Optimointiopin seminaari - Syksy 2009salserver.org.aalto.fi/vanhat_sivut/Opinnot/Mat-2...Optimointi-opin seminaari - Syksy 2009 Esitelm¨a 17-Jarno Ruokokoski Johdanto Yhden leikkaussalin

Optimointi-opin

seminaari -Syksy 2009

Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto

Yhdenleikkaussalinaikataulutus

Useanleikkaussalinaikataulu-tus,determinis-tinen

Useanleikkaussalinaikataulu-tus,stokastinen

Kotitehtava

Optimointiopin seminaari - Syksy 2009

Suunnittelu ja skedulointi terveydenhuollossa

Esitelma 17 -Jarno Ruokokoski

27.11.2009

Esitelma 17 -Jarno Ruokokoski Optimointiopin seminaari - Syksy 2009

Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Johdanto 1/2

Terveydenhuolto edustaa merkittavaa osaa bruttokansantuotteestamonissa maissa

Terveydenhuoltokustannukset ovat kasvaneet huomattavasti viimeistenvuosikymmenten aikana

Yleensa kalleimpia resursseja sairaalassa ovat leikkaussalit, kirurgit jaanestesialaakarit

Leikkaussalin tunti on hyvin kallista, samoin tunti kirurgin aikaa


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Johdanto 2/2

Leikkaukset vaativat paljon muita oheistoimintoja (tehohoito,vuodepaikat, hoitajat, ...)

Tyypillisia minimointikohteita ovat leikkaussalien ja kirurgien joutoajat

Leikkauksien kestot ovat satunnaisia

Leikkausten aikajakaumasta on usein tietoa, koska sairaalat pitavat yllatilastoja

Aikataulutuksessa kaksi ongelmaa, leikkausten jarjestys ja resurssien jako


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Sisalto

Johdanto

Yhden leikkaussalin aikataulutus

Usean leikkaussalin aikataulutus, deterministinen

Usean leikkaussalin aikataulutus, stokastinen

Kotitehtava


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 1/2

Alaindeksi k viittaa leikkaukseen k , kun taas (k) on k :s leikkausleikkausjonossa (eivat siis valttamatta samoja)

d(k) on ajanhetki, jolla (k + 1):nnen leikkauksen uskotaan voivan alkaa

C(k) on ajanhetki, jolloin leikkaus (k + 1) todellisuudessa alkaa


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 2/2

Leikkaussalin joutoajasta maksetaan maksetaan sakkoa funktion(d(k) − C(k))wor mukaisesti

Kirurgin joutoajasta maksetaan sakkoa funktion (C(k) − d(k))wsg

mukaisesti

Oleta: n:n leikkauksen jarjestys annettu. Aikataulun tekijan taytyy valitad(1), d(2), . . . , d(n−1) siten, etta kustannukset minimoituvat

Olkoon Yj satunnaismuuttuja leikkauksen j kestosta

Olkoon fj satunnaismuuttujan tiheysfunktio ja Fj kertymafunktio.


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

2 leikkausta

Leikkausten jarjestys 1, 2 ja kirurgille luvataan, etta leikkaus 2 voidaanaloittaa hetkella d(1)

Kokonaiskustannus talloinZ d(1)

0

(d(1) − x)wor f1(x)dx +

Z

∞

d(1)

(x − d(1))wsg f1(x)dx

Ei valttamatta saada yleista ratkaisua arvolle d(1), jos f1 onmielivaltaisesta jakaumasta.

Optimaaliselle d(1):lle patee etta marginaalisakko pienesta δ:n kokoisestalykkayksesta on suurinpirtein yhtasuuri kuin marginaalihyoty samastalykkayksesta.


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

2 leikkausta

Oletettu marginaalisakko saadaan kertomalla todennakoisyys, etta Y1 onpienempi kuin d(1), leikkaussalin sakolla, eli worF1(d(1)).

Oletettu marginaalihyoty saadaan kertomalla todennakoisyys, etta Y1 onsuurempi kuin d(1), kirurgin sakolla, eli wor (1 − F1(d(1))).

Asettamalla nama yhtasuuriksi, saadaan, etta

F1(d(1)) =wsg

wsg + wor

taid(1) = F

−11 (

wsg

wsg + wor

)


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.2.1

2 leikkausta, kestot satunnaismuuttujia Y1 ∽ Uniform(9, 21) jaY2 ∽ Uniform(37, 43)(E [Y1] = 15, E [Y2] = 40, Var [Y1] = 12, Var [Y2] = 3)

wsg = 2 ja wor = 1

Tarkastele ensin jarjestysta 1, 2:

d(1) = F−11 (2/3) = 17

Z 17

9

(17 − x)11

12dx +

Z 21

17

(x − 17)21

12dx = 4


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.2.1

Tarkastele jarjestysta 2, 1:

d(1) = F−11 (2/3) = 41

Z 41

37

(41 − x)11

6dx +

Z 43

41

(x − 41)21

6dx = 2

Odotettu hinta jarjestykselle 2, 1 on selvasti vahemman joten tyo, jonkaodotusarvo on suurempi ja varianssi pienempi, kannattaa tehda ensin

Oleta Y2 ∽ Uniform(3, 9) ja Y1 sailyy ennallaan. Talloin E [Y2] = 6 jaVar [Y2] = 3.

