OSCILACIONES

FISI 3012

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OSCILACIONES OBJETIVOS

Estudiar las características del movimiento vibracional, específicamente del movimiento armónico simple

Aprender y reconocer los términos que describen al movimiento vibracional

Analizar el movimiento armónico simple de un resorte y de un péndulo a base de sus ecuaciones de posición, velocidad y aceleración

Reconocer de cuáles factores depende el período del movimiento armónico simple de un resorte y de un péndulo

OSCILACIONES Diferenciar entre oscilaciones continuas,

amortiguadas y forzadas Reconocer cuándo un sistema puede

entrar en resonancia y qué ocurre cuando un sistema entra en resonancia

Analizar el movimiento armónico simple en el contexto de la energía

OSCILACIONES CONCEPTOS

Movimiento vibracional Movimiento que se caracteriza por el hecho de

que un sistema se mueve de un lado hacia otro a partir de una posición de equilibrio

Se conoce también como Movimiento oscilatorio Movimiento cíclico Movimiento periódico Movimiento senosoidal Movimiento armónico simple

OSCILACIONES Para que un sistema lo ejecute se requiere un

agente de restauración Una fuerza o un torque que

lo tienda a regresar a su posición de equilibrio tienda a restaurar el equilibrio del sistema

En el caso del resorte, es la fuerza elástica (Fe) Fe = - kx ~ x es la distancia a la cual se encuentra de su

posición de equilibrio ~ k es una constante del resorte que se conoce como la “constante de fuerza” del resorte o

rigidez ~ el negativo surge porque, cuando las posiciones son positivas, la dirección de la fuerza es negativa y viceversa

OSCILACIONES En el caso del péndulo simple, es un torque

generado por su propio peso = - m g L sin ø ~ m es la masa del péndulo ~ L es la longitud del péndulo ~ ø es el ángulo que forma la cuerda con una

vertical ~ el negativo surge también porque, cuando las posiciones angulares son positivas, la

dirección del torque es negativo y viceversa

OSCILACIONES TERMINOLOGIA

Posición de equilibrio del sistema posición en donde el sistema esta quieto y al

que eventualmente llega cuando cesan las vibraciones

Ciclo (c) trayectoria cerrada que continuamente se

repite se completa cada vez que el sistema regresa a

su punto de partida Amplitud (A)

la distancia máxima a partir de la posición de equilibrio del sistema

en un ciclo, un sistema recorre una distancia equivalente a cuatro veces su amplitud

OSCILACIONES Frecuencia (f)

cuantas vibraciones un sistema completa por unidad de tiempo

f = n/t (en ciclos/sec)

Frecuencia angular () =2f (en rad/sec)

Periodo (T) cuanto tiempo se tarda un sistema en

completar una vibración T = t/n = 1/f

OSCILACIONES Movimiento armónico simple

La aceleración del sistema es proporcional a su posición

El periodo del movimiento es independiente de la amplitud

OSCILACIONES SISTEMAS

Resorte Cuando estiramos un resorte a partir de su posición

de equilibrio y luego lo soltamos, ocurren cambios no-uniformes tanto en su desplazamiento como en su velocidad y como en su aceleración

Esto es asi porque la fuerza que mueve al resorte es la fuerza elástica que no es una fuerza constante

Fe = - kx esta es la fuerza que lo acelera, de manera que, como

F = ma entonces

a = - (k/m) x

OSCILACIONES Cuando estiramos un resorte a partir de su

posición de equilibrio y luego lo soltamos, ocurren cambios no-uniformes tanto en su desplazamiento como en su velocidad y como en su aceleración

