Pibb

oon c

homso

mbatแบบฝึกหัด 3.3.2 (จากหนังสือเรียน)

1. จงหาค าตอบของสมการต่อไปน้ี โดยการแยกตวัประกอบ

1) x2 + 7x + 10 11) 3x2 + 7x + 2 2) x2 + 8x + 12 12) 5x2 + 13x + 6 3) x2 – 3x – 18 13) 7x2 + 3x – 4 4) x2 – 6x – 16 14) 9x2 + 12x + 4 5) x2 + 5x – 24 15) 4x2 + 8x + 3 6) x2 + x – 30 16) 4x2 + 16x + 15 7) x2 – 14x + 48 17) x2 – 9 8) 21 – 10x + x2 18) 25 – x2 9) 2 + x – x2 19) 9x2 – 16 10) 2x2 + 7x + 3 20) 36x2 – 25

2. จงหาค าตอบของสมการต่อไปน้ี โดยการท าใหเ้ป็นก าลงัสองสมบูรณ์ 1) x2 + 8x + 6 6) x2 – 4x – 2 2) x2 + 10x + 3 7) x2 – 6x + 4 3) x2 + 4x + 2 8) x2 – 10x – 2 4) x2 + 6x + 3 9) x2 + 5x + 1 5) x2 + 8x – 1 10) x2 + 3x + 2

3. จงหาค าตอบของสมการต่อไปน้ีโดยสูตร 1) x2 – 4x – 21 = 0 2) x2 = 4x 3) x2 – 2x = 6 4) 3x2 + 2x – 3 = 0 5) 2x2 + 4x = 1 6) 2x2 = x + 2

Pibb

oon c

homso

mbat4. จงหาความยาวแต่ละดา้นของรูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี

1) 2) 3) 5. ถา้กล่องกระดาษในรูปมีความจุ 320 ลูกบาศก์เซนติเมตร โดยท่ีฐานของกล่องเป็นรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัส จงหาความกวา้งของกล่องใบน้ี

A

B C

x

x + 3

x + 7

A

B C

x

x + 2

x + 6

A

B C

x

2x + 3

3x + 1

Pibb

oon c

homso

mbat6.

(1) (2) กล่องในรูปท่ี (1) ท าจากกระดาษในรูปท่ี (2) ซ่ึงมีพื้นท่ีเท่ากบั x2 + 4ax ตารางหน่วย จงหาค่า x เม่ือก าหนดค่าของ a และ x2 + 4ax ดงัในตาราง 7. ถา้ความสูง (h) ของลูกเทนนิส เม่ือวดัจากพื้นขณะท่ีนกักีฬาตีลูกข้ึนไปนาน t วนิาที

หาไดจ้ากสูตร h = 1 + 15t – 5t2 จะหาวา่ นานเท่าใดหลงัจากท่ีนกักีฬาตีลูกเทนนิส แลว้ลูกเทนนิสจึงจะอยูสู่งจากพื้นดิน 10 เมตร

8. ตน้ทุนในการผลิตสินคา้บริษทัแห่งหน่ึงเท่ากบั 600x – 5x2 เม่ือ x แทนราคาตน้ทุนสินคา้ต่อหน่วย ถ้าตน้ทุนสินคา้ต่อหน่วยสูงกว่า 50 บาท และบริษทัตอ้งการก าไรจากสินคา้ช้ินละ 25% จะตอ้งขายสินคา้ในราคาช้ินละเท่าใด ถา้มีตน้ทุนในการผลิต 16,000 บาท 9. ถา้ผลคูณของจ านวนถดัไปท่ีเป็นจ านวนค่ีท่ีมีค่าเป็นบวกสองจ านวนมีค่าเท่ากบั 35 จงหาจ านวนทั้งสอง (ตวัอยา่งของจ านวนถดัไปท่ีเป็นจ านวนค่ีท่ีมีค่าเป็นบวก เช่น 7, 9) 10. จงยกตวัอยา่งเพื่อแสดงวา่ 1) ถา้ x2 + 10x + c = 0 และ c < 0 สมการขา้งตน้จะมีค าตอบท่ีเป็นจ านวนจริง 2 ค าตอบ 2) ถา้ x2 + 10x + c = 0 และ c > 0 สมการขา้งตน้จะมีค าตอบท่ีเป็นจ านวนจริง 2 ค าตอบ

