INDICE DE CONTENIDOS:Resumen..7Introduccin....8Objetivos.8Marco terico..9Oscilaciones9Algunas aplicaciones y usos del movimiento oscilatorio.......9Tipos de oscilaciones10Oscilaciones libres10Condiciones para las oscilaciones libres...10Caractersticas de las oscilaciones libres...11Leyes del pndulo simple..12Movimiento oscilatorio armnico.13Movimiento oscilatorio armnico simple.15Caractersticas del movimiento oscilatorio armnico simple...16Ecuaciones del movimiento oscilatorio armnico simple17Elementos caractersticos de un movimiento armnico simple19Posicin de equilibrio19Posicin (x)...20Amplitud (A).21Periodo (T)21Frecuencia de las oscilaciones..21Frecuencia cclica o angular..22Ecuacin de la aceleracin y la velocidad del movimiento armnico simple...23Velocidad en funcin de la posicin.....25Aceleracin en funcin de la posicin..26Ecuacin de la Velocidad instantnea......27Velocidad mxima28Velocidad minina..28Pndulo simple..29Leyes del Pndulo.32Ley del iscrono...33Ley de las longitudes.33Ley de la aceleracin de la gravedad36El pndulo fsico...37Pndulo de torsin.39Oscilaciones forzadas y resonancias.40

INDICE DE FIGURAS:Ilustracin 1...11Ilustracin 2...11Ilustracin 3...13Ilustracin 4...14Ilustracin 5...14Ilustracin 6...16Ilustracin 7...17Ilustracin 8...18Ilustracin 9...18Ilustracin10..19Ilustracin11..20Ilustracin12..20Ilustracin13..23Ilustracin14..24Ilustracin15..26Ilustracin16..29Ilustracin17..30Ilustracin18..31Ilustracin19..32Ilustracin20..34Ilustracin21..34Ilustracin22..37Ilustracin23..39Ilustracin24..41

I. RESUMEN:En la realizacin de este informe se analizarn fenmenos que abarcan las oscilaciones armnicas en un sistema. Llegando a conocerlas, sus ecuaciones, caractersticas y aplicaciones para un mejor uso en la ciencia. Conoceremos los tipos de movimientos diferenciando un movimiento oscilatorio de un movimiento peridico. Los tipos de movimiento tales como: la amplitud y la constante de los resortes y variacin de la posicin. Este laboratorio se realizo por etapas las cuales sern detalladas ms adelante.

II. ABSTRACT In the accomplishment of this experience there will be analyzed phenomena that include the harmonic oscillations in a system; This in this case to working is that of mass - spring. By means of whom we will analyze and demonstrate the law of Hooke for this system. We will analyze the behavior of this system when; by means of the tools offered in the laboratory, we change factors that must be had in bill at the moment of being employed at this type of movement you fell like: the extent and the constant of the springs and variation of the position. This laboratory was realized for stages which will be detailed later on.

III. INTRODUCCIN:En la naturaleza encontramos diversas formas de movimiento mecnico, pero uno de los que se encuentra ampliamente difundida en nuestro entorno es el movimiento vibratorio y oscilatorio, un ejemplo directo de este tipo de movimiento puede ser el vaivn de un pndulo; o el vaivn de una rama de un rbol por accin del aire, todos estamos familiarizados con otros ejemplos de oscilaciones: las vibraciones de las cuerdas de una guitarra, de nuestras cuerdas bucales cuando hablamos. Tambin estamos enterados sobre oscilaciones de otra naturaleza, en las ondas electromagnticas los vectores de campo elctrico y magntico oscilan, en los circuitos elctricos pueden tener voltajes y corrientes oscilantes, etc. A pesar de que mencionamos diferentes ejemplos de oscilaciones de otra naturaleza; el aparato matemtico que los describe es el mismo. Esto es de gran utilidad ya que si nosotros podemos describir cuantitativamente las oscilaciones tendremos la posibilidad de extender muchas resultados, por ejemplo a los circuitos oscilantes; a las vibraciones de los tomos y molculas en un slido. En esto radica la importancia de preocuparnos y estudiar las oscilaciones.Conocer el movimiento oscilatorio y sus elementos es un requisito indispensable para hacer una buena descripcin de las ondas de diversa ndole: mecnica o electromagntica.

VI. OBJETIVOS: Conocer que en la naturaleza estn difundidos los movimientos vibratorios u oscilatorios Diferenciar entre movimiento peridico y oscilatorio; adems e interpretar lo que es frecuencia y periodo de las oscilaciones. Reconocer que el movimiento armnico simple es el movimiento oscilatorio ms sencillo de describir tanto cualitativamente como cuantitativamente. Conocer las caractersticas cinemticas, dinmicas y energticas en un movimiento armnico simple. Estudiar y conocer el movimiento pendular.

