OSCILACIONES 1

1

OSCILACIONES

Luis francisco Garca Russi

Universidad industrial de Santander Facultad de Ciencias

Escuela de Fsica

2

Al Dios vivo y Poderoso. Al Padre Glorioso que todo lo ve, todo lo oye, todo lo sabe, todo lo dirige. Al Incomparable, al Maravilloso, al Prodigioso Ser que nos dio la vida y la sostiene. Al Dios Soberano que nos da el alimento y concilia nuestro sueo. Al Omnipotente que esparce su blsamo amoroso prodigndonos paz, alegra y felicidad. Al Soberano Dios de infinita misericordia, que siempre

escucha nuestro clamor.

3

Contenido

1 INTRODUCCIN ................................................................................................................................................... 8

1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S) ................................................................................ 9

1.2.1 ECUACIN DIFERENCIAL: ....................................................................................................... 12

1.2.2 SISTEMAS QUE DESCRIBEN UN MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE. ........ 14

1.2.2-1 PNDULO SIMPLE: .................................................................................................................... 15

1.2.2-2 SISTEMA MASA-RESORTE ................................................................................................... 29

1.2.2-3 PNDULO FSICO O PNDULO COMPUESTO: ......................................................... 35

1.2.2-4 PNDULO DE TORSIN........................................................................................................... 37

1.2.3 ENERGA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE: .................. 39

1.2.4 POTENCIA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE: ............... 40

1.2.5 ANALOGA ELCTRICA ............................................................................................................. 41

1.3 ANLISIS DE ROZAMIENTO .......................................................................................................................... 43

1.3.1 FUERZA DE FRICCIN VISCOSA: ............................................................................................. 44

1.3.2 ANALOGA ELCTRICA: ................................................................................................................. 47

1.4 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO LIBRE (M.A.A.L) ........................................... 49

1.4.1 CASO SOBREAMORTIGUADO: ................................................................................................... 52

1.4.2 CASO SUBAMORTIGUADO............................................................................................................ 54

1.4.3 CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO: ............................................................................. 59

1.4.4 ENERGIA PROMEDIO Y POTENCIA PROMEDIO DISIPADA: ................................... 66

1.4.5 FACTOR DE CALIDAD Q ................................................................................................................ 69

4

1.4.6 ANALOGA ELCTRICA: ................................................................................................................. 71

1.5 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO FORZADO (M.A.A.F) .................................. 77

1.5.1 RESONANCIA EN LA AMPLITUD: ............................................................................................. 84

1.5.2 RESONANCIA EN LA ENERGIA: ................................................................................................ 87

1.5.3 POTENCIA PROMEDIO SUMINISTRADA ............................................................................... 89

1.5.4 ANALOGA ELCTRICA: ................................................................................................................ 93

1.6 SUPERPOSICIN DE MOVIMIENTOS ARMNICOS SIMPLES:..................................... 96

1.6.1 DE IGUAL DIRECCION E IGUAL FRECUENCIA: ................................................................ 96

1.6.2 DE IGUAL DIRECCIN Y DIFERENTE FRECUENCIA: ................................................ 101

1.6.3 MUTUAMENTE PERPENDICULARES DE IGUAL FRECUENCIA: ......................... 106

1.6.4 MUTUALMENTE PERPENDICULARES DE DIFERENTE FRECUENCIA: .......... 110

1.7 PROBLEMAS ............................................................................................................................................... 119

5

OSCILACIONES

MOVIMMIENTOS

ARMNICOS

SUPERPOSICIN DE

MOVIMIENTOS

ARMONICO

De igual direccin

De igual

frecuencia

De diferente

frecuencia

Mutualmente perpendiculares

De igual

frecuencia

De diferente

frecuencia

Simple (M.A.S)

Amortiguador libre

(M.A.A.L)

Amortiguador forzado

(M.A.A.F)

6

PASOS FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LOS

OSCILADORES ARMNICOS

A PARTIR DE

SEGUNDA LEY DE NEWTON PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA

ENERGAECUACIN DINMICA DE ROTACIN OTROS MTODOS

SE OBTIENE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE

MOVIMIENTO

SE PLANTEA SU SOLUCIN

SE DETERMINA LA FRECUENCIA NATURAL DE

OSCILACIN

SE REALIZA LA GRFICA DE LA ELONGACIN CONTRA

EL TIEMPO

SE HALLA LA ENERGA PROMEDIO EN UN CICLO

SE DETERMINA LA POTENCIA

PROMEDIO

7

SISTEMAS OSCILATORIOS

LINEALES NO LINEALES

ARMNICO

VV

ANARMNICO

DESCRIBE UN MOVIMIENTO OSCILACIN

PERIDICO NO PERODO

BALANCIN DE UN RELOJ MOVIMIENTO SSMICO

MOVIMIENTO PERIDICO

OSCILATORIO NO OSCILATORIO

PENDULAR VIBATRORIO

CIRCUNFERENCIAL

UNIFORME

ELONGACIN

ANGULAR

ELONGACIN

LINEAL

PARA GRANDES ELONGACIONES SE

OBTIENE UN MOVIMIENTO ARMNICO

PARA PEQUEAS ELONGACIONES SE

OBTIENE UN MOVIMIENTO ARMNICO

SIMPLE (M.A.S).

8

OSCILACIONES

1 INTRODUCCIN

Debido a que las estructuras y las mquinas experimentan cierto grado de vibracin, se hace indispensable para su diseo, considerar el comportamiento oscilatorio.

Generalmente los sistemas oscilatorios suelen clasificarse en lineales y no lineales. Cuando la amplitud de la oscilacin crece, los sistemas lineales tienden a volverse no lineales.

Los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Sus vibraciones pueden ser libres o forzadas. La vibracin es libre cuando el sistema oscila bajo la accin de fuerzas intrnsecas e inherentes al mismo, las cuales se denominan fuerzas recuperadoras (que pueden ser fuerzas elsticas como el caso de una masa suspendida en un resorte, fuerzas gravitacionales como en el caso de un pndulo).

La vibracin es forzada cuando actan fuerzas externas sobre el sistema. Si la fuerza externa es peridica el sistema vibra de acuerdo a la frecuencia impulsora, tambin llamada frecuencia de excitacin. La frecuencia de la fuerza externa o fuerza impulsora, no debe coincidir con ninguna de las fuerzas naturales del sistema, para evitar que se produzca el fenmeno de resonancia, caracterizado por oscilaciones de gran amplitud, que ordinariamente son las responsables de las fallas que se presentan en edificios, puentes, aeroplanos, vehculos espaciales y otras estructuras.

Los sistemas vibratorios tienen cierto grado de amortiguamiento; pero si este es pequeo, se puede ignorar en el clculo de las frecuencias.

Cuando el movimiento tiene lugar alrededor de una posicin de equilibrio fija en el espacio, hablamos de osciladores. Cuando las oscilaciones peridicas viajan de un lugar a otro, hablamos de ondas.

9

Muchos sistemas en la naturaleza se aproximan bastante al movimiento armnico simple (movimiento alrededor de una posicin de equilibrio, en la cual no acta fuerza neta sobre el sistema), el cual no es fsicamente realizable, porque tal movimiento tendra que haber empezado hace un tiempo infinitamente grande y podra continuar en el futuro hasta un tiempo infinito.

La importancia del estudio del movimiento armnico simple, tanto en fsica como en ingeniera, se debe no solamente al hecho de hacer una buena aproximacin a muchos procesos fsicos, sino que procesos ms complicados pueden ser estudiados, como si se tratara de varios movimientos armnicos actuando independientemente.

El movimiento oscilatorio se presenta en muchos sistemas; tal es el caso de las molculas de aire, que oscilan cuando transportan la onda sonora producida por una guitarra, el movimiento del pndulo de un reloj, las molculas del los slidos, que vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio, los tomos de una molcula que vibran unos con respecto a otros, la rpida oscilacin de los electrones de una antena radiante o receptora, las corrientes de los circuitos elctricos que pueden cambiar de sentido y oscilar.

El movimiento oscilatorio puede repetirse regularmente como el caso de un balancn de reloj irregularmente como en el caso de los movimientos ssmicos.

Cuando el movimiento oscilatorio se repite a intervalos iguales de tiempo se denomina peridico y debe satisfacer la relacin )()( Ttxtx , donde )(tx , es la

funcin que designa el movimiento, y T es el perodo de oscilacin o tiempo requerido para que le sistema efecte un ciclo completo de movimiento.

Nuestro estudio lo limitaremos a los osciladores con un grado de libertad, es decir, aquellos que necesitan solamente una coordenada para describir su estado de movimiento.

