Upload
others
View
17
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Chương V
CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
Giới thiệu
I. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
II. Một số luật phân phối của biến rời rạc
III. Biến ngẫu nhiên liên tục
2
GIỚI THIỆU
1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên (hay
còn gọi là biến ngẫu nhiên) là đại lượng mà
trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ
một trong các giá trị có thể có của nó với một
xác suất tương ứng xác định.
Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký
hiệu là: X, Y, Z hoặc X1, X2, …, Xn; Y1, Y2,
…, Yn và dùng các chữ x1, x2, …, xn để ký
hiệu các giá trị có thể có (giá trị cụ thể) của
chúng.
3
GIỚI THIỆU
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm
xuất hiện”
Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả
của phép thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3,
4, 5, 6 với xác suất tương ứng đều bằng 1/6.
Ví dụ 2: Gọi Y là “số phế phẩm có trong 5 sản phẩm
lấy ra kiểm tra”.
Khi đó Y là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả
của phép thử Y sẽ nhận một trong các giá trị 0, 1, 2,
…, 5.
4
GIỚI THIỆU
2) Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
a. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu các giá
trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu
hạn hoặc đếm được.
Ví dụ: Một phân xưởng có 4 máy hoạt động.
Gọi X là: “số máy hỏng trong một ca”.
X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá
trị có thể có là X = 0, 1, 2, 3, 4.
5
GIỚI THIỆU
b. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục nếu các giá
trị có thể có của nó lấp kín một khoảng trên
trục số.
Ví dụ: Gọi X là “kích thước của chi tiết do
một máy sản xuất ra”, X là đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.
6
GIỚI THIỆU
Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu
diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có
của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất
tương ứng đều được gọi là quy luật phân phối
xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.
Để thiết lập quy luật phân phối xác suất
của một đại lượng ngẫu nhiên ta có thể dùng:
bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác
suất và hàm mật độ xác suất.
7
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
a. Bảng phân phối xác suất Giả sử đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một
trong các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn với
các xác suất tương ứng là p1, p2, …, pn. Bảng
phân phối xác suất của X có dạng:
Trong đó các xác suất pi (i = 1, 2, …, n) phải
thoả mãn các điều kiện:
và 0 1iP 1
1n
i
i
P
1 2
1 2
...
...n
n
X x x x
P p p p
8
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Ví dụ 1: Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó
có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Lập bảng phân phối xác suất của số chính
phẩm được lấy ra.
Giải:
Gọi X là: “số chính phẩm được lấy ra
từ hộp” thì X = 0, 1, 2 với các xác suất
tương ứng:
9
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
0 2
6 41 2
10
1 1
6 42 2
10
2
63 2
10
20
15
81
15
52
15
C CP P X
C
C CP P X
C
CP P X
C
10
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Vậy bảng phân phối xác suất của X là:
0 1 2
2 8 1
15 15 3
X
P
11
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Ví dụ 2: Tung con xúc xắc 2 lần. Gọi X là
biến ngẫu nhiên “tổng số nút của 2 mặt”. Lập
bảng phân phối xác suất?
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………....
?
12
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Ví dụ 3: Có 2 hộp, hộp 1 có 10 sản phẩm
trong đó có 4 pp, hộp 2 có 9 sp trong đó có 3
pp.
a/ Lấy nn 3 sp trong hộp 1. Gọi X1 là số pp
được lấy ra. Lập bảng ppxs của X1
b/ Lấy nn từ mỗi hộp một sp. Gọi X2 là số pp
có được. Lập bảng ppxs của X2
?
13
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
14
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Ví dụ 4: Trong 10 sp có 6 sp tốt. Lấy nn lần
lượt không hoàn lại 2 sp.
a/ Lập bảng ppxs của số pp lấy ra?
b/ Lập bảng ppxs của số sp tốt lấy ra?
?
15
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
16
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
b. Hàm phân phối xác suất (tích lũy)
Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu
nhiên X, ký hiệu là F(x) là xác suất để đại
lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x, với x
là một số thực bất kỳ.
F x P X x
17
b. Hàm phân phối xác suất
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì
hàm phân phối xác suất F(x) được xác định
bằng công thức:
1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 1 1
1 2
0
...