F

Fe

x=0 En el momento en el cual soltamos al resorte

x = +A v = 0

a = - (k/m) x = - (k/m) [+A] = - amax

+A

OSCILACIONES Cuando pase por la posición de equilibrio del

resorte, al cabo de 1/4 de ciclo

x=0

x = 0 v = - vmax

a = - (k/m) x = - (k/m) [0] = 0

OSCILACIONES Cuando llegue al extremo izquierdo de su

movimiento, al cabo de 1/2 ciclo

Fe

x=-A x=0

x = -A v = 0

a = - (k/m) x = - (k/m) [-A] = + (k/m) A = + amax

OSCILACIONES Cuando nuevamente pase por su posición de

equilibrio, al cabo de 3/4 de ciclo

x=0

x = 0 v = + vmax

a = - (k/m) x = - (k/m) [0] = 0

OSCILACIONES Cuando regrese a su punto de partida a la derecha de

su posición de equilibrio, al cabo de 1 ciclo

Fe

x=0

x = +A v = 0

a = - (k/m) x = - (k/m) [+A] = - amax

+A

OSCILACIONES Resumiendo todos estos valores:

t x v a

0 +A 0 -amax

¼ c0 -vmax 0

½ c-A 0 +amax

¾ c0 +vmax 0

1 c+A 0 -amax

OSCILACIONES Si construímos una gráfica de x vs t

x

t

representa la gráfica del la función del coseno,

por eso x(t) = A cos = A cos t = A cos 2ft en términos generales la podemos expresar

como x(t) = A cos (t + ) = A cos (2ft + ) y, más generalmente, x(t) = A cos (2ft + ) + B sin (2ft + )

OSCILACIONES La gráfica de v vs t

v

t

representa la gráfica del la función del seno con

una diferencia de fase de radianes, por eso v(t) = - vmax sin = - vmax sin t = - vmax sin

2ft la cual en términos generales podemos expresar

como v(t) = - vmax sin (t + ) = - vmax sin (2ft + )

OSCILACIONES La gráfica de a vs t

a

t

representa la gráfica del la función del coseno

con una diferencia de fase de radianes también, por eso

a(t) = - amax cos = - amax cos t = - amax cos 2ft

la cual en términos generales podemos expresar como

a(t) = - amax cos (t + ) = - amax cos (2ft + )

OSCILACIONES Matemáticamente

x(t) = A cos (2ft + ) v(t) = dx(t) /dt v(t) = - 2fA sin (2ft + ) = - vmax sin (2ft +

) vmax = 2fA a(t) = dv(t) /dt a(t) = - 4²f² A cos (2ft + ) = - amax cos (2ft

+ ) amax=4²f² A a(t) = - 4²f² [A cos (2ft + )] = - 4²f² x(t)

Combinando las dos definiciones para la aceleración del resorte

- (k/m) x = - 4²f² x k/m = 4²f²

f² = (k/4² m) = (1/T)²

OSCILACIONES T² = 4 ² m/k

T = 2 √(m/k) El periodo del movimiento armónico simple del

resorte depende únicamente de la rigidez del mismo y de la masa total envuelta en su movimiento vibracional

~ a mayor masa, mayor periodo, mas lento se mueve

a menor masa, menor periodo, mas rápido se mueve

~ a mayor rigidez, menor periodo, mas rápido se mueve ~ a menor rigidez, mayor periodo, mas lento se

mueve ~ es independiente de la amplitud de su

movimiento

MAS del resorte

f² = (k/4² m) = (1/T)²

OSCILACIONES Energía en el movimiento vibracional del

resorte Cuando el resorte se encuentra a cierta distancia

de su posición de equilibrio posee energía potencial elástica

Ue = ½ k x² = ½ k [A² cos² (t+)] Si está oscilando también posee energía cinética

K = ½ m v² = ½ m [² A² sin² (t+)] = ½ m (k/m) A² sin² (t+)] = ½ k A² sin² (t+)]

Su energía mecánica es igual a M = K + Ue

= ½ k A² sin² (t+) + ½ k A² cos² (t+) = ½ k A² [sin² (t+) + cos² (t+)] = ½ k A²

OSCILACIONES Gráfica de Ue y K vs t

Ue=½kA²K=½mvmax

²

OSCILACIONES Por lo tanto, en su movimiento vibracional, si solo

la fuerza elástica realiza trabajo, la energía mecánica del sistema se conserva y, en cualquier punto de la trayectoria del resorte,

