EP 08 2012 - 1 Equaes, inequaes e grficos seno e cosseno
Pr-Clculo
CEDERJ EP 08
Pr-Clculo__________________________________________________________________________
Caro aluno Vamos continuar o nosso estudo das funes trigonomtricas
seno e cosseno. Chamamos ateno que nesse EP08 vamos resolver as
equaes e inequaes trigonomtricas com seno e cosseno, para isso
vamos ter que usar as identidades trigonomtricas relativas ao seno
e cosseno que foram vistas no EP07. A visualizao no crculo
trigonomtrico ser muito til na resoluo das equaes e inequaes. Tambm
vamos aprender a construir o grfico das funes seno e cosseno, a
partir do crculo trigonomtrico. Depois disso, vamos aplicar as
transformaes nos grficos das funes seno e cosseno. Esses assuntos
voc vai encontrar tambm na Semana 13, pg.6, do Caderno de
Coordenao. Uma propriedade importante das funes trigonomtricas que
elas so peridicas, isso est bem desenvolvido no Livro de Pr-Clculo,
Volume 2, mdulo 4, aulas 28 e 29. Observamos que no captulo 29 esto
sendo estudadas as outras funes trigonomtricas, tangente,
cotangente, secante e cossecante, mas s vamos estudar essas funes
depois da AP1 (primeira avaliao).
Equaes trigonomtricasResolver uma equao trigonomtrica significa
encontrar os valores dos ngulos que pertencem ao intervalo dado,
que tornam a equao verdadeira. Se nenhum intervalo for dado
inicialmente, supomos que queremos todos os ngulos reais que
satisfazem a equao. Exemplo 1: 1) Resolva Equaes mais simples. ,
Marque o conjunto soluo no crculo trigonomtrico. so
Soluo: Os ngulos no intervalo
2) Resolva
,
Soluo: O ngulo no intervalo
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3) Resolva
,
Marque o conjunto soluo no crculo trigonomtrico. so ou
Soluo: Os ngulos no intervalo
4) Resolva
, .
Soluo: Os ngulos so todos os congruentes a Assim,
5)
esolva Soluo:
,
Marque o conjunto soluo no crculo trigonomtrico. . Logo, S={
}.
6) Resolva sen2
,
Marque o conjunto soluo no crculo trigonomtrico. , temos .
Logo,
Soluo: Mudando a varivel, fazendo .
7) Resolva sen(2
,
Marque o conjunto soluo no crculo trigonomtrico. , temos .
Logo,
Soluo: Mudando a varivel, fazendo .
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OBS :No exemplo acima vimos vrias equaes do tipo como e so
nmeros reais pertencentes ao intervalo Por exemplo, as equaes
ou
. Note que , uma equao desse , ,
tipo admite soluo, se e s se , , do tipo
no possuem soluo ( , ,
Por outro lado, equaes em que , , sempre
possuem soluo, mesmo que os valores no correspondam a ngulos
notveis.
Exemplo 2:
Equaes mais elaboradas, algumas requerem o uso de
identidades.
Resolva as equaes abaixo. 1) Soluo: Logo, . ,
2) Soluo: . 3)
,
. Soluo: Usando a identidade trigonomtrica fundamental,
obtemos
Fazendo uma mudana de varivel, colocando obtemos a equao do 2
grau temos duas equaes: Logo, 4) Soluo:
na equao . Voltando a ,
, cujas razes so
, que no tem soluo pois , que tem como soluo
;
,Usando a identidade do arco duplo, a equao dada equivalente
a
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Inequaes trigonomtricasPara resolver uma inequao trigonomtrica,
procure determinar primeiro a soluo da equao associada para ter uma
idia do problema. Depois, faa um esboo no crculo trigonomtrico para
determinar a soluo da inequao. Exemplo 3: 1) Resolva e marque o
conjunto soluo no crculo trigonomtrico. , Soluo: A equao associada
, cujas solues no intervalo dado so pois para os ngulos o valor
. Olhando no crculo trigonomtrico, temos
desse intervalo, quando projetamos o ponto correspondente no
crculo sobre o eixo da ordenada maior do que, ou igual a
2)
,Soluo: A equao associada , cujas solues no intervalo dado
so
( esses ngulos no satisfazem a inequao!). Olhando no crculo
trigonomtrico, temos , pois para os ngulos desse intervalo, quando
, o valor da abscissa maior do que
projetamos o ponto correspondente no crculo sobre 3) . Soluo: A
inequao dada equivalente a Marcando o conjunto soluo da equao
associada,
.
no crculo trigonomtrico, observamos que o conjunto soluo em [0,2
] dado por Como o
problema requer todas as solues em , ento respeitando a ordem
dos reais, podemos escrever .
