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Matemática
11
Figura 1. Expresiones Algebraicas.
Fuente: http://tecnologia2009.wikispaces.com
OPERACIONES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Capacidades
- Identifica expresiones algebraicas.
- Aplica propiedades básicas en las operaciones algebraicas.
- Aplica las reglas de productos notables en el desarrollo de ejercicios y problemas.
- Aplica los métodos de división algebraica en el desarrollo de ejercicios y
problemas.
- Aplica los diferentes métodos de factorización para resolver una expresión
algebraica.
Unid
ad I
Hay estudiantes que no aprenden a distinguir lo
que es importante sino hasta mucho después de
haber dejado la escuela.
Thomas Sowel
Matemática
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Matemática
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Tema 1 :
NOCIONES BÁSICAS DEL ALGEBRA
1.1. Expresión algebraica
Es toda asociación de constantes numéricas y letras (variables), entrelazados por
cualquiera de los operadores matemáticos de: adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación, o una combinación limitada de éstos.
Para que una expresión sea considerada algebraica, una variable nunca se debe ubicar
como exponente de una potenciación o como índice de una radicación.
Ejemplos:
25 52 )3(53
x3 723 x7x3x5 33 x5xy2 23/12/1 yxyx2
1.2. Clasificación de las expresiones algebraicas:
Se puede realizar de acuerdo a :
Según su
número de
términos
Según la
naturaleza
de su
exponente
Monomios
Multinomios
Binomios ...... 2 términos
Trinomios ...... 3 términos
Cuatrinomios ...... 4 términos
Polinomios ...... n términos
................................................
1término
Racional
Irracional
Entera
Fraccionaria
Figura 2
Fuente:http://www.danpink.com/wp-content/uploads/2010/09/algebra.jpg
Matemática
14
Observación: A todas las expresiones no algebraicas se les denomina expresiones
TRASCENDENTES, son:
Trigonométricas: sen x, cosx, etc.
Logarítmicas: Logax, lnx.
Exponenciales: 5x , -3x , etc.
Circulares: arc tgx, arc cosx, etc
Hiperbólicas: sen hx, cos hx, ctg hx, etc.
1.2.1. El número de términos:
a. Monomio algebraico: Cuando tienen un solo término algebraico.
Ejemplos:
i)
122x ii) xy3
b. Multinomio algebraico:
Cuando tienen dos o más términos algebraicos.
Ejemplos:
i) 4 2
x - x + x + 6 ii)
1 14 5 10x y z -
-47 z
c. Polinomio: Es una expresión algebraica racional entera, que consta de dos o
más términos (monomios) en cantidad finita. Cuando los coeficientes son reales
se dice que es un Polinomio en R. Se clasifican en binomios, trinomios, etc.
1.2.2. La naturaleza de sus exponentes
A. Expresión algebraica racional(E.A.R.):
Es aquella expresión que se caracteriza porque sus variables tienen exponentes
enteros, es decir; ninguna variable (letra) está afectada de exponente fraccionario o
radical.
Ejemplos:
322 y2zy5x3 z
yx
yx2
xy12 32
B. Expresión algebraica entera (EARE):
Es aquella expresión algebraica cuya parte literal está afectada de exponentes
naturales. Eso implica que no tiene letras o variables en el denominador.
Ejemplos:
7- 32x2 x 32 y2x3xy5
Matemática
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C. Expresión algebraica racional fraccionaria (EARF):
Es aquella expresión algebraica que por lo menos presenta un exponente
ENTERO NEGATIVO en su parte literal(variable). Eso implica que posee letras en
el denominador.
Ejemplos:
-42x 4x
2
-1x3xy x
1xy3
123 xyy3x2 y
x
y
3
x
2
23
D. Expresión algebraica irracional:
Estas expresiones se caracterizan por que algunas de sus variables están
afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
Ejemplos:
i)
122x + 3xy - 2x ii) -4
4 xyz +2x
Observaciones
Las expresiones que no corresponden al concepto de expresión algebraica
conforman al conjunto de expresiones no algebraicas ó trascendentes.
El conjunto de las expresiones algebraicas y las no algebraicas conforman el
universo de la expresión matemática.
Todas las constantes numéricas diferentes de cero son consideradas como
expresiones algebraicas RACIONALES O ENTERAS de grado igual a cero.
Sólo la expresión algebraica posee el concepto de grado algebraico.
En una expresión algebraica, los exponentes de su parte literal deben estar
comprendidos en el campo de los números racionales (Q).
1.3. Término algebraico:
Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las
diferentes operaciones algebraicas, excepto la adición y la sustracción. Sus partes se
indican en el siguiente esquema:
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Elemento de un término algebraico
Signo
- 5X Y2 3
Parte literal:VariablesCoeficientes
Exponentes
1.4. Teoría de exponentes
Es el conjunto de teoremas y definiciones que resumen las diferentes relaciones,
operaciones y transformaciones que se pueden realizar con los exponentes.
1.4.1. Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número llamado base,
tantas veces como factor lo indica otro llamado exponente.
Al resultado de esta operación se le denomina potencia.
En general se representa de la siguiente manera:
Ejemplo: Hallar: 27
SOLUCIÓN:
Recordar: Elementos de un radical: Sea el radical n A , su elementos se detallan:
nASigno
radical
Cantidad subradical
Indice
Ejemplo: Hallar: 3
8 = 2
n veces
27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =128
7 veces
base
exponente
an = a x a x a x a x ....... x a = b n-ésima potencia de a
Matemática
17
1.4.2. Radicación en R:
Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir de dos cantidades: Índice y
Radicando obtendremos otra cantidad llamada raíz. La operación de radicación la
definimos, así:
1nNn;rara nn
Donde:
an
= r
Indice (n N)
Raíz enésimaRadicando
Como se trabaja únicamente en R se establece (observe el cuadro anterior).
Si n es par a 0 principalraíz
0r
Si n es par a <0 r R
Si n es impar a 0 r 0
Si es impar a < 0 r < 0
Ejemplos:
principalrealraíz
4 381 34 = 81
532 = 2 25 = 32
3 125 = - 3125 = -5 (-5)3 = -125
1.4.3. Propiedades de los exponentes y radicales:
A. Leyes exponenciales de la potenciación
Para bases iguales
Multiplicación
nmnm aa.a
Ejm.
35 . 33 = 38
a2 . a4 . a7 = a13
xn+2 = xn . x2
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División
nmnm aa:a
Ejm.
5
2
7
xx
x
an – 4 = an : a4
Para exponentes iguales
Multiplicación
nnn )ab(b.a
Ejm.
x3y3z3 = (xyz)3
(3b)4 = 34 . b4 = 81b4
División
n
n
n
b
a
b
a
Ejm.
4
4
4
y
y
y
x
125
a
5
a
5
a 3
3
33
Nota:
La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y división
(b 0)
(a 0)
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Exponentes especiales
Exponente cero.
a0 = 1 a 0
Ejm.:
(3+5 x 1)22 0
- 80 = – 1
(-8)0 = 1
Exponente negativo.
a– n =na
1 ,
Ejm. :
9
13 2
5
5 1
xx
Potencia de potencia.
Ejm. :
(23)2 = 26
[[34]5]2 = 340
(a2b4)5 = a10b20
B. Leyes exponenciales de la radicación de monomios
Exponente Fraccionario
n mn
m
aa ; n
m es una fracción irreducible
(a 0) )
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nnn
b.aab ; Rb;a
nn
Si n es par entonces a 0 b 0
n
nn
b
a
b
a
; b 0 ,
Rb;ann
Si n es par entonces a 0 b > 0
mnpm n paa
; m, n, p R
Si mnp > 0 a 0
mnp cbpanp
mnp cmn bm am n p cba
z.y.x
z.y.xzyx
Observación: Del Teorema anterior, si las bases x, y z son iguales, se concluye a una
forma práctica de reducir, veamos:
mnp cp)ban(m n p cba xxxx
mnp cp)ban(m n p cba xx:x:x
+ - +
Valor principal de una radicación:
)2n(NnRAsi;rAn n
Luego:
0xsi;a
0xsi;aaa
n2 n2
¡IMPORTANTE! La radicación es distributivo con
respecto a la multiplicación y división.
Matemática
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Ejemplos:
3|3|32
3|3|3 2
32525344
; 3 - 5 2 < 0
363666
; 6 - 3 > 0
1.4.4. Leyes de signos en las operaciones algebraicas
1.5. Grado de las expresiones algebraicas y polinomios especiales
1.5.1. Grado de una expresión algebraica
Se denomina grado de una expresión algebraica a la característica relacionada con
los exponentes de las variables. Se distinguen dos tipos de grados: el absoluto (GA) y
el relativo (GR).
Multiplicación
1. (+a) (+b) = +ab
2. (+a) (-b) = -ab
3. (-a) (+b) = -ab
4. (-a) (-b) =+ab
Potenciación
1.
2.
3.
4.
Adición
1. (+a)+(+b)= + (a+b)
2. (-a) + (-b)= -(a+b)
3. (+a)+(-b)=+ (a-b); si a > b
4. (+a) +(-b)= -(b-a) ; b > a
División
1. (+a) (+b) = +(a/b)
2. (-a) (-b) = + (a/b)
3. (+a) (-b) = -(a/b)
4. (-a) (+b) = -(a/b)
Radicación
1. par
( ) ( )
2. )()(impar
3. )()(impar
4.par
)( cantidad imaginaria
Sustracción
a - b = a + (-b)
Matemática
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A. Grado relativo: hace referencia a una sola variable y a un solo término algebraico
o a toda la expresión algebraica.
Grado relativo de un término algebraico:
Es el exponente de la variable seleccionada.
Ejemplo: 8524 zyx , con respecto :
a “x” es de de 2do grado, a “y” es de 5to grado a, a “z” es de 8vo grado.
Grado relativo de una expresión algebraica:
Es el mayor exponente que afecta la variable seleccionada en toda la
expresión.
Ejemplo: Sea la expresión algebraica E(x,y,z) =534 2xyzzyx , se tiene
que: GR(x)= 4, GR(y)= 3 y GR(z)= 5
B. Grado absoluto: depende de todas las variables y puede asignarse a un solo
término algebraico o a toda la expresión algebraica.
Grado absoluto de un término algebraico:
Es la suma de los exponentes que afectan a todas las variables.
Ejemplo: Sea E(x) = 5
-2xyz
G.A (E) = 1+1+5= 7
Grado absoluto de una expresión algebraica:
Es el grado absoluto del término algebraico de mayor grado en la expresión.
Ejemplo: Sea P(x,y,z) = 4 3 2 5
x + y z - 2xyz
GA1 = 4 GA2 = 5 GA3 = 7
Entonces el GA de P(x) es 7
1.6. Polinomios
1.6.1. Polinomio: es una Expresión Algebraica Racional Entera, que consta de dos o
más términos (monomios) en cantidad finita. Cuando los coeficientes son reales se dice
que es un Polinomio en R. Se clasifican en binomios, trinomios, etc.
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Se denota por:
P(x)= a0xn + a1x
n-1+a2xn-2+…+an , donde
a0 es el COEFICIENTE PRINCIPAL y an ES EL TÉRMINO INDEPENDIENTE.
1.6.2. Valor numérico de un polinomio
Es el valor que adquiere el polinomio cuando se le asigna un determinado valor
numérico a su(s) variable(s).
Ejemplo:
i) Sea P(x) = x4 - 2x3+ 5x - 4 .
El valor numérico de P(x) cuando x=1, x=5 y x=0 es:
P(1) = (1)4 – 2(1)3 + 5(1) – 4
= 1 – 2 + 5 – 4 = 0
P(0) = (0)4 – 2(0)3 + 5(0) – 4
= 0 – 0 + 0 – 4 = - 4
ii) Sea P(x, y, z )= x3 - 7xy2z4 , entonces:
P(1; 5; 2) = (1)3 – 7(1)(5)2(2)4 = 1 - 2800 = -2799
Propiedades:
Sea P(x)= a0xn + a1x
n-1+a2xn-2+…+an , entonces:
i) ∑ coeficientes de P(x) = P(1)
ii) Térm. Independ. de P(x) = P(0)
1.6.3. Representación general de polinomios de acuerdo al grado
Sea el polinomio P(x) de grado n. tal que:
P(x)= axn + bxn-1+ cxn-2+ dxn-3… ; a ≠ 0 ; nЄ N.
Si n=0 → P(x)= a es de grado cero
Si n=1 → P(x)= ax + b es de 1º grado
Si n=2 → P(x)= ax2 + bx + c es de 2º grado
Si n=3 → P(x)= ax3 + bx2 + cx + d es de 3º grado
1.7. Operaciones con expresiones algebraicas
Dentro del cálculo algebraico, es frecuente la transformación de una expresión algebraica
en otras equivalentes, cuando estas permiten algunas reducciones y/o simplificaciones,
estas transformaciones reciben el nombre de operaciones algebraicas.
Matemática
24
1.7.1. Adición – sustracción de expresiones algebraicas
Es la operación que consiste en sumar o restar términos semejantes (Simplificación de
términos semejantes).
Para sumar o restar términos semejantes, el resultado se obtiene de la siguiente
manera:
1. Se suman algebraicamente los coeficientes
2. Se escribe la misma parte literal
Ejemplo: Hallar A + B – C , si A = 3x2y – 5xy2 + 7x2y2 – 3
B = 5xy2 – 2x2y2 + 9
C = x3y2 + 8x2y2 – 5x2y
Concluimos que A + B – C = 8x2y – 3x2y2 – x3y2 + 6
1.7.2. Multiplicación de expresiones algebraicas
Es la operación que consiste en hallar una expresión denominada producto total,
conocidas otras dos : multiplicando y multiplicador; esto es
M. m = P
factores
Donde M : Multiplicando
m : Multiplicador
P : Producto Total
A. Propiedades
El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores
El término independiente del producto es igual al producto de los términos
independientes de los factores.
Ejemplo. (2x4 + x2 + 5) (x5 + 6x2 + 2) (4x2 + 8x – 3)
Grado del producto : 4 + 5 + 2 = 11
Término independiente del producto : (6) (2) (-3) = -36
B. Casos que se presentan
Cuando son dos Monomios .- Se multiplican los coeficientes, luego las
partes literales utilizando las propiedades de la teoría de exponentes.
Cuando son dos Polinomios .- Se ordenan los polinomios preferentemente
en forma descendente y se escriben uno debajo del otro. A continuación se
multiplica separadamente cada término del multiplicador, por cada uno de los
términos del multiplicando; coeficientes y partes literales; y se obtienen los
Matemática
25
productos parciales, los cuales se escriben en forma ordenada uno debajo del
otro del mismo grado y se suman ordenadamente obteniéndose el producto
total.
