Embed Size (px)
Citation preview
Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Artigos
¹ Professor do Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná 2013.
E-mail: [email protected]
² Professor Mestre do Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Cento Oeste-
UNICENTRO- PR. E-mail: [email protected]
MODELAGEM MATEMÁTICA E A CONSTRUÇÃO CIVIL
SILVA, Neoderci Gomes da¹
MASSA, Lindemberg Sousa²
RESUMO Existe uma preocupação muito grande por parte dos educadores, no que diz respeito às práticas pedagógicas em cada disciplina. Por mais que estas sejam aprimoradas a cada dia, parecem que elas não conseguem atingir aos objetivos pelos quais foram criadas. Na disciplina de matemática as orientações de especialistas são de que é necessário trabalhar os conteúdos de forma contextualizada, mas muitos professores sentem dificuldades de executar esse trabalho. Então, esta pesquisa vem de acordo com as orientações. Visa atenuar a tarefa dos professores, propiciando subsídios para trabalhar a matemática de forma contextualizada, fazendo uso de uma tendência da disciplina chamada de Modelagem Matemática, por meio de um Modelo Matemático. Esse modelo foi desenvolvido com os alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Procópio Ferreira Caldas, Município de Pinhão. O modelo consiste em um projeto de construção de uma moradia contendo aproximadamente 42 m², desde o princípio até a conclusão, explorando neste, todos os conteúdos matemáticos que se fizeram necessários. Muitos construtores fazem uso desses conhecimentos matemáticos de forma empírica e, na maioria das vezes nem percebem o uso da matemática. Isso foi relacionado com os alunos mostrando passo a passo, onde esses conteúdos estão contidos e fazendo a relação da teoria com a prática. Dessa maneira foi possível transformar conhecimento empírico em conhecimento científico.
PALAVRAS CHAVE: “Educação; Modelagem; Matemática; Construção Civil”.
1. INTRODUÇÃO
Falar em Ensino da Matemática e não falar em Modelagem Matemática seria
o mesmo que falar da Teoria da Relatividade sem citar Albert Einstein. E falar em
Modelagem, significa falar em matemática aplicada ou contextualizada.
Esta pesquisa vem de encontro aos professores que gostam de ensinar
matemática utilizando-se de modelos matemáticos e de encontro a estudantes, que
querem saber a aplicabilidade da matemática para além da sala de aula. Esta
pesquisa traz um modelo matemático desenvolvido por meio da modelagem
matemática, aplicada na Engenharia Civil.
Neste estudo, o modelo matemático escolhido foi o projeto de uma residência
de aproximadamente 42 m², pois, a quantidade de conteúdos matemáticos que foi
desenvolvido neste projeto é imenso e, ao mesmo tempo riquíssimo, permitindo a
estudantes e professores, uma viagem pela Engenharia Civil e pelos conteúdos
matemáticos existentes na Educação Básica. Fazendo parte de um modelo, esses
conteúdos seguem uma sequência lógica e bem agrupada, não deixando conteúdos
soltos, como em uma aula convencional. Outra razão que leva a escolha desse
Modelo, é que todos precisam de uma casa para morar e cada qual a projeta de
acordo com seu gosto, e isto é próprio de cada um.
Entre as tendências da disciplina de Matemática, a Modelagem assume um
enorme destaque, pois, consegue trazer a realidade do aluno para o ambiente
escolar e dar um significado para os conteúdos estudados em sala de aula. Os
conteúdos soltos trabalhados em sala de aula torna-se uma tarefa árdua, tanto para
professores, quanto para os alunos, pois, não desperta nos estudantes interesse
algum. Alguns até estudam, mas passando a avaliação logo esquecem. É aquele
saber momentâneo que não se transforma em conhecimento. É comum ouvirmos de
nossos estudantes comentários: Por que tenho que aprender isto, ou ainda, onde
vou usar isso. Para darmos uma resposta a essas reflexões, necessitamos trabalhar
de uma maneira mais contextualizada, principalmente, em se tratando de conteúdos
matemáticos. Os conteúdos matemáticos, que foram abordados neste modelo são
múltiplos e além do mais, podem ser trabalhados com enfoques diferentes. Estes
conteúdos estão atrelados a outros, dentro de uma sequência lógica que foi seguida
para obter o modelo. Dessa maneira, os conteúdos tiveram um significado e os
alunos puderam ver as várias relações que estes podem representar.
