oscilations

V.Raduka, Mehanika II-DINAMIKA, radna verzija

1

1.2. Prisilne neprigušene oscilacije

1.2.1 Pobuda konstantnom silom

Prema uvjetima dinamičke ravnoteže vanjska sila P(t) mora biti u ravnoteži sa silom inercije i elastičnom silom:

P(t) - Fi - Fel = 0.

Nakon supstitucije dobije se nehomogena lineatna diferencijalna jednadžba drugog reda kojom su opisane prisilne oscilacije idealno elastičnog oscilatora

constPtyktym ==⋅+⋅ 0)()(ɺɺ

Rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda dano je zbrojem partikularnog rješenja i rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. Partikularno rješenje pretpostavljamo u obliku funkcije na desnoj strani diferencijalne jednadžbe i mora zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu. Iz tog uvjeta odreñuju se vrijednosti konstanti u partikularnom rješenju.

partyyty += hom)(

Partikularno rješenje tražimo u obliku

Cconstypart == .

Pripadna homogena diferencijalna jednadžba ima rješenje odreñeno za slobodneoscilacije

tsinBtcosAyhom ωω +=

Konstantu C u partikularnom rješenju odredimo supstitucijom rješenja u diferencijalnu jednadžbu

k

Py

k

PCPCk 0

part0

0 =→=→=⋅

Ukupno rješenje dobijemo zbrajanjem homogenog i partikularnog dijela

k

PtsinBtcosA)t(y 0++= ωω ,

a konstante A i B odredimo iz poznatih uvjeta za početi trenutak.

k

PyA

k

PAy)0t(y 0

00

0 −=→+===

Funkciju promjene bzine odredi se deriviranjem funkcije pomaka po vremenu, tako da je

tCosBtSinAtytv ωωωω +−== )()( ɺ ,

ωω 0

0

vBBv)0t(v =→===

Dakle, ukupno rješenje je

( )tCosk

PtSin

vtCosyty ωω

ωω −++= 1)( 00

0

P(t)=P0 Fel

)t(y),t(y),t(y ɺɺɺ Fi


15

Ako početni uvjeti isčezavaju, odnosno ako gibanje počinje isključivo zbog trenutnog djelovanja konstantne sile, zakon oscilacija prikazan je funkcijom

( ) DFytCosk

Pty st ⋅=−= ω1)( 0 .

Efekt dinamičkog djelovanja trenutnog opterećenja konstantnom silom P odredimo iz usporedbe funkcije pomaka y(t) i statičkog progiba. Dakle funkciju pomaka prikažemo u obliku umnoška statičkog progiba i faktora koji je funkcija vremena, dakle nastaje zbog dinamičkog djelovanja

DFy)t(y st ⋅= .

Statičko progib opruge od opterećenja silom P0 je

k

Py 0

st = ,

tako da preostaje dinamički faktor

( )tCos1DF ω−= .

Vidimo da je za konstrukciju koja je idealizirano prikazana neprigušenim sustavom s jednim stupnjem slobode, dinamičko djelovanje trenutnog opterećenja konstantnom silom jednako dvostrukom statičkom djelovanju, dakle, maksimalna vrijednost dinamičkog faktora je

DFmax=2 . Ako se promatra impulsno djelovanje konstantne sile, tada se lako uočava da će se

maksimalni dinamički faktor realizirati samo ako je trajanje opterećenja t1 dulje od polovine vlastitog perioda slobodnih oscilacija

2

Tt1 ≥ ili

ωπ≥1t .

U slučaju ograničenog trajanja djelovanja sile, nakon isčezavanja sile odnosno za t > t1,

gibanje je definirano homogenom diferencijalnom jednadžbom, dakle sustav nastavlja slobodno oscilirati, a amplituda slobodnih oscilacija zavisi o pomaku i brzini u trenutku isčezavanja sile.

