Phuong Trinh Luong Giac 5

Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình

Phương trình Lượng giác

1

NĂM HỌC 2010 - 2011

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Đồng Hới, tháng 5 năm 2011

Người thực hiện: Trần Xuân Bang

Tổ Toán



2

Phần thứ nhất.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT. Trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt. Một tập hợp các phương trình lượng giác trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng của các trường Đại học trước đây và của Bộ giáo dục và Đào tạo từ 2002 đến nay là một món quà quý cho học sinh ôn luyện thi, cũng là một tài liệu để các thầy cô giáo tâm huyết với nghề nghiệp tham khảo. Với lý do đó tôi đã cố gắng tập hợp, sữa chữa, biên tập "Phương trình lượng giác" hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác cơ bản, mỗi phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65 phương trình có lời giải chi tiết. 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0): Với 22 phương trình có lời giải chi tiết. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Với 13 phương trình có lời giải chi tiết. 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0: Với 9 phương trình có lời giải chi tiết. 6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải chi tiết. 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương trình có lời giải chi tiết. 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết. 10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình có lời giải chi tiết. 10.3. Çc ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc: Với 27 phương trình có lời giải chi tiết. 11. Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2008: Với 42 phương trình có lời giải chi tiết. 12. 26 phương trình lượng giác trong các kỳ thi chính thức Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2010.



3

13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng.

Phần thứ hai.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác cơ bản 1.1. cosx = m. 1m : Vô nghiệm(vn)

1m : Gọi T = 1 2 30, , , , 12 2 2

Nếu m T thì chọn sao cho osc m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2x k , ( k ). Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arccos 2x m k , ( k ). VD1.

a) Phương trình cosx = 12

2 ;( )3

x k k .

b) Phương trình 3osx = - 2 ; ( )2 6

c x k k .

c) Phương trình 5 5osx = - arccos - 2 ;( )2 2

c x k k

.

d) Phương trình 10osx = -3

c : vn vì 10 13

.

Chú ý 1:

i) Phương trình osx = 0 ; ( )2

c x k k .

ii) Phương trình osx = 1 2 ;( )c x k k . 3i) Phương trình osx = - 1 2 ;( )c x k k . Chú ý 2: Phương trình osx = cos 2 ;( )c x k k . Tổng quát: Phương trình osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( )c u x v x k k . VD2.

a) Phương trình 1os(2x-1) = 0 2 1 ;( )2 2 4 2

c x k x k k .

b) Phương trình 0 0 0 0 0os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( )c k k k . c) Phương trình

0 1 1 1os(x-15 ) = os x- x- arccos 2 ;( )3 12 3 12 3

c c k k

.



4

d) Phương trình

2

6os 2x- = cos x- 2x- x- 2 ( )4 12 4 12 2

9 3

x kc k k

x k

1.2. sinx = m. 1m : vn

1m : Gọi T = 1 2 30, , , , 12 2 2

Nếu m T thì chọn sao cho sin m . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2x k hoặc 2x k ; k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcsin 2x m k hoặc arcsin 2x m k ; k . VD1.

a) Phương trình sinx = 12

26 ( )5 26

x kk

x k

.

b) Phương trình 2

3 3sinx = - ( )42 23

x kk

x k

.

c) Phương trình

5arcsin - 225sinx = - ( ).

2 5arcsin - 22

x k

k

x k

.

d) Phương trình 11sinx = 3

: vn vì 11 13

.

Chú ý 1: i) Phương trình sinx = 0 ;( )x k k .

ii) Phương trình sinx = 1 2 ;( )2

x k k .

3i) Phương trình sinx = - 1 2 ;( )2

x k k .

Chú ý 2:

Phương trình 2

sinx = sin ( )2

x kk

x k

.

Tổng quát: Phương trình ( ) 2

sinu(x) = sinv(x) ( )( ) 2

u x kk

v x k

.



5

VD2.

a) Phương trình 1sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( )2 2

x k x k k .

b) Phương trình 0 0 0 0 0 0sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( )k k k . c) Phương trình

0

1x - arcsin 212 31 1 sin(x - 15 ) = sin x -

3 12 3 1x - arcsin 212 3

1x = +arcsin 212 3

( )13 1x = - arcsin 212 3

k

k

kk

k

d) Phương trình

2x - x - 24 12 sin 2x - = sin x -

4 12 2x - x + 24 12

26 ( )4 29 3

k

k

x kk

x k

1.3. tanx = m.

Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 10, , 1, 33

Nếu m T thì chọn sao cho tan m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arctanx m k , k . VD1.

a) Phương trình tan x = 3 ;( )3

x k k .

b) Phương trình tan x = - 13

; ( )6

x k k .

c) Phương trình tan x = 2 arctan 2 ;( )x k k . Chú ý: Phương trình tanx = tan ;( )x k k . Tổng quát: Phương trình tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ; ( )u x v x k k .



6

VD2.

a) Phương trình tan 2x = 3 2 ;( ) ;( )3 6 2

x k k x k k

b) Phương trình tan (x - 450) = - 13

0 0 0 0 045 30 180 15 180 ;( )x k x k k c) Phương trình tan (x - 450) = 2

arctan 2 +arctan 2 ;( )4 4

x k x k k

e) Phương trình tan(2x + 1) = tan600

1tan(2 1) tan 2 1 ;( )3 3 2 6 2

x x k x k k

1.4. cotx = m.

Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 10, , 1, 33

Nếu m T thì chọn sao cho cot m . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k , k . Nếu m T thì nghiệm của phương trình là: arcot 2 ;( )x k k VD1.

a) Phương trình cotx = 3 ;( )6

x k k .

b) Phương trình cotx = - 13

; ( )3

x k k .

c) Phương trình cotx = - 2 arcot(-2) ; ( )x k k . Chú ý: Phương trình cotx = cot ; ( )x k k . Tổng quát: Phương trình cotu(x) = cotv(x) ( ) ( ) ;( )u x v x k k . VD2.

a) Phương trình cot2x = 3 2 ;( ) ;( )6 12 2

x k k x k k .

b) Phương trình cot(x - 450) = - 13

0 0 0 0 045 60 180 15 180 ;( )x k x k k . c) Phương trình cot(x - 450) = 5

arcot - 5 +arcot - 5 ; ( )4 4

x k x k k .

e) Phương trình cot(3x - 2) = cot600

2cot(3 2) cot 3 2 ;( )3 3 3 9 3

x x k x k k .



7

2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Dạng: ( ) 0A x B 2[ ( )] ( ) 0A x B x C . 23[ ( )] ( ) ( ) 0A x B x C x D Trong đó, ( )x là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x). VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin2x + sin2x = 0. HD. Phương trình đã cho

2 22cos 1 2sin 2s in2x = 0 1 sin 2 0

2 2 , ( ).2 4

x x x

x k x k k

VD2. Giải phương trình 6 6sin x cos x sin 2x . HD. Phương trình đã cho

2 231 sin 2x sin 2x 3sin 2x 4sin 2x 4 04

1 2x arcsin ksin 2x 2 (vn) 2 3 (k )sin 2x 2 / 3 1 2x arcsin k

2 2 3

VD3. Giải phương trình 2(3 2sin x)cos x (1 cos x) 1

1 sin 2x

.

HD. Điều kiện: sin 2x 1 Phương trình đã cho

2 2 cos x 13cos x sin 2x 1 cos x 1 sin 2x cos x 3cos x 2 0

cos x 2 (vn)

cos x 1 x k2 ; (k )

VD4. Giải phương trình 5cosx cos2x 2sin x 0 . HD. Phương trình đã cho

2 2

sin x 05cos x cos2x 2sin x

5cos x (2 cos 1) 4sin x

2 2 2

sin x 0 sin x 05cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2 cos x 5cos x 3 0

sin x 0sin x 0

x k2 ; (k )cos x 3 (vn)3cos x 1/ 2

cos x 1/ 2

VD5. Giải phương trình 22

1 1cos x 2 cos x 2 0cos xcos x

.

HD. Ñieàu kieän : 0x cos .



8

Phương trình đã cho

2 21 1 1 1cos x 2 2 cos x 2 cos x 2 cosxcos x cos x cos x cos x

1 cos x 0 (1)cos x

1 cos x 2 (2)cos x

.

2(1) 1 cos 0 (vn)x 2 2(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ; (k )x x x x x k

VD6. Giải phương trình x1x

x1x 2

2

coscos

coscos .

HD. Ñieàu kieän : 0x cos . Phương trình đã cho

2 21 1 1 1cos x 2 cos x cosx cos x 2 0cos x cosx cos x cos x

1cos x 1 (1)cos x

1cos x 2 (2)cos x

.

2(1) cos cos 1 0 (vn)x x 2 2(2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 (k )x x x x x k


1 1cos x 2 cosx 1cosxcos x

.


21 1cos x 2 2 cos x 1cosx cos x

21 1cos x 2 cos x 1 0cosx cos x

01x

1x01x

1x 2 cos

cos]cos

[cos

01xx2 coscos

1 5cos x (vn) 1 52 x arccos k2 ; (k )21 5cos x

2



9


1 12 cos x 7 cos x 2 0cos xcos x

.


2

2

1 12 cos x 2 7 cosx 2 0cos x cos x

1 12 cosx 7 cos x 6 0cos x cos x

1cos x 2 (1)cos x

1 3cos x (2)cos x 2

.

2 cos 1 2(1) cos 2cos 1 0 arccos( 1 2) 2 ; (k )

cos 1 2 (vn)

xx x x k

x


1 1sin x sin x 0sin xsin x

.

HD. Ñieàu kieän : 0x sin . Phương trình đã cho

21 1sin x sin x 2 0sin x sin x

1sin x 1 (1)sin x

1sin x 2 (2)sin x

.

2(1) sin sin 1 0 (vn)x x 2 2(2) sin 2sin 1 0 (sin 1) 0 sin 1 2 ; (k )

2x x x x x k


1 14 sin x 4 sin x 7 0sin xsin x

.

HD. Ñieàu kieän : 0x sin . Phương trình đã cho

2 21 1 1 14 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0sin x sin x sin x sin x



10

1 3sin x (1)sin x 2

1 5sin x (2)sin x 2

.

2(1) 2sin 3sin 2 0 (vn)x x

2sin x 2(vn)

(2) 2sin x 5sin x 2 0 1sin x2

x k2

6 (k7x k2 6

)

VD11. Giải phương trình

043x2x2 22 cossin .

HD. Phương trình đã cho 03x214x214 2 )cos()cos(

03x24x2403x244x244 22 coscoscoscos

1cos2x2 2x k2 x k ; (k )

3 63cos2x (vn)2

VD12. Giải phương trình 03xtg4xtg 24

2

2

x ktgx 1tg x 1 4 (k )tg x 3 tgx 3 x k

3

VD13. Tìm nghieäm cuûa phöông trình : 4 4sin x cos x cos2x (1)

thoûa maõn baát phöông trình : 212

1 log (2 x x ) 0 (2)

HD. Phương trình đã cho

4 4 2 21sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2 cos2x 1 02

cos2x 1 x k

22

221 212

2

2 x x 0 2 x x 01 log (2 x x ) 0 log (2 x x ) 1 x x 0

1 x 21 x 2

x 11 x 0

x 0



11

Nghieäm cuûa (1) thoûa (2) khi 1 k 2

k 01 k 0

. Vaäy x 0 .

VD14. Giải phương trình: 03xx5x212 )cos(sin)sin( . HD. Phương trình đã cho

03xx5xx2 2 )cos(sin)cos(sin

sin x cos x 1 2sin x3 4 2sin x cos x (vn)2

x k2 x k24 4 (k )23 x k2x k2

4 4

VD15. Giải phương trình: 07xx12x215 )cos(sin)sin( . HD. Phương trình đã cho

07xx12xx5 2 )cos(sin)cos(sin

x k24 4

32 x k2sin xsin x cos x 14 44 2 (k )7 7sin x cos x 7 x arcsin k2sin x5 4 5 24 5 2

7x arcsin k24 5 2

.

x k2

x k22

(k )7x arcsin k24 5 2

3 7x arcsin k24 5 2

VD16. Giải phương trình x22x2 24 coscos . HD. Phương trình đã cho

24 2

2

cos 2x 1cos 2x cos 2x 2 0

cos 2x 2(vn)

sin 2 0 2 ; (k )2

kx x k x



12

VD17. Giải phương trình 03x4x2 42 sincos . HD. Phương trình đã cho

03x4x21 422 sin)sin( 03x4x4x41 442 sinsinsin

2sin 1 cos 0 ; (k )2

x x x k

VD18. Giải phương trình 2 2cos x cos 2x 1 . HD. Phương trình đã cho

011x4x4x011x2x 242222 coscoscos)cos(cos

2

4 22

cos x 04 cos x 5cos x cos x 0 x k (k )5 2cos x (vn)

4

VD19. Giải phương trình x231x2 4 coscos . HD. Phương trình đã cho

)coscos(cos)cos(cos 1x4x431x21x231x2 244224

52x21

0x

52x2

0x

51x1x

01x6x5 22

2

24

cos

sin

cos

sin

cos

coscoscos

x ksin x 0

(k ) 1 33 x arccos k2cos2x2 55

.

VD20. Giải phương trình 07x213x8 4 cossin . HD. Phương trình đã cho

06x26x807x2113x8 2424 sinsin)sin(sin

4 2 2 2 21 1 14sin x 13sin x 3 0 sin x sin x 3(vn) 2sin x 1 cos2x4 2 2

1cos 2 2 2 ; (k )2 3 6

x x k x k .

VD21. Giải phương trình 2xgxtg 22 cot 2xtg

1xtg 22 (1) .

HD. Ñieàu kieän : 0tgx . (1) 01xtg01xtg2xtg 2224 )(

2tg x 1 tgx 1 x k ; (k )

4

VD22. Giải phương trình (1) cos

2x

1xtg4 24 .

HD. Ñieàu kieän : 0x cos .



13

2

4 2 4 22

tg x 1(1) 4tg x 1 tg x 2 4tg x tg x 3 0 3tg x (vn)

4

tgx 1 x k ; (k )4

VD23. Giải phương trình 81xx 88 cossin .


81xx2xx

81xx 442442424 cossin)cos(sin)(cos)(sin

42 2 4 2 41 1 1 1 1(1 sin 2x) 2(sin x cos x) 1 sin 2x sin 2x 2 sin 2x

2 8 4 2 8

1x2x22x28881x2

81x2

41x21 442442 sinsinsinsinsinsin

24 2

2

sin 2x 1sin 2x 8sin 2x 7 0

sin 2x 7 (vn)

0x2 cos 2 ; (k ). 2 4 2

kx k x

VD24. Giải phương trình cos 4x 6 sin x cos x 1 . HD. Phương trình đã cho

2 sin 2x 01 2sin 2x 3sin 2x 1 0 sin 2x 0 x k

2sin 2x 3 / 2 (vn).


2cos x(2sin x 3 2) 2 cos x 1 1 (1)1 sin 2x

.

HD. Đieàu kieän :sin 2x 1 x k4

.

2 2(1) sin 2x 3 2 cos x 2 cos x 1 1 sin 2x 2 cos x 3 2 cos x 2 0

x k2cos x 2 (vn) 4 x k24cos x 2 / 2 x 2k (loaïi)

4

; ( )k

VD26. Giải phương trình 12 tan x cot 2x 2sin 2x

sin 2x .

HD. Ñieàu kieän :cos x 0

sin 2x 0sin 2x 0

.


2sin x cos2x 1 sin x sin 2x2 2sin 2x 2 cos2x 2sin 2x 1 0cos x sin 2x sin 2x cos x



14

2 2 24sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2x 0

2 cos2x 1 (loaïi,vì sin 2x 0) 12 cos 2x cos2x 1 0 cos2x

2cos2x 1/ 2

22x 2k x k3 3

; ( )k .

VD27. Giải phương trình 2tan x tan x.tan 3x 2 .

HD. Ñieàu kieän :cos x 0cos3x 0


2sin xsin 2x 2sin x cosxtan x(tan x tan 3x) 2 2 2

cosx cos x cos3x cosx cosx cos3x2 2 4 2 4 2sin x cos x cos3x cos x 1 4 cos x 3cos x 4 cos x 4 cos x 1 0

2 2 k(2 cos x 1) 0 cos2x 0 2x k x

2 4 2; ( )k

VD28. Giải phương trình 2(sin 2x 3 cos2x) 5 cos 2x2

.

HD. Phương trình đã cho 21 34( sin 2x cos2x) cos 2x 5 0

2 2 2

.

2

cos 2x 5 / 4 (vn)6

4 cos 2x cos 2x 5 06 6

cos 2x 16

72x 2k x k6 12

; ( )k .

VD29. Giải phương trình 0,25 4x xlog sin sin x log sin cos2x 02 2

.


4 4x xlog sin sin x log sin cos2x2 2

x k21 6s inx2 7x k2

6

; ( )k


2 24sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0 (1)

cosx.

HD. Ñieàu kieän : cos x 0 2 2(1) 4(1 cos 2x) 3(1 cos2x) 9 3cos2x 0 2 cos 2x 3cos2x 1 0



15

2cos2x 1 1 cos2x 0 2 cos x 0cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2 cos2x 1/ 2

cos x 0 (loaïi)x k ; (k )

3cos2x 1/ 2

VD31. Giải phương trình cos3x 1 3 sin 3x . HD. Phương trình đã cho

2 2 2

1 3 sin3x 0 sin3x 3 / 3

cos 3x 1 2 3 sin3x 3sin 3x 4sin 3x 2 3 sin3x 0

ksin3x 0 3x k x3

; ( )k .

VD32. Giải phương trình 2cotx tan x 4sin 2x (1)

sin 2x

HD. Ñieàu kieän : ksin 2x 0 x2

cosx sin x 2 2 cos2x 2(1) 4sin 2x 4sin 2xsin x cos x sin 2x sin 2x sin 2x

2 2 22 cos2x 4sin 2x 2 cos2x 2(1 cos 2x) 1 2 cos 2x cos2x 1 0

cos2x 1 (loaïi do sin 2x 0)x k ; (k )1 6cos2x

2

VD33. Giải phương trình 25sin x 2 3(1 sin x) tan x (1)

HD. Ñieàu kieän : cos x 0 x k2

2 2

2 2

sin x sin x(1) 5sin x 2 3(1 sin x) 5sin x 2 3(1 sin x)cos x 1 sin x

2

2 23sin x5sin x 2 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin x 2sin x 3sin x 2 01 sin x

sin x 2 (vn) x 2k6 (k )1 5s inx x 2k2 6

VD34. Giải phương trình 3cos x cos2x cos3x 1 2sin xsin 2x . HD. Phương trình đã cho

2 3 23t 2t 1 4t 3t 1 4(4 t )t (t cosx)

2 t 0 cosx 0 x k2t 2t 0 (k )2t 1 cosx 1 x 2k

.



16

VD35. Tìm x thuoäc ñoaïn x 0;2 nghieäm ñuùng phöông trình :

cos3x sin 3x5 sin x cos2x 3 (1)1 2sin 2x

HD. Ñieàu kieän : 1 2sin 2x 0 sin 2x 1/ 2 (2) (1) 5 sin x 2sin xsin 2x cos3x sin3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)

5 sin x cos x cos3x cos3x sin 3x (cos2x 3)(1 2sin 2x)

5 sin x sin3x cosx (cos2x 3)(1 2sin 2x)

5cosx 1 2sin 2x (cos2x 3)(1 2sin 2x) 5cosx cos2x 3

2 2 cos x 2 (vn)5cosx 2 cos x 2 2 cos x 5cosx 2 0

cos x 1/ 2 (thoûa ñk (2))

x 2k3

; ( k )

Vì x 0;2 nghieäm cuûa phöông trình laø: x

3,

5x3

.

VD36. Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x). HD. Phương trình đã cho Ta có: 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]

= 2 211 sin 22

x

= 2 – sin22x

Phương trình đã cho tương đương sin22x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 t 1 ta được phương trình:

t2 + t – 1 = 0 t = 1 52

. Giá trị 1 52

< -1 nên bị loại.