M = Ue + K = ½ k x² + ½ m v² M = ½ k A² cuando se encuentre en los

extremos del su movimiento M = ½ m vmax² cuando pase por su posición de

equilibrio ½ k x² + ½ m v² = ½ k A² = ½ m vmax²

Si hay fuerzas disipativas actuando sobre el resorte el mismo regresara a su posición de equilibrio

En esta posición el resorte no se encontrara deformado

Cuando el resorte regresa a su posición de equilibrio habrá perdido toda su energía mecánica

OSCILACIONES Péndulo simple

Es un sistema que vibra angularmente alrededor de un eje y tiene toda su masa concentrada en el extremo opuesto al eje de la vibración

Su agente de restauración es un torque generado por su propio peso

= - m g L sin ø ~ m es la masa del péndulo ~ L es la longitud del péndulo ~ ø es el ángulo que forma la cuerda con una

vertical

Varios péndulos

OSCILACIONES

T L(longitud de la cuerda)

L (brazo)

Wt = - Wt L(brazo) = - Wt L(longitud de la cuerda) sin = - m g L sin

Lbrazo = Llongitud de la cuerda sin

OSCILACIONES Podemos observar que, diferente al resorte

en donde la fuerza de restauración es directamente proporcional a su posición en relación a su posición de equilibrio, el torque de restauración sobre el péndulo no es directamente proporcional a su posición angular en relación a su posición de equilibrio

es directamente proporcional a sin sin no es directamente proporcional a pero para ángulos menores de 10°

sin = expresado en radianes El torque de restauración va a ser

directamente proporcional a la posición angular del péndulo solo para ángulos < 10° porque para estos ángulos

= - m g L (en radianes)

OSCILACIONES El péndulo solo ejecuta movimiento armónico

simple mientras la amplitud de su movimiento vibracional no sobrepase los 10°

Obtenemos el periodo del movimiento armónico simple del péndulo simple a base de un análisis similar al hecho para el resorte

Análisis = I = - m g L sin

(m L² ) = - m g L sin = - (g/L) sin Para ángulos menores de 10° = - (g/L)

OSCILACIONES La ecuación establecida anteriormente para

el MAS a = - 4²f² x se transforma, usando las ecuaciones de

transformación, en R = - 4²f² R = - 4²f² De manera que, si comparamos estas

ecuaciones, - 4²f² =- (g/L) 4²f² = g/L De aquí, entonces, f² = g/[4²L] = 1/T² T² = 4²L/g T = 2√(L/g)

OSCILACIONES El periodo del péndulo simple solo depende de

la longitud del péndulo y del valor de la aceleración de la gravedad en donde se encuentre el péndulo simple

A mayor longitud del péndulo, mayor su periodo, mas lento se mueve

A menor longitud del péndulo, menor su periodo, mas rápido se mueve

Si g es pequeño, mayor su periodo, mas lento se mueve Si g es grande, menor su periodo, mas rápido se mueve

Es independiente de la masa del péndulo y de la amplitud de su movimiento

Siempre y cuando <10°

MAS del péndulo simple

OSCILACIONES Péndulo físico

Es un sistema que vibra angularmente alrededor de un eje pero su masa no está concentrada en el extremo opuesto al eje de la vibración sino que más bien constituye un sistema con extensión en el espacio

Igualando la ecuación que obtuvimos al analizar el péndulo simple

= - m g d sin ø - m g d con la Segunda Ley de Newton para

movimiento rotacional = I obtenemos que I = - m g d = - (m g d / I)

OSCILACIONES De manera que, si comparamos estas ecuaciones, 4²f² = m g d / I De aquí, entonces, f² = (m g d) / (4 ² I) = 1/T² T² = 4² I / (m g d) T = 2√(I / mgd)

OSCILACIONES Tipos de oscilaciones

Continuas La amplitud del movimiento no disminuye

Amortiguadas La amplitud del movimiento disminuye Tipos ~ subamortiguadas = si el sistema completa

unas cuantas oscilaciones antes de llegar a su posición de equilibrio

~ críticamente amortiguada = si se tarda poco tiempo en llegar a su posición de equilibrio

