PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI · 2017-12-17 · 4. Pengujian Hipotesis ... kesimpulan mengenai populasi, melalui pendugaan dan pengujian hipotesis ... analisis regresi

1

PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

DWI NOVIATI

NIM : 993114020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI



4

Cita-cita adalah semangat hidup

karena hidup tanpa cita-cita bagaikan menghitung bintang di langit

Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena, dan laut

menjadi tinta, ditambahkan kepadanya tujuh laut lagi sesudah keringnya,

niscaya tidak akan babis-habisnya dituliskan kalimat Allah.

Sesungguhnya Allah Maha Perkasa Lagi Maha Bijaksana.

( Surat luqman, ayat 27 )

Kupersembahkan karya ini untuk :

Tuhan Y.M.E Ayah ( Alm ) dan Ibu sebagai tanda cinta dan wujud baktiku

Almamater tercinta


5

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesugguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan

daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, ……………………...

Penulis

Dwi Noviati


6

ABSTRAK

Pengujian hipotesis dua nilai rata-rata dilakukan dengan menggunakan uji z dan uji t. Namun bila terdapat tiga atau lebih nilai rata-rata maka pengujian dilakukan dengan menggunakan metode Analisis Variansi (ANOVA). ANOVA adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. Model umum ANOVA klasifikasi satu arah adalah ijiijy εαμ ++= . ANOVA dapat diselesaikan dengan pendekatan regresi, yaitu membawa model ANOVA kedalam model regresi dengan menggunakan variabel boneka. Pengunaan variabel boneka bertujuan untuk merubah data yang bersifat kualitatif menjadi kuantitatif, karena dalam ANOVA ada perbedaan sifat variabel. Variabel tak bebas bersifat kuantitatif dan variabel bebas bersifat kualitatif. Sedangkan dalam regresi antara variabel bebas dan variabel tak bebas, keduanya bersifat kuantitatif.


7

ABSTRACT

The hypothesis testing of two mean values is done by using the z-tests and t-tests. But if there are three or more mean values then the testing is done by using Analysis of Variance (ANOVA). ANOVA is a method to descript the total variance of the data into some components coming from many sources of variance. The common model of one way classification ANOVA is

ijiijy εαμ ++= . ANOVA can be done by regression approach. Which is bringing the ANOVA model into the regression model by using dummy variables. The aim of using dummy variable is change the qualitative variable into quantitative, unlike in ANOVA, the independent variable and the dependent variable, both are quantitative.


8

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas

rahmat, kasih, dan karuniaNya, sehingga penyusunan skripsi yang berjudul

“Pendekatan Regresi Untuk Analisis Variansi” dapat diselesaikan..

Dalam menulis skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis

hadapi. Namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya dapat

terselesaikan. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-

besarnnya kepada :

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc sebagai dosen pembimbing skripsi

yang telah meluangkan waktunya dengan kesabarannya membantu dan

membimbing penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Romo Dr. Frans. Susilo, SJ. selaku dosen pembimbing akademik.

3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Matematika

FMIPA USD Yogyakarta.

4. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si dan ibu Enny Murwaningtyas,

S.Si, M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih atas kritik, saran, dan

masukkan serta bimbingan selama menyelesaikan revisi.

5. Ibu Dra Maria Agustiani, M.Si. (Alm) yang telah memberi dorongan dan

semangat selama perkulihan.

6. Ibu dan bapak dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang sangat

berguna bagi penulis.

7. Ibu Suwarni dan mas Tukijo atas pelayanan administrasi yang diberikan

selama penulis menjalani kuliah dan dalam penulisan skripsi ini.


9

8. Ayah (Alm) dan ibu tercinta, terimakasih atas kasih sayang, doa,

dukungan moral dan material yang diberikan selama ini.

9. Terimakasih untuk adik-adikku lina, Erna, Bayu, ika, dini dan jepri yang

memberiku semangat yang tiada henti-hentinya selama ini.

10. Sahabat-sahabat terbaikku : Ria, vivin, Chres, Vera, terimakasih atas doa,

dukungan, dan tidak bosan-bosannya memberiku semangat.

11. Teman-teman seperjuanganku angkatan “99 : Apri, Nana, Desi, Yoslin,

Eny, Yuda, Wondo, Antok, Hebby, Nia, Thomas, Delisa, Sigit, Mike,

Andri, Alie, Catur, Ice, Wiwid, Johan, Naga, Nadi, Tanto, Yuli, Karlo,

terimakasih atas kebersamaannya selama ini.

12. Semua angkatan “98, “00 dan “01. Buat Ajeng, very, makasih atas doa dan

dukungannya selama ini.

13. Teman-teman kostku : Iin, Ita, Silvi, Tiyas, Valen, elly, Diah, Nety,

terimakasih atas persahabatan yang indah selama ini.

14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Meskipun

demikian, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi

bagi pembaca.

Yogyakarta, ………………

Penulis


10

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………… ii

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………… iii

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………… iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………… v

ABSTRAK ………………………………………………………………… vi

ABSTRACT ………………………………………………………………… vii

KATA PENGANTAR ……………………………………………………… viii

DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. x

DAFTAR TABEL …………………………………………………………... xiii

DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………... xiv

BAB I PENDAHULUAN …………………………………………….. 1

A. Latar Belakang Masalah …………………………………… 1

B. Perumusan Masalah ………………………………………... 2

C. Pembatasan Masalah ……………………………………… 3

D. Tujuan Penulisan …………………………………………… 3

E. Manfaat Penulisan ………………………………………… 3

F. Metode Penulisan ………………………………………… 3

G. Sistematika Penulisan ……………………………………… 4


11

BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………...... 5

A. Analisis Variansi …………………………………………… 5

1. Distribusi F …………………………………………… 6

2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah ………………… 10

3. Analisis Variansi Kasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi … 18

4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi 28

5. Contoh Analisis Variansi ………………………………… 41

B. Analisis Regresi …………………………………………….. 44

1. Regresi linier Sederhana ………………………………… 44

2. Metode Kuadrat Terkecil ……………………………….. 46

3. Regresi Berganda ………………………………………… 51

4. Pengujian Hipotesis ……………………………………… 55

C. Matriks Tak Singular………………………………………… 56

BAB III PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI… 59

A. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Satu Arah …………… 60

B. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah tanpa

Interaksi ……………………………………………………. 65

C. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah dengan

Interaksi …………………………………………………… 70

BAB IV APLIKASI PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS

VARIANSI … ………………………………………………….. 75

A. Tingkat Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan 75

B. Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam ………… 80


12

BAB V KESIMPULAN ………………………………………………… 87

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………… 88

LAMPIRAN ………………………………………………………………… 89


13

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Klasifikasi Satu Arah dengan k Sempel Pengamatan …………... 10

Tabel 2.2 Analisis Variansi Satu Arah …………………………………… 17

Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan Per Sel ……….. 18

Tabel 2.4 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi …………………… 27

Tabel 2.5 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan Per Sel…… 28

Tabel 2.6 Analisis Variansi Dua Arah dengan Interaksi…………………… 39

Tabel 2.7 Hasil Perbandingan Tiga Varietas Kentang dengan Empat Lokasi 41

Tabel 2.8 Anlisis Variansi dari data tabel 2.7 …………………………… 43

Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk Regresi linier Sederhana ……………… 50

Tabel 2.10 Analisis Variansi untuk Regresi Berganda …………………… 55

Tabel 4.1 Tingkat Sisa Kerusakan otak selama Proses Penyembuhan …… 75

Tabel 4.2 Analisis Variansi dari data tabel 4.1 …………………………… 79

Tabel 4.3 Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam …………… 80

Tabel 4.4 Analisis Variansi dari data tabel 4.3 …………………………… 86


14

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 ………………………………………………………………… 89

Lampiran 2 ………………………………………………………………… 93

Lampiran 3 ………………………………………………………………… 101


15

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran atau pemencaran nilai.

Variansi dapat menggambarkan tingkat atau taraf keberagaman antar nilai.

Variansi bersama dengan rata-rata banyak digunakan untuk menentukan

kesimpulan mengenai populasi, melalui pendugaan dan pengujian hipotesis

parameter. Variansi dari sekumpulan data menggambarkan derajat perbedaan atau

variasi nilai yang ada dalam kelompok yang diperoleh dengan menghitung rata-

rata dari kumpulan data tersebut.

Pengujian kesamaan rata-rata dari dua populasi dengan menggunakan

sampel bebas, adalah dengan menggunakan uji z dan uji t. Uji z digunakan untuk

menguji hipotesis mengenai rata-rata dari populasi normal, dengan sampel lebih

dari 30 serta variansi populasi diketahui. Uji t digunakan untuk menguji hipotesis

mengenai rata-rata dari dua populasi dengan sampel kurang dari 30 dan variansi

populasi tidak diketahui. Pengujian hipotesis dengan uji z dan uji t hanya terbatas

pada dua populasi saja. Jika lebih dari dua populasi maka menjadi tidak efisien

karena:

1. Harus melalui pengujian tiap-tiap pasang sebanyak dua kombinasi k

populasi )(2 kC .

2. α akan semakin meningkat karena pengujian harus dilakukan tiap-tiap

pasang populasi yang mungkin.


16

Sekarang bagaimana menguji atau membandingkan dua atau lebih rata-rata

populasi secara bersamaan atau simultan. Untuk melakukan pengujian secara

simultan tersebut digunakan metode lain yang disebut analisis variansi (ANOVA).

Uji Statistik dalam analisis variansi menggunakan distribusi F.

Namun analisis variansi dapat juga diselesaikan melalui pendekatan

regresi. Analisis variansi dan analisis regresi digunakan untuk menyatakan

hubungan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas. Dalam analisis regresi

variabel tak bebas dan variabel bebas bersifat kuantitatif. Sedangkan dalam

analisis variansi, variabel tak bebas bersifat kuantitatif, tetapi variabel bebasnya

bersifat kualitatif. Variabel kualitaif adalah variabel yang tidak memungkinkan

dilakukannya pengukuran numerik. Pengamatannya berupa memasukkan suatu

kriteria kedalam satu dari beberapa kategori yang saling terpisah. Pengamatan –

pengamatan tersebut tidak dapat diurutkan secara berarti ataupun diukur, hanya

diklasifikasikan. Agar dapat dilakukan perhitungan maka variabel yang sifatnya

kualitatif diubah lebih dahulu kebentuk yang bersifat kuantitatif. Analisis variansi

dengan variabel bebas bersifat kualitatif, dapat diselesaikan melalui pendekatan

regresi yang variabel bebasnya bersifat kuantitatif, dengan menambahkan variabel

boneka (Dummy variable).

B. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :

1. Bagaimana menyusun model ANOVA dengan menggunakan model regresi?

2. Bagaimana menerapkan model regresi untuk ANOVA pada analisis data?


17

C. Pembatasan Masalah

Pada skripsi ini akan dibahas bentuk-bentuk analisis variansi dengan efek

tetap saja. Asumsi-asumsi yang mendasari analisis regresi tidak diuji karena pada

penulisan skripsi ini hanya menggunakan metodenya saja. Sedangkan mengenai

matriks tak singular, teorema yang mendukung tidak dibuktikan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulis menyusun skripsi ini adalah untuk:

1. Menyusun model regresi melalui data yang berasal dari analisis variansi.

2. Melakukan pengujian hipotesis rata-rata dengan menggunakan pendekatan

regresi.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan ini adalah untuk memperdalam analisis variansi dan

analisis regresi, serta mengetahui bahwa ANOVA dapat diselesaikan dengan

menggunakan analisis regresi.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka,

yaitu dengan mengumpulkan bahan dan mempelajari bahan atau buku-buku yang

berkaitan langsung dengan topik tulisan yang dibicarakan, sehingga penulis dapat

memahami lebih lanjut tentang topik tersebut.


18

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam pembahasan mengenai pendekatan regresi

untuk analisis variansi adalah sebagai berikut:

Bab I pendahuluan memberi gambaran umum mengenai isi skripsi

meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan

penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

Bab II membahas tentang landasan teori meliputi distribusi F , bentuk-

bentuk analisis variansi, analisis regresi dan matriks tak singular.

Bab III membahas tentang pendekatan regresi untuk analisis variansi

dengan masing-masing bentuk klasifikasinya serta pengujian hipotesis.

Bab IV berisi tentang aplikasi pendekatan regresi untuk analisis variansi

dengan menggunakan data.

Bab V berisi tentang kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya.


19

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Analisis Variansi

Analisis variansi (ANOVA) adalah suatu metode untuk menguraikan

keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai

sumber keragaman. Dasar pengujian yang digunakan didasarkan pada distribusi F.

Distribusi F digunakan untuk menguji :

1. Apakah dua sempel berasal dari populasi dengan variansi yang sama.

2. Membandingkan dua atau lebih rata-rata populasi secara simultan.

Dalam ANOVA memerlukan syarat-syarat berikut:

1. Populasi-populasi yang diteliti memiliki distribusi normal.

2. Populasi-populasi tersebut memiliki standar deviasi yang sama atau

variansi yang sama.

3. Sampel yang diambil dari populasi tersebut bersifat bebas dan sampel

yang diambil secara acak.

Dalam ANOVA akan dibandingkan keragaman yang ada di antara kelompok dan

keragaman yang ada di dalam kelompok itu sendiri. Apabila keragaman di antara

kelompok lebih besar dari pada keragaman di dalam kelompok, maka populasi-

populasi tersebut mempunyai rata-rata yang berbeda.

Selanjutnya dibahas terlebih dahulu distribusi F yang merupakan landasan

pengujian variansi, kemudian dilanjutkan dengan model analisis variansi.


20

1. Distribusi F

Distribusi F didefinisikan sebagai distribusi dari perbandingan dua

variabel random Chi-square yang saling bebas, masing-masing dibagi dengan

derajat bebasnya. Statistik F dapat ditulis sebagai

2

1

rVrUF = .

U dan V menyatakan variabel random bebas, masing-masing berdistribusi Chi-

square, dengan derajat bebas 1r dan 2r .

Teorema 2.1

Misalkan dua variabel random Chi-square yang saling independent u dan v yang

mempunyai derajat bebas 1r dan 2r .

2

1

rVrU

F =

Variabel random F dikatakan memiliki distribusi F dengan derajat bebas 1r dan

2r bila fungsi densitasnya :

( )( )

( ) ( )( )

selainnya,

w,

rwr

wrr

rrrr

wg rr

)r(r

0

0

122

2

2

2

1

22

21

22121

1 21

1

1

=

∞<<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ΓΓ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Γ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−

Bukti:

Fungsi densitas gabungan ),( vuh dari u dan v adalah


21

( ) ( )selainnya

vuvuvurr

vuhrr

rr

,0

0,0,2

)(exp222

1),( 2)2(

2)2(

2)(21

21

21

=

∞<<∞<<⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

ΓΓ=

−−

+

Didefinisikan variabel random baru 2

1

rVrUW = . Akan ditunjukkan fungsi densitas

)(1 wg dari W . Persamaan2

1

rvruw = . Andaikan zv = .

