BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

-------------------------------------------------------------------------------------

PHÖÔNG PHAÙP TÍNH – SV

CHÖÔNG 5

GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN

THÖÔØNG

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006)

NOÄI DUNG-----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

A- BAØI TOAÙN COÂSI (GIAÙ

TRÒ ÑAÀU)

B- BAØI TOAÙN

BIEÂN

1 – PHÖÔNG PHAÙP

EULER

1- PHÖÔNG PHAÙP SAI PHAÂN

HÖÕU HAÏN

2 – EULER CAÛI TIEÁN + RUNGE –

KUTTA 3 – HEÄ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN

THÖÔØNG 4 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN

CAÁP CAO

BAØI TOAÙN COÂSI -----------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Tìm haøm y = y(t) thoaû phöông trình vi phaân thöôøng & ñieàu kieän

ñaàu

Giaûi xaáp xæ: Chia [a, b] thaønh n ñoaïn

baèng nhau, ñoä daøi h = (b – a)/n, (n + 1)

ñieåm chia t0 = a < t1 = a + h < … < tn = b

)(

),,('

ay

btaytfy

a b

a =

t0

b =

tn

t

1

t

2

hy0 =

y1

= ?

Caàn tính gaàn ñuùng giaù trò wk yk

= y(tk), k = 1 n

MINH HOAÏ YÙ TÖÔÛNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

Baøi toaùn

Coâsi:& coâng thöùc xaáp xæ ñaïo

haøm 2 ñieåm:

31)0(

0,255' 2

y

tttyy

Töø ñoù xaây döïng ña thöùc noäi suy

Lagrange (spline) ygñ vaø veõ ñoà thò so saùnh

vôùi nghieäm chính xaùc g(t) =

haõy tính xaáp xæ nghieäm y

taïi t = 0.5, t = 1.

Vôùi böôùc chia

h = 0.5

h

xfhxfxf

)()()(' 00

0

tet 52

31

Ñieåm

chia: 00 t 5.01 t .12 t

Keát quaû tìm

ñöôïc:

875.10.1

5.05.0

y

y

33.087.442.6 2 ttygñ

cbtaty 2egñ.Lagrang

CAÙC SÔ ÑOÀ GIAÛI XAÁP XÆ PTRÌNH VPHAÂN THÖÔØNG

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

)(

,),,('

ay

batytfy

Chia [a, b] n

ñoaïn ihatnab

h i ,

Tính wi, i = 0 n

Sô ñoà Euler (i = 0

n – 1)

S/ñ Euler caûi tieán (i = 0

n – 1)

2)(

),(),,(

.

211

121

0

kkww

kwhthfkwthfk

ww

ii

iiii

i

bieátñaõsöûGiaû

),(

.

1

0

iiii

i

wthfww

ww

bieátñaõsöûGiaû

Sô ñoà

Runge –

Kutta: w0 =

. Giaû söû

bieát wi

6)22(

),(),2,2(

)2,2(),,(

43211

31423

121

kkkkww

kwthfkkwhthfk

kwhthfkwthfk

ii

iiii

iiii

Btoaùn Coâsi:

Tìm y(t)

VÍ DUÏ PHÖÔNG PHAÙP EULER ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Sô ñoà

Euler:

Baèng p/phaùp Euler, giaûi baøi toaùn Coâsi

vôùi n = 3 ñoaïn chia:

So saùnh nghieäm xaáp xæ vôùi nghieäm

g(t) = (t+1)2 – 0.5et. Töø ñoù tính xaáp xæ

tích phaân baèng c/t hình thang:

5.0)0(

10,1' 2

y

ttyy

1

0

)( dttyI

Giaûi: f(t,y) = y –

t2 + 1 5.0,0 00 wt 11, wt 22 , wt 33 , wt

h = (b–a)/n =

1/3

)1(2.0),(

5.02

1

0

iiiiiii twwwthfww

w

KEÁT QUAÛ PHÖÔNG PHAÙP EULER -------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Baûng keát

quaû:

Tính gaàn ñuùng tích phaân vôùi coâng

thöùc hình thang

i ti wi gi = g(ti ) | gi - wi |

0 0 0.5 0.5 0

1 1/3

2 2/3

3 1.