1.2 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (M.A.S)

DEFINICIN 1: Una partcula que se mueve a lo largo del eje de las x tiene

un movimiento armnico simple cuando su desplazamiento x respecto al origen del

sistema de coordenadas, esta dado en funcin del tiempo por la relacin.

)( tsenAx

siendo:

t = Fase

= Fase inicial

10

A = Amplitud o mxima elongacin

x = Elongacin o desplazamiento

= Frecuencia angular (se expresa en rad/s)

= fT

22

T = Periodo (se expresa en s)

f = Frecuencia (se expresa en ciclos/s)

La velocidad de la partcula, se obtiene derivando el desplazamiento respecto al tiempo, as:

)cos(])([ tAtsenAdt

d

dt

dxv

La aceleracin se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo, as:

)(])(cos[ 2 tsenAtAdt

d

dt

dva

Por lo tanto:

xa 2 , lo cual significa que la aceleracin es proporcional y opuesta al

desplazamiento.

DEFINICIN 2: El desplazamiento de una partcula que se mueve con Movimiento Armnico Simple, puede considerarse como la componente x de un

vector PO de magnitud A , que rota alrededor de O en sentido contrario de las

agujas del reloj con velocidad angular y formando a cada instante un ngulo

t + con el eje negativo y , como se ilustra en la fig. (1.2-1).

11

Figura (1.2-1): Vector rotante OP de magnitud A que determina el desplazamiento en el M.A.S

Los vectores rotantes AOyOV , cuyas magnitudes son A y 2 A

representan la velocidad y la aceleracin de la partcula, cuyas componentes a lo largo del eje x dan las componentes de la velocidad y la aceleracin, como puede

apreciarse en la figura (1.2-2)

Figura (1.2-2): Vectores rotantes del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en el M.A.S

Los grficos del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en funcin del

Tiempo del movimiento armnico simple, se demuestra en la fig. (1.2-3).

12

Figura (1.2-3): Grficas del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin

en funcin del tiempo en el M.A.S.

1.2.1 ECUACIN DIFERENCIAL:

La ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple es:

0202

2

xdt

xd

Siendo:

x = Desplazamiento

t = Tiempo

0 = Frecuencia angular natural de oscilacin

La solucin general es de la forma:

)( 0 tsenAx

Tambin puede utilizarse la forma armnica:

13

)(cos 0 tAx

O la forma exponencial:

][Re)( 0 tieAx

Respecto a la solucin en forma exponencial, tnganse en cuenta que un vector de amplitud A , que rota con velocidad angular , puede representarse como una cantidad compleja z en el diagrama de Argand como se muestra en la siguiente figura (1.2.1-1).

Figura (1.2.1-1)

La cantidad tieAz satisface la ecuacin deferencial de un M.A.S.

Su conjugada compleja es tiAez * la cual rota en sentido horario con

velocidad angular , como se muestra en la siguiente figura (1.2.1-2)

Figura (1.2.1-2)

14

Es evidente que al sumar z y *z , se obtiene el grfico mostrado en la figura (1.2.1-3).

Figura (1.2.1-3): Vector z y su complejo conjugado z*

Luego:

tieAeRtAzzx cos*)(2

1

En donde Re representa la parte real de z .

1.2.2 SISTEMAS QUE DESCRIBEN UN MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE.

La fig. (1.2.2) muestra algunos de los sistemas fsicos que describen un

M.A.S.

Pndulo simple Sistema Masa Resorte Pndulo de torsin

Figura (1.2.2): Diferentes clases de Osciladores Armnicos Simples

15

Pndulo compuesto pndulo fsico Circuito elctrico L C

Figura (1.2.2): Diferentes clases de Osciladores Armnicos Simples.

1.2.2-1 PNDULO SIMPLE:

DEFINICIN: Es una cuerda de longitud y de masa despreciable, que tiene una masa m atada a un extremo y que puede oscilar libremente respecto del otro

extremo, como lo ilustra la fig. (1.2.2-1.1)

Figura (1.2.2-1.1): Pndulo Simple

16

OBJETIVO: Determinar la frecuencia de oscilacin.

PROPIEDADES DEL OSCILADOR ARMNICO:

- La frecuencia del movimiento es independiente de la amplitud de oscilacin.

- Los efectos de varias oscilaciones pueden superponerse linealmente.

PROCEDIMIENTO:

A partir de la ecuacin dinmica de translacin (Segunda Ley de Newton), de la ecuacin dinmica de rotacin, del principio de conservacin de la energa de cualquier otro mtodo se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo. Estableciendo la restriccin para elongaciones pequeas sen , se obtiene la ecuacin diferencial de movimiento de un oscilador armnico simple.

- PRIMER MTODO:

De la segunda ley de Newton e sabe que

TT amF (1)

De la figura

sengmFT (2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2):

sengmam T

Simplificando por m :

sengaT

Por lo tanto

sengaT

Recordando la expresin para la aceleracin tangencial:

dt

d

dt

d

dt

dvaT

)(

Utilizando la definicin de la velocidad angular,

dt

d

17

Se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo simple:

0

seng

dt

d

dt

d

Entonces:

02

2

sengdt

d

Haciendo la aproximacin: sen

Se obtiene:

02

2

gdt

d

Dividiendo por

02

2

g

dt

d

Haciendo

g20

Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple

0202

2

dt

d

La solucin de la ecuacin diferencial anterior es

= )( 00 tsen

Siendo = Elongacin

0 = Mxima elongacin o amplitud

t0 = Fase

= Fase inicial

La relacin entre la frecuencia angular natural de oscilacin 0 y la

frecuencia de oscilacin es:

18

f 20

Luego

gg

f

2

1

22

0

El inverso de la frecuencia, se denomina perodo y esta dado por

T = Periodo del pndulo simple

gfT

2

1 = Longitud del pndulo

g = Aceleracin de gravedad

- SEGUNDO MTODO:

Figura (1.2.2-1.2): Pndulo Simple que oscila en el plano y z

De acuerdo con la fig. (1.1.2-1.2):

19

El momento de fuerza respecto al punto del eje de giro es:

sengmfrT xx

)( (4)

El momento angular respecto al punto de giro es:

vmprJ XX

)(

Pero la velocidad tangencial se expresa en funcin de la velocidad angular mediante,

dt

dv

Entonces

dt

dmJ X

2

Utilizando la ecuacin dinmica de rotacin

dt

dJ XX

Se sigue que:

2

222

dt

dm

dt

d

dt

dmTX

(5)

Igualando las expresiones (4) y (5):

sengmdt

dm

22

Significado por m :

02

2

sengdt

d

Dividendo por

02

2

sen

g

dt

d

Haciendo la aproximacin 0sen

20

Se obtiene:

02

2

g

dt

d

Usando la definicin:

g20

Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple,

0202

2

dt

d (6)

- TERCER MTODO:

Figura (1.2.2-1.3): Pndulo Simple

A partir del principio de conservacin de la energa

UKE (7)

Donde la energa cintica K est dada por

21

2

2222

2

1

2

1

2

1

dt

dmmvmK

La energa potencia U est dada por

hgmU

Pero

)cos1(cos h

Entonces,

)cos1( gmU

Luego la energa total E es:

)cos1(2

1 2

gm

dt

dmE

Teniendo en cuenta el desarrollo en serie

...!4

1

!2

11cos 42

Para pequeo, se hace la siguiente aproximacin:

2

2

11cos

Entonces la ecuacin (7) puede escribirse como:

2

2

2

2

111

2

1

gm

dt

dmE

Simplificado

2

2

2

2

1

2

1

gm

dt

dmE

Transponiendo trminos para despejar dt

d, se tiene:

2

2

2

2

1

2

1

gmE

dt

dm

22

Entonces

22

2

2

12

gmE

mdt

d

Luego

2

2

2

g

m

E

dt

d

Factorizando

g

2

2

gm

Eg

dt

d (8)

Para = 0 siendo 0 la mxima amplitud de oscilacin,

La energa potencial es

EgmU 202

1

Por consiguiente,

gm

E220

Reemplazando en (8):

22

0

g

dt

d

Separando variables:

tdgd

220

Integrando:

23

tdgd

t

0

22

01

Siendo 1 el valor de para t = 0

La integral elemental de la izquierda, est dada por:

tg

senarc

10

Luego:

tg

senarcsenarc

0

1

0

Transponiendo trminos,

0

1

0

senarct

gsenarc

Haciendo 0

1

senarc

Se obtiene:

t

gsenarc

0

Aplicando la funcin sen a ambos miembros

t

gsensenarcsen

0

Luego,

t

gsen

0

Por tanto, la solucin correspondiente a un oscilador armnico simple es:

tsen 00 (9)

Siendo

24

g0

La representacin grfica de la funcin

tsen 00

Puede apreciarse en la fig. (1.2.2-1.4).

