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Operaciones con polinomios

Empezaremos revisando la sume y resta de polinomios, continuaremos con la multiplicación de polinomios y terminaremos con la división de polinomios. Conviene tener en cuenta que en las operaciones con polinomios aplicaremos continuamente las propiedades de las operaciones entre números reales y las operaciones con exponentes que hemos aprendido en el módulo “Ecuaciones”. Si no las recuerdas te convendría dar un repaso a los apuntes que hayas guardado sobre ese tema. La suma o resta de dos o más polinomios es la suma o resta de los monomios o términos que los conforman. Por eso, la suma o resta de polinomios consiste en reducir los términos semejantes. Cuando tenemos sumas de términos no semejantes, la dejaremos indicada, ya que no se puede avanzar en su resolución. Ejemplos:

3mn + 4mn = 7mn ¿Ya lo notaste? ¡Correcto! Sólo hemos sumado los coeficientes y

hemos mantenido igual las variables.

5xy2 - 8xy2 = -3xy2

¿Ves que es sencillo?

El procedimiento que hemos seguido en estos ejemplos puede generalizarse a la suma y a la resta de dos términos semejantes cualesquiera:

� El resultado de la suma de términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos.

� El resultado de la resta de dos términos semejantes es otro monomio semejante a los anteriores, cuyo coeficiente es la diferencia entre los coeficientes del minuendo y el sustraendo.

� Como los coeficientes son números reales, al sumarlos o restarlos se tendrán en cuenta las reglas de las operaciones con esos números.

Veamos ahora ejemplos de suma y/o resta de polinomios:

2x + 4y – 5; 3x – y + 16; w + 7y + 3 Para poder reducirlos los ordenaremos colocando los términos semejantes en la misma línea:

2x + 4y – 5 3x - y + 16

w + 7y + 3 w + 5x +10y + 14 ¿Te das cuenta de lo sencillo que es? Solo ponemos en

línea los términos semejantes y efectuamos las operaciones indicadas. Al trabajar sólo con los coeficientes realizamos las operaciones con números pequeños y por eso las podemos realizar muy fácilmente.

Multiplicación de polinomios Aquí se pueden presentar tres casos: el producto de dos monomios, el producto de un polinomio por un monomio y el producto de dos polinomios Para multiplicar monomios no es necesario que éstos sean semejantes. Por ejemplo.

(4x2) (2xy) = 8x3y

En este caso multiplicamos los coeficientes, sumamos los exponentes que tengan la misma base e indicamos la multiplicación

de las bases literales diferentes

Dicho de otra manera: cada parte del primer monomio multiplica todo el otro monomio, y lo podríamos indicar así:

4(2xy) x2(2xy) Entonces el coeficiente cuatro se multiplica por el coeficiente dos y

nos da como resultado 8,

X2 se multiplica por xy y nos da como resultado x3y porque multiplicar dos bases iguales con exponentes es igual a sumar los

exponentes.

Sólo observa con cuidado cómo hemos realizado el procedimiento y notarás que es más fácil realizarlo que expresarlo con palabras. Cuando se trata de la multiplicación de un polinomio por un monomio, realizamos el mismo procedimiento anterior, multiplicando el monomio por cada uno de los términos del polinomio como una multiplicación de dos monomios. Pongamos un ejemplo muy sencillo:

(z) (3x + 2y) = 3xz + 3yz

Finalmente, para multiplicar dos polinomios aplicamos la misma técnica, es decir multiplicar cada término de un polinomio por cada termino del otro polinomio, teniendo cuidado de reducir los términos semejantes que resulten de las multiplicaciones. Recuerda que tenemos que tener cuidado con las reglas de los signos. Ejemplo:

(ab2 + b3) (2a– b) =

Antes de hacer la operación, con el fin de que la explicación sea más gráfica y sencilla expresaremos la resta del segundo binomio como suma para poder aplicar la ley de los signos de la multiplicación:

(ab2 + b3) (2a– b) = (ab2 + b3) [2a + (- b) ] = (ab2) (2a) + (b3) (2a) + (ab2) (-b) + (b3) (-b) =

2a2b2 + 2ab3 –ab3 –b4= 2a2b2 + ab3–b4

Recordemos que la multiplicación de exponentes se realiza sumándolos y que hemos reducido los términos semejantes.

En general para multiplicar polinomios entre sí, se procede de la siguiente manera:

� El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores, y

la parte literal está formada por todas las letras que aparecen en los factores; cada letra tendrá como exponente la suma de los exponentes que tenía en cada factor.

� Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, de modo que cada término de un polinomio quede multiplicado por cada uno de los términos del otro. Si es posible se reducen los términos semejantes.

� Si en los factores aparecen restas es útil escribir éstas como sumas usando el inverso aditivo.

� Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la multiplicación de los números.

División de un polinomio entre un monomio Seguimos un proceso muy similar al que aplicamos en la multiplicación

3b2 + b3c = 3b + b2 2bc 2c 2

En general podemos decir que:

� El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, y cuya parte literal está formada por todas las letras que aparecen en la operación, en la que cada letra tendrá como exponente la resta del exponente que tenía en el dividendo menos el que tenía en el divisor.

� Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de modo que cada término del polinomio quede dividido entre el divisor.

� Se debe aplicar la regla de los signos que se ha visto para la división de números reales.