32103210

1

0

222

222

)( wwwwh

tytytytyh

dtty 3528807.1

VÍ DUÏ EULER CAÛI TIEÁN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Tính y(1.) cuûa bt Coâsi

sau baèng SÑ Euler caûi

tieán vôùi h = 0.5:

5.0)0(

10,1' 2

y

ttyy

i ti wi k1 k2

0 0.0 0.5

1 0.5

2 1.0

5.0,1),( 2 htyytf5.0,00 t ?,5.0 11 wt 22 , wt

2),(,),( 21

1121

kkwwkwhthfkwthfk iiiiii

0.7

5

1.

01.3

75

1.06

252.5156

25

1.218

75

VÍ DUÏ RUNGE – KUTTA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Tính y(1.) baèng Runge – Kutta

vôùi h = 0.5

5.0)0(

1' 2

y

tyy

i ti wi k1 k2 k3 k4

0 0.0 0.5

1 0.5

2 1.0

622

),(,)2,2(

)2

,2

(,),(

43211

3423

121

kkkkww

kwhthfkkwhthfk

kw

hthfkwthfk

ii

iiii

iiiiRunge –

Kutta 4:

wi

wi+1

75.0 90625.0 9451325.0 0976563.1

4251302.1 0875651.1 2032064.1 2331167.1 3286235.1

6396027.2

HEÄ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN THÖÔØNG -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Baøi toaùn Coâsi : Tìm hai haøm u1 =

u1(t), u2 = u2(t) thoaû

btauutfdtdu

btauutfdtdu

),,,(

),,,(

2122

2111

22

11

)(

)(&

au

auñaàukieänÑieàu

Kyù

hieäu:

?,,0),(),( 2211i2

i1

02

01 wwtínhwwBieát ituwtuw i

ii

i

0ta hat 1 hat 22

21, ?, 1211 tutu ?, 2

221 ww

Chia [a, b] thaønh ñoaïn baèng nhau: Phaân

hoaïch & rôøi raïc hoaù2021

01 , ww 1

211 , ww

MINH HOAÏ YÙ TÖÔÛNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

Xeùt baøi toaùn Coâsi vôùi heä phöông

trình vi phaân thöôøng:

10,424'

10,1223'

222

212

122

211

uettuuu

uetuuut

t

Vôùi böôùc chia h = 0.5, tính xaáp xæ

nghieäm u1, u2 taïi t = 0.5; 1So saùnh giaù trò tính ñöôïc vôùi giaù trò

nghieäm chính xaùc: tttttt eteetueeetu 2252

251 3

231

;31

31

t u1 u2

0 1 1

0.5

1.0

Ñieåm

chia:

00 t 5.01 t .12 t

10

10

2

1

u

u ?5.0

?5.0

2

1

u

u ?1

?1

2

1

u

u

SÔ ÑOÀ EULER -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

S/ñoà

Euler:

Baøi toaùn Coâsi : Tìm hai haøm u1 =

u1(t), u2 = u2(t) thoaû

btauutfdtdu

btauutfdtdu

),,,(

),,,(

2122

2111

22

11

)(

)(&

au

auñaàukieänÑieàu

iii

iiiii

ii wwthfwwwwthfww 21221

221111

1 ,,,,,

2021

01 , ww 10, 21 niww iibieátsöûGiaû

VD

:

10,424'

10,1223'

2

,,

22212

1

,,

22211

212

211

uettuuu

uetuuu

uutf

t

uutf

t

1

1

1

102

01

2

1

w

w

1,1,05.01

1,1,05.01

212

111

fw

fw

AÙP DUÏNG : PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Baøi toaùn Coâsi caáp 2 (Ph/trình vi phaân

caáp 2 vaø ñkieän ñaàu):

21 ',

,',,"

ayay

atyytfy

Ñöa veà baøi toaùn Coâsi caáp 1: Ñoåi bieán

u1(t)= y(t), u2(t)=y’(t)

2122

21121

,,',,'''

,,'

uutfyytfyu

uutfuu

Ñieàu kieän

ñaàu:

22

11

'

ayau

ayau

202

101

w

w

Sô ñoà

Euler:

212202

0102

02

12

2102

0101

01

11

,,,,

,,

ahfwwthfww

hwwthfww

VÍ DUÏ-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Vôùi h = 0.1, tính xaáp xæ giaù trò y(0.2),

y’(0.2) cuûa nghieäm baøi toaùn sau baèng

phöông phaùp Euler:

6.0)0(',4.0)0(

0,sin2'2" 2

yy

tteyyy t

Ñoåi bieán ñöa veà baøi toaùn Coâsi caáp 1: u1 = y(t), u2 = y’(t)