Esquema :
MULTIPLICANDO
MULTIPLICADOR
---------------------
PRODUCTOS PARCIALES
----------------------
PRODUCTO TOTAL
Ejemplo : Efectuar (9x3 + 2x2 – 2xy) (x2 + 2xy2) 9x3 + 2x2 – 2xy x2 + 2xy2 ------------------------------- 9x5 + 2x4 – 2x3 y 18x4y2 + 4x3y2 – 4x2y3 ------------------------------------------------ 9x5 + 2x4 – 18x4 y2 + 4x3 y2 – 2x3 y – 4x2 y3
1.7.3. División
Veamos un caso inicial, la división de un Polimonio entre un monomio
Ejemplo: Dividir: 7 8 5 11 9 6
4 5
8x y 12x y 28x y
4x y
Entonces: podemos separar en dividendos parciales:
7 8 5 11 9 6
4 5 4 5 4 5
8x y 12x y 28x y
4x y 4x y 4x y
Dividiendo:
3 6 52x y3 3xy 7x y …. Respuesta
Matemática
26
01: Simplificar:
294
336
30x14x15
80x35x21
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 3
02. Al reducir:
1122
1212
3.53.5
3.53.5xxxx
xxxx
E
Se puede afirmar que: I. Si x es una cantidad positiva muy grande, la expresión es uno. II. Si x = 8 la expresión igual a 5. III. La expresión no depende de x. a) VFF b) VVV c) FFV d) FVV e) FFF
03. Si:
xxxx = 2. Calcular
w =
xxxxxxxxxx a) 8 b) 32 c) 16 d) 4 e) 64
04. Proporcionar el valor de:
3
4
5
2
2
3
23
5
2
81.4
27.32W
a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 11
05: Reducir: 4
2
1
44 4004525
7548123
a) 20 b) 16 c) 24 d) 28 e) 30
06. Halle el exponente de xx en:
x1x xx2 x1
1
x x.xxx
a)xx b)
1xx c) x – 1
d) x e) xxx
07.Efectuar:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0
08.Calcular el valor de:
P =
04412
13825 16932 168100 a) 11 b) 10 c) 16 d) 4 e) 12
09. Reducir: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 10.Reducir a su forma más simple:
M =
3 3 3 3 2222 x...xxx , n radicales.
a)
n3 1nx b) n3 13n
x c)
n n3 13x
d)
3n 1nx e) n 1n3x
11. Clasificar, de acuerdo a la naturaleza de sus
exponentes
a. 554 z7y6x2
b. 233 z6y5x4
c. 3y5x4 4/13/1
c. z5y3x2
d. 3232 yz4y5x5
e.
1zy
5
yx
x
12. Si los términos 1b2a n3m
43b n2m son semejantes. Entonces (a+b) es:
a) 7 b) 12 c) 15 d) 9 e) 10
ACTIVIDAD Nº 1
Matemática
27
13. Si 3a
1 y abx t b2
2 y 2x t, son
términos semejantes. Calcular:
21 t t.
a)
32 y x b)
32 y 8x c)
32 y 4x
d)
32 y 9x e) 10
14. Si el polinomio: P(x ; y)=
1b1a3b3a22b1a2 yx)1b3(yx)ba(yx)2a(
Es de grado absoluto 10, mientras que el grado relativo de “x” es 7. Calcular la suma de los coeficientes de “P”. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 18 15. En el siguiente polinomio:
1n3m2n2mn1m1nm yxyx7yx3yx2
el grado relativo con respecto a “x” vale 12, siendo el grado absoluto del polinomio 18. Hallar el grado relativo con respecto a “y” a) 7 b) 10 c) 16 d) 42 e) 2 16. Calcular el valor de “m” con la condición, que el polinomio:
nmnm
nmnmnmnm
yx
yxyxyxE
322
132242),(
Sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los grados relativos a “x” e “y” sea iguala a 6.
a) 11 b) 1 c) 6 d) 42 e) -3
17. Calcular: )1(P)1(P
)2(P2)2(PE
Si: 1x3x)x(P 2
a) 2.5 b) 2.8 c) 3.2 d) 4.4 e) 8.6 18. Dadas las siguientes expresiones:
A = 2(x2 + x + 2) (x - 1) + 3(x + 1) (x
2 - 1)
B = 2(x2 - x + 2) (x + 1) + 3(x - 1) (x
2 + 1)
Indica el valor de (A + B) - 4x + 6.
a) 8x
3 - 2x b) 10x
3 – x c) 10x
3
d) 10x3 + 2 e) x
19. Señale el resultado de multiplicar la suma de: 2x - x
2 + x
3 con x
2 - x
3 + 3 ;
Con el resultado de la diferencia de: 3x
2 + x + 6 con 3x
2 - x- 1.
Al resultado final restarte: 4x (x + 5) a) x
2 – x b) x
2 + 10 c) 21 + x
d) 21 e) x 20.Si se sabe que: A = 2(x
2 + x +1) (x + 1) + 2x
B = 2(x2 - x +1) (x - 1) - 2x
Calcular: A - B - 4x – 4 a) 8x
2 b) x
2 - 3x + 11 c) x
2 - 3x + 17
d) x
2 + x – 3 e) 2x
Matemática
28
Matemática
29
Tema 2:
PRODUCTOS NOTABLES
2.1. Multiplicación Algebraica:
Es la operación que hace corresponder a dos expresiones algebraicas denominadas
factores una tercera expresión llamada producto.
En:
x(A(x); B(x)) A(x).B(x) = P(x); A(x) y B(x) son los factores y P(x) es el producto.
2.2. Casos:
2.2.1. Multiplicación de dos monomios:
Para multiplicar dos monomios, primero multiplicamos los coeficientes luego las
partes literales, utilizando las propiedades de la teoría de exponente.
Ejemplo:
Si A(x,y) = -3xy4 y B(x,y,z)= 4x5y8z6 ,
Entonces: A(x,y) . B(x,y,z) = -12x6y12z6
2.2.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio:
Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica dicho monomio por cada uno
de los términos del polinomio.
Ejemplo:
Si A(x,y) = -3xy4 ⋀ B(x,y,z)= 4x5y8 - 2x4y6z8 + 5 x4z2 , entonces:
A(x,y) . B(x,y,z) = -3xy4 (4x5y8) - 3xy4(- 2x4y6z8) -3xy4 (5 x4z2)
= -12x6y2 + 6x5y10z8 - 15x5y4z2
En las civilizaciones antiguas se
escribían las expresiones algebraicas
utilizando abreviaturas sólo
ocasionalmente; sin embargo, en la
edad media, los matemáticos árabes
fueron capaces de describir cualquier
potencia de la incógnita x, y
desarrollaron el álgebra fundamental
de los polinomios, aunque sin usar los
símbolos modernos. Esta álgebra
incluía multiplicar, dividir y extraer
raíces cuadradas de polinomios, así
como el conocimiento del teorema del
binomio.
"Álgebra." Enciclopedia Microsoft
Encarta 2001.
PRODUCTOS NOTABLES
Figura 3. Caro Montesinos M. Productos notables.
Fuente: http://matemiguel.blogspot.com
Matemática
30
4610116106
401006
00000
601509
401006
2302
20503 x
2.2.3. Multiplicación de polinomios:
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del polinomio multiplicando
con cada uno de los términos del polinomio multiplicador.
Ejemplo:
A(x) . B(x) = (3x4 + 5x2 +2) . (2x3 - 3x + 2 )
= 3x4 (2x3 - 3x + 2 ) + 5x2 (2x3 - 3x + 2 ) +2(2x3 - 3x + 2 )
= 6x7 - 9x5 + 6x4 + 10x5 - 15x3 + 10x2 + 4x3 - 6x + 4
= 6x7 + x5 + 6x4 -11x3+10x2 -6x +4
Método de los coeficientes separados:
Luego:
A(x) . B(x) = 6x7 + 0x6 +1x5 + 6x4 -11x3+10x2 -6x +4
= 6x7 + x5 + 6x4 -11x3+10x2 -6x +4
2.3. Productos notables:
Son los resultados de ciertas multiplicaciones que se obtienen en forma directa sin
necesidad de realizar los pasos de la multiplicación algebraica. Son:
2.3.1 Cuadrado de un binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Ejemplo:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2
= 4x2 + 12xy + 9y2
(3x - 2)2 = (3x)2 – 2(3x) (2) + 22
= 9x2 – 12x + 4
NOTA: (a - b)2n = (b - a)2n; donde n N
2.3.2 Diferencia de cuadrados:
(a + b) (a - b) = a2 – b2
En general: (am + bm) (am - bm) = a2m – b2m
Ejemplo:
(3x + 2y) (3x – 2y) = (3x)2 – (2y)2 = 9x2 – 4y2
Matemática
31
2.3.3. Cubo de un binomio:
(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2+b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a+b)
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
Ejemplos:
(x + 1)3 = x3 + 3x2(1) + 3x(1)2 + 13
= x3 + 3x2 + 3x + 1
(x - 1)3 = x3 - 3x2(1) + 3x(1)2 - 13
= x3 - 3x2 + 3x – 1
Observación: A continuación se indican dos relaciones que serán de gran utilidad
para la solución de algunos ejercicios:
(a + b)3 + (a - b)3 = 2(a3 + 3ab2) = 2a(a2+3b2)
(a + b)3 – (a - b)3 = 2(3a2b + b3) = 2b(3a2+b2)
2.3.4. Cuadrado de un trinomio:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)
También: (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
Ejemplo:
(x + 2y - 3z)2 = x2 + (2y)2 + (-3z)2 + 2 x(2y) +x(-3z) + 2y(-3z)
= x2 + 4y2 + 9z2 + 4xy - 6xz – 12yz
2.3.5. Trinomio al cubo o cubo de un trinomio:
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + 6abc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c) (b + c)
Ejemplo:
(x + 2y + 3z)3 = x3 + (2y)3 + (3z)3 + 3(x + 2y)(2y + 3z) (x + 3z)
= x3 + 8y3 + 27z3 + 3 (x + 2y) (2y + 3z) (x + 3z)
2.3.6. Binomio por trinomio que genera una suma o diferencia de cubos:
(a + b) (a2 – ab + b2) =a3 + b3 (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
Matemática
32
Ejemplos:
(2x)3 + 33 = (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)
x3 – 1 = (x - 1) (x2 + x + 1)
2.3.7. Equivalencias de Legendre:
(a + b)2 + (a - b)2 = 2 (a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Ejemplos:
(2x + y)2 + (2x - y)2 = 2 [(2x)2 + (y)2] = 2 (4x2 + y2)
(2x+ y)2 – (2x - y)2 = 4(2x)(y)= 8xy
2.3.8. Equivalencia de Steven:
(x+a) (x+b) = x2 + (a+b)x + ab
(x+a) (x+b) (x+c) = x3 +(a+b+c+)x2 + (ab+bc+ac)x + abc
Ejemplos:
(x + 2)(x + 3) = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) = x2 + 5x + 6
(x+3) (x+4) (x+5) = x3+(3+4+5)x2+[(3)(4)+(4)(5)+(3)(5)]x+(3)(4)(5)
= x3 + 12x2 + 47x + 60
2.3.9 Equivalencia de Argand:
(a2+ab+b2) (a2 – ab + b2)=a4 + a2b2 + b4
Ejemplo:
(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = (x2)2 + (x)2 + 12
= x4 + x2 + 1
2.3.10. Equivalencias de Lagrange:
(a2+b2) (x2+y2) = (ax+by)2 + (ay - bx)2
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2+(ay - bx)2+(bz -cy)2+(az - cx)
2.3.11. Equivalencias de Gauss:
a3+b3+c3 – 3abc = (a+b+c) a2+b2+c2 – (ab+bc+ac)
2.3.12. Equivalencias adicionales:
(a + b) (b + c) (a + c) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac)
ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) = (a + b) (b + c) (a + c) – 2abc
2.3.13. Equivalencias condicionales:
Las equivalencias que a continuación se muestran solo se cumplen si:
Matemática
33
a + b + c = 0, entonces:
a2 + b2 + c2 = -2 (ab + bc + ac)
(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
a3 + b3 + c3 = 3abc
2 2 2 2(a + b + c )
2
444 cba
Matemática
34
01. Si A = x + 1 B = 2 – x C = x – 2 P(x) = A – B + C
2, entonces: P(x) + 2x – 3 es:
a) 4 b) x2 c) x d) 2x e) 2
02. Si se cumple que: (a + b)
2 + (a – b)
2 = 4ab, el
valor de E = es:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
03. Si x + y = 4 x. y = 1. Calcular: 2
22
2
yx
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 04. Si se cumple que: x + y = 6, x.y = 7. Hallar el valor de x
3 + y
3
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 05. Siendo a
2 + b
2 = 100
a. b = 48
Calcular: bbaa
a) 128 b) 139 c) 154 d) 162 e) 170
06. Si 21
xx Calcula el valor de
44 xx
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 0 07. Después de efectuar:
P (u) = (u + 2) (u -2) ( u2 + 4) (u
4 + 16) con u = 4
se obtiene a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 08. Si (x – 2) (x + 2) (x
2 + 4) (x
4 + 16) es idéntico a
Mx8 – N, halla el valor de MN
a) 9 b) 10 c)11 d) 13 e) 15 09. Si a + b+ c = 0, abc = 5, hallar:
a)5 b) 9 c) 18 d) 15 e) 45
10. Si a + b + c = 0. Calcular: E = abc
cba
9
333
a) 3 b) 1/3 c) -3 d) – 1/3 e) 1 11. Si x + y + z = 0. Calcula el valor de:
xyz
yzxxzyzyx 333 )2()2()2(
a) 27 b) -81 c) 9 d) 25 e) 81
12. Si: )(322
baa
b
b
aentonces el valor
de: E = 44
3223
ba
abbaba es:
a) 2 b) 3 c) 2,5 d) 1,5 e) 4,2 13. Simplificar:
)1)(1)(1)(1( 22 xxxxxx , si x =
6 2
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) -2 14. Si m = x (x
2 + 3) n = 3x
2 + 1
Calcula 5)( 3/122 sixnm
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Si a (a
2 + 3b
2) = b (b
2 + 3a
2) + 27, entonces un
valor para a –b es: a) -3 b) 0 c) 2 d)3 e) 7
16. Si
Encontrar el valor de: )(3 )343(ba dcL
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 17. Después de efectuar:
222 ))(( nmnmnmm se
obtiene: a) m b)2m c) n d) 2n
2 e) m/n
18. Si x + y + z = 12 xy + yz + xz = 60 Calcular el valor de (x+ y)
2 + (x +z)
2 + (y +z)
2
a) 158 b)168 c) 170 d) 192 e) 185
19. Si a = 35 b = 35 Hallar el
valor de:
L = ( a + b )4 + 2 ( a2 – b2 ) 2 + ( a – b)4
a) 1 b) 338 c) 400 d) 838 e) 883
20. Calcula N = pmnmpn
mnp 222
si m = - n – p
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
ACTIVIDAD Nº 2
Matemática
35
Tema 3
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Figura 4. Benavidez Núñez F.
