Upload
jewel
View
73
Download
8
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Parciální derivace. Derivace pro funkce jedné proměnné máme zavedeny dobře. Jak ale přistupovat k funkcím více proměnných? Dá se k prostorovému oboru hodnot vyrobit tečna?. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Parciální derivace
Derivace pro funkce jedné proměnné máme zavedeny dobře. Jak ale přistupovat k funkcím více proměnných? Dá se k prostorovému oboru hodnot vyrobit tečna?
Geometrická představa derivace z R1 zde mírně narazí – pro daný bod existuje nekonečně mnoho tečen (tečná rovina). Musíme ji trochu poopravit.
x
y RRf 2:
Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
do vaší budoucnosti
Parciální derivace
Derivace pro funkce jedné proměnné máme zavedeny dobře. Jak ale přistupovat k funkcím více proměnných? Dá se k prostorovému oboru hodnot vyrobit tečna?
Geometrická představa derivace z R1 zde mírně narazí – pro daný bod existuje nekonečně mnoho tečen (tečná rovina). Musíme ji trochu poopravit.
Proložíme funkci rovinou rovnoběžnou s osou x. Průnik roviny a funkce utvoří rovinnou křivku – graf funkce fy : R -> R. V zápisu funkce se sice i nadále bude vyskytovat y, ale pouze jako konstantní parametr. Nyní lze snadno utvořit tečnu rovnoběžnou s osou x, resp. der-ivaci podle x.
x
y
RRf y :
0
0 )()(lim
0xx
xfxff yy
xxy
Parciální derivace
Derivace pro funkce jedné proměnné máme zavedeny dobře. Jak ale přistupovat k funkcím více proměnných? Dá se k prostorovému oboru hodnot vyrobit tečna?
Geometrická představa derivace z R1 zde mírně narazí – pro daný bod existuje nekonečně mnoho tečen (tečná rovina). Musíme ji trochu poopravit.
Stejně to můžeme udělat v kolmém směru:
x
y
RRf x :
0
0 )()(lim
0yy
yfyff xx
yyx
Parciální derivace
Derivace pro funkce jedné proměnné máme zavedeny dobře. Jak ale přistupovat k funkcím více proměnných? Dá se k prostorovému oboru hodnot vyrobit tečna?
Tyto dvě přímky nám opravdu vytyčují rovinu. Co z toho ale můžeme nazvat „derivací“ ? Jednu z přímek, nebo výslednou rovinu?
x
y
0
0 )()(lim
0yy
yfyff xx
yyx
0
0 )()(lim
0xx
xfxff yy
xxy
Parciální derivace
Definice 76.
h
hzyxfzyxf
z
f
h
zhyxfzyxf
y
f
h
zyhxfzyxf
x
f
h
h
h
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
lim
lim
lim
0
0
0
Buď f reálná funkce více proměnných . Pro tuto funkci definujeme parciální (částečné) derivace podle jednotlivých proměnných jako
RRf 3:
Obdobně lze definovat parciální derivace pro funkci obecně n proměnnýchJe zřejmé, že tyto definice jsou ekvivalentní s dříve použitými derivacemi :
RRf n :
h
zyhxfzyxf
x
f
xx
xfxff
h
yy
xxy
),,(),,()()(limlim
00
0
0
Parciální derivace
Matematická definice je sice výstižná, přeci jen je třeba zdůraznit, že parciální derivování se provádí pouze v jedné zvolené proměnné a ostatní proměnné se chovají jako konstanty. Tedy například :
yyz
f
yzey
f
eyeyx
f
yzeyzyxf
x
xx
x
sinsin0
cos
0)(
sin),,(
Zde je vše kromě e-x konstanta. Druhý člen tedy úplně zmizí (derivace konstanty je nula), y se nemění (násobení funkce konstantou).
Zde e-x se chová jako konstanta, která násobí y. První člen tedy derivujeme jako polynom prvního řádu – y zmizí. V druhém členy se sin y změní na cos y, z je konstantní a nemění se.
V prvním členu se z nevyskytuje – celý výraz derivujeme jako konstantu a mizí. Druhý člen je v z polynomem prvního stupně a zůstane z něj jen násobící konstanta – tedy sin y.