Tulos on edelleen sama → kannattaa noudattaa SV-saantoa (Smallest

variance first)


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 1/3

n leikkausta, m leikkaussalia, t (aika) on diskreetti

H aikapaikkojen lukumaara suunnitteluhorisontissa (esim. kahdeksantunnin paiva voisi koostua 96 viiden minuutin jaksosta)

Rtot olkoon kaikkien mahdollisten resurssien joukko

RC j olkoon kaikkien mahdollisten resurssikombinaatioiden joukko, jotkatarvitaan leikkaukseen j

Sopivalla resurssikombinaatiolla l ∈ RC j on suositeltu aloitusaika t lj


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 2/3

Olkoon joukko U lj kokonaislukujen osajoukko, joka ilmaisee, kuinka paljon

leikkauksen j aloitusaika voi varioida parhaasta aloitusajasta t lj

Esimerkiksi U lj = {−1, 0, 1, 2, 3} ja jos u ∈ U l

j , niin silloin todellinenaloitusaika voi olla t l

j + u

I lujrt on binaarimuuttuja, joka on 1, jos leikkaus j resurssikombinaatiolla l jaaloitusajalla t l

j + u tarvitsee resurssin r aikapaikassa t

Art on binaarimuuttuja, joka on 1, jos r ∈ Rtot on saatavilla ajanhetkella t


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 3/3

Paatosmuuttujina ovat x luj , jotka saavat arvon 1, jos leikkaus j aloitetaan

aikapaikassa t lj + u ja 0 muuten

Olkoon πluj hyoty, joka saadaan, kun leikkaus j alkaa aikapaikassa t l

j + u

Leikkausten aikataulutus voidaan muotoilla niin sanotuksi joukonpakkausongelmaksi (Set Packing Problem)


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Leikkausten aikataulutus joukon pakkausongelmana

maxn

X

j=1

X

l∈RCj

X

u∈U lj

πluj x

luj

s.tX

l∈RCj

X

u∈U lj

xluj ≤ 1 kun j = 1, . . . , n

nX

j=1

X

l∈RCj

X

u∈U lj

Ilujrtx

luj ≤ Art kun t = 1, . . . , H; r ∈ Rtot

xluj ∈ {0, 1} kun j = 1, . . . , n; l ∈ RC j ; u ∈ U l

j


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.3.1

Tarkastellaan tilannetta, jossa meilla on 3 leikkaussalia, 3 kirurgia, 3anestesialaakaria ja 5 leikkausta. Aikahorisontti on 96 kpl viiden minuutinaikapaikkoja.

Nyt |Rtot | = 9, ja merkitaan, etta leikkaussalit ovat numeroilla 1, 2, 3,kirurgit numeroilla 4, 5, 6 ja anestesialaakarit numeroilla 7, 8, 9.

Leikkausten kestot ovat

Leikkaukset j

1 2 3 4 5

Kesto pj 42 42 12 48 48


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.3.1

Resurssikombinaatiot ovat sallittuja kolmikoita (x , y , z), jossa x viittaaleikkaussaliin, y kirurgiin ja z anestesialaakariin

leikkaukset sallitut resurssikombinaatiot

1 RC1 = {(1, 4, 7), (1, 4, 8), (1, 5, 7), (3, 4, 7), (3, 4, 8)}2 RC2 = {(1, 4, 7), (1, 5, 7), (3, 4, 7)}3 RC3 = {(3, 4, 7), (3, 4, 8), (1, 6, 7)}4 RC4 = {(2, 4, 7), (2, 4, 8), (3, 4, 7), (3, 4, 8)}5 RC5 = {(2, 5, 8), (2, 5, 9), (3, 5, 8), (1, 5, 8)}


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.3.1

Saatavuusdatasta tiedetaan, etta kirurgi 6 ei ole kaytettavissa paivanensimmaisen tunnin aikana, eika anestesialaakari 9 ole kaytettavissaensimmaisen 4:n tunnin aikana. Kaikki muut resurssit ovat kaytettavissakoko paivan.