a x2 + 4ax

41 20

1 165

21 80

Pibb

oon c

homso

mbat3) ถา้ x2 + bx + 9 = 0 และ b > 6

สมการขา้งตน้จะมีค าตอบท่ีเป็นจ านวนจริง 2 ค าตอบ

11. ถา้ระยะเบรกของรถคนัหน่ึงแทนดว้ยสูตร d = 20ss

2

เมตร เม่ือ d คือ ระยะเบรก มีหน่วยเป็นเมตร และ

s คืออตัราเร็วของรถ มีหน่วยเป็นกิโลเมตร / ชัว่โมง จงหาระยะเบรกของรถคนัน้ีเม่ือรถคนัน้ีเม่ือรถคนัน้ีวิ่งดว้ยอตัราเร็ว

1) 40 กิโลเมตร / ชัว่โมง 2) 100 กิโลเมตร / ชัว่โมง

12.

ถา้ตดัป้ายรูปแปดเหล่ียมท่ีมีความยาวดา้นละ 35 ซม.ไดจ้ากการตดัแผ่นโลหะรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสใน

ภาพ ถามวา่รูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสดงักล่าวควรจะตอ้งมีความยาวดา้นละเท่าใด --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pibb

oon c

homso

mbatเฉลยแบบฝึกหัด 3.3.2 (จากหนังสือเรียน)

ขอ้ 1. 1) x2 + 7x + 10 = 0 จะได ้ (x + 2)(x + 5) = 0, x = – 2, – 5

2) x2 + 8x + 12 = 0 จะได ้ (x + 2)(x + 6) = 0, x = – 2, – 6 3) x2 – 3x – 18 = 0 จะได ้ (x + 3)(x – 6) = 0, x = – 3, 6 4) x2 – 6x – 16 = 0 จะได ้ (x + 2)(x – 8) = 0, x = – 2, 8 5) x2 + 5x – 24 = 0 จะได ้ (x + 8)(x – 3) = 0, x = – 8, 3 6) x2 + x – 30 = 0 จะได ้ (x + 6)(x – 5) = 0, x = – 6, 5 7) x2 – 14x + 48 = 0 จะได ้ (x – 8)(x – 6) = 0, x = 8, 6 8) 21 – 10x + x2 = 0 จะได ้ (7 – x)(3 – x) = 0, x = 7, 3 9) 2 + x – x2 = 0 จะได ้ (1 + x)(2 – x) = 0, x = – 1, 2

10) 2 x2 + 7x + 3 = 0 จะได ้ (2x + 1)(x + 3) = 0, x = 21

, – 3

11) 3 x2 + 7x + 2 = 0 จะได ้ (3x + 1)(x + 2) = 0, x = 31

, – 2

12) 5 x2 + 13x + 6 = 0 จะได ้ (5x + 3)(x + 2) = 0, x = 53

, – 2

13) 7 x2 + 3x – 4 = 0 จะได ้ (7x – 4)(x + 1) = 0, x =74 , – 1

14) 9 x2 + 12x + 4 = 0 จะได ้ (3x + 2)(3x + 2) = 0, x = 32

15) 4 x2 + 8x + 3 = 0 จะได ้ (2x + 3)(2x + 1) = 0, x = 23

, 21

16) 4 x2 + 16x + 15 = 0 จะได ้ (2x + 3)(2x + 5) = 0, x = 23

, 25

17) x2 – 9 = 0 จะได ้ (x + 3)(x – 3) = 0, x = – 3, 3 18) 25 – x2 = 0 จะได ้ (5 + x)(5 – x) = 0, x = – 5, 5