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4) Soluo: Nesse exemplo, primeiro vamos transformar a inequao
dada em duas mais simples. Observe. Mudamos a varivel Estudamos o
sinal da parbola , ento temos , cujas razes so e e
Voltando varivel , segue que Marcamos no crculo trigonomtrico as
solues das equaes e
.
determinamos para quais os ngulos teremos a projeo em
entre Portanto,
e
..
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O grfico da funo seno no intervaloPara construir o grfico da
funo observamos que o ngulo , medido em radianos, marcado no crculo
trigonomtrico, transforma-se na varivel t do domnio da funo. E
tambm observamos que a ordenada do ponto no crculo trigonomtrico,
que representa . e d , coincide com a ordenada do
ponto do grfico da funo
Imagine que o ponto P se movimenta no crculo no sentido
anti-horrio, a partir da posio uma volta completa, o correspondente
ngulo aumenta, de at , e: Quando o ngulo cresce de Quando o ngulo
cresce de Quando o ngulo cresce de Quando o ngulo cresce de a a , ,
a , , o valor o valor o valor o valor cresce de decresce de
decresce de cresce de
. . . .
Veja na plataforma, na aula 08, os applets correspondentes a
esse movimento descrito acima. Conclumos que a funo : crescente nos
intervalos e decrescente no intervalo
Um grfico cuja funo possui a propriedade acima est desenhado
abaixo.
Outro grfico que possui a propriedade acima est desenhado ao
lado. Por enquanto no h como justificar porque o grfico do seno o
que est desenhado acima, e no o que est desenhado ao lado. Em
Clculo I possvel justificar que de fato o grfico correto o que est
acima.
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O grfico da funo seno estendido a toda retaA importante
propriedade facilmente visualizada no crculo trigonomtrico, a
saber,
que pode tambm ser escrita assim , nos diz que a funo seno
peridica, com perodo . Assim, se traarmos uma reta horizontal
contendo um ponto do grfico, o valor da ordenada pode ser repetido
sobre essa reta horizontal, nos seguintes pontos do grfico:
Se repetirmos esse procedimento para todos os valores de no
intervalo completamos o grfico da funo para todos os valores das
abscissas . Esse grfico est desenhado abaixo.
A visualizao no grfico de algumas propriedades da funo seno
A funo seno uma funo mpar.
Imagem da funo seno,
,
que significa: ou .
A funo seno injetora no intervalo
.
A funo seno no injetora no intervalo
.
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O grfico da funo cosseno no intervaloPara construir o grfico da
funo observamos que o ngulo , medido em radianos, marcado no crculo
trigonomtrico, transforma-se na varivel t do domnio da funo. E
tambm observamos que a abscissa do ponto no crculo trigonomtrico,
que representa , coincide com a ordenada do ponto do grfico da funo
. Imagine que o ponto P se movimenta no crculo no sentido
anti-horrio, a partir da posio uma volta completa, o correspondente
ngulo aumenta, de at , e: Quando o ngulo cresce de , o valor
decresce de Quando o ngulo cresce de Quando o ngulo cresce de
Quando o ngulo cresce de a , a a , , o valor o valor o valor
decresce de cresce de cresce de . e d . . .
Veja na plataforma, na aula 08, os applets correspondentes a
esse movimento descrito acima. Assim, conclumos que a funo :
crescente nos intervalos e decrescente no intervalo
Um grfico cuja funo possui a propriedade acima est desenhado
abaixo.