Spočítejte parciální derivace funkcePříklad
22223),,( zxyzyxzyxf
Parciální derivace vyšších řádů
z
f
z
f
z
f
y
f
y
f
y
f
x
f
x
f
x
f2
2
2
2
2
2
Funkce můžeme derivovat opakovaně podle stejných či různých proměnných. Druhé parciální derivace jsou definovány jako:
Stejně tak jsou definovány parciální derivace smíšené:
z
f
x
f
xz
f
x
f
z
f
zx
f
z
f
y
f
yz
f
y
f
z
f
zy
f
y
f
x
f
xy
f
x
f
y
f
yx
f
22
22
22
Pořadí výrazů v čitateli je důležité, určuje pořadí derivací! Nicméně prohodíme-li pořadí parciálních derivací, dostaneme stejné výsledky, je-li původní funkce f dostatečně „mravně se chovající“.
Parciální derivace
Spočítejte smíšené druhé parciální derivace funkce
Příkladyx
xyxf
),(
Věta 41. Záměnnost smíšených derivací : jsou-li smíšené derivace v bodě [x0, y0] spojité, pak jsou si zde rovny.
xy
f
yx
f
22
,
2222 )()(
1)(0
)()(
1)(1
yx
x
yx
xyx
y
f
yx
y
yx
xyx
x
f
34
22
4
222
4
22
4
2
2
2
)()()(
222
)(
22)(
)(
)(2)(1
)(
yx
yx
yx
yx
yx
yxyyxyx
yx
yxyyx
yx
yxyyx
yx
y
yyx
f
332
2
)()()( yx
yx
yx
xy
yx
x
xxy
f
symetrie vůči záměně proměnnýchxy
f
yx
f
22
Parciální derivace
Spočítejte smíšené druhé parciální derivace funkce
Příklady
xyxf ),(
Spočítejte smíšené druhé parciální derivace funkce
Příklad22
),(yx
xyxf
Spočítejte smíšené druhé parciální derivace funkce
DÚyx
yyxxyxf
)cos()sin(
),(
Spočítejte smíšené druhé parciální derivace funkce
Příklad xyyxf sin),( 2
Totální diferenciál
Připomeňme si zavedení diferenciálu pro funkci jedné reálné proměnné:
dxafafdfa )()()( Diferenciál funkce f(x)=x
(df)(ξ) = x’ξ = 1.ξ = ξ
lineární zobrazeníf’(x) dx
Pro zobrazení f : R -> R neměl pojem diferenciálu příliš valný význam. Ovšem pro analýzu ve více rozměrech je důležitý.
Obecně:
dxxfxdf )()(Diferenciál je zjednodušeně řečeno nahrazení dané funkce f přímkou ve zkoumaném bodě. Ve všech infini-tezimálních vztazích pak pracujeme s df a dx místo f a x.
Totální diferenciál
Ve více rozměrech fungují jednotlivé diferenciály stejně pro každou proměnnou zvlášť :
x
y
dzz
fdf
dyy
fdf
dxx
fdf
z
y
x
dxx
f
dyy
f
Po krátkém zamyšlení zjistíme, že diferenciály dx, dy, dz (v R3) jsou totožné se souřadnicovými fun-kcionály z lineární algebry – vektorový prostor je zde definiční obor.
Na základě algebry pak snadno můžeme definovat totální dife-renciál funkce f jako lineární zobrazení z definičního oboru do oboru hodnot.
dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
f : R2 -> R
dyy
fdx
x
fdf
Totální diferenciál
Totální diferenciál
dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
je tedy lineární zobrazení, které plní obdobnou funkci jako tečna v jednorozměrném případu funkce f : R -> R. Funkci, která má totální diferenciál říkáme diferencovatelná. Existují funkce, které totální diferenciál nemají (jejich parciální derivace nejsou spojité), těmi se ale nebudeme zabývat, neboť obvykle nemají fyzikální význam.