Fuente: http://www.educagenesis.com
3.1. División de polinomios:
Es la operación que hace corresponder a dos polinomios otros dos polinomios
denominados cociente y residuo.
Dados D(x) y d(x) dos polinomios, tales que GA[D(x)] ≥ GA[d(x)] siempre existen otros dos
únicos polinomios q(x) y r(x), tales que GA[r(x)] < GA[d(x)] y para los cuales se cumple
que:
D(x) = d(x).q(x) + r(x)
Si R(x)= 0, entonces D(x)/q(x) es una división exacta
Si R(x) ≠ 0, entonces D(x)/q(x) es una división inexacta
3.2. Casos de división algebraica:
Explicaremos cada uno de estos casos:
3.2.1. División de monomios:
Para dividir dos monomios, se dividen los signos (según la ley de signos) luego se
dividen los coeficientes y por último de partes literales de acuerdo a la ley de
exponentes.
Ejemplo:
Halla el cociente de:
7 4 2- 60x .y .z
3 215x z
El conocimiento matemático del mundo
moderno está avanzando más rápido que
nunca. Teorías que eran completamente
distintas se han reunido para formar teorías
más completas y abstractas. Aunque la
mayoría de los problemas más importantes
han sido resueltos, otros como las hipótesis
de Riemann siguen sin solución. Al mismo
tiempo siguen apareciendo nuevos
yestimulantes problemas. Parece que
incluso las matemáticas más abstractas
están encontrando aplicación.
Disponible en:
www.luxdomini.com/historia_matematicas.
Matemática
36
SOLUCIÓN
7 4 2- 60x .y .z 60 7-3 4 2-2 4 4 40= - x y z = - 4x y z = -2(xy)
3 21515x z
3.2.2. División de un polinomio entre un monomio:
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del
polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada
uno de éstos resultados.
Ejemplo:
Halla el cociente de:
3 2 2 3 32a bx - 3a b y + 2a b
2a b
SOLUCIÓN:
3 2 2 3 3 3 2 2 3 32a bx - 3a b y + 2a b 2a bx 3a b y 2a b 2
= - + = 2ax - 3by + 2ab2 2 2 2
a b a b a b a b
3.2.3. División de polinomios:
La división de polinomios solo es aplicable en Polinomios de una sola variable y
polinomios Homogéneos. Se debe tener en cuenta que los polinomios deben ser
completos y ordenados con respecto a una letra llamada “Ordenatriz”, si faltase una
variable se completa con “ceros”.
Para dividir dos polinomios se utilizan los siguientes métodos:
- Método Clásico
- Método de los Coeficientes Separados.
- Método de Horner
- Método de Ruffini
A. Método Clásico: Para dividir dos polinomios mediante este método se debe tener
encuentra las siguientes reglas:
Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una letra, solo letra o
variable (en forma decreciente), en caso falte uno o más términos, estos se
completaran con CEROS.
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y
obtiene el primer término del cociente.
El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el producto se pasa con signo cambiado debajo de los términos del
Matemática
37
dividendo con su correspondencia semejante; al reducir se obtiene el primer
resto parcial.
Se baja el siguiente término del dividendo hasta el nivel del primer resto parcial.
Se divide el primer término del primer resto parcial entre el primer término del
divisor, obteniendo el segundo término del cociente, luego procedemos como en
el paso anterior hasta obtener el segundo resto parcial.
Se continúa así hasta bajar el último término del dividendo y obtener un resto
que sea a lo más de grado menos que el grado del divisor (resto de grado
máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio
idénticamente nulo.
Mediante un ejemplo, aplicaremos los pasos señalados:
Ejemplo: Dividir: 8x2y4+4x6y2–2x4y3–6y5 entre 2x2y + y2
SOLUCIÓN
- Se ordenan los polinomios:
4x6y2 – 2x4y3 + 8x2y4 – 6y5 2x2y + y2
- Se dividen los términos:
4x6y2 – 2x4y3 + 8x2y4 – 6y5 2x2y + y2
– 4x6y2 – 2x4y3 2x4y
– 4x4y3
- Se bajan los términos hasta el último término:
4x6y2 – 2x4y3 + 8x2y4 – 6y5 2x2y + y2
– 4x6y2 – 2x4y3 2x4y – 2x2y2 + 5y3
– 4x4y3 + 8x2y4
4x4y3 + 2x2y4
10x2y4 – 6y5
–10x2y4 – 5y5
- 11y5
- Por lo tanto:
Q(x, y) = 2x4y – 2x2y2 + 5y3
R (x, y) = - 11y5
B. Método de los coeficientes separados: Para dividir dos polinomios mediante
éste método se opera sólo con los coeficientes del dividendo y del divisor con sus
respectivos signos en base a las reglas del método anterior.
Se recomienda el uso, para división de polinomios de una sola variable o cuando
se tenga dos polinomios homogéneos con dos variables.
Matemática
38
La operación termina cuando se obtengan todos los términos del cociente que
como máximo es igual a su grado más uno.
El número máximo de términos que se obtenga en el residuo siempre será uno
menos que el número de términos del divisor.
Ejemplo:
Divide por el método de los coeficientes separados.
12x4 – 7x – 74x2 – 7x3 + 16 entre -7x + 3x2 – 4
SOLUCIÓN
En primer lugar, ordenamos los polinomios dividendo y divisor, obteniendo:
12x4 – 7x – 74x2 – 7x3 + 16 entre -7x + 3x2 – 4
Luego:
12 -7 -74 16 3 -7 -4-12 28 16
-7
21 -58 -7-21 49 28
-9 21 16+9 -21 -12
Residuo 4
4 7 -3
(Coeficientes del
cociente)
Q(x) = 4x +7x-32
R(x)= 4
C. Método de Horner: Este método es un caso particular del método de los
coeficientes separados y se emplea para la división de polinomios de cualquier
grado de una y dos variables, (asumiendo a una de ellas como tal y las demás
hacen el papel de números constantes) teniendo en cuenta que los polinomios
deben ser completos y ordenados en forma descendente con respecto a dicha
variable llamada letra ordenatríz, si falta alguna variable se reemplazará por ceros:
Procedimiento:
Paso 1: Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del
divisor obteniéndose el primer coeficiente del cociente.
Paso 2: El primer coeficiente del cociente multiplica a cada uno de los coeficientes
del divisor con signo cambiado y los resultados se colocan debajo de los términos
del Dividendo corriéndose un lugar hacia la derecha.
Paso 3: Se suman los términos de la segunda columna y el resultado se divide
entre el primer término del divisor obteniéndose así el segundo término del
cociente.
Matemática
39
Paso 4: Luego se repiten los pasos I y II hasta obtener el último término del
cociente, con el cual se obtiene la última fila del dividendo.
Paso 5: Llegado éste momento se reducen las columnas que faltan, separando
respectivamente el cociente y el resto en sus zonas respectivas.
Ejemplo:
4 20 -14 -18 7 -3 -12
2
0
-3
10
0-2
5 -1 4
-15
3
8 0 -12
0 0 0
0
Q(x)=5x -x+42Cociente: Residuo:
R(x)=0
Dividendo
Div
isor
D. Método Ruffini: Este método es un caso particular del método de Horner y se
emplea en la división de un polinomio P(x) entre divisores de las formas (x a) ,
(ax b) ó (xn a)
Caso 1: Cuando el divisor es de la forma (x a):
Ejemplo: Divide x5 – 2x4 – x2 + 2x – 8 entre x + 3
SOLUCIÓN
1 -2 0 -1 2 -8
-3 15 -45 138 -420
1 -5 15 -46 -140 -428
-3
x+3=0x=-3
Cociente:
Resto:
Q(x) = x -5x + 15x – 46x + 1404 3 2
R(x)=-428
Caso 2: Cuando el divisor es de la forma (ax b)
Ejemplo: Divide: 4x4 + 4x3 + 7x2 + 3x – 4 entre: 2x – 1
Solución
4 4 7 -3 -4
2 3 5 1
-3
2x-1=0
x=
Cociente:
1
2
10
2
2
2
6
2
4
2
1
2
2 3 5 1
Q(x) = 2x + 3x + 3x + 13 2
Cociente Falso
Cociente Verdadero
R(x)=-3
Matemática
40
Caso 3: Cuando el divisor es de la forma (xn a)
Ejemplo: Divide 2x6 + 3x4 + 8x2 + 9 entre x2 + 1
SOLUCIÓN
Haciendo el cambio de la variable: x2 = y, se tiene que:
2(x2)3 + 3(x2)2 + 8(x2) + 9 entre x2 + 1
2y3 + 3y2 + 8y + 9 entre y + 1
Luego, dividimos estos polinomios aplicando el método de Ruffini:
2 1 7 2
2 3 8 9
-2 -1 -7-1
Cociente:
2y + y + 72
Q(x)=2y + y +72
Residuo=2
- El valor de “y” que anula al divisor: y+1 es: y=-1
Remplazando: y = x2, obtenemos que:
Q(x) = 2y2 + y + 7
Q(x) = 2(x2)2 + x2 + 7 = 2x4 + x2 + 7
Q(x) = 2x4 + x2 + 7 R = 2
E. Teorema del Resto: Permite calcular el resto, sin necesidad de efectuar la
operación de la división. Se emplea por lo general para divisiones de polinomios
de cualquier grado entre divisores de la forma: ax b, o cualquier otra expresión
transformable a ésta.
Lema o enunciado de Descartes:
Dado un polinomio P(x) como dividendo y un divisor de la forma: (ax b). Para
calcular el resto en forma directa, se iguala el divisor a cero, se despeja la variable
y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo.
Ejemplo: Calcula el residuo de dividir:
x3 – 2x2 + 5x – 3 entre 2x – 1
SOLUCIÓN
Igualamos el divisor a cero: 2x – 1 = 0 1
x =2
Matemática
41
Este valor de x = 1/2, lo reemplazamos en el dividendo:
Dividendo = x3 – 2x2 + 5x – 3
Residuo =
3 21 1 1 1 1 5
- 2 + 5 - 3 = - + - 32 2 2 8 2 2
1 - 4 + 20 - 24=
8
Residuo = -
7
8
Matemática
42
01. Al dividir:
1532
5811713623
2456
xxx
xxxxx
* Señalar el cociente. a)3x
3 + 2x
2 + x + 2 b) x
3 + 2x
2 + x + 2
c) x3 + x
2 + x + 2 d) 8x
2 + x + 3
e) 8x2 + x + 3
02. Al efectuar la división:
34
231651482
2345
xx
xxxxxse obtiene
como residuo (5m + 4n)x + (m + 2n), entonces el
valor de nm
m
a) -1/4 b) -1/2 c)1/4 d) 1/2 e) 1
03. Si la división: 2
32
24
xx
pmxxxtiene
como residuo a 4x. Halle el valor de “m + p” a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 04. Si (3x + 5) es el resto de dividir:
P(x) = 5146 234 xxxx entre
d(x) = -5 + x + 2x2. Halle el valor de 3 4
a)2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 4 05. Luego de dividir:
123
2692
234
xx
cbxaxxx, calcule el valor
de “a + b + c, si la suma de coeficientes del cociente es 8 y el resto es 3x + 7 a) 20 b) 21 c) -21 d) 0 e) 10
06. Al dividir 22
62
234
xx
dcxbxaxx se
obtiene un cociente cuyos coeficientes van aumentando de uno en uno, y un resto R (x) = ax + b, halle el valor de “c + d” a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 07. Hallar “a” en la división exacta:
3x
ax8x16x5 34
a)4 b) -4 c)3 d) -3 e) -2 08. Calcular S = mn
2 Si el polinomio:
(6x4 + 5x
3 + 2mx - 3n) es divisible por
(2x2 + x + 3).
a) -25 b) 25 c) 36 d) 18 e) 32
09. Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la
división: 3x
5x2x4x2 35
a) 50 b) -60 c) -66 d) 66 e)-50 10. Halla el coeficiente del término cuadrático en
el cociente de:
12
4810436 2356
x
xxxxx
a)4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 11. Hallar el resto en: (x - 3)
8 + (x - 3)
7 + (x - 3)
6 + (x - 3)
5 + (x - 3)
2 + 16
x - 4 a) 20 b) 16 c) 21 d) 22 e) 28 12. Hallar el resto de la división:
22
3)1(3)1(7)1(2
172835
xx
xxx
a) 2x b) 2x – 12 c) 2x + 12 d) 2x + 5 e) 2x + 7 13. En el siguiente esquema de división:
1 2 4 5 c 7 -1 b - 4 a - 2 - 4 1 2 2 2 d 3 9 Hallar la suma de “a + b + c + d”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12 14. En el siguiente esquema
Determinar la suma de coeficientes del polinomio dividendo. a) 10 b) -40 c) 40 d) 50 e) – 50 15. Calcula el resto en la siguiente división:
3
4243 2227
x
xxx
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
ACTIVIDAD Nº 3
Matemática
43
16. hallar el resto en la división:
1
45233
3467
x
xxxxx
a) 9x+1 b) 7x+9 c) 7x+2 d) 4x+14 e) 9x+7 17. La suma de los coeficientes del cociente y
residuo de la siguiente división:
3x2x
3xx3x32
23
, es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Qué valor debe asumir “m” para que la suma
de coeficientes del cociente de la división:
2
352 234
x
mxxxxsea igual al residuo
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 0
19. Calcular “ ” para que:
)1(23)( 23 xxxxP
sea divisible por “x + 2 “. a) 13 b) 23 c) 25 d) 10 e)12 20. Hallar A / B si al dividir El residuo es: 7x + 44 a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 9
3-x2x
BAxx2x2
34
Matemática
44
Matemática
45
Tema 4:
FACTORIZACIÓN
4.1. Factorización:
Es un proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación
indicada de 2 ó más polinomios dentro de un cierto campo de números, a los cuales se
les denomina factores primos, así:
FACTORIZACIÓN
P(x) = x + 3x – 10 = (x+5)(x-2)2
PRODUCTO
La factorización se realiza en el conjunto de las expresiones algebraicas racionales
enteras respecto a la variable y respecto a los coeficientes en el conjunto de los números
racionales.
4.1.1 Factor primo: Es aquel polinomio que no acepta transformación o multiplicación
indicada de dos o más polinomio no constantes, perteneciente a dicho campo numérico.
Todo factor primo presenta como únicos divisores a él mismo y a cualquier constante no
nula.
Ejemplo: 2x + 3 es primo en N,ℚ,ℝ,ℂ
g(x,y) = (x2 + 1)(x2 -3) esta factorizado en ℚ
h(x,y) = (x2 + 1) (x + 3 ) (x - 3 ) esta factorizado en
p(x, y) = (x + i) (x - i) (x + 3 )(x - 3 ) esta factorizado en ℂ
Figura 5 Ferré C. Descripción del procedimiento de factorización
de matrices incompletas para el cálculo de la Estructura a partir
del Movimiento.
