ELEMENTOS DE TEORIA DARELATIVIDADE RESTRITA

1 Postulados da Teoria da Relatividade1o Postulado (da Relatividade):As Leis da Natureza e os resultados das experiências num dado referencial

são independentes do movimento de translação do sistema como um todo. Maisprecisamente, existe um conjunto innito de referenciais Euclidianos equiva-lentes, que se movem com velocidades constantes em trajectórias rectilíneas unsrelativamente aos outros e nos quais os fenómenos físicos ocorrem de formaidêntica.

2o Postulado (da Constância da Velocidade da Luz):A velocidade da luz é independente do movimento da sua fonte.Os sistemas de referenciais equivalentes mencionados no 1o Postulado designam-

se por referenciais inerciais.Foi com a idade de 26 anos, no seu artigo "Sobre a Electrodinâmica dos

Corpos em Movimento", que Einstein resolveu o problema da existência ou nãodo "éter", meio no qual as ondas luminosas se propagavam supostamente. Esteproblema preocupava os físicos desde o m do século XIX, mas Einstein declarouque se tratava de uma entidade supérfula, pois não era necessária para explicaros fenómenos físicos observados. O 1o Postulado é assim consistente com aexperência de Michelson-Morley.As consequências do segundo postulado vão contra o senso comum. Se vir-

mos uma nave espacial passar a 250000km=s e se ele enviar um feixe luminosoa 300000km=s; nós não veremos o feixe luminoso atingir 550000km=s; mas so-mente 300000km=s: Outra consequência, não menos surpreendente, é que oespaço e o tempo estão agora íntimamente misturados: Dois acontecimentos si-multâneos para o passageiro de um combóio não o serão para o observador queo vê passar. Esta modicação do conceito de tempo, que perde o seu carácterabsoluto, incomodou muita gente, mas foi apoiado por alguns grandes físicos,como Max Planck.

2 Discussão sobre o carácter relativo da simul-taneidade e do caracter relativo do espaço e dotempo-com base na transformação de Lorentz

2.1 Introdução

Consideremos dois referenciais equivalentes K e K�, com a disposição especialdos eixos em que K�se move relativamente a K com a velocidade v ao longo e

1

no sentido positivo de Ox. Por uma questão de simplicidade suponhamos queas origens dos dois referenciais coincidem para t = t�= 0:Recordemos as fórmulas de Lorentz

ct� = (ct� �x) (1)x� = (x� �ct) (2)y� = y (3)

z� = z (4)

com � = vc e =�1� �2

�� 12 .Sejam dois acontecimentos A e B de coordenadas:

(xA; yA; zA; tA) e (xB ; yB ; zB ; tB) em K

(x�A; y�A; z�A; tA) e (x�B ; y�B ; z�B ; t�B) em K�

Suponhamos para simplicar que yA = yB =) y�A = y�B e zA = zB =)z�A = z�B .As fórmulas de Lorentz permitem assim escrever:

�1 (t�B � t�A) = (tB � tA)�v

c2(xB � xA) (5)

�1 (x�B � x�A) = (xB � xA)� v (tB � tA) (6)Estas fórmulas mostram claramente que a distância no espaço �x (A;B) e ointervalo de tempo �t (A;B) os dois acontecimentos dependem ambos do refer-encial em que se medem. As mesmas relações põem em evidência que a simul-taneidade de dois acontecimentos é relativa:Dois acontecimentos simultâneos em K (tB � tA = 0) ; mas separados no

espaço desse referencial (xB � xA 6= 0), nunca são simultâneos em K´ (t�B �t�A 6= 0), pela primeira relação .A condição necessária e suciente para que dois acontecimentos sejam si-

multâneos em dois referenciais é que eles coincidam no espaço dos dois referen-ciais. Os dois acontecimentos são então coincidentes no espaço e no tempo. emtodos os referenciais equivalentes, com se infere das relações 5 e 6 .Esta dupla concidência no espaço e no tempo têm assim um carácter absoluto-

a que pode atribuír-se um signicado físico importante.Com efeito, a partir doencontro dos dois acontecimentos pode resultar um fenómeno, um novo acon-tecimento, sobre o qual os observadores de todos os referenciais deverão estarde acordo. Por exemplo, é o que acontece com a aniquilação, por choque, deum electráo e de um positão, com produção de dois fotões , em orientaçõesopostas (com energias 0.511MeV),no referencial próprio.

2.2 Dilatação do tempo

Consideremos um relógio em repouso no ponto P de K�e seja t�B� t�A o intervaloentre os acontecimentos A e B,supostos vericados no mesmo ponto P, portanto

2

com x�B � x�A = 0 ou seja coincidentes no espaço em K´. Em K o intervalotB � tA, para os mesmos dois acontecimentos, será:

(tB � tA) = (t�B � t�A) (7)

relação que se extrai facilmente da relação 5.(A recíproca de uma relaçãoválida de K para K� é a relação correspondente válida de K ´para K; obtêm-se pela troca das plicas e de v em �v). Por 14, o intervalo de tempo medidonum referencial K, em relação ao qual o relógio se move é maior do que ointervalo de tempo medido no próprio relógio (em K�) na razão de para 1.�

=

�1� �2

�� 12 ; > 1� : É a dilatação do tempo. Os observadores do referen-cialK quando são informados das medidas feitas no relógio emK�, concluem queos relógios em movimento se atrasam em relação aos relógios de K (é a dilataçãodo tempo). Considerando ainda a situação acima analisada (relógio em repousono ponto P de K�) determinemos a separação espacial dos acontecimentos A eB em K.