19) 9 x2 – 16 = 0 จะได ้ (3x + 4)(3x – 4) = 0, x = 34

, 34

20) 36 x2 – 25 = 0 จะได ้ (6x + 5)(6x – 5) = 0, x = 65

, 65

ขอ้ 2. 1) x2 + 8x + 6 = 0

[x2 + 2(4)x] + 6 = 0 [x2 + 2(4)x + 42] + 6 – 42 = 0 (x + 4)2 – 10 = 0

Pibb

oon c

homso

mbat(x + 4)2 = 10

x + 4 = 10 x = – 4 10

2) x2 + 10x + 3 = 0 [x2 + 2(5)x] + 3 = 0 [x2 + 2(5)x + 52] + 3 – 52 = 0 (x + 5)2 – 22 = 0 (x + 5)2 = 22 x + 5 = 22

x = – 5 22 3) x2 + 4x + 2 = 0

[x2 + 2(2)x] + 2 = 0 [x2 + 2(2)x + 22] + 2 – 22 = 0 (x + 2)2 – 2 = 0 (x + 2)2 = 2 x + 2 = 2

x = – 2 2 4) x2 + 6x + 3 = 0

[x2 + 2(3)x] + 3 = 0 [x2 + 2(3)x + 32] + 3 – 32 = 0 (x + 3)2 – 6 = 0 (x + 3)2 = 6 x + 3 = 6

x = – 3 6 5) x2 + 8x – 1 = 0

[x2 + 2(4)x] – 1 = 0 [x2 + 2(4)x + 42] – 1 – 42 = 0 (x + 4)2 – 17 = 0 (x + 4)2 = 17 x + 4 = 17

x = – 4 17

Pibb

oon c

homso

mbat6) x2 – 4x – 2 = 0

[x2 – 2(2)x] – 2 = 0 [x2 – 2(2)x + 22] – 2 – 22 = 0 (x – 2)2 – 6 = 0 (x – 2)2 = 6 x – 2 = 6

x = 2 6 7) x2 – 6x + 4 = 0

[x2 – 2(3)x] + 4 = 0 [x2 – 2(3)x + 32] + 4 – 32 = 0 (x – 3)2 – 5 = 0 (x – 3)2 = 5 x – 3 = 5

x = 3 5 8) x2 – 10x – 2 = 0

[x2 – 2(5)x] – 2 = 0 [x2 – 2(5)x + 52] – 2 – 52 = 0 (x – 5)2 – 27 = 0 (x – 5)2 = 27 x – 5 = 27 x – 5 = ± 3 3

x = 5 3 3 9) x2 + 5x + 1 = 0

x2

52x2 + 1 = 0

22

25x2

52x +1–2

25

= 0

2

25x

–

421 = 0

2

25x

=

421

Pibb

oon c

homso

mbat x +

25 = 4

21

x = –25 4

21

x = –25 2

21

x = 2215 -

10) x2 + 3x + 2 = 0

x2

32x2 + 2 = 0

22

23x2

32x +2–2

23

= 0

2

23x

–

41 = 0

2

23x

=

41

x + 23 = 4

1

x = –23 4

1

x = 2

13 -

x = -1, -2

ขอ้ 3. 1) x2 – 4x – 21 = 0 a = 1, b = – 4, c = – 21

x = 2a4acbb 2

= 2(1)21)4(1)(2

)4()4(

= 2104

= 7, – 3

Pibb

oon c

homso

mbat2) จาก x2 = 4x จะได ้ x2 – 4x = 0

ดงันั้น a = 1, b = – 4, c = 0

x = 2a4acbb 2

= 2(1)4(1)(0)2

)4()4(

= 244

= 4, 0

3) จาก x2 – 2x = 6 จะได ้ x2 – 2x – 6 = 0 ดงันั้น a = 1, b = – 2, c = – 6

x = 2a4acbb 2

= 2(1)6)4(1)(2

)2()2(

= 2(1)4242

= 2822

= 2722

= 1 7

4) 3x2 + 2x – 3 = 0 a = 3, b = 2, c = – 3

x = 2a4acbb 2

= 2(3)3)4(3)(2

22

= 2(3)36 42

= 2(3)40 2

= 2(3)1022 = 3

101

Pibb

oon c

homso

mbat5) จาก 2x2 + 4x = 1 จะได ้ 2x2 + 4x – 1 = 0

ดงันั้น a = 2, b = 4, c = – 1

x = 2a4acbb 2

= 2(2)1)4(2)(2

44

= 2(2)