Druhý totální diferenciál zavádíme pomocí druhých derivací takto (příklad pro R2) :
ydy
fdxdy
xy
fxd
x
f
ydy
f
ydydx
x
f
ydxdy
y
f
xxd
x
f
x
dyy
fdxdy
y
fdx
x
f
xdydf
y
fdxdf
xfd
22
22
2
22
2
2
''
Záměna smíšených derivací
Totální diferenciál
Aparát totálního diferenciálu nabývá na významu například v termodynamice. Termodynamické potenciály jsou diferencovatelné a jejich přírůstky jsou totální diferenciály, například pro vnitřní energii plynu platí
dVpdSTdUVSUU ),(
tj. vnitřní energie je v tomto případě funkcí entropie a objemu a dá se ukázat, že
V
Up
S
UT
Vnitřní energii můžeme popsat i pomocí jiných proměnných a diferenciály pak mezi sebou volně přechází.
Derivace ve směru
Derivace podle os x a y jsme si přiblížili za pomocí řezu rovinou rovnoběžnou s osou x resp. y. Brání nám ale něco natočit si rovinu i jinak?
x
y u
t
xfutxf
ud
dfxf
tu
)()()( lim
0
Dejme tomu, že jednotkový vektor udává směr v definič-ním oboru, ve kterém chceme derivovat. Potom derivaci ve směru lze definovat jako
u
u
Funkce zde jako argument má vektor z definičního oboru : . Výraz v argu-mentu funkce je pak vyjádřením přímky procházející bodem a směrem .
),,()( zyxfxf
utx u
x
Dle této definice jsou pak parciální derivace podle jednotlivých proměnných vlastně derivace ve směru bazických vektorů:
atd.,,21 ee f
y
ff
x
f
Derivace ve směru
Věta 42.Buď f zobrazení f : Rn -> R, spojité v okolí bodu a, buďtevektory z Df. Potom
vu
,
z
f
y
f
x
fff ,, grad
Vektor parciálních derivací funkce f nazýváme gradient:
1) Pro libovolné reálné c platí )()( afcaf ucu
2) Platí )()()( afafaf vuvu
3)
,,,, grad)( yxu uuy
f
x
fufaf
Gradient
Kromě os (x, y,…) existuje v definičním oboru funkce i další význačný směr – směr nejvyššího přírůstku funkce. Tento směr je intuitivně dobře pochopitelný – stojíte-li ve svahu, pak směr největšího přírůstku je ten, ve kterém je od vás svah nejpříkřejší. Tento směr je určen gradientem.
xy
V bodě [x,y] funkce nejvíce roste
Směr, ve kterém funkce roste
nejvíce, je gradientTvrzení plyne ihned z
bodu 3 předchozí věty:
cos grad grad)( ufufafu
což je standardní pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů. Toto číslo je ale největší, pokud cos φ je maximální – a to je pro φ = 0, tedy u a grad f splývající.
Derivace ve směru a gradient
Spočítejte derivaci funkce ve směruPříklad 22
),(yx
xyxf
)1,2(5
1u
v bodě [1,2]
Nejprve spočítáme gradient : 4,3, grad 51
y
f
x
fff
5
4
41
21222)(0
5
3
41
142)(1
2222
22
22
22
22
22
yx
xy
yx
yxyx
y
f
yx
xy
yx
xxyx
x
f
552
551
51
51
51
)1,2(51
)1,2(
)46()1,2()4,3(
)1,2( grad)2,1()2,1()2,1(5
1
ffffu
Gradient
Gradient se zapisuje nejčastěji pomocí operátoru nabla:
zyx,, grad
Tento operátor lze pak funkcí formálně vynásobit zprava:
z
f
y
f
x
ff
zyxf ,,,,
Úplný diferenciál pak můžeme vyjádřit jako formální skalární součin gradientu funkce a vektoru :),,( dzdydxxd
dzz
fdy
y
fdx
x
ffdz
zdy
ydx
x
fdzdydxzyx
fxddf
),,(,, )(
Vektorová pole
Analýzu lze rozšířit i na vektorová pole, tedy zobrazení A : Rn -> Rn. Zobrazení každému bodu v prostoru přiřazuje nějaký význačný směr (vektor).
Vektorové pole například vznikne, když každému bodu v korytě řeky přiřadíte vektor rychlosti, který v něm má částice vody, když jím prochází. Vektorové pole popisuje rovněž intenzity gravitačních či elektrických polí.