Na antiguidade, cada indivíduo tinha que construir sua própria moradia, fosse
caverna, cabana, ou qualquer coisa que servisse de abrigo. Com o modelo da
sociedade atual, não é necessário que cada um precise construir sua moradia, mas
seria interessante se todos soubessem construí-la. Desde os tempos mais remotos
as construções sempre fascinou a humanidade, com inicio nas pirâmides do Egito,
até ao prédio mais alto do mundo que fica em Dubai, nos Emirados Árabes Unidos.
Todas essas maravilhas são criações da mente humana e, cada uma dessas, vem
do interior da alma do idealizador. Para o arquiteto, a construção é uma Arte, como o
quadro é para o pintor ou ainda, a música para o compositor. Nossos alunos
precisam enxergar essas relações. Saber que os conteúdos matemáticos vão muito
além da sala de aula. Analisar que estes conteúdos, quando bem trabalhados,
conseguem fazer coisas maravilhosas e com grande precisão.
Em nosso país existe uma carência muito grande de Engenheiros,
principalmente na área Civil e, foi gratificante, pois, após o desenvolvimento deste
trabalho, muitos estão interessados em fazer o curso de Engenharia na Faculdade.
Dados estatísticos apontam no Brasil, um grande déficit de engenheiros e, para um
país ser competitivo é necessário suprir essa carência. Também no cenário mundial
o país importa tecnologia, então, é necessário um investimento no campo técnico
para dar conta dessa demanda. Com o intuito de mudar esse cenário, se faz
necessário investimento maciço em educação, principalmente nos cursos técnicos
que darão o suporte necessário para alavancar o crescimento do país. Nessa linha,
nossos educandos terão campo para crescer e trabalhar, podendo acompanhar o
crescimento e atuar no desenvolvimento da Nação.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA/REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Ambiente Escolar
Grande parte de nossas vidas são vividas dentro de um ambiente escolar. E,
é neste ambiente que aprendemos a maioria dos valores humanos. Afinal, uma das
funções da escola é a de Humanizar os indivíduos. Gelati (2008, p. 83), reforça esse
pensamento “A escola atua de forma decisiva e marcante no processo de
humanização, socialização do individuo, não sobrepujando a socialização primária
que este recebeu”.
Sendo assim, a principal função da escola é passar o conhecimento científico
e sistematizado, para que os educandos de hoje possam agir na sociedade de
amanhã. Mas que seja um agir amparado na Ética, na Responsabilidade e no
Conhecimento. Devemos sim, formar um novo cidadão que nas palavras de
Biembengut, (2005, p. 09), “comandará a economia, a produção, o lazer e outras
atividades que ainda surgirão nas próximas décadas”.
E os professores que são responsáveis por meio da arte de ensinar, passar
a seus educandos, Ética, Responsabilidade e Conhecimento. Quesitos mínimos,
mas indispensáveis para todo cidadão que passou por um banco escolar. É dentro
da escola que transformamos o conhecimento empírico em conhecimento científico.
Saviani retrata isso, quando diz que:
Em consequência, o saber metódico, sistemático, científico, elaborado, passa a predominar sobre o saber espontâneo, 'natural', assistemático, resultando que a especificidade da educação passa a ser determinada pela forma escolar. (1991, p. 8).
Na escola projetamos nosso futuro, então, precisamos nos embasar em
fatos que estejam em consonância com a realidade, pois, conteúdos soltos na
maioria das vezes não são assimilados nem fixados por nossos educandos. Mas,
aqueles trabalhados em uma base real, dentro de um contexto, são melhores
aproveitados. Problemas que estão a nossa volta, em nosso meio, não são
escassos, basta saber identificá-los e aproveitá-los para trabalhar de maneira
atrelada com a realidade de nossos alunos.
A Matemática não deve ser diferente. É uma das principais disciplinas da
grade curricular e, que nos permite trabalhar a realidade do aluno dentro de seus
conteúdos. É senso comum de que este trabalho envolvendo a realidade do aluno
deve ser encarado por professores, a fim de melhorar o desempenho destes de
forma natural e espontânea. Segundo Biembengut:
Desafios como esse têm tornado crescente o movimento em prol da educação matemática, em especial, nas últimas décadas. Têm gerado reestruturação no currículo e nos métodos de ensino que forneçam elementos que desenvolvam potencialidades, propiciando ao aluno a
capacidade de pensar crítica e independentemente. Não é difícil perceber que o futuro da civilização e da própria sobrevivência dependem da qualidade de imaginação criadora dos homens e das mulheres do nosso tempo e das futuras gerações. (BIEMBENGUT & HEIN, 2005, p. 09).