...
... 1
n n n
n n
x x
p x x x
p p x x xF x
p p p x x x
p p p x x
i
i
x x
F(x) P X x f x
18
b. Hàm phân phối xác suất
Tại giá trị x bất kỳ ta có:
Và
1 1[ ]
i i
i i
x x x x
k k k k
F x P P x x
P x X x F x F x
19
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Giá trị trung bình của X cho bởi
Và phương sai của X là
Căn của phương sai gọi là độ lệch chuẩn
X i i
x i
E X X xf (x) x p
222 2
X X X i i
x i
D X S x f (x) x X p
2
X X
20
Các tính chất của kỳ vọng
21
Các tính chất của phương sai
22
I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Ví dụ 1: Cho BNN X có bảng PPXS:
Kỳ vọng của X là E(X) là:
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
……………………………………………...
x 1 2 3
p 0,25 0,25 0,5
23
b. Hàm phân phối xác suất
Ví dụ 2: Tiến hành bắn 3 viên đạn độc lập. Xác
suất trúng bia của mỗi viên bằng 0,4.
a. Lập bảng phân phối xác suất của số lần trúng
b. Lập hàm phân phối của số lần trúng.
c. Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
d. Tính
1 2 P X
24
b. Hàm phân phối xác suất
Giải:
a. Gọi X là số lần trúng. X có thể nhận các
giá trị: 0, 1, 2, 3. Với các xác suất tương ứng
là:
3
1
21
2 3
22
3 3
33
4 3
0 0.6 0.216
1 0.4. 0.6 0.432
2 0.4 .0.6 0.288
3 0.4 0.064
P P X
P P X C
P P X C
P P X C
25
b. Hàm phân phối xác suất
Ta có bảng phân phối xác suất của X:
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
X
P
26
b. Hàm phân phối xác suất
b. Khi đó ta có hàm phân phối xác suất
0 0
0.216 0 1
0.648 1 2
0.936 2 3
1 3
x
x
F x x
x
x
27
b. Hàm phân phối xác suất
Tại giá trị x bất kỳ ta có:
Và
1 1[ ]
i i
i i
x x x x
k k k k
F x P P x x
P x X x F x F x
28
b. Hàm phân phối xác suất
b. Khi đó ta có hàm phân phối xác suất
0 0
0.216 0 1
0.648 1 2
0.936 2 3
1 3
x
x
F x x
x
x
29
b. Hàm phân phối xác suất
Ví dụ 3: Trong hộp có 5 sản phẩm tốt và 4
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm.
Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm
lấy ra.
a/ Tìm bảng phân phối xác suất của X
b/ Viết hàm phân phối xác suất
c/ Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn
của biến ngẫu nhiên X
d/ Tính
[1 3]P X
?
30
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
31
b. Hàm phân phối xác suất
?
32
33
Ví dụ 1: Xét biên ngẫu nhiên X với bảng
phân phối xác suất.
0 1 2
2 8 1
15 15 3
X
P
Ta có Mod(X) = 1 và Me(X) = 1
34
Ví dụ 2: Xét biên ngẫu nhiên Y với bảng
phân phối xác suất.
Tìm Mod(Y) và Me(Y)?
0 1 2 3
1/ 8 3 / 8 3 / 8 1/ 8
X
P
?
35
1/ Một kiện hàng có 3 sp tốt, 2 sp xấu. Lấy
nn từ kiện hàng ra 2 sp.
a/ Lập bảng ppxs của số sp tốt lấy được.
b/ Lập bảng ppxs của số sp xấu lấy được. Từ
đó tính kỳ vọng, phương sai của số sp xấu.
BAI TÂP
36
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
37
2/ Bạn có một chùm chìa khóa có 6 chìa,
trong đó có 2 chìa mở được cửa. Bạn thử từng
chìa ( thử xong bỏ ra ngoài) cho đến khi mở
được cửa. Hãy tìm số lần thử trung bình mở
được cửa?