2122

212

2

2121121

,,sin22sin'22'

6.00,4.00&,,'

uutfteuuteyyu

uuuutfuutt

6.0

4.002

01

w

w

6.0,4.0,01.06.0,,

6.0,4.0,01.04.0,,

202

0102

02

12

102

0101

01

11

fwwthfww

fwwthfww

BAØI TOAÙN BIEÂN -----------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------

Baøi toaùn bieân caáp 2: Tìm haøm y = y(x) thoaû phöông trình

byay

bxayyxfy

,)(

),',,(''

Hay gaëp: Baøi toaùn bieân

tuyeán tính caáp 2

byay

bxaxryxqyxpy

,

),()(')("

MINH HOAÏ-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Tính giaù trò nghieäm y cuûa baøi toaùn

bieân tuyeán tính caáp 2

01,10

10,12'1'' 2

yy

xexyyxy x

taïi caùc ñieåm chia caùch ñeàu cuûa [0, 1]

vôùi böôùc chia h = 1/3 vaø xaáp xæ ñaïo

haøm y’, y’’ baèng coâng thöùc höôùng

taâmÑieåm

chia: 00 x 311 x 322 x 13 x

10 0 yy ?31

1

yy ?

32

2

yy 01 3 yy

PHÖÔNG PHAÙP SAI PHAÂN HÖÕU HAÏN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

BT bieân

tuyeán tính

byay

bxaxryxqyxpy

,

*),()(')("

Chia [a, b] thaønh caùc ñoaïn nhoû baèng

nhau. Thay x = xk vaøo (*). Xaáp xæ y’(xk) ,

y’’(xk): coâng thöùc ñaïo haøm höôùng taâm

2

0121

2)("

h

xyxyxyxy

b=

xn+1

a=

x0

x

1

x

2

x

3

h

h

xyxyxy

2' 02

1

h

xyxyxy

2' 13

2

2

1232

2)("

h

xyxyxyxy

COÂNG THÖÙC LAÉP GHEÙP --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

nn

n

qhph

ph

ph

qhph

ph

qh

A

2

1

222

2

112

22

100

21

002

122

1

002

12

nn

n

ph

rh

rh

rh

rh

ph

rh

b

21

21

2

12

32

22

112

n moác xk (a, b) – öùng n giaù trò yk chöa

bieát Ma traän caáp n Kyù hieäu pk = p(xk) … yk = y(xk), 1 k n y=

[y1, … yn]T: Ay = b

LAÄP BAÛNG LAÉP GHEÙP --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Chia [a, b] thaønh caùc ñoaïn nhoû ñoä daøi

h. n ñieåm chia xk (khoâng keå 2 ñaàu) – öùng

vôùi yk chöa bieát n aån soá yk

i xk pk qk rk akk ak,k+1 ak-1,k bk yk

1

2

3

BT bieân

tuyeán tính

byay

bxaxryxqyxpy

,

*),()(')("

Laäp baûng coät xk pk = p(xk), qk = q(xk), rk =

r(xk) akk (ñ/cheùo chính), ak,k+1 (cheùo treân), ak-

1,k (döôùi), bk Nghieäm yk Ñ/cheùo akk: k = 1 n; ak,k+1: k = 1 (n – 1), ak-

1,k: k = 2 n

VÍ DUÏ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Giaûi baøi toaùn bieân caáp 2 sau baèng

phöông phaùp sai phaân höõu haïn vôùi

böôùc chia h = 0.2

1)1(,2)0(

322'3"

yy

xyyy

h = 0.2 n = 5 6 ñieåm chia Heä

phöông trình 4 aån

2.04.06.08.0

3333

2222

4.38.32.46.4

3.13.13.1

7.07.07.0

264.1152.0168.0116.1

Ma traän caáp 4: Cheùo chính akk – 4 phaàn töû;

Cheùo treân ak, k+1: 3

08.208.208.208.2

i xi pi qi ri aii ai,i+1 ai-1,i bi

1

2

3

4

KEÁT QUAÛ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Giaûi heä baèng pheùp khöû Gauss (laøm

troøn 3 chöõ soá leû):

116.1

168.0

152.0

264.1

08.2

3.1

0

0

7.000

08.27.00

3.108.27.0

03.108.2

bA

116.1

168.0

273.0

608.0

08.2

3.1

0

0

7.000

08.27.00

3.1642.10

0625.01

bA

736.0

593.0

636.0

006.1

y