8/13/2019 P. Odifreddi - Riga o compasso?

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18 Le Scienze 521 gennaio

D a n i l o S o s s i

Il matematico impertinente

di Piergiorgio Odifreddi

professore ordinario di logica matematica allUniversit di Torino

e visiting professor alla Cornell University di Ithaca (New York)

Durante una campagna militare in Germania, a Na-poleone venne in mente questo problema di geo-metria: possibile trovare il centro di un cerchio,usando soltanto il compasso?. Un problema dop-piamente sorprendente, per lautore e per il con-

tenuto. La prima sorpresa svanisce, per, quando si ricorda cheda adolescente, al Corpo Reale Artiglieri, Napoleone aveva avutoPierre-Simon Laplace come professore, e aveva conservato un cer-to interesse per la matematica e i matematici.

Il grande corso pass il problema a Lorenzo Mascheroni, chedopo averlo risolto se ne pose uno ancora pi generale: possi-bile effettuare tutte le costruzioni classiche dei Greci, che usava-no anche la riga, usando soltanto il compasso?. Dopo aver datouna risposta affermativa, la illustr a Napoleone stesso a Mom-bello, dove il giovanegenerale, sconfitto ilnemico, erasi ritirato il17 maggio 1797, inten-to a ordinare la Repub-blica Cisalpina.

Quello stesso an-no Lorenzo Maschero-

ni pubblic la sua Lageometria del compas-

so. Dedicata, come sipu immaginare, a Bo-naparte lItalico, para-gonato a un geometra:Io pur ti vidi collin-

vitta mano, // che partei regni, e a Vienna inti-m pace, // meco divi-der con attento guardo// il curvo giro del fedelcompasso.

Il libro affascin Na-poleone al punto che il generale, oltre a risolverne gli esercizi e afarlo tradurre, lo fece conoscere il 10 dicembre 1797 al suo ex-pro-fessore Laplace, e a Joseph-Louis Lagrange, durante la celebrazio-ne per la pace di Campoformio, suscitando lo stupore di entram-bi: Tutto ci aspettavamo da voi, generale, meno che una lezionedi matematica.

In realt, non solo la soluzione al problema di Napoleone, malintera opera di Mascheroni erano state anticipate di pi di un se-colo da Jrgen Mohr, nellEuclide danese. Il libro era stato pubbli-cato nel 1672, ma solo in danese e in olandese, e apparentemen-te nessuno laveva letto nel resto dEuropa. Fu dimenticato fino al1928, quando venne ritrovato da uno studente di matematica in

una libreria di libri usati a Copenhagen, e ristampato in facsimi-le nello stesso anno.

Da allora si parla dunque del cosiddetto teorema di Mohr eMascheroni per il risultato che dice, appunto, che ogni costru-zione che si pu fare con la riga e con il compasso si pu fare conil solo compasso. Con la convenzione che le rette vengono indivi-duate da due loro punti, e la dimostrazione che non c mai biso-gno di disegnarle fisicamente.

Naturalmente, una volta scoperto che possibile evitare luso di

uno dei due strumenti classici della geometria greca, ci si pu chie-dere se lo stesso valga anche per laltro. Il problema se lo pose nel1833 Jakob Steiner, ma le sue Costruzioni geometriche effettua-te con la riga e un cerchio datodimostrarono che questa volta lasoluzione negativa: ogni costruzione che si pu fare con la riga

e il compasso, si pu fa-re con la sola riga e unsingolo uso del compas-so, per tracciare un sin-golo cerchio.

Ma questo singolouso non eliminabile,e il controesempio la-

nalogo del problema diNapoleone: il centro diun cerchio dato non sipu trovare con la solariga, senza il compasso.La dimostrazione usala geometria proietti-

va, e non stupisce dun-que che il risultato fos-se stato congetturatonel 1822 da Jean-VictorPoncelet, uno dei padridella disciplina.

Quanto al problemaoriginario di Napoleone, trovare il centro di un cerchio dato richie-de solo la costruzione di sei cerchi. Il primo cerchio ha centro inun qualunque punto A sulla circonferenza del cerchio dato, e pas-sa per un qualunque altro punto B: esso individua un altro punto Csulla circonferenza, simmetrico a B. Il secondo e terzo cerchio han-no per centro uno dei due punti B e C, e passano per il punto A: es-si si intersecano in un punto D, simmetrico rispetto ad A. Il quartocerchio ha centro D, e passa per A: esso interseca il primo cerchioin due punti E ed F. Il quinto e sesto cerchio hanno per centro unodei punti E ed F, e passano per A: essi si intersecano in un puntoG, simmetrico rispetto ad A, che il centro del cerchio di partenza.Provare per vedere, ma dimostrare per credere!

Riga o compasso?Problema napoleonico, ovvero come trovare il centro di un cerchio con il compasso

Cerchio dato:

A e B ogni puntosul cerchio dato

Cerchio 1:

centro Ae raggio AB

A

D

1 EF

BG

C

Da dimostrare:

G il centrodel cerchio 1

Cerchio 3:

centro Ce raggio CA

Cerchio 4:

centro De raggio DA

Cerchio 5:

centro E

e raggio EA

Cerchio 6:

centro F

e raggio FA

Cerchio 2:

centro Be raggio BA