Resolução equacao do segundo grau por completamento

7/21/2019 Resolução equacao do segundo grau por completamento

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CEM Francisco Antônio MachadoDisciplina de Matemática - Nono Ano

Apostila Sobre

Resolução de Equações Quadráticas pelo Método

do Completamento de Quadrados

Prof. Marcelo Rivadávia

São José - SC

Agosto de 2015

1




0.1 IntroduçãoDevemos saber que para resolvermos uma equação de segundo grau(maior exponte da

incógnita é 2)necessitamos entender para quais os valores de x a equação se anula, isto é, para

que valor de x quando substituído na equação resulta em zero. A estes valores de x chamamos

de raízes ou zeros da equação.

Há vários conhecimentos matemáticos envolvidos para encontrar as raízes de uma equação

com o uso do método do completamento de quadrados: Geometria(área de quadrado e área deretângulo), adição e subtração de frações, multiplicação e divisão de frações, potenciação e

radiciação, fatoração de um trinômio quadrado perfeito, equações do primeiro grau, opostos

e inversos de números inteiros e racionais(frações), propriedade comutatividade da soma e do

produto, propriedade distributiva, a soma zero e a multiplicação por 1, simplificações de frações,

frações equivalentes, pelo menos.

Este método visa exercitar o aluno para aprimorar as habilidades e competências nos as-

suntos matemáticos acima citados e exigir maior tirocínio, além de requerer que o estudante de-

cida qual estratégia ou caminho usar para chegar-se ao resultado desejado. Além do método ser

poderoso, há uma outra vantagem que é entender o porque da conhecida fórmula de Bhaskara.

Para entendê-la perfeitamente, faz-se necessário realizarmos o estudo do completamento de

quadrados.

O completamento de quadrados é usado para:

Resolver equações do segundo grau,

Plotar gráficos de funções quadráticas,

Calcular integrais no cálculo(cálculo é um conteúdo universitário),

Determinar a transformada de Laplace(conteúdo universitário).

Vamos ao método.




1)Encontre as soluções das equações abaixo usando o método do completamento de

quadrado.

a) x2+

185 · x +

4525 = 0

x2

95 · x

95 · x

8125

x

x 95

95

Para resolver a equação necessitamos definir

a área do quadrado menor como sendo x2,

implicando que a base deste quadrado mede x

que tem por medida igual a altura, assim pois

x · x = x2.

A área do retângulo é calculada como sendo

a metade do coeficiente do termo de grau

um. Na figura ao lado, há dois retângulos de

mesma área, por isso que há a necessidade de

se realizar a divisão por dois. Vamos para a

expressão:

x2+

185 · x +

4525 = 0

x2+

95 · x +

95 · x +

4525 = 0. Note que 18

5 · x foi

decomposto em uma soma de duas parcelas

iguais que nada mais é em dividir a fração

acima em dois. Portanto, cada retângulo tem

área igual a 95

· x.

Calculando a base do retângulo,

temos:

A = b · h

95 · x = b · x, onde A é a área do

retângulo, b é a base e h a altura.

Segue, portanto, b = 95

.

Conhecida a base do retângulo, podemos determinar a área do

quadrado cuja base tem mesma medida que a base do retângulo, ou

seja:

A = l2

A = 9

5

2= 9

5 ·

9

5

A = 81

25




Segue que é necessário determinar qual é o valor y que somado à fração

45

25 resultará na

fração 8125

. Para tal escrevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 4525 + y = 81

25.

Somando o oposto de 4525

de cada lado da equação, temos: 4525 − 45

25 + y = 81

25 − 45

25. Sabe-se

que a soma de números opostos entre si resulta em zero, assim teremos:

0 + y = 8125 − 45

25 ⇒ y = 36

25. Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para

completarmos o quadrado( transformar a expressão à esquerda da igualdade em um trinômio

quadrado perfeito), tem-se, de modo geral, (a + b)2= a2

+ 2 · ab + b2, é y = 3625

.

Temos: x2+ 2 · 9

5 · x +

4525+

3625 = 0+ 36

25 ⇒ x2

+ 2 · 95 · x +

8125 =

3625

.

x2+ 2 · 9

5 · x +

95

2=

3625

. Neste ponto, o termo 8125

é substituído pelo seu equivalente:

95

2,

a fim de realizar-se fatoração para se obter ( x + 95

)2. Como que se obtém? Por comparação com

o quadrado da soma de dois termos, isto é, (a+b)2= a2

+2 ·ab+b2 ou fotoração por evidência.

Vamos discutir cada uma destas.

Por comparação:

Desejamos encontrar quem é a

e b comparando com a equação

na semelhança dos termos, isto

é:

a2+ 2 · a · b + b2

= (a + b)2

x2+ 2 · 9

5 · x +

95

2= ?

Comparando termo a termo,

percebe-se que a = x e b = 9

5.

Assim, (a+b)2= ( x+ 9

5)2, segue

então:

( x + 95

)2= x2

+ 2 · 95 · x +

95

2.

Fatorar significa representar uma expressão

algébrica em outra que envolva a multipli-

cação de elementos algébricos.

Considerando a expressão e decompondo o

termo de primeiro grau em uma soma, temos:

x2+ 2 · 9

5 · x +

95

2= x2

+ 95 · x +

95 · x +

95

2

Um fator comum nos dois primeiros termos é

x e nos dois últimos termos é 9

5, vejamos:

x · ( x + 95

) + 95 · ( x +

95

) =

Note que nesta expressão acima,os fatores

comuns mudam para ( x + 95

), logo:

( x + 95

) · ( x + 95

) = ( x + 95

)2. Logo, temos:

( x + 95

)2= x2

+ 2 · 95 · x +

95

2.




Havendo transformado o lado esquerdo da equação em uma potência, vem:

( x + 95

)2=

3625 ⇒ x +

95 = ±

3625

x + 95 = ±6

5, e somando em cada lado da equação o oposto de 9

5, tem-se:

x + 95 − 9

5 = ±6

5 − 9

5, sabendo que a soma de opostos é zero, segue:

x = ±65 − 9

5, o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas:

x1 = 6

5 − 9

5 = −3

5, e

x2 =

−6

5 − 9

5 =

−15

5 =

−3. Portanto, a solução é dada por: S =

{−3;−

3

5}.

b) 916

x2+

1220 · x +

325 = 0

916

x2

620 · x

620 · x

425

34 x

34 x 2

5

25


a área do quadrado menor como sendo 916

x2,

implicando que a base deste quadrado mede

34 x que tem por medida igual a altura, assim

pois 34 x · 3

4 x = 9

16 x2.

