p7 - Dinamika Viskoznog Fluida

7/25/2019 p7 - Dinamika Viskoznog Fluida

1/28

7. DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA

7.1. FIZIKA RAZMATRANJA

Moe se zamisliti slika o razvoju strujanja iznad neograniene idealno ravne i glatke vrstekonture i to od stanja mirovanja pa do neke ustaljene brzine, koja bi u cijelom toku imala istu

vrijednost, kao kada bi fluid bio neviskozan.

Meutim, kada se fluid pone kretati moe se oekivati da e u kretanju biti ometani samo onielementi fluida koji su u kontaktu sa ploom, uslijed adhezije. Iz kinetike teorije gasova jepoznato, da se molekule kreu haotino, u granicama svoje slobodne molekularne putanje, patako ulaze i u slojeve fluida koji se kree. Ovaj ih povlai, to fiziki znai da ih ubrzava, aposljedica toga se ispoljava kao sila u dodirnoj povrini slojeva. Ova sila usporava kretanje fluidai predstavlja otpor. Uobiajeno je da se taj otpor pripisuje djelovanju unutarnjeg fluidnog trenja.

Istog trenutka kada se uspore elementi fluida uz plou, nastaje razlika brzina izmeu njih ielemenata fluida u susjednim slojevima, tako da se oni blie ploi, kao sporiji, nalaze urelativnom mirovanju prema brim elementima fluida. Zato meu njima nasta je trenje uzposljedicu koja je opisana. Ova pojava se nastavlja sve dok se strujanje ne ustali. Naravno, ovi

zakljuci vae samo zaslojevito-laminarno strujanje fluida.

Teoretski, brzine oblinjih fluidnih slojeva bi se izjednaile tek na beskonanom rastojanju odploe, ali je za praktinu primjenu, izjednaenje nastupilo ve na mjestu gdje je brzina manja za1% od brzine u neporemeenom toku. Ovaj prostor, od ploe do mjesta izjednaenja brzina,

naziva segranini sloj(prema Prandtlu), a rastojanje od ploe do mjesta izjednaenja brzinapredstavlja debljinu graninog sloja.

Granini sloj bi teio veoma maloj debljini jedino kada bi se fluid kretao veoma brzo, tada bi se udodiru sa zalijepljenim slojem stvorila neizmjerno jaka sila koja bi mogla da se suprotstavisilama adhezije. Iz ovoga slijedi da nema smisla zanemarivati granini sloj pri malim brzinamakretanja fluida, dok je opravdano i korisno da se tako postupi kada su brzine velike. Tada bi se

moglo smatrati da granini sloj pripada konturi tijela, upravo kao da je uz nju ovrsnuo. Timebi se dobio formalan prelaz od realnog fluida prema idealnom - neviskoznom, potencijalnom,

fluidu.

Promjena brzine u graninom sloju, u funkciji udaljenosti od ploe, svjedoi o tome da je u tomdijelu struje:

(7.1.)Dakle, fluidni elementi rotiraju, iako se to prostim okom ne primjeuje. Uobiajeno je da sevidljivo rotiranje fluidne mase oznaava kao vrtlog, pa bi se ovi nevidljivi vrtlozi mogli nazvatielementarnim vrtlozima. Svaki vrtlog, elementarni ili konani,sadri kinetiku energiju koja se


2/28

tokom vremena transformie u toplotnu energiju. Pri ovom se poveava unutarnja energija fluida,a ne pritisak i brzina. Nastanak elementarnih vrtloga je usko vezan za unutarnje trenje fluida, tj.

za otpor koji struja fluida mora savladati prilikom prelaska preko vrste konture. Zato se morapretpostaviti da e zbog otpora, u optem sluaju, opadati pritisak i brzina u struji fluida. Jasno jei to, da e se otpor poveavati ukoliko se vie vrtloga formira u jedinici vremena. Sa jedne strane,

to zavisi od intenziteta rotora vektora brzine, tj. od promjene brzine po jedinici okomito na vrstukonturu, a sa druge strane, od gustine fluida i od dubine do koje prodiru molekuli usporenih

elemenata fluida.

