Equação do Primeiro Grau - Parte I

Introdução às Igualdades

Sentenças Matemáticas Falsas ou Verdadeiras

Princípios da Igualdade

Exercícios Propostos

Respostas dos Exercícios

Equação do Primeiro Grau - Parte II

Equações e Identidades

Respostas dos Exercícios - Equação do Primeiro Grau

Equação do Primeiro Grau - Parte III

Equações Fracionárias do 1º Grau

Uma equação do primeiro grau é fracionária quando a presentar variável ( incógnita ) em um ou mais term os do denominador.

Exemplo 1 : A equação é uma equação fracionária do primeiro grau, já qu e a variável x está presente nos denominadores x e 3x.

Exemplo 2 : A equação é uma equação fracionária do primeiro grau, já qu e a variável x está presente nos denominadores 2x + 1 e 4x +1.

Limitações no Universo das Equações Fracionárias do 1º Grau

Sabemos que um denominador nunca pode ser zero. Com isso, os valores que anulam o denominador precisam ser retirados do Conjunto Universo dessa equação. Para resolvermos a equação de nosso exemplo 1, no Universo dos Reais , precisamos retirar o número real zero que anula ambos os denominadores x e 3x. Se o valor x = 0 for rai z da equação ele não deverá ser considerado e a equ ação será impossível , já que ela não terá solução.

Para resolvermos a equação de nosso exemplo 2, no Universo dos Racionais , precisamos retirar os números racionais - 1/2 e - 1/4 que anulam os denominadores 2x + 1 e 4x + 1. Se u m desses valores for a raiz, ele não será considera do e a equação será impossível, já que ela não terá solução.

Resolução de uma Equação Fracionária do 1º Grau

Vamos resolver a equação Igualando os denominadores, teremos : O M.M.C. entr e x - 1 e x + 1 será : x 2 - 1, então :

Como os valores - 1 e + 1 que anulam os denominador es não são raizes da equação, a raiz x = 7 é a solu ção da equação, ou o conjunto solução da equação.

Vamos resolver a equação Pelo apresentado, já percebemos que os valores x = - 3 e x = 3 não servem como solução da equação, poi s anulam cada um deles, um dos denominadores. Igualando os denominadores, teremos : O M.M.C. entr e x - 3 e x + 3 será : x 2 - 9, então :

Como o valor x = 3 anula o denominador x - 3 , ele não serve como solução, e com isso, a equação será impossível.

Equações Literais do 1º Grau

Uma equação do primeiro grau é literária quando apr esentar letra diferente da incógnita em um ou mais de seus termos. As letras diferentes da variável x podem ser chamadas de parâ metros.

Exemplo 3 : A equação é uma equação literária do primeiro grau, já que a lém da variável x estão presentes os parâmetros a e b.

Exemplo 4 : A equação é uma equação literária do primeiro grau, , já que além da variável x está presente o parâmetro m.

Resolução de uma Equação Literal do 1º Grau

A resolução de uma equação literal acontece da mesm a maneira que as demais equações. Os parâmetros são tratados como números.

Vamos resolver a equação

Como o denominador é literal, e um denominador não pode ser nulo, precisamos limitar o valor do parâme tro b, por isso, b precisa ser diferente de zero

Vamos resolver a equação

Discussão das Raízes de uma Equação do 1º Grau

Forma Geral de uma Equação do 1º Grau

Toda equação do 1º grau a uma incógnita, após efetu armos todas as operações possíveis, se reduz à igualdade : ax = b. Essa é a forma geral de uma equação do 1º grau. Para discutirmos uma equação do 1º grau precisamos analisá-la na sua forma geral ax = b 1º Caso: Se a e b são diferentes de zero a equação será possível e determinada .

Ao resolvermos a equação 9x - 8 = 28, chegaremos à raiz x = 4, que é única. Nesse caso diremos que a equação é possível e determinada . 2º Caso: Se a e b são iguais a zero a equação será possível e indeterminada .

Ao resolvermos a equação 5x - 10 = 5( x - 2 ) 5x - 10 = 5x - 10 5x - 5x = 10 - 10 0x = 0 Nesse caso chegaremos, na verdade, a uma infinidade de raízes, pois qualquer número multiplicado por z ero dá zero. Nesse caso diremos que a equação é indeterminada .

E podemos afirmar que a igualdade é uma identidade e a representamos dessa forma:

( Sinal de Identidade ) 3º Caso: Se a é igual a zero e b é diferente de zero è a equação será impossível .

Ao resolvermos a equação 4x - 8 = 4( x + 4 ) 4x - 8 = 4x + 16 4x - 4x = 16 + 8 0x = 24. Não chegaremos a nenhuma raiz, já que não existe número que multiplicado por zero dê 24. Nesse caso diremos que a equação é impossível ou

O conjunto verdade é vazio. Vamos resolver alguns exercícios de discussão das r aízes de uma Equação do 1º Grau

Exemplo 1 : Discutir as raízes da equação : Reduzindo-a à sua forma geral, teremos :

I - Se a equação será possível e determinada .

II - Se a equação será impossível .

III - Se a equação será possível e indeterminada .

Exemplo 2 : Para que valores de m e p, a equação : será indeterminada ? Reduzindo-a à sua forma geral, teremos :

A equação será indeterminada se :

Resolução de alguns Problemas do 1º Grau

Para resolvermos um problema do 1º grau precisamos transformar da linguagem escrita para a linguagem matemática. Façamos alguns problemas : Exemplo 1 - Determine o número que adicionado a quatro dá 19. Chamando esse número de x , teremos : x + 4 = 19 x = 19 - 4 x = 15 O número que adicionado a quatro dá 19 é quinze. Exemplo 2 - Determine o número cujo triplo quando diminuído d e 6 dá 18.

Chamando esse número de x , teremos : Seu triplo se rá : 3x, e com isso : 3x - 6 = 18 3x = 18 + 6 3x = 24 x = 8

O número cujo triplo quando diminuído de 6 dá 18 é 8 Exemplo 3 - A soma de dois números é 57. Determine cada um del es sabendo que um é 11 unidades maior que o outro. Se chamarmos esse número de m , teremos : O menor d os números será m, e o maior será m + 11 Assim : m + ( m + 11) = 57 2m = 57 - 11 2m = 46 m = 23 e verificando: O menor dos números será m = 23 e o maior será 23 + 11 = 34 e realmente 23 + 34 = 57 Exemplo 4 - Determine o número que diminuído da metade se seu antecedente é igual a 3. Se chamarmos esse número de p , teremos que seu ant ecedente será representado por p - 1 e passando par a a linguagem matemática, teremos :

O número será : p = 5 , seu antecedente será p - 1 = 5 - 1 = 4, cuja metade é 2 e a diferença entre eles será 5 - 2 = 3

Exercícios Propostos - Equação do Primeiro Grau - Parte III

Resolver as Questões de Concursos - Equação do Primeiro Grau - Parte III