Với t = 1 52

ta có phương trình sin2x = 1 52

Phương trình này có nghiệm: x = 1 1 5arcsin2 2

k

, (k )

x = 1 1 5arcsin2 2 2

k

, (k ).

VD37. Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.

HD. Điều kiện: cosx 0 Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x) tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x



17

tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình.

t3 + t2 – 5t +3 = 0 (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0 1

3tt

Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4

x k , k

Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã

cho có các nghiệm x = 4

k , x = arctan(-3) + k, k

VD38. Giải phương trình: 3 32 3 1 3 1sin cos sin 2 sin cos3 2 2 3

x x x x x

HD. Phương trình đã cho tương đương

3 32 3 1 3 3 2sin cos 2sin cos sin cos3 2 6

x x x x x x

= 0

3 2 2 3 2 22 2sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 03 3

x x x x x x x x x x

2 22sin 3 sin cos cos (sin cos ) 03

x x x x x x

2 2

sin cos 0 (1)2sin 3 sin cos cos 0 (2)3

x x

x x x x

(1) x = 34 +k, k

(2) sin2x - 3 sinxcosx + 23

cos2x = 0

i) cosx = 0 không thoả mãn phương trình. ii) cosx 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

tan2x - 23 tan 03

x

Phương trình đã cho có nghiệm:

x = 3 ,4 6

k x k , x = arctan 2 33

+ k, k .



18

VD39. Giải phương trình: 23 4 2sin 2 2 3 2(cotg 1)

sin 2cosx x

xx

.

HD. Đk: 2

x k

Phương trình đã cho tương đương với:

2

2 22

2

43 1 2 3 2sin 2

2(sin cos )3 3 2sin cos

3 2 3 0

tg cotg

tg cotg

tg tg

x xxx xx xx x

x x

33

13 6

tg

tg

x kx

x x k

(k )

So sánh với điều kiện, ta có nghiệm : 6 2

x k ; (k ).

VD40. Giải phương trình 24xos os3

c c x .

HD. Phương trình đã cho 2 2

3 2

2 1 os2x 2 1 1 2x2cos 1 2cos 1 os3.3 2 3 2 2 3

2 2 24cos 4cos 3cos 3 03 3 3

2 2cos 1 323 3 ( ).322 3cos 4 23 63 2

x c x c

x x x

x x x kkk

x x kx k

VD41. Giaûi phöông trình 22cos 4 6 s 1 3cos 2 0

cosx co x x

x

.

HD. ĐK: 2

x k ,

Phương trình đã cho 02cos312cos1(312cos22 2 xxx

kx

kx

x

xxx

6

2

212cos

12cos012cos32cos2 2 ( )k



19

2kx thỏa ĐK khi chỉ khi x m

Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: ; , ( , )6

x m x k m k .

VD42. Giaûi phöông trình 1cos1

sin2)1cos2(cos1

xxxx .

HD. ĐK : cos 1 2x x k , ( )k Phương trình đã cho

0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22 xxxxxx

2sin22sin02sin2sin2 2 xxxx (loại)

24

5

24

4sin

22sin

kx

kxx ( )k

VD43. Giaûi phöông trình 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x . HD. ĐK : x k , ( )k Phương trình đã

cho xxxx 2

2

sincos)cos1(322cos3

2

2

cos3cos 2 2 3(1 cos )1 cos

xx xx

02coscos6cos1

cos32cos3 22

xxxxx

2)32arccos(

23

32cos

21cos

kx

kx

x

x ( )k

VD44. Giaûi phöông trình 6 6 2sin 2 1x cos x cos x . HD.

412cos

43

2sin431)cos(sincossin3)cos(sin

)(cossincossin

2

22222322

323266

x

xxxxxxx

xxxx

Phương trình đã cho 012cos42cos32cos412cos

43 22 xxxx

231arccos

21

312cos

12cos

kx

kx

x

x ( )k

VD45. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình



20

sin 3 cos37 4 cos 22sin 2 1

x x cosx xx

HD. ĐK : sinx

212

2125

21

mx

mx ( )k

)cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx

)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin xxxxxxx

xxx

xx cossin12sin23cos3sin

Phương trình đã cho )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx


26

5

26

21sin

kx

kxx ( )k

Trong khoảng ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6

5;6

xx

VD46. Cho phöông trình cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2.

b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx

0sin)12(sin2 2 mxmx a) Khi m = 2: Phương trình đã cho 22sin 5sin 2 0x x

1 2in 62

5s nx = 2 26

x ks x

i x k

( )k

b) Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng ; 2 : Đặt sinx = t. 012; tx .

Phương trình đã cho tương đương 22 (2 1) 0, [-1; 0)t m t m t 12

t

t m

Vậy ta phải có : 1; 0m


cosx co x x

x

.



21

HD. ĐK: 2

x k ,


kx

kx

x

xxx

6

2

212cos




x m x k m k .


sin2)1cos2(cos1

xxxx .




24

5

24

4sin

22sin

kx

kxx ( )k


cho xxxx 2

2

sincos)cos1(322cos3

2

2


xx xx

02coscos6cos1

cos32cos3 22

xxxxx

2)32arccos(

23

32cos

21cos

kx

kx

x

x ( )k


412cos

43


)(cossincossin

2

22222322

323266

x

xxxxxxx

xxxx



22


43 22 xxxx

231arccos

21

312cos

12cos

kx

kx

x

x ( )k

VD51. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình :


x x cosx xx

HD. ĐK : sinx

212

2125

21

mx

mx ( )k



xxx




26

5

26

21sin

kx

kxx ( )k


5;6

xx

VD52. Cho phöông trình : cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2.

b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 HD. Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx


1 2in 62

5s nx = 2 26

x ks x

i x k

( )k




23


t

t m

Vậy ta phải có : 1; 0m

VD53. Giải phương trình x xx

x x2 cos2 sin 23 cot 3

sin cos

.

HD. Điều kiện xx

sin 0cos 0

x m2

(1).

Phương trình đã cho x x x x xx xx

2

2cos cos2 .cos sin 2 .sin3 3.

sin .cossin

x xx xx

2

2cos cos3 3.

sin .cossin

x x22sin 3sin 1 0 x

x

sin 11sin2

x k loaïi

x k

x k

2 ( )2

265 26

( )k

Vậy phương trình có nghiệm x k x k52 ; 26 6

, ( )k

VD54. Giải phương trình x x23tan 1 3 tan 1 0

HD.

x x kx x x

x k

2tan 1

413 tan 1 3 tan 1 0 tan3 6

VD55. Giải phương trình x x

x

cos2 3cos 2 02sin 3

.

HD.

Điều kiện: x x23 1sin cos2 4

(*)

Phương trình đa cho tương đương:

xx x x x k k

x loaïi2

cos 12 cos 3cos 1 0 cos 1 2 ,( )1cos ( )

2

VD56. Giải phương trình cos2x - cosx - 2 = 0. HD. Phương trình đã cho tương đương:



24

22cos cos 3 0cos 1

3cos (vn)2

cos 12 , ( )

x xx

x

xx k k

VD57. Giải phương trình cos 2 3cos 2 0 x x HD. Phương trình đã cho tương đương: 22cos 3cos 1 0x x

cos 1cos 11 cos oscos

32

xx

x cx

2

23

x kk

x k

VD58. Giải phương trình 2 22cos 2 3cos 4 0x x HD. Phương trình đã cho tương đương:

2 2 2cos 2 1

2cos 2 3(2cos x - 1) + 1 = 0 2cos 2 3 os2x + 1 = 0 1cos 22

xx x c

x

2 2

2 23 6

x k x kk

x k x k

.

VD59. Giải phương trình 2sin2x + cosx – 1 = 0. HD. Phương trình đã cho tương đương:

2( 1 – cos2x) + cosx – 1 = 0 –2cos2x + cosx + 1 = 0 cosx = 1 x = k2 ( k )

cosx = – 12

x k

x k

2 232 23

( k )

Nghiệm của phương trình là: x = k2; x k x k2 22 ; 23 3

(k ).

VD60. Giải phương trình 22sin 5cos 1 0x x .

22cos 5cos 3 0x x cos 3

1cos2

x

x

(loaïi)2 2 ( )3

x k k .


cosx co x x

x

.



25

HD. ĐK: 2

x k ,


kx

kx

x

xxx

6

2

212cos




x m x k m k .


sin2)1cos2(cos1

xxxx .




24

5

24

4sin

22sin

kx

kxx ( )k


cho xxxx 2

2

sincos)cos1(322cos3

2

2


xx xx

02coscos6cos1

cos32cos3 22

xxxxx

2)32arccos(

23

32cos

21cos

kx

kx

x

x ( )k




26

412cos

43


)(cossincossin

2

22222322

323266

x

xxxxxxx

xxxx


43 22 xxxx

231arccos

21

312cos

12cos

kx

kx

x

x ( )k

VD 65. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình :


x x cosx xx

HD. ĐK : sinx

212

2125

21

mx

mx ( )k



xxx




26

5

26

21sin

kx

kxx ( )k


5;6

xx

VD66. Cho phöông trình cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m . a) Giaûi phöông trình khi m = 2. b) Tìm m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm treân khoaûng ; 2 HD. Phương trình đã cho 01sin)12(sin21 2 mxmx




27

1 2in 62

5s nx = 2 26

x ks x

i x k

( )k



t

t m

Vậy ta phải có : 1; 0m 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0) Chia hai vế cho 2 2a b .

Phương trình đã cho trở thành 2 2 2 2 2 2

s inx cosx = a b ca b a b a b

Đặt 2 2 2 2

os , sinb aca b a b

Phương trình đã cho trở thành: 2 2

os( ) cc xa b

(*)

Phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

2

2 2 22 22 2

1 1c c a b ca ba b

.

Phương trình (*) là một phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý: i) Nếu đặt 2 2 2 2

sin , osb a ca b a b

thì (*) trở thành:

2 2

sin( ) cxa b

ii) Nếu c = 0, có thể đưa phương trình đã cho về t anx ba

.

iii) Có thể đặt 2

2 2 2

2 1 2tan inx , osx , t anx2 1 1 1x t t tt s c

t t t

4i) Có thể biến đổi 2 xcosx = 2cos 1,sin 2 2sin os2 2 2x xx c . Đưa phương

trình về phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai đối với xsin , os2 2x c .

5i) Có thể chia hai vế cho a, nếu a 0: s inx cosx = b ca a

. Đặt tanba

hoặc cotba

.



28

Cũng có thể chia hai vế cho b, nếu a 0: s inx cosx = a cb b

. Đặt tanab

hoặc

cotab

.

VD1. Giải phương trình 2 22 3 cos 2sin 3 34

x x


2 23(2cos 1) (s inx - cosx) 3

3 os2x - sin2x = 2 (1)

x

c

Cách 1. 3 1(1) os2x - sin 2 1 os 2x+ 1 ; (k )

2 2 6 12c x c x k

Cách 2. Đặt t = tanx. 2

2 22 2

2

1 23 os2x - sin2x = 2 3 2 3 3 2 2 21 1

1(2 3) 2 2 3 02 3

1t anx = tan122 3

t tc t t tt t

t t t

Cách 3. 2 23(2cos 1) (s inx - cosx) 3x

22 3 cos 2sin cosx 2 3x x osx = 0 sinx= 1c : Không thỏa. Chia 2 vế cho cos2x. Ta có:

2 22 3 2 tan (2 3)(1 tan ) (2 3) an 2 tan 2 3 01t anx = tan

122+ 3

x x t x x

Cách 4.

Đặt sin

33 tan3 os

3c

.

(1) sin os2x - cos sin2x = 2cos sin 2 13 3 3 3

2 23 2 12

c x

x k x l

Cách 5.



29

Đặt os

63 cot6 sin

6

c

.

(1) os os2x - sin sin2x = 2sin os 2 16 6 6 6

2 26 12

c c c x

x k x k

Cách 6.

Chia hai vế cho 3 : 1 2os2 sin2x = 3 3

c x

Đặt os1 3cot

33 sin3

c

.

2(1) sin os2x - cos sin2x = sin sin 2 13 3 3 33

c x

.

Cách 7.

Chia hai vế cho 3 : 1 2os2 sin2x = 3 3

c x

Đặt sin1 6tan

63 os6

c

.

2(1) os os2x - sin sin2x = os os 2 16 6 6 63

c c c c x

.

VD2. Giải phương trình 2 2(sin x cos x) cos x 3 cos 2x . HD. Phương trình đã cho

22 sin 2x 2 2cos x 3 cos2x 2 2 22 sin 2x ( 2 1)cos2x 3 2 phöông trình voâ nghieäm vì a b c . VD3. Giải phương trình 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x . HD. Phương trình đã cho

33sin3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1

2x k1 3 1 1 18 9sin 9x cos9x sin 9x2 2 2 3 2 7 2x k

54 9

( k )

VD4. Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0.




30

4cosx + 2 3 sinx + 2cos2x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)2 = 0

2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0

cos 1 0

3 sin cos 1 0

x

x x

(2 1)

23

x k

x k

(k )

VD5. Giải phương trình:

2cos3x – sin2x(sinx + cosx) +cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

HD. Phương trình đã cho tương đương: 2cos3x – sin2x(sinx + cosx) +cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

2 (cos2x – sin2x –1) +sinx(cos2x – sin2x –1) +2cos3x – sin2xcosx –2cosx = 0

(cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0

(cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0

(cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0

cos 2 sin 2 1 0

cos sin 2 0

x x

x x

2cos 24 2

cos 14

x

x

2 2

4 4

24

x k

x k

(k ) 4

5 24

x k

x k

x k

(k )

VD6. T×m );0( x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

cotx - 1 = xxx

x 2sin21sin

tan12cos 2

.

HD.



31

Điều kiện:

1tan02sin

0cossin02sin

xx

xxx


xxxxxxx

xxx cossinsin

sincoscos.2cos

sinsincos 2

xxxxxxx

xx cossinsincossincossin

sincos 22

)2sin1(sinsincos xxxx

0)1sincos)(sinsin(cos 2 xxxxx

0)32cos2)(sinsin(cos xxxx

cos 0

2 sin(2 ) 3 (VN)4

x sinx

x

0sincos xx tanx = 1 , ( )4

x k k

Do 4

0;0 xkx .

VD7. Giải phương trình xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 HD. Phương trình đã cho tương đương xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3

xxxxxx 4cos6sin236cos

214cos26sin36cos

6cos 6 cos 4 6 4 23 3

30 5

x kx x x x k

x k

( )k

VD 8. ĐK : sin 0sin 2 0

cos 0 2x kx x kx

HD. Phương trình đã cho xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4

1 3 6cos sin cos3 cos cos32 2 3

12 2

x kx x x x x

x k

( )k

Ví dụ 9. Giải phương trình 82cos2sin3cos3sin9 xxxx . HD. Phương trình đã cho 09cos2cos3cossin6sin9 2 xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 xxxx



32

3osx = (vn)

(2cos 3)(cos 3sin 3) 0 2cos 3sin 3 0

cx x x

x x

sinsinsincoscos103sin

103cos

101

xxxx

2

2cos( ) cos2 2

2

x kx

x k

( )k

trong đó 1 3cos ; sin10 10

VD10. Giải phương trình 32 cos 2 0cos x x sinx . HD. Phương trình đã cho:

0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 xxxxxx 0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 xxxx

0)12sincos2sin2)(sin1(01)cos1)(sin1(2)sin1(

xxxx

xxx

0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 xxxxx

1 sin 0(1 sin )(sin cos )(sin cos 2) 0 sin cos 0

s nx + cosx + 2 = 0 (vn)

xx x x x x x x

i

2

4

x k

x k

( )k

VD11: Giải phương trình 3 3sin x cos x sinx cosx . HD. Phương trình đã cho tương đương xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin

xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin

0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 xxxxxxxxx

0)2sin2cos3(cos0)2sin21

22cos12(cos

xxxxxx

cos 03 os2x - sin2x = 0 (vn) 2

xx k

c

, ( )k .

Cách khác: 3 3 2 3

2

sin s inx(sin 1) os osx = 0cosx(- sinxcosx + cos 1) 0 cosx(- sin2x + cos2 3) 0x cos x sinx cosx x c x c

x x

VD12. Giải phương trình 4 4 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x



33

HD. Ta có xxxxx 4cos41

43)4cos1(

4112sin

211cossin 244

Phương trình đã cho214sin

234cos

2124sin34cos3 xxxx

2 2 4 2cos 4 cos 4 2

3 3 3 312 2

x kx x k

x k

( )k

VD13. Giải phương trình xxxx sin3cos)cos3(sin3 Phương trình đã cho

xxxxxxxx cos23sin

213cos

213sin

23cos3sin3cos3sin3

3 26 3 4sin 3 sin

56 3 3 224 56 3

x x k x kx x

x kx x k

( )k .

VD14. Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x. HD. Phương trình đã cho 12sin32cos12sin3sincos 22 xxxxx

3

cos3

2cos212sin

232cos

21

xxx

VD15. Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + 3 4 cos2x = 4.

HD. + Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình .

Vậy phương trình có nghiệm kx 2

.

+ Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

22 tan1

cos1

, đặt t = tanx :

Ta có kxxtttt 66

tantan33)1(44334 22

Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : kx 2

; ; ( )6

x k k

VD16. Giaûi phöông trình 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4. HD. Phương trình đã cho

3)2cos1(232sin

25)2cos1(5 xxx

72sin52cos7 xx

VD17. Giải phương trình x x2 32 cos 3 cos2 0

4

HD.



34

Phương trình đã cho tương đương:

x x

x x x x

31 cos 2 3 cos2 02

1 sin2 3 cos2 0 sin2 3 cos2 1

xsin 2 sin3 6

x k x k

x k x k

2 23 6 4

5 72 2

3 6 12

( )k

VD18. Giải phương trình x xsin3 3 cos3 1 . HD.

Phương trình đã cho tương đương: x x x1 3 1sin3 cos3 sin 3 sin2 2 2 3 6

x k x k

x k x k

23 23 6 6 3

5 7 23 2

3 6 18 3

( )k

VD19. Giải phương trình xx

x

22 3 cos 2sin2 4

12 cos 1

HD.

Điều kiện: x x k1cos 22 3

, ( )k


x x x x x x2 3 cos 1 cos 2 cos 1 sin 3 cos 0 tan 32

x x ktan 33 , ( )k

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của pt là: x k4 23

, ( )k .

VD20. Giải phương trình x x23sin2 2cos 2 . HD. Phương trình đã cho tương đương: Pt x x3 sin 2 (1 cos2 ) 2 x x3 sin2 cos2 1

xsin 2 sin6 6

x x3 1 1sin 2 cos22 2 2

x kx k

x kx k

2 26 6

2 2 36 6

( )k .

VD21. Giải phương trình osx + 3 s inx + 1 = 0c



35

HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 3 1c o s s i n2 2 2

1c o s c o s s in s i n3 3 2

2c o s ( ) c o s ( )3 3

2 ( )3

2

x x

x x

x

x kk

x k

VD22. Giải phương trình sin 2 3 cos 2 2x x . HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 3sin 2 cos 2 12 2

x x cos sin 2 sin cos 2 13 3

x x

sin 2 13

x

; ( )12

x k k .

4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0.

Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x - 4 ) 2t và

2 1sin x cos2

tx

Phương trình đã cho trở thành at + b2 12

t + c = 0 bt2 + 2at + 2c - b = 0.

MR: f(sinx + cosx, sinxcosx) = 0.

Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x - 4 ) 2t và

2 1sin x cos2

tx

VD1. Giải phương trình :

sin 2x 2(sin x cosx) 2 0

HD. Đặt

t sin x cosx 2 cos x

4. Đieàu kieän: t 2 .