A área do retângulo é calculada como sendo

a metade do coeficiente do termo de grau

um. Na figura ao lado, há dois retângulos de

mesma área, por isso que há a necessidade de

se realizar a divisão por dois. Vamos para a

expressão:

916

x2+

1220 · x +

325 = 0

916

x2+

620· x+ 6

20· x+ 3

25 = 0. Note que 12

20· x foi

decomposta em uma soma de duas parcelas

iguais que nada mais é em dividir a fração

acima em dois. Portanto, cada retângulo tem

área igual a 620

· x.


temos: A = b · h

620 · x = b · 3

4 x, onde A é a área do


620 · x = b · 3

4 x (aplicando o inverso)

43 x · 6

20 · x = b · 3

4 x· 4

3 x, equivale à:

43· x · 6

20 · x

1 = b · 3

4 · x

1· 4

3· x , e por

comutativa: 6

3 · 4

20 · x

x

= b·

3

4 · x

x · 4

3

,

onde alguns fatores resultam em 1, e

simplificando, então: b = 2 · 15 =

25

.




Conhecida a base do retângulo, podemos determinar a área do

quadrado cuja base tem mesma medida que a base do retângulo, ou

seja:

A = l2

A =

25

2=

25

·

25

A = 425

Segue que é necessário determinar qual é o valor y que somado à fração 325

resultará na

fração 425

. Para tal escrevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 325 + y = 4

25.

Somando o oposto de 325

de cada lado da equação, temos: 325 − 3

25 + y = 4

25 − 3

25. Sabe-se

que a soma de números opostos entre si resulta em zero, assim teremos:

0 + y = 425 − 3

25 ⇒ y = 1

25. Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para

completarmos o quadrado( transformar a expressão à esquerda da igualdade em um trinômio

quadrado perfeito), tem-se, de modo geral, (a+

b)

2=

a

2+

2 · ab+

b

2

, é y =

1

25 .Temos: 9

16 x2

+ 2 · 25 · 3

4 x +

325+

125 = 0+ 1

25 ⇒ 9

16 x2

+ 2 · 25 · 3

4 x +

425 =

125

.

916

x2+2· 2

5· 3

4 x+

25

2=

125

. Neste ponto, o termo 425

é substituído pelo seu equivalente:

25

2,

a fim de realizar-se fatoração para se obter ( 34 x + 2

5)2. Como que se obtém? Por comparação

com o quadrado da soma de dois termos, isto é, (a + b)2= a2

+ 2 · ab + b2 ou fotoração por

evidência.

Vamos discutir cada uma destas.

Por comparação:

Desejamos encontrar quem é a e b comparando com a equação na

semelhança dos termos, isto é:

a2+ 2 · a · b + b2

= (a + b)2

916

x2+ 2 · 3

4 · x · 2

5 +

25

2= ?

Comparando termo a termo, percebe-se que a = 34 x e b = 2

5. Assim,

(a + b)2

= (3

4 x +

2

5 )2

, segue então:

( 34 x +

25

)2=

916

x2+ 2 · 3

4 · x · 2

5 +

25

2.




Fatorar significa representar uma expressão algébrica em outra que

envolva a multiplicação de elementos algébricos.

Considerando a expressão e decompondo o termo de primeiro grau

em uma soma, temos:

916

x2+ 2 · 6

20 · x +

25

2=

916

x2+

620 · x +

620 · x +

25

2

Um fator comum nos dois primeiros termos é 34 x e nos dois últimos

termos é 25

, vejamos:

34 x · ( 3

4 x +

25

) + 25 · ( 3

4 x +

25

) =

Note que nesta expressão acima,os fatores comuns mudam para

( 34 x +

25

), logo:

( 34 x +

25

) · ( 34 x +

25

) = ( 34 x +

25

)2. Logo, temos:

( 34 x +

25

)2=

916

x2+ 2 · 3

4 · x · 2

5 +

25

2.


( 34 x +

25

)2=

125 ⇒ 3

4 x +

25 = ±

125

34 x +

25 = ±1


5, tem-se:

34 x +

25 − 2

5 = ±1

5 − 2


34 x = ±1

5 − 2

5, o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas:

34 x1 =

15 − 2

5 = −1

5 ⇒ 3

4 x1 = −1

5, e aplicando o inverso, temos:

43

·34 x1 =

43

·(

−15

)

⇒ x1 =

− 415

34 x2 = −1

5 − 2

5 = −3

5 ⇒ 3

4 x2 = −3

5, e aplicando o inverso, temos:

43 · 3

4 x2 =

43 ·(− 3

5) ⇒ x2 = −12

15

Portanto, a solução é dada por: S = {− 415

;−125 }.




c)4 x

2+

20 · x +

36 =

0

4 x2

10 · x

10

· x

25

2 x

2 x 5

5

Designando a área do menor quadrado em

4 x2, implica que a base e a altura medem 2 x.

A área do retângulo se calcula a partir do co-

eficiente do termo de grau um. Deste modo,

20 x será dividido em 10 x como a área de

cada retângulo.

A base do retângulo se calcula

como: A = b · h

10 x = b · 2 x, onde A é a área do

retângulo, b é a base e h a altura e

(aplicando o inverso):

12 x ·10 x = b· 1

2 x · 2 x, resulta em:

10 x2 x = b · 2 x

2 x, logo a base do retângulo

mede: b = 5.

Conhecida a base do retângulo, podemos de-

terminar a área do quadrado cuja base tem

mesma medida que a base do retângulo, ou

seja:

A = l2

A = 52= 25

Deve-se encontrar o valor y que somado ao número 36 resultará em 25. Para tal escreve-

mos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 36 + y = 25.

Somando o oposto de 36 de cada lado da equação, vem: 36 −36 + y = 25 −36, assim

teremos: y = −11.

Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para completarmos o quadrado.