1 2 3 4t

-0.1

0.1

0.2

8P@tD, x@tD<

sila PHtLêk

pomaci x@tD


16

1.2.2 Pobuda harmonijskom silom

Promatramo gibanje idealno elastičnog oscilatora za vrijeme djelovanje vanjske sile P(t) koja je zadana harmonijskom funkcijom s frekvencijom p.

ptsinP)t(P 0= .

Osim inercijalne i elastične sile u jednadžbi dinamičke ravnoteže sudjeluje i vanjska sila pa je diferencijalna jednadžba gibanja slijedeća:

ptsinP)t(yk)t(ym 0=⋅+⋅ ɺɺ

Rješenje ove diferencijalne jednadžbe tražimo u obliku sume partikularnog rješenja i poznatog riješenja homogene diferencijalne jednadžbe slobodnih neprigušenih oscilacija (poznato iz matematike).

parthom )t(y)t(y)t(y +=

Partikularno rješenje predstavlja doprinos pobude (ima sličnu funkciju) i ne ovisi o početnim uvjetima:

ptsinG)t(y part ⋅=

Vrijednost konstante G odreñuje se iz uvjeta da partikularno rješenje mora zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu gibanja.

ptcosGp)t(ypart ⋅=ɺ ,

ptsinGp)t(y 2part −=ɺɺ .

Nakon uvrštavanja diferencijalnu jednadžbu dobivamo konstantu G

mpk

PG

20

−= ,

tako da je

ptsinmpk

P)t(y

20

part −=

Homogeno rješenje smo već odredili:

tcosBtsinA)t(y hom ωω += Potpuno rješenje prislinih oscilacija koje uključuje homogeni i partikularni dio glasi:

ptsinmpk

PtsinBtcosA)t(y 2

0

−++= ωω

pri čemu je ω vlastita frekvencija sustava. Konstante A i B odreñujemo iz rubnih odnosno početnih uvjeta, dakle pomaka y0, i brzine

v0 u trenutku t=0. 1. uvjet: 0y)0t(y == → Ay0 =

2. uvjet: 0v)0t(y ==ɺ → mpk

PpvB

200

−−=

ωω

0 00 2

v P py( t ) y cos t sin t (sin pt sin t )

k p mω ω ω

ω ω= + + −

−


17

Ako pretpostavimo homogene početne uvjete (pomak y0=0, i brzina v0=0), i uvedemo

novu konstantu ω

β p= , tada su vrijednosti konstanti A=0 i 2

0

1

1

k

PB

ββ

−= , a rješenje

diferencijalne jednadžbe je

)tsinpt(sin1

1

k

P)t(y

20 ωβ

β−

−=

Od statičkog djelovanja sile P=P0 nastaje pomak k

P0 , tako da lako uočavamo efekt

dinamičkog djelovanja harmonijske sile P(t). Uobičajeno je da se uvijek doprinos dinamičkog djelovanja razdvoji od statičkog,

odnosno da se funkcija pomaka prikaže u obliku produkta statičkog pomaka i faktora povečanja pomaka od dinamičkog djelovanja, koji se skraćeno naziva dinamički faktor (DF).

DFy)t(y st ⋅= ,

)tsinpt(sin1

1)t(DF

2ωβ

β−

−= .

Možemo uočiti da funkcija koja opisuje gibanje čestice uvijek ovisi o obliku funkciji sile, odnosno posljedica je zadanog dinamičkog djelovanja. Zbog toga se funkciju pomaka naziva dinamički odziv ili ''odgovor'' na zadano opterećenje.

U ovom slučaju funkcija odziva složena je od dvije harmonijske funkcije različitih frekvencija: prva funkcija prikazuje djelovanje vanjske sile koja prisiljava oscilator na gibanje istom frekvencijom, a druga prikazuje gibanje s frekvencijom oscilatora.