Phöông trình trôû thaønh :

2 t 1t 2t 2 1 0

t = -1- 2(loai)

Suy ra

x k21cos x x k2 (k )4 4 4 x k22

2

VD2. Giải phương trình 2(sin x cos x) tgx cot gx . HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho



36

sin x cos x2(sin x cos x)cos x s inx

2(sin x cos x)sin x cos x 1

ñaët t sin x cosx 2 cos x4

. Đieàu kieän: t 2 .

Phöông trình trôû thaønh : 3 2t t 2 0 (t 2)(t + 2t +1) = 0 t = 2

Suy ra

cos x 1 x k2 ; (k )

4 4

VD3. Giải phương trình 3 3sin x cos x sin 2x sin x cos x . HD. Phương trình đã cho (sin x cosx)(1 sin x cos x) 2sin x cosx sin x cos x

Đặt

2t 1 t sin x cos x 2 cos x sin x cos x4 2

. Đieàu kieän: t 2 .


3 2 2 t 1

t 2t t 2 0 (t 1)(t + 2t 5) = 0 t = 1t 2(loaïi)

.

Suy ra

x k21cos x x k2 (k )24 4 42 x k2

VD4. Giải phương trình 1 1 10cos x sin x

cos x sin x 3 .


1 10(sin x cos x) 1sin x cos x 3

Đặt

2t 1 t sin x cos x 2 cos x sin x cos x4 2

.

Đieàu kieän: t 2 . Phöông trình trôû thaønh :

3 2 23t 10t 3t 10 0 (t 2)(3t 4t 5) = 0

t = 2(loaïi)

2 19 2 19 t = cos(x )3 4 3 2

2 19 t = (loaïi)3

2 19 x ar cos k2 ; (k )4 3 2

VD5. Giải phương trình 3(cot gx cos x) 5(tgx sin x) 2



37

HD. Ñieàu kieäncos x 0sin x 0


3(cot gx cos x 1) 5(tgx sin x 1) 0cos x sin x3 cosx 1 5 sin x 1 0sin x cos xcosx sin x cos x sin x sin x sin x cos x cosx3 5 0

sin x sin x

cos x sin x cosx sin x 0 (1)3 5(cos x sin x cos x sin x) 0 3 5sin x cos x (2)

sin x cos x

Đặt

2t 1t sin x cos x 2cos x t 2,sin x cos x4 2

2 t 1 2(1) t 2t 1 0

t 1 2 (loaïi)

1 2 1 2cos(x ) x arccos k2 ; (k )4 42 2

3 5 3 3(2) tan x x arctan k , (k )

sin x cos x 5 5

VD6. Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0.

HD. Phương trình đã cho 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 t 2 ), phương trình trở thành:

3t2 – 10t + 30 = 0 3( )13

t loai

t

sinx + cosx = 13

sin 24 6

x

Giải ra ta được:

2arcsin 24 6

3 2arcsin 24 6

x k

x k

(k ) .

VD7. Giải phương trình 3 os5x - 2cos3x + sin5x = 0c . HD. Phương trình đã cho



38

3 1os5x + sin 5 os3x cos 5x - os3x2 2 6

125x - 3 2 (k ).6

48 4

c x c c

x kx k

x k

VD8. Với những giá trị nào của m thì phương trình sau vô nghiệm: 2sin2x + msin2x = 2m HD. Phương trình đã cho msin2x - cos2x = 2m - 1 (1)

Phương trình (1) vô nghiệm khi chỉ khi 2 20

1 (2 1) 43

mm m

m

Cách 2. Phương trình đã cho 2sin2x + 2msinxcosx - 2m = 0 (2) * cosx = 0 là nghiệm chỉ khi m = 1. * cosx 0 m 1 : (2) 2tan2x + 2mtanx - 2m(1 + tan2x) = 0 (1 - m)tan2x + mtanx - m = 0 (3) Phương trình (3) vô nghiệm khi chỉ khi m2 +4m(1 - m) < 0 4m - 3m2 < 0.

VD9. Giải phương trình sin2x - cos2x = 23

.

HD. Phương trình đã cho 6sin2x - 3coss2x = 7: vn do 62 + (-3)2 = 45 < 49 = 72.

VD10. Giải phương trình xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3 HD. Phương trình đã cho tương đương xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3

xxxxxx 4cos6sin236cos

214cos26sin36cos

6cos 6 cos 4 6 4 23 3

30 5

x kx x x x k

x k

( )k

VD 11. Giải phương trình 3 18sinxcosx sinx

HD. ĐK : sin 0sin 2 0

cos 0 2x kx x kx

Phương trình đã cho xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4



39

1 3 6cos sin cos3 cos cos32 2 3

12 2

x kx x x x x

x k

( )k

VD12. Giải phương trình xxxx sin3cos)cos3(sin3 . HD. Phương trình đã cho

xxxxxxxx cos23sin

213cos

213sin

23cos3sin3cos3sin3

3 26 3 4sin 3 sin

56 3 3 224 56 3

x x k x kx x

x kx x k

( )k

VD13. Giải phương trình 02cos12)sin(cos122sincossin xxxxxx . HD. Phương trình đã cho 012)cos(sin122sincossin xxxxx

sin cos 0 (1)12(sin cos ) sin 2 12 0 (2)

x xx x x

(1) kx 4

, ( )k

(2) xxtttt

tt cossin113

1013122

sin 2 02

kx x , ( )k .

Vậy phương trình có nghiệm là ; , ( )4 2

kx k x k .

5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0.

Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và

21sin x cos2tx

.

Phương trình đã cho trở thành at + b21

2t + c = 0 bt2 - 2at - 2c - b = 0.

MR. f(sinx - cosx, sinxcosx) = 0.

Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và

21sin x cos2tx

.

VD1. Cho phương trình s in 2 x 4 ( c o s x s in x ) m a) Giaûi phöông trình treân khi m 4 b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình treân coù nghieäm?

HD.



40

a) Khi m 4 , phöông trình coù daïng : s in2x 4(cos x sin x) 4 (1 sin 2x) 4(cos x sin x) 3 0

2(cos x sin x) 4(cosx sin x) 3 0

cos x sin x 1 x 2k2 cos x 1 (k ) 24cos x sin x 3 (vn) x 2k

b) 2s in2x 4(cos x sin x) m (cos x sin x) 4(cosx sin x) m 1 0 (1)

Ñaët :

21 tt cos x sin x 2 cos x t 2,sin x cos x4 2

.

2(1) t 4t m 1 0 Neáu / 5 m 0 m 5 phöông trình voâ nghieäm Neáu / 5 m 0 m 5 phöông trình coù hai nghieäm

/1

/2

t 2

t 2 2 (loaïi)

Vaäy phöông trình coù nghieäm khi chỉ khi: / / /

12 t 2 2 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2

6 4 2 5 m 6 4 2 1 4 2 m 1 4 2 .

VD2. Giải phương trình: 2sin 2 s inx 2cos 02xx

HD. Phương trình đã cho sin 2x sin x cos x 1 0

Đặt

t sin x cosx 2 sin x

4, t 2 , sin2x = 1 - t2.


2 t 0

1 t t 1 0t 1

Suy ra:

cos x 1 x k24 4 (k )3x kcos x 044

VD3. Giải phương trình 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 =0

HD. Phương trình đã cho tương đương 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0 (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0



41

cos 1 (1)2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2)

xx x x x

(1) x = k2, k

Giải(2), đặt t = sinx – cosx (- 2 t 2 ). Phương trình (2) trở thành:

t2 – 2t – 2 = 0 1 3( )

1 3

t loai

t

Với t = 1 - 3 , giải ra ta được:

2 6arcsin 24 2

5 2 6arcsin 24 2

x k

x k

(k )

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:

2

2 6arcsin 24 2

5 2 6arcsin 24 2

x k

x k

x k

(k ).

VD4. Tìm nghiệm của phương trình 1 + cosx + cos2x = sinx + sin2x + sin3x thỏa

mãn điều kiện 32 2

x .

HD. Ta có:

32 2

x

323 6 2 02 603

2 233 22 2 3 32 2

x xx xxx

xx xx

(*)

Phương trình đã cho tương đương 2cos2x + cosx = 2sin2xcosx + 2sinxcosx



42

osx = 0 (1)4sinxcosx + (sinx - cosx) = 1 (2)c

(1) 2x k

Với (2): Đặt t = sinx - cosx = 2 sin(x - 4 ) 2t và

21sin x cos2tx

.

(2) trở thành 2(t2 - 1)+ t = 1 2t2 + t - 3 = 0 t = 1

2 24 4 2

3 224 4

x k x k

x kx k

( k )

Với (*) ta có x = 2 .


4sin27cos2sin3sin2sin32cos8 xxxxxx .

HD. Phương trình đã cho 072sin3)sin(cos8sincos xxxxx

sin cos 0 (2)8(cos sin ) 3sin 2 7 0 (3)

x xx x x

(2) kx 4

, ( )k .

(3) : Đặt t = 2 2cos sin ; ( 2) 1 sin 2 sin 2 1 (4)x x t t x x t

(3) 32

322

0483 2

t

t

ttt , thay vào (4):

sin2x =

kx

kx

95arcsin

2

95arcsin

21

95 ( )k .

VD6. Giải phương trình 02cos2sinsin 23 xxx . HD. Phương trình đã cho

0)1cossincos)(sincos1( xxxxx

2

2

01cossincossin1cos

kx

kx

xxxxx

( )k

VD7. Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22 xxxxxxx . HD. Phương trình đã cho



43

012)cos(sin12cossin0cossin

012)cos(sin12cossincossin

xxxxxx

xxxxxx

2

4

kx

x ( )k .

VD8. Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin 2 xxxxxx . HD. Phương trình đã cho 0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin 2 xxxxxx

012sin2cossin1sin

012sin2cossin1sin0)1(sin2sin21sincos1sin1sin

xxxx

xxxxxxxxxx

VD9. Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin xxxxx . HD. Phương trình đã cho 0sincossincos1cossin 22 xxxxxx

0sincossincossincos1cossin xxxxxxxx 01sincos1cossin)sin(cos xxxxxx

cos sin 0 (1)(sin cos 1)(cos sin ) 1 0 (2)

x xx x x x

(1) kx 4

, ( )k

Giải (2): Đặt t = sinx +cosx ( 2t ) ; 12sin2sin1 22 txxt (3)

(2) 01.12

12

tt 0233 tt 0)2)(1( 2 ttt

12

1

t

tt

thay vào (3) thì sin2x = 0 2kx , ( )k

6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d. Cách 1. Hạ bậc. Phương trình tương đương:

1 os2 1 os2 1 sin 2

2 2 2( ) os2 sin 2

c x c xa b c x d

b a c x c x d a b

Cách 2.

Xét cosx = 0, nếu a = d thì x = 2

k là nghiệm.

Chia 2 vế của phương trình cho cosx 0, ta có:



44

atan2x + b + ctanx = d(1 + tan2x) VD1. Giải phương trình 2 26sin sin x cos os 2x x c x . HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 6tan2x + tanx - 1 = 2(1 + tan2x)

2t anx 1

44 tan t anx 3 0 ( )3 3t anx arctan4 4

x kx k

x k

VD2. Giải phương trình 2 22sin 3sin x cos 5 os 1x x c x HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 2tan2x -3 tanx + 5 = 1 + tan2x

2tan 3t anx + 4 0 x : vn. VD3. Giải phương trình 6sin2x +sinxcosx - cos2x = 2. HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 6tan2x - tanx - 1 = 2(1 + tan2x)

4tan2x - tanx - 3 = 0 t anx = - 1

4 ( ).3 3tanx = arctan4 4

x kk

x k

VD4. Tìm các nghiệm thuộc đoạn [0; ] của phương trình: 2 24sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x . HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 không thỏa phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta có: 4tan2x + 6 3 tanx - 2 = 4(1 + tan2x)

3 tanx = 1 1t anx = , ( ).63

x k k

VD5. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau luôn có nghiệm : msin2x - (2m + 1)sinxcosx + (m + 1)cos2x = 0. HD. Xét cos x = 0 thì sin2x = 1 thỏa phương trình chỉ khi m = 0 cosx 0 thì m 0, phương trình tương đương: mtan2x - (2m + 1)tanx + m + 1 = 0 Thấy ngay phương trình này luôn có nghiệm tanx = 1. VD6. Giải phương trình x x x2 23sin 2sin 2 7 cos 0 . HD. Phương trình đã cho x x x x2 23sin 4sin .cos 7cos 0 (*) + Với xcos 0 , ta thấy không thoả PT (*) + Với xcos 0 , chia 2 vế của PT (*) cho x2cos , ta được:

(*) x x23 tan 4 tan 7 0 x

x

tan 17tan3

x k

x k

47arctan3

( )k



45

VD7. Giải phương trình x x x2 234sin sin 2 cos 02

.

HD. Phương trình đã cho x x x x2 24sin 3sin .cos cos 0 (*) + Với xcos 0 thì (*) xsin 0 (vô lí) xcos 0 không thoả (*) + Với xcos 0 . Chia 2 vế của (*) cho x2cos , ta được:

(*) x x24 tan 3 tan 1 0 x

x

tan 11tan4

x k

x k

41arctan4

( )k

Vậy PT có nghiệm: x k x k1; arctan

4 4

VD8. Giải phương trình x x x2 25sin 4sin 2 6 cos 2 . HD.

x x x2 25sin 4sin 2 6 cos 2 x x x x2 23sin 8sin .cos 4 cos 0 (1) + Với xcos 0 , ta thấy không thoả (1) + Với xcos 0 , chia 2 vế của (*) cho x2cos , ta được:

(1) x x23 tan 8 tan 4 0 x

x

tan 22tan3

x k

x k

arctan( 2)2arctan3

( )k .

VD9. Giải phương trình 2 24sin 2sin 2 2cos 1x x x HD. Phương trình đã cho tương đương:

2 23sin 4sin cos cos 0x x x x

*) cos 02 x x m không thỏa phương trình.

**) cos 02 x x m .

Phương trình đã cho x x23tan 4 tan 1 0

tan 14 ( )1 1tan arctan3 3

x kxk

x x k

.

VD10. Giải phương trình x x x x2 2sin sin cos 4 cos 1 0 . HD. + Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho + Với cosx 0, ta có: Phương trình đã cho tương đương:

x x22 tan tan 3 0 x kx

x x k

tan 143 3tan arctan2 2

( )k .



46

VD11. Giaûi phöông trình cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 HD. + cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm kx 2

.

+ 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

22 tan1

cos1

, đặt t = tanx

Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22 , ( )k VD12. Giaûi phöông trình cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3 HD. + cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm kx 2

.

+ 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos , ddawtj tanx = t. Ta có : kxxtttt 2arctan2tan2)1(331 22 , ( )k

VD13. Giaûi phöông trình 4sin2x – 3sinxcosx + 3 4 cos2x = 4.

HD. + Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình .

Vậy phương trình có nghiệm kx 2

.

+ Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay xx

22 tan1

cos1

, đặt t =

tanx :

Ta có kxxtttt 66

tantan33)1(44334 22

Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : kx 2

; ; ( )6

x k k

VD14. Giaûi phöông trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x. HD. Phương trình đã cho 12sin32cos12sin3sincos 22 xxxxx

3

cos3

2cos212sin

232cos

21

xxx

VD15. Giaûi phöông trình 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4. HD. Phương trình đã cho

3)2cos1(232sin

25)2cos1(5 xxx

72sin52cos7 xx 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0. Xét cosx = 0, sinx = 1. Chia hai vế của phương trình cho cos3x, ta có phương trình bậc ba của tanx.



47

VD1. Giải phương trình 3sin x 2 sin x4

(*) .

HD. Ta coù 2 sin x sin x cos x4

, phương trình đã cho:

3 3 3 312 2 sin x (sin x cosx) sin x (sin x cos x)4 4 2 2

x4xxx2xx22

1 33 sin)cos(sinsin)cos(sin(*)

: coù ta cos cho trình phöôngcuûa veá haiChia . trình phöôngmaõn thoûa khoângcos 0x0x 3 3 2 2(tan 1) 4 tan (1 tan ) (tan 1)(3 tan 1) 0 tan 1

(k )4

x x x x x x

x k

VD2. Giải phương trình xxxx 2coscossintan . Cách 1.

+ ĐK: mx 2

.

Phương trình đã cho xxxx 32 coscossinsin (1). + cosx = 0 không thỏa (1) . + cosx 0, chia hai vế (1) cho cos3x được :

2tan (1 tan ) tan 1 tan 14

x x x x x k , ( )k

Cách 2. Phương trình đã cho xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin kxxx

41tan1tan3 , ( )k

VD3. Giải phương trình xxx cossincos3 . Cách 1. + cosx = 0 không thỏa phương trình đã cho. + cosx 0, chia hai vế phương trình đã cho cho cos3x : )tan1()tan1(tan1 2 xxx

32

tan 0tan 2 t anx 0 tan 0

tan 2 0 (vn)x

x x x kx

, ( )k

Cách 2. 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22 xxxxxxxxx

sin 0

sin (sin 2 2) 0 sin 0sin 2 2 0 (vn)

xx x x x k

x

, ( )k

VD4. Giải phương trình 0cos2cossincos2sin3 233 xxxxx . Cách 1. + cosx = 0 không thỏa. + cosx 0, chia hai vế phương trình đã cho cho cos3x được :



48

0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223 ttttxxx

kx

kx

x

x

t

t

33tan

0tan

3

0 ( )k

Cách 2. Phương trình đã cho 0)cos1(cos2cossinsin3 223 xxxxx 0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222 xxxxxxxx

kx

kx

x

kx

xx

x

33tan0cos3sin

0sin ( )k

VD5. Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0. Cách 1. + cosx = 0 thì sinx = 1 không thỏa phương trình. + cosx 0 : Chia hai vế cho cos4x ta có:

4 2 t anx=1

tan 4 tan 3 0tanx=3

x x

Cách 2. Phương trình đã cho 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224 xxxxxx

0)sin(cossin)sin(coscos3 222222 xxxxxx

3tan

02cos0)sincos3(2cos 22

x

xxxx

8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0. Đặt t = tanx + cotx 2tan . t anx 1 0, 2x t t , tan2x + cot2x = t2 - 2

VD. Giải phương trình (1) )cot(sin

04gxtgx5xtg2x

2 22

HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2

kx x x x

2 2(1) 2(1 cot ) 2 tan 5(tan cot ) 4 0x x x x 04gxtgx52gxtgx204gxtgx5xgxtg2 222 )cot(])cot[()cot()cot(

22(tan cot ) 5(tan cot ) 0x x x x (1) Ñaët 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2t x x t x x x x

2 2tan cot 2x x 42xgxtg2 22 cot

2t

2t2t4t 2 .

2 5(1) 2t 5t 0 t2

hoặc t = 0 (loại)



49

Khi 2 25 sin cos 5 12(sin cos ) 5sin cos sin 22 cos sin 2 5

x xt x x x x xx x

1 1x arcsin - k2 5

(k )1 1x arcsin - k

2 2 5

9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 Đặt t = tanx - cotx 2tan .t anx - 1 0,x t Phương trình có nghiệm với mọi t. tan2x + cot2x = t2 + 2. Phương trình đã cho tương đương: at + b(t2 + 2) + c = 0 VD. Giải phương trình 3tan2x + 4tanx - 4cotx + 3cot2x - 13 = 0. HD. Đặt t = tanx - cotx 2tan . t anx - 1 0x t . Phương trình có nghiệm với mọi t. tan2x + cot2x = t2 + 2. Phương trình đã cho tương đương: 4t + 3(t2 + 2) - 13 = 0

3t2 + 4t - 7 = 0 t = 1 hoặc t = - 73

t = 1: 2

1 5 1 5t anx arctan2 2tan t anx - 1 0 (k )

1 5 1 5t anx arctan2 2

x kx

x k

t = 73

:

2

7 85 7 85t anx arctan6 63 tan 7 t anx - 3 0 (k )

7 85 7 85t anx arctan6 6

x kx

x k

10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1. BiÕn ®æi vÒ tÝch.

VD1. Giải phương trình: 1 12 2 sin x

4 sin x cosx

.

HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x .