Figura (1.2.2-1.4): Elongacin de un M.A.S en funcin del tiempo

El valor de para 0t se designa por 1 y es igual a sen0 , siendo 0 la

amplitud del movimiento y la fase inicial del mismo.

OBSERVACIONES:

1) Las siguientes expresiones son soluciones de la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple

ti

e

t

tsen

0

0

00

00

cos

2) Para pequeo, cos puede calcularse da la siguiente manera:

25

Usando el teorema de Pitgoras

222 cos sen

Como es pequeo, se hace la aproximacin sen .

Entonces:

222 cos

Despejando cos ,

222cos

Factorizando 2

222 11cos

Simplificando

21cos

El desarrollo en serie del binomio de newton es

....

!2

1

!11)1(

2

xn

nxn

x n

Reemplazando x por 2 y n por 2

1 se obtiene

26

....!2

12

1

2

1

2

11)1(

2222

12

Despreciando los trminos que contengan potencias de 4 en adelante, se sigue que

221

2

2

111

Por consiguiente:

22

2

111cos

3) Si no es pequeo el movimiento NO es armnico simple y se denomina Movimiento Anarmnico. Para este caso el perodo est dado por

...

264

9

24

112 0402

sensen

gT

Si se toma el primer trmino del desarrollo en serie, el perodo corresponde al de un pndulo simple que se mueve con Movimiento Armnico Simple.

El desarrollo en serie tambin puede escribirse as:

...24

3

2

1

22

11 04

2

3

2

2

02

2

2

sensen

Para situaciones prcticas, es suficiente tomar los dos primeros trminos del desarrollo en serie, as:

24

112 02

sen

gT

No obstante, puede substituirse 02

1sen por 0

2

1 , dando por resultado

20

16

112

gT

4) Puede disearse un pndulo cuyo perodo es independiente de la amplitud y

se denomina pndulo cicloidal, cuyo perodo siempre es g

aT 4 , siendo a el

radio del crculo que genera la cicloide.

27

5) Los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno,

...!5!3

53 sen

...!4!2

1cos42

Pueden obtenerse fcilmente, con la ayuda del teorema de Taylor, de la siguiente manera:

Segn Taylor ...0!2

002

fx

fxfxf

Para el desarrollo en serie del seno se tiene:

...0cos!3

0!2

0cos032

sensensen

Sustituyendo los valores de sen 0 y cos 0, se sigue que:

...!5!3

53 sen

Anlogamente, para la funcin coseno se tiene:

...0!3

0cos!2

00coscos32

sensen

Sustituyendo los valores de 0sen y 0cos se obtiene:

...!4!2

1cos42

6) El exponente complejo se obtiene de la siguiente forma:

De acuerdo al desarrollo en serie del coseno

...!4!2

1cos42

(1)

Segn el desarrollo en serie del seno

...!5!3

53 sen (2)

Multiplicando la expresin (2) por j se tiene:

28

...!5!3

53

jjjsenj (3)

Sumando las expresiones (1) y (3), se sigue que

!4!3!21cos

432

jjsenj (4)

Recordando que (-1) puede expresarse como 2j , la expresin (4) puede

reescribirse del siguiente modo:

...

!...

!3!21cos

32

n

jjjjsenj

n

(5)

Donde, precisamente, el miembro de la derecha de la ecuacin (5) tiene la forma

del desarrollo de la funcin exponencial, por tanto

jesenj cos (6)

La ecuacin (6), proporciona una conexin clara entre la geometra plana (representada por las funciones trigonomtricas) y el algebra (representada por la funcin exponencial) como lo ilustra la fig. (1.2.2-1.5).

Figura (1.2.2-1.5)

Donde,

x0 = Eje real

y0 = Eje imaginario

29

A0 = cos

AP = sen

P0 = tiene de longitud la unidad

z multiplicada por je , puede describirse en trminos geomtricos, como una

rotacin positiva de valor del vector representado por z , sin ninguna alteracin de su longitud.

1.2.2-2 SISTEMA MASA-RESORTE

DEFINICIN: Es un sistema fsico que consta de una masa m sujeta al

extremo de un resorte de constante elstica k , el cual se considera que carece de

masa.

Sistema masa resorte


PROCEDIMIENTO: A partir de la segunda ley de newton, del principio de conservacin de la energa o de algn otro mtodo, se determina la ecuacin diferencial del movimiento. Su solucin es funcin del tiempo y se expresa en trminos de la frecuencia.

PRIMER MTODO

A partir de la segunda ley de newton

30

2

2

dt

xdmamF (1)

La fuerza ejercida por el resorte, apunta hacia la posicin de equilibrio y est dada por la ley de Hooke.

xkF (2)

Igualando (1) y (2)

xkdt

xdm

2

2

Transponiendo trminos

02

2

xkdt

xdm

Dividendo por m

02

2

xm

k

dt

xd

Definiendo

2

0m

k

Se sigue que

0202

2

xdt

xd (3)

Que corresponde a la ecuacin diferencial de un Movimiento Armnico Simple.

Las soluciones de la anterior ecuacin, son armnicas, es decir funciones

senos cosenos de t0 .

En general, su solucin puede escribirse en una de las siguientes formas:

x = tsenA 0

x = tA 0cos (4)

x = t

eA 0

Siendo

31

x = Elongacin

A = Mxima elongacin o amplitud

0 = Frecuencia angular natural

t0 = Fase del movimiento

x = Fase inicial

El periodo esta dado por:

k

mT

2

2

0

(5)

SEGUNDO MTODO:

De acuerdo al principio de conservacin de la energa,

UKE (6)

La energa cintica k , se define mediante

2

2

1vmK (7)

La energa potencial U , se define mediante

2

2

1xkU (8)

Reemplazando (7) y (8) en (6):

22

2

1

2

1xkvmE (9)

Para este oscilador la velocidad v est dada por:

dt

dxv

Por lo tanto la ecuacin (9) puede reescribirse as:

2

2

2

1

2

1xk

dt

dxmE

Derivando respecto al tiempo se tiene:

32

2

2

2

1

2

1xk

dt

dxm

dt

d

dt

dE

Entonces

dt

dxxk

dt

xd

dt

dxm

2

1.2

2

1.20

2

2

Simplificando y dividiendo por m

xm

k

dt

xd

2

2

0

Usando la denotacin

m

k20


0202

2

xdt

xd (10)

OBSERVACIONES:

1) Para 0t , se obtiene la elongacin inicial, as:

senAxx t 00 (11)

2) Derivando la expresin de x respecto al tiempo, se obtiene la velocidad v ,

As:

tAtsenAdt

d

dt

dxv 000 cos

Para 0t , se obtiene la velocidad inicial, as:

cos000 Avv t (12)

3) La fase inicial x , puede obtenerse en trminos de la elongacin inicial y para

la velocidad inicial, as:

De la ecuacin (11) A

xsen 0 (13)

33

De la ecuacin (12) A

v

0

0cos

(14)

Dividiendo la Ec. (13) por la Ec. (14)

0

00

0

0

0

cos v

x

A

vA

x

sen

Por lo tanto

0

00tanv

x

Entonces,

0

001tanv

x (15)

4) La amplitud puede hallarse en trminos de la elongacin y la velocidad inciales, as:

De la ecuacin (13) y la ecuacin (14), se sigue que

2

0

0

2

022 cos

A

v

A

xsen

Usando el valor de la identidad trigonomtrica:

1cos 22 sen

Se sigue que:

22

0

2

0

2

2

01A

v

A

x

Despejando :2A

2

0

2

02

0

2

vxA

Luego:

34

2

0

2

02

0

vxA (16)

5) La ley de Hooke establece que la fuerza es proporcional al desplazamiento, pero va dirigida en sentido contrario a est.

6) Usando la identidad trigonomtrica

2cos

sen

se demuestra que

tsenAx 0

es completamente equivalente a

tAx 0cos

si se escoge como 2

7) Si el desplazamiento x es una funcin coseno, el desplazamiento tiene su

mximo valor para 0t . El desplazamiento es mnimo para 0x (cuando

2/0 t ), en el centro de la trayectoria de la oscilacin.

8) Si la velocidad xv es una funcin seno, su valor es cero pero para 0t . la

velocidad tiene su mxima magnitud A cuando el desplazamiento es A . En otras palabras, la velocidad es mayor cuando el desplazamiento es cero y la velocidad es cero cuando la partcula est ms lejos de su posicin de equilibrio.

9) La aceleracin xa es, como el desplazamiento, una funcin coseno; Por

consiguiente la aceleracin esta siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria de la oscilacin.

10) La aceleracin tiene su mxima magnitud si est lo ms distante de 0x (y, por consiguiente, cuando la velocidad es cero). la aceleracin es

cero, cuando el desplazamiento es cero (y por consiguiente, cuando la velocidad es mxima).