Didefinisikan sebuah transformasi satu-satu yang memetakan himpunan

{ } { }∞<<∞<<=∞<<∞<<= zwzwBpadavuvuA 0,0:),(0,0:),(

karena 2

1

rvruw = dan vz = . Gantikan v dengan z akan menjadi

2

1

rzruw = maka zw

rru2

1= sehingga dwrzrdu

2

1=

sehingga didapat nilai mutlak dari transformasi jacobian adalah .)( 21 zrrJ =

Fungsi densitas gabungan ),( zwg dari variabel random VZdanW = adalah

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

=−

−

+2

1

2

12)2(2

)2(

2

12)(

21

12

exp222

1),(2

1

21 rzr

rwrzz

rzwr

rrzwg

rr

rr

dengan Bzw ∈),( dan 0 untuk yang lainnya. Fungsi densitas marjinal )(1 wg dari

w adalah

∫∞

∞−

= dz)z,w(g)w(g1

( ) ( ) ( ) dzrzr

rwrzexpz

rzwr

rr

)r()r(

/rr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

=−

−∞

+∫2

1

2

1222

2

2

1

02

21

12222

1 21

21


22

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

=−−−

−∞

+∫2

122

22

222

2

2

1

02

21

2111

212221

rzr)z()w()z(

rr

rr

)r()r()r()r(

/rr

dzrwrzexp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 1

2 2

1

( ) ( ) ( ) )z()z()z()w(rzr

rr

rr

)r()r()r()r(

/rr2

22

22

2

2

12

2

2

1

02

21

2111

212221 −−−

−∞

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

= ∫

dzrwrzexp ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 1

2 2

1

( ) ( ) ( ) dzrwrzexp)z()w(

rr

rr

)rr()r(r

/rr⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΓΓ

=−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞

+∫ 12222

1

2

122

222

2

1

02

21

2111

21

( )

( ) ( )dz

rwrzexpz

rr

)w(rr )rr(

)rr(

rr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΓΓ

= ∫∞ −+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12

222 2

1

0

22

221

22

22121

21

11

Jika variabel integrasinya diubah dengan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

2 2

1

rwrzy , dapat diperlihatkan

bahwa ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1

2 2

1

rwrzy maka

1

1

1 12−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

rwryz

sehingga dyrwrdz

1

2

1 12−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

masukkan kedalam persamaan berikut

( )

( ) ( )( ) dy

rwrzz

rr

wrrwgrr

rr

rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΓΓ= ∫

∞ −+

+

−

12

exp222

)()(2

1

0

2)2(

2)(

21

2)2(

2211

21

21

11

maka persamaannya akan menjadi


23

( )

( ) ( )dy

rwrzz

rr

wrrwgrr

rr

rr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

ΓΓ= ∫

∞ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+

−

12

exp)(222

)()(2

1

0

22

2)(

21

2)2(

2211

21

21

11

= ( )

( ) ( ) 2)(

21

2)2(

22121

11

222

)(rr

rr

rr

wrr+

−

ΓΓ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

0

22

1

2

1

21

12

rr

rwry

( ) dyrwryexp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−1

2

1 12

( )

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ= ∫

22

1

2

1

0

22

22

221

22

221

21

2121

21

11

12222

rrrrrr

)rr(

)r(r

rwry

rr

)w(rr

( ) dyrwryexp

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−1

2

1 12

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+

− 1

2

12

21

2

122

221

22

221 1212222

21

21

21

11

rwr

rwr

rr

wrrrr

rr

)rr(

)r(r

( )dyyexpyrr

−∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

0

2221

( ) ( )

( ) ( )

1

2

1

1

2

12

2

112

221

22

221 121122222

2121

21

11 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ=

rwr

rwr

rwr

rr

wrrrr

rr

)rr(

)r(r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+Γ 1

2221 rr

( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

Γ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ΓΓ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

21

2221

2

2

1

21

2)2(

221

2111

rrrwr

rrwrr

rrrr


24

( )

( ) ( )( )

selainnya

w

rwr

wrr

rrrr

rr

rr

,0

0,

122

2

2

2

1

2)2(

21

22121

21

1

1

=

∞<<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ΓΓ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Γ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah

Misalkan terdapat k populasi. Dari masing-masing populasi diambil

sampel berukuran n . Populasi tersebut menyebar normal dengan rata-rata

kμμμ ,...,, 21 dan variansi sama 2σ . Akan dilakukan pengujian hipotesis :

kH μμμ === ...: 210 .

1H : jiji ≠≠∃ ,μμ .

Misal ijy adalah pengamatan ke j dari populasi ke i dan berikut susunan

datanya.

Tabel 2.1 klasifikasi satu arah dengan k sempel pengamatan

Populasi

1 2 … i … k

11y

12y

Μ

ny1

21y

22y

Μ

ny2

…

…

…

1iy

2iy

Μ

iny

…

…

…

1ky

2ky

Μ

kny

Total .1T .2T … .iT … .kT ..T

Rata-rata .y1 .y2 … .iy … .ky ..y


25

Dimana

.iT = Total semua pengamatan sampel dari populasi ke i .

..T = Total semua nk pengamatan.

.iy = Rata-rata semua pengamatan sampel dari populasi ke i .

..y = Rata-rata semua nk pengamatan.

Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk

ijiijy εμ += (2.1)

Bila ijε adalah simpangan pengamatan ke j dalam sampel ke i dari rata-rata

populasi ke i . Bentuk lain dari persamaan ini diperoleh dengan substitusi

ii αμμ += , sedangkan μ adalah rata-rata semua iμ artinya

k

k

ii∑

== 1μ

μ

maka persamaan (2.1) menjadi

ijiijy εαμ ++= (2.2)

dengan ketentuan

( ) 011

=−=∑∑==

k

ii

k

ii μμα

dengan iα sebagai pengaruh populasi ke i .

Dari persamaan (2.2) tersusun atas tiga hal yaitu iαμ, dan ijε . Dengan demikian

persoalannya bagaimana memperoleh nilai iαμ, dan ijε . Salah satu cara yang

digunakan adalah metode kuadrat terkecil.


26

Jadi menduga iαμ, dan ijε dengan membuat jumlah kuadrat sisa atau galat

sekecil mungkin. Jumlah kuadrat galat ditulis dengan ( )JKG .

( ) ∑∑= =

=k

i

n

jijJKG

1 1

2ε

( )∑∑= =

−−=k

i

n

jiijy

1 1

2αμ (2.3)

Penduga bagi μ adalah μ maka

( )( )

01 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂

=∂

∂∑∑= =

μ

αμ

μ

k

i

n

jiijy

JKG

( ) 021 1

=−−− ∑∑= =

k

i

n

jiij ˆy αμ

01 1 1 1 1 1

=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

jiij ˆy αμ

∑∑ ∑∑= = = =

=−−k

i

n

j

k

i

n

jij ˆy

1 1 1 1

00μ

∑∑ ∑∑= = = =

=k

i

n

j

k

i

n

jijyˆ

1 1 1 1

μ

kn

yˆ

k

i

n

jij∑∑

= == 1 1μ

..yˆ =μ (2.3a)

Penduga bagi iα adalah iα maka

( )( )

01 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂

=∂

∂∑∑= =

i

k

i

n

jiij

i

yJKG

α

αμ

α


27

( ) 021 1

=−−− ∑∑= =

k

i

n

jiij ˆˆy αμ

01 1 1 1 1 1

=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

jiij ˆˆy αμ

∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

−=k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

jiji ˆyˆ

1 1 1 1 1 1μα

karena ..yˆ =μ maka

∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

−=k

i

n

j

k

i

n

j

k

i

n

j..iji yyˆ

1 1 1 1 1 1α

∑=

−=n

j...ii yknyˆkn

1α

kn

yknyˆ

n

j...i

i

∑=

−= 1α

kn

yknnyˆ ...ii

−=α

...i

i ykyˆ −=α

...ii yyˆ −=α (2.3b)

Apabila ijε adalah galat, penduganya adalah ije , akan diperoleh dengan

memasukkan parameter iαμ ˆ,ˆ pada persamaan (2.2) sehingga didapat

( )...i..ijij yyyye −−−=

.iijij yye −= (2.3c)

Parameter yang didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.2) menjadi

( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−+=


28

Dengan sedikit merubah susunannya menjadi

( ) ( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−=−

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan diperoleh bentuk berikut

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

( )∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑ ∑∑

= =

= == =

= =

= = = =

−+

−−+−=

−+−−+−=

−+−=−

k

i

n

jiij

k

i

n

jiiji

k

i

n

ji

k

i

n

jiijiijii

k

i

n

j

k

i

n

jiijiij

yy

yyyyyy

yyyyyyyy

yyyyyy

1 1

2.

1 1....

1 1

2...

1 1

2.....

2...

1 1 1 1

2....

2..

2

2

Penjumlahan yang ditengah sama dengan nol, karena

( ) .i

n

jij

n

j.iij ynyyy −=− ∑∑

== 11

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑

∑ =

= n

yny

n

jijn

jij

1

1

0=

Penjumlahan yang pertama tidak mempunyai j sebagai subkrip, maka dapat

dituliskan sebagai

( ) ( )∑∑ ∑= = =

−=−k

i

n

j

k

i...i...i yynyy

1 1 1

22

sehingga menjadi

( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ∑= == = =

−+−=−k

i

n

j.iij

k

i

n

j

k

i...i..ij yyyynyy

1 1

2

1 1 1

22 (2.4)


29

Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total, ditulis dengan ( )JKT . Ruas kanan suku

pertama disebut jumlah kuadrat antar kelompok, ditulis ( )JKK . Suku kedua

disebut jumlah kuadrat dalam kelompok, ditulis ( )JKG .

Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut

JKGJKKJKT +=

Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus berikut

( )

( )

∑ ∑ ∑∑∑∑

∑∑

∑∑

= = = ===

= =

= =

+−=

+−=

−=

k

i

k

i

k

i

n

j

n

jij

n

jij

k

i

n

jijij

k

i

n

jij

yyyy

yyyy

yyJKT

1 1 1 1

2..

1..

1

2

1 1

2....

2

1 1

2..

2

2

dengan ∑∑= =

=k

i

n

jij.. yy

1 1 dan

kny

y .... =

∑∑= =

+−=k

i......

n

jij yknyykny

1

2

1

2 2

∑∑= =

+−=k

i....

n

jij yknykny

1

22

1

2 2

∑∑= =

−=k

i..

n

jij ykny

1

2

1

2

∑∑= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

k

i

..n

jij kn

ykny

1

2

1

2

∑∑= =

−=k

i

..n

jij kn

yy

1

2

1

2 (2.4a)


30

( )∑=

−=k

i...i yynJKK

1

2

( )∑=

+−=k

i.....i.i yyyyn

1

22 2

∑∑∑===

+−=k

i

k

ii

k

ii ynyynyn

1

2..

1...

1

2. 2

dengan ..

k

i.i yky =∑

=1 dan

n

yy

n

jij

.i

∑== 1

∑∑

=

= +−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=k

i......

n

jij

yknykynn

yn

1

2

2

1 2

22

1..

k

i

.i yknny

n −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

kny

knn

y..

k

i.i

kny

n

y..

k

i.i 2

1

2

−=∑= (2.4b)

JKKJKTJKG −= (2.4c)

Jumlah jumlah kuadrat tersebut diatas dapat dituliskan kedalam tabel anova untuk

memudahkan analisis.


31

Tabel 2.2 analisis variansi satu arah

Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah hitungF

Kelompok JKK 1−k ( )121 −= kJKKs 2

221 ssf =

Galat JKG ( )1−nk ( )122 −= nkJKGs

Total JKT 1−nk

Langkah-langkah pengujian Hipotesis

1. Rumusan hipotesis

kH μμμ === ...: 210 .

1H : jiji ≠≠∃ ,μμ .

2. Tentukan α .

3. Wilayah kritis.

0H ditolak bila ( )[ ]1,1 −−< nkkff hitung α .

4. Perhitungan.

5. Tabel analisis variansi.

6. Kesimpulan.

Telah diketahui bahwa setiap pengamatan ditulis sebagai berikut

ijiijy εμ +=

dan diketahui pula bahwa

ii αμμ += atau ii αμμ =−

Untuk menguji rata-rata dalam suatu populasi yang terdiri dari beberapa

kelompok, maka diuji juga rata-rata kelompok apakah sama atau tidak Maka


32

kedua hipotesis kH μμμ === ...: 210 dan 0...: 210 ==== kH ααα adalah

sama. Jadi pada dasarnya menguji kesamaan rata-rata antara kelompok adalah

sama dengan menguji pengaruh perlakuan.

3. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi

Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan

menyusun data tersebut dalam r baris dan c kolom, seperti pada tabel berikut.

Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan per Sel

Kolom

Baris 1 2 … j … c Total Rata-rata

1 11y 12y … jy1 … cy1 .1T .y1

2 21y 22y … jy2 … cy2 .2T .y2

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

i 1iy 2iy … jiy … icy .iT .iy

Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

r 1ry 2ry … jry … rcy .rT .ry

Total 1.T 2.T … jT. … cT. ..T

Rata-rata 1.y 2.y … j.y … c.y ..y

Dimana

.iT = Total semua pengamatan dalam baris ke i .

jT. = Total semua pengamatan dalam kolom ke j .

..T = Total semua rc pengamatan

.iy = Rata-rata semua pengamatan dalam baris i .


33

Rata-rata populasi pada baris ke i adalah

c

c

jij

i

∑== 1

.

μμ

Rata-rata populasi bagi kolom ke j adalah

r

r

iij

j

∑== 1

.

μμ

Rata-rata rc populasi adalah

rc

r c

ij∑∑=

μμ

Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk

ijijijy εμ += (2.5)

Dimana ijε adalah simpangan nilai pengamatan ijy dari rata-rata populasi ijμ .

Bila iα adalah pengaruh baris ke i dan jβ adalah pengaruh kolom ke j maka

diperoleh

jiij βαμμ ++=

Sehingga persamaan diatas menjadi

ijjiijy εβαμ +++= (2.6)

Kemudian disyaratkan

∑ ∑= =

==r

i

c

jji

1 100 βα


34

Nilai ,,, ji βαμ dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Nilai tersebut

didapatkan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, dan ditulis ( )JKG .