2 sin xsin x cos x 42 2 sin(x ) 2 2 sin x

4 sin x cos x 4 sin x cos x

sin(x ) 0 x k12 sin x 2 0 4 44 sin x cos x 2sin x cos x 1 sin 2x 1



50

x k4 x k ; (k )

4x k

4

thỏa điều kiện.

VD2. Giải phương trình cos4x sin x sin 7x cos2x . HD. Phương trình đã cho

cos 4x cos2x sin 7x sin x 2 cos3x cos x 2sin 4x cos3x

3x kcos3x 0 2sin 4x cos x sin 4x sin x

2

x k x k6 3 6 3

24x x k2 x k (k )2 10 5

24x x k2 x k2 6 3

VD3. Giải phương trình s inx 2 cosx cos2x 2sin x cos x 0 . HD. Phương trình đã cho

2s inx 1 2sin x 2 cos x(1 sin x) 0

s inx 1s inx 1

(1 s inx)(2sin x 2 cos x 1) 0 1sin x2(sin x cos x) 14 2 2

x 2k2

1x arcsin 2k (k )4 2 2

3 1x arcsin 2k4 2 2

.

VD4. Giải phương trình 4 6cos x sin x cos2x . HD. Phương trình đã cho

4 6 4 4 6 4cos x sin x cos x sin x sin x sin x 0

4 22

s inx 0sin x(sin x 1) 0 x k

1 sin x 0 (vn); ( )k

VD5. Giải phương trình x 3x x 3x 1cos x.cos .cos sin x.sin .s in2 2 2 2 2

.




51

1 1 1cos x(cosx cos2x) sin x(cos x cos2x)2 2 2

2

2

cos x cos x cos2x sin x cos x sin x cos2x 1cos x cos2x sin x cos2x sin x sin x cos xcos2x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(cos2x sin x) 0

2 2(cos x sin x)(1 2sin x sin x) 0 (cosx sin x)(2sin x sin x 1) 0

x k4

tgx 1 x k22sin x 1 (k )

x k21sin x 62 5x k2

6

VD6. Giải phương trình 6 616(sin x cos x 1) 3sin 6x . HD. Phương trình đã cho

2 3316 1 sin 2x 1 3(3sin 2x 4sin 2x)4

3 2 24sin 2x 4sin 2x 3sin 2x 0 sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3) 0

2

sin 2x 0sin 2x(4sin 2x 4sin 2x 3) 0 sin 2x 1/ 2

sin 2x 3 / 2 (vn)

k 5x ,x k ,x k ; (k )2 12 12

VD7. Giải phương trình (1 tgx)(1 sin 2x) 1 tgx (1). HD. Ñieàu kieän :cosx 0

2

2

(cos x sin x)(cosx sin x) cos x sin x(1)cos x cos x

(cos x sin x)(cos x sin x) cos x sin x

2 2

cos x sin x 0 tgx 1x k ,x k ; (k )

4cos2x 1cos x sin x 1

VD8. Giải phương trình 2 2 2 3sin x sin 2x sin 3x2

HD. Phương trình đã cho cos2x cos4x cos6x 0 cos 4x(2 cos2x 1) 0

1 kcos 4x 0 cos2x x ,x k ;2 8 4 3

( )k



52


1 12 2cos x4 sin x cos x .

HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho

2cos x4cosx sin x2 2cos x 2 2cos x

4 sin x cos x 4 sin x cos x

cos x 0 cos x 0cos x 0 4 44sin x cosx 0 sin 2x 0122sin x cos x 1 sin 2x 1sin x cos x

x k2 sin 2x sin 1 04 2

x ksin 2x 0 4

sin 2x 1 2x 2k x k2 4

; ( )k

VD10. Giải phương trình cosx cos2x cos3x cos4x 0 HD. Phương trình đã cho

cos x 05x x 5x4 cos x.cos .cos 0 cos 02 2 2

xcos 02

.

2kx k ,x ,x 2k ;2 5 5

( )k

VD11. Giải phương trình 2 2 2sin x cos 2x cos 3x . HD. Phương trình đã cho

1 cos2x 1 cos 4x 1 cos6x (cos2x cos 4x) (1 cos6x) 02 2 2

22 cos3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos3x(cos x cos3x) 0 4 cos3x.cos2x.cos x 0



53

kx6 3cos3x 0

kcos2x 0 x (k )4 2

cos x 0x k

2

VD12. Giải phương trình 6 6 8 8sin x cos x 2(sin x cos x) . HD. Phương trình đã cho

6 2 6 2sin x(1 2sin x) cos x(2 cos x 1) 0 6 6 kcos2x(sin x cos x) 0 cos2x 0 x

4 2

; ( )k

VD13. Giải phương trình x28

13xx 266 cossincos .


x28

13xx 23232 cos)(sin)(cos

x28

13xxxxxx 2224422 cos)cossinsin)(cossin(cos

x213x228x2x28

13x241x2

211x2 22222 cos)sin(coscos)sinsin(cos

06x213x22

0x2x213x2128

0x2x213x228

0x2222 coscos

coscos)cos(

coscossin

cos

cos 2 0

1cos 22

cos 2 6( )

x

x

x vn

, (k )4 2 6

x k x k

VD14. Giải phương trình )cos(sincossin xx2xx 5533 . C1. phương trình đã cho tương đương:

3 5 5 3sin 2sin 2cos cosx x x x 3 2 3 2 3 3

3 3

sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2os2 ( os sin ) 0

x x x x x x x xc x c x x

3 3 3

cos2x 0 cos2x 0 cos2x 0x m ,x k

4 2 4tgx 1sin x cos x tg x 1

x m (m )4 2

C2. )cos(sincossin xx2xx 5533 )cos(sin)cos)(sincos(sin xx2xxxx 552233



54

3 2 3 2 5 5

3 2 2 3 2 2

sin cos cos sin sin cossin (cos sin ) cos (cos sin )

x x x x x xx x x x x x

xx

0xx0xx0xx0xxxx

22

33

223322

sincossincos

sincossincos)sin)(cossin(cos

2 22 2cos sin 0

cos sin 0 cos 2 0 (k )4 2cos sin

x xx x x x k

x x

VD15. Giải phương trình x3x2x 222 coscossin . HD. Phương trình đã cho

0x61x2x42

x612

x412

x21

)cos()cos(coscoscoscos

0xx2x340x3xx320x32xx32 2 coscoscos)cos(coscoscoscoscoscos 0cos 2 0 , , (k )

2 4 2 6 3cos3 0

xx x k x k x kx

VD16. Giải phương trình 4 41 2(sin cos )x x . HD. Phương trình đã cho

2 4 2 4sin 2sin 2cos cosx x x x 2 2 2 2 2 2

2 2 2

sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2

os2 ( os sin ) 0 os 2 0 os2 0 ; (k )4 2

x x x x x x x x

c x c x x c x c x x k

Cách 2. 4 4 2 2 2 2 2

2 2

1 2(sin cos ) 1 2((sin os ) 2sin cos )1 2 sin 2 os 2 0.

x x x c x x xx c x

VD17. Giải phương trình 0x5x33 44 cossin 0x5xx21330x5x133 442422 cos)coscos(cos)cos(

1x22

0x3x212

0x3x4

0xx6x822

2

224

coscos

)cos(cos

coscoscoscos

cos x 0x k , 2x k2 x k , x k ;(k )1 2 3 2 6cos2x

2

VD18. Giải phương trình 3 sin x 2 cos x 2 3 tan x . HD. ĐK: cos 0x . Phương trình đã cho 3tan x cos x 2 cos x 2 3tan x cos x(3 tan x 2) 2 3 tan x . Ñaët : t tan x

22 x arctan k3 tan x 2 0 tan x (k )33cos x 1 cos x 1 x 2k



55

VD19. Giải phương trình 34 cos x 3 2 sin2x 8cosx HD. Phương trình đã cho

3 24 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 2 cos x(2 cos x 3 2 sin x 4) 0

2 22 cos x(2sin x 3 2 sin x 2) 0 cos x 0,sin x 2 (vn),sin x2

3x k ,x 2k ,x 2k ;2 4 4

( )k

VD20. Giải phương trình 8 8 6 62(sin x cos x) sin x cos x HD. Phương trình đã cho

8 6 6 82cos x cos x sin x 2sin x 6 2 6 2 6 6cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos x cos2x sin x cos 2x

6 6 6

x mcos2x 0 cos2x 0 cos2x 0 4 2 x m ; (m )4 2tan x 1sin x cos x tan x 1 x k

4

VD21. Giải phương trình 8 8 10 10 5s in x cos x 2(sin x cos x) cos2x4

.

HD. Phương trình đã cho 10 8 8 8 52 cos x cos x 2sin x sin x cos2x 0

4

8 2 8 2

8 8

5cos x(2 cos x 1) sin x(1 2sin x) cos2x 04

5cos x cos2x sin x cos2x cos2x 04

8 88 8

cos2x 05cos2x cos x sin x 0 54 sin x cos x 1 vo â nghieäm4

kx4 2

, ( k )

VD22. Giải phương trình 32 cos x cos2x sin x 0 . HD. Phương trình đã cho

3 2 22 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 cos x(1 cos x) (1 sin x) 0 (1 sin x)(cos x sin x)(cos x sin x 2) 0 (1 sin x)(cos x sin x) 0

x k2sin x 1 2 (k )tan x 1 x k

4

VD23. Giải phương trình 9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8 .



56

HD. Phương trình đã cho 29sin x 6 cos x 6sin x cosx 1 2sin x 8

22sin x 9sin x 7 6 cos x(sin x 1) 0(sin x 1)(2sin x 7) 6 cos x(sin x 1) 0

sin x 1(sin x 1)(2sin x 6 cos x 7) 0

2sin x 6 cos x 7 (vn)

x 2k ; (k )2

VD24. Giải phương trình 4cosx 2 cos2x cos4x 1 . HD. Phương trình đã cho

24 cosx 2 cos2x 1 cos 4x 4 cos x 2 cos2x 2 cos 2x 2 cos x 0

4 cos x 2 cos2x(1 cos2x) 4 cos x 4 cos2x cos xcos2x cos x 1

cos x 0 x k2

2

cos x 1cos x 1cos2x 1 2 cos x 1 1

cos2x cos x 1cos x 1 cos x 1

(vn)cos2x 1 cos2x 1

cos x 1 x 2k ; (k )

VD25. Giải phương trình 2sin x sin x sin x cos x 1 (1) HD. Ñieàu kieän :sin x 0

2 21 1(1) sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x4 4

2 21 1sin x cos x sin x cos x1 1 2 2sin x cos x1 12 2 cos x sin x 1sin x cos x2 2

22 2

cos x 0cos x 0 cos x 0

sin x sin x 1 0sin x cos x sin x 1 sin x

sin x 0cos x sin x 1 cosx sin x 1 cos x 1

cos x 01 5x arcsin k21 5sin x (vì sin x 0) 2

2 x 2kx 2k

(k )



57

VD26. Giải phương trình 1 1 1

cos x sin 2x sin 4x .

HD. Ñieàu kieän :sin 4x 0 1 1 1 1 1 1

cos x sin 2x sin 4x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x cos2x

22sin x cos2x cos2x 1 0 2sin x cos2x 1 cos2x 2sin x cos2x 2sin x sin x 0 (loaïi)

2kx x 2kcos2x sin x cos x 6 3 2

2

VD27. Giải phương trình 2 2 2sin x cos 2x cos 3x . HD. Phương trình đã cho

1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x cos2x cos 4x 1 cos6x 02 2 2

22 cos3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos3x(cos x cos3x) 0 4 cos3x cos2x cos x 0

x k6 3

x k (k )4 2

x k2


1 12 2 sin x (1)4 sin x cos x

HD. Ñieàu kieän :cos x 0 ksin 2x 0 xsin x 0 2

sin x cosx 0 tan x 1sin x cos x(1) 2(sin x cos x)sin x cos x sin 2x 1 sin 2x 1

x k n4 x ; (n )4 2

x m4

VD29. Giải phương trình tan x cot x 2(sin 2x cos 2x)

HD. Ñieàu kieän :cos x 0

sin 2x 0sin x 0

sin x cos x tan x cot x 2(sin 2x cos2x) 2(sin 2x cos2x)cosx sin x

1 2(sin 2x cos2x)sin x cos x



58

22 2(sin 2x cos2x) 1 sin 2x(sin 2x cos2x) 1 sin 2x sin 2x cos2xsin 2x

2

kxcos2x 0 4 2cos 2x sin 2x cos2x (k )ktg2x 1 x

8 2

VD30. Giải phương trình 4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1) . HD. Phương trình đã cho

28sin x cos x 3(1 2sin x) 12sin x 3

2 2 2

sin x 0sin x(4 cosx 3sin x 6) 0

4 cos x 3sin x 6 (vn vì a b 25 c 36)

x k ; (k )

VD31. Giải phương trình 3tan x cot x 2 cot 2x

HD. Ñieàu kieän :

cos x 0ksin x 0 sin 2x 0 x2

sin 2x 0

3 3

3 3

sin x cos xtan x cot x 2 cot 2x 2 cot 2xcos x sin x

2 cos2x 2 cot 2x cot 2x cot 2xsin 2x

2

cot 2x 0 k2x k x ; (k )2 4 2cot 2x 1 (vn)

VD32. Giải phương trình 3s in x 2 s in x4

(1)

Cách 1. Đặt 4

x t

3 3

2

(1) s in t 2 s in t s in t s in t c o s t4

s in t (1 c o s t ) s in t c o s t c o s t (1 s in t c o s t ) 0c o s t 0 ( 2 )

1 s in t c o s t 0 ( 3 )

(3) 11 sin 2 0 sin 2 22

t t (vn)

(2) 3 ; (k )2 4

t k x k .

Cách 2. Ta coù : 2 sin x sin x cos x4

3 2(1) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x



59

2 2

(sin cos )(1 2sin cos ) 4sincos 3sin 2sin cos 2sin cos 0

x x x x xx x x x x x

02x2x2x2x03x2x1x2x 22 )(cossin)(coscos)cos(sin)sin(cos

cos 2 2 (vn)(cos 2 2)(cos sin ) 0 (k )

tan 1 4x

x x x x kx

Cách 3. 3 3 2 2 3(1) (sin cos ) 4sin sin 3sin cos 3sin cos os 4sinx x x x x x x x c x x

cos 0 s inx 1x : Không thỏa phương trình. Chia hai vế của phương trình cho cosx:

3 2 2

3 2

tan 3 tan 3 tan 1 4 tan (1 tan ) 0

3tan 3 tan t anx 1 0 t anx 1 ; (k )4

x x x x x

x x x k

VD33. Giải phương trình 2tan 2x cot x 8cos x .

HD. Ñieàu kieän :cos2x 0sin x 0

Phương trình đã cho 2sin 2x cos x 8cos x cos2x sin x

.

2

2

sin 2xsin x cos2x cos x 8cos xcos2xsin x

cos x 0cos x 8cos x cos2xsin x

8cos x cos2xsin x 1

cos x 0 cos x 0 cos x 04 cos2xsin 2x 1 2sin 4x 1 sin 4x 1/ 2

k 5 kx k ,x ,x ; (k )2 24 2 24 2

VD34. Giải phương trình 22 tan x cot x 3

sin 2x .

HD. 2sin x cosx 13 (1)cos x sin x sin x cos x

.

Ñieàu kieän : sin x 0

sin x cosx 0cos x 0

2 2 2

2

(1) 2sin x cos x 3 sin x cos x 1 1 sin x 3 sin x cos x 1

sin x 3 sin x cos x

sin x 0 (loaïi)tgx 3 x k

3sin x 3 cos x

; (k )

VD35. Giải phương trình 4 4x xcos sin sin 2x2 2 .



60

HD. Phương trình đã cho 2 2x xcos sin sin 2x cos x 2sin x cos x

2 2

cos x 0 5x k ,x 2k ,x 2k ; (k )2 6 6s inx 1/ 2

VD36. Giải phương trình 2(2 sin x 1)(2 sin 2x 1) 3 4 cos x . HD. Phương trình đã cho

22sin xsin 2x 2sin x 2sin 2x 1 3 4(1 sin x)

2 28sin x cos x 2sin x 4sin x cos x 4sin xsin x 04sin x cos x 1 2 cos x 2sin x

sin x 04sin x cos x 2(sin x cos x) 1 0

5 5x k ,x 2k ,x 2k ,x 2k ,x 2k ; (k )6 3 6 3

VD37. Giải phương trình (2 cos x 1)(2 sin x cos x) sin 2x sin x . HD. Phương trình đã cho

(2 cos x 1)(2sin x cosx) 2sin x cos x sin x

12 cos x 1 0 cos x(2 cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2 cosx 1) 2sin x cos x 0 tgx 1

x 2k3 (k )

x k4

VD38. Giải phương trình 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x . HD. Phương trình đã cho

1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x2 2 2 2

(cos12x cos10x) (cos8x cos6x) 0 cos x(cos11x cos 7x) 0cos xsin 9xsin 2x 0

kxsin 2x 0 2 (k )kcos9x 0 x9

VD39. Tìm x thuoäc ñoaïn [0;14] nghieäm ñuùng phöông trình: cos3x 4 cos2x 3cosx 4 0 . HD. Phương trình đã cho tương đương:



61

3 2cos3x 4 cos2x 3cos x 4 0 4cos x 3cosx 4(2 cos x 1) 3cos x 4 0

3 2 24cos x 8cos x 0 4 cos x(cos x 2) 0cos x 0

x k ; (k )2cos x 2(vn)

Vì x 0;14 k 0, k 1, k 2, k 3.

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:

3 5 7x ,x ,x ,x .2 2 2 2


2 2 2x xsin tan x cos 0 (1)2 4 2

HD. Ñieàu kieän : cos x 0 x k2

22

2

1 cos x 1 cos x2 21 cosx sin x 1 cos x(1) . tan x 0 . 0

2 2 2 2cos x

2 2

2

2

1 sin x sin x 1 cos x sin x 1 cos x. 0 02 2 2(1 sin x) 21 sin x

sin x (1 cosx)(1 sin x) 0

(1 cos x)(1 cosx) (1 cos x)(1 sin x) 0 (1 cosx)(sin x cos x) 0

x 2kcos x 1 (k )

tgx 1 x k4

VD41. Giải phương trình 2 2 2sin 3x sin 2x s in x 0 . HD. Phương trình đã cho

2 21 cos6x 1 cos2x 1sin 2x 0 (cos2x cos6x) sin 2x 02 2 2

2 2 2 2sin 4x sin 2x sin 2x 0 2sin 2x cos2x sin 2x 0 sin 2x(2 cos2x 1) 0

ksin 2x 0 x2 (k )1cos2x x 2k2 3

.

VD42. Giải phương trình 3sin x sin 2x sin 3x 6 cos x . HD. Phương trình đã cho

2 3 32sin x cos x 3sin x 4sin x 6 cos x

3 2 2tan x 2 tan x 3 tan x 6 0 (tan x 2)(tan x 3) 0x arctan 2 kt anx 2

(k )x kt anx 3

3



62

VD43. Xaùc ñònh a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông : 2 cosx cos2x 1 cos2x cos3x 24 cos x cos3x a cosx (4 a)(1 cos2x) HD. 2 22 cos x cos2x 1 cos2x cos3x cos3x cos x 2cos x cos3x cos x 2cos x

cosx 0 cos x 1/ 2 24 cos x cos3x acosx (4 a)(1 cos2x)

2 3 24 cos x (4 cos x 3cos x) acos x 2(4 a) cos x 3 24 cos x (4 2a) cos x (a 3)cosx 0 cos x(2 cos x 1)(2 cos x a 3) 0

cos x 01cos x2a 3cos x

2

Hai phöông trình töông ñöông khi chỉ khi:

a 3 12

a 1a 3 1 a 52a 3 a 30

2 a 4a 3 1

2 2

VD44. Giải phương trình 24 cos x cos3x 6 cos x 2(1 cos2x) . HD. Phương trình đã cho

2 3 24 cos x (4 cos x 3cos x) 6 cos x 4 cos x 3 24 cos x 3cos x 0 cos x(4 cos x 3) 0 cos x 0 x k

2

; (k )


3sin x 2 sin x (1)4

.