Njutn je postavio slijedei izraz za napon smicanja u laminarnoj struji:

(7.2.)gdje su:

koeficijent dinamikog viskoziteta, komponenta brzine u pravcu ose.Kako trenje izaziva promjenu toplotnog stanja fluida, to bi vodilo uspostavljanju veze izmeumehanikih i termodinamikih pojava. Uslijed velikih tekoa koje oko ovoga nastaju,pretpostavlja se da je uticaj toplote beznaajan pa se nee uzimati u obzir. Posljedica toga e bitida viskozitet ostaje konstantan iako se on mijenja sa temperaturom. Iz ovih razloga,

karakteristina jednaina e zadrat svoj raniji oblik. Posmatrae se, uglavnom, nestiljiv fluid iadijabatska promjena stanja stiljivog fluida.

Uslov neprekidnosti, kontinuiteta, vai i za viskozni fluid, pa e jednaina kontinuiteta imatioblik:

(7.3.)odnosno, ako je fluid nestiljiv:

(7.4.)

Prirodno je da na snazi ostaju Njutnovi principi koji odreuju sile kao proizvod mase i ubrzanja.Ojlerovejednaine su izvedene, takoe, na istom principu. Zato i one vrijede, ali pod uslovom dase dopune novim lanovima koji zavise od trenja, izvora jo jedne sile koja veoma jako utie nakretanje fluidne mase.

7.2. DEJSTVO SILA VISKOZITETA

Da bi se u diferencijalne jednaine za kretanje fluida uvele sile koje zavise od viskoziteta treba,najprije, utvrditi stanje napona. Neka je taka , proizvoljna taka u fluidu, tjeme diferencijalnomalog pravouglog paralelopipeda sa duinama stranica i , slika 7.1.


3/28

Uslijed viskoziteta, bone stranice paralelopipeda trpe normalne i tangencijalne sile, pri emunormalne sile vie nisu nezavisne od pravca, kao u idealnom fluidu. Poznato je, iz nauke ootpornosti materijala, da stanje napona u taki odreuje 9 veliina: tri normalne komponente i est tangencijalnih i .Indeksi uz normalne napone pokazuju stranicu paralelopipeda na koju naponi djeluju, ioznaavaju pravac normale na toj stranici. U isto vrijeme, indeks pokazuje i pravac u kojemdjeluje odgovarajui normalni napon.

U tangencijalnih napona, prvo slovo u indeksu pokazuje pravac normale i time odreuje stranicuparalelopipeda na koju se odnosi. Drugo slovo odreuje pravac djelovanja napona.

Kao to je poznato, zbog veza:

(7.5.)broj komponenata tangencijalnih napona se redukuje na tri.

Slika 7.1.: Dejstvo sila viskoziteta

Da bi se dobila sila koja djeluje na stranicu paralelopipeda treba svaki napon pomnoiti sapovrinom odgovarajue stranice. Rezultujue sile u pravcu i ose se dobivaju sabiranjemsvih sila u odgovarajuem pravcu, vodei rauna o smjeru. Za pravac

ose imamo:

odnosno, poslije sreivanja:


4/28

Analogno se moe uraditi i za pravce i ose:

Odavde slijedi da projekcije sile, raunate po jedinici zapremine, imaju vrijednosti:

(7.6.a)

(7.6.b)

(7.6.c)Dakle, umjesto normalnog pritiska jednakog u svim pravcima, kao to je u idealnom fluidu,javljaju se normalni pritisci i tangencijalne sile.

7.3. PRETPOSTAVKE O NAPONIMA

Ako se posmatraju samo naponi prouzrokovani viskozitetom, koji zavise od pravca, treba od

normalnih napona jednostavno oduzeti pritisak koji je jednak u svim pravcima, a javlja se iu idealnom fluidu. Dakle, normalni naponi koji zavise od viskoziteta su:

Tangencijalni naponi su posljedica viskoziteta fluida i ne mogu se pojaviti u idealnom fluidu.

to se tie veliine normalnih i tangencijalnih napona treba uvesti neke pretpostavke. One trebajubiti jednostavne i prirodne, kako bi se dobili rezultati koji e se slagati sa eksperimentima.

