UNIVERSIDAD DE ATACAMAFACULTAD DE INGENIERIA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ESTADISTICA Y PROBABILIDADESPAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No3

Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre 2011

1. El tiempo en anos que un satelite permanece en el espacio es una variable aleatoria expo-nencial T , cuya funcion de distribucion acumulada esta dada por

F (t) = 1− e−0.5t, t > 0,

a) Calcular la probabilidad que un satelite permanezca en el espacio entre uno y tres anos.Solucion:Segun el enunciado F (t) = P (T ≤ t) = 1− e−0.5t. Se pide calcular

P (1 ≤ T ≤ 3) = P (T ≤ 3)− P (T ≤ 1) = F (3)− F (1)

= (1− e−1.5)− (1− e−0.5) = e−0.5 − e−1.5 = 0.3834.

(8 ptos.)

b) ¿Cual es la probabilidad que un satelite permanezca en el espacio mas de cuatro anos?Solucion:

P (T > 4) = 1− P (T ≤ 4) = 1− F (4)

= 1− (1− e−2) = e−2 = 0.1353.

(8 ptos.)

c) Si son lanzados tres satelites simultaneamente, ¿cual es la probabilidad de que por lomenos uno permanezca en el espacio mas de cuatro anos?.Solucion:Sea X : numero de satelites que permanecen en el espacio mas de cuatro anos. Laprobabilidad que un satelite permanezca en el espacio mas de cuatro anos es p = 0.1353(ver item b.). Entonces X se distribuye binomial con parametros n = 3 y p = 0.1353 yse pide calcular P (X ≥ 1). Por lo tanto:

P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1−(

3

0

)(0.1353)0(0.8647)3 = 0.3535.

(9 ptos.)

PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No3 1

2. Con base en la experiencia pasada, el 40 % de todos los clientes de cierta estacion de gasolinapagan sus compras con tarjeta de credito. Si se selecciona una muestra aleatoria de 200clientes,

a) ¿Cual es la probabilidad que cuando menos 75 paguen con tarjeta de credito?Solucion:Sea Y : el numero de clientes que pagan sus compras con tarjeta de credito. EntoncesY se distribuye binomial de parametros n = 200 y p = 0.4. De acuerdo a esto seespera que 80 (E(Y ) = np = 200×0.4 = 80) clientes paguen sus compras con tarjeta decredito. Se pide calcular P (Y ≥ 75) y lo haremos aproximando Y con una v.a. X normalcon parametros µ = np = 80 y desviacion estandar σ =

√np(1− p) =

√48 = 6.93.

Entonces:

P (Y ≥ 75) = 1− P (Y ≤ 74) = 1− P (X < 74.5) = 1− P(Z <

74.5− 80

6.93

)= 1− P (Z < −0.79) = 1− 0.2148 = 0.7852.

(8 ptos.)

b) ¿Cual es la probabilidad que no mas de 70 paguen con tarjeta de credito?Solucion:

P (Y ≤ 70) = P (X ≤ 70.5) = P

(Z ≤ 70.5− 80

6.93

)= P (Z ≤ −1.37) = 0.0853.

(8 ptos.)

c) ¿Cual es la probabilidad que entre 70 y 75, inclusive, paguen con tarjeta de credito?Solucion:

P (70 ≤ Y ≤ 75) = P (69.5 ≤ X ≤ 75.5) = P

(69.5− 80

6.93≤ Z ≤ 75.5− 80

6.93

)= P (−1.52 ≤ Z ≤ −0.65) = P (Z ≤ −0.65)− P (Z ≤ −1.52)

= 0.2578− 0.0643 = 0.1935.

(9 ptos.)

3. Se desean rodamientos de un centımetro de radio, con tolerancia de 0.5 milımetros. El fa-bricante gana US$0.10 por cada rodamiento aceptado. Si el radio es menor de lo permitido,el rodamiento se debe refundir, produciendo una perdida de US$0.05; por otra parte, si elradio es mayor de lo aceptado se debe rebajar el rodamiento, con una perdida de US$0.03.Supongamos que el radio de los rodamientos tiene una distribucion normal con media 1.01centımetros y una varianza de 0.0009 centımetros2.

Primero que todo vamos a definir los siguientes eventos:A : el rodamiento es aceptado.B : el rodamiento debe ser refundido.C : el rodamiento debe ser rebajado.Sea la variable aleatoria R el radio del rodamiento tal que R es normal con media µ =1.01 centımetros y desviacion estandar σ = 0.03 centımetros. Ahora vamos a calcular la

PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No3 2

probabilidad de que ocurran los eventos A, B y C. En efecto,

P (A) = P (1− 0.05 < R < 1 + 0.05) = P (0.95 < R < 1.05)

= P

(0.95− 1.01

0.03< Z <

1.05− 1.01

0.03

)= P (−2 < Z < 1.33) = P (Z < 1.33)− P (Z < −2) = 0.9082− 0.0228 = 0.8854

(2 ptos.)