∑∑= =

=r

i

c

jijJKG

1 1

2ε

( )∑∑= =

−−−=r

i

c

jjiijy

1 1

2βαμ (2.7)

Penduga nilai μ adalah μ maka

( )( )

01 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−∂

=∂

∂∑∑= =

μ

βαμ

μ

r

i

c

jjiijy

JKG

( ) 021 1

=−−−− ∑∑= =

r

i

c

jjiij ˆy βαμ

01 1 1 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjiij ˆy βαμ

0001 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑= = = =

r

i

c

j

r

i

c

jij ˆy μ

01 1

=−∑∑= =

μrcyr

i

c

jij

rc

yˆ

r

i

c

jij∑∑

= == 1 1μ

..yˆ =μ (2.7a)

Penduga nilai iα adalah iα maka

( )( )

01 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−∂

=∂

∂∑∑= =

i

r

i

c

jjiij

i

yJKG

α

βαμ

α


35

( ) 021 1

=−−−− ∑∑= =

r

i

c

jjiij ˆˆy βαμ

01 1 1 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjiij ˆˆy βαμ

001 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jiij ˆˆy αμ

01 1 1 1 1 1

=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jiij ˆˆy αμ

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

jij

r

i

c

ji ˆyˆ

1 1 1 11 1μα

karena ..yˆ =μ maka

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

j..ij

r

i

c

ji yyˆ

1 1 1 11 1α

∑=

−=c

i...ii yrcyˆrc

1α

rc

yrcyˆ

..

c

i.i

i

−=∑=1α

rcyrcycˆ ...i

i−

=α

...i

i yryˆ −=α

...ii yyˆ −=α (2.7b)


36

Penduga nilai β adalah jβ maka

( )( )

01 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−∂

=∂

∂∑∑= =

j

r

i

c

jjiij

j

yJKG

β

βαμ

β

( ) 021 1

=−−−− ∑∑= =

r

i

c

jjiij

ˆˆˆy βαμ

01 1 1 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjiij

ˆˆˆy βαμ

001 1 1 1 1 1

=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

jjij

ˆˆy βμ

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

jij

r

i

c

jj ˆyˆ

1 1 1 11 1μβ

karena ...ii yyˆ −=α maka

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

−=r

i

c

j

r

i

c

j..ij

r

i

c

jj yyˆ

1 1 1 11 1β

..

r

ij.j yrcyˆrc −= ∑

=1

β

rc

yrcyˆ

..

r

ij.

j

−=∑=1β

rc

yrcyrˆ ..j.j

−=β

..j.

j yc

yˆ −=β

..j.j yyˆ −=β (2.7c)


37

Apabila ijε adalah galat, diduga dengan ije , akan diperoleh melalui substitusi

penduga ji ,, βαμ kedalam persamaan (2.6) sehingga didapat

( ) ( )..j....i..ijij yyyyyye −−−−−=

..j..iijij yyyye +−−= (2.7d)

Parameter yang telah didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.6) menjadi

( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−+=

Dengan sedikit merubah susunannya akan menjadi

( ) ( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−=−

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlakan diperoleh persamaan berikut

( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∑∑= = = =

+−−+−+−=−r

i

c

j

r

i

c

j..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy

1 1 1 1

2222

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )....1 1

...

....1 1

...

...1 1

...

1 1

2....

1 1 1 1

2...

2...

2

2

2

yyyyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyyyy

jiij

r

i

c

jj

jiij

r

i

c

ji

j

r

i

c

ji

r

i

c

jjiij

r

i

c

j

r

i

c

jji

+−−−+

+−−−+

−−+

+−−+−+−=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑ ∑∑

= =

= =

= =

= == = = =

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑∑∑= = = == =

+−−+−+−=−r

i

c

j

r

i

c

j..j..iij..j....i

r

i

c

j..ij yyyyyyryycyy

1 1 1 1

222

1 1

2

……………………………………………………………………… (2.8)


38

Ruas kiri disebut jumlah kuadat total ( )JKT , sedang ruas kanan suku pertama

disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah kuadrat

karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .


JKGJKKJKBJKT ++=

Untuk memudahkan perhitungan maka dilakukan penyederhanaan rumus sebagai

berikut

( )∑∑= =

−=r

i

c

j..ij yyJKT

1 1

2

( )∑∑= =

+−=r

i

c

j....ijij yyyy

1 1

22 2

∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =

+−=r

i

c

j

r

i

c

j

r

i

c

j..ij..ij yyyy

1 1 1 1 1 1

22 2

dengan ∑∑= =

=r

i

c

jijy..y

1 1

dan rcy

y .... =

∑∑= =

+−=r

i......

c

jij yrcyrcyy

1

2

1

2 2

∑∑= =

+−=r

i....

c

jij yrcyrcy

1

22

1

2 2

∑∑= =

−=r

i..

c

jij yrcy

1

2

1

2

2

1 1

2∑∑= =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

r

i

..c

jij rc

yrcy

∑∑= =

−=r

i

..c

jij rc

yy

1

2

1

2 (2.8a)


39

( )∑=

−=r

i...i yycJKB

1

2

( )∑=

+−=r

i.....i.i yyyyc

1

22 2

∑ ∑∑= ==

+−=r

i

r

i...i..

r

i.i ycyycyc

1 1

2

1

2 2

dengan ..

r

i.i yry =∑

=1

dan c

yy

c

jij

.i

∑== 1

2

2

1

1 2 ..,,..

r

i

c

jij

yrcyrycc

yc +−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∑

=

=

222

1

2 ....

r

i

.i yrcyrccy

c +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

21

2

..

r

i.i

yrcc

y−=

∑=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcy

rcc

y..

r

i.i

rcy

c

y..

r

i.i 2

1

2

−=∑= (2.8b)


40

( )∑=

−=c

j..j. yyrJKK

1

2

( )∑=

+−=c

j....j.j. yyyyr

1

22 2

∑ ∑∑= ==

+−=c

j

c

i..j...

c

jj. yryyryr

1 1

2

1

2 2

dengan ..

c

jj. ycy =∑

=1

dan r

yy

r

iij

j.

∑== 1

2

2

1

1 2 ..,,..

r

j

r

iij

yrcycyrr

yr +−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∑

=

=

22

2

2

2 ....

r

i

j. yrcyrcr

yr +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

21

2

..

c

ij.

yrcc

y−=

∑=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcy

rcr

y..

c

ij.

rcy

r

y..

c

jj. 2

1

2

−=∑= (2.8c)

JKKJKBJKTJKT −−= (2.8d)


41

Jumlah-jumlah kuadrat tersebut dapat diringkas dalam tabel anova untuk

memudahkan analisis.

Tabel 2.3 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi

Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah

hitungF

Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 2

3211 ssf =

Kolom JKK 1−c ( )122 −= cJKKs 2

3222 ssf =

Galat JKG ( )( )11 −− cr ( )( )1123 −−= crJKGs

Total JKT 1−rc

Langkah-langkah pengujian hipotesis

1. Rumusan hipotesis.

a. 0...: 210 ====′ rH ααα .

1H ′ : 0≠∃ iα .

b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .

1H ′′ : 0≠∃ jβ .

2. Tentukan α .

3. Wilayah kritis

a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α .

b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α .

4. Perhitungan.


6. Kesimpulan.


42

4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi

Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan per Sel

Kolom

Baris 1 2 … c

Total

Rata-rata

111y 121y … 11cy

112y 122y … 21cy

1 . . . ..1T ..y1

. . .

ny11 ny12 … cny1

211y 221y … 12cy

212y 222y … 22cy

2 . . . ..2T ..y2

. . .

ny21 ny22 … cny2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

11ry 21ry … 1rcy

12ry 22ry … 2rcy

. . .

r . . . ..rT ..ry

. . .

nry 1 nry 2 … rcny

Total .1.T .2.T … ..cT ...T

Rata-rata ..y 1 ..y 2 … .c.y ...y


43

Dimana :

.ijT = Total pengamatan dalam sel ke ij .

..iT = Total pengamatan dalam baris ke i .

.. jT = Total pengamatan dalam kolom ke j .

...T = Total semua rcn pengamatan.

.ijy = Rata-rata pengamatan dalam sel ke ij .

..iy = Rata-rata pengamatan dalam baris ke i .

.j.y = Rata-rata pengamatan dalam kolom ke j .

...y = Rata-rata semua rcn pengamatan.

Rata-rata umum pengamatan adalah

rcn

yy

r

i

c

j

n

kijk

...

∑∑∑= = == 1 1 1

Rata-rata baris ke i adalah

cn

yy

c

j

n

kijk

..i

∑∑= == 1 1

Rata-rata kolom ke j adalah

nr

yy

r

i

n

kijk

.j.

∑∑= == 1 1

Rata-rata sel ke ij adalah

n

yy

n

kijk

.ij

∑== 1

Setiap pengamatan dalam sel ijky dapat dituliskan dalam bentuk

ijkijijky εμ += (2.9)


44

Dimana ijkε merupakan simpangan nilai ijky yang teramati pada sel ke ij dari

rata-rata populasi ijμ . Misalkan ( )ijαβ melambangkan pengaruh interaksi baris ke

i dan kolom ke j , maka iα adalah pengaruh baris ke i , dan jβ adalah

pengaruh kolom ke j serta μ adalah rata-rata umum.

Sehingga persamaannya menjadi

( )ijjiij αββαμμ +++=

maka persamaan (2.9) menjadi

( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++= (2.10)

dan kemudian dikenakan syarat

01

=∑=

r

iiα 0

1

=∑=

c

jjβ ( ) 0

1=∑

=

r

iijαβ ( ) 0

1

=∑=

c

jijαβ

Nilai dari μ , )(,, αββα diperoleh melalui pendugaan dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil, sehingga jumlah kuadrat semua simpangan itu minimum.

Jumlah kuadrat semua simpangan disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .

∑∑∑= = =

=r

i

c

j

n

kijkJKG

1 1 1

2ε

( )( )∑∑∑= = =

−−−−=r

i

c

j

n

kijjiijky

1 1 1

2αββαμ (2.11)

Penduga untuk nilai μ adalah μ maka

( )( )( )

01 1 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂

∂∑∑∑= = =

μ

αββαμ

μ

r

i

c

j

n

kijjiijky

JKG


45

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk ˆy αββαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆy αββαμ

00001 1 11 1 1

=−−−−∑∑∑∑∑∑= = == = =

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆy μ

01 1 1

=−∑∑∑= = =

μrcnyr

i

c

j

n

kijk

rcn

yˆ

r

i

c

j

n

kijk∑∑∑

= = == 1 1 1μ

...yˆ =μ (2.11a)

Penduga untuk nilai iα adalah iα maka

( )( )( )

01 1 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂

∂∑∑∑= = =

i

r

i

c

j

n

kijjiijk

i

yJKG

α

αββαμ

α

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk ˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

= = == == = == = == = =

c

j

n

k

r

iij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αββαμ

0001 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αμ

01 1 11 1 11 1 1

=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk ˆˆy αμ


46

karena ...yˆ =μ maka

∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

−=r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

ki yy

1 1 1...

1 1 11 1 1α

...

c

j

n

k..ii yrcnyˆrcn −= ∑∑

= =1 1α

rcn

yrcnyˆ

c

j...

n

k..i

i

∑∑= =

−= 1 1α

rcnyrcnycnˆ .....i

i−

=α

.....i

i yr

yˆ −=α

.....i yyˆ −=α (2.11b)

Penduga untuk nilai jβ adalah jβ maka

( )( )( )

01 1 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂

∂∑∑∑= = =

j

r

i

c

j

n

kijjiijk

j

yJKG

β

αββαμ

β

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk

ˆˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆˆy αββαμ

( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

= = == == = == = == = =

r

i

n

k

c

jij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆˆy αββαμ

0001 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆy βμ


47

01 11 1 11 1 1

=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆy βμ

karena ...yˆ =μ maka

∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =

−=r

i

c

j

n

k...

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

kj yyˆ

1 1 11 1 11 1 1β

...

r

i

n

k.j.j yrcnyˆrcn −= ∑∑

= =1 1

β

rcn

yrcnyˆ

r

i...

n

k.j.

j

∑∑= =

−= 1 1β

rcn

yrcnynrˆ ....j.j

−=β

....j.

j yc

yˆ −=β

....j.j yyˆ −=β (2.11c)

Penduga untuk nilai ( )ijαβ adalah ( )ijβα ˆˆ maka

( )( )

( )( )( ) 01 1 1

2

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−∂

=∂∂

∑∑∑= = =

ij

r

i

c

j

n

kijjiijk

ij

yJKG

αβ

αββαμ

αβ

( )( ) 021 1 1

=−−−−− ∑∑∑= = =

r

i

c

j

n

kijjiijk

ˆˆˆˆˆy βαβαμ

( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =

r

i

c

j

n

kij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kijk

ˆˆˆˆˆy βαβαμ

karena

...yˆ =μ .....ii yyˆ −=α ....j.j yyˆ −=β


48

maka

( ) ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = = = = = = = == = == = =

−−−=r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

k

r

i

c

j

n

kji

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

kij

ˆˆˆyˆˆ1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1

βαμβα

( ) ( ) ( )....j......i...

r

i

c

j

n

kijkij yyrcnyyrcnyrcnyˆˆrcn −−−−−= ∑∑∑

= = =1 1 1βα

( ) ....j......i...

n

kijkij yrcnyrcnyrcnyrcnyrcnynrˆˆrcn +−+−−= ∑

=1

βα

( )rcn

yrcnyrcnyrcnynrˆˆ

....j...i

K

kijk

ij

+−−=

∑=1βα

( ) ....j...i.ijij yyyyˆˆ +−−=βα (2.11d)

Bila ijkε merupakan galat dan penduga bagi ijkε adalah ijke sehingga akan

diperoleh nilai dugaan bagi ijke yaitu

( )ijjiijkijkˆˆˆˆˆye βαβαμ −−−−=

( ) ( ) ( )....j...i.ij....j......i...ijkijk yyyyyyyyyye +−−−−−−−−=

.ijijkijk yye −= (2.11e)

Sehingga bila parameter ini dimasukkan dalam persamaan (2.10) akan diperoleh

bentuk

( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−+=

Dengan sedikit merubah susunannya akan diperoleh persamaan berikut

( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyy)yy( −++−−+−+−=−

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan maka diperoleh persamaan

berikut


49

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]21 1 11 1 1

2.ijijk....j...i.ij....j.

r

i

c

j

n

j.....i

r

i

c

j

n

k...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−=− ∑∑∑∑∑∑

= = == = =

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = == = =

= = == = =

−+−−+

−−+

+−−−+

−−+

+−−−+

−−+

−++−−+

−+−=

r

i

c

j

n

kijijkjiij

ijijk

r

i

c

j

n

kj

jiij

r

i

c

j

n

kj

ijijk

r

i

c

j

n

ki

jiij

r

i

c

j

n

ki

j

r

i

c

j

n

ki

r

i

c

k

n

jijijk

r

i

c

j

n

kjiij

r

i

c

j

n

kj

r

i

c

j

n

ki

yyyyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

1 1 1.........