V. MARCO TEORICO:1.- OSCILACIONES:Oscilacin, del latn oscillatio, es la accin y efecto de oscilar. Este verbo hace referencia a los movimientos de vaivn a la manera de un pndulo o, dicho de ciertos fenmenos, a la intensidad que crece y disminuye de forma alternativa con mayor o menor regularidad. Tambin se conoce como oscilacin a cada uno de los vaivenes de un movimiento oscilatorio. En diversos campos cientficos, la oscilacin es la variacin, perturbacin o fluctuacin de un sistema en el tiempo. Se conoce como oscilador armnico al tipo de sistema que, cuando se deja fuera de su posicin de equilibrio, regresa hacia ella mediante oscilaciones sinusoidales Para la fsica la oscilacin es un movimiento que repite de un lado a otro partiendo de una posicin de equilibrio. Un ciclo es el recorrido que supone ir desde una posicin a la otra y luego regresar, de manera tal que se pasa dos veces por la posicin de equilibrio. La frecuencia de la oscilacin es el nmero de ciclos por segundos, que se mide en hercios (Hz).2.- ALGUNAS APLICACIONES Y USOS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO: La oscilacin forzada del pistn sobre el cilindro del motor de un automvil. La oscilaciones de los electrones en los cables conductores derivados a un osciloscopio se muestran la razn de denominarse corriente alterna. Las oscilaciones de las partculas en un slido que ha sido golpeado En medicina la respuesta de nuestro corazn o de la cabeza a ciertos estmulos elctricos; registran seales vibratorias en una pantalla, placa o papel (electrocardiograma, electroencefalograma) que sirven para analizar, diagnstico clnico. Existen otras aplicaciones en radio, televisin, telefona celular, etc.

3.- TIPOS DE OSCILACIONES:3.1. Oscilaciones libres Las oscilaciones libres, las cuales son gobernadas por la accin de las fuerzas internas, nos sirven de modelo de comparacin a muchos fenmenos que suceden en la naturaleza as por ejemplo tenemos:Las comunicaciones entre nosotros se hacen a travs de movimientos oscilatorios (vibraciones de las partculas) que al incidir en nuestro cuerpo este oscila o vibra.En otros casos cuando calentamos el extremo de una varilla de fierro, las oscilaciones moleculares se hacen ms intensas de tal modo que aumenta la temperatura en toda la varilla.Las oscilaciones libres con sus caracterstica constituyen un modelo fsico aproximado para explicar los fenmenos ssmicos, y tambin la ondas electromagnticas dentro de las cuales destacan las ondas de radio, tv.etc.3.1.1. Condiciones para las oscilaciones libresPara que en un sistema se produzca oscilaciones libres deben cumplirse dos condiciones:1. Al desplazarse el cuerpo de su posicin de equilibrio. En el sistema debe surgir una fuerza dirigida hacia dicha posicin y por lo tanto tiende a volver el cuerpo en ella.2. El rozamiento debe ser suficientemente pequeo en el sistemas de lo contrario las oscilaciones se amortiguan.Grafico de sismo El estudio de los sismos se realiza con un sismgrafo, el cual aproximadamente desarrolla oscilaciones libres.3.1.2. Caractersticas de las oscilaciones libres: En consecuencia las oscilaciones libres se caracterizan por ser ideales y peridicas es decir se repiten en iguales intervalos de tiempo por ejemplo tenemos:Ilustracin 1 Periodo de oscilaciones del bloque

3.2. PNDULO SIMPLE (se profundizara en la pgina 29) Ilustracin 2: Periodo de oscilaciones de un pndulo El pndulo simple depende de la longitud y gravedad

El pndulo simple es aquel dispositivo que est constituido por una masa de pequeas dimensiones, suspendida de un hilo inextensible y de peso despreciable. Cuando la masa se desva hacia un lado de su posicin de equilibrio y se abandona, oscila alrededor de esa posicin con un movimiento oscilatorio y peridico, cuya trayectoria es casi una lnea recta 3.2.1. Leyes del pndulo simple El perodo no depende de la masa que oscila. El perodo es directamente proporcional a la raz cuadrada de la longitud del pndulo. El perodo es inversamente proporcional a la raz cuadrada de la aceleracin de la gravedad.Qu diferencia existe entre las oscilaciones libres del pndulo y el bloque?La diferencia se encuentra en lo siguiente:1. La trayectoria del bloque es rectilnea y la del pndulo es curvilnea.2. El tipo de fuerza interna que sobre el bloque acta es la fuerza elstica () que resulta directamente proporcional del desplazamiento.Mientras que sobre el pndulo acta una componente proporcional a la funcin seno del desplazamiento angular () .A estas fuerzas las podemos llamar fuerzas recuperadoras).Cmo caracterizamos estas diferencias entre oscilaciones libres?Las oscilaciones libres realizadas en trayectoria rectilnea y cuya fuerza interna es proporcional al opuesto de la posicin de la masa oscilante se les denomina Oscilaciones armnicas. Porque matemticamente obedecen a una ley representada por una funcin o .