(xB � xA) = v (tB � tA) (8)

pela relação 6.Repare-se que se obteve, consistentemente, a equação de movi-mento do relógio em relação a K.

2.3 Contracção dos comprimentos

Consideremos agora uma régua em repouso no referencial K�disposta as ps os-içõe paralelamente ao eixo Ox�e seja `0 = x�B � x�A o comprimento da régua emK��distãncia entre as posições (xas) das suas extremidades. O seu compri-mento em K- medido como a distância ` entre as suas extremidades simultane-amente observadas em K (com tB � tA = 0)vem dado por:

xB � xA = �1 (x�B � x�A) (9)

ou

` =

q1� �2`0 (10)

relação esta que se extrai facilmente da relação 6.Pela relação anterior vê-se que o comprimento da régua em K é menor do

que o comprimento da régua em repouso (em K�), na razão de 1 para . Éa contracção dos comprimentos ou contracção do espaço. Os observadores doreferencial K;quando são informados das medidas feitas em K� com réguas aíem repouso, têm a sensação de que as suas próprias medidas de comprimentose distenderam relativamente às de K�:

2.4 Possibilidade de inuência entre dois acontecimentos

Seja o par de acontecimentos A e B que se produzem respectivamente nos pontosP e Q:

AP (xA; yA; zA; tA) e BQ (xB ; yB ; zB ; tB) (11)

3

Continuamos a supor yA = yB e zA = zB pelo que as relações entre asdistâncias no espaço e os intervalos de tempo(em K e K�) continuam a ser dadospelas relações 5 e 6, ou pelas suas recíprocas. Consideremos o intervalo douniverso, referente ao par de acontecimentos A e B, designado por

�2 = s2AB = c2 (tB � tA)2 � (xB � xA)2 � (yB � yA)2 � (zB � zA)2 (12)

Trata-se do invariante relativista fundamental (a sua invariância numa trans-formação de Lorentz verica-se facilmente através das relações 5 ,6.Vamos mostrar que o sinal de �2 traduz a possibilidade de acção ou de

inuência entre dois acontecimentos. Para isso começaremos por discutir ocaracter absoluto ou relativo da ordem de sucessão dos dois acontecimentos eestabeleceremos como esse carácter está ligado ao sinal positivo ou negativo de�2;respectivamente. Note-se que se tem:

s2AB = c2 (tB � tA)2 � (xB � xA)2 (13)

�2 = s2AB > 0 : (� real) par do género tempoPela equação anterior vem

(tB � tA)2 >(xB � xA)2

c2(14)

e por conseguinte, para qualquer v;com jvj < c :

(tB � tA)2 >v2

c4(xB � xA)2 (15)

Então, se AP é anterior a BQ em K; ou seja, se tB � tA > 0; resulta daequação anterior que:

tB � tA >v

c2(xB � xA) (16)

[com efeito, sem perda de generalidade,sempre se pode tomar v como podi-tiva ou como negativa consoante xB � xA fôr positiva ou negativa, sendo alémdisso válido que para todo o referencial K� com velocidade de sinal contrárioa esse mesmo, a desigualdade vê-se reforçada]. Por consequência, utilizando arelação 5 extrai-se:

t�B � t�A > 0 (17)Neste caso, portanto, a ordem de sucessão de dois acontecimentos não é

nunca alterada, isto é tem um sentido absoluto: se AP é anterior a BQ emK também o é em qualquer K� . Ora a desigualdade 14 mostra que a distânciano espaço entre os dois acontecimentos em K, jxB � xAj é menor do que ocaminho que a luz percorre durante o intervalo de tempo que separa os doisacontecimentos em K, c (tB � tA) . Assim o acontecimento AP pode vir ainuir na realização do acontecimento BQ, mediante transmissão de um sinalluminoso emitido no instante tA em P que vai atingir Q no instante tB :Istosignica que entre AP e BQ pode sempre existir uma relação de causa e efeito(com causa anterior ao efeito).