Oletetaan, etta leikkauksen j aloittaminen aikapaikassa t lj + u kayttaen

resurssikombinaatiota l ei tuota hyotya πluj , vaan kustannuksen c lu

j . Silloinkohdefunktiota minimoidaan.

c l0j = 0, jos kaytetaan leikkaussalia 1 tai 2.

c l0j = 600, jos kaytetaan leikkaussalia 3

Jokainen 5 minuutin myohastys maksaa 5

Jokainen 5 minuutin aikaistus maksaa 20


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.3.1

j l Res. komb. t lj U l

j

1 1 (1, 4, 7) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}1 2 (1, 4, 8) 48 {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}1 3 (1, 5, 7) 48 {−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6}1 4 (3, 4, 7) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}1 5 (3, 4, 8) 48 {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}2 1 (1, 4, 7) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}2 2 (1, 5, 7) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}2 3 (3, 4, 7) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}3 1 (3, 4, 7) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}3 2 (3, 4, 8) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}3 3 (1, 6, 7) 48 {−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6}4 1 (2, 4, 7) 48 {−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6}4 2 (2, 4, 8) 48 {−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6}4 3 (3, 4, 7) 48 {−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6}4 4 (3, 4, 8) 48 {−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6}5 j (x , y , z) 0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.3.1 Kohdefunktio

minn

X

j=1

X

l∈RCj

X

u∈U lj

cluj x

luj

s.tX

l∈RCj

X

u∈U lj

xluj ≤ 1 kun j = 1, . . . , 5

nX

j=1

X

l∈RCj

X

u∈U lj

Ilujrtx

luj ≤ Art kun t = 1, . . . , 96; r = 1, . . . , 9

xluj ∈ {0, 1} kun j = 1, . . . , 5; l ∈ RC j ; u ∈ U l

j


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.3.1 Tulokset

Leikkaukset 2,3,1 tassa jarjestyksessa leikkaussaliin 1

Leikkaukset 5,4 tassa jarjestyksessa leikkaussaliin 2

Resurssi 7 on koko paivan leikkaussalissa 1

Resurssi 8 on koko paivan leikkaussalissa 2


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 1/4

Oletetaan taas, etta leikkauksen kesto on satunnainen

Leikkauksen j odotusarvo on µj ja varianssi σ2j

m leikkaussalia

Aika diskreetti ja suunnitteluhorisontti H paivaa

Np erilaista erikoisalaa (neurologia, sydantaudit jne)

Erikoisalalla l , l = 1, . . . Np on t-paivana annettu joukko leikkaussaleja,joita merkitaan Mlit , eli i viittaa leikkaussaliin

Joukon Mlit alkiota kutsutaan LS-paivaksi (OR-Day) ja merkitaankolmikolla (l , i , t)


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 2/4

Olkoon J kaikkien leikkausten joukko

Olkoon Jl kaikkien l-erikoisalaa olevien leikkausten joukko

Olkoon Jlit kaikkien l-erikoisalaa olevien leikkausten joukko, jotka tehdaant-paivana leikkaussalissa i

Oleta, etta on olemassa perusaikataulu, joka kiinnittaa kunkin leikkauksenjohonkin LS-paivaan.

Tavoitteena aikatauluttaa tilanne uudelleen siten, etta saataisiinvapautettua leikkaussaleja kokonaisiksi paiviksi


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 3/4

Yksi minimoitava kohde on odetettu yliaika yhtena LS-paivana

Koska leikkausten kestot ovat satunnaisia, aina on mahdollista, ettaviimeinen leikkaus menee yliajalle

Nyt minimoidaan siis odotettua yliaikaa

Silloin aikatauluttaja lisaa valjyytta (slack) systeemiin

Lisattava valjyys perustuu kyseisen LS-paivan leikkausten kestonkokonaisvarianssiin


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Merkintoja 4/4

Kokonaiskeston odotusarvo on

µlit =X

j∈Jlit

µj

Kokonaiskeston varianssi on

σ2lit =

X

j∈Jlit

σ2j

Suunniteltu valjyysaika δlit LS-paivalle (l , i , t) on

δlit = β

s

X

j∈Jlit

σ2j ,

missa β on parametri, jonka aikatauluttaja valitsee


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Tavoitteet

Annetulla leikkauksilla Jlit LS-paivan (l , i , t) yliaika maaritellaan

Olit = max(0, µlit + δlit − Tlit),

missa Tlit on LS-paivan (l , i , t) kaytettavissa oleva kokonaisaika

Tavoitteena on generoida aikataulu, joka sopii hyvin seuraaville kolmelletavoitteelle

1 minP

l,i,t Olit

2 Maksimoi kokonaan tyhjien LS-paivien lukumaara3 max

P

l,i,t max(0, Tlit − µlit − δlit)