Ilustracin 3 Movimiento armnicoPara la descripcin grafica de un movimiento armnico utilizamos las funciones trigonomtricas seno o coseno ya que estas son funciones peridicas

Las parte grafica de la funcin seno y coseno en un intervalo representa un periodo o ciclo; esta representa una variacin completa en una funcin senoidal o cosenoidal.

3.2. Movimiento oscilatorio ArMONICO:Los fenmenos oscilatorios o vibratorios se presentan en fsica con mucha frecuencia. Ejemplos de movimientos oscilatorios son los pndulos de los relojes, que oscilan de izquierda a derecha, o los objetos colgados de un muelle, que oscilan arriba y abajo, o incluso otros como las vibraciones de las molculas en el interior de los cuerpos.En todos los casos, la partcula material realiza un movimiento de vaivn, con una cierta amplitud, en torno a un punto que tomamos como origen llamado posicin de equilibrio. El movimiento oscilatorio cuyo origen se encuentra en el punto medio de su trayectoria (lo que implica que las amplitudes a ambos lados del origen son iguales) se conoce como movimiento vibratorio. En la naturaleza se observa tambin oscilaciones no mecnicas como pueden ser los cambios de temperatura a lo largo del da, que oscilan en torno al valor medio. En este caso no oscila una partcula sino el valor de una cierta magnitud fsica, como la temperatura. Estas oscilaciones no mecnicas se visualizan con ms dificultad que las oscilaciones mecnicas, por lo que utilizaremos en general un modelo mecnico. Cuando una partcula realiza un movimiento oscilatorio, las magnitudes que lo caracterizan (posicin, velocidad, aceleracin, etc.) se repiten a intervalos regulares de tiempo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio es peridico y al tiempo de repeticin se le llama perodo (T). Hemos de tener en cuenta que hay movimientos peridicos como el que realiza la Luna alrededor de la Tierra o el de la Tierra alrededor del Sol, que no son oscilatorios porque la partcula no toma valores mximos y mnimos en torno a la posicin de equilibrio.

Ilustracin 4:

Tres ejemplos de movimiento vibratorio

Se llama oscilacin o vibracin completa al movimiento realizado durante un perodo, es decir, una ida y una vuelta, tal y como se indica en la figura:Ilustracin 5:

El movimiento indicado por las cuatro flechas representa una vibracin completa o ciclo.Una magnitud importante en un movimiento oscilatorio peridico es su frecuencia, que se define como el nmero de oscilaciones que realiza la partcula en la unidad de tiempo. Se mide en s-1 o hertzios (Hz) en honor al fsico alemn Heinrich Hertz (1857-1894).

Entre los movimientos oscilatorios peridicos, el ms importante y al mismo tiempo ms habitual es el movimiento vibratorio armnico simple (m.a.s.). Un movimiento es armnico cuando la funcin que lo representa es armnica como es el seno o el coseno. Podemos dar una primera definicin de m.a.s. como un movimiento peridico, vibratorio y que puede ser representado por una funcin armnica.

3.2.1. MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMNICO SIMPLE.

Un cuerpo describe un movimiento peridico cuando las variables de posicin, x, velocidad v y aceleracin a de su movimiento toman los mismos valores despus de un intervalo de tiempo cte. denominado periodo. Ej.: Movimiento circular uniforme, el pndulo o un cuerpo unido a un muelle. En los dos ltimos casos el movimiento de vaivn se produce sobre la misma trayectoria (arco o recta). Decimos que es un movimiento oscilatorio o vibratorio.Movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y otro lado de su posicin de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables cinemticas.Oscilacin es lo mismo que vibracin. Sin embargo se suele hablar de vibracin para designar oscilaciones rpidas o de alta frecuencia.Cualquier cuerpo que sea apartado de su posicin de equilibrio estable tender a recuperar el equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posicin.

Ejemplo: Un cuerpo suspendido de un hilo permanecer en equilibrio estable en la vertical. Si es apartado de la posicin de equilibrio y se suelta oscilar alrededor de su posicin de equilibrio. Se detendr por la friccin del aire.Supongamos un muelle que se aparta de su posicin de equilibrio estable. Sobre l aparecen fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su posicin de equilibrio.

Ilustracin 6:

En este caso la es la ley de Hooke.

=-k k es una cte. caracterstica de cada muelle (N/m)

Una partcula tiene un movimiento oscilatorio armnico simple (MAS) cuando oscila bajo la accin de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posicin de equilibrio y cuyo sentido es hacia la posicin de equilibrio. Cualquier cuerpo con MAS se le llama oscilador armnico.