8 164

= 2(2)24 4

= 2(2)62 4 = 2

6 2

6) จาก 2x2 = x + 2 จะได ้ 2x2 – x – 2 = 0

ดงันั้น a = 2, b = – 1, c = – 2

x = 2a4acbb 2

= 2(2)2)4(2)(2

)1()1(

= 2(2)1611 = 4

171

ขอ้ 4. 1) x2 + (x + 3)2 = (x + 7)2

x2 + (x2 + 6x + 9) = x2 + 14x + 49 2x2 + 6x + 9 = x2+ 14x + 49 x2 – 8x – 40 = 0

หาค าตอบของสมการโดยใชสู้ตรไดด้งัน้ี

x = 2a4acbb 2

และ a = 1, b = – 8, c = – 40

= 2(1)40)4(1)(2

)8()8(

= 2160 648

= 22248 = 2

1448 = 1424

A

B C

x

x + 3

x + 7

Pibb

oon c

homso

mbatเน่ืองจากความยาวดา้นของรูปสามเหล่ียมจะตอ้งเป็นบวกเสมอ

ดงันั้น x = 1424 จะได ้ AB = 4 + 142

BC = 4 + 142 + 3 = 7 + 142 AC = 4 + 142 + 7 = 11 + 142

2) x2 + (x + 2)2 = (x + 6)2 x2 + x2 + 4x + 4 = x2 + 12x + 36 x2 – 8x – 32 = 0

หาค าตอบของสมการโดยใชสู้ตรไดด้งัน้ี

x = 2a4acbb 2

และ a = 1, b = – 8, c = – 32

= 2(1)32)4(1)(2

)8()8(

= 2128 648

= 21928 = 2

388 = 344

เน่ืองจากความยาวดา้นของรูปสามเหล่ียมจะตอ้งเป็นจ านวนบวกเสมอ ดงันั้น x = 4 + 34 จะได ้ AB = 4 + 34

BC = 4 + 34 + 2 = 6 + 34 AC = 4 + 34 + 6 = 10 + 34

3) x2 + (2x + 3)2 = (3x + 1)2 x2 + 4x2 + 12x + 9 = 9x2 + 6x + 1 5x2 + 12x +9 = 9x2 + 6x + 1 4x2 – 6x – 8 = 0

หาค าตอบของสมการโดยใชสู้ตร ไดด้งัน้ี

x = 2a4acbb 2

และ a = 4, b = – 6, c = – 8

A

B C

x

x + 2

x + 6

A

B C

x

2x + 3

3x + 1

Pibb

oon c

homso

mbat= 2(4)

8)4(4)(2 )6()6(

= 2(4)128 366

= 2(4)1646 = 2(4)

4126 = 4413

เน่ืองจากความยาวดา้นของรูปสามเหล่ียมจะตอ้งเป็นจ านวนบวกเสมอ

ดงันั้น x = 4413

จะได ้ AB = 4413

BC = 34

4132

= 2

)41(9

AC = 14

4133

= 4

)413(13

ขอ้ 5. ถ้ากล่องกระดาษในรูปข้างบน มีความจุ 320 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะหาว่า กล่องใบน้ีซ่ึงมีฐานเป็นรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัส จะมีความกวา้งเท่าใดไดด้งัน้ี

ปริมาตรของกล่อง = 5xx หรือ 5x2 5x2 = 320

x2 = 5320 หรือ 64

จะได ้ x = 8 เน่ืองจากความกวา้งของกล่องตอ้งเป็นจ านวนจริงบวก ดงันั้น ฐานของกล่องจะมีความกวา้งเท่ากบั 8 เซนติเมตร

Pibb

oon c

homso

mbatขอ้ 6.