2 4 6 8 10 12 14t

-1

-0.5

0.5

1

8P@tD, x@tD<

Poêk Sin @0.25 w tD

pomaci x@tD

O omjeru frekvencije pobude i vlastite frekvencije β, jako ovise i svojstva promatranog odziva. Pri zbrajanju oba doprinosa, može se dogoditi da ove dvije komponente gibanja dolaze u fazu i udaljvaju se periodično tijekom vremena, tako da se ukupni pomaci periodično povečavaju i opadaju. Ova pojava naziva se udaranje (engl. beating), i može se pojaviti u mlinovima i sličnim postrojenjima.


18

100 200 300 400t

-0.2

-0.1

0.1

0.2

yHtL

Osim ovog efekta, i veličina amplitude gibanja ovisi omjeru frekvencija β.

2

1DF

1 β=

−

Približavanjem frekvencija veličina amplitude raste odnosno DF→∞ , i nastaje pojava koja se naziva rezonancija.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0b

-2

-1

1

2

3DF

Drugim rječima za β =1, matematički gledano, amplituda bi trebala biti beskonačno velika! Ipak, formalno to nije točno jer je ovo rješenje odreñeno uz pretpostavku malih pomaka, i kada pomaci postanu veći oscilacije će postati nelinearne. Isto tako znamo da u naravi uvijek imamo prigušenje koje ograničava amplitude.

Čak i uz vrlo malo prigušenje intuitivno možemo zaključiti da pojava beskonačno velikih amplituda ne može biti točna. Ako tu pojavu analiziramo s aspekta energije, jasno je da ne možemo očekivati da će u slučaju jednakih frekvencija amplitude odmah postati beskonačno velike, već samo da će se tijekom vremena postupno povećavati, jer je u tom slučaju zbog usklañenosti gibanja i smjera djelovanja sile, rad sile stalno pozitivan. Drugim rječima ako je došlo do sinhronizacije pomaka i smjera djelovanja sile sustava više ne pruža otpor i energija raste jer se radom sile stalno unosi u sustav.

5 10 15 20t

-60

-40

-20

20

40

60

DF


19

1.3. Prigušene oscilacije

Iz iskustva znamo da slobodne oscilacije s vremenom prestaju, prigušuju se. Ako zanjišemo konstrukciju ona se nakon nekog vremena prestane njihati – uobičajeno kažemo da su se oscilacije prigušile, odnosno da je konstrukcija ''izgubila energiju''. Pri tome se misli samo na mehaničku energiju, dakle treba naglasiti da to nije u kontradikciji sa zakonom očuvanja ukupne energije jer se za vrijeme gibanja energija transformira u druge oblike.

Uzroci prigušenja povezani su sa većinom idealizacija kojie smo uveli. U prethodnom

izvodu zakona slobodnih neprigušenih oscilacija zanemarili smo sve otpore gibanju, iako znamo da unutar svakog medija postoji otpor gibanju. Upravo zato funkcija prigušenja zavisi o svojstvima okruženja. Otpor zraka ima funkciju približnu kvadratnoj paraboli i mijenja predznak.

Otpor gibanju unutar gustih tekućina naziva se viskozno prigušenje (npr. gibanje klipa u motornom ulju). Kod malih brzina gibanja klipa, sila otpora proporcionalna je brzini.

SUHO TRENJE VISKOZNO PRIGUŠENJE OTPOR ZRAKA

Otpor gibanja po hrapavoj površini ovisi o sili trenja koja je uvijek suprotna smjeru

gibanja, dakle u tom slučaju sila prigušenja učestalo mijenja predznak. Nadalje i kod uključivanja sile prigušenja u matematički model opet vršimo idealizaciju jer u naravi postoji razlika izmeñu trenja mirovanja i trenja gibanja.

Možemo se vratiti i na jednu od osnovnih idealizacija: pretpostavili smo da su elastična tijela zamijenjena idealno elastičnim oprugama, što je zapravo bitno odstupanje od stvarnosti.