Fuente: http://www.uab.cat/Imatge/
Es importante para identificar el caso de
factorización a aplicar, saber en que
consiste cada uno y dependiendo del
polinomio descartar cada caso según se
cumpla o no las condiciones. Por
ejemplo:1) Si el polinomio es un
trinomio, lo primero es verificar si existe
algún factor común en los tres términos,
sino, pensar en “Trinomio Cuadrado
Perfecto”, verificar si cumple las
condiciones, y así sucesivamente hasta
encontrar la factorización adecuada.
_______________________
Morales Esther.Disponible en: http://www.articulo.org/4838/esther_mor
ales
Matemática
46
4.1.2 Conteo de factores primos: El número de factores primos de un polinomio se
obtienen contando el número de factores basales, es decir, los factores que se
encuentren como base de una potencia y que contengan a la variable.
Ejemplos:
P(x) = 35 (x+3)2 (2x-1) (x2 + 2)
Número de factores es 4 y el número de factores primos es 3
f(x,y) = x2y2 (x + 2y)5 (x – 3y)4
Número de factores es 13 y el número de factores primos es 4
4.2. Métodos de factorización:
Existen varios métodos de factorización la cual estudiaremos:
4.2.1. Factor Común Monomio:
Es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado,
está formado por el M.C.D. (Máximo Común Divisor), de los coeficientes y las letras
comunes elevadas a su menor exponente.
Ejemplo: Factoriza: 8x2y + 6x3yz – 10xy2w
SOLUCIÓN
Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 8; 6 y 10
M.C.D (8;6 y 10) = 28 6 10
4 3 5
- -
- -
2
El menor exponente con que aparecen las variables comunes “x” e “y” son 1 para la
variable “x” y 1 para la variable “y”. Por lo tanto, el factor común es: 2xy.
Luego: 8x2y + 6x3yz – 10xy2w = 2xy ( + - )
Factor común
Dividimos 8x2y : 2xy = 4x
Dividimos 6x3yz : 2xy = 3x2z
Dividimos 10xy2w : 2xy = 5yw
8x2y + 6x3yz – 10xy2w = 2xy(4x + 3x2z – 5yw)
4.2.2. Factor Común Polinomio:
Es el polinomio que esta contenido en todos los términos del polinomio considerado. Se
aplica la propiedad distributiva:
ab + ac = a(b + c). También se utiliza el M.C.D.
Ejemplo: Factorizar:
3a(x – 2y) + 6b(x – 2y)
Matemática
47
SOLUCIÓN
Hallamos el M.C.D de los coeficientes 3 y 6.
M.C.D (3 y 6) = 33 6
1 2
-
-
3
El menor exponente del polinomio común (x – 2y) es 1. Por tanto común es 3(x – 2y).
Luego: 3a(x – 2y) + 6b(x – 2y) = 3(x – 2y) [ + ]
Factor común:
Dividimos 3a(x – 2y) : 3(x – 2y) = a
Dividimos 6b(x – 2y) : 3(x – 2y) 2b2
3a(x – 2y) 6b(x – 2y) = 3(x – 2y)(a + 2b2)
4.2.3. Factorización por agrupación de términos.
El proceso para factorizar por “Agrupación de Términos” consiste en agrupar
convenientemente los términos de un polinomio, a fin de obtener, en cada grupo
formado, un factor que sea común a todos los términos, luego se procede como en el
caso anterior.
Ejemplo: Factorizar: ac + ad + bc + bd
SOLUCIÓN:
Agrupando de dos en dos términos el polinomio dado, obtendremos dos polinomios
parciales; veamos:
ac+ad +bc+bd = (ac+ad) + (bc+bd)
Sacamos factor común “b”Sacamos factor
común “a”
= a(c+d) + b(c+d)
Sacamos factor común “(c+d)”
ac + ad + bc + bd = (c + d)(a + b)
4.2.4. Factorización de las identidades:
En la factorización de las identidades se observan los diferentes casos de los
productos notables.
A. Factorización de una Diferencia de Cuadrados. Es consecuencia de un
producto notable ya estudiado:
(a + b) (a - b) = a2 – b2
Matemática
48
Para extraer sus factores primero se extrae la raíz cuadrada de sus factores y
luego se
forman dos factores uno con la suma de las raíces halladas y el otro con la
diferencia de dichas raíces.
Ejemplo: Factoriza: x2 – 49
Solución:
2 x - 49
2 x 49
x 7
Extraemos la raíz cuadrada de cada término
Luego: x2 – 49 = (x + 7) (x - 7)
B. Factorización de la Suma y Diferencia de Cubos. Es consecuencia de un
producto notable en la cual es igual a la suma de sus bases, multiplicada por el
trinomio que se forma del cuadrado de la primera base más o menos el productos
y sus bases y más el cuadrado de la segunda base.
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 =(a - b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo: Factoriza:
8x3 – 27
Solución
3 8x - 27 = (2x - 3)
33 38x 27
2x 3
Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica a ambos términos, la
diferencia de estas raíces es el primer factor binomio.
Esta diferencia (2x - 3) se multiplica por un trinomio. (4x2 + 6x + 9)
El cuadrado de la primera base (2x)2 = 4x2;
más el producto de las dos bases 2x . 3 = 6x;
y más el cuadrado de la segunda base (3)2 = 9.
Luego: 8x3 – 27 =(2x - 3)
C. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: Es consecuencia de otro
producto notable donde el trinomio debe estar ordenado, el primer término y el
Matemática
49
tercer términos son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble producto
de las bases de dichos términos esta clase de trinomios se llaman trinomios de
cuadrados perfectos.
(a b)2 = a2 2ab + b2
Ejemplo: Factoriza 4x2 + 28x + 49
Todo trinomio cuadrado perfecto se descompone en dos factores binomios, que se
obtienen extrayendo la raíz cuadrada de los términos primero y tercero empleando
el signo del segundo término.
SOLUCIÓN
2
2 4x 28x + 49
4x 49
2(2x)(7)=28x
+
2x 7
Doble producto de las raíces encontradas Luego: 4x2 + 28x + 49 = (2x + 7)2
D. Factorización de un trinomio de la forma: x2 +bx + c: En esta factorización
utilizaremos el método del aspa simple.
Ejemplo: Factoriza x2 – 7x + 12
SOLUCIÓN:
x
x
-3 -3x
-4 -4x
-7x
+
x – 7x + 122
X2 – 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
E. Factorización de un trinomio de la forma: ax2 + bx + c; (a 1): En esta
factorización también utilizaremos el método del aspa simple
Ejemplo: Factoriza 5x2 – 17x – 12
SOLUCIÓN:
Matemática
50
5x
x
+3 +3x
-4 -20x
-17x
+
25x – 17x - 12
5x2 – 17x – 12 = (5x + 3)(x - 4)
F. Factorización de los divisores binomios: Este método se emplea para factorizar
polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición
fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
Divisores Posibles: (DP) DP = Término Independiente
Coeficiente principal
Ejemplo: Factoriza 30x3 + 19x2 – 1
SOLUCIÓN:
DP =
1 1 1 1 1 1 1= ±1;± ± ± ± ± ;±
1;2;3;5;6;15;30 2 3 5 6 15 30
30 19
0
-1
-15 -2 -11
2
30 4 -2
0
30x3 + 19x2 – 1 = (30x2 + 4x - 2) 1
x +2
= 2(15x2 + 2x - 1) 2x + 1
2
3x +1
5x -1
= (3x + 1) (5x - 1) (2x + 1)
Matemática
51
01. Luego de factorizar el siguiente polinomio, da
como respuesta la suma de sus factores primos. F(a , b , c) = (a + b – 1)
2 – (b + c – 1)
2
a) a + b - 1 b) a – b +1 c) 2 (a + b -1) d) a – b – 1 e) 1 02. Calcular la suma de los factores primos de: T(x ; y) = (xy + 1)
2 – (x + y)
2.
a) 4 b) x + y c) 2 d) 2(x + y) e) x –y 03. Si el polinomio P(x , y) = 3x
2 + 4y
2 + 6y + 5x + 7xy + a
acepta ser factorizado, calcule el valor de “a” a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Si el polinomio x
2 + 3xy + 2y
2 + ay + 6x + 5, es factorizable sobre
Q. El menor valor de “a” es: a)1 b) 5 c) 6 d) 7 e) 11 05. Factoriza el siguiente polinomio (x – 1) ( x – 3) ( x + 4) ( x + 6) + 48, e indica el número de factores primos a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Factoriza P (a) sobre los racionales, si P(a) = (a + 1) (a - 2) (a + 3) (a – 4) + 21 y halla la suma de los términos lineales de sus factores primos. a)-5a b)-4a c) -3a d) -2a e) a 07. Halla la suma de los términos independientes de los factores primos del siguiente polinomio x
9 + 3x
8 +x
5 + 3x
4 – 20x – 60
a) 16 b) 8 c) 5 d) 11 e) 20 08. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio?
P(x) = 1246810 xxxxx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 09. Si el polinomio P(x) = x
12 – 6x
8 + 5x
4 + 2x
6 – 6x
2 + 1 es
factorizable, da como respuesta uno de sus factores a) x
6 + x
2 + 1 b) x
6 + 5x2 + 1 c)x
6 – 5x
2 – 1
d) x6 – x
2 – 1 e) x
6 – 5x
2 + 1
10. Al factorizar el siguiente polinomio en R, P(x) = x
7 + x
5 + x
4 +x
3 + x
2 + 1 , indica el factor
primo doble que se obtiene a) x+ 1 b) x
2 – x + 1 c) x
2 + x + 1
d) x – 1 e) x2 + 1
11. Un factor del polinomio a
2 + b
2 + a (b + c) + b (a + c) es
a) a+ c b) b + c c) a + b + c d) a + 2c e) a + 2b 12. Al factorizar la siguiente expresión 1 + x y + a (x + y) - (x + y) – a (1 + x y), el número de factores primos lineales es: a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión? P(x; y; z; w) = wy + wz – wyz –xy – xz + xyz a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 14. Factorizar. P(a; b; c) = a(b
2 + c
2) + b(c
2 + a
2)
y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. Indique un factor primo del polinomio:
P(x , y) = yxyx 20042003 205
a) 1-x b) 1+x c) 1+ 2x d) 1+3x e) 1+4x 16. Luego de factorizar el siguiente polinomio P(x , y) = x
7 y
3 – 2x
6 y
4 + x
5 y
5, indicar un factor
primo: a) x + y b) x – y c) x – 2y d) x + 2y e) x – 3y 17. Luego de factorizar el siguiente polinomio señale uno de sus factores x
2 (x – y)
2 – 14 x y
2 (x – y) + 24 y
4
a) x – 3y b) x – 8y c) x – 4y d) x + 6y e) x + 12y 18. Luego de factorizar la siguiente expresión señale el factor no repetido (x- y)
4 (x – y + 1) + (y –x )
2 ( y – x - 1)
a) x – y b) x + y c) x – y + 1 d) x – y – 1 e) x + y + 1 19. Luego de factorizar el polinomio P(x) = 2x
3 – 13x
2 + 19x – 8
Indique el coeficiente del término lineal del factor primo cuadrático a) 2 b) –3 c) –11 d) –5 e) 4 20. Luego de factorizar el polinomio R (x) =
278 3x , indique el factor primo de mayor suma
de coeficientes. a)2x – 3 b) 3x +2 c) 2x + 3 d) 9x
2 – 6x + 4 e) 4x
2 – 6x + 9
ACTIVIDAD Nº 4
Matemática
52
Matemática
53
RELACIONES y FUNCIONES
Capacidades - Define el concepto de relación. - Diferencia las clases de relaciones existentes. - Define el concepto de función. - Reconoce las características generales de las funciones como medio para
comprender, representar e interpretar situaciones de la vida real. -Utiliza las funciones especiales en problemas contextualizados.
Unid
ad II
“Así como los objetos más fáciles de ver no son los
demasiado grandes ni los demasiado pequeños,
también las ideas más fáciles en matemáticas no son
las demasiado complejas ni las demasiado simples”
Bertrand Russel (1872-1970)
Figura 6.Alvarez Paulo..Resolver el Sistema Inecuaciones Lineales
con 2 variables
Fuente: http://3.bp.blogspot.com/
Matemática
54
Matemática
55
Tema: 5
RELACIONES
Figura 7. Montenegro Joo j. Virtual dinamycs.
Fuente:http://www.virtualdynamicssoft.com/panageos.gif
5.1. Conceptos básicos
Antes de definir que es una relación vamos a familiarizarnos con algunos términos
fundamentales para la matemática, que nos servirán para entender mejor las definiciones
posteriores y sus propiedades.
Los elementos que pertenecen a diferentes conjuntos pueden tener algún tipo de
correspondencia entre ellos, por ejemplo, los estudiantes del CEPRE y las escuelas
profesionales de la universidad Señor de Sipán pueden hacerse corresponder mediante
una expresión como “postula a”; así “Juan postula a Derecho”, “Pedro postula a
Educación”,
“Carmen postula a Ingeniería Civil” serían algunos casos particulares, pero debemos
darnos cuenta que las expresiones donde se intercambie el orden de los elementos no
siempre tienen el mismo significado; en los casos dados: “Derecho postula a Juan”,
Educación postula a Pedro”, “Ingeniería Civil postula a Carmen”, por lo que es necesario e
importante considerar el orden de los elementos.
Los ejemplos anteriores nos llevan a la necesidad de definir un conjunto en donde el
orden de los elementos sea considerado, eso es justamente a lo que nos referiremos
como un “par ordenado”.
“Un hombre es como una fracción
cuyo numerador corresponde a lo que
él es, en tanto que el denominador es
lo que cree ser. Cuanto más grande es
el denominador, más pequeña es la
fracción”
Tolstoi
Matemática
56
5.1.1. Par Ordenado
Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, en donde se distingue el orden que
ocupa cada uno de ellos, y designándoseles como primera y segunda componente del
par ordenado.
Si las componentes del par son a y b, en ese orden, entonces se denota como (a; b) y
se lee “el par ordenado de componentes a y b”.
Pero ¿por qué decimos que un par ordenado es un conjunto?, en los conjuntos no se
distingue entre el orden de sus elementos ¿cómo introducimos la noción de orden para
definir un par?
Para dar significado a lo anterior, formalmente un par ordenado queda definido como
sigue:
(a; b) = {{a}; {a; b}}
Como puede apreciarse un par ordenado es un conjunto cuyos elementos son a la vez
conjuntos, donde {a} determina que a es la primera componente o coordenada del par
ordenado y {a; b} determina que b es la segunda componente o coordenada del par
ordenado.