(1) (2) กล่องในรูปท่ี (1) ท าจากกระดาษในรูปท่ี (2) ซ่ึงมีพื้นท่ีเท่ากบั x2 + 4ax ก าหนดให ้ หาค่าของ x ไดด้งัน้ี

1) จาก a = 41 จะได ้ x2 + 4ax = x2 + x

และ x2 + x = 20 x2 + x – 20 = 0 (x + 5)(x – 4) = 0

x = 4, – 5 เน่ืองจากความกวา้งของกล่องจะตอ้งเป็นจ านวนจริงบวก ดงันั้น x = 4 เซนติเมตร 2) จาก a = 1 จะได ้ x2 + 4ax = x2 + 4x

และ x2 + 4x = 165 x2 + 4x – 165 = 0 (x + 15)(x – 11) = 0

x = 11, – 15 เน่ืองจากความกวา้งของกล่องจะตอ้งเป็นจ านวนจริงบวก ดงันั้น x = 11 เซนติเมตร

a x2 + 4ax

41 20

1 165

21 80

Pibb

oon c

homso

mbat3) จาก a =

21 จะได ้x2 + 4ax = x2 + 2x

และ x2 + 2x = 80 x2 + 2x – 80 = 0 (x + 10)(x – 8) = 0

x = 8, – 10 เน่ืองจากความกวา้งของกล่องจะตอ้งเป็นจ านวนจริงบวก ดงันั้น x = 8 เซนติเมตร

ขอ้ 7. ถา้ความสูง (h) ของลูกเทนนิส เม่ือวดัจากพื้นขณะท่ีนกักีฬาตีลูกข้ึนไปนาน t วนิาที หาไดจ้ากสูตร h = 1 + 15t – 5t2 จะหาวา่ นานเท่าใดหลงัจากท่ีนกักีฬาตีลูกเทนนิส แลว้ลูกเทนนิสอยูสู่งจากพื้นดิน 10 เมตร จาก h = 10 จะได ้ 1 + 15t – 5t2 = 10

5t2 – 15t + 9 = 0

จาก t = 2a4acbb 2

และ a = 5, b = – 15, c = 9

t = 2(5)4(5)(9)2

)15()15(

= 104515

= 105315

10

7.615

0.83 หรือ 2.17 วนิาที เขียนภาพแทนการตีลูกเทนนิสของนกักีฬาไดด้งัน้ี

Pibb

oon c

homso

mbat นอกจากการหาค่าของ t โดยใช้สูตรแลว้ อาจจะใชว้ิธีการประมาณค่าของ 1 + 5t – 15t2 ท่ีมีค่าใกล ้

10 มากท่ีสุด โดยใชเ้คร่ืองคิดเลขไดด้งัตวัอยา่งต่อไปน้ี

จากตาราง ค่าประมาณของ t ท่ีเท่ากบั 0.83 วนิาที เป็นค่าท่ีท าให ้1+ 5t – 5t2 มีค่าใกล ้10 เมตร มากท่ีสุด

ขอ้ 8. ตน้ทุนในการผลิตสินคา้บริษทัแห่งหน่ึงเท่ากบั 600x – 5x2 เม่ือ x แทนราคาตน้ทุนสินคา้ต่อหน่วย และถ้าตน้ทุนสินคา้ต่อหน่วยสูงกว่า 50 บาท ถ้าตอ้งการก าไรช้ินละ 25% โดยมีตน้ทุนในการผลิตเท่ากบั 16,000 บาท จะหาวา่ตอ้งขายสินคา้ในราคาช้ินละเท่าใดไดด้งัน้ี

ให ้ 600x – 5x2 = 16,000 5x2 – 600x + 16,000 = 0 x2 – 120x + 3,200 = 0

จาก x = 2a4acbb 2

และ a = 1, b = – 120, c = 3,200

จะได ้ x = 2(1))4(1)(3,2002

)120()120(

= 212,800 400,14120

= 21,600120 =

240120 = 4

413

จะได ้x = 80 หรือ 40 จากโจทย ์ราคาสินคา้ต่อหน่วยตอ้งสูงกวา่ 50 บาท ดงันั้น ราคาสินคา้ต่อหน่วย จะตอ้งเท่ากบั 80 บาท

