MEC 703-01

PROFESOR: DIONEL C. CASTILLO T.

OSCILACIONES

Movimiento de una masa unida a un resorte

Movimiento armónico simple (MAS)

Si una partícula se mueve a lo largo de un determinado eje se dice que lo hace con movimiento armónico simple cuando su desplazamiento desde el punto de equilibrio, varía con el tiempo de acuerdo con la relación:

x = A cos (ωt + ϕ)

X = A cos (ωt + ϕ)

A → amplitud del movimiento (desplazamiento máximo de la partícula en la dirección X)

ω → frecuencia angular (rad/s)

ϕ → ángulo de fase (constante de fase). Está determinado sólo por el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la partícula. ϕ y A indican cuál era el desplazamiento en el tiempo t = 0

ωt + ϕ → fase del movimiento

Gráficas de x en función de t

a) Gráfica de un objeto en movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es A y T representa el período.

b) Gráfica en el caso especial en el que

x = A y t = 0 y de allí ϕ = 0.

Período, frecuencia y frecuencia angular

Velocidad y Aceleración

Ejemplo: un cuerpo oscilante

Un cuerpo oscila con MAS a lo largo del eje X. Su desplazamiento varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación x = (4,00 m) cos (πt + π/4), donde t está en segundos y los ángulos en radianes. Determine:

a. La amplitud, la frecuencia y el período del movimiento.

b. La velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier momento t.

c. Con los resultados del inciso b, determine la posición, velocidad y aceleración en t = 1,00 s.

d. Determine la velocidad máxima y la aceleración máxima.

e. Encuentre el desplazamiento del cuerpo entre t = 0 y t = 1,00 s.

f. ¿Cuál es la fase del movimiento en t = 2,00 s?

CASO ESPECIAL 1

CASO ESPECIAL 2

Ejemplo: sistema bloque resorte Un bloque de 200 g conectado a un resorte que

tiene una constante elástica de 5,00 N/m, oscila libremente sobre una superficie horizontal sin fricción. El bloque se desplaza 5,00 cm desde el equilibrio y se suelta desde el reposo.

a.) Encuentre el período de su movimiento.

b.) Determine la velocidad máxima del bloque

c.) Determine su máxima aceleración.

¿Qué pasa si el bloque se coloca en la misma posición, pero se empuja con velocidad inicial de -0,100 m/s? ¿Cuáles partes de la solución cambian y cuáles son las nuevas respuestas?

ENERGÍA EN EL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

Energía Cinética

Energía Potencial

La velocidad en función de la posición

Ejemplo: oscilaciones en una superficie horizontal

Un carrito de 0,500 kg de masa conectado a un resorte de 20,0 N/m de constante elástica, oscila sobre una superficie horizontal sin fricción.

a.) Calcule la energía total del sistema y la máxima velocidad del carrito si la amplitud del movimiento es 3,00 cm.

b.) ¿Cuál es la velocidad del carrito cuando su posición es 2,00 cm?

¿Qué pasa si el carrito se coloca en la misma posición, pero se empuja con velocidad inicial de -0,100 m/s? ¿Cuáles serán la nueva amplitud y la velocidad del carrito?

EL PÉNDULO SIMPLE

Para pequeños valores de θ

EL PÉNDULO SIMPLESolución de la ecuación

Posición angular máxima

Frecuencia angular

Período del movimiento

Ejemplo: un péndulo simple

EL PÉNDULO FÍSICO

Torque = Ƭ = mgd sen θ

∑ Ƭ = I α

Para pequeños valores de θ

EL PÉNDULO FÍSICOSolución de la ecuación

Posición angular máxima

Frecuencia angular

Período del movimiento

Ejemplo: una barra oscilante

Una barra uniforme de masa M y longitud L está pivoteada en uno de sus extremos y oscila en un plano vertical.

Encuentre el período de oscilación si la amplitud de su movimiento es pequeño.

EL PÉNDULO DE TORSIÓN

κ constante de torsión

Ejemplo: un péndulo de torsión

Una barra horizontal de 1,00 m de largo y 2,00 kg de masa se suspende de un alambre en su centro para formar un péndulo de torsión. Si el período resultante es de 3,00 minutos, ¿cuál es la constante de torsión del alambre?

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Gráfico de posición versus tiempo para un oscilador amortiguado. Se puede observar el decrecimiento en amplitud con el tiempo.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Sistema subamortiguado: cuando lafuerza retardadora es pequeña de manera que:

Sistema críticamente amortiguado: cuando b alcanza un valor críticode manera que:

Sistema sobreamortiguado: cuando el medio es tan viscoso que la fuerza retardadora es mayor que la fuerza restauradora de modo que:

Ejemplo: un resorte amortiguado Un objeto de 10,6 kg oscila en el extremo de

un resorte vertical que tiene una constante de 2,05x104 N/m. El efecto de la resistencia del aire está representado por el coeficiente de amortiguamiento b = 3,00 N.s/m.

a.) Calcule la frecuencia de esta oscilación amortiguada.

b.) ¿Qué porcentaje decrece la amplitud de la oscilación en cada ciclo?

c.) Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energía del sistema decae a 5,00 % de su valor inicial.

OSCILACIONES FORZADAS

Si aplicamos una fuerza impulsora que varíe periódicamente con frecuencia angular ω a un oscilador armónico amortiguado, el movimiento resultante se llama oscilación forzada.

ω Frecuencia angular impulsora

OSCILACIONES FORZADAS

OSCILACIONES FORZADAS

Para pequeño amortiguamiento, la amplitud se vuelve grande cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es cercana a la frecuencia natural de oscilación, o sea, ω → ω0.

El considerable aumento en la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce como RESONANCIA y la frecuencia natural se conoce como Frecuencia de Resonancia del Sistema.

Ejemplo: un resorte forzado

Un objeto de 2,00 kg atado a un resorte se mueve sin fricción y es accionado por una fuerza externa dada por

F = (3,00 N) cos (2πt).

Si la constante elástica del resorte es 20,0 N/m, determine:

a.) el período

b.) la amplitud de su movimiento.