4

Com ajuda da relação 5 verica-se ainda que, por uma escolha convenientedo referencial K�, ou seja de vc , os dois acontecimentos podem ser levados acoincidir no espaço (x�B � x�A = 0) para o que basta tomar

v =xB � xAtB � tA

(18)

o que é possível, atendendo a 14 , com jvj < c.Mas estes dois acontecimentos não podem, em referencial algum, coincidir

no tempo. O intervalo no tempo entre dois acontecimentos é mínimo no ref-erencial em que eles coincidem no espaço, visto que se tem c2 (t�B � t�A)2 =s2AB + (x�B � x�A)

2: como s2AB é invariante e positivo, o menor valor de t�B � t�Aatinge-se quando x�B � x�A = 0:Diz-se que sAB é do género tempo, ou que os dois acontecimentos formam

um par no tempo.�2 = s2AB < 0 : (� imaginário)par do género espaçoTem-se por 13

(tB � tA)2 <(xB � xA)2

c2(19)

o que permite escrever com um certo !, com 0 < ! < c,

(tB � tA)2 =!2

c2(xB � xA)2

c2(20)

determinando-se assim um valor crítico para o módulo da velocidade deK� relativamente a K, que vai desempenhar um papel crucial na discussão.Continuemos a supor, para xar ideias , que AP é anterior a BQ em K; ou sejaque se tem tB � tA > 0: Então resulta da equação anterior que para toda avelocidade v tal que

! < jvj < c (21)v (xB � xA) > 0 (22)

se cumpre:tB � tA <

v

c2(xB � xA) (23)

A condição 22 signica que se deve tomar v como positiva ou como negativaconsoante (xB � xA) é positiva ou negativa.Por consequência, utilizando a relação 5 obtemos:

t�B � t�A < 0 (24)

Torna-se por outro lado evidente que, para toda a velocidade v tal que:

jvj < ! (25)

ou que:! < jvj < c (26)

5

ev (xB � xA) < 0 (27)

se tem sempre t�B � t�A < 0 , se tB � tA > 0:Neste caso portanto, a ordem de sucessão de dois acontecimentos pode ser

alterada, isto é tem um carácter relativo: se AP é anterior a BQ em K , é-lheposterior em K� desde que a velocidade v esteja dentro da região denida por21,22.Entretanto, quando v sasfaça a 26,27, -então a ordem de sucessão dos dois

acontecimentos não se altera de K para K�:Vê-se também imediatamente quepara o valor crítico

v = !xB � xAjxB � xAj

(28)

ou seja v = !; se xB � xA > 0; v = �!; se xB � xA < 0, os acontecimentossão simultâneos em K�:Por outro lado, a desigualdade 19 mostra que a distância no espaço entre os

dois acontecimentos no referencial, jxB � xAj é superior ao caminho percorridopela luz durante o intervalo de tempo que separa os dois acontecimentos em K,c (tB � tA) : Não pode portanto, mediante um sinal luminoso emitido em P;noinstante tA;o acontecimento AP vir a inuir em Q sobre as circunstâncias quedeterminam, no instante tB ;a realização do acontecimento BQ. Isto signica queentre AP e BQ não poderá existir uma relação de causa e efeito, respectivamente( com causa anterior ao efeito)-numa relação transmitida por um sinal luminoso.Pelas relações 6 extrai-se, neste caso, que dois acontecimentos (que podem

ser levados a coincidir no tempo, como vimos, por uma escolha convenientedo referencial K�, para v dado por 28) nunca podem coincidir no espaço emreferencial algum. A distância no espaço entre os dois acontecimentos é mínimano referencial K�, de 28, em que eles são simultâneos.Diz-se que sAB é do género espaço, ou que os dois acontecimentos formam

um par no espaço.

2.5 Tempo próprio de uma partícula material

Consideremos um sistema, que possamos descrever como uma partícula mate-rial, para simplicar. Seja �!u (t) a velocidade instantânea da partícula relati-vamente a um certo referencial inercial K. Tomemos sobre a linha do universodessa partícula dois acontecimentos innitamente vizinhos e seja ds o intervalodo universo correspondente a esse par de acontecimentos A (x; y; z; t) e A+ dAde coordenadas (x+ dx; y + dy; z + dz; t+ dt). Em K, escreve-se:

ds2 = c2dt2 � dx2 � dy2 � dz2 (29)

Para o observador local, isto é no referencial K0 em que a partícula se en-contra instantaneamente em repouso, ou seja no referencial ligado à partículano intervalo de tempo innitamente pequeno dt; e movendo-se em relação a K

6

com a velocidade (constante) de valor igual ao valor instantâneo �!u (t)�tem-se:

dx0 = dy0 = dz0 = 0; dt0 = d� (30)

A distância no espaço entre os dois acontecimentos é nula; e o intervalo detempo, d� ; é o marcado no relógio de K0 (dt0) entre os dois acontecimentos. Ointervalo do universo (invariante fundamental) escreve-se aí:

ds2 = c2d�2 (31)

o que já permite concluír que d� é invariante numa transformação de Lorentz.Por denição este invariante, d� , é o elemento de tempo próprio da partícula.A invariância de d� torna-se muito importante, sempre que se pretende anal-

isar as taxas de variação no tempo das quantidades físicas, desejando obteralguma informação sobre a sua transformação sob o grupo de Lorentz. Se jáse conhece o comportamento de uima dada grandeza, sob a transformação deLorentz, então pode armar-se que a sua derivada em relação ao tempo própriovai comportar-se da mesma maneira, devido à invariância de d� .Comparando 29 e 31 podemos escrever:

c2d�2 = c2dt2 � dx2 � dy2 � dz2 (32)

e, utilizando �!u (t):c2d�2 = c2dt2 � u2dt2 (33)