.1 1 1

.....

........1 1 1

.....

.1 1 1

.....

........1 1 1

.....

.....1 1 1

.....

1 1 1

2.

1 1 1

2........

1 1 1

2.....

1 1 1

2.....

2

2

2

2

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

= = == =

=== = =

−++−−+

−+−=−

r

i

c

j

n

k.ijijk

r

i

c

j....j...i.ij

c

j....j.

r

i.....i

r

i

c

j

n

k...ijk

yyyyyyn

yynryycnyy

1 1 1

2

1 1

2

1

2

1

2

1 1 1

2

…..………………………………………………………………... (2.12)

Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total ( )JKT , sedangkan ruas kanan adalah suku

pertama disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah

kuadrat karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat karena baris

dan kolom ( )( )BKJK . Suku terakhir disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .



50

( ) JKGBKJKJKKJKBJKT +++=

Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus-rumus jumlah

kuadrat sebagai berikut

( )

( )

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

= = == = == = =

= = =

= = =

+−=

+−=

−=

r

i

c

j

n

k...

r

i

c

j

n

k...ijk

r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

k......ijkijk

r

i

c

j

n

k...ijk

yyyy

yyyy

yyJKT

1 1 1

2

1 1 11 1 1

2

1 1 1

22

1 1 1

2

2

2

dengan ∑∑∑= = =

=r

i

c

j

n

kijk... yy

1 1 1 dan

rcny

y ...... =

2

1 1 1

2

1 1 1

22

2

1 1 1

2

2

1 1 1

2

2

1 1 1

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

+−=

+−=

+−=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

rcnyrcny

yrcny

yrcnyrcny

yrcnyyrcny

yrcnyyy

...r

i

c

j

n

kijk

r

i

c

j

n

k...ijk

......

r

i

c

j

n

kijk

.........

r

i

c

j

n

kijk

.........

r

i

c

j

n

kijk

rcnyy ...

r

i

c

j

n

kijk

2

1 1 1

2 −= ∑∑∑= = =

(2.12a)

( )∑=

−=r

i.....i yycnJKB

1

2

( )∑=

+−=r

i........i..i yyyycn

1

22 2


51

∑∑∑===

+−=r

i...

r

i...i...

r

i..i ycnycnyycn

1

2

11

2 2

dengan ∑=

=r

i.....i yry

1 dan

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑∑= =

cn

yy

c

j

n

kijk

..i1 1

∑∑∑

=

= = +−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=r

i.........

c

j

n

kijk

yrcnyrcnycn

ycn

1

2

2

1 1 2

2

1

2

...

r

i

..i yrcncny

cn −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcny

rcncn

y...

r

i..i

rcny

cn

y...

r

i..i 2

1

2

−=∑= (2.12b)

( )∑=

−=c

j....j. yynrJKK

1

2

( )∑=

+−=c

jjj yyyynr

1...

2........

2.. 2

∑∑∑===

+−=c

j......

c

j.j.

c

j.j. ynryynrynr

1

2

11

2 2

dengan ...

c

j.j. ycy =∑

=1 dan

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∑∑= =

nr

yy

r

i

n

kijk

.j.1 1


52

2

1

2

1 1 2 .........

c

j

r

i

n

kijk

yrcnyyrcnnr

xrn +−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑∑∑

=

= =

2

1

2

...

c

j

.j. yrcnnr

ynr −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

2

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∑=

rcny

rcnnr

y...

c

j.j.

rcny

nr

y...

c

j.j. 2

1

2

−=∑= (2.12c)

( ) ( )∑∑= =

+−−=r

i

c

j....j...i.ij yyyynBKJK

1 1

2

[]22

2

1 1

2

....j.........i.ij.......j..j...i.j..ij.j.

.....i.j...i..i

r

i

n

j.ij..i....ij.j..ij..i.ij.ij

yyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyyyyyn

+−−+−++−

−++−+−−= ∑∑= =

[]2

22

1 1

2

22

2222

.......j......i

.j...i....ij.j...i.j..ij..i.ij

r

i

c

j.ij

yyyyy

yyyyyyyyyyyn

+−−

++++−−= ∑∑= =

⎥⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

= =

2

22

1 1

2

2

222

22

rny

rcny

nry

rcny

cny

nry

cny

rcny

ny

nry

cny

nry

ny

cny

ny

ny

n

.......j.

.....i.j...i....ij

.j...i.j..ij..i.ijr

i

c

j

.ij


53

2

1 11 1

1 11 1

1 1

2

1 1

2

1 1

1 1 1 1

2

1 1

2

22

2

22

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑ ∑∑∑∑

= == =

= == =

= == == =

= = = == =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

r

i

c

j

......r

i

c

j

.j.

...r

i

c

j

..i.j.r

i

c

j

..i

r

i

c

j

....ijr

i

c

j

.j.r

i

c

j

..i

r

i

c

j

r

i

c

j

.j..ij..i.ijr

i

c

j

.ij

rcny

nrcny

nry

n

rcny

cny

nnr

ycny

n

rcny

ny

ncny

ncny

n

nry

ny

ncny

ny

nn

yn

rcny

rcny

rcny

rcny

rcny

nr

y

cn

y

nr

y

cn

y

n

y

...............

c

j.j.

r

i..i

c

j.j.

r

i..i

r

i

c

j.ij

22222

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1

2

2222

22

+−−++

++−−=∑∑∑∑∑∑===== =

rcny

nr

y

cn

y

n

y...

c

j.j.

r

i..i

r

i

c

j.ij 2

1

2

1

2

2 1

2

+−−=∑∑∑∑=== = (2.12d)

( )BKJKJKKJKBJKTJKG −−−= (2.12e)

Jumlah-jumlah kuadrat tersebut diatas dapat diringkas dalam tabel anova untuk

memudahkan analisis

Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi

Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F hitung

Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 2

4211 ssf =

Kolom JKK 1−c ( )12

2 −= cJKKs 24

221 ssf =

Interaksi ( )BKJK ( )( )11 −− cr ( ) ( )( )112

3 −−= crBKJKs 24

231 ssf =

Galat JKG ( )1−nrc ( )12

4 −= nrcJKGs

Total JKT 1−rcn


54

Langkah-langkah pengujian hipotesis


a. 0...: 210 ====′ rH ααα .

1H ′ : 0≠∃ iα .

b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .

1H ′′ : 0≠∃ jβ .

c. ( ) ( ) ( ) 0...: 12110 ====′′′ rcH αβαβαβ .

:1H ′′′ ( ) 0≠∃ ijαβ .

2. Tentukan α .

3. Wilayah kritis

a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α

b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α

c. 0H ditolak bila ( )( ) ( )[ ]1113 −−−> nrc,crff α

4. Perhitungan.


6. Kesimpulan.


55

5. Contoh Analisis variansi

Tiga varitas kentang hendak dibandingkan hasilnya. Percobaan hendak

dilaksanakan dengan menggunakan 9 petak yang seragam di masing-masing 4

lokasi yang berbeda. Dari setiap lokasi setiap varitas dicobakan pada 3 petak yang

ditentukan secara acak. Hasilnya dalam kwintal per petak adalah sebagai berikut.

Tabel 2.7 Hasil perbandingan tiga varietas kentang dengan empat lokasi

Varitas Kentang

Lokasi A B C

1 15 20 22

19 24 17

12 18 14

2 17 24 26

10 18 19

13 22 21

3 9 12 10

12 15 5

6 10 8

4 14 21 19

8 16 15

11 14 12

Gunakan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa:

a. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 3 varitas kentang yang berbeda.

b. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 4 lokasi yang berbeda.

c. Tidak intraksi antara lokasi dan varitas kentang.


56

Penyelesaian:

Model analisis variansi adalah

( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++=


a. 0H ′ : 04321 ==== αααα .

1H ′ : 0≠∃ iα .

b. 0H ′′ : 0321 === βββ .

1H ′′ : 0≠∃ jβ

c. 0H ′′′ : ( ) ( ) ( ) 0... 431211 ==== αβαβαβ .

1H ′′′ : ( ) 0≠∃ ijαβ .

2. 05,0=α

3. Wilayah kritis

a. 0H ditolak bila ( ) 01,324,305,0 => ff

b. 0H ditolak bila ( ) 40.324,205,0 => ff

c. 0H ditolak bila ( ) 51,224,605,0 => ff

4. Perhitungan

A B C total

1 46 62 53 161

2 40 64 66 170

3 27 37 23 87

4 33 51 46 130

total 146 214 188 548

36)548(1215198

510211926141722141621101512221824182420

118146129131017121915

22222

2222222222

2222222222

222222222222

−++++

++++++++++

++++++++++

+++++++++++=JKT

23,100078,83419342 =−=


57

22,48678,83418810

36548

913087170161 22222

=−=

−+++

=JKB

22,19678,83418538

36548

12188214146 2222

=−=

−++

=JKK

( )

45,7878,38418538818067,9084

78,8341853888103

46233

66535137646233274046

22

2222222222

=+−−=

+−−+

+

+++++++++=BKJK

33,25745,7822,19622,46823,1000 =−−−=JKG

5. tabel anova Tabel 2.8 Analisis Variansi dari data 2.7

Sumber Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah hitungF

Baris 3 468,22 156,07 14,56

Kolom 2 196,22 98,11 9,15

Interaksi 6 78,45 13,08 1,22

Galat 24 257,33 10,72

Total 35 1000,23

6. Kesimpulan

a. 0H ditolak karena 01,356,14 >

berarti ada pengaruh pada hasil 3 varitas kentang.

b. 0H ditolak karena 40,315,9 >

berarti ada pengaruh pada hasil 4 lokasi.

c. 0H diterima karena 51,222,1 <

berarti tidak ada interaksi antara lokasi dengan varietas kentang.


58

B. Analisis Regresi

Istilah regresi diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) seorang

ahli antropolog dari Inggris, mengenai sifat-sifat keturunan dalam biologi. Galton

mengungkapkan bahwa , ayah-ayah yang jangkung akan mempunyai anak laki-

laki yang jangkung pula, tetapi secara rata-rata tidaklah sejangkung ayah-ayah

mereka. Begitu pula ayah-ayah yang pendek akan mempunyai anak laki-laki yang

pendek juga, tetapi secara rata-rata tidaklah sependek ayah-ayah mereka, namun

selalu lebih mediaker (lebih mendekati rata-rata). Dengan demikian ada

kecenderungan bahwa secara rata-rata sifat-sifat beberapa kelompok tertentu pada

generasi selanjutnya akan bergerak kearah rata-rata populasi (tidak tepat sama

dengan generasi sebelumnya).

Regresi merupakan tempat kedudukan rata-rata populasi nilai suatu

variabel, misalnya nilai Y , untuk berbagai nilai atau selang nilai variabel yang

lain misalnya X , tempat kedudukan ini dapat berupa garis lurus atau kurva

tertentu lainnya yang disebut garis regresi Y pada X .

1. Model Regresi Linier Sederhana

Misal terdapat hubungan antara y dan x benar-benar linier maka

hubungan itu dapat ditulis sebagai

iii xy εββ ++= 10 ( 2.13)

dimana

iy = adalah variabel tak bebas atau variabel dependent

ix = adalah variabel bebas atau variabel independent


59

10 , ββ = adalah koefisien regresi

ε = adalah penyimpangan atau galat

Setiap pengamatan iy merupakan sampel random dari suatu populasi normal

dengan nilai rata-rata ix10 ββ + dan simpangan baku σ .

Asumsi dasar regresi linier :

1. Keaditifan artinya pengaruh komponen-komponen ruas kanan persamaan

(2.13) adalah saling menambah (linier).

2. Kehomogenan variansi artinya variansi antar pengamatan sama.

3. Kenormalan artinya pengamatan berasal dari populasi yang menyebar

normal.

Anggapan pertama sangat penting untuk memudahkan dalam penafsiran data.

Kehomogenan variansi diperlukan untuk menghasilkan penduga tak bias variansi

minimum melalui metode kuadrat terkecil. Anggapan kenormalan diperlukan

dalam inferensia statistika. Dengan kenormalan maka tata cara pengujian yang

baku dapat dilakukan dan tabel-tabel distribusi yang telah tersedia dapat

digunakan.

Apabila model linier telah dianggap tepat untuk menerangkan hubungan

antara Y dengan X maka langkah selanjutnya adalah pendugaan parameter 0β

dan 1β . Pendugaan kedua parameter ini dapat dibayangkan sebagai upaya untuk

memilih garis regresi “terbaik” pada diagram pencar, yaitu yang membuat jumlah

kuadrat penyimpangan terhadap pengamatan sekecil-kecilnya. Metode ini disebut

metode Kuadrat Terkecil.