É comum ouvir muitas queixas de que a Matemática é demais abstrata, mas,
essa abstração está apenas na maneira inerente de se trabalhar a disciplina. Não
devemos deixar que esses mitos tomem maiores proporções.
Diante deste contexto, se faz necessário trabalhar a Matemática de forma
contextualizada e voltada à realidade dos alunos, para que conteúdos que são
essenciais em seu aprendizado não fiquem soltos ou desconexos. Isso vem de
encontro com uma Tendência metodológica, estudada e pesquisada dentro do
campo de estudo da Educação Matemática que chamamos de Modelagem
Matemática.
2.2 Modelagem Matemática
Uma tendência que propõe exatamente isso, trabalhar a valorização do
aluno conforme seu contexto social. E, não trabalhar somente conteúdos
matemáticos, mas, por meio dessa tendência e, usando conhecimentos
matemáticos, podem-se trabalhar outros conteúdos da grade curricular, envolvendo
as demais disciplinas ou mesmo, uma situação prática que necessite de um
entendimento, ou seja, desenvolver os conteúdos dentro da interdisciplinaridade.
Pois, Barbosa afirma que:
“[...] um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outra área da realidade. Essas se constituem como integrantes de outras disciplinas do dia-a-dia; os seus atributos e dados quantitativos existem em determinadas circunstâncias (BARBOSA, 2001, p. 06).
Ainda, de acordo com as DCE’s do Estado do Paraná 2008, p. 64 e 65 “Por
meio da Modelagem Matemática, fenômenos diários sejam eles físicos, biológicos e
sociais, constituem elementos para análises críticas e compreensões diversas do
mundo”. Dessa maneira, os conteúdos, sejam de qualquer área, são trabalhados de
acordo a um modelo matemático, ficando ajustados dentro de um contexto,
propiciando aos alunos um significado real.
Podemos trazer mais uma definição de Modelagem Matemática para melhor
entendermos essa tendência:
Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo. Este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além do conhecimento da Matemática, o modelador precisa ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas (BIEMBENGUT & HEIN, 2005, p. 12).
É exatamente o que este trabalho propiciou: Partir da realidade do aluno;
depois ser um artista, pois, construir uma moradia sempre vai ser uma arte; e usar
os conhecimentos matemáticos adequados para a situação, com aprendizado por
meio da ludicidade.
O fato de ser um modelo, não está dizendo que é um processo feito e
acabado, mas, é um processo que permite explorar infinitas variáveis. Pois, nas
palavras de Biembengut:
A arte de modelar uma situação caracterizada por modelagem é uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias (BIEMBENGUT, 1999, p. 20).
Ainda, podemos reforçar de acordo com o pensamento de Bassanezi (2002),
“A modelagem aplicada ao ensino pode ser um caminho para despertar maior
interesse, ampliar o conhecimento do aluno e auxiliar na estruturação de sua
maneira de pensar e agir”. Sendo assim, escolhemos um modelo matemático pelo
qual podemos desenvolver diversos conteúdos, contemplados na Educação Básica.
2.3 Modelo Matemático
Qualquer situação que para ser resolvida necessita de expressões numéricas
ou algébricas, diagramas, gráficos e tabelas podem ser entendida e classificada
como um Modelo matemático. Nas palavras de Biembengut e Hein (2005): “Nessa
perspectiva, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir,
de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real,
denomina-se: modelo matemático”.
A seguir, podemos observar um esquema de modelagem matemática que
relaciona matemática e realidade, agrupando modelagem matemática, situação real,
matemática e modelo, também proposto por Biembengut e Hein (2005, p. 13).
Fonte: Adaptado de Biembengut & Hein (2005).
Neste estudo, o modelo matemático escolhido foi o projeto para a construção
de uma moradia de aproximadamente 42 m², pois, a quantidade de conteúdos
matemáticos que foi desenvolvido é imenso e ao mesmo tempo riquíssimo,
permitindo aos educandos e professores uma viagem pelos conteúdos matemáticos
componentes da Educação Básica.
E por fazer parte de um modelo, esses conteúdos seguem uma sequência
lógica e bem agrupada, não deixando conteúdos soltos, como em uma aula
convencional.