11) La aceleracin es proporcional al desplazamiento pero de sentido opuesto.

12) La solucin general de un Movimiento Armnico simple es

tDtsenBx 00 cos

35

Donde B y D son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones inciales del movimiento.

Derivando en funcin del tiempo se obtiene la velocidad y la aceleracin, as:

tsenDtBdt

dxv 0000 cos

tDtsenBdt

dva 0

2

00

2

0 cos

En general para 0t : Dxx t 00

0

0

000

v

BBvv t

La eleccin de la forma de la solucin, es normalmente cuestin de conveniencia.

1.2.2-3 PNDULO FSICO O PNDULO COMPUESTO:

DEFINICIN: Es un sistema fsico, compuesto por un cuerpo rgido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la accin de la gravedad, como se muestra en la fig. (1.2.2-3)

Figura (1.2.2-3): Pndulo fsico

36


PROCEDIMIENTO: A partir de la ecuacin dinmica de rotacin del cuerpo rgido, se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento correspondiente a un oscilador armnico simple, as:

La componente z del torque actuante sobre el cuerpo es:

senbgmTz (1)

Siendo b la distancia del centro de masa el eje de oscilacin.

De la ecuacin dinmica de rotacin

2

2

dt

dIITZ

(2)

Siendo I el momento de inercia del cuerpo, alrededor del eje de oscilacin.

Igualando las ecuaciones (1) y (2)

senbgmdt

dI

2

2


02

2

senbgmdt

dI

Con la aproximacin sen

Se obtiene

02

2

bgmdt

dI

Dividendo por I se obtiene:

02

2

I

bgm

dt

d

Haciendo

I

bgm20


37

0202

2

dt

d

(3)

La frecuencia angular natural de oscilacin est dada por

I

bgm0 (4)

Por tanto, el perodo viene dado por

bgm

IT

2

2

0

(5)

Tngase en cuenta que:

T = Perodo de pndulo compuesto

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de oscilacin.

m = Masa total del pndulo

g = Aceleracin de gravedad

b = Distancia del centro de masa al eje de oscilacin.

1.2.2-4 PNDULO DE TORSIN

DEFINICION: Es un sistema fsico que consta de un cuerpo suspendido por un alambre que pasa por el centro de masa del cuerpo, como se muestra en la fig. (1.2.2-4).

Figura (1.2.2-4): Pndulo de torsin. El centro de la masa se encuentra en C.

38


PROCEDIMIENTO: Usando la ecuacin dinmica de rotacin y teniendo en cuenta que cuando el cuerpo se rota un ngulo a partir de su posicin de equilibrio, el alambre se tuerce, ejerciendo un torque alrededor de 0C, que se opone al desplazamiento y su magnitud es proporcional a este KT , siendo

k el coeficiente de torsin del alambre, se obtiene la ecuacin diferencial del

movimiento, as:

De la ecuacin dinmica de rotacin

2

2

dt

dII

(1)

Pero

K (2)

Entonces, igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

Kdt

dI

2

2

Luego,

02

2

Kdt

dI

Dividendo por el momento de inercia I , se sigue que:

02

2

I

K

dt

d (3)

La ecuacin (3) corresponde a la ecuacin diferencial del Oscilador Armnico Simple, con

I

K0 ,

Por lo tanto, el perodo de oscilacin es:

K

IT

2

2

0

,

Esta ecuacin es importante porque permite determinar experimentalmente el momento de Inercia de un cuerpo cuando se conoce la constante de torsin K .

39

1.2.3 ENERGA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE:

De acuerdo al principio de conservacin de la energa

UKE (1)

El promedio denotado por:

UKE

Usando las propiedades del valor promedio

UKE (2)

Consideremos que la elongacin del oscilador armnico es

tsenAx 0

Entonces, su velocidad es

tAdt

dxv 00 cos

Por lo tanto la energa cintica est dada por:

200 cos2

1tAmK

Promediando

tAmK 0222

0 cos2

1

Teniendo en cuenta que el valor promedio del t02cos es , se sigue que:

22

04

1AmK (3)

La energa potencial est dada por

tsenAkxkU 0222

2

1

2

1

Promediando la energa potencial se obtiene:

tsenAkU 022

2

1

40

Evaluando el valor promedio de tsen 02 , se tiene:

22

0

2

4

1

4

1AmAkU (4)

Reemplazando la ecuacin (3) y la ecuacin (4), en la ecuacin (2), se tiene:

22

0

22

04

1

4

1AmAmE

Efectuando la suma,

EAmE 2202

1 (5)

Obsrvese que como la energa total es una constante, entonces

EE

1.2.4 POTENCIA PROMEDIO DE UN OSCILADOR ARMNICO SIMPLE:

La expresin para la potencia instantnea es:

dt

dEP

Promediando

0dt

dEE

dt

dP

La potencia promedio es nula por cuanto la energa es constante.

OBSERVACION:

El promedio ( media) de una funcin )(tf en el tiempo est dado por:

tdtfT

tf

T

0

1

Donde el parntesis angular indica el promedio en el tiempo y T es el perodo

de la funcin.

Para el caso de la funcin tsen 02 , tenemos:

tdtsenT

tsen

T

0

2

0

0

2 1

41

Pero

2

2cos1 00

2 ttsen

Entonces,

td

t

Ttsen

T

2

2cos11 0

0

0

2

Luego

tdtT

tdT

tsen

TT

0

00

0

2 2cos2

11

2

11

Evaluando las integrales

2

1

2

110

2

T

Ttsen

Tngase en cuenta que

TT

tsentdt00

0

0

0

22

12cos

Reemplazando por los lmites de la integral

022

12cos 0

0

0

0

senTsentdt

T

0

Entonces

042

122

2

12cos

00

0

0

sensentdto

o

1.2.5 ANALOGA ELCTRICA

El sistema elctrico anlogo aun oscilador armnico simple mecnico, es un circuito LC , tambin llamado circuito tanque. El circuito consta de un condensador C , un inductor L y un interruptor dispuesto en serie como se muestra

en la fig. (1.2.4)

42

Figura (1.2.4): Circuito LC en serie

OBJETIVO: Determinar la frecuencia natural de oscilacin.

PROCEDIMIENTO: A partir de la ley de Kirchhoff de voltaje se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple. Su solucin consiste en encontrar la carga sobre el condensador cuando el interruptor se cierra en 0t , teniendo en cuenta que el condensador tiene inicialmente una

carga 0q .

Empleando la ley de Kirchhoff de voltajes se obtiene:

0dt

diL

C

q (1)

Teniendo en cuenta que:

dt

dqi

Reemplazando el valor de i en la ecuacin (1) se sigue que:

02

2

C

q

dt

qdL (2)

Dividendo la ecuacin (2) por L se obtiene:

01

2

2

q

LCdt

qd (3)

Definiendo:

43

LC

120

Se llega a la ecuacin diferencial de un oscilador armnico simple:

0202

2

qdt

qd (4)

Siendo LC/10 la frecuencia angular natural del sistema.

La solucin general de la ecuacin (4) es:

tBtsenAtq 00 cos (5)

Teniendo en cuenta que en 0t , 0qq se sigue que:

Bqq t 0)0(

Adems, en 0t , 0 idt

dq por lo tanto,

tsenBtAdt

dqi 0000 cos

000cos 00000

senBAdt

dq

t

Por consiguiente 0A

Entonces

tLC

BtBtq1

coscos 0 (6)

1.3 ANLISIS DE ROZAMIENTO

La mayor parte de sistemas de ingeniera, durante su movimiento oscilatorio, experimental friccin rozamiento que construya una forma de amortiguamiento. Existe la friccin seca de coulomb originada entre superficies deslizantes secas, donde la fuerza de rozamiento es constante NF .

Existe friccin viscosa, ejercida por fluidos, la cual es en muchos casos

proporcional a la velocidad, pero dirigida en sentido opuesto a ella vvbF .

44

Si el amortiguamiento es fuerte, el movimiento se denomina sobreamortiguado y no presenta oscilacin. Si el amortiguamiento es pequeo, el movimiento se llama subamortiguado, en cuyo caso la oscilacin es posible.

1.3.1 FUERZA DE FRICCIN VISCOSA:

Forma parte de una de las cuatro principales fuerza de resistencia, a saber:

1) Resistencia de friccin, debida ala resistencia coulomb ordinaria en vas o correderas.

2) Resistencia del medio fluido en que el cuerpo se mueve.

3) Resistencia de estela, debida a la formacin de torbellinos en el medio fluido detrs del mvil.

4) Resistencia de onda, debida a la formacin de ondas radiadas, desde el mvil al medio que la rodea.

