Phân phối chuẩn N(, 2 )

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến

Phân phối chuẩn N(, 2)• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn

với tham số và 2 nếu hàm mật độ của nó có dạng:

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)

1

2

2

21)2

(x

f x e


Đồ thị hàm mật độ

2

MedMod

2

2

21)2

(x

f x e


Định lý

3

2

2

~ ,

))

Neáu thì:X N

i E X Var X

ii ModX MedX


Giá trị của X ~ N(, 2)• 68.26% nằm trong khoảng (-σ; +σ)• 95.44% nằm trong khoảng (-2σ; +2σ)• 99.73% nằm trong khoảng (-3σ; +3σ).• 99.99% nằm trong khoảng (-4σ; +4σ).

4


Các bnn có pp chuẩn• Trọng lượng, chiều cao của một nhóm người• Lãi suất của một công ty• Nhu cầu tiêu thụ một mặt hàng nào đó• …..• Nếu bnn X là tổng của n bnn độc lập và giá trị

của các bnn này chỉ chiếm vai trò nhỏ trong X thì X có phân phối chuẩn khi n đủ lớn.

5


Phân phối chuẩn tắc• Nếu Z~N(0;1) ta nói Z có phân phối chuẩn tắc.• Hàm mật độ của Z:

• Hàm phân phối của Z:

6

2

212

x t

F x e dt

2

212

x

xf x e


Đồ thị hàm mật độ N(0;1)

7

2

212

x

x e

0;

1

E Z

V Z


Hàm phân phối xác suất của N(0;1)

8

2

212

x t

F x e dt

0, 3F t t

0 0,5F

1, 3F t t


Xác suất của N(0,1)• Được tính dựa vào tích phân Laplace sau:

• Ý nghĩa:

9

2

2

0 0

12

x xt

x e dt t dt

0 , 0x P X x x

0

x

x t dt


Xác suất của N(0,1)• Tính chất:

10

)

) 0,5 0,5

)

i x x

ii

iii P a Z b b a


Liên hệ giữa chuẩn và N(0,1)

• Định lý này cho phép ta đưa các tính toán liên quan tới X ~ N(, 2) về phân phối chuẩn tắc.

11

2~ , ~ 0,1 .Neáu thì: XX N Z N

a X bP a X b P P a Z b


Chuẩn hóa phân phối chuẩn

12

2; X N 0;1

XZ N

0

1

P a X b a bP Z


Xác suất của X~N(μ;σ2)

• Giá trị của tích phân Laplace ϕ(t) dò trong bảng Phụ lục 2.

13

1.

2. 0,5

3. 0,5

b aP a X b

a aP X a

b bP X b


Tính chất pp chuẩn• Nếu a, b là các số thực thì:

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phân phối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.

14

2

1 1 1

1 222 2 2

;?;?

;

X NZ aX bX N

X N

22; ; X N Z aX b N a b a


Ví dụ• Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác

suất:

15

.

. 2a X Yb X Y


Ví dụ 11. Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10

và P(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?2. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục

vụ tại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?

b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là không quá 5%?

16


Ví dụ 2• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân

phối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4 triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bán loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui định thời gian bảo hành là bao lâu?

17


Ví dụ 3• Có hai thị trường A và B. Lãi suất cổ phiếu trên

2 thị trường này là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, độc lập nhau, có kỳ vọng và phương sai như sau:

18

Trung bình Phương saiThị trường A 19% 36 (%)2

Thị trường B 22% 100 (%)2


Ví dụ 3• a) Nếu mục đích là đạt được tối thiểu 10% lãi

thì nên đầu tư vào thị trường nào?• b) Để tránh rủi ro thì đầu tư vào hai thị trường

này theo tỷ lệ như thế nào?

19


Quy tắc 2 sigma và 3 sigma

• Áp dụng: một biến ngẫu nhiên mà chưa biết ppxs nhưng nếu thỏa mãn một trong hai qui tắc trên thì có thể xem nó có phân phối chuẩn.

20

2~ ,

) 2 2 0,9544

) 3 3 0,9972

Neáu thì:X N

i P X

ii P X


Xấp xỉ pp chuẩn

21

2~ ,X N ~ ,X B n pn rất lớn

2

E X np

V X npq

0,1<p<0,9

5; 530

0,1 0,9

np nqn

p

20npq


Công thức tính xác suất

22

2 11 2

1 k npP X knpq npq

k np k npP k X knpq npq


Công thức tính xác suất

23

2 11 2

0,5 0,5

0,5 0,5

k np k npP X knpq npq

k np k npP k X knpq npq


Ví dụ 4• Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối và đồng

chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 3200 lần đó.

• A) Tìm số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng nhất. Tính xác suất tương ứng.

• B) Tính xác suất:

24

5 2 1600 10 2 1600P X


Ví dụ 5• Một khách sạn có 300 phòng nhận đặt chỗ của

325 khách hàng vào ngày 01/08/2011. Theo kinh nghiệm những năm trước thì tỉ lệ khách đặt phòng mà không đến nhận phòng là 10%. Tính xác suất:a. Có đúng 300 khách đến đặt phòng.b. Tất cả các khách đến đều được nhận phòng.

25


Ví dụ 6• Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩn

với kỳ vọng 250mg và phương sai 81 mg2. Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì). Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác suất:

• A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.• B. Có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn.

26


Ví dụ 7• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình

của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn 4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260 mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ hơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tính tỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

27


Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)• Cho bnn X có phân phối Poisson

• Ta chứng minh được:

28

~ 0,1X N khi

~

? ?

X P

E X V X


Phân phối chuẩn• Kỳ vọng:

• Phương sai:

29

2

2

2

2

2 2

.

2 21 1x x

E X x f x

E X

dx

e dx e dxx x

2

2 2

2

2

22

2

2 2

.

21

21x x

dx

e

V X x f x E X

V X dx dxx xe

ar

ar


Phân phối chuẩn• Tích phân Poisson:

• Đổi biến số:

30

2

2 2x

K e dx

2 2 2

2 2 212 2

z z z

z e dz ze dzX e dzE

xz dx dz

2

2

212

x

E xeX dx


Phân phối chuẩn• Phương sai:

• Tương tự ta có:

31

2

2 2

2

2 2 2 2

3

2 2

2 2 2

2

2

x z

z

x ze dx e dz

z dz

z

e

2

2

2 22

21 x

V dX x e x

ar


Phân phối chuẩn• Ta có:

Vậy:

32

2 2

2

22

2

2 22 2 2

0 00

2 2

22 2 lim 2

.

ttz

t

z z

z z

z

z e dz z e dz e dzze

u z du

dv z e dz

z

e

d

v


PHÂN PHỐI CHUẨN

33

2

2

22

2 22

2

2 2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

22 2

1

12

1

x

z

e dV X x

z e

x

dz

ar


PHÂN PHỐI CHUẨN• Vậy ta có:

• Biết hàm mật độ của bnn có phân phối chuẩn ta đồng thời biết cả kì vọng và phương sai của bnn này

• Ta dễ dàng tính được:

34

2E X Var X

Mod X Med X


• Thục Hi và 1 sv 188 kiểm tra lại thứ 4.\• Phạm ng đăng khoa 1101017159 về sớm

35

Documents

Phân phối chuẩn N(, 2 )