BAI TÂP
38
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
39
II. MỘT SỐ LUÂT PHÂN PHỐI CỦA
BIẾN RỜI RẠC
1. Phân phối nhị thức
2. Phân phối siêu bội
3. Phân phối Poisson
40
1. Luật phân phối nhị thức B(n, p)
Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
X={0, 1, …, n} có phân phối nhị thức nếu tồn
tại xác suất sao cho
ký hiệu là X~B(n, p)
0,1p
(1 ) , 0,k k n k
k nP P X k C p p k n
41
Phân phối nhị thức B(n, p)
Ví dụ 1: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động
độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy
bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:
a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.
b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.
42
Phân phối nhị thức B(n, p)
Giải:
Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một
phép thử, ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi
phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng
hoặc không. Xác suất hỏng của mỗi máy đều
bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một
ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức
với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là
X~B(5;0,1)).
43
Phân phối nhị thức B(n, p)
a/ Xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng
là xác suất để X = 2
2 32
52 0.1 0.9 0.0729P X C
44
Phân phối nhị thức B(n, p)
b/ Xác suất để trong ngày có không quá 2
máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị trong
khoảng [0, 2]
0 1 2
0 50
0 5
1 41
1 5
0 2
0.1 0.9 0.59049
0.1 0.9 0.322805
0 2 0.59049 0.32805 0.0729 0.99144
P X P P P
P C
P C
P X
45
Phân phối nhị thức B(n, p)
Tính chất:
Nếu X~B(n,p) thì
a/ E(X) = n.p kỳ vọng của X
b/ D(X) = n.p.(1-p) phương sai của X
46
Phân phối nhị thức B(n, p)
Định lý:
Nếu X là số lần thành công trong dãy n
phép thử Bernoulli với xác suất thành công p
thì X~B(n,p).
47
Ví dụ 2. Gia đình có 10 người con. Giả sử xác
suất sinh con trai, con gái là như nhau. Tính
xác suất:
a/ Không có con trai.
b/ Có 5 trai, 5 gái.
c/ Số trai từ 3 đến 7.
d/ Số trai ít nhất là 2.
e/ Số con trai ít hơn gái.
?
48
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
49
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
50
Ví dụ 3. Xác suất để con gà đẻ trứng trong
ngày là 0.6. Lan nuôi 15 con. Tính xác suất
để trong ngày:
a/ Không có con nào đẻ trứng.
b/ Cả 15 con đẻ trứng.
c/ Có ít nhất 1 con đẻ trứng.
d/ Có ít nhất 2 con đẻ trứng.
?
51
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
52
III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Khi caùc bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc laáy ñuû
nhieàu giaù trò, ngöôøi ta xaáp xæ noù baèng caùc
bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.
Haøm soá ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä
(xaùc suaát) cuûa bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X
neáu
f :
b
a
P a X b f (x)dx, a, b ,a b
53
III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Hàm mật độ xác suất f(x) của BNN X có tính chất:
1. ( ) 0
2. ( ) 1
f x
f x dx
54
III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
vaø haøm ñöôïc goïi laø haøm phaân
phoái (tích luõy) cuûa X neáu
f :
x
F(x) P X x f (t)dt, x
55
III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Giaù trò trung bình cuûa X cho bôûi
vaø phöông sai cuûa X laø
Caên cuûa phöông sai goïi laø ñoä leäch chuaån,
X
E X X xf (x)dx
22 2
X X X
22
S x f (x)dx
E X E X
2
X X
56
III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Giá trị mốt của X : Mod(X) = k nếu F(k) đạt cực đại.
và số trung vị của X là
Med(X) = a nếu
1( ) ( )
2
a
a
f t dt f t dt
57
III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Độ nghiêng
Độ nhọn
3
3 3
[ ]E X
4
4 4
[ ]E X
58
Ví dụ 1
Cho hàm số
a. Chứng minh f(x) là hàm mật độ
b. Tìm hàm phân phối xác suất F(x)
0 0
14 0
2
14 4 1
2
0 1
x
x x
f x
x x
x
59
Giải
a/ Ta có
Và
Do đó f(x) là hàm mật độ xác suất của BNN X
( ) 0f x x
0 1/2 1
0 1/2 1
( ) 0 4 4 4 0 1f x dx dx xdx x dx dx
60
Giải
b/ Ta có hàm phân phối xác suất
0
2
0
0 1/2
2
0 1/2
0 1/2 1
0 1/2 1
0 0 0
10 4 2 0
2
10 4 4 4 4 2 1 1
2
0 4 4 4 0 1 1
x
x
x
x
dt x
dt tdt x x
F x
dt tdt t dt x x x
dt tdt t dt dt x
61
Ví dụ 2
Cho hàm số
a. Chứng minh f(x) là hàm mật độ
b. Tìm hàm phân phối xác suất F(x)
0 0
10
2
3 1 3
4 2 2
32 2
2
0 2
x
x x
f x x
x x
x
?