P (B) = P (R < 1− 0.05)

= P

(Z <

0.95− 1.01

0.03

)= P (Z < −2) = 0.0228.

(2 ptos.)

P (C) = P (R > 1 + 0.05)

= P

(Z >

1.05− 1.01

0.03

)= P (Z > 1.33) = 1− P (Z ≤ 1.33) = 1− 0.9082 = 0.0918.

(2 ptos.)

a) Calcular la utilidad esperada.Solucion:Sea la variable aleatoria U utilidad de un rodamiento. Esta variable toma valores u ∈{0.10,−0.05,−0.03} tal que

P (U = 0.10) = 0.8854, P (U = −0.05) = 0.0228 y P (U = −0.03) = 0.0918.

Luego la utilidad esperada es:

E(U) = (0.10)(0.8854) + (−0.05)(0.0228) + (−0.03)(0.0918) = 0.0846.

Por lo tanto la utilidad esperada por cada rodamiento es de US$0.0846.

(7 ptos.)

b) ¿A cuanto se deberıa modificar la utilidad por cada rodamiento aceptado si se esperaganar US$0.07 por cada rodamiento?Solucion:Sea g la ganancia por rodamiento aceptado. Luego

E(U) = 0.07 = g(0.8854) + (−0.05)(0.0228) + (−0.03)(0.0918)

0.07 = 0.8854g − 0.003894

De aquı g = 0.0738940.8854

= 0.08346. Por lo tanto, por cada rodamiento aceptado se debeganar US$0.08346.

(6 ptos.)

c) Se seleccionaron 5 rodamientos. ¿Cual es la probabilidad de que tres o mas cumplan lasespecificaciones?Solucion:Sea V numero de rodamientos que cumplen las especificaciones de un total de 5. Deaquı V es una variables aleatoria que se distribuye binomial con parametros n = 5 yp = P (A) = 0.8854. Nos piden calcular P (V ≥ 3), en efecto:

P (V ≥ 3) = 1− P (V ≤ 2) = 1− P (V = 0)− P (V = 1)− P (V = 2)

= 1−2∑

k=0

(5

k

)(0.8854)k(0.1146)5−k = 0.9874.

(6 ptos.)

PAUTA DE CORRECCION: PRUEBA PARCIAL No3 3

4. De sus archivos, un ingeniero mecanico observa que el tiempo empleado en ensamblar ciertodispositivo a un equipo esta distribuido normalmente con media 22 minutos y desviacionestandar de 6 minutos. Hoy, el ingeniero planea ensamblar 16 de estos dispositivos. Supon-gamos que

el tiempo en colocar un dispositivo es independiente del tiempo en ensamblar otro y

que estos 16 ensamblajes representan una muestra aleatoria de la experiencia pasada.

a) ¿Cual es la probabilidad que 25 minutos o mas sea el tiempo promedio por dispositivopara este ingeniero?Solucion:Sea T el tiempo en ensamblar cierto dispositivo a un equipo (en minutos) tal queT ∼ N(µ = 22, σ = 6). El ingeniero planea ensamblar n = 16 de estos dispositivos y sepide calcular P (T ≥ 25). En efecto,

P (T ≥ 25) = P

(Z ≥ 25− 22

6/√

16

)= P (Z ≥ 2) = 1− P (Z < 2) = 1− 0.9772 = 0.0228.

(7 ptos.)

b) ¿Cual es la probabilidad de emplear 20 minutos o menos en el primer ensamble?Solucion:Se pide calcular P (T1 ≤ 20), en efecto,

P (T1 ≤ 20) = P

(Z ≤ 20− 22

6

)= P (Z ≤ −0.33) = 0.3707.

(6 ptos.)

c) Con el fin de poder llegar a una cita con su novia, el ingeniero tiene que emplear unpromedio de 20 minutos o menos por dispositivo. ¿Cual es la probabilidad de llegartarde a la cita?Solucion:Si el ingeniero emplea un promedio de mas de 20 minutos por dispositivo llegara tardea la cita. Por lo tanto se pide calcular P (T > 20), en efecto,

P (T > 20) = P

(Z >

20− 22

6/√

16

)= P (Z > −1.33) = 1−P (Z ≤ −1.33) = 1−0.0918 = 0.9082.

(6 ptos.)

d) El ingeniero empieza a las 8 A.M. Si en el almuerzo se demora 40 minutos, ¿a que horaes la cita con su novia?Solucion:Se sabe que el ingeniero puede llegar a la cita con su novia si emplea un promedio de20 minutos o menos por dispositivo. De esta manera se demora 20× 16 = 320 minutosa lo mas en ensamblar los dispositivos, mas el tiempo que demora en almorzar da untotal de 360 minutos en total (6 horas). Si comienza a las 8 A.M. la cita sera a las 14horas (2 P.M.).

(6 ptos.)

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