Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-62 – DERIVACE FUNKCE XVIII(průběh funkce – elementární funkce)

Anotace

Aplikace diferenciálního počtu na vyšetřování průběhu elementárních funkcí (látka 2. ročníku gymnaziální matematiky) nabízí žákům matematického semináře jednoduchý kalkul, pomocí kterého lze velmi efektivně nakreslit graf jakékoliv elementární funkce. Tím „odpadne“ nutnost pamatování si řady vzorců (i když jsou k dohledání v MFF tabulkách), ta je nahrazena postupem vyšetřování průběhu jakékoliv elementární funkce. Nabízí se porovnání dvou různých přístupů (středoškolského, vysokoškolského) k požadavku narýsování grafu elementární funkce.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstup Žák dovede aplikovat získané poznatky diferenciálního počtu na zjištění průběhu elementárních funkcí.

Klíčová slova Elementární funkce, průběh elementární funkce.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 29. 12. 2013

PŘIPOMENUTÍ 1 – graf lineární funkce f: y = a x + b (a, b R; a 0) (2. ročník gymnaziální matematiky – postup rýsování grafu lineární funkce)

RfD )(

a

bxbxaxf

bf

00)(

)0(

V soustavě souřadné zobrazíme průsečíky funkce f s osami souřadnými, kterými je určena přímka – graf lineární funkce.

PŘIPOMENUTÍ 1 – graf lineární funkce f: y = a x + b (a, b R; a 0) (matematický seminář – průběh funkce lze aplikovat na jakoukoli funkci)

aarctg

tgkaybaxy f

/

Je-li a > 0, potom je funkce f rostoucí v R.

Je-li a < 0, potom je funkce f klesající v R.

Úloha k procvičení:Určete směrový úhel přímky f. Přímku f zobrazte pomocí směrového úhlu a průsečíku přímky f s osou y.

23

3: xyf73: xyf

PŘIPOMENUTÍ 2 – graf kvadratické funkce f: y = a x2 + b x + c (a, b, cR; a0) (2. ročník gymnaziální matematiky – postup rýsování grafu kvadratické funkce)

RfD )(

00)(

)0(2

cbxaxxf

cf

acbD 42

řešeníRvnemárovniceD

a

bxxD

a

DbxD

0

20

20

21

2,1

a

D

a

bV

4;

2

V soustavě souřadné zobrazíme průsečíky s osami

souřadnými, vrchol V paraboly, osu o paraboly

a vrcholovou tečnu t paraboly. Parabolu zakreslíme.

PŘIPOMENUTÍ 2 – graf kvadratické funkce f: y = x2 – 2 x – 8 (2. ročník gymnaziální matematiky – postup rýsování grafu kvadratické funkce)

RfD )(

0)4(0)2(

0420820)(

802

ff

xxxxxf

f

9:

1:

9;1

yt

xo

V

Úlohy k procvičení – narýsujte graf funkce f.

42

1: 2 xxyf

23

1

3

1: 2 xxyf

PŘIPOMENUTÍ 2 – graf kvadratické funkce f: y = a x2 + b x + c (a, b, cR; a0) (matematický seminář – průběh funkce lze aplikovat na jakoukoli funkci)

RfD )(

00)(

)0(2

cbxaxxf

cf

acbD 42

řešeníRvnemárovniceD

a

bxxD

a

DbxD

0

20

20

21

2,1

Úlohy k procvičení – narýsujte graf funkce f.

42

1: 2 xxyf

23

1

3

1: 2 xxyf

PŘIPOMENUTÍ 3 – graf lineární lomené funkce (2. ročník gymnaziální matematiky – postup rýsování grafu lineární lomené funkce)

bcadcRdcbadcx

baxyf

0;,,,;:

d

b

dcxd

dcxb

dcxd

bdbcx

dcxd

bdadx

dcx

baxybcad

c

dRfD )(

a

bxbax

dcx

baxxf

d

bf

000)(

)0(

c

a

c

dS ;

Horizontální asymptota

Vertikální asymptota

c

aya :1

c

dxa :2

c

aRfH )(

PŘIPOMENUTÍ 3 – graf lineární lomené funkce (matematický seminář – průběh funkce lze aplikovat na jakoukoli funkci)

1

32:

x

xyf

1)( RfD

2

30320

1

320)(

3)0(

xxx

xxf

f

1

32lim

1

32lim

1

1

x

xx

x

x

x

1

32lim2

11

32

lim1

32lim

x

x

x

xx

xxxx

222

//

/

1

5

1

3222

1

132132

xx

xx

x

xxxxy

0;1;/ yx

0;;1/ yx

Funkce f je klesající v intervalech ( – ; 1); (1; +

).

Určení 1. souřadnice středu hyperboly.Určení asymptoty bez směrnice x = 1.

Určení 2. souřadnice středu hyperboly.Určení asymptoty se směrnicí y = 2.

344

/22/

//

1

10

1

110

1

1515

xx

x

x

xxy

0;1;// yx

3//

1

10

x

y

Funkce f je ryze konkávní v intervalu ( – ; 1).

0;;1// yx Funkce f je ryze konvexní v intervalu ( 1; + ).

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

p1)

p3)

p5)

p2)

p4)

ÚLOHY K PROCVIČENÍ

23

3: xyf

Vyšetřete průběh dané funkce f.

33: xyf

22

1

4

1: 2 xxyf 43

2

1: 2 xxyf

2

3

2

1: 2 xxyf p6)

2

3

2

1: 2 xxyf

p7) 1

32:

x

xyf p8)

12

3:

x

xyf

p9)

121

14:

x

xyf p10)

23

32:

x

xyf