3.2.1.1. Caractersticas de un movimiento armnico simple: Vibracin u oscilacin: Distancia recorrida por la partcula en un movimiento completo de vaivn. Centro de oscilacin, O: Punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partcula mvil Elongacin, y. Distancia que en cada instante separa la partcula mvil del centro de oscilacin O, tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posicin de la partcula en un momento dado. Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del punto O y negativos a la izquierda. Amplitud A, valor mximo de la elongacin. Periodo T, tiempo empleado por la partcula en efectuar una oscilacin completa. Frecuencia, f o, nmero de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f = 1/T ( Hz) Pulsacin o frecuencia angular o velocidad angular, w, N de periodos comprendidos entre 2 unidades de tiempo.

3.2.1.2. Ecuacin fundamental del movimiento armnico simple:

En la figura se ha representado la posicin x de un pndulo que oscila despus de haber sido desplazado un pequeo ngulo en funcin del tiempo. Se han representado dos oscilaciones completas.

Ilustracin 7:

Si lo hacemos oscilar desde su posicin vertical con un pequeo impulso obtendremos una grfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera grfica corresponde a un coseno y la segunda a un seno. Ambas grficas representan el mismo movimiento con la nica diferencia de la posicin inicial de oscilacin.

Si comparamos el movimiento del pndulo con el de una partcula que describe un movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilacin y el mismo periodo (es decir, ajustamos la w de la partcula para que coincida el T).

Ilustracin 8:

sin nmeroPara un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su posicin es x = A cos (wt).

Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuacin describe los dos movimientos.

Ilustracin 9:En general, si la elongacin no es A, basta con introducir una fase que ajuste la posicin inicial x = A cos (wt + ). Para t = 0 x = A cos

Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.En general, la ecuacin del movimiento armnico simple la escribiremos

x =A cos (wt +) wt + fase del movimiento. Al cabo de una oscilacin completa la fase aumenta en 2 rad y vuelve a la misma posicin cos (wy + )= cos (wt + + 2) Cte. de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posicin inicial xo= A cos

La ecuacin puede escribirse indistintamente en funcin del seno o del coseno x = A sen (wt+)

3.2.1.3. Elementos caractersticos de un M.A.S.Entre ellos tenemos:a. Posicin de equilibrio (P.E.):Es aquella posicin donde la fuerza resultante es nula (fR = o) y adems la rapidez del cuerpo oscilante es mxima y a partir de esta posicin se definen las diversas posiciones del cuerpo oscilante en cualquier instante de tiempo Ilustracin 10:

Tenga en cuenta que las posiciones del cuerpo que oscila se definen a partir de la P.E. por comodidad matemtica ya que en realidad tambin se pueden definir a partir de otra posicin diferente.Cuando el plano de oscilacin es horizontal coinciden la deformacin del resorte y la posicin del bloque, es decir = x pero, si el plano de oscilacin es inclinado, se cumple lo mismo?

b. Resorte deformado una longitud x0Ilustracin 11:

c. Resorte deformado una longitud x1Ilustracin 12:

En este caso no coincide la posicin de equilibrio (P.E.) con la posicin donde el resorte est sin deformar, es por ello en ste ejemplo no coincide la posicin con la deformacin por ello ser importante en estos casos, antes de analizar las oscilaciones, definir previamente su posicin de equilibrio

d. Posicin (x)Es aquel vector que se traza a partir del origen de coordenadas, que usualmente lo hacemos coincidir con la posicin de equilibrio (P.E.) hasta el objeto. Este vector nos define la posicin del objeto en un instante cualquiera respecto a la posicin de equilibrio (P.E.)e. Amplitud (A) Es el mximo alejamiento del cuerpo que oscila respecto a la posicin de equilibrio, esto es equivalente a que el objeto oscilante llega a uno de los extremos. Por eso planteamos xmax = A f. Periodo (T):Es el tiempo que demora un vaivn u oscilacin. Es constante en un M.A.S. el periodo tambin se suele definir como el mnimo intervalo de tiempo que debe transcurrir para que el cuerpo oscilante exhiba las mismas caractersticas cinemticas.g. Frecuencia de las oscilaciones (f):Es una magnitud fsica escalar que nos permite determinar el nmero de oscilaciones libres en un cierto intervalo de tiempo, matemticamente se define por f = Unidades: < > Hertz (Hz) Siendo el nmero de oscilaciones o vaivenes: N. f =

h. Frecuencia cclica o angular ( )Es una magnitud fsica escalar que nos expresa el nmero de oscilaciones que se desarrollan en un intervalo de tiempo igual a 2s. Y matemticamente queda expresado por = =2nfUnidad: rad/S 3.2.1.4. Fase de las oscilaciones armnica simple: Llamada simplemente fase, y viene a ser la expresin que sigue al signo de seno o coseno. En los cursos de matemticas es llamado argumento. Por lo dicho si la posicin de un cuerpo que experimenta un M.A.S. viene dada por x = Asen (t + 0)

