PDB1

1

Persamaan Diferensial Biasa memainkan peranan yang penting sebagai bahasa

didalam merumuskan dan menyelesaikan persoalan-persoalan yang melibatkan ilmu

pengetahuan dan keteknikan. Dalam bab ini pembicaraan dimulai dengan pernyataan

yang jelas dari definisi prinsip dan teorema yang berkaitan dengan Persamaan

Diferensial Tingkat Satu beserta ilustrasi dan deskriptif lainnya. Kemudian semua ini

diikuti dengan sejumlah soal terjawab sebagai contoh soal dan soal tambahan sebagai

latihan beserta kunci jawabannya.

Suatu Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang menghasilkan fungsi

yang tak diketahui terhadap turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas

Diklasifikasikan ada 2 jenis, yaitu Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan

Diferensial Parsial. Salah satu klasifikasi yang jelas adalah dengan melihat apakah

fungsi yang tak diketahui bergantung pada satu atau lebih . Bila hanya satu disebut

Persamaan Diferensial Biasa, jika fungsi yang tak diketahui adalah lebih dari satu

disebut Persamaan Diferensial Parsial.

Contoh dari Persamaan Diferensial Biasa adalah :

1. Rangkaian Listrik seri RLC :

tEtQCdt

tdQR

dt

tQdL

12

2

dimana Q(t) = muatan listrik , L= Induktor

R = Tahanan, C= Kapasitor

E(t) = Voltage

2. Persamaan gerak pegas tanpa redaman : 02

2

ym

k

dt

yd

dimana y(t) = posisi massa pada saat t

m = massa

k = konstanta pegas

Contoh dari Persamaan Diferensial Parsial

Kompetensi Dasar : - Kemampuan memahami PD

- Kemampuan mengidentifikasi PD tk 1

- Kemampuan menyelesaikan PD tk 1

Persamaan Diferensial Tingkat satu

2

1.

0,,

2

2

2

2

dy

yxU

x

yxU Persamaan potensial

2.

t

txU

x

txU

,,2

22 Persamaan difusi atau induksi panas.

2.1 Pengertian Persamaan Diferensial dan Definisi-Definisi.

Banyak masalah penting dalam teknik, ilmu fisika dan ilmu sosial ketika

diformasi dalam bentuk matematika memerlukan penelitian dari suatu fungsi yang

memenuhi suatu permasalahan yang mengandung satu atau lebih derifatif dari fungsi

yang tidak diketahui. Persamaan semacam ini disebut Persamaan Diferensial. Beberapa

gambaran bagaimana terbentuknya suatu Persamaan Diferensial diberikan dibawah ini :

1. Persamaan Geometri a. Suatu kurva yang mempunyai koefisien arah (slope) garis singgungnya pada

setiap titik (x,y) sama dengan dua kali jumlah koordinat titik itu diberikan oleh

yxdx

dy 2

b. Kurva dengan syarat bahwa jumlah potongan (Intercepts) x dan y dengan garis singgungnya selalu sama dengan 2, diberikan ilustrasi sebagai berikut :

Persamaan garis singgung kurva di titik (x , y ) adalah Y- y = dx

dY(X-x ),

sehingga potongan garis singgung tsb dengan sumbu-sumbu koordinat :

X = x y/( dx

dY) , Y = y x

dx

dY

PD yang menyatakan hal diatas adalah :

X + Y = ( x y /dx

dy) + (y x

dx

dy) = 2

( xdx

dy y) + (y

dx

dy x (

dx

dy)

2 = 2

x (dx

dy)

2 -( x + y-2)

dx

dy + y = 0

2. Masalah Fisika Suatu peristiwa berpindahnya partikel yang bermassa m sepanjang garis lurus

(sumbu x) ke arah titik O dengan memperhatikan hal berikut ini :

i. Apabila dipilih arah positip ke kanan. Bilamana x > 0, gaya berarah ke kiri (negatip), sehingga besarnya gaya adalah - k1 x. Bilamana x


3

iii. Menurut hukum Newton, gaya total (massa x percepatan) dinyatakan oleh :

dt

dxkxk

dt

xdm 212

2

.