Vektorová pole
Parciální derivace vektorového pole zavedeme obdobně jako u skalární funkce :
h
zyxAhzyxA
z
A
h
zyxAzhyxA
y
A
h
zyxAzyhxA
x
A
zz
h
z
yx
h
x
xx
h
x
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
lim
lim
lim
0
0
0
tj. pro každou proměnnou a pro každou složku zvlášť. Jedná se vlastně o ekvivalent tří funkcí Ax : R3 -> R, Ax : R3 -> R, Ax : R3 -> R . Speciální případ vektorového pole je
z
f
y
f
x
ffA ,,
tzv. potenciální pole, kde parciální derivace pro Ax, Ay, Az vedou na smíšené derivace funkce f. Toto je případ rozumných fyzikálních polí (centrální gravitační či elektrické).
Divergence vektorového pole
Divergence je způsob popisu „zdrojů“ v poli. Pole na obrázku má jeden určitý bod, ze kterého se vektory „rozbíhají“. Zde je jakýsi zdroj vektorů – pole je zde má nenulovou divergenci. V popisu vodního toku je bod s nenulovou divergencí „ústí hadice“ – voda se zde objevuje.
Na dalším obrázku jsou příklady polí s dvěmi „zdrojovými“ body.
Divergence vektorového pole
Matematicky je divergence definována následovně:
div AA
Přepíšeme-li si tento formální zápis, získáme
z
A
y
A
x
AAAA
zyxAA zyx
zyx
,,,, div
Divergence je číslo, které má nenulovou hodnotu pouze ve zdroji a jeho velikost je úměrná „množství vytékajících vektorů“ v tomto bodě.
Rotace vektorového pole
V poli zobrazeném vlevo se vektory „motají v kruzích“ kolem společného středu. V tomto bodě má pole nenulovou rotaci. V popisu vodního toku by bod s nenulovou rotací byl středem víru.
Pole napravo je složitější. Vektory „krouží“ kolem bodů, které leží na kružnici procházející středem pomyslného toroidu. Pole má nenulovou rotaci na celé této kružnici.
Rotace vektorového pole
Matematicky je rotace definována následovně:
rot AA
Oproti divergenci je zde vektorový součin (nikoliv skalární). Po rozepsání dostane-me
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A
AAAzyx
AA
xyzxyz
zyx
,,
,,,, rot
Rotace je tedy vektor kolmý na směr „motání se“ vektorů a jeho velikost je úměrná velikosti tohoto „vektorového tanečku“.
Derivace složených funkcí
Derivovat složené funkce více proměnných lze relativně snadno. Musíme si pouze uvědomit, že každá složka se parciálně derivuje jako funkce jedné proměnné. Tedy:
)),(),,(( yxgyxfhhDerivovat složené funkce více proměnných lze relativně snadno. Musíme si pouze uvědomit, že každá složka se parciálně derivuje jako funkce jedné proměnné. Tedy:
y
g
g
h
y
f
f
h
y
h
x
g
g
h
x
f
f
h
x
h
Derivace vnější funkce - vnější funkci derivujeme podle vlastních proměnných. Až potom je nahradíme nezměněnými vnitřními funkcemi f a g.
Derivace vnitřních funkci - derivace vnějších funkcí vynásobíme derivacemi vnitřních stejně jako v případě funkce jedné reálné proměnné.