Prirodno je da se naponi poveu sa brzinama deformacije fluidnih elemenata jer su ove brzineposljedica napona. Pretpostavka je, da se komponente napona mogu izraziti kao linearne funkcije

odgovarajuih brzina deformacije, to odgovara Njutnovom zakonu. Uobiajeno je da sekoeficijent proporcionalnosti uzima jednak

i da je konstantan. Polovina vrijednosti

koeficijenta proporcionalnosti je jednaka koeficijentu dinamikog viskoziteta.

Duine stranica paralelopipeda se mijenjaju proporcionalno sa . Ove promjenesu posljedica djelovanja normalnih napona i . Prema uinjenojpretpostavci, i principu simetrije, odgovarale bi slijedee veze izmeu napona i brzinadeformacije:


5/28

(7.7.)

gdje je nepoznati koeficijent proporcionalnosti.Na slian nain, pretpostavka o tangencijalnim naponima dovodi do izraza:

(7.8.)

Kao to se vidi, normalni naponi i zavise od pravca. U mehanici viskoznog fluida, podnazivomfluidni pritisak u nekoj taki, podrazumijeva se srednja vrijednost pritisaka , i, koji djeluju u pravcima koordinatnih osa, tj.:

(7.9.)Obino se pretpostavlja da

ne zavisi od pravca, dakle, da je jednak pritisku

koji se javlja

u izrazima izvedenim za strujanje neviskoznog fluida.

Sabiranjem jednaina (7.7.) se dobiva:

(7.10.)Obzirom da je:

(7.11.)na osnovu izraza 7.10. i 7.11., dobivamo:

(7.12.)

ili

(7.13.)Sada izrazi za normalne napone glase:

(7.14.)


6/28

7.4. NAVIER-STOKSOVE JEDNAINE

Uvrtavanjem izraza 7.8. i 7.14. u izraze 7.6. dobivaju se projekcije unutarnjih sila, nakoordinatnim osama, izraene projekcijama brzine. Za projekciju u pravcu ose imamo:

ili

(7.15.)

gdje je Laplasov operator:


7/28

Analogno se moe izvesti i za projekcije u pravcima i ose:

(7.15.)

U optem sluaju, izraz za rezultujuu unutarnju silu po jedinici zapremine, u vektorskom obliku,glasi:

(7.16.)Odnosno, poslije uvrtavanja komponenti, izraz 7.15., i sreivanja:

(7.17.)

U poglavlju 4.4. je izvedena Ojlerova diferencijalna jednaina u vektorskom obliku za kretanjeidealnog fluida, izraz 4.11.:

U Ojlerovoj jednaini, unutarnjim silama po jedinici zapremine odgovara lan . Zaviskozne fluide ovaj lan treba zamijeniti izrazom 7.17. za:

(7.18.)

Dakle, od uticaja viskoziteta fluida postoje, u jednaini kretanja 7.18., lanovi:

(7.19.)Vidi se, ako se ovi lanovi, izraz 7.19., dodaju Ojlerovoj jednaini 4.11., i itav izraz podjeli sa ,dobiva se jednaina za kretanje viskoznog fluida u obliku:

(7.20.)

gdje su:

zapreminska sila po jedinici mase fluida, kinematski viskozitet.


8/28

Dobiveni izraz 7.20. predstavljaNavier1- Stoksovu

2jednainu kretanja viskoznog fluida u

vektorskom obliku.

Kada je fluid nestiljiv, jednaina 7.4., doputa da se Navier-Stoksova jednaina 7.20.uprosti, i postaje:

(7.21.)ili u skalarnom obliku:

(7.22.)