60

2. Metode Kuadrat Terkecil

Misalkan niyx ii ,...,2,1),,( = data sampel dan akan ditentukan koefisien

regresi 0β dan 1β sedemikian hingga meminimumkan

( ) ( )∑∑∑===

−−=−==n

iii

n

iii

n

ii xyyyS

1

210

2

11

2 ˆ ββε (2.14)

Jumlah kuadrat galat minimum diperoleh dengan menurunkan secara parsial

terhadap 0β dan 1β yaitu 00

=∂∂βS dan 0

1

=∂∂βS

Turunkan terhadap 0β , maka diperoleh

( )0

0

1

210

0

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂=

∂∂ ∑

=

β

ββ

β

n

iii xy

S

( )∑−

=−−−n

iii xbby

110 02

021 1 1

10 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−− ∑ ∑ ∑

= = =

n

i

n

i

n

iii xbby

01 1

10 =−−∑ ∑= =

n

i

n

iii xbnby

∑ ∑= =

=+n

i

n

iii yxbnb

1 110 (2.15)

Turunkan terhadap 1β , maka diperoleh

( )0

1

1

210

1

=∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∂=

∂∂ ∑

=

β

ββ

β

n

iii xy

S


61

( ) 02 10 =−−−∑ iii xxbby

021 1 1

210 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−− ∑ ∑ ∑

= = =

n

i

n

i

n

iiiii xbxbyx

∑ ∑∑= ==

=−−n

i

n

i

n

ixbxbxy

1 11

10 0

∑∑∑===

=+n

iii

n

ii

n

ii yxxbxb

11

21

10 (2.16)

Bila dinyatakan dalam n

xx

n

ii∑

== 1 dan n

yy

n

ii∑

== 1 maka persamaan (2.15) dan

(2.16) akan diperoleh

xbyn

xb

n

yb

n

ii

n

ii

11

11

0 −=−=∑∑== (2.17)

∑ ∑∑= ==

=−−n

i

n

ii

n

iiii xbxbxy

1 1

21

10 0

( ) 0211 =−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ∑∑∑∑∑ ii

iiii xbx

nx

bny

xy

0211 =−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−∑ ∑∑ ∑∑ ∑

iiiii

ii xbn

xxb

nxy

xy

0211 =−+− ∑∑ ∑∑ ∑∑ i

iiiiii xb

nxx

bn

xyxy

( ) ( )

02

21 =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−− ∑∑∑ ∑∑ nx

xbn

xyxy i

iii

ii


62

( ) ( )

( )nx

x

nx

yxyb

ii

iiii

2

2

1

∑∑

∑∑∑

−

−= (2.18)

Penduga persamaan regresi dapat ditulis

( )xxbyxbxbyxbby iiii −+=+−=+= 11110ˆ (2.19)

Sekarang perhatikan kesamaan berikut:

( ) ( ) ( )iiii yyyyyy ˆˆ −+−=−

Ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan dijumlahkan akan diperoleh

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )( )∑ ∑ ∑

∑ ∑

= = =

= =

−−+−+−=

−+−=−

n

i

n

i

n

iiiiii

n

i

n

iiiii

yyyyyyyy

yyyyyy

1 1 1

22

1 1

22

ˆˆ2ˆˆ

ˆˆ (2.20)

Perkalian silang yang terakhir pada persamaan (2.20) adalah

( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −−−=−− iiiiiiii yyyyyyyyyy ˆˆˆˆˆ

Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol menurut persamaan (2.15) adalah

( ) ( ) 0ˆ 10 =−−=−∑ ∑ iiii xbbyyy

Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena

( ) ( )( )( ) ( )

( )00

ˆˆ

ˆˆˆ

101

10

10

=

−−+=

−+−=

−+=−

∑∑ ∑

∑ ∑

iii

iiiii

iiiiii

xxbbyb

xyybyyb

yyxbbyyy

Jadi persamaan (2.10) dapat ditulis kembali sebagai

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ iiii yyyyyy (2.21)


63

Persamaan (2.21) merupakan persamaan dasar dalam analisis regresi dan analisis

variansi. Ruas kiri disebut Jumlah Kuadrat Total (JKT) menyatakan jumlah

penyimpangan Y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut

Jumlah Kuadrat Regresi (JKR), merupakan variansi respons disekitar nilai rata-

ratanya. Bagian kedua ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Galat (JKG), bagian ini

mengukur galat dari variansi total (JKT) yang tidak dapat diterangkan oleh X

atau bagian yang sifatnya acak. Jadi persamaan (2.21) dapat ditulis sebagai

JKT=JKR+JKG

Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar

dibandingkan dengan JKG. Bila JKR membesar maka JKG mengecil, dan

sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Untuk menentukan apakah pengaruh suatu

variabel bebas X besar atau kecil terhadap variabel respon Y diperlukan

pembanding baku. Pembanding tersebut tidak dipengaruhi oleh baik buruknya

model yang digunakan. Pembanding baku tersebut adalah penduga tak bias dari

2σ , variansi ε . Umumnya 2σ tidak diketahui, jadi harus diduga dari sampel.

Penduga 2σ yang tidak bias dapat diperoleh dari jumlah kuadrat galat yaitu

(JKG)/(n-2) disebut Rata-rata Kuadrat Galat. Rata-rata kuadrat galat hanya akan

menduga tanpa bias bila model yang digunakan tepat. Bila model yang digunakan

keliru maka akan menduga dengan bias. Jadi penggunaan rata-rata kuadrat galat

sebagai penduga selalu dengan anggapan bahwa modelnya telah tepat.


64

Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk regresi Linier Sederhana

Sumber Jumlah Kuadrat db Rata-rata kuadrat F

Regresi ( )∑ −= 2ˆ yyJKR i 1 RKR=JKR/1 RKGRKRF =

Galat ( )∑ −= 2ˆ ii yyJKG

n-2 RKG=JKG/(n-2)

Total ( )∑ −= 2yyJKT i n-1

Pada kolom keempat memberikan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat bebas

untuk regresi dan galat. Tidak dituliskan jumlahnya pada baris total karena hal itu

tidak berlaku bagi JKT. Dalam praktek akan menghitung rasio RKR/RKG. Bila

rasio lebih besar dari 1 secara berarti (significant) maka disimpulkan bahwa

0≠β . Bila rasio sama dengan 1 maka kesimpulannya 0=β yaitu X tidak

mempengaruhi respon Y . Dalam prakteknya kendati 0=β tidak mengharapkan

RKR/RKG tepat sama dengan 1 disebabkan fluktuasi sampel sehingga rata-rata

RKR/RKG akan berfluktuasi disekitar 1. Untuk menentukan apakah rasio ini

sama atau lebih besar 1 digunakan bantuan tabel t atau tabel F. Rasio RKR/RKG

mempunyai distribusi F dengan derajat bebas 1 dan n-2. Yang pertama derajat

bebas pembilang dan yang kedua derajat bebas penyebut. Dengan demikian dapat

didefinisikan statistik uji

( )( ) ( )∑∑

−−

−==

2/ˆ1/ˆ

2

2

nyy

yyRKGRKRF

ii

i (2.22)

Nilai F sering pula disebut F hitung, kemudian dibandingkan F tabel.


65

3. Model Regresi Berganda

Dengan bertambah banyaknya variabel bebas yang disertakan dalam suatu

model regresi berganda, notasi yang dipergunakan dalam menganalisis model ini

akan menjadi bertambah kompleks. Oleh karena itu untuk memudahkan penulisan

dan pemeriksaan sifat regresi berganda, pendekatan yang digunakan adalah

dengan menggunakan notasi matriks.

Definisi:

Suatu model yang menghubungkan variabel tak bebas Y pada suatu himpunan

varibel bebas { }kx,...,x,x 21 yaitu

εββββ +++++= kk x...xxy 22110 (2.23)

disebut statistik linier.

Data yang diperoleh untuk menduga model berasal dari n individu dengan nilai

pengamatan sebagai berikut:

Nilai Pengamatan

Pengamatan y 1x 2x … kx

1 1y 11x 12x … kx1

2 2y 21x 22x … kx2

Μ Μ Μ Μ Μ

n ny 1nx 2nx … nkx

Keseluruhan pengamatan diatas masing-masing memenuhi model (2.23) dan

memberikan bentuk persamaan berikut:


66

1112211101 ... εββββ +++++= kk xxxy

2222221102 ... εββββ +++++= kk xxxy (2.24)

…………………………………………

nnkknnn xxxy εββββ +++++= ...22110

Secara umun persamaan regresi berganda dapat diringkas menjadi

ikikiii x...xxy εββββ +++++= 22110 (2.25)

Persamaan (2.25) dapat ditulis lebih sederhana dengan notasi matriks menjadi

εXβY += (2.26)

atau

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ny

yy

Μ2

1

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nknn

k

k

xxx

xxxxxx

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

21

22221

11211

1

11

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

kβ

ββ

Μ1

0

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nε

εε

Μ2

1

Pendugaan nilai parameter β dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat

terkecil, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat simpangan antara nilai-

nilai pengamatan niYi ,.....,1, = terhadap nilai-nilai harapannya,

( ) niYE i ,.....,1, = . Dengan ( )YEYe −= maka jumlah kuadrat simpangan adalah

∑=

=n

i 1ee'e2

( )( ) ( )( )YEYYEY −′−=

( ) ( )XbYXbY −′−=

( )( )XbYX'b'Y' −−=

XbX'b'YX'b'-XbY'YY' +−=


67

XbX'b'YX'b'YX'b'YY' +−−=

karena YX'b' adalah skalar maka

XbX'b'YX'2b'YY' +−=

Penentuan nilai-nilai dugaan b dari parameter-parameter yang meminimumkan

ee' dengan mencari turunan parsial pertama ee' , terhadap setiap unsur dari β ,

dan menyamakan dengan nol, kemudian menyelesaikan persamaan yang

diperoleh.

( ) 0=∂

∂bee'

( ) 0=∂

+−∂b

XbX'b'YX'2b'YY'

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

−∂

∂b

XbX'b'b

YbX'2bYY'

Proses penurunan terhadap b dapat dilihat pada lampiran 2.

00 =+− X2bX'Y2X'

Xb2X'Y2X' =

XbX'YX' =

( ) ( )YX'XX'b 1−= (2.27)

* Pendugaan terhadap 2σ

Dengan notasi βXY ˆˆ = untuk menyatakan vektor nilai dugaan Y, maka dugaan

simpangan itu disebut sebagai Galat. Jumlah kuadrat galat (JKG) adalah

( )∑=

−=n

1i

2YY ˆJKG


68

( ) ( )YYYY ˆˆ −′

−=

( )( )YY'YY' ˆˆ −−=

( ) ( )XbYXbY' −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′−=

( )( )XbYX'b'Y' −−=

( )( ) ( )( )( )YX'XX'XYX'YX'XX'Y' 11 −− −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−=

( )( ) ( )( )YX'XX'XYX'XX'XY'Y' 11 −− −−=

( )( ) ( )( )YX'XX'XIX'XX'XIY' 11 −− −−=

( )( ) ( ) ( )( )YX'XX'XX'XX'XX'XX'2XIY' 111 −−− +−=

( ) ( )( )YX'XX'XX'XX'2XIY' 11 −− +−=

( )( )YX'XX'XIY' 1−−=

( ) YX'XX'XY'YY' 1−−=

YX'b'YY' −=

Akan ditunjukkan bahwa 11

2

−−=

−−=

knJKG

kne'es adalah penduga tak bias

untuk 2σ . Karena ( ) ( )JKGEknkn

e'eJKGE1

11 −−=

−−= dengan menemukan

( )JKGE maka akan terlihat bahwa ( ) 22 σ=sE

Diketahui ( ) XbYE = dan Var-Cov ( )Y = I2σ sehingga

( ) ( ) AXbXbIAtrAYYE ''' 2 += σ


69

diperoleh

( ) ( )( )( )Y'XX'XXI'YEJKGE 1−−=

( )( ){ } ( )( )XbXXXXIXbIXXXXItr '''''' 121 −− −+−= σ

( )( ) 021 +−= − IXX'XXIr σ

( )( ) 2σXrn −= dimana ( ) 1+= kXr

( )( ) 21 σ+−= kn

disimpukan bahwa penduga 2σ adalah

( )( )1

ˆ 2

+−=

knJKGEσ ( ) 1

'''1 −−

−=

+−=

knYXbYY

knJKG

Untuk selanjutnya 2σ dinotasikan dengan 2s

4. Pengujian Hipotesis

Untuk tujuan pengujian ini karena kita ingin mengetaui kesamaan dari penduga

keseluruhan, maka dilakukan dengan metode analisis variansi.

0...: 210 ==== kH βββ

0:1 ≠∃ jH β

Tabel 2.10 Analisis Variansi untuk Regresi Berganda

Sumber

Variansi

db Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Tengah

hitungF

Regresi k JKR KTR ( )KTGKTRf :=

Galat 1−− kn JKG KTG

Total 1−n JKT


70

Dimana:

2YnJKR −= YX'b' JKRJKTJKG −= 2YnJKT −= YY'

kYnKTR

2−=

YX'b' 1−−

−=

knJKRJKTKTG faktor koreksi = 2Yn

Statistik ini digunakan untuk menguji hipotesis dan pengujiannya disebut uji F.

Jika ( )1−−< kn,kFFhitung α 0H diterima yang berarti bahwa 021 === ...ββ

( )1−−> kn,kFFhitung α 0H ditolak berarti paling tidak ada satu yang tidak sama.

C. Matriks Tak Singular

Definisi tak Singular :

Jika A adalah matriks bujur sangkar, dan jika terdapat matriks B yang berukuran

sama sedemikian rupa sehingga IBAAB == , maka A disebut dapat dibalik

(invertible) atau matriks tak singular, dan B disebut sebagai invers dari A . Jika

matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.

Definisi Basis :

Jika V adalah suatu ruang vektor sebarang dan { }rvvvS ,...,, 21= adalah suatu

himpunan vektor-vektor pada V , maka S disebut basis untuk V jika dua syarat

berikut berlaku :

a. S bebas linier.

b. S merentang V .

Definisi Bebas Linier :

Jika { }rvvvS ,...,, 21= adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka

persamaan vektor

0...2211 =+++ rr vkvkvk

Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu


71

0,...,0,0 21 === rkkk

Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpuan bebas linier

(linierly independent). Jika terdapat solusi-solusi lain maka S disebut sebagai

himpunan tidak bebas linier (linierly dependent).

Definisi Merentang :

Jika { }rvvvS ,...,, 21= adalah himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor

V , maka subruang W dari V yang terdiri dari semua kombinasi linier vektor-

vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang (space spnned) oleh

rvvv ,...,, 21 dan vektor-vektor rvvv ,...,, 21 merentang (span) W . Untuk

menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada

himpunan { }rvvvS ,...,, 21= ditulis dengan

W = rentang ( )S atau = rentang

Definisi Kombinasi Linier :

Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linier (linier combination) dari vektor-

vektor rvvv ,...,, 21 jika dapat dinyatakan dalam bentuk

rr vkvkvkw +++= ...2211

di mana rkkk .....,,, 21 adalah skalar.

Definisi Dimensi :

Dimensi dari ruang vector V yang berdimensi berhingga, dinotasikan dengan

( )Vdim , didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untukV .

Selain itu mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.

Definisi Rank :

Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut

rank dari A dan dinyatakan sebagai Arank ; Dimensi ruang nol dari A disebut

sebagai nulitas (nullity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(A).


72

Teorema 2.2

Jika A adalah matriks nn× , maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu

sama lain.

a. A matriks tak singular.

b. 0=Ax hanya mempunyai pemecahan trivial.

c. A ekivalen baris dengan nI .

d. bAx = konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran 1×n .

e. ( ) 0det ≠A

f. A mempunyai rank n

g. Vektor-vektor baris A bebas linier.

h. Vektor-vektor kolom A bebas linier.

Akibat 1:

Matriks A adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang mempunyai

invers, maka ( ) 0det ≠A , sehingga matriks tersebut mempunyai ( ) nArank = .

Karena A mempunyai rank n, maka ruang baris dari A berdimensi n, sehingga

vektor-vektor baris A bebas linier.


73

BAB III

PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI

Dalam mendapatkan suatu penyelesaian ( ) YXXXb 1 ′′= − , bagi persamaan

normal ( ) YXbXX ′=′ , maka disyaratkan matriks XX′ bersifat tidak singular.

Berdasarkan akibat 1, berarti persamaan normalnya harus terdiri atas persamaan-

persamaan yang bebas satu sama lain yang banyaknya sama dengan banyaknya

parameter yang harus diduga. Tetapi kalau datanya berasal dari suatu percobaan

yang terancang perlu berhati-hati dan memeriksa bahwa semua persamaan itu

bebas, atau tidak. Kalau ternyata tidak bebas perlu mengambil langkah-langkah

yang diperlukan untuk memperoleh nilai dugaan.