Outra razão que levou a escolha desse Modelo, é que todos precisam de uma
casa para morar e cada qual a projeta de acordo com seu gosto e, isto é próprio de
cada um. Apesar de existirem empresas especializadas em construção civil, elas
sempre seguirão a orientação do proprietário desde a elaboração do projeto,
passando pela escolha de materiais e formas de acabamento.
Modelagem
matemática
Situação real Matemática
Modelo
3. A IMPORTÂNCIA DA ENGENHARIA PARA O DESENVOLVIMENTO DO PAÍS
Em nosso país, existe uma carência muito grande de Engenheiros,
principalmente na área Civil. Dados estatísticos apontam no Brasil, um grande déficit
de engenheiros e para um país ser competitivo é necessário suprir essa carência.
Existe no Brasil, um enorme problema relativo à importação e exportação.
Geralmente, é exportada matéria prima e importado produtos industrializados,
gerando lá fora, os empregos que deveriam ser gerados aqui. Também no cenário
mundial o país importa tecnologia, então, é necessário um investimento no campo
técnico para dar conta dessa demanda. No intuito de mudar esse cenário, se faz
necessário investimento maciço em educação, principalmente nos cursos técnicos
que darão o suporte necessário para alavancar o crescimento do país.
Nessa linha, nossos educandos terão campo para crescer e trabalhar,
podendo acompanhar o crescimento e atuar no desenvolvimento da Nação.
O projeto que foi elaborado, não possui o mesmo mistério das Grandes
Pirâmides da antiguidade, nem tampouco a beleza do Burge Khalifa (prédio mais
alto do mundo), nos Emirados Árabes Unidos, mas com certeza, pudemos reproduzir
nele, vários princípios da Engenharia, usados nesses outros. Bem como, os
conteúdos Matemáticos que dão suporte a Engenharia.
3.1 Nosso Modelo
Os conteúdos que foram abordados nesse projeto são riquíssimos e de rara
beleza, assim como é, toda a Matemática. Esses conteúdos foram atrelados a um
projeto. Isso que chamamos de Matemática aplicada ou contextualizada. Com isso a
capacidade de fixação de conteúdos por parte dos alunos foi melhorada. Para
nossos alunos, é essencial enxergar essas relações. Saber que os conteúdos
matemáticos vão muito além da sala de aula. Analisar que estes conteúdos, quando
bem trabalhados, conseguem fazer coisas maravilhosas e com grande precisão.
Muitos destes alunos, já trabalhavam na construção civil com seus pais e a maioria
destes, já utilizavam conteúdos matemáticos de forma empírica e, por meio da
escola, esse conhecimento empírico pôde ser transformado em conhecimento
cientifico.
Desta forma, o presente trabalho viabilizou mostrar aos alunos onde estão
esses conteúdos, quando e para que utilizá-los, sempre aliando a teoria de sala de
aula com a prática vivenciada pelos mesmos.
Projeto que foi desenvolvido com
turma de aplicação do PDE
Fig. 5.3.1 Autoria própria
4 ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
As estratégias de ação, foram seguidas de acordo com as etapas propostas
por Biembengut e Hein (BIEMBENGUT & HEIN, 2005, p. 13). Essas etapas são
conhecidas como: Interação, Matematização e Modelo matemático.
A princípio, o professor fez uma explanação para a turma, da maneira como
seria desenvolvido o trabalho e sua forma de condução. Essa parte foi bem
elaborada, pois, serviu de motivação para o desenvolvimento do tema. Esse
princípio é conhecido como Interação.
A parte sequencial foi o levantamento de questões, instigando os alunos a
exporem suas sugestões. O professor foi propondo e instigando os alunos a
descobrirem a resposta. Nessa descontração, os conteúdos matemáticos foram
surgindo, alocados em cada etapa da construção. Nesta etapa, foi trazido um
profissional da área para palestras e demonstrações. Este meio termo é conhecido
como Matematização.
E finalmente, após o desenvolvimento de todos os conteúdos necessários
para elaboração da moradia, foram abordados exemplos análogos, afim de que os
conteúdos não se restrinjam apenas ao Modelo matemático, mas, que sejam
validados para outras situações.
4.1 Interação
Na interação com a turma, foi feito a apresentação do trabalho e seus
objetivos, também foi assumido um compromisso de ambas as partes, de doação ao
máximo para a realização do mesmo.
