1

Curs 5 – Prelucrarea Digitală a Semnalelor

Transformata Fourier a unei secvenţe

nj

n

j

njj

enxeX

deeXnx

2

1

Determinarea răspunsului la impuls nh din )( jeH (răspuns

în frecvenţă) Exemplu:

cdnj

c

ej

TS eH,

, 0)(

)( jeH

cc 0

?nhTS

c

c

j

TJ eH, 0

, 1)(

j

TJ

njnjj

TJ

njj

TS eHeeeHeeH ddd

1)(

n

neHnh cj

TJTJ

sin)(][ 1

d

dcdTS

nn

nnnnnh

sin

Determinarea răspunsului la impuls din ecuaţia cu diferenţe finite:

2

Exemplu:

14

11

2

1 nxnxnyny

nhnynnx

14

11

2

1 nnnhnh

jjjj eeHeeH

4

11)(

2

1)(

j

j

j

e

eeH

2

11

4

11

)(

12

1

4

1

2

11

2

11

4

1

2

11

1)(

nu

j

j

nu

j

j

nn

e

e

e

eH

Semnale aleatoare discrete şi trecerea lor prin SLIT

SLIT discret:

nynx

nh

khknxknhkxnykk

nhnxny

Fie un semnal staționar in sens larg x[n].

nxEnmx , nyEnmy

knxEkhnyEnmk

y

3

xm stationar n x

nxEpentrukhmnmk

xy

nu depinde de timp

jk

k

j ekheH

)(

k

j kheH )( 0

x

j

y meHm )( 0

rmnxknxErhkh

rmnxknxrhkhEmnynyEmnn

rk

k r

YY

,

Deoarece x [n] se presupune că este staționar rmnxknxE

depinde numai de diferența de timp (depinde numai de m+k-r)

r

YYXX

k

YY mrkmrhkhmnn, , autocorelația secvenței

de ieșire depinde numai de diferența de timp, m. Astfel, pentru un sistem liniar invariant in timp având la intrare un semnal staționar in sens larg, rezultatul este, de asemenea, un semnal staționar in sens larg. Realizând substituția l = r – k;

k

hh klhkhlc - autocorelaţia secvenţei h[k]

l

hhXX

kl

XXYY lclmklhkhlmm

mYY - convoluţia între funcţia de autocorelaţie a semnalului

de intrare şi secvenţa chh[l].

ne XX

j

XX

ne YY

j

YY

lceC hh

j

hh

j

XX

j

hh

j

YY eeCe

4

2

jjjj

hh eHeHeHeC

j

XX

jj

YY eeHe 2

jYY e - Spectrul de putere la ieşire

Completare:

deenyE jj

YYYY2

102 (puterea medie totala la ieșire)

deeHnyE j

XX

j2

2

2

1

Zgomot alb:

2

2x

jXX

xXX

e

mm

nnx XX = autocorelaţie jXX e = densitatea spectrala

de putere. Proprietăţi ale autocorelaţiei discrete:

1) 02

XXnxE

2) nn XXXX

3) XXnxE

5

Transformarea Z

Recapitulare: Am văzut că transformata Fourier joacă un rol-cheie în reprezentarea și analiza unor semnale si sisteme discrete în timp. Transformata Z pentru semnale discrete in timp este omologa transformatei Laplace pentru semnale continue in timp, și fiecare dintre ele au o relație similară cu transforma Fourier. O motivație pentru a introduce această generalizare este că transformata Fourier nu converge pentru toate secvențele și este util de a avea o generalizare a transformatei Fourier, care cuprinde o clasă mai largă de semnale. Transformata Fourier a unei secvente x[n] este definite ca:

n

njj enxeX

Transformata Z a unei secvente x[n] este definite de:

n

n

znxzXnxZ

]}[{ (1)

zXnxZ

Transformata Z definita de (1) se mai numește si transformata Z bilaterala. Transformarea Z unilaterală a unei secvențe x[n] este definita de:

n

n

znxzXnxZ

0

]}[{ (2)

Există o relație strânsă între transformata Fourier și transformata Z. În particular, daca am înlocui variabila complexa z din (1) cu variabila complexa je , atunci transformarea Z se reduce la transformata Fourier. Când exista, transformata Fourier este simplu X(z) cu jez .

Acesta corespunde cu a limita z sa aibă amplitudinea unitate, 1z .

Mai general, putem exprima numărul complex z in forma polara astfel:

Cz zrerz j ,

6

Deoarece transformarea Z este o funcție de o variabilă complexă, este convenabil a o descrie și a o interpreta folosind planul complex z. În planul z, conturul corespunzător lui 1z este un cerc de rază

unitate. Acest contur este denumit cercul unitate. Transformata Z evaluata pe cercul unitate corespunde transformatei Fourier.