Entonces su fase ser t + 0 la cual se expresa en radianes (rad). En las matemticas (trigonometra) a la fase se le denomina argumento. Conocida la fase para instante dado y la amplitud de las oscilaciones, podemos definir para dicho instante la posicin del cuerpo oscilante. No solamente podemos determinar la posicin, sino tambin su velocidad y aceleracin, ya que estas magnitudes como sabemos en el M.A.S. varan armnicamente. Con esto establecemos que al contar con la fase (t + 0) y conocer la amplitud (A) se puede definir el estado mecnico del sistema oscilante en cualquier instante. Fase inicial 0Viene a ser la fase del M.A.S. evaluada en el instante inicial, es decir t0 ella nos permite determinar las condiciones inciales del M.A.S. es decir la posicin (x) y la velocidad (v) en t=0. Grficamente podemos deducir el valor de la fase inicial (0) si utilizamos un movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.) de radio R=A, cuyo centro est por encima de la posicin de equilibrioIlustracin 13:

En la figura el ngulo de fase inicial (0) se mide a partir da le vertical (OP) en sentido antihorario.1. Si el M.A.S. empieza en x = 0 (P.E.) hacia la derecha 0 = 0 rad2. Si el M.A.S. empieza en x = 0 (P.E.) hacia la izquierda 0 = rad3. Si el M.A.S. empieza en x = +A/2, 0 = rad4. Si el M.A.S. empieza en x = +A, 0 = rad5. Si el M.A.S. empieza en x = -A, 0 = rad6. 3.2.1.5. ECUACION DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION EN EL M.A.S:Estas ecuaciones las podemos obtener en forma prctica, tambin haciendo uso del M.C.U.

Ilustracin 14:

En el mismo intervalo de tiempo t, el cuerpo que experimenta el M.A.S. y la partcula que desarrolla el M.C.U. presentan el mismo desplazamiento horizontal. Esto nos permitir plantear que la velocidad y aceleracin del cuerpo que desarrolla el M.A.S. son iguales a la componente horizontal de la velocidad y aceleracin de la partcula que experimenta el M.C.U.La velocidad del oscilador luego de t segundos es v y la componente horizontal de la partcula que realiza movimiento circunferencial uniforme es Acos (o + ) de lo cual se desprende que

, como .

a. Velocidad en funcin de la posicin ( :Usando Del grafico anterior:

Reemplazando:

A partir de esta expresin podemos determinar la velocidad mxima (max), la cual se obtiene en la posicin de equilibrio (x=0).mx mx

Ahora determinaremos la aceleracin, en el movimiento circunferencial uniforme solo hay aceleracin centrpeta la cual como sabemos se calcula con cp =R = A.luego, graficando tendremos:

Ilustracin 15:

El cuerpo unido al resorte tiene una aceleracin dirigida hacia la izquierda y la partcula que realiza movimiento circunferencia uniforme tiene la componente horizontal dada por H = cp sen (0 + ) hacia la izquierda, dichas aceleraciones deben ser iguales.cpSiendo cp y al reemplazar se obtiene:

b. Aceleracin en funcin de la posicin ( :Se tiene el factor , que no es otra cosa que la posicin del cuerpo que experimenta M.A.S. entonces tenemos:

A partir de esta expresin, se tendr la mxima aceleracin si la posicin es mxima, es decir:mx = Amx Demostrando la velocidad y aceleracin:Luego de haber determinado las ecuaciones de la velocidad y de la aceleracin en el M.A.S. con ayuda del M.C.U., podemos pasar a demostrarlas, pero haciendo uso de las derivadas ya que dichas magnitudes se definen con dicho operador matemtico. La ecuacin de posicin de un cuerpo que experimenta M.A.S. en un instante cualquiera, como ya lo hemos planteado queda expresado por:

A partir de esta ecuacin podemos hallar la ecuacin de la velocidad y aceleracin instantnea.c. Ecuacin de la velocidad instantnea:La velocidad es la variacin de la posicin respecto al tiempo y se obtiene derivando la posicin respecto al tiempo

Donde Velocidad mxima:Planteamos que debe ser mximo, se sabe que mx = 1 mx Ecuacin de la aceleracin instantnea:Al ser el M.A.S. un movimiento rectilneo, no posee aceleracin normal. As, la aceleracin total coincide con la aceleracin tangencial y, por tanto, ya que la aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo.

d. Aceleracin mxima:Se debe tener en cuenta que el mximo valor de la expresin es 1.mx