Donde resulta a expressão de d� em termos de dt e da velocidade �!u (t),grandezas medidas no referencial K :

d� = dt

r1� u

2

c2= dt�

s1� u�

2

c2(34)

imediatamente extensível às grandezas correspondentes medidas em qualqueroutro referencial equivalente K�. A relação anterior pode considerar-se umaversão da dilatação do tempo.Passemos ao tempo próprio da partícula, agora como quantidade nita. Se

o movmento é uniforme, �!u (t) é constante, a linha do universo é uma rectae o tempo próprio d� é o que marcam os relógios de K0, referencial próprioda partícula (referencial este que é, nesta situação, sempre o mesmo). No casogeral há aceleração e, mais geralmente ainda, a linha do universo é curva:é entãonecessário considerar sucessivos referenciais K0 em que a partícula se acha emrepouso nos sucessivos intervalos de tempo innitamente pequenos dt em quese decompõe, para os observadores de K, o intervalo de tempo, nito, t2 � t1, entre quaisquer dois acontecimentos 1 e 2 da linha de universo da partícula.A contagem do tempo próprio da patrtícula correspondente a esse intervalo detempo t2 � t1 em K- a denição do tempo próprio da partícula decorrido entreos acontecimentos 1 e 2 faz-se por adição dos sucessivos elementos de tempo

7

próprio d� = dt0, medidos nos referenciais K0 correspondentes aos sucessivosdt, e dados por 34. De modo que:

�[1�2 =

t2Zt1

r1� u

2

c2dt (35)

Fixado um acontecimento de referência, a expressão anterior permite atribuírum tempo próprio bem determinado a cada acontecimento ao longo da linha deuniverso da parttícula. Por outras palavras, o tempo próprio da partícula seráem geral dado por:

�[1�2 =

tZ0

r1� u

2

c2dt (36)

supondo que o acontecimento de referência se produz para t = 0.Então 35 virá igual a �2 � �1. A relação 35 tem também a sua recíproca:

um certo intervalo de tempo próprio, �2 � �1, será medido num referencial Kcomo um intervalo de tempo t2 � t1 dado por:

t2 � t1 =�2Z�1

d�q1� [u(�)]

2

c2

=

�2Z�1

d�q1� [� (�)]2

(37)

ou t2 � t1 =�2Z�1

(�) d� (38)

sendo u (�) o módulo da velocidade da partícula, medido no referencial Kno instante t a que corresponde o tempo próprio � : Note-se que das relaçõesanteriores se deduz que se tem sempre t2 � t1 > �2 � �1:

2.6 Cone de Luz

O carácter absoluto das separações no espaço ou no tempo dos pares de acontec-imentos, respectivamente, do género espaço ou do género tempo -que foi objectoda nossa discusão anterior permite uma representação gráca interessante con-hecida por diagrama do "cone de luz", útil no tratamento de alguns problemasda Teoria da Relatividade Restrita.Consideremos um acontecimento de referência (qualquer) para origem do

tempo e das coordenadas espaciais, designemo-lo por O. Num sistema quadridi-mensional de coordenadas x; y; z; ct; denidas num referencial inercial inercialK; O será a origem. Descrevemos este sistema quadridimensional tomando paraeixo dos tempos (na verdade das coordenadas ct ) o eixo "vertical" (ver gura;notemos que na gura se designa : �2 = s2AB) e adoptando eixos espaciais per-pendiculares a essa direcção; para facilitar, no entanto, representemos apenasuma dimensão espacial x. Todo o movimento de uma partícula material passano ponto x = 0, no instante t = 0 ( isto é , de uma partícula que inclua o

8

acontecimento O na sua história) será representado por uma linha de universopassando por O. Em particular o movimento uniforme e rectilíneo de uma talpartícula será representado por uma recta passando por O e fazendo com o eixodos ct um ângulo cuja tangente iguala �u =

uc ; sendo u a velocidade da partícula

(na direcção x); sendo c a máxima velocidade possível, existe um limite paraos ângulos formados por essa recta com o eixo dos ct : o módulo do coecienteangular não pode exeder 1. As duas rectas traçadas na gura , a 45o com o eixodos ct e passando pelo acontecimento O, representam a propagação de sinaisluminosos, à velocidade c, ao longo da direcção x, em direcções opostas. Estasduas linhas delimitam no diagrama duas zonas a branco, bissectadas pelo eixoct; nas quais se devem conter todas as rectas representando movimento uni-forme e rectilíneo de partículas que incluam o acontecimento O na sua história.Reconhece-se ainda facilmente que toda a linha do universo representando umqualquer movimento de tais partículas se deve conter também dentro dessaszonas a branco, além de não poder apresentar em ponto nenhum um coecienteangular com módulo inferior a 1:Na gura dá-se um exemplo de uma linha douniverso traçada dentro dessas condições: a linha AOB:

(39)