Iako su Navier-Stoksove jednaine, u prezentiranom obliku, poznate jo iz devetnaestog stoljea,

nemaju opte rjeenje. Zbog prisustva konvektivnih lanova tipa jednaine su parcijalne inelinearne, a zbog lanova drugog su reda, pa je njihovo rjeavanje veoma teko. Danas nepostoji niti jedno rjeenje Navier-Stoksovih jednaina koje bi istovremeno sadravalo, neke ilisve, konvektivne ili viskozne lanove, a koje vjerno predstavljaju sluaj strujanja u nekimgraninim uslovima.

Vektorska jednaina 7.20., odnosno 7.21., zajedno sa jednainom kontinuiteta i karakteristinom

jednainom, predstavlja sistem diferencijalnih jednaina koje slue za odreivanje i i koje uz pomo poetnih i graninih uslova potpuno definiu kretanje viskoznogfluida.

Zbog pogodnosti rada u cilindrinom koordinatnom sistemu, navedene su Navier-Stoksovejednaine u ovom sistemu :

(7.23.)

1Claude-Louis Navier2George Gabriel Stokes


9/28

7.5. NEKA EGZAKTNA RJEENJA NAVIER-STOKSOVIH

JEDNAINA

Navier-Stoksove jednaine se primjenjuju u irokoj kategoriji kretanja viskoznog fluida.Najjednostavniji oblik kretanja viskoznog fluida je laminarno. Kod ovakvog kretanja se moezamisliti da se fluid kree u slojevima, uz kontinualnu promjenu brzine toka. Laminarno kretanjese pojavljuje kod nekih jednostavnih graninih uslova.

Pokazat emo neka egzaktna rjeenja Navier-Stoksovih jednaina za laminarno kretanje sajednostavnim graninim uslovima. Ovdje se pod egzaktnim rjeenjem Navier-Stoksovihjednaina podrazumijeva analitiko rjeenje pojednostavljenih jednaina, kada takve jednainevjerno prikazuju kretanje. Pojednostavljenje Navier-Stoksovih jednaina se postieizostavljanjem pojedinih lanova iz jednaina, kada ti lanovi zbog prirode kretanja ne postoje.Analitiko rjeenje Navier-Stoksovih jednaina se najlake nalazi kada se one mogupojednostavniti, odnosno svesti samo na linearne lanove.

7.5.1. USTALJENO KRETANJE IZMEU PARALELNIH PLOA,

NESTILJIVOG FLUIDA KONSTANTNOG VISKOZITETA

Za ustaljeno kretanje izmeu paralelnih ploa postoji egzaktno rjeenje Navier-Stoksovihjednaina. Pretpostavlja se da su ploe beskonane povrine i da se nalaze na konstantnomrastojanju. Ploe mogu mirovati ili se kretati konstantnom brzinom. Koordinatni sistem jepostavljen tako da je osa usmjerena u pravcu kretanja fluida, osa je normalna nahorizontalnu ravan, a osa je normalna na ravan, slika 7.2.

Slika 7.2.: Ustaljeno kretanje fluida izmeu paralelnih ploa


10/28

Za opis kretanja fluida izmeu paralelnih ploa prirodno je izabrati Navier-Stoksove jednaine,izraz 7.22., u Dekartovom koordinatnom sistemu:

Obzirom da je fluid nestiljiv, jednaina kontinuiteta se moe napisati kao:

Uslov stacionarnosti, ustaljenosti, kretanja ukazuje da su svi lanovi:

Ako je osa orjentisana u pravcu kretanja fluida, tada je:

Uvrtavanjem ovih uslova u jednainu kontinuiteta dobiva se:

Diferenciranjem ove jednaine dobiva se:

Obzirom da je

moe se napisati .