La mayora de los sistemas de ingeniera, durante su movimiento vibratorio, encuentran friccin o resistencia en forma de amortiguamiento, tal es el caso de barcos de agua, de aviones y de proyectiles en el aire.

DEFINICIN: Es una fuerza resistente que es funcin de la velocidad relativa del cuerpo respecto al medio fluido y que siempre se opone al movimiento.

En general,

dt

dxbvbvF f

Siendo b una constante positiva denominada coeficiente de amortiguamiento.

La ecuacin de movimiento de una partcula, que se mueve nicamente bajo la accin de una fuerza de friccin viscosa, se obtiene de la siguiente manera:

A partir de la segunda ley de Newton:

2

2

dt

xdmamF (1)

De la ecuacin dinmica de translacin se sigue que

2

2

dt

xdm

dt

dxbFF (2)

Que puede reescribirse como:

45

vbdt

dvm (3)

Separando variables

tdm

b

v

dv ,

Integrando se obtiene:

tv

v

tdm

b

v

dv

00

, (4)

En donde 0v es la velocidad para 0t

Evaluando las integrales se sigue que

tm

bvn

v

v

0

Por tanto, teniendo en cuenta los lmites de integracin se obtiene:

tm

bvnvn 0

Usando propiedades logartmicas

tm

b

v

vn

0

Y definiendo la constante T , llamada tiempo de relajacin, por la relacin

b

m ,

Se obtiene

t

v

vn

0

Por consiguiente

// 0 tvvn ee

46

Teniendo en cuenta la propiedad de los logaritmos naturales: ,Ne Nn se sigue

que:

/

0

tev

v

Despejando v se obtiene:

/0

tevv (5)

La ecuacin (5) pone de manifiesto que la velocidad disminuye exponencialmente con el tiempo, siendo amortiguada por la constante de tiempo T . La fig. (1.3.1) muestra la grfica de la evolucin en funcin del tiempo, dad por la ecuacin (5).

Figura (1.3.1): Grfica de la expresin funcional

t

evv 0

El tiempo de relajacin efectivo para la energa cintica se obtiene de la siguiente manera:

Teniendo en cuenta que la disminucin de energa cintica de una partcula, viene dada segn la ecuacin (5) por:

47

TtevmvmK /2202

2

1

2

1

Definiendo 0K por:

2

002

1vmK

Se puede escribir K , mediante:

/20

teKK

Diferenciando mediante el tiempo:

/20

2 teT

Kdt

dK

Por consiguiente

2

2

KK

dT

dK

Que se muestra claramente que el tiempo de relajacin efectivo es:

2

1.3.2 ANALOGA ELCTRICA:

El circuito elctrico anlogo al sistema mecnico consiste de una masa sometida a una fuerza de friccin viscosa, es un circuito RL , como lo ilustra la figura (1.3.2-1)

Al quitar bruscamente la tensin aplicada al circuito, cambiando el conmutador de A a B , la ecuacin que describe el circuito, se obtiene as:

48

Figura (1.3.2-1) Circuito RL en serie

A partir de la ley de Kirchhoff de voltajes:

dt

diLRi 0 (1)

Separando variables

tdL

R

i

di ,

Integrando se sigue que

tdLR

i

di

Estableciendo la condicin inicial que para 0,0 Iit , se obtiene:

ti

I

tdL

R

i

di

00

Efectuando la integral

tL

Rin

i

I

0

Reemplazando por las fronteras indicadas

tL

RInin 0

Usando propiedades de los logaritmos, se encuentran que:

49

tL

R

I

in

0

Aplicando antilogaritmo

tL

R

eI

i

0

,

Despejando i :

tLReIi /0 (2)

Haciendo uso de la definicin del tiempo de relajacin:

R

L

Se obtiene

/0

teIi (3)

La grfica correspondiente a la ecuacin 83), est dada la fig. (1.3.2-2).

Figura (1.3.2-2) Grafica de la expresin funcional /

0

ieIi

1.4 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO LIBRE (M.A.A.L)

DESCRIPCIN: Un sistema fsico que describa este movimiento, est formado por una partcula oscilante de masa m que efecta su movimiento a lo

50

largo del eje x , bajo la accin de la fuerza de un resorte de constante k y de una

fuerza amortiguadora que denominaremos fuerza de friccin viscosa, con coeficiente de amortiguamiento , como lo ilustra la figura (1.4).

Figura (1.4-1) Oscilador Armnico Amortiguado Libre.

OBJETIVOS:

1) Determinar la frecuencia angular de amortiguamiento.

2) Diferencial las soluciones y naturaleza del movimiento mediante el

anlisis del discriminante 202 de la ecuacin caracterstica.

3) Distinguir los diferentes casos: Subamortiguado, crticamente amortiguado y sobreamortiguado, que son conocidos con los nombres de: Movimiento oscilatorio amortiguado, movimiento aperidico critico y movimiento aperidico.

4) Reconocer las graficas de las elongaciones contra el tiempo para los diferentes casos

PROCEDIMIENTO: A partir de la Segunda Ley de Newton se obtiene la ecuacin diferencial del movimiento de un Oscilador Armnico Amortiguado Libre (O.A.A.L.). Se toma una solucin de prueba y se sustituye en la ecuacin diferencial obtenida, encontrndose la ecuacin caracterstica que tiene dos soluciones que nos permiten determinar La solucin general de la ecuacin diferencial de un Oscilador Armnico Libre, como puede verse a continuacin.

A partir de la Segunda Ley de Newton:

amF (1)

Por tanto

51

amvbxk

Usando las definiciones de velocidad y aceleracin para un movimiento lineal, se sigue que

2

2

dt

xdm

dt

dxbxk


02

2

xkdt

dxb

dt

xdm (2)

Dividendo por m

02

2

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

Haciendo uso de las definiciones

m

k20 Y

m

b2

Se obtiene la ecuacin diferencial de un oscilador armnico amortiguado libre

02 202

2

xdt

dx

dt

xd (3)

Tomando como solucin de prueba

treAx

Y reemplazando en la ecuacin (3), se obtiene:

02 202

2

rtrtrt

eAtd

eAd

td

eAd

Efectuando la derivada:

02 202 rtrtrt eAeAreAr

Simplificando por rteA se obtiene la ecuacin caracterstica

02 202 rr (4)

La ecuacin (4), tiene dos soluciones o races, a saber:

52

2

422 202

21

r (5)

Es decir,

2

0

2

1 r , y 2

0

2

2 r (6)

Por lo tanto, la ecuacin diferencial de movimiento es:

trtreAeAx 21 21 (7)

Reemplazando los valores de las races se obtiene:

tt

eAeAx

20

220

2

21

(8)

CASOS:

Los tres posibles casos que aparecen, obedecen al valor del discriminante,

es decir, al valor del binomio, 202 que aparece bajo el signo radical en las

races dadas por la ecuacin (6).

Tngase en cuenta que:

1) Si 202 es una cantidad positiva, las races son reales y desiguales.

En tal caso el movimiento se denomina sobreamortiguado.

2) Si 202 es una cantidad negativa, las races son imaginarias y

desiguales. En este caso el movimiento se denomina subamortiguado.

3) Si 202 es cero, las races son reales e iguales. En este caso el

movimiento se denomina crticamente amortiguado.

1.4.1 CASO SOBREAMORTIGUADO:

Se presenta cuando 202 0, es decir 2

2

0 . Haciendo las races

iguales a 1 y 2 , se tiene:

2

0

2

1

2

0

2

2

53

Siendo 1 y 2 nmeros reales positivos. Por consiguiente

tteAeA 21 21

(1)

Este caso se conoce como caso de pulso muerto o movimiento aperidico. La amplitud se aproxima exponencialmente a cero conforme crece y no se efecta ninguna oscilacin como puede observarse en el grafico mostrado en la fig. (1.4.1).

Figura (1.4.1) Grafica de x contra el tiempo para el caso sobre amortiguado.

El desplazamiento inicial 0 se obtiene para 0t , as:

210

2

0

100 AAeAeAxx t (2)

Para obtener los valores de 1A y 2A se produce de la siguiente manera:

Derivando la expresin (1) se obtiene la expresin para la velocidad, as:

tteAeA

dt

dxv 21 2211

(3)

Denotando por 0v el valor de la velocidad para 0t se tiene:

0

22

0

110)0( eAeAvv t

Pero 10 e , entonces:

22110 AAv (4)

Despejando 2A de la ecuacin (2) se sigue que

102 AxA

54

Reemplazando en la ecuacin (4)

102110 AxAv

Factorizando 1A se tiene:

021210 xAv

Despejando 1A , se sigue que:

12

020

1

xvA (5)

Anlogamente, despejando 1A de la ecuacin (2), se tiene:

201 AxA

Reemplazando en la ecuacin (4)

222010 AAxv

Factorizando 2A se sigue que:

012120 xAv

Despejando 2A se obtiene:

21

010

2

xvA (6)

1.4.2 CASO SUBAMORTIGUADO

Se presenta cuando el discriminante 0202 , es decir 20

2 .