De lo anterior, si a y b representan elementos diferentes, entonces los pares ordenados
(a; b) y (b; a) son diferentes entre sí (no se puede cambiar el orden de las
componentes), lo cual podemos expresarlo:
a ≠ b, (a; b) ≠ (b; a)
Por lo tanto, para que dos pares ordenados sean iguales sus componentes
correspondientes deben ser iguales, es decir, las primeras componentes iguales entre sí
y las segundas componentes iguales entre sí:
(a; b) = (c; d) a = c b = d
Para investigar: ¿Cómo se definiría la triada ordenada (a; b; c)?
Ejemplo : Si se cumple que (3x – 5; 2y + 1) = (7 – x; 19 – y), determina el valor de la
expresión E = x2 + xy + y2.
SOLUCIÓN:
Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes
correspondientes deben ser iguales.
Matemática
57
Igualando las primeras componentes: 3x – 5 = 7 – x 3x + x = 7 + 5
4x = 12 x = 3
Igualando las segundas componentes: 2 y + 1 = 19 – y 2y + y = 19 – 1
3y = 18 y = 6
Reemplazando: E = x2 + xy + y2 E = 32 + 3(6) + 62 E = 9 + 18 + 36
E = 63
5.1.2. Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos, denominamos producto cartesiano al conjunto de todos los pares
ordenados, en donde la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda
componente pertenece al segundo conjunto.
Así, si el primer conjunto está formado por Irma, Miguel, Óscar y Rosa; y el segundo
conjunto son los cargos que pueden ocupar: presidente, secretario y tesorero; entonces
el producto cartesiano del primer por el segundo conjunto sería:
{(Yrma, presidente), (Yrma, secretario), (Yrma, tesorero), (Miguel, presidente), (Miguel,
secretario), (Miguel, tesorero), (Óscar, presidente), (Óscar, secretario), (Óscar,
tesorero), (Rosa, presidente), (Rosa, secretario), (Rosa, tesorero)}
Si representamos el primer conjunto como A = {I, M, O, R} y el segundo conjunto
B = {P, S, T), entonces el producto cartesiano de A y B sería:
AxB = {(I, P), (I, S), (I, T), (M, P), (M,S), (M, T), (O, P), (O, S), (O, T), (R, P), (R, S), (R,
T)}
Dados 2 conjuntos A y B, el producto cartesiano de A y B se denota AxB y queda
definido como sigue: AxB = {(a, b)/ a A b B}
O en forma equivalente: (a, b) AxB a A b B
Ejemplo : Dado el conjunto A cuyos elementos son los profesores David (D), Ricardo
(R) y Marco (M); y el conjunto B por los cursos que enseñan Geometría (G) y
Trigonometría (T). Determina mediante el diagrama de árbol los productos cartesianos
AxB y BxA.
SOLUCIÓN:
El método del árbol nos permite visualizar de modo esquemático los pares
ordenados que forman el producto cartesiano, así:
Matemática
58
Los productos cartesianos hallados son:
A x B = {(D, G), (D, T), (R, G), (R, T), (M, G), (M, T)}
B x A = {(G, D), (G, R), (G, M), (T, D), (T, R), (T, M)}
5.1.3. Propiedades del Producto Cartesiano
El producto cartesiano no es conmutativo: A x B ≠ B x A
Para dos conjuntos finitos, el número de elementos de su producto cartesiano es
igual al producto de los números de elementos de cada conjunto.
n(A x B) = n(A) x n(B)
En el ejemplo 2, se tiene n(A) = 3 y n(B) = 2 n(A x B) = 3 x 2 = 6
El producto cartesiano de un conjunto con el conjunto vacío es el conjunto vacío: A
x = x A =
El producto cartesiano es distributivo respecto a la intersección, unión y diferencia:
A x (B C) = (A x B) (A x C)
A x (B C) = (A x B) (A x C)
A x (B – C) = (A x B) – (A x C)
5.2. Relación binaria
En nuestro contexto los elementos se encuentran en algún tipo de correspondencia
con elementos del mismo conjunto o de otros conjuntos, y utilizamos diversos términos
para designar esta correspondencia tales como: “hermano de”, “mayor que”, “padre de”,
“primo de”, “trabajador de”, “jefe de”, etc.
Los elementos que se hacen corresponder guardan un orden, por lo que constituyen
pares ordenados, y que en conjunto denominamos “relaciones”. Entonces, el orden
que se mencionan los elementos relacionados es importante, así, “Juan es jefe de Pedro”
tiene un significado diferente de decir “Pedro es jefe de Juan”.
Matemática
59
En matemática el término relación se utiliza para establecer una conexión o
correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.
5.2.1. Relación Binaria
Dados dos conjuntos A y B, se denomina relación binaria de A en B, o entre lo
elementos del conjunto A y B, a cualquier subconjunto de su producto cartesiano A x B.
R: A B R A x B
R = {(a, b) A x B/ p(x, y)}
Toda relación binaria consta de un conjunto de partida (A), de un conjunto de llegada (B)
y de algún tipo de enunciado que es cumplido por los pares que forman la relación, es
decir, es verdadero para los pares de la relación y falso para los pares que no forman
parte de la relación.
Ejemplo : Dados los conjuntos:
A = {x N/ 0 < x2 < 25} y B = {x N/ 4 < 2x – 4 < 14}.
Determina:
El producto cartesiano A x B
R1 = {(x, y) A x B/ x + y < 8}
R2 = {(x, y) A x B/ y – x = 4}
SOLUCIÓN:
A = {x N/ 0 < x2 < 25} A = {1, 2, 3, 4}
B = {x N/ 4 < 2x – 4 < 14} B = {5, 6, 7, 8}
A x B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6),
(3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8),}
R1 = {(x, y) A x B/ x + y < 8} R1 = {(1, 5), (1, 6), (2, 5)} A x B
R2 = {(x, y) A x B/ y – x = 4} R2 = {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (8, 4)} A x B
5.2.2. Dominio de una Relación
En el ejemplo 3, puede apreciarse que el conjunto de partida de la relación R1 es A =
{1, 2, 3, 4} de cuyos elementos sólo 1 y 2 son primeras componentes de los pares
ordenados de la relación, mientras que 3 y 4 no participan de la relación. Así, todos los
elementos del conjunto de partida no necesariamente están relacionados con elementos
de B en la relación. Por ello, se distingue entre el conjunto de partida y el conjunto de
Matemática
60
elementos que son primeras componentes en los pares de la relación, denominándosele
a éste último dominio de la relación.
Se llama dominio de una relación R de A en B a los elementos de A que son las
primeras componentes de los pares ordenados de la relación R, denotándose como
Dom(R):
R: A B Dom(R) = {x A/ y B, (x, y) R}
5.2.3. Rango de una Relación
En el ejemplo 3, también, puede apreciarse que el conjunto de llegada de la relación
R1 es A = {5, 6, 7, 8} de cuyos elementos sólo 5 y 6 son segundas componentes de los
pares ordenados de la relación, mientras que 7 y 8 no participan de la relación. Así,
todos los elementos del conjunto de llegada no necesariamente están relacionados con
elementos de A en la relación. Por ello, se distingue entre el conjunto de llegada y el
conjunto de elementos que son segundas componentes en los pares de la relación,
denominándosele a éste último rango de la relación.
Se llama rango de una relación R de A en B a los elementos de B que son las
segundas componentes de los pares ordenados de la relación R, denotándose como
Ran(R):
R: A B Ran(R) = {y B/ x A, (x, y) R}
En toda relación, el dominio es un subconjunto del conjunto de partida y el rango es un
subconjunto del conjunto de llegada:
Matemática
61
5.2.4. Gráfica de una Relación
Una forma práctica de analizar las relaciones es usando representaciones gráficas, que
permiten visualizar fácilmente los elementos que están relacionados entre sí a través de
la relación, el dominio y el rango.
Se puede utilizar un Diagrama Sagital, utilizando diagramas de Venn-Euler para los
conjuntos de partida y llegada, donde mediante flechas se indican los elementos que
están relacionados; o también un Plano Cartesiano donde en el eje de abscisas o eje X
se representan los elementos del conjunto de partida y en el eje de ordenadas o eje Y
se representan los elementos del conjunto de llegada, y los pares de la relación se
representan mediante puntos en el plano.
Ejemplo : Dados los conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 8, 12, 40}, determina y
grafica la relación R = {(x, y) A x B/ x2 + y2 = n2 n N}, su dominio y rango.
SOLUCIÓN:
32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132, 92 + 122 = 152, 92 + 402 = 412 donde 5, 13, 15 y 41
pertenecen a N
R = {(3, 4), (5, 12), (9, 12), (9, 40)}
Dom(R) = {3, 5, 9} Ran(R) = {4, 12, 40}
Su gráfica mediante diagrama sagital sería:
Su gráfica en el plano cartesiano sería
Matemática
62
ACTIVIDAD Nº 05
01. Si: (a + 3; b + 1) = (8; 4) indicar “a + b”
a) 5 b) 1 c) 1 d) 8 e) 4
02. Si se tiene la igualdad de pares ordenados:
(a2 – 3a ; 5) = (4 ; a + 1) entonces: a es:
a) 1 b) -1 c) 5 d) 2 e) -2
03. Dados los pares ordenados:
(3a + 2b; 27) = (5; 7a – 3b). Hallar: 5a + 8b
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
04. Sabiendo que: A = {3; 4; 5} B = {1; 2};
entonces, al calcular A x B se obtienen:
a) 6 pares ordenados
b) 9 pares ordenados
c) 10 pares ordenados
d) 15 pares ordenados
e) 3 pares ordenados
05. Dados los conjuntos A = {2, 3, 5},
B = {x Є Z/ 0 ≤ x ≤ 3}, C = {x Є Z / -1 ≤ x ≤ 2}
Determina cual de los enunciados es verdadero.
I (A x B ) U ( B x A) tiene 24 pares ordenados.
II. (A∩B)2 tiene 4 pares ordenados.
III. (A∩B∩C)2 tiene un solo par ordenado
a) I b) II c) III d) I y II e) II y III
06. Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6} Indicar el
valor de: n(A x B)
a) 2 b) 2 c) 12 d) 5 e) 7
07. Sabiendo que A = {x |N / 4 < x < 7};
B = {-1; 0; 1}. Indicar lo correcto:
a) (-1; 0) A x B b) 7 A c) (4; 7) A x B
d) (5; 0) A x B e) 0 A
08. Teniendo los conjuntos:
M = {x Z / -2 < x < 3}
N = {x N / 1 < x < 3}
Indicar lo correcto:
a) (1; 7) M x N b) (3; 4) M x N
c) (2; 0) M x N d) (3; 3) M x N
e) (-2; 1) M x N
09. Se tiene: A = {2; 4; 6} B = {1; 3; 5}
Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de:
I. (2; 1) B x A
II. (6; 5) B x A
III. (3; 4) B x A
a) VFV b) VFF c) FVV
d) FFV e) VVF
10. Dados los conjuntos:
A = {x |N / 1 < x < 4}
B = {x |N / 1 < x < 4}
De las afirmaciones:
I. (1; 1) A x B
II. (2; 1) B x A
III. (3; 3) A x B
Son verdaderos:
a) Sólo III b) I y II c) Sólo I
d) II y III e) Todas
11. Sea el conjunto: A = {1; 3; 5; 7}, definimos la
relación R = {(x, y) A x A / x + y =
0
3 ¿Cuántos
elementos tiene R?
a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 1
12. Sean los conjuntos A = {2; 4; 6} B = {1; 3; 5}
se define la relación: R = {(x, y) A x B / a = 2b}
¿Cuántos elementos detiene R?
a) 2 b) 1 c) 4 d) 8 e) 6
13. Sean los conjuntos A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4;
6} se define: R = {(x, y) A x B / x = y}.
Calcular n (R)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Sean los conjuntos A = {x |N / 1 < x < 4}
B = {x |N / 1 < x < 4}, se define la relación.
R = {(x, y) A x B / x = y}
a) (1; 2) R b) (4; 4) R c) (2; 2) R
d) (3; 3) R e) (1; 1) R
ACTIVIDAD Nº 5
Matemática
63
15. Si R es una relación de A en B donde:
A = {2; 3; 4}; B = {1; 5; 7}
Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. Dom R = {1; 3; 4}
II. Ran (R) = {1; 5; 7}
III. Dom (R) A
IV. Ran (R) B
a) VFVF b) VVFF c) VFFV
d) FFVV e) VVV
16. Dado A = {2; 4; 6} y “R” una relación den A x A
definida por: R = {(2; 4}, (2; 6}, (4; 2), (6; 2)}
Dar la suma de los elementos del rango de R.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
17. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4}; B = {5; 6}
¿Qué alternativa no es relación de A en B?
a) {(2; 5)} b) {(3; 6)} c) {(2; 6), (1; 5)}
d) {(4; 5), (4; 6)} e) {(3; 5)}
18. Sean: A = {1; 2; 3; 4; 5},
R1 = {(x, y) 2A / x < y},
R2 = {(x, y) 2A / x + y = 6}
Hallar Dom(R1 R2)
a) {1; 2} b) {1; 2; 3} c) {1; 2; 3; 4}
d) {2; 3} e) {3; 4}
19. Dado los conjuntos: A = {3; 5; 7} B = {2; 4; 6}
Se define las relaciones:
R1 = {(x, y) A x B / x + y = 9}
R2 = {(x, y) A x B / y = 4} Hallar : Dom(R1 – R2)
a) {3; 7} b) {5; 7} c) {3; 5; 7}
d) {5} e) {7}
20. 2. Si a = {1, 2, 5, 6} y B = {3, 5, 7, 9}, hallar R1
R2, dar como respuesta la suma de sus
elementos
R1= {(x, y) Є A x B/ x y}
R2 = {(x, y) Є A x B/x + y = 8}
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Matemática
64
Matemática
65
Tema 6
CLASES DE RELACIONES
6.1. CLASES DE RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Las relaciones definidas en un conjunto son aquellas donde el conjunto de partida es igual
al conjunto de llegada. Si el conjunto de definición es A, entonces la relación R definida en
A es un subconjunto de A x A = A2.
R es una relación definida en A R A2
Para las relaciones definidas en un conjunto se consideran varios tipos de relaciones:
reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, de equivalencia y de orden.
6.1.1. Relación reflexiva
Una relación definida en un conjunto se dice que es reflexiva, si para todos los
elementos del conjunto de definición los pares ordenados de componentes iguales
pertenecen a la relación; es decir, cada elemento se relaciona consigo mismo mediante
la relación.