Neka od zapreminskih sila djeluje samo sila gravitacije, tada je:

Uvrtavajui ovo u jednaine kretanja dobiva se:

Ako se umjesto pritiska i zapreminske sile uvedegeneralisani pritisak:


11/28

koji obuhvata djelovanje pritisnih i vanjskih sila, dobiva se:

Iz posljednje dvije jednaine se vidi da nije funkcija i , respektivno, odnosno:

Kako je funkcija samo od varijable, a komponenta brzine funkcija samo varijable, oznakaza parcijalno diferenciranje u prvoj jednaini se mogu zamijeniti izrazima za totalno

diferenciranje:

odnosno:

Kako je lijeva strana jednaine funkcija samo od , a desna funkcija od , jednainu je moguezadovoljiti samo ako je:

Integracijom ovih jednaina dobiva se:

ili

(7.24.)i

(7.25.)Konstante i se odreuju iz graninih uslova.Nadalje e biti analizirano kretanje fluida za dva tipa graninih uslova.


12/28

7.5.1.1. KUETOVO KRETANJE

Kod Kuetovog3kretanja donja ploa se nalazi u stanju mirovanja, a druga, gornja, se kree

konstantom brzinom , slika 7.3.Ovakav opis uslova kretanja fluida namee slijedee granine uslove za brzinu:

Granini uslovi za pritisak su:

Slika 7.3.: Kuetovo kretanje

Uvrtavanjem graninih uslova za brzinu u jednainu 7.25., dobiva se:

a odavde se odreuju konstante:

(7.26.)

(7.27.)

Zamjenom konstanti, izrazi 7.26. i 7.27., u jednainu 7.25., dobiva se:

ili

(7.28.)

gdje je sa oznaeno:

3Maurice Marie Alfred Couette


13/28

(7.29.)

Koritenjem graninih uslova za pritisak, iz jednaine 7.24. se dobiva:

Odavde se odreuju konstante:

(7.30.) (7.31.)

Zamjenom konstanti, izrazi 7.30. i 7.31., u jednainu 7.24., dobiva se:

(7.32.)Uvrtavanjem konstante , izraz 7.31., u izraz 7.29., za dobiva se:

(7.33.)

Za razne vrijednosti parametra , raspored brzina izmeu ploa je prikazan na slici 7.4.

Slika 7.4.: Raspored brzina izmeu ploa za razne vrijednosti parametra S

Vrijednosti odgovara linearni raspored brzina. Ta vrijednost je mogua samo ako je

, tj. ako ne postoji gradijent pritiska u pravcu kretanja

.

Pozitivnim vrijednostima parametra, , odgovara smanjenje pritiska u pravcu kretanja ploe i poveanje brzine u odnosu na linearni raspored.Negativne vrijednosti parametra, , su posljedica porasta pritiska u pravcu kretanja ploe . Ovakav gradijent pritiska uzrokuje silu koja se suprotstavlja dejstvu pokretne ploe.


14/28

Kada vrijednosti opadne ispod vrijednosti , poinjepovratno strujanje. Tada, na dijeluvisine rastojanja izmeu ploa, neposredno iznad nepokretne ploe, fluid struji u smjeru koji jesuprotan smjeru kretanja gornje ploe.

7.5.1.1. PUAZEJEVO KRETANJE

Kod Puazejevog4kretanja obadvije ploe su nepokretne i kretanje fluida je posljedica dejstva

razlike pritisaka, skica 7.5.

Granini uslovi za brzinu su:


Slika 7.5.: Puazejevo kretanje

Uvrtavajui granine uslove za brzinu u izraz 7.25. koji je identian sa izrazom 7.34.:

(7.34.)dobiva se:

(7.35.)

(7.36.)

U prvom sluaju oduzimajui, a u drugom sabirajui jednaine 7.35. i 7.36., dobivamo vrijednostiza konstante:

(7.37.)

4Jean Louise Marie Poiseuille


15/28

(7.38.)Zamjenom konstanti, izrazi 7.37. i 7.38., u izraz 7.34. za raspored brzine, dobiva se:

(7.39.)

Koritenjem graninih uslova za pritisak, iz jednaine 7.24. se mogu odrediti vrijednosti zakonstante:

(7.30.) (7.31.)

Konano se moe dobiti izraz za raspored pritiska:

(7.32.)

i vidi se da je raspored pritiska u presjeku hidrostatski.