Setelah memahami bagaimana terbentuknya suatu Persamaan Diferensial akan

diberikan suatu definisi dari Persamaan Diferensial.:

Definisi : Suatu Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu

atau lebih turunan dari fungsi yang tak diketahui..

Suatu Persamaan Diferensial Biasa orde n dapat ditulis dalam bentuk.

0,.....,",',, nyyyyxF Sedangkan yang dimaksud derajad dari sebuah Persamaan Diferensial adalah pangkat

dari turunan tertinggi pada Persamaan Diferensial tersebut.

Contoh : xyx

y 51

' Persamaan Diferensial orde 1 derajat 1

04'3" yyy Persamaan Diferensial orde 2 derajat 1

xyyy '' 3 Persamaan Diferensial orde 1 derajat 3

Penyelesaian suatu Persamaan Diferensial :

Penyelesaian suatu Persamaan Diferensial adalah suatu hubungan antara variabel-

variabel tanpa turunan dan yang memenuhi Persamaan Diferensial tersebut.

Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) :

Adalah penyelesaian Persamaan Diferensial yang mengandung konstanta sebarang yang

banyaknya sama dengan tingkat dari Persamaan Diferensial tersebut.

Penyelesaian Khusus/Partkelir Persamaan Diferensial (PKPD)

Adalah penyelesaian Persamaan Diferensial yang diperoleh dari PUPD jika kedua

konstanta-konstanta sebarangnya diberi harga tertentu.

Contoh :

Persamaan Diferensial : 02'" yyy

Penyelesain Umum Persamaan Diferensial (PUPD) : xecxecy 2

21

Jika 1

c dan 2c masing-masing diberi harga 1c = 2 dan 2c = 1, maka Penyelesaian

Khusus/Partkelir Persamaan Diferensial (PKPD) : xx eey 22

2.2. Metoda Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tingkat Satu: 2.2.1. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

- Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Bentuk Umum :

PUPD : 0 dyygdxxf

0 dyygdxxf


4

- Persamaan Diferensial Dengan Variabel Yang Dapat Dipisahkan. Bentuk Umum :

0 dyyUxgdxyVxf Dibagi dengan fungsi yV xg diperoleh Persamaan Diferensial dengan variabel terpisah yaitu :

0 dyyV

yUdx

xg

xf

PUPD :

0 dyyVyU

dxxg

xf

Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial : 2

2

31 y

x

dx

dy

Penyelesaian dapat ditulis : 031 22 dxxdyy 031 22 dxxdyy

PUPD : cxyy 33

3

1

2. 011 22 dyxydxyx

diubah menjadi 011

22

dyy

ydx

x

x maka dengan mengintegralkan

01

11

1

11

dy

yydx

xx

diperoleh Cyxyx 11ln211 22

2.2.2. Persamaan Diferensial Homogen Persamaan Diferensial tingkat satu dan derajat satu disebut Persamaan

Diferensial Homogen, Jika Persamaan Diferensial tersebut dapat dinyatakan

dalam bentuk :

xyfdx

dy/ (2.1)

Sedang yxf , disebut homogen berderajat n jika :

yxfyxf n ,, Untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial (2.1) dengan substitusi vxy

mereduksi Persamaan Diferensial (2.1) menjadi Persamaan Diferensial

terpisah.

Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial :

0222 dyxydxyx


5

Penyelesaian :

)/(2

/1

2

222

xy

xy

xy

yx

dx

dy

Substitusi vxy dan dvxdxvdy : maka Persamaan Diferensial

menjadi :

0)(21 2 dvxvdxvdxv

031

22

x

dx

v

dvv

C

x

dx

V

Vd

2

2

31

31

3

1

Cxv 3231ln maka PUPD : Cxx

y

3

2

2

31

2. 0/

dydx

x

ye xy

Penyelesaian :

Misalkan vxy

0 dvxdxvdxvev 0 dvxdxev

Cdvex

dx v ,

diperoleh PUPD : Cexxy /ln

3. Selesaikan : x

yxyy

22

'

PUPD : Cxx

yarc lnsin

Atau x

yarc

eCxsin

2.2.3. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu.