U naravi, kod deformacije svakog pa i na izgled elastičnog tijela javlja se histereza, što znači da se funkcija sile i pomaka pri povećavanju sile razlikuje od funkcija sile i pomaka pri smanivanju sile. Kažemo do deformacija pri rasterećenju ne ide istim putem kojim ide kod opterećenja.

Ova činjenica ujedno je u kontradikciji i sa pretpostavkom idealne elastičnosti (jer istoj sili odgovaraju dva različita pomaka) ali za sada ipak smatramo da su opruge linearne krutosti.

Nadalje, pretpostavili smo da je objesište opruge apsolutno kruto, dakle nedeformabilno. Ta točka ekvivalentna je našem spoju konstrukcije na tlo. Znamo da će se za vrijeme oscilacija konstrukcije i tlo deformirati. Drugim rječima dio energije se oscilacijama prenosi i na čestice okolnog tla unutar kojeg se valovi šire odnosno udaljavaju od objesišta, tako da se i energija valovima udaljava od točke objesišta, slično radijaciji.

U većini matematičkih modela oscilacija pretpostavlja se da je prigušenje viskozno, dakle proporcionalno brzini, iako znamo da u stvarnosti nije uvijek tako. Točnije opisivanje svih fenomena koji utječu na prigušenje rezultiralo bi vrlo složenim i najčešće besmislenim matematičkim modelom, jer i tada ne bi mogli reći da taj matematički model u potpunosti odgovara oscilacijama stvarne konstrukcije. Već smo rekli da mnoge parametre možemo samo približno odrediti (počev od intenziteta i rasporeda statičkog i dinamičkog opterećenja do odstupanja u mjerama i kvaliteti betona). Nadalje, znamo da prigušenja izmjerena u našim konstrukcijama nisu velika, tako da smijemo sve utjecaje zamjeniti jednostavnim linearnim modelom viskoznog prigušenja.

F F F

δ

P


20

1.3. 1. Slobodne prigušene oscilacije

Model idealno elastičnog oscilatora sa prigušenjem sastoji se od jedne čestice koja je vezana za nepomičnu podlogu oprugom i paralelno spojenim prigušivačem, tako da se klip giba istom brzinom kao i čestica. Ovaj model dosta dobro idealizira sve fenomene, a istodobno dovoljno je jednostavan tako da ima analitičko rješenje. Za vrijeme slobodnog gibanja na česticu istovremeno djeluje inercijalna sila ymFi ɺɺ⋅= proporcionalna ubrzanju, elastična sila ykFel ⋅= proporcionalna pomaku, i sila prigušenja

)t(ycFD ɺ⋅= koja je proporcionalna brzini gibanja. Primjenom D'Alambertovog principa, iz sume sila, odredimo diferencijalnu jednadžbu kako slijedi.

0ykycym

0FFF elDi

=⋅+⋅+⋅=++

ɺɺɺ

Pretpostavimo da će rješenje opet imati isti oblik kao kod neprigušenih oscilacija

rtey =

Derivacije po vremenu su:

rty r e= ⋅ɺ , i 2 rty r e= ⋅ɺɺ Nakon supstitucije ovih izraza u diferencijalnu jednadžbu dobijemo

( ) 0ekrcrm rt2 =⋅+⋅+⋅

Ova jednadžba ima netrivijalno rješenje ako je

0krcrm 2 =+⋅+⋅ .

Korjeni ove jednadžbe odreñuju eksponent u rješenju y(t),

222

2,1 m2

c

m2

c

m2

km4ccr ω−

±−=⋅−±−=

a oblik rješenja ovist će o vrijednosti diskriminante. Frekvencija odnosno period oscilatora osnovni je parametar koji u osnovi ovisi o masi i nosivim elementima naše konstrukcije i time je jednoznačno odreñen. Prigušenje ovisi o materijalu od kojeg su izvedeni nosivi elementi, o načinu izvedbe ali u velikoj mjeri ovisi i o nekonstruktivnim dijelovima konstrukcije. Ovisno o veličini prigušenja, odnosno vrijednosti konstante c, funkcija rješenja y(t), opisuje tri različite vrste gibanja.

a) kriti čno prigušenje

Ako diskriminanta isčezava, odnosno ako je ω=m2

c, dakle za vrijednost ωm2c = .