Naista kolmesta 1. on yleensa tarkein ja 3. vahiten tarkein


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Aliongelman tarkastelu, LPT

Jos oletetaan, etta leikkaukset voidaan liittaa vain niihin paiviin, joihinkiinnitettyy erikoisalaan leikkaukset kuuluvat

Talloin yleinen onglema voidaan jakaa Np aliongelmaan, jotka ovatriippumattomia

Tarkastellaan tallaista yhta aliongelmaa

Jos paatavoitteena on minimoida kokonaisyliaika, silloin ongelmaavoidaan lahestya rinnakkaisten koneiden aikataulutusongelmana (Luku 5,tai esitelma 4 (Tony Nysten)), jolloin minimoidaan kokonaissuoritusaikaa(makespan)

Jos kaytetaan LPT-heuristiikkaa, niin leikkaukset laitetaan laskevassajarjestyksessa systeemiin, ja jarjestyksen maaraa µj + βσj

Leikkaus asetetaan sellaiselle LS-paivalle, jonka kuorma on pienin sillahetkella


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Aliongelman tarkastelu, FFD

Jos paatavoitteena on minimoida kaytettyjen LS-paivien lukumaara,silloin ongelmaa voidaan lahestya lokerointiongelmana (bin-packing

problem) (Luku 9, tai esitelma 12 (Arttu Klemettila))

Sopiva heuristiikka voisi olla FFD (first fit decreasing)

Leikkaukset jarjestetaan samalla jarjestysperiaatteella, kuin LPT (eliµj + βσj)

Leikkaukset astetetaan sille LS-paivalle (l , i , t), jonka kokonaistaakka onsuurin, mutta johon silti mahtuu viela kyseinen leikkaus. Mahtumisenmittaamisessa tarvitaan sen paivan kokonaisaika Tlit


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Aliongelman tarkastelu

Seka LPT, etta FFD perustuvat leikkausten odotettuun kestoon(sisaltaen suunnitellun valjyysajan).

Huomaa, kuitenkin, etta samalle LS-paivalle liitettyjen leikkaustenvarianssit vuorovaikuttavat toisiinsa

βX

j∈Jlit

σj > β

s

X

j∈Jlit

σ2j = δlit

Nainollen saattaa olla parempi muokata aikatauluja yrittaen yhdistaaleikkaukset perustuen niiden variansseihin, jotta suunniteltukokonaisvaljyysaika pienenee


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.4.1

4 leikkausta, 2 LS-paivaa

µj = 100∀j , σ1 = σ2 = 50, σ3 = σ4 = 10

Odotettu leikkausten 1 ja 2 kesto on 100 + 50β

Odotettu leikkausten 3 ja 4 kesto on 100 + 10β

Oleta, etta β = 1 ja T = 400

LPT: 1 ja 3 toisena paivana ja loput toisena

FFD: 1 ja 2 toisena paivana ja loput toisena


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Esimerkki 12.4.1

Nyt LPT:n tuottaman aikataulun standardipoikkeama molempina paivinaon

p

502 + 102 = 51,

jolloin suunniteltu kokonaisvaljyysaika on 102

FFD:n tuottaman aikataulun standardipoikkeama yhteensa on

p

502 + 502 +p

102 + 102 = 84.9

Joten vahentaakseen suunniteltua kokonaisvaljyytta, aikatauluttajankannattaa laittaa korkeavarianssiset leikkaukset samalle paivalle.


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Kotitehtava 1/2

Tutki sydanleikkausten (l = 1) aikataulutusta

Kaytossasi on 2 leikkaussalia ja 2 tyopaivaa (T = 480 molemmille paivilleja molemmille saleille), eli yhteensa 4 LS-paivaa

Jaa 10 leikkausta saleihin kayttaen LPT- ja FFD-heuristiikkoja

Laske vapaaksi jaanyt kokonaiskapasiteettiP

l,i,tmax(0, Tlit − µlit − δlit)

molemmille heuristiikoille , kun β = 1

Kumpi heuristiikka tuottaa paremman tuloksen, kun tavoitteenasi onmaksimoida vapaaksi jaanytta kokonaiskapasiteettia? Miksi?

Leikkausten data seuraavalla kalvolla


Optimointi-opin


Esitelma 17-Jarno

Ruokokoski

Johdanto




Kotitehtava

Kotitehtava 2/2

Leikkaus j µj σj

1 50 102 60 103 70 304 90 405 100 506 120 607 200 108 160 609 150 8010 200 40


Documents

Optimointiopin seminaari - Syksy 2009salserver.org.aalto.fi/vanhat_sivut/Opinnot/Mat-2...Optimointi-opin seminaari - Syksy 2009 Esitelm¨a 17-Jarno Ruokokoski Johdanto Yhden leikkaussalin