62
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
63
Ví dụ 3
Cho BNN X có hàm mật độ xác suất
a. Tìm kỳ vọng của X
b. Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của X
2 0,1
0 0,1
x xf x
x
64
Giải
a. Kỳ vọng của X
X
0 1
0 1
13
0
X xf (x)dx
x.0dx x.2xdx x.0dx
2x 2
3 3
65
Giải
b. Phương sai của X
Độ lệch chuẩn
22 2
X
2
2
12
0
E X E X
2x f (x)dx
3
4 1 4 1x .2xdx
9 2 9 18
1
18
66
Ví dụ 4
Cho BNN X có hàm mật độ xác suất
a. Tìm kỳ vọng của X
b. Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của X
23 0,1
0 0,1
x xf x
x
?
67
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
68
Ví dụ 5
Cho BNN X có hàm mật độ xác suất
a. Tìm kỳ vọng của X
b. Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của X
22. 0
0 0
xe xf x
x
?
69
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
70
Ví dụ 6
71
Giải
a. Vì f(x) là hàm mật độ nên ta có:
3
2
1
3
1
( ) 1 1
1. 1
2. 13
3
2
kf x dx dx
x
kx
k
k
72
Giải
b/ Ta có:
1 3
2
1 3
3
1
. ( )
3.0 . .0
2
3 3ln | | ln 3
2 2
X E X x f x dx
x dx x dx x dxx
x
73
Giải b/ Ta có:
Do đó phương sai:
Độ lệch chuẩn
22 2
X
2
E X E X
33 ln3
2
3
2 2 2
21
3
1
3E X x f (x)dx x dx
2x
3 9 3x 3
2 2 2
2
X X
74
Giải c/ Med(X) = a nếu
2
1
1
3 1( )
2 2
3 1
2 2
3
2
a a
a
F X f t dt dtt
t
a
1( ) ( )
2
a
a
f x dx f x dx
75
Các qui luật phân phối
1. Phân phối chuẩn
1.1 Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn , nếu hàm mật độ của nó là
Với: = kỳ vọng
= Độ lệnh chuẩn
= 3.14159
e = 2.71828
Ký hiệu: X ~ N(, 2)
2
2
x
21
f (x) e
2
x
76
Hay nói khác đi
Với mọi
2
2
x
b2
a
1P a X b e dx
2
a, b ,a b
77
1.2. Các đặc số của phân phối chuẩn
Giả sử X có phân phối chuẩn .
Khi đó X có các đặc số
Mode:
Kỳ vọng:
Phương sai:
2X N ;
E X
2D X
Mod X
78
Ví dụ 1
Ở tỉnh A, chiều cao nam thanh niên là một
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
.
a/ Chọn ngẫu nhiên một nam thanh niên ,tính
xác suất để người này có chiều cao từ 160
đến 164 cm .
b/ Tính tỷ lệ thanh niên cao trên 160cm .
cmcm 4,158
79
Giải
Gọi X là chiều cao của nam thanh niên
Ta có hàm mật độ
2)
4
158(2
1
24
1)(
x
exf
80
Giải
a/
b/
21 158164
2 4
160
1160 164 0.24
4 2
x
P X e dx
21 158
2 4
160
1160 0.308
4 2
x
P X e dx
81
1.3. Phân phối chuẩn chuẩn tắc
( Phân phối Gauss)
Biến số ngẫu nhiên X có phân phối
chuẩn với gọi là có phân phối
chuẩn chuẩn tắc, ký hiệu X ~N (0;1) , khi đó
hàm mật độ xác suất của X là
( hay còn gọi là Hàm Gauss)
0 , 1
2x
21
f (x) e , x
2
82
1.4. Mệnh đề
Mệnh đề 1.