R: A A es reflexiva x A, (x, x) R
Figura 8
Fuente: http://html.rincondelvago.com/000558502.png
Matemática
66
Ejemplo : Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7} determina cuales de las siguientes relaciones
son reflexivas:
R1 = {(x, y) A2/ x – y < 4}
R2 = {(x, y) A2/ x + y > 5}
SOLUCIÓN:
R1 = {(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7), (5,3), (5,5), (5,7), (7,5), (7,7)}
Los pares (1, 1), (3, 3), (5, 5) y (7, 7) pertenecen a R1 R1 es reflexiva
R2 = {(1,5), (1,7), (3,3), (3,5), (3,7), (5,1), (5,3), (5,5), (5,7), (7,1), (7,3), (7,5), (7,7)}
El par (1, 1) no pertenece a R2 R2 no es reflexiva
Ejemplo : Dado el conjunto A = {x N/ 6 < x2 < 60} determina cuales de las
siguientes relaciones son reflexivas:
R1 = {(x, y) A2/ x es un divisor de y}
R2 = {(x, y) A2/ x es impar y es par}
SOLUCIÓN:
El conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7}
R1 = {(3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7)}
Los pares (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) y (7, 7) pertenecen a R1 R1 es reflexiva
R2 = {(3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6), (7, 4), (7, 6)}
Los pares (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) y (7, 7) no pertenece a R2 R2 no es
reflexiva
Ejemplo: Dado el conjunto A = {x/ x es un plano} determina cuales de las siguientes
relaciones son reflexivas:
R1 = {(x, y) A2/ x es paralelo a y}
R2 = {(x, y) A2/ x es perpendicular a y}
SOLUCIÓN:
Todo plano es paralelo a sí mismo, entonces todo plano se relacionará consigo
mismo en R1 R1 es reflexiva
Ningún plano es perpendicular a sí mismo, entonces cada plano no se relaciona
consigo mismo en R2 R2 no es reflexiva
Matemática
67
6.1.2. Relación simétrica
Una relación definida en un conjunto se dice que es simétrica, si un elemento se
relaciona con un segundo elemento, entonces también el segundo elemento se
relaciona con el primero; es decir, si un par ordenado pertenece a la relación entonces el
par de componentes intercambiadas también pertenece a la relación, para todos los
pares de la relación.
R: A A es simétrica (x, y) R, (x, y) R (y, x) R
Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7} determina cuales de las siguientes
relaciones son simétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x – y < 2}
R2 = {(x, y) A2/ x + y < 7}
SOLUCIÓN:
R1 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7), (7, 5), (7, 7)}
(1, 3) pertenece a R1 pero (3 , 1) no pertenece a R1 R1 no es simétrica
R2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (5, 1)}
(1, 3) R2 (3, 1) R2; (1, 5) R2 (5, 1) R2 R2 es simétrica
Ejemplo: Dado el conjunto A = {x/ x es un plano} determina cuales de las siguientes
relaciones son simétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x es paralelo a y}
R2 = {(x, y) A2/ x es perpendicular a y}
R3 = {(x, y) A2/ x, y son planos horizontales y x está debajo de y}
Solución:
Si un plano P1 // P2 se cumple que P2 // P1 R1 es simétrica
Si un plano P1 P2 se cumple que P2 P1 R2 es simétrica
Si P1 está debajo de P2 no se cumple que P2 esté debajo de P1 R2 no es
simétrica
6.1.3. Relación antisimétrica
Una relación definida en un conjunto se dice que es antisimétrica si cuando un elemento
se relaciona con un segundo elemento y a su vez el segundo elemento se relaciona con
el primero entonces es que ambos elementos son iguales; es decir, en una relación
antisimétrica no pueden haber dos pares de componentes intercambiadas a menos que
dichas componentes sean iguales.
R: A A es antisimétrica (x, y) R (y, x) R x = y
Matemática
68
Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7} determina cuales de las siguientes relaciones
son antisimétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x – y < 2}
R2 = {(x, y) A2/ x + y < 7}
SOLUCIÓN:
R1 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7), (7, 5), (7, 7)}
En R1 no hay pares con componentes intercambiadas a excepción de (1, 1), (3, 3)
(5, 5) y (7, 7) que tienen componentes iguales R1 es antisimétrica
R2 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (5, 1)}
(1, 3) (3, 1) R2 pero 1 no es igual a 3 R2 no es antisimétrica
Ejemplo : Dado el conjunto A = {x/ x es un conjunto} determina cuales de las siguientes
relaciones son antisimétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x y}
R2 = {(x, y) A2/ x y = }
SOLUCIÓN:
Si un conjunto C1 C2 y C2 C1 se cumple que C1 = C2 R1 es antisimétrica
Si C1 C2 = significa que los dos conjuntos son disjuntos y que por lo tanto son
diferentes
Si un conjunto C1 es disjunto con C2 también C2 es disjunto con C1, sin embargo
C1 y C2 son diferentes R2 no es antisimétrica
6.1.4. Relación transitiva
Una relación definida en un conjunto se dice que es transitiva si cuando un elemento se
relaciona con un segundo elemento y éste se relaciona con un tercero, entonces
también está relacionado el primero con el tercero; es decir, en una relación transitiva
por cada pareja de pares ordenados donde la segunda componente de uno es igual a la
primera componente del otro existe un tercer par ordenado con la primera componente
del primer par y la segunda componente del segundo par.
R: A A es transitiva (x, y) R (y, z) R (x, z) R
Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 3, 5, 7} determina cuales de las siguientes relaciones
son transitivas:
R1 = {(x, y) A2/ x – y < 2}
R2 = {(x, y) A2/ x 5 x + y es múltiplo de 3}
Matemática
69
SOLUCIÓN:
R1 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7), (7, 5), (7, 7)}
(1, 3) R1 (3, 5) R1 asimismo (1, 5) R1; (1, 5) R1 (5, 7) R1 asimismo
(1, 7) R1; (3, 5) R1 (5, 7) R1 asimismo (3, 7) R1; … R1 es transitiva
R2 = {(1, 5), (3, 3), (5, 1), (5, 7)}
(1, 5) R2 (5, 7) R2 pero (1, 7) R2 R2 no es transitiva
Ejemplo : Dado el conjunto A = {x/ x es un conjunto} determina cuales de las
siguientes relaciones son antisimétricas:
R1 = {(x, y) A2/ x y}
R2 = {(x, y) A2/ x y = }
SOLUCIÓN:
Si un conjunto C1 C2 y C2 C3 se cumple que C1 C3 R1 es transitiva
Si C1 C2 = significa que los dos conjuntos son disjuntos y que por lo tanto son
diferentes
Si un conjunto C1 es disjunto con C2 también C2 es disjunto con C1, sin embargo
C1 no es disjunto con C1 por ser iguales R2 no es transitiva
6.1.5. Relación de equivalencia
Existen relaciones definidas en un conjunto que determinan una partición en dicho
conjunto, es decir una separación en varios subconjuntos que unidos dan el conjunto de
definición y que son disjuntos entre sí.
Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales consideremos la relación donde
las dos componentes al ser divididas entre 3 dejan el mismo residuo, tendremos que
entre ellos se relacionan los siguientes elementos:
{0, 3, 6, 9, 12, …} que al dividirse entre 3 dejan residuo 0
{1, 4, 7, 10, 13, …} que al dividirse entre 3 dejan residuo 1
{2, 5, 8, 11, 14, …} que al dividirse entre 3 dejan residuo 2
Así, los pares (0, 3), (3, 9), (1, 4), (10, 13), (2, 2), (8, 11),… pertenecerán a la relación;
pero no se relacionan los elementos de un subconjunto con los de otro subconjunto, por
ejemplo, (3, 7), (7, 5), (11, 9), … no pertenecen a la relación porque al dividirse sus
componentes entre 3 no dejan el mismo residuo.
Este tipo especial de relaciones se denominan relaciones de equivalencia y son
aquellas relaciones que a la vez son reflexivas, simétricas y transitivas.
Matemática
70
R: A A es de equivalencia R es reflexiva R es simétrica R es transitiva
6.1.6. Relación de orden
Otro tipo especial de relaciones son aquellas que permiten introducir una ordenación o
jerarquía entre los elementos del conjunto de definición, como por ejemplo la relación :
1 1 2 2 3 3 4 …
También en el caso de la relación de inclusión entre conjuntos:
A A B B C C D …
Este tipo especial de relaciones se denominan de orden y cumplen con ser reflexivas,
antisimétricas y transitivas.
R: A A es de orden R es reflexiva R es antisimétrica R es transitiva
6.2. Relación inversa
Dada una relación definida en un conjunto su relación inversa o recíproca es la relación
formada por los pares ordenados que se obtienen de cambiar el orden de las
componentes de sus pares ordenados. Así, si el par ordenado (1, 2) pertenece a la
relación, entonces el par ordenado (2, 1) pertenecerá a su inversa o recíproca.
R: A B R-1 = {(y, x) B x A/ (x, y) R}
De la definición se tiene que: Dom(R) = Ran(R-1) Ran(R) = Dom(R-1), además de que R
y R-1 tendrán la misma cantidad de elementos.
Matemática
71
Ejemplo : Dado el conjunto A = {x N/ x es primo y x < 15} y la relación R definida por:
R = {(x, y) A2/ x + y es divisible entre 3}. Determina la relación inversa R-1.
SOLUCIÓN:
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
R = {(2,7),(2,13),(3,3),(5,7),(5,13),(7,2),(7,5),(7,11),(11,7),(11,13),(13,2),(13,5),(13,11)}
R-1
= {(7,2),(13,2),(3,3),(7,5),(13,5),(2,7),(5,7),(11,7),(7,11),(13,11),(2,13),(5,13),(11,13)}
Matemática
72
01 Dado el conjunto A = {2, 3, 4} y las Relaciones
en A: R1= {(2,2), (2, 3), (3, 3), (4,4)}
R2 = {(2,2), (2,4) , (3,3), (4,3)
Cuál de las proposiciones es verdadera
a) R1 es Reflexiva b) R2 es reflexiva
c) R1 ∩ R2 = Ф d) R1 es simétrica
e) R1 y R2 son de equivalencia
02. Si A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} sea R C A x
B, donde (x, y) R ↔ x < y. Hallar el valor de
verdad de las siguientes afirmaciones
a) Dom (R) ∩ Dom(R-1
) = Ф
b) R ∩ R-1
tiene 12 elementos
c) La relación T definida por: (x, y) Є T↔ A /
(x, s) Є R-1
Λ (s, y) Є R, es simétrica
a) VVV b) VFV c) FVV d) FVV d) FFF
03. Dado el conjunto A = {2, 4, 6}
I. R1 = {(2,2), (2, 4), (4, 4), (6, 6), (4,2)]
II. R2 = {(x, y) Є A2 / y – x = 0}
III. R3 = {(x, y) Є A2/ y – 2 = x}
Indicar las relaciones equivalentes
a)Solo I b) Solo II c) Solo III
d) I y II e) Solo II y III
04. En A = { 2, 3, 5, 7, 11} se define:
R = {(x, y)/ 3 es divisor de 2x + y}
I R es reflexiva
II. R es simétrica
III. R es Transitiva
IV. R es de equivalencia
V. R es de orden
¿Cuántas son verdaderas?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05. De las siguientes relaciones definidas en A,
donde A = {a, b, c, d, e} indica cuántas son
transitivas:R = {(a, b), (b, c), (d, e), (e, d), (a, c), (d,
d), (e, e), (c, c)} S = {(a, d), (d, e), (e, a), (e, e)}
T = {(b, a), (a, b)}
a) 0 b) 1 b) 2 c) 3 e) N.A
06. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se definen las
relaciones R y T por:
R= {(1,3), (2, 4), (3, 5), (1, 1), (2, 2), (4, 2), (3,1)} y
T = {(x, y)/ (y,x) Є R}. ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son falsas?
a) R es transitiva pero no simétrica
b) R ∩ T = {(1, 1), (2, 2)}
c) Dom (R) – Dom (T) Ф
07. Sea A = {1, 2, 3, 4} y la relación
R = {(2, 2), (2, 1), (1, 1), (4, 4), (3, z), (x, y), (2, 3),
(z, y), (3, 1). Si R es de equivalencia en A, hallar el
valor de “3x + 2y – z”
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08. Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y las
relaciones en A:
R = {(1,1), (1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}
S = {(1,2), (2,1), (3,3), (4,5), (5,5,)}
T= {(x, y)/ x + y=6}
Indica cuales son simétricas
a) R b) S c) T d) R y S e) R Y T
09. Dado el conjunto A = {1, 2, 3}. R, S, y T son
relaciones en A, reflexiva, simétrica y transitiva,
respectivamente. Si:
R = {(1, 1), (2, 3), (a, 2), (3, b)} S = {(1, 3), (c, d)}
T = {(3, e), (2, 3)}.
Hallar (b – a) + (c – d) – e
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
10. En C = {4, 9, 16} se definen:
R = {(4, 4), (9, 16), (m , 9), (16, n)} reflexiva
A ={(4, 16), (p, q)} simétrica
D = {(16, r), (9, 16) transitiva
Hallar “ m + n + p + q+ r”
a) 54 b) 49 c) 68 d) 73 e) 61
11. Sean R1, R2 y R3 relaciones en A. ¿Cuáles de
las siguientes afirmaciones son verdaderas?
ACTIVIDAD Nº 6
Matemática
73
a) Si R1 es reflexiva, R2 es simétrica y R3 es
transitiva, entonces R1 U R2 U R3 es de
equivalencia.
b) Si R1 y R2 son de equivalencia, entonces R1 ∩
R2 es de equivalencia.
c) Si R1 U R2 es de equivalencia, entonces R1 es
reflexiva o R2 es reflexiva.
12. Sea R una relación por:
I. R es reflexiva
II. R es simétrica
III. R es transitiva
IV. R es de equivalencia
V. R es de orden
¿Cuántas don verdaderas?
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Sea A = {a, b, c, d} y consideremos las
relaciones en A siguientes:
R = {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (c, c), (a, c), (d, d)}
S = {(a, a), (a, b), (b,a), (b, c), (c, b), (c, c), (d, d)}
T = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (c, d), (d, d)}
U = {(a,a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, d), (d, c),
(d, d)}
Hay m relaciones reflexivas, p relaciones
simétricas y q relaciones transitivas. Hallar la
suma de “m + p + q”
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
14. En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} se define la
relación R por: (x, y) ↔”x es divisor de y”. Hallar el
valor de las afirmaciones siguientes:
a) R no es reflexiva b) R es simétrica y transitiva
c) R es reflexiva y transitiva
d) R es de Equivalencia e) R es simétrica
15. En A = {1, 2, 3, 4} se considera la relación
R = {(x, y) Є A2/x = y ∨ x + y = 3}. Se afirma que R
es:
a) Reflexiva b) Simétrica c) Transitiva
d) De equivalencia e) de Orden
16. Si A = {2, 3, 5, 8, 10, 12} y R1 = {(x, y) Є A x A/
x es un número par y múltiplo de de y} R2 = {(x, y)
Є A X A/ x = 2y + 2}, entonces hallar el valor de
verdad de las siguientes afirmaciones
a) n(R1) = 9 b)R1 ∩ R2 = Ф c) n (R2) = 5
d) R1 no es simétrica y R2 es transitiva
17. Si A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (a, c), (b,
c), (c, c)} entonces:
a) R es reflexiva y simétrica
b) R es simétrica
c) R es reflexiva y transitiva
d) R es de equivalencia
d) a y b
18. Si R = {(x, y) Є Q x Q/ x – y ≤ 3, y –x ≤ 4}.
¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son
verdaderas?