Cuando un cuerpo o partcula realiza oscilaciones armnicas, su posicin (coordenadas), su rapidez y su aceleracin tambin cambian armnicamente. Como se ha demostrado la velocidad del cuerpo oscilante esta expresada por la funcin coseno, mientras que la posicin y la aceleracin por la funcin seno. Esto nos permite plantear, de acuerdo a criterios trigonomtricos, que las oscilaciones de la velocidad adelantan en fase a las oscilaciones de la posicin en , mientras que las oscilaciones de la aceleracin adelantan en fase a las oscilaciones de la posicin en rad. Ahora lo establecido lo podemos expresar grficamente sobre sistemas de coordenadas.Ilustracin 16:

3.2.1.6. PNDULO SIMPLEUn pndulo simple se define como una partcula de masamsuspendida del punto O por un hilo inextensible de longitudly de masa despreciable.Si la partcula se desplaza a una posicin(ngulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el pndulo comienza a oscilar.Ilustracin17:El pndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radiol. Estudiaremos su movimiento en la direccin tangencial y en la direccin normal.Las fuerzas que actan sobre la partcula de masamson dos el pesomg La tensinTdel hilo

Descomponemos el peso en la accin simultnea de dos componentes,mgsen en la direccin tangencial ymgcos en la direccin radial. Ecuacin del movimiento en la direccin radialLaaceleracin de la partculaesan=v2/ldirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.La segunda ley de Newton se escribeman=T-mg cosConocido el valor de la velocidadven la posicin angular podemos determinar la tensinTdel hilo.La tensinTdel hilo es mxima, cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio,T=mg+mv2/lEs mnima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero,T= mgcos0 Principio de conservacin de la energaEn la posicin=0el pndulo solamente tiene energa potencial, que se transforma en energa cintica cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio.Ilustracin18: Comparemos dos posiciones del pndulo:En la posicin extrema=0, la energa es solamente potencial.E=mg(l-lcos0)En la posicin, la energa del pndulo es parte cintica y la otra parte potencial

La energa se conservav2=2gl (cos-cos0)La tensin de la cuerda esT=mg(3cos-2cos0)La tensin de la cuerda no es constante, sino que vara con la posicin angular.Su valor mximo se alcanza cuando=0,el pndulo pasa por la posicin de equilibrio (la velocidad es mxima). Su valor mnimo, cuando=0(la velocidad es nula). Ecuacin del movimiento en la direccin tangencialLa aceleracin de la partcula esat=dv/dt.La segunda ley de Newton se escribemat=-mgsenLarelacinentre la aceleracin tangencialaty la aceleracin angular esat=l. La ecuacin del movimiento se escribe en forma deecuacin diferencial(1)Medida de la aceleracin de la gravedad

3.2.1.6.1. LEYES DEL PNDULO:1) Ley de las masas:Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y sustancias diferentes. Por ejemplo: una piedra, un trozo de hierro y un corcho. Saqumoslo del reposo simultneamente. Verificaremos que todos tardan el mismo tiempo en cumplir las oscilaciones, es decir, que todos van y vienen simultneamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas:Ilustracin19:

Las tres ms de la figura son distintas entre s, pero el periodo (T) deoscilacin es el mismo. (T1=T2=T3)Los tiempos de oscilacin de varios pndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza,o tambinEl tiempo de oscilacin de un pndulo es independiente de su masa y de su naturaleza.2) Ley del iscrono:Dispongamos dos de los pndulos empleados en el experimento anterior. Separmoslo de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ngulos deamplitud sean distintos (pero no mayores de 6 o 7 grados).Dejmoslo libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, tambin en este caso, los pndulos van y vienen al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del isocronismo (iguales tiempos):Parapequeos ngulos de amplitud,los tiempos de oscilacin de dos pndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes,o tambin:El tiempo de oscilacin de un pndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequea amplitud son iscronas).La comprobacin de esta ley exige que los pndulos tengan la misma longitudpara determinar que en efecto los pndulos son iscronos*, bastarverificar que pasan simultneamente por la posicin de equilibrio. Se llegara notar que las amplitudes de algunos de ellos disminuyen ms que las de otros, pero observaremos que aquella situacin subsiste.Si disponemos de un buen cronmetro, podemos aun mejorar los resultados de esta experimentacin. Procedemos a tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o 100 oscilaciones. Dividiendo esos tiempos por el nmero de oscilaciones obtendremos el de una sola (en casos de mucha precisin se llegan a establecer tiempos para 1.000, lo que reduce el error por cada oscilacinDe este modo puede verificarse que en rea1id~ se cumple la ley.(*)Iscronos tiempos iguales.3) ley de las longitudes:Suspendamos ahora tres pndulos cuyas longitudes sean:Pndulo A = (10cm) 1 dm.Pndulo B = (40 cm) 4 dm.Pndulo C = (90 cm) = 9 dm.Ilustracin20:

Ilustracion21:

Procedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden:1)Elde 1 dm.Yelde4dm.2)Elde 1 dm.Yelde9dm.Observaremos entonces que:a)El de menor longitud va ms ligero que el otro, o sea: a menor longitud menor tiempo de oscilacin y a mayor longitud mayor tiempo de oscilacin.b)Mientras el de 4 dm.Cumple una oscilacin, el de 1 dm.Cumple dos oscilaciones.c)Mientras el de 9 dm.Cumple una oscilacin, el de 1 dm.Cumple tres oscilaciones.Esta circunstancia ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes:Los tiempos de oscilacin(T)de dos pndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las races cuadradas de sus longitudes.En smbolos

T1 y T2: tiempos de oscilacin;l1y l2: longitudes.Para nuestro caso es:T1=1oscilacin yl1=1dmT2= 2 oscilaciones yl2 =4 dm.Luego:

sea: 1/2=1/2Ahora para:T1=1oscilacin yl1=1T3=3oscilaciones yl3=9luego:

sea: 1/3=1/34) Ley de las aceleraciones de las gravedades:Al estudiar el fenmeno de la oscilacin dejamos aclarado que la accin gravitatoria tiende a hacer parar el pndulo, pues esa es la posicin ms cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleracin de la gravedad ejerce una accin primordial que evidentemente debe modificar el tiempo de oscilacin del pndulo.Si tenemos presente que la aceleracin de la gravedad vara con la latitud del lugar, resultar que los tiempos de oscilacin han de sufrir variaciones segn el lugar de la Tierra.En efecto, al experimentar con un mismo pndulo en distintos lugares de la Tierra (gravedad distinta) se pudo comprobar que la accin de la aceleracin de la gravedad modifica el tiempo de oscilacin del pndulo.Por ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilacin es T1, y la gravedad g1, en Ro de Janeiro el tiempo de oscilacin es T2 y la gravedad g2, se verifica la siguiente proporcionalidad:

Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad) se puede verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de la Ley de las aceleraciones de la gravedad:Los tiempos de oscilacin de un mismo pndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente proporcionales a las races cuadradas de las aceleraciones de la gravedad.3.2.1.6.2. EL PNDULO FSICOUn pndulo fsico es cualquier cuerpo rgido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la accin de la fuerza de gravedad.Ilustracin22:

La distancia desde el punto de apoyo hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual ab. En la misma Figura se representan las fuerzas que actan sobre el cuerpo rgido. Si el momento de inercia respecto a un eje que pasa por O del cuerpo rgido es, la segunda ley de Newton de rotacin da como resultado,

Se debe observar que la fuerza de reaccinRque ejerce el pivote enOsobre el cuerpo rgido no hace torque, por lo que no aparece en la ecuacin. Adems, tambin es necesario resaltar queesta ecuacin diferencial no es lineal, y por lo tanto el pndulo fsico no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10),, por tanto,

Es decir, para pequeas amplitudes el movimiento pendular es armnico.La frecuencia angular propia es:

el periodo y la frecuencia propios sern:

La cinemtica del movimiento pendular para pequeas oscilaciones es en funcin de las variables angulares (elongacin angular, velocidad angular y aceleracin angular),

3.2.1.6.3. PNDULO DE TORSIN

Consiste en un hilo o alambre de seccin recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fcil de calcular (disco o cilindro).Al aplicar unTorqueen el extremo inferior del hilo, ste experimenta una deformacin de torsin. Dentro deloslmites devalidezdelaleydeHooke, el ngulo de torsin es directamente proporcional al momentotorsionalaplicado,de modoque

Donde::es el coeficiente de torsin del hilo o alambre de suspensin, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material. Para el caso de unhilo o alambre es siendoD: el dimetro del alambre,L: su longitud yG: el modulo de rigidez del material que loconstituye.

Ilustracin23:

3.3. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA:Si no intervienen factores externos el movimiento de un oscilador se repite con su frecuencia natural , que se determina, por ejemplo, conforme a las ecuaciones. Cuando existe una pequea fuerza de amortiguamiento, la frecuencia no cambia mucho respecto a este valor.Ocurre otra clase interesante de situaciones cuando aplicamos una fuerza senoidal externa al oscilador.Por ejemplo, el tmpano humano vibra al ser expuesto a la fuerza peridica de una onda sonora o una molcula vibra cuando absorbe una onda electromagntica de una frecuencia determinada. Las oscilaciones resultantes se conocen como oscilaciones forzadas y tienen importantes aplicaciones no solo en mecnica, sino tambin en acstica, en circuitos elctricos y en fsica atmica.Las frecuencias forzadas se dan en la frecuencia de la fuerza externa no en la frecuencia natural del sistema vibratorio. Sin embargo, la amplitud de la oscilacin depende de la relacin entre la frecuencia natural y de la fuerza aplicada que en forma apropiada puede producir una oscilacin de gran amplitud por ejemplo, cuando empujamos a un amigo en un columpio al hacerlo exactamente al mismo tiempo en cada ciclo provocamos que nuestro amigo se mueva en un arco cada vez mas grande.Suponemos que se trata de un oscilador real el que hace una fuerza amortiguadora. (De lo contrario, la energa que suministran las fuerzas externas continuara acumulndose, la amplitud crecera sin lmite). Consideremos el oscilador amortiguado de la figura a, que presentamos de nuevo en la figura b. Su frecuencia natural es , y suponemos que el amortiguamiento es tan pequeo que no modifica la frecuencia en forma considerable. A continuacin, aplicamos una fuerza senoidal , la cual suponemos tiene una amplitud constante Cuando la aplicamos por primera vez el movimiento queda dominado por trminos transitorios de vida breve que se extinguen en un tiempo caracterstico del tiempo de vida amortiguada . Examinaremos el movimiento en el estado estacionario luego que esos trminos se han vuelto despreciables.En la figura, se muestra el movimiento resultante cuando la frecuencia de impulso es la mitad de la natural. Advirtase que es una oscilacin senoidal simple, pero en la frecuencia de la fuerza externa y no en la frecuencia natural . La figura contiene el movimiento con una fuerza externa de la misma amplitud pero con . Ilustracion 24:

VI. CONCLUSIONES: Es muy importante conocer el Movimiento Armnico Simple, ya que el teorema de Fourier establece que cualquier clase de movimiento peridico puede considerarse como la superposicin de movimientos armnicos simples. Desde el punto de vista histrico, cabe sealar la importancia de las oscilaciones de un pndulo como instrumento de medida del tiempo, al ser el periodo independiente de la amplitud de la oscilacin, y que este hecho fue conocido por Galileo.

Las oscilaciones pueden encuadrarse dentro de la dinmica de una partcula, pero hay muchos ms sistemas oscilantes que una masa unida a un muelle elstico o un pndulo simple. Las oscilaciones tienen, por tanto, entidad propia como unidad aparte

Las oscilaciones se presentan en varios fenmenos de la naturaleza

Se caracterizan por el periodo, la amplitud, la frecuencia y el amortiguamiento.

Las oscilaciones forzadas sin amortiguamiento pueden producir comportamiento resonante.

VIII. BIBLIOGRAFIA: L. Landau - E. Lifshitz. 2007. Curso Abreviado de Fsica Terica. Editorial MIR. Volumen 1.456pp Asociacin Fondo de Investigacin y Editores. 2004. Fsica una Visin Analtica del Movimiento. Editorial Lumbreras. Volumen2. 1027pp Walter Prez Terrel. 2002. Fsica Teora y Problemas. Editorial San Marcos. Volumen1. 665pp Jorge Mendoza Dueas. 2003. Fsica General. Editorial San Marcos. Volumen1. 670pp.

IX. APENDICE:EL PENDULO DE FOULCAULT Imagen 1Galileo Galilei, despus de haber inventado su telescopio y hacer observaciones hacia el firmamento, comenz a refutar de varias formar el argumento de los filsofos como Aristteles que pregonaban la inmovilidad de la tierra. En su poca, Galilei no encontr un argumento o experimento que pudiese convencer de manera irrefutable su posicin acerca de la movilidad de nuestro planeta. Galilei, a pesar de haber trabajado con los pndulos y haber establecido varias de sus propiedades, no pudo advertir la invariabilidad del plano de oscilaciones de un pndulo. Por los aos 1851 el francs Len Foulcault pudo demostrar a travs de sus observaciones, sobre su clebre pndulo en el interior de la cpula del panten de Paris, que nuestro planeta es un sistema rotatorio y no un cuerpo fijo. La explicacin del comportamiento del pndulo en los polos es mas bsica que cuando se encuentro en algunos de los hemisferios. La trayectoria que va marcando el pndulo en 24 horas (ver imagen 1) se explica con la conservacin de su plano de oscilacin. Esto es consecuencia de las fuerzas sobre la masa oscilante (fuerza de gravedad y tensin) no la hacen desviarse en ningn momento hacia un costado. Toda persona sabe hoy en da que la tierra rota en todo instante, pero si no se toma en cuenta la rotacin de la tierra, se creer que es el pndulo que desva su plano de oscilacin. Un pndulo al estar oscilando en uno de los hemisferios terrestres varia su plano de oscilacin, esto es consecuencia del efecto de coriolis, que es una fuerza inercial que se presente en un sistema de referencia rotatorio como es nuestro planeta.

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