Assim, 4 x2+ 2 · 10 x + 36+ (−11) = 0+ (−11) ⇒ 4 x2

+ 2 · 10 x + 25 = −11 que fatorando,

temos:

(2 x + 5)2= −11 ⇒ 2 x + 5 = ±

√ −11. Neste ponto temos problemas, não existe dentro

do conjunto dos números reais a raiz quadrada de números negativos, como neste caso, a raiz

quadrada de −11. Conclui-se que não há solução para a equação 4 x2+ 20 · x + 36 = 0.




d)9 x

2+

28 · x +

171 =

0

9 x2

14 · x

14

· x

1969

3 x

3 x 14

3

143

Designando a área do menor quadrado em

9 x2, implica que a base e a altura medem 3 x.

A área do retângulo se calcula a partir do co-

eficiente do termo de grau um. Deste modo,

28 x será dividido em 14 x como a área de

cada retângulo.

A base do retângulo se calcula

como: A = b · h


retângulo, b é a base e h a altura e

(aplicando o inverso):

13 x ·14 x = b· 1

3 x · 3 x, resulta em:

14 x3 x = b · 3 x

3 x, logo a base do retângulo

mede: b = 143

.




seja:

A = l2

A = ( 143

)2=

1969

Deve-se encontrar o valor y que somado ao número 171 resultará em 1969

. Para tal es-

crevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 171 + y = 1969

.

Somando o oposto de 171 de cada lado da equação, vem: 171 −171 + y = 1969 −171,

assim teremos: y = −13439

.

Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para completarmos o quadrado.

Assim, 9 x2+ 2 · 14 x + 171+ (− 1343

9 ) = 0+ (− 1343

9 ⇒ 9 x2

+ 2 · 14 x + 1969 = − 1343

9 que

fatorando, temos:

(3 x + 143

)2= − 1343

9 ⇒ 3 x + 14

3 = ±

− 1343

9 . Neste ponto temos problemas, não existe

dentro do conjunto dos números reais a raiz quadrada de números negativos, como neste caso,

a raiz quadrada de − 13439

. Conclui-se que não há solução para a equação 9 x2+ 28 · x + 171 = 0.




e)

4

9 x

2+

24 · x +

99 =

0

49 x2

12 · x

12 · x

324

23 x

23 x 18

18


a área do quadrado menor como sendo 49 x2,

implicando que a base deste quadrado mede x

que tem por medida igual a altura, assim pois

23 x · 2

3 x = 4

9 x2, segue:

49 x2

+ 24 · x + 99 = 0

49 x2

+ 12 · x + 12 · x + 99 = 0. Cada retângulo

tem área igual a 12 · x.


temos:

A = b · h



Aplicando o inverso de 23 x, temos:

32

12 x = b · 23 x 3

2, Segue, portanto,

b = 18.




seja:

A = l2

A = (18)2= 324

Segue que é necessário determinar qual é o valor y que somado à 99 resultará no número

324. Para tal escrevemos abaixo a seguinte equação de primeiro grau: 99 + y = 324. Disto

temos que y = 225. Logo, o valor que devemos somar à equação quadrática para completarmos

o quadrado, é: y = 225.

Temos: 49 x2

+ 2 · 12 x + 99+ 225 = 0+ 225 ⇒ 49 x2

+ 2 · 12 · x + 324 = 225.

4

9 x2

+2·12 x+182

= 225. Neste ponto, o termo 324 é substituído pelo seu equivalente:182,

a fim de realizar-se fatoração para se obter ( 23 x + 18)2.





(

2

3 x+

18)

2=

225 ⇒ 2

3 x+

18 = ±

√ 225

23 x + 18 = ±25, e somando em cada lado da equação o oposto de 18, tem-se:

23 x + 18 − 18 = ±25 − 25, sabendo que a soma de opostos é zero, segue:

23 x = ±25 − 18, o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas:

23 x1 = 7 ⇒ 3

2 · 2

3 x1 =

32 · 7 = 21

2 , e

23 x2 = −43 ⇒ 3

2 · 2

3 x2 =

32 · −43 = −43

2 .

Portanto, a solução é dada por: S = {

21

2 ;−

43

2 }.

f) 12125

x2+

15415 · x +

409 = 0

12125

x2

77

15 · x

7715 · x

49

9

115

x

115

x 73

7

3

12125

x2+

15415 · x+ 40

9 = 0 ⇒ 121

25 x2

+2· 7715· x+ 40

9 = 0,

assim, temos:

Segue que é necessário determinar qual

é o valor y que somado à 409

resultará no

valor 499

. A equação de primeiro grau decor-

rente: 409 + y =

499

. Disto temos que y = 9

9.

Logo, o valor que devemos somar à equação

quadrática para completarmos o quadrado,

é: y = 99

.

Calculando a base do retângulo, vem: A = b · h

7715

x = b · 115

x, onde A é a área do retângulo, b é

a base e, h a altura.

Aplicando o inverso de 115

x, temos:

511 · 77

15 x = b · 11

5 x · 5

11, Segue, portanto, b = 7

3.

A área do quadrado cuja base

tem mesma medida que a base

do retângulo é:

A = l2

A = ( 73

)2=

499

Temos: 12125

x2+ 2 · 11

5 · 7

3 · x +

409 +

99 = 0 +

99 ⇒ 121

25 x2

+ 2 · 115 · 7

3 · x +

499 = 1 =⇒




(

11

5 x)

2+

2 · 11

5 · 7

3 · x +

(

7

3 )

2=

1 que fatorando, tem-se: (

11

5 x+

7

3 )

2=

1.


115

x + 73 = ±

√ 1

115

x + 73 = ±1, e somando em cada lado da equação o oposto de 7

3, tem-se:

115

x + 73 − 7

3 = ±1 − 7


115

x = ±33 − 7

3, o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas

(obs.: 1 = 3

3).

115

x1 = 3

3 − 7

3 ⇒ 11

5 x1 = −4

3 ⇒ 5

11 · 11

5 x1 =

511 · (− 4

3) ⇒ x1 = −20

33, e

115

x2 = −33 − 7

3 ⇒ 11

5 x2 = −10

3 ⇒ 5

11 · 11

5 x2 =

511 · (− 10

3 ) ⇒ x2 = −50

33.