Consideremos agora o invariante �2 = s2AB (cuja denição geral foi dada an-teriormente) relativo ao par de acontecimentos constituído pelo acontecimentogenérico P e pelo acontecimento de referência O: �2 (O,P) :Sobre as duas rectasacima referidas, tem-se evidentemente x = �ct; portanto �2 = 0; e é fácil recon-hecer que nas zonas a branco se cumpre sempre �2 > 0 e nas zonas a tracejado�2 < 0: Nas zonas a branco se encontram assim todos os acontecimentos quefazem com O umpar do género tempo; enquanto que nas zonas a tracejado seencontram todos os acontecimentos que fazem com O um par do género espaço.Consideremos a zona a branco bissectada pelo semi-eixo positivo das coor-

denadas ct: Em toda esta região temos t > 0; isto é, todos os acontecimentosaí contidos se produzem depois do acontecimento O, para os observadores doreferencial K: Mas a ordem de sucessão de dois acontecimentos constituindo umpar no tempo, como é o caso nesta região, é absoluta. Por consequência, é im-possível encontrar um referencial no qual um acontecimento nesta região ocorraantes de O. Ou seja: todos os acontecimentos desta região são absolutamente

9

posteriores ao acontecimento de referência O. Por isso esta região se designapor região de futuro absoluto.De maneira perfeitamente análoga, todos os acontecimentos da zona a branco

bissectada pelo semi-eixo negativo dos ct são absolutamente anteriores a O (an-teriores em todos os referenciais). Por isso ela se designa por região de passadoabsoluto.Analisemos agora as zonas a tracejado na gura. Formando qualquer par

de acontecimentos aí contidos um par do género espaço, com o acontecimentode referência O, acontece que a separação espacial dos dois acontecimentos éabsoluta: separados no espaço no referencial K;não é possível encontrar umreferencial no qual os dois acontecimentos coincidam no espaço. Por isso des-ignamos estas zonas por regiões de afastamento absoluto. Em contrapartida,note-se que são, nestas regiões, relativas as noções de simultaneamente, antes edepois quando aplicadas a um acontecimento nelas contido, confrontado com oacontecimento de referência O.Notemos agora que se considerarmos as 3 dimensões espaciais x; y; z; em vez

de uma única x teremos a fronteira, entre as regiões acima consideradas denida,já não pelas duas rectas concorrentes x = �ct tracejadas na gura, mas sim , noespaço quadridimensional x; y; z; ct; pelo "cone" no espaço x2+y2+z2�c2t2 = 0cujo eixo coincide com o eixo dos ct: As regiões do futuro absoluto e do passadoabsoluto encontram-se então dentro de uma e outra das folhas desse "cone". Aregião exterior ao "cone" é a do afastamento absoluto.Rera-se ainda que os dois tipos de zonas no diagrama da gura se dis-

tinguem também pela possibilidade de inuência entre cada um dos aconteci-mentos nelas contidos e o acontecimento O.Assim, o acontecimento O, mediante a emissão de um sinal luminoso, que

lhe seja simultâneo, pode inuenciar qualquer acontecimento da região do futuroabsoluto; e qualquer acontecimento da região do passado absoluto pode, medi-ante a emissão local de um sinal luminoso que lhe seja simultâneo, inuenciar oacontecimento O. Pode dizer-se que o futuro absoluto está ao alcance luminosodo presente (do acontecimento O), o presente ao alcance luminoso do passadoabsoluto. As duas regiões integram o chamado "cone de luz".Entretanto, entre qualquer um dos acontecimentos da região do afastamento

absoluto e o acontecimento O não pode existir inuência causal, transmitida me-diante um sinal luminoso localmente e instantaneamente emitido. Os aconteci-mentos da região de afastamento absoluto não estão assim ao alcance luminosodo acontecimento O e recíprocamente. Pode assim dizer-se que fora do "conede luz", os acontecimentos cam na sombra, relativamente ao acontecimento O,pela incapacidade de alcance luminoso mútuo.

3 Transformação de Lorentz sob a forma dequadrivectores

A transformação de Lorentz

10

ct� = (ct� �x) (40)x� = (x� �ct) (41)y� = y (42)

z� = z (43)

pode escrever-se sob uma forma geral:

(44)

com, no caso do sistema de eixos que foi anteriormente escolhido,x0 = ct; x1 = x; x2 = y; x3 = z:Por outro lado:1

(45)

A transformação de Lorentz inversa é:

(46)

A transformação inversa pode obter-se por cálculo directo, mas sabemos peloprimeiro postulado de Einstein que basta fazer uma troca entre as variáveis come sem pelica e trocar � com ��:Nas fórmulas anteriores apenas as coordenadas paralelas à direcção do movi-

mento relativo e o tempo são transformadas. Nessas fórmulas a velocidade v éparalela ao eixo dos x: No caso em que a velocidade relativa tem uma orientaçãoarbitrária pode escrever-se de forma geral:

(47)

1A partir de agora neste capítulo utillizaremosa notação de Jackson: em que os vectores no espaço tridimensional se indicam a bold e x

designa o vector posição �!r :

11

A partir de 45 e dos limites de variação de �, 0 � � � 1; 1 � � 1,podemos escrever, utilizando uma parametrização alternativa:

(48)

c designa-se por "boost parameter".Como função de � as equações 44 escrevem-se:

(49)

Estas equações fazem recordar as equações de rotação das coordenadas noespaço tri-dimensional, com funções hiperbólicas em vez de funções circulares.Existem muitas grandezas físicas que se transformam sob uma transformação

de Lorentz da mesma forma que o tempo e as coordenads espaciais de um ponto.A essas grandezas chamam-se quadrivectores.Quadrivector coordenada: (x0; x1; x2; x3)Quadrivector arbitrário:(A0; A1; A2; A3)Transformação de Lorentz para um quadrivector arbitrário:

(50)

Nestas fórmulas, k e ?designam respectivamente componentes paralelas eperpendiculares à velocidade v = c�:Para as componentes de qualquer quadrivector verica-se a invariância:

(51)

em que as componentes (A�0;A�) e (A0;A)se referem a quaisquer dois sistemasde referência inerciais. Para dois quadrivectores (A0;A) = (A0; A1; A2; A3) e(B0;B) = (B0; B1; B2; B3) o produto escalar é um invariante dado por:

(52)

12

4 Adição de velocidades

A partir da transformação de Lorentz para as coordenadas pode derivar-se a leide adição das velocidades. Suponhamos que:-O ponto P move-se com velocidade u� com coordenadas esféricas (u�; ��; '�)

relativamente ao referencial K�(ver gura).-O referencial K�move-se com velocidade v = c� na direcção e sentidos

positivos do eixo x1relativamente ao referencial inercial K:Queremos saber quais são as componentes da velocidade u quando observada

a partir de K:A partir de 46, podemos escrever:

(53)

Pusemos o índice inferior v em v para distinguir de u =�1� u2c2

�� 12e de u�=

�1� u�2c2

�� 12: As componentes das velocidades em cada referencial

são respectivamente: u�1 = cdx�1dx�0

e u1 = cdx1dx0

:

(54)

13

As componentes do da velocidade transformam-se segundo as seguintes ex-pressões:

uk e u?designam respectivamente as componentes da velocidade paralela eperpendicular a v:

VER JACKSON ,2nd ed.,pg 523-525

14

ELEMENTOS DE CÁLCULO TENSORIAL

5 Introdução

A utilização de 4-vectores e de 4-tensores para a descrição da relatividade restritaé de tal conveniência que é praticamente uma necessidade. Para a relatividadegeral é absolutamente essencial, e, nesse caso tem que se utilizar tensores gen-eralizados. No caso da relatividade especial basta ulilizar tensores cartesianos.Introduzindo 4-tensores podemos utilizar uma notação compacta que facilita

o cálculo. Mas, mais importante, as leis da Física expressas utlizando essaforma satisfazem automaticamente aos postulados da relatividade de Einsteine são covariantes quando se passa de um referencial para outro que se deslocarelativamente ao primeiro com velocidade constante.As rotações no espaço tridimensional na mecânica clássica e na mecânica

quântica podem ser discutidas como o grupo de transformações que deixam anorma de um vector �!r invariante.Pensando agora no formalismo conveniente para a relatividade restrita, con-

sideremos dois referenciais de inércia, K e K�com velocidade relativa �!v entreeles. As coordenadas de tempo e de espaço são respectivamente :

(t; x; y; z) e (t�; x�; y�; z�)

Os eixos coordenados nos dois referenciais são paralelos e orientados de formaa que o referencial K�se mova com velocidade v, na direcção e sentido do eixodos z positivo quando visto a partir de K. Para simplicar, suponhamos que asorigens dos dois sistemas de eixos são coincidentes em t = t�= 0:Utilizemos a seguinte notação para um quadrivector no referencial K:

x0 = ct; x1 = x; x2 = y; x3 = z

Na teoria da relatividade restrita, as tranformações de Lorentz das coorde-nadas no espaço a quatro dimensões advêem da invariância de:

s2 = c2t2 � x21 � x22 � x23 (55)

Ao conjunto de transformações que conservam s2 invariante chama-se Grupode Lorentz homogéneo.Esta forma quadrática fundamental caracteriza um sistema de coordenadas

cartesianas ortogonais.A forma quadática fundamental que dene a norma de um espaço escreve-se:

(ds)2= g��dx

�dx�

em que g�� = g��é o tensor da métrica.Adopta-se aqui a convenção de Einstein em que quando um índice aparece

repetido se deve fazer a soma sobre esse índice.