Ñaët : t x x t4 4

3 3 2(1) sin t 2 sin t sin t sin t cos t sin t(1 cot t) sin t cos t

4



63

cost 0 cost 0cos t(1 sin t cos t) 0

sin t cos t 1 sin 2t 2 (vn)

t k x k ; (k )2 4

Cách 2. Ta coù :

2 sin x sin x cos x

4

3 2(1) (sin cos ) 4sin (sin cos )(sin cos ) 4sinx x x x x x x x

2 2

(sin cos )(1 2sin cos ) 4sincos 3sin 2sin cos 2sin cos 0

x x x x xx x x x x x

2 2cos (2sin 1) sin (2cos 3) 0 cos (2 cos 2 ) sin (cos 2 2) 0x x x x x x x x

cos 2 2 (vn)(2 cos 2 )(cos sin ) 0 (k )

tan 1 4x

x x x x kx

Cách 3.

3

3

3

3 2 2 3

1 sin x 2 sin x (s inx cos x) 2 sin x4 2

(s inx cos x) 4 sin xsin x 3 sin x cos x 3 sin x cos x cos x 4 sin x 0 (2)

cosx = 0 s inx 1 : Không thỏa (2) Chia hai vế của phương trình cho cos3x. Ta có phương trình:

3 2 2

3 2

tan x 3 tan x 3 tan x 1 4 t anx(1 tan x) 03tan x 3 tan x tan x 1 0

t anx 1 x k ; (k ).4

VD46. Giải phương trình 6 6 13cos x sin x8

HD. Phương trình đã cho 2cos2x(2 cos 2x 13cos2x 6) 0

kcos2x 0 x4 2cos2x 6 (vn)

x k1cos2x 62

( )k .

VD47. Giải phương trình cos3x - cosx - sinx = 0. HD. cos3x - cosx - sinx = 0 2 2cos ( os 1) s inx 0 cos ( sin ) s inx 0x c x x x .

VD48. Giải phương trình cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx



64

HD.

2 2 2

cos2x + 1 + sin2x = 2 sinx + cosx

cos x - sin + (sinx cos ) = 2 sinx + cosx (*)x x

Điều kiện: s inx cos 0 (1)cos s inx 0 (2)

xx

(*) sinx + cosx cosx - sin + sinx cos - 2 = 0

sinx + cosx 0 (3)

cosx - sin + sinx cos - 2 0 (4)

x x

x x

(3) thỏa (1) và tương đương với tanx = - 14

x k , nhưng do (2) nên ta có

24

x k .

(4) cosx-sinx + cosx+sinx = 2 (*)

Mặt khác cosx-sinx + cosx+sinx 2cosx-sinx cosx+sinx) 4cos 4 2x

Nên (*) cosx-sinx = cosx+sinx sinx 0 thỏa (1) và (2) Suy ra x = k .

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho: 24

x k , x = k ; ( )k

VD49. Giải phương trình cos2x + 1 - sin2x = 2 sinx - cosx HD. Tương tự VD50. Chú ý 1 - sin2x = (sinx - cosx)2. VD50. Giải phương trình 2cos3x - cos2x + sinx = 0. HD. 2cos3x - cos2x + sinx = 0

3 2 2

2

2cos 2cos 1 s inx = 0 2cos (cos 1) (1 sin ) 02(1 sin )(cos 1) (1 s inx) 0

x x x x xx x

VD51. Giải phương trình 4cosx+ cos4x + 2cos2x + 1 = 0 HD. 4cosx+ cos4x + 2cos2x + 1 = 0 4cosx + 2cos2x + 1 + cos4x = 0 4cosx + 2cos2x + 2cos22x = 0 4cosx + 2cos2x(1 + cos2x) = 0 4cosx + 4cos2x.cos2x = 0 VD52. Giải phương trình 2(tanx - sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0. HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho

2sin 3cos (2sin 3cos ) 5 0cos s inx

x x x xx

2 22sin 3cos (2sin 3cos )sin x cos 5sin cos 0x x x x x x x 2 22sin 3sin cos 3cos 2sin cos (2sin 3cos )sin x cos 0

s inx(2sin 3cos ) cos (2sin 3cos ) (2sin 3cos )sin x cos 0x x x x x x x x x

x x x x x x x x

VD53. Giải phương trình cos3x + sin3x = sinx - cosx.



65

HD.Phương trình đã cho 3 2 3 2os cos s inx(sin 1) 0 os cos s inxcos 0c x x x c x x x cosx(cos2x - sinx cosx + 1) = 0. Cách khác. Phương trình đã cho tương đương xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin

xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin 0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2 xxxxxxxxx

0)2sin2cos3(cos0)2sin21

22cos12(cos

xxxxxx

cos 03 os2x - sin2x = 0 (vn) 2

xx k

c

, ( )k .

VD54. Giải phương trình 4sin2x - 3cos2x - 6sinx - 8cosx + 3 = 0 HD. 4sin2x - 3cos2x - 6sinx - 8cosx + 3 = 0 28sin cos 3(1 2sin ) 6sin 8cosx x x x x + 3 = 0

28sin cos 6sin 6sin 8cos 0x x x x x sin (6sin 8cos ) (6sin 8cos ) 0x x x x x .

VD55. Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 HD. Điều kiện: cos2x 0 và sin3x 0

3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0

3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0

tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0

(3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0

23 3cot 3 333tan 2 3 3

x kx

x kx

(k )

29 3

6 2

x k

x k

(k )

VD56. Giải phương trình 1 tan 2 sin1 cot

x xx

HD. Điều kiện: cosx 0, sinx 0 và cot x -1.



66

1 tan cos sin sin2 sin . 2 sin1 cot cos sin cos

x x x xx xx x x x

sin 2 sincos

x xx sinx 12 0

cos x

sin 0

2cos2

x

x

x = 24

k , k

x = - 24

k , k bị loại do điều kiện cot x -1. Vậy nghiệm của của phương

trình đã cho là x = 24

k , k .

VD57. Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x (0,2) HD. Điều kiện: cos3x 0, cos4x 0 và cos5x 0.

tan3x -2tan4x + tan5x = 0 sin8 2sin 4 0cos3 cos5 cos 4

x xx x x

2sin 4 cos 4 2sin 4 0cos3 cos5 cos 4

x x xx x x

2sin4x 2cos 4 cos3 cos5 0

cos3 cos 4 cos5x x xx x x

2sin4xsin2x = 0 sin 4 0sin 0

xx

4

44

x k x kx k

x k x k

(k )

Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:

1 2 3 4 53 5 7; ; ; ;

4 4 4 4x x x x x

VD58. Giải phương trình 3cosx - sin2x = 3 cos2x + 3 sinx HD. 3cosx - sin2x = 3 cos2x + 3 sinx

3cosx - 3 sinx = sin2x + 3 cos2x

3 ( 3 cosx - sinx) = sin2x + 3 cos2x

(Loại)



67

3 1 1 33 cos s inx sin 2 os22 2 2 2

3 cos sin 2 3 cos 2sin cos6 3 6 6 6

x x c x

x x x x x

VD59. Tìm nghiệm của phương trình 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 thuộc [ 0 ; ]. HD. Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x

2cosx = 0 (1)

4 os3xcosx = 2 3 os 2s inxcosx2cos3x = 3 osx + sinx = 0 (2)

c c xc

(1) osx = 0 x = 2

c k

(2) 3x = x - 2

62 os3x = 3 osx + sinx cos3x = cos(x - )6 3 2

6

kc c

x x k

12 ( )

24 2

x kk

kx

vì x 11 130; , , ,2 12 24 24

x x x x .

VD60. Giải phương trình: 3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x . HD. Phương trình đưa về:

)(4cos1cos

3tan

04cos3cos0sincos3

0)8cos6cos2)(sincos3(

2

2

loaixxx

xxxx

xxxx

, ( )32

x kk

x k

VD61. Giải phương trình 2 sin 2 3sin cos 24

x x x

.

HD. Phương trình đã cho sin 2 cos 2 3sin cos 2x x x x

22sin cos 3sin 2cos cos 3 0x x x x x .



68

2cos 3 sin cos 1 2cos 3 0

sin cos 1 2cos 3 0

2cos 3 0 (1)sin cos 1 0 (2)

x x x x

x x x

xx x

(1) 3cos2

x : VN

(2) 21sin cos 1 sin 24 2 2

x kx x x

x k

( k )

VD62. Giải phương trình 2sin 2 4sin 16

x x

.

HD. Phương trình đã cho 3 sin 2 cos 2 4sin 1 0x x x 22 3 sin cos 2sin 4sin 0x x x x .

2 3 cos sin 2 sin 0

sin 0 (1)

3 cos sin 2 0 (2)

x x x

x

x x

(1) sin 0x x k .

(2) 5sin 3 cos 2 sin 1 23 6

x x x x k

.

VD63. Giải phương trình 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c HD. Phương trình đã cho 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x

os x = 0

2cos5x = sinx + 3 cos

c

x

cos 0

os5x = cos(x - )6

x

c

2

(k )24 2

242 7

x k

kx

kx

VD64. Giải phương trình: 2 22sin 2sin t anx4

x x

HD. Điều kiện : cos 0x (1) 2 2 2 sinx2sin 2sin t anx 1 cos 2 2sin

4 2 cosx x x x

x



69

2cos sin 2 .cos 2sin .cos sinxcos sinx sin 2 cos sinx 0

x x x x xx x x

t anx 1sinx cos 4 ,( )sin 2 1 4 22 2

2 4

x kxx k k

x x l x l

VD65. Giải phương trình: )

2sin(2

cossin2sincot

21

xxx

xx .

HD. §iÒu kiÖn: .0cossin,0sin xxx

Phương trình đã cho tương đương 0cos2cossincossin2

sin2cos

xxxxx

xx

02sin)4

sin(cos

0cossin

cos2sin2

cos 2

xxx

xxx

xx

i) .,2

0cos kkxx

ii) 22 2

44sin 2 sin( ) ( )24 2 2

4 34

x kx x kx x k

kxx x k

2 , ( ).

4 3kx k

So sánh ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ:

kx 2

; 2 , ( ).

4 3kx k

VD66. Giải phương trình 2 21 sin sin cos sin 2cos .2 2 4 2x x xx x

HD.

xsin1x2

cos1xsin2

xcosxsin

2

xsin11 2

012

xcos

2

xsin2.

2

xcos

2

xsinxsin01xsin

2

xcos

2

xsinxsin

012

xsin2

2

xsin21

2

xsinxsin 2



70

2

sin x 0x k

x kxsin 1 x k , kx

2 x k4k22 2x x

2sin 2sin 12 2

VD67. Giaûi phöông trình : 0sincos2cos2sin xxxx . HD. Phương trình đã cho 01coscos2)sincossin2( 2 xxxxx

0)1cos)(sin1cos2(0)1)(cos1cos2()1cos2(sin

xxxxxxx

2 21 3 3cos2 2 2

4 4 22 sin( ) 13 24 2

4 4

x k x kx

x k x kx x kx k

23 3

22

x k

x k

( )k

VD68. Giải phương trình 32 cos 2 0cos x x sinx . HD. Phương trình đã cho:

0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223 xxxxxx 0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2 xxxx

0)12sincos2sin2)(sin1(01)cos1)(sin1(2)sin1(

xxxx

xxx

0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2 xxxxx

1 sin 0(1 sin )(sin cos )(sin cos 2) 0 sin cos 0

s nx + cosx + 2 = 0 (vn)

xx x x x x x x

i

2

4

x k

x k

( )k .

Ví dụ 69. Giải phương trình 82cos2sin3cos3sin9 xxxx . HD. Phương trình đã cho 09cos2cos3cossin6sin9 2 xxxxx

0)3)(cos3cos2()cos23(sin3 xxxx



71

3osx = (vn)

(2cos 3)(cos 3sin 3) 0 2cos 3sin 3 0

cx x x

x x

sinsinsincoscos103sin

103cos

101

xxxx

2

2cos( ) cos2 2

2

x kx

x k

( )k

trong đó 1 3cos ; sin10 10

VD70. Giải phương trình xxxxx cossin2coscossin 266 . HD.

)cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx = = xxxx 2244 cossincossin

xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos Phương trình đã cho

2 2 s inxcosx = 0sin cos sin cos 0

s inxcosx + 1 = 0 sinx = 0cosx = 0 , (k )

2sin2x + 2 = 0 (vn)

x x x x

x k

.

VD71. Giải phương trình xxx2

1 cos21 cot 2sin 2

HD.

ĐK: x x ksin 2 02

, ( )k


x x x x x xx x

x x x x x x

22

cos2 1 cos21 sin 2 cos2 sin2 1 cos2sin 2 sin 2

sin2 1sin2 1 sin 2 cos2 1 0 sin2 cos2 1

x x k x ksin 2 1 2 22 4 , ( )k , (thoả ĐK)

x k x x x

x ksin 2 cos2 1 sin 2 sin

4 44

( x = k không thỏa ĐK)

x k4

(thoả ĐK)

VD72. Giải phương trình x x x34cos 3 2 sin2 8cos . HD.



72

x x x x x x x

x

x x (*)

3 2

2

4cos 6 2 sin cos 8cos cos 2 cos 3 2 sin 4 0

cos 02sin 3 2 sin 2 0

x x kcos 02

x kx xx kx (vn)

2 22sin 4(*) sin2 32 2sin 2 4

( )k .

VD73. Giải phương trình x x x2cos2 cos (2 tan 1) 0 . HD. Điều kiện cosx 0 (*) Phương trình đã cho tương đương:

xx x x x x

x

22 3 2(1 cos )2 cos 2 cos 1 0 2 cos 3cos cos 2 0

cos

x

x x xx

2cos 1

(cos 1)(2 cos cos 2) 0 1 17cos4

(thoả (*))

x k

x k

21 17arccos 2

4

.

Vậy PT có nghiệm: x k x k1 172 ; arccos 2

4

, ( )k

VD74. Giải phương trình xxx 2costancot . HD.

Điều kiện 02sin0cos0sin

xxx

.

Phương trình đã cho tương đương: 2 2cos sin cos 2

sin cosx x xx x

cos 2 01cos 2 cos 2 sin 2 ,sin 2 22 4 2

xx x x x k k

x

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là24 kx , ( )k

VD75. Giải phương trình: xxxx sin2cos3cos6sin 22 . HD. Phương trình đã cho tương đương: 02cos3sincos3sin0sin2cos6cos3sin 22 xxxxxxxx



73

3tan 3sin 3 cos 0

2 ,122sin 2sin 3 cos 2 3 5 2

12

x kxx x

x k kxx x

x k

VD76. Giải phương trình 2 2 13sin 2 cos 8 sin ( 10 )2

x x x .

HD. Phương trình đã cho tương đương: 1 cos 4 1 cos16 cos( 10 )

2 2 21 (cos16 cos 4 ) sin102sin10 (sin 6 1) 0sin10 0sin 6 1

10 (k )

12 3

x x x

x x x

x xx

xkx

kx

VD77. Giải phương trình sin3x = sinx + cosx HD. Phương trình đã cho tương đương:

sinx(1– sin2x) + cosx = 0 cosx(sinxcosx + 1) = 0 cosx = 0 x = /2 + k, ( k

sinxcosx + 1 = 0 sin2x + 2 = 0 vô nghiệm. VD78. Giải phương trình x x x3 3cos sin cos2 . HD. Phương trình đã cho x x x x3 3 2 2cos sin cos sin x x x x x x x x x x2 2(cos sin )(cos cos sin sin ) (cos sin )(cos sin ) x x x x x x(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0 x x x x(cos sin )(1 cos )(sin 1) 0

x x

xx

sin cos 01 cos 0sin 1 0

x k

x k k

x k

42 ( )

22

VD79. Giải phương trình xx

x x

2cos 2(1 sin )sin cos(7 )

.

HD. Phương trình đã cho xx

x x

21 sin 2(1 sin )sin cos

(*)



74

Điều kiện: x x x msin cos 04

(1)

(*) x x x(1 sin )(1 3sin 2 cos ) 0 xx x

sin 1 (2)3sin 2 cos 1 (3)

(2) x k22

(thoả (1))

(3) x x3 2 1sin cos13 13 13

x1sin13

(với 2 3sin ; cos13 13

)

x k

x k

1arcsin 213

1arcsin 213

x k

x k

1arcsin 213

1arcsin 213

(thoả (1))

Vậy PT có nghiệm: x k22

.

x k x k1 1arcsin 2 ; arcsin 213 13

(với 2 3sin ; cos13 13

)

VD80. Giải phương trình 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4x x x x HD. Phương trình đã cho tương đương

1 os2x 1 os4x 1 os6x 1 os8x 2 2 2 2

os2x+cos4x=cos6x+cos8x2cos3x.cosx=2cosx.cos7xcosx.sin5x.sin2x=0

2osx=0sin5x=0 (k )

5sin2x=0

2

c c c c

c

x kc

kx

kx

10.2. BiÕn ®æi th¼ng vÒ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n.

VD1. Giải phương trình 2 2tan cot 5(tan cot ) 6 0 (1)x x x x



75

HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 ; (k )2

kx x x x

2(1) (tan cot ) 2 5(tan cot ) 6 0x x x x 2(tan cot ) 5(tan cot ) 4 0x x x x

tan x cot x 1 (1)tan x cot x 4 (2)

21(1) tan 1 tan tan 1 0 (vn)tan

x x xx

2 2sin cos 1(2) 4 sin cos 4sin cos 2sin 2 1 sin 2cos sin 2

x x x x x x x xx x

7 72x k2 ,2x k2 x k ,x k ; (k )

6 6 12 12

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : 7 , ; (k )12 12

x k x k

VD2. Giải phương trình sin x cos x sin x cos x 2 .

HD. Bình phöông 2 veá ta ñöôïc kcos2x 1 sin 2x 0 x2

; ( )k .

VD3. Giải phương trình 2(cot 2x cot 3x) tan 2x cot 3x . HD. Ñieàu kieän :sin 2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0

cos2x cos3x sin 2x cos3x2(cot 2x cot 3x) tan 2x cot 3x 2sin 2x sin3x cos2x sin 3x

232sin x cos x 2sin x(cos2x cos x) 0 sin x 0

sin 2xsin3x sin 3x cos2x sin 2xsin 3x cos2x. Loại do

ñiều kiện sin 2x 0 . Vaäy phöông trình voâ nghieäm. VD4. Giải phương trình 2 22sin tan 2 (1)x x . HD. Ñieàu kieän : 0x cos Cách 1.

x2xxx22xxx21 2222

2

22 cossincossin

cossinsin)(

x2x1x2x2x2x1xx12 22422222 coscoscoscoscoscoscos)cos(

2

4 22

cos x 1 (vn) 22 cos x cos x 1 0 cos x x k ; (k )1 2 4 2cos x2

.

Cách 2. 2

2 2 2 4 22

2 tan(1) tan 2 2 tan tan tan 2 2 tan1 tan

x x x x x xx



76

24 2

2

tg x 1tg x tg x 2 0 tgx 1 x k ; (k )

4tg x 2 (vn).

VD5. Giải phương trình 2x43xx4 44 sin)cos(sin . HD. Phương trình đã cho

2x43x22114 2 sin)sin(

2 13 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos 4 1 cos(4 )3 2

x x x x x

4 2 (k )

12 2

x k

x k

VD6. Giải phương trình 3 cos4 sin4 2cos3 0x x x HD. Phương trình đã cho tương đương:

3 12 cos4 sin4 2cos3

2 2x x x

cos 4 cos36

x x

4 3 26

4 3 26

x x k

x x k

2

6 ( )2

42 7

x kk

kx

VD7. Giải phương trình 33 os4x + sin4x = 8cos 6cosc x x HD. Phương trình đã cho tương đương:

3 1 2 cos4 sin4 2cos3

2 2

cos 4 cos36

x x x

x x

4 3 2 2

6 62

4 3 26 42 7

x x k x kk

kx x k x



77

VD8. Giải phương trình x xtan cot 3 03 6

. Từ đó tìm các nghiệm thuộc

khoảng (0; ) . HD. Phương trình đã cho

x xtan tan 3 03 3

x xtan 3 tan3 3

x x k33 3

x k k( )6 4

Từ x0 suy ra:

k06 4

k 76 4 6 k2 14

3 3 k 1; 2; 3; 4

Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0; ) là: x x x x7 5; ; ;12 3 12 6

.