Portanto, a solução é dada por: S = {−2033

;−5033}.

g) 1009

x2+

24015 · x +

8025 = 0

1009

x2

12015 · x

12015 · x

14425

103

x

103

x 125

125

1009

x2+

24015 · x+ 80

25 = 0 ⇒ 100

9 x2

+2· 12015 · x+ 80

25 = 0,

assim, temos:

Segue que é necessário determinar qual é o

valor y que somado à 8025

resultará no valor

14425

. A equação de primeiro grau decorrente:

80

25 +

y =

144

25 . Disto, temos que y =

64

25 .


12015

x = b · 103

x, onde A é a área do retângulo, b

é a base e, h a altura.


3 x, temos:3

10 · 120

15 x = b · 10

3 x · 3


5 .



do retângulo é:

A = l2

A = ( 125

)2=

14425




Temos:

100

9 x

2+

2 · 10

3 · 12

5 · x + 80

25 +

64

25 =

0+

64

25 ⇒ 100

9 x

2+

2 · 10

3 · 12

5 · x + 144

25 =

64

25 =⇒

( 103

x)2+ 2 · 10

3 · 12

5 · x + ( 12

5 )2

= 64

25 que fatorando, tem-se: ( 10

3 x +

125

)2=

6425

.


103

x + 12

5 = ±

6425

103

x + 12

5 = ±8


5 , tem-se:

103

x + 12

5 − 12

5 = ±8

5 − 12

5 , sabendo que a soma de opostos é zero, segue:

10

3 x =

±8

5 − 12

5 , o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas

103

x1 = 8

5 − 12

5 ⇒ 10

3 x1 = −4

5 ⇒ 3

10 · 10

3 x1 =

310 · (− 4

5) ⇒ x1 = −12

50 = − 6

25, e

103

x2 = −85 − 12

5 ⇒ 10

3 x2 = −20

5 ⇒ 3

10 · 10

3 x2 =

310 · (− 20

5 ) ⇒ x2 = −60

50 = −6

5.

Portanto, a solução é dada por: S = {− 625

;−65}.

h) 49169

x2+

2891 · x +

349 = 0

49169

x2

1491 · x

1491 · x

449

713

x

713

x 27

27

49169

x2+

2891· x+ 3

49 = 0 ⇒ 49

169 x2

+2 · 1491· x+ 3

49 = 0,

assim, temos:



resultará no valor

149


3

49 +

y =

4


1

49 .


1491

x = b · 713




137 · 14

91 x = b · 7

13 x · 13

7 , Segue, portanto, b = 2

7.



do retângulo é:

A = l2

A = ( 27

)2=

449




Temos:

49

169 x

2+

2 · 7

13 · 2

7 · x + 3

49 +

1

49 =

0+

1

49 ⇒ 49

169 x

2+

2 · 7

13 · 2

7 · x + 4

49 =

1

49 =⇒

( 713

x)2+ 2 · 7

13 · 2

7 · x + ( 2

7)2

= 64


13 x +

27

)2=

149

.


713

x + 27 = ±

149

713

x + 27 = ±1


7, tem-se:

713

x + 27 − 2

7 = ±1

7 − 2


7

13 x =

±1

7 − 2

7, o que ja nos garante a partir deste momento as duas soluções desejadas

713

x1 = 1

7 − 2

7 ⇒ 7

13 x1 = −1

7 ⇒ 13

7 · 7

13 x1 =

137 · (− 1

7) ⇒ x1 = −13

49, e

713

x2 = −17 − 2

7 ⇒ 7

13 x2 = −3

7 ⇒ 13

7 · 7

13 x2 =

137 · (−3

7) ⇒ x2 = −39

49


;−3949}.

i) 36121

x2+

12099 · x +

7581 = 0

36121

x2

6099 · x

6099 · x

10081

611

x

611

x 109

109

36121

x2+

12099 · x+ 75

81 = 0 ⇒ 36

121 x2

+2· 6099· x+ 75

81 = 0,

assim, temos:



resultará no valor

2581


75

81 +

y =

100


25

81 .


6099

x = b · 611




116 · 60

99 x = b · 6

16 x · 11

6 , Segue, portanto, b = 10

9 .



do retângulo é:

A = l2

A = ( 109

)2=

1009




Temos:

36

121 x

2+

2 · 6

11 · 10

9 · x + 75

81 +

25

81 =

0+

25

81 ⇒ 36

121 x

2+

2 · 6

11 · 10

9 · x + 100

81 =

25

81 =⇒

( 611

x)2+ 2 · 6

11 · 10

9 · x + ( 10

9 )2

= 25


11 x +

109

)2=

2581

.


611

x + 10

9 = ±

2581

611

x + 10

9 = ±5


9 , tem-se:

611

x + 10

9 − 10

9 = ±5

9 − 10


6

11 x =

±5

9 − 10


611

x1 = 5

9 − 10

9 ⇒ 6

11 x1 = −5

9 ⇒ 11

6 · 6

11 x1 =

116 · (− 5

9) ⇒ x1 = −55

54, e

611

x2 = −59 − 10

9 ⇒ 6

11 x2 = −15

9 ⇒ 11

6 · 6

11 x2 =

116 · (− 15

9 ) ⇒ x2 = −165

54 = −55

18.


;−5518}.

j) 925

x2+

6645 · x +

8581 = 0

925

x2

3345 · x

3345 · x

12181

35 x

35 x 11

9

119

925

x2+

6645· x+ 85

81 = 0 ⇒ 9

25 x2

+2 · 3345· x+ 85

81 = 0,

assim, temos:



resultará no valor

3681


85

81 +

y =

121


36

81 .


3345

x = b · 35 x, onde A é a área do retângulo, b é



5 x, temos:53 · 33

45 x = b · 3

5 x · 5


9 .



do retângulo é:

A = l2

A = ( 119

)2=

12181




Temos:

9

25 x

2+

2 · 3

5 · 11

9 · x + 85

81 +

36

81 =

0+

36

81 ⇒ 9

25 x

2+

2 · 3

5 · 11

9 · x + 121

81 =

36

81 =⇒

( 35 x)2

+ 2 · 35 · 11

9 · x + ( 11

9 )2

= 36


5 x +

119

)2=

3681

.