Nas primeiras aulas, foi demonstrado o Mercado promissor da Engenharia,
não deixando de citar que o país seria sede da Copa do Mundo em 2014 e, das
Olimpíadas em 2016. A Ascenção na carreira, possibilidades de um salário
satisfatório e o enorme prestigio que o Engenheiro tem perante a sociedade.
Também as formas de ingresso na Faculdade.
Nas aulas seguintes, foram abordadas, as maravilhas da Construção Civil.
Desde as pirâmides do Egito, nas quais ainda perdura o mistério em sua construção,
até ao Burge Khalifa (prédio mais alto do mundo), localizado nos Emirados Árabes Unidos.
Que é um exemplo da aplicação da Engenharia moderna.
4.2 Matematização
Na sequência, foi trabalhado com os alunos, um projeto padrão de uma
residência (aproximadamente 42 m²), na qual foi desenvolvido com eles, todo o
cálculo de materiais, tanto quantitativos, como financeiros, fazendo toda a
associação dos conteúdos utilizados, com os conteúdos estudados na Educação
Básica.
4.3 Modelo Matemático
Dando continuidade ao trabalho, a turma foi separada em grupos. A cada
grupo foi dada a incumbência por uma fase da construção de outro modelo com
medidas diferentes. Desde a coleta de dados, até a explanação para os demais
colegas da turma.
4.4 Divisão dos Grupos
Os grupos ficaram assim divididos:
- 1º grupo: Responsável pela Estrutura (blocos, vigas e pilares), isso inclui ferragem
e concreto, juntamente com seus respectivos materiais;
- 2º grupo: Responsável pelas paredes (tijolos e argamassa);
- 3º grupo: Responsável pelas aberturas (portas e janelas);
- 4º grupo: Responsável pelo piso e forro, isso inclui concreto argamassa cerâmica e
madeira;
- 5º grupo: Responsável pela Estrutura da cobertura e cobertura, que inclui madeira
e telhas;
- 6º grupo: Responsável pela pintura, inclusive das telhas;
A parte hidráulica e elétrica foi elaborada por todos os grupos, juntamente
com o professor responsável, nas lojas de material de construção. O preço unitário
dos materiais também foi pego nas lojas e o cálculo de quantitativos foi realizado
pelos alunos. Também foi visitada uma construtora para orçar o preço da mão de
obra.
Cada grupo foi composto por três alunos que elaboraram o cálculo de
quantitativos de sua etapa. Depois, com os valores unitários dos materiais foi
elaborada uma planilha no Calc, onde demostrou o custo por etapa e o custo final,
incluindo a mão de obra. No cálculo dos quantitativos os alunos foram utilizando os
conteúdos matemáticos com a maior normalidade, pois eles estavam motivados e
tinham visto no projeto exemplo como os cálculos tinham sido realizados. A cada
momento, foi imprescindível aos grupos voltar-se para o todo, pois as fases de uma
construção são intrinsicamente ligadas.
Durante o desenvolvimento do trabalho, os alunos foram contemplados com a
palestra de um Engenheiro Civil que estudou neste mesmo colégio. Na palestra o
engenheiro discorreu sobre a carreira de estudante de Engenharia e da profissão de
Engenheiro pós-formado. Também foram contemplados com visitas a obras em
construção, acompanhados do Professor e do Engenheiro. Nessas obras foi
possível visualizar, praticamente todas as fases de uma construção, ou seja, cada
grupo conseguiu visualizar a etapa que lhes caberia calcular.
4.5 Resultados
Ao término dos trabalhos, foi discutido, o quanto a construção fica mais cara
se tudo for entregue a uma construtora. Em algumas situações pode dar uma
diferença de 80% mais cara, no preço final.
Este trabalho foi apresentado aos responsáveis pelo NRE (Núcleo Regional
de Educação), direção do Colégio e a Equipe Pedagógica. Esse projeto também foi
compartilhado com professores de todo o Paraná, por meio do GTR (Grupo de
Trabalho em Rede), onde recebeu muitas contribuições desses professores e
também foi muito elogiado pelos mesmos. Nessas apresentações, os alunos
demonstravam muita segurança, pois sabiam o que estavam fazendo.
Os conteúdos matemáticos utilizados na elaboração, de cada etapa foram
sendo absorvido de uma maneira muito natural pelos alunos, pois eles não estavam
em busca só de conteúdos, mas em busca de algo maior e centrados em um
objetivo.