VD9. Giải phương trình 4 4cos x sin x 1

4

HD. Phương trình đã cho 2

2 1 cos 2x1 cos2x 2 1

2 2

2 2(1 cos2x) (1 sin 2x) 1 cos2x sin 2x 1 2 cos 2x 12

1cos 2x x k ,x k ; (k ).

2 2 42

VD10. Giải phương trình sin 5x 15 sin x

.

HD. Điều kiện: s inx 0 . Phương trình đã cho sin 5x 5sin x

sin 5x sin x 4sin x 2 cos3xsin 2x 4sin x4 cos3xsin x cos x 4sin x cos3x cos x 1

2 cos x 3 / 2 (vn)cos 4x cos2x 2 2 cos 2x cos2x 3 0

cos2x 1

21 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 (loaïi) Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm .

VD11. Giải phương trình 1cos x cos2x cos4x cos8x

16 (*)

HD. Xeùt sinx = 0 thì phöông trình khoâng thoûa.



78

Vaäy (*) 1sin x cos x cos 2x cos 4x cos8x sin x16

2k 2ksin16x sin x x ,x ; (k ).

15 17 17

VD12. Giải phương trình 21 2 5tan x 02 cos x 2 .

HD. Điều kiện: cos 0x . Phương trình đã cho tương đương:

2 2

1 1 2 5 1 41 0 4 02 cos x 2 cos xcos x cos x

21 12 0 cos x x 2k ; (k ).

cos x 2 3

VD13. Giải phương trình 4 44(sin x cos x) 3 sin 4x 2 . HD. Phương trình đã cho

2 214 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2sin 2x 3 sin 4x 22

1 3 1 1cos 4x 3 sin 4x 1 cos 4x sin 4x cos 4x2 2 2 3 2

2 k k4x 2k x ,x ; (k ).

3 3 4 2 12 2

VD14. Giải phương trình 8sinx = 1 3 +

sinx cosx.

HD. Điều kiện: s inx 0,cos 0x . Phương trình đã cho

28sin cos cos 3 s inx 4cosx(1-cos2 ) cos 3 s inx

3cos 4cos cos 2 3 s inx 3cos 2( os3 cos ) 3 s inx

1 3cos 3 s inx 2 os3 cos s inx os3 os3 os2 2 3

x x x x x

x x x x c x x

x c x x c x c x c x

VD15. Giải phương trình cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2

4.

Cách 1. Phương trình đã cho



79

2 2

2 2

2 2 2 2

2os cos3 cos sin sin 3 sin4

1 1 2os ( os4 os2 ) sin ( os2 os4 )2 2 4

2os4 ( os sin ) os2 ( os sin )2

c x x x x x x

c x c x c x x c x c x

c x c x x c x c x x

3 32 2 2os2 (1 os4 ) 2cos 2 cos 22 2 4

c x c x x x

3

3 2 2cos 2 cos 2 .2 2

x x

Cách 2. 3 3 3 3 3 3

6 6 4 4

4 4 2 2 4 4

2

2

2 2os cos3 sin sin 3 os (4cos 3cos ) sin (3sin 4sin )4 4

24( os sin ) 3( os sin )4

24cos 2 ( os sin sin cos ) 3( os sin )4

1 24cos 2 (1 sin 2 ) 3 os24 4

cos 2 (4 sin 2 ) 3 os2

c x x x x c x x x x x x

c x x c x x

x c x x x x c x x

x x c x

x x c

2 3

242 2 2cos 2 (3 os 2 ) 3 os2 os 2 os2

4 4 2

x

x c x c x c x c x

Cách 3. 3 3

2 2

3

3 3

2 os cos3 sin sin 34

1 1 2( os3 3cos ) os3 (3sin sin 3 )sin 34 4 4os 3 sin 3 3( os3 cos sin 3 sin ) 2

os6 3cos 2 2 4cos 2 3cos 2 3cos 2 2

2 24cos 2 2 cos 2 os24 2

c x x x x

c x x c x x x x

c x x c x x x x

c x x x x x

x x c x

VD16. Giải phương trình cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 3 2

8

HD. Tương tự VD14.

VD17. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 2(cos sin )

tan cot 2 cot 1x x

x x x

HD. §iÒu kiÖn:sinx.cosx 0 vµ cotx 1



80

Phư¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng

1 2(cos sin )

sin cos 2 cos 1cos sin 2 sin

x xx x xx x x

cosx = 2

2 x = 2

4k

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = 24

k .

VD18. Giải phương trình cos3 sin 2 3 sin 3 cos 2x x x x . HD. Phương trình đã cho cos3 3 sin 3 3 cos 2 sin 2x x x x

1 3 3 1cos3 sin 3 cos 2 sin 22 2 2 2

x x x x

cos 3 cos 23 6

x x

3 2 2 2

3 6 6 ( )23 2 2

3 6 10 5

x x k x kk

x x k x k

VD19. Giải phương trình: s in 2 c o s 2 c o tc o s s in

x x tg x xx x

HD. Phương trình đã cho xsinxcos

xcosxsin

xcosxsinxsinx2sinxcosx2cos

xcosxsin

xcosxsinxcosxsinxx2cos 22

cos x cos2xs in2x 0

22 cos x cos x 1 0

s in2x 0

1cos x ( cosx 1 : loaïi vì sin x 0)2

2 3

x k , (k ).

VD20. Giải phương trình x x2 2sin 2 cos 3 1 .

HD. Phương trình đã cho x x1 cos 4 1 cos6 12 2

x xcos6 cos 4

x x kx x k

6 4 26 4 2

x k

x k5

x k5

( )k



81

10.3. Çc ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc.

VD1. Giải phương trình 2 2tan cot 2(tan cot ) 6 (1)x x x x

Cách 1 : Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2

kx x x x

2(1) (tan cot ) 2 2(tan cot ) 6x x x x 2(tan cot ) 2(tan cot ) 8 0x x x x

tan x cot x 2 (2)tan x cot x 4 (3)

2 21(2) tan 2 tan 2 tan 1 0 (tan 1) 0tan

tan 1 ; (k )4

x x x xx

x x k

2 2sin cos(3) 4 sin cos 4sin coscos sin

1 2sin 2 1 sin 22

x x x x x xx x

x x

2x k2 x k

6 12 (k )7 72x k2 x k6 12

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :

k4

x , 7 , ; (k )12 12

x k x k

Cách 2 : Ñaët 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2 tan cott x x t x x x x x x 2 2tan cot 2x x

42xgxtg2 22 cot

2t

2t2t4t 2

i) 2 tan cot 2 t x x 2 21tan 2 2 tan 1 0 (tan 1) 0

tanx tan x x x

x

tan 1 tan ; (k )4 4

nx x k

ii) 4 tan cot 4 t x x

xx4xx4xx

xx 22 cossin cossin

sincos

cossin

1 2sin 2x 1 sin 2x2

7 72x k2 ,2x k2 x k ,x k ; (k )

6 6 12 12

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø:



82

k4

x , 7 , ; (k )12 12

x k x k


3 3cot 4(tan cot ) 1 0 (1)cos

x x xx .

HD. Ñieàu kieän : sin cos 0 sin 2 0 (k )2

kx x x x

22

2 2

3(1) 3cot 4(tan cot ) 1 0cos

3(1 tan ) 3cot 4(tan cot ) 1 0

x x xx

x x x x

2 2 23(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0 3[(tan cot ) 2] 4(tan cot ) 2 0x x x x x x x x 23(tan cot ) 4(tan cot ) 4 0x x x x (1)

Ñaët : 2 2 2 2tan cot (tan cot ) tan cot 2t x x t x x x x 2xgxtg 22 cot

42xgxtg2 22 cot

2t

2t2t4t 2

2 2(1) 3t 4t 4 0 t 2 t (loaïi)3

Khi : 1x2xx2xxxx

xx2t 22 sincossincossin2

sincos

cossin

2x k2 x k ; (k )

2 4

VD3. Giải phương trình 2(cos4x cos2x) 5 sin3x . HD.

2 2 2 2VT (cos 4x cos2x) (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 . VP 5 sin3x 4 Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :

2 2 2 cos x 0sin 3xsin x 1 sin x 1 x k2 ; (k )2sin3x 1sin3x 1 sin3x 1

VD4. Giải phương trình sin x cos x 2(2 sin 3x) . HD.

VT sin x cos x 2 sin x 24

. VP 2(2 sin3x) 2

Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :

sin x 1 x k2 (1)4 4

sin3x 1 (2)2 sin 3x 1

Nghiệm (1) không thỏa (2), vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm. VD5. Giải phương trình 1981 1956cos x sin x 1 . HD. Phương trình đã cho



83

1981 1956 2 2cos x sin x cos x sin x . Vì 1981 2cos x 1 cos x cos x ; 1956 2sin x 1 sin x sin x

Vaäy 1981 1956cos x sin x 1 . Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi:

1981 2 2 1979

1956 2 2 19542 1954

cos x 0cos x cos x cos x(cos x 1) 0

cos x 1 sin x sin x sin x(sin x 1) 0

sin x(sin x 1) 0

x k mx ; (m )22x k2

Cách 2. Phương trình đã cho 1981 1956 2 2 2 1979 2 1954sin x sin x sin x cos x sin x(1 sin x) cos x(1 cos ) 0

2 1979

2 1954

cos x(1 cos x) 0

sin x(1 sin x) 0

2 1979

sin x 0x k msin x 1 x ; (m )2

2x k2cos x(1 cos x) 0

VD6. Giải phương trình x2xx25 2 cossinsin (1)

HD. 5x25VT 2 sin Daáu baèng xaûy ra sin2x = 0 ; (k )2

kx (1)

2 2sin 2cos 5(sin cos ) 5VP x x x x

Daáu baèng xaûy ra 21tgx

2x

1x

cossin (2)

Nghiệm (1) khoâng thoûa (2) neân phöông trình đã cho voâ nghieäm. VD7. Giải phương trình 4xx3x2x23 cossincossin (1)

HD. 2x21x

23x2

21x2

231 cossincossin)(

cos sin 2x sin cos2x sin sin x cos cos x 26 6 3 3

sin 2x cos x 2 1 sin 2x 1 cos x 2 (*)6 3 6 3

Vì

1 sin 2x 0

6 vaø

1 cos x 03

neân (*)



84

sin 2x 1 sin 2x 1 (1)6 6

cos x 1 x k2 (2)3 3

Nghiệm (2) thỏa (1). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :

2k3

x ; (k )

VD8. Giải phương trình 1xx2 coscos HD. Phương trình đã cho

2xx31xx321

coscos)cos(cos (1)

Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (1)

3

cos 1cos 1cos 1 2 ; (k ).

cos3 1 4cos 3cos 1xx

x x kx x x

VD9. Giải phương trình 1xx2 2 cos (1)

Vì 1x2 cos vaø 11x 2 neân (1) 2 01 1

0cos 2 1cos 2 1xx

xxx

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0 VD10. Giải phương trình 2xx3 coscos (1) HD. Vì 1x3 cos vaø 1x cos neân (1)

3

cos 1cos 1cos 1 2 ; (k )

cos3 1 4cos 3cos 1xx

x x kx x x

VD11. Giải phương trình 2 2cos x 2 cos x tan x 1 0 HD. Phương trình đã cho

2 2 cos x 1

(cosx 1) tan x 0tan x 0

cos 1cos 1 2 ;(k )

sin 0x

x x kx

VD12. Giải phương trình 2 24sin x 2 3 tan x 3tan x 4 sin x 2 0 HD. Phương trình đã cho 2 24sin x 4sin x 1 3 tan x 2 3 tan x 1 0

2 2

1sin x (1)2(2sin x 1) ( 3 tan x 1) 01tan x (2)3



85

x k2

6(1) (k )5x k2 6

theá vaøo (2) ta coù nghieäm

2k6

x thỏa.

Vậy nghiệm của phương trình là:

2k6

x ; ( k ).

VD13. Giải phương trình 2x 2x sin x 2 cos x 2 0 HD. Phương trình đã cho

2 2 2x 2xsin x sin x cos x 2 cos x 1 0 2 2 sin sin

( sin ) (cos 1) 0cos 1 2

2 sin 2 sin 0 00

2

x x x xx x x

x x kk k

xx k

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình là: x = 0

VD14. Giải phương trình 2xcos2x 1

2

HD. Phương trình đã cho 2 2

2 x 0x x(1 cos2x) 0 2sin x 0 x 0sin x 02 2

VD15. Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm . Cho phöông trình : 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m . HD.

4 4 6 6 2

2 2 2

4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m1 34 1 sin 2x 4 1 sin 2x sin 2x m2 4

2 24t 3t m (t sin 2x 0 t 1) . Ñaët :

2 / / 3 3 9f(t) 4t 3t f (t) 8t 3; f (t) 0 t f8 8 16

Laäp baûng biến thiên của hàm số f(t) treân ñoaïn 0;1 ta coù : f(0) 0 ; f(1) 1

Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 9 m 116

.

VD16. Cho phöông trình : 2 2cos 4x cos 3x asin x a) Giaûi phöông trình treân khi a 1 b) Xaùc ñònh tham soá a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x treân khoaûng

0;12

HD.



86

a) 2 2 2 1 cos6x 1 cos2xcos 4x cos 3x asin x 2 cos 2x 1 a2 2

2 34 cos 2x 2 1 4 cos 2x 3cos2x a(1 cos2x)

3 2 2a(t 1) 4t 4t 3t 3 (t cos2x) a(t 1) (t 1)(4t 3) Khi a 1 phöông trình trôû thaønh :

2 k(t 1) (t 1)(4t 3) t 1 cos2x 1 2x k x 2

b) 2 2 2cos 4x cos 3x asin x a(t 1) (t 1)(4t 3) (*) (t cos 2x) 3 3x 0; 0 x 0 2x cos2x 1 t 1

12 12 6 2 2

2 / 3 3(*) a 4t 3 f(t) f (t) 8t 0 vôùi t ;1 vaø f 0 ; f 1 12 2

Laäp baûng biến thiên của f(t) treân khoaûng 3 ;12

ta thaáy phöông trình coù nghieäm

khi 0 a 1 .

VD17. Giải phương trình 8 8 217sin x cos x cos 2x16

.

HD. Phương trình đã cho 4 4 2 4 4 217(sin x cos x) 2sin x cos x cos 2x

16

22 4 2 21 2 171 sin 2x sin 2x cos 2x (*) . Ñaët : t sin 2x 0 t 1

2 16 16

22 2 2t 1 (loaïi)t 2 17 1(*) 1 t (1 t) 2t t 1 0 sin 2x

t 1/ 22 16 16 2

21 2sin 2x 0 cos 4x 0 4x k x k2 8 4

VD18. Giải phương trình x22tgx31 sin (1) . Ñaët tgxt

3 2 22

4(1) 1 3 3 1 0 ( 1)(3 2 1) 01

1 14

tt t t t t t tt

t tgx x k

VD19. Cho phöông trình :6 6

2 2

cos x sin x 2 m tg2 xcos x sin x

a) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm.

b) Giaûi phöông trình khi 1m8




87

6 6 6 6

2 2

cos x sin x cos x sin x 2m sin 2x2mtg2x (*)cos2x cos2xcos x sin x

. Ñieàu kieän : cos2x 0

6 6 2 23cos x sin x 2m sin 2x 1 sin 2x 2m sin 2x sin 2x 8m sin 2x 4 0 (1)4

2 22 /

2

t sin 2x ( 1 t 1)4 3t 3t 4(1) 3t 8mt 4 0 8m f(t) f (t) 0, t ( 1;1)

t t

Laäp baûng biến thiên của f(t) treân khoaûng (–1;1) ta coù : f(–1) = –1 ; f(1) = 1 ; f(0)

Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 8m 1 m 1/ 88m 1 m 1/ 8

b) Theo a) khi 1m8

thì phöông trình voâ nghieäm .

VD20. Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghiệm: 4 4 6 6 24(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m HD.

Ta coù : 4 4 6 61 1sin x cos x (3 cos 4x) ; sin x cos x (5 3cos4x)4 8

Khi ñoù phöông trình coù daïng : 2 213 cos 4x (5 3cos 4x) sin 4x m 2 cos 4x cos4x 1 2m . Ñaët : t cos 4x t 1

2

Phöông trình coù daïng : 2 / 1f(t) 2t t 1 2m f (t) 4t 1 0 t4

Laäp baûng biến thiên của f(t) treân ñoaïn [-1;1] ta coù : 1 9f( 1) 2 ; f(1) 0 ; f4 8

Suy ra phöông trình coù nghieäm 9 92m 2 2m 18 16

VD21. Cho phöông trình : 5 5 24 cos xsin x sin x cosx sin 4x m (1) . Bieát x laø moät nghieäm cuûa (1). Haõy giaûi phöông trình (1) trong tröôøng hôïp ñoù . HD.

4 4 2 2

2

4sin x cos x(cos x sin x) sin 4x m 2sin 2x cos2x sin 4x msin 4x sin 4x m 0 (1)

Vì x laø nghieäm cuûa phöông trình (*) neân x cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1). Nghóa laø : sin 4x sin 4 0 vaäy töø (1) m 0



88

Vaäy phöông trình trôû thaønh :

2

kxsin 4x 0 4sin 4x sin 4x 0 (k )ksin 4x 1 x

8 4

VD22. Xaùc ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : 6 6sin x cos x a sin 2x

HD.

6 6 2 23sin x cos x a sin 2x 1 sin 2x a sin 2x 4 3sin 2x 4a sin 2x (1)4

Ñaët : t sin 2x 0 t 1 . 2(1) 3t 4at 4 0 (2) Thấy ngay, phöông trình (2) luoân luôn coù hai nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän

1 2t 0 t . Nhö vaäy, phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (2) coù nghieäm thoûa maõn:

22

1 2

2 2

2a 4a 12t t 1 1 4a 12 3 2a3

3a 1a24

4a 12 9 12a 4a

VD23. Giải phương trình 1 3 tan x 2sin 2x (1)

HD. Ñaët : t tan x .

2 3 22

4t (1) 1 3t (1 3t)(1 t ) 4t 3t t t 1 01 t

2(t 1)(3t 2t 1) 0 t 1 x k4

VD24. Giải phương trình tan x 2 cot 2x sin 2x (1) . HD. Ñieàu kieän : sin 2x 0 . Ñaët : t tan x

22 2 2 2

2 2

1 t 2t 1 2t(1) t 2. t 1 tan x 1 sin x cos x2t t1 t 1 t

kcos2x 0 (thoûa maõn ñieàu kieän) x ; (k )

4 2

VD25. Giải phương trình tanx + tan2x + tan3x + cotx +cot2x + cot3x = 6 HD.

Cách 1. Điều kiện 2

x k .

Phương trình đã cho tương đương 2 2

2 2

t anx(1 t anx tan ) cot (1 cot cot ) 6

1 t anx tan 0,1 cot cot 0; t anx 0,cot 0.2

x x x x

x x x x k x



89

Theo Cauchy :

2 2 2 2 3 3

3 3

t anx cot 2 (1)tan cot 2 (2) t anx cot tan cot tan cot 6 (4)tan cot 2 (3)

xx x x x x x xx x

Phương trình đã cho tương đương dấu đẳng thức ở (4) xảy ra, khi chỉ khi các dấu

đẳng thức ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra t anx cot 0x ; (k ).4

x k

Cách 2. Đặt t = tanx + cotx. VD26. Giải phương trình 3 2 3 2(1 ) 2(1 )x x x x HD. Do 1 - x2 0 - 1 x 1. Đặt x = cost, 0;t Ptrình đã cho 3 3cos sin 2 sin cost t t t 3(cos sin ) 3sin cos (sin cos ) 2 sin cost t t t t t t t (1)

Đặt sint + cost = X 2 1cos , 2,sin cos

4 22X Xx X t t

.