35 x +

119 = ±

3681

35 x +

119 = ±6


9 , tem-se:

311

x + 11

9 − 11

9 = ±6

9 − 11


3

5 x =

±6

9 − 11


35 x1 =

69 − 11

9 ⇒ 3

5 x1 = −5

9 ⇒ 5

3 · 3

5 x1 =

53 · (− 5

9) ⇒ x1 = −25

27, e

35 x2 = −6

9 − 11

9 ⇒ 3

5 x2 = −17

9 ⇒ 5

3 · 3

5 x2 =

53 · (− 17

9 ) ⇒ x2 = −85

27


;−8527}.

k) x2 − 20 · x + 75 = 0

x2

10 · x

10 · x

100

x

x 10

10

x2 − 20 · x + 75 = 0 ⇒ x2 − 2 · 10 · x + 75 = 0,

assim, temos:


valor y que somado à 75 resultará no valor

100. A equação de primeiro grau decorrente:

75 + y = 100. Disto, temos que y = 25.


10 x = b · x, onde A é a área do retângulo, b é a

base e, h a altura.

Segue, portanto, b = 10. Obs.:Áreas não são

negativas, porém para fins de cálculo, consid-

eraremos como positivas.



do retângulo é:

A =

l2

A = 102= 100




Temos: x

2

− 2 · 10 · x +

75+

25=

0+

25 ⇒ x

2

− 2 · 10 · x +

100 =

25 =⇒

x2 − 2 · 10 · x + 102= 25 que fatorando, tem-se: ( x − 10)2

= 25.


x − 10 = ±√

25

x − 10 = ±5, e somando em cada lado da equação o oposto de −10, tem-se:

x−10+10 = ±5+10, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±

5 + 10.

x1 = 5 + 10 = 15, e x2 = −5 + 10 = 5

Portanto, a solução é dada por: S = {5;15}.

l) x2 − 15 · x + 26 = 0

x2

152 · x

152

· x

2254

x

x 152

152

x2 − 15 · x + 26 = 0 ⇒ x2 − 1 · 15 · x + 26 = 0

x2 − 22 ·15 · x + 26 = 0 ⇒ x2 − 2 · 15

2 · x + 26 = 0

assim, temos:



2254


26 + y = 2254

. Disto, temos que y = 2254

−26

⇒ y = 2254 − 4

4 · 26 ⇒ y = 225

4 − 104

4 =

1214

. logo o

valor de y = 1214

.


152 = b · x, onde A é a área do retângulo, b é a

base e, h a altura.


2

. Obs.:Áreas não são





do retângulo é:

A = l2

A = ( 152

)2=

2254




Temos: x

2

− 2 · 15

2 · x +

26+

121

4 =

0+

121

4 ⇒ x

2

− 2 · 15

2 · x + 225

4 =

121

4 =⇒

x2 − 2 · 152 · x + ( 15

2 )2

= 121

4 que fatorando, tem-se: ( x − 15

2 )2

= 121

4 .


x − 152 = ±

121

4

x − 152 = ±11

2 , e somando em cada lado da equação o oposto de −15

2 , tem-se:

x− 152 +

152 = ±11

2 +

152

, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±

11

2 +

15

2 .

x1 = 11

2 +

152 =

262 = 13, e x2 = −11

2 +

152 =

42 = 2

Portanto, a solução é dada por: S = {2;13}.

m) x2+ 8 · x − 33 = 0

x2

4 · x

4

· x

16

x

x 4

4

x2+ 8 · x − 33 = 0 ⇒ x2

+ 2 · 4 · x − 33 = 0,

assim, temos:


valor y que somado à −33 resultará no valor


−33 + y = 16. Disto, temos que y = 49.

Obs.:Áreas não são negativas, porém para

fins de cálculo, consideraremos como posi-

tivas.



base e, h a altura.

Segue, portanto, b = 4.



do retângulo é:

A = l2

A = 42= 16




Temos: x

2+

2 · 4 · x − 33+

49=

0+

49 ⇒ x

2+

2 · 4 · x +

16 =

49 =⇒

x2+ 2 · 4 · x + 42

= 49 que fatorando, tem-se: ( x + 4)2= 49.


x + 4 = ±√

49

x + 4 = ±7, e somando em cada lado da equação o oposto de +4, tem-se:

x + 4 − 4 = ±7 − 4, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±

7−

4.

x1 = 7 − 4 = 3, e x2 = −7 − 4 = −11

Portanto, a solução é dada por: S = {3;−11}.

n) x2+ x − 110 = 0

x2

12 · x

12

· x

14

x

x 12

12

x2+ x − 110 = 0 ⇒ x2

+ 1 · x − 110 = 0

x2+

22 · x − 110 = 0 ⇒ x2

+ 2 · 12 · x − 110 = 0

assim, temos:

Segue que é necessário determinar qual é

o valor y que somado à −110 resultará no

valor 2254

. A equação de primeiro grau decor-

rente:

−110 + y =

14

. Disto, temos que y =

14 + 110 ⇒ y = 1

4 +

44 · 110 ⇒ y = 1

4 +

4404 =

4414

.

logo o valor de y = 4414

.



base e, h a altura.


.



do retângulo é:

A = l2

A = ( 12

)2=

14




Temos: x

2+

2 · 1

2 · x − 110+

441

4 =

0+

441

4 ⇒ x

2+

2 · 1

2 · x + 1

4 =

441

4 =⇒

x2+ 2 · 1

2 · x + ( 1

2)2

= 441

4 que fatorando, tem-se: ( x +

12

)2=

4414

.


x + 12 = ±

441

4

x + 12 = ±21

2 , e somando em cada lado da equação o oposto de 1

2, tem-se:

x+ 12− 1

2 = ±21

2 − 1

2, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±

21

2 − 1

2.

x1 = 21

2 − 1

2 =

202 = 10, e x2 = −21

2 − 1

2 = −22

2 = −11

Portanto, a solução é dada por: S = {−11; 10}.

o) x2 − 2 · x − 120 = 0

x2

1 · x

1 · x

1

x

x 1

1

x2 − 2 · x − 120 = 0 ⇒ x2 − 2 · 1 · x − 120 = 0,

assim, temos:

Segue que é necessário determinar qual é

o valor y que somado à −120 resultará no

valor 1. A equação de primeiro grau decor-

rente: −120 + y = 1. Disto, temos que

y = 121.



base e, h a altura.

