Embed Size (px)
Citation preview
Berenice Rodríguez Vázquez
Ultimo trabajo de segunda unidad
2 ´´A´´
LIC.EDGAR MATA
Distribuciones de probabilidad
Bernoulli
Binomial
Poisson
Normal
Gamma
T de studen
Bernoulli concepto.
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o
distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo
Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma
valor 1 para la probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad de
fracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es una variable aleatoria con esta
distribución.
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si
cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea
así (ÉXITO) y q=1-p el que no lo sea (FRACASO).
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia
Binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes
(la probabilidad del resultado de un experimento no depende del
resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo
dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades
de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos
Explicación
Un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama éxito y al
otro fracaso. La probabilidad por éxito se denota por p. por consecuencia
la probabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa un ensayo de
Bernoulli con probabilidad de éxito p. el mas el más sencillo de este es el
lanzamiento de una moneda. Los posibles resultados son dos “cara o cruz”
si cara se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad. En
una moneda p= ½
N=número de elementos.
P=éxito.
q=fracaso.
X=variable aleatoria.
La distribución Bernoulli estada por los únicos dos valores posibles que
deben ser 1 y 0; de no cumplirse esta regla es decir si se quebranta se
estaría ablando de que no es una distribución Bernoulli sino otra de las
tantas distribuciones.
Ejemplo:
X p
1 .5
0 .5
Suma 1
Si se lanza una moneda 5 veces ¿Probabilidad de que se obtenga 3
veces cruz?
N=5
P=.5
q=.5
X=3
P= (1) (.5)3 (.5)2
La distribución Binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la
posibilidad de éxito o fracaso.
- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la
obtención de éxito o
Fracaso en las demás ocasiones.
- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en cada
ocasión.
Veámoslo con un ejemplo
Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos.
¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos?.
Este es un típico ejemplo de distribución Binomial, pues estamos repitiendo
7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro ´éxito?.
Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.
Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =
1
6
Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p (F) =
5
6
Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos dicen
que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de
cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.
Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin
sacar cinco, es decir: EEEFFFF
Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos
calculando la E es éxito y la F es fracaso.
Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución
de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que
ocurra un determinado número de eventos durante
cierto periodo de tiempo.
La función de masa de la distribución de Poisson es
Donde
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno
(la función nos da la probabilidad de que el evento
suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número
de veces que se espera que ocurra el fenómeno
durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso
estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por
minuto y estamos interesados en la probabilidad de
que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10
minutos, usaremos un modelo de distribución de
Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828
...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una
variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales
a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de
Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una
interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor
esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces
según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento
iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de
Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los
enteros menores que λ (los símbolos representan
la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo,
las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución
de Poisson con valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad
de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable
aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de
parámetro λ es
Para qué sirve conocer que algo es Poisson?
Porque si se tiene caracterizado el comportamiento
probabilístico de un fenómeno aleatorio, podemos
contestar preguntas como:
Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15
clientes al banco en un intervalo de 5 minutos de
duración?
Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos
una falla en un tramo de 1km de tubería de gas?
Qué probabilidad hay de que en un estanque de
cultivo de camarón, haya más de media
tonelada?
Qué probabilidad hay de que en un área de 1km
se encuentren más de 3 brotes de una
enfermedad?
Por qué algunas cosas supimos de antemano que iban
a ser Poisson y que otras no?
Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en la
línea o en el tiempo, en la superficie, o en el espacio,
tienen algunas características que matemáticamente la
delatan, como son:
Que se está contando el número de eventos que
suceden en un área (o intervalo de tiempo, o
volumen) determinada.
Que la probabilidad de que suceda un evento
sobre un área muy pequeña, es también muy
pequeña.
Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no
pueden suceder más de uno solo de los eventos
que se están contando.
Que si se duplica el tamaño de la superficie
(intervalo de tiempo, etc.), entonces se duplica la
probabilidad de registrar ahí un evento.
Notas y conclusions
Los ejemplos vistos de procesos de Poisson,
son homogéneos en el sentido de que la
probabilidad de que suceda un evento no varía
según la posición sobre el espacio. Existen también
procesos de Poisson que son heterogéneos.
Se concluye que los fenómenos aleatorios no son
tan impredecibles como se pudiera pensar. Que en
efecto, muestran un concepto llamado regularidad
estadística, que es la que hace que éstos se
puedan estudiar matemáticamente.
Que un observador de un fenómeno aleatorio, no
puede esperar más que cuantificar la posibilidad
de que el mismo suceda.
Distribución normal
Se le llama distribución normal, distribución de Gauss o
distribución gaussiana, a una de las distribuciones de
probabilidad de variable continua que con más frecuencia
aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma
acampanada y es simétrica respecto de un determinado
parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y e
es el gráfico de de una
función gaussiana.
Ejemplo de alguna grafica seria:
DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es una distribución adecuada para modelizar el
comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría
positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad
de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su
expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α)
alfa y (β) beta de los que depende su forma y alcance por la
derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la
convergencia de la distribución.
Los parámetros de la distribución
El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de
probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se denomina
“la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos
a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de la
distribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes
de (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va
apareciendo la forma de una campana de Gauss con asimetría
positiva. Es el segundo parámetro (β) el que determina la forma
o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad
de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores
elevados de (β) la distribución acumula más densidad de
probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando
mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del
plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de
densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le
denomine “escala”. Valores más pequeños de (β) conducen a
una figura más simétrica y concentrada, con un pico de
densidad de probabilidad más elevado. Una forma de
interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un
suceso”. Relacionándose con el parámetro de la Poisson como
β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia: λ=1/β. La
expresión también será necesaria más adelante para poder
llevar a cabo el desarrollo matemático.