ตอ้งการก าไร 25% จะหาไดจ้าก 80 × 10025 หรือ 20 บาท

นัน่คือ จะตอ้งขายสินคา้ช้ินละ 80 + 20 หรือ 100 บาท

t (วนิาท)ี 1 + 15t – 5t2 (เมตร)

1 0.9 0.8

0.85 0.84

*0.83 0.82

11 10.45

9.8 10.13 10.07

*10.0055 9.938

Pibb

oon c

homso

mbatขอ้ 9. ถา้ผลคูณของจ านวนถดัไปท่ีเป็นจ านวนค่ีท่ีเป็นบวกสองจ านวนมีค่าเท่ากบั 35 จะหาจ านวนทั้งสอง

ไดโ้ดย ให ้x เป็นจ านวนค่ีจ านวนแรก ให ้x + 2 เป็นจ านวนค่ีท่ีเป็นบวกท่ีเป็นจ านวนถดัไป จะได ้ x(x + 2) = 35

x2 + 2x – 35 = 0 (x + 7)(x – 5) = 0

x = – 7, 5 เน่ืองจากโจทยก์ าหนดจ านวนค่ีเป็นจ านวนบวก ดงันั้น x จะตอ้งเท่ากบั 5 สรุปวา่ จ านวนแรก คือ 5 และจ านวนท่ีสองคือ 7 ตรวจสอบค าตอบ 5 × 7 = 35

ขอ้ 10. 1) ถา้ x2 + 10x + c = 0 และ c < 0 ให ้ c = –24 จะได ้ x2 + 10x – 24 = 0

(x + 12)(x – 2) = 0 และ x = –12 หรือ 2 เป็นค าตอบท่ีเป็นจ านวนจริง 2 ค าตอบ

2) ถา้ x2 + 10x + c = 0 และ c > 0 ให ้ c = 9 จะได ้ x2 + 10x + 9 = 0

(x + 9)(x + 1) = 0 และ x = –9 หรือ –1 เป็นค าตอบท่ีเป็นจ านวนจริง 2 ค าตอบ

3) ถา้ x2 + bx + 9 = 0 และ b > 6 ให ้ b = 10 จะได ้ x2 + 10x + 9 = 0

(x + 9)(x + 1) = 0 และ x = –9 หรือ –1 เป็นค าตอบท่ีเป็นจ านวนจริง 2 ค าตอบ

Pibb

oon c

homso

mbatขอ้ 11. ถา้ระยะเบรกของรถคนัหน่ึงแทนดว้ยสูตร d =

20ss

2

เมตร

เม่ือ d คือ ระยะเบรก และ s คืออตัราเร็วของรถมีหน่วยเป็นกิโลเมตร / ชัว่โมง หาระยะเบรกของรถคนัน้ีเม่ือรถคนัน้ีวิง่ดว้ยอตัราเร็วต่างกนั ไดด้งัน้ี

1) s = 40 กิโลเมตร / ชัว่โมง

d = 20

(40)402

= 40 + 80 เมตร

= 120 เมตร 2) s = 100 กิโลเมตร / ชัว่โมง

d = 20

(100)1002

= 100 + 500 เมตร

= 600 เมตร ขอ้ 12.

ถา้ตดัป้ายรูปแปดเหล่ียมจากแผ่นโลหะรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสให้ไดป้้ายรูปแปดเหล่ียมท่ีแต่ละดา้นยาว

35 ซม. จะหาวา่ ดา้นของรูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสควรจะยาวดา้นละเท่าใด จึงจะไดป้้ายตามขนาดท่ีเขียนไวใ้นรูปไดด้งัน้ี

หาความยาวของ x โดยใชรู้ปสามเหล่ียมมุมฉาก จาก x2 + x2 = 352

2x2 = 352

x2 = 2352

จะได ้ x = 2

35

จะไดว้า่ รูปส่ีเหล่ียมจตุัรัสควรจะมีความยาวดา้นละ 2x + 35 หรือ 3522352

ซ่ึงมีค่าประมาณ

84.50 ซม.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x

x 35