Segue, portanto, b = 1 Obs.:Áreas não são neg-

ativas, porém para fins de cálculo, consider-

aremos como positivas..



do retângulo é:

A = l2

A = 12 = 1




Temos: x

2

− 2 · 1 · x − 120+

121=

0+

121 ⇒ x

2

− 2 · 1 · x +

1 =

121 =⇒


= 121.


x − 1 = ±√

121


x−1+1 = ±11+1, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±

11 + 1.

x1 = 11 + 1 = 12, e x2 = −11 + 1 = −10


p) x2+ 5 · x − 6 = 0

x2

52 · x

52

· x

254

x

x 52

52

x2+ 5 · x − 6 = 0 ⇒ x2

+ 1 · 5 · x − 6 = 0

x2+

22 · 5 · x − 6 = 0 ⇒ x2

+ 2 · 52 · x − 6 = 0

assim, temos:



254


−6 + y = 25

4 . Disto, temos que y = 25

4 + 6

⇒ y = 25

4 +

44 · 6 ⇒ y = 25

4 +

244 =

494

. logo o valor

de y = 494

.



base e, h a altura.


.



do retângulo é:

A = l2

A = ( 52

)2=

254




Temos: x

2+

2 · 5

2 · x − 6+

49

4 =

0+

49

4 ⇒ x

2+

2 · 5

2 · x + 25

4 =

49

4 =⇒

x2+ 2 · 5

2 · x + ( 5

2)2

= 49

4 que fatorando, tem-se: ( x +

52

)2=

494

.


x + 52 = ±

494

x + 52 = ±7


2, tem-se:

x + 52 − 5

2 = ±7

2 − 5

2, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±

7

2 − 5

2.

x1 = 7

2 − 5

2 =

22 = 1, e x2 = −7

2 − 5

2 = −12

2 = −6


q)15 · x2 − x − 6 = 0 Neste exemplo, é introduzida uma técnica nova para poder ser o

quadrado completado. Vejamos como.

Esta passaria a ser a configuração do

quadrado sem aplicação da nova técnica.

O quadrado menor tem área de 15 · x2. O

lado do quadrado passa a ser√

15 · x. A raiz

quadrada de√

15 = 3, 872983346207417....

Se observar bem, trabalhar com números ir-

racionais, que é o caso, é um complicador.

Mas é possível ser contornado com uma sim-

ples operação matemática. Vejamos:

15 · x2

12 · x

12 · x

14

√ 15 · x

√ 15 · x 1

2

12

15 · x2 − x − 6 = 0 ⇒ 15 · x2 − 1 · x − 6 = 0. Dividindo ambos os lados por 15 afim de

obtermos o coeficiente do termo de grau dois igual a um.

1515

· x2

− 115

· x

− 615 =

015

⇒ x2

− 115

· x

− 615 = 0

⇒ x2

− 22

· 115

· x

− 615 = 0

⇒ x2

−2

· 130

· x

− 615 = 0

assim, temos:





valor y que somado à − 615

resultará no valor

1900


− 615 + y = 1

900. Disto, temos que y = 1

900 +

615 ⇒

y = 1900

+ 60

60 · 6

15 ⇒ y = 1

900 +

360900

= 361

900. logo o

valor de y = 361900

.

x2

130 · x

130 · x

1900

x

x 130

130

Calculando a base do retângulo, vem: A =

b · h

130

x = b · x, onde A é a área do retângulo, b



30. Obs.:Áreas não

são negativas, porém para fins de cálculo,consideraremos como positivas.



do retângulo é:

A = l2

cadela A = ( 130

)2=

1900

Temos: x2 − 2 · 130 · x − 6

15 +

361900

= 0 + 361900 ⇒ x2 − 2 · 1

30 · x +

1900

= 361

900 =⇒

x2 − 2 · 130 · x + ( 1

30)2

= 361


30)2

= 361

900.


x − 130 = ±

361900

x − 130 = ±19

30, e somando em cada lado da equação o oposto de − 1

30, tem-se:

x− 130+

130 = ±19

30+

130


por: x = ±1930 +

130

.

x1 = 19

30 +

130 =

2030 =

23

, e x2 = −1930 +

130 = −18

30 = −3

5


; 23}.




r) x

2

− x − 12 =

0

x2

12 · x

12 · x

14

x

x 12

12

x2 − x − 12 = 0 ⇒ x2 − 1 · x − 12 = 0

x2 − 22 · x − 12 = 0 ⇒ x2 − 2 · 1

2 · x − 12 = 0

assim, temos:



14


−12 + y = 14

. Disto, temos que y = 14 + 12 ⇒

y = 14 +

44 · 12 ⇒ y = 1

4 +

484 =

494

. logo o valor

de y = 494

.



base e, h a altura.


2. Obs.:Áreas não são



A área do quadrado cuja basetem mesma medida que a base

do retângulo é:

A = l2

A = ( 12

)2=

14

Temos: x2 − 2 · 12 · x − 12 +

494 = 0 +

494 ⇒ x2 − 2 · 1

2 · x +

14 =

494 =⇒

x2 − 2 · 12 · x + ( 1

2)2

= 49


2)2

= 49

4 .


x + 12 = ±

494

x − 12 = ±7


2, tem-se:

x − 12 +

12 = ±7

2 +

12


por: x = ±72 +

12

.

x1 = 72 +

12 =

82 = 4, e x2 = −7

2 + 12 = −6

2 = −3





s) x

2

− x − 20 =

0

x2

12 · x

12 · x

14

x

x 12

12

x2 − x − 20 = 0 ⇒ x2 − 1 · x − 20 = 0

x2 − 22 · x − 20 = 0 ⇒ x2 − 2 · 1

2 · x − 20 = 0

assim, temos:



14


−20 + y = 14


y = 14 +

44 · 20 ⇒ y = 1

4 +

804 =

814

. logo o valor

de y = 814

.



base e, h a altura.






do retângulo é:

A = l2

A = ( 12

)2=

14

Temos: x2 − 2 · 12 · x − 20 +

814 = 0 +

814 ⇒ x2 − 2 · 1

2 · x +

14 =

814 =⇒

x2 − 2 · 12 · x + ( 1

2)2

= 81


2)2

= 81

4 .


x − 12 = ±

814

x − 12 = ±9


2, tem-se:

x − 12 +

12 = ±9

2 +

12


por: x = ±92 +

12

.