Fig. 1. Cercul unitate in planul complex z

Interpretarea transformatei Fourier ca transformata Z pe cercul unitate corespunde înfășurării axei liniare a frecventei in jurul cercului unitate cu ω=0 la z=1 si ω=π la z=-1. Cu această interpretare, periodicitatea inerentă în frecvență a transformatei Fourier este capturată în mod natural, deoarece o schimbare a unghiului de 2π radiani în planul z corespunde unei traversări complete a cercului unitate o singura dată. Convergența transformatei Z Așa cum am discutat în cursul anterior, seria puterilor ce reprezintă transformata Fourier nu converge pentru toate secvențele, adica, suma infinita nu este fi întotdeauna finita. Similar, transformata Z nu converge pentru toate secvențele sau pentru toate valorile lui z. Definiție: Pentru orice secvență de intrare x[n], mulțimea valorilor lui z pentru care transformata Z converge se numește regiune de convergență (RC) (domeniul de convergenta DC).

Condiţia de convergenţă : zrrnxn

n

,

7

Domeniul de convergenta

n

nznxzC / (3)

Observaţie: Dacă (3) este satisfăcut pentru z1 atunci este satisfăcut pentru orice z cu |z|=|z1|. Este posibil ca transformata Z să conveargă chiar dacă transformata Fourier nu o face. De exemplu, secvența x[n]=u[n] nu este absolut sumabila si transformata Fourier nu converge in mod absolut. Totuși, r-nu[n] este absolut sumabila pentru r>1. Acest lucru înseamnă că transformata Z exista cu domeniul de convergenta 1z .

Daca domeniul de convergenta conține cercul unitate acest lucru implica convergența transformatei Z pentru 1z , sau echivalent

transformata Fourier a secvenței converge. Invers, în cazul în care DC nu include cercul unitate, transformata Fourier nu converge absolut. Convergenta transformatei Z necesita ca secvența ponderată de exponențială sa fie absolut sumabilă. Nici una din secvențele următoare nu sunt absolut sumabile

𝑥1[𝑛] =sin(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛,−∞ < 𝑛 < ∞

și 𝑥2[𝑛] = cos(𝜔0𝑛) ,−∞ < 𝑛 < ∞.

Mai mult decât atât, nici una dintre aceste secvențe înmulțite cu r-n nu vor fi absolut sumabile pentru orice r. Astfel, aceste secvențe nu au o transformată Z care să conveargă absolut pentru orice z. Cu toate acestea, deși secvențe, cum ar fi x1[n], nu sunt absolut sumabile, ele au energie finită, iar transformata Fourier converge în sens pătratic spre o funcție periodică discontinuă. În mod similar, secvența x2[n] nu este nici absolut sumabila nici sumabila in sensul pătratic, dar o transformată Fourier folositoare poate fi definita folosind impulsuri. În ambele cazuri, transformata Fourier nu este o funcție continuă, astfel încât acestea nu pot rezulta din evaluarea transformatei z pe cercul unitate. Astfel, în aceste cazuri, nu este strict corect să ne gândim la transformata Fourier ca fiind transformata Z evaluata pe cercul unitate. Transformarea Z este utila atunci când suma infinită este finita și poate fi scrisa sub o forma matematica simpla. Printre cele mai

8

importante și utile transformate Z sunt acelea pentru care X(z) este o funcție rațională.

𝑋(𝑧) =𝑃(𝑧)

𝑄(𝑧)

Unde P(z) si Q(z) sunt polinoame. Valorile lui z pentru cazul în care X(z)=0 sunt numite zerouri ale lui X(z). Valorile z pentru care X(z) este infinita se numesc poli ai lui X(z). Polii lui X(z) pentru valori finite ale lui z sunt rădăcinile polinomului Q(z). Exerciţiul 1:

nuanx n - secvenţă exponenţială la dreapta

z

aqq

z

azaznuazX

n

n

n

n

n

nn

n

nn

,)(000

Condiţii pentru a exista transformata Z: - |q|<1 - |a|<|z| ( z trebuie să fie în afara cercului de rază |a|)

azaz

z

z

aqzX

,

1

1

1

1)(

Exercitiul 2:

1 nuanx n - secvenţă exponenţială la stânga

mn

n

nn

n

nnn

n

zaznuaznxzX1

1)(

Szazazam

mm

m

mm

m

mm

1111011

aza

z

a

zS

m

m

1,0

9

za

a

a

zS

1

1

az

z

za

aza

za

aSzX

11)(

azaz

zzX

,)( (interiorul cercului este C )

Exerciţiul 3:

nununx

nn

3

1

2

1][

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1)(

z

zz

z

z

z

zzX

Exerciţiul 4:

12

1

3

1][

nununx

nn

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1)(

z

zz

z

z

z

zzX