(1) 2 2

3 1 13 22 2

X XX X 3 22 3 2 0X X X

2( 2)( 2 2 1) 0X X X 2, 2 1X X . Nhưng 2 2, 1 2X X X .

i) X = 2 : sint + cost = 2 21 2x x

21 2x x 2 21 2 2 2

2 0

x x x

x

22 2 2 1 0

2

x x

x

12

x .

ii) X = 1- 2 : sint + cost = 1 - 2 21 1 2x x

21 1 2x x 2 21 2 2 2 2(1 2)

1 2 0

x x x

x

2 (1 2) 1 2 0

1 2

x x

x

1 2 2 2 12

x .

VD27. Giải phương trình 1 1cos3x - 1 cosx - 1 = 1

cos3x cosx

HD. Phương trình đã cho tương đương:

1 - cos3x 1 - cosx = 1

cos3x cosx (1)



90

Điều kiện: cos3x > 0, cosx > 0.

(1) cos3x(1 - cos3x) cosx(1 - cosx) = 1 (2)

Ta đã biết rằng a(1 - a) 1 ,4

a . Suy ra: 0 cos3x(1 - cos3x) 14

1cos3x(1 - cos3x) 2

Tương tự 1cosx(1 - cosx) 2

Như thế:

(2)

31 1 1cos3x(1 - cos3x) = cos3x = 4cos x - 3cosx = 2 2 21 1 1cos3x(1 - cos3x) = cosx = cosx = 2 2 2

(vn)

11. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ DỰ BỊ THI TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2008

Năm 2002

Đề 1. Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn π0; 2

.

HD. 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 (1) 2(1 - 2sin2xcos2x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 3 + m - 3sin22x + 2sin2x = 0 3t2 - 2t - (m + 3) = 0; t = sin2x (2)

Với 0 0 2 0 12

x x t , nhận mọi giá trị thuộc đoạn

[0;1].

Để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2

, điều kiện cần và đủ

là phương trình (2) có í nhất một nghiệm t [0;1] 3t2 - 2t = m + 3 có ít nhất một nghiệm t [0; 1]. Đặt f(t) = 3t2 - 2t (0 t 1) Vẽ dồ thị (C) của hàm y = f(t) (0 t 1).



91

f 1 13 3

Từ đồ thị suy ra, để phương trình 3t2 - 2t = m + 3 có ít nhất một nghiệm t [0; 1], điều kiện cần và đủ là

1 103 1 23 3

m m

Đề 2. Giải phương trình 4 4sin x + cos x 1 1 = cotx - 5sin2x 2 8sin2x

HD. Điều kiện: sin2x 0

Phương trình đã cho 2 21 2in cos 1 1os25 2 8x x c x

2 9os 2 5 os2 0

49os2 1( )2 2 2 ;( )1 3 6cos 22

c x c x

c x vnx k x k k

x

Đề 3. Giải phương trình 2

44

(2 - sin 2x)sin3xtan x + 1 = cos x

.

HD. Điều kiện: cos 0 sinx 1 Phương trình sin4x + cos4x = (2 - sin22x) sin3x

2 211 sin 2 2 sin 2 sin 32

x x x

2 22 sin 2 2 sin 2 .2sin 3x x x

sin3x = 12

( thoả mãn điều kiện)

3 2

653 26

x k

x k

218 3 ( )5 218 3

kxk

kx

.

Đề 4. Giải phương trình tanx + cosx - cos2x = sinx(1 + tanx.tan x2

).

HD.

y

1

y = m+3 13

23

13

x

O 1



92

Điều kiện:

1cos0cos

02

cos

0cos

xx

xx

Ta có: sin sin

21 tan tan 12 cos cos

2

xxxx xx

xxx

xx

xx

xxxx

cos1

2coscos

2cos

2coscos

2sinsin

2coscos

Phương trình 2 sintan cos coscos

xx x xx

cosx(1 - cosx) = 0. Do điều kiện cosx ≠ 0 nên phương trình cosx = 1

x = 2k, (k ).

Đề 5. Cho phương trình 2sinx + cosx+1sinx-2cosx+3

a (2)(a là tham số)

a) Giải phương trình (2) khi a = 13

.

b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm. HD.

a) a = 13

, ta có: 31

3cos2sin1cossin2

xxxx

Dễ thấy sinx – 2 cosx +3 > 0; x Phương trình đã cho tương đương:

6 sinx + 3 cosx + 3 = sinx – 2 cosx +3 5 sinx + 5 cosx = 0 sinx = - cosx

tgx = -1 x = - , ( )4

k k

b) Tìm a để axxxx

3cos2sin1cossin2

có nghiệm.

phương trình 2 sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3) (2 – a)sinx + (2a + 1)2 cosx = 3a – 1.

Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần và đủ là: (2 – a)2 + (2a +1)2 (3a – 1)2



93

5a2 + 5 9a2 - 6a + 1 4a2 – 6a – 4 0, ’ = 9 + 16 = 25

- 221

a .

Đề 6. Giải phương trình x2cos8

1= sinx

HD.

Điều kiện: cos 0 (1)sin 0 (2)

xx

Với điều kiện đó, phương trình xxxx

2222 cossin4

21sin

cos81

04cos2

4cos12sin21 2

xxx

48 kx (1)

Kết hợp điều kiện: cosx = cos 048

k

( , , )8 4 2

k n k n

1 + 2k ≠ 4 + 8n Điều này luôn đúng vì 1 + 2k là số lẻ, 4 + 8n là số chẵn, vậy điều kiện (1) thoả mãn, điều kiện (2):

sinx = sin

48 k > 0

Tập nghiệm (1) được biểu diễn bởi 8 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác, trong đó có 4 điểm thuộc nửa trên của đường tròn thoả mãn điều kiện sinx > 0, vậy tập nghiệm của phương trình là:

x = n28 , x = 3

n28 ,

Hình 23

x 0

y

O 8



94

x = n28

5 , x = n28

7 .

Năm 2003 Đề 1. Giải phương trình: 3 - tanx (tanx + 2 sinx) + 6cosx = 0 HD. Điều kiện: cosx 0.

Phương trình 3 - s inxcos x

s inx 2sin x coscos

xx

+ 6cosx = 0

3cos2 x - sin2 x(1+ 2cosx) + 6 cox3x = 0(cosx o) 3cos2 x (1 + 2cosx) - sin2x (1 +2 cosx) = 0 (1 +2cosx) (3cos2x - sin2x) = 0

2

1cos2

14cos4

x

x

cos2x = 14

1 + cos2x = 12

2x = 2 23

k x = 3

k (thoả mãn điều kiện)

Đề 2. Giải phương trình cos2x + cosx (2tan2x - 1) = 2 HD. Điều kiện: cosx 0

Với điều kiện ấy phương trình cos2x + 22sin cos 2

cosx xx

2

2sin2 cos 2 os2 1 2 sincos

x x c x xx

2 12 sin 1 1 coscos

x xx

2(1-cos2x) (1-cosx) = 1(1+cosx)cosx (1+cosx) [2 (1-cosx)2 - cosx] = 0

cos2x= 12



95

2

cos 12cos 1 1cos

2 22cos 5cos 23cos 2 (VN)

xx kx

xx kx x

x

Đề 3. Giải phương trình 3cos4x - 8 cos6x + 2cos2x + 3 = 0 HD. Phương trình 3(1 + cos 4x) - 2cos2 x(4cos4 x - 1) = 0 6 cos2 2x - 2cos2 x (2cos2 x + 1) (2cos2x - 1) = 0 6 cos2 2x - 2cos2 x (2cos2 x + 1) . cos2x = 0 cos2x [3cos2x - cos2 x (2cos2 x + 1)] = 0

i) cos2x = 0 2x = 2

k x= 4 2

k

ii) 3 (cos2 - 1) - 2 cos4x - cos2x = 0 -2 cos4x +5cos2x - 3 = 0

cos2 x = 1 hoặc cos2 x = 32

(vn) x= k

Đề 4. Giải phương trình:

22 3 cos 2 sin

2 4 12 cos 1

xx

x

HD.

Điều kiện: cosx 12

.

Với điều kiện đó phương trình:

(2 - 3 ) cos x - 1 os2

c x = 2cos x - 1

3 cos sin 0x x

1 3sin cos 02 2

x x

sin 03 3

x x k

3 (2 1)1 3cos2

x kx n

x



96

Đề 5. Giải phương trình 2os cos 1

2 1 sinsin cos

c x xx

x x

HD.

Điều kiện: sinx + cosx = 2 sin 04

x

.

Với điều kiện ấy phương trình tương đương với: (1 - sin2x) (cosx - 1) = 2(sinx + sosx) (1 + sinx0 (1 + sinx) [(1 - sinx)(cosx - 1)- 2(sinx + cosx)]=0

s inx 1 s inx 1(1 cos )(1 s inx) 0 cos 1x x

(thoả mãn điều kiện)

2

42

x kk Z

x k

Đề 6. Giải phương trình 2cos 4cot x t nxsin 2

x xax

HD. Điều kiện: sin2x 0 cos2x 1

Với điều kiện đó phương trình cos s inx os4s inx cos sinx.cos

x c xx x

2os2 os4 2cos 2 os2 1 0c x c x x c x

os2 1:

1os2 , ( )2 3

c x vn

c x x k k

Năm 2004 Đề 1. Giải pt: 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx HD. Với cosx = 0: không thỏa mãn pt. Với cosx ≠ 0: chia hai vế cho cos3x ta được: 4tan3x + 4 = 1 + tan2x + 3tanx(1 + tan2x)

tan3x – tan2x -3tanx + 3 = 0 (tanx – 1)(tan2x – 3) = 0

tan 1 4 , ( )tan 3

3

x kxk

x x k

.



97

Đề 2. Giải phương trình 2 2 cos(x + π4 ) + 1

sinx = 1cosx .

HD.

Đk: ,2

kx k .

Phương trình đã cho tương đương với:

1 12( osx-sinx)+ 0sinx osx

1( osx-sinx)(2+ ) 0sinx.cosx

osx-sinx=0 os(x+ ) 0 4 , ( )41sinx.cosx=- sin 2 12 4

cc

c

c x kck

x x k

Đề 3. Giải phương trình sin4x.sin7x = cos3x.cos6x HD. Phương trình đã cho tương đương

cos3x – cos11x = cos3x + cos9x cos9x + cos11x = 0 2.cos10x.cosx = 0

os10x = 0 20 10 (k )osx = 0

2

kxcc x k

Đề 4. Giải phương trình 2sinx.cos2x + sin2x.cosx = sin4x.cosx HD.

Phương trình đã cho tương đương với: 2sinx.cos2x + sin2x.cosx.(1-2cos2x) = 0 2sinx.(cos2x + cos2x(1 – 2cos2x))=0

s inx = 0 x = k 1+ cos2xcos2x + (1 - 2cos2x) = 0 (*)

2

Giải (*): đặt t = cos2x, pt (*) trở thành: 2t2 – t – 1 = 0 2 21 os2x = 1

21 1 2 2cos2x = 3 32 2

x k x kt c

x k x kt

Vậy nghiệm của pt là (k )3

x k

x k

Đề 5. Giải phương trình sinx + sin2x = 3(cosx + cos2x) HD.



98

Phương trình đã cho tương đương: sinx - 3 osx = 3 os2x - sin2x

sin(x - ) sin( 2 )3 3

c c

x

2 2x - 2 2 x =3 3 (k )9 32 x 2x - 2 2

3 3

kx k

kx k

Đề 6. Giải phương trình 1 sin 1 cos 1x x HD. Phương trình đã cho tương đương: 2 (s inx + cosx) + 2 1 - (sinx + cosx) + sinxcosx 1 (1)

Đặt sinx + cosx = t, 2t 12,s inxcosx = 2

t

2 2 22

22

1 1 3(1) 1 2 1 0 4 4 2 22 2 2

3 2 4 2 (2)2

t t tt t t

tt t

Nhưng 2 2 22 2 3 3 0t t t t , nên (2) vô nghiệm.

Năm 2005 Đề 1. Tìm nghieäm treân khoûang (0; ) cuûa phöông trình :

2 2 34sin 3 cos 2 1 2cos ( )2 4x x x

HD.

Ta coù 2 2x 34sin 3 cos2x 1 2 cos x2 4

(1)

(1) 32 1 cos x 3 cos2x 1 1 cos 2x2

2 2 cos x 3 cos2x 2 sin 2x 2 cos x 3 cos2x sin 2x . Chia hai veá cho 2:

3 1cos x cos2x sin 2x

2 2

cos 2x cos x6

5 2 7x k a hay x k2 b18 3 6

Do x 0, neân hoï nghieäm (a) chæ choïn k = 0, k =1, hoï nghieäm (b) chæ choïn



99

k = 1. Do ñoù ta coù ba nghieäm x thuoäc 0, laø 1 2 35 17 5x ,x ,x18 18 6

Đề 2. Giải phương trình

32 2 cos x 3cosx sin x 0.4


3

2 cos x 3cosx sin x 04

3

3 3 2 2

cosx sin x 3cosx sin x 0

cos x sin x 3cos xsin x 3cosxsin x 3cos x sin x 0 (*)

cosx = 0 sinx = 1: Thỏa phương trình. Do đó x k

2 là nghiệm.

cosx 0: Chia 2 vế (*) cho cos3x:

3 2 2 31 tan x 3tan x 3tan x 3 3tan x tan x tan x 0

tan x 1 x k4

Vậy, nghiêm của phương trình là: x k

2,

x k4

, (k ).

Đề 3. Giaûi phương trình: 2 2 3sin x cos2x cos x tg x 1 2sin x 0

HD.

Ñieàu kieän : cosx 0 x k2

Phương trình đã cho: 2 2 3sin x cos2x sin x cos x 2sin x 0

2sin x cos2x 2sin x cos2x 0

sin x cos2x 1 cos2x cos2x 0

2sin x 1 2sin x 0

22sin x sin x 1 0

1sin x (vì sin x 1 loaïi )2



100

x k2

1 6sin x sin (k )52 6 x k26

Đề 4. Giaûi phöông trình

22

cos2x 1tan x 3tan x2 cos x

HD.

Điều kiện: osx 0

cos x+ s inx 02

c


22

22sin xcot x 3tan xcos x

2 31 tan x 0 tan x 1 tan x 1 x k ,(k )

tan x 4

Đề 5. Giaûi phöông trình 3 sin xtg x 22 1 cos x

HD.

Điều kiện: osx 1

s inx 03cos s inx 02

c

x

sin x cosx sin xcot x 2 2

1 cosx sin x 1 cosx

2 2cosx cos x sin x 2sin x 2sin x cos x cos x 1 2sin x cosx 1

2sin x 1 x k2

6 hoặc

5x k26

, (k ).

Đề 6. Giaûi phöông trình sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0 HD. Phương trình đã cho tương đương:

22sin xcosx 1 2sin x 3sin x cosx 2 0 22sin x 2 cos x 3 sin x cosx 1 0

22sin x 2 cosx 3 sin x cosx 1 0 ( 3 )

(phöông trình baäc 2 theo sinx)



101

2 22 cosx 3 4 2 cosx 1 2 cosx 1

Vaäy (2)

2 cos x 3 2 cos x 1 1sin x4 2

2 cos x 3 2 cos x 1sin x cos x 14

sin x cosx 11sin x2

2sin x4 2

1sin x2

x k22

x k2 (k )

x k265x k26

.

Caùch 2. (3) (2sinx 1) sinx cosx 1 0

Năm 2006

Đề 1. Giải phương trình cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 3 28

HD.

Pt đã cho tương đương: cos3x4cos3x - sin3x 4sin3x = 2 3 22

cos3x(cos3x + 3cosx) - sin3x (3sinx - sin3x) = 2 3 22

cos23x + sin23x + 3(cos3xcosx - sin3xsinx) = 3 212

cos4x = 22

; ( )16 2

x k k

Đề 2. Giải phương trình: 2sin 2x 4s inx +1 = 06

HD. Phương trình tương đương với:

23 sin 2 os2x + sin4x + 1 = 0 2 2 s inxcosx + 4sinx + 2sin 0x c x s inx( 3 os + sinx + 2) 0c x

s inx = 0

3 osx + sinx + 2 = 0c

x = k

(k )7x= 26

k

Đề 3. Giải phương trình: 2 2 2(2sin x 1) tan 2x 3(2cos x -1) = 0 HD.



102

ĐK: os2x 0c . Phương trình đã cho tương đương với:

2 2 os2xtan 2 3 os2x = 0 tan 2 06 2

c x c x x k , (k )( thoả điều kiện)

Đề 4. Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 HD. Phương trình đã cho tương với 2 2cos x - sin x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 (sinx - cosx)(cosx - sinx + 1) = 0

t anx = 1s inx - cosx = 0 41cos x + osx - sinx + 1 = 0

4 2 4 4

x k

c x k

4( )

2

x k

x k k

x k

Đề 5. Giải phương trình: 3 3 2cos x sin x 2sin x 1 HD. Phương trình tương đương (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) - cos2x = 0 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx - cosx + sinx) = 0 (sinx + cosx)(1 - cosx)(1 + sinx) = 0

4

2

22

x k

x k

x k

(k )

Đề 6. Giải phương trình: 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6cosx 0 HD. Phương trình đã cho 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 4sin2x(sinx + 1)+ 6cosx(sinx + 1) = 0 (sinx + 1)(4sin2x + 6cosx) = 0

2

s inx = -1x= - 2s inx = -1 1 2osx = - (k )

222cos 3 osx - 2 = 0 x = 2osx = 2 (VN) 3

kc

x c kc

Năm 2007



103

Đề 1. Giải phương trình : 1 1sin 2x sin x 2cot g2x2sin x sin 2x

HD. Phương trình đã cho tương đương: cos22x cosxcos2x = 2cos2x và sin2x 0

2

cos2x 0

2 cos x cosx 1 0(vn) cos2x = 0

2x k x k ,(k )

2 4 2.

Đề 2. Giải phương trình: 22cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3cosx) HD. Phương trình đã cho tương đương: 2 cos 2x 3 sin 2x 3(sin x 3 cos x)

1 3 1 32 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx2 2 2 2

2 2 cos 2x 6 cos x3 6

1 cos 2x 3cos x3 6

22 cos x 3cos x6 6

cos x 06

3cos x (loaïi)6 2

k3

2xk26

x , (k ).

Đề 3. Giải phương trình: 2x3cos2

42xcos

42x5sin

HD. Phương trình đã cho tương đương với:

2x3cos2

2x

42sin

42x5sin

2x3cos2

2x

43sin

42x5sin



104

3x 3x2 cos x sin 2 cos4 2 2 2

2x3cos2

2x3cos

4xcos2

3xcos 02

2cos x4 2

3x k2 2

3x k24 4

2x k3 3

x k2 (k )2

x k2.

Đề 4. Giải phương trình: gxcottgxxsinx2cos

xcosx2sin

.

Điều kiện: s in2x 0 HD. Phương trình đã cho tương đương:

xsinxcos

xcosxsin

xcosxsinxsinx2sinxcosx2cos

xcosxsinxcosxsin

xcosxsinxx2cos 22

cos x cos2x 22 cos x cos x 1 0

1cos x ( cosx 1 : loaïi vì sin x 0)2

2k3

x , (k ).

Đề 5. Giải phương trình: 1xcos12

xsin22


112

sin12

x2sin2

1sin 2x sin

12 12 2

12

cos6

sin212

sin4

sin12

x2sin

125sin

12cos

12x2sin

52x k2

12 12 k72x k2 12 12

x k

4 kx k

3

Đề 6. Giải phương trình: (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx



105

HD.