Uvrtavajui vrijednost konstante , izraz 7.31., u izraz za raspored brzine 7.39., dobiva se:

(7.33.)

Raspored brzine je parabolian, slike 7.5. i 7.6., sa maksimalnom brzinom na osi :

(7.34.)

Slika 7.6.: Raspored brzina

Prema definiciji srednje brzine, slijedi:

(7.35.)odnosno,

(7.36.)

Iz izraza 7.36. za vrijednost srednje brzine, se moe napisati:


16/28

(7.37.)ili izraeno preko jedininog protoka (dimenzija normalno na ravan crtea je jedinina):

(7.38.)

gdje je jedinini protok.Dobivena razlika pritisaka, izraz 7.38., je potrebna da bi se kroz jedininu povrinu poprenogpresjeka mogao transportovati jedinini protok fluida na udaljenost .Iz istog izraza se da primijetiti da je pad pritiska linearna funkcija protoka.

Eksperimenti su pokazali, da navedeni izrazi vrijede za male brzine strujanja, odnosno za

strujanja sa Rejnoldsovim brojem:

7.5.1.1. HAGEN-PUAZEJEVO KRETANJE

Ustaljeno kretanje nestiljivog fluida konstantne viskoznosti kroz cijev, okruglog poprenogpresjeka, beskonane duine je poznato kao Hagen5- Puazejevo kretanje. Oblik cijevi nameeizbor cilindrinog koordinatnog sistema. Navier-Stoksove jednaine u cilindrinomkoordinatnom sistemu, prema izrazu 7.23., glase:

a jednaina kontinuiteta, prema izrazu 3.51.:

5Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen


17/28

Ovaj sistem od etiri parcijalne diferencijalne jednaine predstavlja zatvoreni sistem dovoljan dase odrede etiri varijable: i . Fluid se kree u polju gravitacije i na njega djeluje silagravitacije.

Naprijed uraene analize Kuetovog i Puazejevog kretanja su pokazale da sila gravitacije uzrokuje

hidrostatiki raspored pritisaka u posmatranom presjeku. Imajui u vidu tu injenicu, iz Navier-Stoksovih jednaina se mogu izostaviti lanovi: i. Nadalje, uprotenja datog sistemajednaina se mogu postii uvoenjem uslova stacionarnosti,

Za kretanje paralelno osi, bez vrtlonog kretanja fluida,moe se pisati: (7.39.)

Uvrtavanjem uslova 7.39. u jednainu kontinuiteta 3.51. se dobiva:

i poslije diferenciranja,

Iz prethodnog izraza slijedi:

Konano, izostavljanjem komponenti zapreminskih sila i uvoenjem navedenih uslova, dobivase:

(7.40.)

Iz prve i druge jednaine 7.40. se vidi da je pritisak funkcija samo od varijable , tj.:

Kako je komponenta brzine funkcija samo varijable , trea jednaina 7.40. se moe napisati:

(7.41.)Jednaina 7.41. je zadovoljena, samo ako je :


18/28

(7.42.)

Jednaine 7.42. su linearne diferencijalne jednaine.Integracijom prve jednaine 7.42. se dobiva:

(7.43.)Druga jednaina 7.42. se svodi na linearnu diferencijalnu jednainu prvog reda, smjenom

:

i ona ima, tzv., Ojlerov multiplikator ili integrirajui faktor:

Opti integral dobivamo po formuli:

odnosno, poslije vraanja uvedene smjene:

Konstante integracije se odreuju iz graninih uslova, vidi sliku 7.7.


19/28

Slika 7.7.: Hagen-Puazejevo kretanje


Uvrtavajui granine uslove u jednainu 7.43. dobivamo vrijednosti za konstante:

(7.44.)

(7.45.)Sada moemo napisati izraz za raspored pritisaka u cijevi:

(7.46.)Granini uslovi za brzinu su:

Drugi granini uslov je posljedica simetrije oko ose.Na osnovu ovih graninih uslova se dobivaju vrijednosti konstanti:

(7.47.) (7.48.)

