrto da sc prati. Shodno tomc, u literaturi mogu da se nadu ra/liiiti sistemi za praćcnje j popunjavanje zaliha koji su klasifiko\ ani u dve grupc sistemi sa neprefadniM pnačenjem nivoa zalihu i sistemi sa periodiĆnim pračenjem nivoa zaiiha.

Sistem sa neprekidnim praćenjem nivoa zaliha u jiteraturi se često srećc pod nazivom ROL (Reqiremcnt Ordering Level) sistem, Obuavljanje zahfca vrši se na taj način sto sc narudžbenica plasira onda kada iie dosu^ne r.i\o koji se naziva nivo obtiavljanja ztiliha i najčesOe se obcležava sa R. I ' opsiem sluiaju, nivo R može da bude razEićtt od n iv o a sigumosnih zaliha, koji O m o g u ć a v a da se sikem "odbiani" od neizvesne tražnjc. KoIiĆina nanjčivanja je najćesće označcna sa Q, te se omda ROL sistem naziva (R, Q) sistem. LT (R, Q) sistemu koliiiua narativanja, Qt je fiksna a vrcmc između dva uzastopna narucivsnja se menja u zavisnosti od promcne tražnje Promena /alihp u vremenu kod ROi. sistcma ilustrovana je na slici 4.1.

V R E M E

Slika 4. i Sistem jta nepiekidnim praćenjem iiivoa saiiha (R. Q)

Pnkazani sistem sa neprekidnim pračenjem mvoa ?aiiha tokom vremena ima dobre osobine ali i ncdostatke [2]r

151

f>obre osobine sistcma sa [.epjekidnim pfaćenjt_‘m nivoa /aEiha iR. Q) su;» K-olicine nantCivanjii su ekonomične, tj. oplimatnc• SSgumostie zafihc mogu da budu Vrlo niski jcr sc one i!r/c samo za

varijacijc u vrcmenu oabavkc* Sistem jc prilično r.eo$«Lljiv na promenc paramctara Lražttje

Nedostaci sistema sa ncprekidntm pratcnjcm nivoa zaiiha su:* kainjenja u slanju nanjdžbcnicii ćine sistem neeftkasnim* O ptim alne količine naiufiivanja m ogu da budu po g re in o odredenjt: ili

zastarele• Troškovi naničivanja mogu da budu vrlo visoki icr se narudžbenice za

ra/Hcite prniz\ ode šaiju nezavisuo• Zanemamje se pozitivan utic»j na troskove nabavke koji može da bude

ostvaren grupisanjem narud£benica

Sistem 2a periodično pracerjc i popunjas anje nivoa za]iha u skladi&tu se sreće pod nazivom KOC (Requtrement Ordering Cyrcle) ssstem u kome se namdŽbeniceplasiraju u mčno odrodenim vremenskim irenucima T, 2Tt 3T.....Vrcmenski period]/niedu dva naruCivanja se naziva ioS i perrod nadgled;mja obuavjjanja zaliha. Kohčina naručivanja za svaki proizvod u skladištu i za svaki periot! se računa kao razlika zalnevane koli£ineT nivoa zallha u periodu T i naručene tcoliiine. U svakotn irtinuiku naručivanja zalihe se popunjtvaju do nivoa S. Ovaj sistem u literaturi se £csto srcće pod nazivom (S, T) sistem. Specijalan iip (S, T) statema je (5, S) sistem kod koga se narudžbenice plasiraju samOt onda ako je nivo zatiha u periodu T ispod sieumosnih zaliha, s. Sistemi sa periodiCnim praćctijem uivoa zahha ilustrovaui &u na slici 4.2,

OPERA a ONA iSTRAllVASJA ___________________________________________

+ NJVO ZA l.fH A

T 2T VREMIS

b) * n t v q z a l i h a

T 2T y v VREME

Slika 4.2 a) Sistent <ta periodičntm praćenjem nivoa zaltha (S. 7). b) Sistem m pericnličnlmpračćnje nivoa zahha (s, S)

____ ________ _______ ______ Upravljanje ztihhama

Prednosti i neđosUtci sistem a sa periodlčnim praćenjeni niVOa zatiha m ogu da se iskažu na slcdeći način [2]: ( ] ) dobre osnbm e sistcma sa periodićnim pračerjem nivoa zallha su u tom c sio korisie prednosfi gmpi.sahja narudžbi, (2 ) osnovni ncdostatak je u tome što su šigumosne /alihe reJatK no \ ific u odnosu na sistem sa koiuinualnim prač tn jcm nivoa zaliha.

Troškovni parametri

U liieramri Enože da se nade veliki broj m odda u kojima su jkupn] troSkovi naj važniji a česlo i jedini kriterijum na gsnovu kojep «%c nalazi optimalna potitika upravljanja zaEiliiima u posmatranom vrcmensksDm periodu Qvi troškovi sc âstojc od: iroškova nabavkc, troškova dtianja zaliha i troSkova nedostatka zaiiha,

Troškovi nabavke finatnth proizvoda obubvataju s \c uoSko\re koji nastaju od trenutka ulvrdivanja potreba za vrstama i kolićinama do trcnulka njihove isporukc u skladište. Vrednosi ovih troskova zavisi od kolićine namcivanja svakog proizvoda, jedinićni: cenc nabavkc, cene Iranspbrta i dr.

U moddima pocnoću kojih se odnedujc optimalna politikn proizvodnih zallha, umtisto troškov^ navakt: ra£unaju st? troškovi pripreme proizvodnje.

Troškovt drzanja zalihc nastaju kao poslcdica postojanja zaliha na skladišu u toku posmatranog vremcnskog perioda. Ovi iroškovi sc raćunaju kao zbir troSkova skladištenja, tro£kova transporta u skla<jištima i troškova kapitala koji je zarobljen u zalihama.

TroSkovi u&fed ncdostatka zaliha (iroškovi penala) jevljaju se usEed nedostatka /aiiha na kraju posmatranog vramenskog pcrioda. Nedostatak /aliha izaziva zastoj a ponekad i prekid proi/vodrje sto za posledicu ima yubitke n proizvođnji usted nemogućnosti da se ispoštuju rokovi, opadanje ugleda preduzeća kod kupaca, iid

t.'kupni troškovi za)iha se rafunaju kac suma gore opisanili trošfcova, tj. troskova nabavke, trnškova držanja zaliha i troskova penafa, Njihov'a vrednost se opisuje najSešće funkcijom jedne promentjive fkoličinc naručivanja) koja je konveksna,

Uticaj troSkovnih parametara na odredivanje po]ftike upravtjanja zalihama se uzima preko jcdiniinih troškova nabavke, jediničmh iroškova držanja ?.ahha i jedinićnih troškova nedoslatka zaliha,

Jcdinićni troskovi nabavke sc rafunaju kao koiiCnik ukupnih iroškova narućivanja u posmatranoni vnemcnskom periodu i broja namdžbenica u tom periodu.

Jcdinični troškovt drtanja zaliha se računaju kao određeni procenat \Tednosti /aiiha u posmatranom vrcmcnskom periodu U kvantitativnom smislu njiho\ a vrcdnost je dctcrministička ilt neizvesna U \nelikom broju modcla se pretpostavlja da j e njihova vrednosi dcterministička i]i se možc aprokstmiratt detcnninistićkom vrednošću.

Vrednost jcdiničnih tloSkova penala tcsko je tačno odrediti /aio Sto mnogc veličine od kojih zavise ovi iroškovi su kvantttativno nemerljivc N’jihova Vrednost sc po

/5J

o p era c io n a i s t r a ž j v a n m

pravilu prcenjuje od strane cksperaia pa stojja procecie msa sasvim objektivne i optcrcčene su u izvesnoj mcrt subjekmnim stavovima donosioca cxl!uke. Razvoj novih ablasti matematike, pre svega leorije fazi skupova je omtigućio da se vretinost ovih ira&kova adckvatno kvantlUltivno opisu

A BC ktasifikacija

ABC ktasifikacija je zasnovana na Parcto anaJi/i pomoću koje se ođrcdjuje vaznost svakc Stavke (repromaterijala, poluproi/voda. proim nia, ild} u skladišlu. Kjiierijum u smislu koya s t \n;i rangiranje mo/c da butic đtffinisan na primer kao jcdintčn] troikovi, obim iražnje i dr. t. rtalnim prohlem:ma važnosi stavfce se odredjuje u smislu kritorijuma koji so dcfinile kao funkcija više promenLjivih. Vrednost ovc lunkcijc za svaku stavku se naziva godišnja vrcdno&t-CiV.

Postupak rangiranja stavki pomoćti ABC' klasifikacije sc rcalizuje u čctiri koraka koji sli nadalje iziožcnt;

L U prvom koraku, izra£unava se GV svakc stavke i izražava se u procentima.

2. U drugom koraku. stavke sc rangiraju prema izraCuitatim GVh rako da se na prvom mestu nala/i stavka sa največom GV a na poslednjem stavka sa najmanjom GV.

3. Izraćanava ?e kumulativ GV za svaku ra/inaiTanu stavku.4. Klasiflkacija stavki vrSi se na sledect njiiin: na pribli/rto 80% GV nalazc

se stavke jcdoe ^ntpc, kojaju označcna kao grupa A. Ovc stavke tmajit naveću važnost za orgamzacioni sistcm, Odredjivanjc optimaJnih potitika jpravLjanja /aliha ovih stavki odredjuje se pomoć;i matemaiićkih modcla. OstaLih 15% kumutativa Cr\T odgovara stavkama kojc tmaju prosečmi važnost* Ove stavke pripadaju drugoj grupi koja je o/naCena kan gnipa B. Upravljanje zalihama ovjh stavki manje ;e stiogo ncgo upravljanjc zahharna stavki grupe A, Ostalih 5% kumul&iiva GV korcspondira stavkama koje imaju "skladtsnu' vrcdnosl, tj. za ovc stavke ne razvijaju se modelt upravljanja .

Klasifikacija siavki u skladiftiina smanjuje vreme i troškovc upravjjanja zalthama, Zato je vrio vailno pre odredjivanjia politike upravLjanja zalihama svakc vrste stavki i/vrSiti klasitlkaciju u $vakom skladifitu.

Primer 4.1Lr preduzcću "Zastava'1. d.o o iz Kragujevca proizvodi sc dcsct raziičitih vreta proizvoda. Menad/ment ovog predu/cća je zaintcresovar) da rangua proi/vode \j pi'oi/.vodnog asontmaiia. Rezultati dobijcni AH( analtzom poslužićc mcnadžmemu predu/eća za donošenje odluka za narcdni pcr:f>t],

Potrchno je klasifilovati proizvnde u smislti dva kriterijuma upiimalnosti, simultanorjedinične ccne i obima tnt/.nje kada su:

a) oba kritcrijuma podjednake vaznosti

154

UpravifAnjr zalthama

b) kada su Tazmatrani kriierijumi oplimalpo<iti rasđičitc v^žnostu tako dn va/nost jcdtnićne cenc je w [ - 0.2 . j važnost obima trainje w 7 ~ 0,8 .

Vrednosii jedintčne ccnc i obinia tiBžnjć proizvoda, a, (i-K2*..^jQ) sedetsnniiiistLčkc i prikazaiie hu u Tabeli 4,1

*

T đ /v /u 4 i t'rftin o s ti jćd in ičn ih ceoa. . t ohim a fražrtje, d j

Proizv odi c i 1 « I63 2400

. ^ S82 300fl'ft

,

520001S90 200

Hi 2315 200028 30fJG

A: 6 142 20| a* 441 300

ao 22 6^8 25

1 S50L * -- , - -------- - J . ? «

Rešenje

Korak L LT ovom kotiikij, svakom proizvodn, a: (x = 1,2.....10) dodcJjuje sedetennitjislička vrcdnosl kritcrjj'uina opttiniiinoslf. Kako sc 13 ovotn primeni rangiranje vrSi u smislu dva kriierijuma, prvo je potrcbno da sc definiše jcdinstven složcni kriicrtjum opttmalnosti koji '&čržl :i jedioifnu cenu j obim iražnje, Neka taj kriierijum nazovemo gođišnja vrcdnost p ro i/\oda označena kao CiV, V matematiOkom snilsla. GV $c opisujc izmzomi

G V j = C j d j

Praizvodi GV; = c , d, G V j%

151 200 i-fi- !a5

264 600 2 .a r

a i 2 964 oon 31.2«

a j 37S 000 4 .°

a * 4 630 000 4R.9284 000 0.K9

a? 122 R40 1.3

3* 132 300 1.4566 950 «.o

3 IG 170 000 1 79Suma: 9 463 m J00

155

OPERAOONA iSnUZlVANJA

Korak 2.

Pmizvodi G V; p .

3, , 4S 92nj | 31.28iVj ; fi.o

i a* 4 02.«I.?9

-i — _j1.4L3

a* U.S9Suma: \ L f>0~

Korak 3.

Proijvodi ■ ----

C V % Kumuifttiv

as 4S.92 4S.92

i 31.2* S0.2ao 6.0 S6 2

4.0 90.2

, a2 2.S 1 93.0*]□ 1.79 94.79--------—

L6 Šfe.39-

a« U4 97.79

■ 31 -1 u 99 09a* 100

Sumai 100 — _ .1

Korak 4.Proizvodi grupe A su: ad a?. Ovi praizvodi su naj/naćajniji za razmalrano predu/ece sa aspeku jedinične ccnc i obim;i traznje. Mcnadžment mora da svoju paznju fokusira iki ovc proizvode u naređnom periodu poslovanja. Dmgirn recima, ueophodno je da se razvijnju po,Hebni modeli zaliha S odgovarajući laćimarski softveri za proizvode grup& A . Proizvodi grupe B su: a , a* \ am- ZalihL' proizvôda grupe B mogu da ae određuju pomoću posiojećih razvijenih modijTa Proizvodi gmpc C su najmBnje važni za menadžment prcduzeća. L' ovom ptimcru proizvodi gnipc C su: ai, aKj a k afi.b) U Fealnim uslovima poÊovanja važnosti krilcrijuma su različite. Su druge strane, važnosl svalcog knLenjunia optimalnosli se menja tokom vremena u zavisnosti od promena koje se dcšavaju u okmžcnju {nromcne na triiitu) ili promena koje se dešavaju u preduzeću, U ovom piiinerut razmatramo slučaj da je obim trainje znatno vazniji kriterijum u odnosu na kriterijum: jedinična cena, Ova pretpostavka je sasvim opravdana za preduzeâ koia posluju U promenlji\om tržtšnom tikruženjui koja imaju ciJj tia u poipunosii zadovolje zahievo kupaca u poctedu kolicme isporuke.

156

-------- --— ------ ---------- — ------------ ----------- --------- -- ---- ---- Cptavljan je zalihartia

Korak L

U ovom koraku prvo deBniiimojedinshenkrilerijum opiimalnosli:GV, - e ' : đ*1. U ovom primeru Gv, = c“ ’ •(!"“

Proizvodj

_

Snirtj:

97.6D1

1 OV; = C“ = • d" * ! GV,%1158,785 _372.173 1,95

13 299.I7S 69*511 64

P 2059.015 10.761! 77.775 6.1662.867f '—-T ---------------- - 0 33

0,5 J1.39

19 I3V5-99 too

Korak 2.

Komk 3.

Proizvod:G Vi %

69.5111)76

- 6.166.061 95

r ai 1.69_______________ a* J.64

i 39- .. ; 051

1------- 1 0.33 ISuttia; . ioo _

Proizvodi G V ; % KumiiLiifiv

---- l i 69.51 69.51J0.76 B0.27

- ^ 6.16 Xfi.43____ a> 6.06 92,49

1.95 94.44_ 1.69 96.13

l.ć>4 97.77a1«£- 1.39 99.16a* 0,51 99.67§2 0.33 100

Sn ma: 300

157

OPERACIOm ISTRAŽJVANJA

Korak 4U ovom primcru, proizvodi grupt: A su: a i ei . Proi/'.odi koji pripiLtli\jii grupi i) su: ath a: i a3r Svi osiali proi^vođi i/ proizvodrKJg astimmana su proi/vodi grupti C. U ovom prnneru, proizvodi gnipe C su: a*. aut a ;o, a p i a-. Na isi: načm kao U piimeni pod a) ^ Jinali/Ltii dobtjcni rczuEtiil.

Prffli^r */.2tJreduzcčc ’'Žitoprodukt". a.d, iz Kjragijjc\ca proi/vodi pci ra/ličitih vrsta pcciva koji sc distribuiraju u ôtovo sve prodavnice ûmadij&ko^ ok™ga+ MenadSment preduzeća 2eli da klasifikujc o\cr proi/vode sa dtjcm dti izvrši redcfinisanjc ohima proizvodnje, ?.a jcdan dan, ako ]e to poircbno. Kriterijum u smtiiLi kojcg sc vrsi klasifikacijn je obim iniinje. Obno tražnjc prve i dmyc vrstc proizvoda ne mogU sc laćtio odrediri. Obim traZnjc prvc %tsic proi7\'oda proccnjujc sc na osnovu podataka iz cvidencije, Podaci kojE se dobijaju u LVidencijij Su 204Sh 2062t2052t 2060, 2032, 204H, 2064, 2042, 2064, 2054, 2060. 204ŠJ 2056, 2034, 2056,2034, 2056, 2058, 2044, 2044, 2052, 202fi, 2066, 2036. 2062, 2040. 2066, 204&,2056, 2052, 2052, 2066. 2046T 2060, 203Sh 2056, 2042. 2062, 2040* 2066h 2042H2052, 203S, 2056, 2048, 2062, 2062, 2044 i 2052 Obim Lražnje dnigc vrete proizvix]a opisanjc slutajnom vcličinom koja ima cmpmjsku raspodclu. tako đa:d _ iono isoo 1600 (900 2100 obim trai:nje svakc od prcostalih vrsta

1 0.1 0.65 0.05 0.15 0.05 jproizvoda je opisan detenninističkom vrcdnošću i iznost /a trcći, ćetvttj i peti proizvođ: IS76, 2058 1 2000, rcspckttvno

R ešen je:Obim iraznje p n e vrstc proisvoda mo/c d^ sc opišc slućajnom veličinom:

Obi:n tražrvc (kom.) Frcbfencija- fj Vcrovatnoća- p ,2026 1 0022032 1 0.022034 2 0 042036 2 0.042038 2 0 042040 2 0.042042 3 0.062044 3 0.062046 1 0.02204R 5 0 12052 L 5 .. 0.12054 2 0,042056 1- 6 0.12 j2058 l 0022060 2 0,042062 5 0,12064 2 0.042066 5 0.1

Sumn: 50____ 1 J

138

l'pravijanje zalihama

2Pomoću y inožc da se pbkaze da jc empirij$ka raspođdajednaka tLOnmlnoj

3-a?;podeli za sluâjnu veličinu d j kojom je opisan obim tra/njc prvc vrstcproizvoda. Iz teonjc vcrovainočc je po/iaa(o da mtftemaričko očetivanje slučajne velićrne kojajc normalno rasjpodeljena jednaki.jš paramclru nortnalnc raspodele. U

ovom slučajii matematfŠko očekivanje slučajne veJicinc đ i t M { d \ jj- . Gdc x je srednja vrednost koja iznosi;

- 1 102546x ^---(2026-1 + 2036-2 + .... + 20*6-5) = — = 2050.%

50 50

Obim tražnje drugc vrste proizvoda mozcmo da aproksiiniramo. takođe, dcterministiČkom vrcdno5ču kojaje jednaka matematičkom occkivanju, tako da:

M ( d 4 - 2 * f e 'P , =1000-0.14-, ,.. + 2100 -0 .05 -14 ! 5L - !

Sada niože da se primcni A B C metoda.

Korak L

Proizvođi-aj Obitn tražnje (kom.) - d j d j {%)ai 2050.% 2\.%2

1415 15.05% 1876 [9.96

2058 21.89a* 2000 2 3.28

Sunia 9399.% 100

Korak 2,Proizvodi- a \ dj (%)

a^ 21.89at 21.32a* 21.28aj 19.96

15.05Sum a 100

Pnoij.vodi* 2. j di (%) Kumalativ

aj 21 S9 21 #9i i 21.82 43.71

2 1.2-8 64,99

h 3 9.96 m.9515.05 100

Suma 100

}59

Korak 4.N;i osnoiri: gore spoveđcne analize skdi đa proiz\odi ynipo A su: a ^ , a j , i

Proizvod a^ pripada itrupi B. Dobtjcn Eezulta: poka/u]ti đa su gotovo svih pct

vrsta peciva vrlo va?.ni /a produ/cće u smistu ki itcrijuma tra2njc, Ovo dalje znači da menadžment preduz^ća mora da obezbedi dovoljan broj prai^voda svakog dana na tržiStu kakobi očnvao konkurentnost Hrme,

Nadaijc su prikazani rscki delermmistićki i stohastički mrdcli koji su najčcSćć ciisram u literatun

OPERAaOS'A iS T R A /;VA\'JA___________ ________________________________________

4.2 NEKl D ETERM IM STIČK I M ODEl.r ZA U PR A V U A N JE ZALIHAM A

Prva istraživanja i prv| rezultati \z ove obbtsii rtzultat sy dali matcmatićke lnodclc u kojimii ke opcrišc sei poznatom tražnjom, 10 SU deLcniniaiftliCki m o d d l Ovo su sa današnjeg stanovjSta pionirski pokušaju d;i &e problem lEpravljanja /alihama matemaiizira 1 dalje da sc problem rcSava prcko po^natoa maiemaiićkog aparata koji, npr. Dozvoljav;i simulacije. Najramje poznata mcioda zn upravljanje zaliham datira iz 1915, a razvio je Ford Harris \t V/estinghouse Corporation i na^vana je Jeđnostavna formufo velićine serije [A], Ka.'inije je Willson postavio modci za upravljanje zalihama koji jc do skora 1111110 svoju upotrcbnu vrednoat.

C)d brojftih tictorminLstičkill mode]an u ovoj knj/i s l l prikazani sledecf modcti ([4],[5]): osnovni kondtinaltu dinamićki modeL modcl sa dozvoljenim kaSnjenjcm, mod^] sa kon.stantom trainjom i vremen&ki diskretan multiperiođm modcl zaliha,

4.2J OSNOVMIKONTINUALNI DINAMIĆKI MODEL

O snovm kontinualni dm am ički m o d d jc tconjsk t modcl jc r nem a sm isla zalilie posrnatrati u iteprekidnom vrcm enskom intervalu /a to 5to se zalihe mcnjaju iz pcritxla u period 1 zavisc od m nogih i’aktora. Ovaj model ncm a /n a tn ja u prcduzećim a koja sc m odcm izu ju ali u istorijskom smislu njegov značaj je velik i i \ l log razloga je prikazan*

Pretpostavke koje se uvode 11 ovaj modci su:t . Tražnja je p o /n a ta , detcrministiCka i kdtitiaualna. O dređena jc

intenzitetom tražr.je, A koji p redsia \ij ji u a /f iju u jedinici vrem ena,2. Isporuka (ili proi/vodnj;i)je odrcdcna intCn?.itctom isporjkc, [i3. Jedinični tro iov i navake. držanja zaliha lipcnala su C y T h i p t

re sp e b iv n o , su poznati4. Troskovi se nc mcitfflju U vrcm enu t ne zavisc od kotičitic naručivanja

Zađatak je da se odred i op tim alna količina naručivanja kojom se m inim iziraju ukupni troškovi u p lanskom pcriođu T. Ova koliCma sc naziva ophm alna k o li t in a

naručivanja i oznaćava sc sa Q +.

160

£ pi avijanje zutiham u

li:tt;gralni k riicn ju m opiimalnosn je deflnisan kao suma sîh troskova po jcđ im avrcmcna:

/

L=-T

cg+h Ju(t)dt+p |u( t )d:0 11 + u

(4,1)

t

Promena zaliha u vitmemi fraspodcla tražnje) ino*c tla sc prcdsiavi Uncamom Punkcijonv kao što je ilustrovano na slici 4.3. S:i S jc o/načcno stanje zatiha ncposrcdno poslc [Spomkc količinc Q. Vrcdnost B jc količina sigumosnih ztiiiha. Dva vrcdnosi se dobiia kao Q-S.

mvo jl zaliha (kom,)

T vrtm c (VJ.)

Slikij 4 i Raspodela tražnje u vrcmtnn

\Xi izrazom

u fO ^ t, < t < t j + i j 4 tj

- B + (fj. — XXt “ lj “ t, - t i ) 1, + 1, + t T < t £ T

(4,2)

\l sličnosti odgovarajučih trougolova prcma slici 4.3 sleiii:s . S B Tt in-x) ,

i T T , J T B “ u st ( = (4.3)

Zam erjujuči izraze (4.2) i (4,3) u iztzz (4 1) dohija sc izraZ za kriterijuma optimatnosti koji je Funkcija dve promenljive, S i T:

L . i t 1 g ^ i ^ l p ^ - p s■[ Zl ? .(u -X ) 2 [i y

(4.4)

161

OPERAOOKA IS m tŽ /1 'A \ JA

OptimalniTi rescrtjt; se nalazi i?. tislova minimuma kritcrijiicna cptimalnosti. Kuko su ukupni troSkovi (4,4) fbnkcija dvc promealjive poueban i dovoljan uskiv da funkcija (4.4) ima ekstrcmnu vrednOSt je da posloji nula pn ih pareijalnih izvoda:

f . , 5 . i f l ± 2 L p = „ ,4 .5 ,dS T \ - 0 i - A )

^ = . i ° - _ L . sVth + pK j., p , = o (4.6)d T T 2 T X - ( f i - X ) 2 [i

f + * \Rcšavanjcrn jcdnaćina (4.5) \ (4.6) dobjja sfc upiimalno rescnjc ' S , T

OptimalTii nivo do koje^ sc vrii dopuna je:

s * _ f 2 X c 0 ( l - A . / n )

\ h(l + h / p )

Pcriod naručivanja jefr

(4.7)

_* [2cnTi + b /p T T ( 4 - 8 )

Opiimalna količina naručrvanja jfr

Q * = X T ’ = , B S p S (4.9)

LJkupni troikovi su:

— — ---------— (4.10)\ S + h / p

Primer 4.3

Fairnaccutsko prcduzcće "Gabnika", Ihl proizvodi lck protiv bolova - Bmfen. Ovaj lek se distribuira svim veledrogjnama u Sibiji Dnevna tražnja za ovim lekom iznosi 20 kgha pnoizvodnja je 50 kg. Jcdinični troSkovi usled postojanja zaliha su 2S, usled ncđosEatka zaiiha 32$, Jeđinični iroškovi pmizvodrtje iznose 10S.

Potrebno je:a) odrediti optimalmj kolićimt proizvodnjcb) ukupne troškove zaliha

Rešenje:a) Opnmalna knEičina proizvodnje je jcdnaka kolitini koja sc akladi^ti u skladište finalnih proi/voda cazmarrane kompanije, lako da:

f. p ravljanje sa lihatmi

„ . , T . _ j a c .M l+ h / p ) _ f c i o m k * 2 3-2> f*50Q " X T ~ i h (] - x , » - * f i s ~ 2 3 2 7 k s

b) UkiipnE iroskovt zaliha su:

L-_ <2Xc11h ( l - X / u y _ f2 -2 0 - 1 0 -2 - ( l - 2 0 /5 0 ) ^ IT80~ r ' \ I + h /p \ 1 + 2 /3 .2 \ L(i25 ‘ ‘

4.2.2 MODEL SA DOZVOL H-NIM KASNJENJFM

Modcl sa dozvoljenim kaSnjtmjcm je spccijalan slučaj osnovnog koniinuaEnog dinamičkog mođela

U ovaj m odd uvode se siedeče prctpostavke:L Tra2nja je poznata. cleterminisiička i fcontiouaina. Odredena je

intenzitetom tražnjc, k koji predstavtja tražnju n jedinici vremena,2, lsporuka je tenutna (A3, Jediničn] troSovi nabavke, drčanja ?a3iba i penala su c fll h i p,

respektivno, su poznati4, TroSkovi se nc menjaju u vremenu i ne /;tviSLf od količinc narjtivan ja

Promena nivoa zaliha u vrcmenu pri tremimoj isponici je opisana lineamom funkcijom koja je ilustrovanfl na slici 4,4,

fMVO ZALDtA

VREME

SHka 4.4 Prvnn’rui rtivoa -dliha u vrtrmenu p n inrmiumj ispontci

Procedura nelaženja optjmalnog reSenja je potpuno ima kao kod preifiodno anali/iranog modela. Optimalno rcSenje se dobija kada ne u lzraze od (4,7) do <4.10) zamcnt { \ f n) ~ 0 T tako da:

163

OPERACIONA fSTRAŽfVAMA

Oplimalni nivo ko kojcg sc vrši đopuna je:

— x r ii_ ¥ hO + 1> p)

(4.11)

Period naručivacja j c

* _ f 2crj{l +h 1 pT

V Xh(4.] 2)

Optimalna vrcdnost količine nanjčivanja dokija se prema i/razu:

C4J3)

OptLmalna vrcdnost ukupnih iroškova zalih.a pojedinki vrcmena je:

L - _ ;2AcehV i + h / p

(4.14)

Primer 4.4

Kabnka sokova "Next" komti mcsečno 27000 boca za njihove proizvode.

60 dinara Kompanfja radi 20 dana mewčno.

Potrebno je odrediti:a) koliki sujedimćni Ko£kovi usled nedostackd zahhab) Menadžer preferira da naručuje 10 puta tokom. meseca, postsvlja se piianje da li ćc ovo promcniti optimalnn koticinu narufiivanja

Rešenje:

a) Nivo đo kojeg se vrši dopuna jc u ovom primeru timitiran i i^nosi 4000 komada. Prema i?razu (4 11) mogu da se izra£unaju jedimčm tTDŠkovi usfed ncdostaika ialiha (penali)’

Menadžeri zaliha su liminrati zalihe boca na 4000 komada Jedtnični iroskovi usled posiojanja âliha u toku meseca su 1.8 dinara, jedinični troskavj nanićivanja iznose

b) Izračunajmo p n o pcriod narućivanja;

T. _ f2c„(l + h / p j _ | 2 -60 (1 + 1.8/2.02)

Xh V 27000 1.8- - 0.068

M

Upmvtjanje zalihuma

Kako se radi 2U dana u mcsccu. to znaći da pcrioti naiofivfiiija i/nosi:0.068 ■ 20 - 1.36(5^5 = 1.37 dana.

Optimalna koliČina naručivanji je;

q . p c aX(i + h /p ) j2 ^ 6 0 _

V h

2 ■ 60 ■ 27000 ( l i - 1.8/2.02) 1.8

- 1844.98 1845 komada.

Kako se broj n&nižbenica lokom perioda naručivanja (jcdan mesec u ovom primern) računu kao:

iedinična isporaka opiimatna koli£iua=27000 1845^14*63

Ako smanjimo broj naručbenic;i iokom mesticjt na 10* kao SlO se zadatkom traii, sledi da je optimalna količina naručivanja jtfđnaka 27000-10-*2700 komada. Ovaj rezuitat pokaznje da se znatno menja koliCina namčivanja

4.2,3 MODEL SA KONSTANTNOM TRAŽNJOM

Klasičan model s;i lconstantnom iražnjom je najjednofitavniji mode] zaliha. Često se u ]iterature nalazi pod nazivom modet optitoalne količim nantčivanja ili mođel aptimalne veličitte serije kada se govori o zalihama finalnih proizvoda. odnosno proizvodnim zalihama, respektivno. Ovaj model jc takode specijalan jiiučaj osnovnog konnnualnog dtnamičkog modela.

L ovaj modcl uvode se sltđeće pretpostavke:L Tražnja je poznata, detemuntsti£ka i koniinualna. Odredena je

inLenzitcrom trainje, X koji predstavlja rraznju u jedinici vremera,2. [sporuka je tenutna (A . ) = 0

3, Nedosiatak zaliha nije đoz\o!jcn, tj, tražnja u potpunosti mora da bude

4, JediniĆni troSovi nabavke, drânja zaSiha i peuala su c [(, h i pTrespektivno, su po/nati

5. TroSkovi se ne menjaju u vremenu i ne zavise od knliiinc naraČivartja

Promena nivoa zaliha u vrcmenu pri trcnutnoj ispomei je opisana Mneamom funkcjjoin kojfl jc iJustrovana na sltci 4.5,

+KiVOZALtHA

T VTIUMEZT

Sfika 4.5 Promem nivoa zaliha u kiastćmtm ntodeiu sff koit.?(cn?nom tra*qjam

OPERACIGNA ISTRAZlVANJA

Proctn'dura nalaženja opiimalnog reSeuja jc polpuno ista kao kod piethodno analiziranog cnodela. OpLmalno rcšenje se dobija ki'ida sc u izra/c od (4.7) do (4r|0 ) 7-aiTieni (X^ju) = 0 j ( h / p ) ^ 0 tako &a OpUnialni nivo ko kojeg se vrSi dopuna je;

* t2Xcf\S = J ----- ^ (4,15)nPeriod naručivanja je:

r2CiT* = m

Xh{4.16)

OpLiniaJna vrcdnost lcoličine namčivanja dobijn se prema v&zzu:

Q * = i T v E a * < 4 ,7 )\ h

Optimalna vTednost ukupnih troškgva zaliha po jcdinici vremenaje:

L’ s ^ / a c o h (4.1S)

Primgr 4. J)

Lokalni distributer za nacinalnu naftnu kompaniju (Naftna industrija Srbije-NIS) očekujc da proda pribElžno 9600 t nafte za itarednu godinu, GodiSnji jeđinični troSkovi zaliha iznose 16 eurat i judlničm Itoskovi namčivanja su 75 enra, OisLributer radi 28S dana u godini.

Potrebno jcodrediti:a)optimalnu koiičinu naruiivanja b} dužinu ciklusa naruftvanjac) broj narudžbcmoa u jednoj godinid) vrednost ukupnih troSkova caručivajija

ReHnje:

3} Opiimalna kolićina naručivanja se račima prema tzrazn 14 ,17):

h \ 16

b} Dužjna ciklusa naructvanja se raCuna prema (4. ] 6):

T * = f ~ ^ = J - 2 ' 75 = 0 . 0 3 1 2 5V i h v 9600 16

Kako jc broj radnih dana u jôdini 2SSL tada vreme između dva ftkmfiivanja iznosi:0 . 0 3 125 ■ 2 8 8 = 9 radnih dana.c) Hroj nanizbenica u toku jcdne godinc sc računa kao:

1 6 6

L'pravljufijf ztiiihamti

jcdinijna isponrie&optimalna kolićma narućivanja -z = ^ -

d | Vrcdnost ukupnih troškova zaliha je:

L = < j2kčîi .= V2 ■ 9600 ■ 75 ■ 16 = 4800 eura.

Razinatrajmo odnos troskova zalilia kadaje dozvoljcno kaSnjenje L ( s ' ,Q ') i knda

n ijL ’ dozvoljeno kašnjetije I * ! q ) pod pretpostavkam d:i je tiabavka (rcnuina

( X / n ) = 0 ;

L-(S*.Q‘ ) / L - ( Q * ) = ^ ' ; ' 1 \ l + h /

Knko je (I+h/p)>l sleđi da je vrednost L' ( ( / ) — -— < 1 , odnosno^ 1+h/p

L" (s * *Q*)/ tJ ( q +) e (0,1). Dobijeni rezultat pokazuje da su troškovi /aiiha kadaje dozvoljeno kašnjenje uiži ncgo kada nije dozvoljeno kašnjenje. Ova analiza ukazuje na interesantan fenomen: kada je dozvo3ji;no kaSrcjenje tada posioje troškovi usled nedostaika zaliha koje đeie viasnik zaliha (proizvodno skladilte ili distributivni ceniar) 1 konsnik zahha (distributivni centar ili krajnji potroSači). Drugim rečimaT partnerski odnoa viasnika zahha omoûdava da troškovj penala a samim tim i ukupni troSkovt budn nižt. V novim konccptima upravljarja polazi se od pretpostavkc da postoji partnerskt odnos između u ta n ik a u proccsima rada.

Odnos troSkova zaliha kada je dozvoljeno kaSujcnje r kada nije dozvoljeno kaSnjenje zavisi od jediničnih troSkova usled postojanja zaliha i jediničnih trožkova pcnala.

Razmatrajmo slučaj kada jc h > p , Sa povećanjcm jedinifnUi troškova uslcd postojanja zaliha (nprr usJed povečanja iroškova skiadi&tenja)

l * (s * ,q ‘ ) ; l * ( q * ) - » o .

U Tiiodciima koji opisuju rcalati problem upravljanja zalihama cesto sc uvodi pretpostavka daje p>h. Kadajedinični troškovi u&led nedostatka zaliha rastu (npr. nko se zahteva strogo poštovanje ugovorenih rokova i kolifina) tada

L* (s ‘ , Q * ) / L * ( q * ) . + l ,o d n o sn o L* ( s " , Q * ) * L* ( q *).

Preipostavka da je traznja izvesna, deterministička i komirualna nije realna za preduz.eče koje funkdoniSu u rcalnom poslovnom okruženju Medutim, u morijskom smislu, prikazani modeli imaju vdiki znaSaj jcr problem upravljanja zalihama je opisan formainim jezikom i rešenja se tialaze cgzaktnim putem.

16 7

OPERA&ONA ISTRAtlVAKM

4.2.4 VREMTNSKl DISKRETAN MULTIPERIDOKT MODELZALJHA

Ovaj tnudd jc neSto slo/.i^niji od prclhođrto opisartih triodcb, koji (iikuđc piLi|>acla klasi detenuini&iilkib modcla,

I*rctpostavke kojc se uvode u ovaj modcl su:!. Vremenski horizoot u komc se vrši upravljanjc podel|en jo u k jednakih

vrcmenskih imcrva!a (k-rl,2 ......K}2, Obim traznjc u $vakom dLskretnom p£r:odu \remcna jo poznaia i

označena je sa v {k - K)3, Jcdinićm tmšovi držanja zaliha i penala u k-toni periodu (k -] ,2 1...,K) su

t Irh * p ' . rc&pektivno. su poznaii

4, TroSkovi se ne meitjaju u vrememj i ne zavise od koliiine nantčivanja.

Sa S (k = l,2 ^ .,iO je o^nacen nivo zaliha u k-tom periodu (k-1 ,2......K>nepo$ređno po&le primljeite poniđibine, Nivo ?:i!iha u k*:om periođu {k-L2,. ...K.I

■ “ ** "tf tieposrcdno pve primJjene ponidžbinc je oznaćen kiso ?. (k 1,2......K)

Optimalan kriterijum optimalrosti se Opisnje funkcijom koja predsta\rlja srednju vredlbOSt ukupnih troiko\ a za ceo vremenski horizont upmvljanja, Foitnalni zapis kriterijuma optimalnosli jei

L = ^ ( h k-{sk - v k )-s-pk (sk - z 1)), S‘ >zi (4.19)ll-t

Otiigleđno je da je ovo siučaj vifieetapittog proc^sa, tako da nalaicnjc opttmalnog rejScnja zastnovano je na metodama dinamiĆkog programirjinja, Metode dinamičkog progTamiranja zasnovane sun a funkcionalnim icdnačinama i principu opiimalnosti.

2a futikcijn (4,19) raogućeje odrediti transformaciju L*K k(zk”' ' ,) 1 ......IO Izato je mognće pstaviti funkdonalnu jedxia£inii (u ovom slučaju rekurentrHl rtJaciju), koja omogućava da se dodc do opnmalne stratt'jUft; upravljanja. Drugtm rećima. reSenje rekurenme jednacine predstavlja oplimalno rešenje

[-V „ <zK t)-m ln ■ ( s ^ “ - ) + p * * ■ (s*1-* - zK"1)) h L ^ ( S K’k - V * ) .

(k“ l,2......K) (4.20)

Prethodna jednaiina (420) ôvezuje minjmalne troSkovc u prethođmh (k-l) periodii i k-tog perioda

Zavisnost i/među nivoa zaliha posle primljene \ pre primljenc porjdžbine prikazanajc izrazom (4.21).

168

L'prgvijanji- zahhama

v ' s s ‘ s 2 ] v ' i 0 S z ‘ <2_,v* , (4.21}nj k

Optimalna rc&enja dsia su izra/om (4.22),

( s - r - l< v k 1

> v kjM( s K ‘ k ) ’ = 1

'jnK-k 2k | | < jjk-« ; ^K-k ^

(4.22)

U porfđtnju sa osnovnim kontinualniTn dmamičkiin vnemenskL diskretanrnultiperiodni mođel zaliha na ho!ji i realniji načir opisuje problem. Kod ovog modcla zastuptjen je prineip adaptivnosti za preiposta\ku o tražnji+ Preipostiivka o po/naioj tražnji može se smatrati lačnom ako jc vremeski period k (k-I.2,...,(C) dovoijno mali.

4 J O S N O V N I S T O H A S T I Č K l M O D E L I Z A U P R A V L J A N J E Z A L IH A M A

Rj^voj teorije verovatnoće je omogućjo đa se mnogc vebčinc koje egzi&tiraju u modclima zaliha opiiu na rcabiiji način, pomoću sJuČajnih promenljivih. NajicS-ćc sc trainja u ovim mođclima trctira kao stohasiićka promenljiva. Zadaci sa siohastičkom tražnjom su ođ vcćeg praktičnog znacaja Proccdura nalaženjft optimnluog resenja rahkuje se od procedurc koja jc i/lozcna pri rrctiranju deicrmintstičkih rnodeia.

Stohastiild modeli za upravjjanje zalihama [7] koji cc bid prikazani u ovom poglavlju odnosc se na vremenski điskretne sistcme koji se opisuju viSeetapnom transformacijom:

x { k + l) = T (x (k ) .Q { k ) ,u { k )) (4.23)

gdc je:x (k) stanje sistem a u M o m im ervalu Q (k) itpravljanje, tj. koJiĆina naruiivanja u k-tom intervalu ti (k) neizvesna tražtija \ ( I ) zadato stanje sistcm a za k ^ l

Vrcmcnski horizont T u kome se vrši upravljanje zalihama diskretizovan je na K. jednakih vremenskih perioda. k~3T2 .... K,

4.3.1 MODEL PRODAVCA NOVINA SA KONTINUALNO RASPODBLJKNOM TRAŽNJOM

Pretpostavke koje se uvodc u ovaj rnodel su:l, Obim tra^nje je neizve$na veličina koja se opisuje funkcijom raspodele verovatnoće, O (u ( k ) ) . odnosno funkcijom gustine raspodele f (u (k))

169

L

OPERACtONA tiffRAttVANJA

2, Vrednosti jedmičnih troSkova^ naručivanjo. držatija znliha i medostatka zaliha, c ^ ^ h . p , respektivno su deterministićke vcličineza svaki ;>eriod k. k- 1

Krjtcrijum optimalnosti jc dcfinisan kaoukupni iraškov i /alfha. OCektvani iroškovi su funkcija koliijine naručivanja ( k ) i predst;iv|jaju se

ic xtkh-y(t)L = Ž c,-(Q(k))+h' J(Q(k)-u(k))-f(u(k)) du(fc)+

k" - • ’ (4.24)tm

+ p J ( u ( k ) ^ Q ( k ) ) f ( u ( k ) ) d u ( k )

uM'Qrk im

Optimalna kolifinm naničivanj:{,Q ^k) se nalazi iz tislova minimuma oćekivarsiKukupnih troškova Taliha:

K ¥<tJKiric> k -= Co+ h - X J f(u(k))>dii(k} + p £ Jt'(u(brt du(k l = 0 , (4.25)

dL

H 1*1 tfkr+0|kj

Ako posmatramo niimčivanjt: .siimo u jednom periodiu tada uslov â nalaženjew

opiimalnc koJičine naručivanjii, Q , fomialno se predstavlj^ i/razom: x<k)+Q*k) oo

~ = c0 + h J f (u (k » - d u ( k ) + p * J f ( u [ k ) ) ■ d u(k) (4.26)

^ u=o xttHQGH

Ako pretposiavimo daje početni nivo zaliha jodnak nuli+ tj. v ( l)=0h ’ada optimalna kolifina namCivanja odreduje se prema izrazu:

* j _ = C 0 + b -JO,)* - P ■§ - 4*(Qk )j = 0 (4.2?)

odnosno

® ( Q k ) * = £ - % (4 28>p + n

Kada je <1> sirikmo rastuća funkcija, tada postoji jedrnstveno rcšer.je:\

(Qk) = ®"1 P - C p

l P + h(4.29)

Ako i/ostavimo preiposiavku da je poCeini nivo zatifca jednak nuli, tnida na pocerku penoda postoji nivo /aliha K(j(k) . J-ako se pokazuje da jc rešenje tada

Akoje X[)(k) < (Q ) , treba noinčiti (Qj< ) ^ x q (k )

A koje x 0 (k) >(Q-t ) ne treba vriiti narućivanje.

170

Uprgn’tjanje zaiihama

llustrujmo sad<i gomji modcl. Neka jc Irainja neizvesna vcHćina u vreniLiiskomperioUu k (k-■li2.i,..Kj oplsana stućfijnom promenljivom sa Puasonovomlospodelom vcrovatnoće. Guitina Puasonove raspodele ie:

f ( u ( k ) ) = \ k - e ' Xfc‘ k ' (4.30)

gde jc intenzitet iračnje u pcriodn k ( k - 1 ) ozti&tčn ktiu .

Zamenjujući izrjz (4.30) u (4.26) dobija se:-i, •*

= +h - - e ^ ' utt> d u (k )+ p - |Xt e"*1 du(fc> (4.31)u~0

ReSavanjtrm jcdnačine (4.31) dobija scr

( Q k f = - i - - I n ^ ^ - - x ( k ) (4.32)n + p

4.3 2MODHL PRGDAVCA NOVINA SA [?ISKRHTNO RASPODELJENOM TRAŽNJOM

Ovaj model ie u lilersturi čcslo sreće pod nazivom sikretni stohaslički model zaliha. On je razvijer. na slcdcćnn pretpostavkama:

L Obim iražnje u svakom periodu k (k -1 .2 ,..nKi je ncizvesna veliiina koja je opisan diskretnom sluCajnom prom en^jvom . R aspodda verovatnoće

trainje, ( u ( k ) l je proijvoljna diskretna funkcija

2. Vrednosti jeduiičnih troškova: naručivanja, držanja zaiiha j ncdostatka zaliha, CQ,hnp , rcspektivno su determirrističke veličine za svaki period

k, k = lt2,f3. X o(k )je nivo zalthilU piriodu b (k- 3,2.....K) u [renurku naričivanja

Nftdalje će da bude izlozen posiupak odredivanja optiniatne kolićine namčivanja,

Q i kada se pbniia samo za jcdan vremcnski period.

Evriierijum oplimalnnsti jc deftJHsan kao utupni oćekivani Iro9kovi:

L(Q»*») = c 0 (Q - X«)+ h2^(Q -u )rp{u )+ p ’ £ ( u - Q ) p { i t ) (4.33)untt U=0'l

Funkcija L { Q ^ o ) j e diskrelrji i njena eksiTcmna vredrosi ne može da se dobije iz

uslova da jc prvi parctjalni izvod po protncnljivoj Q jednak nu!i, već se prisiupa analizi ovc funkcije saciljem da se odredi njen ekstrem.