Bentuk umumnya : xQyxPdx

dy


6

Cara mendapatkan Penyelesaian umumnya : Gandakan Persamaan Diferensial

dengan dxxp

e Didapat :

dxxpdxxpdxxp

exQexPyedx

dy )()(

dxxpdxxp

exQeydx

d

)(

PUPD :

CexQeydxxpdxxp

)(

Dimana : dxxp

e dinamakan faktor pengintegral dari Persamaan Diferensial.

Contoh :

1.Selesaikan Persamaan Diferensial 21 4' xyxy

Penyelesaian :

Faktor Pengintegral

dxxdxxp

ee1

= xe x ln

PUPD : Cdxxxxy24

atau Cxxy 4

2.Selesaikan PD : Cos 1sin xydx

dyx

Penyelesaian :

Persamaan Diferensialnya dapat ditulis : xxtgydx

dysec

Faktor pengintegral pdx

e xee xdxxtg

secsecln

PUPD : dxxxxy secsecsec atau

xCxtgxy coscos

xCxy cossin

2.2.4. Persamaan Diferensial Bernouli

Substitusi : nyZ 1 maka yynZ n 1

Persamaan Diferensialnya menjadi : xQ n ZxP nZ 11 Yang merupakan Persamaan Diferensial Tingkat Satu.

Bentuk umumnya: xQyxPydx

dy n


7

Contoh : Selesaikan Persamaan Diferensial :

1. 331 xyyxy

Penyelesaian : Substitusi 231 yyz

'2'3 yyz

Persamaan Diferensial menjadi : 31 22' xzxz

Faktor Pengintegral : 2ln2 2

1

xee xdxx

PUPD : Cdxxxxz 232 2 Cx 2

2yz PUPD : Cxxy 222

atau 242 cxxy

2. xyxtgydx

dysec3

Buktikan PUPDnya :

xxtgxCy

sec22sec

12

2.2.5. Persamaan Diferensial Eksak.

Suatu Persamaan Diferensial dengan bentuk :

Disebut Persamaan Diferensial Eksak ; Jika ada suatu fungsi yxF , yang diferensial totalnya sama dengan dyyxNdxyxM ,, yaitu :

dyyxNdxyxMdyy

Fdx

x

FdF ,,

Teorema :

Syarat perlu dan cukup agar persamaan 0,, dyyxNdxyxM merupakan Persamaan Diferensial Eksak adalah :

x

N

y

M

PUPD Eksak berbentuk CyxF , , dimana

yxMx

yxF,

,

dan

yxN

y

yxF,

,

Dari kedua hubungan ini dapat dicari yxF , sebagai berikut :

Dari yxMx

F,

maka yRdxyxMyxF

x

,, atau

yxNy

F,

maka xQdyyxNyxF

y

,, ,

0,, dyyxNdxyxM


8

Dimana : M

x

menyatakan bahwa dalam integrasi y dipandang konstanta

dan dalam hal ini yR adalah konstanta integrasi. yxNy

, menyatakan

bahwa dalam integrasi x dipandang konstan dan dalam hal ini xQ adalah konstanta integrasi.

Jadi yRdxMyxFx

, atau xQdyNyxFy

, . (2.2)

R(y) atau Q(x) ditentukan sebagai berikut :

yxNdy

ydRdxM

yy

Fx

,)(

(2.3)

Maka dari persamaan (2.3) diatas dapat ditemukan : R(y) atau Q(x) lalu

substitusi ke (2.2) dan didapat :

PUPD : CyxF ,

Contoh : Selesaikan Persamaan Diferensial :

1. 043243 2222 dyyxyydxxyx Penyelesaian :

Disini : 22 43, xyxyxM dan yxyyyxN 22 432,

xyx

N

y

M8

Jadi Persamaan Diferensial adalah Eksak.

PUPD Eksak berbentuk CyxF ,

yxF , )(yRdxMx

)(4322 yRdxxyx

x

)(2 223 yRyxx

yxyydy

dRyx

y

F 222 4324

yxyxyydy

dR 222 4432

32 yyyR Jadi PUPD : CyxyyxyxF 22323 2,

2. Persamaan Diferensial 04

sin14lncos

dy

y

xdx

xyx

Penyelesaian :


9

4

sin,;

14lncos,

y

xyxN

xyxyxM

4

cos

y

x

x

N

y

M, Persamaan Diferensial diatas adalah eksak.