15

No caso do espaço-tempo plano da relatividade restrita, ao contrário doespaço-tempo curvo da relatividade geral, vemos assim que o tensor da métricaé diagonal, com elementos:

g00 = 1; g11 = g22 = g33 = �1 (56)

Como os elementos do tensor g�� são constantes (independentes das coor-denadas) trata-se de um sistema de coordenadas cartesianas. Como g�� = 0para � 6= � são coordenadas cartesianas ortogonais. Se fosse g�� = ��� seriaum sistema de coordenadas euclidianas (a relatividade restrita aparece descritaneste sistema de coordenadas em alguns livros de texto).Vamos resumir alguns elementos de análise tensorial num espaço vectorial

não-euclidiano geral.Denição dos 4-tensores de ordens sucessivasO contínuo espaço-tempo é denido a partir de um espaço 4-dimensional

com coordenadasx0; x1; x2; x3

Suponhamos, de forma geral, que existe uma transformação bem denida quefornece novas coordenadas,segundo uma regra determinada, não especicada porenquanto:

x�� = x���x0; x1; x2; x3

�� = 0; 1; 2; 3

Os tensores de ordens sucessivas associados com um dado ponto do espaço-tempo são denidos pelas suas propriedades de transformação quando x! x�:

� Escalares (tensores de ordem zero)

Ficam invariantes na transformação. Exemplos: tempo próprio. intervalos2:

� Vectores ou tensores de ordem 1. Devem distinguir-se dois tipos:Vectores contravariantes Aa cujas componentes A0; A1; A2; A3 se transfor-mam como as coordenadas da posição, segundo a regra:

A�a =@x��

@x�A�

Vectores covariantes A� cujas componentes A0; A1; A2; A3 se transformamsegundo a lei inversa da transformação das coordenadas da posição:

B�a =@x�

@x��B� (57)

� Tensores contravariantes de ordem dois, F�� , constituídos por 16 compo-nentes que se transformam segundo:

F��� =@x��

@x@x��

@x�F �

16

Tensores covariantes de ordem dois, G�� , constituídos por 16 componentesque se transformam segundo:

G��� =@x

@x��@x�

@x��G�

Tensores mistos de ordem dois, H�� , constituídos por 16 componentesque se transformam segundo:

H��� =@x��

@x@x�

@x��H�

� Por extensão um tensor contravariante de ordem n é um conjunto de 4nque se transformem segundo a regra:

T�a�::: =@x��

@x@x��

@x�:::T �:::

n é o número de índices em T k�:::.

5.1 Operações com tensores

1. Soma de dois tensores (com o mesmo número de índices contravariantes ecovariantes):Por exemplo:

C�� = A�� +B��

2. Produto externo de dois tensores: Se tivermos um tensor A de ordem ne um tensor B de ordem m, o produto externo é um tensor de ordem m + ndenido por exemplo como:

C��� = A��B�

3. Contracção de um tensor: Se somarmos sobre dois índices de um tensorT de ordem n em que um é contravariante e outro covariante obtemos um tensorde ordem n� 2 denido, por exemplo, como:

T� = Y��

�

Em particular, o traço de um tensor de segunda ordem A�� é um escalar.Notemos que esta soma deve ser sempre realizada sobre um índice covariante

e um índice contravariante. Se somarmos sobre dois índices covariantes ou doisíndices contravariantes não obteremos um tensor.4. O produto escalar (ou interno) de dois vectores obtêm-se por combinação

do produto externo dos dois vectores com a contracção. Dene-se por exemplopor:

A:B = A�B� = A0B0 +A

1B1 +A2B2 +A

3B3

17

É evidentemente invariante perante a transformação 55 :

A�:B�=@x��

@x�@x

@x��A�B =

@x

@x�A�B = �

�A

�B = A:B

Pode evidentemente fazer-se o produto escalar de tensores de ordem superior,tendo ambos a mesma ordem, somando sobre todos os índices.5. Os tensores podem ou não ser simétricos ou antisimétricos quando se

permutam dois dos seus índices :

T�� = T �� Tensor simétrico

T�� = �T �� Tensor antisimétrico

Qualquer tensor de segunda ordem pode escrever-se como a soma de umtensor simétrico com um tensor antisimétrico. Podemos escrever, por exemplo:

T�� =1

2

�T�� + T ��

�+1

2

�T�� � T ��

�em que o primeiro termo do segundo membro é um tensor simétrico e o segundoé um tensor antisimétrico.

5.2 Alguns desenvolvimentos sobre a métrica relativista etransformação de Lorentz

No espaço-tempo da relatividade restrita os tensores contravariante g�� e co-variante g�� são coincidentes:

g�� = g��

A contracção dos dois tensores dá o delta de Kronecker :

g��g�� = ���

em que ��� = 0 se � 6= � e ��� = 1 para � = 0; 1; 2; 3:A coordenada covariante x� de um quadrivector pode facilmente obter-se da

coordenada contravariante x� por contracção com g�� :

x� = g��x�

e, inversamente:x� = g��x�

Por contracção com g�� ou g�� podemos passar um índice ou ou tensor decontravariante para covariante e vice-versa. Explicitamente:

F :�:: = g��F:� ::

eG:�:: = g��G

:�::

18

Com o tensor da métrica adoptado aqui, 56, vê-se que ao quadri-vectorcontravariante de componentes

A0; A1; A2; A3

corresponde o quadri-vector covariante de componentes:

A0 = A0; A1 = �A1; A2 = �A2; A3 = �A3

ou seja, explicitando o vector�!A de componentes A1; A2; A3 no espaço tridi-

mensional, a

A� =�A0;