NapiSimo iira2 ukupne očekivane troikove kada se koliCrina narueivanja povećaza jcdan+ ij. sa Q na (Q + 1):

o -n g + u ^ c ^ o + i - j o + h ^ t g + i - u ) p<u)+p X ( u - Q - ' ) p ( u ) (4.34)

U.--.0 u=Q*2

171

OPEUACIONA fSTHiZlVAhiJA

Nadatje će da buđe piika2an posmpak jziafiunavanja promenć vrcdnosti ukupno očekivaniii trolkova kojt se ostvare kad:i jc količina naručivanja Q’ I i Q.A L (Q \x yH , ( Q + U v)-L (Q tx*) (4.35)ili u razvijenom obliku:

Q 0^ ( Q + I - u) p ( i n - ^ ( Q - u) -pfu)

u-nA L ^ g J e p , + h -

r > —p ^ ( u - Q - I ) p ( u ) - ^ ( u - Q ) p(u)

[ u:<3+; «"0*[

Transformisiuio sad(3 drugi član istraza (4,3 5a);

^ ( Q + l - u ) p ( u ) - ] > ] ( Q - t i ) p ( u ) =u-0

(Q + l - u)-p(u) + p ( Q ) - ^ ( Q - u)« p ( u ) -

u-t> 4

ii ■ u

p(ul + p(Q) = ^ p ( u )U-fl

Troći člau i m / a (4.35a) mo/c da se toUfefomiiSe na sterieci rificin:» oa

^ ( u - Q ’ l) p ( u ) - ^ ] ( u - Q ) p(u) =u-C + I M-O+l

£ ( u - Q - l ) p ( u ) - ( £ ( u - Q ) p(u) + p ( Q + D -p*Qt2 u> *3

*s « Q

- X p(u >- pCQ+1) “ - 2 p ( u ) = 1 _ ) l - p(uju=Qt! «=0+l uM)

Zamenjujuči izraze (4.36) i (4.37) u (4.35a) dobija

AI(Q*. *0 >= C0 + h • £ p(u) - p + p £ p(u)

(4.15a)

(4.JĆ)

(4,37)

(4.3S)u=0 uMJ

Procedura izračuoavainja razlike ukupmh iroskova zaliha kadii sc naručuje Q i Q-1

koliČina proizvoda je ista kao pK'thodnorn slutajn, tako da:

A L(Q ' - l P\ 0 )= c * + h ^ p ( u ) - p + p ^ p ( u ) (4.3P)u=o U.l[>

172

l.-pravtjmje igtihania

Kako ji; AL < 0 za Q- 0 i, AL > 0 /a Q -> » stodi da jco o

A L(Q 'tx0) - c0 + h X P C U ) - p + P ( u ) S 0 (4.38b)U=u HoP

0-1 Q]A L ( Q ‘ - } > X 0 ) = C0 + h ^ p ( i i ] - p + p ( 4 . 3 9 b )

u=fl u=n

Proma izrazima (4.3Sat i (4.39b) slcdi

'kr P ~ c» v -(44(,>

U ^ l J v---Q

Nei osnovu izraza (4.40) moče da se zakijuči da količin;i naručivanja zavisa od troSkovnih paramctara,

Model 4.3.2 koji jo razmćitran može dćt budc modifikovan u sIučeiju kadći jc tražnja opuana kontinualnom sluCajnom vdičinom. Zadat^k sc dcllnisc na slcdcči načm:

*po(rcbno jc odrediti optimalnu koltfinu narucivanjii, Q , prcma izrazima:

p (d s q * ) = ^ i a i p (d ž q *)= p- ^p + n p + h

Primer 4,6Turistička agencija "Compas" KjaguJevća šest mescci pro početka sezone trcba da rc/crviê sobc u Paraji na Tajlandu. TroSkovi rczervacijo iznose 50S po sohi. Ova tmistička agcncija nc može sa sigumošću da zna koliko ćc soba u nastupajućkoj turistićkoj sczoni da budn potrebno* Vctujc, d a je tražnja za sobama raspodcljcna po normalnoj raspoddi sa matcmaličkim očekivanjem od 50 i standardnom dcvijacijom !0. Ako jc broj w ba vcći od rc/irrvtsanog broja, agencija ima mogućnost da obczbcdi sobe u susednom hotciu po ceni oc SG S po sobi, Takodc, mora da plati još po 10S pt> sobs suscdnom boteln kao taksu. Odrcdili optimalan broj soba koji treba ova turisiifika agcncija d;i rczcrvLše za nastupajuću turifctftku sezonu, ^

Rtšenje;Ncka sa D C2načimo traznju koja jc nonnaino raspodcljcna, Prctpostavimo da je inižnja vcća od rezervi$ano£ broja soba. Lf ovotn sktiaju javlaju sc samo jcdinični iroskovi rczervacije i jcdiniOni iroSkovi uslcd nedosiatka zaliha, Jcdinični troSkovj rc/ervacijc*cc = 50,jcdiničm troškovi uslcd ncdostatka zahha su p^80S+10S -90S.

Optimalan broj soba koji ova tui istička agcncija trcba da rczerviSe raćuna sc prema L2ra2u;

? (d Ž Q' ) = ° = 0.444,v ’ p + h 90

odnosno P (d ž Q*) - ! - 0.444 - 0.5S6.

173

U tabeli za vrcdnost fnrkcije normalizovanc nornutinc raspodele sicdi d.i je:

— ^ = 0-14,10

orinosno Q ' == 5lA sobc,

Turistićka agencija MCompas" trcba da rezcrviSc 5] sobu u Palaji [larednu mnsnčku sezonu

OPF.RACIOHA ISTRAtlVANJA_________________ ________ ____________________

LTTERATUltA

f l] ĐcrgH J.P., and Zijm, W.H,M. (1996)* Modcis for warchouxes mtiftagement; dassification and šXamplts^ publication at 10-th ISIR, Hudapest

[2] VujoSević, M. f 1999), Operaciona Istraživanja - itahram poglavfftf, Fakultet orgiinizacionih nauka, Beograd.

[3] Chickan, A, (1996)T Aiathematical Modcls for Inventon Connol Munagementt TSIR. Publicaticn, Budapcsi

[4] Galovilj- D. (2001 )„ Upravljanje proizvođna ciis'frifmtivnim sistemima,URiStvo opcractonih istraiivaća Jugoslavijc {HOPIS}, Ikograd,

[5] Pctrović, R., Scnboan., A.h and Vujo&ević* M., f 1986): Hirerachicoi ittVentory Conrrof Svstems, Elsevicr* Amstendatn,

[6] HadelyT GrT arid Whitins T.M. ( 1963), Aitufvsti Cflmvrtton' Svstcms., Prenticc- Hallt Inc, Eng]cwood clifts, N.J.

f?] Pctrović, R., i Obradović, D. (1986): Vedati novi adaptivni aigoritam satieizvesnim uiazoni’\ Sunpozijum jmeligcnmih sistcma'86 (d. Ćećc;!-Kccmanović, cd.), Sarajevo.

174

Rednvi Cekanjct

5. REDOVIČEKANJA

|>a bi dpisali nedo\e čekanja ntophudno je da budu Spccificirani procesi ulaza (dolaiaka klijenatal i procesi iztaza (procesi servisir*inja ili procesi opsluživanja) Neki primeri ov ii pnocesa su dati u Tabeli 5 L

7aht.'fu 5.J Pnmeri procesa u rethvima čekanjd

Sttuaciia Procesi ulaza Proceti tzhtza

Bsinka Dol:i/:ik kLijcnata u bsnku Pu;huijc uslugt: kJijentimaod Stranc bhigajnika

Rcsiorari Primanie zah tra lspomkom Pnažanjt; u>Wa

nradograddište..

Brodov; koji su po\ jčen: sa plovtdb« t posta*i su na remont u brodotiradiliiie

Brodovi sti remontovani i s raticni r.a nwre

^roizvotfna haia ili sktadiSte

Traiispo: tnc ;cditiice <TJ) koje zahicvaju opsluživanjb

Opsluživanje ^TJjpomoeu urcđaja 2a opsluživanje i poslc zavrSerka opnluživanja, TJ napuitaju sistc;rn

l iazni prncesi Ui proccsi fl«Ia/aka. Postoje dvc uobiČajne situacije u kojima procesi dola/iika mogu da ise od broja kJijenata. Prva sifuacija, je kada se j;aključci 0 procesima dolazaka donose na osnovn uzorkii koji je izvnćcn iz male populacije. Na primcr. preiposiavimo da postojc samo L’etiri broda u brodogradilišm. Ako su sva četiri bmda na remontu, tada sc nijedan brod ne m o /t aualizirati ti bliskoj budućno&n Sa druge strane, ako su s \a čeriri broda u plovnom stEi\jut tada postoji velika vcrovatnoća đa će oni tnoći da se analiziraju u biiskoj btidučnosti. Modeli u kojima su proccsi doly/akii aimh/irani na osnovu malc populacije su nazvani modvtima konacnćg broja. Druâ situacija. u modetiranju proeesn dolazaka je kada intcnzitet prijave klijenaia op;ida r.a prcpunom mestu opsluživvnja (servisiranja), Na primcr, ako je parking banke prepun, klijenti se vračaju i doći č t u banku nekog drjgo" čana. Ako je klijent doiao, a nije motâo da bude uslu/en. tada kačemo tta jc klijem bio sprcčcn

Ako proces dolaska nije ustovljen brojem klijenaia. tada laj pmces opisujemo pomoću odgovarajuće raspodelc vcrovatnoćc vremena i/među dva dolaska.Pmcesi izla/a ili procesi opslufivanja (servlsiranja). Opisivanje izlaznib ptocesa ftcsto su tiazvani proccsi servistranja) rcdova Čekanja, podrajtumeva odredivanje raspodcle verovatnoćc vreincna sarvisiranja - kojim se opisuje vreinc opstuživanja kiijenata. L mnogtm slučajevima, se pretpostavlja da vreme Opsluživanja je velićina kojii ;c ne/avi$na od broja klijenata. To na primer implicira da serviser ne može da radi brže kada vise klijcnsto čckin

175

Postoje dva uobiČajna načina sen'isifanja: { I ) servisirEinje je paralclno i (2) servisirattjc je rcdno. Servisiranje ApsJuŽjvanje) je paralctno ako postoje više servisera koji obltvljaju .saino jcdan tip usluga i bilo koji serviser možc da prti^s uslugu klijenm. TipičaH ptimcr za ovaj izlazni proces su pru/anjc usluge klijentitna u fcijnkama od Štrane btasajnika. Proces semsfi-anja j | rcdni, ako klijent mora da prođe kro? nekoliko scrvtscra prc komplcltranja cclc vslugc. Linija monfeže je primer rednog sisfema Cckanja.

Discip'lina reila, Disciplma reda je metod koji sc koristi dy se odrcdi rcd u kojcm sc kfijenii opslužuju. \x jedinstvenog rcda tekanja kiijenti aa opyli:žna mesta prelaze po nekoj od sledečih disciplina [l]i

- PIFG - prvi kiijent koji dode, prvi se opsluûjc,- I,JFO - poslcdnji klijent koji tiode, prvi sc opsiuŽLije,- STRG - slufajna disciplina- rcdoslcd opsiu/ivanja se odredujc na slučajan

način ismedu svih prisutnih kiijcnata; vcrovatnoća izbora jc jcdnaka za sve prisutne klijente,

- PRl - diBtipljna prcmy prioritetu moê da bude određena prcma najkraćem ili najdužem vremcnu opskiâvanja. lipu klijenata, itd; kod pojave jcdinicc sa vtšbn prioritetoni mogu da nastupe dva siučaja:

a) produžava se več ztipočeti proces ^psluživanja i po njegovom završetku bira se klijent sa največim prioritetom,

b) prekida sc zapoceti proces opsluživanja, klijent sa mesta opslu£ivanja sc vraća u red cekanja. a ptihvata se priaritetni kiijent.

(Cod sistcma sa vise redova čekanja \zbor dtsciplinc u svakom pojcdinačnom redu eekanja isti je kao i kod jcdnorcdnih sisLeina čekanja, a!i sc mogu pojaviti i druge mogućnosti, PrvroT klijcnti tnogu da sc klasitlkuju pKJina mestima opskmvanja i dnigo, ukoliko postoji više rstih katiaia za opsluživanje klTjenii mogu dći se prikljuee tanto gde $u najkraci redovi Čekanja. Ovaj proćes nioê da budc slučajan ili da sc ponaša prema usvojenoj discipUni rcda čckanja.

Isti autori [i] ističu da dva ztiačajna fenomena mogu da budn prisutna u sistcmima redova ickania:

L kiijent se ne priključujc redu koji ima veću đužinu od neke unapied 2adate dužine,

2. kiijent napuSta red, poSto mu sc prcrhodno pnkijučio i čekao red.

OPERACIONA ISTRAŽIVASM_____________ _________________

5.1. MODELIRANJE PROCESA ĐOLAZAKA

Kao 5to smo ranije napomcmsli, prctpostavljamo više od jednog dolaska mo£e da se javi u unapred zadatpm vremcr.skom intervalu. Keka sa ij btide označeno vreine u kojem če i-ti klijem da đodc. To jc llustrovano na slici 5.1,

1 ^ 3 t: = Š & = 0

Slika 5.1 De/inicija vrememkih itiiervala

176

Hedfrvt čekanja

Za i s ] , dtinniSimo T , - i l + | t,. Ovo vromc predstavljo viemc izineđu dvađoJaska klijenta. Prema stici 5.1, sledi da je \\ =3-3*= 5 i T> = 15 — S = 7 . Umoddiranjti procesa dolazaka, mi pretposiavljamo da su 1,-ovi međuaobiionezavisni* i neizvesmi. Njihove vrednosti su opisane koiuimialnim slućajnim vclicinama. Neka je neprektdno slueajna pmmcnîva ozna£ena u daljcm ieksm kao X. Pretposiavka o njihovoj medusobnoj nezavisnosti* na primer* znaii đa vrednost T2 nema uticaja na Vrednosli T3.T4 ili na ncku kasniju vrednost T,. fetpostavkftda je T. kootinualna sUičajnu vcličma je obicno dobra aproksimaeija realnosli. Ovapretpostavka imphcira da vremc dolazaka klijcnta izraŽeno u danima ili ncdeijama. Ovo je pretposiavka o stacionamosti \tem cna dolazaka. Ova preipostavka jc iesto ticreaina, aii mi moramo čcsto da aproksttniramp rcainost tako što vrSimo diskrctizaciju dana na scgmente U švakom scgmcntu dana vreme između dva dotaska jc stacionamo.

NajčcSče se vrcme izmedu dva uolaska u rcdovnna ćckanja, opisujc slućajnom vcUčinom koja je cksponcncijalno raspodeljena* Nfadaije će dctaljno da bude pnkazana ova raspodela.

Za slučajnu pronicnljivu X kažemo da je eksponcnetjalno raspodcljcna ako je funkcija gustrne raspodele:

f(X) = JX e A' ,ž0 (5.1)1 (I l < 0

gde k > 0

Fudkcija raspodcrie verovatnoče slučajnc \eliiine X jc označcna kao F (X). 2a l<0T F(X)^0. Za 1 > 0. F (X) sc rncuna prema i/.ra/u;

l’(X) = | f ( X ) dtC5.2)

Primenjujući osnovna pravila inlcgraljCTija dohija sc:l 0 T X m t

P(X)= | f (X)-dt = JffX )-d t+ [f(X):-dt = 0+ J X ^ ' - d t ■X-Jc_x* -dt* (5-2a>- « 1 ) 1 ) t)

Uvcdimo smenu * t — z ( 5 3 )

Di&endranjem leve 1 desne sirane i/raza (5.3) dobija ie:

dt o - I . dz (5.4)X

Zamcnimo i/razc(5.3) u (5.2a) dobijamo:-A-t

F ( T ) = X - J - ^ e ? . < f e - - c * j o’A [ = - ( e -X'x - e ° ) = i ^ - e _ x 'T (52b)

V 7

OPERACIOKA IŠf&ifflVANM

Matematičko očekivaaje, M (X), i dtspci'zija. D (X). su tiumeričkc ka#ktcristik« slućajne vdičine X. Za kontimtalnc slučajno ptpmcljivp, ove kariikiortstike su đj&fimsanc â slcdcći nacin [2]:

K1(X)= | x - f ( x ) ‘dx (5.5)— CkS

D (X )= J lx - S f ( 3 C ) F - f ( ) t ) - 4(S.ć)

Za ncpcckidno slučajnu vcličinu koja jc eksponencijalno raspodcljcna matcmatičko očekivanje sc računa:

M (X ) = j A - t - e ”1- 1 .dt0

Zaincniiiio izrazc f5.3) i (SA) u (5.7), tada slć dobtja:

M (X )= f - Z ' t 7 ' — - d z - — fž '-t^ dzJ 1 A J

(5,7)

o (5.7a>

Intcgral dat izi'azom(5.7a) se lesavametodomparcijalnc intcgrađjc, takoda: ? = ie ^ d z = du

Jc^ ćz * dv => v = e z

Uvodedi J im en u (5.8) u (5.7a) dobija se:

M<X) = i j z - e z dz = j - . f z- c1 =

(5.8)

9

Ik

(5.7b)

Dispetzija slućajnc proiTienljivc X koja ima eksponencijalnu raspodelu se račuita;

• X-«"x ''d t (5-5)U (X )= J t - —x

Zamenimo izrazc (5,3) i (5.4) u (5-9). tadti dobijamo:

D ( X ) - — f [zp k cz ■ — &i = ------ fz"-c ' -dz + 2 \z'C7 -dz+ fez dz4 1 K 0 0

-M

G, (5.9a)

Rešcnjc integrala jz -e* -dz je ranije dobijeno mcEodom parcijaine mtegracijc i

iznosi:<5.10)jz 'Cz = iz cz - e z)

Integral JV -d?, je ta.blični i iznosi:

"■e* (5.11)

/75

Redovi ćekan/a

Reiimo sada iniegral (5J2)Uvcdimo Jimcnu;

z = u ^ 2 - z d z = du

Je* -cl = dv => v =(5.13)

Ako smenu (5.13) uvedeino u (5.12} dobijamo:c7 -d z^ z ^ g7 - i j z - c * &a (5.12a)

Zamcmmo p .10 ) ti (5.J 2a) dobija so:

j z 2 *c7 dz = z " e* -2 j z «e* -dz ~ z" - 2 - ^ ^ + 2 -e ' (5 J2 b )

Zamcnimo (5. E 0)T (5h I J ) i (5 ,12b} u (5 .9a) dobija ešc:

D t K J s ^ - f z - e ^ + c 1 (5,9b)’O X2

N’adaEjc je razmaSrano nckoiitco bitmh svojstava ekspoticncijalne raspodclc i njihov oticaj na modeic rcdova čckanj a

(i) Opuditjuća funkcija gustine ćksponenctjalne m spo dck ‘

F-'imkci|a gusiinc cksponcncijalnc raspodclc jc prika/ana tia slici 5.2AlVtj

’ VREMHSliktt 5 2 Funkc(jo gustimt eksponvncijiifn c rtitpodeie

l-'unkcija gusline cksponeitttjalnc raspodde je striktno opadajuća. Jcdn;i od poslcdicaovc osobinc formalno možc đa sc predstavj;

P(0 <5 X ^ t) > P ( 0 < X < t + T) (5.14)

gdujc T unapred zadali vrcmenski pcriod.

N;i osnovu ove poslcdicc jasno sc niiOava da cksponcncijalna taspodcki opiauje proccsc u kojima je veća vcmvatnoća da ćc sc dogadaj dcsiii u intervalu i bli/cm nnlt rego u intcrvalu T koji jc dalji od nule.

179

Moče da se postavi pitanje da li opisano svojstvo eksporienćijalnc iaspt>delc prcponičuje ovu raspodclu za modele rtdova iL’kanja Tn:ba napomenutu da svaki korikretan zadatak /ahteva ođgovarajuoe statističkc atnahzc na osno^j kojiJi mogu da se dor.csL adekvpmi zaključci. Natialje su wirc.li neti opin zakJjvčci đo tojih se doSlo jednostavnim razmatranjima [3],

Nck-i X pređstavjja vremc opslu/ivanja, oiicIli pogodnost eksponcncijalne mspodele zavisi od loga kak v,e je prirotSi; usluge. lm* îstcma opslu>i\anja u kojima svaki kJijent traži skoro iđcnitčmi uslugti. Tipičan primer su scrvisi 2a pranje automobila, Obavljsuijc fražene u^lugc zahteva izvršavanjc mza istili operjicija, V'reme opsluživanja teži matcrnatičkom oeckivanjd oko kojc^ sc de&avaju samo mala odstupanja, Jasno jc da ti takvim slučajcvima ckponeocijalna raspodela nije dobra aproksimacija rcalnosti

Postoje takode sifitemi u kojima tražcnje uslugc 7.načajtiii /avisi od klijcnta, Takvi primer! .su rad sa strankama u bnnkma, poštania u službi hittlC pomoći u bolnici i dr, Vdiki broj klijenata se brzo usluži ali s t povremeno javljaju oni kojt traže rdatiMio čuš.c opslu/EVarje. L’ takvim sluiaje\ ima «kspdncncijb lna raspodcla mo£c dobro da aproksimira realan proces opsluživarja,

Ako X predstavlja vrcme izinedn bilo koja dva dolaska kiijenta, onda je eksponencijalna raspodcla vrlo Cesto pogodna za opis proccsa dola/aka, Ova raspodcla dobro opisuje situacijc kada kltjenti koji doiazc u ststcm lczc da odlože svojc prispeće ako itoćt drtigog kLijenta koji je pre njih do5ao.

OPERACtOb'A ISrtOiZ lV A S J A __ _ ______________________________ _______ _

b) Odsusrvo pamćenja eksponencijalne raspodeie

Razlog šlo sc eksponeneijalna raspodela vtIo tcsto korisli u moddiranju procesa dolazaka je objaSnjcn u slcdečoj Jcmi [4]:

Lemu I, Ako je X koutinualna slučajna vcličina ckfipcnencijalr.o raspodcljcna, tada za sve ncncgativne vrcdnosti t i T vaii:

P (X > t + tj X > t) = P ( X > t) (5.15)

Đokaz Pudimo prvo od izraza:■0

P ( X > t>= Jjl-e *■'- d i ^ e - * ' (5.16)T

Tada itnamo:

P ( x > t 4 t j x a t ) = ^ ^ l i ^ ^ (5.17)( P (X > 0

Zamcnjujući (5.16) u (5.17) dobijamo:

P ( X > t + -d X > t ) = - —r----- ■ c “ =P(X > t ) <5.18)e 1

cime jc dokaz zavr$en.

I$Q

Redo'.i čekartjii

Možc da sc pokažc da mjodna druga funkcija gustinc raspodclc nc zadovolja uslov {5. !5) [4J, Očiglednc je da bi bio zadcvpljcn uslov (5.15)t fluikciju eksponcncijaine raspodctc je raspodcla bcz pamćcnja Pnetpostavimo da u proicklih i sati nijc bio mjcdan đolazak (<?vo JC ukvivalcniilO kao d;i smo rckli FrLo/.emo da sepitamo kohka je vcrovalnoća dd U nareduih T sati tio budc nijedaji dolazak (ckvivalentno X > t + z). L;ida izraz {5_ L5 > pokii/ujc d;i nva vcrovatuoća nc zavisi od vrcmena /, i za sve vrcdnosti t. ov;i verovatnoća jejeđnaka P(X > r ) . Lkratko,ako znamo najmanju jcdmicu vrcmcna koja jc isiekU oc treiiutka k.ida se posled-jš dolazak desio. tada raipodda prcostalog vrcmuna do sledcčcg dolaska ( t ) ne zavisi od vrcmena /.

O dsustvo pam ćenjajc vrlc vazna karaktcrisuka Eksponencijalni; raspodelc Aito što ukazuje da ako tni žclim o da znam o raspodclu vciDVfltnoće vrcmena do stcđ ećcg dolaska, ni)c od znafaja koliko je vremcna protcklc od poslednjcg dolaska.

c) Verovatnoča đogađaja t\a mahm vremenskom mtervalti

Za svaku vrcdnost t, va/i:PCX£t+ A t| JC > t)”a - A t (5,19)

za malo At *

[zraz{5.19) može da sc protumaOi na sledeći način: vcrovainoća da ćc sc dogadaj desiti u malom vrcmcnskom intcrviilu At h proporcionalan je dužim tog inicrvala, K.oeficijctu proporcionalnosti je a koji predsravlp parametar ckspcnenciialne raspodelc,

Dokaiimo sad svojstvo daio izrazom (5.19), EksponcncijaLna raspodcla je raspod^la bcz pamccnja tako da možcmo da pišemo:

P (X < t + A tj X > t) = P (X < t o ) - I - e"A Al (5.20)

Znamo da c* možc da sc razvijc ii TejJorov red, tako da za malo A i :

l ^ e" A Al m 1 - f l - A - A t + — ^ ’ k- At + o fit) ^ A**Al* (5 .2 1)2! 3!

\ crovatnoća da se događaj neče ćcst'i u intcrvatu At je:P { X > t + AtJ X > t ) ™ l “- P ( X < M ) = \ - k At (5.22)

Odredtmo sada vcrovatnoću da ic se tačno n khjcnata nalazili u sistcm iopsluživanja u trenutku i, pod uslovom da je poznat njihov broj u trenutku t~0. OvavcroVatnoča je oznaeena kao ?n(\) .P0 (A t)* i -A -A t

P\ ( A t ) * X A t (5 ^ 3 )

Pb (A i) • o(A t), n > 0

iS l

OPERACiONA ISTRAliVANJA

Jcdnakosu datc iznijim a (5-23) važc malo k Ai. O vo ?nači da ktovrem crto poj&vjjivanje dva ili v i ic do^tdaja u matom vrancnskom intcrvaJujc nem ogućc.

i pri otlrcđivanju relacijc kojc postoit: izmcthi Puasoncive i cksponcncijalnc raspodele,

d) Relacijn između eksponencijalne i Puasanovv mxpodele

Ako vrcmcna izmcđu dva dolazaka klijcnata su eksponecijalno raspoticljcna, raspodLb verovatnoće brou dolazaka koji se javljaju u nekom vrcmeriskom imcrvalu dužine I je daia stadcćom va/nom tcorcinom.

Teorema 1. Vrcmc između bilo kojn dva dohska k]ijcnata jc cksponcncijalno raspodcijtrno sa parametrom k , ako l samo ako. broj dollTaka koji sc javlja u konačnom vremcnskom interv&iu dužinc t podležc Puasonovoj raspodcli sa parametiom k l .

Poasonov /akon raipodelc ifcvodi se i/ Đcntulijcvt formulc / a n - ) » , K.ompletno izvođenje jc dato i] [2], Gustina funkcijc Piiasonovc raspodele je data fonrmtosn

Matematičko oć*kiv:mjeT M fX) i di^pcr/ijj, f) (X). / a diskrcme sluCajne promcnljive raii:niiju $t prcma izrazima:

gde su sa s t (i = ] n n > označene diskretnc vrednosti koje možc dti uzmc diskretna slučajna promenljjva X sa odgovarajućim vciovatnoćama p, (i = l... ,n ) .

Maicmatitko očekivanje t dispcrzija Puasonovc slučajne promettlj^c sc računaju:

Ovc aprkosimacijc sl" korislc pri izvodcnju LinatiliOkih izraAi vd proccse u kojim aje vreme izmfdu dva dogadaja cksponcnctjalno r;t)ipodeijcno Onc će biti iskorisćcnc

(5 24):

(5 .24 )

i>(5 .25)

(5 .26)

(5 .27)

Primenimo osnovnc iilêbarskc opcracijc u izrazu 0.27), tako da:

Redćvi ćckanja

D ispcrîja Pnasonove sluCajnc vcličinc sc dobija prcn ia i / r a /u :

D iK :;= X “ 2 ■ — - T ~ ■«''x ' 1 - ■ t )2 (5.233k = 0 n!

Nndaljc jc prikazim postupak odrcđivanja %Tcdnosti dispcrzijc diskrctne slučajnc vclićinc sa Puason@vom raspcdclom .

D(X1; = £ (n . (n - l )+ n I ■ e " i [ - ( i (n - l)-n ■ £ . ■i« i Il! t=-o

k - 0 n!

(5.28a)

Vrcdnost drugog čtara lzraâ t5.28^) iznosi A - t kao šio jc dobijcno u (5,27a), Ako se sad vratiino U (5.28a) dobija Seg

D ( X ) . £ + ( A . . | ) - ( X . t ) 2 =

§ ‘o <n " 2 >!

( A - t ) 2 ' ■ £ - - - ; - - + ( X - t ) - ( X . t ) 2 = ( X - t Y + ( X ■ t ) — ( X - 1)2 = X - 1

p ( n “ 2 ) !

(5.28b)

ZnaCi kod Puasonovog zakona raspodeleM (X) = D (X) (5.29)

U praktićnini prOblemitfia jcdnjskost (5.29) ino/e da hude kritenjum da je nekaslučajna veličina raspodejjena po Puasonovosm /'akonu,

Može da sc postavi pitanje kojc pretpostffvke sil žahtevana da bi vremena dolazaka bila cksponcncijalno raspodeljona. Ritzmatrajrno ilcdeće dvc prctpostavkc:

1. DolascE su dcflnisani na vrcmcnskim intervalima koji se ne prcktapaju i koji su nezavisEii. Govoreći jezikom Leorije verovatnoćc, dolasci predstavljaju statistiCki nezavisne događaje,

2. Odredimo verovainoću da ee se desiti jedan doiazak klijenta u intcrvalu t i

Neka sa A označimo događaj da čc se u vremcnskom uitervaiu (r + At) desiti Eačno n dola2aka klijenala, tako da:

Pf A) - Pn (14-At) (5-30)

Sa H j (j = 0,1,2,..) oznacimo događaj da če se u istoin vremenskom mtcn'alu

desiti j dolazaka:

183

OPERACfOKA iSTH42iVAftJA

PC B j) = P, ( t ) (5 .31)

Prenia formuli totatne crovatnoće stcdi:&

* ( A ) = £ p ( H j ) - P ( A 'H j) i™0

Uslovna vcrovatnoća P (A H j ) prsdstavlja vefpvatnoćn da će sc li iniorvalu

(t+ A t) dcsiii tačno n dolazaka Jdijcnjta pod ustnvom da se nCEtlL/uji; tlcguđaj H j ( j - 0,1,2...).

P ( A / H j ) - P n. . j (A t) (5 33)

Tako da vcrovainoću P (A) možemo da prcdstavimo:

P(A) = S pn - i W pi(At) (5J 4 )j=l)

P„(t + &t) = P„ (t) - X ■:At • P„ <t) t Pn_] {t) • X • Ai+ o(Ht)

Pn ( t + i i ) - P 11C t ) = - X a i ( P n (t>T-p11 _ |(t»

lim = _X -Pn(t) + X-PB_ ,(t) (5.35)At

Za rešavartje diferentijaincjedrtaCioe (5.35) poôdnojc Ja se uvede smena:

Z n C O -P # (O e M ( « 6 )

Di fe renc Inmjem j ednaCj ne (5.36) dob ij sc nov si stem d i ferencijaln iti j ednač i na:

* b $ ) = A ;* # - i G) (5 J 7 )

Zameninio poćelne uslove:

(t) = Pq ( I ) - c^'11 = I i zn (0) = Ot ’za n - L2r ..Sistcm difercncijalnij jednačina se jcdnosinvno rcšava uzastopnim integraljcnjem:

iJE|{t)= J X '2 o ( t ) - d t= X ; t

0\i

^2(0 = jV*dt -0 0 " “ ■

/ \ \ j i 3 f , 2 . ( ^ t ( A . I )''z3(t) = j x 2 2(t) dt = x J l ~ g " * ^ r

0

184

Redov'i ČL'kufija

Na ovaj način smo dobili opšti obraz'ac pomoću kogn odicđujcmo vertsvatnoću da će se u victncnskom interv&lu t desiti tLićnn n dala?.aka, tj.

Izraz ( 5 i 3 8 ) prsdstjivlja gustinu vcrovatnoćc slučajnc velifiine koja je raspodeEjena ppema Puasonov om zakoav.

Na ovaj nnčin smo pokazali da ako jc vrcinc izmcdLi dva dnlaska eksponencijalno raspodeljeno sa parametrom X , 10 implicira da je broj doluzakii ra$podeljen po Ptiasonovoj rasfjčdeli sa p^rametrom X,’ t . i obm uto. Takođe, m ože da se izvedc još jedan važan zaključak kojt proi/,ilazs iz svojstva cksponencijalne raspodcJc da je bcz pamćcnja: broj dolazaka koji je raspodeljen prema Pua$bnovoj raspodcli zavjsi samo od dužine tntcrvala t, a ne od toga gdc se taj intem i! na \ remen$koj 0$i nalazi.

e) Erlatigova raspodela

Ako vremena doiazaka nc m ogu đa sc opisu slučajniin velićinam a koje su ek&ponencija]no raspodcljcnc, tada se ona modelirju ErL&igoovonl raspodciom, Sluiajna veličina X k o ja jc raspodcljcna prcma Eriangovoj raspodeli je određena sa dva parametra k i R. Paramciar k dcftnišc oblik krive gustine Erlangove; raspodcle a parametar R intenzitet promene. Parametar k mora da budc pri rodan broj,

Gustina Erlangovc raspodeteje data formulom:

M atematicko očekivanje, M{X) I di^perzija, D ( X ) t računaju sc prcma i.zrazim£ (5.5) i (5.6), rcspcktivno.

Za Erlangovu raspodeltjj m atematičko oOekivanje se racuna prcma izrazu:

Pnmenjujući osnovne algebarske operacije i pravi'a integraljenja dobija se:

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5,40a)

Iniegral c " r< * -d\ rcšava sc mctodojn parcijolne integriicije u k koraka, Ovde

0jc dat samo krajnjt rczuJiai.

M ( X ) » - (5.40b)R

CHsperzija se raeuna:

D Q O = l ( * - ~ ) 2 . ž - ^ £ l ! . . eS » * -d* = 4 r (5.41)* R (fc“ l ) R

Možemo da vidimo kako sc mcnja obiik Hrlangovc knvc u ?x\isrostt od parametra k. £a unaprcd odrcdenu vrednost I 1_ \ ] /a raliiirc vrcdno^ti k dgbija i,c faniihja

U )Erlangovih krivih (stika 53)

OPEHJCIOKA ISTRAŽIVAh'JA ______ ___________________________________

Stika 5 3 Furtkdju gustirte Erlangpvit raspotfcte

Za svaicu kiivu w farnilijc Hriangovih kriviht maicmaitčko occkivanjc je ,3. . Ako

sc mcuja vrcdnost paramcira k+ menja sc samo oblik krive. Sa slikc 5.3 jasno se vidi da iz fc-i, Erlangova kriva jc cksponcncijaina raspodtla sa parametrom R. Kako sc vrednosi paranictra k povečava, E-.rLangovn ra$podcla svc viSc : vi$c liči normalnoj raspodelL 7a ckstrcmno vcliku vrcđnost paramctra k slučajna vcliCina sa Edangovom raspodelom sc pribli/ava siučajnoj vcličini ćija jc dispcr/cja jednaka nuli (sto oznaćava da su vremcna dolazaka konstantna). Menjajući vrednost k, možc da se dobijt simcirićna raspodda.

1&6

Redovi čekattja

Ako su vrcmtins dolaziika modeliiana Erlangoovuin nspodclom $a paratnetrom oblika k:+ tada mo/c dn se ka2c Jei su procesi dolaîka takvi da klijeiu prolazi kro/ viSc faza fsvaka od fa/a jc bc? pamćenja) pre konatnog doiaska, U tom sniislu, parametar k je će&to u literaturi nazvan broj faza trkangove raspodele.

5.2 M O DELKANJE PROCESA O P SL tŽ IV A N M

Prcipontavimo sada da vremena opsluživanja (servisiranja) ra/lićitih klijcnata su modnsobno nczavisne sluCajnc vdičinc. Neka je vrcmc opsiuživan;a svakog klijenla slutajna pronienljiva o/naicna kao S Futikcija gustine raspodclc ove siučajnc vdieme je s(U Ako /namo da je jedmiino vrcme opslučivanja svakogklijenta j_ ], lada je:

Is( r i |t ■ i(0 'Ćt = '

oJ *(5.42)

Jcdinično vrcmc opsluživanja 'ic dcrmiše kao ukupr.o vremc opsluŽivanja po satu. Sledcći ovu prcipostavku. sa je ozriaeen mtenzitet opsluživanja, Kao i kodmodcltianja procesa dolzaka, pretpostavljanio da vremcna opduživsnja mogu rcalno da se modeliraju slnčajnim veličJnama kojc su eksponcrteijalno raspodeljena. Ako jc ova prctposiavka račna, mi moiemb da odredimo rafipodelu prcostalcg vremcna opslu/ivanja svakog klijcnta ne uznnajući u obzir koliko sc klijtnt dugo žadržao na tnc.sai opluživanja (servisirarja), Fakođe, ako oznaiimo da jc vrcmc opsluživanja cksporcncijalno raspoddjenO, £U5ima tc raspodetc jcs(0 ” |A ■ e T tada jc malcmatičfco očckivanje n

Ncpovoljno je ako tckučc vreme opsluživanja nc mo£c da bude konstantno i bez pamćcnja. L1 ovom slučaju, mi čcsto prctpostavljamo da je s[i) Eđangova raspodcla sa parametrom obtika k i paramctrom mtenziteta (k jj). Prema izrazu (5.40b) sleđida je niaiematićko očekivanje L. . Moddtranje vrcmcna opsluživanja sluiajnim

LiaJveličinama sa Brlanôovom raspodclom sa paramelrom obllifca k takođc impHcira da vreme opsluživanje svakog klijema može da budc tako razmatrano da se sastoji od k faza opsluživanja, \'reme opsluživanja u svakoj fazi jc bcz pamćenja, Matcmatičko očckivanjc vremena opshiživanja u svakoj fazi jc 1 (k (s)ika 5.4).

smivi.ukasua

EiiSKJPfBNCUAI $AhAT£M OCliKLVAN'AlM ■* m

i k3k>ni ncljalna^ HaTLM OCtKJVAh'Jt M f* -n

FA7A irm--------------------

i a / a : I 4Z A K

7AV*itTAK SI'kMMH VSi

tiKpoNrjsc iulna■A MaU-.M OiblClVANJEM ■/k i■ m

Siika 5,4 Erlangnvn vremc Opstnhvanjđ

IS?

OPERACK)SA ISTRA ?J r iSJ.l

5.3 KENDALOVA OBErEŽAVANJA ZA R i:i30 \ K Č K K A N . J A

U ovom poglavlju jc prilcazatta lcrminologija kojom sc opisuju tfandradne oznakc kojc se koristc da opišu mnoge iisicmc fiekanja. Ozn&U' kojC su ovđe iliskutovanc koristc se da opisu sistenri čeknnia u kojcm svi doiasci ćckaju u ictinoj linijii a opsluživanjc $c vrsi na jeUnoiTi mc&tu kojc je stobodno od j paraJelnib mesta opsluživanja. Ovo je prika/ano na sltct 5,5.

KLIJRNTT 1 X 1 ---------ID I ' K APRV'OM SIjOBOONOMccn, ; ^ r ■ RtireNTtspj?Msnnu r j - ! napuSTa «;

STItMSliR 2 T ---------------I A i StSTPr M

SEBV[SFR 'L a J

Siika 5.5. Sisiem irekanja sa jed tio m iinijom doiaska i sa p a ta k fa im m eslim a npshiživatija

Kendftl jc 1951, f5] nvco slcdcčn nomcjju kojom se opisujn îstenu čckanja i koja se uglavnom pritnenjnju svuda u lireraturi. Svaki sistciri čckar.ja jc opisan sa £e$l karakteristika:1/2/3/4/5/6Prva karakfcrisiiJci speciflkujc proccs dolask& Slcdecc sland;irdnc skraćcnioe sn kortsčcne:

* M - Vicmcna dola/aka koja sn nc/avisna, tdcntično sti raspodeijcnaT tj. vreme izmcdu svaka đva doUska jc raspodeljcno pretria cksponcncijalnom zakonu raspodcle,

* D - Vremena dob/aka koja su dctcimmistička,* Rfc" vrcmcna dola/aka, idenličnO raspodctjcna, kaja su modchrana

siucajnom promenJjivom sa Erlcn^coom raspodclora sa paramctrom k,* GI - Vremcna dola/aka, idcr.tiCno raspodcijcna, i koja sc opisujLi

slučajnom vdičinom sa bilo kojitn /akonom riispodi;le vcrovatnoće,

Druga karaktcristika apeciricira prirodu vrcmcna opslu?ivnja (scrvisirnja):* M - Vrcmena opsluživanja* idcntično raspođeljcna, i cksponencijalno

raspodcljena.* D - Vrcmena opslu/ivanja su idemično raspodcljctia i dcterministička su,* - Vremcna opsluživanja sti idcnticno raspodeljcna i oblik i'aspodclc je

Erlengeoova sa parametiom k,* G - \ remena opstuživanja su idcntično mspodcljcija i pokoravaju sc nckoj

pp^toj raspodcli.

m i

Trcća kataktcnsttka jc br<>j paralclnih mesta opslu/ivnjfi (scrviscrš). Čctri karakieriistikt opisuja disćipliitu rcđa:

• F[I:0 - prvri klijent koj: dode, ptvi se Op£ lužuj e ,• LTFO - poslcdnji klijcnt koji dt>đe, pn'i w opslužli^,■ SIRO - slučajna tEisctplina - redys]ed OpsJližiftfanja se odrcđujc na slučajan

naćiiij• GD - optta diacipiiiiiL rcda.

W _ .. J_ . _ _ _ _ _ _Cetvrta karaktenstika specificira makisimalan broj do^voljenih (ili pritnJjenih) klijenalii u sistem čekanja. Ovaj broj uključiijc i klijente koji ćekaju i klijenle kojisc opslužuju u âdatom vrcmenskom periodu, Š$sta karakterisdka ptedstavlj| obim p{>pu[acijc iz kojc su klijcnti i2Mičciii. Sem ako broj potencijalnih klijcnrtia nijc istc važnosti kao na primer broj servisera, velićinu populacije smatramo da jc beskona&ia, U mnogim važnim modclima, 4-5.-6 jc G D / w / » . u ovim slučajeviiiiii, 4/5,6 je često izostavlj eno

Kao iluslractja ovih oznaka, M-'B^-^/FIFO 10/™ može da rcpfczcntujczdiavstvcnu usumovu sa 8 doktora, cksponcncijalno raspodcljcmm vrcmcnima dolazaka, dvo-fazmo Erlcngeoovo vremć opsluživanja gde jc /asmpljcna FIFO disîplma rcda i sa kapacitctom od 10 pacijctiata.

Redovi ćekanja

5.-1 SLLČAJM PROCESI

Prctpostauiino da posmatrafiio ncku karaktcristiku sistema ti vrcincnu. Ncka sa X,označimo vrednost postnatrane kaTakteriiitike u datom vremenu. U mnogim situacijania slučajiia promcnljiva X, nije poznata pre vremena t. Slnčajni iJistohastićki proccs je slučajna velicina koja zavisi od vreinena. Formalno se o^načava kao { x ( t ) ;t> o } -

Klasifitattnja sJućajnog proccsa sc vrši li zavisnosti od tri veličtne; prosiorđ stanja. indeksnogparam&tra t i s'tatističke zavisnosti i/niedu siučajnih promenljivih X (t) /a različitc vrcdnosti tndcksnog paramctra. Kada govorimo o redovima čckanja koji su zasnovani na slučajmm ptičjfčesima, [rftlcksni param ciar; jo vrcmc.

Vrednosti kojc mo£c da uzrnc slučajna promcnljiva ix { e) l > o} naztvaju se stanjapr&cesa iti stanjđ sistema koji proccs opisujc, Hcuristifika defuiicija stanja možc sc opisati na slcdcći naćin: stan jeje skup podataka, koji daju potpunu infbrmadju o predistoTiji sistetna, potrcbnu za odrcđivanje njegovog ponašanja u budućnosti. Stanje jc funkcija vrcmcna [5], Prcma Istim amorima, jpj-, stanje prncesa je vektorska vciičina označctia kao ?i = ,--..xn ) ■ tmklidov n-dimenzEonalniprostor u kornc svakom vektoru x = i x 2 *u) odgovaia jedna tačka naziva seprostor stattja. Stanja proccsa mogu da pripadaju kontinualnom ili diskretnoom skupuj odnosno prostor stanja može da bude kontimialan tli diskretan, Prostor stanja je kontinuajan ako slućajna pmmcntjiva X (t) možc da uzmc bito koju

iS9

OPERACtOHA I$TRAtiVANJA

vrednost 12 ograjiiCcnog ili noouiLiničenog iniciA ila. S:i drugC ako slucajnaprovnenljiva X (U može da uzmfi tacno odredene vrednosit iz unapred radatog skL:p;t vrcdnpstif tadL* kažemo da jc pTosior siiinja dfekrciun* Procijs sa diskretnim prostomm stanjd se ćusto naziva lantic, Prostcr sianja za lonac uobiCajno skup prirodnih brojeva i nula, tj. {0,1,2, }.

Dnig.n vcličina u smisJu kojc se vrSi klasifikauija stohastičkog proc^sa jc mdcksni parametar t. U *n\ isnosti od ovc vdićmt: razhkujcmo vrcmenski diskrctne 1 vremenski kontinualne stohastičkc procesc. Vremenski diskretan proccs sn oni proccsi kod kojih promcnc vrcdnottti slučajnc vcličmc mogu da sc deSavaju samo u odrcđenim trcnucima koji su konačni ili prcbrojivi. Kada se promcnc dcSavaju u bilo kom trenuiku Vftrnena koji pnpada ogTaničcnom 1J1 ncograničenom vrcmcnskom intcnalu, tada kaêmo da sc radt o vrcmenslci ncprckicnom štohastiČkotn procesu..

Va/na karakteristikii slučajnog proccsa su rclacije izmcđu .slućajnili promenijivih1 ,V| h X 2 t'"

U tcoriji ređova ickanja izucava sc broj klijenata u sisrcmu. Prostor stanja ovog slutljinog pTOccâ pripada skupu {().f,2^ } k lako da jc ovaj proces siobastički proccasa điskrcimm prosôrom starja U smislu drugog knterijuma klasifikacije. promene vrednosti slučajnc promenljivc X (t) mogu da se dcšavaju u bilo kom trenutku vremcna, pajem zm atrani sJuCajnt proccs vrcmcnšfci ncprekidrm.

Na osnovu gomjc^ razmairanj;i, broj kltjenata u sUtcmu predstavlja vremenski neprckidan slučajan proces sa diskretrtim prostorom sianja, rDdnosno, ovaj slučajan proces se naziva ncm enski ncprckidan Janac.

Neki problemi koji sc tretiraju kao stohastićki prooesi nadaljc su prik£i/;ini.

Primer 5, LNa poćctku vremcna 0* Stefan je imao 2 dir.am. Na poćeiku vrcmena 1,2,. , Stefan igra igru u kojoj moic da se kladi na l dtnar Sa verovamoćom p Stefan ćc pobcditi u ijiri, a sa verovatnoćom (I-pj on će igm i/ubiti. Stefanov cilj je da njegov kapital potasie na 4 dinara. Cim dosiignc taj cilj igra jc zavrsena. Takodc, igra je /av rscnii ako svoj kapital smanji na 0 ćinara.