La distribución gamma se puede caracterizar del modo
siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento
generado por un proceso de Poisson de media lambda, la
variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n
ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a=n×lambda (escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza
el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta
de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la
fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo
en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la
llegada del segundo paciente”), la teoría de la cola,
electricidad, procesos industriales.
T- STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Studet) es
una distribución de probabilidad que surge del problema
de estimar la media de una población normalmente
distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de
Studet para la determinación de las diferencias entre dos
medias muéstrales y para la construcción del intervalo de
confianza para la diferencia entre las medias de dos
poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de
una población y ésta debe ser estimada a partir de los
datos de una muestra.
Es una distribución de probabilidad que surge del
problema de estimar la media de una población
normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra
es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de
Studet para la determinación de las diferencias entre dos
medias muestrales y para la construcción del intervalo de
confianza para la diferencia entre las medias de dos
poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de
una población y ésta debe ser estimada a partir de los
datos de una muestra.
Ejemplo de distribuciones Bernoulli
1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9
¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =
0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para
así poder darles un premio, pero la maestra los
seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?
° La probabilidad de que seleccione al alumno numero
16.
P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =
0.0625
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno
numero 16.
P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =
0.9375
3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un
automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿que
probabilidad hay para que pueda salir premiado el
boleto número 342?
° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =
1/342 = 0.00292
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno
numero 342.
P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =
341/342 = 0.99707
4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que
salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados
posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5.
El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 =
0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que
salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados
posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una
cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya
que cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
Ejemplo de distribución binomial
En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde
declarando
“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la
Respuesta correcta es “verdadera” y decide responder al examen tirando dos monedas,
pone
“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. Se
Desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.
Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partir
Del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20
p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.
Ejemplos de distribución Poisson
Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que
solo el 3% de los alumnos de
contabilidad son muy inteligentes ¿
Calcular la probabilidad de que si
tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos
sean muy inteligentes
n= 100
P=0.03
=100*0.03=3
x=5
Ejemplo2.- La producción de
televisores en Samsung trae asociada
una probabilidad de defecto del 2%, si se
toma un lote o muestra de 85 televisores,
obtener la probabilidad que existan 4
televisores con defectos.
n=85
P=0.02
P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
X=4
=1.7
Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos
15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al
azar 3 de ellos hablan ruso
n=20
P=0.15 P (x=3)=(e^-
8)(3^3)/3!=0.2240418
X=3
=3
Ejemplo4.- El 8% de los registros
contables de una empresa presentan
algún problema, si un auditor toma una
muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros
con problemas?
n=40
P=0.08
P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
=3.2
X=5
Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el
20% de las personas tiene defecto de la
vista si tomamos una muestra de 50
personas al azar ¿Calcular Probabilidad
que existan 5 registros con problemas?
n=40
P=0.08
=10
Ejemplo de distribución normal
1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación
estándar de 14.0
µ = 80
σ = 14
z
a) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90)
z =
z =
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017
b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
z
p(x ≤ 75) = 0.3594
c) Calcule la probabilidad de un valor
localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
z =
z =
Probabilidad acumulada.
0.7611
0.3594
75 80 90
μ
Probabilidad acumulada.
0.3594
75 80
μ
Probabilidad acumulada.
0.2389
0.0367
p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió
una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:
µ= $70,00
σ =$20,0 z
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
z –
=
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
z –
=
z –
=
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902
c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
55 70 80
μ
Probabilidad acumulada.
0.6915
70000 80000
μ
Probabilidad acumulada.
0.6915
0.4013
65000 70000 80000
μ
Probabilidad acumulada.
0.4013
z –
=
p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987
3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más
de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo
es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la
ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos.
Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de
Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la
desviación estándar es de 7.5 minutos.
µ = 38.3 min.
σ = 7.5 min. z
a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x ≤ 30)
z –
=
p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%
b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
z –
=
z –
=
65000 70000
μ
Probabilidad acumulada.
0.1335
30 38.3
μ
Probabilidad acumulada.
0.3300
0.1335
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 40)
–z
=
–z
=
z –
=
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 =
0.4575 = 45.75%
4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,
Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y
una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad
de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los
niveles de inventario?
1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
1.65 –
Probabilidad acumulada.
0.5910
0.1335
30 38.3
μ
µ = 1,200 σ = 225
Probabilidad
acumulada.
5% = .0500
z
z
5% ó 0.0500
x = 1,571.25
5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la
distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de
probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El
95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de
¿Qué cantidad?
1.64
–
x = 27,462.
X =
1,571.25
µ = 20,082 σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z
95% = .9500 =
z
z
X = 27,46275
95% ó 0.9500
Ejemplos de distribución gamma
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un
evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido
hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= nlambda(escala) y
p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos
(tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada
en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica
“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la
llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”
sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.
Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención
quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10
Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de
trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor
y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación.
¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
SOLUCIÓN.
t= x -μ
SI n α = 1- Nc = 10%
v = n-1 = 24
t = 2.22
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07
El profesor Pérez olvida poner su despertador
3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el
despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de
cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.
(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.
(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera
clase?
Solución: En primer lugar conviene Identificar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo
en base a los siguientes sucesos.
(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:
O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador
T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.
Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A
continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los
datos que nos dan en el enunciado.
P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
(b) El suceso “llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden
que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos
aplicar la formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:
P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el
enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para
calcularlo utilizamos que
P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir
como: P(T¯) = + =0.69
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica
tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una
muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm
es del 99.02%
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno
de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Studet con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Studet con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Studet bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en
el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Studet con 3 grados de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,
llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera
fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Studet para colas probabilísticas
que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que
realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Studet es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero
buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta
que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)
El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=8