Podemos afirmar sem medo de errar, que os alunos se apropriaram de todo
conhecimento necessário para elaboração de um projeto de construção civil, como
também, todo o conhecimento matemático usado para a elaboração desse projeto.
Também ficaram motivados a cursar Engenharia nas faculdades da região. Na
elaboração deste trabalho, eles puderam ter uma noção da função desempenhada
por um Engenheiro, de seu Mercado promissor e de sua enorme importância para a
sociedade.
5. Considerações Finais
Caros Estudantes
Caríssimos Professores
Tendo em vista o trabalho que ora estamos em fase de conclusão, sobre a
aplicabilidade da Matemática na Engenharia Civil, vale frisar que estamos na escola
não para fazer o que gostamos e o que é de nosso interesse, mas sim, o que
realmente é importante e necessário, para que aconteça um aprendizado
significativo.
Nosso objetivo foi alcançado, pois conseguimos despertar em nossos
educandos o gosto pela Matemática, e propiciar a eles, uma noção de sua
aplicabilidade em muitas tarefas diárias. Também era objetivo subsidiar professores,
com sugestões de se trabalhar a Matemática de forma contextualizada. Esperamos
que também tenhamos conseguido colaborar com nossos Mestres.
Estamos longe de ter demonstrado toda a Matemática aplicada à Engenharia
Civil, mas, o objetivo maior foi de colocá-los diante de uma matemática significativa,
que instigue a todos e, que os leves a busca incessante por novos conhecimentos.
Não existem milagres que ajude nossos educandos a aprenderem do banco
escolar para a vida. O que é necessário existir é um trabalho sério por parte dos
professores, que motivem nossos jovens e mostrem os significados e os objetivos
desses conteúdos estarem sendo ensinados em nossas escolas.
A Grande diferença se faz na MOTIVAÇÃO, o resto acontece naturalmente.
REFERÊNCIAS
BARBOSA, Jonei et. al. (orgs.) Modelagem matemática na educação matemática brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife, SBEN, 2007. (Biblioteca do Educador Matemático Coleção SBEM 3). BASSANEZI, R. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: Uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. BASSANEZI, R.C.. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 1.ed.São Paulo: Editora Contexto. 1994. BEHRENS, M. A. Formação continuada dos professores e a prática pedagógica. Curitiba: Champagnat,:1996 BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática & implicações no ensino aprendizagem de matemática. Blumenau: FURB, 1999. BIEMBENGUT & HEIN. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2005. BURAK, Dionísio/ ARAGÃO, Rosália Maria Ribeiro de. Modelagem matemática e relações com aprendizagem significativa: Paraná: CRV, 2012. BRASIL. LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação) – Lei 9394/96. 5. ed. Rio de Janeiro. DP&A. 2002. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2007. D’AMBROSIO, U., Da realidade à ação: reflexões sobre Educação Matemática. 5. ed. São Paulo. Summus Editorial. 1986. D’AMBROSIO, U., Educação Matemática: da teoria à Prática. 17. ed. São Paulo. Papírus. 2009. FREIRE, P., Pedagogia da Autonomia: Saberes necessários à prática educativa. São Paulo, Brasil: Paz e Terra, 1996 (Coleção Leitura). GASPARIN, J. L., Uma Didática para a Pedagogia Histórico-Crítica. Campinas. 4. ed. São Paulo. Autores associados. 2007. GELATI, Fábio Cesar. A escola como instituição socialmente construída. Roteiro, Joaçaba, v. 34, n. 1, p. 79-92, jan./jun. 2009. HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2003. IMENES, L.M; LELLIS, M., Matemática. São Paulo. Scipione. 1998.
KUENZER, A (org). Ensino Médio: construindo uma proposta para os que vivem do trabalho. 4. ed. São Paulo. Cortez. 2005. PARANÁ (estado). Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Curitiba: SEED. 2008. PERETTI, Luiz Carlos. Educação Financeira: Aprenda a cuidar do seu dinheiro. Dois Vizinhos–Pr: Impressul, 2007. SALGADO, Julio Cesar Pereira. Técnicas e Práticas CONSTRUTIVAS para Edificação. 2ª. ed. São Paulo. Érica Ltda. 2012. SAVIANI, D. Pedagogia Histórico-crítica: primeiras aproximações. SP:Cortez/Autores Associados. 1991.