Suatu metode yang digunakan untuk menganalisis data dari percobaan

yang terancang adalah metode analisis variansi (Analysis of Variance). Sebagian

peneliti belum menyadari bahwa setiap masalah analisis variansi dengan pengaruh

tetap (fixed-effects) atau model I, dapat diselesaikan melalui regresi secara umum

kalau modelnya diidentifikasi secara benar dan kalau langkah-langkah

pencegahan telah diambil agar diperoleh persamaan normal yang bebas. Bukan

suatu keharusan bahwa masalah analisis variansi dengan pengaruh tetap

diselesaikan melalui pendekatan regresi, tetapi hanya menunjukkan bahwa

melalui pendekatan regresi analisis variansi dapat diselesaikan, kalau langkah-

langkah yang benar telah diambil dalam menangani masalah tersebut. Salah satu

alasan yang mendasari adalah bahwa model analisis variansi mempunyai model,

dan hanya model tersebutlah yang menjadi dasar pembuatan tabel analisis


74

variansi. Dengan mengetahui bahwa analisis variansi dan analisis regresi setara

keduanya memerlukan model dalam memperoleh tabel analisis variansi.

Suatu ciri model analisis variansi adalah model analisis ini

terparameterisasikan secara berlebih, artinya model ini mengandung lebih banyak

parameter daripada yang dibutuhkan untuk mempresentasikan pengaruh-pengaruh

yang diinginkan. Parameterisasi berlebihan biasanya dikompensasi dengan

membuat kendala terhadap parameter-parameternya. Pendekatan regresi terhadap

analisis variansi mengharuskan pembuatan variabel boneka. Dengan memberi

nilai 1 atau 0 apabila pengamatan masuk dalam kategori atau tidak. Aturan yang

berlaku adalah bila suatu variabel kualitatif mempunyai m kategori, maka

banyaknya variabel boneka yang dibutuhkan adalah 1−m .

A. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Satu Arah

Model analisis variansi untuk klasifikasi satu arah adalah

ijiijy εαμ ++= k,...,,i 21= n,...,,j 21= (3.1)

Dimana :

ijy = pengamatan ke j dalam populasi ke i.

μ = rata-rata total.

α = rata-rata kelompok ke i.

ε = galat.

sehingga persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk regresi menjadi

εβ += XY

εααμ ++++= kk x...xx 110 (3.2)


75

kxxxx Λ210

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

kn

k

k

n

n

y

yy

y

yy

y

yy

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

=

1001

10011001

0101

01010101

0011

00110011

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

ΜΜΜΜ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kα

ααμ

Μ2

1

β

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

kn

k

k

n

n

ε

εε

ε

εε

ε

εε

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

ε

Jika diperhatikan matriks X maka terlihat bahwa jumlah elemen kolom kedua

sampai dengan elemen kolom ke k adalah kolom pertama, jadi kolom-kolom

matriks ini tidak bebas satu sama lain. Karena itu XX′ singular sehingga

persamaan normalnya tidak memberikan jawaban yang tunggal untuk parameter

yang ingin diduga. Agar persamaan normal mempunyai jawab yang tunggal maka

kendala tambahan perlu dimasukkan. Kendala yang memberikan jawaban seperti

itu adalah

0...2211 =+++ kknnn ααα (3.3)


76

maka persamaan normalnya menurut metode kuadrat terkecil adalah

( ) YXbXX ′=′

dapat ditulis sebagai

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

.

.22

.11

..

2

1

0

22

11

21

...00

0...00...0

...

kkkk

k

yn

ynynyn

b

bbb

nn

nnnn

nnnn

ΜΜΜΜΜΜ

dan

.0

.222202

.111101

..22110 ...

kkkkk

kk

ynbnbn

ynbnbnynbnbn

ynbnbnbnnb

=+

=+=+=++++

ΜΜ (3.4)

Persamaan (3.4) dapat disederhanakan

Baris pertama akibat persamaan (3.3) menjadi

..0 ynnb = atau ..0 yb = (3.5)

masukkan ..0 yb = pada baris ke 2, 3, dan seterusnya maka diperoleh

...

...22

...11

yyb

yybyyb

kk −=

−=−=

Μ (3.6)

Penduga iβ adalah ib yaitu rata-rata kolom ke i dikurangi rata-rata keseluruhan.

Untuk membuat tabel analisis variansi harus dicari dulu .ˆ iy Dari persamaan (3.1)

dan (3.6) diperoleh

........ˆ iiiij yyyybyy =−+=+= (3.7)


77

2...

11 1

2...

1 1

2.. )()ˆˆ()ˆ( yynyyyyJKR i

k

i

k

i

n

ji

k

i

n

jij −=−=−= ∑∑∑∑∑

== =− =

(3.8)

Secara umum bila ada r kelompok maka dapat mengambil 1−r variabel boneka

menjadi

⎩⎨⎧

=

⎩⎨⎧

=

lainkelompokmasukbila0,rkelompokmasukpengamatanbila1,

lainkelompok masuk bila0,2kelompokmasukpengamatanbila1,

2

rx

.

.

.

x

k20 x..xx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kn

k

k

n

n

y

yy

y

yyy

yy

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

101

101101

011

011011001

001001

...

...

...

..

...

...

...

...

...

ΜΜ

ΜΜΜ

ΜΜΜ

ΜΜΜ

X

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ka

aa

Μ2

0

b

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kn

k

k

n

n

ε

εε

ε

εεε

εε

ε

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11


78

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

kk

k

n...n

...nn

...nnn...nnn

00

0000

33

22

32

ΜΜΜΜXX

Sehingga inversnya adalah

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

+−

−−−

=′ −

k

kk

3

31

2

21

1

1

nnn

...111

1

1...n

nn11

1...1n

nn1

1...111

n1

ΜΜΜ

XX

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′

∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

= =

n

jkj

n

jj

n

jj

k

i

n

jij

y

y

y

y

1

13

12

1 1

Μ

YX ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=′′=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= −

.1.

.1.3

.1.2

.1

2

1

0

yy

yyyy

y

a

aaa

kkϖ

ΜΜYXXXb 1

Bila pengaruh kelompok dinyatakan dalam kbbb ...,,, 21 maka

.......1.1

...2...1.1.2122

...1..01

)()(

)()(

yyyyyybab

yyyyyybabyyyab

kkkkk −=−+−=+=

−=−+−=+=−=−=

Μ


79

B. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Dua Arah tanpa Interaksi

Model Anova untuk klasifikasi dua arah adalah

ijjiijy εβαμ +++= (3.9)

bila ditulis dalam lambang matriks menjadi

εβ += XY

εβααμ ++++++= ccrr x...x...xx 110 (3.10)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rc

r

r

c

c

y

yy

y

yy

y

yy

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

=

1001001

01010010011001

1000101

01001010010101

100

010001

001

001001

1

11

ΛΛΜΜΜΜΜΜΜ

ΛΛΛΛ

ΛΛΜΜΜΜΜΜΜ

ΛΛΛΛ

4 84 76

ΜΜΜ

4 84 76

ΜΜΜΜ

...............................................

...

...

...

...

...

...cr

X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

c

r

β

βα

αμ

Μ

Μ

1

1

β

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rc

r

r

c

c

ε

εε

ε

εε

ε

εε

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

ε

Untuk kolom-kolom matriks X tidak bebas satu sama lain sehingga matriks XX′

singular. Maka persamaan normal ( ) YXbXX ′=′ tidak memberikan jawaban

yang tunggal. Untuk mendapatkan jawaban yang tunggal perlu ditambahkan

kendala


80

01

=∑=

r

iiα 0

1=∑

=

c

jjβ (3.11)

Dengan persamaan (3.11) persamaan normalnya mempunyai jawab yang tunggal.

Misal ,â,ˆb ii αμ ==0 dan jjˆb β= masing-masing adalah penduga βαμ ,,

sehingga persamaan normalnya menjadi

∑ ∑ ∑∑= = = =

=++r

i

c

j

r

i

c

jijji ybracbrc

1 1 1 10

∑ ∑= =

=++c

j

c

jjj ybcacb

1 1110

∑∑==

=++c

jj

c

jj ybcacb

12

120

Μ (3.12)

∑∑==

=++c

jrj

c

jjr ybcacb

110

∑ ∑= =

=++r

i

r

iii yrbarb

1 1110

Μ

∑∑==

=++r

iic

r

iji yrbarb

110

Persamaan (3.12) dapat disederhanakan menjadi

Baris pertama akibat kendala (3.11) menjadi

..

r

i

c

jij

yrc

yb ==

∑∑= =1 1

0

Baris kedua akibat kendala ∑=

=c

jjb

10 menjadi


81

...

c

jj

yyc

cbya −=

−=∑=

11

01

1

Baris ke i menjadi

..ir yya −= 1

karena ∑=

=r

iia

10 , baris ke 1+r sampai baris terakhir persamaan (3.12) menjadi

....

i

yybyr

rbyb −=−=

−=∑

101

01

1

Μ

..c.j yyb −=

Jadi jawab persamaan normal (3.12) adalah

..yˆb == μ0

...iii yyâ −==α

..j.jj yyˆb −== β (3.13)

Penduga ijy diperoleh dengan mengganti semua parameter dalam persamaan

Anova dua arah dengan persamaan (3.13) akan diperoleh

ji..ij bayy ++= (3.14)

( )∑∑= =

−=r

i

c

j..ij yyJKR

1 1

2

( )∑∑= =

+=r

i

c

jji ba

1 1

2


82

( ) ( ){ }∑∑= =

−+−=r

i

c

j..j....i yyyy

1 1

2

( ) ( )( ) ( )∑∑∑∑∑∑= == == =

−+−−+−=r

i

c

j..j...j.

r

i

c

j...i

r

i

c

j...i yyyyyyyy

1 1

2

1 11 1

2 2

karena ( )( ) 021 1

=−−∑∑= =

..j.

r

i

c

j...i yyyy maka

( ) ( )∑∑==

−+−=c

j..j.

r

i...i yyryycJKR

1

2

1

2 (3.15)

Secara umum bila ada r baris dan c kolom maka banyaknya variabel boneka

adalah ( )1−r untuk baris dan ( )1−c untuk kolom.

Bentuk variabel boneka dari masing-masing faktor adalah

1. Faktor Baris

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−

lainyang0barismasukpengamatanbila1

1barismasukpengamatanbila1

lainyang0,barimasukpengamatanbila1,

1barismasukpengamatanbila1,

1

1

,r,r,

x

.

.

.

rsx

r

2. Faktor Kolom


83

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−

lainyang0kolommasukpengamatanbila1

1kolommasukpengamatanbila1



1

1

,c,c,

x

.

.

.,

c,,

x

c

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rc

r

r

c

c

y

yy

y

yy

y

yy

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

=

−−

10

0100

10

1010

1

11

10

0100

01

0101

1

11

11

0100

00

0000

1

11

11

...

...

...

...

...

...

.................................

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...cr

ΜΜΜΜΜ

ΜΜΜΜΜ

484 76

ΜΜ

484 76

ΜΜΜ

----------------

X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

c

r

β

βα

αμ

Μ

Μ

1

1

β

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rc

r

r

c

c

ε

εε

ε

εε

ε

εε

Μ

Μ

Μ

Μ

2

1

2

22

21

1

12

11

ε


84

C. Pendekatan Regresi terhadap Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi

Model Anova klasifikasi dua arah dengan interaksi adalah

( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++= (3.16)

r,...,,i 21= c,...,,j 21= n,...,,k 21=

Bila ditulis dalam matriks menjadi

εβ += XY

( ) εαββααμ ++++++++= rcrcccrr x...x...x...xx 110 (3.17)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rcn

r

r

cn

cn

y

yy

y

yy

y

yy

Μ

Μ

Μ

Μ

21

11

2

221

211

1

121

111

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

1...00

0...000...00

1...00

0...100...01

1...00

1...001...00

1

11

.......................................................................

0...00

0...000...00

1...00

0...100...01

0...10

0...100...10

1

11

0...00

0...100...01

1...00

0...100...01

0...01

0...010...01

1

11

ΜΜΜΜΜΜΜΜΜΜ


4 84 76

ΜΜΜ

4 84 76

ΜΜΜ

4 84 76

ΜΜΜΜ

rccr

X


85

( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

rc

c

r

αβ

αββ

βα

αμ

β

Μ

Μ

Μ

11

1

1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rcn

rr

cn

cn

ε

εε

ε

εε

ε

εε

ε

Μ

Μ

Μ

Μ

2111

1

221121

1

121111

Agar didapatkan penyelesaian normal yang tunggal diperlukan kendala

∑=

=r

ii

10α ∑

−

=c

jj

10β ( )∑

=

=r

iij

10αβ ( )∑

=

c

jij

1αβ (3.18)

Untuk mendapatkan penduga bagi parameter dalam persamaan (3.16) dengan

menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan jumlah kuadrat

galat. Misal penduganya adalah μb =0 , ii â α= , jjˆb β= dan ( )ijij

ˆˆg βα= masing-

masing penduga untuk βαμ ,, dan ( )αβ .

Dengan kendala (3.18) maka diperoleh

...yˆb == μ0

.....iii yyâ −==α

....j.jj yyˆb −== β


86

( ) ....j...i.ijij.ij yyyyˆˆg +−−== βα

Dengan demikian penduga ijky adalah

( ) ( ) ( ) .ij....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyyy =+−−+−+−+=

( )

( )

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

= = == = == = =

= = =

= = =

+−−+−+−=

−=

−=

r

j

c

j

n

k....j...i.ij

r

i

c

j

n

k....j.

r

i

c

j

n

k.....i

r

i

c

j

n

j....ij

r

i

c

j

n

k...ijk

yyyyyyyy

yy

yyJKR

1 1 11 1 11 1 1

1 1 1

1 1 1

2

Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑= ==== = =

+−−+−+−=−r

i

c

j....j...i.ij

c

j....j.

r

i.....i

r

i

c

j

n

k....ij yyyynyynryycnyy

1 1

2

1

2

1

2

1 1 1

2

……………………………………………………………………… (3.19)

Untuk merubah persamaan (3.16) kedalam bentuk regresi dibutuhkan variabel

boneka karena variabel bebasnya bersifat kualitatif. Nilai dari variabel boneka

adalah 1,0 dan -1. banyaknya variabel boneka adalah ( )1−r untuk faktor baris

dan ( )1−c untuk faktor kolom. Jadi dalam model regresi akan terdapat ( )1−r

parameter iα dan ( )1−c parameter jβ . Sedangkan untuk interaksinya banyaknya

variabel boneka sebanyak ( )1−r dikali dengan ( )1−c .