x1 = 92 +

12 =

102 = 5, e x2 = −9

2 + 12 = −8

2 = −4





t) x

2

− 4 · x − 5 =

0

x2

2 · x

2 · x

4

x

x 2

2

x2 − 4 · x− 5 = 0 ⇒ x2 − 2 · 2 · x − 5 = 0, assim,

temos:







base e, h a altura.Segue, portanto, b = 2 Obs.:Áreas não são neg-





do retângulo é:

A = l2

A = 22= 4

Temos: x2 − 2 · 2 · x − 5 +9 = 0 + 9 ⇒ x2 − 2 · 2 · x + 4 = 9 =⇒


= 9.


x − 2 = ±√

9


x − 2 + 2 = ±3 + 2, sabendo que a soma de opostos é zero, e as soluções são encontradas

por: x = ±3 + 2.

x1 = 3 + 2 = 5, e x2 = −3 + 2 = −1

Portanto, a solução é dada por: S = {−

1; 5}.




u)8 · x2

− 2 · x − 1 =

0 Neste exemplo, a técnica utilizada será a mesma da questão (q)

para poder ser o quadrado completado. Vejamos como.

Esta passaria a ser a configuração do

quadrado sem aplicação da nova técnica. O

quadrado menor tem área de 8 · x2. O lado do

quadrado passa a ser √ 8 · x. A raiz quadrada

de√

8 = 2, 82842712474619.... Se observar

bem, trabalhar com números irracionais, que

é o caso, é um complicador. Mas é possível

ser contornado com uma simples operação

matemática. Vejamos:

8 · x2

x

x

4

√ 8 · x

√ 8 · x 1

1

8 · x2 − 2 · x − 1 = 0 ⇒ 8 · x2 − 2 · x − 1 = 0. Dividindo ambos os lados por 8 afim de

obtermos o coeficiente do termo de grau dois igual a um.

88· x2− 2

8· x− 1

8 =

08 ⇒ x2− 2

8· x− 1

8 = 0 ⇒ x2−2 · 1

8· x− 1

8 = 0 ⇒ x2−2 · 1

8· x− 1

8 = 0 assim, temos:

Utilize este espaço para rascunho.





valor y que somado à − 18

resultará no valor

164


− 18 + y = 1

64. Disto, temos que y = 1

64 +

18 ⇒ y =

164 +

88 · 1

8 ⇒ y = 1

64 +

864 =

964

. logo o valor de

y = 964

.

x2

18 · x

18 · x

164

x

x 18

18

Calculando a base do retângulo, vem: A =

b · h

18 x = b · x, onde A é a área do retângulo, b



8. Obs.:Áreas não

são negativas, porém para fins de cálculo,consideraremos como positivas.



do retângulo é:

A = l2

cadela A = ( 18

)2=

164

Temos: x2 − 2 · 18 · x − 1

8 +

964 = 0 +

964 ⇒ x2 − 2 · 1

8 · x +

164 =

964 =⇒

x2 − 2 · 18 · x + ( 1

8)2

= 964

que fatorando, tem-se: ( x − 18

)2=

964

.


x − 18 = ±

964

x − 18 = ±3

8, e somando em cada lado da equação o oposto de − 1

8, tem-se:

x − 18 +

18 = ±3

8 +

18


por: x = ±38 +

18

.

x1 = 3

8 +

18 =

48 =

12

, e x2 = −38 +

18 = −2

8 = −1

4


; 12}.




v) x

2

− 8 · x − 20 =

0

x2

4 · x

4 · x

16

x

x 4

4

x2 − 8 · x − 20 = 0 ⇒ x2 − 2 · 42 · x − 20 = 0,

assim, temos:












do retângulo é:

A = l2

A = 42= 16

Temos: x2 − 2 · 4 · x − 20 +36 = 0 + 36 ⇒ x2 − 2 · 4 · x + 16 = 36 =⇒


= 36.


x − 4 = ±√

36



por: x = ±6 + 4.

x1 = 6 + 4 = 10, e x2 = −6 + 4 = −2

Portanto, a solução é dada por: S = {−

2; 10}.




w) x

2

− 10 · x +

16 =

0

x2

5 · x

5 · x

25

x

x 5

5

x2 − 10 · x + 16 = 0 ⇒ x2 − 2 · 5 · x + 16 = 0,

assim, temos:




16 + y = 25. Disto, temos que y = 9.








do retângulo é:

A = l2

A = 52= 25

Temos: x2 − 2 · 5 · x + 16 +9 = 0 + 9 ⇒ x2 − 2 · 5 · x + 25 = 9 =⇒


= 9.


x − 5 = ±√

9



por: x = ±3 + 5.

x1 = 3 + 5 = 8, e x2 = −3 + 5 = 2

Portanto, a solução é dada por: S = {

2; 8}.




x) x

2

− 5 · x − 24 =

0

x2

52 · x

52 · x

254

x

x 52

52

x2 − 5 · x − 24 = 0 ⇒ x2 − 1 · 5 · x − 24 = 0

x2 − 22 · 5 · x − 24 = 0 ⇒ x2 − 2 · 5

2 · x − 24 = 0

assim, temos:



254


−24 + y = 254


y = 254 +

44 · 24 ⇒ y = 25

4 +

964 =

1214

. logo o

valor de y = 1214

.



base e, h a altura.






do retângulo é:

A = l2

A = ( 52

)2=

254

Temos: x2 − 2 · 52 · x − 24 +

1214 = 0 +

1214 ⇒ x2 − 2 · 5

2 · x +

254 =

1214 =⇒

x2 − 2 · 52 · x + ( 5

2)2

= 121

4 que fatorando, tem-se: ( x − 52)2

= 121

4 .


x − 52 = ±

121

4

x − 52 = ±11

2 , e somando em cada lado da equação o oposto de 5

2, tem-se:

x− 52+

52 = ±11

2 +

52


por: x = ±112 +

52

.

x1 = 112 +

52 =

162 = 8, e x2 = −11

2 + 52 = −6

2 = −3

Portanto, a solução é dada por: S = {8;−3}.