DelUtiSimo da je X ( vrednost kapitala posle vrcmena t u kojem jc igra igrana, tadaX{j»X|.... Xt mogu da budu trctirani kao stohastićkJ vrcmenski diskretni proccsi.Označimo da x e = 3 jc poaTaia 1 konstanma vrcdnost. Mcđutim, Xj 1 oslaii X t -ovi su sluCajne vTeličine. Na primer, sa verovatnocom p, = 3 a sa verovatnoćom (J-p) X x ™E. Akojc X, - 4 , onda i X l+1 i svc ostalc \Tcdnost: X, + ; TXt+^ . tl su takode

jednake 4, Slično,akoje X : = 0 , onda su i svc ostaEc vrcdnosti Xt + 1,X H.2 .X t + ,.. su lakodc jcdrtakc nuli.

J90

OPERA CfONA fSTRAŽfVANJA

vre<irtost t? ograničcnog i!t neogianičenog inter\ala. Sa tlrugc strane, :iko slticajna promcnljiva X (t] mn/c da u?mc tafno udrcđcne vrcdnosti iz tin;spri;d 7adatog ^kupa vTcdnosn, u d a kažemo <la jc prostor s:;mia disknetan. Proccs â diskretnim prostorom stanja se čcsto nazivii bnac. Proator stibrija /n l,jnac je uobiiiifno skup prirodnih brojeva i nula, ij. {OJA^}.

Druî vcEićina u $mislu kojc sc vr£i klasifikacija slohiastiukag proceâ jc indcfcsni paratnetar t. U zavisnosti oc ovc veličinc razltkujcmo vremenski diskirtne i vremcnski kontitiualne stohastičke procesc. Vremenskt dtskretan proces sti oni proeeKi kod kojih promene vrednosti slučajne veličine mogu da se desiivaju samo u određcum trcnucima koji sy konaini ili prcbrojivL Kada sc promcnc dcšavaju u bilo kom trcnulku vremena koji pripada Ograničcnom ili neograriićenom \Temcnskom mtcrvtiu, Tada kazemo da sc radi o vrcmctiski ueprektdnom stotiastičkojn proccsu.

Važna kamkteristika s]učajnoy prnccsa su relacijc izmcđu slučajnih promcdjivih

U teoriji redova čekanja izućava se broj kltjcnata u ststLinu, Prostnr sinnja ovog iluĆlajnog proces;) pripada skupu {0.1,2,..}, uiko da je ovnj proces stohfinrički processa diskrcmim prosiorom stanp U stnislu druso^ kritenjuma klasifikacije* promene vređnosti slučajnc promcnljtvc X (t) mogu (Ja se dešavaju u bilo kom trenuiku vremena, pa je mzmairani sJufiajni proces vrcmcnski ticprektdat:,

Na osnovu gomjeg razmatranja, broj klijcnata u sistcmu prcdstavlja vremenski neprekidan slučajan proces sa diskretnim prostorom stanja. Odnosno, ovaj- slucajan proccs sc r:aziva vrcmenski ncprckidan lanac.

Ncki problemi kojj sc tretii-aju kao siohastićki procesi nadaLje su prik:i/ajii.

Primđt 5.

Na pofctku vrcmcna 0, Stefan je imao 2 dmara Na počctku \ncmena t.2 irH+ Stefan igra igrit u kojoj mo2c da sc kladi na l dinar, Sa vcrovatnočom p Stefan ćc pobediti u tgri, a sa verovatnoćom (1-p) OD čc igni t/ubiti. Stefanov c:iLj je da tyegov kapital porastc n a 4 dinara Cim dnstigne laj cilj igra jc /avrscua. Takuđc, igra jc zavrSena ako svoj kapjtal smanji na 0 dinara

Dcfinisimo da jc X t vrednost kapitala posle vrcmcna t u kojem je igra igrana, tadaX0,X |.....Xt tnogu da budu trctii'ani kao stohastički vrctncttski diskrctni proccsi.Označimo da x 0 2 jc poznata i konstanma viednosi, Mcđuiim. X | t ostali Xj-ovi su slućajne vclićinc, Na primcr, sa vcrovatnoćom p, X' = 3 a sa vetovatnocoin (1-p) X, =1, Akoje X, = 4 , onda i X t + I i sve ostatc vrcdnosti Xt+: + XT+Vll su takodejcdnake 4. S!ičnot ako je X+ = 0 , onda su i sve ostale vrednostt Xt + ] lX r , j . X t+3 ,*m su takođe jednakc nuli.

190

Rf'rfvvi čekanja

Primer 5.2.

U kutiji se nalaze dvc ncobojene iopte. Mi biramo loptc na siutajftn način (akt) sUj bacamo novćić. Ako izabmna |>pta nije Dbojena iako jc pala ^ lav a" , lada loptu bojitno u crveno, Ako je pso "grlV', onda izabtanu lopin bojtmo u cmo. Ako su lopre voć bile obojene, tada menjamia boju ] o p tc fcrno bojimo u crveno i obrnuto, ij. crvenQ u cmo). Ovaj pi'oblem možc da se posmatra kao stohnstički proces.

DefrniSimo vreme t koje pfedtsravlje vreme poslc kojeg če i/abriina Eopta du bude obojena. Stanje u ovom vremenu fonnalno niože da bude opisano \'cktorom (u, r,b), "dc je u ha'oj neobojcnih loplt u kutiji. r je broj crvemh iOpti a b broj cmih topti u kutiji.

Potctno sliinje nio/e da bude dellnisano vektorom X tJ - [2.0.0 . Poslc prvog

oglcda, jcdna lopta ćc bili obojemt ento ili crvcno, tako da X = l,1,0l ili X| = [ljjj]-

M ože da se /akljuei da postoji ve I. i k e broj rclacija izmbđu X t -ova. Tako na primcrf

ak o je x : - [ 0 h2 H0 ] mo/cmo da budcmo sigmni tkijc x l + ) = [4 ll] -

Primer J.^.

Ncka budc jedinična cena uslcd postojanja /altha jedne vrste proi/voda na

poćetkn prodajnog đana. Tafcođe, neka X t bude o/načena jcdiuična ccna usled

postojanja zaliha na poćetkn nekog prodajnog dana u buduenosti. Jasno je da ako po/najemo Xq.X]....X, možcmo da doncscmo /akEjučak o nispođdi verovatnoćeXtJ. j . PiJanjc je kako da iskoristimo podatkc iz evidcncjjc da /aključimo kolika je

vrednost zaliha u (f+/)-om periodu, Odgtivor na ovo pitanje je od izuzctnc va/nosti za fmansijskit službti 11 prcduzeću.

5.5 LANCI MARKOVA

Specijalan tip slućajnih proccsa koji su interesantni za analitičko mzmatranje su procesi koji imaju svojstvo Markova. Ovi proecsl u litcraturi se srcču pod nazivom lanci Markova koji niogu da btuiu u jednoin od konaemh broja slanja o/načcnim kao

Za vremenski diskretan proces se ka?e da ima svojstvo Markova ako je zadovoijcna re]acija:

p { x l+ | - j | x 0 = i 0 , X t ..| = i t . . , , X t. s i , } * p { x l t l = j | x , = i} (5.43)

za svaki trenutak vremena CU,2V,. i /a svaku sckvencu

Svojstvo Markova za vremenski kontinualan proees forrualno se predstavlja-

p { x ( t„ + i) = j| X 0 {!0 j = i0 .....X ( tn _ j) = šn_x, X ^tn ) = }^

P { x ( trt* i ) = j | x c t n ) 4 } '

191

OPERACfO&A fSTRAŽfVASJA

/a t 0 < r , < T. < *r < t B+lizo sv ak u sek v e f lcu iJ , i0 .i1+,„.it_: -

Spucijcilna, i/raz (5,43) govori da raspodda vtrovatnoic sianja u trcnutku (f+ /) /avisi samo od stanja u trcnutku f. Drugiir] rečima, svojstvo Markova sc iskazujc: Sfltno postcdnjc stjinjt? u kojoiu sc uašao proces je rdcvan tno /a o d m tivan je njcgovog hudućcg staiija. i ne /avisi od prcthotlnih stHtija* Prema tomc, nvo

sadr2ana u sadašnjcm ftanju.

Sisicm je bjo u stanju i u trenuiku f a u stanj;; j u trtrmiTkta {t - i). Afct> je sisicm \Z stanja i preAao u sianjc / u ti>ku jcđno£ pcrida onda kažttmo da se desio prcla/ od i

onda sc ka/c da su jcdnostcpcnc Lranzitivne vcrovalnočc stacioname i obcleŽavtyu sc kao p j , . Prcipostavka i/ra/cna preko im z a (5.45) naziva se pretpostavka t>

stacionamosti.

Lisnac Markovakoji zadovotjava uslov (5,45) naziva sc stiiciortarni [anac Markova,.

Za vicmenski faontinuafoc stohastičke proccse ka/e sc da postoje stack>name vcroviunoćc prda/a ako jc z&dovojjen uslov (5.46):

Vektor q = [q j. a...»qs ] jc vcku>r micijalmh (poČetnih) vcrovatnoda /a lanac Markova. Tran/itivnc vcrovatnoče moga da sc prikažu u matričnoj forini:

Matnca P sc naziva mirtricii tmnzitivnih verovatnoća. Vrcdnost svakog elcmcnia matricc Pjc ncncgativna. Suma nvakc vrste matrice P ic jcdnaka, jedmici.

P{X(t + i ) = j| X<t) — i}~ P{X(T) = .j X(0) = i l zai £ 0 i t > 0 (5.46)

Studjja o lancima Markova zalueva da tiefmiSin™ vcrovatnocu Ca Će lanac da bude u stanju i u trcnutku r>. Formalno sc predstavlja:

P{X0 = i}= q ; (5.47)

P]t Pl2 — Pls p = P2i P:2 — P:i

_Ps3 Ps2 - r Pss j

Ntidaljc ć<5 da budc prikazatia tnLiiricii tranzLtivnih vcrovatnoća za Primer \ iz PogEavija 5.4.

192

Retfoi'i ćektmjti

Prim er 5 . / .

Ako kotičinu novca kojom raspolaže Stefan na kraju (iW )-og vrcmcnskoii trenutka zavisi samo od količinc novca koju Ste&n imn na kraju /'Og trenutka. onca ovaj problem mo£e đa se posm:iirii kao lanac Markova. \!nirk-;i tranziih nih verovatnoća je:

o 1 0 0 0 0l - p 0 p 0 0

0 I - p 0 p 00 0 l “ p 0 p0 0 0 0 I

Ako je koUčina novca na fcraju biio kog pcrioda 0 iH 4 dinara, igra se ptckida, kao .hlo je rnnije detlnisano, tj. tfanje ne može da se mcnja. OUitla pq0 - p44 _ I ,

Postoji vcrovamoća p da ćc Stefan u narednoro sianju imuli jcdan dinar viSe nego u sadafinjcm stanju. a tvrdimo sa vcrovatnoćom (1-p) da lc Stcfan t; slcdcčcm stanju da ima jcdan dinar manjc nego u âdašnjciri stanju

Matrica tranzitivnih verovatnoća moic đa bnde pradslavljcna pomoču grafa, Ćvor m grafu pnsdstavlja stanje a grana grafa je tranzjtivna verovatnoća p y .

■p p l-p P

5,6 IS-STEPENE TRANZITIVNE VEROVATNOĆE

Pretpčjstavimo da nađaljc razmatiamo lanac Matkova kod kogaje poznata matrica tranzitivnih verovatnoća. Pittnje na koje Selimn da damu odgovor moŽe da so Ebrmulisc na sledeći naćin: ako .c lanac Markova nalazi u stanju i u vrcmcnu t, koja je verovatnoća da ćc sc n ptrioda kasnijc naći u sE.miu p Kako se ra/matra stacionaran lanac Markova, tražena verovatnoća će biii nczavisna od u fako da m o k m o da pišcmo:

PCX,*„ = j X, = i ) = P (P ( X n = j|Xo = i> = r i " ' (5-48)

gdc sc pj jJ naziva n~stepena vcrovatnoča prcla/a od stanja r ka stanjii j. Drugim

ivćima, p f j e uslovna vcrovatnofia da ćc fihnfiajna promcnljiva X. koja počinjc sa

stanjem /, biti u stanju j posk Ućno n promcna u vrcmcmi

193


Jasno je da je pf1) = p ,j - Odrcdimo sada p j“ koja prcdstavlja vcrovatnoću da će

sistem iz stanja i da posle dva pcrioda budc u stanju j. Sistem iz stanja / prelazi u stanjc k a zatim iz stanja k u stanje j. Vcrovatnoća prelaza iz stanja i u stanje k je oznaecna kao p 2 -K . Vcrovatnoća prclaza iz stanja k u stanje j jc označena kao pj- j .

p ! f = t p , k - p kj (5-49>k = l

Dcsna strana jednačine (5.49) predstavlja skalami proizvod i-tc vrste i j-tc kolone matricc tranzitivnih verovatnoća P. Možemo da kažemo da p j^ jc (ij)-ti clcmcnt

matrice P2 . Ova vcrovatnoća možc da sc prcdstavi grafički (slika 5.7)

START

VRF.ME 0 VREME I VRfcMLL 2

P(2)Slika 5.7 Grajički prikaz vcrovatnoće 1J

Ako proširimo ovaj način rezonovanja, za V n> 1 dobija se:

p(") (i j)-ti clcment matrice P n .

Naravno za n=-0, p [ j ) = P ( X 0 = j | X 0 =i)» tada možemo da pišcmo:

p f f - J

1 j ” 1 ( 5 . 5 0 )

0 j * i

194

Rđđavi čtkanja

pijsie promene atanja mora naći u nckom od svojih stanja, Xa osnovu ovog rarmatrarija sJcdi:

7a \ viemenski kontinustlne srohastičko proccse kažc se da posioje stacicname vcrovattioćc prcla/a ako je:

brojem stanja. Lr suprotnom. iiovori sc o lancinia Markova sa neograničemm brojem sianja. Ovi lanci su od posebnog in tm sa modde redova čckanja, U nvirn landm a Markova vremena dola/aka i vremcrta opsln/ivanja su modelirani slučajnim veličinama koje su eksponencijalno raspodeijene.

Vrtmenski diskretan lanac Marknva ilustioivsn je sledečim primerom.

Primer 5.4.

Preipostavimo da asoitiman fabnke bezalhoholnih pica se sasioji od dva proizvoda jnpr. dve vrstc kole). Na osnovu podataka iz evidcfleijc, menadier prodaje procenjuje verovatnoću svake od rai:matrane vrstc proi/voda, Procene su da postoji90% šanse da se u narednom periodu kupuje prva vrsta kole, odnosno 80% Sanscda se kupuje druâ vrsta kole.

1, Ako se sada kupuje druga vrsia koleh koja je vcrovatnoća da cc se u drugom periodu od sadašnjeg kupovati p r\a vrsta kole?

2. A ko se sada kupijc prva vrsta kole koja j e vcrovatnoća da će se U irećcm periodu od sadaSnjeg kupovati i daijc ova vrsta kole?

ReSettjelStanje I- u proteklom periodu se nabav[jala kola 1 Stanje 2- u proteklom pcriodu se nabavljala kob 2

O/.načimo sa vrsiu nabavljane kole u n-iom budućcm pcriodu. tada X0hX^...

mogu da se opišu kao fanac Markova sa slcdcčom tnatricom verovatnoća prcla?ra:

P ( X ( t + t) = j |X ( t ) - i) = P (X (T ) = j |X (0 ) = i), za t > Oi t > 0 (5 .51 >

Za slufajan proces {X t } kažc sc da ic lanac Markova ako zadovotjava slcđeće uslove:] f Svojstvo Markova,2. Staeionamc vcrovatnoće prelaza,3. Skup počcmih verovatnoća P tX £] = i ) z a svakp L

A koje broj stanja konačan tada se kaie da se raci o lancima Markova sa konacm m

0.9 0.1 0.2 0.8

t95

OPEfL-\CIONA JSTR-l/'ft 'A \ JA

Sada mo5:snit> tb damo odgovor na oba pitanja.

Vcrovatnoća da će se u d r u g o m p c r iod u od sađašnjeg ku p o v a t i k o l a K nkt> se sada

knptijt; ko la 2 je p ^ , Ova vcrovatfloća predstnvljf i (2 J)-i c le m e n l m atrice P* :

0.9 0.]" [0.9 0.!' s "0 83 0.17'0.2 o.s_ Lo.: O.K

■

0.34 0.66

5to znaĆi da je pL.::

Verovatnoca da čc sc u ircćcm penodu od sadaSnjeg kupovati koJa l ako sc u sactašnjcm periodu takodc kupuje ova vrsta proi/x t>d;i se raćuna kao ptjl, tako da;

G.K3 0.17" 0.9 OA' 0 .7 8 ! 0.2E9'

0 3 4 0 6b 0 2 0<8■ii0.43S 0.562 _

Tra/cna verovainoća je p{^-0 .781 .

U mnogim slufajevtma po?nato je stanje lar.ca Mnrkova u trenutku f=0r Neka sa q, označimo vcrovamoću da se lanac nalaî ll sttnju / ti ircnmku 0, Tada rno/cmoda odredimo verovatnoćll <Ja če sisLem biti u stanju t u trenutku n na sledeći način{stika 5.S);

Shka 5.8 Određivanje verovotnoćc da se sisfem nađe n sttvtju j » frertutku n ktida jt- /w ćm c=sittnjš fieptt-nafn

Verovatnoća nalažcnja sistema lj stanju ; u trcnutku n može da se odredt preko izraza;

< £ verovatn, da jt; s:at(;m l l startfU i)x (verovatn. prelazu olI sitiiijsi i l l stanje j l l l i preiaza)- i-i

Rtfdovi čekanja

gticjc q kolgtm / mstriice PrL. iU ro 4mgčijc možc da sc zapt^c:

fli ..... q sJ

5.7 KI.ASIKlKACrJA STANJA 1’ LANCIM A MARKOVA

U daljoj analizt lanaca Mnrkova se k<>risie pojrnovi koji su u ovom poglavlju dcfimiiarii. Takode daia je n-stepcna matnca verovatnoća prclaza P, kiio i njena grafička prozentacija koja se koristr da se ilustruju mnoge dafmicije.

Matrtca tranzitivnth vcrovatnoča je;

P =

0.4 0.6

0.5 0.5

0 00 00 0

0 0 00 0 0

0.3 0.7 0

0.5 0.4 0.]

0 O.S 0.2

Na stici 5.9 dat je grafički prikaz matrice ?

n.*03

Sliku 5.9 Gruf'tčki prikuz n-sfepem: mutrice tran:tfivnih vprovafnoćti

Deftnitija. Data su tiva stanjći / i j, put ođ i ka j je tii7 prela/a koji počtnju u t a zavrSavaju se u j t Jako da svaki prelaz u Uim nizLi ima pozitivne vcrovatnoćc prelaza.

Deflnicija, Staiije j je dostlživo \/ stanja i ako postoji put koji vodl od f kaj,

Dcftnicija, Za dva stanja m j se kaže da konmnLciraju ako jc / dostiživo iz stanja ii t aiaiijc i jc dostiživo iz stanja j,

Za m atrku tranzitivnih vcrovatnoća phkazanu grafiiiki na s3ici 5.9, stanje 5 je dostičivo iz sianja 3 (put jo 3-4 5), ali stanje 5 nije dostjzivo \z stanja I (ne posloji pni od \ do 5). Takođc, stanja 1 i 2 komuniciraju {niožemo da idenao \y \ u 2 i iz 2u 1).

197

Defmicija Skup starja S u tatiBcU Markova je z a h o i t r i skup ;iko nc postoji nijedno sianje van skupa S koje je dostiživo i/ bilo kog stanja u S

Anali2 irEjući lanac Markova koji je prikazan na dici 5 l). možetno sa uočimo dva /atvorena skupa: S| = {l,2} i S i = { .\4 ,5}r Sa slikc 5,9 jasno sc uočava da kadauđemo u jodan /atvorcn ,skup možemo da nikada ite napusttmo taj skup (ncma strclice od S\ t a S 2 )-

Dcfinicija* Stanje / ie absorbu ju fo stanje akoje p , , ] .

Kađa sejutlamput ude u ahsorbujutie stanje. lo stanje se nikada ne napusta, Naravno,absorbujuće stanjc je zatvorcn sktsp koji sc simoji samo odjednogelcnumta.

Defirricija* Slanje i je pn*Iazno stanjo ako eg/istira stanje / koje jc dostiživo izstanja it ali stanjc / nije closLti/ivo «/ stanjaj .

Drugim rečima. Mauje i j e prclazoo stanje ako postoji put d j napustimo stanje i i da se nikada ne vratimo u stanjc L

Ako posmatramo sliku 5 t\ moižemojasno da uoSimo da su stanja 1*2 i 3 prelazna stanj^. \z sianja 2 možemo stići do' stanja J {put 2-3-4). ali nije moguće da se vratimo u stanje 2 iz stanja 4.

Definicijar Ako staiije mje prelazno, ono se naziva rckuren tno stanje

U Pninem 5 J (slika 5.6), rekureoitna stiinja su 1 i 4 (takođe tosu i absorbujuća stanja).

Definicija. Stanje i ie periodićno sa periodomk, k>L ako je k najmanji broj tako da svi pute\'j koji vode iz Stanja i i vmćuju se u fiUnje Mmaju tiužinu kojaje pom ro/ena sa k, Ako rekurentno stauje nije periodtćno, ono se naziva aperiodtčno.

Deflnicija. Ako sti jva stanja u lancu rekurentnaH aperiodična i komuniciraju jedno sa drugim. za lanae se kaže da jc trgodfcan

OPERAOONA fSTRAZfVANJA___________________________________________ _ ____

5*8 VEROVATNOCE ST A C IO \A R >O G STANJA. ZNAČENJH VREMENA PH \ 0 ( ; PROLAZA

t,1 ovom pogbvljuf drekutujemo konecpt verovatnoća staeionamog stanja, koji može da sc koristi da opišcmo po:iasanjc lanca Markova poslc dužep vremenskog intervala. Stedeci rezuliat je vitalan za razumevanje ovog konccpia (Tcorema 1).

Teorema 1, Stavimo da P budc matrica tranzifivnih verovatnoća za s-stcpeni ergodičan lanac.Tadaegziîfa vektor ?r-|jt[ ?rs ],takodar

n2

*2

TLt

ii >“

*1 *3 Jt s j

/Stt

Pod^limo se ca jc (i i)-li dL'incni maincc P M oznatCtt kao \p}, T . Teorcina 1

govori da ?a ncko poutmo s:anjLh t \ aži:

lim (pj j )[1 = r t .

Recl&vi ćekanjti

ri y°°

tMmctimo da za veliko n, matrica P n se prjbLižava niEUriti }coja ima identičnc vrstc. Ovo /naći da posli: du£Og vremcnskog pericida* vcrovatnoća da ćc sc lanJCMarkova nalazitj u stanju j j t tt. in e zavisi od potdnng stanja t.

Vi;Mor Jt “ [jt] ,jti>,rrrT7is \ sc Oosto raztva jednAČma sraciqnarnog s ta n j i ilijcihiaćma ravnottže za lanac Markova. Za dati lannc koji ima mati icu tranzitivmh verovatnoća P, posUtvlja kh pitanjc kako možcmo dn nađcmo jednaćinu ravnotefce? Prema Tcoremi I, možc da s t uoči da za vclikt> n i ya svako i:

p j"*% ap j"^ =Uj CS.52)

Kjko jc p[j * elemeot i-te vrstc matrice P:' i j-tc kolonc matrice P, mi mo?cmo

da piicmo:

( i 5 3 >k=|

Za vcliko n, zatncnjujući (5,52) u (5.53) dobija &e: s

’Ij = S ,lk -P k j ( i i 4 >k=1

Scpovoljno je sto sistcm jcdnačina i 5.54^ ima bcsonaOan broj rcšenja, zato ito rang matrice P uvck sc pojavljujc da budc (s-1). Da bi smo dobili jedinstveno rcžcnje t/ sistema jcdnatina (5.54) ozaaćimo da za neko n i ncko i jc:

p['I') + pW + ... + p H = l (5.5S)

Ako smnirnmo da n —* « , tada j d7C| + s ij + ■ « + % = [ <5.5-6)

Kada zametnmo (5,56) u (5 M*, mnzcmo da kortslimo sisicm jcdraćtra (5 54} da dobijcmo verovatnoće stacionamog stanja.

Mustmjtno postupak nalaŽCnja \emvatnoća stacionannh sio.nja na Piimeru 5.4 Matrica tranzitivnUi vcrovatnoća za ovaj primcr jc:

P =0*9 0,10.2 0.8

199

OPERACIOSAISTRAZIVASJA ________ __ _______________________________

Prcma izrazu (5.54) đuhijj ic:

\ I f l f 0 9 ° ' l1JEi Tl-t = JIi 71-* '1 ] 1 1 1 1 “ ^0.2 0.8Tako dii:H| ~0.^7l| + 0 2 ^

— -o. 1 • Tt| -f 0.^' rt2

Zaiiicnjujući dragu jcdnačinu uslovom da je + n ; ]. dobijii sc sistem:

^0.9 T i+<12 Jt| +n2 ~ 1

RcSavaitjeni dobijcnog sistcma dobijaju $e sledcćc vrcdnosii: n | 2 ' 3 i ^^ ^ . £to dalfe znaii da poslo tliEgiitkog vrernenskog perioda,vcrovattioća da ćc osobEi da nabavj kolu 1 jc 2/3 „ ;i vciovatno$a da ćc osoba da nnbavj kolu 2 je J/3,

Srerinjc vrcme prvtig prolaza

Za crgodican lanac; stavimo da jc n i j ; očekivan broj prclazaka pre ncgo 5to

dospcmo u stanje/, ako smo trenutno u stanjti r. Tada tn, se naziva srednjc vrcmc

prvog prolaza od sttnja i do sianja j.

Prctpostavimo da sc sistem trenutno nalaii u stanjn /. Tada sa ver&vatnoćom p , j

lanac ce iz stanja i da prcdc n sianje Za k * j , lanac de sa vcrovatnoćom p{ da

idc u sledeće stanje. tj, n stanjc k. I ' ovoro slućaju. pro5Cć;]rh broj prelaza od sianja (

k*j

OiucJa:

Pij + S P i k =I k#j

Poslednja jednačina može da se zapiSc kao:

m ,j = 1+ ^ P i f rakj <S'57)lt#j

Rcsavanjcm lineranih jcdnaćina (5,57), možcmo da nađcmo srcdnje vređnosti vccmena prvogprolaâ. O vom o/c da budc pnkuzano kao;

200

Redovi čektwjn

Jlus in jjm o k o n sć en jc iz ra /a (5 ,57), tj. haiđe r.a naderno srednje v re m e p r \ 'o g prolaza n a p r i in e n i 5A. Kako znanoo da je ie: = 2 3 i rr> 1 3 , tađa je:

1 i < • 1 ■> rn 3 ■ — ■— - “ 1.5 i rTi 7 t — —3]j 2 /3 1/3

Sadti jcdnaćina (5.57) dovocli do liledeec jcdnrtiint!:

Olj2 ™ 1 + P | l "m l2 ~ 1 + 0 , 9 r Xt\[2 + m 21 = l + p22 "1^21 = + 0 . 8 - ITi i

Reiavajući ovaj sistero od dve lincame jednačinc, dobijamo da je rri|t - 10 i m ^ - 5 - Ovo znaći da osoba koja jc ranijc pila kolu I će piti proscCnodcsct boea sode pre rcgo sto ee promeniti da pije kohi 2.

5*9 PROCLSI RADA>JA I UMIRANJA

U ovom poglavlju, izložcnc sll vaine ldeje o procesima rađanja i umiranja. Koristcći ove proccse. razvijcni su mnogi redovi čckanja koji su prtkazani u Poglavlju 5.10.

Proccsi rađanja i umiranja predsiavljaju važnu klasu prt>cesa Markova, Ovi procesi su kontinualni stohastićki proccsi koji mogu da sc nađu u različitim stanjima, označenim sa gdc jc n iienegativan ceo broj, Ako je proccs rflđftnja iumlranja U Stanju j u trenutku r. tada sc proces pokorava sicdećtm pravilima.

Pravilo J. Sa verovatnoćom },, -At + o(At) javiče se radanje u intervalu vremcna od

t do t + At. Radanjc se javlja sukcesivno u sistomu od stanja L do sianja (/ + /). [ntenzitet rađanja u stanju j je označen sa i j . L' mnogim redovima čekat?ja,

r;idanje je pojcdnostavljcno, 1j. pod radarjcm sc posmatra proces dolaska novog klijenta u sislem jer sc tada po\ cća\ra broj klijenata n sistcmu za jedan.

Praviio 2. Sa verovatnočom .A:+ofAt) dešava se proccs umiranja u vremenskom

pcriodu [tt t + At]n Umiranje sc sukcesivno dešava od stanja (/-/) do stanja I. Entenzitcl umiranja u stanju j je o/naoen kao U innogim redovima čekanja, pod

procesom umiranja se podrazitfneva komplctiranjc usluge. Oi'.načimo da je n () = 0 i

da ova vrednost se mora održati ili može da sc pojavi negativno stanje.

Pravilo i. Procesi rađanja i umiranja su nezavism jcdan od daigog

Pravila od 1-3 sc konstc ila ht smo pokazali da jc verovainoća javljanja viSe od jcdnog dogadaja u periodu [t, t + At J jednaka o(At). Smatrajmo da je proces

rađanja i umiranja komplctno odieđen pomoću poznatih vrednosti i j i ll ,. Otuda,

da so ne bt javio negjativno stanjc* u proccstt radatija i umiranja mora da bude ?adovoljcna jednakost jji0 - o

201

OPER. lCfO\A fSTR 4Zt\ \ SJA

Vreraenaki diskrctm procesi radanja i umiranjs nuitijc sil iniDrcsajatni /a proučavanjc od Widicnski ncprckidnih proccsn rađanja 1 um irin ja Mn&,\ analiâ koja ^ ođnOSi na ru;prckit!nc proccsc radanja 1 umiranja mogla hi tia sc i:iko proširii na VTCiDCnski diskrtrintr proccst: rn ianja i umtnmja.

5.9. I RKLACIJA EKSPOMEKC'UALNE RASPODEtH I PROCESIMA RADANtJA I LMfTRANJA

U mnogim redovima cckaitja, kao sln jo pnka/utin n narcdnom, poglavlju, vrcmena đolazaka i vremcta opsluživanja su ck$ponencijalno ra&pcdcljcna. Ovi procesi se moddtiju kao proctsi nidanja 1 umicanja. K;io tluiiriiuija o\og tvrđenja jc Enoticl reda čekiinja M M ! FIFO -» L ovom modelu vrcmena dola/aka su cksoncndjiilno raspodeljena sa paramctroro A. Vremena opsluživanja su takodc eksponL'ntijalno raspodeljena sa parametrom y i. N'cka jc sianjc siatcma (brojklijcnata u sistcmu ih rcdu Cckanja) u ircnuiku I oznateno kao Kako jc ckspononcijalna raspodeU bcz pamčcnja, 10 implicira đa verovatnoća radanja za vreincnski interv'ai [t, t + At ] noćc /avisiti kotlko j e dugo sislcm hio u stanju j i može da bude ođređena ako sc dolazak desio u trenutfcu /. Vcrovatnoiia rađanja zm& vrcmcnski interva! [l, t + At ] jc.

Alj A - e ^ ' - d i = ] - ? ' * 10

Izra2 1 Tiiože đa se razvije u Tc;iorov red, kao sto jc ranije pokazano, lako da:

e _i-’1 - l - X - A t + o (At)

To ?nači da verovainoća rađanja u vrcmerskom periodu [t, t + At ] je Ai + o(At). Na osrovu ovog ra/matrarja inočemo da zakljućjmo da intcn/itet rsdanja u stanju j jc stićan mtenzitciu dolaska X.

I)a bi smo ođredili intcnzitet umiranja u trenUtku r, posmatrajmo da stanje sistema11 trenuiku r jc 0, Sro /naCi da se u Cvom trcnutku niko W opslužujL'. Onda i u vremenskom intervalu [t, t + At ] ne može da se desi proces opsluživanja, odnosno Pfj = Q. Ak« jc stanje sistema u trcnutku r t?zna<!cno kao / > I h tada zriiiino da Oc

tačno jedan klijcnt da budc na iscrvisu, Kako je cksponcncijalna raspodela raspndcla bezpamćcnja tnožcmo da ka/cmo d« vcrovatnoća da klijcnt kompletira us1ul;u u vremenskom inlcrvalu (tH t + At ] sc računa:A i

Jp. e 1 'd t = I - e " M 1 - j^ A £ + o { 4 t )0

Z a j &), jj, - jj,. 1 na kraju, ako prctpojtavtmd da su opslučivanja kompletna t da

pojava dolazaka je medusubno nc/avisna. onda sistem cckanja

202

Retlovi črkpnja

M /M f\J F I F O /« /« jo jiroces raJanja i umiranja, Ovaj proccsje gralićki prikazan na slici 5 j0 .

STANJF.

rn m m m

Siikct 5.10 Grajićiu prikaz sisfemtt čekanja \1 M I FIFO W M

5.9.2 IZVOĐENJF VEROVATN(K A STACIONARNOG STANJAZA PROCESE RAĐANJA I UMIRANJA

lJ ovoj sckciji jc detaljito pnkazan postupak i/vodcnja veravatnoća stacionamog stanja, 7l Jt za proiyvf>l|an procss radnnja i uminmja. KljuOna rclacija (/a mato A l )

jc izmcdu vcrovdlnoća Pj (t 4 At) ■ P, . m . Naćm da odrcdimu relacini i/mcdu

ovih vcrovatnoća j t da oznaćtmo da postojc četri načina đa yist«m u trcnuiku r + i : budc u stanjuj\ 7.&J > i ova cctri načina prikasan su u tabclt 52.

Tahela 5 2 hračumtvttnje verovatnoć^ o aish*m u ircnutku t + At bude ir stanjstj

Stanje u irenutk'Li t

Sianjc ii trenuiku l + At Verovatnoća ovih stikvenci

j- i j P |^ ,C t ) 4 t+ o { A i ) |* ( I ) 1

j * i f j P , j +l l ‘l t * j +| i i + o ( i t ) J = 0 t )

)---------------

jr --

P , j ( t ) - ( l - n , i t - i j * A I - t H I )

Nckodmgostanjf

r

J o(A()

Za j > l, verovatnoća da ćc sisicnt ti trcmitku / da budc u sianju ( /-J ) a u trcnutku t + At u stanjuj (slika 5 .11) jc:

PU H ( t ) ^ j „ , At + o(At))

v r e m B o t i+Dt

S T A N J E Q --------------------------------------- » { 7 ? ) ----------------------------------------> Q

P ij-K i) ' i - l f l l - U D l

Slika 5. II Verovfftnoča da atanjeje (j-1) u tremttku t i fu trcriutku 1 + A1

203

OPERAOONA ISTRA2IVANJ. i

Na isti naćin razmišljamo knđa izvodimo i/rti/c (II), [JII) i d \ 'j . Tada:

P; j (t + A t ) ^ ( I ) + (lI) + (I[I) + (IV}

Posle pregmpisavanja tevmina u ovoj jcdnacinu dobija se:Pjj(t + i t ) » P tj (t) +

i t ( ? . J_i-?j,J. 1(i) + Mj+r p,.]+ilt)-P:,(E)-tij-P1Jlt)A J )+ (5,S8>

o(At)(P,.J..i(t)+PM*i(:)+l-2-l\j <i»

Poskdnji sabirak u jedoačini (S.58) mo/e da hude âmertjeti kao o { ii) , tada jednačitiu (5.5S) možetno da pisemo:

Ps :(t + A t)^ P3 (t> =kJ u ; (5.58a)

At-(XH -Pi j_i(t) + n j+l Pi,j+1(0-Pij(t) (Aj -Pij(t) J.j) + o(At)

Podelimo jiidnaiinu (5.5Sa) sa i t i pustimo da a i -*o, t3da inožemo da pokažemo da za svako i i z a / k l :

Pij(t + At) - P, ,<*)i , M j ( 0 = CS.58b>lim

A r-*0

^ j - r pi . j - i ( () + Hj+i P i . j + i ^ O - P i j f O u j - P (j« )

Otiida za j=Q, P, ( t) = 0 i ^ j = 0 , dobija se:

P- 0 (t) = j i r P,j t O - A o ’ P, 0 (t)

Ovo je sistcm dtferencijalnili jcdnačira kojc ima be$konaCno tnnogo reSonja, Ove jednaCine mogu da byda reSiivane za Pj ( t ) . K.ea]iu>, ovaj sistem diferencijalnih

jednacina je ckstremno ieško rešiti Xa dobijanje verovatnoća stacionarnog stanja, Jlj, možc da se konsti (5.58b). Kao ito smo ranije i/veli. za lanac M a tb v a ,

Vtttjvatnoia StacionaniOg stanja JTj sedobija:

lim PTiJ(t)

Za veliko / i za početno stanjc i, Pj j ( t ) se neče menjati puno r može d;i se smatra

da ima konstantnu vrednojt U Stacionamom stanju (/ veliko), p. (t) = 0. Takode,

u stacionumom stanju, j_ |( t ) = n P| j+](t) - Jtj+ i i Pj( j(t) Tij -

Zamenjujući ove relacije u (5.58b), mi dobijamo za j > I:

X j _ | T L j . , - * H - * j - I L j - T t j X j = 0 ( J 5 g c )

-Ttj. i +Mj+| 1 ^j+i = rt, + ^ j ) (j =

204

Redovi čvkunju

£a j - 0, dobija sc: fi| 7C| = n0

JcJnačine (5 5Sc) prcdstpvljaju sistem lineamih jednaCina koje tnogu lalco da se icS.e. Pre rtego Sto poktižcirso postupak rušavanja sistenia linearnili jeđnaiina (5 SSc)t dajemo irtluitivito razmattatije nafina idavan ja Ovcg sistcma na skđeći način: L nekom uvnutku i u k&jetti posmarrantoprvces littfanjti i umiranjti, to mora thi hude istina da ici svako stanje /. hroj puia koliko ula?imo U stanje j mora da hude razlučiT od broja pitUi fiapitsuinja stonja j |4j.

Zn voliko t i z a j - 0 , 1 , 2 fi m nvkc počctne uslove^ moia <L:i budu istinita Urtlenja:

OČddvan bnoj o<d|a/aka iz stanja / Ofekivanom bmju dola/aka u sânje / (5 59)

Korisieči jednaOinu (5 59). možerno tlj odredimo vorovatnoće stacioniimo^ sianja. Itj Za / ^ i , sisiem može lako da napusU stanje/ pob /eč i od stanja (/ + 7) iii {/-!)+

loko da /a j > ] , dobija se;

Očektvan broj odlazaka izj/jčdinica viemena= n j - (X, + ja ,) C5.60}

Za j 1 11 sistem lako moze đa doćer do stanja j oć starja {/-/) ili {;-!-/):

OCckivan broj ulazaka u /je d im c a vremciia= n ^ j Aj | + n [+| (5.6J ">

Zamcnjujući (5.60) i (5.61) u (5,59) đobija se:

Xj_j «1Cj_[ +)ij+i '*j+i =Wj (Hj +Xj> (j = p ,.„ ) (5.62)

Za j=0 T mi znamo da ^ - k _ ~ 0 . lakođe nnamo:

Jlj *%y&no H G (5,62a)

.lcdnaCinc (5.62) i (5,62a) testo se aazivaju jednaiîiam a ravaoteže /a proees n id an ja i um iranja. Irtcn/itet prela/ni u stanje i mora da bude jednak intcn/itetu niipu^tarja starja i. /a svako stanjc, Ako ttvaj usl0\ nije ispunjcn. tada kaicmo da stacionamo stanje nc postoji,

Za svako stanjc_/, jeđnaćine f5.62) i (5,62a) u razvijenom obliku mogu da sc piSu na sledeci način:

j * 0 Hq 'Xi

j = l (Xt +Hj )'K; =A.o n « + ^2 '* 2

j = 2 {A.2 +jt2)-n2 =A; -7El +Hj i:) (S 63)

! I'liir itmi rl ■ ■ i i ii H'i d 1 L i,J h ! 7 r ■ ri H 4 4 4 F ! ! 4

j - t a j e d n . (^.j + |Jj ) « j = ” j-|, +H j* | -™j-n

201

ĆPERACIONA ISTRA 'Z!J rA X l I

Korisltrći sistem jcdnačina (5.63} mo"Li da sc o^rcde vcfovatnoćc sEacionarnog stanja za proccs rađanja i uniiranja. Za / 0 (prva jeđnačma ststema (5.63)) sledi:

Jtp ■ Afl

1

Zamenjujući ovaj rczuttai u jeđnačimi za k o ju je /^ l , dobija sc stedcća jcdnačtna:

1 n, i ii ir - + W ) ' ,tO, *-0♦ 7Iq + (.1 n ■ 712 —-- ---------------------

iz koje 5e uraćunava , tako đa:

*Aq h i2 ~ --------------

'1^2

Induklivinrn nacinum zakljućivanj^ rfobijd' . , .h ■ Aj_ j

n J = U; *p.2

. A n - A i 1. . . . A j _ i . . .Ako ozoačimo c — — -— —— * verovalnoće stacionampg sianja za proces

rađanja i umiranja sc dobtjaju prema i/ra/u:71 j = 7 i o ^Cj < 5 . 6 4 )

Ako n datom vremtrnu îstcm inora da se nadc u nekom st;mju, suma verovatnotia slacionarnog stanja tKnosi jedau:

£ > j = l (5 6 5 )j=oZ^menjujiJĆi { 5 . 6 4 } u ( 5 , 6 5 ) dobijamo:

' - 1n0 - i + l c j

. Jrtl .

= \ (5.66)

Ako sunia ^ c } >ma konačnu vrednost, možerno da koristimo t5,66) da j-0

i;:raĆunamo vređnosl vcrovatnoće 71 g . tEiko da:

* 0 = — !— <5 6 ? )

i + £ c jH

U ovom slufaju jednačina (5.64) mo?c da se koristi da bi odrcditi vemvalnoće

siacionamog stanja Ako sama y V ima besnonaČnu Vrednostt tadflj*0

verovatnoće stactdnamog slanja nc egzistiraju.

206

Redovi ćekartfa

Kadalje je korisćcna leorija procesa rađanja i umiTanja da bi se odlredfift verovatnoće stacionamog stanja različitilt sistema čckanja, V redovima: cekanja, verovatnoćc stacionamo^ sttinja se korislc da bi se odredile nekc diuae vetiCine koje su inlcrcsatunc ?.<\ proučgv&njip rcdovEi čekanja.

5.10 MODfcl J RKOOVA ĆEKANJA

U ovom poglavtju clclaljtio sle prikazani ncki modeli tedova ćekanjš kojt inoaju veliku pmktićnu primenjivost.

5. 10, 1 M O DEL M / M / l / G D / « / « . FO R M C LA Č E K A N JA L = | - W

Frctpostavkc kojc se uvode u o\'aj modet su:1 . Vremena dolazaka su cksponctictjatno raspodctjcna fvreiê d|]aska po jedinici vrem e tia je X).2. Ima jedno mcsto opsiuživanja. Jedinitno vreme opsluživanja (vreme ppsl uživanj a j ednog k I ij c tua} j c o p i sa n o s I uč aj nom vcl i c ino m sa e kspone nc ij a I nom raspodeiom sa parametrom )I r Ranije je pokazano cia ovaj rcd čckanja može da se

modelira kao proces rađanja j umiranja sa slcdcćim paiamenima:

| | - X (j = 0,1,2,...)p.0 = 0 <5 6S>

Nadalje ćc da bude detaljno i/tozen postupak nalaženja verovatnoća stacionarEiog stanja za razmatrani modcl čckanja. Model je grafički prikazan na slici 5. 10.

Zamenimo (5.68) u (5.64) dobijamo:

& vj th A2 'K0 }J f*KQ'i% = ------ S 2 ....... i i j - — --- C5o9)

^ \i3

Defmišiimo sada odno?i (> = i koji jc nazvan stepen iskorisćcnja kapacitcta ili mesta

usluge. Podimo od fednaćine [5.65) koju pišemo u razvijenom o£b 11ku:

+ nj + 7 + -

Zamenjujući (5.69) u (5.65) dobija sc:

3k

2fk)+rcn ■■■■ + ;t0 ■ — + rt ■ —

n Q -(l + p + p 2 +P-5 +„*)= 1 (5,70)

207

operaciona istraživanja

Označimo $a S sumu hc&konatinog Opadajućeg reda, lako da:S = l + p + p 2 +P'" + , t .

Formula za izračunavanje sume beskonacnog rcda jc požnata, tako da u ovom slučaju je:S ^ - L - (5.72)

l~p

ili kada zamcnimo p = ' dobija sc:' Ll

s = - ^ - (5,72a)a - 1

Zamenjujući (5.72) u (5.70) dobijfi se:

3Cq - 1 - p (0 l , Vrednost sume S se povećava ogromnom brzinom. Primera radi^ zap = l, vrcdnosi ove sume je (1 + I + H-,J.+ I+ .....). Moie da se ka5e da 2a p s istacionanio stanje sc nc javlja. Tako da moSemo da kazemo kada jestacionamo stanje razmatranog sistema čekanja ne pnsioji. Ovaj slučaj sc javija onda kada je mtenzitet doiaska jednak ili barem malo veči od intenziteta opsluživanja.

Akoje p < i tako mo/e da se zaključi zasto mora da eg7i??t’ra stacionanio stanjs.

Naša da'ja analiza je usmerena samo im slučajeve kada cgzistira staeionamo stanje.

Izvođenje formule za L

Pretpostavimo da je p < i i nada’je koristimo izraz (5.74) da bi izveEi ncke vcličinekoje su interesantr.e za o\'aj modei, Pretposiavjmo da jc postignuto sEacionatrno stanjc, odrcditno sada sj'cdnji broj klijenata u redu Sekanja, oznaćen sa L.

L = £ } ^ (5,75)

j #

Ako iamenimci (5,74) u (5,75) dobija se:

L = ' ( i “ f>) = 0 “ p | <5-76) j=0 j-0

D Q

N ekaje S = ^ j p J = p + 2 p “ + 3 ■ p -> + {5.77)j=Q

208

Redovi Ćtkanje

Sadj zamenimo (5.77) u{5 ^6). iako tia se dobtja:

1- ' ([ ™p} (p + - + 3- p ' + ™.) (5,76a)

Ako pamnoiimo (5,76) sn p đobič&mo:

p-L = ( l - p ) - |p 3 + 2 ’P3 + 3«p4 + .,.) (5.78)

GdUjtimairjemjednaČine(5.7BJ ođ (5.76a) dobija se:

L - p - L = ( l ’ P )j |p + 2p : + 3 p ' +:«.)-(] p) (p2 + 2p ' +,..)