87

Bentuk variabel boneka dari masing-masing faktor adalah

1. Faktor Baris

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−

lainyang0barismasukpengamatanbila1

1barismasukpengamatanbila1

lainyang0barimasukpengamatanbila1,

1barismasukpengamatanbila1,

1

1

,r,r,

x

.

.

.,

rsx

r

2. Faktor Kolom

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−





1

1

,c,c,

x

.

.

.,

c,,

x

c

3. Faktor Interaksi

Untuk interaksi adalah hasil kali suku-suku faktor baris dan faktor

kolom. Jadi suku ji xx adalah interaksi antara faktor baris amatan ke- i

dengan faktor kolom amatan ke- j dan dilambangkan ( )ijαβ


88

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−−

=

rcn

r

r

cn

cn

y

yy

y

yy

y

yy

Μ

Μ

Μ

Μ

21

11

2

221

211

1

121

111

Y

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

=

1...00

0...000...00

1...00

0...100...01

1...00

1...001...00

1

11

.......................................................................

0...00

0...000...00

1...00

0...100...01

0...10

0...100...10

1

11

11

0...00

0...100...01

1

1...00

0...100...01

1

0...01

0...010...01

1

11



4 84 76

ΜΜΜ

4 84 76

ΜΜΜ

4 84 76

ΜΜΜΜ

crcr

X


89

BAB IV

APLIKASI PENDEKATAN REGRESI

UNTUK ANALISIS VARIANSI

A. Tingka Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan

Dalam contoh berikut ini data diambil dari Hays, (1973). Dalam penelitian

kerusakan otak yaitu radang otak (encephalitic), dan radang selaput otak

(meningitic) masing-masing dari 36 subjek diberikan deretan tes, masing-masing

menyediakan suatu gabungan nilai. Nilai gabungan terendah rupanya

menggambarkan suatu tingkat sisa kerusakan otak. Subyek dibagi dalam 3 grup

menurut tipe infeksi, dan 3 grup menurut waktu sejak memperlihatkan

kesembuhan fisik dari penyakit. Datanya adalah sebagai berikut :

Tabel 4.1 Tingkat Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan

Masa penyembuhan

Jenis Penyakit 1-2 th 3-5 th 7-10 th

76 73 69 53 59 43 encephalitic

75 62 72 55 41 57

81 89 82 70 68 50 meningitic

83 75 91 74 75 47

75 84 85 79 98 100 Control operatif

65 63 76 87 82 79

Sehingga ingin diketahui apakah ada perbedaan dalam penampilan antara

penderita encephalitic, meningitic, dan control operatif serta apakah ada interaksi

antara tipe penyakit dengan waktu sejak kesembuhan.


90

Model analisis variansi bagi percobaan ini adalah


dimana

ijky = Sisa kerusakan otak selama penyembuhan pada kerusakan otak ke i

dan lama waktu yang diperlukan ke j.

μ = rata-rata total sisa kerusakan otak

iα = pengaruh kerusakan otak ke i (3 parameter).

jβ = pengaruh waktu penyembuhan ke j (3 parameter ).

( )ijαβ = pengaruh kerusakan otak ke i dan waktu penyembuhan ke j

( 9 parameter ).

ijkε = galat acak.

Dengan demikian banyaknya parameter menjadi

( ) ( ) ( )( ) rccrcr =−−+−+−+ 11111 atau 1+2+2+4 = 9

Persamaan regresinya dapat ditulis sebagai berikut

( ) ( ) ( )( ) εαβ

αβαβαβββααμ++

+++++++=

822

721612511423122110

xxxxxxxxxy

ix adalah variabel boneka,

Dengan bentuk variabel boneka masing-masing adalah

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

selainnya.0,.control operatif kategorimasuk otak kerusakan bila1,

c.enephaliti kategorimasuk otak kerusakan bila,1

1x


91

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

selainnya.0,control.operatifkategorimasukotakkerusakanbila1,

.meningitic kategorimasuk otak kerusakan bila,1

2x

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

selainnya.0, th.10-7 selaman penyembuha diperlukan yang waktu bila1,

th.2-1 selaman penyembuha diperlukan yangwaktu bila,1

3x

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

selainnya.0, th.10-7 selaman penyembuha diperlukan yang waktu bila1,

th.5-3 selaman penyembuha diperlukan yangwaktu bila,1

4x

315 xxx = 416 xxx = 327 xxx = 428 xxx =

8X7X6X5X4X3X2X1X0X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎡

=

75898381574341595553726962737576

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢

⎡

−−−−−−−−−−−−−−−−

=

010001101010001101010001101010001101001111011001111011001111011001111011001010011001010011001010011001010011000101011000101011000101011000101011

X


92

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎢

=

79100829887797685638465754750756874709182

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎢

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

=

111111111111111111111111111111111111101010111101010111101010111101010111

010101111010101111010101111010101111110011101110011101110011101110011101

100010101100010101100010101100010101

X

Kemudian dicari nilai nilai dugaan parameter dari persamaan regresi diatas

dengan langkah-langkah sebagai berikut:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1688400000816480000084168000004881600000000024120000000122400000000024120000000122400000000036

XX'


93

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−−−−−

−−−

−−

−

−

1111,00556,00556,00278,0000000556,01111,00278,00556,0000000556,00278,01111,00556,000000

0278,00556,00556,01111,00000000000556,00278,000000000278,00556,00000000000556,00278,000000000278,00556,00000000000278,0

1XX'

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

10916081

15894

10288238

2593

YX' ( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

== −

1111.31944,53889,1

1944,73889,20556,37222,1

7778,100278,72

YX'XX'b 1

JKR= 19190=YX'b'

Koreksi= 1867702 =Yn

JKT= 194203=YY'

Tabel 4.2 Analisis Variansi dari data 4.1

F tabel=2,27 lebih kecil dari F hitung maka 0H ditolak berarti paling tidak ada

satu β yang tidak sama dengan nol, maka ada perbedaan rata-rata perlakuan

diantara jenis kerusakan otak dan selama masa penyembuhan.

db JK KT F

Regresi 9 5144,2 571,5802 6,4874

Galat 26 2290,8 88,1058

Total 35 7435,0


94

B. Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam.

Data yang digunakan sebagai contoh diambil dari Bethea, at all (1985)

yaitu data mengenai perkembangan embrio ayam. Dalam penelitian ini diberikan

efek bromodeoxyuridine-5 (A) dan cytochlasin B (B) pada perkembangan

aktifitas khusus sukrasi normal dalam embrio ayam di pelajari. Tiga puluh telur

yang di fertilisasi terpilih untuk pembelajaran. Sepuluh telur dibiarkan tidak di

injeksi selama inkubasi (N). Sepuluh telur lebih dahulu di injeksi dengan

bromrodioxyurudine-5 (A) pada hari ke-10 masa inkubasi, dan sepuluh telur lebih

dahulu di injeksi dengan cytochlasin B (B) pada hari ke-10 masa inkubasi. Embrio

dopindahkan saat umur embrio 13 hari sampai 17 hari, dan pembuatan jaringan

duodenal (usus12jari) dianalisa untuk aktifitas invertasi khusus. Data

menggambarkan gram glukosa yang dilepaskan/mg protein/jam yang dihasilkan.

Sehingga ingin diketahui efek mengenai umur, efek perlakuan atau ada inteaksi.

Table 4.3 Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam

Umur embrio dalam hari

Perlakuan 13 14 15 16 17

N 56,3 60,5 64,3 86,1 97,5

55,4 61,2 63,9 86,0 98,0

A 51,2 54,4 62,3 78,7 95,5

50,8 55,6 61,7 78,3 96,5

B 55,4 61,5 62,0 72,8 81,9

64,8 60,5 63,0 71,2 80,1

Penyelesaian :

Model ANOVA data diatas adalah


95


Dimana :

ijky = hasil perkembangan pembentukan embrio telur ayam pada perlakuan

ke i dan hari ke j

μ = rata-rata total hasil perkembangan pembentukan embrio telur ayam

iα = pengaruh perlakuan injeksi ke i ( 3 parameter ).

jβ = pengaruh umur perkembangan ke j ( 5 parameter ).

( )ijαβ = pengaruh interaksi antara perlakuan injeksi ke I dan umur

perkembangam ke j (15 parameter)

ijkε = galat acak.

Bentuk persamaan regresinya adalah

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) εαβ

αβαβαβαβαβαβαβββββααμ

++

+++++++++++++=

1424

13231222112110149

8127116453423122110

13

x

xxxxxxxxxxxxxxy

ix adalah variabel boneka dengan bentuk masing-masing adalah

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

selainnya.0,n.cytochlasidengan injeksidiberikan telur Bila1,

injeksi.ditidak dibiarkan telur Bila1,

1x

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

selainnya.0,n.cytochlasidengan injeksidiberikan telur Bila1,

5.-uridinebromodeoxy injeksidiberikan telur Bila1,

2x

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

Selainnya.0,hari. 17umur mencapai ayam embrioSaat1,

.hari 13umur mencapai ayam embrioSaat 1,

3x


96

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=



4x

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=



5x

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=



6x

317 xxx = 418 xxx = 519 xxx = 6110 xxx =

3211 xxx = 4212 xxx = 5213 xxx = 6214 xxx =


97

14X13X12X11X10X9X8X7X6X5X4X3X2X1X0X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1,809,812,718,720,630,625,605,618,644,555,965,953,787,787,613,626,554,548,502,510,985,970,861,869,633,642,615,604,553,56

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

111111111111111111111111111111100010001000111100010001000111

010001000100111010001000100111001000100010111001000100010111000100010001111000100010001111111100001111101111100001111101

100000001000101100000001000101010000000100101010000000100101001000000010101001000000010101000100000001101000100000001101000011111111011000011111111011000010001000011000010001000011000001000100011000001000100011000000100010011000000100010011000000010001011000000010001011

X


98

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

844442220000000484424220000000448422420000000444822240000000422284440000000242248440000000224244840000000224444480000000000000001266600000000000612660000000000066126000000000006661200000000000000020100000000000000102000000000000000030

XX'

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−

=

173142

2,484,53,308,33

424,763,1728,1956,215

8,1156

4,2087

YX'


99

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−

2667.00667.00667.00667.01333.00333.00333.00333.000000000667.02667.00667.00667.00333.01333.00333.00333.000000000667.00667.02667.00667.00333.00333.01333.00333.000000000667.00667.00667.02667.00333.00333.00333.01333.000000001333.00333.00333.00333.02667.00667.00667.00667.00000000

0333.01333.00333.00333.00667.02667.00667.00667.000000000333.00333.01333.00333.00667.00667.02667.00667.000000000333.00333.00333.01333.00667.00667.00667.02667.00000000000000001333.00333.00333.00333.0000000000000333.01333.00333.00333.0000000000000333.00333.01333.00333.0000000000000333.00333.00333.010333.00000000000000000667.00333.000000000000000333.00667.00000000000000000333.0

1XX'


100

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−−−−

== −

73,02133,0

87,235786,31067,244,114,3

27,97133,6

63,1093,13

08,134,358,69

YX'XX'b 1

JKR= 151450=YX'b'

Koreksi= 1452402 =Yn

JKT= 151500=YY'

Tabel 4.4 Analisis Variansi dari data 4.3

F tabel=2,46 lebih kecil dari F hitung maka 0H ditolak berarti paling tidak ada

satu β yang tidak sama dengan nol maka ada perbedaan rata-rata perlakuan

diantara injeksi dan umur embrio telur ayam.

db JK KT F

Regresi 15 6204,6 413,6379 114,67

Galat 14 50,5 3,6071

Total 29 6255,1


BAB V

KESIMPULAN

Pengujian hipotesis dengan dua nilai rata-rata dilakukan dengan

menggunakan uji z dan uji t. Jika terdapat lebih dari tiga nilai rata-rata maka

dilakukan dengan menggunakan metode ANOVA. Analisis variansi dapat

diselesaikan dengan pendekatan regresi yaitu dengan membuat variabel boneka.

Penggunaan variabel boneka diperlukan untuk mengubah data yang bersifat

kualitatif, menjadi data yang bersifat kuantitatif. Dalam ANOVA variabel tak

bebas bersifat kuantitatif, sedangkan variabel bebas bersifat kualitatif, sehingga

perlu mengubah data tersebut dalam bentuk kuantitaif. Aturan yang berlaku

adalah bila suatu variabel kualitatif mempunyai m kategori, maka banyaknya

variabel boneka yang dibutuhkan adalah 1−m . Penetapan nilai 1, 0, dan -1 bukan

merupakan suatu hal yang mutlak. Melalui pendekatan regresi maka pengujian

hipotesis mengenai perbedaan pengaruh antar perlakuan, serta pengaruh interaksi

masih dapat dilakukan sebagimana dalam analisis variansi.


DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. dan Rorres, C. (2004). Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga.

Anton, H. (1988). Aljabar Linier Elementer edisi kelima. Jakarta: Erlangga.

Bethea, R.M , Duran, B.S dan Bollion, T.L (1985). Statistical Methods For Enginers and Scientists. New York: Marcel Dekker INC.

Draper, N.R. dan Smith, H. (1992). Analisis Regresi Terapan. Jakarta: Gramedia

Pustaka Utama. Hays, W.L (1973). Statistics For The Social Sciences. Sydne : Holt Rinehart and

Winston. Hogg, R.V dan Craig, A.T. (1995) Introduction to Mathematical Statistics fifth

edition. New Jersey: Prentice Hall Inc. Supranto, J. (1984) . Ekonometrik edisi dua. Jakarta : Fakultas Ekonomi

Universitas Indonesia. Sembiring, R.K (1995). Analisis Regresi.Bandung:ITB. Torrie, J.H. dan Steel, R.G.D. (1991). Prinsip dan Prosedur Statistika Suatu

Pendekatan Biometrik.Jakarata :Gramedia Pustaka Utama. Walpole, R.E dan Myers, R.H (1986). Ilmu Peluang dan Satistika untuk Insinyur

dan ilmuan.Bandung :ITB. Walpole, R.E (1995) Pengantar Statistika Jakarta : Gramedia Pustaka Utama.