Uvrtavajui vrijednosti konstanti 7.47. i 7.48. u izraz za brzinu, imamo:

(7.49.)Ako se u izraz 7.49. uvrsti i vrijednost konstante , iz izraza 7.44., dobiva se izraz za rasporedbrzine u cijevi:

(7.50.)


20/28

Iz izraza 7.50. se moe vidjeti da je raspored brzina parabolian, sa maksimalnom brzinom u osicijevi, za :

(7.51.)Koritenjem definicije srednje brzine u presjeku, dobiva se:

(7.52.)Iz izraza 7.52., za srednju brzinu, se moe dobiti izraz za pad pritiska u dionici cijevnog vodaduine i radijusa , odnosno, prenika :

(7.53.)ili izraeno preko protoka, :

(7.54.)Pad pritiska je proporcionalan protoku .Dobivena relacija je analogna Omovom

6zakonu u elektrotehnici, gdje je pad napona

proporcionalan jaini struje.

U skladu sa izrazima za pad pritiska pri turbulentnom strujanju, uobiajeno je da se jednaina7.54. za pad pritiska, pie u obliku:

(7.55.)

Izjednaavajui izraze 7.53. i 7.55. dobiva se:

ili

(7.56.)

Eksperimenti su potvrdili korektnost izraza za raspored brzine i pritiska za vrijednosti

(laminarno kretanje). Kretanje fluida pri je nestabilno i pri najmanjemporemeaju prelazi u turbulentno kretanje.

6Georg Simon Om


21/28

Pored korektnosti dobivenih izraza, sa aspekta reima kretanja, vaan praktini znaaj ima ikonana duina cijevi. Uslijed ubrzanog kretanja fluida i oblikovanog ulaza u cijev, rasporedbrzina na ulazu u cijev, , je priblino konstantna , slika 7.8.

Slika7.8.: Raspored brzine pri ulasku u cijev

Pod dejstvom meumolekularnih sila, brzina fluida na zidu cijevi je , to se prenosimehanizmom viskoznih sila u vidu usporavanja fluidnih slojeva u neposrednoj blizini zida. Touzrokuje formiranjegraninog slojaija debljina raste niz struju. Da bi se zadovoljila jednainakontinuiteta i da bi kroz presjek prolazio isti protok kao kroz presjek , fluid se ublizini ose mora ubrzati. Raspored brzine fluida u blizini ulaza je konstantan, uniforman. Niz

struju fluida debljina graninog sloja raste uz poveanje brzine u osi cijevi. Na udaljenosti granini sloj se iri do ose cijevi i dalje je promjena brzine zanemarljiva. Duina se nazivarazvojnom duinom.

Rjeenja izvedena za Hagen-Puazejevo kretanje ne mogu biti primijenjena

unutar razvojne duine.

Langar7je izveo priblinu formulu za razvojnu duinu:

(7.57.)Na primjer, za razvojna duina iznosi . Dakle, Hagen-Puazejevo rjeenjevrijedi za dio cijevi gdje je .

7Henry L. Langhaar


22/28

7.6. URAENI PRIMJERI

7.6.1. PRIMJER: LAMINARNO STRUJANJE

Dvije paralelne ploe se nalaze na meusobnom rastojanju od

. Ovaj prostor je ispunjen

tenou iji je dinamiki koeficijent viskoziteta .Kolika je sila potrebna za povlaenje ploe debljine , povrine , postavljene usredini izmeu ploa?

Zazori izmeu ploe koja se kree i one koja miruje su isti. Brzina povlaenja ploe je .RJEENJE

Smiui napon, prema Njutnovom zakonu unutarnjeg trenja, je:

gdje su: tangencijalni napon i dinamiki koeficijent viskoziteta.Zazor izmeu ploa je:

Smiui napon je:

Sila za povlaenje ploe je:

7.6.2.