<Utjom jednostavTiom algcbarskom transformacijom dobija se: 1

L - { l - p } = (] - p ) (p + p - + P ’1 + ...) (5.79)

Deljcnjemjednačine (5.79) sa (i - p) dobija &e:

L - (p + p 2 + p 3 +...) (5.79a)

Dcsna strana jednaćine (SH79a) predstavlja sumu bcskonačnoa redaT tako da kotiačni izraz za srcdnji broj klija^ta u redu čckartja ti razmatranom modetu se odrcđuje prema formuti:

Lr P (5,79b)1 - p

ili ako âmcnimo p = i * srednji hroj kiijcnatfi u redu čekanja može da se tzraČuna'A

pretna formuli:

L - — t 5 79c>ji-A

[/Vdcftnjc Tarmule za L q

U nekim situacijaina, zaimcrcsovani smo da odredimo broj kLjjenata koji čekaju na liniji (na ulazu), Označinio ovaj broj sa L q . Ako hes liniji nema kltjcnata Hi ac

iialazi |edan klijent, tada ne postoji Cckanjc. Međutim ako se u redu nalazi j klijenata ( j ž l ) , tada jc ira liniji eekanja ( j - 1) kJgenata. Odredimo sada

vrednost pođ uslovom da je dostignuto slacioit&mo sianje.

jt>1

Priinenjujući osnovne eritmetiie operacije imamo:

}*\(5 80o)

209

OPERACIONA ISTMŽH'ANJA

Prv'o, razmatrajmo izraz T V j . £amenini$ u ovaj izraz (5.74) i sprovedimo

osnovne aritmedčke operaeije, lako da:

= T p ; ’( h p ) s ( l - p ) - ( p + i r +p- +,„-)

j=] j-S

Dmgi či:il]eic izraâ (5*81) predstavIja sumu be&kopaŽnog rcda koja u ovom slučaju

lznosi . Ako sc sada vratimo u izra2 (5.8 l | i pnmeniino ovaj rezultat sledi:t~ p

p)-? ? s - p < 5 - 8 1 a )

oo coPrvi etan jednačine (5.80n)n ^ P '^ s tav lja srednji broj klijcnata u

j=t j-0reclu čekanja, L* dat izrazom (1,79b).

Sada jednačinu (5.8Ga) moiemo đa pisemo:

L P p _ P ; (5.80b)" 1 -0 ! p

ili ako zamenimo p = i broj klijenati na linijf Cckanjaje:

L = - A - p ---------i _ — (5,80c)q ) - p u - f a r ^ )

Izvođenje forniulc za L sVeoma često je od interesa da se odredi oćekivim broj klijenata na mcstu opstuživanja. Za razmatrani model čekanja, vrednosl ove veličtrie se odreduje pomoćn jedna£ine:

L s = 0 ' TC0 -t-1 - (tt5 +7I2 +„.} = }>-% = 1 — (l — p) = p (5,S 1)

Otuda, svaki klijent koji se nalazi bilo na liniji ili na mesiu opsluživanja, smatra se da se nalazi u redu tekanja. Tako da srcdnj i broj klijenata u redu čekanja se računa:

L = + L s

FORML'LA ČEKANJA L a j k . - f f

Vrlo često je od velikog interesa da se odredi koiičina vremena koju tipični klijenti poti'oše u redu čekanja. Neka je sa W označeno nčekivano ytejne koje klijenti potroSc u redu čekanja (vneme tia Eini ji čekanja plus vrcme opslu/.ivanja). Neka sa

110

Redoii čekania

\Vk, označimo oćekivano vreme koje ktijemi poirose na liniji ćckanja. Obt' ove

vix;djnosti su raûtLftle unutat proipt>sinvrkc da ss sistcm Luila/i u sU^cinnarnom stanju; Koristeći I.ttlovu formulu čekunja^ vrednosti W i Wq mogu lako da sc

odrede koristeći L i 1.^. Prvo ctefmišimn /a red čckanjit (ili ddove reda čckanja)

slcdcće numeriCkc promenljivc:- /- srednji bruj dola^^ka u sistom po jedinici časa,- L srednji bmj klijenala u redu čckanja,- i , G sredqji hroj k3 ijenata koji čekaju na lintji,

* W srednja vrednest vreinena kojt: klijenti potroše u rcdu čekatija.- sretlnja vrcdnost vrcmcna koje kli’enti potroSc na liniji čckartjEi,

- W s srednja \Tcdnost vremcTii koje ktijenti potroše na mesm opsluči\anjar

l.' ovim dćfirticijania sve računatc prOsečne vređnosti si: otlnosc samo m sluČaj c!a se sistem nalazi u sttcionArnom staniu, Za mnoge redovc čckanja. Litlova formula može da bude sažeta u i'eorcmi 2.

T e o r tm i 2. Za neki rcd ćekan ja kojii Se nalazi u slacionamom sianju, važc slcdeče rdacije:L = \ W (5.82)

(5.83)

L« =>- Ws (S.84)l/razimo iz (5.82) W i zamcmmo (5.79e):

w - i = 1k \ i - X

Prema jcdnačini (5.83) moguće jc da i/računatno srednju vrednost vremena koju klijenti potroše na Hniji čekanja, , Zamcnimo u jcdnačiiiu (S 83) jednačinu

(5.H0b), tako da sc dohija:

w - k s . = , ____ - ___15 A JJL (fJL“ X)

Isti iiačin razmi£ljanja koristitno za ođređivanje vrednosti W s :

w s = K = ik

Primer 5.5

Preipostavimo da dcset auiomobila u toku jedno^ satži dola/i na šatler banke kojrt imu autošaker. Takode. pretpostavimo da je vrcmc opskiiUvanja 4 mitiuta i da su oba vremena eksponenojalno raspodeijena, E]otrebi:o je odgovonti na sledeča piianja:

o p e r a c io .v a i s r m ž n a \ j a

1) Koj;i jc verovatnoća da ćc blagajnik na šalteru da bLitk1 besposten?2) Koji je srftinji broj autOmObfla koji se ivdhi/.c u redu Ockanja (auto koji je Ha

počtiiku opsluživaAja nC smairz! sc da čeka}?3) Koje fc vreme koje klijcnt poiroši na parkingu hankc (ukljufujući i vreme

opslulivanjal?4) Koliko klijcnta u toku jcduog sata će hili opslofeno poniočLt jcdnog blagajnika?

ReŠenje:Prema pretpostavci dai: problein čekaEija može da &e opiše M M ] <il> ' » / « modelom u kojem je X - 10 auta časuT i m "15 auta/čattt (15=60:4), Kako znamo

v r cdnos i t X i U m o ž e m o d a izr& ču iiam o p = — = — ■ = — .| i 1 5 3

Sada moiemo da damo odgovore na posljvljcna puanja:

I) Na osrtov'U izraza (5.73) sledi da je i= 1 - p = 1 - y = -j Jto znači da će

blagajnik da budc neiaposlen odojednc iroćinc svog redno£ vtemena,

IT3 J 42) Pnema izrazu (5.80c) slcdi d a je L^ — = ^ automobila

i - 3 3

3) Prcma izrazu (5.82) s!cdi cla jc W = , Tada prema izrazu (&79c) je:A

L - —— = = 3 auta] - p 1 - 2 /3

W = ™ - — - 0.3 Ćasa-12 minuta.X 10

4) Ako je blagajnik staJno /aposlcn znnmo da on može da opsluži 15 automobila po ćasu. Mcđuiim. dobili smo da jc blagajnik zauzct samo 2 3 svog vremena. što dalje

2zna£i da u loku jcdnog saia on če da opslu/t — 15 = 10 automobila Ovo može da

budc sasvitn prilivatljivo zato Sto 10 automobfla u toku jednog sata tlolu/e u sistem.

5 10.2MODEL VI M I CiD 'c *

Prema Rcndalovoj notaciji, ovaj sistcm tekanja podra/umeva da jc kapacitet klijenatii c, Ovaj model je gotovo identičan modclu koji jc opisan u St:kciji 5. JG.I.

I u ovaj modelf kao i u ptcthodni M M l C}D » & , sc uvodi pretpostavka da su vremena doJazaka i vremcna opsluživanja eksponencijamo raspodeijcna sa parameirima X i pt, rcspektivno. Tada model ćekanja M M l. GD c « moie dabude modchran kao proces radaujfi i umiranja, Ovaj modct je grafičkt prikazan na slici S J 2 .

2 / :

-

Sflba 5. /2 Gnifkki prikaz motiefa ćekanja M M l CJD/t / w

Paramctri ovog sistcmći Cckanja su:(j = 0 J t2 _ c - l )

k ^ On <585)

Mc ™0

f-t, = JA <j — l*2,.=^c>

Ako jc Xc ' 0 sisicm mkada notje đoći u stanjc (c + /) ili ncko dm so stanjc jsa

vcćom numetacijom. Za verovatnoćc suicionamog stanja za ovaj

sistcm ćekanja su:

1E - l _ P

*J “ PJ ■ % (j = U ... e) (5.S6)flj = 0 {j = c + ],c + 2)JH,)

CKombinujući jednaćmu (5,86) sa izrazom l , = ^ j - n , , možc da sc pokaže da za

\x vaii sledećajcdnakost:

i - P , [1~ (c + 0 ; P C + C -P 1" ]( l - p " ' J . ( ] - p )

(5.87)

Ako jc X = f.t tada sc stacioname vemvatnoće i braj klijcnaia a rcdti ćckanja raćunaju prema iziazima (5.8S) i (5,K9)S respcktivno.

* J= ^ Y C5.88)

L = | (5.89)

Kao i kod prelhodr.og modcla, srcdnji broj klijcnaia na mestu opsluživanja sc računa:

L, « 0 ■ na + 1 ■ (jTt + + .„) - ! - n n

213

O P£JliaO .\rA ISTfU?Jl'AXJA

Tako da moic &a sc odredi srcdnji broj klijenaia koji sc naiftzi nalimji čckanja kao: Lq —L ■ L s

Odredivanje W i \Y^ prcma jcdnačinama (5.82) i (5,83) nijc dovoljno pou/datio.

U jcdn>£inama (5.S2) i \ prcdstavlja sreJnji bcoj klijcnaia po jcdinicivrcmcna koji trtnutno u]a/c li sistem. I,J tnodclu sa ogranifcnim kapadtclcnv ncka jc sa A oznaćcn srednji broj dolazeka po vrcmenu do!a/ak;i, ali broj khjenuta koji popunjavaju sistcm jc A ■ TtL. . Tako da srcdnji broj do/aka po jcdinici v rtnlcna koji

trernuteo ula/c u siston sc raCuna kao JComninujući ovc ilinjcnicc sajeđna£inamM5.82) i (S.83) dobija sc:

w = . ^ i W : » — r * — , (5.90)M i - n J

Kada jc A. > T stacionamo sianjc u sistcmu fckanja ce da posioji /a to štoograniieujc kapacitcita nc do?voljava da sc bfflj klijcnata u sistcmu čckanja beskonaćno povcćava.

Primer 5.6

U fnzcrskom salonu nalazi sc 10 stolica. l ' ovom salonu radi samo jcdan frizcr Vrcmena dolazaka musterija SU cksponcncijaino raspodeEjena i znamo da 20 potencijalnih muštcrija dolazi svaki sai u salon. Ako jc salon pun, mužtcrijc koje dođu ncćc da udu u saion Frizen] jc poircbno 12 mintfta da oSiffa muStcriju. Vrcmc šišanja (vrcme opsEuživanja) jc lakodc cksponeneijalno raspodc[jero.

Potrcbnojc izračunati:1) Koliko puno Sisartja za jcdan sat frizcr tno/c da zavrsi?2") Koliko puno vrcmena rnuštcrija provodi u salnnij'.J

Rešenje;

1) Verovatnoća Ttjgsvih dolazakajc vcro\alnoča da ce muSlerija oaći pun salon.

Otuda jc X-(l — ) srcdnji broj ula/aka muStcrija u salon u toku jcdnog sataVcrovamocit da ćc svi klijcnH koji su usli n salon da biidii opskižcni (oitSanj) u toku jcdnog sata jc X Prcma na£im prctpostavkama,c - 10, X = 20, Ji = 5. Vrcdnost p sc izraćunava i iznosi u ovom primero

A 20p = — - — - 4 . Primenjujući izraz dobijamo:

l " 4 * j !0 A1C «0 = 1 JtlO = 4 - n o = 0 7 5

Srcdnji broj mustcnja kojc ćc da budu ošisanc u toku jcdnog sata je 20 ( l - 0,75) = 5. Ovaj re/u]tat da!jc pokazujc da 15 muStcrija po satu ncćc da uđe u salon.

214

Rndovi čeftimja

2) Da bi odredili W kcristimo \s.raze (5.K7) i (5^0):

L =4- 1 - 1 1 4 !° + 1Q . 4 1 '

(l - 4 ')- ( I - 4 )

9.67

X ( l - n I0) 2 0 -(l — 0.75)

= 9.67 muštcrija

= 1.93

Ovaj reûltiii pokazuj^ da jc salon prepain 1 da jc potrcbnći da hutlc angažovan najmanjes još jedan frizcr.

5 . 10.2 Mf >DEL M i M / s / CjD / «■ / »

Pretpost&vka koja sc rwodi 11 modcJ čekanja kojl je opisan u ovoj sckciji je đa su vr-emcna dđjazaka i vrcmcna opsluživarja cksponcncijalno raspoddjena, Sa paramcirima X i |LL, rcspektivno. Paramctar X predstavlja intenzitet dolaska po jedimći vrcmcna a paramctar \x je jedinično vrerrie opšlUživanja. Takođe, uvodi sei preipoiiiavka da postoji samo jcdna linija dolaska i 5 paralclnih mesta na kojima klijentj mogu da sc opsluže. Ako je j Š s , tada svi klijciui koji sc nalazc u sistemusu na mcstima opsluživanja. Ako je j > S , Sva opslužna mcsta su znuzeta a

( j - j ) klijcnaia st: nalazi na liniji fekanja. Neki klijcmi koji nađii idcalno mestoopsluživanja, budu odmah usluženi, dok drugj klijcnti koji ]tc mfjgu JK ne umeju da nadu idcalno opslužno mosto (serviscm) Čckaju u redu. Sistemi čekanja u bankama1 po.štama mogu idclano da sc formalno opiSu ovim modčlom.

Opisimo sada razmatrani modcl M - 'M /s /G E )-« , '« kao proces radanja i umiratra, Uvcdimo o?.naku kao 1 u modelu M M | /G D » /*» da je X\ — X(j—0,1,2,...). Ako jc j sctviscra zauzcto, tada je intenzitet servisiranja:^ + ^ + .....= j #

Svaki put kada je j klijcnta u sistemu, min fas) servisera če da budc zauscto, Tada je: [Jfrj— mtn { j . j l . Sumirajući ova razmzitnmjaT zaključujemo da Enodel

M / M / s : 'G D /» ; m niožc da budc modclovan kao proces radanja i umiranja (stika 5.13) sa paramctrima;

“ j ^ ( j f S S J .....s) (5.91)

(j = S-rI,S + 2 .....)

X x

SIHia5.13 Gri$čkipriktiz modelti čektinja M /M s / O D / « , «

215

OPERACiOSA ISTRAŽIVANJA

DcfmiSimo saca veltčimi p . Za p c l , zamenjujući <5,91 }u izrazc od (5-64)

do (5,67) dobijase:

fin ”l

° & (s p)' (s p)‘( 5 .« )

z 5i-inU i! s l ( l - p )

0 = u .....S)

n (j a i>S + l>S + 2,„.)s'>sJ

(5.93)

(5.94}

Aku je p > 1, tada nc tno/c sistom da dodđe u stacionam o stanje. Drugim rcčima, ako jc inknzitet do la^ka v e 6 ili jcdrak Tnakumalnom inogućem inteazitetu scrvisa (A > s ’ u) t tada sislem "eksplodira11.

Prema izrazu (5.94)T moic da bude pokazano da verovamoće staeionamog stanja đa su sva opshižna mesta zauzeta sc računaju prctua i:;;razii;

P { j> s) =( s - p ^ -Tlf,

# l ~ p )

V labdi 5.3 datc su vtTOV&tnoĆe â različite vrcdnosti p i &:

Tabela 5.3 P ( j> s ) zam odel čekanja M - 'M / s / G D / » i «

n S-2 5^3 s-4 5=5 s~6 5=7___|0.1 0.02 0,00 0 0 0 0.00 0.00 0.000.2 0.07 0.02 0.00 0.00 0.00 0.000.3 o .i4 n 0.07 0.04 0.02 0.0! 0.000,4 0.23 0.14 0,09 0.06 0.04 0,030.5 0.33 0.24 0,17 0.13 0.1® 0.08

0.55 0.39 0,29 0.23 o . t s 0.14 0 J 10,6 0.45 0,35 0.29 “1 0,24 0,20 0,17

0,65 0:51 0,42 0,35 P 0.30 " 0.26 0.210,7 0.57 0 .51 0.43 0.38 1 0.34 0.30

0.75 0.64 0.57 0.5 L 0.46 0.42 0.390,8 0,71 0.65 0.60 0.55 0,52 0,45

0 85 0.78 0.73 0.69 0.65 0.62 0r60-9 0.85 0.83 0.79 0.76 0.74 0,72

0,95 0.92 091 0,89 0 M 0,87 0.85

216

Rt’tfori ćekanja

Takođe moie da sc pokaže da jc Sfcdnjt broj kJijenata koji ickaju na liniji:

s P (j £«)•<>1 - p

Srednja vrednost vremcna koje klijent provede na limji Čekanja se u ovom modelu računa prcma izrazu:

w k = J l Q l ^ (3 9 7 )

Ukupan broj kltjenata u sistemu čukanja, L, kao i ukupno vrcmc koje klijcnt potroši u razmatranom ststcmu čckanja. W, se računa prcma izrazima:

L = L +•— (5.98)1 H

4 = k + I , w , + i ^ - p ^ + i

P r i m e r 5 . 1Razmairajmo jedmi ckspozitum CREDY bankc iz Kragujcvca u kojoj se nalazc dva šalKra. Znamo da KO stratiaka (klijenti) dotaic u ovu ekspozitum i £{±ka u jedflom redu za blagajnika koji nijc zauzct. Srcdnje vremc koje je potrebno da sc opsluii jedna stranka t^nosi 1.2 mimita. Prctpostiivimo da su vrcmena dotazaka i opshiživanja eksponcncijalno raspodcljena, Potrebno jc d a se ođrcdi:1) Bmj klijcnata koji koriste uslugc ovc ekspozimrc2) Očekivano vrcme kojc klijcnt provede u bart:i3) D e o vrcmena U kojcrn jcdan blagajnik mje zauzct

Rešenje;

1) Opisam problem može realno da sc opišc M M /s /G D « modclom čekanja sa a = K0 stranaka po času i (Jl = 50 utranaka po Casu. Prcma ovim podacima

Xflračunamo vrcdnosl p tako da p = ■ — — 0.H < 1 * pa stacionamo stanjc nc postoji

2 -50(za A>100 stacionama stanja nc cgzistiraju). Prema tabeJi 5.3, p ( j > 2 ) - 0 , 7 l i fcdisteći ixraz (5.96) slcdi:

L = ° '8 - ' 71 - 2.84 siranke.15 1- 0.8

soPrcma i/razu (5.98) slcdi L = 2,S4 + — = 4,44 slnmkc.

502}Očekivano vrcmc koje stranka provede u banci sc računa prema izrazu;

L 4 44W = — = - = 0.055 Ćasa-3.3 minuta.

k 80

217

OPERACIONA ISTR .lŽm \ JA

3} Odrcdtmo sada deo vrcmetta u kcjcm je blagojmk slobodin (ncma KTmnkc). Oznaftmo da bbgajnik nijc zauzct u vreme ubska stranke, kada je / - 0 i pola vremena y=I, Verovsinoća da je bltigajrJk slobgdun, prcma ovoj pretpostEivci, jc 7Tft + 0.5 ■«!. Koristećf činjcricu prcma tabeJi 5.3 da jc P( j > 2)= D."rl . mt>/e dn sc

dobijc vrcdnost Tifj prcma izraztt (5.95):

_ P (jžs) 's !-s j-" _ 0.71. 2!(1 -0 .8 )

“ • (*-py ' (2 - o . t f ° ' n

a, -■ =0.176.

Sad [trctna izrazu (5.93) sicdi:

1!

Vcrovatnoća da blagajnik nijc zauzet je +tlr5- ^ 0 .11 + 0.5 ■ 0.176 -0.19N.

Ovu vcrovatnoću možcmo dn izračunamo direktno prcma izrazu (5,92);

v S H = a n 'I! 2 ^ 1 -0 .8 )

5.10.3 MODELI 1 G I K i / ~ . f i D / » : ~

[’ostojc mnoge simacije kada klijenti nikadg ne iekaju da bi bili opslužcni, Ovi listemi se čceto nazivaju sistemi sa samoopsluživanjem. Neki primers ovih sistcma prikazam sti u tabeli 5.4.

Tabvlo 5.4 Primeri sisteitia vtr tdfttonp.slitžiianjcni

Situacija Ditla/ak Vreme flpslu/ivanja (Vrfme ii iistemu)

Stanj« sisteiBA

Lnđusirija Pteduztča kojii sc bavcindusirijskomproizvodjijom

PrediiTeća kojanapuitaju industnjsk:) proizvodnju

Broj Tirmi Scoji st; bavi industrijskoni pioizvodnjom

Programl'akulieta.

Sttjdenti koji počinju da slu£aju prograjn

Vremt kojC snidenl provede slustjući razmatrani prograTr

Broj studenata kuj: slušaju razmatrant proi^ram

Koristcći KcndalovTJ notaciju, sistcm sa samoop$tu£ivanjem u kojcm vrcmcna dofaif.aka i vremena opsluživanja nuigu da imaju pmi/voljmi rasprdelu sc pige kao t i l / G /« j GD. » , Ovaj sistem rnoic da sc opišc na sledeći naiin:1. Vremena dolazaka sc opisnju slućajntin veliCmama koje imaju upbičajnu

raspodelu verovatnoče. Matematičko ocektvanjc ovih slufajnih promcnljivib je_ f ¥ A

gde K predstavija inten/ilci doEa/aka ili ka to se jo i to na/iva stopu dobzaka.

213

Rrd*f\ i i d&mja

2. Kiida klijertt on jc L>dniLili opsLužen. \ rcrisc kojo klijent pnovede u sistemu

je opisano sJućajnom veiićinom čije j« matcmatičko oćckivanje — .

Neka jc L označen očekivan hroj klijer.ata 11 sislcmu kada se sistcm tialazi 11 stacioniimom sianju, a \V jc oćekivano vrcme kojc kiijenn potrošc u sisicnni čckanja* Prema jeiir.ačini i5 S4> slcdi:

L = ~ (5.100)V

IcdnaCmit (5.1^0) Tie zahteva prelpostavku o eksponencijalnosti. Ako su vremena tlolazaka ekspotiencijalno r&spođeljcna fvremc opsluživanja moŽe da ima proizvoljnu faspodclu}. moSc da se pokii/e da raspodeJa verovalnooe i-loii klijentau stAcionamOm siarju sistcma tn/naćcna kao : i |) $\cd\ Puaronovu raspodelu sa

matcmatlekim očckivanjem t. ■ implicira da:

_xM

jj------ (5 l 0 i )

Primer 5.8

Svakc godinc u Kmševcu ->udu olvorcnc tri poslastičanuce, Srednje vrt;me rada poslasttćamica jc 10 godina. Koliko puno poslasEićamica mo^c da sc nađe u Krušcvcu za 25 godina? Ako jc vremc izmcđu rtvanmja poslastičamica eksponencijalno koja je vcrovatnoća da će posle 25 godJna u KruŠevcu biii 25 poslasttćamica?

Resenje:Znamo da sc godišnjc otvorc tri poslastičarnice, tako da jc X = 3. u = ,

pTetpostavimo da jc posti^nuio stacionarnvstanjc, j Krušcvcu ćemo naći:

L = X ' - - - 3 4 0 * 3 0 poslastičanicai

Kako su vremciUi t/mcdu dva ot\ amnja (vrccnena dolazaka) cksponencijalna, lađa jc:3025 ■ c 3t*

rc„ — — - 0.05 .- 5 2 5 [

210

OPERACfONA ISTRAŽIVAXJA

5.10.4 MODEL M / G / l / G D / « / * »

U ovoj sokdji razmatramo riioJol čekanja u kojcm postoji samo jedrio opslužno mesto, Vremena dob/Lik;i klijenata su eksponcncijalno raspoddjena, ali vreme opsluiivanja ne mora da budc cksponeoijalno raspo<icljenoT ij. ima proizvoljnu raspodclu. Neka jc sa X o;mačcn intenzitet doia/ak;i (broj dolazaka po jedinici vrcmena, npr sataK Ntrka jc n’iatL'iiiatičkn očekivanje slutajne vcličirie kojom nc

opisjjc vrcmc opsluzivanja H a dispcrz‘faje n " r|i

Modcl čekanja M /G /l /C jD « ,«> oe možc đa sc opiic kao proces rađanja i umiranja, 7ato sto verovatfioča kompietimnje itslu^c u intcrvaiu [ tTt + At J kathi nefiistcm naiazi u stanju j zavisi od duzine vremenskog intervala od kada je zavrSeno poslednjc scrvisiranjc. Otuda ne možc da sc pisc da jc verovamoća vrcmcna servisiranja u intervalu f i.i + Ai ] jcdnaka ji- A t , pa proccs radanaja i umiranja mjepodcsan.

Odrcđivanje venovatnoća stacionamog stanja 7a modc! M G 1 GD « « je tdfcak posao. Kako jcdnačine siacionamog s:anja za proces radanja i umitanja nisu validnc za ovaj model, moraju se koristiti ra?.!ičit3 pnstupt

Koristed rezultate Pollaczeka i Khinchina, mo2c da se odicde sledcće vdičm e /a modcl M /G /l /G D

X1 t r + p '

2 - 0 - p )L . - ? . A \ <5-1021

= PI / ] ^

g d c j e : p - X / j i . P o S to j e W = — , j c d n a č i n a (5 .S 4 ) im p l ie i r a d a L = V -^ W

Posto JC L = Ls + Lq m ože sa dobije:

L « t ^ + p (5.103)

Tada (5.B3) i (5.S2) dovodc do:

W , = ^ - C5.104)

W =iW (1+ - - (5.105)

Mnžc takođe da se pokače da Tt;j- i - p J e verovsm oća dEi jc dco vrem ena scrv'tscr

idcalam

220

r

Reiiati čekvnjp

Primer 5.9

llustrujmo koriSćenjc izraza (5.10Z)*(5J0S) razmatiAjući sisicm Čckanja M / G / I / G D / w / « sa X — 5 klijctiEila po satu i klijenata po satu. Prcmanašoj studiji za M Cj l . ' G D m o d e l iekanja znamo:

5

L = —^— = — kiijcnta, L _ = L - p — khjcnia, W = — = = ik - p S - 5 3 " 3 3 24 X 5 3

25

časa i W = ~ = — - ■ ~ casa. q X 5 24

Kako su vremcns eksponencijatio raspoddjena, lađa je vrcdnost matemaućkog očekivanja i vrcdnost diser/ije slučajne promenljivc sa eksponencijalnom

ra sp o d e lo m (S) i datlm v re d n o s t im a param c ia ra : M{S) = ~ časa i a 2(S) = — cas*.

T#d» prem a izrazim a (5 ,102) do (5 .105) stcdi:

5‘+

L, =64 25

2 * 1 - -R

L ='L0 + p = - '5 *■ - - - k['ijenata, q 24 8 3

2511/ 24 5 I’ — jscl = — časa, i

" k 5 24

W = v = - = - iasa. X 5 3

Pokažimo kako vttijansa vremena opiiu:2ivanja može znaćajno da utičc na ufikasnost reda tckanja. Razmatrajmo sada M D t GD »/'«* sistem Čekanja kojt ima istu vrednosi X i |l kao i sistem ćckanja M G . . GD M °° koji je analiziran.Za M / D / l / G D / t « / « mo<3et čckatija matematičko očckivatije je 1/8 a disperzija je jednaka nuli, tada je;

L , =.... .

, ■ = « kl‘Jena,a’

' S)25

W .= h ± = M . ^ . ±48

časa

221

OPERACfOSA l$TRA?J\fAXJA

U M D l UD « oo sis te™ čckauja tipičan kljjent ćc potroSiti samo pola vremena na tiuiji iekanja ncgo u redu Cekanja opisanim modciom M /G . ]/GD uz pretpostavku da su interi/keti doto/aka 3 opsluiivanja kodoba modela jcdnakL

Kao sto ovaj primcr pokaztljč, iraicmatičko očekivanjc vremena scmsir.mja {opshiživanja} mijo st: smanjilo, aii sc smanjita disper/ija. Na ovaj naćin može značajno da sc redukuje veJičina iccia i vreme čekanja klijenata u redu.

5.10.5 MODELI OGRANlCENOG l/VORA: MODEL ODRŽAVAKJA (POPRAVKRl MAŠIXA

Sa i2uzctkom modcla M G 1 GD c » . svi ostiili mođcli koji su prikazani u ovoj knjizi, imaju mienzitete dolazaka koji su nezavism od stonja i>istema. Kao ito smo prethodno diskutovali, postojc dvc situacije gde prctpostavka 0 nezavisrtosti dolazaka od stanja sistema moie da buđe n.codgovarajuća:

1, Ako se Jdijenti protive da provcsu puno vTemcna u rtdu tekanja, intenzitet dolazaka sc tada opisuje opadajućoin fiinkcijoTn i>roja ljudi koji se naki/e li rccin tekanja.

2. Ako dolasci u sistcm potiču i/ maie populacije, inlen/iiei do]a?aka tada može u velikoj meri da zavisi ođ stduja siitcma

Modeli u kojinin i>u dolasci i/vučcni iz cnalc populueije nazivaju sc modcli ograničeno^ i/.vura. Nadaije jc anah/iran jčđan važan mode] koji pripada ovoj klasi modela: modtl poprvake mašina.

U problemj popravke mašina, sisicm sesastoji ođ K maSina i R radnika koji rade na održavanju. L.: nekom trenutku vremena, odredena mašma ili je u stanju “u radu" tli u stanju “otkjz:!11, Dužina VTemer)skog penoda u kojcm sč maštna na]a/i li stanju "rada" opisujc se slučajnom vcEiCinom sa eksponencijatnom raspodelom sa parametroni X . Kada dode do otka/a masina, ona scr saije u rudionicLi /a popravku gde radi R majstora (odr/avalacii Opreme), Rad n;i popravci mjišina koje <U/u u radiomcu 2a popmvku moze da se modclirj pomoću moddsi M M R CjD » <».

Ako je j< K., ma£inc su u loSem stanju \fašine kojc se nala/e u stanju oikaia'' će odmah da se odredc zzi popravku. Aku je j> R tada cc se /-R maSina nala/iti u jednom redu na tekanju dok pe bude slobodan jedan radnik, Vremc kojc je potrebno da sc Kavrši komplctiui popr&vka maSina pretpostavlja se da je cksponencijalno raspodeljeno sa parametrom [X (ili matematičko occkivanjcvrctnena popravke jc I ). Kuda jtr mašina popravljena, âda se pono\o nala?.! ustanju "rada'\ vrača se u pogon i radi sve dok pono\o nc dode u stanje ''otkazaN. Model popravkc mjsina možc da sc mođelira kao proces radanja i umiianja, ^de stanjc j u nekom vremenskom trenutku je broj masina koje se nalaze u stanju “otka/a". Koristcći Kcndelove oztuikc, opisani modd mOie da bude prcdsiavljen kao M /M /R . GD^K K . Prvo K govori govori da ne može više od K klijenata

(maJina) da se tretira, Đrugo K u modctu M M R GD K K siovori da dolasci poiiču iz kouačttog skupa koji itna K elemcnata

Odrcdimo sada paramctrc razmatranog modcLi M M R GD K K koji je modeitran kao proccs radanja i umtranja. N ekajc rađanjc o/jiaćeno kao prckić rada maSine a umiranjc korespondira maînama kojc su se Lipravo popravile. Sadii mo/cmo da odredtmo inLcnzilei nastajanp nika/a kada sc sisTein nalazi u Stanju j LJ statlju ji K-j maSina se nalazi u stanju "rada"+ Inlenzitct prskida ratia svakc m aš ine j e X L' kupan i nt cn/.itet prek i da radn s l 1 cma (£ m pe m as i na) u s lanj u j j c ;X ; ^ ( K - j ) X

Odredimo sada IntenzUet umiranja za modcl popravke maSina. Sada postupamo isto kao i kada smo diskutovaii model VI M s CU> m ^ . Kada je sranje;, min (/, R) Ijudi u odriavanju će biti zauzeto, Intcn/itei rada svakog majstora koji rade na popravci mašinaje u , a intenzitet umiranja ceknt sistema u stanjti j j c . :

H j= J M ( j = 0 , l ...... R)

| i j * R | i ( j = * + l . R + 2 .......M

Ako definiftcmo p - — tada možemo pomoću jcdnačina od (5 64) do (5.67) da

odj'cilimo verovatnoće stšciortamog stanja;r K ’

______________ Redovi čekanja

'K '

J j

PJ 'J -* »PJ -ito = v J ^ . — a— (j = 0,1,..,R) (5.106)

Ri-R'

Na osnov'u ctcmentamog itianjn kombinatorike, moSe se poka/aii da je:

iK 1 _ K j-t-l)

) ) t K - ( K - l ) - . . . . ( K - j + 0 < K -j> ( K - j - ) ] l . . . ; i K!

j!(K — j ) ' (K j l)—2• I

Korjsteti jcdnaimu (5 106) može da sc nadc Hq iz jcdnaćine

Tifl + j i i + .,. t = 1 . Takodc. koristcćf verovatnoće stacionamog stanja datc

i/rayitna (5.106) mogu da se odrcde slcdcćc voHčinc koje su interesantne za razmatrani inodchL -oCckivani broj mašina kod kojih nastaje otka/L t| - očekivani broj mašina koje čekaju na scrvis

W - sreditj^ vreme kojc masinc provcdu dJok su u starju 11otkaza'- sredrrje vrcmc kojc masinc potroic dok čckaju na popravku

223

OPERACIONA lSTRAŽnrA\'JA

Ono što je jako nepovojjno, ne jiostojc jcdnostaviiL: formuJc pOmoću kojihodređujemc vredtiosti gore deflnisanih vclićina. NajboJjo Sto možemo da uradimoTda vreduosti ovih veličina računamo pomoću TCj-ova:

t - Ž i ' K j (5-107)j=n

(5.10S)

Sada mogu da se koriste izrazi (5-S2) i (5.83) da bi dobtjžli W i Wq . Srednji broj

dolazaka po jedinici vreinena fintenzitete đolazaka) se račutta;_ KX = £ ji, - * i = a - ( K - L ) (5.109)

j D

Srednje vreme koje mašine provedu dok su u stanju otkaza, W, se rac\inaju:

w = i (5.110)X

Srednje vreme koje ma&ine provecu čekaj«ći na servis se ročiina:L

Wq - t-3* (5,111)k

Frimer SJO

Jedna policijska stanica u gradu Krušcvcu mia pet patrolniij kola, Svaki patrolni auto je u stanju otkaza svakiJ'i 30 dana i to zahteva njihovo semsiranje. U radionici za održavanje razmatrane polieijske stamce rade dva radnika na odrzavanju patroljiih aiicoinobila, Na osnovu pođataka iz evidertcije svaki radnik utoSi 3 dana za kompletno servisimnje (remoniovanje) patrolnih kola. Vremena otkaza i vtemena servisiranja su ekspottencLjahio raspodeijena. Potrebno jc:1) Odrediti broj patrolnih kola koja sc nalazc u stanju rada2) Odrediti srednje vreme otka/a patroEnih kola3) Odrediti dco vretnena u kojem svaki radnik mje zauzet oko reinomovanja

patrolnih kola.

R ešenje:Ovaj problem može da se fbnnalno opiše modelom za reparaciju (održavanje)mašina sa K=5, R=2, y = J_ auta/danu i _ L auta/danu. Tada je & ^ H22 - n j ,

30 i \n 'Pretna (5.106) sledi;

si, -m

v b kh'0.5 - tt:0

224

flgitfovf ćekanja

n+

-

n, -

71. =

- TJ O j

V U o J

' š l . f i f J U O j

m i v51 UO

n0 = 0.0015 -j:(t

■w0 = 0.000075 -7i„

Tada Jt,(t + 0,5 + 0,1 + 0.015 + 0.0015 + 0.000075)= I ili tc„ = 0 .619 . Sađ m oicmo da izračunamo vrcdnosti: n : = 0 ,31 , ft: “ 0,062 , n y = 0,009 , ™ 0.001 i tt4 = 0 .

]> Oickivan broj patrolnih koia koja sc nakute u isoravnom stanju fstanjc ratia) je K-L, koji je dat izrazom;

sK £ j TTj “ 5«-{0'0 619+ 3 - OJ I + 2-0 062 + 3 'D.OO*) + 4 O.OO! + 5-fl)~ 5 - 0 465 - 4.535

j~fl

2) Znartio da jc W * i . Takođc, mozt: da se izračima vrednost X prema izraûA.

(5.109):a

) U Y X ( 5 ~ j > 7 i . “ " ( S l t f i + 47it +371j + 2 « , t O » 5 ) =J:" U

30(5 0,619 + 4-0.31 + 3 0.062 + 2 0.009+0.00] +Cl)=0 151 a ito p o d m ra

4.535X - X-(K - L ) - ■ = 0.15 i au topodanu.

300.465

Prcma podalku da jc L=0,465 auu, moJc da sc nađc da jc W - - 3,08 dana.

3) Dco vrcmcna u kojem ćejedan radnik da budc slobodan jc:7i0 + 0.5 ?t| = 0.619 + 0.5-0.31 = 0.774 .

Ako u radiouki za održavadje radc tn radrrika, tada dco vrcmcna u kojem svaki2 1

radnik nećc da bude zauzet se račvma prema izrazu 7ry + —rc, + -7 t: . Ako U

radionici r.idc R radnika, verovamoća da svaki radnik nccc da bude zauzet (da je slohodan) računa sc prema formuli:

(R -!)■*- , (R “ 2) ji. ttr ,,+ ---------- — - + ------------ — - + . . . + —

* R R R

225

GPHRACIOSAISTRAŽIVAKIA

5.10.6 HKSPONENCIJAI.NA ČEKANJA l SERUAMA OTVORENE MREŽK REDOVA ČEKANJA

L' modelitn koji s\\ opisatu u prethodnim sckcijiima prctpostavlja se da se servis obavlja samo na jcdnom meuiu. LJ mnogim slučajcvima fkao npr. proccs ra<J& na lim montaže), klijcrtt ne mo/o da se opsluh nti jedtiom mestu. Diugim rciima. koniplctiin scrvis mom d.i Sc obavi na višc od jednog mcsia OpsJuzivanja koja su porcdena u rcd (slika 5 ,14y

Sj sHRvtsiji at) srRvnnn sr stsvtsftnivir->E7nrr i\TF\vriFr ivnrSi/tTTTOP5I ,L'?1 VAS'i * rr, OPft.L"? IV 1 * m j (iPSl trft IV A\M fflK

5/iAti 5- /V Ek.'iponencijaltio čehmie tt M'i ijtitna

Klijcnt prvo dotazi u stanjc I. L' ovom stanju možc d;i bnde sj scrvisera koji supiiralclno rasporcdcni 1 sianjii I mo/e da sc Zaviši dtro scrviâ koji jc nnaprcd odrcden (npr. planom monla?c, platiom održavnnja, itd,)- Kada jc ovaj deo scrvisiranja âvršcn, klijcnl odljzi u stanje 2 kojc sc nala/i i/a slanja I (kao ito jc prikazano na siici 5.] 4). Proccs krctanja kiijcnta jc kontnmalan. zavrsava sc u stanju k. Tcorema od Jackson-a [4’ koristi sc kao matcmatička osrova ovog scrijskog sistema čekanja koji sc sastojiod k stanja.

Teurcma. Ako su: (1) vremena dolazaka u stanjc 1 cksporcncijalno raspodcljcna sa paramcrrom A, (2) vremcna sen'isiranja u svakom stanju * rakođc cksponencijalno raspodcljcna, i (3) svako stanje ima ncograničeni kapacitct Čekanja^ tada vrcmena dolazaka u svako stanjc scriskog sistcma Cckanja su cksponcncijalno raspodeljcna sa parametrom X.

226

i

Redaii ickunja

P n m er 5 . 1 1

Dva dda automobila sc proizvodc van fabrtkc aiiiomobila ZASTAVA, d.o.o. iz Kragujcvca: motor i gumc. Proscčno 54 automohila po salu siišu zahtevajući ova dva zadatka. Jcdan radraik je ocrcđcn da ugradujc moto: i može dy uradt 60 auEomobila po satu. Kada sc motor ugradi, automohit se pom tia na tinijll rtiOUtaže gdc sc postavljaju gumc. Tri radnika rade na liniji moiita&. Svaki radnik utroSi 3 minuta da postavt s*umc na autu. Oba vrcnuia. vrcmena dolazaka i vremcna scrvisiranja $u eksponcncijalno raspodcljena. Poircbno je:1) Odrcdili srednju đužinu čckiinja na svakom utdnom mestu2) Odrcditi ukupno vrcme kojc jc potscbno da se kompLetira mitomobil.

Rešertje:

! ) Ovaj problcm moic da sc modclira k;io sertjski sistcm čekanja sa }l - 54 automobila po .satu, s, -1,|U. - 6 0 automobiJa po satu, s ^ 3,JJ,; 20automobila po satu. Kako je \h mjcdan red rcćc da trckspIodira" eJackoson-ova teorema može da budc primenjcna. 2a slanje J fmotor),

54p = —■ = 0.9 s pa daljc mogu da sc izračunaju slcdcće vrednostil

600 9 :

L„{moJor) ----------“ 8 .1 automobilq 1 - 0 .9

Wq(motor)= ^ = 0.15 iasova.

Za sianjc 2 igumt), (j - - 0,9. Pretna tabelt 5.3 sledi P(j> 3) = 0 S3 t sada je>3 '2 0

i t \ 0.S3-O.9Lq(gumc) = ------- =7.47 automobila1 0 ■ 9

7 47Viq(gumc}" = 0 J 3 8 časova.

2) Ukupnu oćckivano vreme kojc automobil potroSi da bi sc kompletsraojic:

D.15-K0 I3S = 0.2BS ćasova.

Otvorene m re/e redova čckanja

Nadalje su opisane otvorcnc rodnc mrcže kojc su generalizovane pod iuienom redovi u scrijama. Kao £to je prika/ano na slici 5,14, pretpottavlja sc da sc stanje j sastoji od S j scrviscra, i da intcn/itci opsluf.ivanja svakog serviscra jc J l j .

Pretpostavlja se da klijenti u razmatnmi red čekanja dolazc od \:jni i da je iiucn/.itet dolazaka r , . Takode sc prctpostavlja da vrcmcna dolazaka su eksponcnciialno

raspoddjcna, Čim sc komplctira servis (usluf>a) u stanju it kJijcnt pristupa redu čckanja za stanje/ sa vcrovatnočom i kompletira seiv is sa verovatnoćom:

227

GP£RA£!QNA ISTRa ZIVANJA

i - i p uj-r

DcfiniSimo A j, intenzitet dolazaka klijenata u stanje j {ovo ukljui’ujc dolaskc u

sistem onih klijsnata kojt su sistema i klijcnata koji sc Eitilaze u si$t$mu u nekom drugom stanju). XL,X?.....Xk mogu da se tiađu rcsiivanjcm slcđećeg sistcmaEmcamih jcdnačina:

^ p r j + ^ P i j h ( j - 1 . 2 .... k )i=1

Ovo slcdi, zato sto deo Pj .; od dolaz|ka U stanjfc f' tc tifidalje da -de u stanje j.

Prctpostavimo da S j -^ ,> X . važi za sva startja. Tada može da se pokažc da

raapodda vcrovatnoćc slucajne vejičine kojom sc opifiujc broj klijenata u stanjii j i očckivani broj klijcnata u jtanju j može da se nade ako trctiramo stanje j kao M / M / S j / G D / “ / m model Čekanja □ kojcm jc intenziteJ dolazaka Aj a

imenzitet servisiranja f l j . Ako je za neko stanjc j, s, ■ jji x < h . , tada siacionarno

stanje utom stanju ne postoji

Sada m ože da $e nađc očekivani broj klijcnata u redu čckituja, kao zbir očekivanih broja klijcnaEa u svakom stanju reda čekanja. Srednje vrcme kojc ktijent provcdc 11 rcdu čckanja, jednostavno ntozc da so i^ ačuna pom oću formule L = X - W , gdc jc: X - r, + t2 + ... + vk zato Sto ovo prcdstavjja srcđnji broj klijcnata po jedinici

vrcmcna dolazaka u sistem .

Primer 5.12

Razmatrajmo dya opslužna mcsta. Na sm ls n o mesto l stiže od vana 8 klijonata u jcdnom satu a na scrvisno tucsto 2, 17 klšjenala po satti. Vremcna doiazaka su eksponencijalr.o raspodcljena. Na prvom scrvisuom mesfu može da .'io kompletira 20 klijcnata po satu, a na scrvisnom mestu .2, 30 kljjenata po satu, PosLe kompletiranja usiuge m servisopm mestu 1, pola k]ijcnaia napušta sistem, a prcostala polovina idc na SCrvisno mesto 2, Poslc kompletivanja servisa na drugom sevvisnom mestu, % klijcnata jc kompictno uslilženo a pveostala V* se vraća na servisno mcsto 1. Potrebnoje octređiti:1) Koji deo vremena je ser\'isno mcsto I nczauzcto?2) Occktvan broj kiijenata na svakom sevvisnom mestu3) Vrcmc kojc klijem provedc u sisteinu čekanja4) Kako mogu rcšenja dobijena od (1) do (3) da Fic promcnc ako na sevvisnom

mesm 2 mcže da sc opsluzi samo 20 klijenata po satu?

R ešen je:

Pvoblem koji jc opisan u Primeru 5.12 je pnmev za otvovenu mrciu reda čckanja sa r — 3 klijcnta-'satu, r2 - 1 7 klijentasatu. Takode, p,2 -0 .5 . p z, = 0 .25 i p M ™ p2: = 0.

223

Ređm j' Lckanja

Može da sc nade \Tednost za X, j X: re£av&jući jednačinc:Xt = 8 + 0.25 X3 i X3 = 17 + 0 5-X,,odakle slcdi da jc X( - 1 4 klijcdta/satu i X, = 2 1 klijentî satu.

1) Servisno mesto 1 možc da se tretira kao M M l GD « » mođef Cckanja sa14

X - 1 4 ktijerta/satu i ^ - 20 klijenta/'satu. Tada je = 1 - p -1 - - - - 0 .3 , sto

^nači da je servisno mcsto I 30% od ukupnog vremena slobodno.

2) Očekivan broj kHjcnata jc:' "! 7 .?4

L (m esio l)^ — — = — : L<roesto2> = — ----- 4 . tako da ukupan oćcktvan2 0 -1 4 3 3 0 “ 24 .

