( )kxtAy −= ωcos1

( )kxtAy += ωcos2

tkxAyyy ωcoscos221 =+= txA ωλπ )cos2cos2(=

振幅因子 谐振因子 CAI

驻波波线上的各质元都以同一频率作简谐振动

不同质元的振幅随其位置 x 作周期性变化退出返回

txAy ωλπ )cos2cos2(=

坐标：2λnx =波腹

L 2 1 0 ，，， ±±=n

22)1(1

λλ nnxx nn −+=−+相邻波腹间距： 2λ

= CAI

波节 坐标： 4)12( λ

+= nx L 2 1 0 ，，， ±±=n

21λ

=−+ nn xx相邻波节间距：

退出返回

txAy ωλπ )cos2cos2(=

2λnxn =

相邻波腹：

2)1(1λ

+=+ nxn

振幅因子

πncos π)1cos( +n

振动相位相差 πCAI

两相邻波节之间的各质元振动相位相同

在每一波节两侧各质元振动相位相反

退出返回

能量

总平均能流密度为

0)( =−⟩⟨+⟩⟨ vwvw

平均说来没有能量的传播

驻波中的动能和势能有一定的分布且不断相互转换

弹性势能分布 动能分布 弹性势能分布

退出返回

当所有各质元达到最大位移，全部能量为势能

当所有各质元达到平衡位置，全部能量为动能

能量由两端向中间传

势能→动能

瞬时位移为0，

动能最大

势能为0

能量由中间向两端传

动能→势能

退出返回

kinetic energy displacement potential energy

退出返回

两端固定的弦中产生的驻波

L 3 2 1 2

,,,nnL =⋅=λ

…= 3, 2, 1,= 2 nnL

nλ

µTF

Ln

2=

Lnuuf

nn 2

==λ

… 3, 2, 1,= n

µTF

Lf

21

1 = 基频

退出返回

µT

nF

Lnnff

21

1 ⋅== )1( >n

次谐频n

简正频率

一个振动系统的某个固有频率所

对应的一种稳定振动方式或一种

驻波形式

该系统的一种简正模式或振动模式

多自由度驻波系统中的任一波

扰动，可以看成是一系列简正

模式的线性叠加。退出返回

中点受拨或受击而振动时

中点为波节的那些模式不出现

2次、4次、6次、…谐频

该点为波节的那些模式不出现

nL

距一端为 的点

受拨或受击而振动时

n次谐频、2n次谐频…返回 退出

乐器的机理就是共振

泛音（谐频）基音（基频）

退出返回

两个简正模合成一个行波

01 =tω前二个简正模

41π

ω =t

21π

ω =t

43

1π

ω =t

πω =t1

CAI

三个简正模合成一个行波

01 =tω

41π

ω =t

21π

ω =t

43

1π

ω =t

前三个简正模

πω =t1CAI

The Doppler Effect§13.6 多普勒效应CAI

波源静止

观测者静止

波源或观测者的运动造成观测频率与波源频率不同

的现象多普勒效应 Doppler effect

In 1842 Johann Christian Doppler

退出返回

Case A 波源运动 观测者静止

相对于连续介质

Case B 观测者运动波源静止

CAICase C 波源运动 观测者运动

弹性波的波速u 由介质的性质决定

波源和观测者的运动都发生在它们之间的连线上

波源相对于介质的速度sv

观测者相对于介质的速度rv退出返回

Case A: 观测者运动 A Moving Receiver

rv

观测者的接收频率

单位时间内通过观测者

的完整波长数

rvu +

λr

rvu

f+

= fu

vuf/uvu rr +

=+

=

CAIffr >0>rv观测者向着波源运动时

ffr <0<rv观测者背离波源运动时

退出返回

Case B: 波源运动 A Moving Source CAI

TvuT s−=′λ

fvu

u

s−TvuTuuf

sr −

=′

=λ

=

0>sv ffr >波源向着观测者运动时

0<sv ffr <波源背离观测者运动时退出返回

Case C: 观测者、波源都运动

波源以速度 相对于介质运动sv TvuT s−波长变为

观测者以速度 相对于介质运动rv

rvu +波相对于观测者的波速变为

fvuvu

s

r

−+

=TvuT

vufs

rr −

+= CAI

波源和观测者的运动不是沿着它们的连线方向 ( 纵向 )

fvuvu

fss

rrr θ

θcoscos

−+

=svr sθ rs rθ

rvr

返回 退出

电磁波的多普勒效应

在 r所在的参考系中v

r

θrs

f

cv

cv

f r θcos1

1 2

2

−

−=

在 r所在的参考系中波源 s 的运动速度v

fvcvcf r −

−=

22

fvcvc

−+

=纵向多普勒效应

fcv

2

2

1 −=fc

vcf r

22 −=横向多普勒效应

电磁波的传播

不需要介质有意义的只是波源与接收器间的相对运动

退出返回

fvcvcf r −

+=遥远星系发来的光 光谱分析

有一些在实验室中已确认的谱线显著地移向了长波端

谱线红移 red shift of spectral line

钾光谱中易辨认的一对吸收线 K 线和 H 线

在地面实验室中是出现在波长395nm 附近

在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm 处观测到了这两条谱线

fvcvcf r −

+=

退出返回

fvcvcf r −

+=

vcvc

r −+

=2

2

λλ

λλc

vcvcc

r −+

=

nm447=rλnm395=λ

cvr

rs 22

22

λλλλ

+

−= c22

22

447395447395

+

−= c.1230−=

退出返回

雷达测速仪在高速公路上 监测车速

fvcvcf

−+

=′

fvcvcffff b )1( −

−+

=−′′== ∆

fvc

v )2(−

= fcv2

≈f

cv

cv

)1

2

(−

=

fvcvcf ′

−+

=′′

fvcvc

−+

=

m/s103 8×=c30m/s~km/h108=v 雷达波速车速

Hz4≈bfMHz02≈f发射频率退出返回

波源的速度超过波速

svu

=θsinMach cone angle

Mach cone 马赫锥

shock wave激波 or 冲击波

A bullet passing through the hot gases above a candle flame produces a shock wave because its speed is faster than the speed of sound in air

返回 退出

CAI

马赫波

波源的速度趋于波速

所有的波面在一点相切

∞→rf

声暴

声障声速区

CAI

退出返回