~ sobre amortiguadas = si se tarda mucho tiempo en llegar a su posición de equilibrio

OSCILACIONES Forzadas

Se le aplica continuamente energía externa para que la amplitud del movimiento no disminuya

La energía se le aplica mediante un impulso externo

Si la frecuencia del impulso externo es igual a la frecuencia natural de vibración del sistema, dicho sistema entrara en un estado de resonancia (vibrará con una amplitud grande)

Frecuencia natural de vibración La frecuencia a la cual entraría en vibración

naturalmente cualquier sistema si este se pone en vibración

Esencialmente dependen de las propiedades físicas del material

Cualquier sistema que se construya ya tiene predestinada su frecuencia natural de vibración

OSCILACIONES Algunos sistemas tienen varias frecuencias

naturales de vibración El resorte y el péndulo tienen solo una f = √ (k/4² m) f = √g/[4²L] Las cuerdas, las columnas de aire y sistemas

similares tienen varias Se conoce también como la frecuencia de

resonancia del sistema Resonancia

Estado de un sistema que se caracteriza por el hecho de que las oscilaciones que experimenta tiene una amplitud bien grande

Se produce cuando la frecuencia de un impulso externo es igual a la frecuencia natural de vibración del sistema

(#3,p.468) Un oscilador consiste de un bloque con una masa de 0.500 kg conectado a un resorte. Cuando es puesto a oscilar con una

amplitud de 35.0 cm, el oscilador repite su movimiento cada 0.500 s. Encuentre: (a) su periodo; (b) la frecuencia; (c) la frecuencia angular; (d) la constante del resorte; (e) la rapidez máxima; y (f) la magnitud

de la fuerza máxima sobre el bloque por el resorte.

m=0.500 kgA=35.0 cmt=0.500 sT=?; f=?; =?; k=?; vmax=?; Fmax=?

T = 0.500 s

f = 1/T = (1/0.500) Hz = 2.00 Hz

= 2f = (2)()(2) rad/sec = 12.6 rad/sec

T = 2 √(m/k) k = 4²m/T² = 4²(.5)/(.5²) Nt/m = 79.0 Nt/m

vmax = A = (12.6)(.35) m/c = 4.41 m/s

Fmax = m amax = m ² A = (.5)(12.6)²(.35) Nts = 27.8 Nts

(#19,p.469) Un oscilador consiste de un bloque pegado a un resorte (k=400 Nt/m). En algún tiempo t, la posición (medida desde la

posición de equilibrio del sistema), velocidad y aceleración del bloque son x=0.100 m, v=-13.6 m/s, y a=-123 m/s². Calcule: (a) la frecuencia

de la oscilación; (b) la masa del bloque; y (c) la amplitud del movimiento.

k=400 Nts/mx=0.100 mv=-13.6 m/sa=-123 m/s²f=?; m=?; A=?

a = - 4²f²x f²=-a/(4²x) f²=-(-123)/[(4)(²)(0.1)] Hz f = 5.6 Hz

f = √(k/m)/(2) m = k / (4²f²)m = (400)/[(4)(²)(5.58²)] kg = 0.33 kg

x=A cos(t+) v=-A sin(t+) a=-²A cos(t+)v/x = - tan (t+)

tan(t+) = -v/(x) = -(-13.6)/[(2(5.6))(0.1)] = 1.32 radA = x/cos(t+) = (0.1)/cos (1.32) = 0.40 m

(#26,p.469) El extremo de una de las dos partes oscilantes de un diapasón que ejecuta movimiento armónico simple con una

frecuencia de 1000 Hz tiene una amplitud de 0.40 mm. Encuentre: (a) la magnitud de la aceleración máxima y (b) la magnitud de la rapidez

máxima del extremo de esta parte del diapasón. Encuentre (c) la magnitud de la aceleración y (d) la rapidez del extremo de esta parte

del diapasón cuando este extremo se haya desplazado 0.20 mm.