7 19broj klijenata u sistctnu čekanja je — t- 4 -

3 3

3) W = - t , gde je X = 8 + I7 = 25 klijenata. satu. Tada imamo:A

L9

W = — = — sati—15,2 minuta.25 75

4) LF ovom slučaju s 3 ■ = 2 0 < X : , što znači da stacionamo stanjc ne eg/istira.

5,10,7 MODEL M /G /s /G D /s /™

V muogim redovima čekanja, đolazak koji naiizači na svc zauzctc Scrviscre , verovatno napu£ta sistem, Na primcr, kmla osoba po/ovc avio kompaniju za rczervaciju i dobije svc zauzcte linijc* najverovatnije ćc pozvati drugu avio kompaniju, Ili pretp0$tavimo đa aefco pozove vidtrogasmj službu, a da ona nijc dostupna, vatra bi $e otela kontroli. U ovim slučajcvima, ako pretpo$tavimo da su vremena đolj/aka eksponcnejjalno raspodctjena, opisana shuacija sc modelira pomoču sislcma koji će da spreči klijcnte da napusiaju sistem-ĐBC (Blocked Customers Clearcd),

Lr sistemu M /G /s /G D s ™ t veličine: L, W. L q i Wq su ograuičcnog značaja.

Na primcr. ako SC red ntkada ne javi. tada je L -W_. ~0, Ako stavimo da je

matemaličko oćekivanje vremcna serv isiranja 1 [1, a jedmićni intcnzilct dolazaka

(matbmatičko očckivanje vremena dolaaka) jc Xt tada je W - W, = — *

U mnogim BBC sistemima, osnovni intercsjc fokimran nu deo svih dolazaka koji su odbijcni Mada, dolasci su odbijcni samo kada ie .t khjcnta picdstavljcno. a deo 7is , svih dolazaka če biti odbijeni. Otuda, srednji broj dolazaka po jcdinid

229

OPERACIONA fSTRAŽIl i\JA

.vremena kojt čc napustiti sistein |e X ■ Jts . Stcdni broj doto?aka koji uja?i u sistem

u pošmatranora [rcntiiku vrcmcna je X ■(] 7TS) . Na osnovu ovog razinatranjamožc da sc zakLjuči da :

i - 1 - S “ »

Može da sc pokaže da 7IS zavisi samo od vrtdnosti inatematičkog očckivanjaslučajnc vcliCirc kojom je opisanc vremc scrvisiranja a nc od raspodd^ slučajne vclićine. Takođe. Ova činjcnica jc poznata kao l£rlarigo\a ugubljenu fnrmula. Drugim rcčima, neki M G $ /G D ,s . « model sa intcnzitetom dolasLi X i vremenom ser\riiiiranjj l / ( i cc imati ncku vfednost 7ts . Ako dcfiničemo

p — X-/|X * uida za darn vrcdnosi s, vrcdnosi j i s možc da se nađe pomoću siike

5,15. Vrcdnost p sc čita sa .t-osc. Vrcdnost sa r-ast za mesto opsluživanja i

kotcspondira vrcdnosli 7ts

Primer 5J3

Gradska bolmca raspolaže sa 20 kola hhnc pomoći, Da bi sc usfulio jcdan pacijent potrebno je 20 minuta (ovo vrcme jti potrcrbno đa se pacijcnt prihvaii i smesti u boinicu). Tck tada ce kola hitne potnoći da Hntin na raspolaganj|i drugom paci jcntu. Koiiko kola hitnc pomoii trcba da ima ^radshi bolntca da bi Eckari bili sigumi da posioji najviie 1% verovatnoće da kola nisu odmah raspoioživa po pozivu bolesnika1 Pretpostavlja sc da su vremena dolazaka cksponcncijalno raspodcljena,

Rešenje:

Za dato X - 20 poziva satu i i _ 1 sata. može da $e [Tračuna p kao^ 3

20P —— ■ = 6,£i7 . Za ovu vrednost p t treba da se nadc vrednost za s z& koji je

){;<Q.Q1* Prema slici 5.14 jasno sc vidi da je za s = 13, 7^=0.011 i za s = I4p nt = 0,005, što znaii da je gradskoj bolnici potrebno 14 automobila hime pomoći da bi zadovoJjila postavljeni standard

Redovi čekvnja

Siifca 5 J 5 OpadiijuĆL' ve^pvatnače m M . G s GD š ■ ■» mođe! čekanju

23!

OPERA CIONA ISTRA ?JV A X I4

5.10.S AN ALIZA RASPODELF. VREM EK A DO LAZAK A 1 \'R E M E N As h r v i s i r a n j a

U gotovo svjm modeLima ređova cek^njii koji su anaLizaraot u ovom poglavljn, pretposlavlja se da vroincna doiaâka i vtcmcna servisLranja irttaji Puasonovu raspodciu. Postav]ja se pitanje da li mo/.emo da usvojiino ovu prctpostavku kao taCnu kada su posmatrane veličinc opisanc em pirijsiim raspodelam^

Najjednostavniji načui potioću koga utvrđujemo taćnost pretpostavke daposmarrane veličm c tnožcm o opisati sJućajnim p r o m e lj iv ito kojc su

2 2 eksponencijalno rasipodcljene je y icsi. Postupak primcoc y tcsta jc nadaljcizložen.

K orak L Neka jc Fiul(3a hipoteza, I £,, da slnčajitit prom eljiva (vrcme dolaska, vrcme

servisiranja) ima Puasonovu raspodelM.

Korak 2 , Parametar Puasonovc raspodde se oeenjuje usoračkom srcdinom. tj.:■i

n

gde je:Xj vrcdnost posmatranc veličine u i-ioj opservadji

ž'j empirijska frekfencijan

n je ukupan broj opesvacijE^ tako da n - ^ f ,i=i

K orak 3. Teorijske verovatnoće. se računaju prema formuli:

Teorijskc Frckfeneije, sc računaju prenta formuii:

Y

m

K o f o k 5. Iz tfibcic diite u prilcfgu određujciho tcorijsku vrcsžjnost y 2 tCsta za broj

stcpcni slobodc V - r - 2 i nivo znaČ&jnosti ^

2 2K o r a k 6 \ A k o jii v ■ * ¥ ■ o n ^ a p r i h v a t a nulta h ip u t c z a da s l i^ Ž a jn a p r o m e r l j i v a

jfma Puasonu raspoddu, V suprotnnm, nulia hipoteza sc odbacujc. otlnosno tađ a ije sm atra da ra z M tra ita vciićina im a Erliangovti raspodelu

5.10.9 PR IO R ITim V MODELIMA RhDOVA ĆEftANJA

Ranije smt> govortli o disciplini reda ftefcanja kojom sc dcfinišc načtn opluživanja klijcnata. Stavimo da su W k i f o > ^SIR O * ^LIFO slučajnc promenljive kojimase opisuje vreme čekanja klijcnćata u ređu čekanja unutai' discipJinc rcda FIFO, SIRO i LIFO. Možc lako da sc pokaSc da 3U maicinatička očektvanja ovih siučajnih veličina jcdnaka, odnoMno:M(W f|F0 ) - M ( W s|R0) = M (W LIFO)

Srcdnjc vreme (U stacionamom stanju) nc zaviši koji tip diseipline rcda jc zastupljcn. Takotlc se moic pokazati da postojs slcdeća relacija iztncđu varijansi slučajnih promcnljivih W nFr>, WS[B|* i WL]1!0 ;

a f i f o ) <(T ( ^ s i r o ) <ci (^Ltro^

Velika vrcdnost varijanse je obično povczana sa skičajnom velicinom koja opisujc vcliko vreme cekanja u redu gde je zastnpljcna I.IF0 disc-ipJina rcda, n najmanje ima šanse da je zastupJjena FIFO disctpJina. Ovo jc razumljivo* zato što u LIFO disciplini redaf klijent kada dođc možc imati sreču da budc opsluzen odmah kada stignc, ali takođe moj.e da budc jponnteren sa kiaja dugog reda ćekanja, V FIFO sistcmu, klijcnt ne može da bude pomercn sa kraja dugog reda ćckanja, ali dugo čekanje je relativno neverovatno.

LF mnogim organizacijania, red u kojcm kEijunti čekaju da budu opshiieni zavisi od Etpa klijcnata. Na primer, u hitnoj medictnskoj službi, primaju sa na pregled Ugrentri) slučajevi pre ncgo slučajcvi koji nku urgentni. Modcli u kojima tip kJtjcnata odrcdujc rcd u kojem klijenti se podvrgaVaju ophtfivanju su nazvani m oddi prioi itcita fe k a i t j^

Pretpostavimo da u rcdo čekanja se nalazi h tipova klijcnata (oznaCcnih kao tip J, tip 2v,.n tip n). Vreme dolaska /-tog klijenta je eksponencijaEno raspodcljeno sa intenzitetom X\ r Pretpostavlja sc da sn vrcmcna dolaska različtlih tipova klijenata mcđusobno nczavisna. Vremc opslučivanja (servisiranja) i-tog klijenta je opisano slučajnom velićinom koja nema eksponencjjalnM raspodelu, S \ . Pretpostavijamo da tip kJijcnta koji ima najmanji broj oznakc jc najvcčeg prioritcta.

b

_________________________ ______________________ Redpvi čektmja

213

OPERAC/ONA iSTfUŽfVAS'J.-1

MinU-li ntpreventivaofl prioriiet:>

U modclima nepreventivnog prioriteta. opshj&vartjc ktipenta ne niožc da budc jirckitliino. Posle svakog kompletiranja svcrvjsa, slcdcoi klijcnt uJa/i u sistcm Opsluživanja onog tipa koji jc po pnoritetu.

Prcma Kendaiovim o^riakama, modcli nepreventivnog prioritcta imaju čcui kamktenstike u oznaci NPRP, Pr\e dvc karaktcnstike iniaju u indekstma / Uo O/načava tjp klijenta, Tako n,i primer, motterl M moic da rcpnczcntiijcsicuactju u kojoj jc vrcmc dolaska r-tog tipa k lijm u cksponcncijalno raspotlcljcnom a vreme opsfužvanja Mog tipa klijenta možc da ima bi!o koju dmgu raspodeEu. Nadaljc razmatramo sJcdcćc vcličme:W,| k -oćekivano vremc £ekanja na (inLJi klijenta tipa k u staciooamom stanju

Wk -oćckivano vrcnic kojc klijcnt tipa k potroši u rcdu Čekanja u stacionam om

stanjuLMk -očckivani broj klijcnta ;ip;i k koji čckaju na I tniji u siacionamom stanju

L k -očckivani broj klijenaia tipa k u redu čckarja u stat ionamom stanju

M odcl M ./G ./ l /N P R P . « / «

NaS prvi rczulata jc usmcrcn m situaciju kada postoji samo jcdno mcsto opsluživanja u neprcvcntivnom modclu M, G, ■ l - NPRP.'™^®*. Helinifiimo

X v iPi = - ^ , i a* ^ 2 j P t < l , t a d a je :

u 2vv.r 9 i=1_______ _ L . - Jl W

W k = W <,k+ - - ' L n=>-1-W k t5 l '2 )

M cmJcI M i/G j /1 > J P R P /» /» kSijcnt-zavisnim troSkovim a čekanja

Razmairajmo neprevenusni modcl čckanja u korne postoji samo jcdno m estoopsluživanja u kojcm (rošak je jcdinični troâk potro£nje vremcna u sistemu

klijenta tipa L Ako žclim o da rninimiziramo očekivanc troškovc po jcdtnici vrcmena, po^tavlja se pitanjc kakav prioritct u rctlu čekanja treba da budc, Pretpostavimo da postojc n razlifiitih tipova klijenata koji su nutncrisani tako da:

C] ■ Mi '^Ln (5,113)

lz uslova mimmalnih oćekiv;inih jcdiničnih troskova iledi da najvcči prioritcl itna klijcr.t t:pa 1 a najniži priontcl kJijcnti tipa n.

234

Rt itovi iekania

L' specijalnOTn sluiajuf pretposfa\ imo da mmimiziramo ukupan broj klijcnaia u sisicmu čekanja. Stavimo da jc c =c2 = „ . ^ c r - \ r tada u nekom vremenu,jcdiciičnt broikovi tn\ jtulnaki brnju kHjcnata u sisicmu ćckanjan Drugirn reiima; oCckiVani jedinitni Iroškovi sujednaki L. Tada j«rinaćina (5 ,113 \ postajc:

iliV-2 **n

Nri osnovu ovog.i možc da sc zafcljuči da oCckivani broj posiova u sistcmi] čckanja ćc hiti minimiziran ako je najvisi prioritct đat tipcvima khjcnata sa najmanjitii srednjim vremenom opsluživanja- Ova disciplina prioritcta js poznata kaodisciplina najkraćcii vrcmcna proccsiranja fSPT).

Primer 5.14

U jcdnoj fotokopinuci se obavljaju dvc vrsic posla: posao I i posao 2. Posao 2 dužc Iraje nego posao 1 i on ima prioriTCt. Vrcmena dolazaka nbe vrstc posla su cksponencijalno rafipodcljcna i \i tmsc \2 dola/aka. čnau za posao ! i 6dolazaka, času za posao 2. Tada imamo:

M(S,) = 2m in+ cr: fs ) = 6m in1 ^ ——-sati:600

M(Sn) = 4m in < r (S? )= ISm in? = — s mr

Odrcdimo srcdnju <lnJinu vrcmonu trajanja svakog tipa posla u fotokopirtlici

Rešenje;

Imamo X: =]2 poslovacasu i poslova časi;, = 30 poslova času i| l j »15 poslovaâsu, Možemo da izrafunamo p, i p2, tako da jc

12 6p, - - ■ = 0 .4 ip , s= - = 0 .4 + otuda siledi da jc p = p 3+ p ^ - 0 . S < 1 . f)vim smo

utvrdili da postoj: stacionamo starjt:.

Sada a0 = 0, a , = 0,4 i a 2 - 0,4 + 0.4 = 0*£

Ponioću izraza (5.1 ] 2) iziaiunavamo:

12.— ft— L_

OPEBAClONA l$TRAtWANJA

Takodc,

W| « W flt + — - 0 042 + 0.033 - 0.075 sau

W2 ■ Wa2 + — - 0 20S + 0,;)J67 - 0.275 saii,

Dnbijcni rc/ullat pnka/i:jc da je 7i\ du/i posao pdrvbno potroSiti mnogo viSc vrcmena necô za kraći posao.

Model M, M 'S. NPRP w «

D;i bi dobili pnlagodljive analitičkc rczulatc sisicrvi fckanja u kojctn se nahi/i više mesta opsluživanja, montma da pretpostavirao da svaki tip klijoma ima cksponcncijalno raspodcljctio vremc opsJuživanjii čijc jc myi:cmatičko ofckivanje

— i da klijent tipa t ima vrcrm; dolaska koje je ukocle eksponencijalno

raspodeljeno sa parameirotn X j . Svaki sistcm sa v scrvisnih mesta je o/načcn prcma prihvačenom sistcmu o/načavanja, kao M M s NPRP » ■«. Za ovaj modcl važi:

% — r - f l P (J " w , 9 v (5 11+)H s (1 - a v )

Ako zamcnimo u (5J 14) i/.ra/ a k - V (k £ l)* a,, **0 t P ( j > s) jc dobijeno

iz lab-ele... za s-sistem opluživanj« imamo:

X |+

s-H

PHmcr 5.15

Jedna policijska stanica u gradu Krušcvcu mia 5 policijskih automobila. Ova stanica prima dve vrsic poziva: poziv za vantcdnu opasnost (tip 1) i poziv koji sc nc odnosi na vanrcdnu opasnost ftip 2). Vremcna dolazaka svakog poziva su cksponcncijalno raspodeljcna Srcdni broj poziva po iasu iznosi: za tip 1, » 10poziva/času \ za lip 2N X, - ZOpoziva časn. Oba tipa pozi\ a ima eksponencijalnoraspodeljeno vrcme scr\ is:r;tnja koje iznosi S minuta (smatra sc da jc pottcbno od 6 do 8 minuta od trenutka kada |e poziv primljcn do trcnutka kada s t povratra informacija pristignc u stantCU policijc. Po/i\ za vanredne okolnosti ima priorilct u odnosu na drugi tip poziva, Koliko puno vremena ćc proći otl pnjcva poziva tipa 2 do trcnutka kada poltcijskii koia stignu na hicslU po/ivs J

236

Retiovi čvkanjti

Rešeuje:

Jmamo daje s = 5* = Ift po/iva/času. \ 2 = 2 0 poziva/času, \x - 7 ,5 poziva čaš«h

p - i ? = 0.S , a 0 = 0, a = — 0.267 i a> ■■ — 1 — — 0,8. Proma labcii 5,3 5 “ 7,5 37.5 37.5

za s“ 5 i p = O.S čpeđi cta je P( j S 5) = 0.55

SaHa iz raz(5J i4) dovodi do:. - f 0,55W-, = ---------y~ ---------r— — = (i. I sai=o rtuiiuta

1,2 5 7 5 (1-0.267) (J-0 ,8 )

Vrcmc iziiieđu paziva tipa 2 t doiaska pohcijskih lcolaje Wfll + y (\T em e putovanja

po po£ivu)=6+3=9 minuta.

Preventivml prioritttj

U o\oj sekeiji nadaljc ukraikoje ii!ložena osnovna idc;a /.a riizvoj m ocda čekanja *a prcveniivnim prioritctima. I prevcnlivntm sistcmima čekarja, klijeni sa najmžim prioritCLom (da ga o/načimo kao klj;cnta lipa f l može da bude skirmi sa s m is a kada dođe kiljcni sa njavišim pnoritetom. Cim sc âvrši opslnživanjc klijenta sa nfljviSim prioritctom, klijcnt tipa i sc ponovo vrača na mcsto scrvisiranja U preventinim kontinualitim tnodelnna opluživanje kfijcnta sc nastavlja ti onoj tački iide jc ranijc bilo prekinuto. IJ preventivrtim modctinoa ponavljanja, opshiživanje khjenra počinje u svakom trcnutku vremcna od samog počctka. Naravno, ako vrcmena opsluživanja su cksponcncijalno raspodeljena, diseiplinc nastavJjanja i ponavljarja su idcntične. Mo/e ch sc postavi piianje 7jiS10h U Kenđalovom sistemu o/tuOavanja. prcveniivnc redoê čekanja oznaćavarnO pomodu iri karakteristile PRP. Sada mo>emo da razmattamo sisiem u kojem postoji samo jcdno meito sCrvisiianja i u kojem jc vrcmc ops!u/ivanjc svakog ktijcnta

eksponcncijalno raspodcljetio sa pai ametrom - t vretncna dolazaka klijenta (ipa i

su eksponencijalno raspodeljcna sa parametrom X , . Ovaj modc] je označcn. picma

KendaJovoj notactjt kao M, M s. NPRP Tada:

. w .------\ (5.115)U - a t _, J ^ ( 1 - a J

gdcjc afl = 0 i a k = V —1“I ^

Ako koristimo ovakav nafiin rc/onovanja, preventivne diacipline se retko koriste ako kii klijcnti Jjuđi, Prcvcntivne discipltnc sc ponekad koristc, ipak zn klijcntt koji ličc na kompijutcrskc postovc.

Prtmer 5. i ?

t! Univcrzitetskotn centru radc /ajcdno pmfeson i siudcrti, Poslovi pnjfesora (tip l> inttLju prednosi u odnoSLj na poslove studcnata (tip 2). Duzina \rcmena svakog tipa po&la je opisana slučajnom vcličmom koja irnii cksponcncljatlnu raspw!elu, Matcmatičkc očckivanjc jc 30 sckunđi, U svakom nam, 10 zahicva za poslove profesora i 50 zahtcva zn poslove studenatft sc podnosc. Koja jc dužina vrcmcna i^mcđu podnctog zahteva za posao i završctiog posla? Pretpostavimo da su vrcmena doJazaka eksponcncijalno raspodcljcna.

Rešmjt:

[mamo da je \i = 2 poslovaiminutL = — posla.minuiL, i X-, = — tsosla. minuti.6 ' 6

Tada:1 56 I J 6 1a 0 - a- - — - -t&2= — + ” = -

u ' 2 12 12 2 2

Prcma izrazu (5.115) sledi:I

W2 = 7--------— , = l2- = 1,09 miraiia-2 L n y >'

l n ) {. 2 )

Na osnovu dobijenog rezultata možc da se znkljuLii da vrcme od trenutka kada stiidenti pođnose zahtev /a posao do trerutâ kadajc posao /nvsšcn jc ■ .09 mimita.

OPERAgoSA ISTRAliVANJA ___________________ __________________

LITERATURA

[1] Znuć+ Đ,h Savić, D. ( 1997 L Simuiocija procesa unutrasnjeg transporta, Mašinski fakultct Univerzitera u Bcogradu.

[2| Simonović, V. (1995), Uvod u teoriju verovatnoće l ftifitematičku statistikitt tckon, Reograd.

13] Vujoêvić, M. OperacUma isfraživanja - tžttbrana pogbvija, Pakulictorganizacionih nauka, Bcograd.

[4j WinslonnW+ <1991), Operaliotit Research. Applications anđ Algorilhmst PWS-KENT PUBLJSHING COMPANYt Bosion

[5] Gubersnić, S ., i dr, (1070)* SistemL upravljotije sistemima, sistcntske đisciphrte^ tehnike i ntaode, I.cksi!<or pojmova i Unnaćcivia. Tnstitut Mihajlo Pupin, Beograd.

238

Đrva odlućivOttja

6. DRVO O D L U Č 1VAMJ A

Đrvo odkičivanja je grafička interpretacija metođe analize odlučivajija koja mo£t da se koristi za vtliku klasu zadaiaka od'učivanja, fcao na primer: planirar.je proizvodnje, odredivanjc kapaciteta^ lokacija i dr.

Drvo odlutivanja je grafićki prikaz skupa dapuslivih dltemativa za donosiocn odluka i. skupa mogučih konsenkveci kojc ie aJtemaiive mogu da tmajy. Šemaiski prikaz podseea tia drvo, lako da je ova metoda po tome dobila ime, Drvo odhičivatija nalszi svofu punu primenu u strukmriranju procesa odlučivatija u uslovima neiz\'esnosti i uslovima n/ika,

Osnovni elementi drvreta odlućivanja su čvorovi i grane. Cvorovi oblika kvađrata predstavljaju odiuke, a Cvorovi obl:ka louga predfitavljaj j gržHCiki prikaz sanst ili događaja. Po pravili, Cvor odhike slcći čvonjvi šanse i obmuton čvor šansc slede čvorovi odluke, Čvorovi su ptrvezani granama (koje se predstavijaju linijama) kojima su označene altemalivc. Grane koje tdazc iz Čvora odluke odgovaraju konkreinim odlukam&, Grane koje izlazc iz ćvora šanse odgovaraju stanjima okiuienja. Vcrovatnoča svakog dogadaja piše se iztiad lintje koja označava altemativu i koja izlazi iz pnsmatianog dogadaja, Zbir svih verovatnoća altcnutttva koje izlaze iz događaja mora da bude jednaka jedinici. UsJovna isplativost kombinacije aiterriativa-dagađuj jc data samo u krajnjim taekama razmatranc kt>mbinacije.

Analiziranje problema ođtučivanja pomoču ove metode od\ija se u pet koraka [2]:1. Definisanje problema2. Grafičko predstavljanji? problema3. [zračunavanje verovatnoča4. Procena i sp I at.i vti sti s va kc moguć e ko irtb i nac ij c a I le i n at iva-dogadaj5. Rešavanje problema pomoću računanja oček;vanih novčanih dobiti za

svaki čvor

Ova meioda nadaije je iluEtovana jedr.im korkretniin pnmerom.

Primer 6. L

Vlasnici jedne multmacionalne kompanije že]e da invesliraju u lzgrftdnju novili fabrika, Razmisljaju da li da građc veliku ili maJu fabriku, PoLražiii su pLtmoe od specijalista za istraživanje tržiSta, Procene eksperata su paikazajic u Tabcli 6.].

?39

O P E M a O m ISTRAŽIVANJA

Tabela 6.} Procern? eksperata iRirctllvanjc frzšštu

$ada&y| staiije ianv

Rezultfiti procenc c& ^rata 3Jovoljno tržigte ( PT) Nepovo]jno tržistc fNT)Pozitivni odgovori (prcd ddfcaju povolino tržište za ptoizvotfe} 0.7 ' 0.2

Negsitivni odgovori (prčdviđaju nspovoijno trfjšte za proiivodej 0.3

-1-s-----—--- ■ ■— ■m -

FinanKEjksi meoadžeri su na osnovu pottcuaka \z evidcncije i 11a osmmi sadasnjih infomiacija o stanju m tržištu izračima]i vrednost dobtlt koja Fie ostvaryjc v velikoj i maloj fabrici, lako da dobit iznosi 200S i ] GOS. respekri.vno. Gubici koji se ostvare ako triiSte nije povoljno u vetikoj fabrici i3:nose I S0£ a u maloj 20S. Vrednosi troškova istraživflnja je ] 0S,

Sta treba uraditi da bi se mak.simbjra]a očekivana dobit.

Rešenje:

K.ao Sto je prikazano u detu teorijskoa razmatfanj.a primcnc o v e m etoder analiza se realizuje kroz pci koraka,

Kot ak I. Problem jc odrediLi najbolju ailemativu (ejđjuku) tako da se očekivana dobitmaksimizira,

K orakl. Struktura problema izbora najboLjc odluke (drvo odluke) prikazanaje na $L 6.2M : K \ I V |: 11 kA 1K t V tffrĆ l KA VF A MA1 A SA MI ■

240

Drto odltiL ivvnjti

A'arak 3- Ođređiiuo dh o verovalnoću da tržiSte bude povul>no \\\ nepovoljno: p(PT) ™p(NT)=l/2=0,5

Zfllim odrcdimo verovatnuće sivaki Cvor sanse. Ove verovatnoće sc izračunavaju prema ftajasuvoj teoremi-

pfpT poz rez.V=_____ - oz- Kz- L ........... _1 r '■ J pfooz ,« z ./P T )• p(PT) + p(poz.rcz. / N T )p(K T )

0 .7 0 .50.7 0.5 +0.2-0.5

= 0.78

d(N T ''doz rez ) - __________ p(poz. rez./N T) p(NT)__________' p(poz. rcz ./N T )-p(NT)+ p(poz rez. / PT)-p(PT)

°-2 0 5 =0.220 .2 '0 .5 + 0 :7 -0 5

p(PT /neg.rez.) = ----------- p(ncg r ^ ,P T )-p (PT).p{negrrcz, PT) p(PT) + p(ncg.rez. NT) p(NT)

0,3 0.50.3>0.5 + (XS-(X5

- 0,27

/Kt_ . \ p(neg, rez ,/N T)j p(NT)p(NT / nCg-T’e2Lj = —,-------- 1 ■ ; i----- r— j----r

p(neg,rez,. NT J-p(NT) + p(ncg.re^. PT)-p(PT)

-0.730 * 0 5 + 0.3 0.5

Verovatnoća da će reûlinti LStraživanja &a budu pozitivm, odnosno ncgaiivni raĆutvaju se prema izrazu za totalftu vcrovatnoću.

p(po7.rez.)= p(PT)-p(po^rci! ., PT) + p(MT)' p(po?,.rez. rfl)= 0.5 '0.7 + 0.5 '0.2 - 0.45

p(neg, rez,}:: p(PT)‘ pfncg.rw, PT}+ p(NT)-p(neg.rez. ■ NT) = 0.5-0,3 + 0.5 0.8 = 0,55

/ b i r verovatnoća mora da bude I, ij. Aksioma 1 mora da bude zadovoljcna.. provenmo,

p(poz,rez.)+p(ncg, rez.) +0.45-M).55

Koruk 4. U ovom koraku i/ra£miavamo očekivantj vrednost svald Čvor u drvetn odlufiivanja,

Kflko su troSkovi jstrazivanjsi tržiSta I0S slcdi da tlkiipna dobit koja se ostvaruje u velikoj fabrci iznosi 200S-3 0SÎ90S a u maloj fabrici I005-10S=90S. Ukupni

241

OPBRACiONA iSTRAŽfVANJA

gubici u velikoj fabnei sc izračunavaju kao -1S0S-H)S--I90S. U malnj fabnci ukupni gubici su -205-10S— 30S,

Prvo računamo očekivar.u monctartm vrcdnost, OMV, za poziitvnc rezullalc istraživtnja

OM V fčvor 2 )-O M V (velika fabrika p o /ilivn i ro/ultEiti)OMV-0.78*3 90+0.22*M 90H 06.4S

OMV (čvor 3}-= OMV (mala fabnka. po/iltvin rezultati)OMV -0.78*90+0,22*(00)-63.6S

Ako jc odlukfl tla sc nc graoi tabrika tada jc OMV* I0S, ij. jednaka je troSkovima iAtraživanja trzištcL

Na psnovu izračuna.tih OM V siedi da ako su rezullati poziiivni tada treba graditi vdiku f;3briku. AJlernativc Ća se gradi mala fabnka i altemativa da se ne £radi fabnka u daljem procesu odlučivanja se nc ra/mairaju Na drvefti odlnčivanja ovo je označcno precrtanim iinijama. O M \’ u čvoru odiukc kada su rezuliati istraiivanja pozilivni iznosi 106.4S.

Izraćunajmo sada OMV za svaki ćvor sansi kada su re/uitati i.sirazivanja negativm,

OMV (čvor4)-O M V (velika fabHka/negativni rezultatij OMV=0.27* 190-0 7 3 > I y0)=*87.4S

OMV (£vor 5)= OMV (mala fabrika negativni rc/ultati)O M V -0.27 *90-i-0.73*f-30> 2.48

Ako jc odlnka da se ne gradi fabrika tada je OMV- -l()Sn tj. jednafca je troskovima isti'aijvanja triižta,

Na osnovu izraćunatih OMV sledi da ako su rezukali pozitivni tada treba gradiU malu fabnku. Ahernative da se gradi velika farika i da sc ne gradi fabrika se nadaljc nc razmatraju. Takođe i ovc altemativc su na sbci 2 oznaćene precrtanim linijama OMV za čvorodlukc kada su rezuhati isiraživanja negatiiiii iznosi 2.4S.

[zrafunajmo sada O M \‘ za čvor sanse 02načen sa I. Ova vrednost prcdstavlja O M \ za slučaj kada sc vr5t istraživanje (rziita.

OMV (ćvor l)=OMV{kada se vrSi i^trj/ivanjc tržista)OM V-0.45* 106,4+0.55+2,4-49,2£

Ako sc nc sprovodi istraživđtije tržiSla tada sc OMV za čvorove šansi računaju;

OMV(čvor 6)=OMV(velika fabrika)OMV-0.5*200h0.5*(- I S0)~ 10S OMV(čvor 7)-0M V(m ala fabrika)OM V-0.5* 100+0.5*(-20)=40S OMV kada se ne gradt fabrika je nS

Na osno\u ovih rezuhata sledi da odiuka ireba da bude da se gradi mala fabrika.

OMV za ivor odluke kada se ne vrSi istrazivanje iržista je 40S.

242

Đrva ndfućivtjnja

Ako uporedtmo 0 \ f \ : kfida se vrši istraživanje trziSia i O M \L Ecada se istra/ivatijc iii? vrši sledi da je OMV u prvom slućaju veča. Ova vrcdnost predstavija i vrednost / a £vor odiuke, tj, to je maksiinalna vreduost proflia. Treba napomenuti da ako su rezulUti islra/ivnnja tržiita po/itivni tada treha gradiii veliku fabriku a ako su negativi tada Lreba graditi malu Tabriku.

Na slici 6 3 prikaznne su oiekivane vređnosti u drvciu odlučivanja Prccrtane lintje u drvetu odlučivanja o^naČavaju da se te alterratjvc ne uzimaju u o tîr pn da]jcm razmatranju, Ovo je zato šio je njibova očekivana vrcdnoat mža od najbolje alttmative.

PRVA tAĆKA rmi OA tM kaODLLKE nmV-KF

SHka 6.2 Ont) odluCivanja sa phkainnim G\f lT

LJTERA TLRA

[lj K.rajevvski, LJ,L., RBt/man, P.L.n Operations Mamgernent- strategyandanafym , ADDlSON-WESLKY Pubiising Company, Jnc., USA+

[2] Render, B.T Stair, M.R., (1997): QuaniaUve Analvsts For Managem&nU Premice Hall, N J., USA.

243

Tefrnja igara

7. TEORIJAIGARA

7XUVOD

U savremenom svetu javljaju sc brojni problcmi koji u sebi sadržc sukobe rLizIiČitih inieresa Postoji veliki broj oblasii Ijudskog delovanja u kojima se javljaju konflikine siluacije 1j. borbc intaresa. To su na primer, m/ne vrste ekonomskih problema kao što su određivaitjc proizvodnih stratcgiju, trZišna konkurencija, inarkednSki nustup, konkurentski odnosi izmcdu kupaca i prodavaca. Konfliktnc situacije sejavljaju i uodredivanju poliltčkih, vojttih straicgiia i slično.

Znaćaj i uOt:sia]ost ovih problema uôvili su pottebu razvoja tehnika nazvanib upravljtmje konfliktttim situacijamti, Jzučjpvanjem situatija kcijc karaktcnic sukob ućesnika došlose do potrcbe formiranja matematičkog modcb donoscnja odluka u konftiktnim situacijama. Obiast pnmcnjenc matcmatikc koja sc bavi ovim prcblemim;i iove se Teorija igura

Osnove tcarije igara dali su John von Neumann i Oskar Moreenstem u knjizi 'Theotj o f Games and Ečonomic Bcktivior’, Od domaćih autora radove na ovu temu objavt]i su J. Petrić, M.Tourki* M. Backović, M Leković 1 drjgi

Osnovni pojmovi u tcoriji igara su igra. igrać^ sfrafegije i ishađ ig c . Pojant igra 07j:ačava konfliktru situaciju a pojam igrač Označava učesnika u konfliktnoj situaciji. Pod pojmom iyirHć podra/umeva se bilo jedan učesnik ili gm pa učcsnika koji zatmmajiJ istu stranu u korfliktu. Strategtja se definiSe kao skup mogućih reSenja koja stoje na ra.spolaganju jcdnom igraču. hhođ igre ili cena igrc kako se još naziva, pnedstavlja rezultat kojim se završava igra, NajCeSče je to dobil koji igrom ostvaruje jedatt igrač, fj. gubitak koji trpi drugi igrać, mada može predstavljati i neku đrugu veličinu kao na primcr nagradu odnosno ka^nu i sjično. Teorija igaraT dakle, predstavjja rnatematičku teoriju koja izućava konfliktmi situaciju karakterisami sukobom rii/lićitih interesit (igra) u kojoj uCestvvje nekoliko suprostavljcnih strana (igrača), a svakoj od tih sttana stojt na raspolaganju nekohko altemalivmh rešenja (j. mogueih pote/a (strategija). tgra£ se opredeljuje ra najbo]ju strategiju tj, onu strategiju koja dovodi do što povoJjnijeg ishoda igre.

Pormiranje matematičkog m odda igre moû predstavljati vrlo komplikovan zadatakN budući da su konilikme situacije veoma ra/novisne i kompleksne, l’rilikom formiranja modela vooma je važno kakvim informacijama igrafii raspolažu. Kako je cilj igrača izbor optimalne slrEitegije. to /naći da na donosenje takve odJnke mogu da utiču i ciljevi suparnika pa prema tome infonnacije o p fo t iv n ik li i okruženju mogu bitno uticati na formiranje matematiOkog modela igre. Ctlj koji svaki igrać želi da postigne muže seH dakle, definisati kao 'izbor

245

1OPERA CIONA ISTRAllVANJA __________ ________ _________________________

racionalnog kriturijtima radi biranja strntegija u svetlu ;:ktivno identifiko\ jn]h, mogućih i vemvatnih iikcija guparnika',1

U narcdnom poglgvlju biće prikazAna matcmat&ka focmulacija konfliklre situacije, k;io i klasifikacijn igara,

7.2. FORM l LACIJA I K L A S lH K A tlJA IGARA

Posmatrajmo prvo i^ru u kojoj učestvuje jedan igrnC odnosnojedan igraČ moie da utiče na tshod iyrc. Igraca ćemo o/načiti fia I } . N iz allcmaLiva koje igrač / , tma na raspolaganju o^načićemo sai

[shod igre prcdstavljii dobit igrača /, ako 011 izabere određenu aUemativu

at t i — i ozna£a£ava se sa:

C{at) i - IFunkcija C se naziva funkcija cene, a naziva sc jo5 i funkcija eflkasnosii ili funkcija profitabilito^ti. Vrednost funkcije C zavisi od izbora igrača,

Napomena: Iahođ igrc često zavisi [ od slućajrosti nczavistiih od igraia pa sc i’unkcija cene mužc /apisali u obliku:

C(a, ,0) i = 1,2,... I

gde je 8 siucajna promenljiva,

Optimalna sirategija a je ona ^traltrfiija koja maksitmzira dobit igrača /. tj /a koju važi:

C ( 0 > C ( a , ) i I

Posmatrajmo sada igru u kojoj učestvuju dva jgraća / i . Skupove ahermuiva koje stoje igračima na raspokganju tj4 njihove straiegije, označavamo sa:

A —

a funkcijucene koja defmiSe ishod igrc sa:

C{a^hf ) i = 1,2 , .. .J = 1,2,--

1 M. Ćupićt V. TutnmEla, 'Savremcno ođluCivanje'. 19S>4

246

m

Tegrija igarg

Usvajđju sc pretpostavkL1 da sli oha i^rača aktivna i r.icionalua i da s \a k i uccsnik nna bnf dve altemative ne raspolag&nju. Prciposta\ lju sc i.tkode da jodan od tiiroča.. neka jt" 10 igrati / , . fjc\\ da maksitnizira svtij dobiuik. dok dmgi iarač / nasto|i da

minimizira svoj gubitakn Optimalna strategija igraOn / je o=ia strategija koja lom

isjraću flotiosi maksimalan dobitak, dak je optmKilna strategija ieraća / 2 ona koja tom igraču dortosi mirtimaUn gnhitak.

Daklc, elemcnti modej.i su ijjračt ij. donosioci odlttke, ra?ti£Eie altemativc koje stoje i^račima tia raspolagattju i rc/ultat ij ishod igre. k:to Tunkcija kombinacije izbora opiimalnih stratcîja «d strana donosiiaca odlukc.

l|Jtrc se mogu klasifikovati u odnosu na razliutt- katerijutn# L1 sledećoj tabeli je data kkisifikacija igara u odnosu na neke najccsto korišćcne krilerijume.

Igrc takođe imogii podeliti t na matrićne igre, diferencijalnc igrc, neprckidne igre, igre u uslovima neizvcsnflsri itd. U narcdmm pogiavljjma biće reći o matrićrum igraina,

Kritrnjumkluinkftcije Vrcdnust krHerijuma Vrst* i^re

iiroj igmtaJtdiiii igrač Igrt jednim tgračem

Viic igtagu Igre sa \ IWT igraca

Uticaj igrača na ishod iyrc

Igrači imaju uiicaja tia isbud

igreSirttTcSke igre

Igrači nemfrju uticaja nj ishod igrc

Igre i:a sreću

Hroj altemtnvaKonaCan bro; ahemauva Konaćnc fbrojačke) igre

BeskoitaCan brt>j diemattva Bcskona^ne (lferativne) tgre

Kiirakteriitike jshoda igre

Dohttak jcdnog tgrača jednak jjubitkli dntgOg i^rača

[grc sa ntiltLm zbirom

OohitLtk jcdnog igrača rezlićit od giibiika drugog tgrLićd

Igrc sn nemiitim zbirom

7,3* PROSTE MATRiČM*: KiRL

Pusmatrajmo stratesk^ igru u kojuj učestvuju dva i^račia 1 i !\ . Igračima stojs na raspolagar:ju konačan broj altemativa i to respektivno:

S =(b,, b,,

Data jc funkcija cenc igrc, koju oznaćavatno sa:C{at7bj) i*iH2.mfj —1,2.n

247

Usvajamo prctpoštavku da s$ radi o igri &a m him zbirom. Dak]e ako igfač I v izabcrc alvemaTivu d a igrat; I-, altemativii b { tatk }sftod i<jrc C ( ^ j i? )

prcdstavlja dobitak igmča I}, a ujedno i gubitak ipaSs 12

^Tapomena; Gubitak jednog igraćn so može shvatiri kao :ycgov negativri dobitak. Dakfe, gubitak koji iznosi Cia^b^) jc isto sto i dobittik od — Ć(aitbj)> VaŽi i

obmutotj. dobit&k koji iznod C(ci^b.) jtf istpsto i gubstakotl — C ( a , , f t,) .

Funkcija ccnc sc obično za&tje u obliku matric# cena:

OPERACIONA ISTRAŽIV'ANJA _ ___________ _____________________________

A b. ... bn ^

£ ( f l , , i 2) - € ( « , , £ , )

C fflj ,/) ,) C(a,,b,) - C(a,,(?„)

C (a „ ,m ■ C & te b ')

Malrica cena se skraćcno može zapisati u obiiku:

c11 -

Zl % ■" C%n

e*l C\\2

Velićinc cijti = - L..r,n su vrednosti lunkcije cenc tj. mogućt ishodi

igre, Nazivaju se još i efekti. lgra definisana na ovaj nat;in naziva sc fMttriČna igra,

Moguće aitemative igrača /, date su nedovima matricc a igraia I, kolonaiua matrice ccna.

Igrač Z, lezi da maksimtzira dobitak tj. da ishod igre bude što vcći dok igjrać / 2 te£i da

minimizira gubitak tj. da ishod itire buđe Slo manji. Uzimajući te ćinjenice u obzir, igrači biraju optnnainc stratcgije na sledeći tiačin:

Ako i^rač / , izabcrc bilo koji reć za svoju hiUiLtegiju. tada će igrac / : , budući dažeH da minimizira gubiiak, izabtati onu kolonu fcoja iadrzi minimalni element u izabranom redu. Zato je potrcbno najprc odrediti minimalnc clemente u svakom rcclii koji će prcdstavljati potencija]ne ishode i^re. Kako igrač / t želi da

mak&nnizira svoj dobitak, tj, želt da ishod igre budc što većit on če za optimalnu strategiju izabrati onaj rsd koji sadrži maksnnalni elenient od svih već odredenih minimuma. Opisani postupak koji igrač f.t primenjuje da bi odredio svoju

248

7v»nju igara

optimalnu iirategiju naziva $c m axm in metođu a pronadeni etement sc nasiva doiija vrcdttost matrične igre

m ax m i n r - c fi - donj;i vrednost matriL-dL: iijre* t

Ifirač / , posrupa na sledeći naCin. Ako i^raf I , izaberc bilo teoju kolomi za ivojij

sirategijii. tada te igrač / N budući đa ?elul:i maksimTzira dcbitak, izabrati onaj rcdkoji iadrži maksimalrt elcmciu u izabranoj koloni. /.ato so najpre odreduju maksimaini elcmenti u svakoj kolont koji ,ll: piedstavljal] potertcijalne iMhodc igrc,Kaio ^raC’ / ; zcli da mm iun/ira svoj gubilak, ij. zcii da ishod igrc bude sto manji,on će za optiinalnu strategiju i/.abrati onu koionu koja sndivi tnmimalm elcment odsvih već odrcdenih maksimitma. Ovaj postupak koji i^rnč I 2 primenjuj t? da biodredio svojn optimahm Strategiju naziva se m inm ax metoda^ a pronađeni elemeni se naziva gomja itrtdnost matriine i^re:

min ma* c = c G - gomja vrednost matrtcnc igre/ i

Donja i gornja vredriost maliične igre zadovoljavaju slcdcću nejednakost:

m a . \m in c < m in m a x tv* f j iMatrična igra kojoj su đonja i gomja vrednost jednake naziva sc prosta matriĆna igra Oonja tjK gonvja vrednošt proste matričnc igi e sc naziva sedlustn tučka i prcdstavljatsliod igre. Sedlasta tačka se nalazi u prcseku reda, oznaCfmo ga sa a i kolone,

označimojesa b .Taća a pfedstavljaoptimalmi stratcgiju igrača / a h predstavlja

optimalnu strattgiju igraCa 12 . Sirategije a' \ h' se nazivaju čisle strategije.

Opisane poatupkc / z odtedivanje optimalnih strategija 1 sedlaste tačkc ilustruje sledeča tabela:

v« ■ b .L

.m m c «

i *

■

m ax m in ci / 7

c ti ‘*1 m in t',/

i

“ ■ +

Qm>

ii i ■r ■ ■

h*"- ■! ■ + C ■"m;n: m in c

j m>*■ ■■>

^ m\

■ ■ -iH

r p ■ ■ ■ K

CJH f l : m in c ^

m ax c rf m 3 x t ,,t

■ 4 ■ ttiax c. - m axt

m in m ax Cg

1 ■

&G

_ -

249

OPERAOOm fS T R A Ž fV A H JA ______________ ______________________

gdc važi:

am - a T - opfivnalna stratcgija jz igi nča /

bti - b - optiinaLna strateîja za i^raca l 2*

Cpf|fl| —c t> ~ Cc " sccliast[) ta£ka ljf isbod igre

1 < jvr < m\ š n : <n

Prlmer 7.1.Na osnovu date matricu «jen;i odrcditi optimalne straiegijc igraća ] seđlastu taOku.

5 -] 4 !2 -2& 6 5 87 7 3 >9 10

Sprovodeći opisarî postupak dobijnmo:

*2 *3 m:n masmin

", 5 -] 4 12 -2 -2

*ž 8 6 5 <5 S 5 5

7 3 10 “ij ___

m a\ 8 7 5 12 10minmax 5

- ppnmalna sirategija £a /, jo a z- opiimalna sirategija / a ijjraća / , je b5

- $ed]ftStatačkaje “ 5

PtiUlojc matrične igrc koje imaju viSe od jedne sedla&tc tafikc. U tom stufiflju scdlastf (aćakc sc javijaju kat> siiuctriim parovi. To ?iia£i da ako su cWill i

sedlastc tacke tada su scdtastc taćkc takotlc i ćmn \ cmmtt , Opiimalna straicgija za

lunica / , može biii priii/voljno bilo aliemativa a m ili a n, a za Egrača / ,

allcmadva b ili br .

IM m cr 7.2*Na osnovu date matrice cena odrediti optlmalnc stratcgi je jgrača i sedlastu tafku.

_T 3 9 12 -1s 7 0 10 76 6 8 N 59 7 10 3 7

230

Tcorija iâra

Dobija se s]cdtfČL reraltal:

h\ b2 b% h h, min maxmm

~ -2 3 12 -1

a l S 7 10 7 7 7

<h 6 6 R 1! 5 5

{) 7 ! 0 g 7 J*7! 7

max ~ 9 7 E0 (2 7minma* 7 ■jf

optimalna strategija za igrača / { jc a 2 ili aAoptimaltia strategija za igrača /-, je !k ili

sedlaslc (ačke su c ^ = C,* = C A* * 1

7.4. MEŠOVITE MATRJČNK IGRE

Ako važi striklna nejediukost:m a x m in c < m i n i t u x c

t J ; t * fodnosno ako inatriCna lgra neina sedUstu laćku iac3a sc radi o mešovimj matričnoj igrL U tom slućajLj se iivodi element slučajnosij u igm. li>rač / , ć t odabratj

aliemativu a t sa verovatnoćom p a igrač l , će izabrati alleniAtivu

h sa verovatnoćom = Ovakve stralegijc nazivaju SC rnefovire

Strategije i o/načavaju se sa:

p = i p \ , p 2......p j

Q = { q ^ q ,,..~ ,q m)

gde važi:

p f > 0J - 1,2

q} >0 j -m

/-i

Napomenii: U slučaju ćisic siratcgije odrcđcna altcmativa ili jcstc ili nije izabrana kao optimalana, U slučajti mcšovire strategije svaka altcmativa je odabiana sa

251

OPERACfONA ISTRAŽfVAXJ.'1

odrcđenom veroYa'not:om. Dafcle, tista strateîja a — a je spectjalm sEučaj

meSovite strategije oblika p iV..tp m) = = (0f,.„*0.L0,—*0).