�!A�

corresponde

A� =�A0;��!A

�O produto interno de dois vectores escreve-se:

B:A = B�A� = B0A0 ��!B:�!A

Vê-se facilmente que a diferenciação relativamente a uma componente con-travariante do vector coordenada se transforma como uma componente covari-ante. Basta pensar que:

@

@x��=@x�

@x��@

@x�

e comparar com 57.Escrevemos assim:

@� =@

@x�=

�@

@x0;�!r�

Identicamente, a diferenciação relativamente a uma componente covariantedo vector coordenada transforma-se como uma componente contravariante. Temosassim:

@� =@

@x�=

�@

@x0;��!�r

�5.2.1 Operadores importantes:

� A 4-divergência de um 4-vector é o invariante:

@�A� = @�A� =

@A0

@x0+�!r :�!A (58)

Esta expressão intervêm na equação de continuidade da densidade de cargae de corrente, na condição de Lorentz para os potenciais vector e escalar, etc...

� O operador laplaciano 4-dimensional dene-se pela contracção invariante:

� = @�@� = @�@� =@

@x02��!�r2 (59)

Trata-se, como é evidente, do operador laplaciano que aparece na equaçãode onda no vácuo.

19

5.3 Invariância da carga eléctrica. Covariância da Elec-trodinâmica

Na família de gauges de Lorentz equações de onda para o potencial vector�!A e

para o potencial escalar � são as seguintes:

1

c2@2�!A

@t2��!r2�!A = 4�

c

�!J (60)

1

c2@2�

@t2��!r2�!� = 4�� (61)

com a condição de Lorentz:

1

c

@�

@t2+�!r :�!A = 0

O operador diferencial nas equações 60 e 61 é o operador laplaciano 4-dimensional 59 . À direita aparecem as componentes do quadrivector densidadede carga-corrente. Pela covariância de Lorentz, os potenciais

�!A e � formam o

4-vector potencial: (�;�!A ):

As equação de onda e a condição de Lorentz tomam então a forma covariante:

��!A� = 4�c

�!J �

@�A� = 0

Os campos são expressos em função dos potenciais por:

�!E = �1

c

@�!A

@t��!r�

�!B =

�!r ��!Ase explicitarmos por exemplo as componentes segundo x e recordarmos que

@� = @@x� =�

@@x0;��!�r

�, podemos escrever:

Ex = �1

c

@Ax@t

� @�@x

= ��@0A1 � @1A0

�Bx =

@Az@y

� @Ay@z

= ��@2A3 � @3A2

�Estas equações mostram queo campo eléctrico e o campo magnético, com-

preendendo seis componentes ao todo, formam as componentes do um tensoranti-simétrico de segunda ordem:

F�� =

0BB@0 �Ex �Ey �EzEx 0 �Bx ByEy Bx 0 �BzEz �By Bz 0

1CCA20

Pode formar-se o correspondente tensor com dois índices covariantes:

F�� = g�F

�g�� =

0BB@0 Ex Ey Ez

�Ex 0 �Bx By�Ey Bx 0 �Bz�Ez �By Bz 0

1CCAOs elementos deste tensor são obtidos a partir do anterior fazendo:

�!E !

��!E :Para completar a demonstração da invariância da Electrodinâmica devemos

escrever as equações de Maxwell sob a forma covariante. As equações não ho-mogéneas escrevem-se:

Em termos de F��e do 4-vector corrente, temos,sob forma covariante:

Semelhantemente, para as equações homogéneas:

obtemos as quatro equações:

em que �; �; são quaisquer três dos 4 índices 0,1,2,3.

21

5.4 Transformação dos Campos Electromagnéticos

Jackson, 2nd ed., pg 552-556Figuras e fórmulas de referência:

22

23

24

Problemas de Relatividade1.Considere o problema referente à adição de velocidades, correspondente à

situação representada na gura seguinte:O ponto P tem velocidade u� relativa-mente ao referencial K�e velocidade u relativamente ao referencial K.O referencial K�move-se com velocidade v relativamente ao referencial K.

Em que, como foi demonstrado:

u =

su�2 + v2 + 2u�v cos ���

�u�v sen��

c

�21 +

u�vsen��

c2

Mostre que a fórmula seguinte:

u = vu�

�1 +

v:u�

c2

�com:

v =�1� v2c2

�� 12; u =

�1� u2c2

�� 12; u�=

�1� u�2c2

�� 12é equivalente à fórmula anterior.2.Num dado sistema de referência,K um campo eléctrico

�!E0 estático e uni-

forme é paralelo ao eixo dos x e um campo de indução�!B0, também estático e

uniforme, com�!B0 = 2

�!E0, encontra-se no plano xy, fazendo um ângulo � com o

eixo dos x.Determine qual deve ser a velocidade relativa de um referencial K´´, para o

qual os campos eléctrico e magnético sejam paralelos entre si.Sugestão: Escolha

�!� k�!z ;de forma a que �!� :�!E0 = 0: Nessas condições:�!E� =

��!E0 +

�!� ��!B0

��!B� =

��!B0 �

�!� ��!E0

�25