PAUTAPRUEBAPARCIALIIBAIN037_1_2013

Facultad de Ciencias de la Ingeniería

Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile

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PAUTA PRUEBA PARCIAL I – BAIN037 – Cálculo I para Ingeniería

PROBLEMA 1 (2.0 ptos)

a) Considerando que la función cos senf x x x es invertible en 0,2

. Determine 1 '(0)f .

Solución:

Se sabe que

1

1

1'(0)

' 0f

f f

, por otro lado se tiene que cos sen ' sen cosf x x x f x x x , luego

basta determinar el valor de 1 0f para ello solucionaremos la ecuación 0f x en el intervalo 0,2

:

cos sen 0 sen cos tan 1 arctan(1)4

x x x x x x x

Por lo tanto se sabe que 10 04 4

f f

. Finalmente estamos en condiciones de calcular 1 '(0)f

1

1

1 1 1 1 2'(0)

2' 0 2 2' cos sen

4 4 4 2 2

ff f

f

b) Si

5 2

2

1 1

1

x xy

x

con 1x . Encuentre 'y .

Solución:

Dado que la función es mayor que cero para cualquier 1x , es posible aplicar derivación logarítmica para simplificar los

cálculos, luego:

5 2

2

2

2 3 3

2 2 2 4

5 2 42 4 2 4

2 4 2 2

1 1/ ln ln 5ln 1 2ln 1 ln 1 /

1

' 5 2 2 3 7 2 3 3 7 7 2 2' '

1 1 1 1 1 1

1 1 1 13 9 3 5 3 9 3 5' '

1 1 1 1

x x dy y x x x

dxx

y x x x x x x x xy y y y

y x x x x x x

x x x xx x x x x xy y

x x x x

4 2 4

22

1 1 3 9 3 5'

1

x x x x xy

x

c) Si arctanf x x y 1

arctan1

xg x

x

. Verifique que ' 'f x g x .

Solución:

Se sabe que 2

1'

1f x

x

, por lo cual calcularemos 'g x para verificar que se obtiene la misma derivada:

2

2 2

11 1 11 1arctan / ' '

1 111

1

xx xx dg x g x g x

x dx xx

x

2 2

1

1 1

x

x x

1 x

2

1 x

1

'1 2

g xx

2 1 2x x

2

12 '

2g x

x

22

1 x

2

1'

1g x

x

Por lo tanto se verifica que ' 'f x g x





Dada la curva C de ecuaciones paramétricas

cot0,

2sen cos

x a

y b

con ,a b .

a) Calcule dy

dx.

Solución:

Se tiene que 2 2sen cos cos sendy

y b bd

, por otro lado 2cot cscdx

x a ad

, luego

2 2 2 2

2 2

cos sen cos sen

csc csc

dybdy bd

dxdx aa

d

b) Determine analíticamente los puntos donde la rectas tangentes a C son horizontales.

Solución:

Para que las rectas tangentes sean horizontales se debe cumplir que 0dy

dx , en este caso particular 0

dy

d :

2 2 2 2 2cos sen 0 cos tan 1 /

tan 1 tan 1 tan 1 arctan 1 arctan 1

4 4

sen

Luego para determinar el punto se evalúa 1

, ,4 4 2

x y a b

.


Un obrero de la construcción levanta una plancha tirando una cuerda a lo largo del muro, como se muestra en la figura adjunta.

Suponemos que el extremo más alejado de la plancha se mueve perpendicular al muro y que el obrero tira de la cuerda a razón

de 0,2 m/s. ¿A qué velocidad se mueve el extremo alejado de la plancha por el suelo cuando se encuentra a 2 m de la base del

muro?.

Solución:

Estableciendo nombre para cada una de las variables se tiene que:

x : Distancia desde el extremo inferior de plancha al muro.

y : Distancia desde el extremo superior de la plancha al suelo.

z : Longitud de la plancha.




Además por las condiciones físicas del problema tanto x como y cambian con el tiempo, es decir que ambas variables son

funciones del tiempo ( ( ) ( )x t e y t ) y sólo la longitud de la plancha permanece constante, por otro se sabe las variables están

relacionadas a través del teorema de Pitágoras 2 2 2x y z , derivando esta última expresión con respecto al tiempo:

2 2 2 / 2 2 0 0

dyy

d dx dy dx dy dx dtx y z x y x ydx dt dt dt dt dt x

Luego en el instante en el cual se quiere determinar dx

dt se posee la siguiente información 2x m ,

10,2 / /

5

dym s m s

dt e

2 2 2 2 22 5 25 4 21 21 21y y y y y 21y , por lo que finalmente a evaluar se obtiene:

121

215 /2 10

dyy

dx dt m sdt x

La plancha se está acercando al muro a una velocidad de 21

10 metros por segundo.

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