f=1000 HzA=0.40 mmamax=?; vmax=?; a y v cuando x=0.20 mm

amax = -4²f²A amax = -(4²)(1000²)(0.0004) m/s² = -15,800 m/s² 16,000

m/s²

vmax = -2f Avmax = - (2) (1000) ( 0.0004) m/s = -2.51 m/s 2.5 m/s

a = -4²f²A cos(t+) = -4²f²xa = -(4²)(1000²)(0.0002) m/s² = -7,900 m/s² 7,900 m/s²

v = - 2f A sin (t+)a=-4²f²A cos(t+) cos(t+)=-a/(4²f²A) (t+)=1.05

radv=-(2)(1000)(0.0004) sin(1.05) = -2.18 m/s 2.2 m/s

(#36,p.470) Una artista del trapecio sentada en su trapecio está meciéndose hacia el frente y hacia atrás con un periodo de 8.85 s. Si ella se levanta, levantando así el centro de masa de sistema trapecio-

artista por 35.0 cm, ¿cuál será el nuevo periodo del sistema? Considere al trapecio y artista como un péndulo simple.

T=8.85 s con L=Lo

L=(Lo-0.35)mTnuevo=?

T = 2 √(Lo/g) Lo = T²g/4²Lo = (8.85²)(9.8)/(4²) m = 19.44 m

L = 19.44 m – 0.35 m = 19.09 m

T = 2 √(L/g) = 2 √(19.09/9.8) s = 8.77 s

#51,p.471) Un objeto de 5.00 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está pegado a un resorte con una constante de 1000 Nt/m. El objeto es desplazado 50.0 cm horizontalmente desde su posición de equilibrio y se le imparte una velocidad inicial de 10.0 m/s hacia la posición de equilibrio. (a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento?

¿Cuáles son (b) la energía potencial inicial del sistema bloque-resorte, (c) la energía cinética inicial, y (d) la amplitud de la

oscilación?

m=5.00 kgk=1000 Nt/mx=50.0 cmvo=10.0 m/sf=?; Uo=?; Ko=?; A=?

f = √(k/m)/(2)f √(1000/5)/(2) = 2.25 Hz

Uo = ½kx²Uo = ½(1000)(.5²) J = 125 J

Ko = ½mv²Ko = ½(5)(10²) J = 250 J

#51,p.471) Un objeto de 5.00 kg sobre una superficie horizontal sin fricción está pegado a un resorte con una constante de 1000 Nt/m. El objeto es desplazado 50.0 cm horizontalmente desde su posición de equilibrio y se le imparte una velocidad inicial de 10.0 m/s hacia la posición de equilibrio. (a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento?

¿Cuáles son (b) la energía potencial inicial del sistema bloque-resorte, (c) la energía cinética inicial, y (d) la amplitud de la

oscilación? (cont.)

m=5.00 kgk=1000 Nt/mx=50.0 cmvo=10.0 m/sf=2.25 Hz; Uo=125 J; Ko=250 J; A=?

M = ½kA² A² = 2M/k

M = Ko + Uo = 125 J + 250 J = 375 J

A² = (2)(375)/( 1000) A = 0.87 m = 87 cm

(#56,p.471) Un resorte vertical se alarga 9.6 cm cuando un bloque de 1.3 kg es colgado de su extremo. (a) Calcule la constante del resorte.

Este bloque es luego desplazado 5.0 cm adicionales hacia abajo y soltado del reposo. Encuentre: (b) el periodo; (c) la frecuencia; (d) la

amplitud; y (e) la rapidez máxima del MAS que resulta.

x=9.6 cmm=1.3 kgxmax=5.0 cmvi=0 m/sk=?; T=?; f=?; A=?; vmax=?

k = F/x = Wt/x = mg/x k = (1.3)(9.8)/(0.096) Nt/m = 133 Nt/m

T = 2 √(m/k) T = 2 √(1.3/133) sec = 0.62 sec

f = 1/T = (1/0.62) Hz = 1.6 Hz

A = 5.0 cm

vmax = 2fA = 2(1.6)(0.05) m/s = 0.50 m/s