Dimisalkan PUPD : CyxF , maka PUPD : CxyxyxF ln4lnsin,

2.2.6.Persamaan Diferensial Dengan Faktor Pengintegral :

Apabila Persamaan Diferensial 0,, dyyxNdxyxM tidak eksak, yaitu :

maka salah satu cara digunakan faktor pengintegral sedemikian Persamaan Diferensial

menjadi eksak.

Suatu fungsi yang tidak nol yxv , disebut faktor pengintegral untuk 0,, dyyxNdxyxM , jika persamaan diferensial 0,,,, dyyxNyxVdxyxMyxV adalah eksak.

Syarat perlu dan cukup untuk ini adalah :

x

VN

y

VM

)(( atau

x

NV

x

VN

y

MV

y

VM

Menentukan Faktor Pengintegral :

1. Jika )(xfV saja, maka :

dx

dV

x

V

dan 0

y

V, sehingga

x

NV

x

VN

y

MV

y

VM

, berubah menjadi

x

NV

dx

dVN

y

MV

; atau xy VN

dx

dVNVM

Jadi : dxN

NxMy

V

dV

Karena )(xfV ; maka N

NxMy juga hanya merupakan fungsi dari x saja

katakanlah )(xh .

Sehingga )(xhV

dV

dxxhV )(ln

x

N

y

M


10

dxxh

eV)(

Jadi jika )(xfV , maka Persamaan Diferensial mempunyai faktor pengintegral

dxxh

eV)(

Contoh Soal :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial : 02 dyxdxyxx Penyelesaian :

Disini :

x

N

y

M

x

NxN

y

MyxxM

1

12 Pers. Dif. Tidak Eksak

Sedangkan xxN

y

M

x

N

211

Faktor pengintegral : 2

ln2

21

xeev x

dxx

Persamaan Diferensial (i) dikalikan dengan 2

1

xv menjadi

0

111

2dy

xdx

x

y

x Persamaan Diferensial Eksak

PUPD. Berbentuk CyxF ,

yRdxdxx

y

xyxF

2

111,

2 yR

x

yxx ln

xdy

ydR

xy

F 1)(1

maka CyR

Cx

yxxPUPD ln

Buktikan bahwa jika )(ygN

NxMy

adalah sebuah fungsi y saja , maka

factor pengintegral untuk 0,, dyyxNdxyxM adalah dyyg

ev)(

Buktikan Jika ),( yxfV atau )(zfV dimana ),( yxgz maka

factor pengintegral untuk 0,, dyyxNdxyxM adalah

dz

x

zN

y

zM

y

M

x

N

V

dV


11

2. 032 22 dyxydxxy Penyelesaian :

x

N

y

M

xx

NxyN

xy

MxyM

63

22

22

Pers. Dif. Tidak Eksak

3. 0)( 22 dyyxxdxxyy Penyelesaian :

x

N

y

M

xyx

N

xyy

M

21

21

dan v= f(x,y)

Misalkan z= xy maka yx

z

dan x

y

z

diperoleh

dzxyv

v 2

= dz

z

2

Faktor pengintegral 222

ln2

211

yxzeev z

dzz

Dengan demikian , PD eksaknya adalah

022

2

22

2

dy

yx

yxxdx

yx

xyy

Yang mempunyai penyelesaian Cy

x

xyyxF ln

1),(


12

A. Kelompokkan setiap Persamaan Diferensial berikut ini dengan menuliskan tingkat Persamaan Diferensial dan Derajat Persamaan Diferensial.

1. 32 '23" yxy

2. 2y

x

y

dx

dy

3. tqdt

dQ

dt

Qd2sin423

2

2

4. yx

yx

dx

dy

5. .sin4cos2322

2

ttIdt

dI

dt

Id

6. dx

dv

dx

vdx 2

2

23

B. Kelompokkan Persamaan Diferensial berikut ini termasuk bentuk Persamaan Diferensial apa.

1. 032 233 dyxydxyx

2. xxydx

dyx 4cos2 3

3. 04 22 dyyxydxxyx 4. 04sincos3 32 dyyxdxxyx 5. 3xyy

dx

dy

6. 0223 22 dyxyxdxyxy

C. Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan adalah penyelesaian dari suatu Persamaan Diferensial yang diberikan (C1 , C2 konstanta sembarang) dan tentukan interval

maximum agar penyelesaian Persamaan Diferensial tersebut adalah benar.

