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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

PAUTA EVALUACION 3ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL (520142)   (26/04/2004).

P1.   a) Sea  a =  cis((π6

).

i) Calcule el número complejo :   z  = (1 +√ 

3i)5a17.   (8 Ptos.)

ii) Pruebe que  Re(z ) = 0.   (4 Ptos.)

b) Resuelva en  C   la ecuación  w5 = 32.   (8 Ptos.)

Soluciónai) Observar que :

•   (1 + √ 3i)5 = 25cis5(π3

) = 32cis(5π3

 ).   (2 Ptos.)

•   z  = 32cis(5π3

 )cis(17π6

 ) = 32cis(27π6

  )   (2 Ptos.)

aii) z  = 32cis(4π +   π2

) = 32cis(π2

) = 32i + 0   (4 Ptos.)

b)  Observar que :

•   w5 = 25cis(0)   (1 Ptos.)

•   w5 = 25cis(0) ⇔ w ∈ {w0, w1, w2, w3, w4}, wk  = 2cis(2kπ5   ), k = 0, 1, 2, 3, 4(2 Ptos.)

•   w0 = 2, w1 =  cis(2π5 ), w2 = 2cis(4π5 )   (3 Ptos.)

•   w3 = 2cis(6π5 ) = 2cis(2π −   4π5 ) = w2   (1 Pto.)

•   w4 = 2cis(8π5 ) = 2cis(2π −   2π5 ) = w1   (1 Pto.)

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P2.   a) Encuentre las ráıces y multiplicidad del polinomio:

 p(x) = x4 − 2x3 + 5x2 − 8x + 4,

si se sabe que  p(x) es divisible por  x − 1.   (10 Ptos.)

b) Sea   q (x) =   a5x5 + a3x

3 + a1x +  a0  ∈ P (R) tal que   a5, a3, a1   y   a0   son realespositivos.

i) Pruebe que  q (x) tiene sólo una ráız real  x0.   (5 Ptos.)

ii) Muestre que si  a0  

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P3.

a) Descomponga en suma de fracciones parciales la siguiente funcíon racional :

3x3 − 10x2 + 9x − 6(x2

−2x + 1)(x2 + 1)

(10 Ptos.)

b) Sean   A   =

  0 1 10 0 1

y B   = (bij) ∈   M 3x3(R) donde los coeficientes de B están

definidos por :bij  = i  + j,   ∀i, j ∈ {1, 2, 3}.

Determine la matriz  X  ∈ M 3x3(R) tal que  B −   13X  = AtA   (10 Ptos.)

Solución

a)  3x3 − 10x2 + 9x − 6(x2 − 2x + 1)(x2 + 1)  =

 3x3 − 10x2 + 9x − 6(x − 1)2(x2 + 1)   (1,0 Pto.)

3x3 − 10x2 + 9x − 6(x − 1)2(x2 + 1)   =

  A1

x − 1 +  A2

(x − 1)2  + A3x + A4

x2 + 1  (3,0 Ptos.)

3x3 − 10x2 + 9x − 6 = A1(x − 1)(x2 + 1) + A2(x2 + 1) + (A3x + A4)(x − 1)2(1,0 Pto.)

Reordenando términos :

3x3 − 10x2 + 9x − 6 = (A1 + A3)x3 + (−A1 + A2 − 2A3 + A4)x2 +(A1 + A3 − 2A4)x + (−A1 + A2 + A4)

Por igualdad de Polinomios se tiene:

A1   +A3   = 3−A1   +A2   −2A3   +A4   =   −10

A1   +A3   −2A4   = 9−A1   +A2   +A4   =   −6

Resolviendo el sistema, se tiene

A4 = −3, A2 = −2, A1 = 1   y A3 = 2   (4,0 Ptos.)

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

3x3 − 10x2 + 9x − 6(x2 − 2x + 1)(x2 + 1) =

  1

x − 1 −  2

(x − 1)2  + 2x − 3x2 + 1

  (1, 0Pto.)

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b) La matriz  B  definida por  bij  = i + j,   ∀i, j ∈ {1, 2, 3, } es

B =

2 3 43 4 5

4 5 6

(2,0 Ptos.)

Si  A =

  0 1 10 0 1

entonces  At =

0 01 0

1 1

  (1, 0 Pto.)

y  AtA =

0 01 0

1 1

  0 1 1

0 0 1

=

0 0 00 1 1

0 1 2

  (2, 0 Ptos.)

Luego :   B −  1

3X  = At

A   es : 2 3 43 4 5

4 5 6

−  1

3X    =

0 0 00 1 1

0 1 2

−13

X    =

−2   −3   −4−3   −3   −4

−4   −4   −4

X    = (−3)

−2   −3   −4−3   −3   −4

−4   −4   −4

  (4, 0 Ptos.)

X    =

6 9 129 9 12

12 12 12

  (1, 0 Ptos.)

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