U sluČaju mcôvitć matrične i^re futikcija cene kaja odrođuje ishod igrc jc data ^ledećim izrazoiri;

c ( p , Q ) = f y < „ / > , v

Ako postojc meSovite stratcgijc P zaigrača / t Q za igrača /^ takodavaži;

C { P , Q ' ) < C ( r \ Q ) < C ( P \ Q )

za hilo koje sirategije P i Q , tada siratepiji P* i Q* predstavftaju gptimalne

mešovite strategije. C[P*, Q ) predstavl jaju isliod igre. o^načimo ga sa v . Gomja

ncjcdnakost znači da ako igrat /, i/abcrc sirategiju P tada ce njeôv oćekivani

ishod igre 1]. dobit bit: najmanje jeđnak C { P \ 0 ‘ ) bez obzira koju straiegiju

iziibere itjrač / : . \ obmuio, ako igrać / , izaberc strategiju tada će njcgov

oCekivatii ishod igre tj. gubitak biti ne veći od C{P tQ ) bez obztra koju

slratetjiju i/abere igrać /, , Kao i u slučaiu prostih matričnih igara i kod meSovitih tnatričnih igara moie postojaii viSe razli£itih optimaJmh strategija,

Za r^štivaiije meSovitih matrićnth igara koristc se ra/lititc metod?. U nasiavku teksta biće opisane aaaHtifka metoda. grafićka tneloda, ktio i upolreba lineamog progranuranja za reiavanje ovakvih zadauika. Najpre čc biti prikazano kako se re&avanje mesos itih matričnih igara moze pojecnostavili redukcijom matriee ctiia.

7.4.1. REDUKCIJA MATRICE

U rtekim sluCajcvima rešavanje mcšovitih matričniU :igar& se može pojeđnoslaviti tako sto se dimenziji; matriee cena smanjuju. Odrcđene čiste strategije se inogu odbaciti tikoliko su inferiorne u odnosu na ncki] drugu fiishi strategiju. Dntgim refima, ako postoji odredcna strategija koja dominira nad nekom druôm strategijom taca se ta dmga Strategija može odbaciti.

Kako važi C(P,Q )< C { P \ Q * ) < C{P ' , Q) to zivaci da ako postoje stratcgije

Pt i P. tnkodavaž i C {P <Q*} < C{P.^ Ô’ ) tada jc p t - 0 tj\ ij red matrice

ceaa se moie izbaciti iz razmatranja. Takoee, ako postoje strategije i {J) tako

da važi C(P*,Q } > C ( l J*,Qf ) tada je = 0 tj. j \ kdjona matrice eena se

mo/,e izbaciti iz razmatranja

I'canja igura

Primer 7.3.

<?*Pl -2 0 _T 3 2 *1

Pl -1 ] l 4 3 ' 1

Pl 3 4 6 5 3

P 4 7 I 0 -2 3 0

Ps L 0 3 4 5 5 pl

4; <?* <h

p)P ' 3 -2 5 3

Pa 7 0 -3 0

Ps 0 4 5

C(P,Qy)> C(P ,Qb),VQ C(P\Q)< C(P',Qk) => 9, = 0

pa se matrična igra svodJ na:

<7*-2 S 3

P* 0 ^3 0

P j 4 5 -I

Kakoje:

C(P„Q)< C(Pl t Q l VQ => C(PltQ’)< C(PV Q‘ ) => Pt =0

C(Pl t Q)<C(P3,Q),VQ=> C(P,tQ')<C(P„Q')=> p } - 0

C{/>,e , ) > C(P,g 5}, VO => C (P \Q t } < O P‘ ,Qs ) => = 0

C (/> ,e ,) > C (P .O ,), VO C (P‘ , 0 , ) < C ( P * ,a ) :=> - 0

Matrica sc svodi na:

7.4.2. ANALITlCKA m h t o d a

U nastavku teksia korEsiieemo sleđeće oznake:

- P J - o/naćava stralcgiju kođ kojc je p, = 1 a svi ostali elementi su

nula Ij,"■ iP\ f Pi v j Pt-i5 i /jjh-i i Ppi) = 0,1,0,,,,,0,0}

- Qr j - o?Jiaiava stmtegiju kod koje je q , - \ a svi ostali elememi su

nula (j

253

OPER \0 0 \A iSTRstllVASJ l

Optimalne strfliegijc igrača Z1 i Q kao i vrednost igre v sc mogu naći iz sledećth jcdnacina2:

f> r

J j £ |

r

C{Pi tQ) = > “ l’ ' = 1..... m

r

*■1

U filučaju igre čija matrica cena je dimenzijL1 2 x 2 dohija se slcdcći sistem jodnaČi tia:

CllP\ + CUP2 = VC,s^. + ĆV/J, = V

C»?1 +«I2?2 = v

C;,9| +c»<h = v

<7i +fs = 1

Rcfiavanjem ovog sistema dobijaiu se optimalnc stratcgsje igrača P \ Q kao i vrednost igre v.

Prik^/aćemo primenu ovc mctodc na sledećem primcm;

Frimer 7AN lI oenovu daie Enatriee eena CidredUi optim alne strategije igruča.

1 5

Kako je

niax tniilCtJ — 2 - donja vrednost matrične iiire

mul m a x c r/ = 4 - gomja vrednost matričnc igre

to znaCi da se radi o meSoVitoj matričnoj igri. sa ishndom 2 < v < 4.

MTourici. \LBackorviĆ. ’MaieirLaiiC’ki moddii i mctodi u cJttmomiji‘+ 1995

254

Teohja igaro

p. i - 4 p , = v

5 p, + 2 p z = v-

P\ * ip i = 1

tft + 5?> = 1 4r/, + 2c/, = v

9 1 + ? i ~ 1

Na isiom primeru prikažačemo jos jedan načtn rešavanja igara čijja miitrica cena je dimenzije 2 x 2

Prim cr 7.5,Funkcija cena moze zapisati u obliku:

C ( P , 0 = P i4 i + S p , ‘i 2 + 4 p 1( l : + 2 p 1q 1 =

( L W p , ) ( l - ^ , ) + Š O - g S j )^ + 4 p 2( l - ( j 2) + 2 p 2ci2 =

l + 3 p 2 +4<j2 - 6 p , c / z

Izjednačavanjem parcijainih isvoda sa nulom dobij&ju se optiinaEnc strateîja igraća:

3 - # q2 — 0

Rešavanjem ovih sistema dobijaju sc optimalne strategije

uq24 —& p2 = 0

2

3 M.Lekovi^ T to r j ja t metocb odUičivunj^ 199S

25 S

OPERACtOSA lS7RA?.!\ A \ t \

D*ikle opi:fna[ne strategije su:

f ] 2' « 'f f \ l>i Q =U ’3, U 2)

a zamcnom ovih vrednosti u izraz za cemi tlabija sc ccn;] igre v = 3 ,

7.4.3- GRAFIĆKA M tT O D A

Clntfička m^toda se pnmenjlije za rc£avanje mešo\ itih mjinčniK igara ćija matrica tcna je dunenzija m x n * gdc je m in(/«.«) — 2 * Broj attivnih straiegija igrača tj,broj pozidvnih koordinanli u mcSovttoj itrateiiiji, mjc većt nd m in (m ,n )4. Dakl^ □ naSem stučaju oba igraća će imaii po 2 aktivne gtratcgije,

Ra/motrićemo prvo shičaj matriCnc igrc Cija matrica t:t:ny je ditnenzija 2 x ; i . Posniatrajmo n fiinkcija:

C ( P .{ ? , ) = c]:/ j. + c t l p ,

C (Z1. Q*) — c 1 2 P' +

■ B +

C ( / >, e „ ) - e 1„/>1 + c 2„ / ' :

Uvođenjcm smene p : = 1 - />, dtibija se jednačinft pravih. Nacrtafemo tih n pmvih uzimajući u obzir da jc p. e [o,l |. Na .siedcćoj slici skiciran jo ilučaj ^de je

n = 3 a pravc sti ozrtačene sa / , t / 3 t / 3 r

1 M.Toiirki. M.Backovtc, 'Maicmatićki modeli i metodt u ckonomjji1, 1995

Teonja igara

Ksko vazi:

CIP,Q) = ^ . 0 ( ^ . 0 , ) i j p g j =1L

to značt da va£i i:

r x \ m C { P , 0 . ) < C ( P , O) < m a x C ( />,0 ,)J J j r

Dakttf ako igrač / 3 izabere rta primcr stracegiju /j, - p , ' tada ćc vrcdno.sti igrc

bili izmedu /$([} / ) i f x ( p , r) . To /r.aii da če igi-ač / , ijahrati otui stratcgiju koja

će obezbediti minimalan Shod igre tj. u našcm prijneru stratcgiju . Dak1eT igrač

/ L bira omi strategiju kojn će obczbcdiEt da minimalno pkićanje bude što veee.Prakiicno to je m.eixttiin kriterijum koji jc voć pommjan kod pnostih matrićnih lgara. Minima]na plaćanja &u sjmfički jjbjfikazana linijom ABCD a minimalnaplaćanja đostižu maksimurn u taeki B . Dakle+ optimalna strategija p \ bide apsctsatacke B . Ordtnata taCke B određuje isbod igrc v. Prave koje se seku u tački Bodređuju aktivne stratcgije za igraia . L? dučaju pnkazanom na slici aktivne

ittrategije su i . U sluČaju da kroz tačku B prolaH više pravih tada aktivnc ^bfitegije biramo proizvoljno.

U slueaju matnćne iiire čija matrica cena jc đimeuzija m x 2 postnpa $e na analogan način. Posmatraj’j sc slcdeće funkeije:

= + ciz<h~ ci\H\ C22$2

t 2 ) “ cru\Q\ + i priincnjujc se m in m ax kriterijum.

Prikazaćemo pnmenu grafičke metode na sledeća dva prirnera.

Primer 7.6.

Na osnovu date matrice eena odrediti optimaEne stratcgije igraća,

" 4 3 S " 12 6 1 _

Ako igrač /. koristi mešovitu strategiju P a igrač / 5 rcdom strategijc Q. , 0 2 i

Q.. tadaje ishod igre:

C ( A S L) = 4 A ,+ 2 Pl = 4 P] + 2(1 - P ) ) - 2 + 2 P[

C(Pt0 2) = 3/jj + 6 ; j ; = 3/j, + 6(1 - /?,> = 6 - 3 / j ,

= -S/>| +(1 -/;,) = l + 7/?j

257

OfiERA CIOSA tSTRA Žf l 'A NJA

F:t]nkcije j ) T i C(PÔ?) se mogu grafički prcdstaviti.

Oztiačkn0 ih sa f lf f \ i /'; rcspektivno. Uzima se u obzir da je p x £ |0 j j .

Siikd 7.2.

Minimalna plaćanja su grafički prikazana Ijnijpm ABC’D a mininialna pEaćanja dostižu maksinmm u mčki C .

Kako se iačka C nafezi n preseku linija f\ i f 2 to se optimalna strategija p ' nalazi sc iz jednakosti:

2 + 2 jp, = 6 - 3/?,

Odatle se dobija đa je = — pa jc opiimalna strategija 2a igrača L5

P = ( 4 y

Kako se tačka C nalazi u preseku Kntja f\ i / , io su aktivne strategije igraca / 2 qx i q2 . To se može poka/ati i na sledeči način:

Ođrednno sledeće veličjne;

C ( P \ ^ y

533

Teorija igara

Kako je:

C(/>*,0 = 2 > , C ( / > \ 2 ;)jm I

to je:

18 /. J 8 33 18 ,C(P , 0 = <7, y + (1 -<7; - < h ) y + - = —+ 3<7?

što znači da igraeu / , u interesu da izabere q y = 0 da bi ishod igrc tj. C ( P \ 0 )

bilo što manje. Dakle, optimalna strategija za igrača L je oblika:

0 - ( 9 l , l - f , . O )

što odgovara igri sa matricom ccnc:

4 3

2 6

Sličnim razmatranjem kao i ranije dobija se:

C(P,Q) = 4qx +3 q2 = 4 qy + 3(1 -<?,) = 3 + qxC ( ^ ć ? ) = 2<?, + 6 q2 = 2q, + 6(1 — <7,) = 6-4<?,

Funkcije C ^ /5, , ^ ) i (P - , ,0 ) su grafički predstavljene na sledećoj slici. Uvode se

oznake: g , = C(P^Q) i g 2 =C(P2,0 ) .

Slika 7.3.

Optimalna strategija q { je apscisa tačke E tj.

3

O P E R A C I O S A J S T fL iŽ I i 4 \ J A

Dakle* optimnlne strategijc su;

" ' U

kraCunajino sledeče vdičm c:

C ( /S .e ‘ ) = y

C t f S , C ' ) “ y

Kiiko je £ ( /* ,£?* )£v i C ( P \ Q ) za sve strategije P i Q to vači i

m a x { C ( f ; , e ' ) , C ( / J, , C / ) } < v < m t n { c ( P ’ . 5 1) , C ( / , * . C , ) , n P ‘ , O i )} tj.

f ] 8 1 8 ' . . . fUt I S 33

. s ’ s ’ s18

mas y , y \ < v < min\ — T - r , > to zaključujenio da jc ishod igre:

C {P \Q >

Ishod igrc takođe određujt; ordinala laike c(f ■t) * ivI8> 5

Sada ćemo grafičkom metodom resiii zadaiak koji jc već resen analiiickom metodom

Primer 7.7,S'a osnovu date matrice cena odredili optimalne siralegtjc igraća.

[ ]4

5

Posrnatraju se sledeće funkcije pravih:

p\ +4Pi = p, + 4 (l- /> ,) = 4-3/?, = / , ( p , )Sp, + 2 p 2 = 5p , + 2{1 - p ,) = 2 + 3 p , = f 7(p , )

Na shci 7.4. limja A — B — C odrcčuje minimalne tnoguće ishode igre. Igrač qeprimenili ma?tmin kriterijum tj. izabntće maksimaJan ishod od svih mtnimalnih

- * ( 1 2^ ishoda. Daktetfptiinalna stratcgija p\ 6cbiti apscisii lafcke B paje P* = — 1, 3 3

260

Teorija igara

Pi

Optimalna strategija igrača f 2 se nalazi r.a sličan način, pomoću sledećih funkcija:

<?, +5<?2 = ? , + 5 ( l - ? , ) = 5 - 4 ^ = § , ( ? , )

4<J, + 2 ? , ^ 4 ? , + 2 ( 1 - 9 , ) = 2 + 2<7, = g , ( ? , )

Optimalna strategija q\ će biti apscisa tačke E pa je n ' = [ i i \ ZamenomV 2 2 )

optimalnih strategija u funkciju cene dobija se ishod igre v = 3 . Ishod igre takođe/ 1 \ / 1 \

određuje ordinata tačke r — 3 I tj. £U ’ 1

f i . 3I .,2’ J

261

OPERACJONA iSTRAtn A \JA

7.4.4. RESAVANJK MEŠOVITIH MATRIČNIH ItiARA LINEARNIM PROGRAMIRANJKM

Lincamim programiranjem se mogu rcfifivati mčtavitć jnniriOiic igrc ćija matfica ccna ima proj/voljne dimertzije m X n Posmatrajmo mi^nviiu matričnu it^nt ći ji je ishod v a matrica CL'iia je data sa:

c u C \2j j -

C 22. . .

C 2»

C mi C m2

Tsvaja se pietpostđvka da su svi elcniunti malrice po/iiivni. Ako 10 nijc shitaj, onda sc svim clementima niLitricc cena dodajt: dovoljno veliki pozitivan koeftcijenai d f kako hi sc zadovoljio utflov czkfvnosti Izbor bptimalnih strategija ćc ostati ticpromenjcn. a ishod igre dcfinis&ne novonastalom matikom, o/naciino ga se v \ ćebiti:

17T n

i = | y a l |» 1 y =s=3 j.-t /rl

L'ormirajmo najprc model za igrafa /,. Kako znamo dn važi! T 0) > v , za

svaku stratesijj Q lo vaî ■ C*{P *Q * £ v*j - !..-.*»■ Označimo optirnalnu

strategiju sa P* = ( /? ..... Sistem nejcdnaćina C ( / , ,CI. | > v ,y - l,.„Tn sc

može zapisati u obtiku:

SSial’i + c 22 +"- + ^ 2 „,

‘" „ A +Ci„A>3 + . . . + c _ p „ ž v

gde važt:

+ Pt + . . . + p,„ = i

PfDeljenjem sa v i i uvođenjem smene Xt - — J - l(,„pw dotnja se:v

Cn^+CjiJCj + ... + c_,.v„ >1

'r.x tCf l X, + C ?1,X: + > 1

V i + V j + - + c « A - 1

262

Teorijg jgara

\V

Kako igrac / . želi da maksimizira v , to će se optimalna strategtja tgrača / , i ishod

i^rc dobiti rešavanjem sledećeg zađatka lineam og programiranja:

+ c2j% + ^ + 4 # *

Cli%\ + C 21X Z - 1

% >QJ - lVT.,wi

m in F fA " ) - x x + ,., + x M

Na analogan n&čtn formirit se modei za igraća I 2. Kako znamo da važi

C(P7Q * ) < \ \ 2a svakti strategijn P to važi : C(P{, O ' ) < v,/ = 1, , m .

OznaČimo optimalnu fitrategiju sa Q — {qu ^ q n ). Sistem nejednačina

C f / ^ , 0 } < v ,/ = se može zapisati u obliku:

»11& +C,!?2 + ~ * * hA , S >

« » 0 | + CK<?J + - + C 2„<f„ <V

c»,î t 9 wA + š . - + % i i ^

gde važi;

<?l + ? ; + V - + 9 * = 1

Đdjenjem sa v i i uvođenjem amene y — — , j = l n đobija se:

+ C « ? 2 + - . + C,„V, <1

c 3|>-, + ^ 2 . ^ + - + C 3„>'„ £ 1

^rlJ'l + 4 . J ^ + - + C ™ > '. 5 1

1J'l +>’2 + -* + > ', V

Kako igraC 1 2 Seli da minimizira v , ro će se optimalna stratesija igrača l 2 i ishod

igre dobiti re^vanjem siedećeg zadatka lineamog programiranja:

263

t.)PF.R4CfONA ISTRAŽIVAM !

^n>-: +ciIyJ +-+clmy.C;,1, + C,: v, + ... + c,„yn 5 1

PmM + W l + - + c „ ^ „ S lv. Ž G J = 1.....n

max F(Y) = y x +.;.+>•,

Zadaci lineamog programiranja za iaraJa I t i / , su dualni. To znači da jcdt>so]jno rešiti jedan od ovih zadataka, a zalini rfttenjc drugog dobiti efl o&novu pTVOg reSenja.

Prhntr 7,8,Na osnovu daie marrice cena odrediti optimalr.e sfyyte^tju igrača i ishod igrc.

~ 2 3 I "

8 4 63 9 34 l 6 _

Opiimalana srratcgija igiaCa /, dohitc se rešavanjem sledećeg zadatka Itncamog pro^ranairanja:2x^ +Sx2 +3jc3 + 4x4 > I3*t + 4x2 + + jc4 tx, + 6.v. + 3 x 3 + > l

min / ( X) — Jt( + .v; + .r +

> 0

a opiimalna straiegija igrača \ x rešavanjem slcdcčefi zadatfea lineamog programiranja:2 v, + 3>j + > j < 1

8 >'i + 4>': + 6 >'j 5 1 3.v, + 9y t + 3 Vj ’, + y i + 6 y , 5 1 max / ( y ) = y, + y 2 + >,

ž 0

Kako su ova dva zadatka dualna, dovotjno je rešiti jedan, na primer zađatak koji odgovara igraču . Zatim se reSenje zadEitka koji odgovara i^raču /, se dobija na osnovu prvog rešenog zadatka.

204

Teorijg tgvra

Na taj način dobtjaju se sledcća reSenja:- (0;0.143;0,047;0)

mi n f ( X ) = i m f ( Y ) = 0.190Kako važi:p ( =^x,v j = i, 2,3,4

? , = > , v y = 1.2.3

_ j _________ i ____

x{ + x, + jc3 + JV + J 'i+ A

to su optimalne stratcgiic i isbod lsitc:

= {0;0.753;0,247;0)

Q r ^(0;Q .374;0.626)

v = 5,263

LITERATURA

II | Čupić, M., Rao ^fanim&la, V. M.n odlučivanje - metode iprim m a,Beograđ. ]991,

(2j Drecher M.T Gtimčs o f stttttegp: Theorv and iis appltcation, McGrau Httl, New Yorkj 1963.

(3 ] F ried mant M . _ Savngo, J . Tht’ utili,ty cma!yxis ofchoices invoivmg risk, J oum a I o f poliiical cconomyT 1948.

[*1] Germejer, B .. fgre \a ntograničemm tnžepesima. Moskva, 1976.[5] Esaacs, R., Differemialgames^ John Wiiey and Sons, New York, ] 965.[6] Kj'irlin S-, MđthemaUcal meihods and rhcorr in games, Perganion Prcss,

London, 1959.[7] Ktihn, H*W., Tucker, A.^V., CoritHbutiotts U> the thean' o f games^ Princeton,

1950.[8] Leković, }A.,Teorija i metode odluČivanja, Priština, 1998,[9] McKinsey, J.C.C., Introđuctian to the theorv ofgomes, Ne\v York, 1952.[ 10T Neumann, J.. MorgensterT^ O.* Theorv o f games and cconomic behavior, New

Yorkt 1944. '(11) Peirid, J , Operaciona isiraživanja L 11, Beograd, ]979,[12] OmengG.. Theory ofgames, 1971.[ 13] 0\venT G., Theorv o f games, Moskva, 1971.[14] Schelling, T.C., Thestrafcgp ofconflict, Harvard University Press, 1960. j 151 Sloller. S Dr, Operatinns research: Process and strate,gy, Univctsity of

Califomia Pne&st Los Angelest 1964,[16] Tourki* M.5 Osrtovi stohastičkih procesa i teorije igara. Reograd, 1980.

265

[17] Tourki, M, Backović. M., Matematfcki m odeii i m etođi u ekortomifi* [3eograda 1995.

[18] Tucker, A.W .t Solvwg a matrix gctme by iinearprogmmming, IBM, 1960.[19] A^Statisfiicaiđeci$ićnjuttctionSy New York, 1950.[20] Zečević, Opetaciona i$lraživxr$a7 Heograd, 1974,

OPERACIOSA ISTRAŽfVANJA__________________________________________________

266

J 'išekri{erijittnsko odhtćivanje

H. v iSe k r it e r IJu m s k o o d l u č i v a n je

U ovom d d u knjige slcdi opis t ohjašnjetije jedne klasu nu;l£>dn viSeknterijtimskog odluiivanja, Oblaati jn im sovanja su: ViSeatrjbutivno odlutivanjeT Viicciljno odluČivanje kao i metođs \ ’i5ckriTenjumskog rangirat>ja altemttiva,

Za razliku ođ jednokriltdjumskili modela. tj. modela sa jednom funkcijom cilja definisanom na<3 skupom ograničenja (videti u [3]. ili [S]), višekritcrifumski problcnii operišu sa dve Nt viSe funkcija riljah za koje je potrebno pronaći optimalne vrednosit, iiad definisanim skupom ogianićcnja.

Stvajne poirebe za resavanjem probtema u kojima je utvrdeno postojanjc vistr funkcija kriienjuma, olvam novo poglivlje matcmatičkog programtranja pod oazivoni viSeknterjjurrisfco programiranje. Često postavljanje viSe kriterijuma dovodi do takvih nesaglasnusii, da potpuno posttzanje jednog cilja može negammo da utite na preostale ciljeve Posebna važnosi kod višckmerijumskog odluiivanja su konccpti Pareto opiimuma dctaljno prikazani u fR], Donosilae odluke u ovakvim situacijama nc nastoji da maksimizira zadaie ciljcvc već da ih dostigttc đo £to je mogućc većeg stepena. Naravno ovaj zahtev nijc rij malo jednostavano postići.jer kao postedicu imfi činjcnicn pcrmanetltoe konfliktnosti i^medn ciljeva, To znači da optimizacija po jeđnom ciiju se negativno odra/ava na preostale ctljeve u modelu.

OpSta matematička fonnulucija dobro stmkturiranoy mode!a sa \ iše ciljeva (kriterijuma) najčcšće se dajc matematićkim modclom slcdećcg oblika, prcma [2j:

max [ f ! C x f2(x)....... fp (x)] t p> 2*pri ograničenjitna {p.o.)

gj(x>£(), p l , m .

xj> 0T j = l , n .

gde je: Jn - broj promcnljivih; p * broj funkcija knterijnma* m - broj ograniicnja;X - n-đimen/ioni vektor promcnljivih x , , j= 1, n ;

f^ - funkcije (cilja> kriterijuma, k— i,p ;

g{(x) - skup ograničcnja, i - l ,m ,

Poircbno jc nagiasiti da se vr3i makstmizacija vektora funkcije cilja pri zadatim ograniicnjima, pošto sc kriterijumi minimizacije mogu prevesti u kriterijume maksimizcije, t to:

m axfj |x ) -m ir { - f ^ ) ] , r e (Kp)

267

OPERACIONA ISTMŽIVANJA

Rcšavanjcm g.crc navedenog modtla doMja se 'skup dopustivth reŽftnja, vtktor X koji pripada skilpu prirođnih brojeva X £ Rn , za koji važi:

X - f x £ j U ) < 0 , F i m , X j > ( J . j = l . n ] .

Ovako dobijcnom sk'jpu rcscnja X, odgovara skup vrcdnosii funkcije krLterijuma, odnosno vckior f{XK tako da se skup dopusiiviK rcšcnjii X može prcslikati u kritcrijLimski skup S:

fl(x)= [ f [(x), | ( x ) ..... fp(x)|S - [ f ( x ) [ x e X ].

Ako su funkcija eitja i skup ogranicenjs 7adate linearnim kombinacijama (Što će ovde biti razmatrano), radi se o probtcmu visekritertj‘jmskog lincamog programiranja,

Već je iittaknuto da o&novna karaktcmdka svakog viSckritcrijLimskog problcma jeste postojanje više kriterijuma za odfa&ivanje i više altcrnativa za izbor najprihvatljivije aketjc. Na ovoj osnovi i/vrScna jc podela modcla u sk-dcće grupc:* Modeli viSeatribuiivnog udluiivanja (VrAO)+ za kojc su kritcrijumi zadati

atributima. Postoji konačan broj unapred z<idatih altemativa ?:a izborn pri Cemu ne postojc eksplicitno definisana ograničenjaj već su ona ukljućcna u atributc.

■ Modeli višeeijjnog odlučivanja (VCO), sa ekiplic[tno dcfnisanim analitičkim oblikom svakog krttcrijuma pojcdinačno. Naravno radi se o uslovnoj optimizaciji, pa su i ograniCettja ekspltcitno defmtsaaa sa svojom analitičkom formom. Slede opšti matematički rnodeli (MM) ponienutih viickritcrijumskih modda.

Viseatributivno odlučivanjc

ViŠcatributivno odlučivanje, kao jcdna od oblasti višcki tterijumskog odtučivanjakarakteriše se potrcbom izbora najpribvatljivijc altemativc a*, iz skupa altemativa pred,stavljenih na osnovu definisanih kritedjuma. Opšti MM višeatributivnog odlučivanja glasi:

max f£(x)* - t; ,fn(x)] t n> 2,X i A - [ a j , agfc ... ham]

gdejc:n - broj kritcrijuma; m - broj alternativa (akcija za izbor);A - poznali konačan skup altemativa.

Kao mera dostiânja svakpg kriterijuma po dcfitiisanoj aitcmativi javlja sc atribut. Samim tim, svaki atribut zavisi od kritcrijuma i od altcrnativc, odnosno dvodimenzionalnog je karaktera, predstavljen jc sa xy i to:

îj^fjCai), ’= L m ;j = ltn Iz relacije se vidi da svaka vrednost atributa pavisi od j-tog kriterijuma i od i-tc altemative. Ustaljeni način prikaztvanja niodda višcatributivnog ođlučivanja je

Ž68

I išekrlfcf i]\fmsko odlučtvanje

preko m atn ce , k o ja sc li ovoj tc rm m olog iji ny/iv ;i matricom odlučivapja« s lcđ ećegi7&lcdfl:

f i .............. r .i

o -

............ x in

■■ a- 8 ■ h r t e 4

, + . \ mn

VUeciljno odlufivanj«

Za m l ik u ođ viseatnbutivnog odluiiviinja, kod višcciljnog odlućivanja diskrelno

se nagkSa\a skup funkcija cilja (dvc i v i5e) nad dcfinisanim skupom ogranitenja. Opgti maicmaiički modcl zadatojj viSccfljnog od1uČivarya ima sk-dcću fonnu:

max [f|(x), f2( x ) , , fp(x)] , p > 2h

p.o.:

gj(x) < 0. i“ 1Tm r

\j>gdcje: __

X - D-dimcnziont vckior promcnijivih Xj, j —INn ;

f^ - funkcijc kritcnjnma (cilja), k -L p ;

gj{x) - ,skup ograničcnja, i - l j n ,

8,1. M ETO D E V IŠ E K R IT E R IJI MSKE AN ALIZE

U ovotn poglavJju bičc prcdstavljcn rcprczcmativm skup mctoda visckriterijum- skog mngtranja altemativa, i to:

- mctoda ELECTRE,- mctoda PROMETHER, i- mctoda Analitiikih liijcrarhijskih proccsa (AHP)

Za svaku od pomen'jith meioda, na nckoliko konkrcmih primerah biće prcđstavljcni koraci primctie i tumatcnjc dobijcnog icšenja. P na mctoda jestc mcioda ELECTRE.

8* 1.1. M ETODA ELECTRE I

Problcmi koji sc namcću u praksi, a odnosc sc na nemogućnost određivanja siroge (matcmatiCkc) dominatijc jcdnc akcijc nad drugonu imaju potrcbu uvodcnja tzv. veza višcg rcdah odnosno, dcfinisanjc kritcrijuma za 11mchani£ko" dodcljivanje ranga. Iz tih razloga uvedcna je mctoda BLECTRE koja sc pokazala uspcinom u rcšavanju ovth problcma.

269

U svojoj primeni doŽivcla je n/vcsnc modirikLictjt: i Itapredovanje, tEiko da do danasnih dana. osnovna vctzija metode cv^Luira u još tri vtr/ijc, i to ELBCTRE i l4 ELECTRE 111 i ELECTRE IV. Odrcđcn broj pofetnrh koraka za sve mctode je isiovetan, a izvcsoe railikc nastupaju tid trcnutkft izdvajanja prihvallj ivije altamativt. Zbog svojc obimnosti. ©vde ć« btti predstav I|llii;i samo osnovna vcrzija mciodc,

Postupak primene metodc jc iterativan i sastoji se t>d procedurci konačnog broja koraka {9 koraka) koji će đeialjno biti prikazani i objašnjeni u pn'om primcru, a potom slcdc i]ustra:ivri pfimeri bcz objašnjenja.

Prim er 1.

Tchnički rukovodilac jednc saobraćajne služhc trcba da izvrši izbor kupovine jcdno^ motocikla za potrcbc svojc službc. Ponudc kupovinu (ukupno ih ima 5)s prtspclc su od dobavljača, Kriterijumi izbora su sledeii (u zagradi na kraju jc navcden tip kritenjumii):

* - broj cilindara- f? - zapremina niotora- fj - m m e dosiizanja brzinc od 100 km h- k - m&ksimaina br/ina- fs - spccifična snaga po masi- ft, * cena motocikla- f7 - garantni rok

Altemative izbora su:- a, - BMW K-1000- a; - Kawhasaki GPZ-750- aj - Đucaii 750FI- aj - Suzukt G S-1150 E- as - Yamaha RZV 500 R

Početna matrica odluČivanja ima oblik:

OPFRAOONA ISTRJŽH'ANJA _____________ ___________ _______

mtx max min max maK min

ti h u u h fh ha i 4 9S7 12,41 V.2 visoka 9fl)Q iala2 2 650 12.98 113 prosecna 6300 20

O aj 2 748 12,8$ 11« prosecna K7CHJ 12

a 4 4 1 1S3 1334 113 vr vtsoka 730C 20

*5 2■

1100 13.02 112 Tiiska 4500 14

Predustov rada mctodc jcstc izvrlena kvantifikacija kvalitativnih atributa, gorc navedcne matricc, korisćcjtjcm tzv. inter\'a! fika]iLk deftnisanc u Poglavlju br. 8.1.1.

270

i %$€kiiterijtifttsko ođlačivanje

Kvamitlkovana matrica odlučtvartja ima izîcd:

m ax mi n nmx ;uax min m

A\ 4 9B7 1 ?r.41 122 7 9600 9 8

a 2 2 650 j2 .yK 113 5 6300 2 0

■sItO

2 748 12.88 118 5 8700 12

a4 4 U S 2 13.34 113 9 7300 20

*5 2 1100 U.02 112 4500 14

K orak I: Izračunavanje normalizovane matrice odlućivanjii fN).

Prvo je potrebno za svaki kritcrijum [z kvantEfikovane matricc odtučjvanja, izračunati njegovu n o p n u T| {ovde se norm a izračunava kao kvadratni koren zbira kvadrata e k m e a a ta pbsm atrauog vektora), i to sledtićotn formnlom:

f hlno rm a j V x ; i

f L -1 '

N onna pčyog krEterijmna iznosi :

norma, %, v'(4: + 2 f + 2 ’ + 4 ! + 2 ’ ) « 6 .6 3 3 2i tako redom zz sve preostale kititerijuTne,

Potom sc račurtaju nonnćilizovani elem enti matrtce odlučivatija, tako što se svaki elem ent vektora kritsrijuma podcli sa tionnom I02 km'itcrijuma (vcktora), odnosno:

gde je; ___X[j - vrednost akcije aj, i - 1, m : u odnosu na kriterEjum fj, j - I, n ;

Za posmatraui primer nonnalizovana tnatrica glasi:

0.6030 0.4620 D.4292 0.4717 0.5092 0.5726 0.47040,3015 0,3043 0.4490 0.4369 0.3637 0.3758 0.52270.30J5 0.35N2 0.4455 0.4562 0.3637 0.51S9 031360,6030 0,5533 0,4614 0.4369 0.6547 0.4354 0.52270.3015 0,5149 0,4503 0.4330 0,2182 0.2684 03659

K orak2: Izratimavanje težinski nonnaiizovane matrice odlučivanja (TN)

IJ ovoin koraku, donosilac odluke aktivno ticestvuje n proecduri rešavanja probtema i određujt; (definise) prefeiencc, odnosno težrnte korisničkilt kriterijtima, poslečega $e izračunava tzv. tezinski normalizovana matrica odlučivanja.

OPEMCIONA fSTRAŽiVANM

Matrica izabraniii težinskili kocficijcnau slasi:

T “

0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0,0 0.0

S,0 0.1 0.0 0.0 0,0 0,0 0.00.0 d.o 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.2 00 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0,2 0.0 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.2 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1

r - [OJ 0,1 M 0.2 0.2 0.2clcmcnata ovoga vektorajcdnak jcdinici.

N a DS0ČVU m atricc težinstgh cicincnata ( T > i norm aJisdvane m atrice odJućivanja (IV), težm ska n o rm a l iz o w ia m atrica (TN ) odlucivar.ja izračunava se m noženjcm pom enutc dVe, odnosno

TN =

TN = N * T

0,0603 0.0462 0.0-129 0.0943 0,1018 0.] 145 0,04700.0302 0.0304 0.0449 f),0R74 0.0727 0.0752 0.05230.0302 0.0350 0.0446 0,0912 0,0727 0.1038 0.03140,0603 0.0553 0.0461 0.0874 0.1309 O.OS71 0,05230.0302 0.0515 0.0450 O.OS66 0,0436 0.0537 0.0366

K o r a k 3 : O drcdivanje skufJ.Ova saglasnosti i nc&aghsnosti (S) i(NS)

U ovom korakuh uporedjujii sc parovi akcija. O beležtm o ih sa p i r (p, r = L m i p # r). Prvo &c form ira tzv. skup saglasnosti, S pr za akcije a^ i ar , koji se iastoji od svih

kriterijum a (I - j | za kojc jc akcija pozeljnija ođ akcijc a ri odnosno:

^pr = 0 I xpj £ *rj^

U koliko se tad f o k iitcrijum u tipa rninim izacijc, znak ncjednakosti jc suprotan (<).

Potom sc fbrmtra k om plem en ta rn i sknp, [/v. iiknp n “sagJasnostjT izračunat po sledećoj relaciji:

PJ * rJ *S.3)

vodećt računa o tipU kritcrijum a. A ko je isti tipa min znak ciejednakosti j e suprotan (>), O dnosno ovaj skup j e kom plcm entaran skupu saglasnosti,

K S pr = J - S p f .

N a p tim er, za akcijc a'j i a^, pokazaćem o post-jpan način izra£unavanja ova dva

skupa,

272

VfSebiterijztmsko pdlučfvartfep - 1 t r « 2.

= 1 >?t2 l : S 12 = <1>--2 KI2 > X 22 ; % - ! • £ )= 3 x l 3 <5t23 ; S { 1 (2( S) - kritedjuni tipa inin- 4 x 14 > x24 I S 12 = 3, 4)= 5 x 15 > x25 : S j t = {h 2 , 3 .4 . 5}= 6 K l f i ^ ć ; NS |2 = (6) - kritenjum tipa min= 7 x 1 7 > * 2 7 ; N § i 2 - (6 ,7 }

Konaćrti izglcd skupova saglasnosCi i ncsaglnsnnsti za akcijc a j i a^ glasi:

S I 2 - ( 1 , 2 , 3 , 4 h5 ) i N S 1 2 - ( ć , H

N a sličan načhi se odreduju:

»13 = 1,2,3, 4, 5, 7) n s ]3 = 6)

S 14“ 1,3,4) NS14- 2,5, 6,7)

s 15^ ■ h 3, 4h5, 7) NS is = 2,6)

S2I " 7) NS, j = 1 2 ,3 ,4 ,5 )

s 23 = l . 5, 7) KS2J = 2, 3, 4)

s 24^ 3,4, 6, 7) n s 24 = i ,2 . 5)

s 25 = 5, 7) ^ 5 = 2, 6)

S31 - f>) >iS3 | - 1,2, 3, 4, 5, 7)

s 32 " 1,2,3, 4,5) n s 32 = 6, 7)

s-34 = 3.4J n s 34 = I, 2, 5, 6.1)I ,3 ,4 h5) ^ 3 5 - 2,6 ,7)

S4 ] - 1 2 , 5 , |6y: 7) NS4 1 - 3,4)S43 = 1,2.4, 5,7) \ s 42 - 3,6)

s 4 3 “ 1,2, 5S6,7) NS43 - 3,4)S4 5 - 1,2,4, 5,7) n s 45 «. 3,6)

s 5] 2, 6) n s5]=( ,3 . 4, 5, 7)1, 2, j&j n s 52= 3, A 5. 7)

s 53 = 1, 2, 6, 7) N$53 - 3 ,4 ,5 )3,6) Mi3"'j-,

LOX

I, 2.4, 5t 7)

K orak4: O dređivanjc n ia iricc sa g h sn o s t i (M S )

Matvica saglasnosti se odrcdujc na osno\'ii skupa saglasnosti u rrtodelu, ft e lem ente m a t rk e saglasnosti činc tzv. indcksi saglasnostt. N jthova vrednost se ra.čuna kao sum a prefereticija (težinskih koeticijcnaEa)n koje gđgovarajti prtpadajućim elem erttim a sknpova saglasnosti,

T ako se tndeks saglasnostt S p r za akcije i ar dcfiniite:

MSpr = X t j <M>

273

OPERAaOKi mTRAŽiVANJA

Kao primcr uzm im o đ e in e n i M S 24 cija vr$rino$t i /nosi:

S24 = P , 4, 6 , 7)MS24 - % + 14 + + 17 — 0.1 -i- 0.2 4t 0.2 + 0.1 “ 0.6

Oćigledno ji? da S^r uîma vrcdnosi iz 0 < Spr < 1 i da veća vrcdnost za Sprukazu je na veću požefjnost akcije £Lp u odnosu na akcjju ar {prema k ritcd ju inu

saglasnosti), O vako opisffrii indcksi Saglasnosti fortniraju tzv, m atricu sagiasnosti koja j t đ im enzija m x m , yde |e m ranije dcflnisani hroj akcija, Kit clem em im a na glavnoj d ijagona'i jcdnak im ifru lije r se ne Wî poredcnjc akcije sam e sa sobnm.

M S =

r 0.00 0.70

0.30 0,00

0.20 0,70

0.70 0.70

0.30 0.40

0.80 0.40 0,70

0,60 0,60 0.70

0.00 0.30 0.60

0.70 0.00 0.70

0.50 0.30 0 . 0 0

K o ra k 5: O dređivanje m atricc ncsagiftiinosti (M N S)

U ovom koraku izračunava sc txv. indeks nesaglasnosti i popunjava matrica nc&aglasnosti. Retacija za izračunavanjc [rideksa ncsaglasnoiid glasi;

MNSpr =max

j c N S r.tn^| tn fJ

maxjeJ

(3-5)

Kao primer, navodi se izračunavanjc indcksa ncsaglasnosti za akcijc a^ i £4; NS34 -(1,2,5)

M N Sji -

1 p\ tnax 0.0301

r i0.0249

j-5 : 0.0582

maJO-OS&i 0.0249 0.0012 1 j-2- J"3

0 . 0 0 0 0j^4

0.05S2 0.0119j-6

0 . 0 0 0 0 J=7 .

0.05 S20.0582

Na sLičan na£in, lako je odrediti l ostaie vrcdnosti indeksa nesaglasnosti, a potom formirati i cctu matricu ncssglasnosti:

M N S .-

0.0000 t.0000 0.3556 1.0000 1.0000

0.7659 0.0000 0,1608 1.0000 0.73Stf

1 . 0 0 0 0 i.oooo 0.0000 1.0000 3.00000.2371 0.0206 0.0653 0.0000 8

0.9572 1.0000 o 1.0000 0.0000

274

I 'iŠtkriterijtaitsko arilući vanje

K o ra k 6 : O drcd ivanje m a b ic c sagla^ne d om inac ijc (M S(1)

( S 6 )

O va roatilca sc popun iava na ostiovu vrL'dnusti tzv+ prar.n indcksa sag lasnos tih koji se m ožc defm isati kao proscčm indeks sagiasnosti, izračunat po sledcOoj rclaciji:

i mP i s - — L - y v . v , s

PSS=0.S45I)

M atrica saglasne đfiminacijc izračunava sc r.z o sn o \ i i s k d e ć c c kriterijum a:M SD pr l

M SD r>r “ 0

2a

za

M 5ip r > P l S

M S p r < P IS

OdnosflO, posle izračunavaitjji. m atrica glasi:

M S D =

r o 1 1 0 1

0 0 11 1 \

0 t 0 D E

1 1 I 0 E

0 0 0 0 U

K o ra k 7: O drcdivanjc m a tn c e ncsaglasnc đom inac ijc (M N 5 D )

O va m atnca sc izraćunava an;ilogno M S D h odnosno , najp ic sc izraćuna p rosečan m d tk s ncsaglasnosti* s ledcćom rclacijoin:

I :ll nPINS - I S MNV (8 .7)

odno sn o konkrckm o, P I N S - 0 7031

a onda sc na osnovu kriicrijum a;m n s d pr ! ZSL

za

KfNSp r < PIN+S

\T N S pr >NfNSDpr - 0

potom sc fonm ra MNSD :o n I o (f.0 0 I 0 0

MNSD - 0 fJ 0 0 n1 1 1 0 1

0 f) ! 0 G

K o r a k 8 : Odrctlivanjc m airicc agrcgam c domiriacijc (M A D )

Proizvod clcm enata m atricc sagiasne i ncsaelasnc dom inacijc , bolje rečcno, pozicija e lcm cnata pom cn u n h m atrica (ne radi sc o k lasićnom m airičnom računu)T prcdstavlja način iz računavanja c lcm cnata M A D i to s led e to m reiacijom :

M A D pr ^ M SD pr * M K S D pr (8 .8)

275

OPERACtONA ISTRAliVASjA

pa matric^ VIAD irua sk 'dcčc vrcdnosEi:.

0 3 0 (11

0 a 3 1 0 0

M A D ^ 0 0 aJ 0 (j11 1 I 1

(3u 0 0 0 *;sj

Korak 9r Efemmisanjc manjc poieljnih akcijar_ 0 1 0 < r a t ~ 4 d o m m ira n a d & 3

a 2 0 t 0 0 &2 —* dom snira n a d a ^

0 0 - 0 0 a^ —* nc dom in ira

*4 1 1 ! — 1 a_j -i-dominiranadaâ2ta3,at0 0 0 0 — a5 nc domimra

1/ analize se vidi da ii]icrnativa 34 u poLpunosii doiniEiira nad prcostalim

a ltcm ativam a pa j e i najprihvatljiv ija , a*=a4 .

OSTALI PRIMERI

Primer 2,Koristcći originalnu verziju m eiode ELRCTRE- izvršita izbor jednc od Ćctiri alttrmaiive na osnovu datih s^st kriterijum a.

PoCetna m atrica od luč ivan ja glasi;fjjrttan} fj(^naK) fjlm&X)

220 Visoka 1600 4&00 13 Niska250 Vrlovisoka 1200 B200 !4 Visoka

230 Vi5oka 1550 700t> 9 Vdovisoka190 Niska 1700 4S00 7 Prosecna

Prcduslov rada meiode: Ucvantiftkacija kvalita tivm h am bu ta .

a 2

a )

n:\i)220250230

190

mn\ itiifi nrtaX

7 1600 48009 1200 S2007 1550 70003 1700 4500

UlEtN 3Tl£P<

1314 9 7

3l1

276

i liekritetvi/rrtsko adlučivatij?

Korak L: Izrafunovaitje normalizovanc matiicc odluiivanjanun Tnax i rtn rruLX :ujk max

3[ 0 4921 0,5105 0.524*; 0.3*00 0.5S43 0.23431O 5592 0 6564 0.3936 G6W 0.6242 0.54 660.5 L44 0,5105 0.50M5 0,5547 0.40J5 fl703«.

*4 1.0.4250 o . i m 0.5577 0.35*3 0 3146 0.3904

K o r a k 2 : Iz ra iu n av an je težrnsfcc n o rm a ik c v a n e mairićc odlučivanja.