Para este caso tngase en cuenta que:

220220202 11 220202 j

Por tanto la ecuacin (1) puede escribirse como:

tjtj

eAeAx

22

022

0 '

2

'

1

Factorizando te :

55

tjtjt eAeAex22

022

0 '

2

'

1

Usando un teorema de Euler:

tsenjtAtsenjtAex t 220220'2220220'1 coscos Factorizando se sigue que:

tsenAAjtAAex t 220'2'1220'2'1 cos

Para que el desplazamiento de un problema fsico resulte real '2'

1 AA y '2'1 AAj deben ser reales, por tanto '1A y

'

2A deben ser nmeros complejos conjugados.

Haciendo

'

2

'

11 AAA

'2'12 AAjA ,

En donde 1A y 2A son reales, se obtiene la siguiente solucin:

tsenAtAex t 22022201 cos (7) Que pueden escribirse mediante

teAx t 220cos (8)

tseneAx t 220 (9) Dnde 2/ .

En la expresin anterior A y quedan determinador por las condiciones inciales

0x y 0v as:

Para 0t senAxx t 00 (10)

Derivando la ecuacin (9):

tt etsenteAdt

dxv 220

22

0

22

0 cos

Por tanto, para 0t :

56

senAvv t cos22000 (11) De la ecuacin (10):

A

xsen 0 (12)

De la ecuacin (11):

22

0

00cos

A

xv (13)

Dividiendo la ecuacin (12) por la ecuacin (13) se sigue que:

00

22

00tan

xv

x

Elevando las ecuaciones (12) y (13) al cuadro se obtiene:

2

2

02

A

xsen (14)

2202

2

002cos

A

xv (15)

Sumando las ecuaciones (14) y (15) se llega a:

2202

2

0

2

21

A

xv

A

x

Despejando 2A :

22

0

2

02

0

2

xvxA

Sacando la raz cuadrada a ambos miembros, se tiene:

22

0

2

002

0

xvxA (16)

La representacin grafica de la solucin general dada por la ecuacin (9), se muestra en la fig. (1.4.2).

57

Figura (1.4.2) Grfica de x contra t para el caso subamortiguado.

El momento no es peridico, ya que las amplitudes de ciclos sucesivos decrecen. Sin embargo, como los periodos de ciclo sucesivos son iguales, este movimiento se denomina movimiento con tiempo peridico o movimiento oscilatorio amortiguado, siendo el periodo:

22

0

2

T (17)

Este periodo es tambin llamado seudoperodo y suele expresarse como:

2/12020 /12

T (18)

Como el periodo propio del sistema est dado por:

0

0

2

T (19)

La ecuacin (18), se expresa en funcin del periodo propio mediante:

2/12020

/1

TT

58

DECREMENTO LOGARTMICO:

El decremento logartmico, se define como el logaritmo natural de la razn entre dos amplitudes sucesivas.

La razn entre dos amplitudes sucesivas, pueden expresarse mediante:

Tt

t

m

m

eA

eA

x

x

Simplificando por A y reemplazando el valor de T dado por la ecuacin (17), se sigue que:

22/21

ee

e

x

x

t

t

m

m

Simplificando por te , se obtiene:

eex

x

m

m

220/2

1

Donde el decremento logartmico esta dado por:

22

01

2

m

m

x

xn (22)

Para el caso en el cual la disminucin de la amplitud es pequea

x

xn

x

xxn 1

Utilizando el desarrollo en serie

....,3

1

2

11

32

x

x

x

x

x

x

x

xn

En donde, teniendo en cuenta que: xx , y que los trminos de orden superior

a xx / se desprecian, se obtiene:

x

x (23)

59

1.4.3 CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO:

Se presenta cuando 0220 , es decir 2

0

2 , o sea 0

0

2

T

.

La solucin de la ecuacin diferencial de movimiento est dada por:

teAtAx 21 (24)

La velocidad est dada por:

teAtAdt

d

dt

dxv 21

Luego:

121 AeAtAvt

teAtAAv 211

Teniendo en cuenta que para 0t :

210 AAvv (25)

20 Axx (26)

Entonces, reemplazando (26) en (25) se sigue que:

010 xAv

Despejando 1A , se obtiene:

001 xvA (27)

Reemplazando (26) y (27) en (24), se obtiene:

textxvx 000

La expresin anterior significa que x es siempre positivo y tiende hacia cero

cuando t aumenta indefinidamente, como se puede apreciar en la figura (1.4.3).

60

Figura (1.4.3) Grfica de la elongacin contra el tiempo correspondiente a un oscilador crticamente

amortiguado.

CASOS PARTICULARES:

Si consideramos dos grupos, de condiciones inciales, dada por:

GRUPO (1): 0xx ; 0v

GRUPO (2): 0x ; 0vv

Las soluciones para los diferentes casos del movimiento armnico amortiguado libre se pueden escribir de la manera, que a continuacin se deduce:

- Para el CASO SOBREAMORTIGUADO la solucin general est dada por:

tteAeAx 20 21

(1)

Si aplicamos el grupo (1) se condiciones inciales, se tiene:

2100 AAxx t (2)

Adems, tt

eAeAdt

dxv 21 2211

22110 0 AAv t (3)

De las ecuaciones (2) y (3) podemos encontrar los valores 1A y 2A de la

siguiente forma:

Multiplicando la ecuacin (2) por 1 , se obtiene:

61

211101 AAx (4)

Sumando la ecuacin (3) con la ecuacin (4), se sigue que:

22101 Ax

021

12 xA

(5)

Multiplicando la ecuacin (2) por 2 se obtiene:

221202 AA (6)

Sumando la ecuacin (6) con la ecuacin (3) se sigue que:

11202 Ax

012

21

A (7)

Reemplazando las ecuaciones (5) y (7) en la ecuacin (1) se obtiene:

tt

exexx 21 021

10

12

2

tt eexx 21 1212

0

(8)

Para el grupo (2) de condiciones inciales, se tiene:

210 0 AAx t (9)

221100 AAvv t (10)

Multiplicando la ecuacin (9) por 1 , se sigue que:

21110 AA (11)

Sumando la ecuacin (10) con la ecuacin (11) se obtiene:

2210 Av (12)

21

0

2

v

A (13)

62

Multiplicando la ecuacin (9) por 2 , se sigue que:

22120 AA (14)

Sumando la ecuacin (10) con la ecuacin (14) se obtiene:

1120 Av (15)

12

0

2

v

A (16)

Reemplazando la ecuacin (13) y la ecuacin (16), en la ecuacin (1) se obtiene:

tt ev

ev

x 21

21

0

12

0

(17)

tt eevx 2112

0

(18)

- Para el caso SUBAMORTIGUADO, la solucin general est dada por:

tseneAx t 220 (1) Haciendo la siguiente denotacin:

22

0 d

Se obtiene:

tseneAx dt (2)

Usando el grupo (1) de condiciones inciales, se sigue que:

senAxx t 00 (3)

Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo se obtiene:

tseneteAtd

xdv d

t

dd

t cos

senAv dt cos00

cosdsen (4)

63

dsen cos

dtan (5)

La ecuacin (2) puede escribirse mediante:

senttseneAx ddt coscos (6)

Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en La ecuacin (6) se sigue que:

A

xt

sentseneAx d

d

d

t 0cos

A

xt

A

xtseneAx d

d

d

t 00 cos

ttsenexx dd

d

t

cos0 (7)

Usando el grupo (2) de condiciones inciales, se sigue que:

0

0 000 sensenAx t

Adems:

senAvv dt cos00

Pero, 1cos0 sen

Por tanto:

dd AAv cos0

d

vA

0

Luego:

tsenev

x dt

d

0 (8)

64

- Para el caso CRITICAMENTE AMORTIGUANDO, la solucin general est dada por:

teAtAx 21 (9)

Usando el grupo (1) de condiciones inciales se tiene:

20 Axx (10)

Derivando la ecuacin (9) respecto al tiempo se tiene:

121 AeeAtAtd

xdv tt

120 0 AAv t (11)

021 xAA (12)

Reemplazar las ecuaciones (12) y (10) en la ecuacin (9) se llega a:

textxx 00 (13)

tetxx 10 (14)

Usando el grupo (2) de condiciones inciales se tiene:

20 0 Ax t (15)

Adems

11200 AAAvv t (16)

Luego

tetvx 0

Los casos particulares anteriormente descritos, se presenta grficamente en la figura (1.4.2).