Đặt: t = tanx 2t1t2x2sin

. Phương trình (1) trở thành:

2

2 t1 t 1 1 t1 t

2 21 t t 1 (t 1)(1 t )

2t 1 01 t t 1 (1 t )

t 1 t 0 .

Do đó (1) tanx = 0 hoặc tanx = –1

x = k hoặc x = 4

+ k, (k )

Cách khác Phương trình đã cho tương đương: (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx (hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm) cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1

tanx = -1 hoặc cos2x = 1 x = 4

+ k hoặc x = k, (k ).

Năm 2008

Đề 1. Giải phương trình: tanx – cotx = 4cos22x HD. Điều kiện: sin x. cos x 0. Phương trình đã cho :

2 2s inx osx 2 os2x4 os 2 4 os 2 0cosx sinx sin2x

c cc x c x

1os2x 2 os2x 0 os2x(1+sin4x)=0sin2x

c c c

c os 2 x =0 4 2x k

sin4x = -1 8 2

x k

So với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:

4 2

8 2

x k

x k

( k ).

Đề 2. Giải phương trình: π π 2sin 2x - = sin x - + 4 4 2

.

HD.



106

Phương trình đã cho sin(2 ) sin sin( )4 4 4

x x

2sin( )cos sin( )4 4

x x x

sin( )(2cos 1) 04

x x

sin( ) 04

(2cos 1) 0

x

x

4

23

x k

x k

4 (k )2

3

x k

x k

Đề 3. Giải phương trình π π 12sin x + - sin 2x - = 3 6 2

.

HD. Phương trình đã cho:

2

2

3 1 1sin 3 cos sin 2 cos 22 2 2

1 1sin 3 cos 3 sin cos (1 2sin )2 2

(sin sin ) ( 3 cos 3 sin cos ) 0

x x x x

x x x x x

x x x x x

(1 sin )(sin 3 cos ) 0

1 sin 0 (1)

sin 3 cos 0 (2)

x x x

x

x x

(1) sin 1 22

(2) sin( ) 0 , ( )3 3

x x k

x x k k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 22

x k ;3

x k , ( )k

Đề 4. Giải phương trình 2 x3sinx + cos2x + sin2x = 4sinxcos2

HD. Phương trình đã cho: 23sin 1 sin sin 2 2sin cos 1x x x x x

22sin sin 1 0x x



107

1sin2

sin 1

x

x

26

7 26

22

x k

x k k

x k

Đề 5. Giải phương trình 4 44(sin x + cos x) + cos4x + sin2x = 0 . HD. Phương trình đã cho: 2 2 2 2 2 24(sin os ) 8sin cos 1 2sin 2 + sin2x = 0x c x x x x 24sin 2 + sin2x +5 = 0x

sin 2 1

5sin 24

[ x

x

(loại)

2 22

x k

, ( )4

x k k

Đề 6. Giải phương trình 2

2

tan t anx 2 sintan 1 2 4

x xx

.

HD. Điều kiện: cosx 0. Phương trình đã cho tương đương:

2

2

2(tan t anx) sin costan 1

x x xx

2cos2x(tan2x + tanx) = sinx + cosx 2sin2x + 2sinxcosx = sinx + cosx, cosx 0. (sinx + cosx)(2sinx - 1) = 0, cosx 0.

4

2 ( )65 26

x k

x k k

x k

12. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ CHÍNH THỨC THI TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2010

1. D2002. T×m x thuéc ®o¹n [0; 14] nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 2. B2002. Gi¶i ph¬ng tr×nh sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 3. A2002. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2 ) cña ph¬ng tr×nh:



108

cos3x + sin3x5 sinx + = cos2x + 3

1 + sin2x

4. D2003. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 2x π xsin - tg x - cos = 02 4 2

5. B2003. Gi¶i ph¬ng tr×nh cotgx - tgx + 4sin2x = 2

sin2x

6. A2003. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2 ) cña ph¬ng tr×nh:

2cos2x 1cotgx - 1 = + sin x - sin2x 1 + tgx 2

7. D2004. Gi¶i ph¬ng tr×nh (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 8. B2004. Gi¶i ph¬ng tr×nh 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x

9. D2005. Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 4 π π 3cos + sin x + cos x - sin 3x - - = 04 4 2

10. B2005. Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 11. A2005. T×m nghiÖm thuéc ®o¹n (0; 2 ) cña ph¬ng tr×nh: cos23x.cos2x - cos2x = 0

12. A2006. Gi¶i ph¬ng tr×nh 6 62 cos x + sin x - sinxcosx

= 02 - 2sinx

13. B2006. Gi¶i ph¬ng tr×nh xctogx + sinx 1 + tgx.tg = 02

14. D2006. Gi¶i ph¬ng tr×nh cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 15. A2007. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 16. B2007. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin22x + sin7x - 1 = sinx

17. D2007. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2

sin cos 3 cos 22 2x x x

18. A2008. Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1 74sin( )3sin 4sin( )

2

xx x

19. B2008. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 2 2sin 3 osx = sinxcos 3 sin osxx c x xc 20. D2008. Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

21. A2009. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 2sin ) osx 3

(1 + sin2x)(1 - sinx)x c

22. B2009. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3s inx + cosxsin2x + 3 os3x = 2(cos4x + sin )c x 23. D2009. Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 os5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0c

24. A2010. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 s inx + cos2x)sin x +

14 osx1 + tanx 2

c

25. B2010. Gi¶i ph¬ng tr×nh (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0 26. D2010. Gi¶i ph¬ng tr×nh sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0



109

13. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG BỘ ĐỀ THI TUYỂN

SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

1. Giải phương trình cosx + 1

cos x + sinx +

1sin x

= 103

§Ò 2

2. Giải phương trình log3(sin2x

- sinx) + 13

log ( cos 2 )2xsin x = 0 §Ò 3

3. T×m çc gi¸ trÞ x (0; 2

) tháa ph¬ng tr×nh: sin 3 sin

1 cos 2x x

x

= sin2x + cos2x

§Ò 4

4. Cho pt: (1- a)tg2x - 2

cos x+ 1 + 3a = 0

a) Gi¶i pt khi a = 12

b) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ tham sè a ®Ó pt ®· cho cã h¬n mét nghiÖm (0; 2

)

§Ò 5 5. Gi¶i pt: 2cosx - sin x = 1 §Ò 7

6. Gi¶i vµ biÖn luËn theo k pt: 1

cos x -

1sin x

= k §Ò 8

7. Gi¶i pt: tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6 §Ò 141 8. cos34x = cos3xcos3x + sin3xsin3x §Ò 142

9. T×m nghiÖm x ( - 34

; ) cña pt:

a2sinx - asin2x - a2cosx + acos2x = cosx - sinx Đề 144 10. Cho pt cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0

a) Gi¶i pt khi m = 32

b) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ m ®Ó pt cã nghiÖm (2

; 32

) Đề 9

11. X¸c ®Þnh a ®Ó hai pt sau t¬ng ®¬ng: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x 4cos2x - cos3x = acosx + (4 - a)(1 + cos2x) §Ò 10 12. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 4(x3 - 2x + 1)(sinx + 2cosx) 9 3 2 3x x

13. X¸c ®inh a ®Ó pt sau cã nghiÖm: cos6x + sin6x = a sin 2x Đề 11

14. T×m min, max y = 3 sinx + cosx = 2 3

2x

T×m nghiÖm cña pt sin((x+1)y) = sin2xy + sin2(x-1)y biÕt r»ng (x+1)y, xy, (x-1)y lµ sè ®o çc gãc cña mét tam gi¸c. 15. Gi¶i pt sin3x + cos3x = 2 - sin4x §Ò 150



110

16. Gi¶i hÖ pt: 1sin4

3 tan tan

xcosy

x y

§Ò 12

17. Gi¶i hÖ pt: tan cot 2sin( )

4

tan cot 2sin( )4

x x y

y y x

§Ò 23

18. Cho pt 22

3 3tansin

xx + m(tanx +cotx) - 1 = 0

a) Gi¶i pt khi m = 4 b) T×m m ®Ó pt cã nghiÖm. §Ò 13

19. 2cos2 35x

+ 1 = 3cos45x

§Ò15

20. T×m çc nghiÖm x (2

; 3 ) cña pt:

sin(2x + 52

) - 3cos(x - 72

) = 1 + 2sinx §Ò16

21. 2 (2sinx - 1) = 4(sinx -1) - cos(2x + 4

) - sin(2x + 4

) §Ò17

22. 3cosx + 4sinx + 6

3cos 4sin 1x x = 6 §Ò18

23. 8sin2xcosx = 3 1

cos sinx x §Ò 22

24. Gi¶i hÑ pt:

1sin cos sin cos2

32sin 2 sin 22

x x y y

x y

§Ò 32

25. Gi¶i pt: sin sin 2

cos cos 2

x y

x y

§Ò 33

26. Cho hpt: 22(cos 2 cos 2 ) 1 4cos 0

x y mx y m

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm. T×m nghiÖm ®ã. §Ò 65

27. tgy - tgx - tgxtgy = 1

cos 2 3 cos 2 1y x

§Ò 75

28. Cho pt: msinx + (m+1)cosx = osxm

c

a) gpt khi m = 12

b) Gi¶ sö m lµ gi¸ trÞ lµm cho pt cã nghiÖm. Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm



111

sao cho x1+ x2 2

+ k . H·y tÝnh cos2(x1+ x2) §Ò 145

*** Chó ý r»ng: cos2(x1+ x2) = 2

1 22

1 2

1 tan ( )1 tan ( )

x xx x

29. sinx + 2 22 sin 2 sin 3x sinx x §Ò 146

30. Cho pt : 6 6

2 2

cos sin 2 tan 2cos sin

x x m xx x

a) Gi¶i pt khi m = 1/8 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghÖm §Ò 147

32. tg2x = 1 cos1 sin

xx

§Ò 133

33. cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2

4 §Ò 135

34. T×m tæng tÊt c¶ çc nghiÖm x[0;40] cña pt: 2cos2x + cot2x = 3

2

sin 1sin

xx

§Ò 136

35. 2sin(3x + 34

) = 21 8sin 2 2xcos x §Ò 25

36. a) sin2(x - ) - sin(3x - ) = sinx b) T×m a ®Ó pt sin2(x - ) - sin(3x - ) = asinx cã nghiÖm x k §Ò 28

37. 1 1 2

cos sin 2 sin 4x x x §Ò 30

38. tan22xtan23xtan5x = tan22x - tan23x + tan5x §Ò 34

39. 2

2

sin cos coscos sin sin

x x yx x y

§Ò 79

40. Cho hÖ: 2

2

sin tantan sin

x m y my m x m

a) Gi¶i hÖ khi m = 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm §Ò 87

41. tan2x + tan2y + cot2(x + y) =1 §Ò 99 42. Cho pt : 1 sin 1 sinx x k

a) Gi¶i pt khi k = 2 b) Gi¶i vµ biÖn luËn theo k. §Ò 37

43. T×m t sao cho pt: 2sin 1sin 2

x tx

cã 2 nghiÖm thuéc ®o¹n [0; ] §Ò 38

44. a) 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sinxsin2x (1) b) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña tham sèm ®Ó pt(1) t¬ng ®¬ng víi pt sau:

mcos3x + (4 - 8m)sin2x + (7m - 4)cosx + (8m - 4) = 0 §Ò 40 45. cos2x - 3 sin2x - 3 cosx - sinx + 4 = 0



112

46. 2 + 2sinx - 2cos2x - 2 sin( x+4

) = 0

47. Cho pt sinx + mcosx = 1 (1) a) Gi¶i pt khi m = - 3 b) T×m m ®Ó pt (1) v« nghiÖm. c) X¸c ®Þnh m ®Ó pt(1) t¬ng ®¬ng víi msinx + cosx = m2

§Ò 42

48. 3(cos 2 cot 2 ) 2sin 2 2cot 2 cos 2 )

x x xx x

§Ò 45

49. cot x = tanx + 1

sin x §Ò 46

50. 2cos (2sin 3 2) 2cos 1

1 sin 2x x x

x

= 1 §Ò 47

51. sin22x - cos28x = sin(17

2

+ 10x) §Ò 48

52. 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x §Ò 49 53. sin cosx x + 4sin2x = 1 §Ò 51

54. cos 43 x = cos2x §Ò 52

55. Gi¶i vµ biÖn luËn: 2 2

2

a - bcosx 2 a - b tany=sinx 1 + tan y

§Ò 44

56. Cho pt 3cosx + 2 sin x = k

Gi¶i pt khi k = 2, k = 3. §Ò 57

57. T×m sè d¬ng a nhá nhÊt tháa pt: cos( (a2 + 2a - 12

) - sin a2

§Ò 58 58. x2 - 2xsinxy + 1 = 0 §Ò 60 59. cos2x + 1 + sin2x =2 sinx + cosx §Ò 64 60. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× pt sau cã nghiÖm: 1 2cos 1 2sinx x m §Ò 66 61. 2cos3x + cos2x + sinx = 0 §Ò 68 62. a) 4cosx - 2cos2x- cos4x = 1 §Ò 69

b) 3tan3x + cot2x = 2tanx + 2

sin 4x §Ò 71

63. a) gpt (cos4x - cos2x)2 = 5 + sin3x b)X¸c ®Þnh a ®Ó pt sau cã nghiÖm:

(cos4x - cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)( a2 + 4a + 6) + 7 + sin3x §Ò 74

64. Gi¶i çc pt: sin4x + cos4(x + 4

) = 14

(tanx + 14

cotx)n = cosnx + sinnx , n = 2, 3, 4.... §Ò 77

64. a) Çc sè x, y, z tháa: x + y + z = n



113

Chøng minh : cos2x + cos2y + cos2z = 1 + (-1)n.2cosxcosycosz b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2log3cotx = log2cosx §Ò 78 65. a) cos4x – sin4x = cos sinx x

b) Chøng minh r»ng tån t¹i mét tam gi¸c mµ sè ®o çc gãc cña nã nghiệm ®óng ph¬ng tr×nh: (56 - 65sinx)(80 - 64sinx - 65cos2x) §Ò 80

67. 1 + sin 2x sinx - cos 2

x sin2x = 2 2os4 2

xc

§Ò 81

68. X¸c ®Þnh tham sè m sao cho ph¬ng tr×nh sau cã 7 nghiÖm kh¸c nhau thuéc

kho¶ng ( - ;22 ) Đề 82

69. a) cos2x - cos6x + 4(3sinx - 4sin3x + 1) = 0

b) (sin3

2x

+ 1/ sin3

2x

)2 + (cos3

2x

+ 1/ cos3

2x

)2 = 481cos 44

x §Ò 83

70. cos 2sin cos3 1 2sin cos 2x x x x x §Ò 86

71. Cho ph¬ng tr×nh (2sinx -1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x a. Gi¶i pt khi m = 1. b. T×m m ®Ó pt cã ®óng hai nghiÖm thuéc [0; ] Đề 89

72. sin sin 2 sin 3 3cos cos 2 cos3

x x xx x x

Đề 90

73. 6sinx - 2cos3x = 5sin 4 cos

2cos 2x x

x Đề 93

74. sin4xcos16x = 1 §Ò 91 75. Gi¶i vµ biÖn luËn pt: (m-1)sin2x -2(m+1)cosx+2m-1=0 ĐÒ 95 76. a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt: y = cos sinx x b) T×m m ®Ó pt sin4x = mtgx cã nghiÖm kh¸c k §Ò 96 77. Cho pt: 6tanx + acot3x = tan2x a) Gpt víi a = 0 b) Gpt víi a = 5 §Ò 97

78. tg2x = 3

3

1- cos x1- sin x

§Ò 100

79. 1) Çc ®é dµi c¹nh cña tam gi¸c ABC lËp thµnh mét cÊp sè nh©n. chøng minh r»ng tam gi¸c ®ã kh«ng thÓ cã hai gãc lín h¬n 600. 2) Gpt: 2(tanx -sinx) + 3(cotx - cosx) + 5 = 0 §Ò 106

80. 1) Gpt: 2sin x - 2sinx + 2 = 2sinx - 1 2) Tam gi¸c ABC cã çc gãc A, B, C theo thø tù l©p thµnh cÊp sè nh©n c«ng

béi b»ng 2. Chøng minh 1 1 1a b c . §Ò 107

81. Gpt: 1 cos 1 cos 4

cosx x sinx

x

§Ò 108

82. Gpt: 10 10 6 6

2 2

sin cos sin cos4 4cos 2 sin 2

x x x xx x

§Ò 109



114

83. Gi¶i çc pt: 1) 1 cos 4 sin 42sin 2 1 cos 4

x xx x

2) cos3x + sin3x = sinx - cosx §Ò110 84. Gpt: cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x §Ò 111 85. 6sinx - 2cos3x = 5sin2xcosx §Ò 112 86. sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = 2 §Ò 113 87. Cho pt (4 - 6m)sin3x + 3(2m - 1)sinx + 2(m-2)sin2xcosx - (4m - 3)cosx = 0

1) Gpt khi m = 2

2) T×m m ®Ó pt cã ®óng mét nghiÖm thuéc [0; 4

] §ề 114

88. Cho pt: 2cosxcos2xcos3x + m = 7cos2x 1) Gi¶i pt khi m = - 7

2) X¸c ®Þnh m ®Ó pt cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm thuéc [38

;8

]

§Ò 115 89. T×m a, b ®Ó hai pt sau t¬ng ®¬ng: asin2x + 2 = 2cosx + a 2 sinx 2sin2x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1 §Ò 117

90. Gi¶i vµ biÖn luËn theo a pt: 2 2 2

2

sin 21 tan cos 2

a x ax x

§Ò 124

91. Gpt: sinx + 3 cosx = 2 cos 2 3 sin 2x x §Ò 127 92. Gi¶i vµ biÖn luËn: cosax + cos 2bx - cos(a+2b)x = 1 §Ò 129

93. Gi¶i pt: sin2x + 14

sin23x = sinxsin23x §Ò 131

94. Gi¶i pt: cos4x - cos2x + 2cos6x = 0 Đề 72

95. Gi¶i pt: 2 27 7

3sin 2 2sinlog log 2sin 2 cosx x

x xx x

Đề 125

Phần thứ ba.

KẾT LUẬN

Với một nỗ lực cá nhân, cùng với hệ thống thông tin mạng mang lại niềm đam mê, tôi đã tự thấy mãn nguyện với công việc của mình. Có thể mở rộng số lượng các Ví dụ bằng cách này hay cách khác, nhưng thời gian đã không cho phép. Trong phạm vi là một sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy, đề tài mình thực hiện có ý nghĩa thực tiễn trong mục tiêu giáo dục và đào tạo bậc học THPT. Không thể tránh khỏi những sai sót, xin được lượng thứ và xin được tỏ lòng biết ơn các ý kiến góp ý chân thành để có thể hoàn thiện hơn. Đồng Hới, tháng 5 năm 2011



115

TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1. Bộ đề thi TS vào các trường ĐH và Cao đẳng - NXB Giáo dục 1983 2. Đề thi vào các trường Đại học và Cao đẳng - http://Mathscope.org 3. Đề Dự bị thi vào các trường Đại học và Cao đẳng - http://Mathscope.org Mục lục 1. Phương trình lượng giác cơ bản. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. 3. Phương trình asinx + bcosx = c. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 6. Phương trình asin2x + bcos2x + csinxcosx = d 7. Phương trình: asin3x + bcos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x + dsinx + ecosx = 0 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan2x + cot2x) + c = 0 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1. BiÕn ®æi vÒ tÝch 10.2. BiÕn ®æi th¼ng vÒ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n 10.3. Çc ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi TS vào ĐH&CĐ từ 2002 đến 2010 12. Các phương trình lượng giác trong các đề chính thức thi TS vào ĐH&CĐ từ 2002 đến 2010 13. Các phương trình lượng giác trong bộ đề thi TS vào Đại học &Cao đẳng

3 7 27 35 39 43 46 47 49 49 74 81 90 107 109



116

ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TOÁN.

ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH.

Documents

Phuong Trinh Luong Giac 5