1. 02'",21 yyyeCeCy xx

2. 2',4

1yy

xy

3. 0',11 yxyxeCy x

4. 0,16)(20)('4)(" 2 tetQtQtQ t ; 2)0( Q ; 0)0(' Q

5. 22

32

3

2,

xy

xy

dx

dyCyyx


13

D. Diberikan fungsi homogen, tulislah fungsi tersebut sebagai fungsi variabel x

yV .

1. y

x

yy

y

xx

yxf

cossin

,

2. 1

,

x

yyxf

3. 0,,22

xx

yxyxf

E. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut.

1. xydx

dy2

2. 0)2( dyxdxy

3.

12212

xx

yx

dx

dy

4. 44

,cossin

)(sin1

y

xy

yx

dx

dy

5. ydx

dyyx 323

6.

x

yxy

dx

dyx

x

ycossin

7. 2)1(,42

yxyxdx

dy

8. 22

,2sincossin

yxxy

dx

dyx

9. 426

2xyy

xdx

dy

10. 0'2 23 yxyyx 11. 0)(sin)(sin)cos( 2 dyxyxdxxyxyxy 12. 02 dyexydxey xyxy

13. 0)1()1(

dyy

xydx

x

xy

14. ,, xeydx

dy adalah konstanta

15. 0)1( 2 dyxdxxy

16. 02 4 dyyxdxy


14

17. 023 21 dyyxxdxyxy

18. 222 1

1

1

2

xy

x

x

dx

dy

19. (x3+y4 )dx+8xy3 dy = 0 20. (2 xy4 ey+ 2xy3+y)dx+( x2y4 ey- x2y2-3x )dy = 0

Identifikasi PD Berikut ini termasuk bentuk PD apa ?, dan tentukan solusinya.

2. Diberikan PD : cosx dxxyxdy

2sin

2

1)sin( dalam selang

2,0

.

3. Diberikan 32

ln2

1xyy

xxdx

dy

3. 0)(ln1 dyy

xdxxy .

4. Diberikan ayaxxyyx 20,'1 2 5. Diberikan 022 dxyxdyyx

Kerjakan sungguh-sungguh soal test formatif_1 ini. Sebelum anda

membandingkan pekerjaan anda dengan petunjuk yang terdapat dalam kunci

jawaban pada akhir bab ini. Jika anda dapat mengerjakan 4 dari 5 soal yang

diberikan berarti bahwa tingkat penguasaan anda atas materi kegiatan belajar

ini cukup baik. Jika tidak demikian sebaiknya anda pelajari lagi bagian yang

belum anda kuasai.


15

KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN.

A. 1) PD tkt dua, derajat dua, 3) PD tkt dua, derajat satu, 5) PD tkt dua,

derajat satu

B 1) PD Homogen, 3) PD eksak, PD terpisah, 5) PD Bernouli

D 1) f(v) = v sin v- cos v, 3) f(v) = 21 v

E. 1) y = C2x e ,

3) Cyx

yx

)1)(2(

)1)(1( ,

5) y2 = C e

-3x/y

7) y = x -2

(x4 + 1)

9) y =)2(

132 xcx

,

11) x cos xy + C = 0,

13) xy ln xy = C, 15) xyln x=C,

17) y = 2

1

1

tan

x

xC

,

19).2 Cxyx

27

4

7

21

Kunci Jawaban test formatif_ 1

1. PD linier tk 1, dengan vaktor pengintegral V = sec x

PUPD : y = x

Cx

sec

secln

2. PD Bernouli . Misalkan Z = y-2

diperoleh PD :

PUPD : Cxxxy )1ln2(ln 22

3. PD eksak, dan PUPD : x (ln xy) y = C 4. MNA dari PD terpisah.

PUPD : )1()1( 22 xy

5. PD Homogen, PUPD : tan-1

x

y - ln (x

2 + y

2 ) = C


16

Documents

PDB1