PRIMJER: LAMINARNO STRUJANJE - VISKOZIMETAR

Cilindri, ematski prikazani na slici 7.9., imaju prenike i visinu . Koliki je koeficijent dinamikog viskoziteta tenosti koja se nalazi u zazoru izmeuovih cilindara ako je pri rotaciji vanjskog cilindra od izmjerena torzija ice unutarnjegcilindra, koja odgovara veliini momentne sile od 1.75 Nm?


23/28

Slika 7.9.: Laminarno strujanje - viskozimetar

RJEENJE

Smiui napon je:

a sila je:

Ova sila proizvodi moment:

Koeficijent dinamikog viskoziteta je:


24/28

7.6.3. PRIMJER: PUAZEJEVO STRUJANJE

Veze na elinom rezervoaru za ulje napravljene su tako da se eline ploe preklapaju namjestima veza po . Uslijed pritiska na dno, koje se nalazi ispod nivoa ulja dolo je dopoputanja veze u rezervoaru, tako da se sada tu nalazi zazor veliine .Koliki je gubitak ulja iz rezervoara po jedinici duine veze uslijed nastajanja ovog zazora iprocjeivanja ulja kroz njega?

Pretpostaviti koeficijent viskoziteta ulja i njegovu specifinu teinu:

RJEENJE

Strujanje je Puazejevo:

gdje su: srednja brzina i ukupno rastojanje izmeu ploa.Kako je

, moe se napisatiza bilo koja dva presjeka:

gdje je rastojanje izmeu ulaznog i izlaznog presjeka .Ovaj izraz nam pokazuje koliinu izgubljene energije pritiska za savladavanje unutarnjeg trenjauslijed dejstva sila viskoziteta.

Gubitak ulja je:


25/28

7.6.4. PRIMJER: KUETOVO STRUJANJE

Ulje protie kroz prstenasti zazor irine izmeu stjenki cilindrinog omotaa i klipaduine i prenika . Klip se kree brzinom . Pritisak ispredklipa je konstantan i iznosi

. Koeficijent dinamikog viskoziteta ulja je

.

Slika 7.10.: Kuetovo strujanje

a) Skicirati raspored brzine po irini zazora u jednom meridijanskom presjeku kao na slici7.10. i odrediti poloaj i veliinu maksimalne brzine u datom presjeku. Nai mjesto gdjeje brzina jednaka nuli.

b) Odrediti protok ulja kroz zazor.

c) Nai silu trenja koja djeluje na klip kao i snagu potrebnu za savladavanje ove sile.d) Skicirati raspored tangencijalnih napona po irini zazora u spomenutom presjeku i

odrediti veliinu tangencijalnog napona na zidu cilindra.

RJEENJE

Obzirom da je , odnosno , to se dato strujanje moe smatrati

Kuetovim.

a) Za Kuetovo strujanje:

gdje je S parametar koji predstavlja bezdimenzionalni gradijent pritiska:


26/28

Analizirajmo sliku 7.11.

Slika 7.11.: Raspored brzine u funkciji parametra S

Za , tj. pri smanjenju pritiska u pravcu strujanja, brzina je pozitivna po cijeloj irini toka injen raspored je parabolian.

Za , tj. za sluaj prostog Kuetovog strujanja, brzina je isto tako pozitivna po cijeloj svojojirini, ali je njen raspored linearan.

Za brzina na izvjesnoj irini toka moe postati negativna, tj. moe doi do teenja unazad ublizini ploe koja je u stanju mirovanja. Prema slici 7.11. koja predstavlja bezdimenzionalniraspored brzina, to e se desiti kada je .Maksimalna brzina se dobije iz uslova:

Kada je tada je :


27/28

Brzina je jednaka nuli kada je:

Pored ove vrijednosti, brzina je jednaka nuli i na zidu cilindra:

Slika 7.12.: Dijagram rasporeda brzine

b) Elementarni protok je:

a protok:

c) Sila trenja koja djeluje na klip:


28/28

Snaga za pokretanje klipa je:

d)

Slika 7.13.: Raspored tangencijalnog napona

Documents

p7 - Dinamika Viskoznog Fluida