OBSERVAO: H grficos de outras funes, diferentes do grfico acima,
cujo crescimento e decrescimento igual ao crescimento e
decrescimento do grfico da funo cosseno. Em Clculo I possvel
justificar que de fato o grfico correto o que est acima.
O grfico da funo cosseno estendido a toda retaA importante
propriedade facilmente visualizada no crculo trigonomtrico, a
saber, , que pode tambm ser escrita assim ,
nos diz que a funo cosseno peridica, com perodo . Assim, se
traarmos uma reta horizontal contendo um ponto do grfico, o valor
da ordenada pode ser repetido sobre essa reta horizontal, nos
seguintes pontos do grfico:
Se repetirmos esse procedimento para todos os valores de no
intervalo completamos o grfico da funo para todos os valores das
abscissas . Esse grfico est desenhado a seguir.
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A visualizao no grfico de algumas propriedades da funo
cosseno
A funo cosseno uma funo par.
Imagem da funo cosseno, , que significa: ou .
A funo cosseno no injetora no intervalo
.
A funo cosseno injetora no intervalo
.
Transformaes nos grficos das funes seno e cossenoPodemos aplicar
o que estudamos na aula 5 sobre as transformaes em grficos de funes
aos grficos dessas duas funes elementares. Exemplo 4: Para a funo
dada, vamos construir o seu grfico, aps aplicar uma sequncia de
transformaes. Depois vamos encontrar a imagem da funo para no
intervalo dado. .
(1) Como
, h um alongamento vertical do grfico de
, com fator de multiplicao . unidade para direita.
(2) Translao vertical do grfico de (3) Translao horizontal do
grfico de
, de unidade para cima.
, de
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Determinando a imagem. Sabemos que Sabemos que Assim, . Sabendo
que
quando quando .
.
Nesse caso, .
Nesse caso,
assume o seu menor valor, que
e o seu maior valor , que , no intervalo
, para todo
, temos:
Logo o menor valor de
igual a .
E o maior valor de . Concluso: .
igual a
Exemplo 5: Esboar o grfico da funo Sabemos que uma identidade
trigonomtrica Logo, o grfico da funo o grfico da funo cosseno.
. .
OBSERVAO: esse exemplo serve para mostrar que pode ser til usar
identidades trigonomtricas para construir grficos de funes. Exemplo
6: Esboar o grfico da funo , para .
No podemos usar diretamente a transformao em grficos de funes
elementares porque nessa funo aparecem duas funes elementares e s
sabemos fazer a transformao no grfico quando aparece apenas uma
funo elementar. Nesse caso vamos procurar uma identidade
trigonomtrica que simplifique essa funo de forma que aparea uma
nica funo elementar. A identidade trigonomtrica em que aparece o
produto do seno e cosseno : Substituindo na funo, Agora podemos
usar a transformao em grficos para a funo Uma possvel sequncia de
transformaes, 10 de 12 . .
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. (1) (2) (3) (4) Como h reduo horizontal do grfico de , com
fator de multiplicao . Como 4 h esticamento vertical do grfico de ,
com fator de multiplicao 4. O grfico de refletido em torno do eixo
. H uma translao vertical do grfico de de 4 unidades para cima.
Como o grfico inicial ter uma reduo horizontal com fator de
multiplicao , para que no grfico final, preciso que o grfico
inicial tenha uma variao de a .
E agora, aos exerccios:
__________________________________________________________________________
Exerccio 1: a) b) c) d) e) f) g) h) , , 11 de 12 . , . Nos
exerccios a seguir, encontre a soluo e marque no crculo
trigonomtrico. , .
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i) j)
. , em [0,2 ].
Exerccio 2: Nos exerccios de 1) a 5) resolva e marque o conjunto
soluo no crculo trigonomtrico. a) , b) c) d) e) Exerccio 3: a) b)
Exerccio 4: Esboce os grficos das funes listadas abaixo. Use pelo
menos o domnio [ 0 , 2 ] . , Determine o domnio das funes , ,
a) f ( x ) 3 sen ( x ) b) g ( x ) 1 2 sen ( 4 x ) c) h ( x ) 2 4
cos ( 2 x ) d) j ( x ) 3 sen ( x ) e) k ( x ) 2 3 cos (x ) 2
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