I) R es reflexiva
II) R es Simétrica
III) R es transitiva
IV) R es de equivalencia
a) I y II b) I y III c) II y III d) IV e) Todas
19. Dado el conjunto A = {a, b, c} y la
R = {(a, a), (a, b), (b, c), (b, c)}
Determina cuántas afirmaciones son verdaderas
I) R es reflexiva
II) R es simétrica
III) R es antisimétrica
IV) R es transitiva
V) R es de equivalencia
a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5
20. Para el conjunto A = {1, 3, 5}, definimos la
relación R = {(1,1), (3,3), (5, 5), (1, 3), (3,1)},
verificar si R es de equivalencia.
Matemática
74
Matemática
75
Tema: 7
FUNCIONES
7.1 Conceptos básicos
La teoría de funciones se desarrolla sobre la base de la teoría de relaciones, como un tipo
especial de relación, y que por lo mismo tiene sus particularidades y propiedades
específicas además de las asociadas a las relaciones en general.
El concepto de función, tal como lo usamos actualmente, ha tenido un desarrollo tardío en
la historia de las matemáticas y no se consolidó hasta después de mediados del siglo XX;
sin embargo, es de tal importancia en la estructura actual de la matemática que su
conocimiento es importante para el estudio del análisis matemático y la matemática
superior.
7.1.1. Definición de Función
En una relación a cada elemento del conjunto de partida le podía corresponder más de
un elemento en el conjunto de llegada, así en la relación R:
R = {(x, y) N x N/ y es múltiplo de x}
“Cuando las leyes de la matemática
se refieren a la realidad, no son
ciertas; cuando son ciertas, no se
refieren a la realidad”
Albert Einstein (1879-1955)
Científico alemán nacionalizado
estadounidense
Figura 9
Fuente:http://www.pdm.com.co/
Matemática
76
Al elemento x = 3 le correponden los valores de y: 3, 6, 9, 12, ……., al elemento x = 5 le
corresponden los valores de y: 5, 10, 15, 20, …..; pero existen algunos tipos de
relaciones en las cuales a cada elemento del conjunto de partida le corresponde a los
sumo un elemento en el conjunto de llegada, así en la relación:
R = {(x, y)/ y es la capital del país x}
A cada elemento x le corresponde un solo elemento y: a Perú le corresponde Lima, a
España le corresponde Madrid, a EEUU le corresponde Washington, etc.; es decir, no
existen en la relación dos pares ordenados que tengan la misma primera componente.
A este tipo especial de relaciones se denomina funciones; así, una función expresa la
idea de una cantidad que depende de otra, o que está determinada por ésta, de modo
que si se conoce el valor de la primera componente, entonces siguiendo su regla de
correspondencia se puede determinar el valor de la segunda componente, que es único.
Por ejemplo, el valor del área de una región limitada por un cuadrado está determinado
por la medida de su lado, de modo que si se conoce la medida del lado se determinará
inmediatamente el valor del área.
Dados dos conjunto A y B, se dice que f es un función de A en B, se denota f:A B, si f
es un subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir es una relación de A B, y a
cada elemento de A le corresponde a lo sumo un elemento de B.
f: A B f A x B ( (x, y) f (x, z) f y = z )
Si el par (x, y) pertenece a la función f, decimos que y es la imagen de x mediante la
función f, y suele excribirse y = f(x).
Ejemplo : Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 9}, determina cuales
de las siguientes relaciones son funciones:
R1 = {(x, y) A x B/ x + y es múltiplo de 5}
R2 = {(x, y) A x B/ x = y + 1}
R3 = {(x, y) A x B/ y = x2}
R4 = {(x, y) A x B/ x y deja resto igual 3}
SOLUCIÓN:
R1 = {(1, 4), (1, 9), (3, 2), (7, 8), (9, 6)} R1 no es función
Matemática
77
R2 = {((3, 2), (5, 4), (7, 6), (9, 8)} R2 si es función
R3 = {(3, 9)} R3 si es función
R4 = {(3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 9), (5, 2), (7, 4), (9, 6)} R4 no es función
Ejemplo : La relación binaria: R = {(2,5), (-1, b – a), (2, 2a - b), (a + b2, a), (-1, -3)} es
una función, determina el valor de a.b.
SOLUCIÓN:
Si R es un función, de los pares (2, 5) y (2, 2a – b) se tiene: 2a – b = 5 … (1)
Si R es un función, de los pares (-1, b – a) y (-1, -3) se tiene: b – a = -3 … (2)
Sumando (1) y (2): 2a – b + b – a = 5 + -3 a = 2
Reemplazando a = 2 en (2): b – 2 = -3 b = -1
a.b = (2)(-1) a.b = -2
7.1.2. Dominio de una función
Se llama dominio o conjunto de preimágenes de una función f de A en B a los
elementos de A que son las primeras componentes de los pares ordenados de la
función f, denotándose como Dom(f).
f: A B Dom(f) = {x A/ y B, (x, y) f}
Como puede apreciarse, el dominio de la función f es un subconjunto del conjunto de
partida A: Dom(f) A
7.1.3 Rango de una función
Se llama rango, recorrido o conjunto de imágenes de una relación f de A en B a los
elementos de B que son las segundas componentes de los pares ordenados de la
función f, denotándose como Ran(f):
f: A B Ran(f) = {y B/ x A, (x, y) f}
Para toda función f de A en B, el rango de la función f es un subconjunto del conjunto de
llegada B: Rang(f) B
Matemática
78
Ejemplo : Dados: A = {x N/ x es impar x < 11} y B = { x N/ x es primo x 11},
determina el dominio y rango de la función: f = {(x, y) A x B/ y = x + 2}
SOLUCIÓN:
A = {x N/ x es impar x < 11} A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = { x N/ x es primo x 11} B = {2, 3, 5, 7, 11}
f = {(1, 3), (3, 5), (5, 7), (9, 11)} Dom(f) = {1, 3, 5, 9} Ran(f) = {3, 5, 7, 9}
7.1.4.Gráfica de una función
Al igual que en el caso de las relaciones, una forma sencilla de analizar las funciones es
a través de gráficas, que permiten visualizar el que sea una función, el tipo de función,
los pares que pertencen a la función, su dominio y su rango.
Se puede utilizar un Diagrama Sagital, utilizando diagramas de Venn-Euler para los
conjuntos de partida y llegada, donde mediante flechas se indican los elementos que
están relacionados; o también un Plano Cartesiano donde en el eje de abscisas o eje X
se representan los elementos del conjunto de partida y en el eje de ordenadas o eje Y
se representan los elementos del conjunto de llegada, y los pares de la relación se
representan mediante puntos en el plano.
Ejemplo : Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 7, 9, 11, 13} y la función f =
{(x, y) A x B / y = 2x + 1}. Determina y grafica f.
SOLUCIÓN:
x = 1 y = 2(1) + 1 = 3; x = 2 y = 2(2) + 1 = 5 B; x = 3 y = 2(3) + 1 = 7; x = 4
y = 2(4) + 1 = 9; x = 5 y = 2(5) + 1 = 11.
La función f es: f = {(1, 3), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}
Matemática
79
Diagrama Sagital Diagrama Cartesiano
Dom(f) = {1, 3, 4, 5} y Ran(f) = {3, 7, 9, 11}
7.1.5 Aplicación
Existen funciones que están definidas para todos los elementos del conjunto de partida,
es decir, a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento en
el conjunto de llegada; por lo tanto, el conjunto de partida coincide con el dominio de la
función, a éste tipo particular de funciones se les da el nombre de aplicaciones.
En muchas funciones no se designa el conjunto de partida, por lo que éste se asume
igual al dominio o conjunto de elementos para los cuales existe la función, en esos
casos se confunden los conceptos de función y aplicación, y en ese sentido lo usan
algunos autores.
Dados dos conjuntos A y B y una función de A en B, se dice que f es una aplicción si
Dom(f) = A:
f: A B es una aplicación f es una función Dom(f) = A
f: A B es una aplicación x A, !y B/ (x, y) f
Ejemplo : Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 5, 8} y B = {2, 3, 5, 7, 9, 11}, determina
cuáles de las correspondencias son relaciones, funciones o aplicaciones:
Matemática
80
R1 = {(x, y) A x B / x + y es múltiplo de 3}
R2 = {(x, y) A x B / y = 2x + 1}
R3 = {(x, y) A x B / y = x + 2 x = 2y – 8}
SOLUCIÓN:
R1 = {(1, 2), (1, 5), (1, 11), (2, 7), (3, 3), (3, 9), (5, 7), (8, 7)}, hay varios pares con
igual primera componente, por lo tanto, R1 sólo es una relación.
R2 = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (5, 11)}, todos los pares tienen primera componente
diferente, por lo tanto es una función, pero Dom(R2) = {1, 2, 3, 5} A, por lo que
no es una aplicación.
R3 = {(1, 3), (3, 5), ((5, 7), (2, 9), (8, 11)}, todos los pares tienen primera
componente diferente, entonces es una función; pero además Dom(R3) = {1, 2, 3,
5, 8} = A, por lo tanto es una aplicación
7.1.6 Valor de una función
Dada una función f, de A en B, para cada elemento x de su dominio le corresponde una
imagen y, un elemento del conjunto B, donde y = f(x); esto se interpreta como una
transformación que sufre el valor x a través de la función f para convertirse en y.
Es común utilizar la notación f(x) para designar el valor que le corresponde a la función;
por ejemplo, dada la función f = {(x, y) 2/ f(x) = x2 + x + 1} se tiene:
f(1) = 12 + 1 + 1 f(1) = 3
f(2) = 22 + 2 + 1 f(2) = 7
f(3) = 32 + 3 + 1 f(3) = 13
f(9) = 92 + 9 + 1 f(9) = 91
f(20) = 202 + 20 + 1 f(20) = 421
7.2. Tipos de funciones
Existen diversos tipos de funciones, algunas asocian a cada elemento del rango un único
elemento del dominio; en otras existe una preimagen para cada elemento del conjunto de
llegada; para otras a mayor valor de la preimagen le corresponde una mayor imagen, en
otras a mayor valor de la preimagen le corresponde un menor valor de la imagen; también
existen algunas que toman el mismo valor cuando a la preimagen se le cambia de signo,
o en todo caso sólo cambian de signo; incluso en algunos casos toma el mismo valor
cuando la preimagen se aumenta en un valor constante.
Matemática
81
En esta parte sólo abordaremos los tipos de funciones más características son son las
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
7.2.1 Función inyectiva
Es posible que algunas funciones tomen el mismo valor para diferentes valores de su
dominio, así, para la función f = {(x, y) 2/ y = x2 + 4x + 6} se que f(0) = 6 y f(-4) = 6;
incluso en la función f = {(x, y) 2/ y = 3} para todo valor de x el valor de la función es
siempre 3: f(0) = 3, f(1) = 3, f(2) = 3, ….
Pero existen otras funciones donde a valores diferentes del dominio le corresponden
valores diferentes, es decir, son uno a uno; a éstas funciones se les denomina inyectiva
o univalente.
Si f es una función de A en B, se dice que f es inyectiva si a elementos diferentes del
dominio les corresponde diferentes imágenes en B.
Una función f: A B es inyectiva x1, x2 Dom(f), x1 x2 f(x1) f(x2)
Una función f: A B es inyectiva x1, x2 Dom(f), f(x1) = f(x2) x1 = x2
7.2.2 Función sobreyectiva
Existen funciones donde para algunos elementos del conjunto de llegada no existe una
preimagen, es decir, no forman parte de los pares ordenados de la función, en estas
funciones el rango es un subconjunto propio del conjunto de llegada.
Para la función f = {(x, y) 2/ y = x2} para ningún valor de x la función toma valores
negativos, que son números reales y pertenecen al conjunto de llegada.
Matemática
82
Pero en otras funciones el conjunto de imágenes o rango coincide con el conjunto de
llegada, es decir, para todo elemento del conjunto de llegada existe una preimagen;
estas funciones son denominadas sobreyectivas o suryectivas.
Si f es una función de A en B, se dice que f es sobreyectiva si el rango de la función es
igual al conjunto de llegada B.
Una función f: A B es sobreyectiva Ran(f) = B
Una función f: A B es sobreyectiva y B, x A/ (x, y) f
7.2.3 Función biyectiva
Las funciones que relacionan uno a uno los elementos del dominio con los elementos
del conjunto de llegada se les denominan biyectivas. Por lo tanto, el rango es igual al
conjunto de llegada y a cada uno de sus elementos le corresponde una preimagen.
Si f es una función de A en B, se dice que f es biyectiva si a la vez es inyectiva y
sobreyectiva. Para todo elemento del conjunto de llegada existe un único elemento que
pertenece a A del cual es imagen.
Una función f: A B es biyectiva f es inyectiva f es sobreyectiva
Una función f: A B es biyectiva y B, !x A/ (x, y) f
Matemática
83
Matemática
84
01. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos
determinan una función:
A = {(2; 3), (5; 7), (1; 4)}
B = {(4; 1), (9; 8), (3; 6)}
C = {(2; 3), (1; 7), (3; 5)}
a) Sólo A b) sólo B c) sólo C
d) A y B e) Todos
02. Dados los conjuntos:
A = {1, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4}
¿Cuántas de las siguientes relaciones no es
una función de A en B?
R1 = {(1, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
R2 = {(1, 0), (3, 2), (5, 0), (3, 4), (7, 4)}
R3 = {(2, 3), (4, 5), (0, 7)}
R4 = {3, 0), (1, 2), (5, 2)}
R5 = {(0, 3), (2, 3), (4, 7)}
R6 = {0, 1), (2, 5), (4, 7), (2, 3)}
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
03. Sabiendo que: F = {(2a; 3), (3; 7), (1; 4), (8;
10)}
Es una función, ¿qué valor natural no puede
tomar “a”?
a) 1 b) 2 y 5 c) 3 d) 4 y 8 e) 4
04. Si A = {1, 2, 4, 5, 6}
B = {1, 3, 4, 5}
F: A →B definida por:
F = {(m, 1), (2, 4), (4, 4), (n, 4), (p, 5)} es una
función, entonces “m + n+ p” es igual a:
a)9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
05. El gráfico:
a) Determina una función
b) No determina una función
c) Posee cuatro pares ordenados
d) a y c
e) b y c
06. Con respecto a la función f:
f
Indica Verdadero o falso
I) Dom (f) = {1, 3, 4, 5}
II) Ran (f) = {2, 4, 6}
III) f (1) = f (5)
IV) Dom (f) = {1, 3, 5}
a)VVVF b) VVFF c) FFVV
d) FFFV e) N.A
07. Definida la función:
Marca la alternativa correcta:
a) f(1) = -5 b) f(3) = -1 c) f(0) = 1
d) f(5) = 6 e) f(4) = 9
08. Si
Calcular:
a)34/30 b)30 c) 17/30
d) 1/30 e) -37/30
09. Dada la función F tal que:
F (x) = a x + b con x Є R, si F (3) = 2, F (4) = 2
F(2). Hallar a2 + b
2
a)3/9 b) 4/9 c) 5/9
d) 1/3 e) 2/3
10. Si f(x) = 3x
2 – 5x + 1 g(x) = ½ x + 5
Calcular g (f (1))
a) 9/2 b) 3/2 c) 1/3 d) 1/5 e) ½
1
3
5 4
2
4
6
ACTIVIDAD Nº7
Matemática
85
11. Hallar a2 + b
2 a partir de la función:
F = {(2, 5), (3, a3), (2, a+ b), (3, 8), (b, 5)}
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
12. Reconocer el rango de la función:
F: {(2, a), (2, 3a - 4), (3, a -1), (4, a2)}
a) {3; 6; 9} b) 1; 2;: 4} c) {0; 2; 4}
d) {3; 5; 7} e) {2; 4; 6}
13. Una función F: A → B, se ha presentado
mediante el diagrama
A F B
¿Cuántas proposiciones son ciertas?