Lampiran 1 Listing Program Matlab untuk tabel 4.1

>> Y = [56.3; 55.4; 60.5; 61.2; 64.3; 63.9; 86.1; 86.0; 97.5; 98.0; 51.2; 50.8; 54.4;

55.6; 62.3; 61.7; 78.7; 78.3; 95.5; 96.5; 55.4; 64.8; 61.5; 60.5; 62.0;

63.0; 72.8; 71.2; 81.9; 80.1]

>> X = [1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0; 1 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0

0 0; 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 1 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0; 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0; 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1; 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1; 1 0 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1; 1 0 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1

-1 -1; 1 -1 -1 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0; 1 -1 -1 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0; 1 -1

-1 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0; 1 -1 -1 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0; 1 -1 -1 0 0 1 0

0 0 -1 0 0 0 -1 0; 1 -1 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0; 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0

0 0 -1; 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1; 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1; 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1]

>> T = transpose(X)*X

>> I = inv(T)

>> A = transpose(X)*Y

>> B = I*A

>> JKT = transpose(Y)*Y


>> JKR = transpose(B)*A

>> JKG = JKT-JKR

>> n = 30

>>Y_rata = (1/n)*(56.3+55.4+60.5+61.2+64.3+63.9+86.1+86.0+97.5+98.0+51.2

+50.8+54.4+55.6+62.3+61.7+78.7+78.3+95.5+96.5+55.4+64.8

+61.5+60.5+62.0+63.0+72.8+71.2+81.9+80.1)

>> K = n*(Y_rata*Y_rata)

>> db_reg = 15

>> JKR_koreksi = JKR-K

>> db_galat = 14

>> JKG_koreks i= JKT-JKR

>> JKT_koreks i= JKT-K

>> KTR = JKR_koreksi/db_reg

>> KTG = JKG_koreksi/db_galat

>> F = KTR/KTG


Listing Program Matlab untuk tabel 4.2

>> Y = [76; 75; 73; 62; 69; 72; 53; 55; 59; 41; 43; 57; 81; 83; 89; 75; 82; 91; 70;

74; 68; 75; 50; 47; 75; 65; 84; 63; 85; 76; 79; 87; 98; 82; 100; 79]

>> X = [1 1 0 1 0 1 0 0 0; 1 1 0 1 0 1 0 0 0; 1 1 0 1 0 1 0 0 0;1 1 0 1 0 1 0 0 0; 1 1

0 0 1 0 1 0 0; 1 1 0 0 1 0 1 0 0;1 1 0 0 1 0 1 0 0; 1 1 0 0 1 0 1 0 0; 1 1 0 -1

-1 -1 -1 0 0;1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0 0; 1 1 0 -1 -1 -1 -1 0

0;1 0 1 1 0 0 0 1 0; 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 1 0 1 1 0 0 0 1 0;1 0 1 1 0 0 0 1 0; 1 0

1 0 1 0 0 0 1; 1 0 1 0 1 0 0 0 1;1 0 1 0 1 0 0 0 1; 1 0 1 0 1 0 0 0 1; 1 0 1 -1 -

1 0 0 -1 -1;1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1; 1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1; 1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -1;1

-1 -1 1 0 -1 0 -1 0; 1 -1 -1 0 -1 0 -1 0; 1 -1 -1 1 0 -1 0 -1 0; 1 -1 -1 1 0 -1 0

-1 0; 1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1; 1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1;1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1; 1 -1 -1

0 1 0 -1 0 -1; 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1;1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1; 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1;

1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1]

>> T = transpose(X)*X

>> I = inv(T)

>> A = transpose(X)*Y

>> B = I*A

>> JKT = transpose(Y)*Y

>> JKR = transpose(B)*A

>> JKG = JKT-JKR

>> n = 36


>>Y_mean=(1/n)*(76+75+73+62+69+72+53+55+59+41+43+57+81+83+89+75+

82+91+70+74+68+75+50+47+75+65+84+63+85+76+79+8

7+98+82+100+79)

>> K = n*(Y_mean*Y_mean)

>> JKR_terko = JKR-K

>> JKG_terko = JKT-JKR

>> JKT_terko = JKT-K

>> db_reg = 9

>> db_galat = 26

>> KTR = JKR_terko/db_reg

>> KTG = JKG_terko/db_galat

>> F = KTR/KTG


Lampiran 2

Misalkan [ ]nyyyy Λ,,,Y 321=′

Maka [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

n

y

yyy

yyyyΜ

Λ 3

2

1

321 ,,,YY'

[ ]nn yyyyyyyy ++++= Λ332211

[ ]223

22

21 ... nyyyy ++++=

Sehingga ( ) ( ) 022

322

21 =

∂++++∂

=∂

∂bb

YY' nyyyy Λ

Perhatikan bahwa

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnkkkk

n

n

k

y

yyy

xxxx

xxxxxxxx

bbbbΜ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛΛ

Λ 3

2

1

321

2322212

1312111

210

1111

,,,YX'b'

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++++

++++

=

nnkkkk

nn

nn

n

k

yxyxyxyx

yxyxyxyxyxyxyxyx

yyyy

bbbb

ΛΜ

ΛΛ

Λ

Λ

32221

2332222112

1331221111

321

210 ,,,

( ) ( )( )

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++

+++++++++=

nnkkkkk

nn

nnn

yxyxyxyxbyxyxyxyxb

yxyxyxyxbyyyyb

.........

......

332211

23322221122

133122111113210


Dengan demikian

( )

( ) ( )( )

( )0

332211

23322221122

133122111113210

0

.........

......

byxyxyxyxb

yxyxyxyxbyxyxyxyxbyyyyb

bnnkkkkk

nn

nnn

∂

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++

++++++++++∂

=∂

∂ YX'b'

nyyyy ++++= ...321

( )

( ) ( )( )

( )1

332211

23322221122

133122111113210

1

.........

......

byxyxyxyxb


bnnkkkkk

nn

nnn

∂

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++

++++++++++∂

=∂

∂ YX'b'

11331221111 ... yxyxyxyx n++++=

Μ

( )

( ) ( )( )

( )k

nnkkkkk

nn

nnn

k byxyxyxyxb


b ∂

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++

++++++++++∂

=∂

∂ .........

......

332211

23322221122

133122111113210

YX'b'

nnkkkk yxyxyxyx ++++= ...332211

Jadi,

( ) ( ) ( ) ( )kbbb

YX'b'YX'b'YX'b'b

YX'b' ∂++

∂+

∂∂

=∂

∂ ...10

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++

+++++++++=

)...(...)...(

)...()...(

332211

2332222112

11331221111321

nnkkkk

nn

nn

yxyxyxyxyxyxyxyx

yxyxyxyxyyyy

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnkkkk

n

n

y

yyy

xxxx

xxxxxxxx

ΜΛ

ΜΜΜΜΛΛΛ

3

2

1

321

2322212

1312111

1111

= YX'


Perhatikan bahwa

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

knknn

k

k

k

nkkkk

n

n

k

b

bbb

xxx

xxxxxxxxx

xxxx

xxxxxxxx

bbbbΜ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛΛ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛΛ

Λ 2

1

0

21

33231

22221

11211

321

2322212

1312111

210

1

1111111

,,,XbX'b'

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++++++++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++

++++++++=

knknn

kk

kk

kk

nkknnkk

kkkk

bxbxbxb

bxbxbxbbxbxbxbbxbxbxb

xbxbxbbxbxbxbbxbxbxbbxbxbxbb

...

...

...

...

........,...,...,...

22110

32321310

22221210

12121110

2211033223110

2222211011221110

Μ

( )( )( )( )( )( )

( )( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++++++++++++++

++++++++++++++++++

=

knknnnkknn

kkkk

kkkk

kkkk

bxbxbxbxbxbxbbbxbxbxbxbxbxbbbxbxbxbxbxbxbb

bxbxbxbxbxbxbb

.....................

......

2211022110

3232131033223110

2222121022222110

1212111011221110

Perkalian ruas kanan bagian pertama, yakni

( )( )[ ]kkkk bxbxbxbxbxbxbb 1212111011221110 ...... ++++++++=

( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++++++++++

=kkkkkk

kkkk

bxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbb

12121110112121110122

12121110111121211100

...............

( )( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

++++

++++++

+++++

+++++

21

22121111101

1122212

221111220122

1111212111211

21111

102120111020

...

......

...0

...

kkkkkkkk

kk

kk

kk

xbbxxbbxxbbxb

bxxbxbbxxbbxb

bxxbbxxbxbbxb

bxbbxbbxbb

…………1

Perkalian ruas kanan bagian kedua



( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++++++++++

=kkkkkk

kkkk


22221210222221210222

22221210211222212100

...............

( )( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

++++

+++++

+++++

=

22

22222121202

2222222

221212220222

2211222211221

210211

202220121020

......

...

...

...

kkkkkkkk

kk

kk

kk

xbbxxbbxxbbxb

bxxbxbbxxbbxb

bxxbbxxbxbbxb

bxbbxbbxbb

…………2

Perkalian ruas kanan bagian ketiga


( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++++++++++

=kkkkkk

kkkk


32321310332321310322

32321310311323213100

...............

( )( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++

+++++

+++++

=

23

22323131303

3322232

221313220322

3311232311231

210311

302320131020

...

......

...

...

kkkkkkkk

kk

kk

kk

xbbxxbbxxbbxb

bxxbxbbxxbbxb

bxxbbxxbxbbxb

bxbbxbbxbb

……………3

ΜΜ

Perkalian ruas kanan bagian terakhir, yakni

( )( )[ ]knknnnkknn bxbxbxbxbxbxbb ++++++++= ...... 2211022110

( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++++++++++

=knknnnkkknknnn

knknnnknknn

bxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbxbbxbxbxbb.........

......

221102211022

2211011221100

( )( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++

+++++

+++++

=

2222110

2222

221122022

11221121

21011

022011020

...

......

...

...

nkknnkknnkknkk

knknnnnn

knknnnnn

knknn

xbbxxbbxxbbxb

bxxbxbbxxbbxb

bxxbbxxbxbbxb

bxbbxbbxbb

…………4


Kemudian persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap 0b , hasilnya adalah

( ) kkkk xbxbxbbxbxbxb 112211112121110 ......2 ++++++++=

kk bxbxbxb 12121110 2...222 ++++= ……………………1a


kk bxbxbxb 22221210 2...222 ++++= ……………………2a


kkbxbxbxb 32321310 2...222 ++++= ……………………3a

Μ

( ) nkknnknknn xbxbxbbxbxbxb ++++++++= ......2 221122110

knknn bxbxbxb 2...222 22110 ++++= ……………………4a

Sehingga hasil keseluruhan yang diturunkan terhadap 0b adalah

( ) ( ) ( )

( ) ( )knknnkk

kkk

bxbxbxbbxbxbxb

xbxbxbbxbxbxbb

2...222...2...222

2...2222...222

2211032321310

22221210121211100

++++++++++

++++++++++=∂

∂ XbX'b'

Selanjutnya persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap 1b , hasilnya adalah

( ) kkkk bxxbxxbxxbxxbxbxbx 11121112111212111211011011 ......2 ++++++++=

kk bxxbxxbxbx 111212111211011 2...222 ++++= …………….……1b


kk bxxbxxbxbx 221222211221021 2...222 ++++= ……………………2b


kk bxxbxxbxbx 331232311231031 2...222 ++++= ……………………3b

Μ

( ) knnknnknknnnnnn bxxbxxbxxbxxbxbxbx 121212211210101 ......2 ++++++++=

knknnnnn bxxbxxbxbx 122112101 2...222 ++++= ……………………4b



( ) ( )( )( )( )knknnnnn

kk

kk

kk

bxxbxxbxbx

bxxbxxbxbx

bxxbxxbxbx

bxxbxxbxbxb

122112101

331232311231031

221222211221021

111212111211011

1

2...222

...2...222

2...222

2...222

++++

++++++

+++++

+++++=∂

∂ XbX'b'

Selanjutnya persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap 2b hasilnya adalah

( ) kkkk bxxbxxbxbxxbxbxxbx 12111222121111201211211012 ......2 ++++++++=

kk bxxbxbxxbx 112221211211012 2...222 ++++= ……………………1c


kk bxxbxbxxbx 222222212221022 2...222 ++++= ……………………2c


kkbxxbxbxxbx 332223213231032 2...222 ++++= ……………………3c

Μ

( ) knnknknnnnnnnn bxxbxxbxbxxbxbxxbx 222221120212102 ......2 ++++++++=

knknnnnn bxxbxbxxbx 222212102 2...222 ++++= ……………………4c


( ) ( )( )( )( )knknnnnn

kk

kk

kk

bxxbxbxxbx

bxxbxbxxbx

bxxbxbxxbx

bxxbxbxxbxb

222212102

332223213231032

222222212221022

112221211211012

2

2...222

...2...222

2...222

2...222

++++

++++++

+++++

+++++=∂

∂ XbX'b'

ΜΜΜ


Selanjutnya persamaan (1, 2, 3, dan 4) diturunkan terhadap kb hasilnya adalah

( )kkkkkkkk bxbxxbxxbxbxxbxxbx 2121211111012112111101 2...... ++++++++=

kkkkk bxbxxbxxbx 21212111111 2...222 ++++= ……………………1d





ΜΜ

( )knknnknnknknknnknnk bxbxxbxxbxbxxbxxbx 22211022110 2...... ++++++++=

knknnknnknk bxbxxbxxbx 22211 2...222 ++++= ……………………4d

Sehingga hasil keseluruhan yang diturunkan terhadap kb adalah

( ) ( )( )( )( )knknknnknnk

kkkkk

kkkkk

kkkkkk

bxbxxbxxbx

bxbxxbxxbx

bxbxxbxxbx

bxbxxbxxbxb

222110

232332133103

222222122102

212112111101

2...222

...2...222

2...222

2...222

++++

++++++

+++++

+++++=∂

∂ XbX'b'

Jadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kbbbb

XbX'b'XbX'b'XbX'b'XbX'b'b

XbX'b' ∂++

∂+

∂+

∂∂

=∂

∂ ...210


( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( ) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++++

++++++++++

+++++++++++

++++++++++++++++

+++++++++++++++

+++++++++++

+++++++++

=∂

∂

knknnnk

kkk

kkkkkk

knknnn

kk

kkkk

knknnn

kk

kkk

knknn

kk

kkkk

bxbxbxbxbxbxbxbx

bxbxbxbxbxbxbxbx

bxbxbxbxbxbxbxbx

bxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxx

bxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxx

bxbxbxbbxbxbxb

bxbxbxbbxbxbxb

.........

..........................

.........

............

.........

.........

......

2

22110

323213103

222212102121211101

221102

3232131032

22221210221212111012

221101

3232131031

2222121021121211111

22110

32321310

2222121012121110

bXbX'b'

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++++++++

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

knknn

kk

kk

kk

nkkkk

n

n

bxbxbxb

bxbxbxbbxbxbxbbxbxbxb

xxxx

xxxxxxxx

...

...

...

...1111

2

22110

32321310

22221210

12121110

321

2322212

1312111

ΛΜΜΜΜ

ΛΛΛ

Xb2X'=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

knknn

k

k

k

nkkkk

n

n

b

bbb

xxx

xxxxxxxxx

xxxx

xxxxxxxx

ΜΛ

ΜΜΜΜΛΛΛ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛΛ

2

1

0

21

33231

22221

11211

321

2322212

1312111

1

1111111

2


Documents

PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI · 2017-12-17 · 4. Pengujian Hipotesis ... kesimpulan mengenai populasi, melalui pendugaan dan pengujian hipotesis ... analisis regresi