Takvo prigušenje nazivamo kritično prigušenje

ωm2ccr = .

y(t), y( t ), y( t )ɺ ɺɺ c

k

Idealno glatka podloga

m


21

U tom su slučaju oba korjena kvadratne jednadžbe jednaka

ω−=−==m2

crr cr

21 ,

tako da rješenje diferencijalne jednadžbe mora mora imati oblik

( ) t21 etDD)t(y ⋅−⋅+= ω .

Kriti čno prigušenje je dakle najmanje prigušenje pri kojem slobodno gibanje našeg sustava, nastalo zbog početnog pomaka i/ili početne brzine, nema oscilirajući karakter.

Konstante D1 i D2 odreñuju se iz početnih uvjeta (brzini v0 i pomak y0, u trenutku t=0), tako da je

( )0 01 ty( t ) y t v t e ωω − ⋅ = + + ⋅ .

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y@tD

b) prigušenje je manje od kritičnog:

Uobičajeno je da se prigušenje iskazuje u relativnom odnosu prema kritičnom prigušenju:

ωξ

m2

c

c

c

cr

==

Već smo rekli da prigušenja u našim konstrukcijama nisu velika. Ispitivanja su pokazala da relativno prigušenje u našim konstrukcijama iznosi od 5% do 10% od kritičnog prigušenja, tako da je izraz pod korjenom negativan, a korjeni kvadratne jednadžbe su

D2222

2,1 i1ir ωξωξωξωωωξξω ±−=−±−=−±−= ,

gdje je uvedena oznaka

2D 1 ξωω −=

koja se naziva frekvencija prigušenih oscilacija. Približni utjecaj prigušenja na frekvenciju slobodnih oscilacija možemo vidjeti na crtežu funkcije:

22D 1

ω ξω

= −

Za male vrijednosti ξ , frekvencija prigušenih oscilacija vrlo malo se razlikuje od frekvencije neprigušenih oscilacija, odnosno u našim konstrukcijama ωω ≈D .

y 0

v0

ξ

1

1

Dωω


22

Nakon supstitucije r1 i r2 u y(t) dobijemo

( )D Di t i t t1 2y( t ) G e G e eω ω ξω− −= ⋅ + ⋅ ⋅ .

Rješenje y(t) biti će realno samo ako su konstante G1 i G2 konjugirano kompleksni par. Nakon transformacije eksponencijalnih u trigonometrijske funkcije dobijemo

t

DD e)tsinBtcosA()t(y ξωωω −⋅+= .

Konstante A i B ovise o početnim uvjetima (brzina v0 i amplituda pomaka y0, u trenutku t=0). Nakon te supstitucije dobijemo rješenje diferencijalne jednadžbe, odnosno funkciju slobodnih prigušenih oscilacija

tD

D

00D0 etsin

yvtcosy)t(y ξωω

ωξωω −⋅

++= .

1 2 3 4t

-1

-0.5

0.5

1

y@tD

c) prigušenje je veće od kritičnog

Već iz definicije kritičnog prigušenja možemo zaključiti da u i ovom slučaju gibanje neće imati oscilirajući karakter. Rekli smo da su prigušenja u standardnim konstrukcijama u grañevinarstvu mala. Velika prigušenja obično se javljaju u strojarskim konstrukcijama. Ovdje se nećemo baviti posebnim prigušivačima koji se ugrañuju u neke dijelove naših konstrukcija (ustvari, i to su posebne strojarske naprave koje su projektirane tako da imaju veliko prigušenje). Slučaj prigušenja večeg od kritičnog analizirat ćemo samo zbog matematičke potpunosti rješenja.