Cho biến số ngẫu nhiên X~N(0,1). Ta có
i/ Trung bình
ii/ Phương sai
Mệnh đề 2.
Nếu và
thì
2
X1
X
0
2X N ; X
Y
Y N 0;1
83
Chú ý
i/ Caùc xaùc suaát lieân quan ñeán phaân phoái chuaån
ñöôïc tính baèng caùch quy veà phaân phoái
Gauss N(0,1). Cuï theå, neáu thì baèng
caùch xeùt , ta coù . Do ñoù, vôùi
ta coù
2N ;
2X N ; X
Y
Y N 0;1
a bP a X b P Y
a, b ,a b
84
ii/ Haøm Gauss laø haøm soá chaün (nghóa laø
f(-x) = f(x)), lieân tuïc treân R.
Ngöôøi ta ñaõ laäp baûng giaù trò cuûa haøm
Gauss, trong ñoù ghi caùc giaù trò f(x) treân
ñoaïn [0;3,99].
Khi x > 3,99, haøm Gauss giaûm raát chaäm,
do ñoù ta xaáp xỉ:
x 3.99, f x f 3.99 0.0001
85
Ví duï: Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta coù:
f(1,14) ≈ 0,2083;
f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396.
f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.
86
1.5. Hàm Laplace
Hàm laplace là hàm số xác định trên R
định bởi:
2tx
2
0
1(x) e dt
2
x
87
1.5. Hàm Laplace
Hàm Laplace là hàm số lẻ (nghĩa
là liên tục trên R.
Người ta đã lập bảng giá trị của hàm
Laplace, trong đó ghi các giá trị trên
đoạn [0; 5].
Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do
đó ta xấp xỉ:
x 5, x 5 0.5
x x y x
x
88
Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có:
1.14 0.37286
2.15 2.15 0.48422
6.12 6.12 5 0.5
89
1.6. Công thức tính XS của PP chuẩn
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn . Khi đó, xác suất để
X lấy các giá trị thuộc [a;b] là:
Trong đó là hàm Laplace
2X N ;
b aP a X b
x
90
Chú ý
Cho
Trong đó là hàm Laplace
2X N ;
a
a
1i / P X a
2
1ii / P X a
2
x
91
Ví dụ 2
Giaû söû raèng chieàu cao ngöôøi ta coù phaân
phoái chuaån . Tính tyû
leä soá ngöôøi coù chieàu cao trong khoaûng töø
150cm ñeán 170cm.
2X N 160 cm ;100(cm)
92
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
93
Ví dụ 3
Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm laø
ñaïi lượng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån
vôùi troïng löôïng trung bình 50kg vaø phöông
sai 100kg2. Moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo
loaïi A neáu coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 55kg.
Tính tỷ leä saûn phaåm loaïi A cuûa loaïi saûn
phaåm treân.
94
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………....
Giải
95
Chú ý
Cho biến số ngẫu nhiên X~B(n,p) . Nếu đồ
thị của hàm mật độ f của nó tương đối đối
xứng qua đường thẳng x = np thì X được xấp
xỉ bởi phân phối chuẩn
Với
Trong ứng dụng, xấp xỉ trên có hiệu
quả khi np ≥ 5 và nq ≥ 5 .
2X N ;
2, 1np npq np p
96
Chú ý
Khi np < 5 hay nq < 5 thì đồ thị của hàm
mật độ tương ứng sẽ lệch và lúc đó, nếu n
tương đối lớn (chẳng hạn n > 50),
ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson với
khi
P
np 5np
97
1.7. Ñònh lyù Moivre-Laplace
Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù
phaân phoái nhò thöùc X ~ B(n,p). Giaû söû raèng
n khaù lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng
quaù gaàn 1 (thoâng thöôøng 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi
ñoù coù theå xaáp xỉ X baèng ñaïi löôïng ngaãu
nhieân Y coù phaân phoái chuaån: X ≈ Y, trong
ñoù Y ~N(μ,σ2)
vôùi μ = np, npq = σ (q = 1-p) nghóa laø:
98
2 11 2
1/ 0,1,2,...
/ .
ka P X k f k
k kb P k X k