I. F es una aplicación
II. F es inyectiva
III. F es suryectiva
IV. F es biyectiva
a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas e) Ninguna
14. cuál(es) de los siguientes gráficos representa
una función sobreyectiva:
A B A B A B
I II III
a) Sólo I b) solo II c) I y II d) Todas e)
Ninguna
15. Sea A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4}
f: {(3, 1), (x, 3), (2, 3)} es una función de A en B
g: {(3, 1), (y, z), (2, 3)} es una función inyectiva de
A en A
h: {(1, 1), (2, w),(3, 2), (4, 2)} es una función
suryectiva de B en A
Determinar “y z – (x + w)”
a)1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 0
16. Sea A = {1, 2, 3} y f una función inyectiva
definida por: F = {(2, a), (3, b), (a, 3), (b, 1)}. El
valor de a2 + b
2 es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17.Dados A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} y sean f y g
dos aplicaciones de A en B tales que:
f = {(1,3), (2,4), (a,b)}
g= {(3,3), (2,4), (c,d)}
si x A: f(x) x, rang (f) B y g(1) = 3. Hallar:
(b – a) + (c – d).
a) –1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 1
18. En A = {1, 2, 3, 4} se definen las aplicaciones
“f” y “g”
f = {(1, k) (2, 5) (3, 5) (1, 3) (p, k)}
g (x) = kx + 2p
Hallar la suma de todos los elementos del
rango de “g”
a) 31 b) 45 c) 54 d) 16 e) 62
19. Si f es una función tal que: f(x+ 5) = f(x) + f(5),
x R,
¿Cuáles son verdaderas?
a) f (0) = 0
b) f(-5) = - f(5)
c) f (15 ) = 3 f(5)
d) Ninguna
e) Todas las anteriores
20. Si f (x + 7) = f (x) + f (7); x Z
Afirmamos:
I. f (0) = 0
II. f (-7) = -f (7)
III. f (35) = f (14) + 3 f (7)
Son verdaderas:
a) Sólo I y II b) Sólo I
c) Sólo II d) Todas
e) Sólo I y III
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
3
a
b
c
m
n
p
1
2
3
4
5
0
Matemática
86
Matemática
87
Tema 8 :
FUNCIONES REALES
Muchas funciones están definidas en el conjunto de los números reales R o en algún
subconjunto de R, estas funciones se analizan algebraica y gráficamente para la
determinación de sus propiedades, como dominio, rango y comportamiento.
Vamos a revisar algunos tipos particulares de funciones reales y a señalar algunas de sus
características.
8.1. Función lineal
Estas funciones ya las revisamos en el tema de relaciones, sólo tener en cuenta que las
rectas que corresponden a relaciones con regla de correspondencia x = a, donde a ,
no constituyen funciones, ya que al único valor de x del dominio le corresponden infinitos
valores de y.
Ejemplo : Si P(-3, -2b) pertenece a la gráfica de la función f = {(x, y)/ 2x + 7y – 8 = 0}.
Halla: 2b – 3
SOLUCIÓN:
La gráfica de 2x + 7y – 8 = 0 corresponde a una recta.
Figura 10
Disponible en: http://perso.wanadoo.es/arnadelo/imagenes/funcionreal.jpg
Matemática
88
Si el punto P(-3, -2b) pertenece a la recta, sus coordenadas deben cumplir con la
ecuación.
lReemplazando las coordenadas de P en la ecuación: 2(-3) + 7(-2b) – 8 = 0 -6
– 14b – 8 = 0 -14b = 14 b = -1
2b – 3 = 2(-1) – 3 2b – 3 = -5
Ejemplo: Si f es una función lineal y se cumple que: f(2) = 11 y f(8) = 29. Calcula el valor
de: E = f[f(-1)] + f[f(3)]
SOLUCIÓN:
Sea f(x) = mx + b
f(2) = 11 2m + b = 11 … (1) f(8) = 29 8m + b = 29 … (2)
Restando (2) – (1): 8m + b – (2m + b) = 29 – 11 6m = 18 m = 3
Reemplazando en (1): 2(3) + b = 11 6 + b = 11 b = 5
Reemplazando m y b, la función es: f(x) = 3x + 5
f(-1) = 3(-1) + 5 = 2 f[f(-1)] = f(2) f[f(-1)] = 11
f(3) = 3(3) + 5 = 14 f[f(3)] = f(14) = 3(14) + 5 f[f(3)] = 47
E = f[f(-1)] + f[f(3)] E = 11 + 47 E = 58
8.2. Función cuadrática
Corresponde a las relaciones de segundo grado cuya gráfica es una parábola de eje de
simetría vertical y que están definidas por:
f = {(x, y) 2/ y = ax2 + bx + c, a 0}
Ejemplo : Si la parábola f(x) = x2 + 2x – c inteseca a la recta g(x) = 7x – 9 en un punto de
abscisa 3, determina el vértice de la parábola.
Matemática
89
SOLUCIÓN:
En la recta, si x = 3 g(3) = 7(3)–9 = 12 (3, 12) es el punto de intersección
El punto de intersección (3, 12) también pertenece a la parábola
Reemplazando (3, 12) en la parábola: 12 = 32 + 2(3) – c c = 3
La parábola es: f(x) = x2 + 2x – 3 y = x2 + 2x – 3 y + 3 + 1 = x2 + 2x + 1 y +
4 = (x + 1)2 es la ecuación en la forma orinaria
El vértice de la parábola es V(-1, -4)
Ejemplo : Determina la suma de las ordenadas de los puntos de intersección de las
gráficas de las funciones f(x) = -3x2 + 7x + 14 y g(x) = x + 5.
SOLUCIÓN:
En cada punto de intersección g(x) = f(x) x + 5 = -3x2 + 7x + 14
3x2 – 6x – 9 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x + 1)(x – 3) = 0 x = -1 x = 3
x = -1 g(-1) = -1 + 5 g(-1) = 4 Es la ordenada de un punto de intersección
x = 3 g(3) = 3 + 5 g(3) = 8 Es la ordenada de un punto de intersección
Los puntos de intersección son (-1, 4) y (3, 8) siendo la suma de sus ordenadas o
segundas componentes: 4 + 8 = 12
Matemática
90
8.3. Función raíz cuadrada
Función que hace corresponder a cada valor su raíz cuadrada, considerándose la raíz de
un valor positivo siempre positiva:
f = {(x, y) 2/ f(x) = x }
La función sólo existe para valores no negativos de x, es decir, Dom(f) = [0, + >.
Los valores de la función son igualmente valores no negativos, Ran(f) = [0, + >.
8.4. Función signo
Es la función que asigna a cada valor positivo el valor 1, a cada valor negativo el valor -1
y al valor cero el valor cero:
Sgn(x) = 0;1
0;0
0;1
x
x
x
A todo valor le corresponde una imagen de acuerdo a la función signo, entonces
Dom(Sgn) = ; en cambio la función solo puede tomar los valores 1, 0, -1, es decir,
Rang(Sgn) = {-1, 0, 1}
8.5. Función máximo entero
Es la función que hace corresponder a cada valor real el mayor valor entero que es menor
o igual que dicho valor dado. Así: 3,45 = 3, 0,71 = 0, 5 = 5, -6,92 = -7,
-0,6 = -1.
Matemática
91
Para un valor entero su máximo entero es el mismo valor y para valores no enteros su
máximo entero es el valor entero que le precede (se encuentra a su izquierda en al recta
numérica)
x = max{n Z/ n x}
x = n n x < n + 1
Dando valores enteros para n se tiene:
8.6. Función inversa
Dada una función f = {(1, 3), (2, 7), (3, 3), (5, 9), (7, 9)} si consideramos la relación de
pares ordenados con coordenadas contrarias se obtiene g = {(3, 1), (7, 2), (3, 3), (9, 5), (9,
7)} la cual no es una función porque hay pares con primeras componentes iguales como
(3, 1) y (3, 3) o (9, 5) y (9, 7); es decir g es sólo una relación.
Matemática
92
Para que la relación inversa de una función también sea una función entonces se requiere
que cada elemento del rango tenga una sóla preimagen, es decir, que la función sea
inyectiva, univalente o uno a uno.
Sea f una función inyectiva, la función inversa de f se simboliza f* o f -1, y se define como
la función cuyos pares ordenados tienen componentes contrarias a las de f:
f es función inyectiva f-1 = {(y, x)/ (x, y) f}
Además, al intercambiar las componentes de los pares ordenados de la función f se tiene
que: Dom(f-1) = Ran(f) y Ran(f-1) = Dom(f).
Ejemplo : Dada la función: f(x) = 3x – 4, x [2, 5]. Determina su función inversa.
SOLUCIÓN:
La función lineal, cuya gráfica es una recta, es inyectiva entonces tiene inversa.
Primero determinamos el rango de f: x [2, 5] 2 x 5 6 3x 15
2 3x – 4 11 2 f(x) 11 f(x) [2, 11] Ran(f) = [2, 11] = Dom(f-1)
Para determinar la función inversa en forma práctica reemplazamos y = f(x) y
despejamos x: y = 3x – 4 3x – 4 = y 3x = y + 4 x = 3
4y
Sustituimos x por y, así como y por x: y = 3
4x
Finalmente reemplazamos y = f-1(x): f-1(x) = 3
4x, x [2, 11]
Matemática
93
01. . La gráfica de la función
f (x) =
2x 5
2x ,2x
4x2
e) n.a.
02. La gráfica de la siguiente función:
f (x) = 3 x ; 2
3 x 1- ; 1 -x 1- x ; 2-
-2 -2
-1 -1
2 2
1
1 1 3
a)
c)
b)
d)
-1
2
3-3
-2
2
-2 -1 2 3
-2
03.Sea la función: F: R R
F (x) = -3x + 7. Su gráfica es:
a ) b )y
x
y
x
c) d)y y
x x
e) n.a.
04. Dada la función:
f (x) = ax + b; -3 x < 5.
Además f (0) = -1
f (3) = 5. ¿Cuál de las siguientes gráficas le
corresponde?
a)
-3 5
y
x
b)
-3
5
y
x
c)
-3
y
x
7
-9
d)
-3
y
x
-7e) n.a.
05. Encontrar una función lineal “f”
tal que: f (2) = 3 y f(3) = 2 f(4)
a) f (x) = -2x + 1 b) f (x) = -x + 4
c) f (x) = -x + 5 d) f (x) = -3x – 4
e) f (x) = -x
06. Calcular el rango de:
f (x) = 3x – 1 ; x <-1, 4]
a) <-4, 10> b) <-10, 4>
c) [-4, 11> d) <-4, 11]
e) <-3, 12]
07. Sea f una función constante tal que:
53)x2(f
)1x(f)1x(f
Calcular: f (x3) + f (2x – 1)
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
ACTIVIDAD Nº 8
Matemática
94
08. Sea F una función constante tal que:
4)c(f6
)b(f)a(f
Calcular: f ( 3 ) + f (3
1) + f (27)
a) 4 b) 12
c) 3 d) 0 e) 15
09.Sabiendo que la gráfica f (x) es:
y
x(2, 0)
(0, -1)
Hallar la gráfica de f ( | x | )
a) b)y y
xx
-3 -2 2 3(2,0) 3
(0 -1)
-1
c) d)y y
xx
e) n.a.
10. Calcular el área del triángulo formado por la
función:
f (x) = 5 - | x + 2 | y el eje de las abscisas
a) 10 u2 b) 15 u
2
c) 25 u2 d) 35u
2 e) 50u
2
11. Hallar el área de la región formada por las
gráficas de las funciones:
f (x) = 6 ; g (x) = x y el eje “y”
a) 36 u2 b) 18u
2 c) 72u
2
d) 20u2 e) 6u
2
12. Dada la función cuadrática:
f = {(x, y) / y = x2 + 4x + 3 }
Hallar las coordenadas del vértice
a) (3, 4) b) (-3, -4) c) (2, 1) d)
(-2, -1) e) (2, -1)
13. La gráfica de la función:
g (x) = (x – 2)2 es:
a)y
x
-2
b)y
x2
c)y
x-2
b)y
x2
14. ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica
de la función:
f (x) = -2x2 + 3x – 1
y y
x x
I. II.
y
x
III.
a) Sólo 1 b) Sólo II
c) I y II d) Sólo III
e) n.a.
15. Si f(x) = x (x + 3b2) + b
2 (x + 4b
2)
Entonces la gráfica de f (x – 2b2) es:
a)
c)
y
y
x
x
2b2
2b2-2b2
b)
d)
y
y
x
x
e) n.a.
Matemática
95
16.Indicar la regla de correspondencia de la
función cuya gráfica es:
2
-2
y = f (x)
y
x
a) 2x4)x(f b) 2x)x(f
c) 4x)x(f 2 d) x2)x(f
e) 4x2)x(f
17. Indicar la gráfica de f (x) = |x|
a)
c)
b)
d)
y y
x x
y
x
y
x
45°
18. Se define la función:
Sgn (x) = 0 x si 1
0 x si 0 0 x si 1-
Determinar la gráfica de Sgn (- | )x|1x2
a)
c)
b)
d)
-1
1 1
y
x
y
x
y
x
y
x
e)
-1
y
x
19. Graficar: f (x) = |x|
1x
2 + | x | .
|x|
1
a)
-1
y
x
1
b)y
x
c)
-1
y
x
1
d)
-1
y
x1
1
-1
e) n.a.
20. Si la gráfica adjunta, representa a y = f (x)
1
2
y
x
¿Cuál de los gráficos representa a y = f (-x)?
1
-1
1
-1
-2
-2
-2
-2
2
2
-1
2
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
a)
c)
b)
d)
e)
Matemática
96
Matemática
97
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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