Ako je ω>m2

c diskriminanta je pozitivna i rješenje diferencijalne jednadžbe biti će:

ωξωξωξω ±−=−±−= 1r 22,1 ,

a rješenje diferencijalne jednadžbe prikazano je funkcijom koja izgleda slično kao u 1. slučaju, samo što se sada sustav polaganije vraća u ravnotežni položaj.

te)tsinhBtcoshA()t(y ξωωω −⋅+=.

te ξω−

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

yHtL


23

1. 3. 2. Prisilne prigušene oscilacije - harmonijska pobuda

U jednadžbu dinamičke ravnoteže osim već navedenih sila uvodi se i sila prigušenja.

)tpsin(Pykycym 0 ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ɺɺɺ

Sada u partikularno rješenju moramo dodati i član s kosinusom jer se u diferencijalnoj jednadžbi mora uravnotežiti i prva derivacija:

)tpcos(G)tpsin(Gy 21part ⋅⋅+⋅⋅= ,

)tpcos(pG)tpsin(pGy

)tpsin(pG)tpcos(pGy2

22

1

21

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=ɺɺ

ɺ

)sin()cos()()sin()( 0212

2122

1 tpPtpGkcpGmpGtpGkcpGmpG ⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−

Vidimo da moraju biti zadovoljene dvije jednadžbe (grupiramo uz sin(pt) i cos(pt))

0)(

)(

22

1

022

1

=⋅⋅−⋅−⋅

=⋅⋅−⋅−⋅

cpGmpkG

PcpGmpkG,

odnosno u matričnom obliku:

=

⋅−⋅

⋅−⋅−0

0

2

1

2

2 P

G

G

mpkcp

cpmpk.

Sustav rješimo metodom determinante:

222 )cp()mpk(det ⋅+⋅−= )cpP2det

)mpk(P1det

0

20

⋅⋅−=⋅−=

1

det 1G

det=

det

2detG2 = )tpcos(

det

2det)tpsin(

det

1detypart ⋅⋅+⋅⋅=

Nakon sreñivanja izraza, uz uvedene oznake za

ω

β p= ω

ξm2

c

c

c

cr

==

partikularno rješenje možemo napisati u slijedećem obliku:

[ ]ptcos2ptsin)1()2()1(

1

k

Py 2

2220

part ξββξββ

−−

+−= .

Možemo uočiti dva bitna svojstva ovog rješenja: - funkcija partikularnog rješenja više nije sinhrona s funkcijom sile P(t) jer postoji

pomak u fazi - približavanjem frekvencije sile i vlastite frekvencije konstrukcije amplituda ne postaje

beskonačno velika (nazivnik više ne teži nuli)

Ukupno rješenje dobije se pribrajanjem homogenog dijela rješenja

hom party y y= +


24

[ ]

[ ]ptcos2ptsin)1()2()1(

1

k

P

e)tcos(C)tsin(By

2222

0

t

ξββξββ

ωω ξω

−−

+−+

⋅⋅⋅+⋅⋅= −

Prvi dio ukupnog rješenja predstavlja gibanje s frekvencijom oscilatora i zbog prigušenja smanjuje se eksponencijalno s vremenom. Konstante B i C odrede se iz početnih uvjeta, ali zbog dosta brzog smanjivanja doprinosa ukupnom pomaku nemaju nekog praktičnog značaja. Taj dio odziva naziva se privremeni ili prolazni dio odziva (engl. transient), jer njegov doprinos isčezava s vremenom.

Drugi dio odziva, odnosno partikularno rješenje ima dominantan utjecaj na amplitudu oscilacija odnosno dinamički faktor. Taj dio prikazuje efekt djelovanja vanjske sile koja prisiljava oscilator na gibanje istom frekvencijom sve dok traje djelovanje pobude i naziva se stalni ili ustaljeni dio odziva (engl. steady-state response).