V ck to rp re fe rcn c i ja ; T — [0-3; 0 J ; 0 .2 ; O J ; 0 !; 0 .2 ]

m in nun m ax rnnx m ax

a , fo .1 5 0 05 0.10 0.03 0.05 0.04

TN =a 3

*4

0.17 0.06 0.07 0.06 0.06 0-10

0.15 0.05 0.10 0.05 0.04 0.14

0J3 0,02 0.M 0.03 0.03 0,07

K u ra k 3: O dređivanje skupova saglasnosti i ncsaglasnost:

S)2-C1) K S 12 “ (2,3,4,5,ć)

S i3 - 0 ^ » N S u - (3,4,6)

S |4 - ( 2 ^ 4 , 5 ) NtS ]4 = (1,6)S2 | - ( 2,3,4,5,6 ) N S 21 “ (11S 2 3 - ( 2 , 3 h4,5) NS13 " ( 1,6 )

S^4 ri (2,3+4,5,6) NS24 - (1)S 3 i - ( 2 T3,46) NS31 -(1,5)S3 3 - ( U 6 ) NS32 “ (2 ,3,4 ,5)S34 (2.3 4,5.61 NS34 - ( l )

S41 NS41 -(2 ,3 ,4 .51

Hrj05 NS42 - 12,3,4.5,6)

■F-'11’TLn NS43 (2.3,4,5,6)

Kor ak 4: O dređivanje m atrice sag lasn as ti

MV = S l j

[0.00 0.30 0.5n 0.501

0.70 0.00 0.50 0.70MS =

0.60 0.50 0,00 0,70

0.50 0.30 0,30 0.00' T —

277

OPERACtONA /sm -lZ ft 'ANJA

K o ra k 5: Odrcdivaji jc rnatrice nssaglasnosti

"0 0000 1 . 0000 S.0000

0.3222 0.0000 LOOOf)MNS =

OJ9IO IK7180 0.00000.9359 1 .0000 1 ,0000

K o ra k ti: O dređ ivanje m a tricc saghisne do tn inacije

PlS 0.7930

MSL) «=

0 0 0 Đ

1 0 o i

t 0 o t

0 0 0 0

K o ra k 7: O đređivanje marrice n<;sac33sne dom inacije

P tN S - 0 ,7944

0 0 0 0]

1 0 0 0

1 1 0 1

-0 0 0 0

Korak 8: Određivanje tnairice agregativna đominactjc

0 fl 0

M AD1 ^ 0 0

I 0 - I

0 0 0 “

K o ra k 9: Eliminisanjo m anje po ie ljil ih akctjii

i}poBm atra se M AD:

2) uporcdnć pregled akcijti:

a i > 0 , 0

a ; > 0 * 1

a3 > 0 , 2

> 0 „ 0

oa_

J .00001

0.9301

0 .4 2 9 1

0 .0 M ■V

273

- n cd an rin ira

a 2 > a :

3 ’ ■■ >3] —i

a 4 - nc domirura

3) posm airaju se s in iacijc u ko jim a posioji izvosna dom inaninosL pa jc najprilivatljivija akernaiiva .

□ * - a 3 .

Prf/wt,r 3.

Za niže predsiavljenu m atricu od luč ivanja sa 5 a ticm ativa t 7 krttcriiuTna. izvrSiti izbor najprihvatljivije a ltem ative pornoću nicTode ELEC T R E .

____________________________ __________________ _______________ f išekriterijumsko odiučimttje

M(ahx) lTThm t j TraT] ^[mml * Jtrp«)fS1 rr_; n 1 ^7(max)

"16 1 0 0 1500 7000 Prosecna 15 2100

a 2 19 150 i io o 9000 Vilovisoka 17 3800

a 3 J 7 1 2 0 1400 sooo Prosccna 19 3200

a^ 15 90 J600 sooo Niska 15 2400

*5 1 2“b-

130 iso n 6000 Prosocna 1 1 3600

Preduslov rada mctodo: kvannfikac ija kvalita tivnih atributa:

2fm:n) T JfmoK] 14tmln) *5(maxl f6(min)

a Er i 6 1 0 0 1500 70(10 5 15 210011 -* 19 150 1 100 9000 9 17 3800

a 3 17 120 1400 sooo 5 19 3200

15 90 1600 8000 3 15 2400

a 5 12Lr 130 JS00 6000 5 U 3600

K orak 1. 1/računavanje normaliziovafie matrice ođlučivanja

fl(maxj ^finirt) ^(rtlM) ^m ucj

* 1 "0.4481 0 .3729 0.4478 0.40S2 0.3 K92 0.4293 0.3037"

0.5321 0.5594 0.32S4 0 .5249 0.7006 0.4865 0 .5496

0.4761 0.4475 0,4 E 80 0,4666 0.3S92 0.5437 0.4623

a 4 0,4201 0 .3356 0.4777 0.4666 0 2 3 3 5 0.4293 0.34710.3361■ 0 .4848 0 ,5374 0:3499 0.3892 0.3148 Q.5206_

Korjak 2: l iraču n av an je le i in sk e norm alizovane mîrice odEučivanjs

Za ovaj p n m e r usva ja se sledeći vek to r prcferonci;;i :T = [0 I; 0 .2; 0 1 ; 0 2: 0 .2; 0 1; 0 1 ]

279

OPERACIONA fSTRAŽIVANJA

TN ^

■ i fma\) 2? iiiin ]

"0.D44S 0.074f> 0.044S 0.0Š16; 0.0778 0.0429 0,0304'0.0532 0.1M9 0.032S U.1050 0.1403 0.0487 0.05500.0476 0.0S95 0.04 ’ H 0.0933 0.0778 0.0544 0.04ftj

a4 0.0420 0.067! 0.047S 0.0933 0.0467 0.0429 0.0347a 5 J).0336 0.0970 0.0537 0.0699 0,0778 0,03] 5 0,052

Kni a k 3: O dređivanjc skupova &aglasno&ti i nesagbstlO&ti

% - ( 2 & 4 MS j 3 - (2 ,3 .4 o ,6 )

S ] 4 — ( 1 ,4,5.6)

S 1 5 - ( L 2 A S |

I tako redom do zadnjeg skupaS 5 4 - ( 3 A 5 A 7 )

K o ra k 4: O dređivanje m&irice s^giasrtosti

k s 12 =

N l a rN S i4 =

k % 5 =

(1.5.7)

( U )(2.3.7)(3.6.7)

N& 54 = ■ « ,£ )

M S -

0 . 0 0 . 6 0 . 8 0 . 6 0.7

0.4 0 . 0 0,5 0.4 0.4

0.4 0,5 0 . 0 0 6 0.5

0,5 0 . 6 0 . 6 0 0 0 30.7 0 . 6 0.7 0.7 0 . 0

K o ra k f>: OdredivEinje tnatriee iiesaglasnosti

M N S =

0.0000 1.0000 1.0000 0.2400 0.9700

0.5958 0.0000 0.3593 0.4790 0.561S

0.9371 ] .0000 0,0000 0.7184 1.0000

1.0000 1,0000 1,0000 0.0000 1.00001.0000 1.0000 0,6003 0,9579 0.0000

K o r a k 6 ; Odredivaiije matrioe s a g k s n e domiriacije

PIS -0 .5 5 5 0

MSD =

0 I I I 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 i 1 0 01 1 l I 0

280

I 't vebiierijirmsko odlučjvanjt

Korak 7; Određiv^rje matriee nesagJasne dominactje

PINS = 0 8 2 1 3

0 0 0 1 0

1 0 1 1 1

0 0 0 1 0 o o 0 0 n0 0 l 0 0

Korak 8: Odrednsrtjt' matricc agregativne GominacjjL'1

M A O -

0 0 0 I 0

0 0 0 0 0

0 0 0 I 00 0 0 0 0

0 0 l 0 0

Ku i dk 9: Hliminisanje manjc p o id jn lh akcija

I) posmatra se M AD :3 j > 0 J

£12 > W T 0

£13 > 0 j 1

> 0 , 0

> 0 , 1

2) uporiidni pre^leđ akcija;

a^ - ne dommtra

a 3 a 4

a j - n e domintra

a 5 a rT

3) posm atraju se sitLiacijc li kojima postoji izvesna dominantnost, pa jc skup

najprihvailjivijih alternativa. a* “ J

281

OPERAĆIONA ISTRAŽIVANJA

Primer 4*

K,oristeći originalnu v e r / i jn m etode E L E C T R B izvršiti izbor jc d n e od Četiri a ltem ative na osnovu datih p ć t kriterijum a.

Početna m atrica od lučivanja glasi:

fj [rnii?;] r ^(rtiin) fjdnin) f^(ira\j

'262

236

2000 =

294

2031

40

25

3E2

318

316

319

y

87

9

10

1 1

9

10

K o ru k 1: Izra& m avanje n o n n a l izo v a ae mraricc odlttčivanja

f|(wa\} fMnq:n] fjiniifi) t^[ma\J fj(nax)

0,5232 0.3340 0.4933 0.5427 0.4988

0.4713 0.5177 0.5028 0.4S24 0.5486

0,3994 0.66S0 0.4996 0.4221 0.4489

0.5871 0.4175 0.5043 0.5427 0.49&B

N =

K o rak 2: Izračunavanje težinske normalizovane matrice ocliućivanja.

Vektor preferencija: T - [0.2; 0,2; 0 .1; 0 .2 ; 0.3]

TN =

f| (niaXf \ irijn) f^ (hnini f^ (maji l f j

a I 0.1046 0.0668 0.0493 0,1085 0.M9Ć

a 2 0.0943 0,1035 0.0503 0.0965 0.1646

0.0799 0.1336 0.0500 0.0844 0,1347

a J 0.1174 0.0835 0.0504 0.10S5 0,1496

K o r a k 3 : O dredivanje skupova sagiasnosti i nesaglasnosti

{ ^ 3 , 4 ) NS | 2 ^ ( 5 )

S l 3 = ( 1,23,4,5} N S 13 | ( 0 )

S |4 = (2F3.4n5j N Si 4 - ( l )

NS2 ] = { \2 ,3 A )NS2 3 = (3)

s 2 4 = a s ) NS2 4 -(U2>4)

S3 1 = ( 0 ) N S j l - (1 2 .3 ,4 ,5 )

S3 2 = (3) NS3 7 - (1,2h4.5)

S34 - (3) NS3 4 - (] ,2,4h5)

S4 1 — (1,4,5) ^ 4 1 = (2,3)S4 2 = (1,2,4) N % = (3,5)S43 = ( ! +2,4,5) NS4? - ( 3 )

282

f 'i wknierifitmsko odfoči\ anje

K o ra k 4; Odrodivatvje m a tn c e saglasnosti

MS =

M S p r = - l i

0 00 0.70 100 Q M ]

0 .30 O.Ofl n 9 0 0,40

0,00 o.io o.no o.io

0.70 0.60 0 9 0 0.00

k o r a k 5: O dredivanjc m airice n e s a g la s ro ^ i

'O.OOOO 0,4073 0.0000 07653

t.noon o.onon o o i o ć i.oooo

i.oooo i.oono o.onoo i.oooo

S .0000 0,6457 0,009*1 0 0000

MNS

Kurak 6 : Odrcdivanje mamct; šaglasne dominacijc

PIS “ 0 ,5 4 17

M S D tt

0 I l I0 0 1 0

0 0 0 0

1 1 l 0

K o r a k 7: Odredivanje matrice n saglasne dominacije

PINS - 0 ,6464

MNSD -

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 1 1 0

K o ra k 8 : O tired ivarje m atricc agrega tivnc dom inacije

m a d =

t I o0 -- t DO 0 - 00 1 \ - J

K o ra k 9: Eliittittisanje m anjc poželjn ih akcijii

283

OPERACIONA ISTRa ZIVANJA

a^£12 &J

a^ ne d o m in ita a* -> a2h a 3

lz nacrtanog grafa v išeg re d a h prtfiTia M A D , ja sn o inozcm o uocitL da su a ltem ativs □ i i a^ jednake zbo* najvećeg broja Lzla?rnih tokova (2 ), pa ih m pžem d, prem a inctodi E L E C T R E £ f. sm a tr i t i dom itian tn im nad oslaEim Eihemativfinia.

a * “ a.iL

8.1.2. M E T O D A PR O M K TH EE

M etoda P R O M E T flE E spada vi kiasn m ctoda v i^k rite ri jum slćog raiigirEinja altem aliva. Ttcrativnog je k a tak te ra i saslofi se iz odredenog broja koraka. O suova kiasa problem.'L koja sc može rešavati o v o m m etodom je iz domena viSekriierijum skog odlučivanja! odnosno rešavaju se oni problemi u kojim a j e iz konačnog skupa a ltem ativa A , potrebno izabrati najprilivatljiviju, na osnovu deflnisanOjg broja kriterijuma.Matemalicka fbrmuladjii poblema glasi:

m ax [k j (a ) s k ^ ta ) ..... , k n(a)], n > 2 . a e A (S.9)

gdc je:A - konačan raspoloživi skup alrcrnativa;k p kn> n kritcrijum a, definisanih od strane donosioca odtuka;

M etođa P R O M E T H E E , evo lu ira ia je, pa tako postoje njetie četiri verzije, m ada 5e za reSavanje ovako defln isanog p rob lem a, u ovoj knjizi koriste dve ve tz ije m etodc PR O M E T H E E (I i II). Pri tom c trcba nagEasiti da m etoda P R O M E T H E E I pom aze donosiocu odlukc u delinručnom rangiranju a ltem ativa , dok m etoda P R O M E T H E E 1 1 , om oguču je potptino rangiranje altcm ativa ,

Radi što boljeg m zum evan ja rada m etodc. pretpostavim o situaciju da je p p treb n a izvrSiti poredenje, za jc d a n kritertjunn tipa m aksim iza tije , dve akcije a i b, odnosno:

a h b c A r> k(a), k(b).

Pri lom e je potrebno defm isati tzv.* fnnkciju prcfcrencije Pn kao stepen značajnosti jedne altcrnativc nad drugoin i eo:

f\k {n )^ r{/?)j,ako j t k(a) > k{h). (8 . 1 0 )

0 S ako je £ £(6 )

odnosuo:za situacijti: k(a) > k(b) => a P b (a požcljtiijc od b); odnosno: k(a) = k(b) => a 1 b (a je indiferentno sa b).

284

J tičkriterijumsko odiučntJttte

O s n o v n i k o r a d m e ta d e

korak 1: ProSirenje smikiurc preferencija i nvf>đcnje op*tcy kriterijuma

V'rednosl Fur.kcijt prefcrcncijL' krečc sc u ir te rv a lu [0T 1]T o đ n o sn o veća p refercncija izražava se vcćom vrednoSću funkcije i obrnuio* šio se čita na slcdeći način:

P fa,b): p re fe ren ca a u o dnosu na b ,

Pri lom su m ogučc sledecc kom binac ije izra /avaitja funkcije preferencijc:Pfa,b) = 0 nem a prcfcrencije, indirerencija:P(a,b) s (I slaba prcfcrencija . k(a) > k(b;P (ahb) ~ 1 ja k a prefcrencija , k(ai » k(b);P(a,b) = I stroga pref'erctttija, k (al > » k (b)T

p o s le t e g a se zflključuju da pt>siojc sledeće osob ine funkcije prefercncijc:

I . O S P ( a fb j Š I 1

2. P { a ,b )* P{b,a).

G rafički prcdstavJjeno to i/iileđa:

APfltf

X'K{s)'K(i&)

m m

Slika $. I ■ 'redmnsri funkc ijt ptefitrenci/e

Drugi naćin prikazivanja Funkcije preferencijc je uvodenje promenljive xt i to:x ^ k{a) - k(b)

285

OPKRACIONA /STfiUŽllA S.^

Odnosuo grafički;

O snovni preduslov rada m etodc P R G M H T H E E t j c derinisaii opšti tip k rite rijum a za svalci pojcđinačni kritcnjutri k(a), Postoji Likupno 6 tipova opšteg krjterijum a. P rilikom kreiracjL konkrctnoe m odela 7a svaki iip opStcg k rjtcn jum a po ircbno jc odruditi parametre, U nnrcdnotn delu dajc sc. pojcd inaćno i/g lcd svakog opšicg kriteTijuma sa gianicama / a odgovara juće param oire.

Tahela £ . / , Tipavi opšteg bifarûma

236

r 'išekrtlđrijumska odiučtvanje

u u___

__________

_____

IV NrVO kHt;ri|Uiri

fPt#

Rif) =■1 i i im n x

..................

C KL

] i č n

q = 1 p - ' A

Tip

1

Ćt

V Krrter jum ln eame sapođrucjtm nđ:l

'PCO. . .

---- L_!-----^m n x

pfeisrencije•rerisnash

■0 x S m:(- m _ ----- ut a jt < nn - iyi

] X V n

q = J p = 0

K o r a k 2 : Kotistrukcija grafa vtšeg ranga

Posle dfifinisanja tipa opčteg k n te n ju n ia , pptrqbno jt? otlrediti vrcdnost Ibnkcije preferencijc akcije a u Ifdnosu na b po sivakom kriterijum o i izraČUMti tzv. indetcs preferencije (IP ) iikcije a u odnosu tia akc iju b. uzimfljliči u obzir svaki par akci ja U skupa A.

Jndeks preferencije se izračunava slcdećom rcSactjom:

v y b i A : B > ^ b ) = ^ t J| j ( a ,b ) ,b 2 t j:«?l. (8 . 1 2 )1

Ukoliko se dcsi da svi kriterijumi imajj ištu težinu* §dnosn& da je tj= 1/n tada je:

I P ( a , b ) = —T p (a, b>. (8 ,13)

O sobine indeksa preFerencije su sledeće:

1. 0 < iP(3,b) < 1 ; i n a , a ) = 0

2 . JP (a ,b ) -0 , s iab a p referenca a u odnosu na f rz a svc krirerijume;

JP (ahb)- l, stroga prefercnca a u odiiosu na b za svc kriterijutnc;

3. IP (a,b) JP (b,a).

Procenjeni g raf višeg ranga je graf> t i ja sn jezg ra dopustive a k d je , i za svaki parakcija a i b odgovarajući luk (a ,b ) Sma vrednost fijihovog indeksa preferencijeIP(a,b), videti u [3].

28 ?

OPERA CIONA tŠTRA V.IVAS.IA

IFVa.b]

<2

Sfika 8. 3 Proc en je tii g i'a f vtSčg ranga

K o r a k 3: Korišćenje relacije v išeg ranga kao pom oć u odlučivanju

Poiom se z& svaku akciju izračunavćt j^z it iv n if izJazni) i tiegat[vm(itiazni) tok.

Pozitivni tok ( i z l a m tok) tzračunava:

Ovako ćtefinisane tokove treba tumaćiti na sledeći naein:

što je veći ielazni tok za akciju a, ro ona više jdominira rtad ostalim akcijam a, odnosno, Sto ie manji u la /n i tok, t o j e manji broj ostalih a k d ja koje dom im raju nad akcijom a.

Grafička prezentacija poinenutih tokovfi izgleda:

(S-14)

p - ukupan broj a ltem ativa u m odeht Negativni tok {ula?.ni tok) se izračuriava:

(8,15)

h

T +(a) T'(a).SVii/.'ir] H.4. Ukizuo-izhzsu tokovl

28$

I 'iš ekri tenj\ tmsko odfućivanjt

Dtfinisaiêin dva potpuna poritka (pfcdefinisanosii i indifeientnosti) [P+t 1+] i [P-. }-)■

a P -1 h ako i sam o ako je T 1 (a) > T +(b);

a I N b ako i sam o ako jo T ' (a) = T 'C b);i

a P ‘ b ako i sam o akn je T"(ai < T '(b);

a I‘ b a k o i sam o akn j e T"U) ™ T '^bf.

(8 1 6 )

i ra /m a iran jem prcscka ova d \ a poretka m o g jč e je pn metodi P R O M E T H E E !

defm isati PA R C IJA L N ( P O R E D A K (P 1 ,1 1, R) kao:

a P b a k o i sam o ako je I

a P 'b [ a P "b

a P ‘b i a[ b t 8 1 7 )

ai b i aP b

a 11 b ako i sam o nko je a l J b i al"b a R b u osta ltm slučajcv im a.

Na ovaj račm je koriščenjeTiiijnetode PROMETHEF t dffmisana delimiOna relacija (rc lacija delimifinih poređaka)f koja donosiotu odluke daje graf u kcme je ueke akcije mogućc tlpotcđivatu a ncke nc. Da bi se điminisali nedostaci pristupa delimičnih relacija, razvijcna jc nova vcr/,ija rnctodc. PROMETHEE II koja taj problcm r Šava na zadovoljavajući način, čimc sc d.ij svojevrstan doprinos iconji vifcekritčrijumskog odlućivanja, [3].

P R O M R T H E E H: rangiran jc akcija u P O T P U N O M P O R E T R U

Nft osnovu izraza za lokovc viScg ranga m o/.č st- đcflm sati ćisti tok (ili balan^ toka):

T(a) = T +(a) - T '(a ) (8.18)

koji sc m ože jođn o stav n o upotreb iti u rangiittnjii akcija:

9 p U b ako i sam o ako jc T (a) > T(b)

a I ^ b ako i sam o ako je T (a ) = T (b) (S. 19)

Prim cnom m ctode P R O M E T H E E II dobija sc potpuna rclacija kod koje su svc akcjje i7. A po tpuno rangirartt^ j e r se p n razm airanju svakog para akcija. 2a jedno te^m am a dodetjenim k o risn tik tm kritcrijum im a, m o tc desiti sam o j td n a od dvc gore navudene m ogudnosti. [3],

2X9

ĐPERAClOm ISTM žIi A,\JA

I L U S T f tA T lV M P R IM K R I

Primer LZa defin isanu matricu od lučivanja sa 4- aliernaiive i 6 k iite r ijum a izvršm izbor Eaj prihvatIj i v ij e a 1 tem ativ e konsteć e rne todu PRO M I :T 1-JE H .

k j k ,

max max max min max

3: '1.5 1.0 1.5 6,0 7 ^ "

i ,i. 1.8 1.5 1 1 9.0 9 7

i j 1.6 1 .2 1.4 7.5 5 9

1.4b._

0 9 1 . 6 5.0 J 5 _

K o ra k 1: OdrediU zl\ svakl krUerijjm tip opčle^ kriterij unna, parametrc i težine.

Za postojeće kriterijume, doôsilac odluke je izabrao sledeće tipove (sa odgova- rajućim parametrima i težinam a ):

1 V IV III IV IIm — - 0.20 0.20 - L00 3.00n - -i 0.50 0.30 2.50 2.00 -

t e ž k e = š m 0.20 0. 1 0 0,30 0.20 0, 10

K o ra k 2: Odredili vrednosti runkcije prcfeTeneije

P j ( | i , a s ); j, s = 1 ^ ;

O vde su dati rezultati Siimo za p&rpve (aj, S - 3,4 i sve kriterijum e kj, j = l , 6 .

k | - tip I:

( a j , as ) x = k ] ( a j )’k] fas ) p l ^ | , a s)

$ = 2 1.5 - 1.8 = -0.3 0s - 3 L5 - 1.6 = - 0 J 0a = 4 i .5 - 1 .4 - O J 1

k^ - tip V: m=0.2; n=0.5;

x - k 9( a j ) - k 3 (a5) p 2 (a b a s>s - 2 1 - L5 = -0.5 0s = 3 1 - L2 — -0.2 0s = 4 ] - 0.9 = 0 1 0

r

290

r 7<ekrtlerijitmsko ottiučivanjz

k^ - lip IV: m - 0.2; n ^ ) 3 ;

(a [ % as) xr 3(a])-k3(as) p3<ab as)s = 2 1,5 -1.1 - 0,4 1s = 3 1 5- 14 “ 0.1 0$“ 4 1.5 - 1.6 - -0. ] 0

k^ - Eip III: n -2 .5 ;

U |> a s } \ - k 4 U f H i 4{as ) p 2 (a 1 *%)s - 2 6 - 9 = -3 1

s ^ 3 6 - 7 . 5 = -K5 0 ć£ ^ 4 6 - 5 - 1 0

k^ - tip IV; m = l ; n=2;

(a 1 *as ) x - k 5{aj)-k5{as) P5(a1+as)

s - 2 7 - 9 - - 2 0s - 3 7 - 5 - 2 1s = 4 7 - 3 - 4 1

k ć - tip 1 1 : m -3 ;

l a ^ a s )

s = 2 5 - 7 “ -2 0r*i111* 5 - 9 ~ -4 0

s - 4 5 - 5 0 0

Sa ovim postupkom je potrchno nastaviti i za sve preosinle pargve akcija (aj, a j ; i, s = 2 ,3 +4 .

K o ra k 3; Odrediti m deks p rcfercncijcTP(a|, a^); i, s = l ,2 ,3,4; i * s.

IP{alta ,) = (a,,«,); { £ / , = I)/-I /«it

IP<a(_ a 2 ) = 0 . 1 0 *0 - 0 .2 0 *0 - 0.10*1 - 0.30*1 + 0 , 20*0 + 0 .1 0 * 0 - 0 .4 0 0

■M £n a3 1 34 T* T

a i 0.000 0.400 0.380 0.300 0,360 0.087

a2 0.500 0.000 0.367 0.500 0.456 0, 1 1 2

0,200 0,230 0.000 0.467 0.299 -0.067

0.120 0.400 0,350 0.000 0.290 -0.132

T 0,273 0.343 0.366 0.422

291

OPERACJOSA iSTRAltVANJA

Korak 4: fedrediti uU/.ne i izlaznc tokove svake akcije

lzračunavanje ulaznog itikn npr. za akctju a \ f

T*[a,) = — 1 — y iP (a , x > = );(4 -l)*(0 .400+ 0 .3S0+ 0 .3 0 0 ) - 0.36 ( p - 1 ) "

T - ( a . ) = — !— - V lP (x ,a )= |.(4-U*(O.,iOE140.2O(W0 120) — 0.273( p - J) *■'

I tako redona i;a prcostalc alternative.Na Osnavu i^računatih lokova. pcrcdEik za prve dve a ltem $ iv e glasi:

a i P t 32 ako i samo ako jc T * f a i ) > T"f"(a2 ) => nc

ako i sam o ako jc T 1 (ai ) - T ^ a ? * => ne

aiP 'a; ako i samo a k o jc T la j ) <T'(&2J=> DA

a^Ta^ ^samo ako je T " (a j ) -T _(a2) :r;f |ie

An&logno sc nalazc E reûitali £a ostale parove akcija,

K o ra k 5: Odrcditi parcijalnc poretki5 za sve akcije (P'n I'+ R)

Za akcije a j 1 m parcijalni poredak se račnna n a siedeći natin:

a .P 'a ,

a ,P +a :i i a hP nft i DA

& P + a , i a, T a ;i nc i rte

a , r a 3 i a . P ' a : f nc i DA

a, T a ^ a . I ra, t a, I- a? ne t ne&i K a^ neuporcd ive u ostalim slucajevim a DA

Za oMtale akcije rczultati svi navedcni u tabeti;

*1 $2 33 a4

*1 - nc DA DA

a2 ne DA DA

on ne - DA

a4 nc ne d a -

K o r a k 6: OdređtvaEije m atricc v isih rangova

iMatricu viših rangova Cine elem cnti kdji z^dovoljavaju slcdeći uslov:

a iy“ ^ ai aS'

Viickrirenjumsko ođlućivanjv

Tako dobijam o m atricu visih rangova

a l 3 23 4

a ]- 0 [ l a ; = i ( a j T ; t 4 )

a 20 - 0 J

a 30 0 - 1 a 3 ^ a 4

a 40

0 o -

K o ia k 7r K onstrukcija g iafa v išcg rctta i rangiranjč akcija u potnunom poreiku

G ra f dom inacjje ( g r i f v i i e g rEinga), vi\ postavEjcni prim er glEisi:

a 3 a4

Shka 8.5 G raf višeg ftthgii /x> P^ĐjW£T//£E /

T ( a j ) = T+ (a j ) - T"(a j ) = 0 .36 - 0 ,273 *0-086,

Ćtstt tok T svake akcije ghisi:

Ćlit (ok 'l

31 40r0S666T

n 0. 1 1 2222

a3 -0 066667

a4 l_ *0.132222

K oj a k 8 : Rangiranjc akcija prem a veliičini či^lo^ toka

T RANG

a l 0.0&IS667 2

32 0 ,112 2 2 2 1

*3 -0.(lfj&C67 3

34 41.132222

O cigledno j e da akcija a 3 (k 'tinnira nad sviir, ostalim akcijama.

Primer 2,Na osno™ b f o o n a d j e 0 pO\'ećanoj ira^njt cKir^derish \r,sia tchničke robe privalno lic-c otvara finrtu ,rFOKKXPC )RT" za p rodaju td e fa k s itpdrata.T rcnu tno na trzi.stu postoji m ogućnosl uabavkc jcd n e od ^^tiri vrstc iiparata (JVC* l’anasonic, A T& T, T osh iha ) r to titi osnovu 5 kritcrijuma:

Aj - troškovi odiLčuv;uijaA j - brzina radaA 3 * ccnaA4 - pouzdanosl

- kvalitčt obfLitlc

Poćetna m atrica odln£iv;inja

OPERACIONA iSTRAŽjVASJA______________________________________________________________________________

Krit ] Krit 2 Krit 3 Krit 4 Krit $Akcija 1 150,001) 1 2 . 0 0 0 1900.000 ProHck VisokaAkcija 2 \W -j[>u : 5 O00 1600 0 0 0 Visoka ViEiokaAkciia 3 160,000 1 0 .0 0 0 ] »0 0 .0 0 0 Vjsoka ProsekAkciia 4 140.000 9 0 0 0 ] 450.000 Piosek Vjsoka

Parametri m odela glasc;

m in im um M A X IM U M m inim um M A X IM U M M A X 1M U M 1TeA. vek. 0 .10 0 0.250 0.250 0,200 0.200Ops, kr. 5 4 ] 2 3

m param. 0 .10 0 0,300 1 6 0 0n param . 0,400 OX)OD 2,700

gde su;

K vantifikovana m atrica ođ luč ivan ja

150,000 12 .000 1900.000 5.000 7.000180.000 15.000 [600,000 7.000 7.000lon.oon 10.000 1800.000 7,000 5.000140,000 9.000 1450 000 5.000 7.000

Vrcdnosti funkcije prcfcrcncija:

Tttbehs 8.2. Vrednosti funkcije prefcrense

f

P l ( a l »a2 ^=l .000000

P 2( a \ 2^0.000OO() P 3 ( a ] ,a 2 ) K ).000000

?4{ ^ 2)^0000000 P5(ai * 2H>-O0OO<K>

? l(& lA 3)= i .000000

P 2 ( a h a 3 }=a.000000

P ^ a i^ J ^ .O K O O O O

P 4( a j ^ >=0,000000

P S ( 4 M 3 ) -0 ^ 4 0 7 4 1

P 1 ( 3 1 .a ^ J -0.000000

PT(a | ,3 4 )“ ] ,000000

P^(a | ha 4 ) - 0.000000

P 4(a ] ,a4 pO.OOOOOG

P 5< ai,a4>=0.000000

294

Vi&ekriterijtitu.'iko odiučiv&njč

P l ( a 2. a i ) = 0.000000P 2(a2'a1 ) = 1.000000 P 3<a2 .a | r - 1.000000P 4(a2, a i ) = 0.000000P 5U 2,a i)O O O C O O O ,

% ( a 2 =0,000000 P ^ f a ^ H - O O O O D O

P j ^ a j ^ ^ L O O O O T

P4(a7,£L3 )■’0.000000P ^ | ^ | W 4 J

Pi ,:i4 r 0.000000P ^ a 2Ta4) = | 00( | W

P ^ a & ^ H k O O O O O O

P 4 ( a 2 ■ a4 1_ ■ 0 0 0 0 0 0

P &2* a4) "0 ■ 0000Pâj^^-'O.OOOnOO

P 2(a3^ l ) = M 0Čfo00 P3 (23^ ) = 1^300000

P4U 3 »a 1 ) = 0.000000 P 5(a3 1 > -0 .0 0 0 0 0 0

1.000000

p 2^V>>a2)= 0 0 0 0 0 0 °

P 3 ^ a 2 3 f 0.000000P4( :' 0 .0 0 0 0 0 0

P5 (a 3 n a ^ ) “0.000000

P ] ( a j a^Ô .OO 0 0 0 0

P 2 (a 3la4}---1. OOOOOO

^ 3(33^ 4)' -o .oooooo

P 4 f 33, a4 )^0.0Q 0 0 0 0

^^(aâ^JÔ .O O O O O O

P 1 .0 000 00

P 2{«i4„a | )-0 00()000 P 3(a4,aJ ) ~ l ,000000 P 4 (a 4 ,a j )“ 0.0 0 0 0 0 0

P g { a 4$ i ) = 0 * 0 ( $ lp 0 0

P] (114.32)= 1 .0 000 00

P 2 (a4 ’a2 H V 0 0 0 0 0 0

P 3(a4,a2)= 1 .0 000 00

P4(fl4 , 2) “ 0,000000 P ^ (a 4*a2); =0,000000

P ](ia ^ a 3)= t .000000p 2o34^3 )= o ,o a o o o o

P 3(a4,a3) = l , 0 0 0 0 0 0

P 4{ a4la3) = 0.000000 P 5 ( a ^ a 3 H ) ^ 4 0 7 4 1

Tabe]a parova potpunih porcdaka

Tabela 8-S. Tahefo parova potpiittog poreika

ne ne ne ne DA DA ne ne ne ne ne ne

PAD A ne nc DA DA tic ne DA DA nc nc1 ne ne ne ne ne ne ntf ne -- ■** ne ne ne ne

D A D A n e nc ne ne ne ne DA DA ne ne *

Tabela 3.4. Tabela pLtrci/aiiog poJ~e!kii

t “

N e DA D AD A DA D Ane N e N e

D A nc DA

Matrica visih rangova

1 -0 ! L 0 II

1 ~ - L10 0 ; _ 0

1 t. 0 1

295

OFERACfONA iSTRAŽJVASJA

Stiku Grafh'išeg ran&ći po mctoiii PROMEtitEE 1

Tabvfo. 8 5. Tabeia iiitdekiu preferenw

T +-- ------ =c—:-- . --

T

0 .000000 0 .1 00 0 00 0.49H14tL 0 .2 50 0 00 0,2827 lf> -0 .083951

0 ,500000 o .ooonoo 0 . 6 4 8 & 0 .2 50 0 00 0 .466049 0.2& 2716

0 .250000 0 . 1 0 0 0 0 0 0 .0 00 0 00 0 .2 50 0 00 0 .200000 -0 .3 4 S1 4 S ||

0 3 5 0 0 0 0 0 ,3 50 0 00 0 . 4 9 S I4 S 0 .0 00 0 00 0.3993 S3 0 .1 49 3 83

T ' 0 .366667 0.1R 3333 0 . 5 4 K U 8 0 .250000

N a osnovu izračunateg cistoij toka (T), [noijučt; jt: defm isad polpurtl poredfik a ltcm ativa (akcija) u m&delu,

Najveća vrednosi toka odgovata dnjgoj Mtemativi; 0.232716, Sto znaOi da je tiajprihvatljiv ija akeiTialiva

Potpim i poredak atternativa na osttovu čistog coka je a^, a j i 3 3 ,

P rim er 3*

D a ta je poeetna matrica:k.1 k j K k-

mtn m ax tnin max tnax max min

^2.2 t .3 1.6 4.8 7 3 1 2 "

3 ; 2.5 1.4 1 1 8.2 9 7 K

a 3 2,3 0 9 E.5 7.0 7 9 14

L9 0..7 1.7 4.5 3 5 1 1a , 2 .1 0 8 14 6.0 5 8 9

Izabraii najprihvatEjivij j aJtemativu pnrnenom metode P R O M E T H E E .

K o r a k 1: Odredtli za svaki kritcrij Jin ttp opšteg kriterijtrma, parametre i te /i:ie

Tip: 11 I III III V IV Vm = 3 0 - - - 0,3 1,5 0,3n = “ - 3.1 2 .K 0.6 3.0 I u 6

težine ~ 0.1 0 J 0 2 0.3 0 .] 0.1 0.1

i'išekt'iterijttmska ođluCivanje

Kfn ak 2: Otlredili Amkcijc preferencije

k l - tip II: m = 3 ]Š

(M **s) \ - k j { a i ) - k i ( a s ) P l(a j. a^)

s 4 2 2 2 - 2.5 — -0,3 03 2 2 -2 .3 - - 0.1 0

s = 4 2 2 - i , 9 - : 0,3 0s = 5 2.2 - 2 .1 - 0.1 0

Korak 3T korak 4: Indcks prcferencije, ulazni i izlazfti tokovi svake akeije prikazani su slcdećom tahclom .

a ! a2 a3 a4 a5 ■j-H T

»1 0,000 0.000 0,200 0.239 0,200 0 .1 5 % -0.2302

a2 0.726 0.000 0,448 0 .6S2 0,549 0.6012 0,5887

a3 0.342 0.050 0,000 0.581 0,307 0.3200 0,1064

r a4 0,150 0.000 0 ,10 0 0.000 0.000 0.0625 -0.4579

95 0.342 0.000 0 .10 0 0.580 0.000 0.257 0 ,0069

V 0,3899 0,0125 0,2136 0.5204 0,2639

K orac] od 5 d o S nžsu ekspiicitno prikazani, jfer rezuH$ti ceie p rim sne m etode na avom prim eru vide kroz poslednji korak.

K o ra k 8: Rangiranje akcijit u potpunom poretku

.......................... T R A N G

a i -0.2302 4

a 2 0.5SS7 1

0 .1064 2a4 -0 .4579 5

0.0069 3

Potpuni porcdak a ltem aiiva a 2> a j > a g > a i > a 4 .

Prim er 4.

M etodom P R O M H T H E E II izvršiti izbor najbolje računarske oprem e za jc d an računski centar, na osnovu 6 k riterijnm a {vreduosti a tributa nisii a z u m e )T a na itispolaganju sloje 4 t ipa racunara, A i , A ^ n A 3 i A4 :

29 7

Akcije:

A j »ftosotMnama P3 1.0G H z; H Đ D 4 0 G b ; Š v S A 1280+1024; 1375 E U R &

A 2 - s a o so b in a m a P 3 /J .4G H z: H D D 4 0 G b :S Y G A ]2 S 0 + m 24: 2100 E U R đ

A 3 - sa osohinam a P ® 900M H z; M DD 20 t ib ;Š V G A 1280*768: 1075 E U R O

A 4 - -saOšobinaftia P2 r9 0 0 M H Š HD D 4 0 M b;SV G A 800*600; S200 E U R O

Kriterijumi:k \ - Centi (EU R O )

- Brzina: (MFfz)

k^ - M othcrboard (fcvalitativna occna}

k^ - SV G A rezoSucija (pikseia)

k^ - OpSti ulisak (kvalitaiivna occtia)

k^ - Pou2danosi

OPERACiONA ISTRAZlVASJA ___________

T abela odkičivanja giasi:

Krit I j&rvt 2 K rlt 3 Krit 4 Krit 5 Krit 6

A kcija J 2750 .000 45.000 vrlo vrôka 250.000 1280.000v isoka -

v r .v isokaA kcija 2 4200.000 66.000 vrlo visukn 370.000 1280.000 vr.v isoka

A kcija 3 2150.000 33.000prosekv isoka

2 " 0.000 1024.000 Prosek

lA k d ja 4 2400,000 m,m vi soka 120,000 j K00.000 V isoka

Param etn m odc ia glase:

r ~ . min max max max m axTcz. vek. 0,200 0.200 0 .10 0 0.200 OJOO 0.200

f Ops. kr. 4 4 2 4 2 31 m param . 2500.000 33.000 7,000 200,000 1024.000| n param . 3500.000 66.000 300,000 8.000 .

Kvantifikovana matrica ođlučivarvja:

2750,00 45 ,00 9,00 250,00 1280.00 8,004200.00 66.00 9.00 370,00 1280.00 9 .00

■ 2 1 5 0 .n o 33 .00 6.00 2 10 .0 0 1024.00 5.00|_2_400.n0 40 .00 7.00 120.00 800.00 7.00

298

i ndiučivtmje

Tabefa 8.6. Tahefa vrediiosti funkcije prch*> u ija

0.0000P>(nh[t;}: ■ 0r(]000 0.0000

Pj{aLha: J0.0000

PS&i.ai)"0.0000

P ^ a a ) “0.0000

P if i lpaO ■ 0.0000

P3fatlai>- 0 0000 0.0000

Pj(a-.y^) :

t>.oooo 0.00(10P .3) )

0.3750P i(a!ha,)=

O.fKJOOPrfa !*&,)=

o.tmoP*<a:TaU

O.OOOt)1-1

O.OtKKJP$(a|Ju}

0.0000 0.3250P :(a ^ a j

0,0000 0.0000P>{a:,a. h

0 0000Pj{a:.a,}'

0.0000P- ( . Uj ]■'

0.0000Pf.<a2,a!

0 1250

o,ooon o ooooPi(il:.Eli)-

O.OtJOOJU u :,^ ) ■

0.0000 0.0000Pfifai.aj)

0.5000P;(Sj,ai)=

0.0000P rfaaA i^

0.0000P ^ a : .a,il

00000■

0.5000JM-VAi)-

oooooP ^ a : ,a j |-0.2500

O.OOCOP âi,a i)=

oooooP j l a ^ i-0 oono

P ^ a ^ a ;)- 0.0000

N l j j i l p 0.0000

P*tai,fl[)“ 0 0000

Pifaâ^)-0,OCŠM)

P ;(ava i)»0.0000

■0,€000

P jlaâ iJ-0.0000

P d a i.a i)-0.0000

P*(aj,a3)~0.0000

P ^ a ^ H 0 0000

P^fliHai)-0.0000

P j(a i,aO -0.0000 0.0000

P ^ a i ^ h 0 0000

Pttaâ*}0.0000

Pjf ! ; .□ ) - 0.0000 0.0000

P?(a4.a,)-0.0000 0.0000 0 0 0 0 0

P ^ a ^ 0 0000

P i t a j ^ 0 0000 0,0000

P0.0000

Pj(a^.a ')-0.0000 0.0000

P i(a j,a ;)-0.0000

P il i.a.T.)— 0.0000 0,0000

P>(aâj H 0,0000

)-0.0000

P<.(iU^)-0.0000

P^(aj.a3)^0.2500

Tabcla S. " . Tabeta parnva polpunag poretko

ne ne N c D A DA cie nc DA DA nc neDA DA ne nc — w# DA DA nc nc DA DA ne netie N e nc ne ne ne N c Nc ne ne nc nc

[ U i J N e nc ne ne ne Ne Nc DA DA ne ne +*■— — — S M

Ttiht'In Tabelti parcijafnogponetkct

— N e DA D ADA — DA D Ane b;e — ne

li N e N e DA - -

M atnca visth rangova:

0 I ]1 1 \0 g «* 00 0 I -- ,

QPERACfOXA iSTRAŽIt'ASJA

JaheUt 8.9. Tabeift utdeksa preft n'tit. r

T + T

0.000000 0,000000 0 ,075000 0.025000 0.033333 0 ,0250000.025000 0.000000 0.100000 0.150000 0 0(J ] 667 0,09Krf>70.000000 0,000000 o o o o o o o 0 000000 0.000000 -0 .075000 10,000000 0.000000 0 .050000 0.000000 0 .0 ]6 6 6 7 ^0.041667 |

T- 0 0 0 S 3 3 3 0 000000 0 .075000■

0,058333 iG ra f v i ie g ratisa glas;:

i * * ■<----------------*

silka 8 7 Gritf Vivrg ranga pc m i'tndi PROKfETHEE /

Sitka H.H. Gruf vileg ranga po metodi PROMETHEE H

Iz ra iu n a ic vrcdposti Cisiiiga toka {kolona T u prethođao j tabeli 8 ,3 ,2 ,9.) zn

posm atrane aliernative ukazu je da j e najprihv^tljiv ija ah em ativa a*= a^ p odnosno

pcitpuni poredak a ltem aiiva |c: a,. a ( a i a , .■ *■ I ■* ?

8.3.3. M E T O D A ANALITTC’KIH H IJE R A R H U S K IH PR O C E SA

ArialitiCia hijerarhijski p roces (A H P), koji je ra?.vio T om as Saaty počeikom sedam deaetih gt;điria p redstav lja u analiz i ođluCivanja, kreiran č z p rn / i p om oć do]iosLOtiOia odluke \\ rcSavanju kom plcksnili problcm a odiučivanja ti kojim a ućcstvtijc veći broj D O . vcčl broj k riterijum a i u viSeslmkim v rem ensk im periodim a, [3].

Područje primene jc \ iSckritcrijumsko odlučivatijc gdc se na osnovn dcfinisanoi- skupa kriierijum a i vrcdnosti a tribuia 7a svnku altcmati\TJ vrsi izbor

300

•kruenjumsko < ivunje

najprihvatljiviie a 1te m a t iv c h odnosno p r ik a /u jc mc pcnpuni porcdak važnosti a ltem ativa u modetti. Rudi lakfic p ritnene m euidc na nckom konkretnom p r im ćm razvtjen jc originatan sofh 'ftr \f k lasc sis tcm s / a podrsku odlučivftnjil [■xpert Choice. Prt tom c ev idem ne ćetiri fa /c prrm cne m etodc:

1. Struktuiranje problcma;2. Prikupljanje podataka;3. Ocenjivaftje relativniK rcžinii,4. Odiredivanje rc&enja probJenia.

( 1 ) S m k tu ira r t je p rob lem a *e sssio ji od dekom ponovan ja bilo kog s loženog problcm a odluCivanja u seriju h ijerarhija. jtdc svaki n ivo predslavlja m anji hroj upravljanih atributa. Oni se zatim dekotnponuju u dm î set e lem enata koji odgovara sledećem nivou itd., op isano u [3]. ( jrafički prjkaz s iu k iu ira ti ja p robtem a predstavljcn jc na Slici 8.9.

(2} Prikupljanjcm podutaka i n jihov im m eren jetn o tpučinjc d r jg a faza m etode A H P, Dono&ilac odlukc dodcljuje rclativnc occnc u parov im a atributa, je d n o g hijcrarhijskoy mvoa, i t o z a sve n ivoc ce lokupnc h ijerarhije.

Nivo 1:

Nivo 2:

Nivo k-1;

Nivo k:

Slika P. Srntkttiiranje probiema

Pri tom e sc koristi n a jp o /n a u ja skala “ dcvet )aćaka’ t prcdstavljcna u T abch 8.1 0.

Po zavrSetfcu ovog proccsn, dobija sC odgovarajuca m atrica uportrdivanja po parov im a koji odgovaraju svakom nivou hijerarhije.