66

1.4.4 ENERGIA PROMEDIO Y POTENCIA PROMEDIO DISIPADA:

La energa promedio correspondiente a un oscilador Armnico Amortiguado

Libre, para el caso limite de amortiguamiento dbil es decir, cuando 10 T , de

manera que ;0 d est dada por:

UKUKE (1)

UKE (2)

22

2

1

2

1xkvmE (3)

Para el caso subamortiguado la solucin o respuesta est dada por:

tseneAx t 220 Usando la siguiente denotacin

2

0

2

02

0

22

0

22

0 11

d

Y teniendo en cuenta que por definicin

2

1

Entonces

Si 10 T , se obtiene el caso dbilmente amortiguado, para el cual 0 d ,

entonces la solucin es:

tseneAx t 0 (4)

Derivando respecto al tiempo se obtiene:

tseneteAdt

dxv tt 000 cos

2/12

0

02

11

d

67

2000222 cos tsenteAv t

Luego la energa cintica promedio a lo largo del tiempo en un ciclo es:

tsent

tsenteAmK t

000

0

22

0

22

0

22

cos2

cos2

1

])()(cos2

)()(cos[2

1

000

0

22

0

22

0

22

tsent

tsenteAmK t

2

1

2

1

2

1 220

22 teAmK

220224

1 teAmK

Pero:

2

0

2

2

0

22

02

1

En donde se ha supuesto que 22/1 es despreciable respecto a 20 , entonces:

teAmK 22204

1 (5)

El promedio de la energa potencial energa potencial media es:

tseneAkU t 0222

2

1 (6)

Pero 20mk

Entonces

tseneAmU t 02222

02

1

Obsrvese que el factor te 2 se ha sacado del parntesis angular, por cuanto teA 22 no cambia mucho en un ciclo del movimiento, por tanto,

68

teAmU 22204

1 (7)

Reemplazando la ecuacin (5) y la ecuacin (7) en la ecuacin (1), se sigue que

tt eAmeAmE 2220222

04

1

4

1 (8)

teAmE 22202

1 (9)

La potencia media disipada est dada por la variacin de energa por unidad de tiempo con signo negativo:

teAm

dt

dE

dt

dP 2220

2

1

EeAmP t 2

2

12 2220

La potencia media disipada, tambin puede obtenerse hallando la media del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento por unidad de tiempo, con signo menos:

2vbvFP f

200022 cos tsenteAbP t

tsent

tsenteAbP t

000

0

22

0

22

0

22

cos2

cos

22

22

022 teAbP ;

Pero mb 2 y 20220 , entonces

EeA

mPt

22

222

2

0 ,

Como

1

2 , se obtiene:

EP

1

69

1.4.5 FACTOR DE CALIDAD Q

El factor de calidad Q de un sistema oscilatorio se define como 2 veces la

razn entre la energa promedio almacenada en un ciclo y la prdida media de

energa en un periodo.

periodounenenergiadePrdida

akmacenadaEnergiaQ 2

P

Ef

Pf

E

TP

EQ 2

122

P

EQ

La Q (Calidad cualidad caracterstica) de un oscilador es un parmetro sin

dimensiones.

Para un oscilador dbilmente amortiguado, es decir para el caso de bajas

perdidas de energa, puede hacerse la aproximacin 0 : Por tanto

00

P

EQ

En donde se ha hecho uso de la demostracin presentada en la seccin (1.4.4),

en la que se muestra que

P

E

Siendo T el tiempo de vida ( constante de tiempo) del decaimiento del oscilador.

Teniendo en cuenta que 2/1T , para fines prcticos se usa la definicin

2/1

00

22

Q

Siendo,

0 = Frecuencia angular de resonancia.

70

2/12 = Anchura completa de frecuencia angular a la mitad de potencia

mxima.

Q mide la agudeza del ajuste o sinfona.

Los valores de Q de algunos sistemas interesantes se muestran en la tabla

(1.4.5).

Tabla 1.4.5

Orden de magnitud de los valores de Q de algunos sistemas importantes 0f

es la frecuencia de resonancia aproximada del oscilador.

Sistema )(0 zHf Q

El sismgrafo 0.1 1

La tierra, para ondas ssmicas. 250 1400

Cuerda de piano o de violn. 103

La luna [ obtenido del impacto

del mdulo lunar Apolo 12]. 1 a 6 104

Resonador de microondas de

cavidad de cobre. 104

Cavidad de resonancia de microondas

hecha de material superconductor. 109 a 10

10 10

6 a 10

7

Lnea ptica tpica omitida por

osciladores atmicos de un tubo de

71

descarga a baja presin. 5 X 1014

107

Cavidad laser formada por dos

espejos uno al frente del otro. 1014

a 1015

108 a 10

9

1.4.6 ANALOGA ELCTRICA:

El oscilador elctrico anlogo a un oscilador mecnico armnico

amortiguado libre, est formado por una resistencia R , una autoinduccin L y un

condensador c , conectados en serie como se muestra en la fig. (1.4.6-1)

Usando la ley de Kirchhoff de voltajes se tiene:

0c

q

dt

diLiR (1)

Figura (1.4.6-1) circuito RLC en serie

Pero dt

dqi , entonces reemplazando en (1) se sigue que:

01

2

2

qctd

qdR

td

qdL (2)

Que tiene idntica k a la ecuacin del O.A.A.L. mecnico, dada por:

02

2

xktd

xdb

td

xdm (3)

Dividendo por L , se sigue que:

72

01

2

2

qLCtd

qd

L

R

td

qd (4)

Pero la ecuacin de un O.A.A.L. mecnico se puede escribir mediante:

02 202

2

xtd

xd

td

xd (5)

Entonces, comparando la ecuacin (4) con la ecuacin (5) se concluye que:

LC

120 y

L

R2 (6)

La tabla (1.4.6) muestra la analoga fuerza tensin, la cual se obtiene de

comparar la ecuacin (2) con La ecuacin (3).

TABLA 1.4.6

SISTEMA MECNICO

SISTEMA ELCTRICO

(ANALOGA FUERZA TENSIN)

m Masa (kg) L Autoinduccin (henrio)

x Desplazamiento (m) q Carga (culombio)

v Velocidad (m/s) i Corriente (A)

Coeficiente de amortiguamiento

(N-s/m)

R Resistencia (ohmio)

Constante elstica (N/m)

C

1 Inverso de la capacitancia ( 1F )

Usando la analoga se puede establecer que la solucin de la ecuacin (4)

es:

73

tL

R

LCseneqq

tL

R 2

20

2

1 (7)

La derivada de la ecuacin (1) con respecto al tiempo es:

01

2

2

ictd

idR

td

idL (8)

Dividendo por L se sigue que:

01

2

2

iCLtd

id

L

R

td

id (9)

Teniendo en cuenta que 2/10 /1 LC y que L

R2 , la ecuacin (9) se

puede escribir en forma ms concisa mediante

02 202

2

itd

id

td

id (10)

Para resolver esta ecuacin usaremos la funcin de prueba

tjeIi 0 (11)

Donde 0I es la amplitud y es la fase, las cuales deben ser cantidades reales.


tjeIjdt

di0 (12)

Derivando nuevamente respecto al tiempo se sigue que:

tjeIdt

id0

2

2

2

(13)

Reemplazando las ecuaciones (11), (12) y (13) en la ecuacin (10), se obtiene:

02 020002 tjtjtj eIeIjeI

74

02 0202 tjeIj (14)

Que se satisface para la solucin trivial 00 I

Si la amplitud es finita, necesariamente se requiere que:

02 202 j (15)

Multiplicando por (-1) se sigue que:

02 202 j (16)

La solucin de la ecuacin (16) es:

2

442 202

j (17)

22

0

j (18)

De este resultado surgen dos casos importantes, dando un comportamiento fsico

totalmente diferente. Uno es cuando es complejo, que ocurre cuando ,220 o

equivalente

2

2

1

L

R

LC, que corresponde al caso subamortiguado. El otro es

cuando 220 , en el que es puramente imaginario y se denomina caso

sobreamortiguado.

- CASO SUBAMORTIGUADO:

Tomando la solucin positiva de la ecuacin (18) (igualmente podra servir

la solucin negativa sin cambio en la respuesta), substituyndola en la ecuacin

(11) y tomando la parte real (puesto que solamente la parte real tiene significado

fsico para nosotros) llegamos al resultado siguiente:

teIi t cos0 (19)

Donde por brevedad hemos escrito

2

222

04

1

L

R

LC

75

La ecuacin (19) se obtiene de la siguiente manera:

De la ecuacin (11) se sabe que:

tjeIi 0

La solucin positiva de la ecuacin (18) es:

22

0 j

Reemplazando este valor de en la solucin anterior es obtener:

tjj

eIi22

0

0

Que puede volverse a escribir mediante:

tj

t eeIi22

0

0

Tomando la parte real se obtiene:

teIi t 2200 cos

La forma esencial de este resultado indica que la amplitud de la corriente decrece

exponencialmente. Adems, la frecuencia angular de oscilacin diferente de

0 , la frecuencia angular natural de oscilacin o frecuencia angular sin

amortiguamiento. Sin embargo, cuando R no es demasiado grande, no se

aparta en forma significante de 0 . La figura (1.4.6-2), ilustra la variacin de la

corriente con el tiempo: 0t es el tiempo para el cual el interruptor se cierra para

completar el circuito.