Ustaljeni odziv možemo prikazati funkcijom

)ptsin(Ay θ−⋅=

s faznim pomakom θ

−= 21

2Arctg

βξβθ

i amplitudom A

2/1

2220

)2()1(

1

k

PA

+−=

ξββ,

dakle dinamički faktor odreñen je izrazom

[ ] 2/1222 )2()1(DF−+−= ξββ .

Vidimo da čak i ako se frekvencija pobude približi frekvenciji slobodnih oscilacija, odnosno omjer frekvencija β postne jednak jedinici, što je slučaj rezonancije neprigušenog sustava, dinamički faktor neće postati beskonačno velik.

ξβ 2

1DF )1( == .

Dinamički faktor za neko konkretno prigušenje u konstrukciji ovisi o omjeru frekvencija β. Omjer frekvencija za pripadni maksimum dinamičkog faktora odredimo iz derivacije DF po β izjednačene sa nulom, te se odredi vrijednost β

22-1 ξβ =

Za naše konstrukcije uvijek je ξ<1/ 2 , odnosno prigušenje c nikada nije 70% od kritičnog prigušenja i β je uvijek realna pozitivna veličina. Maksimalna vrijednost DF za taj omjer frekvencija je

D2max 2

1

12

1DF

ωω

ξξξ=

−=

što je za različita prigušenja prikazano na slijedećoj slici.


25

0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

6 A

Ω/ω

Vidimo da prigušenje ograničava veličinu amplitude oscilacija i malo smanjuje

frekvenciju pri kojoj dolazi do rezonancije, odnosno pri kojoj DF postiže maksimalnu vrijednost. Objašnjenje fizikalnog mehanizma nastajanja rezonancije kod neprigušenih oscilacija, sa stanovišta energije vrijedi i u ovom slučaju. Amplitude se povećavaju s vremenom, a postanu velike tek nakon nekog vremena, odnosno tek kada se u sustav unese dovoljno energije.

Očito je da u realnim sustavima, koji su uvijek prigušeni, nije točno naivno objašnjenje

da u slučaju rezonancije pomaci postaju beskonačno veliki i da će se konstrukcija u tom slučaju srušiti! Konstrukciju uvijek možemo dimenzionirati tako da izdrži i rezonanciju, ali to u praksi izbjegavamo jer je takvo gibanje objekta neugodno za ljude. Osnovni razlog zašto nastojimo izbjeći ovu pojavu je što nam je to previše skupo, jer ako je npr. DF=15, dimenzioniranje moramo provesti za opterećenje 15 puta veće od statičkog!

U nekim konstrukcijama rezonancija se ne može izbjeći. Neke turbine rade u frekventnom području koje je više od frekvencije konstrukcije, tako da pri pokretanju moraju proći kroz područje rezonancije. U tom slučaju važno je da taj prolazak bude brz tako da dinamički faktor ne stigne dostići maksimalnu vrijednost. Analogno vrijedi i za zaustavljanje. Za ilustraciju nam je dostupan primjer rada perilice za rublje: intenzitet i frekvencija sile pobude ovisi o količini rublja i vode. Perilica pri radu prolazi kroz rezonantno područje samo kod zaustavljanja centrifuge što traje kratko. Ipak pri odreñenim okolnostima može doći do značajnog povećanja dinamičkog faktora, čak može doći i do narušavanja ravnoteže odnosno stroj počne ''skakutati''. Osim ovih nepovoljnih pojava, rezonancija je ponekad poželjna a koristi se i u graditeljstvu. Npr. na principu rezonancije rade vibratori za sabijanje betona i tzv. žabe za sabijanje nasipa, tako da sa manjom silom postižu veći učinak. Rezonantno titranje koristi se i u glazbi, te kod izrade glazbenih instrumenata.

ξ=0,2

ξ2

1

DF

β

Documents

oscilations