A Fórmula de Bhaskara Determinada Pelo Completamento de Quadrados

Sejam a, b, c, com a 0, números reais, e a equação do segundo grau a · x2+b · x+c = 0,

então a fórmula de Bhaskara ou fórmula Resolutiva é: x = −b±√

b2−4·a·c2·a . Como atingir a esta

fórmula?

a · x2 + b · x + c = 0

O oposto de c em ambos os lados da equação:

a · x2+ b · x+ c + (−c) = 0 + (−c) ⇒ a · x2

+ b · x = −c

Multipliquemos ambos os lados da equação por 4 · a, teremos:

4 · a · (a · x2+

b · x) =

4 · a · (−c), e aplicando a distributiva tens-se:

4 · a2 · x2+ 4 · a · b · x = −4 · a · c e somando de ambos os lados b2, temos:

4 · a2 · x2+ 4 · a · b · x+ b2

= −4 · a · c+ b2, e

(2 · a · x)2+ 2 · 2 · a · b · x + b2

= b2 − 4 · a · c, fatorando, segue:

(2

·a

· x+b)2

= b2

−4

·a

·c, e extraindo a raiz quadrada, vem: 2

·a

· x+b =

±

√ b2

−4

·a

·c,

a seguir, faça-se o oposto de b, e teremos:

2 ·a · x+b −b = −b ±√

b2 − 4 · a · c, aplicando o inverso de 2 ·a em ambos os lados, vem:

12·a ·2 · a · x = 1

2·a (−b ±√

b2 − 4 · a · c) ⇒ x = −b±√

b2−4·a·c2·a . Veja como fica o quadrado

completado.




4 · a · x2

2 · a · b · x

2 · a · b · x

b2

2 · a · x

2 · a · x b

b

Segue uma lista de exercícios para treinar, praticar, desenvolver, resolver, compreender,

reforçar o método do completamento de quadrados. Sugiro que após todos estes exercícios

forem resolvidos, utilize-os para resolvê-los usando a fórmula de Bhaskara. Bom proveito.

Aprecie, sem moderação.

1)Encontre as raízes das equaçãoes abaixo(construa os quadrados para completamento):

a) x2 − 3 x − 40 = 0

b) x2+ 5 x − 66 = 0

c) x2

−8 x

−105 = 0

d) x2 − 9 x − 36 = 0

e) x2 − 3 x − 130 = 0

f) x2+ 9 x − 112 = 0

g) x2 + 19 x + 78 = 0

h) x2 − 10 x − 11 = 0

i) x2 − 6 x − 55 = 0

j) x2

−15 x

−54 = 0

k) x2+ 15 x − 54 = 0

l) x2+ x − 56 = 0

m) x2+ x − 42 = 0

n) x2 − 17 x + 60 = 0

o) x2+ 3 x − 88 = 0

p) x2+ 3 x − 4 = 0

q) x2+ 3 x

−270 = 0

r) x2 − 2 x − 35 = 0

s) x2 − 11 x − 102 = 0

t) x2 − 4 x − 117 = 0

a1) x2 − 56 x + 1

6 = 0




b1) x

2

− 4

15 x − 4

15 =

0

c1) x2+

92 x − 5

2 = 0

d1) x2+

2514

x − 614 = 0

e1) x2 − 19 x − 2

27 = 0

f1) x2+

345

x − 75 = 0

g1) x2 − 3136

x + 20108

= 0

h1) x2 − 7930

x + 2130 = 0

i1) x2+

3512

x + 812 = 0

j1) x2 − 1960

x − 4860 = 0

k1) x2+

56 x − 26

9 = 0

l1)25 x2+ 70 x − 15 = 0

m1)9 x2

+ 78 x + 88 = 0

n1)4 x2+

203

x + 1 = 0

o1)16 x2+

1125

x − 14 = 0

p1)2 x2+ 7 x + 5 = 0

q1)25 x2 − 10 x + 1 = 0

r1)4 x

2

− 36 x+

81 =

0

s1) 4916

x2 − 143

x − 1159 = 0

t1)6 x2 − 1720

x − 18910 = 0

a2) x2+ 16 x + 15 = 0

b2) x2+ 8 x + 12 = 0

c2) x2+ 8 x + 7 = 0

d2) x2+ 10 x + 16 = 0

e2) x2+ 14 x + 13 = 0

f2) x2+ 18 x + 32 = 0

g2) x2+ 4 x + 3 = 0

h2) x2+ 6 x + 8 = 0

i2) x2

+ 22 x + 40 = 0

j2) x2+ 10 x + 9 = 0

k2) x2+

185 · x +

95 = 0

l2) 916

x2+

35 · x +

325 = 0

m2)2 x2+ 10 x + 18 = 0

n2)

9

2 x

2+

28

2 x+

171

2 =

0

o2)9 x2+ 96 x + 380 = 0

p2)12150

x2+

15430 · x +

4018 = 0

q2)1009

x2+ 16 · x +

165 = 0

r2) 49169

x2+

413 · x +

349 = 0

s2) 36121

x2+

4033 · x +

2527 = 0

t2) 925

x2+

225 · x +

8581 = 0

a3)2 · x2 − 40 x + 150 = 0

b3)3 · x2 − 45 x + 78 = 0

c3)12 · x2

+ 4 x − 332 = 0

d3)4 · x2+ 4 · x − 440 = 0

e3)2 · x2

− 4 · x − 240 = 0

f3) 14 · x2

+ 54 · x − 6

4 = 0

g3)30 x2 − 2 x − 12 = 0

h3)19 · x2 − 1

9 · x − 12

9 = 0

i3)9 · x2 − 9 · x − 180 = 0




j3)2 · x2

− 8 · x − 10 =

0

k3)4 x2 − x − 12 = 0

l3)9 · x2 − 72 x − 180 = 0

m3) 12 · x2 − 5 x + 8 = 0

n3) x2+ 16 x + 63 = 0

o3) x

2+

8 x+

15 =

0

p3) x2+ 8 x + 7 = 0

q3) x2+ 10 x + 24 = 0

r3) x2+ 14 x + 45 = 0

s3) x2+ 18 x + 77 = 0

t3) x

2+

4 x+

3 =

0

a4) x2+ 6 x + 5 = 0

b4) x2+ 22 x + 96 = 0

c4) x2+ 10 x + 21 = 0

c4) x2 − x − 2 = 0

Documents

Resolução equacao do segundo grau por completamento