La lnea punteada muestra el decrecimiento de la amplitud en funcin del

tiempo.

La energa total almacenada en el sistema en un tiempo cualquiera es:

).(2

1)(

2

1)( 22 tvCtiLtu

76

Figura (1.4.6-2) Osciladores amortiguadas de la corriente en un circuito RLC en serie. La fase de la

ecuacin (19) se tomo igual a 2/ , as que para 0t 0i .

- CASO SOBREAMORTIGUADO:

El movimiento oscilatorio de un oscilador armnico cesa cuando la

frecuencia angular , dada por la ecuacin (18) es puramente imaginaria, as

que en tal caso la parte real del exponencial complejo je se convierte en una

funcin mono tnicamente decreciente.

A primera vista la ecuacin (18), muestra que el principio del movimiento no

oscilatorio ocurre cuando el amortiguamiento ha aumentado al punto en donde.

2

22

02

1

L

R

LC

2C

LR

Cuando esta situacin prevalece se dice que el sistema esta crticamente

amortiguado. La solucin de la ecuacin (10) viene a ser ahora

tetBAi

77

Donde A y B son constantes que estn determinadas por las condiciones

inciales.

1.5 MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADO FORZADO (M.A.A.F)

Cuando sobre un sistema est actuando una fuerza externa de la forma

tsenFtF 0 o tFF cos0 , durante su movimiento vibratorio, la vibracin se denomina forzada. La respuesta de vibracin tiene lugar al a misma

frecuencia de excitacin, aunque el sistema tambin tiende a vibrar en su propia

frecuencia natural.

Las excitaciones armnicas generalmente son producidas por el

desbalance en las maquinas rotatorias o por el movimiento de la maquina misma.

Consideramos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento

viscoso, excitado por una fuerza armnica tsenF 0 , como se indica en la figura

(1.5-1).

Figura (1.5-1) Oscilador Armnico Amortiguado forzado

Su ecuacin de movimiento es:

2

2

:dt

xdmFFFamF toraamortiguadresorte (1)

En donde

dt

dxbF

xkF

oraamortiguad

resorte

78

tsenFtF 0aplicadaexterior Fuerza

Por lo tanto,

22

td

xdmtF

td

xdbxk

tsenFxkdt

dxb

dt

xdm 02

2

(2)

Dividendo por m se obtiene:

tsenm

Fx

m

k

dt

dx

m

b

dt

xd0

2

2

(3)

tsenm

Fx

dt

dx

dt

xd 0202

2

2 (4)

La solucin de esta ecuacin consta de dos partes, la solucin complementaria y

la solucin particular, por lo tanto,

pc xxx (5)

La solucin complementaria es la correspondiente al caso de la vibracin libre

amortiguada y la solucin de prueba para la solucin particular es

tsenAxp 0 (6)

En donde 0A y se determinan de manera que se satisfaga la ecuacin

diferencial, teniendo en cuenta que 0A es la amplitud de la oscilacin y , es la fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.


tAdt

dxpcos0 (7)


tsenAdt

xd p0

2

2

2

(8)

Reemplazando las ecuaciones (6), (7) y (8) en la ecuacin (4) se sigue que

79

tsenm

F

tsenAtAtsenA

0

0

2

000

2 cos2

(9)

Factorizando la amplitud 0A y expandiendo las funciones tsen y tcos se obtiene:

tsenm

Fsentsent

senttsenA

0

22

00

]coscos2

coscos[

(10)

Factorizando tsen y tcos se sigue que:

tsenm

Ftsen

tsensenA

022

0

22

00

}cos]

cos2[]2cos[{

(11)

La ecuacin (11) se satisface si el coeficiente de tcos es cero, por tanto

0]cos2[ 2200 senA (12)

Pero 0A no es cero, luego:

0]cos2[ 220 sen (13)

cos2220 sen (14)

20

222

0

22

cos

sen (15)

2

0

2

1

2

0

2

2tan

2tan

(16)

Igualando los coeficientes de tsen se sigue que:

m

FsenA 02200 ]2cos[ (17)

senmF

A2cos

/22

0

00

(18)

80

Pero de la ecuacin (15) se puede construir el triangulo mostrado en la fig. (1.5-2),

que permite obtener las funciones sen y cos , as:

Figura (1.5-2) Triangulo rectngulo que permite determinar las funciones sen y cos

22220 2

2

sen (19)

22220

22

0

2

cos

(20)

Reemplazando las ecuaciones (19) y (20) en la ecuacin (18) se obtiene:

222202222

0

22

022

0

0

0

2

22

2

m

F

A (21)

22220

222

0

00

2

2

/

mFA (22)

222200

0

2

/

mFA (23)

Siendo 0A la amplitud del movimiento.

La respuesta ( desplazamiento px ) del sistema es:

81

22

02222

0

0 2tan

2

/

arctsen

mFxp (24)

Otra forma de obtener la amplitud 0A y la fase de la solucin particular o solucin de estado estacionario, es la siguiente:

Tomando la ecuacin (9) y haciendo )( t sucesivamente igual a 0 y a 2/ tenemos:

senm

FA 002 (25)

cos2

000

22

0m

Fsen

m

FA

(26)

Tngase en cuenta que en la ecuacin (25) se hizo uso de la relacin:

tt 0 (27)

Anlogamente en la ecuacin (26) se empleo la relacin

22

tt (28)

Elevando al cuadrado las ecuaciones (25) y (26) se obtiene:

2

2

02

02 senm

FA

(29)

22

02

0

222

0 cos

m

FA (30)

Sumando las ecuaciones (29) y (30) miembro se sigue que:

2

02

0

2222

0 ]2[

m

FA (31)

Despejando 0A de la ecuacin (31) se obtiene:

222200

0

2

/

mFA (32)

Dividiendo miembro a miembro la ecuacin (25) y la ecuacin (26) se sigue que:

82

220

2tan

(33)

22

0

2tan

arc (34)

Por tanto, la solucin particular px o solucin de estado estacionario de la

ecuacin diferencial de un oscilador armnico forzado (O.A.A.F) es:

]

2tan[

222

02222

0

0

arctsenm

F

xp (35)

La solucin completa de la ecuacin diferencial de un (O.A.A.F) es:

tsenmF

tseneAx t

2222

0

0

22

0

2

/ (36)

La solucin complementaria, suponiendo sub-amortiguamiento, depende de las condiciones inciales y se disipa exponencialmente. La solucin particular

representa efectos para un tiempo grande comparando con /1 .

El primer trmino, llamado transitorio, se disipa exponencialmente, quedando solamente el segundo termino llamado de estado permanente.

La figura (1.5-3) muestra la grafica de la elongacin en funcin del tiempo para un O.A.A.F., dada por la ecuacin (36).

Figura (1.5-3) Elongacin en funcin del tiempo de un Oscilador Armnico Amortiguado Forzado.

83

Definiendo el factor de frecuencia r ,

naturalfrecuencia

impulsorafrecuencia

f

fr

00

(37)

y el factor de amortiguamiento ,

naturalangularFrecuencia

ntoortiguamieante de amCons

t

0

(38)

La ecuacin (36) puede escribirse mediante:

tsen

rr

m

F

tseneAxt

22222

0

0

0

2

41

10

La amplitud de la solucin particular puede escribirse como:

stx

rr

m

F

A

22222

0

0

0

41

En donde

2222 4)1(

1

rr

es el factor de amplificacin, y

k

F

m

Fxst

0

2

0

0

es la deformacin esttica.

La figura (1.5-4) seala la grafica del factor de amplificacin contra el

factor de frecuencia r , usando el factor de amortiguamiento como parmetro.

84

Figura (1.5-4) factor de ampliacin contra el factor de frecuencia r .

1.5.1 RESONANCIA EN LA AMPLITUD:

La amplitud oA de la solucin particular de la ecuacin deferencial de un

O.A.A.F., es funcin de la frecuencia impulsora . Con el fin de encontrar la

frecuencia angular R a la cual la amplitud 0A es mxima, hacemos

00

d

dA (1)

Por lo tanto,

0

2

)(

2222

0

0

0

m

F

d

d

d

dA (2)

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OSCILACIONES 1