Derivace složených funkcí
Zderivujte složenou funkciPříkladyxyxh cos)(sin),(
Funkce je zjevně složená takto : babah ),( xyxf sin),( yyxg cos),(
)),(),,((),( yxgyxfhyxh
Zderivujeme vnější funkci :bb aa
b
h
g
hab
a
h
f
h
ln1
Zderivujeme vnitřní funkce : yy
g
x
gsin0
0cos
y
fx
x
f
xxyaaxabx
g
g
h
x
f
f
h
x
h ybb cos)(sincos0lncos 1cos1
yxxyaaaby
g
g
h
y
f
f
h
y
h ybb sin)(sin)ln(sinsinln0 cos1
Derivace složených funkcí
Zderivujte funkciPříkladxxxh )(
Funkci si převedeme na složenou : babah ),( xxf )(
xxg )())(),(()( xgxfhxh
Zderivujeme vnější funkci :bb aa
b
h
g
hab
a
h
f
h
ln1
Zderivujeme vnitřní funkce : 1
x
g1
x
f
)ln1(ln)(
1ln1)(
1
1
xxxxxx
aaabx
g
g
h
x
f
f
h
x
hxh
xxx
bb
Extrémy funkcí více proměnných
Hledáme-li extrém funkce více proměnných na celém definičním oboru, postup je analogický jako pro funkci jedné proměnné – spočítáme všechny parciální derivace a položíme je rovny nule. Výsledek soustavy rovnic je kandidát na extrém. Například :
142),( 22 xxyxyxf
042022
yy
fx
x
f
a tedy lokální extrém leží v bodě [1,2]. Protože funkce je v obou osách parabolická a rostoucí k plus nekonečnu, jedná se o minimum, f(1,2)= 1+4-2-8+1 = -4.
Najděte extrémy funkcePříklad zxzyyxzyxf ),,(
Extrémy funkcí více proměnných
Otázkou zůstává, jak počítat extrémy vázané na nějakou podmnožinu definičního oboru. Například jak spočítat extrémy funkce na elipse
12
2
2
2
b
y
a
xxyyxf ),(
Extrém na podmnožině Df (varietě) hledáme pomocí
Lagrangeových multiplikátorů.
Extrémy funkcí více proměnných
Mějme funkci n reálných proměnných
0),,,(
0),,,(1
zyx
zyx
m
),,,( zyxfVěta 43.
a varietu popsanou m rovnicemi
Kandidáty na extrémy získáme sestrojením Lagrangeovy funkce
),,,(),,,(),,,(1
zyxzyxfzyx i
m
ii
a výpočtem soustavy rovnic
0),,,(
0),,,(
,0,0,0
1
zyx
zyx
zyx
m
získáme (x,y,z,…) a sadu lagrangeových multiplikátorů λ1, … λm.
Extrémy funkcí více proměnných
Extrém na elipse:
12
2
2
2
b
y
a
xxyyxf ),(
1),(
2
2
2
2
b
y
a
xxyyx
01
02
02
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
b
yx
y
a
xy
x
Extrémy funkcí více proměnných
Extrém na elipse: 12
2
2
2
b
y
a
xxyyxf ),(
01
02
02
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
b
yx
y
a
xy
x
1
022
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
b
yx
x
ya
1
02
2
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
x
ya
b
yx
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
b
y
a
x
2
1
2
1
2
2
2
2
b
y
a
x
2
2b
y
ax
Extrémy funkcí více proměnných
Najděte extrémy funkcena povrchu koule
Příklad zxzyyxzyxf ),,(04),,( 222 zyxzyx
Dvojný integrál
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13
12345678
123
2
Integrál funkce dvou (a případně více) proměnných definujeme obdobně jako pro funkce jedné proměnné. Rozdělení definičního oboru viz obrázek. V každém obdélníčku definujeme vektor αij a integrální součet jako ix
jy
j
mn
ji
iij yxfY
,
11
)()(
RcY )(lim
Pokud pro všechny posloupnosti normálních (ve smyslu obvodu každého obdélníčku limitně se blížícího nule) rozdělení podmnožiny Df existuje
Pak je funkce integrovatelná a píšeme
M
b
b
a
adxdyyxfdxdyyxfc ),(),(
2
1
2
1
M
Dvojný integrál
Fubiniova věta : Buď M uzavřený obdélník a1 ≤ x ≤ a2, b1 ≤ y ≤ b2 . Je-li funkce f na M spojitá a omezená, pak platí
dydxyxfdxdyyxfdxyxfb
b
a
aM
a
a
b
b
2
1
2
1
2
1
2
1
),(),(),(
Věta 44.
Spočítejte integrálPříklad
e
eedye
dyedyedyey
y
dydxeydydxeydxdyey
yy
yxyxy
xyxyxy
11111
11
10
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
Dvojný integrál
Integrační meze mohou záviset na ostatních proměnných. V takovém případě je důležitá správná volba pořadí integrace, aby úloha nebyla příliš komplikovaná.