101

Cifj problema

Atribut i Atribut mAJribut 1

Atnbut 1 Atribut i Atribut \

OPERACIOSA ISTRAŽIVANJA

Tabela 8\ 10. Skalti đevet uzčaka

Skala O bjašnicnjc Ran'iiranjc9 A pso iu tno najznaca jns.ic / najpozeljnije8 V com a snažnd ka apso lu tno najznačajnijem i na[požcljn iiem7 V eom a s ti a žrio ka vcotn a značaj nom prožehtiom6 SnaŽi'io ka veom a snažnom5 Snaznijc višc /nača jno poželjno4 Slabi.je ka vise sniižni jem3 S lab i p e vi se znač a j no požc Ij n ij c2 Podiednako ka slahijem viseI Podj cd tia ko značajno pože I j no

0.50 Podjednako ka slabijem m aa jem0 3 3 Slabije m an ie znača jno . poZcijno0,25 S b b ijc ka snaztio m anjem0,20 S na ž no ma n j e znač^j no pt >ze l.i no0.17 S n a in o ka vcom a sna£no man jcm0.14 Izuzetno snazno m anje značajno i požeijno0.13 V com a m ± m ka apso lu tno m anjetn0. 1 1 Apso I Lt tno n eij m anj c značaj no pože Ij uo

(3) Procena relativnib težina je trcća faza tnetode AHP. M a t r ^ a poredcnja ćc se poparov im a "prcvcsti" u p rob lem e odnedfyanja sopstvenili vrednosti, radi dobijan ja norm alizovanih i jed ins tven ih sopstvcn ih vektara, te ž im za sve atnbtitc na svakom n ivou Injerarhije. A | , .....An sa vektorom težm a t~(tj 1 1^, J n ).

(4) O dredivanje rešenja problem a je poslednja faza metocie A H P \ ona podrazum eva n a k ž e n je tzv. kom pozitnog normaliEOvanog vektora, P o ito se odredi vek to r redosleds aktivnosfi k riterijum a u m odelu u narednom krugu pt>trebnti jt; odrediti u okviru svakog posinntranog kriterijuma, redosleđ vnznosti a t tcm ativa u m ode 'u . Tsra kraju svcukupna sinteza p rob lem a, izvodi se na sledcći način:Uče£će svak& altenrative m n o ii se sa [e /inom j>osmatranog kritcrijum a :i potom se tc vrednosti sabem za svaku altcm ativu poscbno. D obyen i podatak p redstav lja težinu posm atranc a ltem attve u mođelU- Ma istl naćin se odi^cđuje i za sve ostale aitcrnative, posle čega se m ože određiti sveukupni poredak a ltem ativa u m odelu . U narednom delu, na konk tre tn im p rim erim a hiće ilustfovane svc p o m e n u te faze p rim enc m ctodc A H P.

M etoda AHP sc pokazala uspešnom pri reŠftvanju niza realnih probiesna kao sto su;- izbor operativnog sistem a za lokalnu m ie ž u j'ačtmara;- predvidanje tea lne cene nafte / a 1985. i 1989. godinu;- izbor poliličkjli kandEdata u am eričkoj poEitićkoj praksi itd.

U nastavku, kao Sto jc rcčeno, biee pi ikazan algoritam rađa m etodc. bcz softverske podrSke pakcta Expert Choice, ćije.je korisćenje detaljno objasnjesio u [3]+

VLŠL'krirerijiini.vko ođlučivanje

P R IM E R I

P rim er / .

Jedan Lurisla jie u situćiciji dti m ože da hira jedan od pbnmfetitl Cetiri z im ska luristicka centra 7z odmor. K r ^ r i ju m i izbora jcdnog od njih su:

A l - ustovi za skijaEijti (kvatita iivna occna);

- cena sm eštaja;

A 3 - udal jcnosi ski siaza od m esta boravka;

A 4 - usiovj sm ešta ja (kvaliEativtia ocena)

A 5 - ku ltum i i zabavlii ž ivo t (kvalitativna ocena),

t..1 ovoj knjizi 6e se za sve p ritnere prim enjivati apioksrniativni postupak E^Šavanja problem a.

M atrica odlučivanja glasi;

4 t

ij

a.o.

VrEo Vi&ok

V isbk

Prosecan

Prosecan

].5 2.9 Visok Vrlo visok1.2 ]rS2 Vijok Prosecan

1.25 S .60 Pro secan \ r rl n v i sok1.25 2.72 Prosećan Proseican

* 1 0-Jzvršiu izbor najprihvaiijivijc a l tem ative , koristcćE m ctodu anaiitickih hijcrarhijskih procesa,

P redhodnu matricn od luč ivan ja poirebno jc kvantifikovatkA.A', A ” A, Ab

0 =*2

a ,

9 1.5 2.9 19

7 1.2 1.82 75

5 1.25 1.60 >9

5 i .25 2.72 55

O đgovara juća h ijtra rh ijska siruklura problem a portiđcnja kriltirijiLma svakog sa svakim deMnisana od stranc ctonosioca orilukc. prcdstavljcna j e sSectcćom m atricom procene:

A l a 2 A 3 1 A4 a 5

* 1 ( 6.0 ) 4 .0 2 0 (3.0)

a 2 5.0 4 0 3 .0

a 3 <2 .0 ) (3.0)

a 4 (3.0)

a 5

303

V rednosii u ?agradam a prcdstavEjaju u sivari i$vertoVani odnos prefćrenćjja , tako da (6.0) na prcseku A \ i A^ im a sU 'amu vredhost u sledećoj matrici p rocene 1/6 .

ProseCne vrednosti šio n isu u zagrađi ozna iava jii prcferencu je d n o g lcriterijuma u o d ro su na drugi (po skali de>-et tačak ah Potoni sc prcračtmava nova tnatrica procene, vrednosti kojc su u /a g ra d am a npr, u presekn - A4 v ređndst (2 .0 ) t

predstavlja se kao 1.2, dok u prcscku A4 - A3 dobija se 2.0.

Za rcšcnjo postavljeriog prtm era. koristim o aproksim ativnu pcocedurti za dobijan je sopStvenih vektora. Ta p ro ced u ra im a slcdcče korake:

K o ra k 1: Freraditi tnatricu poređenja u parov im a;

K o r a k 2: Naći sunm svih e lem ena ta u svakoj koloni;

K o ra k 3: Podeliti e lem ente svake kok>ue 5a suniom vrednosti te kolone, koja jc dobijcua ti p rcthodnom koraku;

K o ra k 4: Naći suiriu svih e(em enata po s \Fakom red u i pniom odrcdifi srcdnju vrednost svakog reda, K olona koja se sastoji od tih srednjih vrednosti jc u stvari norm alizovan i sopstvem vektor.

K o ra k 1.

P rcrađena tabcta uporcd ivan ja tcžina u paroviina n s o sn o v u pt>ćelne mćitrice od lnć ivan ja ska ie od devet taćaka:

OPERACIOHA is t r a ?j v a n j a _________________________________________

A ] r a 2 A3 a 4 a 5

A t 1.0 0.167 4.0 2.0 0.33

a 2 6 0 1.0 5.0 4,0 3 .0

a 3 0.25 0,2 1.0 0.5 0.33

a 4 0.50 0,25 2.0 ! .0 0.33

a 5 3.0 0.333 3.0 3.0 1 .0

S 10.75 L 9 5 15.0 10.5 5.0

K o ra e i 2 i 3,

Svpki eiemenat prethodnc matrice, deli sc sa odgovaraj'JĆim zbirom svojc kolonc.

K 1

A 1

K2

a 2

^ 3A 3

k 4

a 4 a 5

* 6X

k 7

A 1 0,0930 0.0855 0.2667 0.1905 0.0666 0.7024 0.1404

a 2 0.5581 0.5128 0.3333 0.3810 0.6000 2,3853 0.4770

a 3 0.0223 0.1026 0,0667 0.CH76 0.0667 0 3 0 6 8 0.0614

a 4 0,0465 0 . 1 2K2 0.1333 0.0952 0.0667 0.46 9S 0.0940

a 5 0.2791 0.1709 0.2000 0.2857 0.2000 1,1358 0.2272

m

n tekritefitjttmster odtučivtmje

Korak 4.

U ovom korakn sabira ju se sve vreduosti e lem ennm kfiterijum a po redovjm a, a u ov o m prii'nem su u kaloni K ^ . Potom stf i'/mČLtnava srednjdi Vrednost (podaci u

kolorci K^ dele sc sa brojcm krilerijlinia), i prikazitju u koloni Ky. NTa laj naSin je

izračunato učešće ili važn o s t svakog kriterijum a u inodelu.

G rafički prtka? rezultata do ln jem h korisćen jem aproksim ativne m eiode.

A2“ 0.4777 ip p iim iiiig iip n i A5- 0.2272 liilllSlllIIIa | = 0.1404 i n m i i m

a4™ 0.0940 nninAy= 0.0614 111!

Turifita potum procenjujc sva cetiri z im ska ccntra u p dnosu na svaki k iite r ijum pojcditiačno, odtiosno izraČuitava učešće svake alternaLive po jed itia tno u o k v in t postnatratiog kriterijuma.

F ioeene i prioriteh U o d n o su na k n te i i fume:A | - u s lo v i za skijćinjti

» \ *2 b 3 b 4

*1 2.0 4.0 4.0

b 3 2.0 2.0

1.0

Preradena tabela upoređ ivan ja težina u parov im a :

BJ B 2 b 3 B4

§ 1 1,0 2.0 4.0 4.G

b 2 0.5 3.0 2,0 2.0

% 0.25 0.5 i.O 1.0

b 4 0.25 0.5 i.O 9 0

s 2,0 AA) s.o 8.0

Račiinanje sopstveoog v ek tp ra odgovaru juć ih sopstvenih vrijjdnosti:

B]K2

B 2

k 3 K4b 4

^ 5I K*

0.5 0.5 0.5 0.5 2.0 0.5

0,25 0,25 0,25 0,25 1.0 0,25

b 3 0,125 0.125 0.125 0.125 0.5 0.125

b 4 0.125 0.125 0.125 0.125 0.5 0.125

305

OPERACJOtiA !$TRA2nrA \ JA

Poredak aitemativa po pn otn krilerijiunu jc:

B ) - 0 JOOO IIILU E ll l in IlVlllI IIIIIIITT rib 2 - 0.2500 i m n n i i i i j u i i

o . i 2 5 o i m r aB4= 0,1250 n m n

A 2 - cena smcštaj a■

B l ^ 3 b 4

B j 6.0 7.0 5 0

3 2 2 0 (2 .0 )

« 3 ( 3 0 )

» 4

Preradena tabela uporiidivHiija lettna u parovim a;

Bl b 3 b 4

B l i .6 6.0 7.0 | 5.0

B i 0 .167 1 1 . 0 2 . 0 0 5

» 3 '0 .1429 0,5 1 . 0 0 3 1

b 4 0.2 2,0 3.0 1 , 0V 1.5 0 % 9,50 13.0 6.83

Računanjt1 sopstvvnog vck in ta odgovaru juć ih so p sh cnih vffiđnosri:

K |

» 1

* 2

b 2

i 1

Ci r

n

c

a

k 4

b 4

K 5

2

B l 0 . 6 6 2 4 0 . 6 3 1 6 0 . 5 3 8 5 0 . 7 3 1 7 2 . 5 6 4 2 0 . 6 4 1 1

b 2 0 . 1 1 0 4 0 , 1 0 5 3 0 . 3 5 3 8 0 . 0 7 3 2 0 . 4 4 2 7 0 . 1 1 0 7

0 . 0 9 4 7 0 . 0 5 2 6 U . 0 7 Ć 9 0 . 0 4 8 8 0 . 2 7 3 0 0 . 0 6 8 2

* 4 0 , 1 3 2 5 0 . 2 1 0 5 0 . 2 3 0 8 0 . 1 4 6 3 0 . 7 2 0 1 0 1 8 0 0

Puredak altemattva ovog kriterijiimajc:B j - o l 6 4 1 i i i n i m i 11 i n i n r i n i i u i i ii i i i i i n i

8 4= 0.1800 i i i i u i n n m

b 2- o . n o 7 m n u

» 3 - 0 . 0 6 8 2 IUI

ViJiekriterijuTnska odhtčivanfc

A 3 ■ udaEjenost oć. mcsiii borLivkii

\ B 1 r 2 B j ^ 4

» 1 3.0 4 0 1,0

B iA# 1.0 r (2 .0 )

1 a o )

r 4

P re rađ cn a tabcrla u p o re d iva n ja tcž ina U p a ro v im a :

» i Bt h b 4

Bi i L0 3.0 4,0 L0

b 2 033 L0 1.0 O.S

b 3 0.25 1.0 ! 0 05

B^ lo 2.0 2.0 L0

1 2.5833 7.0 6.5 3.0

Računanje sopstvenog vektora odgi>varjjućih sop.'stvenih vrcdnosti:

K |

B l

K-2

&2

K3 k 4

B4

k 5X K e

B j 0,3871 0 4 3 S 6 0.5000 0,3333 1.6490 0 ,41225

b 3 0.1209 0.1426 0.1250 0 1667 0,5635 0,1408

B3 0.0968 0. !42K 0. ] 250 0.1667 0.5313 0 .1 32S

B 4 0 3 8 7 1 0 2 8 5 7 0.2500 0.3333 1.2561 0.3140

Poredak flltemativa ovog kritcrijuinfl îJasir

b ! " 0 . 4 1 2 2 m m m m i m i m u m

b4= 0.3140 nunnnimb 2 = - 0 . j 4 0 8 m m i

B 3 - 0.I 32S IlliJ

A4 - uslovi sme£taja

B ] B i B *

B t 1 . 0 3 . 0 3 . 0

B ? 3 . 0 3 . 0

B i 1.0

B i

307

OPERACtOSA tSTRA ZlVASJA

PrenJena tabela uporcđivanja tcžtna u parovima:

l ®1 -lli b 3 B4

B] [.0 1 0 3,0 3.0

b 2 1.0 \ t.O 3.0 3.0

0 .33 (J.33 1.0 1.0

b 4 0.33 0.33 1.0 1.0

z \ 2.66 2.66 8.0 8.0

Riičunanjc sopsivenog vektora odgovarujućih sopatvcnih vrednosti:

B l

K 2h 2

* 3

B3

k4b4

* 5I k 6

B l 0.3750 0 .0 3 7 5 0 0 .3750 0.3750 1.5000 0.3750

B 2 0,3750 0 .3750 0,3750 0.3750 1 5000 0 .3750

b3 0 .1250 0 .1250 0.1250 0.1250 0.5000 0 .1250

b4 0 .1250 0 .1250 0 .1 2 5 0 0 ,1250 0.5000 0 .1250

Poređak altemativa u okvit u tog kriterijuma;

R i - o . 375u n m m r i i i n i m i i i i n

B j - a .3 7 5 0 n i i i u i i n a i m i i i i i i

b ^ oaiso n m o n

B4 - 0.1250 n n u m

A 5 - c e r a sm ešiaja

B | b 2 1*3 b 4

B l 2.0 1.0 2.0

^ 2 (2 .0 ) 1.0

2 .0

0 4

Prerađena tabela upoređi% anja [k;/tna u parovima:

Bi b 2 &3 b4

b l 1,0 2,0 1.0 2,0

0.5 1.0 0.5 L0»3 1.0 2.0 10 2.0 1

B4 0.5 K0 0,5 1,03.0 6.0 3.0 6.0

30S

I u t'kriferijuMs^n odiučivanj^

Račimanjc sopstvenog vcktoi a origovarujuiih sopstventti vrodnosti;

[ K i

» 1

k 2b 2

K3

t*3

k 4

b 4

K j

z \K *

B j 0,3333 0.3333 0.3333 0,3333 1 . 3333 0.3333

B^ ~~l 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.6667 0.1667

^ 3 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 i 3333 0 3 3 3 3

b 4 0.1667 0.1667 0.1667 0 1667 0,6667 0.1667

PoreJ;ik altemativ;L 710 5-tom k r i tc n ju m u je ;

b 1 —0 .3333 i m i 1 n n n ] i m n n n

0 .3333 l i m n p i n n n n i m r

o ri « 7 r a i i u u u

B4* 0.1667 IIlllt I]]II

N a kraju pOStupka vr£i se sveoktipna sinteza prtibfema fcborg zim sk a e cen tr a :

A 2 ^ 0 . 4 7 7 0 15 ] = 0 . 3 0 6 0

0.0520

B 3 - 0 .0320

B4 = O.OR5D

A 5 = 0.2272 T3 j " 0.0757

1*2=6.0378

B j - G.0757

t t4 =* 0 .0378

A |= 0 .1404 B | * 0 .0702

B2 - 0.0351

\l-$~ 0 ,0] 75

B4 = 0,0175

A A f. 0 . 0 9 4 0 B j ~ 0 . 0 3 5 2

0.0352

B3 - 0 .0 1 17

B4 - 0 .0117

J09

OPERAC/OK4 (STRAŽiVASJA

A 3 " 0 .0614 B ; — 0.0253

B i ^ O.OflSO

[i$= OOOSO

E34 - 0 .0 190

Svcukupna sinteza pmblema izboni /imskog cenlra, izmĆLinava se takn šio sc /a svaku altcmativu npr. iz B j, množi njeno učcSi;c (tcînii) u okviru posmatranogkN terijum at lako zz sve kriterijum c redom 1 na kraju sc dobijcni rc r j l ta t i saberu,

KonkreSno za prvu altcrnativu* m atem aiič ld proračun sc rt;;iti/ujc na sledeći nač in : Po prvom kriierijum u. tc i in a j e 0 J 404. a težtnii aU cm ativc Bj i /n o s t 0.5

Množcrtjem ova dva podatka se dobija 0.1404*0.5=0.0702. Pa đrugom kntcrjjnmu: 0.477*0.6411=0,3063, po trc<:<im: 0 .0 6 14*0.4122=(J,0253, po CetVTtom:0.094*0,375--0.03525 1 tia kraju po petora kritcrijumu je 0.2272*0.3333-0.0757. Sabjranjcm ovili međurczultftliu 0.0702 + 0.306R + 0.0253 + 003525 + 0,0757 “0.5133, dđbija se svvukupno ućešćc ftežina) za pivu altemativu <pri 10mc trcba nagktsiti. da je zaofcružKanjc brrjeva na četiri decimale, p.i sc uvodi i j/vcsna h ireikaT akose cobijaju vrcdnosti za prcosiak allemfltnc i oneglase:

B, 0.5133

b 2 0.1694

B 3 0.1455

b 4 0.1720

z 1.0000

Na osnovu dobijenih rezultatu, tx;igledno j c da j e najbolji / im sk i centar jc B | slo

predstavlja i konačan izbor

Primer 2*

tZ&OR R A D IO U RK Đ A JA (R U )U prava koTnunaMog p red u z c ta za održavanjc puteva "M ost11 odluCila j e đa, u cilju poboljSanja kom unikacijc i /m e d u irvtervenlnib ckipa n;i lcrenu i centra, nabavj mobi]nc radio u ređa jc(R L '),

RU treba da race na <Ko-m ciarskom frekventnom opêgu < I Ô -170 Hz) u dupleks i sim plcks modu.

U prava je u situaciji da b ira izm eđu 4 m odela koji se nude na tr / ism To su:a | ; M o to ro la

a 2: A linco

^ 3 : S tandard

a^: K cn w o o d

JIO

lzbor ćc se izvrsiti na osnovu 6 kriUjrijuma / a to j e jie niogiige prikupili kom para tivne podatke:

Aj ■ snaga W■ cena n rj,

A 3 ■ đom ct f siinploks) kiu

A.| * pasivnj režim radLi li

A j aiucna kva!. oc.

Aft - funkcionalnotf kvaS. oc.

____ Višefaiterijumsko odlučnanje

Matrica odiucivanja a laai:

A lA l

A 3 A 4 A 5 !

a l 5,0 800 24 7

a2 3.5 600 10 30 5 7

*3 4.5 650 20 1 20 3 5

“4 4.0 950 15 227

9

Prcradcna labeta uporcdjivanja te / in a kriterijum a □ parovim a

K rit] K n i i K ri t3 K nt^ Krit5 Krir6

Krit ] 1.00000 0.33333 5.00000 2.00000 9.00000 7 .00000

K r i t j 3 .00000 1,00000 6.00000 3.00000 9.00000 7 .00000

K r i t j 0.20000 0 . Ifi667 1.00000 0.33333 6.00000 3 .00000

Krii^ 0 .50000 0.33333 3.00000 1,00000 6.00000 3.00000

K r i i j O . i l l l l O . l l i 11 0.16667 0 .16667 1.00000 0 ,16667: . -----------

Kmi6 0 .14286 0 .14286 0.33333 0.33333 6.00000 1.00000

I 4 .95397 2.08730 15.50000 6.83333 37.00000 21 ,16667

Sopstveni vektor odgovaiajućih sopstvenih vrcdnosti u odnosu na sve k riterijum e

K ri t j

K rit t K ri!2 K n t3 K rit4

0 .20186 0 .15970 0 3225S 0.2926S

K h t5

0.24324

Krit^

0.33071 1 3 5 0 7 7 0.25846

Knt->

Kril^

0.6055S 0 47909

0 .04037 0.07985

0.38710 0 .43902

0 .06452 0.04878

0.24324 0.33071 2.48474

0 .16216 0 .14173 0 .5374]

0 .4 :4 1 2

O.OK957

Kri14

K ri t j

0 . 10093

0.02243

.0 .15970

0.05323

0 .19355 0.14634

0 .01075 0 .02439

0 .16216

0.02703

0.14173

0 ,00787

0,90441

& 14570

0 1 5 0 7 3

0.02428

K ritć 0.02834 0 .06844 0.02151 0.04878 0 16216 0.04724 0,37697 0.06283

3 ii

OPERACtONA ISTRAZH'ANJA

Griificki prika/. pcirttka kriterijnniit u modćlu

--------- • ------ ' ■ ------^ ■ 1------------------

Krii ] K ril 2 Krii 3 Krit 4 K m 5 K n t 6

Slika 8.10. Redosleđ važnosu krii^rijuma u tjtođelu

Prerađena tabela upo^đivanja te2inn u parovima u odnošu na KRITFiRJJUM 1

Ait j Alt 2 A h 3 A lt 4

A!t j 1.00000 6.00000 2 .0 0 0 0 0 5 .00000

AEt 2 0,16667 1.00000 0 , 36667 0.33333

A lt 3 0 .50000 . . i6.00000 1.00000 3 .00000

A t t ^ 0.20000 3,00000 0.33333 1 .00000

Z 1.86667 16.00000 3.50000 9.33333

Sop&tveni vek to r {)dgovarajući3i sopstvcnih vrednosti lc odr.o&u n a feRlTEREBUM I

Alt [k - - ---------- s-4

Alt ■>— "

A lt 3 A lt 4A lt ] 0 .5357! 0 .3 7 5 0 0 0.57143 0.53571 2.017K6 0 .50446

All 2 0.. 08929 0 ,0 6 2 5 0 0.04762 0.03571 0.23512 0.05878

A lt 3 0,26786 0.37500________________________■ — i

0.2S571 0.32143 1.25000 0 .31250Alt 4 0.10714 0.IK 750 0 .09524 0 .10714 0.49702 0 ,12426

GrafkkJ priknz porctkn aUeriiativ.a u pjlnosu »a k riterjjumI

Alt I A U 2 A!l 3 A]t 4

Shkcir rV ,; Redosied važnosti alfet naiiva pv pn-om krit&rijumu

1!J

f 'išektiKnjumska Mttučivunje

Prerađena tabda uporetlivanjrt tcžma u parovima u oduosu fta KRITERIJUM 2

AJt ] A lt t A l t 3 AU 4

Alt \ i . o o o o o 6,00000 4,00000 0.33333

A lt 2 | f 16667 1.00000 0.25000 0 . 1 1 1 1 1

Alt 3 0,25000 4.00000 l .00000 0.14286

Alt 4 3.00000 9.00000 7.00000 1.00000

I 4 .4] 667 20.00000 12.25000 1.58730

Sopstveni vektor odgovarajućih sopstvenih vrednbsti u odnosu na K R IT E R IJU M 2

Alt j A lt 2 A!t 3 Alt 4

<

0.22642 0.30000 0.32653 0. 21 000 1.06295 0.26574

Alt 5 0.03774 0.05000 0.0204] 0.07000 0,17S14 0.04454

Alt 3 0.05660 0.20000 0.08163 0.09000 0.42824 0 .10706

Alt 4 0.67925 0.45000 0.57] 43 0,63000 2.33067 0.5R267

Craficki prikaz porctkn altci nativa u odnosu n,n kriterijutn

0 .

o,

o,

Slika, 8.12 RedoÛd vaŠnostt ukernativci po dragont kriterijunm

Prcrađeha rabela uporedivanjn te / in a u parov im a u odndsu na K R IT ER IJU M 3

Alt 1 Alt 2

9.00000

Alr 3

0.33333

A U 4

5.00000AU i 1 .00000

> ____

___\

0. 1 1 1 1 1 1.00000 0 . 1 1 1 1 1 0.20000

<

3.00000 9,00000 1.00000 5.00000

<i1_______

0.20000 5 00000 0.20000 1,00000

Vi-r 4 3 1 §11 24.00000 1.64444 11,2 0 0 0 0

2

^ — pi iA lt I A it 2 Alt 3 Alt 4

313

O FEM ClO N i ISTRAŽiVANJA

Sop^tveni včk tor odgOvarajućib sopstvcnih vrednosti u odnusu na K R IT E R IJU M 3

All I A lt 2 AU ^ A lt 4

Alt | 0 .23196 0.37500 0.2D270 0.44A43 1.25 |G 9 0,31402

> “ 0.t)2577 m & l 0 .06757 0.01786 t i . i s i M 0.03822

Alt 3 f . 69588 0.37500 0.60SI 1 0.44643 2.] 254] 0 .53135

Al! 4 0.04639 0.20833 0 . t2 ! 6 2 0.08929 0.46563 0.11641

Graficki prika? poi'ctka a ltcrnativa u 6dnosu na krttertjum

SUka, i'. 13 Rčdošled v&žnOSti &her$&lha po trećetti kriterijnmu

Prerađeim tabela upoređEvanjs Lezina u p^rov im a u odnosu na K R ITK R IJU M 4

Alt ] AJt 2 A t t 3 A lt 4

Alt [ 1.00000 0.33333 5.00000 3.00000

AH 2 3,00000 1 .00000 9.00000 7.00000

Alt 3 0.20000 0 . 1 1 1 1 J 1.00000 0.33333

A lt4r ~ ■ r

0.33333 0.14286 3.00000 1.00000

£ 4.53333 1.58730 18.00000 1 1.33333

Sopstverti vek to r odgovarajućih sopstvenih vrednosii u t>dnt>su na KRTTERUUM 4

A l t , A lt t A lt 3 Alt 4, ...... ^------------------

a u i 0.22059| ~ . > __ -j 0 ,2 10 0 0 0.27778 0.26471 0.97307 0.24327

AH 2 0 6 6 1 7 6 0 .63000 0.50000 0.61765 2.40941 0.60235

Alt 3 0.04412 0 .07000 0.05556 0.02941 0.19908 0.04977

Alt 4 0.07353 0 .09000 0.16667 0.08824 0.41843 0.10461

'• 'tirh-Herijumska ođfačivanje

G rafichi p r ik a i p o rc th j fttlem atfva 11 ^dn^MJ riii h riterijum4

0,K

0,6

0.4

0,2 0

Slika $. 1-t Redo\ted vainosii ahenmtiva po četvrtont kriterijtimu

Prcradcna tabcia uporedivanja tcžitta u parov im a u odtiosu na K R IT B R IIU M S

AK ] A!t 2 Alt 3 Alt 4A]l j 1.00000 5.00000 9.00000 3.00000All 2 0.20000 1.00000 4.00000 025000AU 3 0 , 1 1 1 I I 025000 t o o n o o 0.142S6Alr 4 0.33333 4.00000 7.00000 1,00000

X 1 . 6 4 4 4 4 10.25000 21.00000 4,39286

Snpslvcni veklorodgovarajućih sopsfveoih vrednosti u odnosij na KRITERIJUM 5

Alt j Alt 2 ALt 3 Alt 4Ali | 0.60S11 048780 0.42857 0.68293 2.20741 0.551&5Alt 2 0,12162 0.09756 0.I904S 0.05691 046657 0.11664Ait 3 0,06757 0.02439 0 . 0 4 7 6 3 0.03252 0,17210 0,04302Alt 4 0.20270 0.39024 0 . 3 3 1 3 3 0 2 Ž 7 6 4 U 5392 0.28848

Graficki pi ikni/ porcHu jltemaiii a il odnnsu nx ki itcnjum

0 n6

Qt4

0,2

n

Alt 1 Alt 2 Ah 3 Alt 4

5

t m !

ć- 1 .. I ------- J2_,—

5/f-tđ /5 /w prfoft: tater^roui

J/?


Prerađena Eabeia upoređivanja težinŠ u parovim a u odnosai na K R H T R IJU M 6

> > t'j Alt 3 Alt 4 1

A lt ] 1-0000 1.00000 4 .00000 0,33333

A lt 2 1.00000 KOOOOO 4.00000 0.33333

A lt 3 0,25000 0.25000 1.00000 0.! 6(567

A l t ^ 3.00000 3.00000 6.00000 1..00000

£ 5.25000 5.25000 15.00U00 ! .83333

Sopstvefli vektor odgovarajućih sopstvcE^h vrednostm odnosu r.a K R ITER IJU M 6

Alt j A lt ? A!t 3 AU 4

Alt i 0 .19048 0 .19648 0.26667 O ilS tB ? 0.82944 0,20736

A l t 2 0.19048 0,19048. .

0.26667 0.1S1S2 0,S2944 0 .20736

A lt 3 0.04762 0.04762 0.06667 0.09091 0.252S1 0.06320

A l t | ; 0.57143 0 .5 7 :4 3 0.40000 0,54545 2 .0 8 8 3 1 0.52208

Oruficlii priku^ paretkA liUernativa lj nciintsu na k r it tr i j uni

Slika 8 .16. Rtzdosicđ važnosti ahzm ativa pa sestitm h'iterijuniu

P n k az konačnih rezuhata dohijenih m e tp ^p m A H PK riterijum 1 = 0 .2 5 8 4 6 1 5 9

A ltem ativa 1 = 0 .1 3 0 3 8 4 6 4 A ltem ativa 2 - 0 .0 1 5 1 9 2 3 1 A ltem ativ a 3 “ 0.0S076925 A ltem ativ a 4 = 0 .03211539

K iite ri jum 2 = 0 .414 i 22(51 A ttem auva 1 - 0 .1 1 0 0 4 7 4 7 A ttem ativa 2 - 0.01 S44336 A [ lem at i va 3 = 0.04433 560 A ltcrnativa 4 = 0 .24129617

,6/

,4

A!t 1 Ait. 2 Alt 3 A H 4

316

f 'išAritenjumako pitfučhanje

K rjterijum 3 “ (1 .0R ^6S44 A l t e n j a l i ^ 1 - 0 .0 2 ^ ^ 2 6 5 1 m e r M lV Ž 2 i 0 .00342296 A U em ativa 3 - 0 .0 4 7 5 9 2 4 8 AJteniativa 4 = 0 h0.1042649

KnLerijum 4^ 0 .15073487 Alteraativa \ = 0.03666K97 Altcmativa 2 ™ 0.09079559 Altemativa 3 : ■ 0.00750226 Altemativa 4 *10.01576^05

K n te n ju m 5 -0 .0 2 4 2 K 4 1 0 A lfcfnaiiva 1 - 0 . 0 H 4 0 I 2 5 Altemativfi 2 - 0 .0 0 2 S 3 2 5 5 Altemativa 3 " 0 .0 0 1 0 4 4 S I Altcmativa 4 - 0 .00700549

K ri tcn ju m 6 “ 0 .06282835 A ltem ativa 1 = 0 .0 1 3 0 2 8 0 4 A ltem ativa 2 - 0 ,01302804 A ltem ativa 3 = 0 .00397097 AHcm ativa 4 = 0 .032S 0I29

U kupna sinteza problcm a glasi:Altecnativa I = 0.33 A ltem ativ^ 2 - 0 . 1 4 AltematEva 3 = O .l1?A Jtem aiiva 4 = 0.34

Pfltpuni poredak alternativa d<it>ijenih metoôm AHF

Slika. 8 .17, Poipuni porcdak važnosfi ahćrfativa u modelu

Sa slike 8,17. virii se da j e najpribvatljiv ija a ltcm ativa a*=a4 , dok j e potpuni

poredak 34 , 33 t

317

OPERACtOSA iSTRAZiVASJA

P rim ćr 3,

LZHOR E L E K T R O M G T O R A

Privatni prcduzemik, vlasnik produzeĆa za proizvodtiju ftlekiričiiiii itređaja, želi đa poćue proizvodnjom pumpi 73 vudu (PV)t Osnovna komponcnui PV jt‘ clekiroinotor. Privatni pnrduzetntk je u situaciji da bira izincdu 4 modcla dektromotora, To su

a ] : Scver

a>: Iskr-a

^ 3 : K onfa r

a4 : BSS ( Fôsh):

Izbor će se izvršin na osjiovu 6 atributa za kojc je mogućt prikupiti komparativne podalke:

A i - brzina [o /m in]T [sc 10 0 0 ]

Aj - «na [nj]A y težitiB Ikg]

* snaâ [KW]A 5 - elektri£na za šu ta [kval. oc.]

A - hermetičk zastita [kval. oc.]

Mathca odlufivanja glasi :

Al ^ 2 A3 A 4 AS A (.

al 2.0 .50200

10 6 7 3.

n 1.4 5 10 9 9 J

a3 1.8 10CI 25 3 5 7

*4 70 30 R 7 j 5

Prerađena ta b d a upoređivpnja težina kritcrijum a u parovim a

K ritt Kril 2 Krit 3 Krii 4 Krit 5 Krtt 6Krii 1 1.00000 0 A42$f> 0.50000 0.20000 3,00000 ć.OOOOOKrii 2 7,00000 1.00000 5.00000 4 00000 7.00000 9.00000Krit 3 2.00000 020000 LOOOOO 0 33333 3.00000 6.00000Krit 4 5.00000 0.25000 3.00000 1.00000 6 00000 8.00000Krit 5 0.33333 0.14286 0.33333 0 16667 1,00000 3.00000KritĆ 0.16667 0.11111 0.16667 0 12500 0.33333 1 OOOOO

1 15.50000 1,84683 L 0.00000 5.82500 20.33333 33.00000

m

_ _______________ ________________ i'itekrirenjtjmsko odiučivanic

Sopstveni vektor ođgovarajučih sopstvenih rcdnosii u odnosu na sve kriiehjumt;

Krit 1Krit : Krit 2 Krit 3 Kru A O.OĆ45 0,0774 fj.0500 (J,0343

Krii S 0.1475

Krit 6o.iaia 0,5556 0,0926

Krit 2 0.4516 0.5415 <J.5fKX> 0.6«Ć7 0,3443 0.2727 0,4661Krit 3 0.12% 0.1083 n.lrtflO 0.0572 0.1475 0.IS1S 0.72.VJ 0.1207Kiit 4 0.3226 0.1354 0.3000 0 .P 1 7 0.2951 0.2424 1,4671 0.244SKrit 5 0.02 J 5 0.0774 0.0333 0.02RĆ 0.0492 0.0909 0.3009 0.0502Kr:l 6 OOlOfi 0 0*02 0.016" 0 02J5 0.01M 0.0303 04557 0.0260

(.rnflcki prikaz porčtka krUcri}unia u Tnuđclu

Kril i K r*2 Kri t3 KnM Kril 5 Knift

Slika fi t$, Ri’dosled važnasti kriiertjuma u modelti

Prem đena tabela uporedivanja težtna u parovirna u odnosu na K R lTH R IJU M I

Alt 1 Alt 2 Alt 3 Alt 4Alt 1 1.00000 9,00000 3.00000 6.00000Alt 2 0. 1111\ 1.00000 0.16667 0,33333AU3 033333 6.00000 J 00000 4.00000Alt 4 0 16667 3.00000 025000 1.00000

I L b i ; n 19 00000 4.41667 1 1.33333

Sopstveni vektor odgovarajnćih sopstvenih vrednosi] u odnosu na KR3THRJJUM

Alt 1 Alt 2 Alt 3 Al! 4Alt ! 0,62069 0.4736R 0.67925 0.52941 2.30303 0,57576Ak 1 0.06897 0,05263 0.03774 0.02941 G. 38874 0.04719AU3 0.20690 0.31579 0.22642 0 35294 L10204 0,27551Alt 4 0.J0345 0 15789 0.05660 O.OHS24 0.40&1S 0.10155

G raflcki p r ik a i p flrttk a aErcnmtiva u odno&u nakriterijum t

A t t l A]t 2 A l t? All 4

Slika $ 19. Rrdojicd vttinosri abernotim po p n ,om kriTerijumu

319

OPERACtONA fSTRAŽimtfjA

Preradena labcla uporođivaiija tečina i l pčjpvin ia u odnosu na K felTER JJU M 2

Alt 1Alt 1

1.00000m 2

0 § 3 3 f eAU 3

5.00000AU 4

7 .00000A lt 2 3.00000 1.00000 7.00000 9.00000A lt 3 0.20000 0.14286 1.00000 3.00000A lt 4 0.14286 0 , 1 1 1 1 1 0,33333 1 .00000

E 4.34286 1.58730 13.33333 20.00000

Sopstvcni vcktor pdgovarajHĆih sopstvcnih vrednosti u odaosu na K R IT ER IJU M 2

Ali 1Alt 1

0 ,23026AEt 2

0 ,2 ! 000■All'l

0 .37500Alt 4

0 .35000 1.16526 0 .29132All 2 0,69079 0 ,63000 0.52500 0.45000 2.29579 0.57395

LAlt 3 0.04605 0 .09000 0.07500 0.15000 0.36105 0 .09026AU 4 0.03289 0 .07000 0.02500 0.05000 0.17789 0.04447

Gratii'ki iirikiiz poretka iilternarj^ a u odntmt na kriterijum 2

0?

0,

0,

Slika 8.20. Retktslzđ iražnosti %/temativa po đrtigofii firisenjumu

Prerađena tabela upoređivanja te/;[na u parov im a u odnosu na K R lT E R IJU M 3

A lt 1 Als 2 Alt 3 A!t 4Alt 1 l .00000 3.00000 0.16667 0.12500A it 2 O.J3333 i .00000 0.14286 0 . 1 1 1 1 1A lt 3 6.00000 7.00000 1 .00000 0.33333Ait 4 K.OOOOO 9.00000 3.00000 1.00000

I 15.33333 20.00000 4.30')52 1.56M 4

Sopstvsni veklor odgovarajiićih sopsrvenih vrednostj u odnosu na K R IT I\R IJU M 3

Alt. 1 A lt 2 A ll 3 Alt 4Alt 1 0.06522 0 .15000 0.03 867 0.07965 0.33354 0 .08338A lt 2 0.02174 0 .05000 0.03315 0.07080 0 .I756S 0 .04392A lt 3 0 .39130 0 .35000 0.23204 0.21239 1.18574 0.29643Alt 4 0.52174 0.45000 0 .6 % 13 0.637^7 2.30504 0 .57626

320

A!t 1 A H 2 Alt 3 Alt 4

Višekriterijumsko odlučivanje

Graflcki prika^ poretkii a ltem ativa u odnosa na krLterijurn 3

AIl 1 A l t 2 AJt 3 A lt 4

SUka 8. h? / itfjanois/J itiiermtfiva po tre£ew kriterijumn

Prerađena tabcla tipoređtvanja Leiina u parovima u orinosu na K R IT R R IJU M 4

Alt 1 1 > ■ A lt 3 A l t 4A lt 1 1 .00000 0.1ft6fi7 5.00000 0,33333A lt 2 6.00000 1.00000 9.00000 3.00000

Alt 3 0.20000 0 . 1 1 1 1 1 L .00000 0.16667A lt 4 3.00000 0.33333 6.00000 1.00000

I 10.20000 1.61111 21.00000 4.50000

SaiJStven] vektor odgovarajnćih sopstvenih vrednosLi u odnosu na K R IT E R lJIJM 4

Alt 1 A \t 2 Alt 3 AlE 4Alt i 0.09S04 0.10345 0.23S10 0.07407 0.51366 0.12841Alt 2 0,58824 0 .62069 0.42857 0.66667 2.30416 0 .57604A lt 3 0,01961 0.06R97 0.04762 0.03704 0.17323 0.04331Alt 4 0.29412 0 .20690 0,28571 0,22222 1.00895 0.25224

Graficki p rikaz poretka alternativa u tia kriterijum 4

Ail 2 A lt 3 A)t 4

Sli&a 3.22. Redosled iražnosti abteifcativttpćčetvrtom krtterijunut

321

OPERACIONA ISTRAŽiVAN.JA

Preradcr.a tš&bela UpOfediVanja icčina u jpardvima u o Jnosu na KRITERI.KJM 5

A it i A lt:2 Alt 3 AH 4A h 1 j.OOODO 0.33333 3.00000 1.00000A lt 2 3 ,00000 l.OOOOU 6.00000 3 .00000A lt 3 0.33333 0.16667 1,00000 0,33333A l t 4 ■l .00000 0.33333 3.00000 1,00000

I 5.33333 1.S3333 1 10 0 0 0 0 5.33333

Sopstvcni vektor odgovarajućih sopstvenili v^dnosti u odnoSu m KB.ITERIJUM 5

Alt 1 A lt 2 AU 3 A U 4A lt 1 0.1S750 0.181S2 0.23077 0.1S750 0.7S759 0 .19690Alt 2 0.56250 0.54545 0.46154 0.56250 2.13199 0 .53300A lt 3 0.06250 0.09091 0.07692 0.06250 0.29283 0.07321A lt 4 0.18750 6 . 1 8 1 8 1 0.23077 0.1«750 0.78759 0 .19690

Grafli-ki prlkftz port'tkii alternativa u odnosu ny krtfeiijiiTi! 5

AU 1 Alt 2 Ait 3 Aii 4

Sliktl H. 23. /it'ilostt'd vtiirwsii ahvrnaiivit po peićtn kfitgrljtttttti

Prerađena tab-cla uporcdivaiija tcžina u parovitna u odnosu ha K.RITBRIJUM 6

A lt I A lt 2 A it 3 A lt 4AEt 1 1.00000 0 . 1 1 1 1 1 0 \6661 0.33333All 2 9.00000 1.00000 3.00000 (5.00000A lt 3 6.00000 0.33333 i .00000 3,00000A U 4 3.00000 0.1*667 0.33333 1.00000

I 19.00000 i .61111 4 .50000 10.33333

Sapstveni vektor odgovaTtijučih SOpStvenih vrednosti u odnOSu na K R IT E R llU M 6

A l t lAU I

0.05263Alt 2

0 .06897A lt 3

0.03704A lt 4

0.03226 0.19089 0.04772A U 2A U 3

0.473680.31579

0 .620690 .20690

0.666670 .22222

0.58065 2.34169 0 .29032 1.03523

0.585420.25881

Alt 4 0.15789 0.10345 0.07407 0.09677 0.43219 0.10805

322

Višeki iterijumicko adhtči vanje

Graficki prihuz porctka alternđti\iL u na kriterijum <j

Slika 8.24. Redostetf itižnonti aiierntdivtipo liestom kršterijurtm

Prikaz konaćnih rcztilmta dobijenih tnctodom A H PKnterijum 1 - 0.092593 81

Altem.ativa 1-0:6*531160 A ItemjtiVa 2 — 0.00436915 Altemativa 3 =: 0.02551057 Altemativa 4 = 0.00940249

K ritertjum 2 - 0 .4 6 6 1 2 7 9 0 A ltem ativa ! ^ 0 ,1 3 5 79042 A ltem ativa 2 = 0 ,26753289 A licnm liva 3 - 0 .0 4 2 0 7 4 1 8 A lternativa 4 - 0 .0 2 0 7 3 0 4 3

K riterijum 3 = 0 .12065165 A lte rna tiva 1^0 ,305006046 A ltem ativ a 2 ~ 0 .00529916 A U cm ativa 3 = 0.03576531 A U cm ativa 4 = 0 .06952672

K riterijum 4 - 0 .2 4 4 5 2 1 3 3 A1 ic m ati va 1 = 0 .0314000 ]A ltem ativ a 2 - 0 . i40R5427 A ltem attva 3 - 0 ,0 1 0 5 8 9 5 7 A ltem ativ a 4 - 0 .0 6 1 6 7 7 4 9

Kriterijum 5 - 0 .0 5 0 148S7 A ltem ai iva 1 — 0 .0 0 9 S7 4 16 Altemativa 2 - 0 .02672926 Alternaliva 3 “ 0 .0 0 3 6 7 130 Alternativa 4 = 0 .0 0 9 8 7 4 16

K riterijum 6 = 0 .02595639 A ltem at iva 1 -0 .0 0 1 2 3 8 7 2 A liernativa 2 — 0,01519543 AHem ativa 3 = 0 0 0 6 7 ] 7 7 ]AUernativa 4 - 0 ,00280453

OPERACIONA 1$TR-4Ž1\ A \ JA

Potpuni pnrtfdak »ttCfhiitjva dobijcnih metnđom AHP

Stika 25 Potpuni pnredak alrenuiina u modeluSa slike S.3.17. vidi se da je najpribvatljmja altcrnativa, a — dok je potpimiporedak a ltem ativa a ^ T $4 i &3 .

LTFERATURA

[1| Cupićh M t Suknouć M.f *Višekriieripansko odhtčivanje: metođe i prim eri* UnivcrziierT BK, Beograd. 1995.

[2] SuknovićT M., ČupićT M., "ViSekrirzrijumsko odtučivanje: form atni pristup'\ FON, Beogfad, 2003,

[3] Cupić, M ., Tummala V.Mh R.H Sulutpvić M„ "Odlučivanje:fbrm atnipristupf\ FON. Beof>rad> 2001.

[4] V'lačić, Lj,, ^Viškriterijumski pristup projektovanju sistem u" Svjetlost, Sarajevo, 1989.

[5j Hw«ng, C U Yoon K., "MttUiple attribuie đecision making : Methods m d Applications - A Stuie-of-rhe-ArtSurveyu, Springer- \ erlag, New Yortt, 1981,

[6] Martić, Lj,. F'Višekrittrijurtisko programiranje^ ]:iroETnator, Zagreb, Nittična knjiga, Beograd, 1978,

[7] N ikolić, I., '*Višekrfterijumski aspekti prpcem odlučivanja", D oktorska d iserlaeija , FO N , Beogrnd, 1993.

[R] Peirić. J,J .( Ôperaciona istra5ivanja% Naućna knjiga, Beograd. 1987.

324

C IP - Ka»aJIOPJf3aunja y nyCjiwKr-T-;nj» H a p o j iH d ftnfijitfOTGKa C p C M js , H e o r p a a

5 1 9 . 0

OPERACIONA istraživanja / Danijela Tadić,,.[ot*al] ; redaktor Vuksan Bulat. Kruševac ; Fakultet za industrijski menadžmeat, IC IM plus - izdavački cent.ar sa industrijski menadžment plusj 2005 {Trsteriik : M-grafK - 3 2 4 str. : graf. prikazi, tabele ; 2 4 c ^ i . - (Kdicija Industrijski mejiadžnent; t* 3 , kn j , 1 )

Tiraž 1.000*ISB.N 8 6 - 8 ^ 9 0 9 - 1 3 - 5

1 , T a j T n h j

a) CnepauntjHaC O B I S S . S R - I D 1 1 9 4 0 9 4 2 C

ISliN S6 -S4009 13-5

Documents

Operaciona istrazivanja