Příklad Spočítejte objem elipsoidu daného rovnicí 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Vyjádříme polovinu objemu (horní půlku, odřízlou rovinou xy) pomocí integrálu z funkce
2
2
2
2
1),(b
y
a
xcyxfz
Podstava půlelipsoidu je omezena elipsou vyjádřenou jako jejíž rovnici v rovině xy (Df) dostaneme
012
2
2
2
b
y
a
x
221 axby
To nám dává integrační meze. x je z intervalu <-a,+a>, ale mez pro y závisí na x. Budeme řešit integrál
dydxb
y
a
xc
a
a
axb
axb
22
22
1
1 2
2
2
2
1
Dvojný integrál
Integrál zpracujeme Fubiniovou větou:
dxdyb
y
a
xcdydx
b
y
a
xc
a
a
axb
axb
a
a
axb
axb
22
22
22
22
1
1 2
2
2
21
1 2
2
2
2
11
Zavedeme označení 01 22 axm a spočítáme nejprve vnitřní integrál:
2
2
22
222
22
222
2
22
2
2
2
2
1cos
cossin1
cossin
1
2
2
2
2
2
2
a
xccmdttcm
dtttcm
dtttmmc
dyb
ymcdy
b
y
a
xc
bm
bm
bm
bm
substituce
2
2
sin
sin
cos
sin
ttbmbm
ttbmbm
dttbmdy
tbmy
Tento výsledek dosadíme do vnějšího
integrálu.
Dvojný integrál
Dosadíme:
abcacba
aacb
a
xxcb
dxa
xcbdx
a
xcbdydx
b
y
a
xc
a
a
a
a
a
a
a
a
axb
axb
3
2
3
4
3
22
3
111
22
3
22
3
2
2
2
22
2
2
1
1 2
2
2
222
22
A protože jsme počítali polovinu objemu, vyšel nám celý objem jako
abcV 3
4
Substituce ve dvojném integrálu
Buď M uzavřená jednoduše souvislá1) množina (proměnné u, v) se zobrazí jednoznačně na uzavřenou jednoduše souvislou1) množinu N (proměnné x, y) prostým a „na“ zobrazením
),(),( vuyyvuxx
Věta 45.
Nechť funkce f(x,y) je omezená a spojitá na oblasti N. Potom platí
dudvvuDyxvyxufdxyxfMN
),()),(),,((),( kde D(u,v) je Jacobiho determinant (Jacobián) transformace :
v
y
u
yv
x
u
x
vuD det),(
1) Pozn : pro naše účely toto znamená „v jednom kuse a bez děr“.
Dvojný integrál
PříkladZintegrujte funkci na mezikruží o poloměrech R1 = 1 a R2 = 2. 22
),(yx
xyxf
Tento problém si přímo říká o polární souřadnice. Tedy naše substituce bude
sincos ryrx
Jinými slovy, místo diferenciálů dx dy budeme po substituci psát r dr dφ, což odpovídá „fyzikálnímu“ odvození z transformací souřadnic. Funkci pak upravíme
Jakobián vyjádříme takto:
rrr
r
r
y
r
y
x
r
x
vuD
)sin(cos
cossin
sincosdetdet),(
22
rrr
r
yx
xyxf
cos
sincos
cos),(
222222
Dvojný integrál
Poslední problém je transformace mezí – ale ta je v tomto případě jasná, neboť má-li integrace probíhat přes celé mezikruží, musí být proměnné v intervalech
2,0, 21 RRr
Což sedí, funkce je zjevně sudá v y a lichá v x, takže polovina z ní je pod rovinou xy a polovina nad.
Dosadíme tedy do integrálu:
0sin)(
cos).(cos
cos
2012
2
012
2
0
2
022
2
1
2
1
RR
dRRddr
ddrrr
dxdyyx
x
R
R
M
R
R
Dvojný integrál
Příklad Spočítejte integrál dxe x
2
Shrnutí
• Parciální derivace
• Totální diferenciál
• Derivace ve směru
• Gradient
• Vektorové pole, divergence, rotace
• Parciální derivace složených funkcí
• Extrémy funkcí více proměnných
• Vázané extrémy funkcí více proměnných
• Dvojný integrál
• Fubiniova věta
• Substituce ve dvojném integrálu